Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών Χρονικά Αναοίωτων συστηµάτων. Ο µετασχηµατισµός pl µετασχηµατίζει συναρτήσεις από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας : Η ογική της χρήσης του µετασχηµατισµού pl είναι αντίστοιχη µε τη ογική της χρήσης του µετασχηµατισµού o στα τηεπικοινωνιακά συστήµατα. Η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι µε τον µετασχηµατισµό pl µπορούµε να µεετήσουµε και την συµπεριφορά συστηµάτων στη µεταβατική κατάσταση και όχι µόνο στη µόνιµη κατάσταση για αυτό και χρησιµοποιείται η µιγαδική µεταβητή σ ω, αντί της φανταστικής µεταβητής ω του µετασχηµατισµού o Η βασική χρήση του µετασχηµατισµού pl είναι για τη ύση οοκηρωδιαφορικών εξισώσεων ΓΧΑ συστηµάτων. Μέσω του µετασχηµατισµού οι εξισώσεις αυτές µετατρέπονται σε αγεβρικές των οποίων η επίυση είναι ευκοότερη. Ο µετασχηµατισµός pl χρησιµοποιείται όµως και για την µεέτη της ευστάθειας και τη σχεδίαση Σ.Α.Ε όπως για παράδειγµα µε τη µέθοδο του Γεωµετρικού Τόπου Ριζών.. Ο Μετασχηµατισµός pl Έστω η πραγµατική συνάρτηση f της πραγµατικής µεταβητής π.χ χρόνος. Ο µετασχηµατισµός pl της συνάρτησης f δίνεται από τη σχέση: [ f ] f. Ο µετασχηµατισµός pl της συνάρτησης f υπάρχει εφόσον το οοκήρωµα I σ f. συγκίνει για κάποιο πραγµατικό αριθµό σ, δηαδή ισχύει Ι <... Παράδειγµα Ο µετασχηµατισµός pl της συνάρτησης f - υπάρχει διότι το οοκήρωµα I υπάρχει για κάθε σ >-. σ σ σ I. σ σ Εποµένως ο µετασχηµατισµός pl [f] της συνάρτησης f - θα είναι:. Στο επόµενο σχήµα Σχήµα. δίνεται η φιοσοφία της χρήσης του µετασχηµατισµού pl στη µεέτη των συστηµάτων Σ.Α.Ε. Συγκεκριµένα ποά ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της µορφής:

2 . των οποίων η επίυση είναι δυσχερής. Η χρήση του µετασχηµατισµού pl αποποιεί τη διαδικασία επίυσης: Σχήµα.: Παράδειγµα χρήσης του µετασχηµατισµού pl.. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός pl Έστω ο µετασχηµατισµός pl [f] της συνάρτησης f. Η συνάρτηση f υποογίζεται από τον αντίστροφο µετασχηµατισµό pl -[]f µε τη βοήθεια του επικαµπύιου οοκηρώµατος: f ] [ π.6 για πραγµατικό αριθµό τέτοιο ώστε >σ. Στη πράξη και εξαιτίας της δυσκοίας υποογισµού του παραπάνω οοκηρώµατος ο αντίστροφος µετασχηµατισµός pl υποογίζεται µε ανάυση σε µερικά κάσµατα και χρήση γνωστών ζευγών του µετασχηµατισµού pl. Αν δηαδή ο µετασχηµατισµός pl µιας συνάρτησης f έχει τη µορφή δηαδή εκφράζεται ως ρητή συνάρτηση: τότε η συνάρτηση αναύεται σε µερικά κάσµατα ως εξής:....8 όπου... οι ρίζες του πουωνύµου. Για κάσµατα της µορφής ο αντίστροφος µετασχηµατισµός pl είναι γνωστός. Συγκεκριµένα ο αντίστροφος µετασχηµατισµός pl της είναι:... ] [.9 Σηµείωση: Για την διευκόυνση ανάυσης συναρτήσεων σε µερικά κάσµατα µπορείτε να χρησιµοποιείτε τις συναρτήσεις και oo της Ml.

3 .. Παρδείγµατα υποογισµού του αντίστροφου µετασχηµατισµού pl Παράδειγµα : ιακριτές ρίζες Η απόκριση ενός συστήµατος αυτοµάτου εέγχου σε είσοδο δ έχει υποογιστεί µέσω του µετασχηµατισµού pl και συγκεκριµένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υποογιστεί η. Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης της Ml προκύπτει η εξής ανάυση της συνάρτησης σε µερικά κάσµατα: και εποµένως η συνάρτηση είναι: ] [ δ. Παράδειγµα : Ποαπότητα ριζών Η απόκριση ενός συστήµατος αυτοµάτου εέγχου σε είσοδο έχει υποογιστεί µέσω του µετασχηµατισµού pl και συγκεκριµένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υποογιστεί η. Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης της Ml προκύπτει η εξής ανάυση της συνάρτησης σε µερικά κάσµατα: και εποµένως η συνάρτηση είναι: ] [ Παράδειγµα : Μιγαδικές ρίζες Η απόκριση ενός συστήµατος αυτοµάτου εέγχου σε είσοδο δ έχει υποογιστεί µέσω του µετασχηµατισµού pl και συγκεκριµένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: 9 Να υποογιστεί η. Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης oo της Ml προκύπτει ότι οι ρίζες του πουωνύµου είναι -, -, --. Άρα το γράφεται ως: 9 6

4 και εποµένως η συνάρτηση είναι: [ ].8 o.6. f - po o fo Σχήµα.: Η µορφή της συνάρτησης του παραδείγµατος... f - po o fo Σχήµα.: Η µορφή της συνάρτησης του παραδείγµατος

5 . Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού pl Ιδιότητα : Γραµµικότητα: α [α f α f ]α α, όπου α, α σταθερές β - [ ] f f, όπου, σταθερές Ιδιότητα : Παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου: f f f f f f f... Ιδιότητα : Οοκήρωση στο πεδίο του χρόνου: f τ τ f τ τ Ιδιότητα : Θεώρηµα αρχικής τιµής: l f l, > Ιδιότητα : Θεώρηµα τεικής τιµής: l f l, εφόσον το όριο l f υπάρχει Ιδιότητα 6: Ααγή κίµακας χρόνου: f, όπου α σταθερά Ιδιότητα 7: Ααγή κίµακας µιγαδικής συχνότητας: f Ιδιότητα 8: Χρονική καθυστέρηση: T [ f T ], όπου Τ>, και f-t για T.

6 Ιδιότητα 9: Μιγαδική µετατόπιση: [ ] f, όπου Τ>, και f-t για T. Ιδιότητα : Παραγώγιση στο πεδίο της συχνότητας: [ f ] [ f ] Ιδιότητα : Οοκήρωση στο πεδίο της συχνότητας: f w w Ιδιότητα : Συνέιξη στο πεδίο του χρόνου: [ ] f f f τ f τ τ f τ f τ τ. Ζεύγη του Μετασχηµατισµού pl Συνάρτηση Μετασχηµατισµός pl δ δ-! ω ω ω oω ω ω o ω ω ω ω Πίνακας.: Ζεύγη Μετασχηµατισµών pl

7 . Συναρτήσεις µεταφοράς Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της µορφής:. Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό pl στην παραπάνω σχέση βέπε Ιδιότητα προκύπτει:. από την οποία ύνοντας ως προς παίρνουµε:. Η έξοδος αµβάνεται υποογίζοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό pl της. Ο πρώτος και δεύτερος όρος στην παραπάνω σχέση αντιστοιχούν στη διεγερµένη απόκριση του συστήµατος fo po ενώ ο τρίτος στην εεύθερη απόκριση f po. Είναι φανερό ότι η διεγερµένη απόκριση εξαρτάται από την είσοδο που επιβάεται στο σύστηµα προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος ενώ η εεύθερη απόκριση εξαρτάται από την αρχική εσωτερική κατάσταση του συστήµατος προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Όταν οι αρχικές συνθήκες της εξόδου και της εισόδου είναι ίσε µε µηδέν, δηαδή ισχύει,,,, τότε η σχέση. εκφυίζεται στη σχέση H. όπου H είναι γνωστή και ως συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. Το δε ονοµάζεται χαρακτηριστικό πουώνυµο του συστήµατος.