Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα Ανάλυση Fourier Περιεχόμενο Συχνοτήτων Απόκριση Γραμμικών Συχνοτήτων στο Πεδίο της Συχνότητας Παραδείγματα

4 Ανάλυση σημάτων στο πεδίο της συχνότητας Ανάλυση Fourier Περιεχόμενο Συχνοτήτων

5 Σειρές Fourier για Περιοδικές Συναρτήσεις Μια περιοδική συνάρτηση f(t) με περίοδο Τ μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων f t = 1 2 α 0 + n=1 {a n cos n Ω 0 t + b n sin n Ω 0 t } = 1 2 α 0 + n=1 A n sin(n Ω 0 t + φ n ) όπου Ω 0 = 2π/Τ είναι η θεμελιώδης κυκλική συχνότητα. Οι πραγματικοί συντελεστές α n, b n, A n και φ n υπολογίζονται ως: α n = 2 T b n = 2 T T 0 T 0 f t f t cos(n Ω 0 t)dt sin(n Ω 0 t)dt A n = α n 2 + b n 2 φ n = tan 1 ( α n b n )

6 Σειρές Fourier για Περιοδικές Συναρτήσεις Ισοδύναμα, η περιοδική συνάρτηση f t μπορεί να εκφραστεί ως: f t = n= Όπου οι c n είναι μιγαδικοί συντελεστές. c n e j n Ω 0 t Συγκρίνοντας με τις σχέσεις της προηγούμενης διαφάνειας c n = α n + j b n = c n e j c n Για πραγματικά σήματα (f t R): c n = c n = α n j b n = c n e j c n

7 Περιεχόμενο Συχνοτήτων Περιοδικών Συναρτήσεων Το Π.Σ. μιας περιοδικής συνάρτησης f(t) είναι το σύνολο των γων. συχνοτήτων ω των αρμονικών συναρτήσεων sin(ωt) (ισοδύναμα των e jωt ) στις οποίες μπορεί να αναλυθεί η f(t) Παράδειγμα: το Π.Σ. μιας περιοδικής συνάρτησης f(t) είναι το σετ n Ω 0, n = 0,1,2, c n f t = n= c n e j n Ω 0 t c n 0 ω 3Ω 0 Ω 0 2Ω 0 Ω 0 2Ω0 3Ω 0

8 Μετασχηματισμός Fourier Περιγράφει πως μια τυχαία (όχι αναγκαστικά περιοδική) συνάρτηση f(t) μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα από αρμονικές συναρτήσεις f t = 1 2π f ω e jωt dω H μιγαδική συνάρτηση f ω είναι ο μ/χ Fourier της f(t) Περιγράφει το περιεχόμενο συχνοτήτων της f(t) f ω = f(t)e jωt dt Το ζευγάρι του μ/χ Fourier συμβολίζεται ως: f ω = F f t, f t = F 1 [ f ω ]

9 Aντίστοιχα με τον μ/χ Laplace Μετασχηματισμός Fourier Ο μ/χ Fourier υπάρχει σε σήματα συγκεκριμένων ιδιοτήτων Υπολογίζεται είτε αναλυτικά είτε μέσω πινάκων/ιδιοτήτων Σε αυτό το μάθημα ΔΕΝ θα ζητηθεί να υπολογίσετε τον μ/χ Fourier μιας συνάρτησης Περισσότερα στο μάθημα «Δυναμική Μηχανών ΙΙ»

10 Μ/Χ Fourier στην Πράξη O μ/χ Fourier έχει κυρίως θεωρητική αξία. Ο λόγος είναι ότι στην πράξη, τα δεδομένα προκύπτουν από δειγματοληψία, επομένως είναι σήματα διακριτού χρόνου και όχι συνεχούς Ο αντίστοιχος μ/χ Fourier για διακριτά σήματα λέγεται DFT (Discrete Fourier Transformation) και υλοποιείται στην πράξη μέσω ενός αλγόριθμου που λέγεται FFT (Fast Fourier Transformation) ΠΑΡΑ πολύ βασικό εργαλείο ανάλυσης σήματος Βλέπε Δυναμική Μηχανών ΙΙ f(t) Μετρητικό ΑDC f κ f(k T s )

11 Περιεχόμενο Συχνοτήτων Τυχαίου Σήματος Το Π.Σ. ενός σήματος f t είναι το εύρος των συχνοτήτων ω στο οποίο ο μ/χ Fourier f ω παίρνει τιμές σημαντικά διαφορετικές του 0 Όσο πιο γρήγορη/απότομη είναι μια συνάρτηση f t, τόσο μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων περιέχει Παράδειγμα: Ο Μ/χ Fourier συνάρτησης παλμού (διάρκειας τ) είναι: f ω 0 κυρίως για ω < 2π τ f ω = τ sin ωτ 2 ωτ 2 f(t) f ω ω

12 Ανάλυση απόκρισης γραμμικών συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Απόκριση Γραμμικών Συχνοτήτων στο Πεδίο της Συχνότητας

13 Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Σε Περιοδικές Διεγέρσεις Έστω ότι σε ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα (περιγράφεται από την H s ) ασκείται μια περιοδική διέγερση f(t), η οποία αναλύεται μέσω σειρών Fourier σε άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων f t = 1 2 α 0 + n=1 A n sin(n Ω 0 t + φ n ) Τότε λόγω της ιδιότητας επαλληλίας των γραμμικών συστημάτων, η απόκριση μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας την συνάρτηση απόκρισης συχνότητας y t = 1 2 α 0 H 0 + n=1 A n H j n Ω 0 sin n Ω 0 t + φ n + H j n Ω 0

14 Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Σε Τυχαίες Διεγέρσεις Ο μ/χ Fourier της απόκρισης y t ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος (περιγράφεται από την συνάρτηση μεταφοράς H s ) σε διέγερση f t υπολογίζεται ως: y ω = H(jω) f ω μ/χ Fourier της απόκρισης y t Συνάρτηση απόκρισης συχνότηταςς του συστήματος μ/χ Fourier της διέγερσης f t H συνάρτηση απόκρισης συχνότητας ενός συστήματος είναι ο μ/χ Fourier της απόκρισης σε κρουστική διέγερση h t H jω = F h t

15 Υπολογισμός Απόκρισης Γραμμικών Συστημάτων μέσω Μ/Χ Fourier Η απόκριση y t ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος σε κάποια διέγερση f t μπορεί να υπολογιστεί είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο της συχνότητας f t h(t) y t = h(t) f t F[ ] F 1 [ ] f ω H(jω) y ω = H(jΩ) f ω 15

16 Παραδείγματα

17 Παράδειγμα 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Σε περιστρεφόμενους άξονες οι οποίου δεν είναι εντελώς ζυγοσταθμισμένοι προκαλούνται δυνάμεις αζυγοσταθμίας Κυκλική συχνότητα διέγερσης ισούται με κυκλική συχνότητα περιστροφής άξονα f t = f 0 cos Ω t = M r Ω 2 cos Ω t Δύναμη που ασκείται κατά τον κατακόρυφο άξονα λόγω της αζυγοστάθμητης μάζας M r που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω Το μέγεθος f 0 της δύναμης είναι ανάλογο της αζυγοστάθμητης μάζας M r και του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής Ω της ατράκτου

18 Παράδειγμα 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Οι αρμονικές δυνάμεις f t λόγω αζυγοσταθμίας προκαλούν κραδασμούς στις μηχανές: αρμονική απόκριση y t Συχνότητα των κραδασμών y t ταυτίζεται με συχνότητα διέγερσης Ω Το εύρος των κραδασμών y t εξαρτάται από την συχνότητα Ω από μηχανικές ιδιότητες της κατασκευής, της έδρασης της Μας ενδιαφέρει η μόνιμη απόκριση σε αρμονικές διεγέρσεις των οποίων η συχνότητα Ω εξαρτάται από την συχνότητα περιστροφής των περιστροφόμενων αξόνων της μηχανής y t Μοντέλο κατασκευής Πηγή αρμονικής δύναμης

19 Παράδειγμα 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Απλούστερο μοντέλο (m-c-k) 1 Β.Ε.: Περιγράφει πως η δύναμη αζυγοσταθμίας f(t) προκαλεί μετατοπίσεις x(t) (κραδασμούς) σε κάποιο σημείο της μηχανής F(t) Σύστημα m-c-k x(t) Επιταχυνσιόμετρα: μετρούν την επιτάχυνση x t = X Ω 2 cos Ω t θ Το εύρος X της απόκρισης μπορεί να εκτιμηθεί μετρώντας το εύρος της επιτάχυνσης X Ω 2 για διάφορες γωνιακές ταχύτητες περιστροφής (σημειώσεις Βενετσάνου #4.7)

20 Παράδειγμα 2: Περιορισμός Ταλαντώσεων Σημειώσεις Βενετσάνου #10, σελίδα 8 Μια αρμονική διέγερση ασκείται στην αδράνεια m 1 Υπάρχει τρόπος η διέγερση αυτή να μην διεγείρει ταλαντώσεις στην αδράνεια m 2? 1. Δυναμικές εξισώσεις συστήματος M q + K q = G f t m 1 0 x 1 + k 1 + k 2 k 2 x 1 0 m 2 x 2 k 2 k 2 x = f t 4m 0 x 1 2k k x m x 2 k k x = f(t)

21 Παράδειγμα 2: Περιορισμός Ταλαντώσεων 2. Μητρώο Μεταφοράς q(s) = (M s 2 + K) 1 G f(s) Η(s) = (M s 2 + K) 1 G Η(s) = 4ms k k 1 k ms 2 + k 0 1 Η s = ms 2 + k k 4m 2 s 4 + 6mks 2 + k 2 k 4ms 2 + 2k 1 0 Η s = H f x1(s) H f x2 (s) = ms 2 + k 4m 2 s 4 + 6mks 2 + k 2 k 4m 2 s 4 + 6mks 2 + k 2 21

22 Παράδειγμα 2: Περιορισμός Ταλαντώσεων 3. Συνάρτηση Aπόκρισης συχνότητα από την δύναμη f(t) στην κίνηση x 2 : H f x1 jω = mω 2 + k 4m 2 Ω 4 6mkΩ 2 + k 2 Όταν Ω = k m τότε H f x1 jω = 0 δηλαδή η διέγερση f t = f 0 cos(ωt) δεν προκαλεί ταλάντωση στην αδράνεια x 1. Η ελαστικότητα k επιλέγεται ανάλογα με την μάζα m 2 = m και την Ω H f x2 jω H f x1 jω

23 Εφαρμογή 1: Οπτικό τραπέζι Δείτε το video στο web site (σύνδεσμοι)!

24 Εφαρμογή 2: Απορρόφηση Κραδασμών σε Ψηλά Κτήρια 24