ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο - Εισαγγή. Κεφάλαιο - Διακριτά σήματα και συστήματα.. Διακριτά σήματα.... Θεμελιώδη διακριτά σήμα.... Διάρκεια διακριτού σήματος... Περιοδικότητα διακριτού σήματος..4. Συμμετρικά σήματα..5. Αντιστροφή, ολίσθηση και κλιμάκση σήματος..6. Πράξεις διακριτών σημάτν..7. Ανάλυση διακριτού σήματος σε διακριτές κρουστικές ώσεις.. Διακριτά συστήματα... Διασύνδεση συστημάτν... Μνήμη διακριτού συστήματος... Αμεταβλητότητα κατά τη μετατόιση..4. Γραμμικότητα..5. Αιτιότητα..6. Ευστάθεια φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου..7. Αντιστρέψιμα συστήματα..8. Αόκριση συστήματος σε κρουστική διέγερση, το συνελικτικό άθροισμα..9. Ιδιότητες της συνέλιξης διακριτών σημάτν... Τρόοι υολογισμού της συνέλιξης διακριτών σημάτν. Κεφάλαιο Περί μετασχηματισμών σημάτν διακριτού χρόνου.. Εισαγγή. Ερμηνεία μετασχηματισμών με διανυσματική ανάλυση. Ερμηνεία μετασχηματισμών με γραμμική άλγεβρα.4 Ο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT: Discrt Cosi Trsform.4. Ο δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform.5 Ερμηνεία και υολογισμοί μετασχηματισμών μιγαδικών σημάτν διακριτού χρόνου. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

3 4. Κεφάλαιο 4 Ο μετασχηματισμός Fourir 4. Εισαγγή 4. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir -σημείν 4. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου. 4.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου 4.4 Σχέση της συνέλιξης με το μετασχηματισμό και τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir. 5. Κεφάλαιο 5 - Ανάλυση σημάτν και συστημάτν με τον μετασχηματισμό Fourir 5. Εισαγγή. 5. Αόκριση συχνότητας. 5.. Φίλτρα ειλογής συχνοτήτν 5. Ανάλυση της δειγματοληψίας. 6. Κεφάλαιο 6 Ο μετασχηματισμός Ζ 6. Εισαγγή 6. Ορισμός του μετασχηματισμού Ζ 6.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ 6.. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ, ανάλυση σε μερικά κλάσματα 6. Ο Μονόλευρος μετασχηματισμό Ζ 7. Κεφάλαιο 7 - Ανάλυση συστημάτν με τον μετασχηματισμό Z 7. Εισαγγή. 7. Συνάρτηση μεταφοράς. 7. Έλεγχος ευστάθειας και αιτιότητας LTI συστήματος 7.4 Εκτίμηση του λάτους και της φάσης της αόκρισης συχνότητας 8. Κεφάλαιο 8 Υλοοίηση συστημάτν διακριτού χρόνου 8. Εισαγγή. 8. Ψηφιακά δικτυώματα 8. Περιγραφή συστημάτν FIR 8.4 Περιγραφή συστημάτν IIR Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγγή Η εεξεργασία ψηφιακού σήματος είναι ένας τομέας της ειστήμης και της εφαρμοσμένης μηχανικής ου έχει ανατυχθεί γρήγορα κατά τη διάρκεια τν ροηγούμενν ετών. Αυτή η γρήγορη ανάτυξη είναι αοτέλεσμα τν σημαντικών λεονεκτημάτν της τεχνολογίας τν ψηφιακών υολογιστών και της βιομηχανίας τν ολοκληρμένν κυκλμάτν. Οι ψηφιακοί υολογιστές και τα ψηφιακά κυκλώματα ριν τρεις δεκαετίες ήταν σχετικά ογκώδη και ακριβά και κατά συνέεια η χρήση τους εριορίστηκε σε ειστημονικούς υολογισμούς και εφαρμογές γενικής χρήσης, χρίς ααιτήσεις εκτέλεσης σε ραγματικό χρόνο. Η γρήγορη ανάτυξη στην τεχνολογία ολοκληρμένν κυκλμάτν ου άρχισε αό την μέση κλίμακα ολοκλήρσης Mdium Scl Itgrtio και εξελίχθηκε στην μεγάλη Lrg Scl Itgrtio, και τώρα την ολύ μεγάλη κλίμακα ολοκλήρσης Vr Lrg Scl Itgrtio τν ηλεκτρονικών κυκλμάτν έχει οδηγήσει στην ανάτυξη ιο ισχυρών, μικρότερν, γρηγορότερν και φτηνότερν ψηφιακών υολογιστών και ειδικευμένου ψηφιακού εξολισμού. Αυτά τα φθηνά και σχετικά γρήγορα ψηφιακά κυκλώματα κατέστησαν δυνατόν να κατασκευαστούν ιδιαίτερα ερίλοκα ψηφιακά συστήματα ικανά να εκτελέσουν σύνθετες λειτουργίες εεξεργασίας ψηφιακού σήματος ου είναι συνήθς δύσκολο ή/και άρα ολύ ακριβό να εκτελεστούν για αναλογικά σήματα με συστήματα αναλογικών κυκλμάτν. Ως εκ τούτου ολλοί αό τους στόχους εεξεργασίας σήματος ου εκτελέστηκαν συμβατικά με τα αναλογικά μέσα ραγματοοιούνται σήμερα αό λιγότερο ακριβό και συχνά ιο αξιόιστο ψηφιακό υλικό. Αυτό δεν σημαίνει ότι η εεξεργασία ψηφιακού σήματος είναι η κατάλληλη λύση για όλα τα ροβλήματα εεξεργασίας σήματος. Για σήματα με εξαιρετικά μεγάλο εύρος ζώνης όου ααιτείται η εεξεργασία σε ραγματικό χρόνο, η αναλογική εεξεργασία ή η εεξεργασία οτικού σήματος είναι ίσς η μόνη ιθανή Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil:

5 λύση. Εντούτοις, όου τα ψηφιακά κυκλώματα είναι διαθέσιμα και ροσφέρουν ικανοοιητική ταχύτητα ροτιμώνται διότι είναι φτηνότερα και τα συστήματα ιο αξιόιστα και αραμετροοιήσιμα. Ειδικότερα, το υλικό ψηφιακής εεξεργασίας ειτρέει την ενσμάτση λογισμικού ου μορεί να τροοοιήσει ευκολότερα τις λειτουργίες εεξεργασίας σήματος ου εκτελούνται. Κατά συνέεια το ψηφιακό υλικό και το σχετικό λογισμικό αρέχουν έναν μεγαλύτερο βαθμό ευελιξίας στο σχεδιασμό τν συστημάτν. Είσης ειτυγχάνεται συχνά ακρίβεια μεγαλύτερης τάξης με το ψηφιακό υλικό και το λογισμικό έναντι τν αναλογικών κυκλμάτν και τν συστημάτν εεξεργασίας αναλογικού σήματος. Για όλους αυτούς τους λόγους, υήρξε μια εκρηκτική αύξηση της θερίας εεξεργασίας ψηφιακού σήματος και τν εφαρμογών της κατά τη διάρκεια τν τελευταίν δεκαετιών. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 4

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διακριτά σήματα και συστήματα. Διακριτά σήματα Διακριτό σήμα ή σήμα διακριτού χρόνου ονομάζουμε μία ακολουθία ραγματικών ή μιγαδικών τιμών, Z και C. Το διακριτό σήμα είναι δηλαδή μία συνάρτηση της οοίας η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ακέραιος αριθμός. Στην Ψηφιακή Εεξεργασία Σημάτν ΨΕΣ η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται και «χρόνος» αν και μορεί να αριστάνει συντεταγμένες χώρου, αύξοντες αριθμούς κ.α.. Ένα διακριτό σήμα δεν ορίζεται για τιμές του ου δεν είναι ακέραιες. H γραφική αράσταση ενός διακριτού σήματος έχει την μορφή ου δείχνεται στο Σχ... Σχήμα.. Τα διακριτά σήματα ροέρχονται αό α μεγέθη ου αό τη φύση τους είναι αριθμήσιμα,.χ. έσοδα ανά ημέρα, κίνηση ανά ώρα, β μεγέθη ου μεταβάλλονται σε σχέση με μία συνεχή μεταβλητή συνεχή σήματα ύστερα αό μία διαδικασία δειγματοληψίας. Ο ιο συνήθης τρόος μετατροής ενός αναλογικού σήματος σε διακριτό είναι η εριοδική ή ομοιόμορφη δειγματοληψία. Λαμβάνονται δείγματα του σήματος σε διαδοχικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Αν η αόσταση δύο Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

7 διαδοχικών τιμών είναι σταθερή ίση με Τ s και t είναι η συνάρτηση της συνεχούς μεταβλητής t, το διακριτό σήμα ροκύτει αό τη σχέση α T.. s Η οσότητα f s λέγεται ρυθμός δειγματοληψίας. Η ειλογή κατάλληλης τιμής του T s ρυθμού δειγματοληψίας θα εξετασθεί αργότερα στο σχετικό κεφάλαιο. Αν ένα συνεχές ή διακριτό σήμα αίρνει τιμές αό ένα εερασμένου λήθους σύνολο τιμών, τότε λέγεται σήμα διακριτών τιμών. Μ άλλα λόγια το εδίο τιμών του σήματος είναι ένα σύνολο εερασμένου λήθους στοιχείν. Ένα διακριτό σήμα διακριτών τιμών λέγεται ψηφιακό. Ένα ψηφιακό σήμα εερασμένου μήκους μορεί να αοθηκευτεί στη μνήμη ενός ψηφιακού υολογιστή με ακρίβεια όση η μικρότερη αόσταση ου υάρχει μεταξύ τν τιμών του. Η ψηφιοοίηση μη ψηφιακών σημάτν ααιτεί την δειγματοληψία του εδίου ορισμού τους και τον κβαντισμό του εδίου τιμών τους ός θα δούμε σε εόμενο κεφάλαιο.... Θεμελιώδη διακριτά σήματα Ακολούθς θα αναφέρουμε μερικά διακριτά σήματα ου χρησιμοοιούνται ευρές στην ψηφιακή εεξεργασία σημάτν. Τέτοια σήματα είναι η διακριτή κρουστική ώση, η μοναδιαία βηματική ακολουθία, η εκθετική ακολουθία, η μιγαδική ακολουθία, η μοναδιαία γραμμική ακολουθία. Η διακριτή συνάρτηση δέλτα ή διακριτή κρουστική ώση συμβολίζεται δ και ορίζεται αό τη σχέση για δ... για Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο Σχ... Σχήμα... Η διακριτή κρουστική ώση δ. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6

8 Η μοναδιαίαβηματική ακολουθία συμβολίζεται u και ορίζεται αό τη σχέση για u... για < Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο Σχ... Σχήμα... Η μοναδιαία βηματική ακολουθία u. Η εκθετική ακολουθία ορίζεται αό τη σχέση, C... Η γραφική της αράσταση για διαφορετικές τιμές του α, φαίνεται στο Σχ... α Η εκθετική ακολουθία για α.8. β Η εκθετική ακολουθία για α.. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 7

9 Σχήμα... γ Η εκθετική ακολουθία για α-.. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αρουσιάζει η εκθετική ακολουθία όταν, R. Τότε ονομάζεται μιγαδική εκθετική ακολουθία και βάσει της ταυτότητας του Eulr ισχύει η σχέση cos si...4 Η μιγαδικές εκθετικές ακολουθίες είναι η βάση της ανάλυσης Fourir ου θα αρουσιάσουμε σε ακόλουθο κεφάλαιο.... Διάρκεια διακριτού σήματος.. Ένα διακριτό σήμα λέγεται εερασμένου μήκους αν οι τιμές του μηδενίζονται για κάθε τιμή του ου δεν ανήκει σε ένα εερασμένο διάστημα [L,R], αν δηλαδή ικανοοιείται η σχέση, [ L, R], L, R Z... Στις λείστες τν εριτώσεν L, R έχουν μη μηδενικές τιμές. Η έκταση του διαστήματος [L,R] λέγεται μήκος του σήματος και είναι ΝR-L... Σήματα ου δεν είναι εερασμένου μήκους ονομάζονται αείρου μήκους. Ένα διακριτό σήμα αείρου μήκους λέγεται σήμα δεξιάς λευράς αν ικανοοιεί τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 8

10 , < L... και αριστερής λευράς αν, > R...4 Τέλος, αν ένα διακριτό σήμα αείρου μήκους δεν είναι δεξιάς ή αριστερής λευράς λέγεται αμφίλευρο. Τα σήματα εερασμένου μήκους και τα σήματα δεξιάς ή αριστερής λευράς μορούν να εριγραφούν αλγεβρικά με κατάλληλη χρήση διακριτών μοναδιαίν βηματικών ακολουθιών. Αν σήμα αείρου μήκους τότε μορεί να ορισθεί το εερασμένου μήκος σήμα στο διάστημα [L,R] ς εξής [ u L u R ]...5 ή [ u L u R ]...6 Το σήμα u...7 είναι δεξιάς λευράς με, <... Περιοδικότητα διακριτού σήματος Ένα σήμα λέγεται εριοδικό αν υάρχει θετικός ακέραιος Ν ώστε... Ο ακέραιος Ν λέγεται ερίοδος του σήματος. Είναι ροφανές ότι αν Ν η ερίοδος του σήματος, τότε οι τιμές Ν, Ν και κάθε θετικό ακέραιο ολλαλάσιο του Ν είναι ερίοδοι του σήματος. Η μικρότερη τιμή της εριόδου ονομάζεται ρτεύουσα ερίοδος. Αν δεν υάρχει θετικός ακέραιος Ν ώστε να ισχύει η σχέση..., το σήμα λέγεται μη εριοδικό. Παράδειγμα εριοδικού διακριτού σήματος είναι το σήμα cos με ερίοδο Ν Παράδειγμα μη εριοδικού σήματος είναι το u Συμμετρικά σήματα Ένα ραγματικό διακριτό σήμα λέγεται άρτιο αν ισχύει η σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 9

11 , Z..4. Η γραφική αράσταση ενός άρτιου σήματος αρουσιάζει αξονική συμμετρία ς ρος τον κάθετο άξονα. Για αράδειγμα το σήμα είναι άρτιο με γραφική αράσταση ός φαίνεται στο Σχ Σχήμα Ένα ραγματικό διακριτό σήμα λέγεται εριττό αν ισχύει η σχέση, Z..4. Η γραφική αράσταση ενός εριττού σήματος αρουσιάζει κεντρική συμμετρία ς ρος την αρχή τν αξόνν. Για αράδειγμα το σήμα είναι εριττό με γραφική αράσταση ός φαίνεται στο Σχ Σχήμα..4.. Κάθε ραγματικό σήμα μορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός άρτιου και ενός εριττού σήματος. Πράγματι αν α άρτιο και εριττό σήμα θα ρέει να ισχύουν οι σχέσεις..4. α α α Αό την ρόσθεση τν..4. και..4.4 ροκύτει ότι..4.4 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil:

12 α..4.6 Αό την αφαίρεση τν..4. και..4.4 ροκύτει ότι..4.7 Ένα μιγαδικό διακριτό σήμα λέγεται συζυγές συμμετρικό αν ισχύει η σχέση, Z..4.8 Ένα μιγαδικό διακριτό σήμα λέγεται συζυγές αντισυμμετρικό αν ισχύει η σχέση, Z..4.9 Κάθε μιγαδικό σήμα μορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός συζυγούς συμμετρικού και ενός συζυγούς αντισυμμετρικού σήματος. Η αόδειξη αφήνεται ς άσκηση στον αναγνώστη...5. Αντιστροφή, ολίσθηση και κλιμάκση σήματος Εάν σε ένα σήμα εφαρμοσθεί ένας μετασχηματισμός στην ανεξάρτητη μεταβλητή, f : Z Z, ροκύτει το σήμα f. Αν f- τότε λέμε ότι το σήμα έχει υοστεί αντιστροφή και μετασχηματίζεται στο σήμα Η γραφική αράσταση του - είναι συμμετρική ς ρος τον κάθετο άξονα με αυτήν του Σχ Αν f-, τότε λέμε ότι το σήμα έχει υοστεί μετατόιση ή ολίσθηση κατά και μετασχηματίζεται στο σήμα Η γραφική αράσταση του - ροκύτει με μετατόιση της γραφικής αράστασης του κατά, στον οριζόντιο άξονα Σχ Γενικά, αν εφαρμοσθεί ολίσθηση ενός σήματος και ακολούθς αντιστροφή του, ροκύτει διαφορετικό αοτέλεσμα αό ότι θα ροέκυτε αό την εφαρμογή ρώτα αντιστροφής του και ακολούθς ολίσθησης. Αυτό φαίνεται αό ακόλουθες σχέσεις z z..5. z z..5.4 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

13 Το αοτέλεσμα θα ήταν ίδιο αν η ολίσθηση σε μία αό τις δύο διαδικασίες γίνει κατά. Σχήμα..5. Σχήμα..5.. Τελικά με τις ράξεις τις ολίσθησης και της αντιστροφής αό το αρχικό σήμα ροκύτουν τα σήματα -,, -, --. Στο Σχ...5. δείχνεται ένα αράδειγμα τν γραφικών αραστάσεν τν σημάτν αυτών σε σχέση με την γραφική αράσταση του. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil:

14 Κλιμάκση υφίσταται ένα σήμα αν fμ ή f/μ, όου Μ ακέραιος. Στην ρώτη ερίτση το διακριτό σήμα λέμε ότι υέστη υοδειγματοληψία και στη δεύτερη υερδειγματοληψία. Κατά την υοδειγματοληψία ροκύτει το σήμα M..5.5 και κατά την υερδειγματοληψία το σήμα /Μ αν / M Z..5.6 Για τις μη ακέραιες τιμές του ηλίκου /M το σήμα /M δεν ορίζεται. Στο Σχ δείχνεται η γραφική αράσταση υοδειγματοληψίας ενός σήματος. Σχήμα..5. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

15 Σχήμα Πράξεις διακριτών σημάτν. Μεταξύ τν ακολουθιών δύο διακριτών σημάτν μορούν να εκτελεστούν οι βασικές ράξεις μεταξύ τν τιμών τους ου αντιστοιχούν στην ίδια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής και να ροκύψει μία νέα ακολουθία ου λέμε ότι είναι το αοτέλεσμα της ράξης μεταξύ τν δύο αρχικών ακολουθιών. Έτσι ορίζονται οι ράξεις ου φαίνονται στον ακόλουθο ίνακα Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαλασιασμός Διαίρεση - * /, C Πίνακας Ανάλυση διακριτού σήματος σε διακριτές κρουστικές ώσεις Η διακριτή ώση δ μορεί να χρησιμοοιηθεί για την εριγραφή ενός διακριτού σήματος σύμφνα με τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

16 δ - - L δ δ δ δ - δ - L..7. Αό την αραάν σχέση μορούμε να εράσουμε σε διανυσματική ερμηνεία τν διακριτών σημάτν και της κρουστικής ώσης. Ας θερήσουμε το εερασμένου μήκους σήμα με μήκος Ν,,, L, R και την διανυσματική εριγραφή του με τον ίνακα στήλης [,, ] T...7. Σύμφνα με την σχέση..7. δ - δ δ - δ Για,, οι δ, δ-, δ- εριγράφονται διανυσματικά αό τους ίνακες στήλης ς εξής: δ, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ, δ -, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ,..7.4 δ -, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ Αό τις..7. και..7.4 οδηγούμαστε στην γραφή τν ακόλουθν σχέσεν δ δ δ..7.5 [ δ δ δ ] Ι..7.6 Διαιστώνουμε ότι υάρχει ομοιότητα τν σχέσεν..7. και Θερώντας τα δ, δ, δ ς τα μοναδιαία διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

17 χώρο Ε, το εερασμένο διακριτό σήμα με μήκος Ν ανααρίσταται αό το διάνυσμα ός φαίνεται στο Σχ Σχήμα..7.. Οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι οι ροβολές του στα μοναδιαία διανύσματα δ, δ, δ και δίνονται αό τις σχέσεις του εστερικού του γινομένου με αυτά ς ακολούθς δ [ ] δ..7.7 Τ [ ] δ Τ δ [ ] δ Τ δ και γενικά για,, δ Τ δ - δ δ - δ Προέκυψε δηλαδή η σχέση..7. ου είναι η ίδια με την..7.. Στο αράδειγμα αυτό το μήκος του διακριτού σήματος είναι Ν και με αριστερό δείκτη L και δεξιό R. Αν ο L άρει οσοδήοτε μικρή τιμή και R οσοδήοτε μεγάλη μορούμε ούμε ότι κάθε διακριτό σήμα είναι διάνυσμα σε ένα χώρο με Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6

18 οσοδήοτε μεγάλο λήθος διαστάσεν άειρο λήθος διαστάσεν και συντεταγμένες ροβολές στα μοναδιαία διανύσματα δ- τις τιμές ός φαίνεται και αό την..7.. Ας σημειθεί ακόμη ότι T αν m δm - δ - δ m δ.7.. αν m δηλαδή οι κρουστικές διακριτές ώσεις ς διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους με μέτρο μονάδα. Αοτελούν δηλαδή μία ορθοκανονική βάση. Σε εόμενο κεφάλαιο θα αναφέρουμε και άλλες ορθοκανονικές και ορθομοναδιαίες βάσεις και θα δούμε την ανάλυση τν διακριτών σημάτν σε αυτές. Η ανάλυση αυτή αφορά διάφορους μετασχηματισμούς ός ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir, ο μετασχηματισμός του συνημιτόνου κ.α... Διακριτά συστήματα Σε ολλές εφαρμογές αό ένα διακριτό σήμα ροκύτει ένα διακριτό σήμα σύμφνα με κάοιο αλγόριθμο σαφές και εερασμένο σύνολο ράξεν ή εντολών. Στη ερίτση αυτή ο αλγόριθμος ονομάζεται διακριτό σύστημα. Το σήμα λέγεται σήμα εισόδου iput sigl ή σήμα διέγερσης cittio sigl του συστήματος και το σύστημα σήμα εξόδου output sigl ή σήμα αόκρισης rspos sigl του συστήματος. Λέμε ακόμη ότι το σήμα μετασχηματίζεται στο σήμα και ονομάζουμε το σύστημα μετασχηματισμό trsformtio του στο. Η γενική μαθηματική έκφραση για ένα σύστημα είναι T[].. όου το σύμβολο Τ συμβολίζει το μετασχηματισμό και συχνά ονομάζεται τελεστής oprtor. Το σύστημα λειτουργεί ς μία αεικόνιση τν τιμών του σήματος εισόδου στις τιμές του σήματος εξόδου. Η εριγραφή της αεικόνισης μορεί να γίνει ανάλογα με τη φύση της, με χρήση αλγεβρικών αραστάσεν, ινάκν αντιστοίχησης loo up tbls ή εντολών. Ακολούθς αναφέρονται αραδείγματα συστημάτν με διαφορετικό τρόο ορισμού. Α αλγεβρικά: [ ] si Β Με ίνακα αντιστοίχησης Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 7

19 Αλλιώς Γ Για με μήκος Ν, το αοτελείται αό τις τιμές του ταξινομημένες σε φθίνουσα σειρά. αλγόριθμος φθίνουσας ταξινόμησης. Ένα σύστημα διαγραμματικά αριστάνεται ς ακολούθς Τ[] ή T... Διασύνδεση συστημάτν Όταν η έξοδος ενός συστήματος αοτελεί είσοδο ενός άλλου το λέμε ότι τα δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα σε σειρά.σχ... Τ [] Τ [] z Σχήμα... Όταν οι έξοδοι δύο συστημάτν αθροιστούν τότε λέμε ότι έχουν συνδεθεί αράλληλα Σχ... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 8

20 Τ [] Τ [] Σχήμα Μνήμη διακριτού συστήματος Σύστημα χρίς μνήμη λέγεται το σύστημα ου για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, η έξοδός του εξαρτάται μόνο αό την αντίστοιχη τιμή της εισόδου και όχι αό ροηγούμενες ή εόμενες τιμές της. Σε διαφορετική ερίτση το σύστημα λέγεται σύστημα με μνήμη. Για αράδειγμα το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση... είναι σύστημα χρίς μνήμη. Αντίθετα τα συστήματα ου δίνονται αό τις σχέσεις... και... είναι συστήματα με μνήμη. Το σύστημα ου εριγράφεται αό τη σχέση... λέμε ότι ααιτεί εερασμένη μνήμη. Αντίθετα το σύστημα ου εριγράφεται αό τη σχέση... λέμε ότι ααιτεί αεριόριστη μνήμη.... Αμεταβλητότητα κατά τη μετατόιση Αμετάβλητο κατά τη μετατόιση σύστημα ΑΚΜ, TI: Tim Ivrit, SI: Shift ivrit λέγεται ένα σύστημα του οοίου η έξοδος εξαρτάται μόνο αό το σήμα εισόδου και όχι αό την χρονική στιγμή ου αυτό εισήλθε στο σύστημα. Δηλαδή, αν η είσοδος καθυστερήσει κατά, τότε η έξοδος θα είναι η καθυστερημένη κατά. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ς ακολούθς. Έστ ότι το σύστημα δίνεται αό τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 9

21 T[ ]... η ολισθημένη είσοδος είναι... και η αντίστοιχη έξοδος T[ ] T[ ]... Το σύστημα Τ[.] είναι χρονικά αμετάβλητο κατά τη μετατόιση αν...4 Δηλαδή το σύστημα Τ[.] είναι χρονικά αμετάβλητο κατά τη μετατόιση αν ισχύει η σχέση: T[ ]...5 Η ροηγούμενη σχέση...5 ίσς δημιουργεί στον αναγνώστη την αίσθηση ότι ρέει να αληθεύει άντοτε αφού ροκύτει αό την..., αν θέσει όου την οσότητα -. Αυτό θα ήταν αληθές αν ο τελεστής Τ εριέγραφε μία συνάρτηση με μοναδική ανεξάρτητη μεταβλητή την. Αυτό όμς δεν συμβαίνει στη γενική ερίτση. Ας δούμε αραδείγματα χρονικά αμετάβλητν ή μεταβαλλόμενν κατά τη μετατόιση συστημάτν. Παράδειγμα Π... Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση K...6 και εριγράφει έναν ενισχυτή λάτους με κέρδος Κ ου μένει σταθερό κατά τη διάρκεια λειτουργίας του. Για την μετατοισμένη είσοδο...7 η αντίστοιχη έξοδος είναι K K...8 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση K...9 Αό τις...8 και...9 ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Παράδειγμα Π... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

22 Έστ ότι στον ενισχυτή του ροηγούμενου αραδείγματος το κέρδος Κ μεταβάλλεται λόγ δυσλειτουργίας υερθέρμανση σύμφνα με τη σχέση K. 9. Το σύστημα θα δίνεται αό τη σχέση.9... Για την μετατοισμένη είσοδο... η αντίστοιχη έξοδος είναι.9.9 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση Αό τις... και... ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Παράδειγμα Π... Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση...4 Για την μετατοισμένη είσοδο...5 η αντίστοιχη έξοδος είναι...6 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση...7 Αό τις...6 και...7 ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο...4. Γραμμικότητα Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό Lir αν για αυτό ισχύουν οι ιδιότητες της ομογένειας και της εαλληλίας. Η αρχή της ομογένειας ισχύει για ένα διακριτό σύστημα όταν ισχύει η ακόλουθη σχέση T[ c ] c T[ ]..4. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

23 όου c είναι γενικά μιγαδική σταθερά Η αρχή της εαλληλίας ισχύει για ένα σύστημα όταν ισχύει η σχέση T ] T[ ] T[ ]..4. [ Η γραμμικότητα ενός συστήματος μορεί να εριγραφεί με μία μαθηματική σχέση ς ακολούθς T [ c c ] c T[ ] c T[ ]..4. Παράδειγμα Π...4. Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση [ ]..4.4 T [ c ] [ c c ]..4.5 c T[ ] c [ ] [ c c ]..4.6 Αό τις..4.5 και..4.6 έεται ότι το σύστημα έχει την ιδιότητα της ομογένειας. T [ ] [ ]..4.7 T [ ] T[ ] [ ] [ ] [ ]..4.8 Αό τις..4.7 και..4.8 έεται ότι το σύστημα έχει την ιδιότητα της εαλληλίας. Δεδομένου ότι ισχύουν η ομογένεια και η εαλληλία το σύστημα είναι γραμμικό. Παράδειγμα Π...4. Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση..4.9 T [ c ] c..4. c T[ ] c [ ] c c..4. Αό τις..4. και..4. έεται ότι το σύστημα δεν έχει την ιδιότητα της ομογένειας. T ]..4. [ Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

24 T ] T[ ]..4. [ Αό τις..4. και..4. έεται ότι το σύστημα δεν έχει την ιδιότητα της εαλληλίας. Δεδομένου ότι δεν ισχύουν η ομογένεια και η εαλληλία το σύστημα δεν είναι γραμμικό. Εύκολα μορεί να δειχθεί ότι ένα σύστημα της μορφής K..4. όου α σταθερός όρος είναι γραμμικό και αμετάβλητο κατά την μετατόιση ΓΑΚΜ, LTI: Lir Tim Ivrit. Για αράδειγμα το σύστημα είναι LTI. Γραμμικό και αμετάβλητο κατά την μετατόιση μορεί να είναι είσης ένα σύστημα ου εριγράφεται αό μια εξίσση διαφορών της μορφής Λ λ K β λ..4.4 λ Για αράδειγμα ένα σύστημα ου ικανοοιεί την σχέση.5 μορεί να είναι LTI. Εάν στο αριστερό μέρος της..4.4 κρατήσουμε μόνο τον όρο η ακόλουθη σχέση μορεί να εριγράφει ένα σύστημα LTI K Λ β λ β λ λ, β λ..4.5 β λ Το σύστημα.5 μορεί να είναι LTI. Οι σχέσεις..4.4 και αοτελούν έναν αναδρομικό τρόο εριγραφής τν συστημάτν...5 Αιτιότητα Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό cusl αν η τιμή της εξόδου εξαρτάται ενδεχομένς αό την τιμή του σήματος εισόδου και ροηγούμενές της τιμές, φυσικός αριθμός. Διαφορετικά το σύστημα λέγεται μη αιτιατό ή αντιαιτιατό. Για αράδειγμα το σύστημα [ ] είναι αιτιατό. Αντίθετα το σύστημα [ ] είναι μη αιτιατό. Τα αιτιατά συστήματα καλούνται ροβλέψιμα. Όταν η μεταβλητή αφορά τον ραγματικό χρόνο rl tim το Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

25 σύστημα είναι μόνο αιτιατό αφού οι τιμές της εισόδου μετά τη τρέχουσα χρονική στιγμή είναι άγνστες. Εάν όμς η μεταβλητή αφορά τον χώρο θέσεις μνήμης, αύξοντες αριθμούς κ.λ.. είναι δυνατό το σύστημα να είναι αιτιατό ή αντιαιτιατό. Ένα σύστημα εεξεργασίας ηχοσήματος σε ραγματικό χρόνο είναι μόνο αιτιατό. Ένα σύστημα ου αοθηκεύει τις τιμές ενός ηχοσήματος και ακολούθς τις εεξεργάζεται μορεί να είναι αιτιατό ή μη αιτιατό...6. Ευστάθεια φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου Ένα σύστημα λέγεται ότι είναι ευσταθές υό την έννοια της φραγμένης εισόδουφραγμένης εξόδου, αν για οοιαδήοτε αολύτς φραγμένο σήμα εισόδου το σήμα εξόδου είναι και αυτό αολύτς φραγμένο. Δηλαδή για οοιοδήοτε A R : A, Z B R : T[ ] B, Z..6. το σύστημα Τ[.] είναι ευσταθές φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου...7. Αντιστρέψιμα συστήματα Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο αν μορεί να ροσδιοριστεί μοναδικά το σήμα εισόδου αό το σήμα εξόδου. Για να συμβαίνει αυτό θα ρέει να ισχύει η συνθήκη Αόκριση συστήματος σε κρουστική διέγερση, το συνελικτικό άθροισμα Την έξοδο ενός συστήματος όταν είσοδος του είναι η διακριτή κρουστική ώση αοκαλούμε αόκριση σε κρουστική διέγερση και την συμβολίζουμε ς h h T[ δ ]..8. Έστ το γραμμικό ανεξάρτητο κατά την μετατόιση Lir Sift Ivrit: LSI ή αλλιώς Lir Tim Ivrit: LTI σύστημα T. Σύμφνα με τη σχέση..7. η έξοδος του συστήματος θα είναι - T[ ] T[ δ - ]..8. Εειδή το σύστημα είναι γραμμικό ισχύει η αρχή της εαλληλίας και της ομογένειας και ς εκ τούτου Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

26 - T[ δ - ] T[ δ - ] T[δ - ] h..8.5 Αν το σύστημα είναι ανεξάρτητο κατά την μετατόιση τότε h h..8.6 Αό τις σχέσεις..8.5 και..8.6 συνεάγεται ότι η έξοδος ενός γραμμικού ανεξάρτητο κατά τη μετατόιση συστήματος σε οοιαδήοτε είσοδο, δίνεται αό τη σχέση h..8.7 Η σχέση..8.7 λέγεται και συνελικτικό άθροισμα τν ακολουθιών, και h Γενικά, για δύο ακολουθίες, και το συνελικτικό άθροισμα τους συμβολίζεται ή { } και δίνεται αό τη σχέση { }..8.8 Συχνά χρησιμοοιείται η ονομασία συνέλιξη τν διακριτών σημάτν εννοώντας το συνελικτικό άθροισμα. Αό τη σχέση..8.7 συμεραίνουμε ότι αν γνρίζουμε την αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός συστήματος LTI, μορούμε να υολογίσουμε την έξοδό του σε οοιαδήοτε είσοδο αό τη σχέση * h Για το λόγο αυτό λέμε ότι η αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός συστήματος LTI το ροσδιορίζει λήρς. Αό την αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός LTI συστήματος ελέγχεται η αιτιότητα και η ευστάθειά του. Συγκεκριμένα αφού σε ένα αιτιατό σύστημα η έξοδος δεν εξαρτάται αό τιμές τις εισόδου ου ακολουθούν την τιμή τότε η αόκρισή του σε κρουστική διέγερση είναι ένα σήμα δεξιάς λευράς διότι δεν εξαρτάται αό τιμές δ, >. Ένα σύστημα LTI με αόκριση σε κρουστική διέγερση h είναι ευσταθές ΒΙΒΟ αν ισχύει η συνθήκη h R.8.8. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

27 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 6 Αόδειξη Για κάθε φραγμένο σήμα εισόδου ισχύει ότι Z A R A, :. Αν h η αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός LTI συστήματος για την έξοδό του θα ισχύει ότι h A A h h h h.8.8. Άρα για να είναι BIBO ευσταθές το σύστημα ρέει και αρκεί να ισχύει η ιδιότητες της συνέλιξης διακριτών σημάτν Η συνέλιξη δύο ακολουθιών είναι μια ράξη τελεστής μεταξύ δυο ακολουθιών. Είναι γραμμικός τελεστής και έχει την αντιμεταθετική, ροσαιτεριστική και ειμεριστική ς ρος την ρόσθεση ιδιότητα. Η αντιμεταθετική ιδιότητα..9. Αόδειξη, θέτοντας m-..9. m m m m m m..9. Η ροσεταιριστική ιδιότητα ] * [ ] [ z z..9.4 Η αόδειξη γίνεται με κατάλληλη αντικατάσταση τν δεικτών και αφήνεται ς άσκηση στον αναγνώστη. Αν δύο συστήματα LTI με αοκρίσεις κρουστικής διέγερσης h και h είναι συνδεδεμένα σε σειρά, η ροσεταιριστική ιδιότητα έχει σαν αοτέλεσμα τα δύο συστήματα να ισοδυναμούν με ένα σύστημα με κρουστική αόκριση h h * h Η ειμεριστική ιδιότητα ς ρος την ρόσθεση

28 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 7 ] ] [ z z..9.5 Η αόδειξη αφήνεται ς άσκηση στον αναγνώστη. Αν δύο συστήματα LTI με αοκρίσεις κρουστικής διέγερσης h και h είναι συνδεδεμένα αράλληλα, η ειμεριστική ιδιότητα έχει σαν αοτέλεσμα τα δύο συστήματα να ισοδυναμούν με ένα σύστημα με κρουστική αόκριση h h h.... Τρόοι υολογισμού της συνέλιξης διακριτών σημάτν Ο υολογισμός της συνέλιξης δύο ακολουθιών ου ορίζονται αλγεβρικά μορεί να γίνει με χρήση ταυτοτήτν ου αφορούν αθροίσματα όρν και όρια σύγκλισης ακολουθιών ός στα ακόλουθα αραδείγματα Να υολογισθεί η συνέλιξη u * u- u u u u u u... u u Να υολογισθεί η συνέλιξη ] [ u u, u u u u ] [... Αν και σήματα με εερασμένα μήκη Ν και Ν, στα διαστήματα [L, R ] και [L, R ] αντίστοιχα η συνέλιξη τους θα είναι με R L... και R L...4 L R...5 Αό τις σχέσεις... και...4 ροκύτει με ρόσθεση κατά μέλη ότι

29 και L L R R...6 m L, R mi R, L...7 Συνεώς το αοτέλεσμα της συνέλιξης τν δύο σημάτν θα είναι ένα σήμα με εερασμένο μήκος ΝΝ Ν - στο διάστημα [L L, R R ] και τιμές mi R, L m L. R...8 Για την εκτέλεση της συνέλιξης σημάτν εερασμένου μήκους ου εριγράφονται αό τις αριθμητικές τιμές τους, οργανώνουμε τους υολογισμούς γράφοντας αρχικά τα σήματα ός ααιτεί ο ορισμός του συνελικτικού αθροίσματος για κάθε τιμή του στο διάστημα [L L, R R ] και ακολούθς εκτελούμε τις ράξεις. Για αράδειγμα αν [ 4] με L και [ -] με L οι τιμές τν μεταβλητών, και τν σημάτν και - φαίνονται στoν Πιν..., του οοίου οι γραμμοσκιασμένες εριοχές εριέχουν τις τιμές εκτέλεσης ράξεν για τον υολογισμό της συνέλιξης. Η σκιασμένη εριοχή εριέχει τα γινόμενα με αράγοντες όλους τους συνδυασμούς ανά δύο, τν τιμών τν δύο σημάτν. Αό αυτές τις τιμές η διαδικασία της ολίσθησης καθορίζει οια γινόμενα θα χρησιμοοιηθούν στο υολογισμό του συνελικτικού αθροίσματος για κάθε τιμή της ακέραιας μεταβλητής Η διαδικασία μορεί να συμτυχθεί ός φαίνεται στον Πιν { * } Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 8

30 7 7- Πίνακας... Πίνακας... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 9

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Περί μετασχηματισμών σημάτν διακριτού χρόνου.. Εισαγγή Υάρχει ένα λήθος μετασχηματισμών ου χρησιμοοιούνται στην ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν. Οι ιο βασικοί είναι, ο μετασχηματισμός Fourir και ο μετασχηματισμός Ζ. Άλλοι μετασχηματισμοί είναι αυτοί του συνημιτόνου του ημιτόνου, ο Sort Τim Fourir Trsform και τν κυματιδίν wvlts. Οι μετασχηματισμοί Fourir, ημιτόνου και συνημιτόνου, είναι μετασχηματισμοί τν διακριτών σημάτν σε ορθοκανονικές και ορθομοναδιαίες βάσεις Υάρχει λούσια βιβλιογραφία για τον ορισμό τν μετασχηματισμών αυτών και την αυστηρή μαθηματική τους διερεύνηση. Εδώ θα εστιάσουμε στην ερμηνεία τους ώστε να βοηθηθεί ο αναγνώστης να αντιληφθεί γεμετρικά και αραστατικά την βασική ιδέα αό τις συνήθεις μαθηματικές εκφράσεις τους. Αυτό θα βοηθήσει σημαντικά στην δυνατότητά του να κατανοήσει την χρήση τν μετασχηματισμών αυτών σε διάφορα εδία σχεδιασμός φίλτρν, συμίεση καθώς και να ροχρήσει στην κατανόηση της φύσης ιο σύνθετν μετασχηματισμών ός τα κυματίδια. Ερμηνεία μετασχηματισμών με διανυσματική ανάλυση. Ας υοθέσουμε λοιόν για λόγους αλότητας και για να έχουμε τη δυνατότητα γεμετρικής ανααράστασης, το σήμα με εερασμένο μήκος Σχ... και ραγματικές τιμές [], []. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil:

32 Σφάλμα! u r r θ u r θ u r Σχήμα... Το άνυσμα r με συντεταγμένες, με [], [], γράφεται με την άλγεβρα τν ανυσμάτν σύμφνα με τον κανόνα του αραλληλογράμμου ς r r r.. u u όου u r και u r ανύσματα κάθετα μεταξύ τους με μήκος τη μονάδα και συντεταγμένες, και, αντίστοιχα στο ορθογώνιο σύστημα αξόνν ου ορίζουν. Εειδή τα u r και u r είναι κάθετα μεταξύ τους ο κανόνας του αραλληλογράμμου έχει ς αοτέλεσμα οι τιμές και να είναι οι ροβολές του r σ αυτά. Ακόμη, εειδή τα u r και u r έχουν μέτρο τη μονάδα, οι συντεταγμένες, δίνονται αό τις σχέσεις:.. r cosθ και r cosθ Υενθυμίζεται ότι για το εστερικό γινόμενο τν ανυσμάτν r, και r, ισχύει.. r r cos θ. Εειδή τα u r και u r έχουν μέτρο τη μονάδα μοναδιαία ανύσματα ισχύει:..4 r u r και r u r Ζεύγη κάθετν διανυσμάτν με μήκος μονάδα υάρχουν αείρου λήθους, για αράδειγμα τα: Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

33 , και,,, και,,,- με,. u r r c g r c g r g r u r g r u r u r Έστ g r g, g και g r g, g διανύσματα κάθετα μεταξύ τους με μήκος μονάδα έκαστο ός δείχνει το Σχ... Το άνυσμα r γράφεται σαν άθροισμα r r r..5 cg cg όου c και c οι ροβολές του r στα g r και g r. Εειδή τα g r και g r είναι κάθετα μεταξύ τους ο κανόνας του αραλληλογράμμου έχει ς αοτέλεσμα οι τιμές c, c να είναι οι ροβολές του r σ αυτά. Ακόμη, εειδή τα g r και g r έχουν μέτρο τη μονάδα, οι συντεταγμένες c, c δίνονται αό τις σχέσεις:..6 c r g r και c r g r r r r Αντικαθιστώντας το u uαό την.. στις..6 r r r r r r r..7 c u u g u g ug g g και αν χρησιμοοιήσουμε την γραφή [] και g g [], g g [] ου χρησιμοοιείται στα σήματα διακριτού χρόνου...8 c Όμοια έχουμε..9 c Σχήμα... []g [] []g [] Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

34 Για να υολογίσουμε τα [], [] αό τα c, c αντικαθιστούμε αό την σχέση r r r..5 το cg cg στις..4 r u r και r u r οότε r r r r r r r.. cg cg u cg u cgu cg cg και αν χρησιμοοιήσουμε την γραφή [] και g g [], g g [] ου χρησιμοοιείται στα σήματα διακριτού χρόνου.. [] c Όμοια έχουμε.. [] c g [] g []. Ερμηνεία μετασχηματισμών με γραμμική άλγεβρα Η εριγραφή του σήματος με διανυσματική ανααράσταση, γραφή και υολογισμούς, μορεί να γίνει με την χρήση της γραμμικής άλγεβρας ου αοτελεί εξαιρετικό εργαλείο για τα σήματα διακριτού χρόνου, χρίς τον εριορισμό του φυσικού χώρου τν ανυσμάτν []..,. u [], u Τα διανύσματα u, u είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους ορθοκανονικά και αοτελούν μία ορθοκανονική βάση. Ισχύουν ροφανώς οι σχέσεις: T T T T.. u u u u και u u u u.. [] και [] u T u T Παρατηρείστε τον συσχετισμό τν σχέσεν..4, u [] u [] u u u u T T Παρατηρείστε τον συσχετισμό τν σχέσεν..,..4. Τα u και u έχουν τιμές τν δ[] και δ[-] αντίστοιχα και ς γνστόν ισχύει η σχέση..5 [ ] [ ] δ[ - ] δ[] [] δ[ -] [] αρατηρούμε την ομοιότητα τν σχέσεν..5,..4 και... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

35 G Αν g [] g[] g, g g [] g[] [ ] g g, θα ισχύουν οι σχέσεις: ζεύγος ορθοκανονικών διανυσμάτν και T T T T..6 g g g g και g g g g οι ροβολές του σ αυτά θα δίνονται ς εστερικά γινόμενα αό τις σχέσεις: g T c [ ] g [] g [] g [] [] g [] [] g [] [] [] [] g T c [ ] g [] g[] g[] [] g[] [] g[] [] [] [] Παρατηρείστε την ομοιότητα τν σχέσεν..7 και..8 με τις..6. και ότι καταλήγουν στις..8 και..9. Γενικά αν..- και..-, θα ισχύει ότι..9 c g [] [] Με βάση τα αραάν αν c C c, ισχύει ότι T.. C G Το ζητούμενο τώρα είναι να υολογισθεί ο αν είναι γνστοί οι ίνακες G και C. Αν υάρχει ο ίνακας G - αντίστροφος του G τότε.. G T C Εειδή η βάση είναι ορθοκανονική ισχύουν οι.. αρα g g T T g.. g g g g G G [ g g ].. GG T -..4 G C [] [] T c c T T g g T T g Ι g [] g [] c g [] c g [] c g[] g[] cg[] cg[]..5 [ g g ] c g c g c..6 [] c g [] cg[] c g [] και..7 [] c g [] cg[] c g [] Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

36 Οι σχέσεις..6 και..7 είναι ίδιες με τις.. και... Στις ρώτες οδηγηθήκαμε αό την.. ενώ στις δεύτερες αό τον κανόνα του αραλληλογράμμου, και στις δύο εριτώσεις όμς βασισθήκαμε στην ορθοκανονικότητα τν διανυσμάτν της βάσης. Γενικά αν..- και..-, θα ισχύει..8 [] c g [] δηλαδή ένα ανάτυγμα του [] σε σειρά τν g [] Τα αραάν ισχύουν για οοιεσδήοτε τιμές του Ν και η σχέση..9 c g [] [] υολογίζει τις ροβολές συντελεστές ανατύγματος σειράς του διακριτού σήματος ακολουθίας στο σύστημα συντεταγμένν ου ορίζει ο ίνακας G, ενώ η σχέση..8 [] c g [] δίνει τις τιμές [] του σήματος. Για αράδειγμα για Ν τα ανύσματα g [ ], g [ ], g [ ] 6 6 αοτελούν μία ορθοκανονική βάση και το σήμα [,, ] ροβάλλεται σ αυτά με ροβολές ου δίνουν οι συντελεστές c, /, 6 /. Για,, [] g [] / g [] / g [] 6 Τα ροηγούμενα ορθοκανονικά διανύσματα ροήλθαν θέτοντας Ν στις σχέσεις για..- και,..,ν- Ν..9 g, g cos οότε ροέκυψαν οι τιμές τν g, g, g αό τις σχέσεις c c Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

37 .. g cos, g cos 6 g.4 Ο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT: Discrt Cosi Trsform για..- και Ν H σχέση..9 g, g cos,..,ν- είναι ένας υρήνας rl δημιουργίας ορθοκανονικών διανυσμάτν για κάθε τιμή του Ν. Γενικά αν τα g δίνονται αό την..9 οι συντελεστές c για ένα διακριτό σήμα [] δηλαδή οι ροβολές του στα g ροκύτουν με αντικατάσταση τν g αό την..9 στην..9 αό τη σχέση:.4. c [], c cos [] για..- Ν Η σχέση.4. αοτελεί τον μονοδιάστατο διακριτό μετασχηματισμό συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform. Οι τιμές [] δηλαδή το ροκύτουν με αντικατάσταση τν g αό τις..9 στη..8 σύμφνα με τη σχέση.4. c [] c Ν cos Η σχέση.4. αοτελεί τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό του συνημιτόνου. Στο Σχ..4. δείχνονται τα ανύσματα βάσης του DCT για Ν8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για αράδειγμα για Ν τα ανύσματα g [ ], g [ ], g [ ] 6 6 ροήλθαν αό τις σχέσεις g για..- και,..,ν- Ν, g cos Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6

38 αοτελούν μία ορθοκανονική βάση και το σήμα [,, ] Τ ροβάλλεται σ αυτά με ροβολές ου δίνουν οι συντελεστές c, /, 6 /. Για,, [] g [] / g [] / g [] 6 c c Για [,,, -] Τ η τιμή Ν4 και για,,, τα ανύσματα βάσης είναι: g [] ή g [.5,.5,.5,.5] T g [] cos Ν ή g [.65,.7, -.7, -.65] T g cos ή g [.5, -.5,.5, -.5] T g cos ή g [.7, , -.7] T Οι συντελεστές c είναι τα στοιχεία του ίνακα.5.65 C G T οι συντελεστές c ροκύτουν όμοια και αό τις.4.. Το σήμα ανακτάται αό τις σχέσεις.4. ή αό τον ίνακα.5.5 G C Στο Σχ..4. δείχνονται τα ανύσματα βάσης του DCT για Ν4, οι συντελεστές c του DCT του σήματος [,,, -] και η ανάλυση του στις τέσσερις συνιστώσες c g. Κάθε τιμή του [] είναι [].5g [].58g []-.5g []-.g [].. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 7

39 Σχήμα.4. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 8

40 [,,, ] g [],5g [] g [],58g [] g [] -,5g [] - g [],g [] Σχήμα.4.. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 9

41 .4. Ο δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform Για διακριτά σήματα δύο διαστάσεν με μήκη Ν, Ν τα ανύσματα βάσης για,.., -,,.., -,,.., -,,.., - είναι:.4.. g, g g.. g, g g.χ. g,, g, cos, g, cos cos Για ένα δισδιάστατο διακριτό σήμα [, ] με μήκη Ν, Ν, οι ροβολές του στα αραάν ορθοκανονικά ανύσματα βάσης είναι:.4.. c [, ] c c c [, [, [, ] cos ] cos ] cos cos για,. Οι αραάν σχέσεις αοτελούν τον δισδιάστατο Δ διακριτό μετασχηματισμό συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform. Το σήμα [, ] ανακτάται σύμφνα με τη σχέση:.4.. [, ] c g [, ] Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

42 ου είναι ο αντίστροφος δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου. Μετασχηματισμοί τν οοίν η βάση ικανοοιεί την.4.. λέγονται διαχρίσιμοι και οι υολογισμοί τους μορούν να αναχθούν σε υολογισμούς τν μονοδιάστατν εκφράσεών τους..5 Ερμηνεία και υολογισμοί μετασχηματισμών μιγαδικών σημάτν διακριτού χρόνου. Ας εξετάσουμε τώρα αν τα αραάν μορούν να εφαρμοσθούν και σε μιγαδικά διακριτά σήματα εερασμένου μήκους. Η διανυσματική εριγραφή τέτοιν σημάτν γίνεται με ίνακες στήλης ου τα στοιχεία τους είναι μιγαδικοί αριθμοί. Οι σχέσεις ου καταλήξαμε στην ερίτση τν ραγματικών σημάτν εερασμένου μήκους Ν R είναι αοτέλεσμα του γεγονότος ότι αναλύσαμε το σήμα σε μία βάση ορθοκανονικών διανυσμάτν, διανυσμάτν δηλαδή ου έχουν μέτρο ίσο με την μονάδα και είναι μεταξύ τους κάθετα. Προς τούτο χρησιμοοιήσαμε σχέσεις.. την ράξη Τ για, R. Αν όμς εκφράσουμε τον μιγάδα ου έχει μέτρο σε διανυσματική μορφή, η ράξη [ ] και όχι ός θα έρεε. Εειδή για το μέτρο ενός μιγάδα zb ισχύει ότι z b z z, η ράξη T b, με δίνει το ειθυμητό αοτέλεσμα. Το ίδιο ισχύει και με τον b υολογισμό της ροβολής του διανύσματος ενός μιγάδα στο διάνυσμα ενός άλλου. Εάν τελικά για ένα μιγαδικό διάνυσμα με Ν μιγαδικές τιμές C ορίσουμε ς τετράγνο του μέτρου την οσότητα T εξασφαλίζουμε ότι αυτή είναι ραγματικός αριθμός. Δύο μιγαδικά διανύσματα ίνακες στήλης g, g λέγονται ορθομοναδιαία αν T T T T.5. g g g g και g g g g Στη γραμμική άλγεβρα ο συζυγής ενός μιγαδικού ίνακα Α, γράφεται A και αοτελείται αό τα συζυγή στοιχεία του Α. Ο ανάστροφος του συζυγούς του Α, δηλαδή ο A T, λέγεται αναστροφοσυζυγής του Α ή Α Ερμιτιανός και γράφεται Α Η. Συνεώς η 4. γράφεται H H H H.5. g g g g και g g g g Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

43 Αν.5. G[g, g,, g - ] ίνακας ορθομοναδιαίν διανυσμάτν τότε ο.5.4 G H και ισχύει ότι H g H g M H g.5.5 G H GI άρα.5.6 G H G - Ακριβώς ός και στην ερίτση τν ορθοκανονικών βάσεν ένα μιγαδικό διάνυσμα C μορεί να ροβληθεί σε ορθομοναδιαία μιγαδικά διανύσματα g C,,..,- με μιγαδικές εν γένει ροβολές c c C. Με βάση τους αραάν όρισμούς και ράξεις, ός αυτές ου ακολουθήσαμε στην ερίτση τν ραγματικών διανυσμάτν, ισχύουν οι σχέσεις: g H.5.7 c c.5.8 C c H G M c και GC λόγ της c g [] [].5. [] c g [], δηλαδή ένα ανάτυγμα του [] σε σειρά τν g [] Ο ερμιτιανός ενός ίνακα ραγματικών αριθμών είναι ο ανάστροφος του, συνεώς οι σχέσεις ου καταλήξαμε για τα ραγματικά διανύσματα είναι ειδικές εριτώσεις τν σχέσεν ου ισχύουν για τα μιγαδικά. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο μετασχηματισμός Fourir 4. Εισαγγή. Ός ροαναφέρθηκε ο μετασχηματισμός Fourir είναι θεμελιώδους σημασίας στην ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν συνεχούς ή διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής. Μέσ αυτού εριοδικές συναρτήσεις και ακολουθίες αναλύονται σε αθροίσματα όρν ου καθένας τους εκφράζει μία αρμονική ταλάντση. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε στο διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Fourir Trsform, DFT, την διακριτή σειρά Fourir Discrt Fourir Siris, DFS, τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου Discrt Tim Fourir Trsform, DTFT και τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir. Οι ορισμοί, οι ιδιότητες, οι μεταξύ τους σχέσεις και οι σχέσεις τους με τα συνελικτικά αθροίσματα αοτελούν ροϋόθεση για την κατανόηση της χρήσης τους στην ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν. 4. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir- σημείν. Ένας υρήνας αραγγής ορθομοναδιαίν διανυσμάτν είναι ο τύος 4.. g [] W όου W Η βάση είναι ορθομοναδιαία διότι ισχύουν οι σχέσεις.5. ός δείχνεται ακολούθς m H 4.. g g m m H 4.. g m g για m m Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

45 Αό τις.5.9 και.5. ροκύτουν οι συντελεστές και το ανάτυγμα σε σειρά ενός εερασμένου μήκους Ν σήματος [] 4..4 c 4..5 [] c H σχέση 4..4 αοτελεί τον μοναδιαίο uitr διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Tim Fourir Trsform ή DFT -σημείν και η 4..5 την αντίστοιχη σειρά. Αν θέσουμε C c στις αραάν σχέσεις ροκύτουν οι σχέσεις 4..6 C [ ] ή X [ ] 4..7 [ ] C ή [ ] X Όου αντί τν του συμβολισμού C χρησιμοοιείται ο X. H σχέση 4..6 αοτελεί τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Fourir Trsform ή DFT -σημείν και η 4..7 τη διακριτή σειρά Fourir Discrt Fourir Sris ενός διακριτού σήματος. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 44

46 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 45 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: Για το σήμα [,,],,,,,,,, τα ορθομοναδιαία διανύσματα βάσης είναι: w 4 si 4 cos si cos w 8 si 8 cos 4 si 4 cos w [ ],,,,, w w w W,,,,, H W Οι τιμές c του DFT είναι τα στοιχεία του ίνακα 6,,,,, H W C

47 Οι τιμές του σήματος ανακτούνται αό τις τιμές c του DFT στο ίνακα, W C,,,, 6 Ν Ν Εειδή και m Ν Ν αν m-, oι ίνακες W και W H είναι συμμετρικοί ς ρος τη διαγώνιο και το στοιχείο μιας γραμμής ισούται με το συζυγές του Ν- στοιχείου της ίδιας γραμμής όταν αυτό υάρχει και ς εκ τούτου οι υολογισμοί ειταχύνονται. 4. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Η οσότητα,..-, ονομάζεται κυκλική συχνότητα και αίρνει Ν Ν διακριτές τιμές αό ές Ν-/Ν. Για σήματα μη εερασμένου μήκους το και η μεταβλητή αντικαθίσταται αό την μεταβλητή [,]. Ο Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Discrt Tim Fourir Trsform ή DTFT ορίζεται αό τη σχέση: ~ 4.. X Χ [ ] Για να υολογιστούν οι τιμές [] αό την 4.. ενεργούμε ς ακολούθς: Πολλαλασιάζουμε και τα δύο μέλη της 45 με m m 4.. Χ [ ] m m 4.. Χ [] m m [] ολοκληρώνουμε ς ρος αό - ές τα μέλη της ισότητας 4.. m m 4..4 Χ d []d [] αν m - m 4..5 d d d m d Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 46

48 αν m m d cosm - m m - m sim - m - m - cos-m - m - si-m - m - άρα η 4..4 γίνεται Χ d [] 4..8 [ ] Χ d - Η σχέση αυτή αοτελεί τον Aντίστροφο Mετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου. Για να ορίζεται ο DTFT ενός σήματος είναι ροφανές ότι ρέει το [] να συγκλίνει. Αυτό δεν συμβαίνει για σήματα μη εερασμένου μήκους ου είναι εριοδικά και ς εκ τούτου δεν υάρχει γι αυτά DTFT. Αν ~ [] εριοδικό διακριτό σήμα με ρτεύουσα ερίοδο Ν ισχύει ότι 4..9 ~ [] ~ [ λ] Αν [] σήμα εερασμένου μήκους σημείν, 4.. [] ~ []u[] u[ ] τότε 4.. ~ [] [ mod ] όου mod το υόλοιο της διαίρεσης του με το. Ισχύει ροφανώς ότι 4.. λ mod και mod - όου λ το ηλίκο της διαίρεσης του με το Ν. Για το [] ου είναι εερασμένου μήκους υάρχει ο DFT και η DFS ου δίνονται αό τις σχέσεις 4..6 και 4..7 Εειδή [] ~ [] για,..,- η 4..6 γράφεται 4.. C X ~ [ ] και αοτελεί τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir DFT του ~ [] του ~ []. Αό τις 4.. και 4..7 ροκύτει ότι Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 47

49 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 48 λν λν mod C C C [ mod ] ~ [] 4..4 ] ~ [ C ή ] ~ [ X ου αοτελεί την διακριτή σειρά Fourir DFS του σήματος. Άρα για τα εριοδικά διακριτά σήματα χρησιμοοιούμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir DFT και την διακριτή σειρά Fourir DFS. Σύμφνα με τα αραάν για ένα διακριτό σήμα εερασμένου μήκους Ν ορίζεται και υάρχει ο FT και ο DFT-Ν δειγμάτν σύμφνα με τις σχέσεις X, ], X Αό τις οοίες ροκύτει ότι 4..5 X X,,,- Δηλαδή ο DFT-Ν σημείν του, ροκύτει αό την δειγματοληψία της κυκλικής συχνότητας του FT του με δείγματα ου αέχουν διαδοχικά μεταξύ τους αόσταση /Ν. Αν αυξήσουμε το μήκος Ν ροσθέτοντας μηδενικές τιμές στο τέλος του, ο FT δεν θα αλλάξει θα αυξηθεί όμς το λήθος τν δειγμάτν του DFT-Ν σημείν Σχ.4...

50 Σχήμα 4... Διάγραμμα λάτους του FT{cos/8} και οι DFT-Ν σημείν για Ν8 και Ν6 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 49

51 4.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου. Αό μαθηματικής αόψες υάρχουν ιδιότητες του FT ου βοηθούν στον υολογισμό αυτού και του αντιστρόφου του καθώς και στην ερεταίρ διαδικασία ανάλυσης τν σημάτν και τν συστημάτν. Περιοδικότητα Ο DTFT είναι εριοδικός ς ρος με ερίοδο. Ισχύει δηλαδή η σχέση 4... X X Συμμετρία Ο DTFT αρουσιάζει κάοια είδη συμμετρίας ανάλογα με το διακριτό σήμα. Τα είδη αυτά συμμετρίας αναγράφονται στο ακόλουθο ίνακα 4... X Πραγματική και άρτια Πραγματική και εριττή Φανταστική και άρτια Φανταστική και εριττή Πραγματική και άρτια Φανταστική και εριττή Φανταστική και άρτια Πραγματική και άρτια Πίνακας 4... Γραμμικότητα DTFT 4... b X b X Ιδιότητα της Μετατόισης DTFT 4... X Αντιστροφή στο χρόνο DTFT X Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

52 Διαμόρφση DTFT X X cos DTFT X Το Θεώρημα της Συνέλιξης DTFT h H X Το Θεώρημα του Πολλαλασιασμού DTFT θ θ X Y dϑ Το Θεώρημα του Prsvl X d Οι αραάν ιδιότητες αναγράφονται συνοτικά στον ίνακα 4... Ιδιότητα Ακολουθία Γραμμικότητα b Μετατόιση στο χρόνο Αντιστροφή στο χρόνο Διαμόρφση Συνέλιξη στο χρόνο Μιγαδική συζυγία Μετασχηματισμός FOURIER διακριτού χρόνου X b Y X X X Y X X Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

53 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 5 Παραγώγιση d dx Πολλαλασιασμός στο χρόνο θ ϑ ϑ d Y X i Πίνακας 4... Παράδειγμα 4.. Ο DTFT της ακολουθίας < u είναι X Με χρήση γεμετρικών ροόδν, το άθροισμα αυτό είναι X Με την ροϋόθεση ότι α <. Παρόμοια, για την ακολουθία > u ο DTFT είναι X Αλλάζοντας τα όρια του αθροίσματος, έχουμε X Αν είναι α >, το άθροισμα είναι X Εομένς, οι ακολουθίες και u u, έχουν τον ίδιο DTFT Στο ίνακα 4... αρουσιάζεται ο DTFT μερικών βασικών ακολουθιών Ακολουθία Μετασχηματισμός FOURIER διακριτού χρόνου δ

54 δ δ δ u, < u, > u, < cos δ δ Πίνακας 4... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 5

55 4.4 Σχέση της συνέλιξης με το μετασχηματισμό και τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir Αν ~ και ~ εριοδικές ακολουθίες με ίδια ρτεύουσα ερίοδο Ν, η εριοδική συνέλιξη τους γράφεται και ορίζεται σύμφνα με την ακόλουθη σχέση: 4.4. { ~ ~ } ή ~ ~ ~ ~ Μορούμε να γράψουμε ακόμη ότι 4.4. ~ mod, ~ mod, με 4.4. ~ [ u u ], ~ [ u u ], σήματα εερασμένου μήκους Ν. Αό τις 4.4. και 4.4. ροκύτει ότι ~ ~ ~ ~ mod To dεξιό μέρος της ονομάζεται κυκλική συνέλιξη δύο σημάτν εερασμένου μήκους Ν και γράφεται Αριθμητικά η εριοδική συνέλιξη αράδειγμα Έστ mod { ~ ~ } υολογίζεται ός φαίνεται στο ακόλουθο ~ ~ με ρτεύουσα ερίοδο Ν ~ 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } ~ 4 4 { ~ ~ } Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 54

56 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 55 Στη γραμμοσκιασμένη εριοχή του ίνακα φαίνονται οι τιμές ου χρησιμοοιούνται για τον υολογισμό της κυκλικής συνέλιξης και της εριοδικής συνέλιξης ~ ~. Η γραμμική συνέλιξη και ο DTFT δύο σημάτν συνδέονται με την σχέση: FT Y X όου, Y X οι μετασχηματισμοί Fourir τν και Αόδειξη m Y X Η εριοδική συνέλιξη και ο DFT δύο εριοδικών σημάτν συνδέονται με την σχέση: ~ ~ ~ ~ Y X DFT όου ~, ~ Y X οι διακριτοί μετασχηματισμοί DFΤ τν ~ και ~ Αόδειξη ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Y X l X l l X l l X l l X l X m m m m m m m m l l l m l l m l l m l l l l m l l m l l m m l m m l m m m m m m m m m DFT Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Η κυκλική συνέλιξη και ο DFT δύο σημάτν εερασμένου μήκους Ν συνδέονται με την σχέση: Y X DFT

57 όου X, Y οι διακριτοί μετασχηματισμοί DFΤ-Ν δειγμάτν τν και. Η σχέση αυτή ροκύτει αό τις 4.4. και Έστ σήμα εερασμένου μήκους Ν με DFT X και σήμα εερασμένου μήκους Ν. Προσθέτοντας στο τέλος του λήθος Ν - μηδενικών τιμών και στο λήθος Ν - μηδενικών τιμών ροκύτουν δύο νέα σήματα p και p εερασμένου μήκους Ν Ν -. H διαδικασία αυτή ονομάζεται zro pddig. Εύκολα μορούμε να δούμε με κάοιο τυχαίο αράδειγμα αλλά και να αοδείξουμε ότι γενικά: p p Για αράδειγμα αν [ 4 -], [ ], τότε p [ 4 - ], p [ ]. 4 - * 4 - p p Με βάση τα αραάν, αν X p και Υ p οι DFT τν p και p αντίστοιχα θα ισχύει ότι: 4.4. p p X Y DFT DFT 4.4. X Y p p p p Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 56

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ανάλυση σημάτν και συστημάτν με τον μετασχηματισμό Fourir 5. Εισαγγή Ο μετασχηματισμός Fourir DTFT και DFT είναι σημαντικότατος για την ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν. Οι συχνότητες τν αρμονικών ταλαντώσεν συχνοτικό εριεχόμενο ου ενυάρχουν σε ένα σήμα ευρίσκονται μέσ του FT. Είσης, με την σύγκριση τν FT τν σημάτν εισόδου και εξόδου ενός συστήματος αναλύεται η συμεριφορά του συστήματος. Ο σχεδιασμός συστημάτν φίλτρα με ειθυμητή συμεριφορά βασίζεται στον FT. 5. Αόκριση συχνότητας Ας θερήσουμε ένα σύστημα γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο με αόκριση κρουστικής διέγερσης h. Η έξοδος του για οοιοδήοτε είσοδο θα είναι *h Σύμφνα με το θεώρημα της συνέλιξης ισχύει ότι h DTFT H X όου Η DTFT{h}. H Η ονομάζεται αόκριση συχνότητας του συστήματος και καθορίζει την είδραση του συστήματος στο DTFT του σήματος εισόδου. Με άλλα λόγια η αόκριση συχνότητας καθορίζει την είδραση του συστήματος στο συχνοτικό εριεχόμενο του σήματος εισόδου. Η Η αίρνει μιγαδικές τιμές και ς εκ τούτου μορεί να γραφεί με το λάτος Η και τη φάση της φ σύμφνα με τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 57

59 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 58 Η Η φ Η μελέτη της αόκρισης συχνότητας αφορά τον υολογισμό και τη γραφική αράσταση του λάτους και της φάση της. Συχνά μελετάται και η καθυστέρηση ομάδας group dl τ ου ορίζεται ς φ τ d d Όταν η φάση φ είναι μια γραμμική συνάρτηση του, το σύστημα λέγεται σύστημα γραμμικής φάσης. Παράδειγμα 5.. Έστ το σύστημα Να υολογισθούν το λάτος και η φάση της αόκρισης συχνότητας και να γίνουν οι γραφικές τους αραστάσεις. ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ h δ δ δ H cos si cos si cos cos H Αφού η αόκριση συχνότητας του συγκεκριμένου συστήματος είναι ραγματική συνάρτηση του, συμεραίνεται ότι η φάση φ είναι μηδέν. Η γραφική αράσταση του λάτους Η w της αόκρισης συχνότητας

60 Το σύστημα είναι ένα κατδιαβατό ή χαμηλοερατό φίλτρο. Παράδειγμα 5.. Έστ το σύστημα Να υολογισθούν το λάτος και η φάση της αόκρισης συχνότητας και να γίνουν οι γραφικές τους αραστάσεις. h[ ] δ [ ] δ[ ] cos H cos H, φ, dφ τ d Στο ακόλουθο σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα λάτους και φάσης της αόκρισης συχνότητας του συστήματος. cos H φ Το σύστημα είναι γραμμικής φάσης. Η αράγγος του είναι σταθερός αριθμός. Συνεώς η καθυστέρηση ομάδας ου δείχνει την καθυστέρηση σε λήθος δειγμάτν ου υφίσταται το σήμα εισόδου αό το σύστημα είναι η ίδια για κάθε τιμή του. Παράδειγμα 5.. Θερούμε το LTI σύστημα με κρουστική αόκριση h u όου α, ένας ραγματικός αριθμός με α <. Η αόκριση συχνότητας είναι Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 59

61 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: 6 h H Το τετράγνο του λάτους της αόκρισης συχνότητας είναι cos H H H και η φάση είναι ϕ cos si t t H H R I Τέλος, η καθυστέρηση ομάδας υολογίζεται αραγγίζοντας την συνάρτηση της φάσης. Το αοτέλεσμα είναι τ cos cos 5.. Φίλτρα ειλογής συχνοτήτν Ανάλογα με τη μεταβολή του λάτους της αόκρισης συχνότητας σε σχέση με τη συχνότητα τα συστήματα διακρίνονται στις ακόλουθες κατηγορίες: Χαμηλοερατά Low pss: Το λάτος έχει μεγάλες τιμές για χαμηλές τιμές της συχνότητας και μικρές τιμές για υψηλές τιμές της συχνότητας. Στην ιδανική ερίτση το λάτος της αόκρισης συχνότητας μεταβάλλεται ός στο Σχ.5.. Σχήμα 5..: Ιδανικό Χαμηλοερατό Φίλτρο Low-Pss - c - c H

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΙΟΥΝΙΟΣ 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μιγαδικοί αριθµοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μιγαδικοί αριθµοί 09 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μιγαδικοί αριθµοί 8. Εισαγγικά Αναφέρουµε αρχικά ότι οι µιγαδικοί αριθµοί χρησιµοοιούνται ευρύτατα στην ειστήµη της Ηλεκτρολογίας. Παρακάτ δίδονται οι βασικές γνώσεις της µιγαδικης άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

08.2 Αναπαράσταση περιοδικών ακολουθιών µε ιακριτές Σειρές Fourier

08.2 Αναπαράσταση περιοδικών ακολουθιών µε ιακριτές Σειρές Fourier ΜΑΘΗΜΑ 8: Ο ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 8. Εισαγωγή Έχουµε ήδη γνωρίσει τον Μετασχηµατισµό Fourir ιακριτού Χρόνου (ΜΦ Χ) ο οοίος µετασχηµατίζει µια ακολουθία σε µια συνάρτηση της συνεχούς µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ηµιτονοειδής συνάρτηση 9. Γενικά για την ηµιτονοειδή συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή χρησιµοοιείται ολύ στην Ηλεκτρολογία αλλά και σε άλλες Τεχνικές Ειστήµες. Οι λόγοι είναι οι ακόλουθοι: α Με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1 Περιγραφή Συστηµάτων στο Είεδο Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς Νοέµβριος 005 ΨΕΣ Rmindr Ο Μετασχηµατισµός Ζ µιας ακολουθίας xn διακριτού χρόνου ορίζεται αό την σχέση: X x n n n Η µιγαδική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες... Διαφορικές εξισώσεις... Συμβολισμοί... Λύσεις... Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών... Κεφάλαιο Ταξινόμηση τν διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει ραγματικό μέρος φανταστικό μέρος u( x, y) xcos y και v( x, y) xsi y Αό την θεωρία γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Εργασία II Χειμερινό Εξάμηνο 7 Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Πρόβλημα Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Χειμερινό Εξάμηνο 7 Παραδοτέα 7 Πρόοδος Ι & 7 ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου Σελίδα αό ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι : V 0 2 3 ωt -V Η κυματομορφή είναι εριττή Η κυματομορφή, όως φαίνεται εύκολα αό το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου. Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x, αν x xχ [,] (x) =, αν x < ή < x Λύση. Εειδή η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής και μηδενίζεται έξω

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόο ανάτυξης σε σειρά Fourir ενός εριοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir ενός µη εριοδικού αναλογικού

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0.

Απόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0. Αόδειξη Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () 0. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f( ) f( ). 1 1 1 Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. δηλαδή 1 είναι συνεχής στο 1,.

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 & Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Ορισμός Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: ( T)A και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά

Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά Η κλασική µέθοδος για το σχεδιασµό ψηφιακών φίλτρν βασίζεται στο µετασχηµατισµό ενός αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό το οοίο να ληροί ορισµένες ροδιαγραφές N

Διαβάστε περισσότερα

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις Εξετάσεις Σετεµβρίου 6. ΘΕΜΑ. µονάδα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική αόκριση co in5 h Να βρεθεί και να σχεδιασθεί η αόκριση συχνότητας, H, του συστήµατος. Η κρουστική

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής v.kouras@fme.aegea.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Γενικά Μορφές Μετασχηµατισµού Fourir Σήµατα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους µετασχηµατισµών α Μετασχηµατισµός Fourir FT β Σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Δ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α. Διλά ολοκληρώματα Θεωρούμε τη συνάρτηση z f, ου είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο Τ του ειέδου O. Υοθέτουμε ότι εμβαδόν του χωρίου Τ είναι ίσο με Α. ΔΑ i Διαμερίζουμε το χωρίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ - ΣΕΙRA FOURIER Τα εριοδικά σήματα διακριτού χρόνου αριστάνονται με εερασμένα αθροίσματα. ( j a εξίσωση σύνθεσης a j ( εξίσωση ανάλυσης ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΗΝ ΡΙΓΩΝΟΜΕΡΙΑ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr Η εργασία αυτή γράφτηκε για τους µαθητές της Β Λυκείου όταν (δεκαετία 98-990) η ριγωνοµετρία δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) η Σειρά Ασκήσεων //7 Ι. Σ. Ράτης Ειστροφή µέχρι //7. Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Θεωρία)

Στραγγίσεις (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 6... Πρώτος τρόος γραμμικοοίησης Η μη γραμμικότητα της

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Εξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Εξετάσεις 9 Ιουνίου 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό. Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις: Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =

Διαβάστε περισσότερα