2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την τάση στα άκρα μιας αντίστασης και βρίσκουμε ότι είναι μεταξύ 0. V και 0.4 V. Θα γράψουμε την εκτίμησή μας ως 0. 3V ± 0. 1V όπου 0.3 είναι η περισσότερο πιθανή τιμή της τάσης και ±0.1 το σφάλμα (η αβεβαιότητα) της μέτρησης. Με τον όρο σφάλμα δεν εννοούμε την απόκλιση της μέτρησής μας από την θεωρητικά αποδεκτή τιμή ούτε το πειραματικό λάθος. Η έννοια του σφάλματος αναφέρεται στην ακρίβεια της μέτρησης δηλαδή στην αβεβαιότητα των μετρήσεων την οποία εισάγουν τα όργανα μέτρησης η πειραματική διαδικασία και οι συνθήκες του πειράματος Επειδή κατά την πειραματική διαδικασία υπάρχουν παράγοντες που υπεισέρχονται που δεν τους γνωρίζουμε ή δεν μπορούμε να τους λάβουμε υπόψιν (π.χ μεταβολή του g, της θερμοκρασίας) δεν μπορούμε πάντα να διορθώσουμε όλα τα σφάλματα. Ακόμα κι αν επαναλάβουμε τις μετρήσεις ενός μεγέθους, τα σφάλματα δεν μπορούν να εξαλειφθούν, μπορούμε όμως να οδηγηθούμε σε μία κατανομή των μετρούμενων τιμών που μπορεί να αναλυθεί συστηματικά με τη στατιστική. Από την άλλη είναι εμφανές ότι τα σφάλματα πρέπει να υπολογίζονται ώστε να οδηγηθούμε σε ορθά συμπεράσματα. Παράδειγμα Εάν μετρήσουμε την ομική αντίσταση για δύο θερμοκρασίες, για θ=5 ο C R=3.17 Ohm ενώ για θ=80 ο C R=.61 Ohm δεν μπορούμε να συμπεράνουμε πώς μεταβάλλεται η R(θ), παρά μόνο εάν οι μετρούμενες τιμές συνοδεύονται από το σφάλμα τους δηλαδή για θ=5 ο C R=3.17±0.04 Ohm ενώ για θ=80 ο C R=.61 ±0.04 Ohm (παρατηρείστε ότι δε θα φτάναμε σε συμπέρασμα εάν το σφάλμα αναγραφόταν ως για θ=5 ο C R=3.17±0.6 Ohm και για θ=80 ο C R=.61 ±0.6 Ohm). Είδη σφαλμάτων Συστηματικά σφάλματα: πρόκειται για σφάλματα που σχετίζονται με την αξιοπιστία μιας μέτρησης και μπορεί να οφείλονται στην κακή βαθμονόμηση των οργάνων, στη λανθασμένη χρήση των οργάνων ή στην παράβλεψη ορισμένων φαινομένων ή σε εξωτερικά αίτια που μπορεί να αλλάξουν τα αποτελέσματα του πειράματος (υγρασία, πίεση, θερμοκρασία κ.λ.π). Τα συστηματικά σφάλματα τείνουν να μετατοπίσουν όλες τις μετρήσεις με συστηματικό τρόπο έτσι ώστε η μέση τιμή να είναι μετατοπισμένη προς μία διεύθυνση π.χ εάν ένας χάρακας είναι φθαρμένος, η μέτρηση κάθε μήκους θα έχει σταθερό συστηματικό σφάλμα που είναι ανεπηρέαστο από την επαναληψιμότητα της μέτρησης. Ο μόνος τρόπος να ποσοτικοποιήσω το σφάλμα δηλαδή να εκτιμήσω σωστά

2 την τάξη μεγέθους του είναι να συγκρίνω το όργανο που χρησιμοποιώ με άλλο που θεωρείται πρότυπο. Σε ένα σωστό πείραμα τα μεγάλα συστηματικά σφάλματα περιορίζονται με σύγκριση των τιμών με διαφορετικές μεθόδους. Τυχαία σφάλματα: πρόκειται για σφάλματα που σχετίζονται με την ακρίβεια μιας μέτρησης και δείχνουν τις διακυμάνσεις που έχουν οι μετρήσεις ενός επαναλαμβανόμενου πειράματος που γίνεται κάτω από τις ίδιες φαινομενικά συνθήκες και τα οποία οδηγούν στην κατανομή των αποτελεσμάτων γύρω από μία μέση τιμή. Μπορεί να οφείλονται στην έλλειψη ευαίσθητης απόκρισης του οργάνου ή στον παρατηρητή (σφάλματα ανάγνωσης), στον εξωτερικό «θόρυβο», ή σε στατιστικές διαδικασίες (όπως είναι η ρίψη ενός ζαριού). Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα και περιγράφονται με τη στατιστική θεωρία. Σύμφωνα με τη στατιστική θεωρία εάν ένα φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο τότε η οριακή κατανομή που θα προκύψει (μετά από άπειρες προσπάθειες) θα είναι μια κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss. Η κατανομή Gauss είναι ίσως η πιο κοινή κατανομή στη θεωρία των πιθανοτήτων δηλαδή εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα (π.χ ρίχνοντας ένα βέλος να πετύχουμε το 0), το αποτέλεσμα που παίρνουμε για π.χ 100 προσπάθειες φαίνεται στο σχήμα 1 ενώ για άπειρες στο σχήμα και περιγράφεται μαθηματικά από την καμπύλη σχήμα (1) σχήμα () ή από τη σχέση ( o ) 1 σ P()= e σ π που εκφράζει την πιθανότητα να συμβεί το αποτέλεσμα όπου o είναι η πιο πιθανή τιμή και σ η τυπική απόκλιση (βλ. Παράρτημα, στοιχεία από τη θεωρία των πιθανοτήτων) που καθορίζει το εύρος της κατανομής. Αυτήν την κατανομή ακολουθούν τα τυχαία σφάλματα και γι αυτό με προσέγγιση της κατανομής των μετρήσεων με κατανομή Gauss, η τυπική απόκλιση αποτελεί τον τρόπο που εκφράζεται το σφάλμα. Όλα τα σφάλματα που προσδιορίζουμε στο εργαστήριο ποσοτικά είναι πάντοτε τυχαία. 3. Μέση τιμή και σφάλμα

3 3 Επειδή σε πολλές περιπτώσεις, όταν μετρούμε πολλές φορές, στις ίδιες συνθήκες την ίδια ποσότητα βρίσκουμε διαφορετικά αποτελέσματα, βρίσκουμε τη μέση τιμή και το απόλυτο σφάλμα της μέσης τιμής (ή τυπική απόκλιση της μέσης τιμής). Εάν σε ένα πείραμα η μέτρηση του μεγέθους επαναληφθεί Ν φορές, και οι μετρούμενες τιμές είναι 1,, 3,,τότε ως πραγματική θεωρούμε την μέση τιμή = 1 = = Εάν τα σφάλματα των παραπάνω μετρήσεων είναι τυχαία θα διαφέρουν ως προς το πρόσημο και ως προς το μέγεθος. Ετσι στον υπολογισμό της μέσης τιμής κάποια από τα τυχαία σφάλματα αλληλοαναιρούνται στο άθροισμα. Η επανάληψη πολλών μετρήσεων είναι και ο καλύτερος τρόπος περιορισμού των τυχαίων σφαλμάτων. Επιπλέον μπορεί να υπολογιστεί η απόκλιση των μετρήσεων από τη μέση τιμή. Το απόλυτο σφάλμα της μέσης τιμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει τη βεβαιότητα των Ν μετρήσεων μας για τη μέση τιμή του δηλαδή γράφοντας ± δόπου δ = ( ) ( 1) Άρα συνολικά ο σωστός τρόπος αναγραφής της μετρούμενης τιμής είναι Τιμή ± σφάλμα ± συστηματικό σφάλμα Εάν υποθέσουμε ότι μετράμε το μήκος της ακμής ενός παραλληλεπιπέδου και βρίσκουμε L±δ L= 9.6± 0.3cm και ενός στύλου και βρίσκουμε H ±δ H = ± 0.3cm Μπορούμε να πούμε ποια μέτρηση είναι πιο ακριβής αν και οι δύο έχουν το ίδιο απόλυτο δ σφάλμα (0.3 cm); Γι αυτό ορίζουμε το σχετικό σφάλμα της μέσης τιμής ως που δ συνήθως αναφέρεται ως ποσοστό επί τοις εκατό δηλαδή σ σχ %= 100 Στο παραπάνω παράδειγμα για το παραλληλεπίπεδο θα είναι δl 0.3 = = 0.031= 3.1% ~ 3% L 9.6 Ενώ για το στύλο δh 0.3 = = = 0.011% = 0.01% H Άρα η μέτρηση του στύλου είναι ακριβέστερη. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ενώ το απόλυτο σφάλμα της μέσης τιμής έχει τις μονάδες του μετρούμενου μεγέθους, το σχετικό είναι αδιάσειστο μέγεθος. Μπορείτε να ανατρέξετε στο Παράρτημα για να μελετήσετε αναλυτικότερα τους τρόπους ορισμού των

4 4 σφαλμάτων των μετρούμενων τιμών ενός πειράματος και τη στατιστική σημασία τους για ένα δείγμα τιμών. Παράδειγμα Σε ένα πείραμα καταμέτρησης κοσμικών ακτίνων που προσπίπτουν σε έναν ανιχνευτή ανά ώρα, έγιναν εννέα μετρήσεις και τα αποτελέσματα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα. Έτσι i i ( i - ) Σ i 9 i= 1 9 = = = 100 ( ) i i 1500 και δ = = = 188 = 14 ( 1) 8 Άρα τελικά ο αριθμός των κοσμικών ακτίνων που μετρήθηκαν είναι =100±14 με σφάλμα 14/100 =14% 4. Σημαντικά ψηφία Για την καταγραφή των πειραματικών δεδομένων και των υπολογιστικών αποτελεσμάτων θα πρέπει να χρησιμοποιείται ο σωστός αριθμός των σημαντικών ψηφίων. Σημαντικά ψηφία ενός μετρούμενου ή υπολογιζόμενου μεγέθους είναι το πλήθος των ψηφίων της τα οποία είναι επαναλήψιμα κατά τη μετρητική διαδικασία. Συνήθως είναι τα ψηφία που γνωρίζουμε με ακρίβεια εκτός από τα μηδενικά που δείχνουν το δεκαδικό σημείο. Συνήθως το πλήθος των σημαντικών ψηφίων ενός μετρούμενου μεγέθους ταυτίζεται με την ακρίβεια των οργάνων μέτρησης. Έτσι σε ένα χάρακα με χαραγές κάθε 1 cm και με μικρότερες υποδιαιρέσεις κάθε 0.1 cm η εκτίμησή μας (κατά 0.01 cm) αντιπροσωπεύει και το τελευταίο σημαντικό ψηφίο της μέτρησης. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το πλήθος των σημαντικών ψηφίων ενός αριθμού μας δίνει ένα μέτρο της ακρίβειας ενός πειραματικού αποτελέσματος. Για την ορθή αναφορά των σημαντικών ψηφίων υπάρχουν οι εξής κανόνες: Ως πρώτο σημαντικό ψηφίο μετράμε το αριστερότερα μη μηδενικό.

5 5 Εάν υπάρχει υποδιαστολή ως τελευταίο σημαντικό είναι αυτό που βρίσκεται δεξιότερα (ακόμα κι αν είναι μηδενικό) δηλαδή σημαντικά είναι όλα τα ψηφία από το πρώτο μη μηδενικό και μετά π.χ (),.00 (3) (). Εάν δεν υπάρχει υποδιαστολή ως τελευταίο σημαντικό είναι το δεξιότερο μη μηδενικό δηλαδή σημαντικά είναι όλα τα ψηφία απο το πρώτο αριστερά μέχρι το τελευταίο μη μηδενικό 1 89 (4), 403 (4), 400 (1), (). Όπως φαίνεται στο παράδειγμα στους ακέραιους αριθμούς τα μηδενικά μπορεί να είναι ή να μην είναι σημαντικά γι αυτό πρέπει να διευκρινίζονται π.χ 4.00 (3 σημαντικά ψηφία) ( σημαντικά ψηφία) γράφοντας τον αριθμό σε εκθετική μορφή οπότε τότε όλα τα ψηφία που εμφανίζονται πριν από την δύναμη του 10 θεωρούνται σημαντικά δηλαδή 4 10 (1 σημαντικό ψηφίο) ή ο αριθμός έχει μετρηθεί με ακρίβεια, που αντιστοιχεί σε (3 σημαντικά ψηφία) δηλαδή ο αριθμός έχει μετρηθεί με ακρίβεια, που αντιστοιχεί σε 3 σημαντικά ψηφία). 5. Σημαντικά ψηφία και αριθμητικές πράξεις Το αποτέλεσμα που προκύπτει από την εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων καθορίζεται από τον όρο που έχει τη μικρότερη ακρίβεια. Μετά την πρόσθεση ή αφαίρεση το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του αποτελέσματος καθορίζεται από τον αριθμό που έχει τον μικρότερο αριθμό δεκαδικών ψηφίων π.χ =90.43 ~ 90.4 Το 90.4 καθορίζεται από το γεγονός ότι το μικρότερο αριθμό δεκαδικών ψηφίων από τους δύο όρους έχει το 1.1. Μετά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση το πλήθος των σημαντικών ψηφίων του αποτελέσματος καθορίζεται από τον αριθμό με τον μικρότερο αριθμό σημαντικών ψηφίων. π.χ. (.80) (4.5039) = ~ 1.6. To 1.6 (3 σημαντικά) καθορίζεται από το γεγονός ότι τον μικρότερο αριθμό σημαντικών ψηφίων από τους δύο όρους έχει το.80 (3 σημαντικά) 6. Σημαντικά ψηφία, σφάλματα και στρογγυλοποιήσεις Στην αναφορά των πειραματικών αποτελεσμάτων στο Εργαστήριο δηλαδή στην αναφορά της μέτρησης (ή της μέσης τιμής των μετρήσεων) και το πειραματικό σφάλμα της, χρησιμοποιούμε στρογγυλοποιημένες τιμές απορρίπτουμε δηλαδή τα ψηφία που δεν είναι σημαντικά ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες στρογγυλοποίησης Αρχίζουμε την στρογγυλοποίηση από το σφάλμα Κατά τη στρογγυλοποίηση του σφάλματος κρατάμε ένα σημαντικό ψηφίο (εάν οι μετρήσεις είναι Ν<0) εκτός εάν αυτό είναι το 1 ή το οπότε κρατάμε δύο σημαντικά ψηφία.(προσοχη ΕΝΑ σημαντικό και ΟΧΙ ένα δεκαδικο!) Στρογγυλοποιούμε τη μέση τιμή κρατώντας τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι και του σφάλματος. Δηλαδή η μέτρηση ή η μέση τιμή των μετρήσεων και του σφάλματος αναγράφονται με την ίδια ακρίβεια.

6 6 Αναλυτικότερα κατά τη στρογγυλοποίηση του σφάλματος Βρίσκουμε το σημαντικό ψηφίο που μας ενδιαφέρει Εξετάζουμε το αμέσως επόμενο Αν αυτό είναι >5 αυξάνουμε το σημαντικό κατά μία μονάδα και παραλείπουμε τα υπόλοιπα Αν αυτό είναι < 5 αφήνουμε το σημαντικό όπως είναι και παραλείπουμε τα υπόλοιπα Αν αυτό είναι = 5 εξετάζουμε τι υπάρχει μετά o Αν υπάρχει έστω και 1 ψηφίο >0 αυξάνουμε το σημαντικό κατά μία μονάδα και παραλείπουμε τα υπόλοιπα o Αν δεν υπάρχει ούτε 1 ψηφίο >0 κάνουμε ότι θέλουμε (είτε αυξάνουμε, είτε αφήνουμε όπως είναι). Παραδείγματα δ δ ± δ sec sec 0.04 sec sec (43.03±0.04) sec g g g g (0.0175±0.0005) g m m 0.5 m 4.85 m (4.85±0.5) m m/s m/s 60 m/s 360 m/s (360±60) m/s sec sec 800 sec sec ( ±800) sec g g g 7400 g (7400±0.008) g Καλό θα είναι να κρατάμε ένα ακόμα ψηφίο πέραν του σημαντικού στις τιμές που υπεισέρχονται στις αριθμητικές πράξεις για να ελαχιστοποιήσουμε τα σφάλματα στρογγυλοποίησης. Στις μαθηματικές ή φυσικές σταθερές ή γενικά στα μεγέθη που θεωρούνται γνωστά δεν αναφέρεται σφάλμα π.χ το π στον υπολογισμό του εμβαδού. 7. Διάδοση των σφαλμάτων Εάν ένα μέγεθος z εξαρτάται από (μία ή) δύο μετρούμενες ποσότητες ( και y) ή και περισσότερες οι οποίες έχουν μέσες τιμές, y και ανεξάρτητα σφάλματα ( δ, δ y αντίστοιχα) τότε υπολογίζουμε το σφάλμα του με τον κανόνα διάδοσης των σφαλμάτων δ u u z y δ y δ = + Όπου η μερική παράγωγος ως προς. Αναλυτικότερα οι κανόνες υπολογισμού των σφαλμάτων περιλαμβάνονται στον παρακάτω πίνακα για μία σειρά απλών μαθηματικών σχέσεων. Διάδοση σφαλμάτων

7 7 Σχέση μεταξύ Ζ και (,y) Σχέση μεταξύ των σφαλμάτων Δz και δ, δ y 1 z=+y z=-y δ z = δ +δy z=y z y δ δ δ z=/y = ± z y 3 z= n δz δ = n z 4 z=ln z δ δ = 5 z=e δz = δ z 6 z= + y 1 δz = δ + δy Για την καταγραφή των μετρήσεων χρησιμοποιούμε ΠΑΝΤΑ πίνακες Παράδειγμα Υπολογισμός της επιτάχυνσης κατά την ευθύγραμμη, ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση από τη σχέση α=s/t. Έστω ότι μετράμε s =1.0±0.10 m t =35.0 ±0.5 s Τότε a = a a s t s t + a a 4s 4 1 = = και = = 3 3 s t (35.) t t (35.) Άρα κάνοντας τις πράξεις a = m/s και δ a = m/s Οπότε a = 0.49 ± 0.04 m/s 8. Τρόπος αναγραφής Αποτελεσμάτων Ανακεφαλαιώνοντας θα πρέπει στην αναγραφή των πειραματικών αποτελεσμάτων να προσέχουμε τα εξής: 1. Μέση τιμή. Τα σφάλματά της (απόλυτο και σχετικό) με τη μορφή (± σφάλμα)

8 8 3. τις μονάδες μέτρησης (όπου υπάρχουν) 4. τον κανόνα του «σημαντικού ψηφίου 5. τον κανόνα της ίδιας ακρίβειας για τη μέση τιμή και το σφάλμα της Αναφορά με το απόλυτο σφάλμα μέσης τιμής ± δ = (83.5 ± 0.)m/s Αναφορά με το σχετικό σφάλμα μέσης τιμής ± σ % = 83.5m/s ± 0.% σχ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Στοιχεία από τη θεωρία των πιθανοτήτων 1. Είδη σφαλμάτων Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να περιγραφεί η κατανομή των μετρούμενων τιμών ενός πειράματος. Μέγιστο σφάλμα Προσδιορίζοντας τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή μία ομάδας δεδομένων, ma και min το μέγιστο σφάλμα ορίζεται ως η ποσότητα ma Δ ma = min Υποθετικά καμία τιμή δεν θα πρέπει να είναι έξω από ± Δ ma Πιθανό σφάλμα Το πιθανό σφάλμα Δ πιθ καθορίζει το διάστημα ± Δπιθ, το οποίο περιέχει το 50% των μετρούμενων τιμών. Μέση Απόκλιση Η μέση απόκλιση είναι η μέση τιμή των αποκλίσεων από τη μέση τιμή των μετρήσεων, Δ μ = Αν οι μετρήσεις ακολουθούν κατανομή Gauss, περίπου το 58% θα βρίσκεται στο διάστημα ± Δμ Τυπική απόκλιση Εάν οι μετρήσεις ακολουθούν κατανομή Gauss, η πιθανότητα να συμβεί το αποτέλεσμα είναι ( o ) 1 σ P()= e σ π όπου o είναι η πιο πιθανή τιμή και σ η τυπική απόκλιση που καθορίζει το εύρος της κατανομής. Αυτήν την f( 0 -σ 0 0 +σ

9 9 κατανομή ακολουθούν τα τυχαία σφάλματα και γι αυτό με προσέγγιση της κατανομής των μετρήσεων με κατανομή Gauss η τυπική απόκλιση αποτελεί τον τρόπο που εκφράζεται το σφάλμα.. Τυπική απόκλιση Η μέση τιμή είναι η πιο πιθανή τιμή μίας κατανομής Gauss. Η τυπική απόκλιση τότε εκφράζεται σε σχέση με τη μέση τιμή ως ( ) σ = Η ποσότητα σ, δηλαδή το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης, ονομάζεται διασπορά. Η πιο καλή εκτίμηση της αληθινής τυπικής απόκλισης είναι ( ) σ = 1 Ο λόγος που διαιρούμε με Ν για την εκτίμηση της μέσης τιμής και με Ν-1 για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή είναι ο εξής: Για τον υπολογισμό της διασποράς δεν χρησιμοποιείται η αληθινή μέση τιμή του αλλά η καλύτερη εκτίμησή της δηλαδή ο μέσος όρος των μετρήσεων. Έτσι η υπολογιζόμενη ποσότητα ( ) είναι πάντα λίγο μικρότερη από την επιθυμητή ( ) αληθ. Στη θεωρία των πιθανοτήτων (χρησιμοποιώντας δηλαδή την υπόθεση ότι οι μετρήσεις ακολουθούν κατανομή Gauss) αποδεικνύεται ότι αυτή η υποτίμηση διορθώνεται χρησιμοποιώντας Ν-1 αντί για Ν. Εάν πραγματοποιηθεί άλλη μία μέτρηση του τότε (ιδιότητα της κατανομής Gauss) αυτή θα είχε πιθανότητα περίπου 68% να βρίσκεται στο διάστημα ± σ χ. Ποιά είναι η πιθανότητα η μέση τιμή που υπολογίσαμε και η οποία βασίζεται σε μικρό αριθμό μετρήσεων να βρίσκεται κοντά στην αληθινή μέση τιμή που βασίζεται σε ένα μεγάλο (άπειρο) αριθμό μετρήσεων; H απάντηση βρίσκεται στην ακόλουθη διαπίστωση: Ανάμεσα στις μετρήσεις πολλών παρατηρητών που καταλήγουν σε διαφορετική μέση τιμή και διαφορετική τυπική απόκλιση, υπάρχει μία πιο στενή διασπορά των μέσων τιμών σε σχέση με τη διασπορά των μεμονωμένων μετρήσεων. Δηλαδή, η τυπική απόκλιση των μέσων τιμών είναι μικρότερη από τις τυπικές αποκλίσεις των μεμονωμένων μετρήσεων. Αυτή η τυπική απόκλιση των μέσων τιμών δίνει την πιθανότητα του παραπάνω ερωτήματος και υπολογίζεται από τη θεωρία ως: ( ) R σ R σ = = ( 1) και ονομάζεται τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής (ή απόλυτο σφάλμα μέσης τιμής). Άρα ενδιαφερόμαστε για το σφάλμα της μέσης τιμής, το οποίο είναι μικρότερο από σ εάν υπήρχαν πολλές μετρήσεις π.χ εάν υπάρχουν 0 μετρήσεις, το σφάλμα της μέσης τιμής θα είναι 0 = φορές μικρότερο από το σφάλμα κάθε μέτρησης.

10 10 Το σφάλμα της μέσης τιμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει τη βεβαιότητα των Ν μετρήσεων μας για τη μέση τιμή του δηλαδή γράφοντας ± σ σ όπου σ =. σημαίνει ότι εάν επαναληφθούν οι Ν μετρήσεις του θα υπάρχει 68% πιθανότητα η καινούρια μέση τιμή να βρίσκεται μέσα στο διάστημα ± σ (δηλαδή μεταξύ + σ και σ ). Σημαίνει επίσης ότι υπάρχει 3% πιθανότητα να είναι έξω από αυτό το διάστημα. Δηλαδή στα 100 τέτοια πειράματα, κατά μέσο όρο τα 3 θα καταλήξουν σε μία τιμή έξω από τα τυπικά σφάλματα. Για μια κατανομή Gauss υπάρχει περίπου 90% πιθανότητα η αληθινή τιμή να βρίσκεται στο διάστημα + σ δηλαδή σε διάστημα διπλάσιο από το τυπικό σφάλμα και μόνο 0.3% να είναι έξω από το διάστημα ± 3σ. Παράδειγμα Σε ένα πείραμα καταμέτρησης κοσμικών ακτίνων που προσπίπτουν σε έναν ανιχνευτή ανά ώρα, έγιναν εννέα μετρήσεις και τα αποτελέσματα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα. Έτσι i i ( i - ) Σ =900/9=100 και σ =1500/8 =188 ή σ = 14. Άρα η πιθανότητα να υπάρχει μία μέτρηση του στο διάστημα 100 ± 14 είναι 68%. Η τιμή που προσδιορίζει αυτό το set μετρήσεων είναι 100 ± 14 / 9 ή 100 ± 5. Εάν κάποιος κάνει άλλες εννέα μετρήσεις του, η νέα μέση τιμή έχει 68% πιθανότητα να βρίσκεται στο διάστημα 100 ± 5. Διαδικασίες τυχαίας καταμέτρησης όπως αυτό το παράδειγμα υπακούουν στην κατανομή Poisson για την οποία σ =. Άρα η αναμενόμενη τιμή του σ είναι 10. Αυτή είναι μικρότερη από την τιμή 14, γεγονός που δείχνει είτε ότι η διαδικασία δεν τελείως τυχαία ή πιθανότερο- χρειάζονται και άλλες μετρήσεις. Η ίδια ανάλυση σφάλματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για κάθε set επαναλαμβανόμενων μετρήσεων είτε τα σφάλματα προέρχονται από τυχαίες διαδικασίες είτε όχι. Για παράδειγμα αν σε ένα πείραμα απαιτείται η μέτρηση του χρόνου t 5 φορές. Η μέση τιμή του χρόνου θα είναι

11 11 Σti t1 + t + t3 + t4 + t5 t = = 5 5 και το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής είναι ( ti t ) σt = n( n 1) όπου n=5 Ε-Π Χριστοπούλου, Μάρτιος 005 Αναφορές Taylor, J.R., An Introduction to Error Analysis (A series of Boos in Physics, Commins, Eugene, D., Editor University Sciences Boos, Mill Valley, California).

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ. Περιεχόμενα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ. Περιεχόμενα ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Περιεχόμενα 1) Γενικές Πληροφορίες ) Ανάλυση σφαλμάτων 3) Γραφικές παραστάσεις 4) Υπόδειγμα Εργαστηριακής Άσκησης 5) Εργαστηριακές Ασκήσεις Άσκηση 1 Μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Σύνοψη Πέραν από την ιδιαίτερη προσοχή που θα πρέπει να επιδείξουμε κατά τη λήψη μετρήσεων σε ένα πείραμα, μεγάλη σημασία έχει ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Εισαγωγή... 2 Έννοια του σφάλματος...3 Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 Εκτίμηση του σφάλματος κατά την ανάγνωση κλίμακας...8 Πολλαπλές μετρήσεις... 10 Περί του αριθμού των σημαντικών

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 4 Ορθότητα, Ακρίβεια και Θόρυβος (Accuracy, Precision and Noise) Φ. Πλέσσας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΑΝΗ Γ. ΛΑΥΡΕΝΤΗ Ο ΗΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΤΗΡΙΩΝ Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα σε μία σύνθετη μέτρηση. Αρχικά δίνονται προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Αθήνα 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ... 2. ΤΥΠΟΙ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ... 3. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός είναι να κατανοηθεί η έννοια των σφαλμάτων, η σπουδαιότητά τους και η αναγκαιότητα υπολογισμού τους. Δίνονται επίσης οι βασικοί μαθηματικοί τύποι που επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα.

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα. Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Πείραμα Συστηματική παρατήρηση & μέτρηση φυσικών φαινομένων Επαλήθευση απλών νόμων Εκπαίδευση στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Χρήστος Μπαντής Ελληνικό Ινστιτούτο Μετρολογίας Βιομηχανική Περιοχή Θεσσαλονίκης, Οικ. Τετρ. 45 57022 Σίνδος, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x

Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Θεωρία Σφαλμάτων: Βασικές γνώσεις περί σφαλμάτων με στόχο την κατανόηση των διαφόρων πηγών σφάλματος πειραματικών μετρήσεων, του τρόπου ποσοτικής εκτίμησης της επίδρασής τους στην (αν-)ακρίβεια

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα θέσης και διασποράς

Μέτρα θέσης και διασποράς Μέτρα θέσης και διασποράς Η επικρατούσα τιμή ως μέτρο κεντρικής τάσης Εύκολο στον υπολογισμό Επικρατούσα τιμή Η πιο συχνή ή η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο τιμών 11, 3, 8, 2, 1, 5, 3, 7 Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 3: Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥ- ΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥ- ΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥ- ΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Τζ. Τσιτοπούλου, Ι. Χριστακόπουλος]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Άσκηση 4: Σφάλματα φακών: Ι Σφαιρική εκτροπή Εξεταζόμενες γνώσεις: σφάλματα σφαιρικής εκτροπής. Α. Γενικά περί σφαλμάτων φακών Η βασική σχέση του Gauss 1/s +1/s = 1/f που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΕΚΦΕ Αν. Αττικής Υπεύθυνος: Κ. Παπαμιχάλης ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Κεντρική επιδίωξη των εργαστηριακών ασκήσεων φυσικής στην Α Γυμνασίου, είναι οι μαθητές να οικοδομήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Χειμερινό Εξάμηνο 007 1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Χειμερινό Εξάμηνο 007 Πρόβλημα 1 Προσδιορίστε ποια από τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Αποδείξαμε πειραματικά, με τη βοήθεια του φαινομένου της περίθλασης, ότι τα ηλεκτρόνια έχουν εκτός από τη σωματιδιακή και κυματική φύση. Υπολογίσαμε τις σταθερές πλέγματος του γραφίτη

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργούμε τις συνθήκες που μας επιτρέπουν να μελετήσουμε τα συγκεκριμένα φαινόμενα, απομονώνοντάς τα από διάφορα «εμπόδια» (ΠΕΙΡΑΜΑ).

Δημιουργούμε τις συνθήκες που μας επιτρέπουν να μελετήσουμε τα συγκεκριμένα φαινόμενα, απομονώνοντάς τα από διάφορα «εμπόδια» (ΠΕΙΡΑΜΑ). Παρακολουθώντας ότι συμβαίνει γύρω μας, ή κάποιο πείραμα παρατηρούμε κάποια γεγονότα, τα οποία δεν μπορούμε να τα ερμηνεύσουμε στα πλαίσια της υπάρχουσας θεωρίας. Αυτά τα γεγονότα τα εξετάζουμε χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης

Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης 1 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝ/ΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΩΤ. ΣΑΚΚΟΠΟΥΛΟΣ Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης (Θεωρία σφαλμάτων, Σημαντικά ψηφία) ΠΑΤΡΑ 2016 2 Εισαγωγή Στη Φυσική, όπως αυτή εκτίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΕΤΥ203 3 Ώρες εργαστηρίου την ημέρα Προαπαιτούμενo: Φυσική Ι (ΕΤΥ101) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + 0.4*(Βαθμός Τελικής εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β Γυμνασίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Βασικές έννοιες: Θέση - μετατόπιση - χρόνος - χρονικό διάστημα - ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου

Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β - Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Πείραμα και θεωρία Πειράματα Φυσικής Β Γυμνασίου Η Φυσική είναι η επιστήμη που διαμόρφωσε και συνεχίζει

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να σχεδιάζει κύκλωμα αντιστάσεων σε παράλληλη σύνδεση και να μετράει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι:

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: Μετρήσεις-Αβεβαιότητα-Σφάλματα. Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: ΑΜΕΣΗ ή ΕΜΜΕΣΗ Στην άμεση μέτρηση το μέγεθος μετράται με κάποιο όργανο. Στην έμμεση μέτρηση το μέγεθος υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Φυσικής Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Τόμος Ι Αθήνα 013 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Εισαγωγή 5 Α. Γενικές οδηγίες για τη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού εκκρεμούς.

Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού εκκρεμούς. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 09104042 Εργαστηριακή Άσκηση 2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση τυπικής αβεβαιότητας τύπου B Η εκτίμηση βασίζεται στις διαθέσιμες πληροφορίες και την εμπειρία, χρησιμοποιώντας συνήθως: τα χαρακτηριστικά του κατασκευαστή

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 5: Εκτίμηση αβεβαιότητας στην ενόργανη ανάλυση

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 5: Εκτίμηση αβεβαιότητας στην ενόργανη ανάλυση Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 5: Εκτίμηση αβεβαιότητας στην ενόργανη ανάλυση Θωμαΐδης Νικόλαος Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ISO/IEC 1705 ΟΡΙΣΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις

Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις Ο άνθρωπος αρχίζει να αποκτά γνώση για τον φυσικό κόσμο γύρω του, από τη στιγμή που αρχίζει να καταγράφει τα φυσικά φαινόμενα και να τα επεξεργάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα