Σχετικές πληροφορίες: Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες"

Transcript

1 Σχετικές πληροφορίες: Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Μέρος 1: Βασικές έννοιες Μια σύντομη εισαγωγή σε βασικές αρχές και μεγέθη στατιστικής. Χρήση στατιστικών μοντέλων για την τεκμηρίωση απαντήσεων σε ερευνητικά ερωτήματα και υποθέσεις. Μάρτιος 2011 σελ. 1/19

2 Πραγματικότητα, μοντέλα και έλεγχος προσαρμογής Συχνά ενδιαφερόμαστε να ανακαλύψουμε σχέσεις μεταξύ μεγεθών και να ερμηνεύσουμε τους τρόπους με τους οποίους αλληλεπιδρούν (π.χ. εξάρτηση ύψους βάρους). Προκειμένου να το επιτύχουμε συλλέγουμε δεδομένα τα οποία στη συνέχεια αναλύουμε για να καταλήξουμε σε συμπεράσματα. Για την αναπαράσταση και ανάλυση των δεδομένων αυτών συχνά δημιουργούμε στατιστικά μοντέλα. Έτσι μπορούμε στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τα μοντέλα αυτά (ως ισοδύναμα της πραγματικής κατάστασης) και να προβούμε σε προβλέψεις/εκτιμήσεις μεγεθών. Τα μοντέλα μπορεί να αναπαριστούν διαδικασίες (συμπεριφορές) για τις οποίες μπορούμε να προβλέψουμε πώς εκφράζονται υπό ορισμένες συνθήκες. Όσο ακριβέστερα είναι τα μοντέλα που δημιουργούμε τόσο πιο ακριβής θα είναι και οι προβλέψεις οι οποίες διατυπώνονται. Ας δούμε το παράδειγμα του κύκλου. Προκειμένου να αναπαραστήσουμε σωστά έναν κύκλο, χρησιμοποιούμε ένα πλήθος σημείων τα οποία στη συνέχεια ενώνουμε με μια γραμμή. Τα σημεία αυτά πρέπει να ισαπέχουν από ένα σημείο Κ (το κέντρο του κύκλου). Με λίγες καταγραφές (π.χ. 4) έχουμε ένα μοντέλο (ορθογώνιο) το οποίο δεν κυκλικό. Έτσι, το μοντέλο αυτό δεν μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμο ενός κύκλου, δηλαδή είναι ακατάλληλο για την αναπαράσταση ενός κύκλου. Λαμβάνοντας περισσότερα σημεία (π.χ. 6) έχουμε μια ικανοποιητικότερη αναπαράσταση ενός κύκλου, η οποία ωστόσο αποκλίνει από την πραγματική κατάσταση. Η χρήση του μοντέλου αυτού ως ισοδύναμου, θα οδηγούσε σε προβλέψεις η οποίες θα ήταν μάλλον ανακριβείς. Λαμβάνοντας ακόμη περισσότερα σημεία (π.χ. 8) προσεγγίζεται η γεωμετρική μορφή του κύκλου ακόμη καλύτερα, οπότε και το μοντέλο μας προσεγγίζει ακόμη περισσότερο την πραγματική κατάσταση. Όσο περισσότερα τα δεδομένα που συλλέγονται, τόσο ακριβέστερο το μοντέλο που δημιουργείται και άρα τόσο μεγαλύτερες οι πιθανότητες εύστοχων προβλέψεων οι οποίες πηγάζουν από το μοντέλο που δημιουργήσαμε. Σημειώνεται στο σημείο αυτό πως συχνά τα μοντέλα είναι χρονο-μεταβαλλόμενα, οπότε και απαιτείται η διαρκής ενημέρωσή τους. Μάρτιος 2011 σελ. 2/19

3 Πληθυσμός και δείγματα Πληθυσμός: είναι το σύνολο των μονάδων (ανθρώπων) από τις οποίες προέρχονται οι καταγραφές και στις οποίες εφαρμόζονται τα στατιστικά μας μοντέλα. Δείγμα: είναι ένα υποσύνολο του πληθυσμού από το οποίο λαμβάνονται μετρήσεις προκειμένου να δημιουργηθεί/ελεγχθεί ένα στατιστικό μοντέλο. Τα συμπεράσματα από τη μελέτη του δείγματος γενικεύονται (υπό προϋποθέσεις) στον ευρύτερο πληθυσμό. Οι λόγοι για τους οποίους ασχολούμαστε με δείγματα και όχι με τον πληθυσμό είναι πρακτικοί (συντομότερος χρόνος μελέτης, μικρότερο κόστος). Από ένα πληθυσμό μπορούν να προκύψουν πολλαπλά δείγματα (επειδή περιλαμβάνουν διαφορετικές μονάδες του πληθυσμού). Δημιουργείται έτσι ένα ερώτημα για το κατά πόσο ένα δείγμα είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού. Για παράδειγμα, ένα προσθέτουμε 1 μονάδα για κάθε άτομο του πληθυσμού το οποίο είναι χαρούμενο, αφαιρούμε 1 μονάδα για κάθε άτομο το οποίο είναι λυπημένο και δεν προσθαφαιρούμε τίποτα για τα άτομα στην ενδιάμεση κατάσταση, τότε δημιουργείται ένα μέγεθος (βαθμός ευτυχίας του πληθυσμού) ο οποίος και τον χαρακτηρίζει (π.χ. μ=3). Τότε, για να θεωρείται κάθε δείγμα (υποσύνολο του πληθυσμού) αντιπροσωπευτικό, θα πρέπει ο βαθμός ευτυχίας του υποσυνόλου να έχει την ίδια τιμή, δηλαδή να διατηρούνται οι αναλογίες μεταξύ των 3 ομάδων. Λόγω της τυχαίας επιλογής των μελών του δείγματος, αυτό δεν συμβαίνει πάντα κι έτσι ο δείκτης που χαρακτηρίζει το σύνολο (δείγμα) μπορεί να λαμβάνει διάφορες τιμές. Η αντιπροσωπευτικότητα κάθε δείγματος εκφράζεται από το τυπικό σφάλμα (standard error, SE), δηλαδή τη διαφορά μεταξύ της μέσης τιμή του ενός χαρακτηριστικού μεγέθους (που μας ενδιαφέρει) μεταξύ όλων των δυνατών δειγμάτων και της αντίστοιχης τιμής του πληθυσμού. Όταν το τυπικό σφάλμα είναι μηδενικό, τότε το δείγμα είναι ακριβής μικρογραφία του πληθυσμού. Εγείρεται όμως ένα ερώτημα: πώς θα υπολογίσω στο πλαίσιο της μελέτης μου τη μέση τιμή κάθε δυνατού δείγματος, εφ' όσον πρόκειται να δημιουργήσω μόνον ένα δείγμα; Επειδή αυτό είναι αδύνατον, βασιζόμαστε σε μια ικανοποιητική εκτίμηση του τυπικού σφάλματος βάσει των χαρακτηριστικών του Μάρτιος 2011 σελ. 3/19

4 δείγματος το οποίο έχουμε. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι η τυπική απόκλιση (s) της μέσης τιμής του μεγέθους (όπως αυτή προκύπτει από το δείγμα) και το μέγεθος του δείγματος, Ν. Η σχέση η οποί α δίνει την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος είναι: SE=AVG X X Pop = s N Η τιμή του τυπικού σφάλματος πρέπει να είναι κατά το δυνατόν μηδενική. Σε περίπτωση που δεν συμβαίνει αυτό, πρέπει να αυξήσουμε το μέγεθος του δείγματος (Ν). Όταν η τιμή γίνει ικανοποιητικά μικρή, τότε το δείγμα θεωρείται αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού και τα συμπεράσματα που διατυπώνονται από τη μελέτη του δείγματος μπορούν να γενικευθούν στον ευρύτερο πληθυσμό. Μάρτιος 2011 σελ. 4/19

5 Μεταβλητές Οι μεταβλητές είναι μαθηματικά μεγέθη τα οποία αναπαριστούν μεγέθη παραγόντων του περιβάλλοντος που διερευνούμε (π.χ. φύλο, ηλικία, χρόνος, κ.α). Μεταξύ των μεγεθών που μελετούμε γίνεται ένα βασικός διαχωρισμός ο οποίος αντικατοπτρίζεται και στις μεταβλητές που τα αναπαριστούν: υπάρχουν μεγέθη τα οποία επηρεάζουν και μεγέθη τα οποία επηρεάζονται, δηλαδή μια σχέση αιτίου και αιτιατού. Οι μεταβλητές που αναπαριστούν τα αίτια συχνά ονομάζονται ανεξάρτητες ενώ οι μεταβλητές οι οποίες επηρεάζονται ονομάζονται εξαρτημένες, επειδή ακριβώς οι τιμές τους εξαρτώνται από τις τιμές των πρώτων. Για παράδειγμα μεταξύ ηλικίας και σωματικού βάρους, είναι γνωστό πως υπάρχει συσχέτιση και πως καθώς αυξάνεται η ηλικία μας αυξάνεται και το βάρος μας (τουλάχιστον στα πρώτα χρόνια της ζωής μας). Η ηλικία είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή (οι τιμές της αυξάνονται ανεξέλεγκτα) και το σωματικό βάρος είναι η εξαρτημένη. Το σωματικό βάρος δεν είναι ανεξάρτητη μεταβλητή η οποία επηρεάζει την ηλικία μας, δηλαδή δεν γινόμαστε νεότεροι χάνοντας βάρος (αν και σίγουρα νιώθουμε καλύτερα!). Ένας άλλος διαχωρισμός μεταξύ των μεταβλητών γίνεται βάση των τιμών οι οποίες μπορούν να λάβουν καθώς και της φύσης των μεγεθών που αναπαριστούν: διακρίνονται σε ονομαστικές (nominal), τακτικές (ordinal), και ποσοτικές (interval). Οι ονομαστικές μεταβλητές χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν (εκφράσουν) κατηγορίες, όπως το φύλο (άνδρας ή γυναίκα), την απόκριση σε μια ερώτηση (ναι ή όχι), την εργασιακή κατάσταση (άνεργος, εργαζόμενος, ημι-απασχολούμενος) κλπ. Η αναπαράσταση μπορεί να γίνει και με αριθμούς (π.χ. 0= όχι και 1=ναι). Πέραν της διάκρισης των κατηγοριών οι ονομαστικές μεταβλητές δεν παρέχουν κάποια πληροφορία διαβάθμισης της έντασης μεταξύ διαδοχικών τιμών του μεγέθους που αναπαριστούν. Οι τακτικές μεταβλητές χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν δεδομένα στα οποία υπάρχει η έννοια της διαβάθμισης. Οι τιμές των τακτικών μεταβλητών αποδίδονται ανάλογα με τη διαβάθμιση στην ένταση (περισσότερο ή λιγότερο) του μεγέθους το οποίο καταγράφουν. Για παράδειγμα, μπορούμε να διατάξουμε τους αναγνώστες ενός βιβλίου βάσει των απαντήσεών τους στο Μάρτιος 2011 σελ. 5/19

6 ερώτημα πόσο ικανοποιημένοι είστε από τη χρήση μιας υπηρεσίας; αποδίδοντας στην μεταβλητή ικανοποίηση τις τιμές καθόλου, λίγο, αρκετά και πολύ. Χρησιμοποιώντας αυτές τις διατεταγμένες κατηγορίες μπορούμε να διαχωρίσουμε ομάδες ανθρώπων οι οποίοι ήταν λιγότερο ικανοποιημένοι από εκείνες που ήταν πολύ ικανοποιημένοι. Ωστόσο, ο διαχωρισμός αυτός δεν μας παρέχει ακριβή πληροφορία για τις διαφορές ικανοποίησης μεταξύ των ατόμων: είναι ένας χονδρικός διαχωρισμός. Οι ποσοτικές μεταβλητές (οι οποίες λαμβάνουν αυστηρώς αριθμητικές τιμές, δηλαδή νούμερα) χρησιμοποιούνται όταν είναι δυνατός ο αντικειμενικός διαχωρισμός μεταξύ των διαβαθμίσεων των τιμών τους. Χρησιμοποιούνται δηλαδή όταν οι τιμές τους μπορούν να μετρηθούν σε μια κλίμακα όπου οι αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών τιμών είναι ισαπέχουσες. Για παράδειγμα, το ύψος ενός ατόμου μπορεί να εκφραστεί με μια ποσοτική μεταβλητή, επειδή άτομα διαφορετικού ύψους μπορούν να διαχωριστούν αποδίδοντάς τους διαφορετικές τιμές (πχ. 167εκ, 173εκ., κλπ). Επιπλέον, γνωρίζουμε πως η διαφορά μεταξύ δύο ατόμων ύψους 150 και 160εκ. είναι ακριβώς ίση με τη διαφορά ύψους δύο άλλων ατόμων με ύψη 175 και 185εκ. Στις κοινωνικές επιστήμες συχνά μας απασχολούν μεγέθη (παράγοντες) οι οποίοι δεν είναι εύκολα μετρήσιμοι και ως εκ τούτου είναι δύσκολο να αποφανθούμε για το αν πρέπει να εκφραστούν με τακτικές ή ποσοτικές μεταβλητές. Για παράδειγμα, η ικανοποίηση, η ευτυχία, η επιθετικότητα, η ευημερία, κ.α. Δεν μπορούν να αποτιμηθούν αντικειμενικά όπως ο χρόνος, η ηλικία, ο μισθός, ο πληθυσμός, κ.α. Η εύρεση μετρικών αποτίμησης υψηλής ακρίβειας και αξιοπιστίας για τα μεγέθη της πρώτης ομάδας αποτελεί ακόμη και σήμερα ανοικτό ερευνητικό πεδίο. Συνήθως, αποτιμώνται είτε με υποκειμενικές ψυχομετρικές κλίμακες, είτε εξάγοντας τις τιμές τους μετρώντας άλλα μεγέθη τα οποία γνωρίζουμε πως τις επηρεάζουν. Μάρτιος 2011 σελ. 6/19

7 Βασικές έννοιες: Η μέση τιμή Μέση τιμή: είναι μια υποθετική τιμή η οποία υπολογίζεται βάση των μετρήσεων από το δείγμα. Είναι μια ισοδύναμη τιμή η οποία αναπαριστά κατά προσέγγιση ό,τι και το σύνολο των τιμών του δείγματος. Έτσι, είναι το απλούστερο μεταξύ των στατιστικών μοντέλων για τη συνοπτική περιγραφή των μετρήσεων. Στο παράδειγμα του σχήματος απεικονίζεται το πλήθος των ατόμων (κατακόρυφος άξονας) τα οποία βοήθησαν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας 5 διαφορετικοί βιβλιοθηκονόμοι μιας βιβλιοθήκης (οριζόντιος άξονας). Προκειμένου να αναπαραστήσουμε την ημερήσια εξυπηρέτηση της βιβλιοθήκης, χρησιμοποιούμε το μοντέλο του μέσου βιβλιοθηκονόμου (ο οποίος φυσικά είναι ανύπαρκτος), ο οποίος δύναται να εξυπηρετεί καθημερινά 2.6 άτομα!. Όπως λέγαμε και νωρίτερα, το μοντέλο αυτό πρέπει να ελεγχθεί για την ακρίβειά του. Η ακρίβεια (accuracy) του μοντέλου μέσης τιμής ελέγχεται εξετάζοντας την απόσταση (deviance) κάθε μέτρησης από τη μέση τιμή. Αθροίζοντας τις αποστάσεις των μετρήσεων σχηματίζουμε μια εικόνα για το μέγεθος του συνολικού σφάλματος (ή ανακρίβειας). Συχνά, αθροίζουμε τα τετράγωνα των επιμέρους αποστάσεων (Sum of Squares, SS), προκειμένου να υπερβούμε την αντιστάθμιση από τις αρνητικές επιμέρους αποστάσεις. Ωστόσο, η τιμή του αθροίσματος τετραγώνων εξαρτάται από το πλήθος των μετρήσεων, οπότε για να υπερβούμε το πρόβλημα αυτό πρέπει να κάνουμε μια αναγωγή στο πλήθος των μετρήσεων. Η αναγωγή αυτή εκφράζεται από τη διασπορά ή διακύμανση. Η διασπορά ή διακύμανση (variance) είναι ένα μέγεθος αποτίμησης της ακρίβειας του μοντέλου (προς τα πραγματικά δεδομένα) και υπολογίζεται από τη σχέση s 2 = SS/(N-1). Ωστόσο, επειδή οι μονάδες μέτρησής της είναι τετραγωνισμένες και δεν έχουν φυσική σημασία (π.χ. πώς μπορούν να ερμηνευθούν 1.3 τετραγωνισμένα άτομα ) συχνά χρησιμοποιείται ένα αποτετραγωνισμένο μέγεθος, το οποίο καλείται τυπική απόκλιση (standard deviation ). Η τιμή αυτή εκφράζει τη μέση απόκλιση των καταγεγραμμένων τιμών από την υπολογισμένη μέση τιμή 2.6. Σημειώνεται πως διαφορετικά δείγματα μπορεί να έχουν την ίδια μέση τιμή, όχι όμως την ίδια τυπική απόκλιση. Για το λόγο αυτό η Μάρτιος 2011 σελ. 7/19

8 τιμή της τυπικής απόκλισης αναγράφεται πάντα δίπλα στην μέση τιμή και ακριβέστερα είναι εκείνα τα μοντέλα μέσης τιμής τα οποία έχουν την μικρότερη τυπική απόκλιση. Η μέση τιμή είναι το απλούστερο μοντέλο το οποίο μπορεί να αναπαραστήσει ένα σύνολο δεδομένων. Τα πάντα στη στατιστική συνοψίζονται στην εξής εξίσωση: Εκτίμηση i = (Μοντέλο) i + σφάλμα i Μάρτιος 2011 σελ. 8/19

9 Κατανομές συχνοτήτων Έχοντας συλλέξει ένα πλήθος μετρήσεων (καταγραφών) είναι πολύ χρήσιμο να δει κανείς πόσες φορές αποτυπώθηκε κάθε τιμή του μεγέθους που καταγράφηκε. Η πληροφορία αυτή μπορεί να παρουσιαστεί με γραφικό τρόπο (χρησιμοποιώντας ράβδους το ύψος των οποίων είναι ανάλογο της συχνότητας εμφάνισης). Τέτοιου είδους γραφήματα ονομάζονται ιστογράμματα και αποτυπώνουν την κατανομή των συχνοτήτων εμφάνισης των τιμών. Τα γραφήματα αυτά είναι χρήσιμα για την ποιοτική εκτίμηση των ιδιοτήτων της κατανομής συχνοτήτων. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να δει εάν κάποια ή κάποιες τιμές κυριαρχούν (εμφανίζονται πολύ συχνότερα από κάποιες άλλες). Οι τιμές αυτές ονομάζονται ρυθμοί (modes) της κατανομής. Οι μορφές και τα σχήματα των κατανομών μπορούν να ποικίλουν. Για την περιγραφή της διαφοροποίησής τους χρησιμοποιούνται ορισμένα χαρακτηριστικά (ή ιδιότητες) όπως π.χ. η συμμετρία. Ιδανικά, οι μετρήσεις μας θα κατανέμοντας συμμετρικά γύρω από τη μέση τιμή, δημιουργώντας έτσι ένα ιστόγραμμα με μορφή καμπάνας. Αυτού του είδους η κατανομή είναι γνωστή και ως κανονική κατανομή (normal distribution). Οι τιμές οι οποίες βρίσκονται μακρύτερα από τη μέση τιμή (αυτές δηλαδή με τις μεγαλύτερες αποκλίσεις) είναι και αυτές οι οποίες εμφανίζονται λιγότερο συχνά. Μια κατανομή μπορεί να διαφοροποιείται από την κανονική εφ' όσον είναι ασύμμετρη ως προς τη μέση τιμή (skewed) είτε έχει διαφορετική καμπυλότητα (kurtosis). Ασύμμετρες ονομάζονται οι κατανομές στις οποίες η μέση τιμή διαφοροποιείται σημαντικά από τη γεωμετρικά ενδιάμεση τιμή των καταγεγραμμένων τιμών. Η γεωμετρικά ενδιάμεση τιμή (median) υπολογίζεται ως εξής: median = (min + max)/2. Έτσι δημιουργείται μια ουρά (skewness) στην κατανομή. Όταν η ουρά είναι προς την πλευρά των υψηλότερων τιμών, η κατανομή λέγεται πως είναι θετικώς κεκλιμένη (positevely skewed). Στην αντίθετη περίπτωση χαρακτηρίζεται ως αρνητικώς κεκλιμένη Μάρτιος 2011 σελ. 9/19

10 (negatively skewed). Όσον αφορά στην καμπυλότητα (kurtosis), μια κατανομή μπορεί να είναι αρκετά επίπεδη (platykurtic), δηλαδή μεταξύ των καταγεγραμμένων τιμών δεν παρατηρούνται σημαντικές διαφοροποιήσεις στη συχνότητα εμφάνισης. Αντιστρόφως, μια κατανομή χαρακτηρίζεται ως έντονης καμπυλότητας (leptokurtic) όταν μια ομάδα τιμών (κοντά στην μέση τιμή) εμφανίζει πολύ υψηλή συχνότητα εμφάνισης σε σχέση με το υπόλοιπο σώμα των καταγεγραμμένων τιμών. Οι τιμές ασυμμετρίας (skewness) και καμπυλότητας (kurtosis) υπολογίζονται από εξειδικευμένα λογισμικά. Στην περίπτωση της κανονικής κατανομής είναι αμφότερες μηδενικές. Για να αποφανθούμε με αντικειμενικό τρόπο αν μια κατανομή διαφοροποιείται από την κανονική, χρησιμοποιούμε ένα μαθηματικό έλεγχο (κριτήριο Kolmogorov-Smirnov ή κριτήριο Shapiro-Wilk) για τα οποία θα μιλήσουμε παρακάτω. Μάρτιος 2011 σελ. 10/19

11 Το παράδειγμα της τυπικής κανονικής κατανομής Οι κατανομές συχνοτήτων είναι σημαντικές επειδή εκφράζουν την πιθανότητα εμφάνισης μιας εκ των καταγεγραμμένων τιμών. Για παράδειγμα, το ιστόγραμμα του σχήματος απεικονίζει τη συχνότητα επίσκεψης σε μια βιβλιοθήκη ατόμων διαφόρων ηλικιακών ομάδων κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας. Καταγράφηκαν συνολικά 171 επισκέψεις και φαίνεται πως οι ηλικίες με τη μεγαλύτερη επισκεψιμότητα ήταν αυτές μεταξύ 25 και 30. Το γράφημα επίσης μας λέει πως πολύ λίγα άτομα ηλικίας άνω των 70 ετών επισκέφθηκαν την βιβλιοθήκη κατά την εβδομάδα καταγραφής. Έχοντας αυτό το ιστορικό καταγραφής (πληροφορία) μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις σε ερωτήματα της μορφής: Πόσο πιθανόν είναι να επισκεφθεί τη βιβλιοθήκη την τρέχουσα εβδομάδα ένα άτομο ηλικίας 70 ετών; Κοιτάζοντας το γράφημα μπορεί κανείς να δει πως είναι μάλλον απίθανο αφού την εβδομάδα καταγραφής μόλις 2-3 άτομα (από τα 171) ήταν αυτής της ηλικίας (και θεωρώντας πως δεν συνέβη εν τω μεταξύ κάτι που διαφοροποίησε σημαντικά την κατάσταση). Έαν πάλι το ερώτημα ήταν Πόσο πιθανόν είναι να επισκεφθεί τη βιβλιοθήκη κατά την τρέχουσα εβδομάδα ένα άτομο ηλικίας περίπου 30 ετών; η απάντηση είναι αρκετά πιθανόν αφού 32 από τα 171 άτομα (της εβδομάδας καταγραφής) ήταν αυτής της ηλικίας. Έτσι, χρησιμοποιώντας τις τιμές των συχνοτήτων εμφάνισης μπορούμε να εκτιμήσουμε την πιθανότητα εμφάνισης μιας συγκεκριμένης τιμής (ή ομάδας τιμών). Οι πιθανότητα εμφάνισης αποτιμάται με δεκαδικούς αριθμούς στο διάστημα 0 έως 1. Το μηδέν εκφράζει την αδιαμφισβήτητη πιθανότητα απουσίας εμφάνισης (δεν υπάρχει περίπτωση να προκύψει η συγκεκριμένη τιμή) ενώ το 1 εκφράζει την απόλυτη βεβαιότητα εμφάνισης μιας τιμής. Οι ενδιάμεσες δεκαδικές τιμές εκφράζουν τις ενδιάμεσες καταστάσεις. Για παράδειγμα, εάν η τιμή της πιθανότητας εμφάνισης μια ορισμένης τιμής (π.χ. άτομο ηλικίας 28 ετών) εκτιμηθεί ως 0.13 τότε ισχυριζόμαστε πως υπάρχει 13% πιθανότητα επίσκεψης ενός ατόμου ηλικίας 28 ετών κατά την τρέχουσα εβδομάδα. Ισοδύναμα, από τα πρώτα 100 άτομα τα οποία θα εισέλθουν στην βιβλιοθήκη κατά την τρέχουσα εβδομάδα, 13 αναμένεται να Μάρτιος 2011 σελ. 11/19

12 είναι ηλικίας 28 ετών. Αναγωγή κανονικής κατανομής στην τυπική κανονική κατανομή Οι τιμές των πιθανοτήτων υπολογίζονται από μαθηματικούς τύπους (ή πίνακες) βάσει της μορφής της κατανομής. Η τυπική κανονική κατανομή είναι μια κατανομή η οποία έχει μέση τιμή μηδέν και τυπική απόκλιση 1. Για την κατανομή αυτή έχουν υπολογιστεί οι πιθανότητες εμφάνισης κάθε τιμής γύρω από τη μέση τιμή. Ωστόσο, σπανίως τα δεδομένα που συλλέγουμε θα έχουν μέση τιμή μηδέν και τυπική απόκλιση 1 (για παράδειγμα ή μέση τιμή μπορεί να είναι 567 και η τυπική απόκλιση 52.98). Όμως κάθε σύνολο δεδομένων Χ μπορεί να μετασχηματιστεί σ' ένα άλλο σύνολο δεδομένων z με μέση τιμή μηδέν και τυπική απόκλιση 1, χρησιμοποιώντας τη σχέση: z= (X- μ)/s Έτσι, η κατανομή αυτή καθίσταται ιδιαίτερα σημαντική, επειδή κάθε άλλη κανονική κατανομή με διαφορετική μέση τιμή και τυπική απόκλιση μπορεί να αναχθεί στην τυπική κανονική κατανομή και κατά συνέπεια να εκτιμηθεί η πιθανότητα εμφάνισης μιας τιμής παραπλήσιας της μέσης τιμής. Παράδειγμα: Ποιά είναι η πιθανότητα να επισκεφθούν τη βιβλιοθήκη την τρέχουσα εβδομάδα άτομα ηλικίας άνω των 60 ετών; Γνωρίζουμε από το ιστορικό καταγραφής πως η μέση τιμή είναι 36 και η τυπική απόκλιση 13. Χρησιμοποιούμε τον τύπο μετασχηματισμού για να βρούμε την ισοδύναμη z τιμή του αριθμού 70. Είναι z(60)= (60-36)/13= Ανατρέχοντας στους πίνακες εκτίμησης της πιθανότητας εμφάνισης των τιμών γύρω από τη μέση τιμή μιας τυπικής κανονικής κατανομής, βρίσκουμε πως η πιθανότητα εμφάνισης τιμών μεγαλύτερων από 2.62 είναι p=.0329 ή 3.29%. Αντιστοίχως, βρίσκουμε πως οι πιθανότητα εμφάνισης τιμών μικρότερων από 1.84 (δηλαδή ατόμων με ηλικία μικρότερη από 60 ετών) είναι p=.9671 ή Μάρτιος 2011 σελ. 12/19

13 96.71% Υπάρχουν ορισμένα όρια τιμών z τα οποία συναντάμε συχνά: πρόκειται για τις τιμές μεταξύ: α) και 1.96 τα οποία εκφράζουν πιθανότητα εμφάνισης 95% β) και 2.58 τα οποία εκφράζουν πιθανότητα εμφάνισης 99% γ) και 3.29 τα οποία εκφράζουν πιθανότητα εμφάνισης 99.9% Μάρτιος 2011 σελ. 13/19

14 Γραμμικά μοντέλα Γραμμικά μοντέλα ονομάζονται αυτά τα οποία μπορούν να αναπαραστήσουν την εξάρτηση μεταξύ δύο μεγεθών (μεταβλητών) με μια εξίσωση, της οποίας η γραφική απεικόνιση είναι μια γραμμή. Ωστόσο, πρέπει να γίνεται διαχωρισμός με βάση το εάν η γραμμή αυτή είναι ευθεία (πραγματικώς γραμμικά μοντέλα) ή καμπύλη (μη-γραμμικά μοντέλα). Παράδειγμα Ας υποθέσουμε πως ενδιαφερόμαστε να δούμε εάν υπάρχει εξάρτηση (και τι είδους) μεταξύ του πλήθους κεφαλαίων στατιστικής τα οποία διαβάζει κανείς και της συμπάθειας προς τη στατιστική διαβάζοντας τα κεφάλαια αυτά (ως επακόλουθο της ανάγνωσης). Συγκεντρώνουμε ένα δείγμα ατόμων από το οποίο ζητάμε να αναφέρει πόσα κεφάλαια στατιστικής έχει διαβάσει (π.χ. 1, 2,...10) και πώς του φαίνεται η στατιστική, συνεπεία της ανάγνωσης των κεφαλαίων αυτών. Η συμπάθεια αυτή αποτιμάται υποκειμενικά σε μια κλίμακα 0 έως 100. Έχοντας συλλέξει τις μετρήσεις αυτές, τις αποτυπώνουμε σ' ένα διάγραμμα δύο αξόνων. Κάθε σημείο του γραφήματος προσδιορίζεται από τις δύο τιμές κάθε εγγραφής. Το σύνολο αυτό των δεδομένων μπορεί να περιγραφεί από το γραμμικό μοντέλο της μέσης τιμής (κόκκινη γραμμή). Ωστόσο, επειδή παρατηρούμε πως οι τιμές της συμπάθειας προς τη στατιστική δεν παραμένουν σταθερές καθώς αυξάνεται το πλήθος των κεφαλαίων που έχουν διαβαστεί, διαφαίνεται πως το μοντέλο της μέσης τιμής δεν προσεγγίζει ικανοποιητικά τα δεδομένα, με αποτέλεσμα να είναι ανακριβές (όπως ακριβώς το τετράγωνο είναι μια ανακριβής αναπαράσταση ενός κύκλου). Η μπλε διακεκομμένη γραμμή αναπαριστά ένα δεύτερο γραμμικό μοντέλο το οποίο όμως λαμβάνει υπόψιν την τιμή των διαβασμένων κεφαλαίων προκειμένου να προβλέψει το βαθμό συμπάθειας προς τη στατιστική. Παρατηρούμε πως το μοντέλο αυτό περιγράφει καλύτερα τις καταγεγραμμένες μετρήσεις. Οι αποστάσεις δηλαδή των σημείων από το γραμμικό μοντέλο είναι Μάρτιος 2011 σελ. 14/19

15 μικρότερες και άρα το μοντέλο είναι ακριβέστερο. Όπως διαφαίνεται ένα σύνολο δεδομένων μπορεί να περιγραφεί από περισσότερα από ένα μοντέλα. Ωστόσο, είναι σημαντικό να μπορούμε να αποτιμήσουμε την ακρίβεια προσαρμογής του μοντέλου στα δεδομένα (data fitting) προκειμένου να μπορούμε να καταλήξουμε στο καλύτερο μοντέλο, αυτό δηλαδή με την μεγαλύτερη ερμηνευτική ισχύ και ικανότητα αναπαραγωγής της πραγματικής κατάστασης. Σημειώνεται πως τα δύο μοντέλα του σχήματος είναι αμιγώς γραμμικά, δηλαδή προσεγγίζουν τις καταγεγραμμένες τιμές με ευθείες γραμμές. Ωστόσο, δεν είναι όλα τα μοντέλα αυτής της μορφής. Υπάρχουν και μοντέλα τα οποία είναι μη-γραμμικά δηλαδή αναπαριστούν τα δεδομένα των μετρήσεων με μη-ευθείες γραμμές. Στην περίπτωση αυτή οι γραμμές είναι καμπύλες. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το μοντέλο το οποίο περιγράφει τη σχέση μεταξύ ηλικίας και ύψους ενός ανθρώπου. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί στο χώρο των κοινωνικών/ανθρωπιστικών επιστημών χρησιμοποιούνται κατά κόρο γραμμικά μοντέλα ευθείας γραμμής. Έτσι, τα μοντέλα της οικογένειας αυτής τα οποία προσαρμόζουν ικανοποιητικά ένα σύνολο δεδομένων αναγνωρίζονται ως έγκυρα και δημοσιεύονται. Στην περίπτωση που δεν αναπαριστούν ικανοποιητικά το σύνολο δεδομένων (είναι δηλαδή ανακριβή) τότε απορρίπτονται και μαζί μ' αυτά συνήθως χάνονται και τα δεδομένα. Ωστόσο, πρέπει να διερευνηθεί μήπως μια άλλη οικογένεια μοντέλων (π.χ. μη-γραμμικά) μπορεί να προσεγγίσει καλύτερα το σύνολο των δεδομένων, δίνοντας μια νέα, διαφορετική προοπτική αναπαράστασης η οποία χρήζει δημοσιότητας. Γενικά, η γραφική αναπαράσταση των συσχετίσεων μεταξύ μεταβλητών μπορεί να δώσει μια καλή εικόνα για το είδος της εξάρτησης μεταξύ τους (γραμμική ή όχι) και γι' αυτό προτείνεται ανεπιφύλακτα. Μάρτιος 2011 σελ. 15/19

16 Πώς μπορούμε να γνωρίζουμε εάν το μοντέλο μας αναπαριστά την πραγματική κατάσταση; Μέχρι στιγμής είδαμε πως για πρακτικούς λόγους συλλέγουμε μετρήσεις από ένα δείγμα του πληθυσμού και όχι από το σύνολο του πληθυσμού. Ωστόσο, πρέπει να βεβαιωθούμε πως το τυπικό σφάλμα (το οποίο οφείλεται στη δειγματοληψία και στα χαρακτηριστικά του δείγματος) παραμένει χαμηλό. Είδαμε επίσης πώς χρησιμοποιείται η μέση τιμή ως μοντέλο αναπαράστασης ενός συνόλου δεδομένων και πώς ελέγχεται η ακρίβεια του μοντέλου αυτού. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το μοντέλα περιγράφουν εξαρτήσεις μεταξύ δύο (ή περισσότερων) μεταβλητών. Για να δημιουργηθούν τα μοντέλα πρέπει οι εξαρτήσεις αυτές (μεταξύ των μεταβλητών) να εντοπιστούν στον πληθυσμό και να ποσοτικοποιηθούν. Προκειμένου να τις εκφράσουμε ποσοτικοποιήσουμε και να αποφανθούμε για το εάν έχουν κάποια σημασία εργαζόμαστε ως εξής: 1. Διατυπώνουμε μια ερευνητική υπόθεση. Συνήθως διατυπώνουμε μια πρόβλεψη πως υπάρχει κάποιου είδους συσχέτιση (εξάρτιση) μεταξύ των μεταβλητών. 2. Συλλέγουμε μερικά χρήσιμα δεδομένα από ένα επαρκές δείγμα του πληθυσμού με κατάλληλη πειραματική διαδικασία. 3. Προσαρμόζουμε ένα μαθηματικό μοντέλο στα δεδομένα τα οποία συλλέξαμε. Το μοντέλο αυτό θα χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της πρόβλεψης που διατυπώσαμε. Εάν το μοντέλο δεν κρίνεται επαρκές (δεν ερμηνεύει δηλαδή την καταγεγραμμένη διακύμανση), το τροποποιούμε. 4. Τελικώς, χρησιμοποιούμε το μοντέλο για να ελέγξουμε την εγκυρότητα της πρόβλεψης, δηλαδή της ερευνητικής υπόθεσης που διατυπώσαμε. Ο έλεγχος των ερευνητικών ερωτημάτων (research questions) ανάγεται στον έλεγχο των ερευνητικών υποθέσεων οι οποίες απορρέουν. Μεταξύ των υποθέσεων (προς έλεγχο) υπάρχει η πειραματική υπόθεση (experimental hypothesis), δηλαδή η πρόβλεψη πως λόγω μιας πειραματικής επέμβασης (διαφοροποίησης) σε μια ανεξάρτητη μεταβλητή, μια άλλη μεταβλητή Μάρτιος 2011 σελ. 16/19

17 (εξαρτημένη) θα επηρεαστεί. Αυτή συχνά ονομάζεται πειραματική υπόθεση. Για παράδειγμα, από τον έλεγχο του ερευνητικού ερωτήματος Σχετίζεται το διάβασμα με τον πονοκέφαλο απορρέει η πειραματική υπόθεση πως Όσο περισσότερο διαβάζει κανείς, με τόσο περισσότερο πονοκέφαλο θα καταλήξει. Το αντίθετο ενδεχόμενο, δηλαδή να μην υπάρχει καμιά επίδραση εκφράζεται από την μηδενική υπόθεση (null hypothesis). Στο παράδειγμά μας, η μηδενική υπόθεση που απορρέει είναι πως Το διάβασμα δεν έχει καμιά επίδραση στην εκδήλωση πονοκεφάλου. Τα δεδομένα της πάνω εικόνας υποδεικνύουν πως το πλήθος των αναγνωσμένων κεφαλαίων ενός βιβλίου ΔΕΝ φαίνεται να συσχετίζεται με την ένταση πονοκεφάλου η οποία καταγράφεται. Δηλαδή, είτε τα διαβασμένα κεφάλαια είναι λίγα (1-2) είτε πολλά (περισσότερα από 4), ο πονοκέφαλος καταγράφεται τόσο σε χαμηλά όσο και σε υψηλά επίπεδα. Δεν διακρίνεται δηλαδή κάποια αυξητική ή άλλου είδους τάση η οποία να υποδηλώνει συσχέτιση (ή εξάρτηση). Όμως στο παράδειγμα της κάτω εικόνας διαφαίνεται ενός είδους εξάρτηση και μάλιστα ανάλογη, δηλαδή καθώς αυξάνεται το πλήθος των αναγνωσμένων κεφαλαίων, αυξάνεται και η ένταση του πονοκεφάλου που καταγράφεται. Στα δεδομένα αυτά μπορούμε να προσαρμόσουμε (δηλαδή να υπολογίσουμε από την ανάλυσή τους) ένα γραμμικό μοντέλο (π.χ. Ένταση = 1*κεφάλαια). Το μοντέλο υποδηλώνει μια γραμμική και ανάλογη εξάρτηση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Εφ' όσον έχει γίνει αποδεκτό, τότε μπορούμε ερμηνεύοντάς το να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση και να αποδεχθούμε την πειραματική. Ερώτηση: Πώς μπορούμε να μετρήσουμε την ένταση του πονοκεφάλου; Απάντηση: α) Περιγραφικά, κατά δήλωση των ατόμων (π.χ. χαμηλή, μέτρια, ισχυρή, πολύ ισχυρή, κλπ) β) Αριθμητικά: π.χ. Καταγράφοντας πόσα γραμμάρια DEPON απαιτούνται προκειμένου ο πονοκέφαλος να υποχωρήσει εντός 15 Μάρτιος 2011 σελ. 17/19

18 λεπτών. Η μεθοδολογία αυτή συχνά αναφέρεται και ως συμπερασματική στατιστική (inferential statistics), επειδή μας επιτρέπει να εξάγουμε κάποια συμπεράσματα επιβεβαιώνοντας ή απορρίπτοντας τις ερευνητικές υποθέσεις. Φυσικά, δεν μπορούμε να είμαστε απόλυτα σίγουροι για την επαλήθευση ή απόρριψη μιας ερευνητικής υπόθεσης. Ωστόσο, βασιζόμαστε στον υπολογισμό πιθανοτήτων για να εκφράσουμε κατά πόσο είναι πιθανόν τα συμπεράσματα αυτά να προέκυψαν τυχαία ή να αποτυπώνουν την πραγματική κατάσταση. Όσο η πιθανότητα σφάλματος ελαττώνεται τόσο περισσότερο σίγουροι μπορούμε να είμαστε πως τα αποτελέσματα της ανάλυσής μας δεν είναι τυχαίο εύρημα και πως πράγματι περιγράφουν την πραγματική κατάσταση, προσεγγίζουν δηλαδή το πραγματικό μοντέλο. Μάρτιος 2011 σελ. 18/19

19 Παραπομπές & Βιβλιογραφία Field, A. (2005) Discovering Statistics Using SPSS : and sex, drugs and rock 'n roll, 2 nd ed., Sage Publication StatSoft, Inc. (2011). Electronic Statistics Textbook. Tulsa, OK: StatSoft. WEB: Spiegel, M. (1975). Πιθανότητες και Στατιστική. Schaum's Outline Series, McGraw-Hill. Μάρτιος 2011 σελ. 19/19

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εισαγωγή στο P.A.S.W. Υποχρεωτικό μάθημα 4 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς Θεσσαλονίκη, Σεπτέμβριος 2010 2 3 4 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας A. Montgomery Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας Καρολίνα Δουλουγέρη, ΜSc Υποψ. Διαδάκτωρ Σήμερα Αναζήτηση βιβλιογραφίας Επιλογή μεθοδολογίας Ερευνητικός σχεδιασμός Εγκυρότητα και αξιοπιστία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Στατιστική Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(55) Κορρέ Πελαγία(580) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εαρινό εξάμηνο 0 Ρέθυμνο, 5/6/0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ:. Εισαγωγή.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης

Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης 1 ΤΥΠΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΗΜΕΝΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ιανουάριος Μάρτιος 2013 ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r)

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) 5 H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) Περίληψη Σκοπός του κεφαλαίου είναι η εφαρμογή της ανάλυσης συσχέτισης (Pearson r) μέσω του PASW. H ανάλυση συσχέτισης Pearson r χρησιμοποιείται για να εξεταστεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Θεματολογία. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Αντικείμενο της Στατιστικής. Βασικές έννοιες. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Στατιστική Ι

Θεματολογία. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Αντικείμενο της Στατιστικής. Βασικές έννοιες. Δεδομένα και αβεβαιότητα. Στατιστική Ι Ενότητα η : Εισαγωγή στη Στατιστική Θεματολογία Στατιστική Ι Ενότητα : Εισαγωγή Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Αντικείμενο της Στατιστικής : μεταβλητές,πληθυσμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ - 9900 ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΜΕ - 9900 ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΜΕ9900 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Έρευνα και Συγγραφή Λέκτορας Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρόβλημα: Με τον όρο αυτό εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Δομή προβλήματος: Με τον όρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Ποιός είναι ο σκοπός του μαθήματος μας? Στο τέλος του σημερινού μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα