ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

Transcript

1 ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι εξής: ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ a n συσχέτιση ή επιλογές τα ορίσματα («αντικείμενα») οι τιμές («δοχεία») χωρητικότητα διακριτότητα/ομοιότητα Συσχετίζουμε «αντικείμενα» με n «δοχεία» ή «θέσεις». ικονίζουμε αυτή την ως «τοποθέτηση» ενός αντικειμένου σε ένα δοχείο ή θέση. Το σε ποιό δοχείο θα τοποθετήσουμε κάθε ένα από τα αντικείμενά μας είναι το σύνολο των «επιλογών» που έχουμε στη διάθεσή μας. Τα αντικείμενα προσδιορίζονται ως εκείνα τα πράγματα που χειριζόμαστε και τα οποία θα συσχετιστούν όλα με ένα και μόνον ένα άλλο πράγμα (το δοχείο, ή θέση). υτό χαρακτηρίζει την τοποθέτηση ως συνάρτηση: από την πλευρά των αντικειμένων είναι μια ολική και μονότιμη. (ι αυτό και η τυπική μαθηματική ονομασία για τα αντικείμενα και τα δοχεία είναι: ορίσματα και τιμές.) Τα δοχεία ή θέσεις είναι η άλλη πλευρά της ς: επί της αρχής ένα δοχείο μπορεί να δεχθεί είτε κανένα, είτε ένα, είτε πολλά αντικείμενα. Σε διάφορες χρήσιμες ειδικές περιπτώσεις, τα δοχεία μπορούν να έχουν «περιορισμούς» της «χωρητικότητάς» τους χ. ιακρίνουμε τρείς βασικές χρήσιμες περιπτώσεις: κανένας περιορισμός: χ 0, (το προφανές). μονοθέσια δοχεία: χ. γενική περίπτωση: χ { 0,, 2,...,,... }, (π.χ.: χ 0, 3, 7 ή 4.) Τα αντικείμενα μπορούν να έχουν μια «σχέση ομοιότητας» που παράγουν συμμετρίες (ή ισοδυναμίες) στη τοποθέτησή τους. Π.χ. αν τρία αντικείμενα έχουν κίτρινο χρώμα, πιθανά να μην μας ενδιαφέρει που τοποθετήθηκε το καθένα, αλλά που τοποθετήθηκαν τα «κίτρινα». ιακρίνουμε τρείς βασικές χρήσιμες περιπτώσεις: πλήρης διακριτότητα: τα αντικείμενα διαφέρουν όλα ανά δύο. πλήρης ομοιότητα: όλα τα αντικείμενα είναι όμοια μεταξύ τους. γενική περίπτωση: τα αντικείμενα ομοιάζουν κατά ομάδες. Σημειώνουμε ότι τα δοχεία θεωρούνται πάντοτε ως διακριτά μεταξύ τους. 2 αντικείμενα δοχεία ή θέσεις 6 τοποθετήση (συσχέτιση ή επιλογές) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. / 3

2 Οι παραλλαγές αυτών των παραμέτρων της «τοποθέτησης» και οι οποίες μας ενδιαφέρουν πρωτίστως, είναι επτά, και δίνονται στον ακόλουθο πίνακα: ΣΙΚΣ ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ a n ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ: Κάθε αντικείμενο.. τίθεται σε οποιοδήποτε δοχείο.. n, χωρίς περιορισμούς ς, (απλώς: «χ 0») Η Θ ΥΠΟΣΥΝΟΛ: Συναρτήσεις {.. } προς n 2 δοχεία. Το ο εξ αυτών καθορίζει το περιεχόμενου του άλλου, και έτσι ορίζει ένα και ορίζεται από ένα υποσύνολο S των αντικειμένων... δώ S {, 2, 6, 7 } ʺ S ʺ ʺ S ʺ ΙΤΞΙΣ: Κάθε αντικείμενο.. τίθεται σε οποιοδήποτε δοχείο.. n, αλλά υπάρχει ο περιορισμός ς «χ», (οπότε και n ). δώ έχουμε διάταξη 5 δοχείων (ή θέσεων), την: ο, 2 Ο, 3 Ο, 4 Ο, 5 Ο,, Θ, Η, Η Θ ΜΤΘΣΙΣ: Μια διάταξη, όπου το πλήθος των αντικειμένων ισούται με το πλήθος των δοχείων n: n Η Θ (ΠΛΟΙ) ΣΥΝΥΣΜΟΙ: Μια διάταξη αντικειμένων, όπου όλα είναι «όμοια» (λχ έχουν κίτρινο χρώμα), άρα τα θεωρούμε απλώς ως σύνολο. δώ έχουμε έναν συνδυασμό 5 θέσεων: {,,, Η, Θ } Η Θ 5 ΟΜΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ: Συνδυασμοί με ομοιότητα κατά ομάδες μεγέθους, 2, κ, (δηλ. i n). δώ κ 3 (κίτρινο 3, κυανό 2, λευκό 3). Προσέξτε ότι μία από τις ομάδες μπορεί να θεωρηθεί ως (όμοιες) «κενές θέσεις». Η Θ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ: Συνδυασμοί ομοίων αντικειμένων σε n δοχεία, χωρίς περιορισμό ς. Ο συνδυασμός εδώ είναι το «πολυσύνολο»: {,,,,,,, Η, Θ, Θ } Η Θ 0 Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 2 / 3

3 2. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: παραδείγματα συνδυαστικών οντοτήτων. Σε όλες τις περιπτώσεις το ερώτημα είναι «με πόσους τρόπους;» μπορεί να συμβεί το περιγραφόμενο. α/α Περιγραφή σε καθημερινή γλώσσα: Χρησιμοποιούμε 9 συγκεκριμμένα σύμβολα (όλα από μία φορά) για να γράψουμε λέξεις. μετ 2 πό 2 παίκτες στον «πάγκο» διαλέγουμε μια ομάδα μπάσκετ των 5. σνδ 3 Κάνουμε 0 βήματα προς τα εμπρός και 0 προς τα πίσω (αναμεμιγμένα). σνδ 4 Ένας σύλλογος εκλέγει πρόεδρο, ταμία, γραμματέα από 0 υποψήφιους. δια 5 Σε ένα δελτίο τζόκερ διαλέγουμε 5 βασικούς αριθμούς από ως 45. σνδ 6 ναθέτουμε 8 αιτήσεις προς χειρισμό σε 5 υπαλλήλους. επσ 7 2 πελάτες εισέρχονται σε ένα κατάστημα. μετ 8 Τοποθετούμε 4 είδη θέρμανσης (λ.χ. αέριο, πετρέλαιο, πελέτες, ηλεκτρικό) σε 2 σπίτια. συν 9 Σε μια γευσιγνωσία δοκιμάζουμε κάποια (2 ή 4 ή 5 ή ) από 8 επώνυμα κρασιά. υπο 0 Το Σαββατοκύριακο θα τηλεφωνήσουμε σε φίλους. υπο Στο γινόμενο (α+β)(α+β)... (α+β) με ν παράγοντες, σχηματίζουμε όρους με την μορφή α κ β (ν κ). ομσ 2 0 βάσεις γουανίνης, 5 θυμίνης, 6 κυτοσίνης και 4 αδενίνης συνθέτουν ένα απόσπασμα DNA. ομσ 3 Κλείνουμε για 5 διαλέξεις κάποιες από 8 διαθέσιμες αίθουσες. δια 4 πό 0 πρόσωπα κάποιοι περνούν επιτυχώς ένα ιατρικό test. υπο 5 πό αλφάβητο 24 γραμμάτων φτιάχνουμε λέξεις των 6 γραμμάτων. συν 6 πό 20 βιβλία φτιάχνουμε μια κάποια στοίβα με 5 βιβλία. δια 7 00 υποψήφιοι επιλέγουν ως «πρώτη» κάποια από 20 σχολές. συν 8 Ένας κριτικός κινηματογράφου είδε 0 ταινίες μικρού μήκους σε 3 ημέρες. συν 9 Κλείνουμε 2 μονόκλινα σε 3 ξενοδοχιακές μονάδες. επσ 20 Μοιράζουμε 0 σοκολάτες σε 7 παιδιά. επσ 2 Τοποθετούμε 3 αντίτυπα ενός βιβλίου, 4 ενός άλλου και 2 ενός τρίτου σε ένα ράφι. ομσ 22 άφουμε 4 δωμάτια, χρησιμοποιώντας διαφορετικά χρώματα από 2 αποχρώσεις. δια 23 6 ομάδες κατατάσσονται σε ένα ετήσιο πρωτάθλημα. μετ 24 0 θεατές καθίζονται σε 0 καθίσματα. μετ 25 Τοποθετούμε 20 βιβλία σε ένα ράφι. μετ 26 Σε μια συνεδρίαση ομιλούν 6 μέλη από κυβέρνηση, 4 μέλη από αντιπολίτευση & 3 λοιπά μέλη. ομσ 27 Τις 0 τελευταίες φορές που είδαμε (από ) ταινία dvd, διαλέξαμε από 7 αγαπημένες ταινίες. επσ 28 πενδύουμε,000,000 ευρώ (σε πολλαπλάσια των 50,000) σε 4 επιχειρηματικά σχέδια. επσ 29 πονέμουμε τρία μετάλλια (χρυσό, αργυρό, χάλκινο) σε 20 αθλητές. δια 30 πιβιβάζονται 32 επιβάτες σε δύο δρομολόγια ini bus (των 0.οο και 0.20 ). υπο 3 Κάνουμε 20 βήματα προς τα εμπρός ή πίσω (αναμεμιγμένα). υπο 32 άφουμε 2 δωμάτια με βαφές σε 4 διαθέσιμα χρώματα. συν 33 6 αυτοκίνητα χρησιμοποιούν 2 θέσεις στάθμευσης. σνδ 34 Σε μια διανομή της (συνηθισμένης) τράπουλας μοιράζουμε 3 χαρτιά σε έναν παίκτη. σνδ 35 ια μια σαλάτα διαλέγουμε 3 είδη λαχανικών από 8 διαθέσιμα. δια 36 Κληρώνουμε 5 dvd, 0 εισιτήρια θεάτρου και 6 βιβλία σε 2 πρόσωπα. ομς 37 Μια σαλάτα με 4 υλικά σε αναλογίες δεκάτων, (λ.χ. ντομάτα:μαρούλι:καρότο:λάχανο 3:5::). επσ 38 ια 5 είδη αυτοκινήτων έχουμε 20 πωλήσεις. επσ 39 5 παιδιά προέρχονται από 6 ζευγάρια γονέων. συν 40 πό 20 προτάσεις κάποιες τυχαίνει να είναι ΛΗΘΙΣ. υπο 4 πό 5 αριθμούς παράγουμε όλα τα αθροίσματα εξ αυτών. Πόσα το πολύ θα παραχθούν; υπο 42 Μοιράζουμε 2 ίδια δώρα σε 2 παιδιά. σνδ 43 Μοιράζουμε 2 διαφορετικά δώρα σε 2 παιδιά. μετ 44 Σε μια εκδρομή επισκεπτόμαστε κατά σειρά 8 αξιοθέατα. μετ 45 Κάνουμε 20 βήματα προς τα εμπρός ή πίσω ή δεξιά ή αριστερά (αναμεμιγμένα). συν 46 Σχηματίζουμε τρίγωνα από 2 σημεία. σνδ 47 Φτιάχνουμε ένα κομπολόι από 5 κόκκινες, 6 κίτρινες, και 8 άσπρες χάντρες. ομσ 48 Σε ένα τοίχο τοποθετούμε από αριστερά προς τα δεξιά 4 αφίσες από 8 διαθέσιμες. δια 49 5 γυναίκες, 4 άνδρες και 8 παιδιά κάθονται σε μια σειρά καθισμάτων. ομσ 50 πό 2 υπόπτους κάποιοι 4 έχουν συστήσει συμμορία. σνδ Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 3 / 3

4 κολουθούν 7 παραδείγματα της «ανάλυσης» για τον χαρακτηρισμό κάθε περίπτωσης (βλ. οδηγίες στη σ. 7): ΥΠΟΣΥΝΟΛ «Κάνουμε 20 βήματα προς τα εμπρός ή πίσω (αναμεμιγμένα).» (# 3) αριθμός βήματος κίνηση «εμπρός» / «πίσω». ορίσματα («αντικείμενα») όλα τα 20 βήματα χαρακτηρίζονται από ακριβώς μία κίνηση. τιμές («δοχεία») οι n 2 κινήσεις «εμπρός» / «πίσω». δεν έχουμε περιορισμό στο πόσα βήματα θα είναι «εμπρός» ή «πίσω». διακριτότητα/ομοιότητα τα βήματα είναι διακριτά μεταξύ τους (ως προς τον αύξοντα αριθμό τους). ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ «πό αλφάβητο 24 γραμμάτων φτιάχνουμε λέξεις των 6 γραμμάτων.» (# 5) θέση γράμματος στη λέξη γράμμα του αλφαβήτου. ορίσματα («αντικείμενα») όλες 6 οι θέσεις της λέξης θα πάρουν ακριβώς ένα γράμμα από τα 24. τιμές («δοχεία») τα n 24 γράμματα (κάποια από αυτά δεν θα χρησιμοποιηθούν). κάθε γράμμα από τα 24 μπορεί να χρησιμοποιηθεί οσεσδήποτε φορές. διακριτότητα/ομοιότητα οι 6 θέσεις της λέξης είναι διακριτές μεταξύ τους. ΜΤΘΣΙΣ «Τοποθετούμε 20 βιβλία σε ένα ράφι.» (# 25) βιβλία αριθμός τοποθέτησης στο ράφι (λ.χ. από αριστερά προς τα δεξιά). ορίσματα («αντικείμενα») όλα τα 20 βιβλία θα πάρουν από μία θέση (εδώ και το αντίστροφο). τιμές («δοχεία») οι θέσεις υπ. αρ. έως n 20 κάθε θέση «χωράει» ένα βιβλίο αντιστοιχεί ακριβώς σε ένα. διακριτότητα/ομοιότητα τα βιβλία είναι διακριτά μεταξύ τους. ΣΥΝΥΣΜΟΙ «6 αυτοκίνητα χρησιμοποιούν 2 θέσεις στάθμευσης.» (# 33) αυτοκίνητο θέση στάθμευσης. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε αυτοκίνητο από τα 6 θα σταθμεύσει και σε μία ακριβώς θέση. τιμές («δοχεία») οι n 2 θέσεις στάθμευσης (κάποιες ίσως μείνουν άδειες) κάθε θέση χωρά ένα αυτοκίνητο το πολύ. διακριτότητα/ομοιότητα όλα όμοια: σημασία έχει μόνον ότι το καθένα καταλαμβάνει από μία θέση. ΙΤΞΙΣ «πονέμουμε τρία μετάλλια, (χρυσό, αργυρό, χάλκινο) σε 20 αθλητές.» (# 29) μετάλλιο αθλητής. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε μετάλλιο από τα 3 πρέπει να δοθεί σε ακριβώς ένα ν αθλητή. τιμές («δοχεία») οι n 20 αθλητές (κάποιοι δεν θα πάρουν μετάλλιο). κάθε αθλητής δέχεται το πολύ ένα μετάλλιο. διακριτότητα/ομοιότητα τα μετάλλια είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους. ΟΜΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ «Κληρώνουμε 5 dvd, 0 εισιτήρια θεάτρου και 6 βιβλία σε 2 πρόσωπα.» (# 36) κλήρος πρόσωπο. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε κλήρος από τους 5+0+6, θα πάει σε ένα ακριβώς πρόσωπο. τιμές («δοχεία») τα n 2 πρόσωπα. σε κάθε πρόσωπο δίνουμε το πολύ ένα δώρο (εδώ ακριβώς ένα). διακριτότητα/ομοιότητα τα δώρα είναι όμοια κατά τρείς ομάδες 5, 2 0, 3 6. ΠΝΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ «Μοιράζουμε 0 σοκολάτες σε 7 παιδιά.» (# 20) αύξων αριθμός σοκολατας παιδί. ορίσματα («αντικείμενα») κάθε σοκολάτα από τις 0 θα πάει σε ένα ακριβώς παιδί. τιμές («δοχεία») τα n 7 παιδιά (κάποια από αυτά ίσως να μην πάρουν καμμία σοκολάτα). χωρίς περιορισμό: σε κάποια παιδιά ίσως τύχουν πολλές σοκολάτες. διακριτότητα/ομοιότητα δίνουμε αρίθμηση στις σοκολάτες, αλλά είναι όλες «όμοιες» μεταξύ τους. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 4 / 3

5 3. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η καταμέτρηση των επτά θεμελιακών μορφών. ίνουμε τον τρόπο καταμέτρησης των επτά βασικών συνδυαστικών στοιχείων (για αντικείμενα σε n δοχεία). Υπάρχουν πάρα πολλοί τρόποι για να υπολογίσουμε (είτε μεμονωμένα, είτε συλλογικά) το πλήθος κάθε είδους, εδώ όμως δίνουμε ένα συστηματικό (και όχι ad hoc) τρόπο, ώστε να καταδείξουμε την χρήση των βασικών μετρητικών αρχών. (Συμβολίζουμε με το αριθμοσύνολο { 0.. }, που είναι ισοπληθές με το {.. }.) ΜΟΡΦΗ ΣΥΝΡΤΗΣΙΣ F n, n a n ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΥΠΟΣΥΝΟΛ S 2 ΜΤΘΣΙΣ ( n) P! Έστω F(n, ) το σύνολο των συναρτήσεων a n «προς n από». Θα εξετάσουμε τις n επιλογές που κάνουμε για να ορίσουμε μια συνάρτηση. ια κάθε δοχείο,..., n το σύνολο των συναρτήσεων F(n, ) διαμερίζεται στο σύνολο T { τ F(n, ) όπου τ() }, των συναρτήσεων όπου το τελευταίο στοιχείο τοποθετείται στο δοχείο τιμή: F(n, ) U {.. n} πό τον κανόνα του αθροίσματος, θα έχουμε λοιπόν: F(n, ) {.. n} T T λλά το σύνολο των συναρτήσεων T έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις συναρτήσεις F(n, ), που τοποθετούν τα υπόλοιπα αντικείμενα, στα {.. n} υπόλοιπα διαθέσιμα δοχεία διότι μεταξύ τους αρκεί να «προσθαφαιρέσουμε» το ζεύγος. φού T F(n, ), έχουμε ότι T F(n,, δηλαδή: F(n, ) {.. n} F(n, ) n F(n, ) φαρμόζοντας την σχέση φορές, και επειδή F(n, ) n (ένα αντικείμενο μπορεί να τοποθετηθεί με n τρόπους σε n θέσεις), καταλήγουμε ότι: F, F( n, ) n n Το σύνολο S() των υποσυνόλων του {.. } έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις συναρτήσεις προς 2 θέσεις, τις { 0, }, με τον εξής τρόπο: Κάθε υποσύνολο s αντιστοιχίζεται με την «χαρακτηριστική» συνάρτηση {.. } { 0, } που απεικονίζει τα μέλη του s στο (και τα υπόλοιπα στο «0»). ια n 2, έχουμε: S S( ) 2 Έστω P() το σύνολο των μεταθέσεων τ : a n, όπου n. ια κάθε δοχείο,..., n αυτό το σύνολο διαμερίζεται στα σύνολα των μεταθέσεων T { τ P() όπου τ() }, στις οποίες το τελευταίο στοιχείο τοποθετείται στο δοχείο τιμή: P() U {.. n} πό τον κανόνα του αθροίσματος, θα έχουμε λοιπόν: P() {.. n} T T λλά το σύνολο των συναρτήσεων T { τ P() όπου τ() } έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις συναρτήσεις που τοποθετούν τα υπόλοιπα αντικείμενα, από ένα, στα {.. n} { } υπόλοιπα διαθέσιμα δοχεία, και αυτές (εύκολα) έρχονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις μεταθέσεις P( ), αφού n {.. n} { }. φού T P( ), έχουμε T P( ), δηλαδή: P() {.. n} P( ) n P( ), ( ) (n ) φαρμόζοντας την σχέση φορές, και επειδή P() (ένα αντικείμενο μπορεί να τοποθετηθεί κατά ένα τρόπο σε θέση), καταλήγουμε ότι: P P( ) n ( n )... 2!, n Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 5 / 3

6 C P n, ΙΤΞΙΣ ( n )! ΟΜΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ #,..., C n,!...! ΣΥΝΥΣΜΟΙ!( n )! ΠΝΛΗΠΤΙΚΟΙ ΣΥΝΥΣΜΟΙ C * n, n+ Έστω P(n, ) το σύνολο των διατάξεων «n ανά n». ια το μέγεθός του ισχύει, κατ αναλογία, το προηγούμενο σκεπτικό, μόνο που το είναι ίσως μικρότερο από το n. ηλαδή, P(n, ) {.. n} P(n, ) n P(n, ) όπου P(n, ) n. Με επαναλήψεις λαμβάνουμε: Pn, P( n, ) n ( n ) ( n 2)... ( n + ) ( n )! παράγοντες Έστω C # (, 2,, ) το σύνολο των ομαδικών συνδυασμών n +2+ στοιχείων. ια να υπολογίσουμε το πλήθος τους, σκεπτόμαστε μια από τις μεταθέσεις των n στοιχείων, στην οποία τα στοιχεία είναι όμοια ανά ομάδες μεγέθους i, i,,. υτό σημαίνει ότι εάν αναδιατάξουμε τα i στοιχεία μιας ομάδας (κατά (i)! τρόπους) οι προκύπτουσες τοποθετήσεις θα είναι ισοδύναμες και από κοινού αντίστοιχες με έναν «ομαδικό συνδυασμό». πό τον κανόνα του γινομένου το πλήθος των παραλλαγών είναι ( )!. Η αντιστοιχία λοιπόν C # (, 2,, ) P(n) είναι i.. i.. προς ( )!, άρα: ( )! C C (,,..., )!!...!!!...! # # 2, 2,..., Έστω C(n, ) το σύνολο των συνδυασμών «n ανά» στοιχεία. Το μέγεθός του υπολογίζεται με την ίδια ιδέα όπως πριν, αν θεωρήσουμε ότι έχουμε δύο ομάδες: μια πρώτη με όμοια στοιχεία, και μια δεύτερη με 2 (n ) όμοια στοιχεία, τα οποία αντιπροσωπεύουν τις θέσεις που μένουν «κενές». Κατ ευθείαν από τον προηγούμενο τύπο λαμβάνουμε: * n Cn, C(, n) C,( n )!( n )! Έστω C * (n, ) το σύνολο των συνδυασμών «n ανά» στοιχεία, μετ επαναλήψεως. Κάθε τέτοιος συνδυασμός έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τις λέξεις που μπορούμε να γράψουμε με όμοια σύμβολα, και (n ) σύμβολα, όπως λ.χ. για την σειρά, όπου 9 και n 5: ( n ) 5διαχωριστικ ά n 6 περιοχές Η αρχή της λέξης, τα (n ) σύμβολα τύπου, και το τέλος της λέξης, ορίζουν n περιοχές μεταξύ αυτών, και το πλήθος των συμβόλων τύπου εντός κάθε τέτοιας περιοχής αντιστοιχεί στο πλήθος των αντικειμένων που τοποθετούνται στο αντίστοιχο δοχείο περιοχή. υτές οι λέξεις είναι καταφανώς οι συνδυασμοί δύο ομάδων ομοίων αντικειμένων, οι τελίτσες πλήθους, και οι γραμμούλες πλήθους (n ). Άρα, ισχύει: * ( + n )! + n Cn,!( n )! i i Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 6 / 3

7 Στον επόμενο πίνακα συνοψίζουμε τις «οδηγίες» για την αναγνώριση μιας συνδυαστικής μορφής. Η «ΝΝΩΡΙΣΗ» ΜΙΣ ΣΥΝΥΣΤΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ. συσχέτιση ορίσματα («αντικείμενα») τιμές («δοχεία») χωρητικότητα διακριτότητα/ομοιότητα τύπος καταμέτρησης ιευκρινίζουμε τί αντιστοιχίζεται με τί. Eξετάζουμε ποιές, το πλήθος, επιλογές πραγματοποιούνται. Τα «αντικείμενα» διακρίνονται από το ότι θα κάνουμε για όλα από μία και ακριβώς μία επιλογή. Στην απλούστερη περίπτωση έχουμε αριθμούς ταυτότητες έως «αντικείμενα» Eξετάζουμε ποιά είναι τα επιλέξιμα στοιχεία (ή: τα «δοχεία»). υτά τα «δοχεία» διακρίνονται από το ότι είναι απλώς επιλέξιμα, και όχι υποχρεωτικά επιλεκτέα. Στην απλούστερη περίπτωση έχουμε αριθμούς ταυτότητες έως n «δοχεία». ιαπιστώνουμε την κάθε δοχείου, (ή ισοδύναμα τον βαθμό επιλεξιμότητας κάθε στοιχείου). ιαπιστώνουμε εάν τα «αντικείμενα» είναι διακριτά ή όμοια (ή όμοια καθ ομάδες). (Ή, ισοδύναμα, εάν η σειρά των επιλογών μας ενδιαφέρει τελικά, ή όχι.) πιβεβαιώνουμε ότι τα «δοχεία» είναι διακριτά. ντοπίζουμε την μορφή στα παρακάτω (πίνακα ή/και δένδρο). Οι συνδυαστικές μορφές που παρουσιάσαμε και επιδέχονται (απλή) ανάλυση, ήσαν οι εξής: ΟΜΟΙΟΤΗΤ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤ χ 0 χ ΟΛ ΙΚΡΙΤ ΟΜΟΙ Ν ΟΜΣ ΟΛ ΟΜΟΙ συναρτήσεις, ( +υποσύνολα ) F n, n ( 2 S ) διατάξεις, ( +μεταθέσεις ) Pn, ( P! ) ( n )! επαναληπτικοί συνδυασμοί * n+ Cn, ομαδικοί συνδυασμοί # C,...,!...! συνδυασμοί Cn,!( n )! χ { β, β2, β3,... } εκθετικές γεννήτριες σ. (βλ. ενότητα 4) απλές γεννήτριες σ. (βλ. ενότητα 4) Ένα δένδρο παραγωγής αυτών των μορφών θα μπορούσε να είναι το εξής: a n χ 0 χ { β, β2, β3,... } n 2 υποσύνολα συναρτήσεις χ όμοια επαναληπτικοί συνδυασμοί όμοια γεννήτριες συναρτήσεις διακριτ ά εκθετικές γεννήτριιες σ. διατάξεις n όμοια μεταθέσεις όμοιες ομάδες ομαδικοί συνδυασμοί (απλοί) συνδυασμοί Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 7 / 3

8 4. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: γενικοί περιορισμοί ς και οι «γεννήτριες συναρτήσεις». Η προέλευση της ιδέας: Στις μέχρι τώρα τοποθετήσεις «αντικειμένων σε δοχεία» εξετάσαμε μόνον δύο απλά είδη περιορισμών της ς: «χ 0» και «0 χ». ύλογα, στις πρακτικές εφαρμογές εμφανίζονται και πολλοί άλλοι τύποι περιορισμών. Π.χ. σε ένα αυτοκίνητο χωρούν το πολύ 4 5 πρόσωπα, και σίγουρα πάνω από αν είναι να το χρησιμοποιήσουμε, (ο οδηγός...). Ή, μέσα σε μια ημέρα χωρούν το πολύ 8 0 ώρες εργασίας (λέμε τώρα...). Ή, πιθανά, μια εργασία να θέλουμε να την αναθέσουμε σε ακριβώς 3 πρόσωπα (λ.χ. τα μέλη μιας επιτροπής), κοκ. ια τον χειρισμό αυθαίρετων περιορισμών «ς» χρησιμοποιούμε την τεχνική των «γεννητριών» συναρτήσεων, που εξηγούμε συνοπτικά στην συνέχεια. ς χρησιμοποιήσουμε το διατεταγμένο ζεύγος α, β για να περιγράψουμε την υπόθεση, (ή γεγονός), ότι σε ένα δοχείο είναι δυνατόν να τοποθετήσουμε κατά α τρόπους, β το πλήθος αντικείμενα (όμοια). ν για να συνεχίσουμε με παράδειγμα έχουμε τις περιγραφές { 5, 3, 2, 4 } για ένα ο δοχείο, και τις { 4, 2, 3, 3 } για ένα δεύτερο δοχείο, τί περιγράφει τις συνολικές δυνατότητες εάν συν θέσουμε το ο και 2 ο δοχείο σε «ενιαίο» δοχείο; Η κατάσταση δίδεται στο ακόλουθο σχήμα, 5 τρόποι για 3 αντικείμενα 2 τρόποι για 4 αντικείμενα 4 τρόποι για 2 αντικείμενα 3 τρόποι για 3 αντικείμενα 5 x 4 τρόποι για 3+2 αντικείμενα 5 x 3 τρόποι για 3+3 αντικείμενα 2 x 4 τρόποι για 4+2 αντικείμενα 2 x 3 τρόποι για 4+3 αντικείμενα * και η απάντηση είναι η εξής «πράξη»: { 5,3, 2,4 } { 4,2, 3,3 } { 5 4,3 + 2, 5 3,3 + 3, 2 4,4 + 2, 2 3,4 + 3 } Παρατηρούμε ότι «συμβολικά» η η περιγραφή { 5, 3, 2, 4 } αντιστοιχεί σέ ένα «άθροισμα» ( 5, 3 + 2, 4 ) εντός του ενός ου δοχείου, η 2 η περιγραφή { 4, 2, 3, 3 } αντιστοιχεί στο άθροισμα ( 4, 2 + 3, 3 ) εντός του 2 ου δοχείου, και ότι η σύνθεση ( ) των δύο δοχείων παράγει τα «γινόμενα» των επί μέρους αθροιστικών περιγραφών: ( 5,3 + 2,4 ) ( 4,2, 3,3 ) ( 5,3 4,2 ) ( 5,3 3,3 ) ( 2,4 4,2 ) ( 2,4 3,3 ) Η παραβολή των δύο παραπάνω εκφράσεων ώστε οι αντίστοιχοι όροι να ισούνται, ορίζει τον κανόνα για το «γινόμενο» δύο απλών περιγραφών, π.χ. 5, 3 4, 2 5 4, 3+2, ή στη γενική μορφή: α, β α, β α α, β + β όπου εύλογα οι τρόποι (τα α ) πολλαπλασιάζονται, και τα πλήθη αντικειμένων (τα β ) προστίθενται. ς κάνουμε τώρα και τις πράξεις στην αρχική έκφραση: { 5,3, 2,4 } { 4,2, 3,3 } { 20,5, 5,6, 8,6, 6,7 } Με την πράξη άθροισης, θα λαμβάναμε δηλαδή: { } { } 5,3, 2,4 4,2, 3,3 20,5 5,6 8,6 6,7 Παρατηρούμε ότι έχουμε δύο όρους που τώρα «αθροίζονται», τους 20, 6, και 8, 6 : αφορούν στο ίδιο «ενιαίο» δοχείο, και αφορούν διαφορετικές τοποθετήσεις στοιχείων εντός αυτού (κατά 3+3 ή κατά 4+2 στοιχεία), και θα ήταν δυνατόν να εφαρμόσουμε τον κανόνα: α, β α, β α + α, β 2 2 για να πάρουμε την τελική περιγραφή: { 5,3, 2,4 } { 4,2, 3,3 } 20,5 23,6 6,7 που ερμηνέυεται ως: «οι δυνατότητες είναι: 20 τρόποι για 5 στοιχεία, 23 για 6 στοιχεία, και 6 τρόποιγια 7 στοιχεία, στο ενιαίο δοχείο.» Το ερώτημα τώρα είναι: μπορούμε να αναπαραστήσουμε αλγεβρικά αυτές τις πράξεις «γινομένου» των περιγραφών (επί δύο δοχείων), και «άθροισης» των περιγραφών (για ένα δοχείο); Σε αυτό το δεύτερο επίπεδο Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 8 / 3

9 χρειάζεται λίγη περισσότερη έμπνευση, αλλά δεν είναι δύσκολο: στις πολυωνυμικές εκφράσεις τύπου α z β, ο πολλαπλασιασμός παράγει το γινόμενο ( ) των συντελεστών, αλλά το άθροισμα (+) των εκθετών, άρα υπό την αντιστοίχιση α, β αz β (αθροιστικός όρος ενός πολυωνύμου), έχουμε την αλγεβρική αντιστοιχία που θα θέλαμε: α, β α, β α + α, β b b b αz + α z ( α + α ) z β β β α, β α, β α α, β + β b b b α z α z ( α α ) z β β 2 ( β + β 2) 2 2 δηλαδή, οι περιγραφές τοποθέτησης α, β «αθροίζονται» για το ίδιο δοχείο, και «πολλαπλασιάζονται» για δύο δοχεία, «ακριβώς» όπως τα πολυώνυμα με όρους α z β, υπό την ερμηνεία: «α τρόποι τοποθέτησης, β πλήθος (ομοίων) αντικειμένων». υτό μας δίνει μια μέθοδο επίλυσης για το πρόβλημα του υπολογισμού των τρόπων τοποθέτησης ομοίων αντικειμένων σε n δοχεία, υπό αυθαίρετους περιορισμούς ς: ορίζουμε τις αθροιστικές περιγραφές «z β» για κάθε δοχείο, και τις πολλαπλασιάζουμε, ως πολυώνυμα, μεταξύ τους, όπως στον εξής πίνακα: ΟΜΟΙ ΝΤΙΚΙΜΝ.., ΙΚΡΙΤ ΟΧΙ..n, ΥΘΙΡΤΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΣ { βκ } ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ «ΝΝΗΤΡΙΩΝ ΣΥΝΡΤΗΣΩΝ». ια κάθε δοχείο δ.. n με χωρητικότητες χδ { β, β2,..., βκ } ορίζουμε το πολυώνυμο: β β β 2. Υπολογίζουμε το γινόμενο pδ ( z) ( z + z z κ ) Gz ( ) p( z) ως άθροισμα μονωνύμων: δ δοχεία.. n 0 δ Gz ( ) α z (η «γεννήτρια συνάρτηση») 3. Ο συντελεστής α του όρου z (με εκθέτη το πλήθος των αντικειμένων), μας δίδει το πλήθος των δυνατών τοποθετήσεων ομοίων αντικειμένων, στα {.. n } διακριτά δοχεία, έτσι ώστε σε κάθε δοχείο να τηρούνται οι δεδομένες χωρητικότητες. «κθετικές» γεννήτριες και διακριτά αντικείμενα: Μπορούμε να έχουμε μια παρόμοια αλγεβρική τεχνική και για την περίπτωση των διακριτών αντικειμένων; Χρειαζόμαστε τώρα τον «σωστό» κανόνα για τον πολλαπλασιασμό δύο περιγραφών για διακριτά αντικείμενα: α, β α, β?, β + β δώ έχουμε ένα τρίτο επίπεδο δυσκολίας, αλλά η απάντηση είναι δίπλα μας αρκεί να κυττάξουμε: αν έχουμε (β + β2) αντικείμενα, με πόσους τρόπους μπορούμε να τα διαφοροποιήσουμε σε μία ομάδα β αντικειμένων (που θα τοποθετηθούν στο ο δοχείο) και σε μία ομάδα β2 στοιχείων που θα πάνε στο 2 ο δοχείο; Έχουμε ήδη δώσει την απάντηση σε αυτό: είναι το πλήθος ( β + β )! 2 των ομαδικών συνδυασμών για δύο ομάδες μεγέθους, β και β2. β! β! 2 Π.χ. εάν έχουμε 5 αντικείμενα, τα διαφοροποιήσουμε ως, και τα διαμερίσουμε σε δύο ομάδες με στοιχεία, κατά τον τρόπο ο 2 ο 2 ο ο ο, έχουμε την δυνατότητα του να θέσουμε στο ο δοχείο τα,,, και στο 2 ο δοχείο τα και. Τώρα, ο σωστός κανόνας είναι: ( β + β )! α, β α, β α α, β + β β! β2! όπου κάθε τρόπος τοποθέτησης (από ( β + β )! 2 συνολικά τρόπους) β διακριτών αντικείμενων στο ο, και β2 στο β! β! 2 2 ο, «διαστέλλεται» επί α τρόπους για το ο δοχείο, και, ανεξάρτητα επί α2 για το 2 ο. Ποιά θα ήταν, όμως, μια α, β α z β / β!, και εικονίζεται ως εξής: αλγεβρική έκφραση; Η αλγεβρική αναλογία είναι ( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 9 / 3

10 ( β + β )! α, β α, β α α, β + β β! β2! b b b β β ( β+ β2) z z ( β + β2)! z α α2 α α2 β! β2! β! β2! ( β + β2)! δηλαδή, (για διακριτά αντικείμενα) οι περιγραφές τοποθέτησης α, β «αθροίζονται» για το ίδιο δοχείο, και α z β / β!, υπό την ερμηνεία: «πολλαπλασιάζονται» για δύο δοχεία, «ακριβώς» όπως τα πολυώνυμα με όρους ( ) «α τρόποι τοποθέτησης, β πλήθος (διακριτών) αντικειμένων». υτό μας δίνει μια μέθοδο επίλυσης για το πρόβλημα του υπολογισμού των τρόπων τοποθέτησης διακριτών αντικειμένων σε n δοχεία, υπό αυθαίρετους περιορισμούς ς: ορίζουμε τις αθροιστικές περιγραφές «z β /β!» για κάθε δοχείο, και τις πολλαπλασιάζουμε, ως πολυώνυμα, μεταξύ τους, όπως στον πίνακα που ακολουθεί. ΙΚΡΙΤ ΝΤΙΚΙΜΝ.., ΙΚΡΙΤ ΟΧΙ..n, ΥΘΙΡΤΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΣ { βκ } ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ «ΚΘΤΙΚΩΝ ΝΝΗΤΡΙΩΝ ΣΥΝΡΤΗΣΩΝ». ια κάθε δοχείο δ.. n με χωρητικότητες χδ { β, β2,..., βκ } ορίζουμε το πολυώνυμο: 2. Υπολογίζουμε το γινόμενο 3. Ο συντελεστής β β2 β z z z ( κ!!!) p ( z) δ β β2 β κ Gz ( ) p( z) ως άθροισμα μονωνύμων: δ δοχεία.. n z Gz ( ) α 0! α z του όρου! δ (η «εκθετική γεννήτρια σ.») (με εκθέτη το πλήθος των αντικειμένων), μας δίδει το πλήθος των δυνατών τοποθετήσεων διακριτών αντικειμένων, στα {.. n } διακριτά δοχεία, έτσι ώστε σε κάθε δοχείο να τηρούνται οι δεδομένες χωρητικότητες. Και ποίο το όφελος; Η τεχνική των γεννητριών συναρτήσεων δεν θα είχε αξία αν δεν είχαμε ένα τρόπο να πολλαπλασιάσουμε τα επί μέρους πολυώνυμα, και, φυσικά, να αναλύσουμε μια συνάρτηση G(z) σε σειρά της μορφής Σ 0 α z. υτά ακριβώς, όμως, τα τεχνικά εργαλεία προσφέρει η άλγεβρα και η ανάλυση. Προσέξτε επίσης ότι η τεχνική των γεννητριών συναρτήσεων είναι ιδιαίτερα εκφραστική, διότι επιτρέπει ακόμα και άπειρες παραλλαγές στην ενός δοχείου. 2 Π.χ. ο περιορισμός «άρτιο πλήθος» εκφράζεται από την πολυωνυμική σειρά z β, η οποία μάλιστα ισούται β 0 με z 2 ( ). Ο πολύ συνηθισμένος περιορισμός ς του τύπου «χ από β 0 έως β2 20», εκφράζεται 2 0 β 20 από το πολυώνυμο z β β 0 z z z z το οποίο ισούται με z z z β 0 + β z, ή γενικά. β 0 z z z Τέλος, να μην λησμονούμε ότι (τώρα πια) ο ορισμός και χειρισμός τέτοιων γεννητριών συναρτήσεων, μπορεί να γίνει συμβολικά και από υπολογιστικά εργαλεία, όπως τα πακέτα MATLAB, MATHEMATICA κά. Ένα παράδειγμα: Έστω ότι μιά παρέα με 0 φίλους φίλες θα χρησιμοποιήσει, για να πάει σε μια συναυλία, αυτοκίνητο και μηχανή. Κάποιοι ίσως να χρησιμοποιήσουν ταξί και οι υπόλοιποι το λεωφορείο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η μετάβαση στον προορισμό; Οι περιορισμοί και τα επί μέρους πολυώνυμα δίδονται στον εξής πίνακα: Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 0 / 3

11 αυτοκίνητο μηχανή ταξί λεωφορείο έως 5 έως 2 0 έως 3 0 έως 8 πολυώνυμο (z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) (z + z 2 ) ( + z + z 2 + z 3 ) (z 9 )/(z ) Η γεννήτρια συνάρτηση είναι το γινόμενο των πολυωνύμων της τελευταίας σειράς, G(z) (z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 ) (z + z 2 ) ( + z + z 2 + z 3 ) (z 9 ) / (z ) και η απάντηση είναι ο συντελεστής α 0 του όρου z 0. ν δεν μας ενδιαφέρει απλώς το πόσοι θα πάνε με ποιό μέσο, αλλά και ποιοί, τότε τα πρόσωπα είναι πια διακριτά μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση αρκεί να χρησιμοποιήσουμε την «εκθετική» εκδοχή της παραπάνω γενήτριας, και να εξετάσουμε τον συντελεστη του όρου z 0 /0! Μια εφαρμογή συμβολικών υπολογισμών όπως οι MATLAB, MATHEMATICA κά, μπορούν να υπολογίσουν τους συντελεστές της παραπάνω συνάρτησης G(z) σε χιλιοστά του δευτερολέπτου. ρκεί βέβαια να γνωρίζει ο χειριστής τί δεδομένα να παραδώσει στην εφαρμογή, τί να ζητήσει από αυτήν και τί να διαβάσει στα αποτελέσματα: τα προγράμματα αντιλαμβάνονται συναρτήσεις σαν την παραπάνω G(z), χωρίς όμως να αντιλαμβάνοναι την εκφώνηση του προβλήματος που την παρήγαγε. Η διαδρομή από την εκφώνηση στα δεδομένα και από τα αποτελέσματα στην ερμηνεία τους, ανήκει στη δική μας επικράτεια, (στην επικράτεια του χρήστη του υπολογιστή). 5. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: οι συμμετρίες στο χώρο των «δοχείων». Στα προηγούμενα υποθέσαμε ότι τα δοχεία είναι διακριτά μεταξύ τους. υτό ισχύει συχνότατα (βλέπε λχ. τα παραδείγματα στη σελ. 3), όχι όμως πάντοτε. Όταν δύο στοιχεία μιας οντότητας είναι «όμοια» μεταξύ τους, αυτή η οντότητα παρουσιάζει μια συμμετρία: η εναλλαγή αυτών των δύο μερών αφήνει την εμφάνισή της αμετάβλητη, και την κάνει να έχει δύο όψεις (δύο, διότι μια περαιτέρω εναλλαγή την επαναφέρει στην αρχική της κατάσταση). ν τα 7 στοιχεία μιας οντότητας είναι όλα ισοδύναμα μεταξύ τους, τότε αυτά εναλλάσονται ελεύθερα μεταξύ τους, και οι 7! διαθέσιμες μετάθεσεις τους παράγουν ισάριθμες συμμετρικές, δηλαδή ισοδύναμες, εκδοχές αυτής της οντότητας. ν λοιπόν είχαμε τέτοιες συμμετρίες στο χώρο των δοχείων, θα έπρεπε να διαιρέσουμε με τον κατάλληλο συντελεστή «συστολής», λ.χ. δια 2 στη η περίπτωση, και δια 7! στη 2 η. Ο γενικός και ακριβής χειρισμός τέτοιων περιπτώσεων είναι δύσκολος. ν λ.χ. θέλαμε να χρωματίσουμε τις 8 κορυφές ενός κύβου με 8 χρώματα η απάντηση δεν θα ήταν 8! διότι ο κυβος έχει πολλές συμμετρίες, λ.χ. υπό πλήθος περιστροφών μένει ο «ίδιος». Θα περιοριστούμε λοιπόν, εδώ, σε απλές συνηθισμένες περιπτώσεις. Η γενική αρχή είναι η εξής: «ΣΥΜΜΤΡΙΣ» ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΣΩΝ/ΟΧΙΩΝ Έστω ότι έχουμε Ν συνδυαστικές μορφές τοποθέτησης αντικειμένων σε n δοχεία, όταν αυτά τα δοχεία θεωρηθούν διακριτά. άν παρά ταύτα υπάρχουν ομοιότητες μεταξύ των δοχείων, ελέγχουμε ποιά σχέση ισοδυναμίας προκαλούν στις Ν μορφές, και εάν οι κλάσεις αυτής της σχέσης είναι ισομεγέθεις και ίσες με Κ, τότε, λόγω της ομοιότητας των δοχείων, το πλήθος Ν των μορφών πρέπει, (κανόνας «συστολής»), να διαιρεθεί δια Κ. Π.χ. έστω ότι 6 πρόσωπα καθίζονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι, και ότι αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η σχετική τοποθέτησή τους, δηλαδή ο καθένας/καθεμία ποιό πρόσωπο έχει εμπρός του, ή δεξιά, ή λοξά αριστερά του, κτλ. Σε ένα 6 θέσιο «στρογγυλό» τραπέζι οι θέσεις επιδέχονται 6 περιστροφές έως ότου επανέλθουν στην αρχική θέση, και αυτές οι «στροφές» διατηρούν αναλλοίωτη την σχετική θέση των καλεσμένων. (Προσέχουμε εδώ ότι αυτό που «στρέφεται» δεν είναι το τραπέζι, ή οι καρέκλες (μαζί με τους καλεσμένους...), αλλά οι ίδιοι οι καλεσμένοι: για αυτό και έχπυμε επί της ουσίας μια ανα τοποθέτηση, εντός ενός χώρου όμως που διαθέτει, όμως, συμμετρίες.) Κάθε τοποθέτηση των προσώπων έχει λοιπόν 6 ισοδύναμες τοποθετήσεις (μαζί με τον εαυτό της), οι οποίες προκύπτουν από αυτές τις περιστροφές. Σε αυτή τη σχέση ισοδυναμίας κάθε κλάση ισοδυναμίας έχει λοιπόν μέγεθος Κ 6. άν οι θέσεις ήσαν διακριτές οι τρόποι τοποθέτησης θα ήσαν οι 6! μεταθέσεις των 6 προσώπων, αλλά τώρα αυτό πρέπει να διαιρεθεί δια 6, οπότε όλοι οι τρόποι να καθίσουν τα πρόσωπα είναι 6!/6 5!. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. / 3

12 !?!! άν το τραπέζι ήταν όμως τριγωνικό, με 2 πρόσωπα ανά πλευρά, οι στροφές των θέσεων που διατηρούν την σχετική τοποθέτηση δεν είναι 6, διότι η «στροφή» κατά μία θέση, αλλάζει την τοποθέτηση: λ.χ. η θα έχει πια τον (ακριβώς) αριστερά της, και όχι (περίπου) απέναντι. Μόνον οι «στροφές» κατά 2 θέσεις διατηρούν τις σχετικές θέσεις, άρα σε αυτή την περίπτωση θα έπρεπε να διαιρέσουμε δια Κ 3, και οι τρόποι καθίσματος είναι 6!/3.?? Και, τέλος, εάν το τραπέζι ήταν ορθογώνιο, με + επικεφαλής, τότε μόνον η στροφή των θέσεων κατά «80 ο» διατηρεί πλήρως τις σχετικές θέσεις των καλεσμένων, και θα έπρεπε να διαιρέσουμε τις 6! τοποθετήσεις δια Κ 2. δώ, για 6 θέσεις, στο εξάγωνο διαιρούμε δια 6, στο τρίγωνο δια 3 και στο ορθογώνιο τετράπλευρο δια 2 δείγμα του ότι οι συμμετρίες είναι «βαθύ» και όχι επιδερμικό φαινόμενο. (Το κυριότερο εργαλείο χειρισμού τέτοιων συμμετριών είναι η θεωρία ομάδων και το σχετικό εργαλείο είναι το «λήμμα Burnside (+Frobenius+Cauchy)».) 6. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: σύνθετες καταστάσεις. Στα προηγούμενα ορίσαμε, κατατάξαμε, και μετρήσαμε τις βασικές συνδυαστικές μορφές. υτές όμως «συνδυάζονται» πια μεταξύ τους, και με οποιουσδήποτε τρόπους. εν έχουμε εδώ κάποια γενική μέθοδο ανάλυσης: είμαστε αντιμέτωποι πια με όλη την φαντασία της πραγματικότητας. Το μόνο που έχουμε στη διάθεσή μας είναι οι βασικές αρχές: η ανάλυση ενός σύνθετου προβλήματος σε απλούστερα. η τεχνική της αντιστοίχισης. οι κανόνες καταμέτρησης, (προσθαφαίρεσης, συστολής/διαστολής, γινομένου). ίνουμε μερικά παραδείγματα: «Τοποθετούμε 0 αγόρια και 0 κορίτσια σε 0 διθέσια θρανία, ένα αγόρι με ένα κορίτσι. Με πόσους τρόπους;» Η τοποθέτηση 0 αγοριών σε 0 θρανία γίνεται κατά 0! ( n, μονοθέσια δοχεία, διακριτά αντικείμενα). Όμοια τα κορίτσια τοποθετούνται κατά 0! τρόπους. πό τον κανόνα του γινομένου έχουμε (0!) 2 τοποθετήσεις. Σε κάθε θρανίο μπορούμε να βάλουμε το εκάστοτε κορίτσι κατά 2 τρόπους, είτε στη δεξιά είτε στην αριστερή θέση (και το αντίστοιχο αγόρι στη θέση που έμεινε). πό τον κανόνα του γινομένου έχουμε 2 0 παραλλαγές που αντιστοιχούν σε κάθε μία τοποθέτηση από 2 παιδιών στα 0 θρανία, και άρα, αθροιστικά, έχουμε 2 0 (0!) 2 τρόπους συνολικά. «Θέλουμε να μοιράσουμε 5 σοκολάτες σε 6 παιδιά, από μία τουλάχιστον στο καθένα. Με πόσους τρόπους;» ίνουμε από μία σε κάθε παιδί. υτό μπορεί να γίνει με τρόπο αφού αυτές είναι όμοιες μεταξύ τους. Μοιράζοντας τις υπόλοιπες παράγουμε έναν επαναληπτικό σύνδυασμό, αντικειμένων προς n 6 δοχεία. Άρα: Ν C*(6, 9) ( 4 ) 9. (Προσέξτε ότι εδώ υποκρύπτεται και ο κανόνας του γινομένου, κατά τετριμμένο τρόπο, ως πολλαπλασιασμός με.). «Σε ένα δείπνο 50 προσκεκλημένοι θα καθίσουν σε 3 στρογγυλά τραπέζια των 0 ατόμων. Μέ πόσους τρόπους;» ρχικά εξετάζουμε με πόσους τρόπους 50 πρόσωπα χωρίζονται σε 3 ομάδες των 0. Ισοδυνάμως έχουμε τρείς 0 άδες από κάρτες με τον α/α του τραπεζιού, και δίνουμε από μία κάρτα σε κάθε πρόσωπο, υτό δεν είναι παρά ένας ομαδικός συνδυασμός, με τρείς ομάδες μεγέθους 0 εκάστη, άρα, οι τρόποι είναι 30! / (0! 0! 0!). Σε κάθε τραπέζι τα πρόσωπα καθίζονται κατά 0!/0 τρόπους, όπου το 0! έρχεται από τις μεταθέσεις τους, και η διαίρεση δια 0 αντιστοιχεί στο ότι τα τραπέζια είναι στρογγυλά και 0 θέσια. πό τον κανόνα του γινομένου θα αντιστοιχούν (0!/0) 3 παραλλαγές για κάθε μία διανομή των προσώπων στα 3 τραπέζια. Το σύνολο μας δίδει 30!/(0!) 3 (0!/0) 3 30!/(0) 3 τρόπους. ν η θέση, λ.χ., των τραπεζιών δεν μας ενδιαφέρει, αυτός ο αριθμός θα πρέπει να διαιρεθεί δια 3! 6, διότι 3 όμοια τραπέζια διαφοροποιούνται κατά όλες και μόνον τις 3! μεταθέσεις τους, (δηλαδή οι παραπάνω τρόποι καθίστανται ανά 6 άδες ισοδύναμοι). Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 2 / 3

13 n n n n «ια τους ( ) συνδυασμούς «από n» ισχύει πάντοτε ότι ( ) ( ) +( ).» n Χωρίζουμε τους ( ) συνδυασμούς σε δύο σύνολα: ένα ο, όσων συνδυασμών δεν περιέχουν το n στό στοιχείο, και ένα 2 ο, όσων συνδυασμών περιέχουν το n στό στοιχείο. Το ο n σύνολο αποτελείται από τους ( ) συνδυασμούς «στοιχείων από (n )», (αφού το n στό στοιχείο δεν περιέχεται σε κανέναν από αυτούς αυτούς). Το 2 ο σύνολο, (αν από κάθε συνδυασμό με στοιχεία αφαιρέσουμε το n στό), έρχεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τους n ( ) συνδυασμούς ( ) στοιχείων από (n ). Τα δύο σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους, διότι οποιασδήποτε συνδυασμός στο ο δεν περιέχει το n στό στοιχείο, ενώ οποιοσδήποτε στο 2 ο το περιέχει. πό τον κανόνα του n αθροίσματος έχουμε ( ) μέγεθος ου + μέγεθος 2 ου n n ( ) + ( ). «Με ποιά πιθανότητα μπορούμε να επιλέξουμε (τυχαία) 5 άνδρες και 6 γυναίκες από 50 άνδρες και 60 γυναίκες;» 0 Όλες οι επιλογές είναι ένας συνδυασμός προσώπων από n πρόσωπα, δηλ. ( ). Παρόμοια, οι δυνατές επιλογές 5 ανδρών και 6 γυναικών είναι αντιστοίχως ( 50 ) 60 5 και ( 6 ). πό τον κανόνα του γινομένου μπορούμε να διαλέξουμε 5 άνδρες και 6 γυναίκες κατά ( 5 ) ( 6 ) τρόπους. H πιθανότητα p μιας τυχαίας όπως ζητείται επιλογής είναι λοιπόν, ( 5 )( 6 ) 0 ( ) 06,073,304,03,600 p ,342,5,27,00 /4 Όπως βλέπετε εδώ αν δεν το έχετε ήδη διαπιστώσει οι συνδυασμοί μας δίνουν πολύ γρήγορα τεράστιους αριθμούς, συχνά με δεκάδες ψηφία. Η θεωρία έχει προφανώς ανάγκη οσησδήποτε μεγάλης ακρίβειας, αλλά όσον αφορά στη πράξη, ίσως κάποιοι να απορούν γιατί θα πρέπει να μας ενδιαφέρει ο ακριβής υπολογισμός τέτοιων αριθμών, αφού κανένα φυσικό μέγεθος δεν περιγράφεται με δεκάδες ψηφία ούτε τόσο τεράστια φυσικά πλήθη εμφανίζονται, ούτε τα φυσικά μεγέθη είναι μετρήσιμα με ακρίβεια τόσων πολλών δεκαδικών ψηφίων. Μία από τις απαντήσεις είναι το παραπάνω πρόβλημα: οι εφαρμογές (και η θεωρία) από ένα σημείο και μετά απαιτούν πιθανοκρατικές εκτιμήσεις, και αυτές εμπλέκουν τα πηλίκα (ίσως τεράστιων) αριθμών, οι αριθμητές και παρονομαστές των οποίων πρέπει, για λόγους ορθότητας, να υπολογιστούν με ακρίβεια. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. Π. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος Κ. 2/0/205 ΣΛ. 3 / 3