Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ Βεϊζη Αρίων Α.Μ Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341"

Transcript

1 Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414 Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551 Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Παπουτσάκης Κώστας Α.Μ.3249 Χριστοφάκη Μαρία Α.Μ

2 Ορισμοί 1. Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρος. 2. Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος. 3. Τα άκρα της γραμμής είναι σημεία. 4. Ευθεία γραμμή είναι αυτή η οποία εκτείνεται εξ ίσου από τα σημεία της. 5. Και επιφάνεια είναι μόνο μήκος και πλάτος. 6. Και τα άκρα μιας επιφάνειας είναι γραμμές. 7. Επίπεδη επιφάνεια είναι αυτή η οποία εκτείνεται εξ ίσου από τις γραμμές της. 8. Επίπεδη γωνία είναι η κλίση δύο γραμμών που τέμνουν η μία την άλλη σε επίπεδο και δεν εκτείνονται σε ευθεία γραμμή. 9. Και όταν οι γραμμές που περιέχουν την γωνία είναι ευθείες η γωνία καλείται ευθύγραμμη. 10. Και όταν μια ευθεία γραμμή βρίσκεται πάνω σε μια άλλη ευθεία γραμμή τότε οι παρακείμενες γωνίες είναι ίσες, κάθε μία από τις ίσες γωνίες είναι ορθή και η πρώτη ευθεία ονομάζεται κάθετη πάνω σε αυτή την οποία τοποθετείται. 11. Αμβλεία γωνία είναι η μεγαλύτερη της ορθής. 12. Οξεία η μικρότερη της ορθής. 13. Το όριο είναι αυτό το οποίο είναι ακραίο σημείο κάποιου. 14. Σχήμα είναι αυτό το οποίο περιέχεται από κάποιο όριο ή κάποια όρια. 15. Ο κύκλος είναι ένα επίπεδο σχήμα που περιέχεται σε μία γραμμή (η οποία ονομάζεται περιφέρεια) προς την οποία από ένα σημείο από αυτά που κείνται 2

3 μέσα στο σχήμα όλες οι προσπίπτουσες ευθείες (προς την περιφέρεια του κύκλου) είναι μεταξύ τους ίσες. 16. Και το σημείο αυτό καλείται κέντρο του κύκλου. 17. Και διάμετρος του κύκλου είναι κάποια ευθεία που άγεται δια μέσω του κέντρου και τελειώνει σε καθένα από τα δύο μέρη της περιφέρειας του κύκλου και η οποία χωρίζει στη μέση τον κύκλο. 18. Και ημικύκλιο είναι το σχήμα που περιέχεται από τη διάμετρο και από την περιφέρεια που τέμνεται από αυτήν. Και το κέντρο του ημικυκλίου είναι το ίδιο όπως είναι και του κύκλου. 19. Ευθύγραμμα είναι τα σχήματα τα οποία περιέχονται σε ευθείες, τα τρίπλευρα σε τρεις, τα τετράπλευρα σε τέσσερις, τα πολύπλευρα περιέχονται σε περισσότερες από τέσσερις ευθείες. 20. Από τα τρίπλευρα σχήματα, ισόπλευρο τρίγωνο είναι αυτό που έχει τις τρεις πλευρές του ίσες, ισοσκελές αυτό που έχει μόνο τις δύο πλευρές ίσες και σκαληνό αυτό που έχει τις τρεις πλευρές άνισες. 21. Από τα τρίπλευρα σχήματα ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυτό που έχει ορθή γωνία, αμβλυγώνιο αυτό που έχει αμβλεία γωνία, οξυγώνιο αυτό που έχει τρεις οξείες γωνίες, 22. Από τα τετράπλευρα σχήματα τετράγωνο είναι αυτό που είναι ισόπλευρο και ορθογώνιο, και ετερόμηκες αυτό που είναι ορθογώνιο μεν αλλά όχι ισόπλευρο και ρόμβος είναι αυτό το οποίο είναι ισόπλευρο μεν αλλά όχι ορθογώνιο, ρομβοειδές είναι αυτό που έχει τις απέναντι πλευρές και τις γωνίες ίσες μεταξύ τους και δεν είναι ούτε ισόπλευρο ούτε ορθογώνιο. Και τα τετράπλευρα εκτός των προηγούμενων ας ονομαστούν τραπέζια. 23. Παράλληλες είναι οι ευθείες, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και όταν εκτείνονται απεριόριστα προς κάθε κατεύθυνση δεν συμπίπτουν η μία με την άλλη πουθενά. 3

4 Αιτήματα 1. Έχει αξιωθεί ότι μπορεί να αχθεί ευθεία γραμμή από κάθε σημείο προς κάθε σημείο. 2. Και από πεπερασμένη ευθεία μπορεί να παραχθεί άπειρη ευθεία κατά συνεχή τρόπο. 3. Και μπορεί να γραφεί κύκλος με κάθε κέντρο και διάστημα. 4. Και όλες οι ορθές γωνίες ίσες μεταξύ τους. 5. Και εάν μια ευθεία εμπίπτει σε δυο άλλες ευθείες έτσι ώστε το άθροισμα των εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών τότε προεκτεινόμενες απείρως οι ευθείες τέμνονται από το μέρος που το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. Κοινές έννοιες 1. Αυτά που είναι ίσα με το ίδιο πράγμα είναι ίσα μεταξύ τους. 2. Και αν ίσα προστεθούν σε ίσα τότε όλα είναι ίσα. 3. Και αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα τα υπόλοιπα είναι ίσα. 4. Και τα εφαρμόζοντα πράγματα το ένα με το άλλο είναι ίσα μεταξύ τους. 5. Και το όλο είναι μεγαλύτερο του μέρους. Πρόταση 1 Να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο από δοθείσα πεπερασμένη ευθεία. 4

5 Έστω ΑΒ η δοθείσα πεπερασμένη ευθεία. Πρέπει να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο από την ευθεία ΑΒ. Με κέντρο το Α και διάστημα το ΑΒ γράφεται ο κύκλος ΒΓΔ. Και πάλι με κέντρο το Β και διάστημα το ΒΑ γράφεται κύκλος ΑΓΕ και από το Γ σημείο όπου τέμνουν οι κύκλοι ο ένας τον άλλο στα σημεία Α, Β συνδέονται οι ευθείες ΓΑ, ΓΒ. Και επειδή το σημείο Α είναι κέντρο του κύκλου ΓΔΒ, η ΑΓ είναι ίση με την ΑΒ. Και πάλι επειδή το Β σημείο είναι κέντρο του κύκλου ΓΑΕ, η ΒΓ είναι ίση με την ΒΑ. Και αποδείχτηκε ότι η ΓΑ είναι ίση με την ΑΒ, άρα κάθε μία από τις ΓΑ, ΓΒ είναι ίση με την ΑΒ. Αυτά που είναι ίσα με το ίδιο πράγμα είναι ίσα και μεταξύ τους. Άρα η ΓΑ είναι ίση με την ΓΒ. Οι ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ είναι ίσες μεταξύ τους. Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και κατασκευάστηκε από τη δοθείσα πεπερασμένη ευθεία ΑΒ. Ο. Ε. Π 1 Πρόταση 2 Να τοποθετηθεί ευθεία ίση με δοθείσα ευθεία σε δοθέν σημείο. 1 Ὅπερ ἔδει ποιῆσαι 5

6 Έστω Α το δοθέν σημείο και ΒΓ η δοθείσα ευθεία. Πρέπει να τοποθετηθεί μια ευθεία στο σημείο Α ίση με τη δοθείσα ευθεία ΒΓ. Ενώνεται από το σημείο Α στο σημείο Β η ευθεία ΑΒ και κατασκευάζεται σε αυτήν ισόπλευρο τρίγωνο ΔΑΒ. Και παράγονται οι ευθείες ΑΕ και ΒΖ από τις ευθείες ΔΑ και ΔΒ. Γράφεται ο κύκλος ΓΗΘ με κέντρο Β και διάστημα ΒΓ, και πάλι γράφεται ο κύκλος ΗΚΛ με κέντρο το Δ και διάστημα ΔΗ. Επειδή το σημείο Β είναι το κέντρο του ΓΗΘ, η ΒΓ είναι ίση με την ΒΗ. Πάλι, αφού το Δ σημείο είναι κέντρο του κύκλου ΗΚΛ, η ΔΛ είναι ίση με τη ΔΗ. Σύμφωνα με αυτά η ΔΑ είναι ίση με τη ΔΒ. Άρα η λοιπή ΑΛ είναι ίση της λοιπής ΒΗ. Αποδείχθηκε ότι και η ΒΓ ίση με την ΒΗ. Άρα καθεμία των ΑΛ, ΒΓ είναι ίση με την 6

7 ΒΗ. Αυτά που είναι ίσα στο ίδιο πράγμα είναι ίσα μεταξύ τους και άρα η ΑΛ είναι ίση με την ΒΓ. Άρα στο δοθέν σημείο Α κείται η ευθεία ΑΛ η οποία είναι ίση με την ΒΓ. Ο. Ε. Π. Πρόταση 3 Από δύο δοθείσες άνισες ευθείες να αφαιρεθεί από την μεγαλύτερη η μικρότερη. Θεωρούνται οι δύο άνισες δοθείσες ευθείες ΑΒ και Γ από τις οποίες μεγαλύτερη είναι η ΑΒ. Πρέπει λοιπόν να αφαιρέσουμε μία ευθεία ίση της μικρότερης Γ από τη μεγαλύτερη ΑΒ. Τοποθετείται στο σημείο Α ευθεία ΑΔ ίση με την Γ και γράφεται κύκλος ΔΕΖ με κέντρο το Α και διάστημα ΑΔ. Και επειδή το σημείο Α είναι κέντρο του κύκλου ΔΕΖ η ΑΕ είναι ίση της ΑΔ. Αλλά και η Γ είναι ίση με την ΑΔ. Καθεμία από τις ΑΕ, Γ είναι ίση με την ΑΔ. Επομένως και η ΑΕ είναι ίση με την Γ. 7

8 Άρα από δύο δοθείσες άνισες ευθείες ΑΒ, Γ από την μεγαλύτερη ΑΒ αφαιρείται ευθεία ΑΕ ίση με την μικρότερη Γ. Ο. Ε. Π. Πρόταση 4 Εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές και τις περιεχόμενες υπό των ίσων πλευρών γωνίες αντίστοιχα ίσες, τότε έχουν και τις βάσεις ίσες και τα δύο τρίγωνα είναι ίσα και οι λοιπές γωνίες από τις οποίες οι ίσες πλευρές υποτείνονται είναι αντίστοιχα ίσες με τις λοιπές γωνίες. Έστω δύο τρίγωνα τα ΑΒΓ, ΔΕΖ που έχουν τις δύο πλευρές ΑΒ, ΑΓ ίσες αντίστοιχα με τις ΔΕ, ΔΖ δηλαδή την ΑΒ με την ΔΕ και την ΑΓ με την ΔΖ. Και έστω ότι η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την ΕΔΖ. Λέγω ότι και η βάση ΒΓ είναι ίση με την βάση ΕΖ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ και οι λοιπές γωνίες από τις οποίες υποτείνονται οι ίσες πλευρές είναι αντίστοιχα ίσες με τις λοιπές γωνίες. Δηλαδή η ΑΒΓ είναι ίση με την ΔΕΖ και η ΑΓΒ είναι ίση με την ΔΖΕ. Εάν το τρίγωνο ΑΒΓ εφαρμοστεί επί του τριγώνου ΔΕΖ και το σημείο Α τεθεί στο σημείο Δ, και η ευθεία ΑΒ επί την ΔΕ, τότε το σημείο Β εφαρμόζει επί το σημείο Ε αφού η ΑΒ είναι ίση με την ΔΕ. Έτσι επειδή η ΑΒ εφαρμόζει επί την ΔΕ, η ευθεία ΑΓ εφαρμόζει επίσης επί την ΔΖ λόγω του ότι η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την ΕΔΖ. Ώστε και το σημείο Γ εφαρμόζει επί το Ζ επίσης διότι η ΑΓ είναι ίση με την ΔΖ. Αλλά και το σημείο Β εφαρμόζει επί το Ε, ώστε η βάση ΒΓ εφαρμόζει επί την βάση ΕΖ. Διότι εάν το Β εφαρμόσει επί το Ε και το Γ επί το Ζ, και η βάση ΒΓ δεν εφαρμοστεί επί την 8

9 ΕΖ, τότε δύο ευθείες γραμμές θα περιέχουν εμβαδόν, το οποίο είναι αδύνατο. Άρα, η βάση ΒΓ θα εφαρμόσει επί την ΕΖ και θα είναι ίση με αυτήν. Ώστε και όλο το ΑΒΓ τρίγωνο θα εφαρμόσει επί όλο το ΔΕΖ τρίγωνο και θα είναι ίσο με αυτό, κα οι λοιπές γωνίες θα εφαρμόσουν επί τις λοιπές γωνίες και θα είναι ίσες με αυτές, δηλαδή η ΑΒΓ θα είναι ίση με την ΔΕΖ και η ΑΓΒ με την ΔΖΕ. Εάν άρα δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές και τις περιεχόμενες υπό των ίσων πλευρών γωνίες αντίστοιχα ίσες, τότε έχουν και τις βάσεις ίσες και τα δύο τρίγωνα είναι ίσα και οι λοιπές γωνίες από τις οποίες οι ίσες πλευρές υποτείνονται είναι αντίστοιχα ίσες με τις λοιπές γωνίες. Ο. Ε. Δ. 2 Πρόταση 5 Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες των ισοσκελών τριγώνων είναι ίσες μεταξύ τους και αν οι ίσες πλευρές προεκταθούν τότε οι γωνίες κάτω από την βάση θα είναι ίσες μεταξύ τους. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ίση την πλευρά ΑΒ με την πλευρά ΑΓ και παράγονται από τις ευθείες ΑΒ, ΑΓ οι ευθείες ΒΔ, ΓΕ. Λέγω ότι η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με την ΑΓΒ και η ΓΒΔ με την ΒΓΕ. 2 ὅπερ ἔδει δεῖξαι 9

10 Λαμβάνεται τυχαίο σημείο Ζ επί της ΒΔ και αφαιρείται από την μεγαλύτερη ΑΕ η μικρότερη ΑΖ ίση με την ΑΗ και ενώνονται οι ευθείες ΖΓ, ΗΒ. Επειδή η ΑΖ είναι ίση με την ΑΗ και η ΑΒ με την ΑΓ, οι δύο ΖΑ, ΑΓ είναι ίσες με τις δύο ΗΑ, ΑΒ αντίστοιχα, και περιέχουν κοινή γωνία την ΖΑΗ. Άρα η βάση ΖΓ είναι ίση με την βάση ΗΒ και το τρίγωνο ΑΖΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΗΒ και οι λοιπές γωνίες από τις οποίες οι ίσες πλευρές υποτείνονται είναι ίσες με τις λοιπές γωνίες μία προς μία, δηλαδή η ΑΓΖ είναι ίση με την ΑΒΗ και η ΑΖΓ με την ΑΗΒ. Και επειδή όλη η ΑΖ είναι ίση με όλη την ΑΗ μεταξύ των οποίων η ΑΒ είναι ίση με την ΑΓ, άρα η λοιπή ΒΖ είναι ίση με την λοιπή ΓΗ, και αποδείχτηκε και η ΖΓ ίση με την ΗΒ. Άρα οι δύο λοιπόν ΒΖ, ΖΓ είναι ίσες με τι δύο ΓΗ, ΗΒ αντίστοιχα και η γωνία ΒΖΓ είναι ίση με την ΓΗΒ και κοινή βάση αυτών η ΒΓ. Και άρα το ΒΖΓ τρίγωνο είναι ίσο με το τρίγωνο ΓΗΒ και οι λοιπές γωνίες από τις οποίες οι ίσες πλευρές υποτείνονται θα είναι ίσες με τις λοιπές γωνίες αντίστοιχα, άρα είναι ίση η ΖΒΓ με την ΗΓΒ και η ΒΓΖ με την ΓΒΗ. Επειδή αποδείχθηκε ίση ολόκληρη η γωνία ΑΒΗ με ολόκληρη τη γωνία ΑΓΖ μεταξύ των οποίων η ΓΒΗ ίση με την ΒΓΖ, άρα η λοιπή ΑΒΓ είναι τελικά ίση με την λοιπή ΑΓΒ, και βρίσκονται ως προς την βάση του τριγώνου ΑΒΓ. Και αποδείχθηκε η ΖΒΓ ίση με την ΗΓΒ, και βρίσκονται κάτω από την βάση. Άρα οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελών τριγώνων είναι ίσες μεταξύ τους και αν οι ίσες πλευρές προεκταθούν τότε οι γωνίες κάτω από την βάση θα είναι ίσες μεταξύ τους. Ο.Ε. Δ. Πρόταση 6 Αν δύο γωνίες τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους τότε και οι πλευρές που υποτείνονται από τις ίσες γωνίες θα είναι ίσες μεταξύ τους. Έστω ΑΒΓ τρίγωνο από το οποίο έχει την γωνία ΑΒΓ ίση με την ΑΓΒ. Λέγω ότι και η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΑΓ. 10

11 Αν οι ΑΒ, ΑΓ είναι άνισες τότε μία από τις δύο είναι μεγαλύτερη. Έστω ΑΒ η μεγαλύτερη. Και έστω ΔΒ ίση με την μικρότερη ΑΓ που έχει αφαιρεθεί από την μεγαλύτερη ΑΒ και ενώνεται η ΔΓ. Επειδή η ΔΒ είναι ίση με την ΑΓ και η ΒΓ είναι κοινή, οι δύο λοιπόν ΔΒ, ΒΓ είναι ίσες με δύο ΑΓ, ΓΒ αντίστοιχα και η γωνία ΔΒΓ είναι ίση με την γωνία ΑΓΒ. Άρα η βάση ΔΓ είναι ίση με την βάση ΑΒ και το τρίγωνο ΔΒΓ θα είναι ίσο με το τρίγωνο ΑΓΒ το μικρότερο με το μεγαλύτερο, άτοπο. Άρα οι ΑΒ, ΑΓ δεν είναι άνισες. Άρα είναι ίσες. Άρα αν οι δύο γωνίες τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους, τότε και οι πλευρές που υποτείνονται από τις ίσες γωνίες είναι επίσης ίσες μεταξύ τους. Ο. Ε. Δ. Πρόταση 7 Επί της ίδιας ευθείας και με πέρατα αυτά της ευθείας, δεν μπορούν να κατασκευαστούν δύο ευθείες αντίστοιχα ίσες με δύο άλλες ευθείες που έχουν τα ίδια πέρατα, έτσι ώστε να συναντώνται σε διαφορετικό σημείο στο ίδιο μέρος της ευθείας. Γιατί αν είναι δυνατόν στην ίδια ευθεία ΑΒ, δύο άλλες ευθείες η ΑΔ, ΔΒ ίσες αντίστοιχα με τις ίδιες (δοσμένες) ευθείες ΑΓ, ΓΒ να συναντώνται σε διαφορετικά 11

12 σημεία το Γ, Δ επί τα αυτά μέρη έχοντας τα ίδια πέρατα. Ώστε να είναι ίση η ΓΑ με τη ΔΑ έχοντας το ίδιο πέρας Α με αυτήν και η ΓΒ είναι ίση με την ΔΒ έχοντας το ίδιο πέρας Β με αυτήν. Και έχει σχεδιαστεί η ΓΔ. Επειδή είναι ίση η ΑΓ με την ΑΔ, ίση είναι και η γωνία ΑΓΔ με την ΑΔΓ. Άρα η ΑΔΓ μεγαλύτερη από την ΔΓΒ. Άρα πολύ μεγαλύτερη είναι η ΓΔΒ από την ΔΓΒ. Πάλι αφού είναι ίση η ΓΒ με την ΔΒ είναι ίση και η γωνία ΓΔΒ με την γωνία ΔΓΒ και αποδείχτηκε μεγαλύτερη από αυτήν. Άρα επί της ίδιας ευθείας, δεν μπορούν να κατασκευαστούν σε διαφορετικό σημείο επί τα αυτά μέρη δύο άλλες ευθείες ίσες αντίστοιχα με δύο δοθείσες ευθείες που συναντιούνται αλλά έχοντας τα ίδια πέρατα όπως οι αρχικές ευθείες. Ο. Ε. Δ Πρόταση 8 Εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές ίσες αντίστοιχα και έχουν ίσες τις βάσεις, τότε θα έχουν ίσες και τις γωνίες που περιέχονται από τις ίσες ευθείες. Έστω δύο τρίγωνα τα ΑΒΓ, ΔΕΖ που έχουν ίσες τις δύο πλευρές ΑΒ, ΑΓ με τις δύο πλευρές ΔΕ, ΔΖ αντίστοιχα, την ΑΒ με την ΔΕ και την ΑΓ με την ΔΖ. Και τη βάση ΒΓ ίση με την βάση ΕΖ. Λέγω ότι και η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την γωνία ΕΔΖ. 12

13 Γιατί αν εφαρμοστεί το τρίγωνο ΑΒΓ στο τρίγωνο ΔΕΖ και θα τοποθετηθεί το σημείο Β στο σημείο Ε και η ευθεία ΒΓ επί την ΕΖ. Τότε το σημείο Γ θα εφαρμόσει επί το Ζ, επειδή η ΒΓ είναι ίση με την ΕΖ. Επειδή λοιπόν εφαρμόζει η ΒΓ επί την ΕΖ θα εφαρμόζουν και οι ΒΑ, ΓΑ στις ΕΔ και ΔΖ. Έστω ότι η βάση ΒΓ εφαρμόζει επί την βάση ΕΖ και οι πλευρές ΒΑ, ΑΓ δεν εφαρμόσουν επί των ΕΔ, ΔΖ αλλά διαφέρουν όπως οι ΕΗ, ΗΖ. Τότε θα έχουν δημιουργηθεί στην ίδια ευθεία δύο άλλες ευθείες ίσες με τις δοθείσες ευθείες αντίστοιχα σε διαφορετικό σημείο (να συναντιούνται) επί τα αυτά μέρη αλλά έχοντας ίδια πέρατα. Όμως δεν μπορούν να κατασκευαστούν. Άρα αν δεν εφαρμόζει η βάση ΒΓ επί την βάση ΕΖ δεν θα εφαρμόζουν και οι πλευρές ΒΑ, ΑΓ στις ΕΔ, ΔΖ. Όμως θα εφαρμόσουν. Άρα και η γωνία ΒΑΓ θα εφαρμόσει με την ΕΔΖ και θα είναι ίση με αυτήν. Άρα εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές ίσες με δύο πλευρές αντίστοιχα και τη βάση με τη βάση ίση και τη γωνία θα έχουν ίση με την γωνία που περιέχεται από τις ίσες ευθείες. Ο. Ε. Δ. Πρόταση 9 Να διχοτομηθεί δοθείσα ευθύγραμμη γωνία. 13

14 Έστω η δοθείσα ευθύγραμμη γωνία ΒΑΓ, τότε πρέπει να διχοτομηθεί. Λαμβάνεται επί της ΑΒ τυχαίο σημείο το Δ και αφαιρείται από την ΑΓ η ΕΔ ίση με την ΑΔ. Και ενώνεται η ΔΕ και κατασκευάζεται επί την ΔΕ το ισόπλευρο τρίγωνο ΔΕΖ. Και ενώνεται η ΑΖ. Λέγω ότι η ΒΑΓ γωνία θα διχοτομηθεί από την ευθεία ΑΖ. Επειδή είναι ίση η ΑΔ με την ΑΕ και είναι κοινή η ΑΖ, οι δύο ΔΑ, ΑΖ είναι ίσες με τις ΕΑ, ΑΖ αντίστοιχα και η βάση ΔΖ είναι ίση με τη βάση ΕΖ. Άρα η γωνία ΔΑΖ είναι ίση με την γωνία ΕΑΖ. Άρα η δοθείσα ευθύγραμμη γωνία ΒΑΓ έχει διχοτομηθεί από την ευθεία ΑΖ. Ο. Ε Π. 14

15 Πρόταση 10 Να διχοτομηθεί δοθείσα πεπερασμένη ευθεία. Έστω ΑΒ η δοθείσα πεπερασμένη ευθεία. Πρέπει να διχοτομηθεί η πεπερασμένη ευθεία ΑΒ. Έχει κατασκευαστεί σε αυτήν το ισόπλευρο τμήμα ΑΒΓ και η γωνία ΑΓΒ έχει διχοτομηθεί από την ευθεία ΓΔ. Λέω ότι η ευθεία ΑΒ διχοτομείται στο σημείο Δ. Επειδή η ΑΓ είναι ίση με την ΓΒ και είναι κοινή η ΓΔ, οι δύο ΑΓ, ΓΔ είναι ίσες με τις δύο ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα. Και η γωνία ΑΓΔ είναι ίση με την ΒΓΔ, άρα η βάση ΑΔ είναι ίση με την βάση ΒΔ. Άρα η δοθείσα πεπερασμένη ευθεία ΑΒ διχοτομείται στο Δ. Ο. Ε. Π. Πρόταση 11 Να αχθεί από δοθέν σημείο, μια ευθεία σε ορθή γωνία προς δοθείσα ευθεία. 15

16 Έστω ΑΒ η δοθείσα ευθεία και Γ το δοθέν σημείο σε αυτήν. Πρέπει από το Γ σημείο να φέρουμε σε ορθή γωνία ευθεία με την ευθεία ΑΒ. Λαμβάνεται επί την ΑΓ τυχαίο σημείο Δ και ας είναι η ΓΕ ίση με την ΓΔ και κατασκευάζεται επί της ΔΕ τρίγωνο ισόπλευρο το ΖΔΕ και ενώνεται η ΖΓ. Λέγω ότι η ευθεία γραμμή ΖΓ είναι σε ορθή γωνία με την δοθείσα ευθεία ΑΒ στο δοθέν σημείο Γ. Επειδή είναι ίση η ΔΓ με την ΓΕ και κοινή η ΓΖ πρέπει οι ΔΓ, ΓΖ να είναι ίσες με τις ΕΓ, ΓΖ αντίστοιχα, και η βάση ΔΖ να είναι ίση με την βάση ΖΕ. Άρα η γωνία ΔΖΓ είναι ίση με την γωνία ΕΓΖ και είναι παρακείμενες. Και όταν μια ευθεία τοποθετείται έτσι ώστε εφεξής γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθεμία από τις ίσες γωνίες είναι ορθή. Άρα ορθή είναι καθεμία από τις ΔΓΖ, ΖΓΕ. Άρα στη δοθείσα ευθεία ΑΒ από το δοθέν σημείο Γ προς αυτήν άχθηκε η ΓΖ. Ο. Ε. Π. Πρόταση 12 Να σχεδιαστεί κάθετη ευθεία επί δοθείσα άπειρη ευθεία, από δοθέν σημείο το οποίο δεν είναι πάνω σε αυτήν. 16

17 Έστω ΑΒ η άπειρη δοθείσα ευθεία και Γ το δοθέν σημείο το οποίο δεν είναι πάνω σε αυτήν. Πρέπει επί τη άπειρη δοθείσα ευθεία ΑΒ από το δοθέν σημείο Γ το οποίο δεν βρίσκεται σε αυτήν, να φέρουμε κάθετη ευθεία γραμμή. Λαμβάνεται επί την άλλη πλευρά της ΑΒ ευθείας τυχαίο σημείο το Δ και κέντρο το Γ και διάστημα το ΓΔ. Γράφεται ο κύκλος ΕΖΗ. Και η ευθεία ΕΗ διχοτομείται στο Θ και συνδέονται οι ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ ευθείες. Λέγω ότι επί τη δοθείσα άπειρη ευθεία ΑΒ από ο δοθέν σημείο Γ το οποίο δεν βρίσκεται πάνω σε αυτήν, είναι κάθετη η ΓΘ. Επειδή η ΗΘ είναι ίση με την ΘΕ και είναι κοινή η ΘΓ, οι δύο ΗΘ, ΘΓ είναι ίσες με τις δύο ΕΘ, ΘΓ αντίστοιχα. Και η βάση ΓΗ είναι ίση με την βάση ΓΕ άρα η γωνία ΓΘΗ είναι ίση με την γωνία ΕΘΓ και είναι εφεξής. Και όταν ευθεία που τοποθετείται σε ευθεία δημιουργεί τις εφεξής γωνίες ίσες μεταξύ τους, καθεμία από τις ίσες γωνίες είναι ορθή και η ευθεία που τοποθετείται πάνω καλείται κάθετος σε αυτή που τοποθετείται. Άρα επί τη δοθείσα άπειρη ευθεία ΑΒ από του δοθέντος σημείου Γ το οποίο δεν βρίσκεται πάνω σε αυτήν, άχθηκε η κάθετος ΓΘ. Ο. Ε. Π. 17

18 Πρόταση 13 Αν μια ευθεία τοποθετείται σε ευθεία και δημιουργεί γωνίες, τότε είτε οι γωνίες είναι ορθές ή το άθροισμα τους ίσο με δύο ορθές. Διότι αν η ευθεία ΑΒ τοποθετηθεί στην ευθεία ΓΔ δημιουργεί τις ΓΒΑ, ΑΒΔ. Λέγω ότι οι γωνίες ΓΒΑ, ΑΒΔ είναι ορθές ή το άθροισμα τους είναι ίσο με δύο ορθές. Αν η ΓΒΑ είναι ίση με την ΑΒΔ, τότε το άθροισμα τους είναι ίσο με δύο ορθές. Αν δεν είναι, άγεται από το σημείο Β σε ορθή γωνία με την ευθεία ΓΔ η ευθεία ΒΕ. Άρα το άθροισμα των ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι δύο ορθές και εφόσον η ΓΒΕ είναι ίση με το άθροισμα των ΓΒΑ, ΑΒΕ προσθέτοντας την ΕΒΔ προκύπτει ότι το άθροισμα των ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι ίσο με το άθροισμα των ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔ. Πάλι εφόσον η ΔΒΑ είναι ίση με το άθροισμα των ΔΒΕ, ΕΒΑ προσθέτοντας την ΑΒΓ. Άρα το άθροισμα των ΔΒΑ, ΑΒΓ είναι ίσο με το άθροισμα των ΔΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓ και αποδείχτηκαν ίσες οι ΓΒΕ,ΕΒΔ με τις τρεις αυτές ίσες. Τα ίσα με αυτά είναι ίσα και μεταξύ τους και άρα η ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι ίσες με τις ΔΒΑ, ΑΒΓ αλλά το άθροισμα των ΓΒΕ, ΕΒΔ είναι δύο ορθές και άρα το άθροισμα των ΔΒΑ, ΑΒΓ είναι ίσο με δύο ορθές. Άρα αν λοιπόν μια ευθεία τοποθετείται σε μία ευθεία δημιουργεί γωνίες οι οποίες είναι είτε η καθεμία ορθή ή το άθροισμα τους ίσο με δύο ορθές. Ο. Ε. Δ. 18

19 Πρόταση 14 Εάν δύο ευθείες που δεν κείνται επί τα αυτά μέρη, προς κάποια ευθεία και σε κάποιο σημείο της κάνουν το άθροισμα των εφεξής γωνιών ίσο με δύο ορθές, τότε οι ευθείες βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Έστω ότι προς κάποια ευθεία ΑΒ και προς το σημείο της Β σε δύο ευθείες ΒΓ, ΒΔ που δεν κείνται επί τα αυτά μέρη κάνουν το άθροισμα των εφεξής γωνιών ΑΒΓ, ΑΒΔ ίσο με δύο ορθές. Διότι αν η ΒΔ δεν ήταν στην ίδια ευθεία με την ΒΓ, έστω ότι η ΒΕ είναι στην ίδια ευθεία με την ΓΒ. Επειδή η ευθεία ΑΒ βρίσκεται στην ευθεία ΓΒΕ, το άθροισμα των γωνιών ΑΒΓ και ΑΒΕ είναι ίσο με δύο ορθές. Άρα και το άθροισμα των ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσο με δύο ορθές. Άρα το άθροισμα των ΓΒΑ και ΑΒΕ είναι ίσο με το άθροισμα των ΓΒΑ και ΑΒΔ. Η κοινή ΓΒ αφαιρείται. Άρα η λοιπή ΑΒΕ είναι ίση με τη λοιπή ΑΒΔ, δηλαδή η μικρότερη με τη μεγαλύτερη. Το οποίο είναι αδύνατο. Συνεπώς η ΒΕ δεν είναι στην ίδια ευθεία με την ΓΒ. Ομοίως μπορούμε να δείξουμε ότι καμία άλλη δεν υπάρχει εκτός της ΒΔ. Άρα η ΓΒ είναι σε ευθεία με την ΒΔ. 19

20 Άρα εάν δύο ευθείες δεν κείνται επί τα αυτά μέρη, προς κάποια ευθεία και σε κάποιο σημείο της κάνουν το άθροισμα των εφεξής γωνιών ίσο με δύο ορθές, τότε οι ευθείες βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Ο. Ε. Δ. Πρόταση 15 Αν δύο ευθείες τέμνονται μεταξύ τους, οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Έστω ότι οι δύο ευθείες ΑΒ, ΓΔ τέμνονται μεταξύ τους στο σημείο Ε. Ισχυρίζομαι ότι η γωνία ΑΕΓ είναι ίση με τη (γωνία) ΔΕΒ και η (γωνία) ΓΕΒ με την ΑΕΔ. 20

21 Επειδή η ευθεία ΑΕ τέμνει την ευθεία ΓΔ, δημιουργώντας τις γωνίες ΓΕΔ, ΑΕΔ, οι γωνίες ΓΕΔ ΑΕΔ (το άθροισμα) είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες. Ξανά, καθώς η ευθεία ΔΕ τέμνει την ευθεία ΑΒ δημιουργώντας τις γωνίες ΑΕΔ και ΔΕΒ, οι γωνίες ΑΕΔ και ΔΕΒ (το άθροισμα) είναι ίσες με δύο ορθές γωνίες. Αλλά, οι ΓΕΑ και ΑΕΔ γωνίες (άθροισμα) εδείχθησαν ίσες με δύο ορθές γωνίες. Κατ αυτόν τον τρόπο, το άθροισμα ΓΕΑ και ΑΕΔ γωνιών είναι ίσο με το άθροισμα των ΑΕΔ και ΔΕΒ γωνιών. Έστω ότι η ΑΕΔ έχει αφαιρεθεί και από τις δύο. Κατ αυτόν τον τρόπο, το υπόλοιπο ΓΕΑ είναι ίσο με το υπόλοιπο ΒΕΔ. Ομοίως, μπορεί να δειχθεί ότι ΓΕΒ και ΔΕΑ είναι επίσης ίσες. Άρα, εάν δύο ευθείες τέμνονται μεταξύ τους, τότε δημιουργούν κατακορυφήν γωνίες ίσες μεταξύ τους. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 16 Σε κάθε τρίγωνο, όταν μια πλευρά παράγεται, η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε εσωτερική και απέναντι γωνίες. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ, και έστω μια από τις πλευρές του, η ΒΓ, προεκταμένη στο Δ. Ισχυρίζομαι ότι η εξωτερική γωνία ΑΓΔ είναι μεγαλύτερη από την κάθε εσωτερική και απέναντι γωνίες ΓΒΑ και ΒΑΓ. 21

22 Έστω ότι η ΑΓ διχοτομείται στο Ε και συνδέεται η ΒΕ και προεκτείνεται η ευθεία στο Ζ. Και έστω η ΕΖ ίση με ΒΕ και συνδέεται η ΖΓ, και προεκτείνεται η ΑΓ στο Η. Γι αυτό, εφόσον η ΑΕ είναι ίση με ΕΓ και η ΒΕ με την ΕΒ, οι δύο (ευθείες) ΑΕ, ΕΒ είναι ίσες με τις δύο ευθείες ΓΕ, ΕΖ, αντίστοιχα. Επίσης, η γωνία ΑΕΒ είναι ίση με τη γωνία ΖΕΓ, ως κατακορυφήν. Άρα, η βάση ΑΒ είναι ίση με τη βάση ΖΓ και το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ίσο με το τρίγωνο ΖΕΓ και οι λοιπές γωνίες από τις οποίες υποτείνονται οι ίσες πλευρές είναι ίσες με τις αντίστοιχες λοιπές γωνίες. Κατά συνέπεια, η ΒΑΕ είναι ίση με την ΕΓΖ. Αλλά η ΕΓΔ είναι μεγαλύτερη από την ΕΓΖ. Άρα η ΑΓΔ είναι μεγαλύτερη από την ΒΑΕ. Ομοίως, διχοτομώντας την ΒΓ, μπορεί να δειχθεί ότι η ΒΓΗ, ή αλλιώς η ΑΓΔ, είναι επίσης μεγαλύτερη από την ΑΒΓ. Άρα, σε κάθε τρίγωνο όταν μια πλευρά προεκτείνεται, η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε εσωτερική και απέναντι γωνίες. Ο.Ε.Δ. 22

23 Πρόταση 17 Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα του συνδυασμού δυο οποιονδήποτε γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ. Λέγω ότι το άθροισμα του συνδυασμού δυο οποιονδήποτε γωνιών του ΑΒΓ είναι μικρότερο των δύο ορθών. Έστω ότι η ΒΓ προεκτείνεται στο Δ. Και εφόσον η γωνία ΑΓΔ είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΒΓ, είναι μεγαλύτερη από την εσωτερική και την απέναντι γωνία ΑΒΓ. Έστω ΑΓΒ έχει προστεθεί και στις δύο. Άρα το άθροισμα των ΑΓΔ και ΑΓΒ είναι μεγαλύτερο του ΑΒΓ και ΒΓΑ. Αλλά, το άθροισμα των ΑΓΔ και ΑΓΒ είναι ίσο με δυο ορθές. Άλλα, το άθροισμα των ΑΒΓ και ΑΓΒ είναι μικρότερο των δύο ορθών. Ομοίως, μπορούμε να δείξουμε ότι το άθροισμα των ΒΑΓ και ΑΓΒ είναι επίσης μικρότερο των δύο ορθών. Παρόμοια για το άθροισμα των ΓΑΒ και ΑΒΓ. Άρα, σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα του συνδυασμού δυο οποιονδήποτε γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. Ο.Ε.Δ. 23

24 Πρόταση 18 Σε κάθε τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά υποτείνει στην μεγαλύτερη γωνία. Έστω ΑΒΓ τρίγωνο, έχοντας την πλευρά ΑΓ μεγαλύτερη από την ΑΒ. Ισχυρίζομαι ότι η γωνία ΑΒΓ είναι επίσης μεγαλύτερη από την ΒΓΑ. Έστω ΑΓ μεγαλύτερη από ΑΒ και ΑΔ ίση με ΑΒ και συνδέεται η ΒΔ. Εφόσον η γωνία ΑΔΒ είναι εξωτερική του τριγώνου ΒΓΔ, είναι μεγαλύτερη από την εσωτερική και απέναντι γωνία ΔΓΒ. Αλλά ΑΔΒ είναι ίση με την ΑΒΔ, αφού η ΑΒ είναι επίσης ίση με την ΑΔ. Άρα ΑΒΔ είναι επίσης μεγαλύτερη από την ΑΓΒ. Ακόμη ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη από την ΑΓΒ. Άρα, σε κάθε τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά υποτείνεται στην μεγαλύτερη γωνία. Ο.Ε.Δ. 24

25 Πρόταση 19 Σε κάθε τρίγωνο, από τη μεγαλύτερη γωνία, υποτείνει η μεγαλύτερη πλευρά. Έστω ΑΒΓ τρίγωνο έχοντας την γωνία ΑΒΓ μεγαλύτερη από την ΒΓΑ. Ισχυρίζομαι ότι η πλευρά ΑΓ είναι επίσης μεγαλύτερη από την πλευρά ΑΒ. Αν δεν είναι, η ΑΓ είναι είτε ίση, είτε μεγαλύτερη της ΑΒ. Πράγματι, η ΑΓ δεν είναι ίση με την ΑΒ. Γιατί τότε η γωνία ΑΒΓ θα ήταν ίση της ΑΓΒ. Αλλά δεν είναι. Γι αυτό η ΑΓ δεν είναι ίση της ΑΒ. Ούτε, είναι η ΑΓ μικρότερη της ΑΒ. Αλλά δείχτηκε ότι ούτε η ΑΓ είναι ίση με την ΑΒ. Άρα η ΑΓ είναι μεγαλύτερη της ΑΒ. Άρα, σε κάθε τρίγωνο από τη μεγαλύτερη γωνία υποτείνει η μεγαλύτερη πλευρά. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 20 25

26 Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα δυο οποιονδήποτε πλευρών είναι μεγαλύτερο από την λοιπή πλευρά. Έστω ΑΒΓ τρίγωνο. Λέγω ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το άθροισμα δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την λοιπή πλευρά. Οπότε το άθροισμα ΒΑ και ΑΓ είναι μεγαλύτερο της ΒΓ, το άθροισμα των ΑΒ και ΒΓ είναι μεγαλύτερο της ΑΓ, το άθροισμα των ΒΓ και ΓΑ είναι μεγαλύτερο της ΑΒ. Έστω ότι ΒΑ προεκτείνεται στο Δ, η ΑΔ είναι ίση της ΓΑ και συνδέεται η ΔΓ. Άρα, αφού η ΔΑ είναι ίση της ΑΓ η γωνία ΑΔΓ είναι ίση της ΑΓΔ. Άρα, η ΒΓΔ είναι μεγαλύτερη της ΑΔΓ. Εφόσον το ΔΓΒ είναι ένα τρίγωνο που έχει την γωνία ΒΓΔ μεγαλύτερη της ΒΔΓ και αφού η μεγαλύτερη γωνία υποτείνεται στην μεγαλύτερη πλευρά, άρα η ΒΔ είναι μεγαλύτερη της ΒΓ. Αλλά ΔΑ είναι ίση της ΑΓ. Άρα, το 26

27 άθροισμα ΒΑ και ΑΓ είναι μεγαλύτερο της ΒΓ. Ομοίως, μπορούμε να δείξουμε ότι ΑΒ και ΒΓ είναι μεγαλύτερο της ΓΑ, και ΒΓ και ΓΑ της ΑΒ. Οπότε, σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα δύο οποιονδήποτε πλευρών είναι μεγαλύτερο της λοιπής πλευράς. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 21 Εάν σε τρίγωνο δύο εσωτερικές ευθείες είναι κατασκευασμένες σε μια πλευρά του τριγώνου, από τα άκρα της, οι ευθείες είναι μικρότερες από τις δυο λοιπές πλευρές του τριγώνου, αλλά περικλείουν μεγαλύτερη γωνία. Έστω οι δύο εσωτερικές ευθείες ΒΔ και ΔΓ κατασκευασμένες στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ, από τα άκρα Β και Γ αντίστοιχα. Λέγω ότι το άθροισμα των ΒΔ και ΔΓ είναι μικρότερο από το άθροισμα των δυο λοιπών πλευρών του τριγώνου ΒΑ και ΑΓ, αλλά περικλείουν γωνία ΒΔΓ μεγαλύτερη από την ΒΑΓ. 27

28 Έστω ότι η ΒΔ προεκτείνεται στο Ε. Εφόσον σε ένα τρίγωνο το άθροισμα δυο πλευρών είναι μεγαλύτερο από την υπολειπόμενη, στο τρίγωνο ΑΒΕ το άθροισμα των πλευρών ΑΒ και ΑΕ είναι μεγαλύτερο της ΒΕ. Έστω ότι προστίθεται ΕΓ και στις δυο. Άρα το άθροισμα ΒΑ και ΑΓ είναι μεγαλύτερο του αθροίσματος των ΒΕ και ΕΓ. Πάλι,στο τρίγωνο ΓΕΔ το άθροισμα των πλευρών ΓΕ και ΕΔ είναι μεγαλύτερο της ΓΔ, έχοντας προσθέσει την ΔΒ και στις δύο. Οπότε το άθροισμα ΓΕ και ΕΒ είναι μεγαλύτερο του αθροίσματος των ΓΔ και ΔΒ. Αλλά, το άθροισμα των ΒΑ και ΑΓ δείχτηκε μεγαλύτερο του αθροίσματος των ΒΕ και ΕΓ. Άρα το άθροισμα ΒΑ και ΑΓ είναι μεγαλύτερο του αθροίσματος των ΒΔ και ΔΓ. Πάλι, εφόσον σε ένα τρίγωνο η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από τις εσωτερικές και απέναντι γωνίες, στο τρίγωνο ΓΔΕ η εξωτερική γωνία ΒΔΓ είναι επομένως μεγαλύτερη της ΓΕΔ. Εξίσου, για τον ίδιο λόγο, η εξωτερική γωνία ΓΕΒ του τριγώνου ΑΒΕ είναι επίσης μεγαλύτερη της ΒΑΓ. Αλλά, η ΒΔΓ δείχτηκε μεγαλύτερη της ΓΕΒ. Κατά συνέπεια, ΒΔΓ είναι πολύ μεγαλύτερη της ΒΑΓ. Οπότε, εάν δύο εσωτερικές ευθείες είναι κατασκευασμένες σε μια πλευρά ενός τριγώνου, από τα άκρα της, οι ευθείες είναι μικρότερες από τις δύο λοιπές πλευρές του τριγώνου, αλλά περικλείουν μεγαλύτερη γωνία. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 22 Για να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο από τρείς δοθείσες ευθείες, πρέπει το άθροισμα των δύο οποιονδήποτε ευθειών να είναι μεγαλύτερο από την λοιπή πλευρά, [σύμφωνα με το ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα δυο οποιονδήποτε πλευρών είναι μεγαλύτερο από την λοιπή πλευρά.]. Έστω Α,Β,Γ οι τρείς δοσμένες ευθείες από τις οποίες το άθροισμα των δυο οποιονδήποτε ευθειών είναι μεγαλύτερο της λοιπής. Άρα, το άθροισμα των Α και Β 28

29 είναι μεγαλύτερο της Γ, των Α και Γ της Β και επίσης των Β και Γ της Α. Οπότε ζητείται να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο από ευθείες ίσες των Α,Β και Γ. Έστω ορισμένη ευθεία ΔΕ, με άκρο το Δ και έστω ότι εκτείνεται στην κατεύθυνση του Ε απεριόριστα. Έστω ΔΖ ίση της Α, ΖΗ ίση της Β και ΗΘ ίση της Γ. Έστω ότι γράφεται κύκλος ΔΚΛ με κέντρο το Ζ και ακτίνα ΖΔ. Ξανά, έστω ότι γράφεται κύκλος ΚΛΘ με κέντρο το Η και ακτίνα ΗΘ. Έστω ότι συνδέονται οι ΚΖ και ΚΗ. Λέγω ότι το τρίγωνο ΚΖΗ έχει κατασκευαστεί από τρείς ευθείες ίσες των Α, Β και Γ. Εφόσον το σημείο Ζ είναι το κέντρο του κύκλου ΔΚΛ, η ΖΔ είναι ίση της ΖΚ. Αλλά, ΖΔ είναι ίση της Άρα, ΚΖ είναι επίσης ίση της Α. Πάλι, εφόσον το σημείο Η είναι το κέντρο του κύκλου ΛΚΘ, η ΗΘ είναι ίση της ΗΚ. Αλλά, η ΗΘ είναι ίση της Γ. Οπότε ΚΗ είναι επίσης ίση της Γ και ΖΗ είναι επίσης ίση του Β. Άρα, οι τρείς ευθείες ΚΖ, ΖΗ και ΗΚ είναι ίσες των Α,Β,Γ αντίστοιχα. 29

30 Άρα το τρίγωνο ΚΖΗ έχει κατασκευαστεί από τις τρείς ευθείες ΚΖ, ΖΗ και ΗΚ, που είναι ίσες των τριών δοσμένων ευθειών Α, Β, Γ αντίστοιχα. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 23 Nα κατασκευαστεί μια ευθύγραμμη γωνία ίση με μια δοσμένη ευθύγραμμη γωνία, σε ένα δεδομένο σημείο μιας δοθείσας ευθείας. Έστω ΑΒ η δοθείσα ευθεία, Α το δοθέν σημείο πάνω της και ΔΓΕ η δοθείσα ευθύγραμμη γωνία. Οπότε ζητείται να κατασκευαστεί μια ευθύγραμμη γωνία ίση της ευθύγραμμης γωνίας ΔΓΕ στο δοθέν σημείο Α της δοθείσας ευθείας ΑΒ. Έστω τα σημεία Δ και Ε τυχαία επάνω στις ευθείες ΓΔ και ΓΕ αντίστοιχα και έστω ότι συνδέεται η ΔΕ. Έστω το τρίγωνο ΑΖΗ κατασκευασμένο από τρείς ευθείες που 30

31 είναι ίσες με τις ΓΔ, ΔΕ και ΓΕ, όντας έτσι ΓΔ είναι ίση της ΑΖ, ΓΕ της ΑΗ και συνεχίζοντας ΔΕ της ΖΗ. Άρα εφόσον οι δυο ευθείες ΔΓ, ΓΕ είναι ίσες με τις ευθείες ΖΑ, ΑΗ αντίστοιχα και η βάση ΔΕ είναι ίση με τη βάση ΖΗ, η γωνία ΔΓΕ είναι άρα ίση με τη γωνία ΖΑΗ. Άρα, η ευθύγραμμη γωνία ΖΑΗ είναι ίση με την δοθείσα ευθύγραμμη γωνία ΔΓΕ, και έχει κατασκευαστεί στο δοθέν σημείο Α της δοθείσας ευθείας ΑΒ. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 24 Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο ίσες πλευρές με δύο ίσες πλευρές αντίστοιχα, αλλά το ένα έχει την περιεχόμενη από τις ίσες ευθείες γωνία μεγαλύτερη από την αντίστοιχη γωνία του άλλου, τότε το πρώτο τρίγωνο θα έχει βάση μεγαλύτερη από τη βάση του άλλου. Έστω ΑΒΓ και ΔΕΖ δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ΑΒ και ΑΓ ίσες με τις δύο πλευρές ΔΕ και ΔΖ αντίστοιχα. Δηλαδή η ΑΒ είναι ίση με την ΔΕ και η ΑΓ με την ΔΖ. Έστω επίσης να έχουν τη γωνία στο Α μεγαλύτερη από τη γωνία στο Δ. Λέγω ότι η βάση ΒΓ είναι επίσης μεγαλύτερη από τη βάση ΕΖ. 31

32 Δεδομένου ότι η γωνία ΒΑΓ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία ΕΔΖ, έστω ότι η γωνία ΕΔΗ, που έχει κατασκευαστεί στο σημείο Δ της ευθείας ΔΕ, είναι ίση με τη γωνία ΒΑΓ. Έστω ότι η ΔΗ είναι ίση είτε με την ΑΓ είτε με την ΔΖ και συνδέονται οι ΕΗ και ΖΗ. Άρα, εφόσον η ΑΒ είναι ίση με την ΔΕ και η ΑΓ με την ΔΗ, οι δύο ευθείες ΒΑ, ΑΓ είναι ίσες με τις δύο ευθείες ΕΔ, ΔΗ αντίστοιχα. Ακόμη η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με τη γωνία ΕΑΓ. Οπότε, η βάση ΒΓ είναι ίση με τη βάση ΕΗ. Πάλι εφόσον ΔΖ είναι ίση με ΔΗ, η γωνία ΔΗΖ είναι επίσης ίση με την γωνία ΔΖΗ. Άρα η ΔΗΖ είναι μεγαλύτερη από την ΕΗΖ. Επομένως, η ΕΖΗ είναι μεγαλύτερη από την ΕΗΖ. Και αφού το τρίγωνο ΕΖΗ έχει γωνία ΕΖΗ μεγαλύτερη από την ΕΗΖ, και η μεγαλύτερη γωνία υποτείνεται από την μεγαλύτερη πλευρά, η πλευρά ΕΗ είναι επίσης μεγαλύτερη από την ΕΗ. Αλλά ΕΗ είναι μεγαλύτερη της ΒΓ. Οπότε, ΒΓ είναι επίσης μεγαλύτερη από την ΕΖ. 32

33 Άρα εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες, αλλά στο ένα η γωνία που περιέχεται από τις ίσες ευθείες είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη γωνία του άλλου, τότε θα έχει επίσης βάση μεγαλύτερη από τη βάση του άλλου. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 25 Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες, αλλά το ένα έχει βάση μεγαλύτερη από τη βάση του άλλου, τότε το πρώτο τρίγωνο επίσης θα έχει την γωνία που περιέχεται στις ίσες ευθείες μεγαλύτερη από την αντίστοιχη γωνία στου άλλου. Έστω ΑΒΓ και ΔΕΖ δύο τρίγωνα που έχουν τις δύο πλευρές ΑΒ και ΑΓ ίσες με τις δύο πλευρές ΔΕ και ΔΖ, αντίστοιχα. Δηλαδή ΑΒ ίση με ΔΕ και ΑΓ με ΔΖ. Έστω η βάση ΒΓ μεγαλύτερη από τη βάση ΕΖ. Ισχυρίζομαι ότι η γωνία ΒΑΓ είναι επίσης μεγαλύτερη από την ΕΔΖ. 33

34 Εάν όχι, τότε η ΒΑΓ είναι σίγουρα είτε ίση είτε μικρότερη από την ΕΔΖ. Πράγματι, ΒΑΓ δεν είναι ίση με την ΕΔΖ. Διότι τότε η βάση ΒΓ θα ήταν επίσης ίση με τη βάση ΕΖ, αλλά δεν είναι. Άρα η γωνία ΒΑΓ δεν είναι ίση με την ΕΔΖ. Πράγματι, ούτε η ΒΑΓ είναι μικρότερη από την ΕΔΖ. Διότι τότε η βάση ΒΓ θα ήταν επίσης μικρότερη από τη βάση ΕΖ, αλλά δεν είναι. Οπότε η γωνία ΒΑΓ δεν είναι μικρότερη από την ΕΔΖ. Αλλά δείχτηκε ότι η ΒΑΓ δεν είναι ίση ούτε με την ΕΔΖ. Άρα η ΒΑΓ είναι μεγαλύτερη από την ΕΔΖ. Άρα, εάν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές ίσες αντίστοιχα, αλλά το ένα έχει βάση μεγαλύτερη από τη βάση του άλλου, τότε το πρώτο τρίγωνο θα έχει την γωνία που περιέχεται από τις ίσες ευθείες μεγαλύτερη από την αντίστοιχη γωνία του άλλου. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 26 Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες αντίστοιχα ίσες, και μια πλευρά αντίστοιχα ίση, (για την ακρίβεια, είτε αυτή που είναι ανάμεσα από τις ίσες γωνίες είτε αυτή που υποτείνεται από μια από τις ίσες γωνίες) τότε τα τρίγωνα θα έχουν επίσης τις λοιπές πλευρές αντίστοιχα ίσες, και τη λοιπή γωνία αντίστοιχα ίση. Έστω ΑΒΓ και ΔΕΖ δύο τρίγωνα που έχουν τις δύο γωνίες ΑΒΓ και ΔΓΑ ίσες με τις δύο γωνίες ΔΕΖ και ΕΖΔ, αντίστοιχα. Δηλαδή, ότι ΑΒΓ ίση με την ΔΕΖ και ΔΓΑ με ΕΖΔ. Έστω επίσης ότι έχουν μια πλευρά ίση με μια πλευρά. Ας είναι η πλευρά ανάμεσα στις ίσες γωνίες, δηλαδή η ΒΓ είναι ίση με την ΕΖ. Λέγω ότι θα έχουν τις λοιπές πλευρές ίσες με τις αντίστοιχες λοιπές πλευρές. Δηλαδή, η ΑΒ είναι ίση με ΔΕ και η ΑΓ ίση με την ΔΖ. Και θα έχουν την λοιπή γωνία ίση με την λοιπή γωνία. Δηλαδή, τη ΒΑΓ ίση με την ΕΔΖ. 34

35 Εάν ΑΒ δεν είναι ίση με την ΔΕ τότε μια από αυτές είναι μεγαλύτερη. Έστω ΑΒ να είναι μεγαλύτερη και έστω ΒΓ να είναι ίση με την ΔΕ και συνδέεται η ΗΓ. Άρα, εφόσον ΒΗ είναι ίση με την ΔΕ και ΔΓ με ΕΖ, οι δύο ευθείες ΗΒ, ΒΓ είναι ίσες με τις δύο ευθείες ΔΕ, ΕΖ αντίστοιχα. Και η γωνία ΗΒΓ είναι ίση με τη γωνία ΔΕΖ. Οπότε η βάση ΒΓ είναι ίση με τη βάση ΔΖ και το τρίγωνο ΗΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ και οι λοιπές γωνίες που υποτείνονται στις ίσες πλευρές θα είναι ίσες με τις αντίστοιχες λοιπές γωνίες. Άρα, ΗΓΒ είναι ίση με ΔΖΕ. Αλλά ΔΖΕ υποτίθεται ότι είναι ίση με την ΒΓΑ. Άρα ΒΓΗ είναι επίσης ίση με την ΒΓΑ, δηλαδή η μικρότερη με τη μεγαλύτερη, το οποίο είναι άτοπο. Άρα οι ΑΒ,ΔΕ δεν είναι άνισες, άρα είναι ίσες. Και η ΒΓ είναι επίσης ίση με την ΕΖ. Οπότε, οι δύο ευθείες ΑΒ, ΒΓ είναι ίσες με τις δύο ευθείες ΔΕ, ΕΖ, αντίστοιχα. Και η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με τη γωνία ΔΕΖ. Άρα, η βάση ΑΓ είναι ίση με τη βάση ΔΖ και η λοιπή γωνία ΒΗΓ είναι ίση με την λοιπή γωνία ΕΔΖ. Αλλά, πάλι, έστω ότι οι δύο πλευρές που υποτείνονται απ τις δύο ίσες γωνίες είναι ίσες: για παράδειγμα, έστω ΑΒ ίση με ΔΕ. Πάλι, λέγω ότι οι λοιπές πλευρές είναι ίσες με τις λοιπές πλευρές. Δηλαδή, η ΑΓ ίση με την ΔΖ και η ΒΓ με την ΕΖ. Συνεχίζοντας, η λοιπή γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την λοιπή γωνία ΕΔΖ. 35

36 Εάν οι ΒΓ,ΕΖ είναι άνισες τότε μια από αυτές θα είναι μεγαλύτερη. Εάν γίνεται, έστω ΒΓ μεγαλύτερη. Η ΒΘ είναι ίση με την ΕΖ και συνδέεται η ΑΘ. Εφόσον η ΒΘ είναι ίση με ΕΖ και ΑΒ με ΔΕ, οι δύο ευθείες ΑΒ, ΒΘ είναι ίσες με τις δύο ευθείες ΔΕ, ΕΖ, αντίστοιχα, και οι γωνίες που περιέχουν είναι επίσης ίσες. Άρα η βάση ΑΘ είναι ίση με τη βάση ΔΖ και το τρίγωνο ΑΒΘ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ και οι λοιπές γωνίες που υποτείνουν στις ίσες πλευρές θα είναι ίσες με τις αντίστοιχες λοιπές γωνίες. Άρα η γωνία ΒΘΑ είναι ίση με την ΕΖΔ. Αλλά, η ΕΖΔ είναι ίση με την ΒΓΑ. Οπότε στο τρίγωνο ΑΘΓ η εξωτερική γωνία ΒΘΑ είναι ίση με την εσωτερική και απέναντι γωνία ΒΓΑ, πράγμα που είναι αδύνατο. Άρα η ΒΓ,ΕΖ δεν είναι άνισες, κατά συνέπεια είναι ίσες. Και ΑΒ είναι επίσης ίση με ΔΕ. Οπότε οι δύο ευθείες ΑΒ, ΒΓ είναι ίσες με τις δύο ευθείες ΔΕ, ΕΖ, αντίστοιχα, και περιέχουν ίσες γωνίες. Άρα η βάση ΑΓ είναι ίση με τη βάση ΔΖ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ και η λοιπή γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την λοιπή γωνία ΕΔΖ. Άρα, εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες αντίστοιχα ίσες, και μια αντίστοιχη πλευρά ίση, (για την ακρίβεια, είτε αυτή που είναι ανάμεσα από τις ίσες γωνίες είτε αυτή που υποτείνεται από μια από τις ίσες γωνίες) τότε τα τρίγωνα θα έχουν επίσης τις λοιπές πλευρές αντίστοιχα ίσες, και την λοιπή γωνία ίση με την λοιπή γωνία. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 27 Εάν μια ευθεία εμπίπτει σε δύο ευθείες έτσι ώστε οι εναλλάξ γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, τότε οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες μεταξύ τους. Έστω ότι η ευθεία ΕΖ εμπίπτει στις ευθείες ΑΒ και ΓΔ και φτιάχνει εναλλάξ γωνίες ΑΕΖ και ΕΖΔ ίσες μεταξύ τους. Λέγω ότι οι ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες. 36

37 Εάν δεν είναι, καθώς προεκτείνονται οι ΑΒ και ΓΔ θα συναντηθούν : είτε στο μέρος των Β και Δ είτε στο μέρος των Α και Γ. Έστω ότι έχουν προεκταθεί και έχουν συναντηθεί στο μέρος των Β και Δ στο σημείο Η. Οπότε, στο τρίγωνο ΗΕΖ η εξωτερική γωνία ΑΕΖ είναι ίση με την εσωτερική και απέναντι ΕΖΗ, πράγμα που είναι άτοπο. Άρα, προεκταμένες οι ΑΒ και ΓΔ δεν θα συναντηθούν στο μέρος των Β και Δ. Ομοίως μπορεί να δειχτεί ότι ούτε θα συναντηθούν στο μέρος των Α και Γ. Αλλά, ευθείες που δεν συναντώνται στο ίδιο μέρος είναι παράλληλες. Άρα, εάν μια ευθεία που εμπίπτει σε δύο ευθείες έτσι ώστε οι εναλλάξ γωνίες είναι όσες, τότε οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες μεταξύ τους. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 28 Εάν μια ευθεία εμπίπτει σε δύο άλλες ευθείες έτσι ώστε οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες μεταξύ του, ή το άθροισμα των εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι ίσο με δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες μεταξύ τους. Έστω ότι η ΕΖ εμπίπτει στις δύο ευθείες ΑΒ και ΓΔ, ώστε η εξωτερική γωνία ΕΗΒ να είναι ίση με την εσωτερική και απέναντι γωνία ΗΘΔ, ή έτσι ώστε το άθροισμα των 37

38 εσωτερικών γωνιών στο ίδιο μέρος, ΒΗΘ και ΗΘΔ, να είναι ίσο με δύο ορθές. Λέγω ότι η ΑΒ είναι παράλληλο με την ΓΔ. Εφόσον, (στην πρώτη περίπτωση) η ΕΗΒ είναι ίση με την ΗΘΔ, αλλά η ΕΗΒ είναι ίση με την ΑΗΘ, όπου ΑΗΘ είναι ίση της ΗΘΔ και είναι εναλλάξ γωνίες. Οπότε, η ΑΒ είναι παράλληλη της ΓΔ. Πάλι, εφόσον (στην δεύτερη περίπτωση) το άθροισμα των ΒΗΘ και ΗΘΔ είναι ίσο με δύο ορθές και το άθροισμα των ΑΗΘ και ΒΗΘ είναι επίσης ίσο με δύο ορθές, το άθροισμα των ΑΗΘ και ΒΗΘ είναι άρα ίσο με το άθροισμα των ΒΗΘ και ΗΘΔ. Έστω η ΒΗΘ να έχει αφαιρεθεί και από τα δύο αθροίσματα, άρα το υπόλοιπο ΑΗΘ είναι ίσο με το υπόλοιπο ΗΘΔ και είναι εναλλάξ γωνίες. Άρα η ΑΒ είναι παράλληλη με την ΓΔ. Άρα, εάν μια ευθεία εμπίπτει σε δύο άλλες ευθείες έτσι ώστε οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες μεταξύ του, ή το άθροισμα των εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι ίσο με δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες μεταξύ τους. Ο.Ε.Δ. 38

39 Πρόταση 29 Η ευθεία που εμπίπτει σε δύο παράλληλες ευθείες κάνει τις εναλλάξ γωνίες ίσες και τις εντός και την εκτός με την εντός και απέναντι ίσες και το άθροισμα των εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών ίσο με δύο ορθές. Διότι έστω ότι η ευθεία ΕΖ εμπίπτει στις παράλληλες ευθείες ΑΒ,ΓΔ. Λέγω ότι κάνει τις εναλλάξ γωνίες ΑΗΘ,ΗΘΔ ίσες και την εκτός γωνία ΕΗΒ ίση με την εντός και απέναντι γωνία ΗΘΔ και το άθροισμα των εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών ίσο με δυο ορθές. Εάν οι ΑΗΘ, ΗΘΔ είναι άνισες, τότε μια από αυτές είναι μεγαλύτερη. Έστω η ΑΗΘ μεγαλύτερη της ΗΘΔ. Έστω ότι η ΒΗΘ έχει προστεθεί και στις δύο. Κατά συνέπεια το άθροισμα των ΑΗΘ και ΒΗΘ είναι μεγαλύτερο του αθροίσματος ΒΗΘ 39

40 και ΗΘΔ. Αλλά, το άθροισμα των ΑΗΘ και ΒΗΘ είναι ίσο με δύο ορθές. Οπότε, το άθροισμα ΒΗΘ και ΗΘΔ είναι μικρότερο από δύο ορθές. Όμως, απείρως προεκτεινόμενες ευθείες όπου το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι μικρότερο από δύο ορθές, συναντώνται. Άρα οι ΑΒ και ΓΔ απείρως προεκτεινόμενες θα συναντηθούν. Αλλά, δεν θα συναντηθούν αφού πρωτύτερα έχουν θεωρηθεί παράλληλες. Οπότε οι ΑΗΘ, ΗΘΔ δεν είναι άνισες, άρα η ΕΗΒ είναι ίση με την ΗΘΔ. Έστω η ΒΗΘ προστιθέμενη και στις δύο. Άρα, το άθροισμα των ΕΗΒ και ΒΗΘ είναι ίσο άθροισμα των ΒΗΘ και ΗΘΔ. Αλλά το άθροισμα ΕΗΒ και ΒΗΘ είναι ίσο με δύο ορθές. Οπότε το άθροισμα ΒΗΘ και ΗΘΔ είναι επίσης ίσο με δύο ορθές. Άρα, η ευθεία που εμπίπτει σε δύο παράλληλες ευθείες κάνει τις εναλλάξ γωνίες ίσες και τις εντός και την εκτός με την εντός και απέναντι ίσες και το άθροισμα των εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών ίσο με δύο ορθές. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 30 Ευθείες παράλληλες στην ίδια ευθεία είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Έστω κάθε μια από τις ευθείες ΑΒ και ΓΔ να είναι παράλληλες με την ΕΖ. Λέγω ότι ΑΒ είναι επίσης παράλληλη με την ΓΔ. 40

41 Έστω ότι η ευθεία ΗΚ εμπίπτει στις ΑΒ, ΓΔ και ΕΖ. Εφόσον η ευθεία ΗΘ έχει εμπέσει στις παράλληλες ευθείες ΑΒ και ΕΖ, η γωνία ΑΗΚ είναι ίση με την ΗΘΖ. Πάλι, εφόσον η ευθεία ΗΚ έχει εμπέσει στις παράλληλες ΕΖ και ΓΔ, η γωνία ΗΘΖ είναι ίση με την ΗΚΔ. Αλλά, η ΑΗΚ δείχτηκε ίση με την ΗΘΖ και είναι εναλλάξ γωνίες. Άρα η ΑΒ είναι παράλληλη με την ΓΔ. Άρα ευθείες παράλληλες στην ίδια ευθεία είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 31 Να αχθεί μια ευθεία παράλληλη σε δεδομένη ευθεία, από ένα δεδομένο σημείο. 41

42 Έστω Α το δοθέν σημείο και ΒΓ η δοθείσα ευθεία. Οπότε ζητείται να αχθεί μια ευθεία παράλληλη στην ευθεία ΒΓ, από το σημείο Α. Έστω τυχαίο σημείο Δ του ΒΓ και συνδέεται το ΑΔ. Έστω ότι η γωνία ΔΑΕ, ίση της γωνίας ΑΔΓ, να έχει κατασκευαστεί πάνω στην ευθεία ΔΑ στο σημείο Α. Έστω η ευθεία ΑΖ να έχει ενωθεί με την ευθεία ΕΑ. Εφόσον η ευθεία ΑΔ εμπίπτει στις ευθείες ΒΓ και ΕΖ έτσι ώστε οι εναλλάξ γωνίες ΕΑΔ και ΑΔΓ να είναι ίσες μεταξύ τους, η ΕΑΖ είναι άρα παράλληλη με την ΒΓ. Άρα, η ευθεία ΕΑΖ φέρθηκε παράλληλη στην δεδομένη ευθεία ΒΓ, από το δεδομένο σημείο Α. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 32 Σε κάθε τρίγωνο εάν μια πλευρά προεκταθεί, τότε η εξωτερική γωνία είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών, και το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών του τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. 42

43 Έστω τρίγωνο το ΑΒΓ, και έστω ότι η μία πλευρά του ΒΓ προεκτείνεται επί το Δ. Λέγω ότι η εξωτερική γωνία ΑΓΔ είναι ίση με το άθροισμα των δυο εσωτερικών και απέναντι γωνιών ΓΑΒ και ΑΒΓ, και το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ,ΒΓΑ και ΓΑΒ είναι ίσο με δύο ορθές. Ας αχθεί από το σημείο Γ ευθεία ΓΕ παράλληλη στην ΑΒ. Εφόσον η ΑΒ είναι παράλληλη με την ΓΕ και η ΑΓ έχει εμπέσει σ αυτές, οι εναλλάξ γωνίες ΒΑΓ και ΑΓΕ είναι ίσες μεταξύ τους. Πάλι εφόσον η ΑΒ είναι παράλληλη με την ΓΕ και η ευθεία ΒΔ έχει εμπέσει σε αυτές, η εξωτερική γωνία ΕΓΔ είναι ίση με την εσωτερική και απέναντι γωνία ΑΒΓ. Αλλά η ΑΓΕ δείχτηκε ίση με την ΒΑΓ. Άρα, όλη η γωνία ΑΓΔ είναι ίση με το άθροισμα των δύο εσωτερικών και απέναντι γωνιών ΒΑΓ και ΑΒΓ. 43

44 Έστω ότι η ΑΓΒ έχει προστεθεί και στις δύο. Άρα, το άθροισμα των ΑΓΔ και ΑΓΒ είναι ίσο με το άθροισμα των τριών γωνιών ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ. Αλλά το άθροισμα των ΑΓΔ και ΑΓΒ είναι ίσο με δύο ορθές. Άρα το άθροισμα των ΑΓΒ, ΓΒΑ και ΓΑΒ είναι επίσης ίσο με δύο ορθές. Άρα, σε κάθε τρίγωνο εάν μια πλευρά προεκταθεί, τότε η εξωτερική γωνία είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών, και το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών του τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 33 Ευθείες που διέρχονται από ίσες και παράλληλες ευθείες επί τα αυτά μέρη είναι ίσες και παράλληλες μεταξύ τους. Έστω ΑΒ και ΓΔ ίσες και παράλληλες ευθείες και έστω ότι οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ τις συνδέουν. Λέγω ότι οι ΑΓ, ΒΔ είναι επίσης ίσες και παράλληλες. 44

45 Συνδέεται η ΒΓ. Και επειδή η ΑΒ είναι παράλληλη στη ΓΔ, και η ΒΓ εμπίπτει σε αυτές, οι εναλλάξ γωνίες ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσες μεταξύ τους. Και επειδή η ΑΒ είναι ίση με την ΓΔ, και η ΒΓ είναι κοινή, οι δύο ευθείες ΑΒ, ΓΔ είναι ίσες με τις δύο ευθείες ΔΓ, ΓΒ. Και η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με την γωνία ΒΓΔ. Άρα, η βάση ΑΓ είναι ίση με την βάση ΒΔ, και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΓΒ, και οι λοιπές γωνίες θα είναι ίσες μία προς μία με τις αντίστοιχες λοιπές γωνίες που πρόσκεινται στις ίσες πλευρές. Άρα, η γωνία ΑΓΒ είναι ίση με την ΓΒΔ. Επίσης, αφού η ευθεία ΒΓ, η οποία εμπίπτει με τις δύο ευθείες ΑΓ και ΒΔ, κάνει τις εναλλάξ γωνίες (ΑΓΒ και ΓΒΔ) μεταξύ τους ίσες, η ΑΓ είναι άρα παράλληλη με την ΒΔ. Και έχει δειχθεί ότι η ΑΓ είναι ίση με την ΒΔ. Άρα, οι ευθείες που συνδέονται με ίσες και παράλληλες ευθείες επί τα αυτά μέρη είναι μεταξύ τους ίσες και παράλληλες. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 34 Στα παραλληλόγραμμα χωρία οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, και η διαγώνιος τα διχοτομεί. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διάμετρος του ΒΓ. Λέγω ότι οι απέναντι πλευρές και γωνίες του παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ τους και η διαγώνιος ΒΓ το διχοτομεί. 45

46 Επειδή η ΑΒ είναι παράλληλη με την ΓΔ και η ευθεία ΒΓ εμπίπτει σε αυτές, οι εναλλάξ γωνίες ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσες μεταξύ τους. Ομοίως, αφού η ΑΓ είναι παράλληλη με την ΒΔ και η ΒΓ εμπίπτει σε αυτές, οι εναλλάξ γωνίες ΑΓΒ και ΓΒΔ είναι ίσες μεταξύ τους. Άρα, τα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι δύο τρίγωνα που έχουν τις δύο γωνίες ΑΒΓ και ΒΓΑ αντίστοιχα ίσες με τις ΒΓΔ και ΓΒΔ και έχουν κοινή πλευρά την ΒΓ. Άρα, θα έχουν και τις λοιπές πλευρές ίσες με τις αντίστοιχες λοιπές, και την λοιπή γωνία ίση με την λοιπή γωνία. Άρα, η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την ΓΔ και η ΑΓ με την ΒΔ. Επιπροσθέτως, η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με την ΓΔΒ. Και αφού η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με την ΒΓΔ και η ΓΒΔ με την ΑΓΒ, άρα όλη η γωνία ΑΒΔ είναι ίση με όλη την ΑΓΔ. Και έχει δειχθεί ότι η ΒΑΓ είναι ίση με την ΓΔΒ. Άρα, στα παραλληλόγραμμα χωρία οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Επίσης, λέγω ότι η διάμετρος το διχοτομεί. Επειδή η ΑΒ είναι ίση με την ΓΔ και η ΒΓ είναι κοινή, οι δύο ευθείες ΑΒ, ΒΓ είναι ίσες μία προς μία με τις δύο ευθείες ΔΓ, ΓΒ. Και η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με την γωνία ΒΓΔ. Άρα, η βάση ΑΓ είναι επίσης ίση με την ΔΒ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΒΓΔ. Άρα, η διαγώνιος ΒΓ διχοτομεί το παραλληλόγραμμο ΑΓΔΒ. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 35 Τα παραλληλόγραμμα τα οποία βρίσκονται στην ίδια βάση και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Έστω παραλληλόγραμμα τα ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ πάνω στην ίδια βάση ΒΓ και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, των ΑΖ, ΒΓ. Λέγω ότι το ΑΒΓΔ είναι ίσο με το παραλληλόγραμμο ΕΒΓΖ. 46

47 Διότι επειδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, η ΑΔ είναι ίση με την ΒΓ. Ομοίως η ΕΖ είναι ίση με τη ΒΓ. Ώστε και η ΑΔ είναι ίση με την ΕΖ και είναι κοινή η ΔΕ. Άρα, όλη η ΑΕ είναι ίση με όλη την ΔΖ και η ΑΒ είναι ίση με την ΔΓ. Άρα, οι ΕΑ, ΑΒ είναι αντίστοιχα ίσες με τις ΖΔ, ΔΓ. Η εντός γωνία ΖΔΓ είναι ίση με την εκτός γωνία ΕΑΒ. Άρα η βάση ΕΒ είναι ίση με την βάση ΖΓ και το τρίγωνο ΕΑΒ θα είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΖΓ. Αφαιρείται το κοινό ΔΗΕ. Άρα, το λοιπό τραπέζιο ΑΒΗΔ είναι ίσο με το λοιπό τραπέζιο ΕΗΓΖ και είναι κοινό το ΗΒΓ τρίγωνο. Άρα, όλο το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ίσο με όλο το παραλληλόγραμμο ΕΒΓΖ. Άρα, τα παραλληλόγραμμα τα οποία βρίσκονται στην ίδια βάση και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 36 Τα παραλληλόγραμμα τα οποία βρίσκονται σε ίσες βάσεις και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Έστω ότι τα ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμα τα οποία έχουν ίσες βάσεις τις ΒΓ και ΖΗ, και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΑΘ, ΒΗ. Λέγω ότι το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ίσο με το ΕΖΗΘ. 47

48 Έστω ότι οι ΒΕ και ΓΘ έχουν συνδεθεί. Και επειδή η ΒΓ είναι ίση με την ΖΗ, αλλά και η ΖΗ είναι ίση με την ΕΘ, είναι και η ΒΓ είναι ίση με την ΕΘ. Είναι επίσης παράλληλες και οι ΕΒ και ΘΓ τις συνδέει. Αλλά οι ευθείες που συνδέονται με ίσες και παράλληλες ευθείες είναι ίσες και παράλληλες. [Άρα οι ΕΒ και ΘΓ είναι ίσες και παράλληλες]. Άρα, το ΕΒΓΘ είναι παραλληλόγραμμο και είναι ίσο με το ΑΒΓΔ, επειδή έχει την ίδια βάση ΒΓ, όπως το ΑΒΓΔ, και βρίσκεται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΒΓ, ΑΘ όπως το ΑΒΓΔ. Ομοίως το ΕΖΗΘ είναι ίσο με το ΕΒΓΘ. Έτσι τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι, επίσης, ίσα. Άρα, τα παραλληλόγραμμα τα οποία βρίσκονται σε ίσες βάσεις και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 37 Τα τρίγωνα τα οποία έχουν την ίδια βάση και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ έχουν την ίδια βάση ΒΓ και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΑΔ και ΒΓ. Λέγω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΒΓ. 48

49 Έστω ότι η ΑΔ έχει προεκταθεί προς το μέρος του Ε και προς το μέρος του Ζ και έστω ότι η ευθεία ΒΕ που διέρχεται από το Β είναι παράλληλη με την ΓΑ, και έστω ότι η ευθεία ΓΖ που διέρχεται από το Γ είναι παράλληλη με την ΒΔ. Άρα, τα ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ είναι και τα δύο παραλληλόγραμμα και είναι ίσα, επειδή έχουν την ίδια βάση ΒΓ και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΒΓ και ΕΖ. Και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το μισό του παραλληλογράμμου ΕΒΓΑ, επειδή η διάμετρος το διχοτομεί. Και το τρίγωνο ΔΒΓ είναι το μισό του παραλληλογράμμου ΔΒΓΖ, επειδή η διάμετρος ΔΓ το διχοτομεί.[και τα μισά των ίσων είναι ίσα μεταξύ τους]. Άρα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΒΓ. Άρα, τα τρίγωνα τα οποία έχουν την ίδια βάση και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 38 Τα τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες βάσεις και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν ίσες βάσεις τις ΒΓ και ΕΖ και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΒΖ και ΑΔ. Λέγω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ. 49

50 Έστω ότι η ΑΔ έχει προεκταθεί προς τα μέρη των Η και Θ και έστω ότι η ευθεία ΒΗ που διέρχεται από το Β είναι παράλληλη με την ΓΑ, και έστω ότι η ευθεία ΖΘ που διέρχεται από το Ζ είναι παράλληλη με την ΔΕ. Άρα, τα ΗΒΓΑ και ΔΕΖΘ είναι παραλληλόγραμμα και είναι ίσα, επειδή έχουν ίσες βάσεις τις ΒΓ και ΕΖ και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΒΖ και ΗΘ. Και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το μισό του παραλληλογράμμου ΗΒΓΑ, επειδή η διαγώνιος ΑΒ το διχοτομεί. Και το τρίγωνο ΖΕΔ είναι το μισό του παραλληλογράμμου ΔΕΖΘ, επειδή η διαγώνιος ΔΖ το διχοτομεί.[και τα μισά των ίσων είναι ίσα μεταξύ τους]. Άρα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΔΕΖ. Άρα, τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες βάσεις και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 39 Ίσα τρίγωνα τα οποία έχουν την ίδια βάση και είναι επί τα αυτά μέρη, βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. Έστω ότι τα ΑΒΓ και ΔΒΓ είναι ίσα τρίγωνα τα οποία έχουν κοινή βάση την ΒΓ και είναι επί τα αυτά μέρη αυτής. Λέγω ότι βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. 50

51 Έστω ότι η ΑΔ έχει συνδεθεί, λέγω ότι η ΑΔ και η ΒΓ είναι παράλληλες. Διότι διαφορετικά, η ΑΕ διερχόμενη από το Α θα ήταν παράλληλη με την ευθεία ΒΓ και έστω ότι η ΕΓ έχει συνδεθεί. Άρα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο ΕΒΓ επειδή έχουν την ίδια βάση, την ΒΓ, και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. Αλλά το ΑΒΓ είναι ίσο με το ΔΒΓ. Άρα, το ΔΒΓ είναι επίσης ίσο με το ΕΒΓ, δηλαδή το μεγαλύτερο με το μικρότερο, το οποίο είναι άτοπον. Άρα, η ΑΕ δεν είναι παράλληλη με την ΒΓ. Ομοίως, δείχνεται ότι καμία άλλη ευθεία δεν είναι παράλληλη εκτός της ΑΔ. Άρα, η ΑΔ είναι παράλληλη με την ΒΓ. Άρα, ίσα τρίγωνα τα οποία έχουν την ίδια βάση και είναι επί τα αυτά μέρη, βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. Ο.Ε.Δ. Πρόταση 40 Ίσα τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες βάσεις και είναι επί τα αυτά μέρη, βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. Έστω ότι τα ΑΒΓ και ΓΔΕ είναι ίσα τρίγωνα επί ίσων βάσεων ΒΓ και ΓΕ αντίστοιχα, και είναι επί τα αυτά μέρη. Λέγω επίσης, ότι βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. 51

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αραούζου Μαρίνα Α.Μ.:3696 Ασβεστάς Ιωάννης Μάριος Α.Μ.: 3579 Κασσωτάκη Μαρία Α.Μ.:3610 Λαμπριανού Μαριάνθη Α.Μ.

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αραούζου Μαρίνα Α.Μ.:3696 Ασβεστάς Ιωάννης Μάριος Α.Μ.: 3579 Κασσωτάκη Μαρία Α.Μ.:3610 Λαμπριανού Μαριάνθη Α.Μ. Επιμέλεια Μετάφρασης: Αραούζου Μαρίνα Α.Μ.:3696 Ασβεστάς Ιωάννης Μάριος Α.Μ.: 3579 Κασσωτάκη Μαρία Α.Μ.:3610 Λαμπριανού Μαριάνθη Α.Μ.: 3293 Χαραλάμπους Ξένια Α.Μ.:3698 1 Ορισμοί 1. Ευθύγραμμο σχήμα εγγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας

Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Μάθημα: Γεωμετρία Θεματική Ενότητα: Ανισοτικές Σχέσεις Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας Ομάδα εργασίας: Γιώργος Ρούμελης Ρωμανός Τζουνάκος Διονύσης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB 2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου (εφαρμοσμένη διαλεκτική) Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου (εφαρμοσμένη διαλεκτική) Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου (εφαρμοσμένη διαλεκτική) Ε. Παπαδοπετράκης Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΗ. 1 Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΑΒ = 17cm, ΑΓ = 25cm και ΑΔ = 15cm. ΑΣΚΗΣΗ. 2 Στο ορθογώνιο τραπέζιο είναι ΑΒ= 9cm,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15) Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Απαντήσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή απαντήσεων: Αθανάσιος Τσιούµας Χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

1. 5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

1. 5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 445 1. 5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Όμοια πολύγωνα Αν έχουμε δύο ομοιόθετα πολύγωνα, τότε το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου. Δύο πολύγωνα Π και Π που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ 5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Θ ΕΜΑ Β 2814 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Α= 8. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version ) 4.6-4.8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 5--06) Σ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α, παίρνουμε τμήμα ΑΕ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. ος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά». Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )

8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version ) 8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 (version ΤΕΛΙΚΟ)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 (version ΤΕΛΙΚΟ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 06 (version 9-5-06 ΤΕΛΙΚΟ) SOS ΒΓ = ΒΟΓ ˆ = 70 αντί του λανθασμένου 35 στο προτελευταίο θέμα θεωρίας με τις εγγεγραμμένη, επίκεντρη κλπ Τι λέει το αίτημα παραλληλίας;

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 463. 6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ.  Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η.

ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Αν Μ είναι το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ορθογώνιο (version )

Ορθογώνιο (version ) Ορθογώνιο (version --06) Ορισμός: Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές (ως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ B τάξη Γυμνασίου Α= ( 2 2)

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ B τάξη Γυμνασίου Α= ( 2 2) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 665-067784 - Fa: 0 6405 e-mail : ifo@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 8cm και η γωνία Β = 64 0. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 9cm και εφγ

Διαβάστε περισσότερα

Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Κόλλιας Σταύρος  1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α. (α+8) β. (-) γ. (γ+k) δ. (+γ) ε. (3k-5λ) ζ. (5/κ - 4/λ) η. (/3-χ/4) θ. (χ - 3/χ) ι. (χ/3+3ψ/4) κ. (3χ+χ/) λ. (χ+8)(χ-8)

Διαβάστε περισσότερα

Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒ=ΔΓ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕ=ΓΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε:

Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒ=ΔΓ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕ=ΓΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: 5.-5. Σύνθετα θέματα (version 4--06) Σ. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και τα σημεία Ε, Ζ, Η και Κ των πλευρών ΑΒ, Β, Δ και ΑΔ αντίστοιχα ώστε ΑΕ Η και ΔΚ ΒΖ. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο ΕΖΗΚ είναι

Διαβάστε περισσότερα