Σημαντικές παρατηρήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημαντικές παρατηρήσεις"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β Για να βρούμε τον παράγωγο αριθμό μιας συνάρτησης σ ένα σημείο, προσέχουμε τα εξής: Το σημείο πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης το οποίο να είναι υποσύνολο του πεδίο ορισμού της συνάρτησης Η συνάρτηση να είναι συνεχής στο H έννοια της παραγώγου στο α,,β βρίσκει εφαρμογή στη φυσική αφού: t αν θεωρήσουμε = S(t) τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού τότε η στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση υ(t ) S (t ), δηλαδή είναι η παράγωγος της συ- νάρτησης θέσης Σχόλιο: Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο οπότε είναι υ(t ) Ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t ισχύει είναι υ(t ) Αντίστοιχα, προκύπτει ότι η επιτάχυνση α(t) από τη σχέση α(t ) υ (t ) t ισχύει St S t St S t t t ενός κινητού τη χρονική στιγμή, δηλαδή είναι η παράγωγος της ταχύτητας t t t,, οπότε δίνεται Βασικές Προτάσεις (χωρίς απόδειξη) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα, τότε είναι συνεχής στο [Θεώρημα σελ 7 σχολικού] Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο [Λόγω αντιθετοαντιστροφής του παραπάνω θεωρήματος] Μέθοδοι Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση με κλάδους, απόλυτες τιμές κλπ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο που αλλάζει τύπο, τότε, βρίσκουμε τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής κάνουμε χρήση του ορισμού Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

2 Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ακραίο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε, εργαζόμαστε με χρήση του ορισμού στο σημείο αυτό, δηλ, βρίσκουμε το όριο του λόγου μεταβολής της στο σημείο αυτό 3 Για να βρούμε παραμέτρους ώστε η να είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο απαιτούμε η να είναι καταρχήν συνεχής στο μετά να υπάρχει το όριο του λόγου μεταβολής της στο να είναι πραγματικός αριθμός το οποίο D 4 Αν ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά μόνο κάποια ανισοτική σχέση που ικανοποιεί, είναι παραγωγίσιμη στο του πεδίου ορισμού της, τότε: βρίσκουμε την τιμή Σχηματίζουμε το λόγο από τη δοσμένη σχέση θέτοντας όπου το μέσα στη δοσμένη ανισότητα Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των ορίων (πχ το κριτήριο παρεμβολής) βρίσκουμε το lim 5 Αν ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά μόνο κάποιες ιδιότητές της (πχ συναρτησιακές σχέσεις) ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο α του πεδίου ορισμού της, είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της (δηλ για κάθε ), τότε: Βρίσκουμε το Έχουμε πλέον γνωστό ότι Παίρνουμε το λόγο α από τις δοσμένες σχέσεις α lim α α α βρίσκουμε το όριό του όταν χρησιμοποιώντας το παραπάνω όριο Αυτό γίνεται συνήθως κάνοντας αλλαγή μεταβλητής ώστε από να παίρνουμε h α Ειδικά: αν η συναρτησιακή σχέση είναι της μορφής αβ τότε κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής h, ενώ αν η σχέση που δίνεται είναι της μορφής g αβ τότε κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής h, h 6 Αν ζητείται να υπολογισθεί όριο που κρύβει όριο λόγου μεταβολής, εξετάζω αν το όριο που δίνεται έχει τη μορφή lim, όπου κατάλληλη συνάρτηση οπότε κάνω χρήση του ορισμού της παραγώγου των κανόνων παραγώγισης Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

3 Ασκήσεις Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες οι συναρτήσεις β) () στα σημεία g ( ) συν, π,π, στο σημείο [Όλες του σχολικού σελ9-] Αν 3 Αν α ημ, () β 4, () α β γ, > α α, 4 Έστω με g(),g () Να βρείτε τα α, β να είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε τα α, β ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε τα α, β, γ ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο 5 Θεωρούμε συνάρτηση συνεχή στο για κάθε 3 3 ώστε η συνάρτηση ισχύει η ισότητα: g (), () α β, Να βρείτε, αν υπάρχει, την παράγωγο της στο σημείο = 6 Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο συνεχής στο αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 7 Αν παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 8 Aν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο είναι παραγωγίσιμη στο α 9 Αν, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο ( ) g() Αν για κάθε α α, να βρείτε το () ( lim α α () lim 3, να δείξετε ότι η συνάρτηση αν μόνον αν g( για κάθε, να δείξετε ότι () g () ισχύει είναι παραγωγίσιμη στο ( ) g() Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο ( ) g( ), με, να ( ) αg( ) για τις οποίες ισχύει () g() g( ), να δείξετε ότι: () g () Θεωρούμε συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα: κάθε Να δείξετε ότι () 3 Aν για κάθε ισχύει 6 3 () g () οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο, να δείξετε ότι: β) ( ) g( ) ( ) g ( ) 9 g( ) ισχύει () g(), να δείξετε ότι η ημ () () ημ, για, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

4 4 Έστω συνάρτηση : ( ), g() (3 5), με () Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο είναι παραγωγίσιμη στο 5 Αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο β) γ) δ) ε) ( h) ( ) lim = ( ) h h ( h) ( 3h) lim = 4 ( ) h h () ( ) lim ( ) ( ) e () e ( ) lim e ( ) ( ) ( h) ( ) ( ) lim, h h ο να δείξετε ότι: 6 Έστω συνάρτηση συνεχής στο, για την οποία ισχύει Nα δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 7 Θεωρούμε συνάρτηση για την οποία ισχύει: αποδείξετε ότι: (i) ημ, για κάθε R (ii) Η είναι παραγωγίσιμη στο 8 Θεωρούμε δύο συναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύει: Να αποδείξετε ότι: ημ g ημ, 3 () () ημ β) Οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες στο 3 3 () (), για κάθε, για κάθε () g () ημ Να, για κάθε *********** 9 Αν : Nα δείξετε ότι για την οποία ισχύουν ( y) ( ) ( y) y για κάθε,y Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο () β) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο α με (, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο Αν :, παραγωγίσιμη στο (α β) (συνβ (β)συνα για κάθε α, β β) () () () συν, για κάθε Θεωρούμε συνάρτηση :,, για την οποία ισχύει, να αποδείξετε ότι: η οποία ικανοποιεί τη σχέση: ( y) () (y) () (y), για κάθε,y Αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

5 Δίνεται η συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε,y () y ( y) () y να ισχύει: Δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 3 Έστω συνάρτηση ορισμένη στο, συνεχής στο () ημ στο 4 για κάθε, η οποία ικανοποιεί τη σχέση Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη 4 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με (), η οποία για κάθε,y * ικανοποιεί τη σχέση ( y) () (y) () Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 5 Έστω συνάρτηση : *, με ( ) παραγωγίσιμη στο ( (β) lim (α β) (), όπου α, β με α β 6 Έστω μία συνάρτηση η οποία για κάθε,y () (y) y () () (y) y Να αποδείξετε ότι: για κάθε,y β) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 7 Έστω συνάρτηση :(, ) Να αποδείξετε ότι ικανοποιεί τη σχέση η οποία ικανοποιεί τη σχέση:, ( ) () (y) ( y) y, για κάθε,y Αν είναι (), να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (, ) 8 Έστω συνάρτηση : R R τέτοια, ώστε Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι y y y γ) Να αποδείξετε ότι y y y για κάθε *,y δ) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι θα είναι παραγωγίσιμη στο κάθε α 9 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με () =, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () για κάθε () () (y) 6 ( y) (y) για κάθε,y () Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R, με ( ) ( ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδιο Φυλλάδι555 6 ο ο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημαντικές παρατηρήσεις Τα σύμβολα () είναι ταυτόσημα Εκφράζουν τα δύο την παράγωγο συνάρτηση της () Όμως, δε συμβαίνει το ίδιο για τα σύμβολα ( ) ( ) Το ( ) εκφράζει την τιμή της παραγώγου της στο σημείο πρόκειται για παράγωγο σταθερού αριθμού ( ), ενώ το ( ) είναι, αφού Η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν είναι κατ ανάγκη μια συνεχής συνάρτηση 3 Αν παραγωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμπεραίνεται ότι η Πρώτα απαλλασσόμαστε από το απόλυτο είναι παραγωγίσιμη στο Α 4 Αν παραγωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμπεραίνεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Α 5 Η συνάρτηση () έχει πεδίο ορισμού το, αλλά παραγωγίζεται στο, 6 Αν υπάρχει η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης στο ), σημαίνει ότι η ή [,β) (ν ), με θ είναι συνεχής στο D (δηλαδή το (ν) ( ) ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( θ, θ) ή (α, ] 7 Προσοχή! Είναι διαφορετικοί οι συμβολισμοί δύναμη), αφού: (ν) (ν) () () (ν) () ενώ (νιοστή παράγωγος) ν ν () () () ν () (νιοστή Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-9-

7 Ασκήσεις [Α,,4,5 Β, σελ7-8] Να αποδείξετε ότι: e lim ln Να αποδείξετε ότι: lim 3 Έστω συνάρτηση : τέτοια, ώστε ( y) () (y) για κάθε, y Να αποδείξετε ότι () β) Να αποδείξετε ότι ( y) () (y) γ) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή δ) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι παραγωγίσιμη 4 Αν για την συνάρτηση () :, ισχύει ( y) () (y),,y (, ), να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη 5 Έστω : () Να υπολογίσετε τα όρια: β) γ) () lim () lim () lim συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με () 6 Για τις συναρτήσεις, g δίνονται συνεχής στο g παραγωγίσιμη στο Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( g)() ταν g( ) 7 Δίνεται η συνάρτηση : με τύπο όχι παραγωγίσιμη σ αυτό Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης είναι παραγωγίσιμη στο, όταν μόνο ό-, () συν, β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο γ) Να υπολογίσετε το όριο lim () Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-9-

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Φυλλάδιο 7 ο ο 3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημαντικές παρατηρήσεις Οι κανόνες παραγώγισης ισχύουν για τις τιμές του στις οποίες όλες οι συναρτήσεις που εμφανίζονται παραγωγίζονται Σχόλιο: Οι κανόνες παραγώγισης εφαρμόζονται μόνο σε ανοικτά διαστήματα Αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του αθροίσματος δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, g στο ( ) g( ), τότε γράφουμε ( g) ( ) ( ) g ( ) ως παράγωγος της σταθερής συνάρτησης ( ) g( ) όχι ( ) g( ) Αντίστοιχη προσοχή δίνουμε αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του γινομένου ή του πηλίκου ή της σύνθεσης δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων 3 Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο δεν σημαίνει ότι η g, η g ή η παραγωγισιμότητας στο την βοήθεια του ορισμού g δεν είναι παραγωγίσιμη στο γιατί του πεδίου ορισμού της, Η εξέταση της σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω συναρτήσεις γίνεται με 4 Μπορεί δύο συναρτήσεις, g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο ορισμού τους η συνάρτηση g Παράδειγμα: Οι συναρτήσεις σημείο, ενώ η συνάρτηση g, ή g g ή g να είναι παραγωγίσιμη στο του πεδίου δεν είναι παραγωγίσιμες στο έχει τύπο ( g)() είναι παραγωγίσιμη στο Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

9 5 Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο συνάρτηση μιας συνάρτησης ορισμένης στο Α, θα δουλεύουμε ως εξής: i) Με κανόνες παραγώγισης θα υπολογίζουμε την, στα ανοικτά διαστήματα του πεδίου ορισμού της ii) Εκεί που κλείνει το πεδίο ορισμού Α της ή στα σημεία που αλλάζει ο τύπος της, θα δουλεύουμε πάντα με τον ορισμό της παράγωγου σε σημείο, για να βλέπουμε αν ορίζεται στη θέση αυτή παράγωγος, οπότε το σημείο αυτό του Α της, θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης, στην αντίθετη περίπτωση δεν θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης Σχόλιο: Δεν βρίσκουμε ποτέ το πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης από τον τύπο 6 Αν για τις συναρτήσεις,g ισχύει ότι () g() δεν σημαίνει απαραίτητα ότι () g() τότε () g () Ενώ αν () g () 7 Αν μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ, αντιστρέφεται η στο (Δ) με (), (Δ), τότε: παραγωγίσιμη Απόδειξη: Για κάθε (Δ) ισχύει (), Δ επομένως: () ( ) (), (Δ) () Η σχέση () εξασφαλίζει ότι, αν ( ) y ( ), τότε ( ) (y ) Βασικές Προτάσεις (με απόδειξη) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι περιττή Αν μία συνάρτηση είναι περιττή παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι άρτια ****** Σχόλιο: Ακολουθούν πίνακες με παραγώγους συναρτήσεων κανόνες παραγώγισης, κατά παράβαση ης γενικής αρχής ότι συνήθως δεν εμφανίζεται στα φυλλάδια θεωρία που υπάρχει μέσα στο σχολικό βιβλίο Αυτό γίνεται, κυρίως, για να υπάρχουν συγκεντρωμένα σε ένα μέρος όλοι οι τύποι τα αντίστοιχα πεδία ορισμού για να διευκολύνεται το διάβασμα των μαθητών Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

10 ( ΠΙΝΑΚΑΣ Ι ) Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων Συνάρτηση A Παράγωγος Διάστημα που παραγωγίζεται η ) () c ) () 3) (c) () ν (), ν {,} ν ν ( ) ν 4) κ * (), κ * κ κ ( ) κ * 5) () α, α [, ), αν α,, αν α (, ) ( ) α α α [, ), αν α,, αν α (, ) 6) 7) 8) 9) () ln () log () ln () (, ) (, ) (ln ) * [, ) (, ) (log ) (, ) ln (ln ) * (, ) ) ) ) () e () α, α () ημ (e ) e (α ) α lnα (ημ) συν 3) 4) () συν () εφ A { / συν } π { / κπ,κ } (συν) ημ (εφ) συν ( εφ ) A A 5) () σφ A { / ημ } { / κπ,κ } (σφ) ημ ( σφ ) A A 6) () * * 7) (),, * Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

11 Ειδική περίπτωση: παραγώγιση της συνάρτησης (), ν,μ ν μ * Αν μ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση γράφεται: Αν μ είναι άρτιος αριθμός, τότε η συνάρτηση γράφεται: () μ () ν με A [, ) μ μ ν ν μ ν ( ), με, Στη συνέχεια, παραγωγίζουμε τον κάθε κλάδο στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα ελέγχουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο άκρο ή στο σημείο αλλαγής του τύπου Προσοχή! Η συνάρτηση A [, ) ενώ A g μ () ν με μ άρτιο, είναι διαφορετική από την g() ν μ, αφού A ) Παράγωγος αθροίσματος ) Παράγωγος γινομένου αριθμού επί συνάρτηση 3) Παράγωγος γραμμικού συνδυασμού συναρτήσεων 4) Παράγωγος γινομένου ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ ) Κανόνες Παραγώγισης (αφορά συναρτήσεις παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα Δ) ( g) () () g () (λ) () λ () (λ λ λ ) () λ () λ () λ () κ κ κ κ (g) () () g() () g () αλλά (g h) () () g() h() () g () h() () g() h () (για περισσότερες των 3 παραγόντων-συναρτήσεων ομαδοποιούμε ακολουθούμε τους προηγούμενους κανόνες) 5) Παράγωγος πηλίκου () g() () g () () g g () ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ ) Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ η είναι παραγωγίσιμη στο g(δ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ ισχύει: ( g) () (g()) g () ή αλλιώς (g()) (g()) g () Αν u g(), τότε: (u) (u) u Αν y (u) u g(), τότε: dy dy du (κανόνας της αλυσίδας) γενικά d du d Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

12 Αν y (u (u (u (u ()))))) 3 κ, τότε: dy dy du du du d du du du d 3 κ ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙV ) Παράγωγοι βασικών συνθέτων συναντήσεων Αν η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε: ) ) ν ν () ν () (), ν {,} () (), () () Αν u (),όπου είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε έχουμε: ) ) ν ν u ν u u, ν {,} u u, u u 3) ημ() συν() () 3) ημu συνu u 4) συν() ημ() () 4) συνu ημu u 5) 6) () εφ() () συν () συν () () σφ() () ημ () ημ () 5) 6) u συν u συν u εφu u u σφu u ημ u ημ u 7) () () e e () 7) u u e e u 8) () ln () () () () 9) log () α ) () () lnα () () α α lnα () 8) 9) ln u log α ) u α u u u u u u u lnα u α lnα u ) λ λ () λ () (), (), λ {,} ) λ λ u λ u u, u, λ {,} g() g() ln() Προσοχή! Αν φ() [()] με (), τότε γράφουμε φ() e παραγωγίζουμε g() g() ln() g() ln() g() φ () [()] e e g() ln() [()] g() ln() Σχόλιο: Το πεδίο ορισμού της παραγώγου των παραπάνω συναρτήσεων προκύπτει εύκολα παρατηρώντας τον αντίστοιχο τύπο Ωστόσο, ο έλεγχος της ύπαρξης παραγώγου σε άκρα διαστημάτων γίνεται απαραίτητα με τον ορισμό Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

13 Ασκήσεις Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων: β) e ln ημ συν, g ημ, h, εφ ημ ln ημ, g, h, φ συν ημ e [Α,,3,4,6,,3,4,5 Β 7,9 σελ38-4] γ) δ) ε) e () e π συν ημ (),, g() (ημ),,, h() ( ),, φ() 3 3, () ημ ημ,, g() log (ημ), (, ) (, π), h() ημ(συν )συν(ημ ) Βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων κάνοντας χρήση του συμβολισμού Leibniz (κανόνας της αλυσίδας): β) φ() ln(ημ), (, π) 4 k() συν (3 ) 3 Αφού πρώτα υπολογίσετε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων, να βρείτε τις παραγώγους αυτών: () (e )ln( ) β) g() ln( ) γ) e e h() ( )ln 4 Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού των παραγώγων των συναρτήσεων: β) γ) () g() h() Nα βρεθεί η παράγωγος της στο σημείο όταν: () ημ 6 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : κάθε Nα βρείτε την () για την οποία 3 () ημ(π) 7 Aν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο περιττή, τότε να βρείτε: την () β) την g (), όταν () = g() ()ημ (ημ) για συν 8 Αν ()= +ημ, να βρείτε το π π Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

14 9 Nα αποδείξετε ότι: Αν β) Αν y e ln, τότε, τότε γ) Αν y e ημ συν () () dy y d, τότε y y e συν Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε ( 3) () Δείξτε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο είναι παράλληλη στον άξονα να ισχύει: 3 Aν Aν 64 7 ( ) ημ συν () g(), Εξετάστε αν ισχύει η σχέση β) Εξετάστε αν ισχύει η σχέση, να δείξετε ότι υπάρχει σημείο (g ) () g () () (g ) () g () () ***** 3 Να βρεθεί πολυώνυμο P() τέτοιο ώστε για κάθε P() 4 4 Αν Ρ() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού ν π, για το οποίο βρείτε την (g ) () Υπάρχει η (g ) () ; να ισχύει: P, να αποδείξετε ότι ο ρ ( ) 4P είναι παράγοντάς του αν μόνο αν ο ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου καθώς της παραγώγου του Δηλαδή, Ρ ρ π Ρ ρ Ρ ρ β) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του πολυωνύμου ν ν ν ν ν ν, νν με ν γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε το πολυώνυμο 4 Ρ α 4 α β 3β 4 να διαιρείται από το 3 5 Έστω το πολυώνυμο α β γ με ρίζες τους Να αποδείξετε ότι : i) ii) iii) iv) ρ ρ ρ 3 ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3 3 β ρ ρ ρ γ 3 για κάθε ρ,ρ,ρ 3 β αγ ρ ρ ρ γ 3 ***** ρ,ρ,ρ 3 διαφορετικές μεταξύ Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

15 6 Να βρείτε τα αθροίσματα: β) S e e e e 3 ν 3 ν S e e 3e νe, νν 7 Αν η συνάρτηση : (), για κάθε,y,α β) () () () ()e, είναι παραγωγίσιμη ισχύει, να δειχθεί:, για κάθε 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση,y R * () Δείξτε ότι: () y (y) β) () ( ) 9 Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : () ( y) ( y) ()(y) Να αποδείξετε ότι: () () για κάθε Να δείξετε ότι: Αν () β) Αν () ημ γ) Αν () e τότε τότε, τότε (ν) () (ν) y ( y) e () e (y) α * : τέτοια ώστε (y) () (y) για κάθε για κάθε, y [Υπολογισμός της (ν) με επαγωγή] ν ( ) ν! ν, νπ ( ) ημ +, ν (ν) () e ( ν) Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση α,α,,α,α ν ν Να αποδείξετε ότι α ν (ν) () ν! α ν ν ν, για την οποία ισχύει: α α α α (κ) () ν ν για κ ν [Υπολογισμός της - ] Α Έστω : (α,β) R συνάρτηση, γνησίως μονότονη συνεχής Αν η είναι παραγωγίσιμη στο η (α,β) με παραγωγίζεται στο Β Δίνεται η συνάρτηση 3 Δίνεται η (i) 3 () e ( ) η ( ) ισχύει ( ) ( ) () e, είναι συνεχής στο ( ), να βρείτε τον αριθμό ( ) (), με ( ) τότε: Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη να βρείτε το πεδίο ορισμού της (ii) Αν γνωρίζουμε ότι η ( ) () 4 Aν () ημ, - είναι παραγωγίσιμη στο D -, να αποδείξετε ότι π π, να αποδείξετε ότι ( ) (), (,) - Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Φυλλάδιο 8 ο ο - 3 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημαντικές παρατηρήσεις Η εφαπτομένης της γραφικής παράστασης είναι ευθεία που διέρχεται από το σημείο έχει συντελεστή διεύθυνσης την παράγωγο ( ) Επομένως, η εξίσωση της είναι: της στο C συνάρτησης σε σημείο επαφής Α(,y ) (,( )) y ( ) ( )( ) Α(,y ) Μεθοδολογία ΓΕΝΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ: Όταν ζητείται η εξίσωση εφαπτομένης μια συνάρτησης, τότε: Όταν γνωρίζουμε το σημείο επαφής A(,( )) η συνάρτηση είναι παραγω- γίσιμη στο Α: η εξίσωση της εφαπτομένης προκύπτει άμεσα από τον τύπο β) Όταν δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής: το ορίζουμε εμείς, έστω γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο βρίσκουμε ικανοποιώντας τις συνθήκες του προβλήματος ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ M(,( )), Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης , το οποίο ) Εφαπτομένη σε γνωστό σημείο Α(,()) της C [Α 5 σελ, Α 7,B, σελ39] Βρίσκουμε ( ) ( ) β) Γράφουμε την εξίσωση y ( ) ( )( ) ) Εφαπτομένη (που διέρχεται) από γνωστό σημείο Α, εκτός της C [Α σελ39] Ονομάζουμε έστω M(,( )) τo άγνωστο σημείο επαφής γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο Μ (ε): y y ( )( ) (μοναδικός, επομένως, άγνωστος είναι το β) Μετά απαιτούμε η ευθεία ε να διέρχεται από το σημείο Α γ) Υπολογίζουμε το γράφουμε τέλος την εξίσωση της ε () = λ+β ) ε:y=λ+β 3) Εφαπτομένη με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ [Α 3 σελ 8, Α 8,9,B,6 σελ39] Ονομάζουμε έστω M(,( )) τo άγνωστο σημείο επαφής β) Τότε λ ( ), οπότε το προσδιορίζεται γ) Γράφουμε, τέλος, την εξίσωση της ε M C () A M ( )=g() ε C Cg g() M

17 4) Ευθεία που εφάπτεται σε γραφική παράσταση [A, Β σελ39] Για να εφάπτεται η ευθεία ε : y λ β να υπάρχει σημείο για το οποίο ισχύουν συγχρόνως: M(,( )) της C με την Το σημείο Μ να επαληθεύει την (ε), δηλαδή ( ) λ β Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης C πρέπει β) Η κλίση της ευθείας (ε) να ισούται με την αντίστοιχη της C, δηλαδή ( ) λ 5) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε κοινό τους σημείο [Β 3 σελ39] Θεωρούμε M(,( )) το κοινό σημείο επαφής Οι γραφικές παραστάσεις των g θα έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη β) ( ) g( ) των y C g(), αν ισχύουν συγχρόνως:, δηλαδή το σημείο Μ είναι κοινό σημείο C g ( ) g ( ), οπότε επαληθεύει τις y (), δηλαδή οι C C g εφαπτόμενες Από τις σχέσεις αυτές υπολογίζουμε το φαπτόμενης έχουν παράλληλες κατόπιν την εξίσωση της κοινής ε- 6) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε διαφορετικά σημεία ( Ζητείται να βρούμε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των g Μια ευθεία (ε) θα είναι κοινή εφαπτομένη των αν υπάρχουν σημεία Α( α,() Β β,g ισχύουν: ( g (β) β) Η εφαπτομένη της Β( β,g(β)) C () στο Α α, C C g ( (β)) για τα οποία ( (), διέρχεται από το Από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκω τα α, β την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης 7) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε διαφορετικά σημεία (β) [Β 4, σελ39] Ζητείται να αποδείξουμε ότι η εφαπτόμενη (ε) της C, ()= λ+β σε συγκεκριμένο σημείο Α( α,() εφάπτεται στην C Αρκεί να υπάρχει σημείο Β β,g g ( (β)) της g C που να ικανοποιεί τα παρακάτω: ( g (β) βρίσκουμε τα β A στα οποία η C δέχεται εφαπτόμενη πα- g g ράλληλη στην (ε) β) Κατόπιν βρίσκουμε τις εφαπτόμενες της C στα σημεία β δείχνουμε ότι το g σημείο Α( α,() ανήκει σε μια από τις εφαπτόμενες που βρήκαμε M ε () C M ε C ( ) = g() ( )=g() A α ε :y=λ+β M Cg C β M B ε C C C ( )=g() ε Cg Cg M A

18 Ασκήσεις Δίνεται η συνάρτηση της Αν () 3 C που άγονται από το Κ () α ln β 3 φαπτόμενη της C το σημείο, να βρείτε τα α,β R στο σημείο της A,() 3 Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση δίνεται ότι () 3 () για κάθε Κ, Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της 4 Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: Να βρείτε τις εφαπτόμενες ώστε η ευθεία ε : y 4 να είναι ε- C ln () στο σημείο A,() για κάθε Δ Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο M,() 5 Έστω η συνάρτηση Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος C () που διέρχεται: από το σημείο (,) β) από το σημείο (,) 6 Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () 4 33, g() 7 Δίνεται η συνάρτηση με 3 () α 5 η ευθεία (ε) : y Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η ευθεία (ε) να είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της να βρείτε το σημείο επαφής β) Να βρείτε τα υπόλοιπα κοινά σημεία της (ε) με την 8 Δίνονται οι συναρτήσεις 3 g() 3 5 Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της C στο σημείο () e A,() C, εφάπτεται της 9 Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () g() 4 Θεωρούμε συνάρτηση την ευθεία με εξίσωση y η οποία εφάπτεται της στο σημείο με τετμημένη Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογίσετε το όριο () κ 6κ 7, με κ C g () lim Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του κ, η γραφική παράσταση της διέρχεται από σταθερό σημείο β) Να βρείτε τις τιμές του κ, για τις οποίες η C εφάπτεται στον άξονα C Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 9 ο ο 4 Ρυθμός Μεταβολής Έστω συνάρτηση y () παραγωγίσιμη στο Ρυθμός μεταβολής του y ως προς στο σημείο Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης λέγεται η παράγωγος Ρυθμός μεταβολής του y ως προς λέγεται η παράγωγος () Αν δύο μεγέθη,y συνδέονται με την σχέση y () προς, τότε: Αν το y αυξάνεται ως προς με ρυθμό α, εννοούμε () α ( ) παραγωγίσιμη συνάρτηση ως β) Αν το y μειώνεται ως προς με ρυθμό α, εννοούμε () α [Κίνηση υλικού σημείου] 3 Έστω σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα ας είναι S S(t) η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού 4 Ο ρυθμός μεταβολής της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή, της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή τη χρονική στιγμή t συμβολίζεται με t υ(t ) t είναι η παράγωγος S (t ), λέγεται (στιγμιαί ταχύτητα του κινητού Είναι δηλαδή S (t ) = υ(t ) Απλούστερα, ταχύτητα είναι η παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο, δηλαδή υ(t) S (t) 5 Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή είναι η παράγωγος υ (t ), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή Είναι, δηλαδή, α( t )=υ ( t ) = S(t ) t t συμβολίζεται με α(t ) t, λέγεται (στιγμιαί Απλούστερα, επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο, ή η δεύτερη παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο Δηλαδή α(t) υ (t) S (t) 6 Επί πλέον, ισχύουν τα εξής: Αν S(t), τότε το κινητό βρίσκεται στην αρχή των αξόνων β) Αν S(t), τότε το κινητό βρίσκεται επί του θετικού άξονα γ) Αν S(t), τότε το κινητό βρίσκεται επί του αρνητικού άξονα δ) Αν S(t), τότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά (θετική φορά) ε) Αν S(t), τότε το κινητό κινείται προς τα αριστερά (αρνητική φορά) στ) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση προς τα δεξιά

20 ζ) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση προς τα αριστερά η) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε μηδενισμό της ταχύτητας θ) Αν υ(t) S (t) ι) Αν υ(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση επιταχυνόμενη, τότε έχουμε κίνηση επιβραδυνόμενη ι Αν α(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση επιταχυνόμενη ιβ) Αν α(t) S (t), τότε έχουμε κίνηση επιβραδυνόμενη ιγ) Αν α(t) S (t), τότε έχουμε μηδενισμό της επιτάχυνσης ιδ) Αν α(t) S (t) ιε) Αν α(t) S (t) [Οικονομικά μεγέθη], τότε έχουμε αύξηση της επιτάχυνσης, τότε έχουμε μείωση της επιτάχυνσης 7 Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη (έσοδ Ε το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος 8 Η σχέση που συνδέει τις παραπάνω συναρτήσεις είναι: τα παρακάτω: Η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα, όταν Η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής της είσπραξης Ε ως προς την ποσότητα, όταν Η παράγωγος, όταν Κ ( ) Pt ( ) Ε( t) K( t) (), ενώ ισχύουν λέγεται οριακό κόστος στο E ( ) P ( ) λέγεται οριακή είσπραξη στο παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κέρδους P ως προς την ποσότητα λέγεται οριακό κέρδος στο 9 Από την () προκύπτει ότι: P( t) Ε( t) K( t) Ακόμη, υπάρχουν οι ακόλουθες έννοιες: K() Μέσο κόστος παραγωγής της ποσότητας ενός προϊόντος, είναι K () μ E() Μέση είσπραξη (μέσο έσοδο) της ποσότητας ενός προϊόντος, είναι E () μ P() Μέσο κέρδος της ποσότητας ενός προϊόντος, είναι P () μ [Σύνθετες συναρτήσεις] Αν το y είναι συνάρτηση του [ y y() ] το είναι συνάρτηση του t ( (t) ), τότε το y είναι τελικά συνάρτηση του t [ y(t) y((t)) ] Γενικά στα προβλήματα ρυθμού μεταβολής κάνουμε χρήση του τύπου Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης (g ) () g () () αν ο κανόνας της αλυσίδας dy dy du, με y g(u) u (), έχει ευρύτερη εφαρμογή d du d 3 Στο dy, το δηλώνει ανεξάρτητη μεταβλητή στη γενική περίπτωση δηλώνει συνάρτηση d 4 Συνάρτηση είναι το dy όπου, y είναι οι μεταβλητές της συνάρτησης από την οποία d προήλθε

21 Μέθοδοι Πως λύνουμε προβλήματα ρυθμού μεταβολής Αναγνωρίζουμε τις μεταβλητές του προβλήματος Επισημαίνουμε τους ρυθμούς μεταβολής που δίνονται αυτούς που ζητούνται Βρίσκουμε τύπους που συνδέουν τις μεταβλητές του προβλήματος Εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης ( ή τον κανόνα της αλυσίδας) Κίνηση σημείου σε καμπύλη Οι συντεταγμένες του σημείου Μ(,y) της καμπύλης φ(,y) είναι συναρτήσεις του χρόνου t Έτσι: Η εξίσωση της καμπύλης γράφεται φ (t),y Παραγωγίζουμε την σχέση ως προς t ( (t)) 3 Προβλήματα που οι συναρτήσεις,y συνδέονται με κάποια σχέση Είναι δυνατόν η σχέση αυτή να λύνεται ως προς y ή να μη λύνεται ως προς y ή να λύνεται με περισσότερους από έναν τύπους ως προς y, όπως για παράδειγμα είναι οι y Τότε, συνήθως, y p, Εκφράζουμε τις συναρτήσεις με μια κοινή μεταβλητή t: β) Παραγωγίζουμε την σχέση ως προς t (t), y y(t) Λυμένα παραδείγματα [Το «κλασικό» πρόβλημα της σκάλας] Μία σκάλα μήκους 3 m είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο Το κάτω μέρος Β γλιστράει στο δάπεδο με ρυθμό, m/sec Την στιγμή που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο,5 m να βρείτε: Τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ β) Την ταχύτητα πτώσης του Α Λύση: Αρχικά, σημειώνουμε πως τα μεγέθη, y, θ μεταβάλλονται όλα συναρτήσει του χρόνου t Συνεπώς είναι: (t),y(t) θ(t), επιπλέον (t), m / sec Ζητούμενο είναι το θ (t) Ψάχνω μια σχέση που να συνδέει τη γωνία θ με όσο το δυνατόν μόνο γνωστά μεγέθη Ισχύει συνθ συνθ(t) (t) συνθ(t) (t) ημθ(t) θ (t) (t) (t) θ (t) β) Ζητούμενο είναι το y (t) Μια σχέση που συνδέει τις μεταβλητές μου είναι y 9 [Π Θεώρημα στοοαβ] Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

22 Άρα, έχουμε: η χρονική στιγμή όπου (t ) (t ) (t) y (t) 9 (t) (t) y (t) y(t) y (t ) y(t ) y(t ),5m άρα (t ) 9 y (t ),75, όπου t Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

23 Ασκήσεις [Όλες του σχολικού σελ43-45] Η θέση ενός κινητού πάνω σε άξονα κατά την χρονική στιγμή t δίνεται από την συνάρτηση θέσης S με 3 S(t) t t 6t 3 Την αρχική ταχύτητα του κινητού β) Σε ποιες χρονικές στιγμές μηδενίζεται η ταχύτητα γ) Πότε η ταχύτητα του κινητού είναι ίση με 4 m/sec δ) Ποια χρονική στιγμή η επιτάχυνση του είναι 8 m/sec όπου S σε μέτρα t σε sec Να βρείτε: ε) Ποιες χρονικές στιγμές το κινητό αλλάζει κατεύθυνση κίνησης στ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα στα οποία μειώνεται το μέτρο της ταχύτητας του κινητού Το κόστος παραγωγής Κ() η τιμή πώλησης Π(), μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις αντιστοίχως ( ) 3 3 Κ 6 Π() 4 Nα αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους ο ρυθμός μεταβολής της πώλησης είναι ίσοι β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος γ) Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους 3 Η ολική επιφάνεια ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό P() Π () K() cm / sec είναι θετικός Τη στιγμή κατά την ο- ποία η ακμή του κύβου είναι,8 m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου του κύβου 4 Να δειχθεί ότι η απόλυτη τιμή ενός μεγέθους p(t) p(t) p (t) αυξάνει αν μόνον αν 5 Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση σημείο Α 3, y Καθώς περνάει από το, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 3 μονάδες ανά sec Nα βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης κατά την χρονική στιγμή που το κινητό διέρχεται από το σημείο Α 6 Κατά μήκος των πλευρών Ο Οy μιας ορθής γωνίας κινούνται τα σημεία Α Β αντίστοιχα έτσι ώστε (ΟΑ) (ΟΒ) cm Την χρονική στιγμή t κατά την οποία το κι- νητό Α κινείται με ταχύτητα 8cm/sec απέχει από το Ο απόσταση (ΟΑ) 3cm να βρείτε: Tην ταχύτητα με την οποία κινείται το Β β) Tον ρυθμό μεταβολής της απόστασης (ΑΒ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-7-

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδιο Φυλλάδι555 9 ο ο - 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς (Α) ή ψευδείς (Ψ) Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, όταν υπάρχει το όριο () () lim Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο της, τότε () lim () () 3 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο όταν υπάρχουν τα όρια () () lim, () () lim 4 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο συνεχής στο σημείο αυτό 5 Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 6 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ( h) () lim h () h 7 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο είναι συνεχής στο σημείο αυτό του πεδίου ορισμού του πεδίου ορισμού της, είναι πραγματικοί αριθμοί του πεδίου ορισμού της, τότε είναι του πεδίου ορισμού της, τότε του πεδίου ορισμού της, τότε η 8 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της C στο σημείο της,() 9 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει (), τότε η εξίσωση της οριζόντιας εφαπτομένης της C στο,() είναι η y H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της A,(), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C Για μια συνάρτηση ισχύει δέχεται οριζόντια εφαπτομένη 3 ) e Τότε η ()( C στο σημείο A,() Για να εφάπτεται η C στον άξονα, θα πρέπει: () () 3 Αν μια ευθεία (ε) έχει μόνο ένα σημείο τομής με τη γραφική παράσταση της, τότε είναι οπωσδήποτε εφαπτόμενη αυτής Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

25 4 Αν η παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, Δ είναι μια λύση της εξίσωσης () τότε στο η εφαπτόμενη της C είναι παράλληλη προς την διχοτόμο y της ης 3 ης γωνίας των αξόνων 5 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 6 Αν οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέχονται κοινή εφαπτομένη 7 Η συνάρτηση () έχει διαφορετική κλίση σε κάθε σημείο της 8 Υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα οποία η C έχει τον ίδιο ρυθμό μεταβολής () 3 9 Αν () g() για κάθε ( α,β) (α,β) () g() για κάθε ( α,β) παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε η g παραγωγίσιμη στο Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε, τότε η () συνάρτηση για κάθε Αν η : είναι άρτια παραγωγίσιμη, τότε η είναι περιττή Αν ο αριθμός είναι διπλή ρίζα της πολυωνυμικής συνάρτησης (), τότε το της () 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα το, τότε η η g είναι παραγωγίσιμες στο 4 Αν,g : Δ, Δ διάστημα το Δ ώστε η συνάρτηση g είναι συνεχής είναι ρίζα να είναι παραγωγίσιμη στο Δ ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο η g να μην είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 5 Η ρητή συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη 6 Αν 7 Αν (),, τότε η είναι παραγωγίσιμη με 3, τότε () 4 4 () 5, () ( ln ), 8 Αν παραγωγίσιμη στο η g δεν παραγωγίζεται στο g(), τότε η g δεν παραγωγίζεται στο 9 Αν,g : Δ, Δ διάστημα Δ, τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα Δ στο, τότε η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα g παραγωγίσιμη στο, τότε η g παραγωγίσιμη στο 3 Αν,g : Δ, Δ διάστημα g() τότε, η g παραγωγίσιμη στο ώστε οι συναρτήσεις, g να είναι παραγωγίσιμες στο ώστε οι συναρτήσεις, g να μην είναι παραγωγίσιμες Δ ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο, () Δ ώστε οι συναρτήσεις g παραγωγίσιμες στο με, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

26 33 Αν μια συνάρτηση g δεν είναι παραγωγίσιμη στο g(), τότε η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 34 Η συνάρτηση με () είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της 35 Η συνάρτηση με () 36 Αν : παραγωγίσιμη, τότε η συνάρτηση h με είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει () ln h() () ημ() είναι παραγωγίσιμη 37 Αν μια συνάρτηση είναι πολυωνυμική ν βαθμού, τότε η είναι επίσης πολυωνυμική ν- οστού βαθμού 38 Αν () ημ, τότε ισχύει πάντα () συν 39 Η συνάρτηση με 4 Αν,g : 4 Αν : (), είναι παραγωγίσιμη στο με () παραγωγίσιμες με () g(),, τότε ()( g)() παραγωγίσιμη με ημ συν,, τότε (ημ) 4 Αν () ημ, τότε () (), 43 Αν () ln( ), τότε () συν, 44 Αν η πολυωνυμική συνάρτηση έχει το ρ διπλή ρίζα, τότε η έχει το ρ απλή ρίζα () () 45 Αν (), τότε (3 h) (3) 46 Αν lim, τότε (3) h h 47 Είναι π () συν Άρα 3 π () ημ 3 για κάθε κοντά στο 48 Για την ισχύει ότι (3) 5, τότε θα είναι (3)(5) 49 Είναι d( 5) d Αν μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, τότε η είναι συνεχής στο Δ 5 Η συνάρτηση, 3 3, 3 είναι παραγωγίσιμη στο, με () 5 Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ( g)() () g() 53 Ο ρυθμός μεταβολής μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο του πεδίου ορισμού της, ισούται με την παράγωγό της στο 54 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης, της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο του πεδίου ορισμού της, ισούται με το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης στο 55 Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο, εκφράζει την επιτάχυνση του κινητού Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-3-

27 56 Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο, εκφράζει τη ταχύτητα του κινητού 57 Αν Κ είναι η συνάρτηση που εκφράζει το κόστος της παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος τότε, το όριο lim K() εκφράζει το οριακό κόστος στο 58 Ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας ενός κύκλου ως προς την ακτίνα του ισούται με την περίμετρο του κύκλου 59 Ένα κινητό κινείται κατά μήκος του ενός άξονα υ(t) είναι η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t Παρακάτω είναι η γραφική παράσταση της υ(t) Τότε Όταν t,4 το κινητό κινείται προς τα δεξιά β) Όταν t γ) Όταν t 4 δ) Όταν t 6 ε) Όταν t 8 στ) Όταν t,6 το κινητό είναι ακίνητο το κινητό αλλάζει φορά κίνησης το κινητό έχει επιτάχυνση μηδέν το κινητό αλλάζει φορά κίνησης δεξιά προς αριστερά το κινητό επιβραδύνει Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Σε ποιο από τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ είναι η y παράγωγος της συνάρτησης ίση με Α: στο Κ Β: στο Λ Γ: στο Μ Δ: στο Ν K Λ O Ν Ξ Ε: στο Ξ Μ Η ευθεία (ε) είναι εφαπτομένη της καμπύλης y () στο σημείο Σ(,) Τότε ( ) y=() y ε Α: Β: Σ Γ: Δ: Ε: κανένα από τα προηγούμενα - - O Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-4-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ 1o ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού της συµπίπτει µε τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο - 33 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση στο o = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση o = ηµ συν, f() = είναι παραγωγίσιµη, = f() = e, < είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις. Ορισμός : Εστω ΑR. Ονομάζουμε (πραγματική) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, μια διαδικασία f Παραδείγματα i) με την οποία στοιχείο xα yβr. ii) Ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ? Εύρεση εφαπτόμενης της γνωστό σημείο (, ( )) με την βοήθεια του ορισμού: Εάν το σημείο αλλαγής τύπου η σημείο μηδενισμού της ύπαρξης ποσότητας, εξετάζω αν η είναι παραγωγισιμη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; (Μονάδες 4)

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; (Μονάδες 4) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 216 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα