ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΟΝΑ Α ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΟΝΑ Α ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ,

2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ

3 Ι ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ I ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Σχετική διηλεκτρική σταθερά Μοναδιαίο διάνυσµα σε ευθύγραµµο τµήµα AB µε φορά από το A στο B e ε AB ε ε R AB R AB Ι. Φορτίο γραµµής µήκους l µε διανεµηµένο φορτίο γραµµικής πυκνότητας ρ l q dq ρ dl l l l l l Ι. Φορτίο επιφάνειας µε διανεµηµένο φορτίο επιφανειακής πυκνότητας ρ q dq ρ d Ι.3 Φορτίο όγκου V µε διανεµηµένο φορτίο χωρικής πυκνότητας ρ V V V V q dq ρdv ΥΝΑΜΕΙΣ ΕΡΓΟ Ι.4 Ι.5 ύναµη ανάµεσα στα σηµειακά φορτία q A και q B σε µέσο διηλεκτρικής σταθεράς ε, όπου R AB η διανυσµατική απόσταση των φορτίων (Νόµος Coulomb) qq qq F R e A B A B AB 3 AB AB 4πε RAB 4πε RAB Συνολική δύναµη που ασκείται στο φορτίο q q F 3 q από σύστηµα φορτίων ( R ) F R 4πε R Ι.6 ύναµη που ασκείται σε σηµειακό φορτίο q από γραµµικό φορτίο πυκνότητας ρ l ( R : διανυσµατική απόσταση του φορτίου q από το στοιχείο dl ) F l q ρl R dl 3 4πε l R Ι.7 Ι.8 ύναµη που ασκείται σε σηµειακό φορτίο q από επιφανειακό φορτίο πυκνότητας q ρ R d 4πε R 3 ρ ύναµη που ασκείται σε σηµειακό φορτίο q q ρ V R F dv 3 από χωρικό φορτίο πυκνότητας ρ 4πε V R F Ι.9 Έργο κατά τη µετακίνηση σηµειακού φορτίου q από το σηµείο A στο σηµείο B AB B B B W dw F dl q E dl A A A

4 Ι ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Ι. Έργο της δύναµης του πεδίου σηµειακού φορτίου Q για τη µετακίνηση σηµειακού φορτίου q από το σηµείο Α στο σηµείο Β W B Qq d Qq AB 4πε A 4πε A B ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΠΕ ΙΑΚΗ ΕΝΤΑΣΗ ΒΑΘΜΩΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ Ι. Ορισµός ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E F q Ι. Ι.3 Ι.4 Ι.5 Νόµος του αστροβίλου του ηλεκτροστατικού πεδίου ιαφορά δυναµικού από το σηµείο A στο σηµείο B Βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό σηµείου P ως προς το σηµείο αναφοράς των δυναµικών K ιαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία A και B E d l, (ολοκληρωτική µορφή) C E, (διαφορική µορφή) U W q B AB AB E A W q d l K PK φ P UPK E P U AB A B A B d l φ φ E d l Ι.6 Ι.7 Συσχέτιση ηλεκτρικής πεδιακής έντασης και συνάρτησης δυναµικού Βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό πεδίου που δηµιουργείται από σηµειακό φορτίο Q E φ Q K Q φ φ 4πε 4πε K Ι.8 Βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό πεδίου που q ρldl ρd ρdv δηµιουργείται από σηµειακά και φ διανεµηµένα ηλεκτρικά φορτία 4πε R l R R V R Ι.9 ιαφορική εξίσωση δυναµικής γραµµής E dl Ι. ιαφορική εξίσωση δυναµικής γραµµής σε d d d καρτεσιανές συντεταγµένες E E E Ι. ιαφορική εξίσωση δυναµικής γραµµής σε κυλινδρικές συντεταγµένες dρ ρdϕ d E E E ρ ϕ Ι. I.3 ιαφορική εξίσωση δυναµικής γραµµής σε σφαιρικές συντεταγµένες Παραµετρική εξίσωση δυναµικών γραµµών πεδίου σηµειακών φορτίων q, q,..., q, τοποθετηµένων στην ίδια ευθεία. θ η γωνία που συνδέει την ευθεία µεταξύ του φορτίο q και του σηµείου παρατήρησης µε την ευθεία των φορτίων. d dθ s θdϕ E E E θ ϕ q os θ C C : παραµετρική σταθερά

5 Ι ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΥΝΑΜΙΚΟΥ Ι.4 Ι.5 Ι.6 Θέση του ηλεκτρικού κέντρου βάρους (ΗΚΒ) ενός συστήµατος σηµειακών και διανεµηµένων φορτίων ( α : διανυσµατική απόσταση του ΗΚΒ από την αρχή των αξόνων) υναµικό του πεδίου που δηµιουργείται από σύστηµα φορτίων σε αποµακρυσµένο σηµείο που απέχει απόσταση R από το ηλεκτρικό κέντρο βάρους του συστήµατος ιπολική ροπή ηλεκτρικού διπόλου, (συστήµατος δύο φορτίων + q και q που βρίσκονται σε απόσταση α ). Θετική φορά του α από το q προς το + q. α φ q ' + ρ dl + ρ d + ρ dv l l V q + ρdl + ρ d + ρdv l l V q + ρdl + ρ d + ρdv l l V 4πεR M qα Ι.7 Ηλεκτρική διπολική ροπή συστήµατος p M q φορτίων Ι.8 Μονοπολικός όρος αναπτύγµατος του δυναµικού qολ φm () (αν q ολ ) 4πε Ι.9 ιπολικός όρος αναπτύγµατος M M φd δυναµικού 3 4πε 4πε (αν q ολ ) Ι.3 Ι.3 Ι.3 υναµικό του σηµειακού ηλεκτρικού διπόλου ( και q. ίπολο στον άξονα µε κέντρο στην αρχή των αξόνων) Τετραπολικός όρος αναπτύγµατος δυναµικού υναµικό του γραµµικού ή αξονικού τετραπόλου M qα osθ φ M 3 4πε 4πε 4πε q φ () q 3 3 4πε (αν q ολ, M ) q (3 os θ ) 3 4πε qα φ 4πε (3 os θ ) 3 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAU ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ Ι.33 Ι.34 ιηλεκτρική µετατόπιση ή πυκνότητα ηλεκτρικής ροής ιηλεκτρική µετατόπιση σε ανισότροπο µέσο D εe D ε E + ε E + ε E D ε E + ε E + ε E D ε E + ε E + ε E ε ε, ε ε, ε ε 3

6 Ι ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Ι.35 Ηλεκτρική ροή που διέρχεται από επιφάνεια, όπου το κάθετο στην επιφάνεια µοναδιαίο διάνυσµα N D d D d Ι.36 Στερεά γωνία µε την οποία φαίνεται η d Ω 3 επιφάνεια από απόσταση Ι.37 Στοιχειώδης ροή που διέρχεται από το στοιχείο επιφανείας d, το οποίο φαίνεται υπό στερεά γωνία dω από το σηµειακό φορτίο Q D Ι.38 Νόµος του Guss Ι.39 Οριακές συνθήκες σε διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων. µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια µε φορά από το µέσο προς το µέσο d Q dn dω 4π Q ολ, (ολοκληρωτική µορφή) D ρ, (διαφορική µορφή) ( D D) ρ D D ρ ( E E ) E E t t 4

7 ΙI ΑΓΩΓΟΙ, ΠΥΚΝΩΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ II ΑΓΩΓΟΙ, ΠΥΚΝΩΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΑΓΩΓΙΜΑ ΣΩΜΑΤΑ ΙΙ. Ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός αγωγού σε ηλεκτροστατική ισορροπία E, D, ρ ΙΙ. υναµικό σε κάθε σηµείο του αγωγού φ ost. ΙΙ.3 IΙ.4 IΙ.5 Ηλεκτρική πεδιακή ένταση στην επιφάνεια ενός αγωγού ( το προς τα έξω κάθετο στην επιφάνεια του αγωγού µοναδιαίο διάνυσµα) ιηλεκτρική µετατόπιση στην επιφάνεια ενός αγωγού Θεώρηµα αµοιβαιότητας του Gee για σηµειακά φορτία ( η κατάσταση: φ, q, η κατάσταση: φ, q ) E E D D D ρ s φq φ q IΙ.6 Θεώρηµα αµοιβαιότητας του Gee για σύστηµα αγωγών φq φ Q IΙ.7 IΙ.8 Γενική διαφορική εξίσωση της συνάρτησης δυναµικού (εξίσωση Posso) ιαφορική εξίσωση της συνάρτησης δυναµικού σε χώρο χωρίς χωρικά φορτία (εξίσωση Lple) φ ε ρ φ ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΙΙ.9 ΙΙ. ΙΙ. Χωρητικότητα πυκνωτή Χωρητικότητα σφαιρικού πυκνωτή µε ακτίνα εσωτερικού οπλισµού και ακτίνα εξωτερικού οπλισµού b Χωρητικότητα µεµονωµένου σφαιρικού αγωγού ακτίνας µέσα σε απέραντο διηλεκτρικό ( b ) εed Q A C U B E d l A b C 4πε b C 4πε 5

8 ΙI ΑΓΩΓΟΙ, ΠΥΚΝΩΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΙΙ. ΙΙ.3 Χωρητικότητα κυλινδρικού πυκνωτή µε ακτίνα εσωτερικού αγωγού και ακτίνα εξωτερικού αγωγού b Χωρητικότητα επίπεδου πυκνωτή ( : επιφάνεια πλακών, d : απόσταση πλακών) πε C b l C ε d ΙΙ.4 Ισοδύναµη χωρητικότητα πυκνωτών σε C παράλληλη σύνδεση C ΙΙ.5 Ισοδύναµη χωρητικότητα πυκνωτών συνδεδεµένων σε σειρά C C ΙΙ.6 ΙΙ.7 Σχέσεις µετατροπής διάταξης πυκνωτών από αστέρα σε τρίγωνο ( C, Cb, C : χωρητικότητες συνδεσµολογίας τριγώνου) Σχέσεις µετατροπής διάταξης πυκνωτών από τρίγωνο σε αστέρα ( C, C, C 3: χωρητικότητες συνδεσµολογίας αστέρα) C CC 3 C + C + C 3 C C C 3 C C CC C + C + C b 3 CC + CC + CC C b b CC + CC + CC C b b CC + CC + CC C b b b CC 3 C + C + C 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΓΩΓΙΜΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΙΙ.8 Γραµµικές σχέσεις δυναµικών και φορτίων των αγωγών ενός συστήµατος φ pq+ pq pq φ pq+ pq pq... φ p Q + p Q p Q ΙΙ.9 Συντελεστές δυναµικού (Fd - ) pj, pj pj ΙΙ. ΙΙ. Γραµµικές σχέσεις φορτίων και δυναµικών των αγωγών ενός συστήµατος Συντελεστές χωρητικότητας ( ) και επαγωγής (, j) j Q φ + φ φ Q φ + φ φ... Q φ + φ φ >, j j ΙΙ. Συνολικό φορτίο κλειστού συστήµατος Q ΙΙ.3 Συντελεστές χωρητικότητας σε κλειστό σύστηµα j, j,,..., 6

9 ΙI ΑΓΩΓΟΙ, ΠΥΚΝΩΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΙΙ.4 Ορισµός µερικών χωρητικοτήτων Cj j ( j), C ΙΙ.5 Γραµµικές σχέσεις φορτίων και δυναµικών ενός συστήµατος µε συντελεστές τις µερικές χωρητικότητες του συστήµατος j Q Cφ + C φ φ + + C φ φ ( )... ( ) Q C( φ φ) + Cφ C( φ φ) Q C ( φ φ ) + C ( φ φ ) C φ j ΙΙ.6 Μερικές χωρητικότητες σε κλειστό σύστηµα C ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΙΙ.7 υναµική ενέργεια πεδίου σηµειακών We φορτίων q φ ΙΙ.8 υναµική ενέργεια πεδίου χωρικά κατανεµηµένου φορτίου W e V φρdv ΙΙ.9 υναµική ενέργεια πεδίου επιφανειακά κατανεµηµένου φορτίου W e φρ d ΙΙ.3 Ενέργεια πεδίου συστήµατος αγωγών W φq p QQ φφ e j j j j j j ΙΙ.3 Ενέργεια πυκνωτή Q W QU CV C ΙΙ.3 Πυκνότητα ενέργειας σε γραµµικό και ισότροπο µέσο we εe E D D ε We wedv E DdV ΙΙ.33 Συνολική ενέργεια πεδίου ε dv D dv E ε ΙΙ.34 D Πυκνότητα ενέργειας πεδίου σε µη we d γραµµικό µέσο E D 7

10 ΙI ΑΓΩΓΟΙ, ΠΥΚΝΩΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΕΣΗ ΙΙ.35 Ηλεκτροστατική πίεση στην επιφάνεια φορτισµένου αγωγού df D ρ p we E D d ε ε ( ) εe ΙΙ.36 Συνολική δύναµη που ασκεί το πεδίο πάνω σε φορτισµένο αγωγό F p d εe d ρd ε ΙΙ.37 ΙΙ.38 Οι κατά,, συνιστώσες της δύναµης F που ασκείται στον -στό αγωγό ενός συστήµατος αγωγών ( W e η αποθηκευ- µένη ενέργεια του πεδίου, W η ενέργεια που καταβάλλουν οι τυχόν εξωτερικές ηλεκτρικές πηγές) -συνιστώσα της δύναµης µεταξύ απο- µονωµένων αγωγών (µε σταθερά φορτία) F, F W, F, We W, F, e,, F W We We W φj F Qj, j pjk QQ, j k j k, ΙΙ.39 Μεταβολή της ενέργειας σε σύστηµα δw δw δw φ δq αγωγών µε σταθερά δυναµικά e m j j j ΙΙ.4 ΙΙ.4 ΙΙ.4 ΙΙ.43 -συνιστώσα της δύναµης µεταξύ αγωγών µε σταθερά δυναµικά -συνιστώσα της δύναµης στους οπλισµούς πυκνωτή σε σταθερή τάση ή µε σταθερό φορτίο ύναµη σε διηλεκτρική πλάκα που εισέρχεται σε πυκνωτή (t το πλάτος των οπλισµών, ε η διηλεκτρική σταθερά της πλάκας, d το ύψος της πλάκας) Πίεση σε διηλεκτρική πλάκα που εισέρχεται σε πυκνωτή (t το πλάτος των οπλισµών, ε η διηλεκτρική σταθερά της πλάκας, d το ύψος της πλάκας) F W Q e j jk, φj φjφk j j k F U C δw m F δ d Ut ( ε ε ) F p ( ε ε ) ( ε ε ) td d U E 8

11 ΙΙI ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ III Η ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΠΟΛΩΣΗ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΙΙΙ. Συνολική ροπή των διπόλων που περιέχονται στον όγκο δ V, όπου N ο αριθµός διπόλων ανά µονάδα όγκου και p η διπολική ροπή του -στού διπόλου p t NV δ p ΙΙΙ. Το διάνυσµα της πόλωσης ή πόλωση P NV δ P lm p δv δv ΙΙΙ.3 Συνολική διπολική ροπή απειροστού όγκου dv διηλεκτρικού dp P (,, ) dv ΙΙΙ.4 υναµικό που οφείλεται στα δέσµια φορτία των διπόλων του διηλεκτρικού που καταλαµβάνει όγκο V και περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια φ b d P dv + P 4πε R R o V ΙΙΙ.5 Πυκνότητα ισοδύναµου συστήµατος φορτίων χωρικά διανεµηµένων στον κενό ύλης όγκο V ρ b P ΙΙΙ.6 Πυκνότητα ισοδύναµου συστήµατος φορτίων επιφανειακά διανεµηµένων στην επιφάνεια ρ P sb P ΙΙΙ.7 Το δυναµικό στον χώρο ισούται µε το άθροισµα του δυναµικού των αληθινών φορτίων και των φορτίων πόλωσης φ φ + φb ΙΙΙ.8 ΙΙΙ.9 ΙΙΙ. Το δυναµικό πεδίου που οφείλεται σε µη οµογενές διηλεκτρικό. P και P είναι οι κάθετες συνιστώσες του διανύσµατος της πόλωσης στις δύο όψεις των διαχωριστικών επιφανειών των περιοχών Πυκνότητα φορτίων πόλωσης στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορετικών διηλεκτρικών υλικών (Η φορά των P, P,, από το αντίστοιχο µέσο προς τη διαχωριστική επιφάνεια). υναµικό υφιστάµενου πεδίου κατά την παρουσία διηλεκτρικού (όπου ρ και ρ s είναι οι πυκνότητες των αληθινών χωρικών και επιφανειακών φορτίων) φ b ( P + P ) P dv + d 4πε o V R R ρ P + P P + P sb φ φ + φb 4πε ( ρ + ρb ) dv V R ( ρs + ρsb) + d R ΙΙΙ. Πυκνότητα ισοδύναµου συστήµατος χωρικά διανεµηµένων φορτίων (ελεύθερα φορτία) ρ ρ + ρ f b 9

12 ΙΙI ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΙΙΙ. Πυκνότητα ισοδύναµου συστήµατος επιφανειακά διανεµηµένων φορτίων ρsf ρs + ρsb ΙΙΙ.3 Το σύνολο των φορτίων πόλωσης είναι ίσο µε µηδέν Q b ΤΑ ΠΕ ΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΕ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΣΑ ΙΙΙ.4 Ο νόµος του Guss σε διηλεκτρικά µέσα E ( ρ + ρb ) D ρ ε o ΙΙΙ.5 Το διάνυσµα της διηλεκτρικής µετατόπισης D εo E+ P ΙΙΙ.6 Σχέσεις µεταξύ των διανυσµάτων PED,, σε γραµµικά ισότροπα διηλεκτρικά υλικά, (όπου e η ηλεκτρική (ή διηλεκτρική) επιδεκτικότητα του υλικού) P ε E D εe+ eεe ε( + e) E εe e o ΙΙΙ.7 Σχετική διηλεκτρική σταθερά του υλικού ε + e ΙΙΙ.8 Σχέση µεταξύ των διανυσµάτων D και P D + e ε ε ε εε E P P ε P εε P e e ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΙΙΙ.9 Οριακές συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια για την ηλεκτρική πεδιακή ένταση και τη διηλεκτρική µετατόπιση (φορά του διανύσµατος από το µέσο προς το µέσο ) E E t t D D ρ ε ( E E ) ρ s o sf ΙΙΙ. Οριακή συνθήκη στη διαχωριστική P P ρ επιφάνεια για την πόλωση sb ΙΙΙ. ΙΙΙ. Οριακές συνθήκες στην περίπτωση που το µέσο είναι αγώγιµο, ενώ το µέσο διηλεκτρικό µε διηλεκτρική σταθερά ε ε ε Σχέση µεταξύ ρ sb και ρ s ρ D ρs P ρ ε E ρ sb sf εεo ε P D ρ ε ε sb s ΙΙΙ.3 Σχέση µεταξύ ρ sf και s ρ sf ρ D D ρ ε ε ε ε s

13 ΙΙI ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΙΙΙ.4 Σχέση µεταξύ ρ b και ρ ρ b ε ρ ε ΙΙΙ.5 Σχέση µεταξύ των ρ, ρ f και ρ b ρ ρb ρ f ρ + ρ b ε ε ΙΙΙ.6 Πυκνότητα των δέσµιων φορτίων σε µη οµογενές διηλεκτρικό ε D ( ε ) ε E ( ε ) ρ ρ ρε b ε ε ε ε ΙΙΙ.7 Πυκνότητα των ελεύθερων φορτίων σε µη οµογενές διηλεκτρικό ρε E ( ε ) ρf ρb + ρ ε ΠOΛΩΣΗ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΠΥΚΝΩΤΗ ΙΙΙ.8 ιηλεκτρική µετατόπιση D D ρ s + Q Q Q E D + E D Q ΙΙΙ.9 Ηλεκτρική πεδιακή ένταση ρs E D E ε ε ε ε P ε ε d ε ε ε d P ε ε ΙΙΙ.3 Πόλωση P D ρs ε( E E ) ε ε ΙΙΙ.3 Πυκνότητα των δέσµιων φορτίων στην αριστερή πλάκα ρ sb ε ρ ε s ΙΙΙ.3 Πυκνότητα των ελεύθερων φορτίων στην αριστερή πλάκα ρ ρsf ρs + ρsb ε s ΙΙΙ.33 Πυκνότητα χωρικών φορτίων πόλωσης ρ P b

14 ΙΙI ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΥΟ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΟΠΛΙΣΜΩΝ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΠΥΚΝΩΤΗ ΙΙΙ.34 ΙΙΙ.35 ΙΙΙ.36 ΙΙΙ.37 ΙΙΙ.38 ΙΙΙ.39 ιηλεκτρική µετατόπιση Q D o, ( < < b) 4π Ηλεκτρική πεδιακή ένταση D Q E, ( < < ) ε 4πε D Q E, ( < < b) Πόλωση ε 4πε Επιφανειακές πυκνότητες των φορτίων πόλωσης στις επιφάνειες των δύο οπλισµών Επιφανειακές πυκνότητες των φορτίων πόλωσης στις δύο όψεις της διαχωριστικής επιφάνειας των δύο υλικών Επιφανειακές πυκνότητες των ελεύθερων φορτίων στις τρεις διαχωριστικές επιφάνειες ε ε Q( ε ε ) P D, ( < < ) ε 4πε ε ε Q( ε ε ) P D, ( < < b) ε 4πε ρ ρ Q( ε ε ) ( ) sb 4πε ρ Q( ε ε ) ( b) sb 4πεb ρ () ε () ε ε ε ε ε αγωγός Q( ε ε ) ( ) sb 4πε Q( ε ε ) ( ) sb 4πε Q ρs( ) ρsf ( ) 4πε ε Q ρsf ( ) 4π ε ε Q ρs ( b) ρsf ( b) 4πε b ε + Q Q b αγωγός ΠOΛΩΣΗ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΥ ΠΥΚΝΩΤΗ ΜΕ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΙΙΙ.4 ΙΙΙ.4 ΙΙΙ.4 ιηλεκτρική σταθερά b ε() εε () ε ιηλεκτρική µετατόπιση Q D π Ηλεκτρική πεδιακή ένταση D Q E ε() πεb ε ε() +Q αγωγός Q b ε Q b ΙΙΙ.43 Πόλωση P D ε πb

15 ΙΙI ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΙΙΙ.44 Επιφανειακές πυκνότητες των φορτίων πόλωσης στις επιφάνειες των δύο οπλισµών Qb ( ) ρsb( ) πb ρ ( b) sb ΙΙΙ.45 Πυκνότητα χωρικών φορτίων πόλωσης ρ b Q πb ΙΙΙ.46 ΙΙΙ.47 Πυκνότητα των αληθινών χωρικών φορτίων Πυκνότητες για τα ελεύθερα φορτία ( D) ρ Q ρsf ( ) ρs ( ) + ρsb( ) πb Q ρf ρ + ρb ρb πb Q ρsf ( b) ρs ( b) + ρsb( b) ρs ( b) πb ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΕ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΙΙΙ.48 Πυκνότητα δύναµης που ασκείται στα χωρικά διανεµηµένα φορτία (αληθινά και πόλωσης) σε διηλεκτρικό υλικό f ρ ε ρe P E E E E ( ) ( ε ) ε ε ΙΙΙ.49 Πυκνότητα δύναµης που ασκείται σε πολωµένο διηλεκτρικό f df ρe+ P E ρe + εε dv ( ) ( ) ( E ) ΙΙΙ.5 Το διάνυσµα της µηχανικής τάσης που εκφράζει την ανά µονάδα επιφανείας δύναµη T ε ( E) E E ΙΙΙ.5 Το µέτρο του διανύσµατος της τάσης T εe ΙΙΙ.5 Πίεση κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών (φορά από το µέσο προς το µέσο ) p ( ) ε ε Ε 3

16 ΙV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ IV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΚΑΤΟΠΤΡΙΣΜΟΥ Φορτίο πάνω από αγώγιµο επίπεδο h q σ ε q h h q ε ε o ΙV. Τιµή και θέση του κατοπτρικού φορτίου q q, h h ΙV. ύναµη ασκούµενη στο φορτίο από το αγώγιµο επίπεδο q F 6πεh Φορτίο έξω από αγώγιµη σφαίρα R d q R b q d q ΙV.3 Λόγος αποστάσεων σηµείων µηδενικού δυναµικού από τα φορτία (Απολλώνεια σφαίρα) q k ost. q ΙV.4 Τιµή του κατοπτρικού φορτίου και απόστασή του από το κέντρο της σφαίρας R q q, d R b d ύο ίσοι, παράλληλοι, φορτισµένοι κύλινδροι απείρου µήκους µε ίσα και αντίθετα φορτία R +ρ l -ρ l β α α β h h R ŷ o ΙV.5 ΙV.6 ιαφορά δυναµικού µεταξύ των αγωγών Ανά µονάδα µήκους χωρητικότητα του συστήµατος ρ l h h R + U l πε R C ρ πε U h + h R l R l 4

17 ΙV ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΙV.7 ιαφορά δυναµικού µεταξύ των αγωγών ( h R) U ρl h l πε R ΙV.8 Ανά µονάδα µήκους χωρητικότητα του συστήµατος ( h R) C ρl πε U h l R Φορτισµένος κύλινδρος παράλληλος προς αγώγιµο επίπεδο h σ R ρ l ε h h R R ρ l ρ l ΙV.9 ΙV. υναµικό του κυλίνδρου ως προς το αγώγιµο επίπεδο Ανά µονάδα µήκους χωρητικότητα του συστήµατος ρ l h h R + U l πε R C ρ πε U h h R l + R l ΙV. υναµικό του κυλίνδρου ως προς το αγώγιµο επίπεδο ( h R) U ρl h l πε R ΙV. Ανά µονάδα µήκους χωρητικότητα του συστήµατος ( h R) C ρl πε U h l R q q q Φορτίο κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών µέσων h ε ε h ε ε + h ε ε q ΙV.3 Τιµές κατοπτρικών φορτίων q ε ε ε ε, + q ε q q ε + ε Γραµµικό φορτίο κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών µέσων h ρl ε ε h ρl ε ε + h ρ l ε ε ρ l ΙV.4 Γραµµικές πυκνότητες ειδώλων ρ ε ε ε l ρl, ρl ε + ε ε + ε ρ l 5

18 V ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ V ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM V. Ένταση ηλεκτρικού ρεύµατος και I πυκνότητα ρεύµατος J d d J ρ V. Εξίσωση συνέχειας της ηλεκτρικής ροής J + t V.3 Εξίσωση συνέχειας της ηλεκτρικής ροής στη µόνιµη κατάσταση J d (ολοκληρωτική µορφή) J (διαφορική µορφή) V.4 Νόµος του Ohm (σηµειακή διατύπωση) J σe ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ V.5 Νόµος του Ohm (µακροσκοπική διατύπωση) V RI V.6 Ηλεκτρική αντίσταση αγωγού αγωγιµότητας σ, µήκους l και διατοµής V R I l σ V.7 Συνολική αντίσταση αντιστάσεων συνδεδεµένων σε σειρά R R R R R V.8 Συνολική αντίσταση αντιστάσεων συνδεδεµένων παράλληλα R R V.9 V. Ηλεκτρεγερτική δύναµη E. Et E+ E s, όπου E s η ηλεκτροχωριστική πεδιακή ένταση της πηγής. Ηλεκτρική τάση στην έξοδο πηγής µε εσωτερική αντίσταση και αντίσταση εξωτερικού φορτίου R E ( + ) E dl E dl E dl ( ) s s t C C E I( R + ) V. Νόµος ρευµάτων του Khhoff I 6

19 V ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ V. V.3 V.4 Νόµος τάσεων του Khhoff (όπου ο k αριθµός των πηγών και k ο αριθµός των E I R + I αντιστάσεων του βρόχου) Ηλεκτρική αντίσταση αγωγού µεταβλητής διατοµής Χρόνος χαλάρωσης T µέσου µε διηλεκτρική σταθερά ε και αγωγιµότητα σ V R I σ RC () l ε T σ E dl E d V.5 V.6 V.7 Υπολογισµός ηλεκτρικής αντίστασης µε βάση τις αντιστάσεις µεταξύ απειροστά γειτονικών ισοδυναµικών επιφανειών Υπολογισµός ηλεκτρικής αντίστασης µε βάση τις αντιστάσεις των απειροστών ρευµατικών σωλήνων Νόµος του Joule Ισχύς απωλειών λόγω θερµότητας R l R σ du hh 3 du du 3 h du du 3 l h σhh3 du dp p J E σe E J J dv σ ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ V.8 V.9 ιαφορική εξίσωση Lple για το πεδίο ροής µονίµων ρευµάτων Οριακές συνθήκες σε διαχωριστική επιφάνεια φ φ ( ) J J J J t t ( E E ) J σ J σ V. Οριακές συνθήκες σε διαχωριστική J J επιφάνεια κατά το µεταβατικό φαινόµενο ρs t ΓΕΙΩΤΕΣ Σφαιρικός Γειωτής ακτίνας α σ Ι V. Συνάρτηση δυναµικού I φ() 4πσ V. Τάση διάβασης I U 4πσ 7

20 V ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ V.3 Αντίσταση διάβασης γειωτή R 4πσ Ηµισφαιρικός Γειωτής ακτίνας α σ σ Ι V.4 Συνάρτηση δυναµικού I φ() πσ V.5 Τάση διάβασης I U πσ V.6 Αντίσταση διάβασης γειωτή R πσ l Ελλειψοειδής Γειωτής V.7 Συνάρτηση υναµικού σ l l Ι α α l ( l) I φ(, ) l 8πσl l + ( l) + V.8 Τάση ιάβασης I + l U l 8πσl l V.9 Αντίσταση διάβασης γειωτή + l R l 8πσl l Ηµιελλειψοειδής Επιφανειακός Γειωτής (οι ίδιες σχέσεις ισχύουν και για τον κατακόρυφο µε απλή αλλαγή αξόνων (όπου θέτουµε και όπου θέτουµε το -)) V.3 Συνάρτηση δυναµικού l σ σ l l Ι α α l ( l) I φ(, ) l 4πσl l + ( l) + I + l V.3 Τάση διάβασης U l 4πσl l 8

21 V ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ + l V.3 Αντίσταση διάβασης γειωτή R l 4πσl l l d Σωληνωτός Γειωτής σ l l Ι V.33 Συνάρτηση δυναµικού V.34 Τάση διάβασης V.35 Αντίσταση διάβασης γειωτή l ( l) I φ(, ) l 8πσl l + ( l) + l l d 4 I + + U l 8πσl l + l + d 4 R l l d l 8πσl l + l + d 4 V.36 Τάση διάβασης (για d l ) U V.37 Αντίσταση διάβασης γειωτή (για d l ) R I 4l l 4πσl d 4l l 4πσl d d σ Επιφανειακός Σωληνωτός Γειωτής σ Ι l l V.38 Συνάρτηση δυναµικού V.39 Τάση διάβασης V.4 Αντίσταση διάβασης γειωτή l ( l) I φ(, ) l 4πσl l + ( l) + l l d 4 I + + U l 4πσl l + l + d 4 R l l d l 4πσl l + l + d 4 V.4 Τάση διάβασης (για d l ) U V.4 Αντίσταση διάβασης γειωτή (για d l ) R I 4l l πσl d 4l l πσl d 9

22 VΙ TO ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ VI ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ VΙ. Πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου σε γραµµικό και ισότροπο µέσο we εe VΙ. Πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου σε γραµµικό και ισότροπο µέσο wm µ H VΙ.3 VΙ.4 VΙ.5 Πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου σε γραµµικό και ισότροπο µέσο Ειδική ισχύς απωλειών Joule όπου T ε/ σ είναι η χρονική σταθερά χαλάρωσης γραµµικού και ισότροπου µέσου Πυκνότητα διαδιδόµενης ισχύος (πραγµατικό διάνυσµα Potg) w ε E + µ H ε pt σe E Τ P E H VΙ.6 Πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού we d πεδίου σε µη γραµµικό µέσο D E D VΙ.7 Πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού wm d πεδίου σε µη γραµµικό µέσο B H B VΙ.8 Ειδική ισχύς απωλειών Joule όπου T ε/ σ είναι η χρονική σταθερά χαλάρωσης ανοµοιογενούς, ανισότροπου ή µη γραµµικού µέσου p t J E ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL VΙ.9 VΙ. Εξίσώση στροφής της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ( η εξίσωση Mwell) Εξίσώση στροφής της έντασης του µαγνητικού πεδίου ( η εξίσωση Mwell) B E t D H J + t VΙ. Καταστατικές εξισώσεις D εe B µ H J σe

23 VΙ TO ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ VΙ. Εξίσωση απόκλισης της µαγνητικής επαγωγής (3 η εξίσωση Mwell) B VΙ.3 Εξίσωση απόκλισης της διηλεκτρικής µετατόπισης (4 η εξίσωση Mwell) D ρ VΙ.4 Μαγνητική ροή που διέρχεται από επιφάνεια B Φ d VΙ.5 Ολοκληρωτική µορφή της 3 ης εξίσωσης Mwell B d VΙ.6 Νόµος του Guss (ολοκληρωτική µορφή της 4 ης εξίσωσης Mwell) D d Q ρ VΙ.7 Εξίσωση συνέχειας J + t VΙ.8 Εξίσωση συνέχειας για χρονικά αµετάβλητες καταστάσεις J ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΕ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ VΙ.9 VΙ. VΙ. VΙ. VΙ.3 Συνέχεια της κάθετης στην επιφάνεια συνιστώσας της µαγνητικής επαγωγής ( µοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια διάνυσµα µε κατεύθυνση από το µέσο προς το µέσο ) ιαφορά των κάθετων στην επιφάνεια (µε επιφανειακά φορτία) συνιστωσών της διηλεκτρικής µετατόπισης Συνέχεια της εφαπτοµενικής στην επιφάνεια συνιστώσας της έντασης του µαγνητικού πεδίου ιαφορά των εφαπτοµενικών στην επιφάνεια (µε επιφανειακά ρεύµατα) συνιστωσών της έντασης µαγνητικού πεδίου κ t, t : µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα ιαφορά των εφαπτοµενικών στην επιφάνεια (για απουσία επιφανειακών ρευµάτων) συνιστωσών της έντασης µαγνητικού πεδίου ( B B) ή B B ( D D) ρs ή D D ρ s ( E E) ή E E t t ( H H) K ή Ht H t K κ ( H H) ή Ht H t

24 VΙ TO ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΥΝΑΜΗΣ LORENZ VΙ.4 Νόµος της δύναµης Loe σε σηµειακή µορφή f ρ ( E+ υ B) VΙ.5 Νόµος της δύναµης Loe σε ολοκληρωτική µορφή V fdv ρ ( E+ υ B) dv V

25 VII ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ VII ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ AMPERE ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ VII. Νόµος του Ampèe H J (διαφορική µορφή) H d l I (ολοκληρωτική µορφή) C VII. Ένταση µαγνητικού πεδίου ευθύγραµµου I H ϕ αγωγού αµελητέας διατοµής π VII.3 VII.4 Ένταση µαγνητικού πεδίου ευθύγραµµου αγωγού κυκλικής διατοµής µε σταθερή πυκνότητα ρεύµατος Ένταση µαγνητικού πεδίου οµοαξονικού καλωδίου : I H ϕ π : I H ϕ π : I H ϕ π b : I H ϕ π b : I H π b : H ϕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΠΗ VII.5 Βαθµωτό µαγνητικό δυναµικό H φm VII.6 ιανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό B A VII.7 VII.8 ιανυσµατική εξίσωση Posso Μαγνητική ροπή A µ J (διαφορική µορφή) µ Id l A 4π (ολοκληρωτική µορφή) M J dv V VII.9 Σχέση µαγνητικής ροπής και µ M A διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού 3 4π VII. Σχέση µαγνητικής ροπής και µαγνητικής επαγωγής µ 3( M ) M B 5 3 4π 3

26 VII ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ VII. Μαγνητική ροπή κυκλικού βρόχου M π I ΝΟΜΟΣ BIOT-AVARD µ VII. Νόµος των Bot-vd J B dv 3 4π V VII.3 VII.4 Νόµος των Bot-vd για µ I d l B 3 συρµατόµορφο αγωγό 4π C Στοιχειώδης νόµος των Bot-vt για µ Idl db συρµατόµορφο αγωγό 3 4π ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ VII.5 VII.6 Μαγνητικό διανυσµατικό δυναµικό A Μαγνητική επαγωγή A. Πεδίο ευθύγραµµου αγωγού πεπερασµένου µήκους µ I + R l 4π + R µ I B 4π R( + R) R( + R) ϕ µ I B ( os θ os θ) ϕ 4π l P A O ϕ θ B R I θ d θ R R A A B B ϕ ϕ P (, ϕ, ) ϕ Β. Πεδίο αγώγιµης λωρίδας Πεδίο αγώγιµης λωρίδας πλάτους l και επιφανειακής κατανοµής ρεύµατος I s µ I s + ( l) VII.7 B l π ( l ) + + l l + l t t Is Is Πεδίο αγώγιµης λωρίδας πλάτους l και επιφανειακής κατανοµής ρεύµατος I s µε l VII.8 µ Is B l d P (,,) L C db dbϕ 4

27 VII ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Γ. Πεδίο κυκλικού βρόχου ακτίνας α << VII.9 VII. Μαγνητικό διανυσµατικό δυναµικό µ I s θ A ϕ 4 Μαγνητική επαγωγή µ I B ( osθ + sθθ ) 4 db ω db P(,, ) VII. Πεδίο στον άξονα του κυκλικού βρόχου µ I B 3/ + ( ) R VII. Πεδίο στο κέντρο του κυκλικού βρόχου µ I B I ϕ dϕ dl dϕ ϕ. Πεδίο σωληνοειδούς VII.3 VII.4 VII.5 VII.6 VII.7 Πεδίο στον άξονα σωληνοειδούς µήκους l µ NI l B + l + + ( l ) Πεδίο στο κέντρο σωληνοειδούς µήκους l µ NI B 4 + l Πεδίο στο κέντρο σωληνοειδούς πολύ µεγάλου µήκους l µ NI B l Πεδίο στα άκρα σωληνοειδούς µήκους l µ NI B + l Πεδίο στα άκρα σωληνοειδούς πολύ µεγάλου µήκους l µ NI B l N ελίγµατα E I M l θ θ O B P I s NI l d ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΗ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ VII.8 Μαγνητική ροή Φ B d A dl C VII.9 Πεπλεγµένη µαγνητική ροή από πηνίο N σπειρών Ψ NΦ 5

28 VII ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ VII.3 Συντελεστής αυτεπαγωγής VII.3 VII.3 VII.33 VII.34 VII.35 VII.36 Αυτεπαγωγή δακτυλιοειδούς πηνίου ορθογωνικής διατοµής (ύψος d, εσωτερική ακτίνα α, εξωτερική ακτίνα b ) Αυτεπαγωγή δακτυλιοειδούς πηνίου κυκλικής διατοµής (ύψος d, εµβαδόν διατοµής, απόσταση άξονα πηνίου κέντρου δακτυλίου m ) Αυτεπαγωγή σωληνοειδούς µεγάλου µήκους l Αυτεπαγωγή οµοαξονικού καλωδίου ( : ακτίνα εσωτερικού αγωγού και b : εσωτερική ακτίνα εξωτερικού αγωγού) Αυτεπαγωγή γραµµής δύο παράλληλων κυλινδρικών αγωγών (d : απόσταση των αξόνων των αγωγών και α: ακτίνα κάθε αγωγού) Αυτεπαγωγή γραµµής δύο παράλληλων κυλινδρικών αγωγών (d>>α, d: απόσταση των αξόνων των αγωγών και : ακτίνα κάθε αγωγού) L Ψ I µ Nd b L l π L µ N π m µ N π L l µ εξωτερική : b Le l π µ εσωτερική : L 8π µ d Le l π µ d Le l π µ µ d L + l 4π π ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΠΗ VII.37 ύναµη σε φορτίο q που κινείται µε ταχύτητα υ σε ηλεκτροµαγνητικό πεδίο ( EB, ) F q ( E+ υ B) VII.38 VII.39 Νόµος Lple (στοιχειώδης δύναµη σε απειροστό µήκος ρευµατοφόρου αγωγού) Συνολική δύναµη ηλεκτροµαγνητικού πεδίου σε αγώγιµο βρόχο df I( dl B ) F VII.4 Ροπή αγώγιµου βρόχου T M B VII.4 υνάµεις µεταξύ παραλλήλων αγωγών VII.4 ιαφορά δυναµικού εξαιτίας του φαινοµένου Hll V H F µ ΙΙl π IBl IBl IB Ne Neld Ned 6

29 VIIΙ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ VIII ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ FARADAY VIII. VIII. ιαφορική διατύπωση του νόµου της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής του Fd Ολοκληρωτική διατύπωση του νόµου της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής του Fd B E t Ψ E d l C t ΕΠΑΓΩΓΗ VIII.3 VIII.4 VIII.5 VIII.6 VIII.7 Ηλεκτρική ένταση που αναπτύσσεται σε αγώγιµη ράβδο κινούµενη µε ταχύτητα υ σε µαγνητικό πεδίο επαγωγής B Ηλεκτρεγερτική δύναµη επαγώµενη σε αγώγιµη ράβδο µήκους l κινούµενη κάθετα µε ταχύτητα υ σε µαγνητικό πεδίο επαγωγής B Ηλεκτρεγερτική δύναµη επαγώµενη σε αγώγιµο βρόχο κινούµενο µε ταχύτητα υ σε χρονικά αµετάβλητο µαγνητικό πεδίο επαγωγής B Ηλεκτρεγερτική δύναµη επαγώµενη σε αγώγιµο βρόχο κινούµενο µε ταχύτητα υ σε χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο επαγωγής B Ένταση του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει των δυναµικών φ και A E υ B m E υbl E ( υ B) dl C E ( E + υ B ) d l C ή B E d + ( ) d t υ B l C A E φ t ΣΥΖΕΥΞΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ VIII.8 VIII.9 Συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής ή αλληλεπαγωγής µεταξύ δύο κυκλωµάτων που διαρρέονται από ρεύµατα I και I M Ψ Ψ, M I I Γενικευµένη σχέση του συντελεστή µ d d αµοιβαίας επαγωγής ή τύπος του M M M l l 4π C Neum C 7

30 VIIΙ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ VIII. VIII. VIII. Συνολική ροή που διαρρέει το κύκλωµα κατά την παρουσία του κυκλώµατος Συντελεστής σύζευξης δύο κυκλωµάτων συναρτήσει των σπειρών τους και των συντελεστών αυτεπαγωγής και αλληλεπαγωγής Συντελεστής αλληλεπαγωγής δύο κυκλωµάτων συναρτήσει του συντελεστή σύζευξης και των συντελεστών αυτεπαγωγής τους Ψ Ψ + Ψ LI + MI k k j N N k k j M L M k LL ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΕΠΑΓΩΓΕΑ VIII.3 Μεταβολή πυκνότητας ενέργειας µαγνητικού πεδίου dwm H db VIII.4 Συνολική ενέργεια µαγνητικού πεδίου Ψ W πηνίου που διαρρέεται από ρεύµα It () m IdΨ VIII.5 VIII.6 VIII.7 VIII.8 Συνολική ενέργεια µαγνητικού πεδίου πηνίου αυτεπαγωγής L και ρεύµατος I στη µόνιµη κατάσταση Συνολική ενέργεια µαγνητικού πεδίου αγωγών απειροστού πάχους συναρτήσει του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A Συνολική ενέργεια µαγνητικού πεδίου αγωγών πεπερασµένης διατοµής συναρτήσει του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A Αµοιβαία ενέργεια δύο αγωγών πεπερασµένης διατοµής που διαρρέονται από ρεύµατα I και I Ψ Wm LI I W W m m I d A l C V J A dv W H B dv H B dv V V W µ II d d l l 4π C C VIII.9 Ενέργεια πεδίου συστήµατος W I Ψ L I I ρευµατοφόρων κυκλωµάτων m j j j VIII. Ενέργεια πεδίου συστήµατος ρευµατοφόρων κυκλωµάτων που δηµιουργούν µαγνητικά πεδία επαγωγής B και B B B Wm dv + dv + B B dv µ µ µ V V V ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΙΕΣΗ VIII. Βασική εξίσωση δυνάµεων σε κυκλώµατα λόγω µεταβολής της ροής ή των ρευµάτων. F : συνιστώσα της δύναµης F κατά τον άξονα k IdΨ Fd+ dw k k m 8

31 VIIΙ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ VIII. Βασική εξίσωση δυνάµεων σε κυκλώµατα στα οποία τα ρεύµατα Fd dw I dψ k παραµένουν σταθερά m k k VIII.3 ύναµη σε κύκλωµα σταθερών ρευµάτων Wm F ή F I I j j L j VIII.4 ύναµη µεταξύ κυκλωµάτων σταθερών ρευµάτων συναρτήσει του συντελεστή αλληλεπαγωγής F I I M F II M VIII.5 Γενική εξίσωση δύναµης µεταξύ µ II d d l l F 3 κυκλωµάτων σταθερών ρευµάτων 4π C C VIII.6 Ροπή σε κυκλώµατα που διαρρέονται από σταθερά ρεύµατα W T m θ ή M T II θ VIII.7 ύναµη σε κυκλώµατα σταθερών ροών F W m VIII.8 Ροπή σε κυκλώµατα σταθερών ροών W T m θ ή M T II θ VIII.9 VIII.3 VIII.3 VIII.3 Μαγνητική πίεση που αναπτύσσεται σε απέραντη επίπεδη πολύ λεπτή αγώγιµη ταινία µε διανεµηµένο επιφανειακό ρεύµα K κάθετο σε εξωτερικό πεδίο B Μαγνητική πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων µε µαγνητικές διαπερατότητες µ και µ Ελκτική δύναµη ηλεκτροµαγνήτη οπλισµού όταν στο διάκενο διατοµής υφίσταται σταθερό µαγνητικό πεδίο επαγωγής B B Πίεση που αντιστοιχεί στη δύναµη της σχέσης VIII.3 p m B KB µ µ p ( µ µ )( H + H ) t µ F Wm B µ B p µ 9

32 ΙΧ ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΙΧ ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΙ ΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ IX. Σχέση µαγνήτισης µαγνητικής επαγωγής και έντασης µαγνητικού πεδίου B ( H+ M ) µ IX. Απόκλιση µαγνήτισης H M IX.3 Μαγνητική επιδεκτικότητα και συσχέτισή της µε τη µαγνήτιση M m H IX.4 Μαγνητική επιδεκτικότητα και µαγνητική διαπερατότητα µ µ ( + ), µ + m m ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ IX.5 Μαγνητεγερτική δύναµη πηνίου N ελιγµάτων F H d l NI C IX.6 IX.7 IX.8 Απώλειες υστέρησης σε σιδηροµαγνητικό υλικό όγκου V µε εµβαδόν βρόχου υστέρησης h Μαγνητική αντίσταση τµήµατος µαγνητικού κυκλώµατος διατοµής στα άκρα A, B του οποίου εφαρµόζεται µαγνητική τάση V m και διαρρέεται από ροή Φ Μαγνητική αντίσταση υλικού µαγνητικής διαπερατότητας µ, µήκους l και διατοµής R W V HdB V h V Φ C m A m R m B l µ H dl B d h F Φ IX.9 Μαγνητική αγωγιµότητα P m R m IX. Ο νόµος των ρευµάτων του Khhoff k στα µαγνητικά κυκλώµατα (k : αριθµός Φ κλάδων) IX. Ο νόµος των τάσεων του Khhoff στα µαγνητικά κυκλώµατα ( : αριθµός κλάδων, m : αριθµός πηγών) m m V H l Φ R F N I m, m, 3

33 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γενική εξίσωση κίνησης για µη ρελατιβιστικές περιπτώσεις dυ m q( ) dt E+ υ B Α. Αρχή διατήρησης της ενέργειας Α.3 Ταχύτητα σωµατιδίου µε φορτίο q και µάζα m που µεταβαίνει από θέση µηδενικού δυναµικού σε θέση δυναµικού V µε µηδενική αρχική ταχύτητα mυ + qφ ost qv υ m ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Α.4 Εξίσωση κίνησης dυ m q dt E Α.5 Α.6 Α.7 Α.8 Ταχύτητα σωµατιδίου ( qm, ) που εισέρχεται µε ταχύτητα υ σε ηλεκτροστατικό πεδίο E Συνιστώσες της ταχύτητας (παράλληλη και κάθετη προς τη διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου E ) Επιβατική ακτίνα σωµατιδίου ( qm, ) που εισέρχεται µε ταχύτητα υ από αρχική επιβατική ακτίνα σε ηλεκτροστατικό πεδίο E Συνιστώσες της επιβατικής ακτίνας (παράλληλη και κάθετη προς τη διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου E ) d () t q () t υ t dt E m + υ υ q Et + υ m υ υ q () E m t t + υ t + q Et + υ t + m υ t + ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ dυ Α.9 Εξίσωση κίνησης F m q( υ B) dt Α. Συνιστώσες της ταχύτητας (παράλληλη και κάθετη στη διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου) υ ost. υ ost. 3

34 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Α. Ακτίνα κυκλικής περιστροφής σωµατιδίου ( qm, ) υ m R qb Α. Περίοδος κυκλικής περιστροφής σωµατιδίου ( qm, ) T πr πm qb υ Α.3 Γωνιακή συχνότητα ή κυκλοτρονική συχνότητα της κυκλικής περιστροφής σωµατιδίου ( qm, ) π ω T qb m ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΙΑΣΤΑΥΡΟΥΜΕΝΑ ΠΕ ΙΑ Α.4 Γενική εξίσωση κίνησης m + m q( E + E + υ B) dυ dt dυ dt Α.5 Επιµέρους εξισώσεις κίνησης Α.6 Α.7 Παράλληλη συνιστώσα στη διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου της ταχύτητας και της επιβατικής ακτίνας (Οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση) Ανάλυση της κάθετης στη διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου συνιστώσας της ταχύτητας dυ m qe dt dυ m q( E + υ B) dt q υ E t + υ m q E t + υ t + m υ υ υ d + Α.8 Σταθερή ταχύτητα (Ευθύγραµµη οµαλή E B υ d ost κίνηση) B Α.9 Εξίσωση κίνησης για τη συνιστώσα υ (Κυκλική κίνηση µε άξονα περιστροφής παράλληλο στη διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου B ) Α. Χαρακτηριστικά κυκλικής κίνησης dυ m q( υ B) dt mυ R qb πr πm T υ qb π qb ω T m 3

35 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε διασταυρούµενα ηλεκτρικά και µαγνητικά πεδία Α. Παραµετρικές εξισώσεις τροχιάς µε αρχικές συνθήκες () () () και υ () υ (), υ () υ υ υ t () υ d dt+ sωt ω υ υd t () ( osωt ) ω t () B E Το αναλλοίωτο της µαγνητικής ροπής A. Α.3 Μέτρο µαγνητικής ροπής του βρόχου που διαγράφει κινούµενο φορτισµένο σωµατίδιο mυ q M πr ost B T Μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια της κυκλικής τροχιάς πm Φ πrb M ost q R B Α.4 Συνολική κινητική ενέργεια σωµατιδίου Wt mυ + MB ost Α.5 Α.6 Συνάρτηση δυναµικού στον µεταξύ των πλακών χώρο 4/3 /3 /3 3 J m 4/3 φ( ) ε e 4/3 V d Πυκνότητα ρεύµατος J (εξίσωση των Chld-Lgmu) J 4 e ε 9 m 4 e ε 9 m / 3/ / 3/ φ () V d ίοδος επιπέδων πλακών K d J -e E υ φ φ V P 33

36 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ X ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕ ΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Χ. Ταχύτητα διάδοσης του κύµατος σ ένα µη αγώγιµο µέσο µε διηλεκτρική σταθερά ε και µαγνητική διαπερατότητα µ υ µε Χ. Χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση µέσου µε σταθερές ε και µ η µ ε Χ.3 Μήκος κύµατος λ f ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL Χ.4 ιαφορική Μορφή Χ.5 Ολοκληρωτική Μορφή D H J + t B E t B D ρ H dl D d+ J d t E dl d C t B C B D d d V ρdv ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΟΥ MAXWELL Χ.6 Στιγµιαίες τιµές της ηλεκτρικής και της µαγνητικής πεδιακής έντασης σε σχέση µε τις µιγαδικές τιµές j t E Re( E e ω ) j t H Re( H e ω ) Χ.7 Συνιστώσες της ηλεκτρικής και µαγνητικής πεδιακής έντασης σε µιγαδική µορφή E e E e E e jωϕ jωϕ jωϕ H H H H e H e H e jωϕ jωϕ jωϕ 34

37 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Χ.8 Εξισώσεις του Mwell σε µιγαδική µορφή για ένα γραµµικό και ισότροπο µέσο: D εe, B µ H, J σe H ( σ + jωε) jωε jωµ H H ρ ε X.9 Μιγαδική διηλεκτρική σταθερά ε ε j σ ω Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ Χ. Χ. Χ. Χ.3 Χ.4 Γενική µορφή της εξίσωσης κύµατος σε οµογενές, γραµµικό, ισότροπο και ελεύθερο πηγών ( J ρ ) µέσο Εξίσωση κύµατος σε µη αγώγιµο µέσο ( σ ) Μονοδιάστατη εξίσωση κύµατος για οποιαδήποτε συνιστώσα ψ των E, H (οµογενής εξίσωση D Alembet) Γενική λύση της µονοδιάστατης εξίσωσης κύµατος Συντελεστής (σταθερά) διάδοσης κύµατος s E E E µε µσ t t H H H µε µσ t t µε E E E E t υ t µε H H H H t υ t ψ ψ υ t + E (,) t E ( υt) + E ( + υt) + E (,) t E ( υt) + E ( + υt) + H (,) t H ( υt) + H ( + υt) + H (,) t H ( υt) + H ( + υt) + + E E E H +, H, H +, H η η η γ jω ( µσ + jωε) ω µε+ jωµσ E η Χ.5 ιανυσµατική εξίσωση Helmholt για τη διάδοση µονοχρωµατικού κύµατος σε οµογενές, γραµµικό και ισότροπο µέσο χωρίς διανεµηµένα χωρικά φορτία Χ.6 ιάδοση σε µη αγώγιµο µέσο ( σ ) γ E γ E H H ω µε E + ω µεe H+ H Χ.7 Χ.8 Χ.9 Εξίσωση διάχυσης σε καλό αγώγιµο µέσο ( ωε σ) Εξίσωση διάχυσης σε καλό αγώγιµο µέσο ( ωε σ) Λόγος ρεύµατος µετατόπισης προς ρεύµα αγωγιµότητας (µέτρο ορισµού ενός υλικού ως καλού αγωγού ή όχι) µσ G G t G E, H, J, B G jωµσg G, H, J, B J d jωε Q J σ ωε σ 35

38 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΘΜΩΤΑ ΚΑΙ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Χ. Σχέσεις ορισµού του διανυσµατικού δυναµικού A και του βαθµωτού δυναµικού φ B A A E φ t Χ. Συνθήκη Loet A + µε φ t Χ. Μη οµογενής εξίσωση Helmholt, όταν ικανοποιείται η συνθήκη Loet µε A A t µ J A µ J φ ρ ρ φ µε φ t ε ε Χ.3 Τελεστής του D Alembet µε t Χ.4 Χ.5 Μετασχηµατισµός guge του βαθµωτού και του διανυσµατικού δυναµικού, όπου ψ αυθαίρετη βαθµωτή συνάρτηση Τα µετασχηµατισµένα A και φ καταλήγουν στα ίδια πεδιακά µεγέθη E, H µε τα αρχικά A και φ A A + ψ ψ φ φ t A E φ t B A Χ.6 Η ψ ικανοποιεί την εξίσωση κύµατος ψ t ψ µε ψ Χ.7 Χ.8 Τα µετασχηµατισµένα δυναµικά A και φ ικανοποιούν τη µη οµογενή εξίσωση Helmholt Καθυστερηµένα δυναµικά ή δυναµικά καθυστέρησης συναρτήσει των πηγών του πεδίου και της απόστασης από αυτές R A µ J φ ε µ (,,, t ) J A dv 4π V R ρ(,,, t ) φ dv πε R 4 V ρ Χ.9 Χρόνος καθυστέρησης R t t Χ.3 Χ.3 Χ.3 Χ.33 Ορισµός δυναµικού ή διανύσµατος Het ή δυναµικού πόλωσης Κυµατική εξίσωση για το δυναµικό Het, σε µέσο όπου δεν υπάρχουν διανεµηµένες πηγές Τα διανύσµατα E και B ως συναρτήσεις του δυναµικού Het Κυµατική εξίσωση για το δυναµικό Het παρουσία ρευµάτων και φορτίων λόγω ηλεκτρικής πόλωσης Π A υ t φ Π υ Π t Π Π E ( Π ) υ t B υ Π t υ Π t Π P ε 36

39 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ ΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Χ.34 Βαθµωτό και διανυσµατικό δυναµικό B A E φ jωa Χ.35 Συνθήκη Loet A + jωµεφ Χ.36 Μη οµογενής εξίσωση Helmholt A ω µε A µ J ρ φ + ω µεφ ε + j Χ.37 Ηλεκτρική πεδιακή ένταση ( A ) jωa ωµε Χ.38 Καθυστερηµένα δυναµικά Χ.39 Κυµατικός αριθµός ή κυµατάριθµος µ (,, ) J A e 4π V R ρ(,, ) φ e 4πε R V ω πf π k, λ jkr jkr dv dv Χ.4 Καθυστερηµένα δυναµικά κοντά σε πηγές των οποίων οι διαστάσεις είναι πολύ µικρότερες από το µήκος κύµατος ( R λ) µ (,, ) J A dv 4π V R ρ(,, ) φ dv πε R 4 V ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ POYNTING Χ.4 ιαφορική διατύπωση του θεωρήµατος του Potg ( ) D B E H J E+ E + H t t Χ.4 Ολοκληρωτική διατύπωση του θεωρήµατος του Potg ( ) d dv D B E H + + dv J E E H V t t V Χ.43 Το θεώρηµα του Potg για µέσο οµογενές, γραµµικό και ισότροπο. ( E H) J E + E + H d dv ε µ dv V t V Χ.44 Χ.45 Το θεώρηµα του Potg σε χρονικά αµετάβλητο πεδίο Το πραγµατικό διάνυσµα Potg P (ή ) εκφράζει την ανά µονάδα χρόνου ενέργεια που διέρχεται από τη µονάδα επιφανείας και έχει τη διεύθυνση διάδοσης της ενέργειας ( E H) d J EdV P E H V 37

40 Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Χ.46 Το µιγαδικό διάνυσµα Potg ( H ) Χ.47 Χ.48 Το πραγµατικό διάνυσµα Potg P συναρτήσει του µιγαδικού ιαφορική διατύπωση του θεωρήµατος του Potg υπό µιγαδική µορφή P E H + E H P Re { } Re( j t ) Re( e ω ) ( ) jω E H + E J B H E D Χ.49 Ολοκληρωτική διατύπωση του θεωρήµατος του Potg υπό µιγαδική µορφή d ( ) d H jω dv + ( ) dv J V B H D V Χ.5 Πυκνότητα ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου w e Re { D} Χ.5 Πυκνότητα ενέργειας µαγνητικού πεδίου w m Re { B H} 4 4 Χ.5 Πυκνότητα απωλειών Joule w j Re E J 4 Σηµείωση: Στις σχέσεις Χ.4 και Χ.43 το πρώτο ολοκλήρωµα του δεξιού µέρους εκφράζει την ανά µονάδα χρόνου ενέργεια (ισχύ) του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου που µετατρέπεται σε θερµότητα σύµφωνα µε το νόµο του Joule. Το δεύτερο ολοκλήρωµα του δεξιού µέρους εκφράζει την ταχύτητα µεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου στον όγκο V. 38

41 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ XΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΙΑ ΟΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΗ ΑΓΩΓΙΜΑ ΜΕΣΑ ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ.3 ΧΙ.4 Φασική σταθερά διάδοσης κύµατος β Μονοδιάστατη εξίσωση Helmholt για τις συνιστώσες των διανυσµάτων H και E ( H E ) επιπέδου κύµατος Γενική λύση µονοδιάστατης εξίσωσης Helmholt Μιγαδική ηλεκτρική και µαγνητική πεδιακή ένταση επιπέδου κύµατος που διαδίδεται κατά + µε + γ ω µε ( ± jβ) β ω µε d ψ βψ d + ψ H, H, E, E j j H + β β H e + H e + + ηh j j H + β β H e + H e + + ηh, όπου + jβ jβ e + e ηh + jβ jβ e + e ηh + jβ e j j + και + Ee ϕ + β jβ H H H e e η ΧΙ.5 Στιγµιαίες τιµές ηλεκτρικής και µαγνητικής πεδιακής έντασης επιπέδου κύµατος που διαδίδεται κατά + jωt E(,) t Re( E e ) E os( ωt β+ ϕ) jωt E H(,) t Re( H e ) os( ωt β+ ϕ) η ΧΙ.6 Φασική ταχύτητα υ p d ω dt β µε ΧΙ.7 Μήκος κύµατος π π υp λ υp T υ β ω f p ΧΙ.8 Πραγµατικό διάνυσµα Potg E E P η + η + os ( ωt β ϕ) ΧΙ.9 Μέση χρονική τιµή της µεταφερόµενης ισχύος P E η 39

42 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΠΟΛΩΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ.3 Στιγµιαίες τιµές των συνιστωσών της ηλεκτρικής έντασης επίπεδου κύµατος που διαδίδεται κατά + Γραµµικά πολωµένο κύµα ( θ : γωνία του διανύσµατος E µε τον άξονα ) ϕ (α) E() t E θ( t) t t ost. E() t E (β) ϕ ± π E() t E θ( t) t t ost. E() t E Κυκλικά πολωµένο κύµα E E E E E os ωt π ϕ ± π E E os ωt ± E() t θ( t) t t ω E () t E E + E E Ελλειπτικά πολωµένο κύµα E() t E osωt E() t E os( ωt + ϕ) E EE E os φ+ s φ E EE E E t θ( t) t( ωt) E E E ωt os E E() t E osωt E () t E os( ωt + ϕ) B E () t θ () t π ϕ E( t) ϕ E E os ωt E os E ωt E () t θ () t E E () t E () t E osωt E E ωt A os θ () t π ϕ ϕ ± π E () t E os( ωt + ϕ) ΧΙ.4 Ισχύς ανά µονάδα επιφανείας ελλειπτικά πολωµένου κύµατος P Re( ) ( E + E ) η 4

43 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΙΑ ΟΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΗ ΤΕΛΕΙΑ ΜΟΝΩΤΙΚΑ ΜΕΣΑ ΧΙ.5 Σταθερά διάδοσης γ (γενική σχέση) γ jωµ ( σ + jωε) ω µε+ jωµσ γ ± ( α+ jβ) ΧΙ.6 ΧΙ.7 ΧΙ.8 ΧΙ.9 ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ. Σταθερά απόσβεσης κύµατος Φασική σταθερά διάδοσης κύµατος Χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση µέσου Ηλεκτρική και µαγνητική πεδιακή ένταση επιπέδου κύµατος (µιγαδική παράσταση) Στιγµιαίες τιµές ηλεκτρικής και µαγνητικής πεδιακής έντασης επιπέδου κύµατος Φασική ταχύτητα Μήκος κύµατος / µε σ α ω µε + ωε α ω + Q ( Q ωε / σ) µε σ β ω + + ωε υ / µε β ω + + Q jωµ jωµ j π η η η e θ < θ < γ σ + jωε 4 / / ( µ / ε ) ( µ / ε) η /4 /4 σ + + ωε Q σ θ t t ωε Q j( ) E e e ϕβ E e e ϕ θ β H η j( ) jωt E(,) t Re( E e ) E e os( ωt β+ ϕ) jωt E (,) Re( ) t e e os( ωt β+ ϕ θ) H H η p ω β µε + + ωε Q / / σ µε + + π π π π λ υ p / / β ω ω ω σ µε µε ωε Q / / ιάδοση σε καλό διηλεκτρικό (Q >> ) ΧΙ.3 Σταθερά απόσβεσης του κύµατος ω µε σ µ Q ε ΧΙ.4 Φασική σταθερά διάδοσης του β ω µε + ω µε κύµατος 8Q ΧΙ.5 Χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου µ ε η + 4Q e j t Q µ ε ΧΙ.6 Φασική ταχύτητα υp µε 8Q µε 4

44 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ π π ΧΙ.7 Μήκος κύµατος λ ω µε 8Q ω µε ιάδοση σε καλό αγωγό (Q << ) ΧΙ.8 Σταθερά απόσβεσης του κύµατος µσω µσω α Q ΧΙ.9 Φασική σταθερά διάδοσης του κύµατος µσω µσω β + Q ΧΙ.3 Χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση µέσου j t π j Q 4 µ Q µω jµω η e e ε σ σ ΧΙ.3 Φασική ταχύτητα υ p ω ω ω Q β µσ µσ ΧΙ.3 Μήκος κύµατος π λ π Q π β µσω µσω ΧΙ.33 Βάθος διείσδυσης λ δ α β µσω π ΤΟ ΠΕ ΙΟ ΜΕΣΑ ΣΕ ΑΓΩΓΙΜΑ ΜΕΣΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΧΥΣΗΣ ΧΙ.34 ΧΙ.35 Εξίσωση διάχυσης Εξίσωση διάχυσης (µιγαδική µορφή) µσ G t G E, H, J, B G G jωµσg G γ G G E, H, J, B ΧΙ.36 ΧΙ.37 Σταθερά διάδοσης Σταθερά απόσβεσης και φασική σταθερά διάδοσης / / ωµσ γ ( α+ jβ) jωµσ ( ωµσ) j ( + j) µωσ α β δ ΧΙ.38 Εξίσωση της ροής σε πορώδες µέσο E J σ ρ υ σ 4

45 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΧΙ.39 ΧΙ.4 Το πεδίο σε ηµιάπειρο αγώγιµο µέσο ( ) Ηλεκτρική πεδιακή ένταση (ο δείκτης s αναφέρεται στη διαχωριστική επιφάνεια) ( + j) + δ E E e ( + j) ιηλεκτρικό δ Ee s µέσο Αγώγιµο µέσο (Q<<) s E + E α δ Μαγνητική πεδιακή ένταση + ( + j ) e δ H H He s η π E j s σ 4 H s se η µω ( + j ) δ H β () γ ΧΙ.4 ΧΙ.4 ΧΙ.43 ΧΙ.44 Πυκνότητα ρεύµατος Μαγνητική επαγωγή Στιγµιαίες τιµές των διανυσµάτων J και B Συνολικό ρεύµα που ρέει σε επίπεδο στρώµα του ηµιάπειρου αγώγιµου µέσου µοναδιαίου πάχους ( + j ) δ s J Je J Je s J σ E +, j J J e ϕ s s ( + j ) δ j e ϕ ( + j) δ B Be µ ( + j ) j ϕ δ 4 s B Je s e σω π µ µσ j µ j B s µ H s s se J se η ω σω s π π 4 4 J jωt δ Re( J e ) Jse os ωt + ϕ δ B jωt µ π δ Re( B e ) Jse os ωt + ϕ σω δ 4 π J j ϕ s δ 4 I Jd e jωt Jsδ π ΧΙ.45 Στιγµιαία τιµή του ρεύµατος It () Re( Ie ) os ωt + ϕ 4 ΧΙ.46 Μέση χρονική ισχύς ωµικών απωλειών ανά µονάδα µήκους κατά τη διεύθυνση του ρεύµατος στο αγώγιµο στρώµα J J δ P JJd e d s δ s σ σ 4σ P Ims RI σδ ms ΧΙ.47 Ενδεικνύµενη τιµή του ρεύµατος I ms I m Jsδ P ΧΙ.48 Ισοδύναµη ωµική αντίσταση R I σδ ms 43

46 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ Ανάπτυξη ρευµάτων σε αγώγιµη πλάκα (η πλάκα εκτείνεται στο άπειρο κατά τους άξονες και, έχει πάχος b κατά τον άξονα, ενώ η πυκνότητα ρεύµατος θεωρείται παράλληλη στον άξονα και έχει την τιµή J στο µέσο επίπεδο της πλάκας) ΧΙ.49 Εξίσωση διάχυσης για την πυκνότητα ρεύµατος d J jωµσj d J s H s J s H s ΧΙ.5 Γενική λύση της εξίσωσης διάχυσης ( + j) ( + j) + δ δ J J e + J e σ J b J J σ b σ ΧΙ.5 ΧΙ.5 Συνθήκη συµµετρίας και αρχική συνθήκη Πυκνότητα ρεύµατος εντός της πλάκας J () J ( ) J () J + + J J J + J J J J δ ( + j) ( + j) δ δ e + e Josh ( + j) ΧΙ.53 Πυκνότητα ρεύµατος στις επιφάνειες της πλάκας ( b) b J J osh ( + j) δ s ± ΧΙ.54 ΧΙ.55 ΧΙ.56 ΧΙ.57 ΧΙ.58 ΧΙ.59 Συνολικό ρεύµα ανά µονάδα µήκους του άξονα Συνολικό ρεύµα ανά µονάδα µήκους όταν b δ Πυκνότητα ρεύµατος ως συνάρτηση του συνολικού ρεύµατος που διαρρέει την πλάκα Ηλεκτρική πεδιακή ένταση ως συνάρτηση του συνολικού ρεύµατος που διαρρέει την πλάκα Μαγνητική επαγωγή ως συνάρτηση του συνολικού ρεύµατος που διαρρέει την πλάκα Μαγνητική πεδιακή ένταση ως συνάρτηση του συνολικού ρεύµατος που διαρρέει την πλάκα J δ b J sh ( ) s δ b + th ( + ) ( + j) δ ( + j) δ I j j 44 J I s δ ( + j) osh ( + j) ( + j) I δ J δ b sh ( + j) δ osh ( + j) J ( + j) I δ σ σδ b sh ( + j) δ sh ( + j) sh ( + j) E I δ µ I δ B jω ωσδ b b sh ( + j) sh ( + j) δ δ sh ( + j) B I δ H µ b sh ( + j ) δ

47 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΧΙ.6 ΧΙ.6 Μαγνητική πεδιακή ένταση στις I H H επιφάνειες της πλάκας H s b b Ηλεκτρική πεδιακή ένταση στις Js ( + j) b s I oth ( + j ) επιφάνειες της πλάκας b b σ σδ δ ΧΙ.6 ΧΙ.63 Μέση χρονική ισχύς ωµικών απωλειών στην πλάκα Ωµική αντίσταση τµήµατος της πλάκας µε µοναδιαίο µήκος κατά τους άξονες και b b I sh s + δ δ P 4σδ b b osh os δ δ b b P I sh s + δ δ R R σδ b b osh os δ δ ΧΙ.64 Τάση στην επιφάνεια της πλάκας σε µοναδιαίο µήκος κατά τη διεύθυνση του άξονα V J s σ ΧΙ.65 Σύνθετη αντίσταση τµήµατος της πλάκας µε µοναδιαίο µήκος κατά τους άξονες και Z V ( + j) I σδ b th ( + j) δ b b b b sh s sh s + δ δ δ δ + j σδ b b σδ b b osh os osh os δ δ δ δ ΧΙ.66 Αντίσταση στο συνεχές ρεύµα R bσ ΧΙ.67 Λόγος της αντίστασης στο R εναλλασσόµενο ρεύµα προς την f αντίσταση στο συνεχές ρεύµα R b δ b b sh s + δ δ b b osh os δ δ ΧΙ.68 Λόγος αντιστάσεων για µικρές τιµές του λόγου b / δ f R 4 b + R 45 δ 4 Ηλεκτρικό επιδερµικό φαινόµενο σε αγώγιµη πλάκα ΧΙ.69 Λόγος της πυκνότητας ρεύµατος στο εσωτερικό της πλάκας προς την πυκνότητα ρεύµατος στις επιφάνειές της f J J J s osh os + δ δ b b osh os + δ δ ΧΙ.7 Λόγος της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης στο εσωτερικό της πλάκας προς την ηλεκτρική ένταση στις επιφάνειές της f E s osh os + δ δ b b osh os + δ δ 45

48 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΧΙ.7 Λόγος της µαγνητικής πεδιακής έντασης (επαγωγής) στο εσωτερικό της πλάκας προς την µαγνητική ένταση (επαγωγή) στις επιφάνειές της f B B H sh ( + j) δ fh B b s H s sh ( + j) δ osh os δ δ b b osh os δ δ Μαγνητικό επιδερµικό φαινόµενο σε αγώγιµη πλάκα (η πλάκα είναι τοποθετηµένη σε εναλλασσόµενο µαγνητικό πεδίο παράλληλο προς τις επιφάνειες της και ισχύει H () H ( ) ) ΧΙ.7 Εξίσωση διάχυσης d H d jωµσh ΧΙ.73 ΧΙ.74 ΧΙ.75 ΧΙ.76 ΧΙ.77 ΧΙ.78 Μαγνητική πεδιακή ένταση στο εσωτερικό της πλάκας Ηλεκτρική πεδιακή ένταση στο εσωτερικό της πλάκας Μαγνητική επαγωγή στο εσωτερικό της πλάκας Πυκνότητα ρεύµατος στο εσωτερικό της πλάκας Λόγος της µαγνητικής πεδιακής έντασης (επαγωγής) στο εσωτερικό της πλάκας προς την µαγνητική ένταση (επαγωγή) στις επιφάνειές της Λόγος της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης (πυκνότητας ρεύµατος) στο εσωτερικό της πλάκας προς την ηλεκτρική ένταση (πυκνότητα ρεύµατος) στις επιφάνειές της ( + j) ( + j) osh ( j) H + δ δ s e + e H δ H s b b osh ( + j) osh ( + j) δ δ sh ( + j) H H + j H δ E s σ σ σδ b osh ( + j) δ osh ( + j) H δ B µ s b osh ( + j) δ sh ( + j) + j H δ J s δ b osh ( + j) δ H B osh ( + j) osh + os δ δ δ fh fb H b b b s B s osh ( + j) osh + os δ δ δ J sh ( + j) osh os δ δ δ fj fe J b b b s s sh ( + j) osh os δ δ δ b µ H b ΧΙ.79 Μέση τιµή της µαγνητικής επαγωγής B δ v Bd th ( j) b + b + j b δ ΧΙ.8 Μιγαδική µαγνητική διαπερατότητα µ B v µ δ b th ( + j) H ( + j) b s δ b b sh j s µδ + δ δ µ e b + j b b osh + os δ δ jψ 46

49 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΧΙ.8 Μέτρο και γωνιακή απόκλιση της µιγαδικής µαγνητικής διαπερατότητας b b osh os µ δ δ δ µ b b b osh + os δ δ b b sh s δ δ ψ t b b sh s + δ δ / ΧΙ.8 Μέτρο της µιγαδικής µαγνητικής µ δ µ διαπερατότητας όταν b δ b ΧΙ.83 Μέση χρονική ισχύς απωλειών που οφείλονται στα αναπτυσσόµενα δινορρεύµατα στο υλικό της πλάκας P b b H sh s s δ δ σδ b b osh + os δ δ ΧΙ.84 ΧΙ.85 ΧΙ.86 Επιδερµικό φαινόµενο σε κυλινδρικό αγωγό ακτίνας α πολύ µεγάλου µήκους που διαρρέεται από ηµιτονοειδές ρεύµα I J jωµσj dj dj + jµσωj d d Εξίσωση διάχυσης dj dj + + κ J j, όπου κ jµσω d d δ κi J J( κ) Πυκνότητα ρεύµατος στο εσωτερικό πj( κ) του κυλίνδρου J, J : συναρτήσεις Bessel ου είδους (µηδενικής και πρώτης τάξης αντίστοιχα) Μαγνητική πεδιακή ένταση στο I H J( κ) ϕ εσωτερικό του κυλίνδρου πj ( κ) ΧΙ.87 ΧΙ.88 Ηλεκτρική πεδιακή ένταση στο εσωτερικό του κυλίνδρου Μαγνητική επαγωγή στο εσωτερικό του κυλίνδρου J κi J σ πσj ( κ) ( κ) µ I B µ H J ( κ) ϕ πj ( κ) ΧΙ.89 Πυκνότητα ρεύµατος πάνω στον άξονα του αγωγού ( ) J κi πj ( κ) ΧΙ.9 Πυκνότητα ρεύµατος πάνω στην εξωτερική επιφάνεια του αγωγού ( ) J s J J( κ) ΧΙ.9 Πυκνότητα ρεύµατος στο εσωτερικό J J του αγωγού ( ) J κ ΧΙ.9 Γενική σχέση για το όρισµα j j e ( j) δ δ δ π j 4 κ κ µσω 47

50 ΧΙ ΕΠΙΠΕ Ο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ ΧΙ.93 ΧΙ.94 Ωµικές απώλειες και άεργη ισχύς, όπου η εξωτερική επιφάνεια του αγωγού Ανά µονάδα µήκους σύνθετη αντίσταση του αγωγού * ( ) E H d P + j Q I R+ j I X I Z * ( ) d J ( κα) Z R+ jx e I πσαδ J( κα) R X E H J ( κα) os( 45 ) ψ ψ πσαδ J( κα) J ( κα) s( 45 ) ψ ψ πσαδ J( κα) j( ψψ45 ) ΧΙ.95 Ανά µονάδα µήκους αντίσταση του R αγωγού στο συνεχές ρεύµα πσ ΧΙ.96 Λόγος της αντίστασης στο εναλλασσόµενο ρεύµα προς την αντίσταση στο συνεχές f R J ( κα) os( 45 ) R ψ ψ δ J( κα) ΧΙ.97 Λόγος αντιστάσεων για σχετικά παχείς αγωγούς, π.χ. όταν / δ > R R + δ Απώλειες γειτνίασης (σε σύστηµα δύο παραλλήλων αγωγίµων πλακών () και () πάχους b µε πολύ µεγάλο µήκος κατά τoν άξονα, στο οποίο το εναλλασσόµενο ρεύµα I, που είναι παράλληλο προς τον άξονα προσάγεται από τον έναν αγωγό και επιστρέφει από τον άλλον) ΧΙ.98 Ένταση του µαγνητικού πεδίου που οφείλεται στον αγωγό () στις δύο επιφάνειες του αγωγού () ( I το ανά µονάδα µήκους κατά ρεύµα του αγωγού) I H s () () b b ΧΙ.99 ΧΙ. ΧΙ. ΧΙ. Μέσες χρονικές απώλειες στον αγωγό () (ανά µονάδα µήκους κατά και ) Μέσες χρονικές απώλειες του συστήµατος (ανά µονάδα µήκους κατά και ) Ανά µονάδα µήκους και επιφανείας αντίσταση της γραµµής των δύο αγωγών (ανά µονάδα µήκους κατά και ) Αντίσταση της γραµµής στο συνεχές ρεύµα (ανά µονάδα µήκους κατά και ) I P P, + P, 4σδ b b b b sh + s sh s δ δ δ δ + b b b b osh os osh + os δ δ δ δ P I P I R σδ b b b b sh + s sh s δ δ δ δ + b b b b osh os osh + os δ δ δ δ b b b b sh + s sh s δ δ δ δ R + σδ b b b b osh os osh + os δ δ δ δ R σb 48