Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Transcript

1 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

2 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδκτέ -εξετστέ ύλη Σχολικού έτους Από το ιλίο «Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Α Γεικού Λυκείου» Εισγωγικό κεφάλιο E.. Σύολ Κεφ.1ο: Πιθότητες 1.1 Δειγμτικός Χώρος Εδεχόμε 1. Έοι της Πιθότητς (εκτός της υποπργράφου «Αξιωμτικός Ορισμός Πιθότητς») Κεφ.ο: Οι Πργμτικοί Αριθμοί.1 Οι Πράξεις κι οι Ιδιότητές τους. Διάτξη Πργμτικώ Αριθμώ (εκτός της πόδειξης της ιδιότητς 4).3 Απόλυτη Τιμή Πργμτικού Αριθμού.4 Ρίζες Πργμτικώ Αριθμώ (εκτός τω ποδείξεω τω ιδιοτήτω 3 κι 4) Κεφ.3ο: Εξισώσεις 3.1 Εξισώσεις 1ου Βθμού 3. Η Εξίσωση x 3.3 Εξισώσεις ου Βθμού Κεφ.4ο: Αισώσεις 4.1 Αισώσεις 1ου Βθμού 4. Αισώσεις ου Βθμού Κεφ.5ο: Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες 5. Αριθμητική πρόοδος (εκτός της πόδειξης γι το S) 5.3 Γεωμετρική πρόοδος (εκτός της πόδειξης γι το S) Κεφ.6ο: Βσικές Έοιες τω Συρτήσεω 6.1 Η Έοι της Συάρτησης 6. Γρφική Πράστση Συάρτησης (εκτός της υποπργράφου «Απόστση σημείω») 6.3 Η Συάρτηση f(x)= x+ (εκτός της κλίσης ευθείς ως λόγος μετολής) Κεφ.7ο: Μελέτη Βσικώ Συρτήσεω 7.1 Μελέτη της Συάρτησης : f(x)= x 7.3 Μελέτη της Συάρτησης : f(x)= x +x+γ

3 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. ΣΥΝΟΛΑ 1. Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι στοιχεί ή μέλη του συόλου. Έ σύολο πρέπει είι, όπως συηθίζουμε λέμε, «κλώς ορισμέο». Αυτό σημίει ότι τ στοιχεί του μπορού γωρίζοτι με σιγουριά. Γι πράδειγμ δε μπορούμε μιλάμε γι το σύολο τω μεγάλω πργμτικώ ριθμώ. Αυτό δε είι σύολο, με τη μθημτική έοι του όρου, διότι δε υπάρχει κός που κθορίζει ές πργμτικός ριθμός είι ή δε είι μεγάλος. Α όμως θεωρήσουμε τους πργμτικούς ριθμούς που είι μεγλύτεροι του , τότε υτοί ποτελού σύολο. Γι συμολίσουμε έ σύολο στ Μθημτικά, χρησιμοποιούμε έ πό τ κεφλί γράμμτ του Ελληικού ή του Λτιικού λφήτου, εώ γι τ στοιχεί του χρησιμοποιούμε τ μικρά γράμμτ υτώ. Γι πράδειγμ: με συμολίζουμε το σύολο τω φυσικώ ριθμώ, με το σύολο τω κερίω ριθμώ, με Q το σύολο τω ρητώ ριθμώ κι με το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ. Γι δηλώσουμε ότι το x είι στοιχείο του συόλου Α, γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x ήκει στο Α», εώ γι δηλώσουμε ότι το x δε είι στοιχείο του συόλου Α γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x δε ήκει στο Α». Γι πράδειγμ: 3 3,,,, 5 5. Ποιοι είι οι τρόποι πράστσης εός συόλου; Ότ δίοτι όλ τ στοιχεί του συόλου κι είι λίγ σε πλήθος, τότε γράφουμε τ στοιχεί υτά μετξύ δύο γκίστρω, χωρίζοτς τ με το κόμμ. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε έ πρόμοιο συμολισμό κι γι σύολ που έχου πολλά ή άπειρ στοιχεί, γράφοτς μερικά μόο πό υτά κι ποσιωπώτς τ υπόλοιπ, ρκεί είι σφές ποι είι υτά που πρλείποτι. Αυτός ο τρόπος πράστσης εός συόλου λέγετι «πράστση του συόλου με γρφή τω στοιχείω του». Α πό έ σύολο Ω επιλέγουμε εκεί τ στοιχεί του, που έχου μι ορισμέη ιδιότητ Ι, τότε φτιάχουμε έ έο σύολο που συμολίζετι με: {x Ω x έχει τη ιδιότητ Ι} κι διάζετι «Το σύολο τω x Ω, όπου x έχει τη ιδιότητ Ι». Ο πρπάω τρόπος πράστσης εός συόλου λέγετι «πράστση του συόλου με περιγρφή τω στοιχείω του». 3. Πότε δυο σύολ Α κι Β λέγοτι ίσ; Δύο σύολ Α κι Β λέγοτι ίσ, ότ έχου τ ίδι κριώς στοιχεί. Στη περίπτωση υτή γράφουμε Α = Β. Με άλλ λόγι: «Δύο σύολ Α κι Β λέγοτι ίσ, ότ κάθε στοιχείο του Α είι κι στοιχείο του Β κι τιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είι κι στοιχείο του Α». 4. Πότε έ σύολο Α λέγετι υποσύολο εός συόλου Β; Έ σύολο Α λέγετι υποσύολο εός συόλου Β, ότ κάθε στοιχείο του Α είι κι στοιχείο του Β Στη περίπτωση υτή γράφουμε Α Β. Άμεσες συέπειες του ορισμού είι οι: i) Α Α, γι κάθε σύολο Α. ii) Α Α Β κι Β Γ, τότε Α Γ. iii) Α Α Β κι Β Α, τότε Α = Β.

4 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 3 5. Τι λέγετι κεό σύολο κι πως συμολίζετι; Κεό σύολο είι το σύολο που δε έχει στοιχεί κι συμολίζετι με ή { }. Δεχόμστε ότι το κεό σύολο είι υποσύολο κάθε συόλου. ΣΧΟΛΙΟ Μι εποπτική προυσίση τω συόλω κι τω μετξύ τους σχέσεω γίετι με τ διγράμμτ Venn. Κάθε φορά που εργζόμστε με σύολ, τ σύολ υτά θεωρούτι υποσύολ εός συόλου που λέγετι σικό σύολο κι συμολίζετι με Ω. Γι πράδειγμ, τ σύολ, κι Q, είι υποσύολ του σικού συόλου Ω =. Το σικό σύολο συμολίζετι με το εσωτερικό εός ορθογωίου, εώ κάθε υποσύολο εός σικού συόλου πριστάετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό του ορθογωίου. Α Α Β, τότε το Α πριστάετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό της κλειστής κμπύλης που πριστάει το Β. 6. Τι λέγετι έωση δυο (υπο)συόλω Α, Β; Έωση δύο υποσυόλω Α, Β εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που ήκου τουλάχιστο σε έ πό τ σύολ Α κι Β κι συμολίζετι με Α Β. Δηλδή είι: Α Β = {x Ω x Α ή x Β} 7. Τι λέγετι τομή δυο (υπο)συόλω Α, Β; Τομή δύο υποσυόλω Α, Β εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που ήκου κι στ δύο σύολ Α, Β κι συμολίζετι με Α Β. Δηλδή είι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} 8. Τι λέγετι συμπλήρωμ εός (υπο)συόλου Α; Συμπλήρωμ του υποσυόλου Α εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που δε ήκου στο Α κι συμολίζετι με Α. Δηλδή είι: Α = {x Ω x Α} ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 9. Τι λέγετι ιτιοκρτικό πείρμ; Κάθε πείρμ κτά το οποίο η γώση τω συθηκώ κάτω πό τις οποίες εκτελείτι κθορίζει πλήρως το ποτέλεσμ λέγετι ιτιοκρτικό (deterministic) πείρμ. 10. Τι λέγετι πείρμ τύχης; Υπάρχου όμως κι πειράμτ τω οποίω δε μπορούμε εκ τω προτέρω προλέψουμε το ποτέλεσμ, μολοότι επλμάοτι (φιομεικά τουλάχιστο) κάτω πό τις ίδιες συθήκες. Έ τέτοιο πείρμ οομάζετι πείρμ τύχης (random experiment).

5 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι λέγοτι δυτά ποτελέσμτ η δυτές περιπτώσεις εός πειράμτος τύχης; Όλ τ ποτελέσμτ που μπορού εμφιστού σε έ πείρμ τύχης λέγοτι δυτά ποτελέσμτ ή δυτές περιπτώσεις του πειράμτος. 1. Τι λέγετι δειγμτικός χώρος εός πειράμτος τύχης; Δειγμτικός χώρος (sample space) εός πειράμτος τύχης, οομάζετι το σύολο όλω τω δυτώ ποτελεσμάτω που μπορού εμφιστού κι συμολίζετι συήθως με το γράμμ Ω. Α δηλδή ω 1,ω,...,ω κ είι τ δυτά ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης, τότε ο δειγμτικός χώρος του πειράμτος θ είι το σύολο: Ω={ ω 1,ω,...,ω κ }. 13. Τι λέγετι εδεχόμεο; Εδεχόμεο οομάζετι το σύολο που έχει ως στοιχεί έ ή περισσότερ ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης. Κάθε εδεχόμεο είι υποσύολο του δειγμτικού χώρου. 14. Ποιο εδεχόμεο λέγετι πλό κι ποιο σύθετο; Έ εδεχόμεο λέγετι πλό ότ έχει έ μόο στοιχείο κι σύθετο έχει περισσότερ στοιχεί. 15. Πότε λέμε ότι έ εδεχόμεο πργμτοποιείτι; Ότ το ποτέλεσμ εός πειράμτος, σε μι συγκεκριμέη εκτέλεσή του είι στοιχείο εός εδεχομέου, τότε λέμε ότι το εδεχόμεο υτό πργμτοποιείτι ή συμίει. Γι υτό τ στοιχεί εός εδεχομέου λέγοτι κι ευοϊκές περιπτώσεις γι τη πργμτοποίησή του. 16. Ποιο εδεχόμεο λέγετι έιο κι ποιο δύτο; Ο δειγμτικός χώρος Ω εός πειράμτος θεωρείτι ότι είι εδεχόμεο, το οποίο πργμτοποιείτι πάτοτε, φού όποιο κι είι το ποτέλεσμ του πειράμτος θ ήκει στο Ω. Γι υτό το Ω λέγετι έιο εδεχόμεο. Το κεό σύολο θεωρείτι εδεχόμεο που δε πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος τύχης. Γι υτό λέμε ότι το είι το δύτο εδεχόμεο. 17. Πότε δυο εδεχόμε Α, Β λέγοτι συμίστ; Δύο εδεχόμε Α κι Β λέγοτι συμίστ, ότ A B=. Δύο συμίστ εδεχόμε λέγοτι επίσης ξέ μετξύ τους ή μοιίως ποκλειόμε. 1. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 18. Τι οομάζετι σχετική συχότητ εός εδεχομέου Α; Α σε εκτελέσεις εός πειράμτος έ εδεχόμεο Α πργμτοποιείτι κ φορές, τότε ο λόγος κ οομάζετι σχετική συχότητ του Α κι συμολίζετι με f A. 19. Τι οομάζετι σττιστική ομλότητ ή όμος τω μεγάλω ριθμώ; Οι σχετικές συχότητες πργμτοποίησης τω εδεχομέω εός πειράμτος στθεροποιούτι γύρω πό κάποιους ριθμούς (όχι πάτοτε ίδιους), κθώς ο ριθμός τω δοκιμώ του πειράμτος επλμάετι περιόριστ. Το εμπειρικό υτό εξγόμεο, το οποίο επιειώετι κι θεωρητικά, οομάζετι σττιστική ομλότητ ή όμος τω μεγάλω ριθμώ. 0. Ν διτυπώσετε το κλσικό ορισμό τω πιθοτήτω. Σε έ πείρμ με ισοπίθ ποτελέσμτ, ορίζουμε ως πιθότητ του εδεχομέου Α το ριθμό: Πλήθος ΕυοϊκώΠεριπτώσεω Ν(Α) Ρ(Α) = = Πλήθος ΔυτώΠεριπτώσεω Ν(Ω) Από το προηγούμεο ορισμό προκύπτει άμεσ ότι: Ν(Ω) 1. Ρ(Ω) = =1 Ν(Ω). 0 Ρ( ) = = 0 Ν(Ω)

6 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 5 3. Γι κάθε εδεχόμεο Α ισχύει 0 P(A) 1, φού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου είι ίσο ή μικρότερο πό το πλήθος τω στοιχείω του δειγμτικού χώρου. 1. Κόες Λογισμού τω Πιθοτήτω 1.Γι οποιδήποτε συμίστ μετξύ τους εδεχόμε Α κι Β ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α N(A)=κ κι N(Β)=λ, τότε το Α Β έχει κ+λ στοιχεί, γιτί λλιώς τ Α κι Β δε θ ήτ συμίστ. Δηλδή,έχουμε N(A Β)=κ+λ= N(A)+N(Β). Ν(A U Β) Ν(Α)+Ν(Β) Ν(Α) Ν(Β) Επομέως: Ρ(Α U Β) = = = + =Ρ(Α)+Ρ(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως πλός προσθετικός όμος (simply additive law) κι ισχύει κι γι περισσότερ πό δύο εδεχόμε. Έτσι, τ εδεχόμε Α, Β κι Γ είι ά δύο συμίστ θ έχουμε: P(A B Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ).. Γι δύο συμπληρωμτικά εδεχόμε Α κι Α' ισχύει: P(A')=1 - P(A) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή A A'=, δηλδή τ Α κι A' είι συμίστ, έχουμε διδοχικά, σύμφω με το πλό προσθετικό όμο:p(a A')=P(A)+P(A') άρ P(Ω)=P(A)+P(A') άρ 1=P(A)+P(A'). Οπότε P(A')=1-P(A). 3. Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι δυο εδεχόμε Α κι Β έχουμε N(A B)=N(A)+N(B)-N(A B), (1) φού στο άθροισμ N(A)+N(B) το πλήθος τω στοιχείω του A B υπολογίζετι δυο φορές. Α διιρέσουμε τ μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε: Ν(A Β) Ν(Α) Ν(Β) Ν(A Β) = + - Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) κι επομέως P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως προσθετικός όμος (additive law). 4. Α A B, τότε P(A) P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή A B έχουμε διδοχικά: N(A) N(Β) N(A) N(B) Ρ(Α) Ρ(Β) N(Ω) N(Ω) 5. Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει: P(A-B)=P(A)-P(A B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ εδεχόμε A-B κι A B είι συμίστ κι (A-B) (A B)=A, έχουμε: P(A)=P(A-B)+P(A B) Άρ P(A-B)=P(A)-P(A B)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6. Πράξεις με Εδεχόμε Τ εδεχόμε είι υποσύολ του δειγμτικού χώρου Ω. Επομέως, μετξύ τω εδεχομέω εός πειράμτος μπορού οριστού οι γωστές πράξεις μετξύ τω συόλω, πό τις οποίες προκύπτου έ εδεχόμε. Στο πρκάτω πίκ τ Α κι Β συμολίζου εδεχόμε εός πειράμτος κι το ω έ ποτέλεσμ του πειράμτος υτού. Διάφορες σχέσεις γι τ Α κι Β διτυπωμέες στη κοιή γλώσσ Οι ίδιες σχέσεις διτυπωμέες στη γλώσσ τω συόλω. Εποπτική προυσίση τω συόλω κι τω μετξύ τους σχέσεω με τ διγράμμτ Venn. Το εδεχόμεο Α πργμτοποιείτι ω Α Το εδεχόμεο Α δε πργμτοποιείτι ω Α' (ή ω Α) Έ τουλάχιστο πό τ Α κι Β πργμτοποιείτι ω A Β Πργμτοποιούτι μφότερ τ Α κι Β ω A B Δε πργμτοποιείτι κέ πό τ Α κι Β ω (Α Β)' Πργμτοποιείτι μόο το Α ω A - B (ή ω A B ') Πργμτοποιείτι μόο έ πό τ Α κι Β. ω (A B') (A' B) Η πργμτοποίηση του Α συεπάγετι τη πργμτοποίηση του Β Α B

8 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ(Επλήψεις-Συμπληρώσεις) 3. Εισγωγή Οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς. Κάθε ρητός ριθμός έχει (ή μπορεί πάρει) κλσμτική μορφή, δηλδή τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0. Κάθε ρητός ριθμός μπορεί γρφεί ως δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός κι, τιστρόφως, κάθε δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός μπορεί πάρει κλσμτική μορφή. Άρρητοι λέγοτι οι ριθμοί, όπως οι, 3, π, κτλ., που δε μπορού πάρου τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0. (ή, με άλλ λόγι, δε μπορού γρφού ούτε ως δεκδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκδικοί). 4. Πράξεις Γι τη πρόσθεση κι το πολλπλσισμό ισχύου οι ιδιότητες που φέροτι στο επόμεο πίκ, οι οποίες κι ποτελού τη άση του λγερικού λογισμού. Ιδιότητ Πρόσθεση Πολλπλσισμός Ατιμετθετική + = + = Προσετιριστική + ( + γ) = ( + ) + γ (γ) = ()γ Ουδέτερο Στοιχείο + 0 = 1 = Ατίθετος/Ατίστροφος Αριθμού + (-) = 0 1 = 1, 0 Επιμεριστική ( + γ) = + γ Ο ριθμός 0 λέγετι κι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι προστιθέμεος σε οποιοδήποτε ριθμό δε το μετάλλει. Επίσης ο ριθμός 1 λέγετι κι ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, διότι οποιοσδήποτε ριθμός πολλπλσιζόμεος με υτό δε μετάλλετι. Ιδιότητες ( = κι γ = δ ) + γ = + δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις προσθέσουμε κτά μέλη. ( = κι γ = δ) γ = δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη. = + γ = + γ δηλδή, μπορούμε κι στ δυο μέλη μις ισότητς προσθέσουμε ή φιρέσουμε το ίδιο ριθμό. Α γ 0, τότε: = γ = γ δηλδή, μπορούμε κι τ δυο μέλη μις ισότητς τ πολλπλσιάσουμε ή τ διιρέσουμε με το ίδιο μη μηδεικό ριθμό. = 0 = 0 ή = 0 δηλδή, το γιόμεο δύο πργμτικώ ριθμώ είι ίσο με το μηδέ, κι μόο ές τουλάχιστο πό τους ριθμούς είι ίσος με το μηδέ. Άμεση συέπει της ιδιότητς υτής είι η κόλουθη: 0 0 κι 0. ΣΧΟΛΙΟ Ότ πό τη ισότητ + γ = + γ ή πό τη ισότητ γ = γ μετίουμε στη ισότητ =, τότε λέμε ότι διγράφουμε το ίδιο προσθετέο ή το ίδιο πράγοτ τιστοίχως. Όμως στη περίπτωση που διγράφουμε το ίδιο πράγοτ πρέπει ελέγχουμε μήπως ο πράγοτς υτός είι ίσος με μηδέ. 5. Δυάμεις Α ο είι πργμτικός ριθμός κι ο φυσικός, η δύμη ορίζετι ως εξής: =, γι >1

9 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 8 1 =, γι = 1. 0 = 1, γι = 0 κι 0 - = 1 γι 1 κι 0 Οι ιδιότητες τω δυάμεω με εκθέτη κέριο, με τη προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζοτι οι δυάμεις κι οι πράξεις που σημειώοτι είι: κ λ = κ+λ κ κ-λ λ = κ κ = () κ κ κ κ = ( κ ) λ = κλ ΣΧΟΛΙΟ Εώ είι φερό ότι, =, τότε =, δε ισχύει το τίστροφο. 6. Αξιοσημείωτες τυτότητες Κάθε ισότητ που περιέχει μετλητές κι επληθεύετι γι όλες τις τιμές τω μετλητώ υτώ λέγετι τυτότητ. Οι πιο ξιοσημείωτες τυτότητες: ( + ) = + + ( - ) = = ( + ) ( - ) ( + ) 3 = ( - ) 3 = =( + ) ( - + ) 3-3 =( - ) ( + + ) ( + + γ ) = + + γ + + γ + γ 7. Μέθοδοι πόδειξης Ευθεί πόδειξη: Ξεκιάμε πό τη υπόθεση (δεδομέ) κι με μι σειρά κτάλληλω ισχυρισμώ που στηρίζοτι στις ιδιότητες τω πράξεω, κτλήγουμε στο ζητούμεο. Απγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι δε ισχύει υτό που θέλουμε ποδείξουμε κι χρησιμοποιώτς ληθείς προτάσεις φθάουμε σε έ συμπέρσμ που έρχετι σε τίθεση με υτό που γωρίζουμε ότι ισχύει. ( άτοπο). ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 8. Πότε ές ριθμός είι μεγλύτερος πό έ ριθμό ; Ές ριθμός λέμε ότι είι μεγλύτερος πό έ ριθμό, κι γράφουμε >, ότ η διφορά είι θετικός ριθμός. Στη περίπτωση υτή λέμε επίσης ότι ο είι μικρότερος του κι γράφουμε < Από το πρπάω ορισμό προκύπτει μέσως ότι: Κάθε θετικός ριθμός είι μεγλύτερος πό το μηδέ. Κάθε ρητικός ριθμός είι μικρότερος πό το μηδέ. Έτσι ο ρχικός ορισμός γράφετι ισοδύμ: > - > 0 Α γι τους ριθμούς κι ισχύει > ή =, τότε γράφουμε κι διάζουμε: «μεγλύτερος ή ίσος του». Από το τρόπο με το οποίο γίοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού, προκύπτει ότι: ( > 0 κι > 0) + > 0 ( < 0 κι < 0) + < 0

10 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 9, ομόσημοι > 0 > 0, ετερόσημοι < 0 < 0 0, γι κάθε ϵ (Η ισότητ ισχύει μόο ότ = 0) Από τη τελευτί εύκολ προκύπτου κι οι ισοδυμίες: + = 0 = 0 κι = 0 + > 0 0 ή 0 9. Διτυπώστε τις ιδιότητες τω ισοτήτω. ( > κι > γ) > γ > + γ > + γ Α γ > 0, τότε: > γ > γ Α γ < 0, τότε: > γ < γ ( > κι γ > δ ) + γ > + δ Γι θετικούς ριθμούς,, γ, δ ισχύει η συεπγωγή: ( > κι γ > δ ) γ > δ Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: > > Α δυο ισότητες της ίδις φοράς τις προσθέσουμε κτά μέλη, προκύπτει ισότητ της ίδις φοράς. Δε συμίει όμως το ίδιο με τη φίρεση. Γι πράδειγμ, είι:10 > 6 κι 7 >, λλά 10-7 < 6 -. Α δυο ισότητες της ίδις φοράς με θετικούς, όμως, όρους τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη, προκύπτει ισότητ της ίδις φοράς. Δε συμίει όμως το ίδιο με τη διίρεση. Γι πράδειγμ, είι: > 10 κι 6 >, λλά < Τι λέγετι κλειστό διάστημ πό μέχρι,τι οικτό διστήμτ πό μέχρι,τι άκρ τω διστημάτω κι τι εσωτερικό σημείο υτώ; Το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ x με x λέγετι κλειστό διάστημ πό μέχρι κι συμολίζετι με [, ]. Α τώρ πό το κλειστό διάστημ [, ] πρλείψουμε τ κι προκύπτει το τίστοιχο οικτό διάστημ πό το μέχρι που συμολίζετι με (, ). Οι ριθμοί κι λέγοτι άκρ τω διστημάτω υτώ κι κάθε ριθμός μετξύ τω κι λέγετι εσωτερικό σημείο υτώ. Η διφορά δηλδή μετξύ εός κλειστού κι του τίστοιχου οικτού διστήμτος είι ότι το πρώτο περιέχει τ άκρ του, εώ το δεύτερο δε τ περιέχει. Στο πρκάτω πίκ συοψίζοτι οι μορφές διστημάτω πργμτικώ ριθμώ κι οι διάφορες πρστάσεις τους: ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ x [, ] x < [, ) < x (, ] < x < (, )

11 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 10 x [, + ) x > (, + ) x (-, ] x < (-, ).3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 31. Ν δώσετε το ορισμό της πόλυτης τιμής εός πργμτικού ριθμού. Η πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού συμολίζετι με κι ορίζετι πό το τύπο: 0 = - <0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ως άμεσες συέπειες του ορισμού της πόλυτης τιμής προκύπτου: = - 0 κι - = Α θ>0, τότε: x = θ x = θ ή x = -θ x = x = ή x = - 3. Ν διτυπώσετε κι ποδείξετε τις ιδιότητες τω πολύτω τιμώ. Γι τις πόλυτες τιμές προκύπτου οι κόλουθες ιδιότητες: 1. =. < ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς = είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά: = = ( ) = ( ) =,που ισχύει.. Αποδεικύετι με το ίδιο τρόπο. 3. Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς + + είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά: ( + ) ( + ) , που ισχύει. Είι φερό ότι η ισότητ = ισχύει κι μόο 0, δηλδή κι μόο οι ριθμοί κι είι ομόσημοι ή ές τουλάχιστο πό υτούς είι ίσος με μηδέ. Η ισότητ = ισχύει κι γι περισσότερους πράγοτες. Συγκεκριμέ: 1... = 1... Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = =... = =, έχουμε: = Η ισότητ + + ισχύει κι γι περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριμέ:

12 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι λέγετι πόστση δύο ριθμώ, ; Α πάρουμε δυο ριθμούς, κι, που πριστάοτι πάω στο άξο με τ σημεί Α κι Β τιστοίχως, τότε το μήκος του τμήμτος ΑΒ λέγετι πόστση τω ριθμώ κι, συμολίζετι με d(,) κι είι ίση με -. Είι δηλδή: d(, ) = - Προφώς ισχύει d (, ) = d (, ). Στη περίπτωση μάλιστ που είι <, τότε η πόστση τω κι είι ίση με - κι λέγετι μήκος του διστήμτος [, ]. 34. Τι λέγετι κέτρο κι τι κτί του διστήμτος [, ]. Ας θεωρήσουμε έ διάστημ [, ] κι ς οομάσουμε Α κι Β τ σημεί που πριστάου στο άξο τ άκρ κι τιστοίχως. Α Μ (x 0 ) είι το μέσο του τμήμτος AB, τότε έχουμε: (MA) = (MB) d(x 0, ) = d(x 0, ) x 0 - = x x 0 - = - x 0, (φού < x 0 <) x 0 = + x 0 = Ο ριθμός + που τιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήμτος ΑΒ λέγετι κέτρο του διστήμτος - [, ], εώ ο ριθμός ρ = λέγετι κτί του [, ]. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ως μήκος, κέτρο κι κτί τω διστημάτω (, ), [, ) κι (, ] ορίζουμε το μήκος, το κέτρο κι τη κτί του διστήμτος [, ]. Ως άμεσες συέπειες του ορισμού της πόστσης προκύπτου: Γι x 0 κι ρ>0, ισχύει: x - x 0 <ρ x (x 0 - ρ, x 0 + ρ) x 0 - ρ<x<x 0 + ρ Γι x 0 κι ρ>0, ισχύει: x - x 0 >ρ x (-, x 0 - ρ) (x 0 + ρ, + ) x<x 0 - ρ ή x>x 0 + ρ.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 35. Ν δώσετε το ορισμό της τετργωικής ρίζς εός μη ρητικού ριθμού. H τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με κι είι ο μη ρητικός ριθμός που, ότ υψωθεί στο τετράγωο, δίει το. 36. Ν διτυπώσετε τις ιδιότητες της τετργωικής ρίζς. Γι τις τετργωικές ρίζες μη ρητικώ ριθμώ προκύπτου οι πρκάτω ιδιότητες: =, 0 =, =,, 0 =, 0 κι, Ν δώσετε το ορισμό της -στης ρίζς εός μη ρητικού ριθμού. Η -οστή ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με κι είι ο μη ρητικός ριθμός που, ότ υψωθεί στη, δίει το.

13 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ν διτυπώσετε κι ποδείξετε τις ιδιότητες της -στης ρίζς μη ρητικού ριθμού. Α, 0, τότε: 1. =. = (εφόσο 0) 3. μ = μ 4. ρ μρ = ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Έχουμε: που ισχύει. = =. Αποδεικύετι όπως κι η 1. ΣΧΟΛΙΟ Η ιδιότητ 1. ισχύει κι γι περισσότερους πό δυο μη ρητικούς πράγοτες. Συγκεκριμέ, γι μη ρητικούς ριθμούς 1,,..., κ ισχύει: = 1 κ 1 κ Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = =... = κ = 0, ισχύει: οπότε, λόγω της ιδιότητς 1., γι, 0 έχουμε: = = 39. Πώς ορίζετι μι δύμη με ρητό εκθέτη. Α >0, μ κέριος κι θετικός κέριος τότε ορίζουμε: Επιπλέο, μ, θετικοί κέριοι, τότε ορίζουμε: μ 0 = 0 μ μ =, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ 40. Πώς επιλύετι μι εξίσωση 1 ου θμού; Επιλύουμε τη εξίσωση x + = 0 με τη οήθει τω ιδιοτήτω τω πράξεω, οποιοιδήποτε κι είι οι ριθμοί,. Έχουμε λοιπό: x + = 0 x + - = - x = - Δικρίουμε τώρ τις περιπτώσεις: Α 0 τότε: x = - x= Επομέως, 0 η εξίσωση έχει κριώς μί λύση, τη x=-. Α = 0, τότε η εξίσωση x = - γίετι 0x = -, η οποί: είι 0 δε έχει λύση κι γι υτό λέμε ότι είι δύτη, εώ είι = 0 έχει τη μορφή 0x = 0 κι ληθεύει γι κάθε πργμτικό ριθμό x δηλδή είι τυτότητ. Η λύση της εξίσωσης x + = 0 κι γεικά κάθε εξίσωσης λέγετι κι ρίζ υτής. ΣΧΟΛΙΟ Κάθε φορά που κτλήγουμε σε εξίσωση της μορφής x + = 0, της οποίς οι συτελεστές κι είι συγκεκριμέοι ριθμοί μπορούμε μέσως δούμε ποι πό τις προηγούμεες περιπτώσεις ισχύει. Δε συμίει όμως το ίδιο, οι συτελεστές κι της εξίσωσης x + = 0 εκφράζοτι με τη οήθει γρμμάτω. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τ γράμμτ υτά λέγοτι πράμετροι,

14 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 13 η εξίσωση λέγετι πρμετρική κι η εργσί που κάουμε γι τη εύρεση του πλήθους τω ριζώ της λέγετι διερεύηση. 3. Η ΕΞΙΣΩΣΗ x = 41. Πώς επιλύετι η εξίσωση x = ; Η εξίσωση x =, με >0 κι περιττό φυσικό ριθμό, έχει κριώς μι λύση τη Η εξίσωση x =, με >0 κι άρτιο φυσικό ριθμό, έχει κριώς δύο λύσεις τη κι - Η εξίσωση x =, με <0 κι περιττό φυσικό ριθμό, έχει κριώς μι λύση τη - -. Η εξίσωση x =, με <0 κι άρτιο φυσικό ριθμό, είι δύτη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Από τ πρπάω συμπεράσμτ κι πό το γεγοός ότι η εξίσωση x =, με Ν*, έχει προφή λύση τη x =, προκύπτει ότι: Α ο περιττός τότε η εξίσωση x = έχει μοδική λύση, τη x = Α ο άρτιος τότε η εξίσωση x = έχει δύο λύσεις, τις x 1 = κι x = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4. Ν γίει επιλύση της εξίσωσης δευτέρου θμού x +x+γ=0, ( 0) με τη μέθοδο της «συμπλήρωσης του τετργώου». Έχουμε: γ γ γ γ x + x + γ =0 x + x + =0 x + x= - x + x = - x +x + = x+ = 4γ 4 Α θέσουμε Δ = - 4γ, τότε η τελευτί εξίσωση γίετι: x+ = 4 Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Α Δ> 0, τότε έχουμε: x+ = ή x+ =- Δηλδή: - + Δ x= ή - - Δ x= Επομέως η εξίσωση x +x+γ=0, άρ κι η ισοδύμή της x+ = - + Δ τις: x = Δ κι x = - Δ Γι συτομί οι λύσεις υτές γράφοτι: x = 1, Α Δ = 0, τότε η εξίσωση x+ = 4 γράφετι: x+ = x+ x+ = x+ = x+ = x=- x= ή 0 ή Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζ τη x = - 1, 4 Α Δ<0, τότε η εξίσωση x+ = 4, έχει δύο λύσεις άισες, άρ κι η ισοδύμή της x +x+γ=0, δε έχει πργμτικές ρίζες, δηλδή είι δύτηστο. Η λγερική πράστση Δ = - 4γ, πό τη τιμή της οποίς εξρτάτι το πλήθος τω ριζώ της εξίσωσης x + x + γ = 0, 0, οομάζετι δικρίουσ υτής.

15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ποιες είι οι λύσεις μις εξίσωσης ου θμού; Δ = - 4γ Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 -± Δ Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άισες τις x = 1, Δ = 0 Έχει μι διπλή ρίζ τη x 1, = - Δ < 0 Είι δύτη στο. 44. Ν ποδείξετε τους τύπους του Vieta. Α με S συμολίσουμε το άθροισμ x 1 + x κι με P το γιόμεο x 1 x, τότε έχουμε τους τύπους: ΑΠΟΔΕΙΞΗ - S= κι γ P= που είι γωστοί ως τύποι του Vieta. - + Δ - - Δ - - S=x x Δ - 4γ - + Δ - - Δ 4γ γ P=x x Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση x +x+γ=0, 0, με τη οήθει τω τύπω του Vieta, μετσχημτίζετι στη x -Sx+P=0. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση x + x + γ = 0, με τη οήθει τω τύπω του Vieta, μετσχημτίζετι ως εξής: γ x + x + γ =0 x + x =0 x - x x x+ x x =0 x +Sx+P = 0 Η τελευτί μορφή της εξίσωσης x + x + γ = 0 μς δίει τη δυτότητ τη κτσκευάσουμε, ότ γωρίζουμε το άθροισμ κι το γιόμεο τω ριζώ της. ΣΧΟΛΙΟ Οι εξισώσεις της μορφής x 4 + x + γ = 0, με 0 οομάζοτι διτετράγωες εξισώσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ 46. Πώς επιλύετι μι ίσωση 1 ου θμού; Έχουμε: x + > 0 x + - > - x > - Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Α >0, τότε: x > - x >- x> Α <0, τότε: x > - x <- x< Α = 0, τότε η ίσωση γίετι 0x> -, η οποί ληθεύει γι κάθε x, είι >0, εώ είι δύτη, είι 0.

16 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 47. Πώς πργοτοποιείτι το τριώυμο; Το τριώυμο x + x + γ, 0 μετσχημτίζετι ως εξής: γ γ x + x + γ = x + x + = x +x + = x -4γ 4 Δ Επομέως: x + x+ γ = x+ - (1) 4 Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Δ>0. Τότε ισχύει Δ = Δ, οπότε έχουμε: Δ Δ Δ - + Δ - - Δ x + x + γ = x+ - x+ - x+ x- x- Επομέως: x + x + γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωύμου. Άρ, ότ Δ>0, τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επί δύο πρωτοάθμιους πράγοτες. Δ = 0. Τότε πό τη ισότητ (1) έχουμε: x + x + γ = x+ Άρ, ότ Δ = 0, τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επί έ τέλειο τετράγωο. Δ Δ<0. Τότε ισχύει Δ = -Δ, οπότε έχουμε: x + x+ γ = x+ + 4 Επειδή γι κάθε x, η πράστση μέσ στη γκύλη είι θετική, το τριώυμο δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω. 48. Ποιο είι το πρόσημο τω τιμώ του τριωύμου; Γι μελετήσουμε το πρόσημο τω τιμώ του τριωύμου x + x + γ, 0, θ χρησιμοποιήσουμε τις μορφές του άλογ με τη δικρίουσ. Α Δ>0, τότε, όπως είδμε προηγουμέως, ισχύει: x + x + γ= (x - x 1 )(x - x ) (1) Υποθέτουμε ότι x 1 <x κι τοποθετούμε τις ρίζες σε έ άξο. Πρτηρούμε ότι: Α x < x 1 < x (Σχήμ), τότε x - x 1 < 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ομόσημο του. Α x 1 < x < x (Σχήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) < 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ετερόσημο του. Α x 1 < x < x (Σχήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x > 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ομόσημο του. Α Δ = 0, τότε ισχύει: x + x + γ = x+ Επομέως, το τριώυμο είι ομόσημο του γι κάθε πργμτικό γι x=- x -, εώ μηδείζετι Α Δ<0, τότε ισχύει: x + x+ γ = x+ Δ + 4

17 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16 Όμως η πράστση μέσ στη γκύλη είι θετική γι κάθε πργμτικό ριθμό x. Επομέως το τριώυμο είι ομόσημο του σε όλο το. Τ πρπάω συοψίζοτι στο πίκ: Το τριώυμο x + x + γ, 0 γίετι: Ετερόσημο του, μόο ότ είι Δ>0 κι γι τις τιμές του x, που ρίσκοτι μετξύ τω ριζώ. Μηδέ, ότ η τιμή του x είι κάποι πό τις ρίζες του τριωύμου. Ομόσημο του σε κάθε άλλη περίπτωση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 49. Τι οομάζετι κολουθί πργμτικώ ριθμώ; Ακολουθί πργμτικώ ριθμώ είι μι τιστοίχιση τω φυσικώ ριθμώ 1,,3,,, στους πργμτικούς ριθμούς. Ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο 1 κλείτι πρώτος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με 1, ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο κλείτι δεύτερος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με κ.λ.π. Γεικά ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ές φυσικός ριθμός κλείτι -οστός ή γεικός όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με. 50. Πότε λέμε ότι μί κολουθί ( ) ορίζετι δρομικά; Γι ορίζετι μι κολουθί δρομικά, πιτείτι γωρίζουμε: i. Το δρομικό της τύπο δηλδή τη ισότητ + = +1 + κι ii. Όσους ρχικούς όρους μς χρειάζοτι, ώστε ο δρομικός τύπος ρχίσει δίει όρους. ΣΧΟΛΙΟ Υπάρχου κολουθίες, γι τις οποίες μέχρι τώρ δε γωρίζουμε ούτε έ τύπο γι το γεικό τους όρο ούτε έ δρομικό τύπο. Μι τέτοι κολουθί είι π.χ. η κολουθί τω πρώτω ριθμώ:, 3, 5, 7, 11, 13, ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 51. Τι οομάζετι ριθμητική πρόοδος κι τι διφορά της ριθμητικής προόδου; Μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθμού. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με ω κι το λέμε διφορά της προόδου. 5. Ν ποδείξετε ότι ο ος όρος μις ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είι: = 1 +(-1)ω ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το ορισμό της ριθμητικής προόδου έχουμε: 1 = 1 = 1 + ω 3 = + ω 4 = 3 + ω. -1 = - + ω = -1 + ω Προσθέτοτς κτά μέλη της υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της διγρφής ρίσκουμε: = 1 + (-1)ω

18 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ν ποδείξετε ότι τρεις ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι μόο ισχύει: = +γ. Ποιος είι ο ριθμητικός μέσος; Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις ριθμητικής προόδου με διφορά ω, τότε ισχύει: - = ω κι γ - = ω, επομέως - = γ - ή = +γ Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ ισχύει = +γ τότε έχουμε: = + γ ή - = γ - που σημίει ότι οι,, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ο λέγετι ριθμητικός μέσος τω κι γ 54. Με τι ισούτι το άθροισμ τω πρώτω όρω μις ριθμητικής προόδου; Το άθροισμ τω πρώτω όρω ριθμητικής προόδου ( ) με διφορά ω είι: S = 1+ ή S = ω 5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 55. Τι οομάζετι γεωμετρική πρόοδος κι τι λόγος της γεωμετρικής προόδου; Μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό ριθμό. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με λ κι το λέμε λόγο της προόδου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σε μι γεωμετρική πρόοδο ( ) υποθέτουμε πάτ ότι 1 0, οπότε, φού είι κι λ 0, ισχύει 0 γι κάθε v *. 56. Ν ποδείξετε ότι ο ος όρος μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι λόγο λ είι: = 1 λ -1 Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε: 1 = 1 = 1 λ 3 = λ 4 = 3 λ.. -1 = - λ = -1 λ Πολλπλσιάζοτς κτά μέλη τις υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της διγρφής ρίσκουμε : = 1 λ Ν ποδείξετε ότι τρεις μη μηδεικοί ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου κι μόο ισχύει = γ. Ποιος είι ο γεωμετρικός μέσος; Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει: = λ κι γ = λ επομέως = γ ή = γ Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ 0 ισχύει = γ, τότε = γ οι,, γ είι διδοχικοί όροι μις γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός ριθμός γ λέγετι γεωμετρικός μέσος τω κι γ. που σημίει ότι 58. Με τι ισούτι το άθροισμ τω πρώτω όρω μις γεωμετρικής προόδου; λ -1 Το άθροισμ τω πρώτω όρω μις γεωμετρικής προόδου () με λόγο λ 1 είι: S = 1 λ-1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στη περίπτωση που ο λόγος της προόδου είι λ=1, τότε το άθροισμ τω όρω της είι S v = 1 φού όλοι οι όροι της προόδου είι ίσοι με 1.

19 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59. Τι οομάζετι συάρτηση, τι πεδίο ορισμού κι τι σύολο τιμώ της συάρτησης; Συάρτηση f πό έ σύολο Α σε έ σύολο Β λέγετι μι διδικσί (κός) με τη οποί κάθε στοιχείο του συόλου Α τιστοιχίζετι σε έ κριώς στοιχείο του συόλου Β. Το σύολο Α λέγετι πεδίο ορισμού ή σύολο ορισμού της συάρτησης f. Το σύολο, που έχει γι στοιχεί του τις τιμές f(x) γι όλ τ x Α, λέγετι σύολο τιμώ της f κι συμολίζετι με f(α). 60. Ποι είι η εξάρτητη κι ποι η εξρτημέη μετλητή μις συάρτησης f; Α με μι συάρτηση ƒ πό το Α στο Β, το x Α τιστοιχίζετι στο y Β, τότε γράφουμε: y = ƒ(x) Το γράμμ x, που πριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού της f, λέγετι εξάρτητη μετλητή, εώ το y, που πριστάει τη τιμή της συάρτησης στο x, οομάζετι εξρτημέη μετλητή. ΣΧΟΛΙΟ Γι οριστεί μι συάρτηση ƒ, πρέπει δοθού τρί στοιχεί: Το πεδίο ορισμού της Α Το σύολο Β κι Το ƒ(x) γι κάθε x Α Α κι, γεικά, χρησιμοποιούμε το γράμμ f γι τ συμολισμό μις συάρτησης κι το γράμμ x γι το συμολισμό του τυχίου στοιχείου του πεδίου ορισμού της, ωστόσο μπορούμε χρησιμοποιήσουμε κι άλλ γράμμτ. Έτσι γι πράδειγμ οι: ƒ(x) = x - 4x + 7, g(t) = t - 4t + 7 κι h(s) = s - 4s + 7 ορίζου τη ίδι συάρτηση. 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 61. Τι οομάζετι γρφική πράστση μις συάρτησης; Έστω ƒ μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Oxy έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο. Το σύολο τω σημείω M (x, y) γι τ οποί ισχύει y = ƒ(x), δηλδή το σύολο τω σημείω M (x, ƒ(x)), x A, λέγετι γρφική πράστση της ƒ κι συμολίζετι συήθως με C ƒ. 6. Γιτί η y = ƒ(x) είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της ƒ; Η εξίσωση, y = ƒ(x) επληθεύετι πό τ σημεί της C ƒ κι μόο πό υτά. Επομέως, η y = ƒ(x) είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της ƒ. Επειδή κάθε x A τιστοιχίζετι σε έ μόο y, δε υπάρχου σημεί της γρφικής πράστσης της ƒ με τη ίδι τετμημέη. Αυτό σημίει ότι κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει με τη γρφική πράστση της ƒ το πολύ έ κοιό σημείο (Σχ.'). Έτσι,ο κύκλος δε ποτελεί γρφική πράστση συάρτησης (Σχ. '). Ότ δίετι η γρφική πράστση μις συάρτησης ƒ μπορούμε, επίσης, σχεδιάσουμε κι τη γρφική πράστση της συάρτησης -ƒ, πίροτς τη συμμετρική της γρφικής πράστσης της ƒ ως προς το άξο x'x κι τούτο διότι η γρφική πράστσης της -ƒ ποτελείτι πό τ σημεί M (x,-ƒ(x)) που είι συμμετρικά τω σημείω M(x, ƒ(x)) της γρφικής πράστσης της ƒ ως προς το άξο x'x. 6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ƒ(x) = x Τι είι ο συτελεστής διεύθυσης ή κλίση μις ευθείς; Συτελεστή διεύθυσης ή κλίση μις ευθείς ε ορίζουμε τη εφπτομέη της γωίς ω που σχημτίζει η ε με το άξο x'x. Ο συτελεστής διεύθυσης μις ευθείς ε συμολίζετι συήθως με λ ε. ή πλά με λ.

20 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19 Έστω Oxy έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι ε μι ευθεί που τέμει το άξο x'x στο σημείο Α.Τη γωί ω που διγράφει η ημιευθεί Αx, ότ στρφεί γύρω πό το Α κτά τη θετική φορά μέχρι πέσει πάω στη ευθεί ε, τη λέμε γωί που σχημτίζει η ε με το άξο x'x. Α η ευθεί ε είι πράλληλη προς το άξο x 'x ή συμπίπτει με υτό, τότε λέμε ότι η ευθεί ε σχημτίζει με το άξο x 'x γωί ω = 0. Σε κάθε περίπτωση γι τη γωί ω ισχύει:0 ω<180. Είι φερό ότι ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς ε είι θετικός, η γωί ω είι οξεί, ρητικός, η γωί ω είι μλεί κι μηδέ, η γωί ω είι μηδέ. Στη περίπτωση που η γωί ω είι ίση με 90, δηλδή ότ η ευθεί ε είι κάθετη στο άξο x'x, δε ορίζουμε συτελεστή διεύθυσης γι τη ε. 64. Ποι είι η γρφική πράστση της συάρτησης f(x)=x+ Η γρφική πράστση της συάρτησης ƒ(x) = x + είι μί ευθεί, με εξίσωση y = x +, η οποί τέμει το άξο τω y στο σημείο Β(0,) κι έχει κλίση λ =. Στη περίπτωση που είι = 0, η συάρτηση πίρει τη μορφή ƒ(x) = κι λέγετι στθερή συάρτηση, διότι η τιμή της είι η ίδι γι κάθε x. Στη περίπτωση που είι = 0, τότε η ƒ πίρει τη μορφή ƒ(x) = x, οπότε η γρφική της πράστση είι η ευθεί y = x κι περάει πό τη ρχή τω ξόω Ειδικότερ: Γι = 1 έχουμε τη ευθεί y = x που είι η διχοτόμος τω γωιώ xoy ˆ κι x Oy ˆ τω ξόω.( διχοτόμος 1 ης -3 ης γωίς) Γι = -1 έχουμε τη ευθεί y =- x που είι η διχοτόμος τω γωιώ yox ˆ κι y Ox ˆ τω ξόω.( διχοτόμος ης -4 ης γωίς) 65. Ποιες είι οι σχετικές θέσεις δύο ευθειώ Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε 1 κι ε με εξισώσεις y = 1 x + 1 κι y = x + τιστοίχως κι ς υποθέσουμε ότι οι ευθείες υτές σχημτίζου με το άξο x'x γωίες ω 1 κι ω τιστοίχως. Α 1 =, τότε εφω 1 = εφω, οπότε ω 1 = ω κι άρ οι ευθείες ε 1 κι ε είι πράλληλες ή συμπίπτου. Ειδικότερ : Α 1 = κι 1, τότε οι ευθείες είι πράλληλες (Σχ. '), εώ Α 1 = κι 1 =, τότε οι ευθείες τυτίζοτι. Α 1, τότε εφω 1 εφω, οπότε ω 1 ω κι άρ οι ευθείες ε 1 κι ε τέμοτι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = x 66. Ν μελετηθεί κι πρστθεί γρφικά η συάρτηση f(x) = x. Η συάρτηση ƒ(x) = x Α >0, Είι γησίως φθίουσ στο (-,0] κι γησίως ύξουσ στο [0, + ) Προυσιάζει ελάχιστο γι x = 0, το f(0) = 0 Έχει γρφική πράστση που προεκτείετι περιόριστ προς τ πάω, κθώς το x τείει είτε στο -, είτε στο +.

21 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Α <0, Είι γησίως ύξουσ στο (-,0] κι γησίως φθίουσ στο [0, + ). Προυσιάζει μέγιστο γι x = 0, το f (0) = 0 Έχει γρφική πράστση που προεκτείετι περιόριστ προς τ κάτω, κθώς το x τείει είτε στο - είτε στο +. Τ συμπεράσμτ υτά συοψίζοτι στους πρκάτω πίκες: Η γρφική πράστση της συάρτησης ƒ(x) = x, με 0, είι μι κμπύλη που λέγετι προλή με κορυφή τη ρχή τω ξόω κι άξο συμμετρίς το άξο y'y. Ότ το είι θετικό, τότε η προλή είι "οικτή" προς τ πάω, εώ ότ το είι ρητικό, τότε η προλή είι "οικτή" προς τ κάτω. Κθώς η μεγλώει, η προλή γίετι όλο κι πιο "κλειστή", δηλδή "πλησιάζει" το άξο y'y. 7.3 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = x + x + γ 67. Ν μελετηθεί κι πρστθεί γρφικά η συάρτηση f(x) = x + x + γ. Η συάρτηση ƒ(x) = x + x + γ: Α >0, Είι γησίως φθίουσ στο διάστημ, κι γησίως ύξουσ στο διάστημ, Προυσιάζει ελάχιστο γι x, το f Δ 4 Α < 0, Είι γησίως ύξουσ στο διάστημ, κι γησίως φθίουσ στο διάστημ, Προυσιάζει μέγιστο γι x, το f Δ 4 Τ συμπεράσμτ υτά συοψίζοτι στους πρκάτω πίκες:. Τέλος η γρφική πράστση της ƒ είι μι προλή που τέμει το άξο y'y στο σημείο Γ(0, y), διότι ƒ(0) =γ, εώ γι τ σημεί τομής της με το άξο x'x πρτηρούμε ότι: Α Δ > 0, το τριώυμο x + x + γ έχει δύο ρίζες x 1 κι x κι επομέως η προλή y = x + x + γ τέμει το άξο x'x σε δύο σημεί, τ Α(x 1,0) κι Β(x,0) (Σχ. ') Α Δ = 0, το τριώυμο έχει διπλή ρίζ τη x. Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η προλή εφάπτετι του άξο x'x στο σημείο,0 (Σχ. ') Α Δ < 0, το τριώυμο δε έχει πργμτικές ρίζες. Επομέως η προλή δε έχει κοιά σημεί με το άξο x'x (Σχ. γ'). Η γρφική πράστση της ƒ εξρτάτι πό το πρόσημο τω κι Δ κι φίετι κτά περίπτωση στ πρκάτω σχήμτ:

22 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1