ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ"

Transcript

1 ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι εξής: ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ a n συσχέτιση ή επιλογές τα ορίσματα («αντικείμενα») οι τιμές («δοχεία») χωρητικότητα διακριτότητα/ομοιότητα Συσχετίζουμε «αντικείμενα» με n «δοχεία» ή «θέσεις». ικονίζουμε αυτή την ως «τοποθέτηση» ενός αντικειμένου σε ένα δοχείο ή θέση. Το σε ποιό δοχείο θα τοποθετήσουμε κάθε ένα από τα αντικείμενά μας είναι το σύνολο των «επιλογών» που έχουμε στη διάθεσή μας. Τα αντικείμενα προσδιορίζονται ως εκείνα τα πράγματα που χειριζόμαστε και τα οποία θα συσχετιστούν όλα με ένα και μόνον ένα άλλο πράγμα (το δοχείο, ή θέση). υτό χαρακτηρίζει την τοποθέτηση ως συνάρτηση: από την πλευρά των αντικειμένων είναι μια ολική και μονότιμη. (ι αυτό και η τυπική μαθηματική ονομασία για τα αντικείμενα και τα δοχεία είναι: ορίσματα και τιμές.) Τα δοχεία ή θέσεις είναι η άλλη πλευρά της ς: επί της αρχής ένα δοχείο μπορεί να δεχθεί είτε κανένα, είτε ένα, είτε πολλά αντικείμενα. Σε διάφορες χρήσιμες ειδικές περιπτώσεις, τα δοχεία μπορούν να έχουν «περιορισμούς» της «χωρητικότητάς» τους χ. ιακρίνουμε τρείς βασικές χρήσιμες περιπτώσεις: κανένας περιορισμός: χ 0, (το προφανές). μονοθέσια δοχεία: χ. γενική περίπτωση: χ { 0,, 2,...,,... }, (π.χ.: χ 0, 3, 7 ή 4.) Τα αντικείμενα μπορούν να έχουν μια «σχέση ομοιότητας» που παράγουν συμμετρίες (ή ισοδυναμίες) στη τοποθέτησή τους. Π.χ. αν τρία αντικείμενα έχουν κίτρινο χρώμα, πιθανά να μην μας ενδιαφέρει που τοποθετήθηκε το καθένα, αλλά που τοποθετήθηκαν τα «κίτρινα». ιακρίνουμε τρείς βασικές χρήσιμες περιπτώσεις: πλήρης διακριτότητα: τα αντικείμενα διαφέρουν όλα ανά δύο. πλήρης ομοιότητα: όλα τα αντικείμενα είναι όμοια μεταξύ τους. γενική περίπτωση: τα αντικείμενα ομοιάζουν κατά ομάδες. Σημειώνουμε ότι τα δοχεία θεωρούνται πάντοτε ως διακριτά μεταξύ τους. 2 αντικείμενα δοχεία ή θέσεις 6 τοποθετήση (συσχέτιση ή επιλογές) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. / 3

2 Οι παραλλαγές αυτών των παραμέτρων της «τοποθέτησης» και οι οποίες μας ενδιαφέρουν πρωτίστως, είναι επτά, και δίνονται στον ακόλουθο πίνακα: ΣΙΚΣ ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ a n ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ: Κάθε αντικείμενο.. τίθεται σε οποιοδήποτε δοχείο.. n, χωρίς περιορισμούς ς, (απλώς: «χ 0») Η Θ ΥΠΟΣΥΝΟΛ: Συναρτήσεις {.. } προς n 2 δοχεία. Το ο εξ αυτών καθορίζει το περιεχόμενου του άλλου, και έτσι ορίζει ένα και ορίζεται από ένα υποσύνολο S των αντικειμένων... δώ S {, 2, 6, 7 } ʺ S ʺ ʺ S ʺ ΙΤΞΙΣ: Κάθε αντικείμενο.. τίθεται σε οποιοδήποτε δοχείο.. n, αλλά υπάρχει ο περιορισμός ς «χ», (οπότε και n ). δώ έχουμε διάταξη 5 δοχείων (ή θέσεων), την: ο, 2 Ο, 3 Ο, 4 Ο, 5 Ο,, Θ, Η, Η Θ ΜΤΘΣΙΣ: Μια διάταξη, όπου το πλήθος των αντικειμένων ισούται με το πλήθος των δοχείων n: n Η Θ (ΠΛΟΙ) ΣΥΝΥΣΜΟΙ: Μια διάταξη αντικειμένων, όπου όλα είναι «όμοια» (λχ έχουν κίτρινο χρώμα), άρα τα θεωρούμε απλώς ως σύνολο. δώ έχουμε έναν συνδυασμό 5 θέσεων: {,,, Η, Θ } Η Θ 5 ΟΜΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ: Συνδυασμοί με ομοιότητα κατά ομάδες μεγέθους, 2, κ, (δηλ. i n). δώ κ 3 (κίτρινο 3, κυανό 2, λευκό 3). Προσέξτε ότι μία από τις ομάδες μπορεί να θεωρηθεί ως (όμοιες) «κενές θέσεις». Η Θ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ: Συνδυασμοί ομοίων αντικειμένων σε n δοχεία, χωρίς περιορισμό ς. Ο συνδυασμός εδώ είναι το «πολυσύνολο»: {,,,,,,, Η, Θ, Θ } Η Θ 0 Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 2 / 3

3 2. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: παραδείγματα συνδυαστικών οντοτήτων. Σε όλες τις περιπτώσεις το ερώτημα είναι «με πόσους τρόπους;» μπορεί να συμβεί το περιγραφόμενο. α/α Περιγραφή σε καθημερινή γλώσσα: Χρησιμοποιούμε 9 συγκεκριμμένα σύμβολα (όλα από μία φορά) για να γράψουμε λέξεις. μετ 2 πό 2 παίκτες στον «πάγκο» διαλέγουμε μια ομάδα μπάσκετ των 5. σνδ 3 Κάνουμε 0 βήματα προς τα εμπρός και 0 προς τα πίσω (αναμεμιγμένα). σνδ 4 Ένας σύλλογος εκλέγει πρόεδρο, ταμία, γραμματέα από 0 υποψήφιους. δια 5 Σε ένα δελτίο τζόκερ διαλέγουμε 5 βασικούς αριθμούς από ως 45. σνδ 6 ναθέτουμε 8 αιτήσεις προς χειρισμό σε 5 υπαλλήλους. επσ 7 2 πελάτες εισέρχονται σε ένα κατάστημα. μετ 8 Τοποθετούμε 4 είδη θέρμανσης (λ.χ. αέριο, πετρέλαιο, πελέτες, ηλεκτρικό) σε 2 σπίτια. συν 9 Σε μια γευσιγνωσία δοκιμάζουμε κάποια (2 ή 4 ή 5 ή ) από 8 επώνυμα κρασιά. υπο 0 Το Σαββατοκύριακο θα τηλεφωνήσουμε σε φίλους. υπο Στο γινόμενο (α+β)(α+β)... (α+β) με ν παράγοντες, σχηματίζουμε όρους με την μορφή α κ β (ν κ). ομσ 2 0 βάσεις γουανίνης, 5 θυμίνης, 6 κυτοσίνης και 4 αδενίνης συνθέτουν ένα απόσπασμα DNA. ομσ 3 Κλείνουμε για 5 διαλέξεις κάποιες από 8 διαθέσιμες αίθουσες. δια 4 πό 0 πρόσωπα κάποιοι περνούν επιτυχώς ένα ιατρικό test. υπο 5 πό αλφάβητο 24 γραμμάτων φτιάχνουμε λέξεις των 6 γραμμάτων. συν 6 πό 20 βιβλία φτιάχνουμε μια κάποια στοίβα με 5 βιβλία. δια 7 00 υποψήφιοι επιλέγουν ως «πρώτη» κάποια από 20 σχολές. συν 8 Ένας κριτικός κινηματογράφου είδε 0 ταινίες μικρού μήκους σε 3 ημέρες. συν 9 Κλείνουμε 2 μονόκλινα σε 3 ξενοδοχιακές μονάδες. επσ 20 Μοιράζουμε 0 σοκολάτες σε 7 παιδιά. επσ 2 Τοποθετούμε 3 αντίτυπα ενός βιβλίου, 4 ενός άλλου και 2 ενός τρίτου σε ένα ράφι. ομσ 22 άφουμε 4 δωμάτια, χρησιμοποιώντας διαφορετικά χρώματα από 2 αποχρώσεις. δια 23 6 ομάδες κατατάσσονται σε ένα ετήσιο πρωτάθλημα. μετ 24 0 θεατές καθίζονται σε 0 καθίσματα. μετ 25 Τοποθετούμε 20 βιβλία σε ένα ράφι. μετ 26 Σε μια συνεδρίαση ομιλούν 6 μέλη από κυβέρνηση, 4 μέλη από αντιπολίτευση & 3 λοιπά μέλη. ομσ 27 Τις 0 τελευταίες φορές που είδαμε (από ) ταινία dvd, διαλέξαμε από 7 αγαπημένες ταινίες. επσ 28 πενδύουμε,000,000 ευρώ (σε πολλαπλάσια των 50,000) σε 4 επιχειρηματικά σχέδια. επσ 29 πονέμουμε τρία μετάλλια (χρυσό, αργυρό, χάλκινο) σε 20 αθλητές. δια 30 πιβιβάζονται 32 επιβάτες σε δύο δρομολόγια ini bus (των 0.οο και 0.20 ). υπο 3 Κάνουμε 20 βήματα προς τα εμπρός ή πίσω (αναμεμιγμένα). υπο 32 άφουμε 2 δωμάτια με βαφές σε 4 διαθέσιμα χρώματα. συν 33 6 αυτοκίνητα χρησιμοποιούν 2 θέσεις στάθμευσης. σνδ 34 Σε μια διανομή της (συνηθισμένης) τράπουλας μοιράζουμε 3 χαρτιά σε έναν παίκτη. σνδ 35 ια μια σαλάτα διαλέγουμε 3 είδη λαχανικών από 8 διαθέσιμα. δια 36 Κληρώνουμε 5 dvd, 0 εισιτήρια θεάτρου και 6 βιβλία σε 2 πρόσωπα. ομς 37 Μια σαλάτα με 4 υλικά σε αναλογίες δεκάτων, (λ.χ. ντομάτα:μαρούλι:καρότο:λάχανο 3:5::). επσ 38 ια 5 είδη αυτοκινήτων έχουμε 20 πωλήσεις. επσ 39 5 παιδιά προέρχονται από 6 ζευγάρια γονέων. συν 40 πό 20 προτάσεις κάποιες τυχαίνει να είναι ΛΗΘΙΣ. υπο 4 πό 5 αριθμούς παράγουμε όλα τα αθροίσματα εξ αυτών. Πόσα το πολύ θα παραχθούν; υπο 42 Μοιράζουμε 2 ίδια δώρα σε 2 παιδιά. σνδ 43 Μοιράζουμε 2 διαφορετικά δώρα σε 2 παιδιά. μετ 44 Σε μια εκδρομή επισκεπτόμαστε κατά σειρά 8 αξιοθέατα. μετ 45 Κάνουμε 20 βήματα προς τα εμπρός ή πίσω ή δεξιά ή αριστερά (αναμεμιγμένα). συν 46 Σχηματίζουμε τρίγωνα από 2 σημεία. σνδ 47 Φτιάχνουμε ένα κομπολόι από 5 κόκκινες, 6 κίτρινες, και 8 άσπρες χάντρες. ομσ 48 Σε ένα τοίχο τοποθετούμε από αριστερά προς τα δεξιά 4 αφίσες από 8 διαθέσιμες. δια 49 5 γυναίκες, 4 άνδρες και 8 παιδιά κάθονται σε μια σειρά καθισμάτων. ομσ 50 πό 2 υπόπτους κάποιοι 4 έχουν συστήσει συμμορία. σνδ Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 3 / 3

4 κολουθούν 7 παραδείγματα της «ανάλυσης» για τον χαρακτηρισμό κάθε περίπτωσης (βλ. οδηγίες στη σ. 7): ΥΠΟΣΥΝΟΛ «Κάνουμε 20 βήματα προς τα εμπρός ή πίσω (αναμεμιγμένα).» (# 3) αριθμός βήματος κίνηση «εμπρός» / «πίσω». ορίσματα («αντικείμενα») όλα τα 20 βήματα χαρακτηρίζονται από ακριβώς μία κίνηση. τιμές («δοχεία») οι n 2 κινήσεις «εμπρός» / «πίσω». δεν έχουμε περιορισμό στο πόσα βήματα θα είναι «εμπρός» ή «πίσω». διακριτότητα/ομοιότητα τα βήματα είναι διακριτά μεταξύ τους (ως προς τον αύξοντα αριθμό τους). ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ «πό αλφάβητο 24 γραμμάτων φτιάχνουμε λέξεις των 6 γραμμάτων.» (# 5) θέση γράμματος στη λέξη γράμμα του αλφαβήτου. ορίσματα («αντικείμενα») όλες 6 οι θέσεις της λέξης θα πάρουν ακριβώς ένα γράμμα από τα 24. τιμές («δοχεία») τα n 24 γράμματα (κάποια από αυτά δεν θα χρησιμοποιηθούν). κάθε γράμμα από τα 24 μπορεί να χρησιμοποιηθεί οσεσδήποτε φορές. διακριτότητα/ομοιότητα οι 6 θέσεις της λέξης είναι διακριτές μεταξύ τους. ΜΤΘΣΙΣ «Τοποθετούμε 20 βιβλία σε ένα ράφι.» (# 25) βιβλία αριθμός τοποθέτησης στο ράφι (λ.χ. από αριστερά προς τα δεξιά). ορίσματα («αντικείμενα») όλα τα 20 βιβλία θα πάρουν από μία θέση (εδώ και το αντίστροφο). τιμές («δοχεία») οι θέσεις υπ. αρ. έως n 20 κάθε θέση «χωράει» ένα βιβλίο αντιστοιχεί ακριβώς σε ένα. διακριτότητα/ομοιότητα τα βιβλία είναι διακριτά μεταξύ τους. ΣΥΝΥΣΜΟΙ «6 αυτοκίνητα χρησιμοποιούν 2 θέσεις στάθμευσης.» (# 33) αυτοκίνητο θέση στάθμευσης. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε αυτοκίνητο από τα 6 θα σταθμεύσει και σε μία ακριβώς θέση. τιμές («δοχεία») οι n 2 θέσεις στάθμευσης (κάποιες ίσως μείνουν άδειες) κάθε θέση χωρά ένα αυτοκίνητο το πολύ. διακριτότητα/ομοιότητα όλα όμοια: σημασία έχει μόνον ότι το καθένα καταλαμβάνει από μία θέση. ΙΤΞΙΣ «πονέμουμε τρία μετάλλια, (χρυσό, αργυρό, χάλκινο) σε 20 αθλητές.» (# 29) μετάλλιο αθλητής. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε μετάλλιο από τα 3 πρέπει να δοθεί σε ακριβώς ένα ν αθλητή. τιμές («δοχεία») οι n 20 αθλητές (κάποιοι δεν θα πάρουν μετάλλιο). κάθε αθλητής δέχεται το πολύ ένα μετάλλιο. διακριτότητα/ομοιότητα τα μετάλλια είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους. ΟΜΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ «Κληρώνουμε 5 dvd, 0 εισιτήρια θεάτρου και 6 βιβλία σε 2 πρόσωπα.» (# 36) κλήρος πρόσωπο. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε κλήρος από τους 5+0+6, θα πάει σε ένα ακριβώς πρόσωπο. τιμές («δοχεία») τα n 2 πρόσωπα. σε κάθε πρόσωπο δίνουμε το πολύ ένα δώρο (εδώ ακριβώς ένα). διακριτότητα/ομοιότητα τα δώρα είναι όμοια κατά τρείς ομάδες 5, 2 0, 3 6. ΠΝΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ «Μοιράζουμε 0 σοκολάτες σε 7 παιδιά.» (# 20) αύξων αριθμός σοκολατας παιδί. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε σοκολάτα από τις 0 θα πάει σε ένα ακριβώς παιδί. τιμές («δοχεία») τα n 7 παιδιά (κάποια από αυτά ίσως να μην πάρουν καμμία σοκολάτα). χωρίς περιορισμό: σε κάποια παιδιά ίσως τύχουν πολλές σοκολάτες. διακριτότητα/ομοιότητα δίνουμε αρίθμηση στις σοκολάτες, αλλά είναι όλες «όμοιες» μεταξύ τους. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 4 / 3

5 3. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η καταμέτρηση των επτά θεμελιακών μορφών. ίνουμε τον τρόπο καταμέτρησης των επτά βασικών συνδυαστικών στοιχείων (για αντικείμενα σε n δοχεία). Υπάρχουν πάρα πολλοί τρόποι για να υπολογίσουμε (είτε μεμονωμένα, είτε συλλογικά) το πλήθος κάθε είδους, εδώ όμως δίνουμε ένα συστηματικό (και όχι ad hoc) τρόπο, ώστε να καταδείξουμε την χρήση των βασικών μετρητικών αρχών. (Συμβολίζουμε με το αριθμοσύνολο { 0.. }, που είναι ισοπληθές με το {.. }.) ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ F n, n a n ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΥΠΟΣΥΝΟΛ S 2 ΜΤΘΣΙΣ ( n) P! Έστω F(n, ) το σύνολο των συναρτήσεων a n «προς n από». Θα εξετάσουμε τις n επιλογές που κάνουμε για να ορίσουμε μια συνάρτηση. ια κάθε δοχείο,..., n το σύνολο των συναρτήσεων F(n, ) διαμερίζεται στο σύνολο T { τ F(n, ) όπου τ() }, των συναρτήσεων όπου το τελευταίο στοιχείο τοποθετείται στο δοχείο τιμή: F(n, ) U {.. n} πό τον κανόνα του αθροίσματος, θα έχουμε λοιπόν: F(n, ) {.. n} T T λλά το σύνολο των συναρτήσεων T έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις συναρτήσεις F(n, ), που τοποθετούν τα υπόλοιπα αντικείμενα, στα {.. n} υπόλοιπα διαθέσιμα δοχεία διότι μεταξύ τους αρκεί να «προσθαφαιρέσουμε» το ζεύγος. φού T F(n, ), έχουμε ότι T F(n,, δηλαδή: F(n, ) {.. n} F(n, ) n F(n, ) φαρμόζοντας την σχέση φορές, και επειδή F(n, ) n (ένα αντικείμενο μπορεί να τοποθετηθεί με n τρόπους σε n θέσεις), καταλήγουμε ότι: F, F( n, ) n n Το σύνολο S() των υποσυνόλων του {.. } έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις συναρτήσεις προς 2 θέσεις, τις { 0, }, με τον εξής τρόπο: Κάθε υποσύνολο s αντιστοιχίζεται με την «χαρακτηριστική» συνάρτηση {.. } { 0, } που απεικονίζει τα μέλη του s στο (και τα υπόλοιπα στο «0»). ια n 2, έχουμε: S S( ) 2 Έστω P() το σύνολο των μεταθέσεων τ : a n, όπου n. ια κάθε δοχείο,..., n αυτό το σύνολο διαμερίζεται στα σύνολα των μεταθέσεων T { τ P() όπου τ() }, στις οποίες το τελευταίο στοιχείο τοποθετείται στο δοχείο τιμή: P() U {.. n} πό τον κανόνα του αθροίσματος, θα έχουμε λοιπόν: P() {.. n} T T λλά το σύνολο των συναρτήσεων T { τ P() όπου τ() } έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις συναρτήσεις που τοποθετούν τα υπόλοιπα αντικείμενα, από ένα, στα {.. n} { } υπόλοιπα διαθέσιμα δοχεία, και αυτές (εύκολα) έρχονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις μεταθέσεις P( ), αφού n {.. n} { }. φού T P( ), έχουμε T P( ), δηλαδή: P() {.. n} P( ) n P( ), ( ) (n ) φαρμόζοντας την σχέση φορές, και επειδή P() (ένα αντικείμενο μπορεί να τοποθετηθεί κατά ένα τρόπο σε θέση), καταλήγουμε ότι: P P( ) n ( n )... 2!, n Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 5 / 3

6 C P n, ΙΤΞΙΣ ( n )! ΟΜΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ #,..., C n,!...! ΣΥΝΥΣΜΟΙ!( n )! ΠΝΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ C * n, n+ Έστω P(n, ) το σύνολο των διατάξεων «n ανά n». ια το μέγεθός του ισχύει, κατ αναλογία, το προηγούμενο σκεπτικό, μόνο που το είναι ίσως μικρότερο από το n. ηλαδή, P(n, ) {.. n} P(n, ) n P(n, ) όπου P(n, ) n. Με επαναλήψεις λαμβάνουμε: Pn, P( n, ) n ( n ) ( n 2)... ( n + ) ( n )! παράγοντες Έστω C # (, 2,, ) το σύνολο των ομαδικών συνδυασμών n +2+ στοιχείων. ια να υπολογίσουμε το πλήθος τους, σκεπτόμαστε μια από τις μεταθέσεις των n στοιχείων, στην οποία τα στοιχεία είναι όμοια ανά ομάδες μεγέθους i, i,,. υτό σημαίνει ότι εάν αναδιατάξουμε τα i στοιχεία μιας ομάδας (κατά (i)! τρόπους) οι προκύπτουσες τοποθετήσεις θα είναι ισοδύναμες και από κοινού αντίστοιχες με έναν «ομαδικό συνδυασμό». πό τον κανόνα του γινομένου το πλήθος των παραλλαγών είναι ( )!. Η αντιστοιχία λοιπόν C # (, 2,, ) P(n) είναι i.. i.. προς ( )!, άρα: ( )! C C (,,..., )!!...!!!...! # # 2, 2,..., Έστω C(n, ) το σύνολο των συνδυασμών «n ανά» στοιχεία. Το μέγεθός του υπολογίζεται με την ίδια ιδέα όπως πριν, αν θεωρήσουμε ότι έχουμε δύο ομάδες: μια πρώτη με όμοια στοιχεία, και μια δεύτερη με 2 (n ) όμοια στοιχεία, τα οποία αντιπροσωπεύουν τις θέσεις που μένουν «κενές». Κατ ευθείαν από τον προηγούμενο τύπο λαμβάνουμε: * n Cn, C(, n) C,( n )!( n )! Έστω C * (n, ) το σύνολο των συνδυασμών «n ανά» στοιχεία, μετ επαναλήψεως. Κάθε τέτοιος συνδυασμός έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις λέξεις που μπορούμε να γράψουμε με όμοια σύμβολα, και (n ) σύμβολα, όπως λ.χ. για την σειρά, όπου 9 και n 5: ( n ) 5διαχωριστικ ά n 6 περιοχές Η αρχή της λέξης, τα (n ) σύμβολα τύπου, και το τέλος της λέξης, ορίζουν n περιοχές μεταξύ αυτών, και το πλήθος των συμβόλων τύπου εντός κάθε τέτοιας περιοχής αντιστοιχεί στο πλήθος των αντικειμένων που τοποθετούνται στο αντίστοιχο δοχείο περιοχή. υτές οι λέξεις είναι καταφανώς οι συνδυασμοί δύο ομάδων ομοίων αντικειμένων, οι τελίτσες πλήθους, και οι γραμμούλες πλήθους (n ). Άρα, ισχύει: * ( + n )! + n Cn,!( n )! i i Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 6 / 3

7 Στον επόμενο πίνακα συνοψίζουμε τις «οδηγίες» για την αναγνώριση μιας συνδυαστικής μορφής. Η «ΝΝΩΡΙΣΗ» ΜΙΣ ΣΥΝΥΣΤΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ. συσχέτιση ορίσματα («αντικείμενα») τιμές («δοχεία») χωρητικότητα διακριτότητα/ομοιότητα τύπος καταμέτρησης ιευκρινίζουμε τί αντιστοιχίζεται με τί. Eξετάζουμε ποιές, το πλήθος, επιλογές πραγματοποιούνται. Τα «αντικείμενα» διακρίνονται από το ότι θα κάνουμε για όλα από μία και ακριβώς μία επιλογή. Στην απλούστερη περίπτωση έχουμε αριθμούς ταυτότητες έως «αντικείμενα» Eξετάζουμε ποιά είναι τα επιλέξιμα στοιχεία (ή: τα «δοχεία»). υτά τα «δοχεία» διακρίνονται από το ότι είναι απλώς επιλέξιμα, και όχι υποχρεωτικά επιλεκτέα. Στην απλούστερη περίπτωση έχουμε αριθμούς ταυτότητες έως n «δοχεία». ιαπιστώνουμε την κάθε δοχείου, (ή ισοδύναμα τον βαθμό επιλεξιμότητας κάθε στοιχείου). ιαπιστώνουμε εάν τα «αντικείμενα» είναι διακριτά ή όμοια (ή όμοια καθ ομάδες). (Ή, ισοδύναμα, εάν η σειρά των επιλογών μας ενδιαφέρει τελικά, ή όχι.) πιβεβαιώνουμε ότι τα «δοχεία» είναι διακριτά. ντοπίζουμε την μορφή στα παρακάτω (πίνακα ή/και δένδρο). Οι συνδυαστικές μορφές που παρουσιάσαμε και επιδέχονται (απλή) ανάλυση, ήσαν οι εξής: ΟΜΟΙΟΤΗΤ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤ χ 0 χ ΟΛ ΙΚΡΙΤ ΟΜΟΙ Ν ΟΜΣ ΟΛ ΟΜΟΙ συναρτήσεις, ( +υποσύνολα ) F n, n ( 2 S ) διατάξεις, ( +μεταθέσεις ) Pn, ( P! ) ( n )! επαναληπτικοί συνδυασμοί * n+ Cn, ομαδικοί συνδυασμοί # C,...,!...! συνδυασμοί Cn,!( n )! χ { β, β2, β3,... } εκθετικές γεννήτριες σ. (βλ. ενότητα 4) απλές γεννήτριες σ. (βλ. ενότητα 4) Ένα δένδρο παραγωγής αυτών των μορφών θα μπορούσε να είναι το εξής: a n χ 0 χ { β, β2, β3,... } n 2 υποσύνολα συναρτήσεις χ όμοια επαναληπτικοί συνδυασμοί όμοια γεννήτριες συναρτήσεις διακριτ ά εκθετικές γεννήτριιες σ. διατάξεις n όμοια μεταθέσεις όμοιες ομάδες ομαδικοί συνδυασμοί (απλοί) συνδυασμοί Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 7 / 3

8 4. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: γενικοί περιορισμοί ς και οι «γεννήτριες συναρτήσεις». Η προέλευση της ιδέας: Στις μέχρι τώρα τοποθετήσεις «αντικειμένων σε δοχεία» εξετάσαμε μόνον δύο απλά είδη περιορισμών της ς: «χ 0» και «0 χ». ύλογα, στις πρακτικές εφαρμογές εμφανίζονται και πολλοί άλλοι τύποι περιορισμών. Π.χ. σε ένα αυτοκίνητο χωρούν το πολύ 4 5 πρόσωπα, και σίγουρα πάνω από αν είναι να το χρησιμοποιήσουμε, (ο οδηγός...). Ή, μέσα σε μια ημέρα χωρούν το πολύ 8 0 ώρες εργασίας (λέμε τώρα...). Ή, πιθανά, μια εργασία να θέλουμε να την αναθέσουμε σε ακριβώς 3 πρόσωπα (λ.χ. τα μέλη μιας επιτροπής), κοκ. ια τον χειρισμό αυθαίρετων περιορισμών «ς» χρησιμοποιούμε την τεχνική των «γεννητριών» συναρτήσεων, που εξηγούμε συνοπτικά στην συνέχεια. ς χρησιμοποιήσουμε το διατεταγμένο ζεύγος α, β για να περιγράψουμε την υπόθεση, (ή γεγονός), ότι σε ένα δοχείο είναι δυνατόν να τοποθετήσουμε κατά α τρόπους, β το πλήθος αντικείμενα (όμοια). ν για να συνεχίσουμε με παράδειγμα έχουμε τις περιγραφές { 5, 3, 2, 4 } για ένα ο δοχείο, και τις { 4, 2, 3, 3 } για ένα δεύτερο δοχείο, τί περιγράφει τις συνολικές δυνατότητες εάν συν θέσουμε το ο και 2 ο δοχείο σε «ενιαίο» δοχείο; Η κατάσταση δίδεται στο ακόλουθο σχήμα, 5 τρόποι για 3 αντικείμενα 2 τρόποι για 4 αντικείμενα 4 τρόποι για 2 αντικείμενα 3 τρόποι για 3 αντικείμενα 5 x 4 τρόποι για 3+2 αντικείμενα 5 x 3 τρόποι για 3+3 αντικείμενα 2 x 4 τρόποι για 4+2 αντικείμενα 2 x 3 τρόποι για 4+3 αντικείμενα * και η απάντηση είναι η εξής «πράξη»: { 5,3, 2,4 } { 4,2, 3,3 } { 5 4,3 + 2, 5 3,3 + 3, 2 4,4 + 2, 2 3,4 + 3 } Παρατηρούμε ότι «συμβολικά» η η περιγραφή { 5, 3, 2, 4 } αντιστοιχεί σέ ένα «άθροισμα» ( 5, 3 + 2, 4 ) εντός του ενός ου δοχείου, η 2 η περιγραφή { 4, 2, 3, 3 } αντιστοιχεί στο άθροισμα ( 4, 2 + 3, 3 ) εντός του 2 ου δοχείου, και ότι η σύνθεση ( ) των δύο δοχείων παράγει τα «γινόμενα» των επί μέρους αθροιστικών περιγραφών: ( 5,3 + 2,4 ) ( 4,2, 3,3 ) ( 5,3 4,2 ) ( 5,3 3,3 ) ( 2,4 4,2 ) ( 2,4 3,3 ) Η παραβολή των δύο παραπάνω εκφράσεων ώστε οι αντίστοιχοι όροι να ισούνται, ορίζει τον κανόνα για το «γινόμενο» δύο απλών περιγραφών, π.χ. 5, 3 4, 2 5 4, 3+2, ή στη γενική μορφή: α, β α, β α α, β + β όπου εύλογα οι τρόποι (τα α ) πολλαπλασιάζονται, και τα πλήθη αντικειμένων (τα β ) προστίθενται. ς κάνουμε τώρα και τις πράξεις στην αρχική έκφραση: { 5,3, 2,4 } { 4,2, 3,3 } { 20,5, 5,6, 8,6, 6,7 } Με την πράξη άθροισης, θα λαμβάναμε δηλαδή: { } { } 5,3, 2,4 4,2, 3,3 20,5 5,6 8,6 6,7 Παρατηρούμε ότι έχουμε δύο όρους που τώρα «αθροίζονται», τους 20, 6, και 8, 6 : αφορούν στο ίδιο «ενιαίο» δοχείο, και αφορούν διαφορετικές τοποθετήσεις στοιχείων εντός αυτού (κατά 3+3 ή κατά 4+2 στοιχεία), και θα ήταν δυνατόν να εφαρμόσουμε τον κανόνα: α, β α, β α + α, β 2 2 για να πάρουμε την τελική περιγραφή: { 5,3, 2,4 } { 4,2, 3,3 } 20,5 23,6 6,7 που ερμηνέυεται ως: «οι δυνατότητες είναι: 20 τρόποι για 5 στοιχεία, 23 για 6 στοιχεία, και 6 τρόποιγια 7 στοιχεία, στο ενιαίο δοχείο.» Το ερώτημα τώρα είναι: μπορούμε να αναπαραστήσουμε αλγεβρικά αυτές τις πράξεις «γινομένου» των περιγραφών (επί δύο δοχείων), και «άθροισης» των περιγραφών (για ένα δοχείο); Σε αυτό το δεύτερο επίπεδο Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 8 / 3

9 χρειάζεται λίγη περισσότερη έμπνευση, αλλά δεν είναι δύσκολο: στις πολυωνυμικές εκφράσεις τύπου α z β, ο πολλαπλασιασμός παράγει το γινόμενο ( ) των συντελεστών, αλλά το άθροισμα (+) των εκθετών, άρα υπό την αντιστοίχιση α, β αz β (αθροιστικός όρος ενός πολυωνύμου), έχουμε την αλγεβρική αντιστοιχία που θα θέλαμε: α, β α, β α + α, β b b b αz + α z ( α + α ) z β β β α, β α, β α α, β + β b b b α z α z ( α α ) z β β 2 ( β + β 2) 2 2 δηλαδή, οι περιγραφές τοποθέτησης α, β «αθροίζονται» για το ίδιο δοχείο, και «πολλαπλασιάζονται» για δύο δοχεία, «ακριβώς» όπως τα πολυώνυμα με όρους α z β, υπό την ερμηνεία: «α τρόποι τοποθέτησης, β πλήθος (ομοίων) αντικειμένων». υτό μας δίνει μια μέθοδο επίλυσης για το πρόβλημα του υπολογισμού των τρόπων τοποθέτησης ομοίων αντικειμένων σε n δοχεία, υπό αυθαίρετους περιορισμούς ς: ορίζουμε τις αθροιστικές περιγραφές «z β» για κάθε δοχείο, και τις πολλαπλασιάζουμε, ως πολυώνυμα, μεταξύ τους, όπως στον εξής πίνακα: ΟΜΟΙ ΝΤΙΚΙΜΝ.., ΙΚΡΙΤ ΟΧΙ..n, ΥΘΙΡΤΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΣ { βκ } ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ «ΝΝΗΤΡΙΩΝ ΣΥΝΡΤΗΣΩΝ». ια κάθε δοχείο δ.. n με χωρητικότητες χδ { β, β2,..., βκ } ορίζουμε το πολυώνυμο: β β β 2. Υπολογίζουμε το γινόμενο pδ ( z) ( z + z z κ ) Gz ( ) p( z) ως άθροισμα μονωνύμων: δ δοχεία.. n 0 δ Gz ( ) α z (η «γεννήτρια συνάρτηση») 3. Ο συντελεστής α του όρου z (με εκθέτη το πλήθος των αντικειμένων), μας δίδει το πλήθος των δυνατών τοποθετήσεων ομοίων αντικειμένων, στα {.. n } διακριτά δοχεία, έτσι ώστε σε κάθε δοχείο να τηρούνται οι δεδομένες χωρητικότητες. «κθετικές» γεννήτριες και διακριτά αντικείμενα: Μπορούμε να έχουμε μια παρόμοια αλγεβρική τεχνική και για την περίπτωση των διακριτών αντικειμένων; Χρειαζόμαστε τώρα τον «σωστό» κανόνα για τον πολλαπλασιασμό δύο περιγραφών για διακριτά αντικείμενα: α, β α, β?, β + β δώ έχουμε ένα τρίτο επίπεδο δυσκολίας, αλλά η απάντηση είναι δίπλα μας αρκεί να κυττάξουμε: αν έχουμε (β + β2) αντικείμενα, με πόσους τρόπους μπορούμε να τα διαφοροποιήσουμε σε μία ομάδα β αντικειμένων (που θα τοποθετηθούν στο ο δοχείο) και σε μία ομάδα β2 στοιχείων που θα πάνε στο 2 ο δοχείο; Έχουμε ήδη δώσει την απάντηση σε αυτό: είναι το πλήθος ( β + β )! 2 των ομαδικών συνδυασμών για δύο ομάδες μεγέθους, β και β2. β! β! 2 Π.χ. εάν έχουμε 5 αντικείμενα, τα διαφοροποιήσουμε ως, και τα διαμερίσουμε σε δύο ομάδες με στοιχεία, κατά τον τρόπο ο 2 ο 2 ο ο ο, έχουμε την δυνατότητα του να θέσουμε στο ο δοχείο τα,,, και στο 2 ο δοχείο τα και. Τώρα, ο σωστός κανόνας είναι: ( β + β )! α, β α, β α α, β + β β! β2! όπου κάθε τρόπος τοποθέτησης (από ( β + β )! 2 συνολικά τρόπους) β διακριτών αντικείμενων στο ο, και β2 στο β! β! 2 2 ο, «διαστέλλεται» επί α τρόπους για το ο δοχείο, και, ανεξάρτητα επί α2 για το 2 ο. Ποιά θα ήταν, όμως, μια α, β α z β / β!, και εικονίζεται ως εξής: αλγεβρική έκφραση; Η αλγεβρική αναλογία είναι ( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 9 / 3

10 ( β + β )! α, β α, β α α, β + β β! β2! b b b β β ( β+ β2) z z ( β + β2)! z α α2 α α2 β! β2! β! β2! ( β + β2)! δηλαδή, (για διακριτά αντικείμενα) οι περιγραφές τοποθέτησης α, β «αθροίζονται» για το ίδιο δοχείο, και α z β / β!, υπό την ερμηνεία: «πολλαπλασιάζονται» για δύο δοχεία, «ακριβώς» όπως τα πολυώνυμα με όρους ( ) «α τρόποι τοποθέτησης, β πλήθος (διακριτών) αντικειμένων». υτό μας δίνει μια μέθοδο επίλυσης για το πρόβλημα του υπολογισμού των τρόπων τοποθέτησης διακριτών αντικειμένων σε n δοχεία, υπό αυθαίρετους περιορισμούς ς: ορίζουμε τις αθροιστικές περιγραφές «z β /β!» για κάθε δοχείο, και τις πολλαπλασιάζουμε, ως πολυώνυμα, μεταξύ τους, όπως στον πίνακα που ακολουθεί. ΙΚΡΙΤ ΝΤΙΚΙΜΝ.., ΙΚΡΙΤ ΟΧΙ..n, ΥΘΙΡΤΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΣ { βκ } ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ «ΚΘΤΙΚΩΝ ΝΝΗΤΡΙΩΝ ΣΥΝΡΤΗΣΩΝ». ια κάθε δοχείο δ.. n με χωρητικότητες χδ { β, β2,..., βκ } ορίζουμε το πολυώνυμο: 2. Υπολογίζουμε το γινόμενο 3. Ο συντελεστής β β2 β z z z ( κ!!!) p ( z) δ β β2 β κ Gz ( ) p( z) ως άθροισμα μονωνύμων: δ δοχεία.. n z Gz ( ) α 0! α z του όρου! δ (η «εκθετική γεννήτρια σ.») (με εκθέτη το πλήθος των αντικειμένων), μας δίδει το πλήθος των δυνατών τοποθετήσεων διακριτών αντικειμένων, στα {.. n } διακριτά δοχεία, έτσι ώστε σε κάθε δοχείο να τηρούνται οι δεδομένες χωρητικότητες. Και ποίο το όφελος; Η τεχνική των γεννητριών συναρτήσεων δεν θα είχε αξία αν δεν είχαμε ένα τρόπο να πολλαπλασιάσουμε τα επί μέρους πολυώνυμα, και, φυσικά, να αναλύσουμε μια συνάρτηση G(z) σε σειρά της μορφής Σ 0 α z. υτά ακριβώς, όμως, τα τεχνικά εργαλεία προσφέρει η άλγεβρα και η ανάλυση. Προσέξτε επίσης ότι η τεχνική των γεννητριών συναρτήσεων είναι ιδιαίτερα εκφραστική, διότι επιτρέπει ακόμα και άπειρες παραλλαγές στην ενός δοχείου. 2 Π.χ. ο περιορισμός «άρτιο πλήθος» εκφράζεται από την πολυωνυμική σειρά z β, η οποία μάλιστα ισούται β 0 με z 2 ( ). Ο πολύ συνηθισμένος περιορισμός ς του τύπου «χ από β 0 έως β2 20», εκφράζεται 2 0 β 20 από το πολυώνυμο z β β 0 z z z z το οποίο ισούται με z z z β 0 + β z, ή γενικά. β 0 z z z Τέλος, να μην λησμονούμε ότι (τώρα πια) ο ορισμός και χειρισμός τέτοιων γεννητριών συναρτήσεων, μπορεί να γίνει συμβολικά και από υπολογιστικά εργαλεία, όπως τα πακέτα MATLAB, MATHEMATICA κά. Ένα παράδειγμα: Έστω ότι μιά παρέα με 0 φίλους φίλες θα χρησιμοποιήσει, για να πάει σε μια συναυλία, αυτοκίνητο και μηχανή. Κάποιοι ίσως να χρησιμοποιήσουν ταξί και οι υπόλοιποι το λεωφορείο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η μετάβαση στον προορισμό; Οι περιορισμοί και τα επί μέρους πολυώνυμα δίδονται στον εξής πίνακα: Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 0 / 3

11 αυτοκίνητο μηχανή ταξί λεωφορείο έως 5 έως 2 0 έως 3 0 έως 8 πολυώνυμο (z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) (z + z 2 ) ( + z + z 2 + z 3 ) (z 9 )/(z ) Η γεννήτρια συνάρτηση είναι το γινόμενο των πολυωνύμων της τελευταίας σειράς, G(z) (z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) (z + z 2 ) ( + z + z 2 + z 3 ) (z 9 ) / (z ) και η απάντηση είναι ο συντελεστής α 0 του όρου z 0. ν δεν μας ενδιαφέρει απλώς το πόσοι θα πάνε με ποιό μέσο, αλλά και ποιοί, τότε τα πρόσωπα είναι πια διακριτά μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση αρκεί να χρησιμοποιήσουμε την «εκθετική» εκδοχή της παραπάνω γενήτριας, και να εξετάσουμε τον συντελεστη του όρου z 0 /0! Μια εφαρμογή συμβολικών υπολογισμών όπως οι MATLAB, MATHEMATICA κά, μπορούν να υπολογίσουν τους συντελεστές της παραπάνω συνάρτησης G(z) σε χιλιοστά του δευτερολέπτου. ρκεί βέβαια να γνωρίζει ο χειριστής τί δεδομένα να παραδώσει στην εφαρμογή, τί να ζητήσει από αυτήν και τί να διαβάσει στα αποτελέσματα: τα προγράμματα αντιλαμβάνονται συναρτήσεις σαν την παραπάνω G(z), χωρίς όμως να αντιλαμβάνοναι την εκφώνηση του προβλήματος που την παρήγαγε. Η διαδρομή από την εκφώνηση στα δεδομένα και από τα αποτελέσματα στην ερμηνεία τους, ανήκει στη δική μας επικράτεια, (στην επικράτεια του χρήστη του υπολογιστή). 5. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: οι συμμετρίες στο χώρο των «δοχείων». Στα προηγούμενα υποθέσαμε ότι τα δοχεία είναι διακριτά μεταξύ τους. υτό ισχύει συχνότατα (βλέπε λχ. τα παραδείγματα στη σελ. 3), όχι όμως πάντοτε. Όταν δύο στοιχεία μιας οντότητας είναι «όμοια» μεταξύ τους, αυτή η οντότητα παρουσιάζει μια συμμετρία: η εναλλαγή αυτών των δύο μερών αφήνει την εμφάνισή της αμετάβλητη, και την κάνει να έχει δύο όψεις (δύο, διότι μια περαιτέρω εναλλαγή την επαναφέρει στην αρχική της κατάσταση). ν τα 7 στοιχεία μιας οντότητας είναι όλα ισοδύναμα μεταξύ τους, τότε αυτά εναλλάσονται ελεύθερα μεταξύ τους, και οι 7! διαθέσιμες μετάθεσεις τους παράγουν ισάριθμες συμμετρικές, δηλαδή ισοδύναμες, εκδοχές αυτής της οντότητας. ν λοιπόν είχαμε τέτοιες συμμετρίες στο χώρο των δοχείων, θα έπρεπε να διαιρέσουμε με τον κατάλληλο συντελεστή «συστολής», λ.χ. δια 2 στη η περίπτωση, και δια 7! στη 2 η. Ο γενικός και ακριβής χειρισμός τέτοιων περιπτώσεων είναι δύσκολος. ν λ.χ. θέλαμε να χρωματίσουμε τις 8 κορυφές ενός κύβου με 8 χρώματα η απάντηση δεν θα ήταν 8! διότι ο κυβος έχει πολλές συμμετρίες, λ.χ. υπό πλήθος περιστροφών μένει ο «ίδιος». Θα περιοριστούμε λοιπόν, εδώ, σε απλές συνηθισμένες περιπτώσεις. Η γενική αρχή είναι η εξής: «ΣΥΜΜΤΡΙΣ» ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΣΩΝ/ΟΧΙΩΝ Έστω ότι έχουμε Ν συνδυαστικές μορφές τοποθέτησης αντικειμένων σε n δοχεία, όταν αυτά τα δοχεία θεωρηθούν διακριτά. άν παρά ταύτα υπάρχουν ομοιότητες μεταξύ των δοχείων, ελέγχουμε ποιά σχέση ισοδυναμίας προκαλούν στις Ν μορφές, και εάν οι κλάσεις αυτής της σχέσης είναι ισομεγέθεις και ίσες με Κ, τότε, λόγω της ομοιότητας των δοχείων, το πλήθος Ν των μορφών πρέπει, (κανόνας «συστολής»), να διαιρεθεί δια Κ. Π.χ. έστω ότι 6 πρόσωπα καθίζονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι, και ότι αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η σχετική τοποθέτησή τους, δηλαδή ο καθένας/καθεμία ποιό πρόσωπο έχει εμπρός του, ή δεξιά, ή λοξά αριστερά του, κτλ. Σε ένα 6 θέσιο «στρογγυλό» τραπέζι οι θέσεις επιδέχονται 6 περιστροφές έως ότου επανέλθουν στην αρχική θέση, και αυτές οι «στροφές» διατηρούν αναλλοίωτη την σχετική θέση των καλεσμένων. (Προσέχουμε εδώ ότι αυτό που «στρέφεται» δεν είναι το τραπέζι, ή οι καρέκλες (μαζί με τους καλεσμένους...), αλλά οι ίδιοι οι καλεσμένοι: για αυτό και έχπυμε επί της ουσίας μια ανα τοποθέτηση, εντός ενός χώρου όμως που διαθέτει, όμως, συμμετρίες.) Κάθε τοποθέτηση των προσώπων έχει λοιπόν 6 ισοδύναμες τοποθετήσεις (μαζί με τον εαυτό της), οι οποίες προκύπτουν από αυτές τις περιστροφές. Σε αυτή τη σχέση ισοδυναμίας κάθε κλάση ισοδυναμίας έχει λοιπόν μέγεθος Κ 6. άν οι θέσεις ήσαν διακριτές οι τρόποι τοποθέτησης θα ήσαν οι 6! μεταθέσεις των 6 προσώπων, αλλά τώρα αυτό πρέπει να διαιρεθεί δια 6, οπότε όλοι οι τρόποι να καθίσουν τα πρόσωπα είναι 6!/6 5!. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. / 3

12 !?!! άν το τραπέζι ήταν όμως τριγωνικό, με 2 πρόσωπα ανά πλευρά, οι στροφές των θέσεων που διατηρούν την σχετική τοποθέτηση δεν είναι 6, διότι η «στροφή» κατά μία θέση, αλλάζει την τοποθέτηση: λ.χ. η θα έχει πια τον (ακριβώς) αριστερά της, και όχι (περίπου) απέναντι. Μόνον οι «στροφές» κατά 2 θέσεις διατηρούν τις σχετικές θέσεις, άρα σε αυτή την περίπτωση θα έπρεπε να διαιρέσουμε δια Κ 3, και οι τρόποι καθίσματος είναι 6!/3.?? Και, τέλος, εάν το τραπέζι ήταν ορθογώνιο, με + επικεφαλής, τότε μόνον η στροφή των θέσεων κατά «80 ο» διατηρεί πλήρως τις σχετικές θέσεις των καλεσμένων, και θα έπρεπε να διαιρέσουμε τις 6! τοποθετήσεις δια Κ 2. δώ, για 6 θέσεις, στο εξάγωνο διαιρούμε δια 6, στο τρίγωνο δια 3 και στο ορθογώνιο τετράπλευρο δια 2 δείγμα του ότι οι συμμετρίες είναι «βαθύ» και όχι επιδερμικό φαινόμενο. (Το κυριότερο εργαλείο χειρισμού τέτοιων συμμετριών είναι η θεωρία ομάδων και το σχετικό εργαλείο είναι το «λήμμα Burnside (+Frobenius+Cauchy)».) 6. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: σύνθετες καταστάσεις. Στα προηγούμενα ορίσαμε, κατατάξαμε, και μετρήσαμε τις βασικές συνδυαστικές μορφές. υτές όμως «συνδυάζονται» πια μεταξύ τους, και με οποιουσδήποτε τρόπους. εν έχουμε εδώ κάποια γενική μέθοδο ανάλυσης: είμαστε αντιμέτωποι πια με όλη την φαντασία της πραγματικότητας. Το μόνο που έχουμε στη διάθεσή μας είναι οι βασικές αρχές: η ανάλυση ενός σύνθετου προβλήματος σε απλούστερα. η τεχνική της αντιστοίχισης. οι κανόνες καταμέτρησης, (προσθαφαίρεσης, συστολής/διαστολής, γινομένου). ίνουμε μερικά παραδείγματα: «Τοποθετούμε 0 αγόρια και 0 κορίτσια σε 0 διθέσια θρανία, ένα αγόρι με ένα κορίτσι. Με πόσους τρόπους;» Η τοποθέτηση 0 αγοριών σε 0 θρανία γίνεται κατά 0! ( n, μονοθέσια δοχεία, διακριτά αντικείμενα). Όμοια τα κορίτσια τοποθετούνται κατά 0! τρόπους. πό τον κανόνα του γινομένου έχουμε (0!) 2 τοποθετήσεις. Σε κάθε θρανίο μπορούμε να βάλουμε το εκάστοτε κορίτσι κατά 2 τρόπους, είτε στη δεξιά είτε στην αριστερή θέση (και το αντίστοιχο αγόρι στη θέση που έμεινε). πό τον κανόνα του γινομένου έχουμε 2 0 παραλλαγές που αντιστοιχούν σε κάθε μία τοποθέτηση από 2 παιδιών στα 0 θρανία, και άρα, αθροιστικά, έχουμε 2 0 (0!) 2 τρόπους συνολικά. «Θέλουμε να μοιράσουμε 5 σοκολάτες σε 6 παιδιά, από μία τουλάχιστον στο καθένα. Με πόσους τρόπους;» ίνουμε από μία σε κάθε παιδί. υτό μπορεί να γίνει με τρόπο αφού αυτές είναι όμοιες μεταξύ τους. Μοιράζοντας τις υπόλοιπες παράγουμε έναν επαναληπτικό σύνδυασμό, αντικειμένων προς n 6 δοχεία. Άρα: Ν C*(6, 9) ( 4 ) 9. (Προσέξτε ότι εδώ υποκρύπτεται και ο κανόνας του γινομένου, κατά τετριμμένο τρόπο, ως πολλαπλασιασμός με.). «Σε ένα δείπνο 50 προσκεκλημένοι θα καθίσουν σε 3 στρογγυλά τραπέζια των 0 ατόμων. Μέ πόσους τρόπους;» ρχικά εξετάζουμε με πόσους τρόπους 50 πρόσωπα χωρίζονται σε 3 ομάδες των 0. Ισοδυνάμως έχουμε τρείς 0 άδες από κάρτες με τον α/α του τραπεζιού, και δίνουμε από μία κάρτα σε κάθε πρόσωπο, υτό δεν είναι παρά ένας ομαδικός συνδυασμός, με τρείς ομάδες μεγέθους 0 εκάστη, άρα, οι τρόποι είναι 30! / (0! 0! 0!). Σε κάθε τραπέζι τα πρόσωπα καθίζονται κατά 0!/0 τρόπους, όπου το 0! έρχεται από τις μεταθέσεις τους, και η διαίρεση δια 0 αντιστοιχεί στο ότι τα τραπέζια είναι στρογγυλά και 0 θέσια. πό τον κανόνα του γινομένου θα αντιστοιχούν (0!/0) 3 παραλλαγές για κάθε μία διανομή των προσώπων στα 3 τραπέζια. Το σύνολο μας δίδει 30!/(0!) 3 (0!/0) 3 30!/(0) 3 τρόπους. ν η θέση, λ.χ., των τραπεζιών δεν μας ενδιαφέρει, αυτός ο αριθμός θα πρέπει να διαιρεθεί δια 3! 6, διότι 3 όμοια τραπέζια διαφοροποιούνται κατά όλες και μόνον τις 3! μεταθέσεις τους, (δηλαδή οι παραπάνω τρόποι καθίστανται ανά 6 άδες ισοδύναμοι). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 2 / 3

13 n n n n «ια τους ( ) συνδυασμούς «από n» ισχύει πάντοτε ότι ( ) ( ) +( ).» n Χωρίζουμε τους ( ) συνδυασμούς σε δύο σύνολα: ένα ο, όσων συνδυασμών δεν περιέχουν το n στό στοιχείο, και ένα 2 ο, όσων συνδυασμών περιέχουν το n στό στοιχείο. Το ο n σύνολο αποτελείται από τους ( ) συνδυασμούς «στοιχείων από (n )», (αφού το n στό στοιχείο δεν περιέχεται σε κανέναν από αυτούς αυτούς). Το 2 ο σύνολο, (αν από κάθε συνδυασμό με στοιχεία αφαιρέσουμε το n στό), έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τους n ( ) συνδυασμούς ( ) στοιχείων από (n ). Τα δύο σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους, διότι οποιασδήποτε συνδυασμός στο ο δεν περιέχει το n στό στοιχείο, ενώ οποιοσδήποτε στο 2 ο το περιέχει. πό τον κανόνα του n αθροίσματος έχουμε ( ) μέγεθος ου + μέγεθος 2 ου n n ( ) + ( ). «Με ποιά πιθανότητα μπορούμε να επιλέξουμε (τυχαία) 5 άνδρες και 6 γυναίκες από 50 άνδρες και 60 γυναίκες;» 0 Όλες οι επιλογές είναι ένας συνδυασμός προσώπων από n πρόσωπα, δηλ. ( ). Παρόμοια, οι δυνατές επιλογές 5 ανδρών και 6 γυναικών είναι αντιστοίχως ( 50 ) 60 5 και ( 6 ). πό τον κανόνα του γινομένου μπορούμε να διαλέξουμε 5 άνδρες και 6 γυναίκες κατά ( 5 ) ( 6 ) τρόπους. H πιθανότητα p μιας τυχαίας όπως ζητείται επιλογής είναι λοιπόν, ( 5 )( 6 ) 0 ( ) 06,073,304,03,600 p ,342,5,27,00 /4 Όπως βλέπετε εδώ αν δεν το έχετε ήδη διαπιστώσει οι συνδυασμοί μας δίνουν πολύ γρήγορα τεράστιους αριθμούς, συχνά με δεκάδες ψηφία. Η θεωρία έχει προφανώς ανάγκη οσησδήποτε μεγάλης ακρίβειας, αλλά όσον αφορά στη πράξη, ίσως κάποιοι να απορούν γιατί θα πρέπει να μας ενδιαφέρει ο ακριβής υπολογισμός τέτοιων αριθμών, αφού κανένα φυσικό μέγεθος δεν περιγράφεται με δεκάδες ψηφία ούτε τόσο τεράστια φυσικά πλήθη εμφανίζονται, ούτε τα φυσικά μεγέθη είναι μετρήσιμα με ακρίβεια τόσων πολλών δεκαδικών ψηφίων. Μία από τις απαντήσεις είναι το παραπάνω πρόβλημα: οι εφαρμογές (και η θεωρία) από ένα σημείο και μετά απαιτούν πιθανοκρατικές εκτιμήσεις, και αυτές εμπλέκουν τα πηλίκα (ίσως τεράστιων) αριθμών, οι αριθμητές και παρονομαστές των οποίων πρέπει, για λόγους ορθότητας, να υπολογιστούν με ακρίβεια. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 3 / 3

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS 09 Νοεµβρίου 2009 01 Απριλίου 2010 DISNEYLAND 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 CHD ΠΑΚΕΤΟ 2N/3Μ 350 419 558 973 392 475 641 1140 491 607 840 1538 117 ΠΑΚΕΤΟ 3N/4Μ 464 562 760 1353

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ,

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΚΕΙΜΕΝΟ. Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942. Αγαπητή Κίττυ, ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Αγαπητή

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Το κείμενο αυτό ανανεώνεται με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Θα συνεχίζει να ανανεώνεται μέχρι την ημέρα των εξετάσεων. Αυτή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα Μέχρι τα επτά του χρόνια το παιδί έμενε στο σπίτι, όπου έπαιζε διάφορα παιχνίδια. Ο Πλάτων κι ο Αριστοτέλης συμβούλευαν τους γονείς να αφήνουν τα παιδιά τους να διασκεδάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος B Βασικά στοιχεία περί ασυμφραστικών

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιγράμματος

Περιγραφή Περιγράμματος Περιγραφή Περιγράμματος Σήμερα! Περιγραφή Περιγράμματος Κώδικας Αλύσσου (chain code) Πολυγωνική γραμμή Υπογραφή (signature) περιγράμματος Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος 1 Περιγραφή Περιγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες

Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Επιλέγοντας τις κατάλληλες γλάστρες Το τι γλάστρες θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται κυρίως από το πορτοφόλι σας αλλά και το προσωπικό σας γούστο. Οι επιλογές σας είναι αμέτρητες, τόσο σε ποιότητες όσο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (701-718)

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (701-718) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού 1. Φροντίδα των φυτών Αφού αποφάσισες να φυτέψεις πρέπει να είσαι έτοιμος να ασχοληθείς με τα φυτά σου και να παρακολουθείς τις ανάγκες τους. Θα πρέπει να ποτίζεις όποτε

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Καλοπίτας.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Καλοπίτας. 22 Φεβρουαρίου 2010 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Καλοπίτας. 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται ακριβώς με το 4; α) 1334. β) 1354. γ) 1374. δ) 1384. 2. Στη σειρά αυτή

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Μέρος Γ Βασικά στοιχεία περί υπολογισιμότητας: επιλύσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1 5, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΧΟΡΩΔΙΑ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ

ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΧΟΡΩΔΙΑ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΧΟΡΩΔΙΑ Πατήσια, Τρίτη 3 Δεκεμβρίου 2013 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Αγαπητοί Γονείς, Σας γνωστοποιείται ότι την Δευτέρα 9 Δεκεμβρίου 2013 και ώρα 19:00 η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο

Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Α) Το γενικό πλαίσιο.ε.π.π.σ. και Α.Π.Σ. Β) Ο Υπολογιστής στην τάξη Γ) Ενδεικτικές ραστηριότητες Α) Το γενικό πλαίσιο.ε.π.π.σ.

Διαβάστε περισσότερα

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ.

Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ. Υπουργείο Εσωτερικών Γενική Δ/νση Αναπτυξιακών Προγραμμάτων Δ/νση Μηχανοργάνωσης & Η.Ε.Σ. Απρίλιος 2012 ΥΠΕΣ-ΔΜΗΕΣ Β' κ Γ' ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ 2009 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΕΚΛΟΓΙΚΟΙ ΚΑΤΑΛΟΓΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 1 Εκλογείς

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); (1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΟΒΟΛΗ ΑΠΟΔΟΧΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Αθήνα, 16 Οκτωβρίου 2009 Παναγιάρη Μαρία, Πολυμερή Σχέδια «Μεταφορά Καινοτομίας» ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΚΘΕΣΕΩΝ ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ (1) ΠΟΤΕ; Στη μέση της υλοποίησης (άρθρο V

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ Εργασία για το µάθηµα του εαρινού εξαµήνου του µεταπτυχιακού προγράµµατος του τµήµατος Επικοινωνίας & Μέσων Μαζικής Ενηµέρωσης του Εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε:

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε: Ο διαγωνισμός της Εθνικής Σχολής Δημόσιας Διοίκησης προϋποθέτει, ως γνωστόν, συνδυασμό συνδυαστικής γνώσης της εξεταστέας ύλης και θεμάτων πολιτικής και οικονομικής επικαιρότητας. Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς.

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς. ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο

Διαβάστε περισσότερα