Περηετόκελα. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ Equation Chapter 1 Section 1 ΣΑΔΗ

Transcript

1 1.Equation Chapter 1 Section 1 ΣΑΔΗ Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθψλ (Μεραληθή ΗΗ) Περηετόκελα ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ Μνλάδεο Οξηζκφο ηάζεο Παξακφξθσζεο Διαζηηθφηεηαο - Πιαζηηθφηεηαο Οξζέο θαη Γηαηκεηηθέο Σάζεηο Ηζνξξνπία Απεηξνζηνχ Σκήκαηνο Ηζνξξνπία πλφξνπ - πλνξηαθέο πλζήθεο Παξακφξθσζε ρέζεηο Σάζεσο Παξακφξθσζεο Γεληθή Πεξίπησζε ε κνλνδηάζηαην πξφβιεκα Πξφβιεκα επίπεδεο ηάζεο (plane stress) Πξφβιεκα επίπεδεο παξακφξθσζεο (plane strain) Μεηαζρεκαηηζκνί Σάζεσο Παξακφξθσζεο Δπίπεδε Σάζε Μεηαζρεκαηηζκφο ζε ηπραίν επίπεδν Κχξηεο Σάζεηο Μέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε Ο θχθινο ηνπ Mohr Πξνβιήκαηα Σάζεσλ Οξζέο θαη Γηαηκεηηθέο Παξακνξθψζεηο Θεσξία Δπίπεδε Παξακφξθσζε Μεηαζρεκαηηζκφο ζε ηπραίν επίπεδν Κχξηεο Παξακνξθψζεηο Μέγηζηε δηαηκεηηθή παξακφξθσζε Ο θχθινο ηνπ Mohr Πξνβιήκαηα Παξακνξθψζεσλ Αχμεζε Θεξκνθξαζίαο Αξρή Saint Venant Πεδίν Σάζεσλ ζην Υψξν Μεηαζρεκαηηζκφο ζε ηπραίν επίπεδν Μεηαζρεκαηηζκφο ζε ηπραίν επίπεδν (γξακκηθή άιγεβξα) Κχξηεο Σάζεηο Μέγηζηεο δηαηκεηηθέο Σάζεηο Κχθινο ηνπ Mohr Ηζφηξνπα Τιηθά Οξζφηξνπα (ή Οξζνηξνπηθά) Τιηθά Αληζφηξνπα Τιηθά Κξηηήξηα Αζηνρίαο Όιθηκα Διαηά Τιηθά Σάζε Von Mises Κξηηήξην Tresca Κξηηήξηα Αζηνρίαο Φαζπξά Τιηθά Κξηηήξην ηεο κέγηζηεο νξζήο ηάζεο Κξηηήξην ησλ Mohr-Coulomb Κξηηήξην Christensen Οιηθή Γπλακηθή Δλέξγεηα Οξηζκφο ηεο νιηθήο Γπλακηθήο Δλέξγεηαο Αξρή Διάρηζηεο Γπλακηθήο Δλέξγεηαο πζηήκαηα Γηαηήξεζεο ηεο Δλέξγεηαο Παξάδεηγκα Μέζνδνο Raleigh - Rit Παξάδεηγκα Μεζφδνπ Raleigh Rit Πξνζέγγηζε κε πνιπψλπκν 3 νπ βαζκνχ Πξνζέγγηζε κε πνιπψλπκν νπ βαζκνχ Πξνζέγγηζε κε πνιπψλπκν 1 νπ βαζκνχ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-1

2 χγθξηζε Απνηειεζκάησλ Μέζνδνο Galerkin Παξνπζίαζε ηεο Μεζφδνπ Αξηζκεηηθφ Παξάδεηγκα Αζθήζεηο Πίλαθες ΠΗΝ. 1.1:ΜΟΝΑΓΔ ΣΟ ΤΣΖΜΑ SI 1-4 ΠΗΝ. 1.:ΠΟΛΛΑΠΛΑΗΑ ΚΑΗ ΤΠΟΓΗΑΗΡΔΔΗ ΣΟ ΤΣΖΜΑ SI ΠΗΝ. 1.3: ΔΚΦΡΑΔΗ ΣΧΝ ΣΑΘΔΡΧΝ ΣΧΝ ΤΛΗΚΧΝ Χ ΠΡΟ ΟΠΟΗΟΓΖΠΟΣΔ ΕΔΤΓΟ ΑΤΣΧΝ 1-5 Στήκαηα Υ. 1.1: Ζ ΔΠΗΒΟΛΖ ΦΟΡΣΗΟΤ P ΔΥΔΗ Χ ΑΠΟΣΔΛΔΜΑ ΣΖΝ ΑΝΑΠΣΤΞΖ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΖ ΣΑΖ ΣΖ ΣΖΡΗΞΖ ΣΟΤ ΣΟΗΥΔΗΟΤ. ΑΠΟ ΣΖΝ ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΣΧΝ ΓΤΝΑΜΔΧΝ ΠΡΟΚΤΠΣΔΗ Ζ ΥΔΖ (1.1) 1-5 Υ. 1.: ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΓΡΑΜΜΗΚΟΤ ΣΟΗΥΔΗΟΤ. 1-6 Υ. 1.3: ΟΡΘΔ ΣΑΔΗ. 1-7 Υ. 1.4: ΓΗΑΣΜΖΣΗΚΔ ΣΑΔΗ. 1-8 Υ. 1.5: ΧΜΑ 3 ΓΗΑΣΑΔΧΝ. 1-9 Υ. 1.6: ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΟΓΚΟΤ Υ. 1.7: ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΟΓΚΟΤ ΚΑΣΑ Υ Υ. 1.8: ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΟΓΚΟΤ ΚΑΣΑ Τ 1-1 Υ. 1.9: ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΟΓΚΟΤ ΚΑΣΑ Ε 1-1 Υ. 1.10: ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΓΤΝΑΜΔΧΝ Δ ΠΔΠΔΡΑΜΔΝΖ ΔΠΗΦΑΝΔΗΑ (ΤΜΒΗΒΑΣΟ ΣΧΝ ΣΑΔΧΝ) 1-13 Υ. 1.11: ΗΟΡΡΟΠΗΑ ΓΤΝΑΜΔΧΝ Δ ΠΔΠΔΡΑΜΔΝΖ ΔΠΗΦΑΝΔΗΑ (ΤΜΒΗΒΑΣΟ ΣΧΝ ΣΑΔΧΝ D) 1-14 Υ. 1.1: ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ DX*DY Υ. 1.13: ΓΗΑΣΜΖΣΗΚΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ DX*DY Υ. 1.14: ΟΡΗΜΟ ΣΟΤ ΤΝΣΔΛΔΣΖ POISSON Υ. 1.15: ΠΡΗΜΑΣΗΚΖ ΡΑΒΓΟ ΣΟΜΖ Δ ΣΤΥΑΗΟ ΔΠΗΠΔΓΟ (ΑΠΟ EGOR POPOV ) 1-18 Υ. 1.16: ΣΟΜΖ ΠΡΗΜΑΣΗΚΖ ΡΑΒΓΟΤ ΜΔ ΚΑΘΔΣΑ ΜΔΣΑΞΤ ΣΧΝ ΔΠΗΠΔΓΑ (ΑΠΟ EGOR POPOV ) 1-19 Υ. 1.17: ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΔΠΗΠΔΓΖ ΣΑΖ Υ. 1.18: ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΔΠΗΠΔΓΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ. 1-1 Υ. 1.19: ΔΠΗΠΔΓΖ ΣΑΖ 1- Υ. 1.0: ΚΤΚΛΟ ΣΟΤ MOHR (1 Ο. Ο ΚΑΗ 3 Ο ΒΖΜΑ) 1-6 Υ. 1.1: ΚΤΚΛΟ ΣΟΤ MOHR (4 Ο ΒΖΜΑ) 1-7 Υ. 1.: ΚΤΚΛΟ ΣΟΤ MOHR ΚΤΡΗΔ ΣΑΔΗ 1-7 Υ. 1.3: ΚΤΚΛΟ ΣΟΤ MOHR ΚΤΡΗΔ ΣΑΔΗ ΓΧΝΗΔ ΣΧΝ ΥΔΔΧΝ (1.90) ΚΑΗ (1.9). 1-8 Υ. 1.4: ΟΡΘΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΚΑΣΑ Υ. 1-8 Υ. 1.5: ΟΡΘΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΚΑΣΑ Y. 1-9 Υ. 1.6: ΟΡΘΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΚΑΣΑ Ε. 1-9 Υ. 1.7: ΓΗΑΣΜΖΣΗΚΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ DX*DY Υ. 1.8: ΔΠΗΠΔΓΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ 1-30 Υ. 1.9: ΚΤΚΛΟ MOHR ΚΤΡΗΔ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΜΔΓΗΣΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΓΧΝΗΔ ΣΧΝ ΥΔΔΧΝ (1.108) ΚΑΗ (1.110) 1-3 Υ. 1.30: ΚΑΣΑΝΟΜΖ ΣΑΔΧΝ ΛΟΓΧ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΓΤΝΑΜΖ ΚΑΗ ΚΑΣΑΝΔΜΖΜΔΝΟΤ ΦΟΡΣΗΟΤ ΑΡΥΖ SAINT VENANT Υ. 1.31: ΣΑΔΗ ΣΟ ΥΧΡΟ 1-34 Υ. 1.3: ΣΤΥΑΗΟ ΔΠΗΠΔΓΟ ΣΟ ΥΧΡΟ 1-35 Υ. 1.33: ΑΠΔΗΚΟΝΗΖ ΣΧΝ ΤΝΖΜΗΣΟΝΧΝ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΓΗΑ ΣΟΝ ΑΞΟΝΑ Υ 1-35 Υ. 1.34: ΑΠΔΗΚΟΝΗΖ ΣΧΝ ΤΝΖΜΗΣΟΝΧΝ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΓΗΑ ΣΟΝ ΑΞΟΝΑ Τ 1-36 Υ. 1.35: ΑΠΔΗΚΟΝΗΖ ΣΧΝ ΤΝΖΜΗΣΟΝΧΝ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΓΗΑ ΣΟΝ ΑΞΟΝΑ Z 1-36 Υ. 1.36: ΤΣΖΜΑ Υ Τ Ε ΣΟ ΟΠΟΗΟ ΔΥΔΗ ΔΠΗΒΛΖΘΔΗ ΠΔΡΗΣΡΟΦΖ ΠΔΡΗ ΣΟΤ ΑΞΟΝΑ Υ ΚΑΣΑ Α=Π/ Υ. 1.37: ΚΑΣΑΣΑΖ ΣΑΔΧΝ ΣΟΤ 1 ΟΤ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑΣΟ Υ. 1.38: ΚΑΣΑΣΑΖ ΣΑΔΧΝ ΣΟ ΔΠΗΠΔΓΟ Υ. 1.39: ΚΤΚΛΟ ΣΟΤ MOHR (3D) 1-50 Υ. 1.40: ΗΟΣΑΣΗΚΖ ΤΜΠΗΔΖ ΣΟΤ ΤΛΗΚΟΤ 1-51 Υ. 1.41: ΚΡΗΣΖΡΗΟ TRESCA (ΑΠΟ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-

3 Υ. 1.4: ΤΓΚΡΗΖ ΚΡΗΣΖΡΗΧΝ TRESCA ΚΑΗ VON MISES (ΑΠΟ Υ. 1.43: ΚΡΗΣΖΡΗΟ RANKINE (ΑΠΟ Υ. 1.44: ΚΡΗΣΖΡΗΟ MOHR COULOMB H ΠΔΡΗΟΥΖ ΦΑΗΟΤ ΥΡΧΜΑΣΟ ΚΑΘΟΡΗΕΔΗ ΣΟ ΦΑΚΔΛΟ ΛΔΗΣΟΤΡΓΗΑ ΣΟΤ ΤΛΗΚΟΤ 1-58 Υ. 1.45: ΤΓΚΡΗΖ ΚΡΗΣΖΡΗΟΤ MOHR COULOMB ΚΑΗ ΚΡΗΣΖΡΗΟΤ RANKINE Υ. 1.46: ΚΡΗΣΖΡΗΟ CHRISTENSEN ΠΛΖΡΧ ΟΛΚΗΜΟ ΤΛΗΚΟ 1-60 Υ. 1.47: ΚΡΗΣΖΡΗΟ CHRISTENSEN ΚΑΝΟΝΗΣΗΚΑ ΟΛΚΗΜΟ ΤΛΗΚΟ 1-61 Υ. 1.48: ΚΡΗΣΖΡΗΟ CHRISTENSEN ΦΑΘΤΡΟ ΤΛΗΚΟ 1-61 Υ. 1.49: ΤΓΚΡΗΖ ΚΡΗΣΖΡΗΟΤ CHRISTENSEN ΜΔ ΚΡΗΣΖΡΗΑ VON-MISES & TRESCA (ΜΔΓΗΣΖ ΓΗΑΣΜΖΣΗΚΖ ΣΑΖ) 1-61 Υ. 1.50: ΤΓΚΡΗΖ ΚΡΗΣΖΡΗΟΤ CHRISTENSEN ΜΔ ΚΡΗΣΖΡΗΑ MOHR-COULOMB & RANKINE (ΜΔΓΗΣΖ ΟΡΘΖ ΣΑΖ) 1-6 Υ. 1.51: ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΗΟΡΡΟΠΗΑ Υ. 1.5: ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ ΓΗΑ ΣΖΝ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΖ ΜΔΘΟΓΟ Υ. 1.53: ΠΡΟΒΟΛΟ ΤΠΟΒΑΛΛΟΜΔΝΟ Δ ΑΞΟΝΗΚΟ ΚΑΣΑΝΔΜΖΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ NX(X) Υ. 1.54: ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ U(X) ΓΗΑ ΠΟΛΤΧΝΤΜΟ 3 ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ Υ. 1.55: ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ Δ(X) ΓΗΑ ΠΟΛΤΧΝΤΜΟ 3 ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ Υ. 1.56: ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ U(X) ΓΗΑ ΠΟΛΤΧΝΤΜΟ ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ Υ. 1.57: ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ Δ(X) ΓΗΑ ΠΟΛΤΧΝΤΜΟ ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ. 1-7 Υ. 1.58: ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ U(X) ΓΗΑ ΠΟΛΤΧΝΤΜΑ ΓΗΑΦΟΡΧΝ ΣΑΞΔΧΝ Υ. 1.59: ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ Δ(X) ΓΗΑ ΠΟΛΤΧΝΤΜΑ ΓΗΑΦΟΡΧΝ ΣΑΞΔΧΝ Υ. 1.60: ΤΝΘΖΚΖ ΟΡΘΟΓΧΝΗΚΟΣΖΣΑ Υ. 1.61: ΠΡΟΒΟΛΟ ΤΠΟΒΑΛΛΟΜΔΝΟ Δ ΑΞΟΝΗΚΟ ΚΑΣΑΝΔΜΖΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ NX(X) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-3

4 Ch apt er 1 Section 1ΣΑΕΙ Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθψλ (Μεραληθή ΗΗ) 1. Equation ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΕΙ ΤΛΙΚΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕ 1.1. Μονάδερ ήκεξα γηα ηηο κνλάδεο ησλ δηαθφξσλ πνζνηήησλ ρξεζηκνπνηείηαη ην ζχζηεκα SI (Sstème International d'unités). Σν ζχζηεκα SI ζηεξίδεηαη ζην δεθαδηθφ ζχζηεκα γηα ηελ κεηαβνιή ησλ κνλάδσλ (ζε αληίζεζε κε ην Αγγινζαμσληθφ ζχζηεκα κνλάδσλ γλσζηφ θαη σο Imperial Units). Οη βαζηθέο κνλάδεο ζην ζχζηεκα SI παξαηίζεληαη ζηνλ Πίλ Σα πνιιαπιάζηα θαη ππνδηαηξέζεηο ησλ κνλάδσλ θαηά SI παξαηίζεληαη ζηνλ Πίλ. 1.. ην ζχζηεκα SI ε ππνδηαζηνιή νξίδεηαη κε ηειεία (.) θαη ν δηαρσξηζκφο ησλ ρηιηάδσλ κε θφκκα ζε αληίζεζε κε ην δηαδεδνκέλν ζχζηεκα ηεο Διιάδνο. Πίλ. 1.1:Μνλάδεο ζην ζχζηεκα SI 1 Όλοκα Σύκβοιο Ποζόηεηα Μέηρο (meter) m Μνλάδα κήθνπο Φηιηόγρακκο (kilogram) kg κάδα Δεσηερόιεπηο (second) sec Υξφλνο Ακπέρ (Ampere) A Έληαζε Ρεχκαηνο Κέιβηλ (Kelvin) K Θεξκνθξαζία Κερί (Candela) cd Έληαζε Φσηφο Μοι (mole) mol Πνζφηεηα κάδαο Πίλ. 1.:Πνιιαπιάζηα θαη ππνδηαηξέζεηο ζην ζχζηεκα SI 1 Ποιιαπιάζηα Υποδηαηρέζεης Όλοκα Σύκβοιο Σσληειεζηής Όλοκα Σύκβοιο Σσληειεζηής deca- da 10 1 deci d 10-1 hecto- h 10 centi- c 10 - kilo- k 10 3 milli- m 10-3 mega- M 10 6 micro- κ 10-6 giga- G 10 9 nano- n 10-9 tera- T 10 1 pico- p 10-1 peta- P femto- f ea- E atto- a eta- Z 10 1 epto otta- Y 10 4 octo Οη ηηκέο κεηαζρεκαηηζκνχ κεηαμχ γλσζηψλ κνλάδσλ δηαθνξεηηθψλ ζπζηεκάησλ παξαηίζεληαη ζηελ ηζηνζέζε Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-4

5 1.. Οπιζμόρ ηάζηρ Παπαμόπθωζηρ Ελαζηικόηηηαρ - Πλαζηικόηηηαρ Χο ηάζε νξίδεηαη ε κέζε δχλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα ζψκα αλά κνλάδα επηθαλείαο. Ζ ηάζε δίδεη έλα κέηξν ηεο έληαζεο πνπ αλαπηχζζεηαη εληφο ηνπ ζψκαηνο, ζε κία λνεηή επηθάλεηα, σο αληίδξαζε ησλ εμσηεξηθά επηβαιιφκελσλ δπλάκεσλ. Ζ ηάζε (ζ) δίδεηαη απφ ηε ζρέζε: P (1.1) A Όπνπ P, ε ζπλνιηθή δχλακε πνπ αζθείηαη ζηελ επηθάλεηα Α. Χο κνλάδα ηεο ηάζεο νξίδεηαη ην Pascal (Pa). 1 Pa είλαη ε ηάζε πνπ αλαπηχζζεηαη ζε κία επηθάλεηα 1 m απφ ηελ επηβνιή κίαο δχλακεο ίζεο κε 1 Ν. εκεηψλεηαη φηη ε κνλάδα ηεο ηάζεο είλαη αληίζηνηρε απηήο ηεο πίεζεο. Γηα εθαξκνγέο κεραληθνχ νη κνλάδεο πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη θαηά SI είλαη: 1MPa=10 N kn kn (Pa) m m cm 1GPa=10 N kn kn (Pa) m m cm (1.) P P A ζ ρ. 1.1: Ζ επηβνιή θνξηίνπ P έρεη σο απνηέιεζκα ηελ αλάπηπμε νκνηφκνξθεο ηάζεο ζηε ζηήξημε ηνπ ζηνηρείνπ ζ. Απφ ηελ ηζνξξνπία ησλ δπλάκεσλ πξνθχπηεη ε ζρέζε (1.1) Χο παρακόρθωζε νξίδεηαη ν ιφγνο ηεο κεηαβνιήο ηνπ κήθνπο ελφο ζψκαηνο πξνο ην κήθνο ηνπ ζψκαηνο. Ζ παρακόρθωζε είλαη ην κέηξν ηεο ζρεηηθήο κεηαθίλεζεο ησλ ζσκαηηδίσλ εληφο ηνπ ζψκαηνο. Ζ παξακφξθσζε είλαη ην απνηέιεζκα ηεο αλάπηπμεο ησλ ηάζεσλ σο αληίδξαζε ζηελ επηβνιή εμσηεξηθά επηβαιιφκελσλ δπλάκεσλ ή ηεο κεηαβνιήο ηεο ζεξκνθξαζίαο. Ζ παξακφξθσζε (ε) ζε έλαλ επζχγξακκν θνξέα δίδεηαη απφ ηε ζρέζε: L l L (1.3) L L Όπνπ ΓL ε κεηαβνιή ηνπ κήθνπο ή ε κεηαθίλεζε ηεο ζέζεο ελφο ζεκείνπ απφ ηελ αξρηθή ηνπ ζέζε. Ζ πνζφηεηα ΓL δίδεηαη σο ε δηαθνξά ηνπ l (ην κήθνο ηνπ θνξέα κεηά ηελ επηβνιή ηεο Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-5

6 έληαζεο) απφ L ην κήθνο ηνπ θνξέα ζε θαηάζηαζεο εξεκίαο. Ζ παξακφξθσζε είλαη αδηάζηαηε πνζφηεηα (θαζψο εθθξάδεηαη σο ιφγνο κήθνπο πξνο κήθνο). L ΓL L l L L L l ρ. 1.: Παξακφξθσζε γξακκηθνχ ζηνηρείνπ. ηελ απινχζηεξε πεξίπησζε ηεο κνλναμνληθήο έληαζεο (επηβνιή έληαζεο θαηά κία δηάζηαζε) θαη ππφ ηελ πξνυπφζεζε φηη ην ζψκα ζπκπεξηθέξεηαη ειαζηηθά ε ηάζε ζπλδέεηαη κε ηελ παξακφξθσζε κέζσ ηνπ Νφκνπ ηνπ Hooke σο: E (1.4) Όπνπ σο Ε ζπκβνιίδεηαη ην κέηξν ειαζηηθφηεηαο ηνπ πιηθνχ. Σν κέηξν ειαζηηθφηεηαο καο δίδεη ηελ ηάζε θαη θαη επέθηαζε ηε δχλακε πνπ ζα πξέπεη λα αζθεζεί ζε έλαλ θνξέα θαη απαηηείηαη γηα ηελ επηβνιή κνλαδηαίαο παξακφξθσζεο. Χο κνλάδα ηνπ κέηξνπ Διαζηηθφηεηαο (φπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο ηάζεο) νξίδεηαη θαηά SI ην Pascal. Χο ειαζηηθόηεηα νξίδεηαη ε ηδηφηεηα νπνηνπδήπνηε ζψκαηνο λα παξακνξθψλεηαη θαηά κε κόληκο ηρόπο κεηά ηελ επηβνιή κίαο έληαζεο. Με άιια ιφγηα ζηελ πεξίπησζε πνπ έλα ζψκα εληείλεηαη εληφο ηεο ειαζηηθήο ηνπ πεξηνρήο νη παξακνξθψζεηο πνπ πξνθαινχληαη είλαη κε κόληκες θαη κεηά ηελ αθαίξεζε ησλ εμσηεξηθά επηβαιιφκελσλ εληάζεσλ ην ζψκα ζα επαλαθηήζεη ηελ αξρηθή ηνπ κνξθή. Χο πιαζηηθόηεηα νξίδεηαη ε ηδηφηεηα νπνηνπδήπνηε ζψκαηνο λα παξακνξθψλεηαη θαηά κόληκο ηρόπο κεηά ηελ επηβνιή κίαο έληαζεο. Με άιια ιφγηα ζηελ πεξίπησζε πνπ έλα ζψκα εληείλεηαη ζηελ πιαζηηθή περηοτή νη παξακνξθψζεηο πνπ πξνθαινχληαη είλαη κόληκες θαη κεηά ηελ αθαίξεζε ησλ εμσηεξηθά επηβαιιφκελσλ εληάζεσλ ην ζψκα δελ ζα επαλαθηήζεη ηελ αξρηθή ηνπ κνξθή Οπθέρ και Διαημηηικέρ Τάζειρ Ζ ηάζε πνπ δξα θάζεηα ζε κία επηθάλεηα νξίδεηαη σο νξζή ηάζε. ην ρ. 1.3, παξνπζηάδνληαη νη νξζέο ηάζεηο ζε έλα ζηνηρεηψδεο παξαιιειεπίπεδν. Οη νξζέο ηάζεηο θαηά Υ, Τ θαη Ε δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: F lim A d d (1.5) 0 A F lim A d d (1.6) 0 A Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-6

7 F lim A d d (1.7) 0 A d d d ρ. 1.3: Οξζέο ηάζεηο. ε θάζε επηθάλεηα πέξαλ ηεο νξζήο ηάζεο εκθαλίδνληαη θαη δχν δηαηκεηηθέο ηάζεηο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηηο ζπληζηψζεο ηεο δχλακεο πνπ δξνπλ θαηά κήθνο ηεο επηθάλεηαο. ην ρ. 1.4, παξνπζηάδνληαη νη δηαηκεηηθέο ηάζεηο ζε έλα ζηνηρεηψδεο παξαιιειεπίπεδν. Οη δηαηκεηηθέο ηάζεηο δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: F lim (1.8) 0 A F lim (1.9) 0 A F lim (1.10) 0 A F lim (1.11) 0 A F lim (1.1) 0 A F lim (1.13) 0 A Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-7

8 Όπνπ σο ηάζε η νξίδεηαη ε δηαηκεηηθή ηάζε (η) πνπ δξα ζε επηθάλεηα θάζεηε ζηνλ άμνλα Φ θαη θαηά ηε θνξά ηνπ άμνλα Υ. Α Α d Α d d ρ. 1.4: Γηαηκεηηθέο ηάζεηο Ιζοπποπία Απειποζηού Τμήμαηορ ην ρ. 1.5 παξνπζηάδεηαη ε γεληθή πεξίπησζε φπνπ ζψκα 3 δηαζηάζεσλ θαηαιακβάλεη φγθν V κε επηθάλεηα S. H παξακφξθσζε ηνπ ζεκείνπ ( = [,,] T ) νξίδεηαη κε ηηο ζπληζηψζεο ηνπ δηαλχζκαηνο u: Όπνπ ην δηάλπζκα u ηζρχεη: a a a a a a a a a T u u,, w (1.14) u u,, κεηαηφπηζε ηνπ ζεκείνπ a θαηά ηε δηεχζπλζε Υ,, κεηαηφπηζε ηνπ ζεκείνπ a θαηά ηε δηεχζπλζε Τ w w,, κεηαηφπηζε ηνπ ζεκείνπ a θαηά ηε δηεχζπλζε Z a a a (1.15) Γειαδή νη κεηαηνπίζεηο θαηά ηελ Χ, Υ θαη Ζ δηεχζπλζε είλαη ζπλαξηήζεηο σο πξνο ηηο κεηαβιεηέο Χ, Υ θαη Ζ ηνπ εθάζηνηε ζεκείνπ. Αληίζηνηρα ε θαηαλεκεκέλε δχλακε αλά κνλάδα φγθνπ (φπσο βάξνο, αδξαλεηαθή δχλακε θ.ιπ.) νξίδεηαη σο: Ζ επηθαλεηαθή δχλακε ζε κέξνο ηνπ ζπλφξνπ S T νξίδεηαη σο: T f f, f, f (1.16) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-8

9 T T T, T, T (1.17) Τ w f S T π P i u f f i V S S u u=0 ή u=a ρ. 1.5: ψκα 3 δηαζηάζεσλ. πγθεληξσκέλν θνξηίν P i ζε ζεκείν i παξίζηαηαη κε ηξεηο ζπληζηψζεο: T P i P, P, P (1.18) Σέινο ε ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ζε κέξνο ηνπ ζπλφξνπ S u, νξίδνληαη σο: u 0 u a i S u (1.19) Όπνπ ην δηάλπζκα a είλαη γλσζηφ a-priori (εθ ησλ πξνηέξσλ) ή δίδεηαη σο ζπλάξηεζε ησλ δξσζψλ εληάζεσλ ζην ζχλνξν ε νπνία ζπλάξηεζε είλαη a-priori γλσζηή. Ζ δξψζα ηάζε γηα ην γεληθφ πξφβιεκα ζε 3 δηαζηάζεηο δίδεηαη σο: ζ (1.0) Καζψο απφ ηηο εμηζψζεηο ηζνξξνπίαο ζηξνθήο πεξί ησλ αμφλσλ Χ, Υ θαη Ζ ηζρχεη φηη: T (1.1) ην ρ. 1.6, παξνπζηάδνληαη νη ηάζεηο θαη νη κεηαβνιέο ηνπο ιακβάλνληαο ππφςε ηηο ζπλζήθεο ηεο ζρέζεο (1.1). Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-9

10 d d d fdv d fdv d d f dv d dv d d ρ. 1.6: Ηζνξξνπία ζηνηρεηψδνπο φγθνπ. Ζ ηζνξξνπία θαηά ηνλ άμνλα X παξνπζηάδεηαη ζην ρ Ζ δχλακε ζε θάζε επηθάλεηα δίδεηαη απφ ηε γεληθή ζρέζε: F A (1.) Όπνπ Α είλαη ε επηθάλεηα ζηελ νπνία αζθείηαη ε ηάζε ζ. Απφ ην ρ. 1.7 ιακβάλνληαο ππφςε ηηο επηκέξνπο επηθάλεηεο έρνπκε ηελ θάησζη εμίζσζε ηζνξξνπίαο ησλ δπλάκεσλ ζηνλ άμνλα X. εκεηψλεηαη φηη dv d d d dd d d d F 0 d d d d d (1.3) d d d d d f d d d 0 Ζ νπνία κε απαινηθή ησλ φξσλ dd, dd θαη dd γξάθεηαη σο: Δθφζνλ dv d d d 0έρνπκε: d d d d d d F 0 0 (1.4) d d d f d d d Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-10

11 F 0 f 0 (1.5) d fdv d d ρ. 1.7: Ηζνξξνπία ζηνηρεηψδνπο φγθνπ θαηά Υ. Ζ ζρέζε (1.5) δειψλεη φηη ε ζπλνιηθή κεηαβνιή ηεο νξζήο θαη ησλ αληηζηνίρσλ δηαηκεηηθψλ ηάζεσλ θαηά ηνλ άμνλα X είλαη ίζε θαη αληίζεηε ηεο επηβαιινκέλεο ππθλφηεηαο δχλακεο θαηά ηνλ άμνλα ππφ εμέηαζε. Αληίζηνηρα, ιακβάλνληαο ηηο ηζνξξνπίεο θαηά ηνλ άμνλα Υ θαη Ζ (φπσο θαίλεηαη ζην ρ. 1.8 θαη ζην ρ. 1.9) έρνπκε φηη: F 0 f 0 (1.6) F 0 f 0 (1.7) Βιέπνπκε φηη ζπλνιηθά έρνπκε 6 αγλψζηνπο (ηηο ηηκέο ηνπ αλχζκαηνο ηεο ζρέζεο (1.0)) θαη κφιηο 3 εμηζψζεηο ηζνξξνπίαο ησλ δπλάκεσλ. Αλαθεθαιαηψλνληαο έρνπκε φηη νη εμηζψζεηο ηζνξξνπίαο ηνπ ζηνηρεηψδνπο φγθνπ δίδνληαη σο: F 0 f 0 F 0 f 0 (1.8) F 0 f 0 Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-11

12 d f dv d d ρ. 1.8: Ηζνξξνπία ζηνηρεηψδνπο φγθνπ θαηά Τ d fdv d d ρ. 1.9: Ηζνξξνπία ζηνηρεηψδνπο φγθνπ θαηά Ε ηελ πεξίπησζε φπνπ ζην ζψκα δξνπλ αδξαλεηαθέο δπλάκεηο (δπλακηθή θαηαπφλεζε) θαη ιακβάλνληαο ππφςε φηη ηπρφλ δπλάκεηο απφζβεζεο θαιχπηνληαη απφ ηηο θαηαζηαηηθέο ζρέζεηο δχλακεο κεηαηφπηζεο (φπσο ζα δνχκε παξαθάησ) νη ζρέζεηο ηζνξξνπίαο γξάθνληαη σο: F 0 f dv u t F 0 f dv t (1.9) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-1

13 F 0 f dv w t Γειαδή ζηελ πεξίπησζε απηή νη ζρέζεηο ηζνξξνπίαο είλαη ζπλάξηεζε θαη ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζψκαηνο ζηηο δηεπζχλζεηο Χ, Υ θαη Ζ. εκεηψλεηαη φηη ε επηηάρπλζε δίδεηαη σο: d u t d t d w t u t t w t (1.30) dt dt dt 1.5. Ιζοπποπία Σςνόπος - Σςνοπιακέρ Σςνθήκερ χκθσλα κε ην ρ. 1.5 δηαπηζηψλνπκε φηη ππάξρνπλ ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηφζν κεηαηφπηζεο φζν θαη επηθαλεηαθήο θφξηηζεο. Γηα θεθιηκέλν επίπεδν κε θάζεην δηάλπζκα n = [n, n, n ] θαη θνξηίν θαηαλεκεκέλν Τ ηζρχεη (ρ. 1.10): F 0 n n n T (1.31) F 0 n n n T (1.3) F 0 n n n T (1.33) Γηα ηελ απφδεημε ησλ ζρέζεσλ (1.31) σο (1.33) εμεηάδεηαη ε ηζνξξνπία ζην ζχλνξν επίπεδνπ πξνβιήκαηνο. Απφ ηελ ηζνξξνπία ησλ δπλάκεσλ θαηά Χ θαη Υ ζην ρ έρνπκε: T ζ η η T n da ζ η T η T n da η η Κεθιηκέλν Δπίπεδν κε ζ θάζεην δηάλπζκα n n da ρ. 1.10: Ηζνξξνπία δπλάκεσλ ζε πεπεξαζκέλε επηθάλεηα (ζπκβηβαζηφ ησλ ηάζεσλ) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-13

14 A T T ζ ζ ζ A T A η ζ ρ. 1.11: Ηζνξξνπία δπλάκεσλ ζε πεπεξαζκέλε επηθάλεηα (ζπκβηβαζηφ ησλ ηάζεσλ D) F 0 A A T Acos Acos Asin T Acos cos sin T cos n n T n n n n F 0 A A T Asin Asin Acos T Asin sin cos T sin n n T n n n n (1.34) (1.35) Ζ γελίθεπζε ησλ ζρέζεσλ (1.34) θαη (1.35) νδεγεί ζηηο ζρέζεηο (1.31) σο (1.33) Παπαμόπθωζη Σν δηάλπζκα ε ησλ παξακνξθψζεσλ γηα ην ηξηζδηάζηαην πξφβιεκα νξίδεηαη σο: ε (1.36) Ζ παξακφξθσζε πεπεξαζκέλνπ νξζνγσλίνπ d*d παξνπζηάδεηαη ζην ρ Γηα ηελ δηεπθφιπλζε ζηνλ νξηζκφ ησλ κεξηθψλ παξαγψγσλ ζεσξείηαη φηη: φπνπ f ζπγθεθξηκέλε πνζφηεηα. Όπσο: f jl ik ik, jl fik, j f f j u,, u, ik (1.37) (1.38) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-14

15 u+u, *d Γ 1 Γ 1 σ+σ, *d Γ Γ B 1 σ A γ, A 1 u γ,1 B u+u, *d σ+σ, *d ρ. 1.1: Παξακφξθσζε ζηνηρεηψδνπο d*d. χκθσλα κε ην ρ. 1.1 ε παξακφξθσζε θαηά ηνλ άμνλα X (ε ) είλαη ίζε κε ηε δηαθνξά ησλ κεηαηνπίζεσλ ησλ άθξσλ Α θαη Β ηνπ ζηνηρεηψδνπο d*d (ΑΒΓΓ) πξνο ην ζηνηρεηψδεο κήθνο d. Ζ παξακφξθσζε θαηά X δίδεηαη σο: 1 1 A B -ΑΒ,, u, (1.39) AB u u d u u d u d d Αληίζηνηρα ε παξακφξθσζε ε σο πξνο Y είλαη ν ιφγνο ηνπ Α 1 Γ 1 πξνο ΑΓ δειαδή ε δηαθνξά ησλ κεηαηνπίζεσλ θαηά ησλ άθξσλ Α θαη Γ ηνπ ζηνηρεηψδνπο dd (ΑΒΓΓ) πξνο ην ζηνηρεηψδεο κήθνο d: 1 1 A Γ -ΑΓ,,, (1.40) AΓ d d d d Απφ ην ρ. 1.13, γίλεηαη αληηιεπηφ φηη ε δηαηκεηηθή παξακφξθσζε ηνπ ζηνηρεηψδνπο ΑΒΓΓ είλαη απνηέιεζκα δχν ζπλεηζθνξψλ. Ζ πξψηε ζπλεηζθνξά ζρεηίδεηαη κε ηελ ζηξνθή ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ πεξί ηνπ άμνλα (πνπ είλαη θάζεηνο ζην ζρήκα). Ζ δεχηεξε ζπλεηζθνξά ζρεηίδεηαη κε ηε ζηξνθή ηνπ ηκήκαηνο ΑΓ πεξί ηνπ άμνλα (ρ. 1.13). γ, γ,1 ρ. 1.13: Γηαηκεηηθή Παξακφξθσζε ζηνηρεηψδνπο d*d. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-15

16 Βάζεη ηεο παξαπάλσ παξαηήξεζεο απνδεηθλχεηαη φηη: A AA A AA, 1, πξνβνιέο ζηνλ Y πξνβνιέο ζηνλ X A A (1.41) δειαδή:, d u u, d u, d u, d, 1,, u, (1.4) d d d d u (1.43) Απφ αλαινγία ζηηο 3 δηαζηάζεηο έρνπκε φηη ην δηάλπζκα ησλ παξακνξθψζεσλ σο ζπλάξηεζε ηνπ πεδίνπ ησλ κεηαηνπίζεσλ δίλεηαη σο: ε T u w u u w w,,,,,,,,, ε T u w u u w w (1.44) Βιέπνπκε φηη ζπλνιηθά έρνπκε 9 αγλψζηνπο (ηηο ηηκέο ησλ κεηαβνιψλ ησλ εμηζψζεσλ ησλ κεηαηνπίζεσλ u, σ, w σο πξνο, θαη αληίζηνηρα) θαη κφιηο 6 εμηζψζεηο πνπ ζπλδένπλ ηηο κεηαβνιέο ησλ κεηαηνπίζεσλ κε ηηο παξακνξθψζεηο ηνπ ζηνηρεηψδνπο ζηεξενχ Σσέζειρ Τάζεωρ Παπαμόπθωζηρ Γενική Περίπηωζη Πιένλ ησλ 9 εμηζψζεσλ (3 ηζνξξνπίαο ησλ δπλάκεσλ θαη 6 πνπ ζρεηίδνπλ ηελ κεηαηφπηζε κε ηελ παξακφξθσζε) γηα ηνπο 15 αγλψζηνπο {ζ, ζ, ζ, η, η, η, u,, u,, u,, π,, π,, π,, w,, w,, w, } απαηηνχληαη επηπιένλ 6 εμηζψζεηο. Οη εμηζψζεηο απηέο είλαη νη ζρέζεηο ηάζεσλ παξακνξθψζεσλ ζην ηξηζδηάζηαην ρψξν ζχκθσλα κε ηελ γεληθεπκέλε ζεσξία ηνπ Hooke. Οη ζρέζεηο ηάζεσλ παξακνξθψζεσλ δίδνληαη σο: 1 v E (1.45) 1 v E (1.46) 1 v E (1.47) (1.48) G G (1.49) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-16

17 (1.50) φπνπ Ε, G θαη λ είλαη ην κέηξν ειαζηηθφηεηαο ηνπ πιηθνχ ην κέηξν δηάηκεζεο θαη ν ζπληειεζηήο Poisson αληίζηνηρα. Σν κέηξν δηάηκεζεο ηνπ πιηθνχ δίδεηαη απφ ηε ζρέζε: G G E 1 (1.51) O ζπληειεζηήο Poisson (λ) νξίδεηαη σο ν αξλεηηθφο ιφγνο ηεο εγθάξζηαο πξνο δηακήθνπο παξακφξθσζεο ηνπ πιηθνχ φηαλ απηφ εληείλεηαη κνλναμνληθά θαηά ηε δηακήθε δηεχζπλζε (ρ. 1.14). Πξαθηηθά φηαλ έλα πιηθφ παξνπζηάδεη ζεηηθφ ζπληειεζηή Poisson ηεθκαίξεηαη φηη ζε πεξίπησζε επηκήθπλζεο ελφο ζηνηρεηψδνπο ηκήκαηνο θαηά ηε δηακήθε δηεχζπλζε ιφγσ αμνληθήο εθειθπζηηθήο δχλακεο ζα παξαηεξεζεί βξάρπλζε ηνπ ζηνηρεηψδνπο ηκήκαηνο ζηηο άιιεο δχν δηεπζχλζεηο θαη ηαλάπαιηλ. ε long / long trans P ε trans / P ρ. 1.14: Οξηζκφο ηνπ ζπληειεζηή Poisson. Ζ ζρέζε ησλ παξακνξθψζεσλ ηάζεσλ γξάθεηαη ππφ κνξθή κεηξψσλ σο: (1.5) Ζ αλαζηξνθή ηνπ κεηξψνπ νδεγεί ζηε ζρέζε: E ζ Dε φπνπ D (1.53) Άζθεζε: Να απνδεηρηεί φηη απφ ε αληηζηξνθή ηνπ κεηξψνπ ηεο ζρέζεο (1.5) νδεγεί ζην κεηξψν ηεο ζρέζεο (1.53). Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-17

18 1.7.. ε μονοδιάζηαηο πρόβλημα Ζ ζρέζε ηάζεο παξακφξθσζεο ζε κνλνδηάζηαην πξφβιεκα δίδεηαη σο (λφκνο ηνπ Hooke): (1.54) Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ηάζεσλ ζε κία ηνκή ε νπνία είλαη ππφ γσλία ζ σο πξνο ην θάζεην επίπεδν ζηνλ Ο.Α. ελφο γξακκηθνχ θνξέα ηζρχεη φηη ε νξζή θαη ηέκλνπζα δχλακε δίδνληαη σο: ρ. 1.15: Πξηζκαηηθή ξάβδνο ηνκή ζε ηπραίν επίπεδν (απφ Egor Popov ) Γχλακε θάζεηε ζην Δπίπεδν Pcos P cos (1.55) Δπηθάλεηα A cos Πξνβνιή Γχλακεο ζην Δπίπεδν Psin P sin cos (1.56) Δπηθάλεηα A cos Ζ κέγηζηε ηέκλνπζα βξίζθεηαη κε ηελ παξαγψγηζε ηεο (1.56) σο πξνο ζ. Μεηά απφ πξάμεηο ε κέγηζηε ηέκλνπζα δίδεηαη σο: P A ma ma (1.57) Γειαδή ε κέγηζηε ηέκλνπζα ζε κία πξηζκαηηθή δηαηνκή ηζνχληαη κε ην κηζφ ηεο κέγηζηεο νξζήο ηάζεο. Popov, E. (1990) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-18

19 ρ. 1.16: Σνκή πξηζκαηηθήο ξάβδνπ κε θάζεηα κεηαμχ ησλ επίπεδα (απφ Egor Popov 3 ) Πρόβλημα επίπεδης ηάζης (plane stress) ηελ πεξίπησζε απηή ζεσξείηαη φηη νη ηάζεηο ζηελ 3 ε δηάζηαζε είλαη ζην ζχλνιν ηνπο ίζεο κε ην κεδέλ. ην ρ. 1.17, παξνπζηάδεηαη ηνκή δαθηπιίνπ φπνπ νη δηαζηάζεηο ζην επίπεδν XY (δειαδή ε δηάκεηξνο D ηνπ δαθηπιίνπ) είλαη πνιχ κεγαιχηεξεο ηνπ πάρνπο t ηνπ δαθηπιίνπ. Z D P P ζ =0 η =0 η =0 t ρ. 1.17: Πξφβιεκα επίπεδεο ηάζεο. χκθσλα κε ηηο ζρέζεηο ηνπ γεληθνχ πξνβιήκαηνο θαη ιακβάλνληαο ππφςε ην γεγνλφο φηη ζ =η =η =0 νη ζρέζεηο ησλ ηάζεσλ παξακνξθψζεσλ γξάθνληαη σο: 3 Popov, E. (1990) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-19

20 1 v E (1.58) 1 v E (1.59) 1 v E (1.60) (1.61) G 0 (1.6) 0 (1.63) Ζ ζρέζε (1.60) δειψλεη φηη ε απνπζία ηάζεσλ ζε επηθάλεηα θάζεηε ζην Ζ νδεγεί ζε ειεχζεξε παξακφξθσζε ηνπ ζπλφξνπ απηνχ θαηά ηνλ άμνλα Ζ ελψ νη ζρέζεηο (1.6) θαη (1.63) δειψλνπλ ηελ απνπζία δηαηκεηηθψλ παξακνξθψζεσλ. ε κνξθή κεηξψσλ ν ζπζρεηηζκφο ησλ ηάζεσλ κε ηηο παξακνξθψζεηο δίδεηαη σο: E 0 (1.64) Απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη φηη: 1 0 E ζstress Dstressεstress φπνπ D stress (1.65) Άζθεζε: Να απνδεηρηεί φηη απφ ηε ζρέζε (1.64) πξνθχπηεη ην κεηξψν ηεο ζρέζεο (1.65) Πρόβλημα επίπεδης παραμόρθωζης (plane strain) ηελ πεξίπησζε απηή ζεσξείηαη φηη νη παξακνξθψζεηο ζηελ 3 ε δηάζηαζε είλαη ζην ζχλνιν ηνπο ίζεο κε ην κεδέλ. ην ρ. 1.18, παξνπζηάδεηαη ηνκή θπιίλδξνπ φπνπ νη δηαζηάζεηο ζην επίπεδν XY (δειαδή ε δηάκεηξνο D ηνπ θπιίλδξνπ) είλαη πνιχ κηθξφηεξεο ηνπ κήθνπο t ηνπ δαθηπιίνπ. χκθσλα κε ηηο ζρέζεηο ηνπ γεληθνχ πξνβιήκαηνο θαη ιακβάλνληαο ππφςε ην γεγνλφο φηη ε =γ =γ =0 νη ζρέζεηο ησλ ηάζεσλ παξακνξθψζεσλ γξάθνληαη σο: 1 v E (1.66) 1 v E (1.67) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-0

21 D Z P ε =0 γ =0 γ =0 P t ρ. 1.18: Πξφβιεκα επίπεδεο παξακφξθσζεο. 1 0 v 0 E v (1.68) (1.69) G 0 0 (1.70) G 0 0 (1.71) G Οη ζρέζεηο (1.66) θαη (1.67) βάζεη ηεο ζρέζεο (1.68) κπνξνχλ λα γξαθνχλ σο: v v v E E v E (1.7) (1.73) Ζ ζρέζε (1.68) δειψλεη φηη ε απνπζία νξζψλ παξακνξθψζεσλ ζε επηθάλεηα θάζεηε ζην Ζ νδεγεί ζε αλάπηπμε νξζψλ ηάζεσλ εμηζνξξφπεζεο θαηά ηνλ άμνλα Ζ ελψ νη ζρέζεηο (1.70) θαη (1.71) δειψλνπλ ηελ απνπζία δηαηκεηηθψλ ηάζεσλ ζηελ επηθάλεηα απηή. ε κνξθή κεηξψσλ ν ζπζρεηηζκφο ησλ ηάζεσλ κε ηηο παξακνξθψζεηο δίδεηαη σο: E (1.74) 1 0 E ζstrain Dstrainεstrain φπνπ D strain (1.75) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-1

22 1.8. Μεηαζσημαηιζμοί Τάζεωρ Παπαμόπθωζηρ Επίπεδη Σάζη Μεηαζτημαηιζμός ζε ησταίο επίπεδο ηελ πεξίπησζε ηεο επίπεδεο ηάζεο ε θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ παξνπζηάδεηαη ζην ρ Ζ επίπεδε ηάζε νξίδεηαη σο ν ζπλδπαζκφο δχν νξζψλ ηάζεσλ (ζ, ζ ) θαη κία δηαηκεηηθήο (η ) νη νπνίεο δξνπλ ζηηο 4 πιεπξέο ηνπ ζηνηρείνπ. ε πνιιέο πεξηπηψζεηο είλαη απαξαίηεην λα κεηαζρεκαηηζηνχλ νη ηάζεηο απηέο απφ έλα ζηνηρείν δνζκέλνπ πξνζαλαηνιηζκνχ ζε άιιν ζηνηρείνπ ηπραίνπ πξνζαλαηνιηζκνχ πεξηερφκελεο γσλίαο ζ. ηελ πεξίπησζε απηή νη λέεο ηάζεηο σο ζπλάξηεζε ησλ αξρηθψλ, ιακβάλνληαο ππφςε ηελ ηζνξξνπία ηνπ ζψκαηνο ζηε λέα ζέζε, δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: cos ζ sin ζ (1.76) cos ζ sin ζ (1.77) ' sin ζ cos ζ (1.78) Γηα ηελ απφδεημε ησλ ζρέζεσλ (1.76) σο (1.78) πέξαλ ησλ γεσκεηξηθψλ ιχζεσλ είλαη δπλαηή θαη ε ρξήζε ηεο κεηξσηθήο άιγεβξαο. Οη ηάζεηο ζην επίπεδν (σο ηαλπζηήο εο ηάμεο) κπνξνχλ αθφκα λα παξαζηαζνχλ σο κεηξψν ηεο κνξθήο: ζ (1.79) Σν κεηξψν πεξηζηξνθήο ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ αμφλσλ δίδεηαη σο: cos sin Q sin cos (1.80) ζ ζ η ζ η ζ ζ ρ. 1.19: Δπίπεδε ηάζε Οη ηάζεηο ζε ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Υ Τ ην νπνίν πεξηζηξέθεηαη θαηά γσλία ζ δίδνληαη σο: Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-

23 ' ' ' T Q Q (1.81) ' ' ' Ο πνιιαπιαζηαζκψλ ησλ κεηξψσλ είλαη ίζνο κε: cos sin cos sin cos sin Q sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos Q T cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos Σν νπνίν γξάθεηαη σο: cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin Σν νπνίν κεηά απφ πξάμεηο θαη ιακβάλνληαο ππφςε φηη sin 1 cos νπνηαδήπνηε πνζφηεηα (θαη ζηελ πεξίπησζε καο είηε ζ είηε η ) φπνπ Α cos sin cos sin cos cos sin cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin Άξα ην κεηξψν ησλ ηάζεσλ ζην επίπεδν Υ Τ δίδεηαη σο: ζ ' ' ' ' ' ' ' cos cos sin cos ' cos sin cos cos ' cos sin cos sin cos ' ' Ζ νξζή ηάζε θαηά Υ γξάθεηαη σο: ' cos cos sin cos cos cos sin ' 1cos sin 1 cos ' sin cos 1 ' sin ' (1.8) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-3

24 1 ' cos sin ' cos sin (1.83) Ζ ζρέζε (1.83) ζπκπίπηεη κε ηε ζρέζε (1.76). Αληίζηνηρα γηα ηελ νξζή ηάζε θαηά Τ έρνπκε: ' cos sin cos cos cos cos sin ' 1cos sin 1 cos ' sin ' cos sin (1.84) Ζ ζρέζε (1.84) φπσο ήηαλ αλακελφκελν ηαπηίδεηαη κε ηε ζρέζε (1.77). Σέινο γηα ηε δηαηκεηηθή ηάζε ζην επίπεδν Υ Τ έρνπκε: ' ' cos sin cos sin cos cos sin cos 1 ' ' sin ' ' sin cos (1.85) Καη ε νπνία ζπκπίπηεη κε ηε ζρέζε (1.78). εκεηψλεηαη φηη ζχκθσλα κε ηε ζρέζε (1.8) ν κεηαζρεκαηηζκφο ησλ ηάζεσλ κπνξεί λα γξαθεί σο: cos 1 cos cos sin T T 1 cos cos cos sin (1.86) cos sin cos sin cos 1 θαζψο απφ ηελ ηξηγσλνκεηξία γλσξίδνπκε φηη: 1 cos sin cos (1.87) cos 1 cos cos sin cos sin (1.88) Ο ζπλδπαζκφο ησλ ζρέζεσλ (1.86), (1.87) θαη (1.88) ην κεηξψν Τ κπνξεί λα γξαθεί σο: cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin T sin cos cos sin (1.89) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-4

25 1.8.. Κύριες Σάζεις Δλδηαθέξνλ παξνπζηάδεη ε εχξεζε ηνπ πξνζαλαηνιηζκνχ ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν δξνπλ θαη κφλνλ νξζέο ηάζεηο θαζψο θαη ην κέγεζνο απηψλ. Σν κέγεζνο ησλ θπξίσλ ηάζεσλ απνηειεί θξηηήξην γηα ηελ εμέηαζε ηεο αληνρήο ζε πιηθά πνπ παξνπζηάδνπλ ςαζπξή ζπκπεξηθνξά. ηελ πεξίπησζε απηή άγλσζηε πνζφηεηα είλαη ε γσλία πξνζαλαηνιηζκνχ ζ αιιά είλαη γλσζηφ φηη ε δηαηκεηηθή ηάζε ζην λέν απηφ πξνζαλαηνιηζκφ ηνπ επηπέδνπ ζα είλαη ίζε κε κεδέλ. Βάζεη απηψλ ε ζρέζε (1.78) γξάθεηαη σο: ' sin ζ cos ζ=0 sin ζ sin ζ= cos ζ = tan ζ= 0 cos ζ tan ζ 1 ζ= arctan (1.90) Ζ ιχζε ηεο ζρέζεο (1.90) έρεη δχν ηηκέο πνπ απέρνπλ κεηαμχ ηνπο π/. Οη θχξηεο ηάζεηο κεηά απφ πξάμεηο δίδνληαη σο: 1, (1.91) Μέγιζηη διαημηηική ηάζη Δλδηαθέξνλ αθφκα παξνπζηάδεη ε εχξεζε ηνπ πξνζαλαηνιηζκνχ ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν εκθαλίδεηαη ε κέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε θαζψο θαη ε ηηκή απηήο. Σν κέγεζνο ησλ δηαηκεηηθψλ ηάζεσλ απνηειεί θξηηήξην γηα ηελ εμέηαζε ηεο αληνρήο ζε πιηθά πνπ παξνπζηάδνπλ φιθηκε-ειαηή ζπκπεξηθνξά. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο γσλίαο ζ απαηηείηαη ε παξαγψγηζε ηεο ζρέζεο (1.78) σο πξνο ην ζ θαη ζηε ζπλέρεηα ε εμίζσζε ηεο παξαγψγνπ κε ην κεδέλ. Δηδηθφηεξα: ' sin ζ cos ζ 0 ζ ζ ' cos ζ sin ζ=0 ζ (1.9) cos ζ sin ζ 1 tanζ= ζ= arctan Γηα λα κελ ππάξρεη ζχγρπζε κεηαμχ ησλ γσληψλ ησλ ζρέζεσλ (1.90) θαη (1.9) ε γσλία ηεο ζρέζεο (1.9) νξίδεηαη σο θ θαη ε ζρέζε (1.9) γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-5

26 1 θ= arctan Ζ κέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε δίδεηαη σο: (1.93) ma Καη νη νξζέο ηάζεηο είλαη ίζεο κεηαμχ ηνπο θαη αληίζηνηρα ίζεο κε: avg (1.94) (1.95) Δμεηάδνληαο ηα απνηειέζκαηα ησλ ζρέζεσλ (1.90) θαη (1.9) απφ ηα νπνία ππνινγίδεηαη ν πξνζαλαηνιηζκφο ηνπ ζηνηρείνπ απνδεηθλχεηαη φηη νη γσλίεο δηαθέξνπλ κεηαμχ ηνπο θαηά π/ Ο κύκλος ηοσ Mohr Προβλήμαηα Σάζεων Ζ γξαθηθή απηή κέζνδνο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ θπξίσλ ηάζεσλ θαη ηεο κέγηζηεο δηαηκεηηθήο ηάζεο πξνηάζεθε απφ ηνλ Otto Mohr ην Ο θχθινο ηνπ Mohr ζρεδηάδεηαη σο εμήο 5 : 1. ε ζχζηεκα αμφλσλ ζ-η (φπνπ ζ νη νξζέο ηάζεηο θαη η νη δηαηκεηηθέο ηάζεηο) ην πξψην ζεκείν ηνπ θχθινπ ηνπ Mohr Α νξίδεηαη σο ην ζεκείν κε ηηκή ζ=ζ θαη ηηκή η=η. Με άιια ιφγηα ην ζεκείν Α έρεη ζπληεηαγκέλεο Α(ζ,η ) (ρ. 1.0).. To δεχηεξν ζεκείν νξίδεηαη σο ε ηηκή ηεο νξζήο ηάζεο ζ. Με άιια ιφγηα ην ζεκείν βξίζθεηαη ζηνλ άμνλα ζ κε ηηκή ζ=ζ (ρ. 1.0). ρ. 1.0: Κχθινο ηνπ Mohr (1 ν. ν θαη 3 ν βήκα) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-6

27 3. Σν ζεκείν Ο πνπ νξίδεη θαη ην θέληξν ηνπ θχθινπ ηνπ Mohr βξίζθεηαη ζηνλ άμνλα ζ θαη έρεη ηηκή ζ=ζ avg =(ζ +ζ )/ (ρ. 1.0). 4. Ο θχθινο ηνπ Mohr ζρεδηάδεηαη κε θέληξν ην Ο θαη αθηίλα ηελ απφζηαζε ΟΑ (ρ. 1.1). ρ. 1.1: Κχθινο ηνπ Mohr (4 ν βήκα) Οη θχξηεο ηάζεηο δίδνληαη σο ηα ζεκεία ηνκήο ηνπ θχθινπ κε ηνλ άμνλα ζ (ρ. 1.). Ζ γσλία πνπ ζρεκαηίδεηαη κεηαμχ ηνπ ΟΑ θαη ηνπ άμνλα ηνπ ζ είλαη ίζε κε *ζ ηεο ζρέζεο (1.90). Ζ γσλία ζ πνπ δίδεηαη απφ ηε ζρέζε (1.9) θαη γηα ιφγνπο επθνιίαο ζηελ θαηαλφεζε νξίδεηαη σο θ θαη δίδεη ηε γσλία πεξηζηξνθήο ηνπ ζπζηήκαηνο ΥΤ ψζηε ε δηαηκεηηθή ηάζε λα είλαη ίζε κε ηελ η ma είλαη ίζε κε ηε γσλία ζ ηεο ζρέζεο (1.90) κείνλ π/4. Οπφηε ε δηαθνξά (ζ-θ)=π/. ρ. 1.: Κχθινο ηνπ Mohr Κχξηεο Σάζεηο Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-7

28 η ma η η ζ Α *θ ζ ζ *ζ Ο ζ *θ (ζ +ζ )/ ζ ε γσλία ηεο ζρέζεο (1.90) θ ε γσλία ηεο ζρέζεο (1.9) ζ 1 ζ ρ. 1.3: Κχθινο ηνπ Mohr Κχξηεο Σάζεηο γσλίεο ησλ ζρέζεσλ (1.90) θαη (1.9) Οπθέρ και Διαημηηικέρ Παπαμοπθώζειρ Θεωρία ε ηδεαηφ ζηνηρεηψδεο παξαιιειεπίπεδν ε νξζή παξακφξθσζε θαηά Υ, Τ θαη Ε νξίδεηαη ζχκθσλα κε ηα ρ. 1.4 σο ρ. 1.6 σο: d d d 1 d (1.96) d d d d 1 d (1.97) d d d d 1 d (1.98) d d ε *d d ρ. 1.4: Οξζή παξακφξθσζε θαηά Υ. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-8

29 d ε *d d ρ. 1.5: Οξζή παξακφξθσζε θαηά Y. ε *d d d ρ. 1.6: Οξζή παξακφξθσζε θαηά Ε. Ζ ζηνηρεηψδεο δηαηκεηηθή παξακφξθσζε ζην επίπεδν ΧΥ ρ. 1.7 νξίδεηαη σο: ' ' (1.99) ' ' ' ' Καζψο νη γσλίεο είλαη πνιχ κηθξέο θαη κπνξεί λα ζεσξεζεί φηη Α Γ ΑΓ θαη Α Β ΑΒ ε ζρέζε (1.99) κπνξεί λα γξαθεί σο: ' ' d d d d,1, (1.100)\ Αληίζηνηρα γηα ηηο άιιεο δχν πιεπξέο νη ζρέζε ησλ δηαηκεηηθψλ παξακνξθψζεσλ δίδεηαη σο: d d,1, (1.101) d d d d,1, (1.10) d d εκεηψλεηαη φηη νη νξζέο παξακνξθψζεηο κεηαβάιιοσλ ηολ όγθο ηοσ ζηοητεηώδοσς παραιιειεπηπέδοσ τωρίς λα επερεάδοσλ ηο ζτήκα ηοσ. Απφ ηελ άιιε κεξηά νη δηαηκεηηθέο παξακνξθψζεηο κεηαβάιιοσλ ηο ζτήκα ηοσ ζηοητεηώδοσς παραιιειεπηπέδοσ τωρίς λα επερεάδοσλ ηολ όγθο ηοσ. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-9

30 Γ Γ Γ Γ π/-γ B A Α B ρ. 1.7: Γηαηκεηηθή Παξακφξθσζε ζηνηρεηψδνπο d*d Επίπεδη Παραμόρθωζη Μεηαζτημαηιζμός ζε ησταίο επίπεδο ηελ πεξίπησζε ηεο επίπεδεο παξακφξθσζε νη παξακνξθψζεηο παξνπζηάδνληαη ζην ρ Ζ επίπεδε παξακφξθσζε φπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο ηάζεο νξίδεηαη σο ν ζπλδπαζκφο δχν νξζψλ παξακνξθψζεσλ (ε, ε ) θαη κία δηαηκεηηθήο (γ ) νη νπνίεο δξνπλ ζηηο 4 πιεπξέο ηνπ ζηνηρείνπ. ε πνιιέο πεξηπηψζεηο είλαη απαξαίηεην λα ππνινγηζηνχλ νη παξακνξθψζεηο ζε έλα ζεκείν απφ ζπγθεθξηκέλν πξνζαλαηνιηζκφ ζε ηπραίν πξνζαλαηνιηζκφ πεξηερφκελεο γσλίαο ζ. ε ε ε ζ π/-γ π/-γ ε ε ρ. 1.8: Δπίπεδε παξακφξθσζε Οη λέεο ηηκέο ησλ παξακνξθψζεσλ σο ζπλάξηεζε ησλ αξρηθψλ, ιακβάλνληαο ππφςε ην ζπκβηβαζηφ ησλ παξακνξθψζεσλ ζην λέν πξνζαλαηνιηζκφ, δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: cos ζ sin ζ (1.103) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-30

31 cos ζ sin ζ (1.104) ' sin ζ cos ζ (1.105) εκεηψλεηαη φηη νη ζρέζεηο απηέο είλαη αληίζηνηρεο ησλ ζρέζεσλ ησλ ηάζεσλ (1.76) σο (1.78) εθφζνλ ε ζ, ε ζ, θαη γ / η. Όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ ηάζεσλ έηζη θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ παξακνξθψζεσλ ν κεηαζρεκαηηζκφο ησλ παξακνξθψζεσλ απφ ην αξρηθφ ζχζηεκα ζε ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ γσλίαο ζ κπνξεί λα γίλεη κε ρξήζε κεηξστθήο άιγεβξαο κε ηηο παξακνξθψζεηο ζε ηπραίν επίπεδν λα δίδνληαη σο: ' ' ' T cos sin Q Q Q ' ' sin cos (1.106) ' Αληίζηνηρα φπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ ηάζεσλ ν κεηαζρεκαηηζκφο κπνξεί λα γξαθεί σο: T (1.107) 1 1 Καη ζηελ πεξίπησζε απηή ην κεηξψν Τ γξάθεηαη φπσο ζηε ζρέζε (1.89) Κύριες Παραμορθώζεις Δλδηαθέξνλ παξνπζηάδεη ε εχξεζε ηνπ πξνζαλαηνιηζκνχ ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν πθίζηαληαη θαη κφλνλ νξζέο παξακνξθψζεηο θαζψο θαη ην κέγεζνο απηψλ. Αθνινπζψληαο αλάινγε πνξεία κε απηή ηεο αληίζηνηρεο παξαγξάθνπ ησλ ηάζεσλ ε ηηκή ηεο γσλίαο ζ βάζεη ηεο (1.105) γξάθεηαη σο: 1 ζ= arctan (1.108) Ζ ιχζε ηεο ζρέζεο (1.90) έρεη δχν ηηκέο πνπ απέρνπλ κεηαμχ ηνπο π/. Οη θχξηεο παξακνξθψζεηο κεηά απφ πξάμεηο δίδνληαη σο: 1, (1.109) Μέγιζηη διαημηηική παραμόρθωζη Δλδηαθέξνλ αθφκα παξνπζηάδεη ε εχξεζε ηνπ πξνζαλαηνιηζκνχ ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν εκθαλίδεηαη ε κέγηζηε δηαηκεηηθή παξακφξθσζε θαζψο θαη ε ηηκή απηήο. Αθνινπζψληαο αλάινγε πνξεία κε απηήο ηεο αληίζηνηρεο παξαγξάθνπ ησλ ηάζεσλ ε γσλία δίδεηαη απφ ηε ζρέζε: Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-31

32 1 θ= arctan ηελ πεξίπησζε απηή ε κέγηζηε δηαηκεηηθή παξακφξθσζε δίδεηαη σο: (1.110) ma Καη νη νξζέο παξακνξθψζεηο είλαη ίζεο κεηαμχ ηνπο θαη αληίζηνηρα ίζεο κε: avg (1.111) (1.11) Δμεηάδνληαο ηα απνηειέζκαηα ησλ ζρέζεσλ (1.108) θαη (1.110) απφ ηα νπνία ππνινγίδεηαη ν πξνζαλαηνιηζκφο ηνπ ζηνηρείνπ απνδεηθλχεηαη φηη νη γσλίεο δηαθέξνπλ κεηαμχ ηνπο θαηά π/ Ο κύκλος ηοσ Mohr Προβλήμαηα Παραμορθώζεων Ο θχθινο ηνπ Mohr γηα ηηο παξακνξθψζεηο ζρεδηάδεηαη φπσο θαη γηα ηελ πεξίπησζε ησλ ηάζεσλ κε δηαθνξά είλαη φηη νη ηεηαγκέλεο ησλ δηαηκεηηθψλ παξακνξθψζεσλ ιακβάλνληαη ίζεο κε γ /. γ ma / γ / γ/ ε *θ ε ε *ζ Ο ε ζ ε γσλία ηεο ζρέζεο (1.108) θ ε γσλία ηεο ζρέζεο (1.110) Α ε 1 ε (ε +ε )/ ρ. 1.9: Κχθινο Mohr Κχξηεο Παξακνξθψζεηο Μέγηζηε Παξακφξθσζε Γσλίεο ησλ ζρέζεσλ (1.108) θαη (1.110) Αύξηζη Θεπμοκπαζίαρ Μία νκνηφκνξθε αχμεζε ζεξκνθξαζίαο θαηά ΓT νδεγεί ζε έλα πεδίν παξακνξθψζεσλ ηεο κνξθήο:,,, ε ο (1.113), 0, 0, 0 Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-3

33 φπνπ α είλαη ν ζπληειεζηήο ζεξκηθήο δηαζηνιήο (ζε 1/ K). Απφ ηε ζρέζε (1.113) γίλεηαη αληηιεπηφ φηη ε αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο δελ κεηαβάιεη ηε κνξθή ηνπ ζψκαηνο αιιά απιά απμάλεη ή κεηψλεη ηνλ φγθν ηνπ (θαη θαη επέθηαζε ηηο δηαζηάζεηο απηνχ) θαζψο νη δηαηκεηηθέο παξακνξθψζεηο είλαη ίζεο κε κεδέλ. Αλ ην ζψκα είλαη ειεχζεξν λα παξακνξθσζεί ηφηε ζ ο =0 θαη ζηελ πεξίπησζε απηή ε ζρέζε ηάζεσλ παξακνξθψζεσλ δίδεηαη σο: ζ D ε ε (1.114) ηελ πεξίπησζε φπνπ γηα ην ζψκα απηφ δελ επηηξέπεηαη ε παξακφξθσζε (δειαδή ε=0) ηφηε αλαπηχζζεηαη ηάζε βάζεη ηεο ζρέζεο: ο ζ Dε (1.115) ο Οη νξζέο ηάζεηο ζχκθσλα κε ηελ παξαπάλσ ζρέζε δίδνληαη σο: 1 E ζ 1 ο 1 1 (1.116) 1 Δχθνια γίλεηαη αληηιεπηφ κία αχμεζε ηεο ζεξκνθξαζίαο ζε ζψκα πνπ δελ ηνπ επηηξέπεηαη ε παξακφξθσζε νδεγεί ζε αλάπηπμε νξζψλ ζιηπηηθψλ ηάζεσλ θαη ηαλάπαιηλ. ηελ πεξίπησζε ηεο επίπεδεο έληαζεο (plane stress) ε ζρέζε πνπ δίλεη ηηο παξακνξθψζεηο ιφγσ νκνηφκνξθεο αχμεζεο ηεο ζεξκνθξαζίαο δίδεηαη σο:,, 0 ο, ε (1.117) ο Παξαηεξνχκε φηη γηα ην πξφβιεκα ηεο επίπεδεο έληαζεο ε παξακφξθσζε ιφγσ ζεξκνθξαζίαο θαηά ηελ 3 ε δηάζηαζε ζεσξείηαη ακειεηέα. ηελ πεξίπησζε ηεο επίπεδεο παξακφξθσζεο ιφγσ ηνπ γεγνλφηνο φηη παξεκπνδίδεηαη ε παξακφξθσζε θαηά ηελ 3 ε δηάζηαζε ππάξρεη κία πξνζαχμεζε ηεο παξακφξθσζεο θαηά (1+λ) θαη ε ζρέζε (1.113) δηακνξθψλεηαη σο:, ε, 1 ο (1.118), Απσή Saint Venant χκθσλα κε ηελ αξρή ηνπ Saint Venant ην πεδίν ηάζεσλ θαη παξακνξθψζεσλ καθξάλ ηεο πεξηνρήο εθαξκνγήο κίαο δηαηαξαρήο (επηβαιιφκελε κεηαηφπηζε, θνξηίν θ.ιπ.) δελ επεξεάδνληαη απφ ηελ αθξηβή ζπκπεξηθνξά ηνπ ζψκαηνο ζηελ πεξηνρή πιεζίνλ ηεο δηαηαξαρήο ή ηεο πθήο ηεο Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-33

34 δηαηαξαρήο αιιά θαζνξίδεηαη απφ ηε γεληθφηεξε ηζνξξνπία ηνπ ζψκαηνο. ην παξάδεηγκα ηνπ ρ. 1.30, ε θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ ζηε ηνκή α-α ζηηο δχν πεξηπηψζεηο είλαη δηαθνξεηηθή θαζψο ε ηνκή απηή βξίζθεηαη πιεζίνλ ηεο πεξηνρήο εθαξκνγήο ηεο δηαηαξαρήο. P q=p/a α β α α α β β β Ηζνηαζηθή Κακπχιε ρ. 1.30: Καηαλνκή ηάζεσλ ιφγσ ζπγθεληξσκέλεο δχλακεο θαη θαηαλεκεκέλνπ θνξηίνπ Αξρή Saint Venant. Απηφ φκσο δελ είλαη αιεζέο γηα ηελ θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ ζηελ ηνκή β-β πνπ βξίζθεηαη ζε απφζηαζε απφ ηελ δηαηαξαρή. Αληίζηνηρα δηαθνξεηηθή ζπκπεξηθνξά παξαηεξείηαη θαη γηα ην πεδίν ησλ κεηαηνπίζεσλ ζηελ ηνκή α-α θάηη φκσο πνπ δελ ηζρχεη ζηελ πεξίπησζε ηεο ηνκήο β-β Πεδίο Τάζεων ζηο Φώπο Μεηαζτημαηιζμός ζε ησταίο επίπεδο Σν πεδίν ησλ ηάζεσλ ζην ρψξν (ρ. 1.31) σο ζπκκεηξηθφ κεηξψν δίδεηαη σο: T 3 ij (1.119) ji i j ρ. 1.31: Σάζεηο ζην ρψξν Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-34

35 Έζησ επίπεδν ζην ρψξν κε δηάλπζκα v=(v,v,v ) θάζεην ζε απηφ (ρ. 1.3). Υ v v=(v,v,v ) Ζ Φ. ρ. 1.3: Σπραίν επίπεδν ζην ρψξν Οη ζπληζηψζεο ηνπ δηαλχζκαηνο απνηεινχλ θαη ηα ζσλεκίηολα θαηεύζσλζες ηνπ επηπέδνπ. χκθσλα κε ηε ζεσξία ηεο άιγεβξαο νη ηάζεηο ζε έλα ζχζηεκα Υ Τ Ε σο ζπλάξηεζε ησλ ηάζεσλ ζην ζχζηεκα ΥΤΕ δίδνληαη σο: ' l m n lm ln mn ' l m n lm l n mn ' l m n lm ln mn (1.10) ' ' ll mm nn lm lm ln ln mn mn ' ' ll mm nn lm lm ln ln mn mn ' ' l l mm nn lm lm ln ln mn mn Όπνπ v ={l, m, n } είλαη ηα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο ηνπ άμνλα Υ ζην ζχζηεκα ΥΤΕ, v ={l, m, n } είλαη ηα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο ηνπ άμνλα Y ζην ζχζηεκα ΥΤΕ θαη v ={l, m, n } είλαη ηα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο ηνπ άμνλα Z ζην ζχζηεκα ΥΤΕ. Σα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο ησλ αμφλσλ ηνπ λένπ ζπζηήκαηνο Υ Τ Ε παξνπζηάδνληαη ζρεκαηηθά ζηo ρ σο ρ Ζ Ζ Υ n m Υ Φ Φ l ρ. 1.33: Απεηθφληζε ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο γηα ηνλ άμνλα Υ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-35

36 Ζ Ζ n Υ l m Φ Υ Φ ρ. 1.34: Απεηθφληζε ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο γηα ηνλ άμνλα Τ Ζ Ζ n Υ m Υ l Φ Φ ρ. 1.35: Απεηθφληζε ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο γηα ηνλ άμνλα Z Γηα ηα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο ηζρχεη φηη: 1. Σν δηαλχζκαηα ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο έρνπλ κέηξν ίζν κε κνλάδα: v l m n 1 i,, (1.11) i i i i. Σν εζσηεξηθφ γηλφκελν κεηαμχ ησλ δηαλπζκάησλ ζα πξέπεη λα είλαη ίζν κε ην κεδέλ: v v l l m m n n 0 (1.1) i j i j i j i j Παράδεηγκα Έζησ ζχζηεκα αμφλσλ Υ Τ Ε ζην νπνίν έρεη επηβιεζεί πεξηζηξνθή πεξί ηνπ άμνλα Υ θαηά α=π/6 φπσο ζηελ πεξίπησζε ηνπ ρ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-36

37 Ζ Ζ n Υ n α=π/6 Υ m m Φ Φ ρ. 1.36: χζηεκα Υ Τ Ε ζην νπνίν έρεη επηβιεζεί πεξηζηξνθή πεξί ηνπ άμνλα Υ θαηά α=π/6. Σα δηαλχζκαηα θαηεχζπλζεο δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: v l, m, n 1,0,0 v l, m, n 0, cos,sin 6 6 v l, m, n 0, sin,cos 6 6 εκεηψλεηαη φηη ε πεξηζηξνθή ηνπ ζπζηήκαηνο πεξί ηνλ άμνλα Υ δελ έρεη επεξεάζεη ηε ζέζε ηνπ άμνλα Υ (φπσο ηεθκαίξεηαη θαη απφ ηε ηηκή ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο). Δθαξκφδνληαο ηε ζρέζε (1.10) έρνπκε (κεηά θαη απφ ηελ αληηθαηάζηαζε: ' ' 0 m n 0 0 mn ' 0 m n 0 0 mn ' ' lm ln 0 ' ' lm ln 0 ' ' 0 mm nn 0 0 mn mn Ήηνη ' m ' n mn m ' n mn l ' ' m ln l ' ' m ln m m n n m n m n ' ' Παξαηεξνχκε φηη ε ηηκή ηεο νξζήο ηάζεο θαηά Υ δελ κεηαβάιιεηαη θάηη πνπ είλαη αλακελφκελν. Δπηπιένλ νη ηηκέο ησλ δηαηκεηηθψλ ηάζεσλ η θαη η (θνηλψο νη ηάζεηο πνπ βξίζθνληαη ζην Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-37

38 επίπεδν ηνπ νπνίνπ θάζεην δηάλπζκα είλαη ν άμνλαο Υ ) απνηεινχλ ζπλαξηήζεηο θαη κφλνλ ησλ η θαη η αληίζηνηρα Μεηαζτημαηιζμός ζε ησταίο επίπεδο (γραμμική άλγεβρα) Όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ πξνβιήκαηνο ησλ επίπεδσλ ηάζεσλ νη ηάζεηο ζε ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Υ Τ Ε κπνξνχλ λα ππνινγηζηνχλ κε ηε βνήζεηα ηεο κεηξσηθήο άιγεβξαο. Έζησ ην κεηξψν ησλ ηάζεσλ πνπ δίδεηαη σο: Σν κεηξψν πεξηζηξνθήο 6 πεξί άμνλα Υ, Τ θαη Ε είλαη ηεο κνξθήο: T (1.13) Q := 0 cos( ) sin( ) 0 sin( ) cos( ) cos( ) 0 sin( ) Q := sin( ) 0 cos( ) cos( ) sin( ) 0 Q := sin( ) cos( ) Σα κεηξψα πεξηζηξνθήο σο βαζηθφ ραξαθηεξηζηηθφ ηνπο έρνπλ φηη: det 1 1 T Q Q Q Αλ ην ζχζηεκα αλαθνξάο είλαη δεμηφζηξνθν ηφηε ε νξίδνπζα είλαη ίζε κε 1 ελψ ζε αληίζεηε πεξίπησζε (αξηζηεξφζηξνθν ζχζηεκα) ε νξίδνπζα είλαη ίζε κε -1. ηελ πεξίπησζε εθηέιεζε πεξηζηξνθήο πεξί Υ θαηά πξψηνλ, Τ θαηά δεχηεξνλ θαη Ε θαηά ηξίηνλ ην κεηξψν πεξηζηξνθήο ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: Q R = QQQ Αλ ε πεξηζηξνθή εθηειεζηεί θαηά γσλία ζ πεξί Υ, γσλία θ πεξί Τ θαη γσλία ς πεξί Ε ην κεηξψν πεξηζηξνθήο δίδεηαη σο: 6 Πεξηζζφηεξα φζνλ αθνξά ηηο ηδηφηεηεο ησλ κεηξψσλ πεξηζηξνθήο κπνξνχλ λα βξεζνχλ ζηελ ηζηνζειίδα Μεγάιε αλάπηπμε ζην ρψξν ηεο γξακκηθήο άιγεβξαο φζνλ αθνξά ην ζέκα ησλ κεηξψσλ πεξηζηξνθήο έρεη παξαηεξεζεί ηα ηειεπηαία ρξφληα ιφγσ θαη ησλ απαηηήζεσλ γηα 3D απεηθφληζε ζε Ζ/Τ. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-38

39 cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) QR:= sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) Όπνπ Σέινο ν κεηαζρεκαηηζκφο δίδεηαη σο: ην ζεκείν απηφ ζεκεηψλεηαη φηη: l m n Q l m n R (1.14) l m n ' ' ' ' ' T T ' ' ' ' ' QRTQ R (1.15) ' ' ' ' ' Q = Q Q Q Q' = Q Q Q Q = Q Q Q Q = Q Q Q... R R R R Κνηλψο αλ ε πεξηζηξνθή εθηειεζηεί θαηά δηαθνξεηηθφ ηξφπν αθφκα θαη αλ νη γσλίεο είλαη ίδηεο ην ηειηθφ απνηέιεζκα δελ ζα είλαη ην ίδην Κύριες Σάζεις Τπάξρεη έλα επίπεδν πνπ νξίδεηαη απφ ην δηάλπζκα v=(v,v,v ) γηα ην νπνίν νη νξζέο ηάζεηο ιακβάλνπλ ηελ αθξφηαηε ηηκή ηνπο θαη νη αληίζηνηρεο δηαηκεηηθέο ηάζεηο κεδελίδνληαη. Οη ηάζεηο απηέο νξίδνληαη σο νη θχξηεο ηάζεηο ηνπ πεδίνπ ησλ ηάζεσλ. Σν πξφβιεκα ηεο εχξεζεο ησλ θπξίσλ ηάζεσλ θαη ηνπ αληίζηνηρνπ ζεη ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο πνπ ζα νξίδνπλ 3 θάζεηα κεηαμχ ηνπο επίπεδα ζηα νπνία ην πεπεξαζκέλν παξαιιειεπίπεδν ησλ ηάζεσλ έρεη πεδίν ηάζεσλ ηεο κνξθήο: T V 0 0 (1.16) Δίλαη αληίζηνηρν κε ην πξφβιεκα εχξεζεο ησλ ηδηνηηκψλ (ηάζεηο) θαη ηδηνδηαλπζκάησλ (ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο) ζε έλα κε ηδηάδνλ ηεηξαγσληθφ ζπκκεηξηθφ κεηξψν. Σν πξφβιεκα ησλ ηδηνηηκψλ ηνπ κεηξψνπ Τ 3 δίδεηαη σο: T3 v v (1.17) Όπνπ Τ 3 ην ηεηξαγσληθφ κεηξψν ηνπ πεδίνπ ησλ ηάζεσλ v ην θάζεην δηάλπζκα ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν πθίζηαηαη ν κεδεληζκφο ησλ δηαηκεηηθψλ ηάζεσλ θαη ι βαζκσηή πνζφηεηα. Σν δηάλπζκα v απνηειεί ηδηνδηάλπζκα ηνπ Τ 3 αλ ε πνζφηεηα ι είλαη ε αληίζηνηρε ηδηνηηκή. Ζ εμίζσζε (1.17) γξάθεηαη σο: 3 T I v 0 (1.18) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-39

40 Όπνπ Θ ην κνλαδηαίν κεηξψν δηαζηάζεσλ 33. Ζ ζρέζε (1.18) έρεη θαη κε εθθπιηζκέλε ιχζε φπνπ v 0 φηαλ ε νξίδνπζα ηνπ κεηξψνπ (T 3 -ιθ) είλαη ίζε κε ην κεδέλ δειαδή ην κεηξψν (T 3 -ιθ) είλαη ηδηάδνλ δειαδή ε νξίδνπζα ηνπ κεηξψνπ είλαη ίζε κε κεδέλ. Ζ εμίζσζε: 3 det T I 0 (1.19) Ολνκάδεηαη ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε. Ζ ιχζε ηεο εμίζσζεο ζα δψζεη ι 1,...,ι n ηδηνηηκέο. Γηα θάζε ηδηνηηκή ι i ην ηδηνδηάλπζκα v i πνπ απνηειεί θαη κε εθθπιηζκέλε ιχζε ηεο ζρέζεο (1.18) ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε: T I v 0 (1.130) 3 i i Σν ηδηνδηάλπζκα v i θαζνξίδεηαη επαθξηβψο κφλνλ κεηά ηνλ απζαίξεην νξηζκφ κίαο πνιιαπιαζηαζηηθήο ζηαζεξάο θαζψο ην κεηξψν A i I είλαη ηδηάδνλ κεηξψν. Ζ ιχζε ηεο ζρέζεο (1.19) νδεγεί ζην: det T det T Ζ ζρέζε απηή νδεγεί ζην απνηέιεζκα: 3 det det C 0 (1.131) T T (1.13) Όπνπ νη ηηκέο Α, Β, θαη C απνηεινχλ θαη ηηο αλαιιοίωηες ηοσ ηαλσζηή θαη δίδνληαη σο: A I 1 B I C I 3 (1.133) Παράδεηγκα 1o Έζησ ην πεδίν ησλ ηάζεσλ Τ ζπκκεηξηθφ φπνπ: T 0 7 MPa 0 11 ην παξάδεηγκα απηφ παξαηεξνχκε φηη δηαηκεηηθέο εληάζεηο εκθαλίδνληαη κφλνλ ζε επίπεδν θάζεην ζηνλ άμνλα Τ θαη θαηά ηε δηεχζπλζε ηνπ άμνλα Ε φπσο απηέο εκθαλίδνληαη ζην ρ Ζ ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε δίδεηαη σο: Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-40

41 1 0 0 det T3 I MPa 11 MPa 7 MPa 1 MPa MPa ρ. 1.37: Καηάζηαζε ηάζεσλ ηνπ 1 νπ παξαδείγκαηνο. Ζ νξίδνπζα κεηξψνπ 33 γηα ην ζπγθεθξηκέλν πξφβιεκα δίδεηαη σο: 0 0 det T det T 1 det T T det T det Δχθνια γίλεηαη θαηαλνεηφ φηη γηα ην πξφβιεκα ππφ εμέηαζε νη ηηκέο ι πνπ κεδελίδνπλ ηελ νξίδνπζα δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: ,3, Οη θχξηεο ηάζεηο δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: i ma 1 min A i Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο εθαξκφδνπκε ηε ζρέζε (1.18). Έζηω ι=ι 1 =1 MPa. Ζ ζρέζε (1.18)γξάθεηαη σο: 3 T I v Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-41

42 v V1, v V 0 1, V 1, 0 Σν ζχζηεκα ησλ εμηζψζεσλ ρσξίδεηαη ζε ππνζπζηήκαηα. Ζ ζρέζε πνπ εκπιέθεη ην V 1, θαη ην ζχζηεκα ησλ εμηζψζεσλ πνπ εκπιέθνπλ ηα V 1, V 1,. Σν ζχζηεκα γξάθεηαη σο: 5 V1, 0 1 V 1, 0 Σν κεηξψν δελ είλαη ηδηάδσλ θαζψο ε νξίδνπζα ηνπ: 5 det Γελ είλαη ίζε κε ην κεδέλ. Άξα γηα ην ζχζηεκα ε κφλε απνδεθηή ιχζε γηα ηηο ηηκέο ηνπ V 1, V 1, είλαη ε κεδεληθή ιχζε δειαδή: V1, 0 V 1, 0 Ζ άιιε εμίζσζε πνπ εκπιέθεη ην V 1, γξάθεηαη σο: 0V 0 1, Ζ ζπγθεθξηκέλε ζρέζε έρεη ιχζε γηα νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ V 1,. Καζψο κία ηηκή ίζε κε ην κεδέλ ζα νδεγνχζε ζε έλα δηάλπζκα θαηεχζπλζεο κεδεληθνχ κεγέζνπο (πνπ απνηειεί θαη ηελ εθθπιηζκέλε ιχζε αιιά πνπ δελ ελδηαθέξεη ζηελ πεξίπησζε καο) ε ηηκή απηή ζα πξέπεη λα είλαη δηάθνξε ηνπ κεδελφο. Απζαίξεηα ινηπφλ νξίδεηαη ε ηηκή ηνπ V 1, = 1.0. Άξα ην δηάλπζκα θαηεχζπλζεο δίδεηαη σο: V1, V1, l1 1 V1, V 1, m 1 0 V V n 0 1, 1, n 1 Σν δηάλπζκα απηφ γηα λα απνηειεί θαη δηάλπζκα θαηεχζπλζεο ζα πξέπεη λα έρεη θαη κέηξν ίζν κε ηε κνλάδα. Σν κέηξν ηνπ δηαλχζκαηνο V 1 είλαη ίζν κε: V 1 V V V 1, 1, 1, Άξα ην δηάλπζκα θαηεχζπλζεο είλαη κνλαδηαίν θαη απνηειεί θαη ην δηάλπζκα θαηεχζπλζεο ηνπ άμνλα 1 θαζψο ε ηηκή ι 1 αληηζηνηρεί ζηε ηηκή ζ 1. Γίλεηαη δε, άκεζα αληηιεπηφ φηη ν άμνλαο 1 ζπκπίπηεη κε ηνλ άμνλα Υ ηνπ πξνβιήκαηνο. Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-4

43 Ζ ζρέζε (1.18)γξάθεηαη σο: Έζηω ι=ι =11.88 MPa. 3 T I v v v V, V 0, V, 0 Σν ζχζηεκα ησλ εμηζψζεσλ ρσξίδεηαη ζε ππνζπζηήκαηα. Ζ ζρέζε πνπ εκπιέθεη ην V, θαη ην ζχζηεκα ησλ εμηζψζεσλ πνπ εκπιέθνπλ ηα V, V,. Σν ζχζηεκα γξάθεηαη σο: V, V, 0 Σν κεηξψν είλαη ηδηάδσλ θαζψο ε νξίδνπζα ηνπ: 4.88 det Δίλαη ίζε κε ην κεδέλ. Άξα ην ζχζηεκα είλαη αφξηζην θαη ππάξρεη απεηξία ιχζεσλ. Μία απνδεθηή ιχζε γηα ηηο ηηκέο ηνπ V, V, είλαη ε ιχζε γηα ηελ νπνία ε ηηκή V, = 1 νπφηε ην ζχζηεκα γξάθεηαη σο: V, 0 Βάζεη απηήο ηεο απζαίξεηεο επηινγήο ηεο ηηκήο V, έρνπκε γηα ην V, φηη: 4.88 V 0 V 4.88 V =.414,,, Ζ άιιε εμίζσζε πνπ εκπιέθεη ην V, γξάθεηαη σο: 0.17 V 0 V 0 Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-43,, Ζ ζπγθεθξηκέλε ζρέζε έρεη ιχζε γηα ηηκή ηνπ V, =0. Άξα ην δηάλπζκα θαηεχζπλζεο δίδεηαη σο: V, 0 V, 1 V,.414 Σν δηάλπζκα απηφ γηα λα απνηειεί θαη δηάλπζκα θαηεχζπλζεο ζα πξέπεη λα έρεη θαη κέηξν ίζν κε ηε κνλάδα. Σν κέηξν ηνπ δηαλχζκαηνο V είλαη ίζν κε:

44 V V, V, V, Άξα ην κνλαδηαίν δηάλπζκα θαηεχζπλζεο δίδεηαη σο: V, V, l 0 1 V V m V V n 0.94,, V, n, Σν δηάλπζκα απηφ βξίζθεηαη εληφο ηνπ επηπέδνπ ΤΕ ζε ζηξνθή ζ = arccos(0.383) = rad = Έζηω ι=ι 3 =6.171 MPa. Ζ ζρέζε (1.18) γξάθεηαη σο: 3 T I v v v V3, V 0 3, V 3, 0 Σν ζχζηεκα ησλ εμηζψζεσλ ρσξίδεηαη ζε ππνζπζηήκαηα. Ζ ζρέζε πνπ εκπιέθεη ην V 3, θαη ην ζχζηεκα ησλ εμηζψζεσλ πνπ εκπιέθνπλ ηα V 3, V 3,. Σν ζχζηεκα γξάθεηαη σο: 0.89 V3, V 3, 0 Σν κεηξψν είλαη ηδηάδσλ θαζψο ε νξίδνπζα ηνπ: 0.89 det Δίλαη ίζε κε ην κεδέλ. Άξα ην ζχζηεκα είλαη αφξηζην θαη ππάξρεη απεηξία ιχζεσλ. Μία απνδεθηή ιχζε γηα ηηο ηηκέο ηνπ V 3, V 3, είλαη ε ιχζε γηα ηελ νπνία ε ηηκή V 3, = 1νπφηε ην ζχζηεκα γξάθεηαη σο: V 3, 0 Βάζεη απηήο ηεο απζαίξεηεο επηινγήο ηεο ηηκήο V 3, έρνπκε γηα ην V 3, φηη: 0.89 V 0 V 0.89 V = , 3, 3, Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-44

45 Ζ άιιε εμίζσζε πνπ εκπιέθεη ην V 3, γξάθεηαη σο: 5.89 V 0 V 0 3, 3, Ζ ζπγθεθξηκέλε ζρέζε έρεη ιχζε γηα ηηκή ηνπ V 3, =0. Άξα ην δηάλπζκα θαηεχζπλζεο δίδεηαη σο: V3, 0 V 3, 1 V 3, Σν δηάλπζκα απηφ γηα λα απνηειεί θαη δηάλπζκα θαηεχζπλζεο ζα πξέπεη λα έρεη θαη κέηξν ίζν κε ηε κνλάδα. Σν κέηξν ηνπ δηαλχζκαηνο V 3 είλαη ίζν κε: V 3 V3, V3, V3, Άξα ην κνλαδηαίν δηάλπζκα θαηεχζπλζεο δίδεηαη σο: V3, V3, l3 0 1 V V m 0.94 V V n , 3, 3 V3 3, n 3, 3 Σν δηάλπζκα απηφ βξίζθεηαη εληφο ηνπ επηπέδνπ ΤΕ ζε ζηξνθή ζ = arcsin(-0.383) = rad = -.5. Ο άμνλαο 3 είλαη θάζεηνο ζηνλ άμνλα (φπσο ήηαλ αλακελφκελν) θαζψο ην εζσηεξηθφ ηνπο γηλφκελν είλαη ίζν κε ην κεδέλ: v 3 v v l l m m n n v 0* * *0.383 v v Σν εμσηεξηθφ γηλφκελν φκσο ησλ δχν απηψλ δηαλπζκάησλ πνπ δίδεηαη σο: i j k i j k V V l m n l m n V V 3 i j k V V 3 i i 0 j 0k V V Πνπ νξίδεη ην δηάλπζκα 1. Ζ θαηάζηαζε ησλ ηάζεσλ ζην ζχζηεκα 13 παξνπζηάδεηαη ζην ρ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-45

46 3 MPa 11 MPa MPa MPa 1 1 MPa MPa 7 MPa 1 MPa ρ. 1.38: Καηάζηαζε ηάζεσλ ζην επίπεδν 13 Δλαιιαθηηθά γλσξίδνληαο ηα δηαλχζκαηα θαηεχζπλζεο V 1 θαη V είλαη δπλαηφ κέζσ ηνπ εμσηεξηθνχ γηλνκέλνπ ησλ δηαλπζκάησλ απηψλ λα παξάγνπκε ην δηάλπζκα V 3 σο: i j k i j k 3 V V V l m n l m n V3 i j k V V i 0 0 j k i 0.94 j 0.383k 0 V Σν νπνίν θαη είλαη ην δηάλπζκα θαηεχζπλζεο ηνπ άμνλα 3 θαη φπσο ήηαλ αλακελφκελν ην δηάλπζκα απηφ είλαη ηαπηφζεκν κε ην δηάλπζκα πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ επίιπζε ηεο ζρέζεο (1.18) ζηελ πεξίπησζε φπνπ ι=ι 3. Παράδεηγκα o Έζησ ην πεδίν ησλ ηάζεσλ Τ ζπκκεηξηθφ φπνπ: T 3 7 MPa 1 11 Ζ ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε δίδεηαη σο: det T3 I Ζ νξίδνπζα κεηξψνπ 33 δίδεηαη σο: Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-46

47 det T det T 3 det T C 0 A B C= Γηα ην ζπγθεθξηκέλν πξφβιεκα Ζ ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε γξάθεηαη σο: Με ιχζεηο: Άξα νη νξζέο ηάζεηο δίδνληαη σο: Καζψο νη θχξηεο ηάζεηο δίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: Sol:= i ma 1 min 3 i A 1 3 Σα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο γηα ην πξφβιεκα δίδνληαη κεηά απφ πξάμεηο σο: v v 0.31 v Γηα ηα δηαλχζκαηα θαηεχζπλζεο ηζρχεη ην γεγνλφο φηη είλαη νξζνγψληα κεηαμχ ηνπο δειαδή νξίδνπλ έλα κνλαδηθφ νξζνγψλην ζχζηεκα αμφλσλ ζην ρψξν. Χο επαθφινπζν ην εζσηεξηθφ ηνπο γηλφκελν ηζνχληαη κε ην κεδέλ. Ζ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ νδεγεί ζε: 1 v v l l m m n n v v 0.909* * *0.940 v v =0 i Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-47

48 1 3 v v l l m m n n v v 0.909* * *0.339 v 3 v v 1 3 v =0 v l l m m n n v 0.113* * *0.339 v v Μέγιζηες διαημηηικές Σάζεις Οη κέγηζηεο δηαηκεηηθέο ηάζεηο πξνθχπηνπλ ζηελ πεξίπησζε ησλ πξνβιεκάησλ ζην ρψξν κέζσ ηνπ ππνινγηζκνχ ησλ θπξίσλ ηάζεσλ. Δθφζνλ είλαη γλσζηφ ηφζν ην πεδίν ησλ θπξίσλ ηάζεσλ φζν θαη ν πξνζαλαηνιηζκφο απηψλ νη κέγηζηεο δηαηκεηηθέο ηάζεηο θαη νη κέζεο νξζέο ηάζεηο πξνθχπηνπλ απφ ηηο ζρέζεηο: (1.134) 1 1 1,ma avg,1 (1.135) ,ma avg,13 (1.136) 3 3 3,ma avg,3 φπνπ η 1,ma ε κέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε ηνπ επηπέδνπ 1, η 13,ma ε κέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε ηνπ επηπέδνπ 13 θαη η 3,ma ε κέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε ηνπ επηπέδνπ 3. Καζψο απφ ηελ εχξεζε ησλ θπξίσλ ηάζεσλ είλαη γλσζηά ζηα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο ηνπ ζπζηήκαηνο 13 ηα ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο ησλ ηξηψλ επηκέξνπο ζπζηεκάησλ πξνθχπηνπλ απφ απιή πεξηζηξνθή θαηά γσλία ίζε κε π/4 (45 ) ηνπ ζπζηήκαηνο 13 πεξί ηνπ 3 νπ άμνλα, νπ θαη 1 νπ άμνλα αληίζηνηρα. Σν κεηξψν ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο ηνπ ζπζηήκαηνο 13 δίδεηαη (βάζεη θαη ηεο ζρέζεο (1.14) σο: v1, v, v3, Q 13 v1, v, v3, (1.137) v1, v, v 3, Σν κεηξψν ησλ ζπλεκίηνλσλ θαηεχζπλζεο ηνπ ζπζηήκαηνο φπνπ παξνπζηάδεηαη ε κέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε ζην επίπεδν 1 δίδεηαη σο: Q Q Q Q (1.138) 1,ma η,3 13,3 φπνπ ην κεηξψν πεξηζηξνθήο Q η,3 είλαη κεηξψν πεξηζηξνθήο θαηά π/4 (45 ) ηεο κνξθήο ηνπ κεηξψνπ πεξηζηξνθήο πεξί ηνπ άμνλα Ε ήηνη: cos 4 sin Q η,3 sin 4 cos (1.139) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-48

49 Σν πεδίν ησλ ηάζεσλ κε ηε πεξηζηξνθή πεξί ηνπ άμνλα 3 δίδεηαη σο: avg,1 1,ma 0 ζ 1,ma 1,ma avg,1 0 (1.140) Παξαηεξνχκε φηη ε πεξηζηξνθή πεξί άμνλα 3 δελ έρεη θακία επίδξαζε ζηελ νξζή ηάζε ζ 3. Καηά αλάινγν ηξφπν πξνθχπηνπλ θαη ηα κεηξψα ησλ δηαλπζκάησλ θαηεχζπλζεο δειαδή κε πεξηζηξνθή θαηά γσλία π/4 πεξί ησλ αμφλσλ θαη 1 αληίζηνηρα δειαδή: 13,ma η, 13, 13,ma Q θαη 3,ma Q Q Q Q Q (1.141) Q Q Q Q (1.14) 3,ma η, 1 13,1 φπνπ ηα κεηξψα πεξηζηξνθήο Q η, θαη Q η, 1 γξάθνληαη σο: cos 4 0 sin 4 0 Q η, (1.143) sin 4 0 cos Q η, 1 0 cos 4 sin 4 0 (1.144) 0 sin 4 cos 4 0 Σα αληίζηνηρα πεδία ησλ ηάζεσλ δίδνληαη σο: avg, ,ma ζ 0 13,ma 0 (1.145) 13,ma 0 avg, ζ 0 3,ma avg,3 3,ma (1.146) 0 3,ma avg,3 Παξαηεξνχκε φηη γηα ηε ζρέζε (1.145) ε πεξηζηξνθή πεξί ηνπ άμνλα δελ επεξεάδεη ηελ ηάζε ζ θαη αληίζηνηρα γηα ηε ζρέζε (1.146) ην ίδην ζπκβαίλεη γηα ηε ηάζε ζ Κύκλος ηοσ Mohr ηα πξνβιήκαηα ηνπ ρψξνπ ν θχθινο ηνπ Mohr είλαη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα ηξεηο θχθινη κε ηε θχξηα δηάκεηξν ηνπο λα έρεη δηάζηαζε ίζε κε 1, 1 3 θαη 3 αληίζηνηρα. Οη θχθινη ηνπ Mohr γηα ην πξφβιεκα ζην ρψξν παξνπζηάδεηαη ζην ρ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-49

50 η 13,ma η 1,ma ζ 3 η η 3,ma Ο 3 ζ Ο 13 Ο 1 ζ 1 ζ O 1 O 13 O ,ma 13,ma 3,ma ρ. 1.39: Κχθινο ηνπ Mohr (3D) Ιζόηποπα Υλικά Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ κεηξψνπ ζπζρέηηζεο ηάζεσλ-παξακνξθψζεσλ ζε ηζφηξνπα πιηθά απαηηείηαη ε γλψζε δχν παξακέηξσλ ηνπ πιηθνχ. Οη ζρέζεηο ηάζεσλ παξακνξθψζεσλ ηνπ Κεθ. 1.7, πξνθχπηνπλ κε γλσζηά ην κέηξν ειαζηηθφηεηαο Ε θαη ην ζπληειεζηή Poisson λ. Πιένλ ηνπ κέηξνπ Διαζηηθφηεηαο θαη ηνπ ζπληειεζηή Poisson ππάξρνπλ άιιεο 4 ζηαζερές ησλ ηζφηξνπσλ πιηθψλ νη νπνίεο παξνπζηάδνπλ θπζηθφ ελδηαθέξνλ. Οη ζηαζεξέο απηέο είλαη: Μέηρο Σσκπηεζηόηεηας (Κ) Bulk Modulus. Σν κέηξν πκπηεζηφηεηαο δίδεη ηελ αληίζηαζε ηνπ πιηθνχ ζε νκνηφκνξθε ζπκπίεζε (ρ. 1.40). Οξίδεηαη σο ν ιφγνο ηεο νκνηφκνξθεο πίεζεο πνπ αζθείηαη ζην ζψκα πξνο ηε ζρεηηθή κεηαβνιή ηνπ φγθνπ απηνχ. Σν κέηξν δίδεηαη απφ ηε ζρέζε: p K V (1.147) V Όπνπ V ν φγθνο ηνπ πιηθνχ θαη p ε πίεζε πνπ αζθείηαη ζε απηφ. Χο ζπλάξηεζε ηνπ Ε θαη λ ην κέηξν ζπκπηεζηφηεηαο γξάθεηαη σο: E K (1.148) 31 Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-50

51 ρ. 1.40: Ηζνζηαηηθή ζπκπίεζε ηνπ Τιηθνχ 7 Η πρώηε παράκεηρος ηοσ Lame (ι). Ζ πξψηε παξάκεηξνο ηνπ Lame δελ έρεη θάπνηα θπζηθή εμήγεζε θαη ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ απινπνίεζε ηνπ κεηξψνπ παξακνξθψζεσλ ηάζεσλ. Σν ι σο ζπλάξηεζε ηνπ Ε θαη λ γξάθεηαη σο: E (1.149) 11 Το κέηρο Δηάηκεζες (G ή κ) (Shear Modulus). Γλσζηφ θαη σο ε ε παξάκεηξνο ηνπ Lame. Σν κέηξν Γηάηκεζεο δίδεη ηελ αληίζηαζε ζε δηαηκεηηθή παξακφξθσζε θαη δίδεηαη σο ν ιφγνο ηεο αλαπηπζζφκελεο δηαηκεηηθήο ηάζεο πξνο ηελ αληίζηνηρε δηαηκεηηθή παξακφξθσζε: G (1.150) Χο ζπλάξηεζε ηνπ Ε θαη λ ην κέηξν δηάηκεζεο γξάθεηαη σο: E G (1.151) 1 Το κέηρο δηάδοζες θσκάηωλ P (M) (P-Wave Modulus). Σν κέηξν απηφ θαζνξίδεη ηελ αληίζηαζε ζε δηακήθε παξακφξθσζε ελφο πιηθνχ θαη είλαη γλσζηφ θαη σο κέηξν δηακήθνπο αληίζηαζεο (longitudinal modulus). Σν κέηξν απηφ θαζνξίδεη ηελ αληίζηαζε πνπ παξνπζηάδεη έλα πιηθφ ζε δηακήθε παξακφξθσζε κε ηελ πξνυπφζεζε φηη δελ επηηξέπεηαη άιιε παξακφξθσζε ηνπ ζψκαηνο. Σν κέηξν δηάδνζεο ησλ θπκάησλ Ρ δίδεηαη απφ ηε ζρέζε: M φηαλ ε (1.15) 0 0 Χο ζπλάξηεζε ηεο ηαρχηεηαο δηάδνζεο ησλ δηακήθσλ θπκάησλ P, V P ην κέηξν γξάθεηαη σο: M V p (1.153) Χο ζπλάξηεζε ηνπ Ε θαη λ ην κέηξν δηακήθνπο αληίζηαζεο γξάθεηαη σο: 1 M E 11 Οη ζρέζεηο πνπ πξνθχπηνπλ γηα ηηο δηάθνξεο ζηαζεξέο παξνπζηάδνληαη ζηνλ Πίλ (1.154) 7 Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-51

52 Πίλ. 1.3: Δθθξάζεηο ησλ ζηαζεξψλ ησλ πιηθψλ σο πξνο νπνηνδήπνηε δεχγνο απηψλ 8 Γλωζη ά 8 Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-5

53 1.14. Οπθόηποπα (ή Οπθοηποπικά) Υλικά Σα νξζφηξνπα (ή νξζνηξνπηθά) πιηθά (orthotropic materials) παξνπζηάδνπλ δηαθνξεηηθή ζπκπεξηθνξά αλαιφγσο ηεο δηεχζπλζεο. Γηα ηα νξζφηξνπα πιηθά ππάξρνπλ ηξία κέηξα Διαζηηθφηεηαο (E, E & E ), 3 ζπληειεζηέο Poisson (λ, λ, & λ ) θαη αληίζηνηρα 3 κέηξα δηάηκεζεο (G, G & G ). Σν κεηξψν ζχλδεζεο παξακνξθψζεσλ κε ηάζεηο (Compliance Matri Μεηρώο Σσκβηβαζηού) δίδεηαη σο 9 : E E E E E E E E E (1.155) G G G Καζψο ην κεηξψν είλαη ζπκκεηξηθφ ηζρχεη: (1.156) E E E E E E Σν κεηξψν ζηηβαξφηεηαο γηα νξζνηξνπηθά πιηθά δίδεηαη σο: EE EE EE EE EE EE EE EE EE G G G Όπνπ ε κεηαβιεηή Γ δίδεηαη σο: (1.157) 9 Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-53

54 1 (1.158) E E E Καζψο ην κεηξψν ζηηβαξφηεηαο είλαη ζπκκεηξηθφ ηζρχεη φηη: E E E E E E E E E E E E (1.159) Ανιζόηποπα Υλικά Πέξαλ ησλ νξζνηξνπηθψλ θαη ηζνηξνπηθψλ πιηθψλ ηα νπνία παξνπζηάδνπλ θάπνηα ζπκκεηξία φζνλ αθνξά ηελ ζπκπεξηθνξά ηνπο (γηα ηα νξζνηξνπηθά πιηθά ππάξρνπλ ηνπιάρηζηνλ νξζνγψληα επίπεδα ζπκκεηξίαο ελψ γηα ηα ηζνηξνπηθά πιηθά ην πιήζνο ησλ νξζνγψλησλ επηπέδσλ ζπκκεηξίαο είλαη άπεηξν εμνχ θαη ε πιήξεο αλεμαξηεζία ηεο ζπκπεξηθνξάο ηνπο σο πξνο ηε δηεχζπλζε ηνπ επηπέδνπ ησλ εληάζεσλ) έρνπκε θαη ηα αληζφηξνπα πιηθά (anisotropic materials) γηα ηα νπνία ηφζν ην κεηξψν ζηηβαξφηεηαο (κεηξψν ζπζρέηηζεο ηάζεσλ κε παξακνξθψζεηο) φζν θαη ην κεηξψν ζπκβηβαζηνχ (κεηξψν ζπζρέηηζεο παξακνξθψζεσλ κε ηάζεηο) είλαη πιήξε ζπκκεηξηθά κεηξψα. Ζ ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηηο ηάζεηο θαη παξακνξθψζεηο δίδεηαη σο: D11 D1 D13 D14 D15 D16 D1 D D3 D4 D5 D 6 D31 D3 D33 D34 D35 D 36 ζ = Dε D Dij Dji (1.160) D41 D4 D43 D44 D45 D46 D51 D5 D53 D54 D55 D 56 D 61 D6 D63 D64 D65 D66 Γηα ηα αληζφηξνπα πιηθά απαηηείηαη ν ππνινγηζκφο 1 ζηαζεξψλ (έλαληη 6 γηα ηα νξζφηξνπα θαη γηα ηα ηζφηξνπα) ηνπ πιηθνχ Κπιηήπια Αζηοσίαρ Όλκιμα Ελαηά Υλικά Σάζη Von Mises Ζ ηάζε Von Mises ρξεζηκνπνηείηαη σο θξηηήξην ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο έλαξμεο αζηνρίαο ηνπ πιηθνχ κε εθαξκνγή ζε ειαηά-πιάζηηκα πιηθά. Γηα λα εμαζθαιίδεηαη ε κε έλαξμε ηεο αζηνρίαο ε ηάζε θαηά Von Mises ζα πξέπεη λα είλαη κηθξφηεξε ή ην πνιχ ίζε ηεο ηάζεο δηαξξνήο ηνπ πιηθνχ: Ζ ηάζε Von Mises δίδεηαη σο: VM (1.161) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-54

55 VM I1 3I (1.16) Όπνπ Ι 1 θαη Ι είλαη νη δχν πξψηεο αλαιινίσηεο ηνπ ηαλπζηή ηάζεο. Γηα ην γεληθφ πξφβιεκα ηεο ειαζηηθφηεηαο νη ακεηάβιεηεο απηέο δίδνληαη σο: I I 1 X Y Z X Y Y Z X Z XY XZ YZ (1.163) Χο ζπλαξηήζεηο ησλ θπξίσλ ηάζεσλ ζ 1, ζ θαη ζ 3 (φπνπ σο θχξηεο ηάζεηο νξίδνληαη νη ηζνδχλακεο νξζέο ηάζεηο γηα θαηάιιεια πξνζαλαηνιηζκέλν ζηνηρεηψδε φγθν γηα ηνλ νπνίν νη αληίζηνηρεο δηαηκεηηθέο ηάζεηο είλαη ίζεο κε ην κεδέλ) ε ζρέζε (1.163) γξάθεηαη σο: I I (1.164) Ζ ηάζε Von Mises βάζεη ησλ θπξίσλ ηάζεσλ κπνξεί λα γξαθεί σο: 1 VM (1.165) Ζ απφδεημε ηεο ηζνδπλακίαο ησλ ζρέζεσλ (1.16) θαη (1.165) απνδεηθλχεηαη σο:? 1 VM ? 1 VM ? 1 VM πξνζζέηνπκε θαη αθαη-? 1 VM ξνχκε ζε θάζε φξν ην VM 1 6? ? 1 VM φπεξ έδεη δείμαη?? VM 1 3 VM 1 3 VM 1 3 Γηα ηελ θαηάζηαζε ηεο επίπεδεο ηάζεο νη αλαιινίσηεο δίδνληαη σο: I I 1 X Y X Y XY Σέινο γηα ηελ θαηάζηαζε ηεο επίπεδεο παξακφξθσζεο νη αλαιινίσηεο δίδνληαη σο: (1.166) (1.167) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-55

56 Καζψο. Z X Y I I 1 1 X Y X Y Y Z X Z XY (1.168) Κριηήριο Tresca Ζ ηάζε θαηά Tresca ρξεζηκνπνηείηαη σο θξηηήξην ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο έλαξμεο αζηνρίαο ηνπ πιηθνχ κε εθαξκνγή ζε ειαηά-πιάζηηκα πιηθά. Γηα λα εμαζθαιίδεηαη ε κε έλαξμε ηεο αζηνρίαο (ή ηεο πιαζηηθήο ξνήο ηνπ πιηθνχ πξέπεη λα ηζρχεη φηη: (1.169) T T 1 Όπνπ ζ 1 θαη ζ νη θχξηεο ηάζεηο ζην επίπεδν. Γηα πξνβιήκαηα δηαζηάζεσλ ην θξηηήξην ηνπ Tresca γξάθεηαη σο: (1.170) 1 1 ηελ πεξίπησζε ησλ πξνβιεκάησλ ζε 3 δηαζηάζεηο ην θξηηήξην γξάθεηαη σο: (1.171) Όπνπ ζ 1, ζ θαη ζ 3 νη θχξηεο ηάζεηο. Ζ γξαθηθή ιχζε ηνπ θξηηεξίνπ Tresca ζε δχν δηαζηάζεηο παξνπζηάδεηαη ζην ρ ρ. 1.41: Κξηηήξην Tresca (απφ 10 χγθξηζε ηεο γξαθηθήο ιχζεο ηνπ θξηηεξίνπvon Mises θαη ηνπ θξηηεξίνπ Tresca ζηηο δηαζηάζεηο παξνπζηάδεηαη ζην ρ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-56

57 ρ. 1.4: χγθξηζε θξηηεξίσλ Tresca θαη Von Mises (απφ Κπιηήπια Αζηοσίαρ Χαθςπά Υλικά Κριηήριο ηης μέγιζηης ορθής ηάζης Σν θξηηήξην ηεο κέγηζηεο νξζήο ηάζεο ή θξηηήξην Rankine ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ πξφβιεςε ηεο αζηνρίαο ζε ςαζπξά πιηθά. χκθσλα κε ην θξηηήξην Rankine αζηνρία επέξρεηαη φηαλ ε κέγηζηε ή ειάρηζηε νξζή ηάζε ππεξβεί ην αληίζηνηρν φξην ηεο νξζήο ηάζεο ζε εθειθπζκφ θαη ζιίςε. Δηδηθφηεξα: ma min (1.17) i t i c Όπνπ ζ t ε κέγηζηε εθειθπζηηθή αληνρή ηνπ πιηθνχ θαη ζ c ε κέγηζηε ζιηπηηθή αληνρή ηνπ πιηθνχ. Ζ γξαθηθή ιχζε ηνπ θξηηεξίνπ Rankine ζε δχν δηαζηάζεηο παξνπζηάδεηαη ζην ρ ρ. 1.43: Κξηηήξην Rankine (απφ Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-57

58 Κριηήριο ηων Mohr-Coulomb To θξηηήξην ηνπ Mohr-Coulomb έρεη ηδηαίηεξε εθαξκνγή ζηελ πξφβιεςε ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ ςαζπξψλ πιηθψλ γηα πξνβιήκαηα δχν δηαζηάζεσλ. χκθσλα κε ην θξηηήξην απηφ ε αζηνρία ηνπ πιηθνχ επέξρεηαη φηη γηα κία εληαηηθή θαηάζηαζε ν θχθινο ηνπ Mohr ηέκλεη ηηο εθαπηφκελεο ησλ θχθισλ πνπ νξίδνπλ έλαλ θάθειν ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ ή παξνπζηάδεη κέγηζηε ηηκήο ηεο νξζήο ηάζεο κεγαιχηεξε ηνπ ζ t ή κηθξφηεξε ηνπ ζ c. Οη εθαπηφκελεο πξνθχπηνπλ απφ ην ζρεδηαζκφ δχν θχθισλ ηνπ Mohr. Ο πξψηνο θχθινο νξίδεη ηε κέγηζηε δηαμνληθή ζιηπηηθή αληνρή κε ηεηκεκέλεο ζηνλ άμνλα ησλ νξζψλ ηάζεσλ ηελ ηηκή ζ c θαη ηε ηηκή κεδέλ. Ο δεχηεξνο θχθινο νξίδεη ηε κέγηζηε δηαμνληθή εθειθπζηηθή αληνρή κε ηεηκεκέλεο ζηνλ άμνλα ησλ νξζψλ ηάζεσλ ηελ ηηκή ζ t θαη ηε ηηκή κεδέλ. Οη δχν επζείεο, ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ νξζψλ ηάζεσλ, πνπ εθάπηνληαη ζηνπο δχν απηνχο θχθινπο νξίδνπλ θαη ηνλ θάθειν ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ. Ο θάθεινο ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ παξνπζηάδεηαη ζην ρ ρ. 1.44: Κξηηήξην Mohr Coulomb H πεξηνρή θαηνχ ρξψκαηνο θαζνξίδεη ην θάθειν ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ 13 Ζ ζχγθξηζε ηνπ θξηηεξίνπ θαηά Mohr-Coulomb θαη ηνπ θξηηεξίνπ Rankine παξνπζηάδεηαη ζην ρ ρ. 1.45: χγθξηζε θξηηεξίνπ Mohr Coulomb θαη θξηηεξίνπ Rankine Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-58

59 1.18. Κπιηήπιο Christensen Σν θξηηεξίν Christensen πξνηάζεθε απφ ηνλ Richard M. Christensen 14 Καζεγεηή Αεξνλαπηηθήο ζην Παλεπηζηήκην ηνπ Stanford ζηα ηέιε ηνπ 0 νπ αηψλα θαη απνηειεί πξνζπάζεηα ελνπνίεζεο ησλ θξηηεξίσλ αζηνρίαο γηα ςαζπξά θαη φιθηκα πιηθά. Χο ςαζπξά πιηθά νξίδνληαη ηα πιηθά γηα ηα νπνία ε κέγηζηε ηάζε εθειθπζκνχ δελ ππεξβαίλεη ην ήκηζπ ηεο κέγηζηεο ηάζεο ζε ζιίςε. Σν θξηηήξην Christensen είλαη ηεηξαγσληθήο κνξθήο (φπσο ην θξηηήξην Von Mises) αιιά ζεσξείηαη φηη κπνξεί λα εθαξκνζηεί γηα κεγάια γθάκα πιηθψλ φπσο θαη ην θξηηήξην Mohr-Coulomb. χκθσλα κε ην θξηηήξην απηφ ε αζηνρία γηα ηζνηξνπηθφ πιηθφ επέξρεηαη φηαλ ν ζπλδπαζκέλνο θαηάιιεια θιηκαθνχκελνο ιφγνο ηάζεο ππεξβεί ηε κνλάδα. Γηα ςαζπξά δε, πιηθά θακία θχξηα ηάζε δελ πξέπεη λα ππεξβαίλεη ηε ηάζε ζ t. Δηδηθφηεξα γηα φια ηα πιηθά ηζρχεη: φπνπ A 3B1 t c t c B A (1.173) Δθφζνλ ε εληαηηθή θαηάζηαζε εθθξάδεηαη ζε φξνπο θχξηαο ηάζεο ε ζρέζε (1.173) γξάθεηαη σο: A1 t c t c φπνπ A (1.174) Γηα πιηθά ςαζπξά κε 0.5 πέξαλ ηνπ θξηηεξίνπ ηεο ζρέζεο (1.173) έρνπκε επηπιένλ: t c ma 1,...,3 (1.175) i t i Όπνπ σο ζ i νξίδνληαη νη θχξηεο ηάζεηο. Γηα πξνβιήκαηα δηαζηάζεσλ ε ζρέζε (1.173) δίδεηαη σο: (1.176) t c t c Δλψ αληίζηνηρα ε ζρέζε (1.175) γξάθεηαη σο: ma 1, (1.177) i t i ην ρ παξνπζηάδεηαη ε γξαθηθή απεηθφληζε ηνπ θαθέινπ ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ γηα έλα πιήξσο φιθηκν πιηθφ (ζ t =ζ c ). ηελ πεξίπησζε απηή ην θξηηήξην Christensen ζπκπίπηεη κε ην θξηηήξην ηνπ Von Mises Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-59

60 ρ. 1.46: Κξηηήξην Christensen πιήξσο φιθηκν πιηθφ 15 ην ρ. 1.47, παξνπζηάδεηαη ε γξαθηθή απεηθφληζε ηνπ θαθέινπ ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ γηα έλα «θαλνληζηηθά» φιθηκν πιηθφ (ζ t <ζ c αιιά ζ t >0.5*ζ c ). ηελ πεξίπησζε απηή ν θάθεινο ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ παξνπζηάδεη κία κεηαηφπηζε πξνο ην 3 ν ηεηαξηεκφξην (φπνπ έρνπκε ζιηπηηθέο εληάζεηο θαη ζηηο δχν δηεπζχλζεηο). ην ρ. 1.48, παξνπζηάδεηαη ε γξαθηθή απεηθφληζε ηνπ θαθέινπ ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ γηα έλα ςαζπξφ πιηθφ (ζ t <0.5*ζ c ). ηελ πεξίπησζε απηή ν θάθεινο ιεηηνπξγίαο ηνπ πιηθνχ παξνπζηάδεη κία κεγάιε κεηαηφπηζε πξνο ην 3 ν ηεηαξηεκφξην (φπνπ έρνπκε ζιηπηηθέο εληάζεηο θαη ζηηο δχν δηεπζχλζεηο) θαη πιένλ απηνχ πξνζηίζεληαη δχν επζείεο παξάιιειεο ζηνπο άμνλεο ησλ θπξίσλ ηάζεσλ πνπ δελ επηηξέπνπλ ηε ηάζε λα ππεξβεί ζε θακία πεξίπησζε ηελ ηάζε ζ t. Ζ ζχγθξηζε ηνπ θξηηεξίνπ θαηά Christensen κε ηα δχν θξηηήξηα πνπ αθνξνχλ φιθηκα πιηθά παξνπζηάδεηαη ζην ρ Απφ ηα απνηειέζκαηα ηεθκαίξεηαη φηη ην θξηηήξην Christensen ηαπηίδεηαη κε ην θξηηήξην Von Mises θαη είλαη γεληθφηεξα πεξηζζφηεξν ηνικεξφ απφ ην θξηηήξην ηεο κέγηζηεο δηαηκεηηθήο ηάζεο (θξηηήξην Tresca) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-60

61 ρ. 1.47: Κξηηήξην Christensen θαλνληζηηθά φιθηκν πιηθφ ρ. 1.48: Κξηηήξην Christensen ςαζπξφ πιηθφ ρ. 1.49: χγθξηζε θξηηεξίνπ Christensen κε θξηηήξηα Von-Mises & Tresca (κέγηζηε δηαηκεηηθή ηάζε) Σέινο, ε ζχγθξηζε ηνπ θξηηεξίνπ θαηά Christensen κε ηα δχν θξηηήξηα πνπ αθνξνχλ ςαζπξά πιηθά παξνπζηάδεηαη ζην ρ Απφ ηα απνηειέζκαηα ηεθκαίξεηαη φηη: Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-61

62 1. Σν θξηηήξην Christensen είλαη ζπληεξεηηθφ ζην 1 ν ηεηαξηεκφξην φπνπ θαη νη θχξηεο ηάζεηο είλαη ζεηηθέο.. Σν θξηηήξην Christensen είλαη κε ζπληεξεηηθφ (ηνικεξφ) ζην 3 ν ηεηαξηεκφξην φπνπ θαη νη θχξηεο ηάζεηο είλαη αξλεηηθφ πξνβιέπνληαο αληνρέο κεγαιχηεξεο ησλ δχν άιισλ θξηηεξίσλ. 3. ην ν θαη 4 ν ηεηαξηεκφξην φπνπ θαη νη θχξηεο ηάζεηο έρνπλ άιιν πξφζεκν ην θξηηήξην θαηά Christensen βξίζθεηαη θπξίσο κεηαμχ ηνπ ηνικεξνχ θξηηεξίνπ ηεο κέγηζηεο νξζήο ηάζεο (Rankine) θαη ηνπ πεξηζζφηεξν ζπληεξεηηθνχ θξηηεξίνπ ησλ Mohr-Coulomb. ρ. 1.50: χγθξηζε θξηηεξίνπ Christensen κε θξηηήξηα Mohr-Coulomb & Rankine (κέγηζηε νξζή ηάζε) Σν θξηηήξην Christensen απνηειεί ζπγθεξαζκφ γελίθεπζε ησλ απαηηήζεσλ ησλ ππαξρφλησλ θξηηεξίσλ ηφζν γηα ειαηά φζν θαη γηα κε ειαηά πιηθά. Σν ζπγθεθξηκέλν θξηηήξην βξίζθεη ηδηαίηεξε εθαξκνγή ζηελ αεξνλαππεγηθή βηνκεραλία φπνπ ζήκεξα ην απμαλφκελν πνζνζηφ ρξήζεο ζχλζεησλ πιηθψλ πξνο αληηθαηάζηαζε ησλ παξαδνζηαθψλ κεηαιιηθψλ θξακάησλ επηηάζζεη ηελ αλαζεψξεζε ησλ ζρεηηθψλ θξηηεξίσλ γηα ηνλ αζθαιή ζρεδηαζκφ ησλ δηαθφξσλ ηκεκάησλ ελφο αεξνζθάθνπο ή νπνηαζδήπνηε άιιεο πηεηηθήο κεραλήο Ολική Δςναμική Ενέπγεια Οριζμός ηης ολικής Δσναμικής Ενέργειας Οη ζρέζεηο ησλ παξαγξάθσλ 1.3, 1.6 θαη 1.7 νξίδνπλ έλα ζχζηεκα 15 κεξηθψλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ κε 15 αγλψζηνπο πνπ γηα ηε γεληθή περίπηωζε δελ έτεη ιύζε. Δπηιχζεηο είλαη δπλαηφλ φκσο λα επηηεπρζνχλ κε ηε ρξήζε πξνζεγγηζηηθψλ κεζφδσλ. Ζ νιηθή δπλακηθή ελέξγεηα ελφο ζψκαηνο (ρ. 1.5) δίδεηαη σο ην άζξνηζκα ηεο ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο εμαηηίαο ηεο παξακφξθσζεο ηνπ θαη ηεο ηθαλφηεηαο παξαγσγήο έξγνπ ηνπ: U+WP (1.178) Κεθάιαην 1ν ΣΑΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΗ ΤΛΗΚΑ ΔΝΔΡΓΔΗΑΚΔ ΜΔΘΟΓΟΗ 1-6