4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

Transcript

1 4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΗ ΚΥΚΛΟΣ ΚAI ΤΟΞΑ ΕΛΛΕΙΨΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ ΠΛΑΙΣΙΟ FREET ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FREET SERRET ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ TOΜΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔO ΤΟΜΗ ΔΥΟ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΠΩΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΜΠΥΛΕΣ FERGUSSΟΝ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΒEΖΙER ΚΑΜΠΥΛΕΣ Β-SPLIES ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

2 4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ 4. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Οι καμπύλες συνήθως περιγράφονται με δύο μεθόδους. Παραμετρική εξίσωση. Χρησιμοποιούμε εξισώσεις της μορφής xχ, yυ και zz που μας επιτρέπει να υπολογίζουμε άμεσα τα σημεία της καμπύλης με βάση τις τιμές της παραμέτρου ορισμού της καμπύλης,. Οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται και ελεύθερες εξισώσεις κατά x, y και z. Μη παραμετρική εξίσωση. Η εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής Cx,y,z, mplct μη παραμετρική μορφή καμπύλης, ή XCy,z, explct μη παραμετρική μορφή καμπύλης. Και στις δύο περιπτώσεις, έχουμε μια σχέση μεταξύ των συντεταγμένων x, y και z κάθε σημείου της καμπύλης, στον τρισδιάστατο χώρο. H μέθοδος αυτή δεν μας δίνει άμεσα σημεία πάνω στην καμπύλη και πρέπει να βρεθούν με έμμεσο τρόπο. Η παραμετρική εξίσωση μπορεί να αποδοθεί και με τη διανυσματική απεικόνιση: r C όπου r είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου C στην καμπύλη, και C είναι η διανυσματική συνάρτηση ορισμού της καμπύλης, ως προς. Σε ένα σύστημα CAD χρησιμοποιείται η παραμετρική αναπαράσταση, γιατί υλοποιούνται εύκολα οι περισσότερες εφαρμογές που μας ενδιαφέρουν, όπως, να σχεδιάζουμε ένα ορισμένο τμήμα της καμπύλης κάθε φορά, να υπολογίσουμε διαδοχικά σημεία πάνω σε μια καμπύλη, να προσδιορίσουμε ένα ορισμένο σημείο πάνω στην καμπύλη ενώ το αντίστροφο, να εξακριβώσουμε εάν ένα σημείο ανήκει σε μια καμπύλη δεν είναι εύκολο. Η παραμετρική αναπαράσταση δεν είναι μονοσήμαντη. Για παράδειγμα η παραμετρική εξίσωση τεταρτημορίου κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και με ακτίνα ίση με τη μονάδα, μπορεί να είναι: x cos, y sn, με π/, ή x- /, y /t, με. Για την καλλίτερη κατανόηση της παραμέτρου ορισμού της καμπύλης, θεωρούμε ένα όχημα που διατρέχει την καμπύλη. Η παράμετρος απεικονίζει το χρόνο. Στην αρχή του χρόνου το όχημα είναι στην αρχή της καμπύλης, ενώ στο τέλος του χρόνου το όχημα είναι στο τέλος της καμπύλης. Η πρώτη παράγωγος της καμπύλης ως προς αντιστοιχεί στην ταχύτητα κίνησης του οχήματος και η δεύτερη στην επιτάχυνση του. Εάν το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό, τότε η παραμετροποίηση ονομάζεται ομοιόμορφη παραμετροποίηση nform parameterzaton. Στο παραπάνω παράδειγμα του κύκλου, η πρώτη μέθοδος είναι ομοιόμορφη ενώ η δεύτερη δεν είναι. Μοντέλα Ακμών -4--

3 Στη συνέχεια θα δώσουμε την παραμετρική αναπαράσταση των κωνικών τομών. Μοντέλα Ακμών -4--

4 4. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ 4.. ΟΡΙΣΜΟΣ Ως κωνικές τομές ονομάζονται όλες οι αναλυτικές καμπύλες που προέρχονται από την τομή του κώνου με το επίπεδο. Το αποτέλεσμα της τομής είναι μια γραμμή, ένας κύκλος, μια έλλειψη, μια παραβολή ή μια υπερβολή, και είναι όλα υποσύνολα των κωνικών τομών, σχ.4., ανάλογα με τη θέση του επιπέδου σε σχέση με τον άξονα του κώνου. Το αποτέλεσμα της τομής εξαρτάται από τη θέση του επίπεδου σε σχέση με τον άξονα του κώνου. Οι περισσότερες εφαρμογές μηχανολογικής σχεδίασης, ιδιαίτερα για μοντέλα σύρματος, καλύπτονται από τις κωνικές τομές, επειδή τα περισσότερα εξαρτήματα έχουν κάποιο άξονα συμμετρίας. Σχ.4.. Παραγωγή κωνικών τομών, από την τομή Κώνου με επίπεδο. α Κύκλος, β Έλλειψη, γ Παραβολή, δ Υπερβολή. Μοντέλα Ακμών -4--

5 4.. ΓΡΑΜΜΗ Η παραμετρική εξίσωση του ευθυγράμμου τμήματος, που ορίζεται από δύο σημεία, Ρ και Ρ, σχ.4., είναι: Ρ Ρ Ρ Ρ Όπου, Ρ είναι το διάνυσμα θέσης ενός σημείου πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα, Ρ και Ρ, τα διανύσματα θέσης των δύο ακραίων σημείων και η παράμετρος ορισμού του τμήματος. Εφαπτόμενη διεύθυνση Ρ' Ρ - Ρ Μοναδιαίο διάνυσμα n P Ρ / I όπου l το μήκος της καμπύλης. Σχ.4.. Παραμετρικός ορισμός γραμμής από δύο σημεία. Στη βάση δεδομένων του μοντέλου καταχωρούνται τα δύο άκρα της γραμμής, καθώς και το είδος, πάχος, χρώμα, επίπεδο σχεδίασης, κλπ. Μοντέλα Ακμών -4-4-

6 4.. ΚΥΚΛΟΣ ΚAI ΤΟΞΑ Η παραμετρική εξίσωση κύκλου ή τόξου, στο επίπεδο xy, με κέντρο το σημείο x c, y c, σχ.4., είναι: x x c rcos y y c rsn z z c Πεδίο ορισμού παραμέτρου για πλήρη κύκλο π για τόξο κύκλου s < e Στη βάση δεδομένων του μοντέλου καταχωρείται η ακτίνα του κύκλου, οι συντεταγμένες του κέντρου του, οι γωνίες αρχής και τέλους του τόξου, καθώς και το είδος της γραμμής, το πάχος, το χρώμα, το επίπεδο σχεδίασης, κλπ. Ο υπολογισμός των σημείων στην περιφέρεια του κύκλου γίνεται με αναδρομικό τύπο, με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, x n x c x n - x c cosδ - y n - y c snδ y n y c y n - y c cosδ - x n - x c snδ z n z n Σχ.4.. Παραμετρικός ορισμός κύκλου. Μοντέλα Ακμών -4-5-

7 4..4 ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: τόπος σημείων με σταθερό άθροισμα απόστασης από δύο σημεία. Η παραμετρική εξίσωση έλλειψης στο επίπεδο xy, με κέντρο το σημείο x c, y c, με τον κύριο άξονα κατά τη διεύθυνση x, με μήκος a, και τον δευτερεύοντα κατά τη διεύθυνση y και με μήκος b, σχ.4.4α, είναι: x x c α cos y y c βsn z z c Εάν ο κύριος άξονας σχηματίζει γωνία α, ως προς τον άξονα x, τότε η παραμετρική εξίσωση της έλλειψης, σχ.4.β είναι: X x c acoscosα - bsnsnα y y c acossnα bsnsnα z z c Τιμές παραμέτρου π. Η σχέση μεταξύ της παραμέτρου ορισμού και του σημείου C, φαίνεται στο σχ.4.4γ. Στο σχήμα αυτό φαίνονται ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος της έλλειψης. Στο ζητούμενο σημείο της περιφέρειας της έλλειψης φέρουμε κάθετο στον κύριο άξονα, βρίσκουμε το σημείο τομής της καθέτου με τον περιγεγραμμένο κύκλο. Η ζητούμενη γωνία είναι η γωνία της ακτίνας στο σημείο τομής με τον άξονα x. Στη βάση δεδομένων του μοντέλου καταχωρούνται, οι συντεταγμένες του κέντρου της, το μισό της κυρίας και της δευτερεύουσας ακτίνας, οι γωνίες αρχής και τέλους ελλειπτικού τόξου, καθώς και το είδος, πάχος, χρώμα, επίπεδο σχεδίασης της γραμμής, κλπ. Σχ.4.4. Παραμετρικός ορισμός έλλειψης α στην αρχή των συντεταγμένων,β σε απόσταση από την αρχή και υπό κλίση. Μοντέλα Ακμών -4-6-

8 Αναδρομικοί τύποι υπολογισμού σημείων στην περιφέρεια με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, A xn xc xn xc cosδ yn yc sn Δ B A yn yc yn yc cosδ xn xc sn Δ B z n z n και για έλλειψη υπό γωνία a, οι παραπάνω τύποι είναι : x n x c Acos n Δcosa - Bsn n Δsna y n y c Acos n Δsna Bsn n Δcosa z n z n όπου n n -. Μοντέλα Ακμών -4-7-

9 4..5 ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός: τόπος σημείων που η απόσταση τους από ένα σημείο εστία είναι ίδια με την απόσταση από ορισμένη ευθεία drectrx Εξίσωση παραβολής, σχ.4.5 x x a cosa a sna y y a sna a cosa z z με h y Ιw / a < l y hw / a Στη βάση δεδομένων καταχωρούνται, οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής Ρ ν, οι αποστάσεις των άκρων της γ hw και y lw, η εστιακή απόσταση α, και η γωνία διεύθυνσης a. Σχ.4.5. Παραμετρικός ορισμός παραβολής. Αναδρομικοί τύποι υπολογισμού σημείων στην περιφέρεια με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, x n x n y n - y ν Δ ΑΔ y n y n AΔ z n z n Μοντέλα Ακμών -4-8-

10 4..6 ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός: τόπος σημείων των οποίων η διαφορά της απόστασης από τις δύο εστίες είναι σταθερή και ίση με την απόσταση της υπερβολής από τον κάθετο άξονα. Παραμετρική εξίσωση, σχ.4.6 : x x α cosh y y b snh z z Σχ.4.6.Παραμετρικος ορισμός υπερβολής. Μοντέλα Ακμών -4-9-

11 4. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ. 4.. ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ Η πρώτη παράγωγος και όλες οι ανώτερου βαθμού παράγωγοι ως προς την παράμετρο ορισμού της καμπύλης,, σε σημείο υπολογίζεται από τη σχέση : [ x' y' z' ] C ' για την πρώτου βαθμού παράγωγο, και d a& C d a d x a d a a d y d z a& a d d a για την βαθμού a, παράγωγο. Εάν ισχύει η σχέση : C ' και x ' y' z' > τότε η καμπύλη είναι κανονική στο σημείο και το σημείο ονομάζεται ομαλό σημείο. Διαφορετικά ονομάζεται ιδιαίτερο snglar σημείο. Στο σχ.4.8, φαίνονται διάφορες περιπτώσεις ιδιαίτερων σημείων. Στο σχ.4.8α έχουμε ένα csp όπου το εφαπτόμενο διάνυσμα έχει ασυνέχεια ή είναι μηδενικό, και στο σχ.4.8β η παραμετροποίηση της ευθείας μας δίνει δύο ιδιαίτερα σημεία. 'Όταν η καμπύλη επίσης εκφυλίζεται σε ένα σημείο μόνο, τότε έχουμε ένα ιδιαίτερο σημείο. Εάν για την καμπύλη C στο διάστημα a b υπάρχουν οι r παράγωγοι των x, y και z και είναι συνεχείς, η καμπύλη είναι τάξης C r. Σχ.4.8. Ιδιαίτερα σημεία σε καμπύλες, α csp, β από την παραμετροποίηση της ευθείας. Μοντέλα Ακμών -4--

12 4.. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Το διάνυσμα C', παράγωγος της καμπύλης ως προς στο σημείο C, ονομάζεται εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη, σχ.4.9α. Το διάνυσμα t dc/ds, παράγωγος της καμπύλης ως προς s μήκος τόξου καμπύλης, ονομάζεται μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα, σχ.4.9β, είναι της ιδίας κατεύθυνσης με το εφαπτόμενο διάνυσμα και μεταξύ τους ισχύει η σχέση : C' t C' C' C' Σχ.4.9. Σχηματική παράσταση, α του εφαπτόμενου διανύσματος και β του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος Η ευθεία που εφάπτεται της καμπύλη σε σημείο δίνεται από τη σχέση : R C t όπου R, σημείο στην ευθεία, και υφίσταται σε κάθε ομαλό σημείο της καμπύλης. 4.. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Το επίπεδο που περνάει από το σημείο C μιας καμπύλης και είναι κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο αυτό ονομάζεται κάθετο επίπεδο, σχ.4.. Η εξίσωση του επιπέδου αυτού είναι : R C C όπου R σημείο στο επίπεδο. Σχ.4.. Το κάθετο επίπεδο σε καμπύλη στο χώρο. Μοντέλα Ακμών -4--

13 Το μοναδιαίο διάνυσμα που ορίζεται από την πρώτη παράγωγο του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος στο σημείο C, ως προς την παράμετρο ορισμού της καμπύλης, και συνεπώς είναι κάθετο στο διάνυσμα t ονομάζεται κύριο κάθετο διάνυσμα prncpal normal. Συνεπώς, Ν t' / t' Το επίπεδο που περνάει από το σημείο C μιας καμπύλης και προσεγγίζει καλλίτερα την καμπύλη στο σημείο αυτό ονομάζεται εφαπτόμενο osclatng επίπεδο, σχ.4.. Το επίπεδο αυτό περιέχει το εφαπτόμενο και το κύριο κάθετο διάνυσμα. Σχ.4.. Το εφαπτόμενο επίπεδο σε καμπύλη στο χώρο. Η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου είναι [R C, C, C ] όπου η αγκύλη ορίζει ένα τριπλό εσωτερικό γινόμενο. Το μοναδιαίο διάνυσμα που περνάει από το σημείο C και είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο ονομάζεται δικάθετο διάνυσμα bnormal. Συνεπώς : B T x και B C' xc'' C' xc'' Το επίπεδο που ορίζεται από το εφαπτόμενο και το δικάθετο διάνυσμα ονομάζεται επίπεδο ανόρθωσης rectfyng, σχ.4., και είναι κάθετο στο κάθετο διάνυσμα. Μοντέλα Ακμών -4--

14 Σχ.4.. Το επίπεδο ανόρθωσης σε καμπύλη στο χώρο. Στο σχ.4.. φαίνονται όλα τα χαρακτηριστικά επίπεδα και διανύσματα που ορίσθηκαν παραπάνω. Σχ.4.. Χαρακτηριστικά επίπεδα κάθετο, ανόρθωσης, 6 εφαπτόμενο και διανύσματα, δικάθετο, 4 κύριο κάθετο, 5 εφαπτόμενο ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ Ο εφαπτόμενος κύκλος osclatng crcle σε σημείο της καμπύλης είναι ο κύκλος που προσεγγίζει καλλίτερα τη καμπύλη στο σημείο αυτό, σχ.4.4. Είναι ο κύκλος του οποίου η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος είναι η ίδια με αυτές της καμπύλης στο δεδομένο σημείο και βρίσκεται στο κοίλο τμήμα της καμπύλης. Ο εφαπτόμενος κύκλος βρίσκεται πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο. Το κέντρο και η ακτίνα του εφαπτόμενου κύκλου ορίζουν το κέντρο καμπυλότητας c και την ακτίνα καμπυλότητας ρ, αντίστοιχα, της καμπύλης στο σημείο αυτό. H καμπυλότητα κ σε ένα σημείο ορίζεται ως το αντίστροφο της ακτίνας καμπυλότητας, ρ. Το διάνυσμα καμπυλότητας Κ, ισούται σε μέγεθος με την καμπυλότητα και έχει κατεύθυνση από το σημείο προς το κέντρο καμπυλότητας, δηλ. έχει την κατεύθυνση του κάθετου διανύσματος. Συνεπώς : Μοντέλα Ακμών -4--

15 Σχ.4.4. Ο εφαπτόμενος κύκλος σε καμπύλη στο χώρο. Κ κ Ν. Το διάνυσμα καμπυλότητας υπολογίζεται από τη δεύτερη παράγωγο της καμπύλης σε ένα σημείο, ως προς το μήκος της καμπύλης, και δίνεται από τη σχέση, σχ.4.5, C s Δs C s C'' s lm Δs Δs C'' s Δθ lm lm Δs Δs Δs Δs ρ Δs κ ρ Σχ.4.5. Γεωμετρική σχέση μεταξύ του κέντρου καμπυλότητας και των διανυσμάτων θέσης Ps και Ρs Δs. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει και η σχέση : κ C' xc'' C' C' xc'' s' Μοντέλα Ακμών -4-4-

16 Στα σημεία που έχουμε κ ονομάζονται σημεία κάμψης nflecton ponts. Η στρέψη μιας καμπύλης εκφράζει το πόσο της στροφής του εφαπτόμενου επίπεδου κατά μήκος της καμπύλης s, και υπολογίζεται από τη σχέση : Δφ C' xc'' C''' κ lm Δs [ C', C'', C''' ] [ C', C'', C''' ] C' xc'' Δs 6 C' xc'' s' κ Για να έχουμε συνεπώς μια επίπεδη καμπύλη πρέπει, C xc C 4..5 ΠΛΑΙΣΙΟ FREET ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FREET SERRET Τα τρία μοναδιαία διανύσματα Ν, Β και t σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων που ονομάζεται πλαίσιο Frenet. Μεταξύ των τριών αυτών διανυσμάτων ισχύουν οι σχέσεις : C t t κν -κt τβ Β -τν που ονομάζονται και εξισώσεις Frenet Serret. Μοντέλα Ακμών -4-5-

17 4.4 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ 4.4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΜΠΥΛΗ Ο υπολογισμός των σημείων πάνω στην καμπύλη χρησιμοποιείται κατά την εμφάνιση σημείων της καμπύλης στην οθόνη, τη λειτουργία της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, κλπ. Η άμεση μέθοδος είναι με την αντικατάσταση διαδοχικών τιμών της παραμέτρου ορισμού, στην παραμετρική εξίσωση της καμπύλης και τον άμεσο υπολογισμό της τιμής της συνάρτησης. Η μέθοδος όμως αυτή δεν είναι αποτελεσματική και συνήθως χρησιμοποιούνται βηματικοί μέθοδοι. Για παράδειγμα, σε μια κυβική καμπύλη της μορφής: C α b c d, για να υπολογίσουμε n ισαπέχοντα σημεία, με Δ /n, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω τύποι, C d Δ C aδ bδ cδ Δ C 6aΔ bδ Δ C 6aΔ και κάθε σημείο υπολογίζεται από τις σχέσεις C C Δ C I n Δ C Δ C Δ C ί Δ Ρ ί Δ Ρ ί Δ Ρ ί Δ C ί Δ C ί Συνεπώς, για τον ορισμό ενός σημείου απαιτούνται τρεις προσθέσεις μόνο m για την περίπτωση καμπύλης m βαθμού, και *n συνολικά προσθέσεις για όλα τα η σημεία της τρίτου βαθμού καμπύλης. Μοντέλα Ακμών -4-6-

18 4.4. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Σύνδεση καμπύλης C II, με την καμπύλη C I,, σχ.4.6. Σχ.4.6. Συνθήκες συνέχειας καμπυλών, C ll C l ; a ' '' a '' ' C ll C' ; Cll Cl βcl a a Για να έχουμε συνέχεια θέσης, C, πρέπει C ll C l. Εάν a και a είναι το μέγεθος των εφαπτόμενων διανυσμάτων των καμπυλών C l και C l στο σημείο σύνδεσης, μπορούμε να έχουμε συνέχεια κλίσης, C, ή Γεωμετρική συνέχεια κλίσης G, και οι αντίστοιχες συνθήκες είναι : C ll C l για συνέχεια C, και ' a ' Cll Cl a '' a ' ' t ; ή Cll Cl λcl για συνέχεια G. a Για να έχουμε συνέχεια καμπυλότητας, C, πρέπει τα κέντρα καμπυλότητας στο σημείο της ένωσης να συμπίπτουν. Η καμπυλότητα είναι : C" κ συνεπώς πρέπει και τα δύο μεγέθη κ και Ν να ισούνται. Εάν τα δικάθετα διανύσματα, Βtx, συμπίπτουν, και τα μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα συμπίπτουν, τότε και τα διανύσματα καμπυλότητας θα συμπίπτουν. Από τη σχέση : κ Β C' xc'' C' παίρνουμε στο σημείο σύνδεσης τη σχέση, C xc ' ll C ' ll '' ll ' '' Cl xcl C ' ll και με αντικατάσταση της συνθήκης γεωμετρικής συνέχειας πρώτου βαθμού, έχουμε Μοντέλα Ακμών -4-7-

19 τη σχέση : C '' ll a a '' ' '' ' Cl β Cl λ Cl βcl Συνήθως, β. Στο σχ.4.7 φαίνονται διάφορες καμπύλες με διαφορετικό βαθμό συνέχειας, Σχ.4.7. Καμπύλες με διαφορετικό βαθμό συνέχειας ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Με τη λειτουργία αυτή εκτελούμε λειτουργίες όπως αποκοπή trmmng, τμηματοποίηση segmentaton, κλπ. Η λειτουργία φαίνεται στο σχ.4.8. Μια καμπύλη που ορίζεται στο διάστημα [,] θέλουμε να την ορίσουμε στο διάστημα [υ,υ ], για να κάνουμε ορισμένες λειτουργίες, είτε σε αυτό το διάστημα είτε στα υπόλοιπα τμήματα της καμπύλης. Το διάστημα αυτό το κανονικοποιούμε, ν, και για να διατηρήσουμε το βαθμό της καμπύλης, χρησιμοποιούμε το γραμμικό μετασχηματισμό, μεταξύ των παραμέτρων ορισμού, και ν. - ν ν v όπου ν είναι η νέα παράμετρος ορισμού του τμήματος της καμπύλης. Μοντέλα Ακμών -4-8-

20 Σχ.4.8. Μετασχηματισμός παραμέτρου ορισμού καμπύλης. Το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης μετά το γενικό μετασχηματισμό της πολυωνυμικής παραμέτρου, χωρισμός καμπύλης σε μικρότερο τμήμα, και για τα κυβικά πολυωνυμικά τμήματα, υπολογίζεται από τον τύπο : dc dv dc d και το διάνυσμα της δεύτερης παράγωγου υπολογίζεται από τον τύπο : d C dv d C d Ως τμηματοποίηση καμπύλης θεωρούμε το χωρισμό της καμπύλης σε δύο ή περισσότερα τμήματα, διατηρώντας την ίδια μορφή και τον ίδιο βαθμό. Εάν η καμπύλη ορίζεται στο διάστημα [, m ] και Θέλουμε να τη χωρίσουμε στο σημείο διατηρώντας τον βαθμό της καμπύλης, τότε ορίζουμε μια νέα παράμετρο ν με διάστημα τιμών [,], και ο αντίστοιχος μετασχηματισμός παραμέτρου είναι, σχ.4.9b: - ν, για το πρώτο διάστημα, και m - ν, για το δεύτερο διάστημα Οι παραπάνω εξισώσεις αντικαθιστώνται στην αντίστοιχη εξίσωση της καμπύλης και οι νέες καμπύλες ορίζονται βάσει της παραμέτρου ν. Η Αποκοπή trmmng καμπύλης φαίνεται στο σχ.4.9, και περιλαμβάνει και την επέκταση της καμπύλης, και είναι μια πολύ χρήσιμη λειτουργία σε όλα τα συστήματα σχεδίασης. Η λειτουργία της επέκτασης για σύνθετες καμπύλες Bezer, Β-Splnes κλπ. δεν ενδείκνυται, επειδή η συμπεριφορά της καμπύλης εκτός του αρχικού πεδίου ορισμού δεν είναι προκαθορισμένη. Μοντέλα Ακμών -4-9-

21 Σχ.4.9. Λειτουργία σε καμπύλη α αποκοπής, και β επέκτασης ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Το μήκος καμπύλης υπολογίζεται από τον τύπο : l C' d f d Κανονικοποιόντας το διάστημα ορισμού με το μετασχηματισμό : - v το μήκος της καμπύλης υπολογίζεται από τον τύπο : l m f d f v dv g v dv w g v Στην παραπάνω εξίσωση, m είναι ο αριθμός των κόμβων κατά τον τύπο του Gass, είναι οι κόμβοι και w είναι οι συντελεστές βαρύτητας. Στην περίπτωση της επίπεδης καμπύλης, το εμβαδόν της πίττας pe που ορίζεται από το κέντρο και ένα τμήμα της καμπύλης, σχ.4., υπολογίζεται από τον τύπο, S C xc' d Σχ.4.. Εμβαδόν που περιλαμβάνεται από πίττα καμπύλης. Μοντέλα Ακμών -4--

22 4.4.5 TOΜΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔO Η εξίσωση του επιπέδου είναι : ax by cz d Επειδή η καμπύλη C [x y z] πρέπει να ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση, έχουμε : ax by cz d Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής βρίσκονται με τη μέθοδο ewton-raphson, και ως πρώτο σημείο προσέγγισης της επαναληπτικής διαδικασίας χρησιμοποιείται το σημείο που δείχνουμε στην οθόνη ΤΟΜΗ ΔΥΟ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Το σημείο τομής Ρ l δύο παραμετρικών καμπυλών, σχ.4., με εξισώσεις P και Qν, βρίσκεται από την επίλυση του συστήματος : Ρ - Qν ως προς και ν. Η παραπάνω εξίσωση περιλαμβάνει τρεις μη γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους. Μια μέθοδος είναι να βρούμε τις τιμές των και ν από τις εξισώσεις για τα Χ και Υ και κατόπιν να επαληθεύσουμε για Ζ. Δηλ. επιλύουμε το σύστημα : Ρ x - Q x ν P y - Q y ν και επαληθεύουμε την εξίσωση, Ρ z - Q z ν. Η μεθοδολογία επίλυσης και προσέγγισης της λύσης είναι η ίδια με την τομή καμπύλης με επίπεδο, δηλ. μέθοδος ewton-raphson. Σχ.4.. Τομή δύο παραμετρικών καμπυλών στο χώρο. Μοντέλα Ακμών -4--

23 4.4.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Είναι πολύ σημαντικό να εξετάζουμε την ποιότητα της καμπύλης που προκύπτει σε όλη τη διάρκεια της σχεδίασης. Τα εργαλεία που έχει ο σχεδιαστής στην διάθεσή του επιτρέπουν την μέτρηση του μήκους, της εφαπτομένης, της ακτίνας καμπυλότητας και της απόκλισης. Το πιο σημαντικό είναι η γραφική αναπαράσταση της καμπυλότητας. Η καμπυλότητα αναπαρίσταται όπως φάινεται στο σχ.4., ως ακτίνες σε ίσες αποστάσεις κατά μήκος της καμπύλης. Σχ.4.. Γραφική αναπαράσταση της καμπυλότητας καμπύλης. Οι ακτίνες μετρούν το μέγεθος της καμπυλότητας. Η εξήγηση του σχεδίου έχει ως εξής: Η ακτίνα είναι ανάλογη της καμπυλότητας, όσο πιο μεγάλη η ακτίνα τόσο μεγαλύτερη είναι και η καμπυλότητα. Οι κωνικές τομές και spnes που ορίζονται από δύο σημεία παρουσιάζουν τέλεια επιτάχυνση. Η ομαλότητα σε μεταβατικά σημεία είναι σημαντική Η ομαλότητα εξαρτάται από την ακρίβεια του μοντέλου Καμπύλες Α Τάξης έχουν ακρίβεια υπολογισμών. μέχρι., ένανι. που είναι για τις υπόλοιπες. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η μεταβολή της ακτίνας καμπυλότητας σε τέσσερα είδη κωνικών τομών, την παραβολή, έλλειψη, υπερβολή, σχ.4.. Η μορφή τους προσδιορίζεται από τον λόγο //// Μοντέλα Ακμών -4--

24 Σχ.4.. Απεικόνιση της καμπυλότητας για τέσσερις κωνικές τομές, με τιμές Rho.75,.5,.44 και.5. Στο σχ.4.4 φαίνονται δύο καμπύλες ελεύθερης μορφής. Στην πρώτη καμπύλη έχουμε άσχημη καμπυλότητα, δηλ. Μη συνεχή επιτάχυνση και σημεία καμπής, ιδιότητες που δεν είναι επιθυμητές. Σχ.4.4. Καμπύλες ελεύθερης μορφής με αναπαράσταση της ακτίνας καμπυλότητας. Η πρώτη δεν έχει συνεχή καμπυλότητα και έχει και σημεία καμπής. Η δεύτερη παρουσιάζει μια ομαλή μορφή καμπυλότητας. Στο σχ.4.5, φαίνεται ένα παράδειγμα δημιουργίας σύνθετης καμπύλης στην οποία θέλουμε να έχουμε και συνέχεια δευτέρου βαθμού. Στο σχ.4.5α έχουμε σχεδιάσει τα τρία τμήματα. Το πρώτο και το τρίτο είναι κωνικές τομές και το δεύτερο splne που σχηματίζεται με συνέχεια πρώτου βαθμού συνέχεια κλίσης μεταξύ των δύο κωνικών τομών. Στο σχ.4.5β φαίνεται ότι η καμπυλότητα δεν είναι ίδια στα άκρα και οι τρεις καμπύλες δεν έχουν συνέχεια δευτέρου βαθμού. Μοντέλα Ακμών -4--

25 Σχ.4.5. α Δημιουργία σύνθετης καμπύλης από τρία τμήματα, β εμφάνιση διαγράμματος καμπυλότητας, γ διόρθωση μεσαίας καμπύλης για την απόκτηση συνέχειας δευτέρου βαθμού. Μετρούμε την καμπυλότητα στο έλος της πρώτης και στην αρχή της τρίτης καμπύλης και ορίζουμε πάλι την μεσαία καμπύλη με επιπλέον συνθήκες τις τιμές της καμπυλότητας στην αρχή και στο τέλος της καμπύλης. Οι τρεις καμπύλες μαζί με το διάγραμμα της καμπυλότητας φαίνονται στο σχ.4.5γ. Μοντέλα Ακμών -4-4-

26 4.5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 4.5. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Κατά τη σχεδίαση καμπυλών σε ένα σύστημα CAD, η καμπύλη χωρίζεται σε μια σειρά από τμήματα segments τα οποία σχεδιάζονται ανεξάρτητα και στη συνέχεια ενώνονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν σύνθετες καμπύλες. Για τη σχεδίαση των τμημάτων αυτών έχουν αναπτυχθεί διάφοροι μέθοδοι. Η πρώτη προσέγγιση στη σχεδίαση καμπύλων και επιφανειών με μη αναλυτική περιγραφή έγινε από τον Fergsson το 96 στην Boeng. Ο Fergsson εισήγαγε την έννοια της παραμέτρου ορισμού της καμπύλης και την παραμετρική διανυσματική αναπαράσταση των καμπύλων, δημιούργησε το σύστημα FMILL για την περιγραφή επιφανειών ελεύθερης μορφής και τη δημιουργία στη συνέχεια της ταινίας οδήγησης εργαλειομηχανών αριθμητικού ελέγχου. Τα τμήματα Fergsson είναι κυβικά πολυωνυμικά τμήματα, που προσδιορίζονται από τα διανύσματα θέσης και τα εφαπτόμενα διανύσματα στα άκρα του τμήματος, χρησιμοποιώντας Hermte παρεμβολή. Ο Fergson ήταν ο πρώτος που έκανε επίδειξη των δυνατοτήτων της παραμετρικής αναπαράστασης έναντι της αναλυτικής περιγραφής. Στη συνέχεια, η παραμετρική αναπαράσταση έγινε η αποκλειστική μέθοδος περιγραφής καμπύλων και επιφανειών για τη σχεδιομελέτη. Το 964 και μετέπειτα το 967, ο Coons στο Μ.Ι.Τ. εισήγαγε μια μέθοδο περιγραφής επιφανειακών μπαλωμάτων προσδιορίζοντας πρώτα τα διανύσματα θέσης στα τέσσερα ακραία σημεία του μπαλώματος, τις τέσσερις οριακές καμπύλες του μπαλώματος και στη συνέχεια και τα διανύσματα κατεύθυνσης και ανώτερου βαθμού παραγώγους, κατά μήκος των οριακών καμπύλων. Οι δύο παραπάνω μέθοδοι έχουν τα παρακάτω μειονεκτήματα: Ήταν δύσκολος ο άμεσος έλεγχος της μορφής της καμπύλης. Κατά την ένωση διαδοχικών τμημάτων, η συνέχεια της τελικής καμπύλης στο σημείο επαφής τους, δεν εξαρτάται μόνο από τα διαδοχικά τμήματα, άλλα από όλη τη καμπύλη και με τη μέθοδο τους δεν μπορούν να προσδιοριστούν οι απαραίτητες συνθήκες για να έχουμε πάντα μια ομαλήκαμπύλη. Το πρόβλημα της σύνδεσης και της διατήρησης της ομαλότητας στην σύνδεση μπορεί να λυθεί με τη χρήση των splnes. Με τη μέθοδο αυτή κάθε τμήμα της καμπύλης περιγράφεται με διαφορετικές συναρτήσεις ανάμεσα σε διαδοχικά σημεία. Ο Bezer στη Renalt εισήγαγε μια μέθοδο περιγραφής καμπύλης από το χαρακτηριστικό πολύγωνο ή πολύγωνο ελέγχου, χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα Bernsten ως συναρτήσεις μείξης και με βάση την αρχή αυτή δημιουργήθηκε το σύστημα UISURF. Η μέθοδος αυτή παρέχει ευκολία ελέγχου της μορφής της καμπύλης αλλά παρουσιάζει προβλήματα σύνδεσης των διάφορων τμημάτων μεταξύ τους, δημιουργεί πολυωνυμικές Μοντέλα Ακμών -4-5-

27 καμπύλες μεγάλου βαθμού και το τελικό μοντέλο αποτελείται από πολλά επί μέρους τμήματα και επιφανειακά μπαλώματα. Για μεγάλο χρονικό διάστημα ήταν η βασική μορφή αναπαράστασης καμπυλών και επιφανειών ελεύθερης μορφής σε πολλά συστήματα Σχεδιομελέτης με χρήση Η/Υ. Οι Gordon και Resenfeld χρησιμοποίησαν τις συναρτήσεις Bass ως συναρτήσεις μείξης της καμπύλης και δημιούργησαν τις Β-Splnes. Για τον ορισμό τους χρησιμοποιείται το χαρακτηριστικό πολύγωνο, οι καμπύλες έχουν ιδιότητες ανάλογες με τις καμπύλες Bezer αλλά επιπλέον έχουν και τη δυνατότητα τοπικού ελέγχου της καμπύλης. Όλες οι παραπάνω μέθοδοι δεν μπορούν να περιγράψουν με ακρίβεια κύκλους, ελλείψεις και κωνικές τομές εν γένει, μορφές που δεν περιγράφονται με συνήθη πολυώνυμα. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούνται ρητές ratonal καμπύλες. Οι παραπάνω μέθοδοι περιγράφονται σχηματικά στο σχ.4.6. Σχ.4.6. Σχηματική αναπαράσταση εξέλιξης μεθόδων περιγραφής καμπυλών και επιφανειών. Στη στερεά μοντελοποίηση και στα μοντέλα ακμών, σήμερα χρησιμοποιούνται και οι παραμετρικές εξισώσεις ορισμού των αναλυτικών καμπυλών, δηλ. της γραμμής, του κύκλου και του τόξου, της έλλειψης, της παραβολής, της υπερβολής και των κωνικών τομών εν γένει. Μοντέλα Ακμών -4-6-

28 4.5. ΠΩΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Στη γενική του μορφή ένα τμήμα καμπύλης προσεγγίζεται από μια εξίσωση που αποτελείται από πολυωνυμικές βασικές ή μείξης συναρτήσεις της παραμέτρου ορισμού της καμπύλης και από τους διανυσματικούς ή πολυωνυμικούς συντελεστές. Τα τμήματα αυτά ονομάζονται πολυωνυμικά τμήματα και ένα κυβικό πολυωνυμικό τμήμα που αποτελεί και την πιο συνήθη και απλή σε πρώτη παρουσίαση μορφή τμήματος, ορίζεται από βασικές συναρτήσεις τρίτου βαθμού ως προς την παράμετρο ορισμού και για τον ορισμό του απαιτούνται τέσσερις βασικές συναρτήσεις και τέσσερις διανυσματικοί συντελεστές. Όλα τα κυβικά πολυωνυμικά τμήματα, Fergsson, Bezer και Β-Splnes έχουν την ίδια γενική μορφή : r C a a a α όπου, r είναι το διάνυσμα θέσης ενός σημείου σην καμπύλη, C οι συντεταγμένες του σημείου στην καμπύλη,,, και οι πολυωνυμικές βασικές ή μείξης συναρτήσεις και a, a, a και a οι διανυσματικοί συντελεστές. Η κυβική αναπαράσταση είναι η πιο συνήθης αναπαράσταση, γιατί μπορεί να εξασφαλίσει μεταξύ δύο τμημάτων συνέχεια δευτέρου βαθμού δηλαδή συνέχεια καμπυλότητας στο σημείο επαφής τους και να κάνει δύο ξεχωριστά τμήματα να φαίνονται ως μια ενιαία καμπύλη. Η απλή αυτή μορφή εύκολα διαφοροποιείται και διαχειρίζεται αλγεβρικά, αλλά οι διανυσματικοί συντελεστές δεν έχουν κάποια άμεση γεωμετρική σημασία. Αλλάζοντας τις συναρτήσεις μείξης, από την απλή τους μορφή σε πιο σύνθετη, παίρνουμε τα διάφορα είδη καμπυλών που αναφέρθηκαν προηγούμενα, και αντίστοιχα οι διανυσματικοί συντελεστές αποκτούν διαφορετική ερμηνεία γεωμετρική. Στη συνέχεια θα αναπτυχθούν τα κυριότερα είδη κυβικών τμημάτων και θα αναλυθούν οι ιδιότητες τους. Επίσης Θα παρουσιασθεί και η γενική τους πολυωνυμική μορφή, οποιουδήποτε βαθμού >. Μοντέλα Ακμών -4-7-

29 4.5. ΚΑΜΠΥΛΕΣ FERGUSSΟΝ Οι καμπύλες αυτές εφαρμόσθηκαν για πρώτη φορά από τον Fergsson το 964, για τη σχεδίαση τμημάτων επιφανειών αεροσκαφών. Στις καμπύλες αυτές τα κυβικά πολυώνυμα,, υ και υ αντικαθίστανται από πιο πολύπλοκες συναρτήσεις συναρτήσεις μείξης Hermte τρίτου βαθμού :,,, - και οι διανυσματικοί ή γεωμετρικοί συντελεστές είναι τα διανύσματα θέσης στα άκρα της καμπύλης, P C και Ρ C, και οι τιμές της πρώτης παράγωγου στα αντίστοιχα σημεία, Ρ' C' και Ρ' C'. Η μορφή της εξίσωσης είναι: r C Ρ Ρ P Ρ' - Σε μορφή πινάκων η εξίσωση κατά Fergsson έχει τη μορφή, C UMA [ ] P P ' P ' P όπου Α είναι ο πίνακας των διανυσματικών συντελεστών, και οι βασικές συναρτήσεις εκφράζονται βάσει των απλών βασικών συναρτήσεων,, και και τον πίνακα Μ. Το εφαπτόμενο διάνυσμα σε κάθε σημείο της καμπύλης δίνεται από τη σχέση : C' 6 6Ρ -6 6Ρ 4 Ρ Ρ Η μορφή της καμπύλης μεταβάλλεται εύκολα μεταβάλλοντας μια ή περισσότερες από τις τιμές Ρ, Ρ, Ρ' και Ρ'. Εάν αλλάξουμε τη θέση των ακραίων σημείων Ρ και Ρ, τότε η καμπύλη θα διέρχεται από τα νέα ακραία σημεία. Επίσης εάν αλλάξουμε τη διεύθυνση των εφαπτόμενων διανυσμάτων στα άκρα, η καμπύλη θα αλλάξει μορφή, ώστε να παραμείνει εφαπτόμενη αυτών στα άκρα. Μπορούμε να αλλάξουμε και τη μορφή της καμπύλης αλλάζοντας το μέγεθος του εφαπτόμενου διανύσματος στα άκρα. Ο τρόπος μεταβολής της καμπύλης με τις τιμές των παραγώγων Ρ και Ρ, φαίνεται στο σχ.4.7. Στο σχήμα αυτό η κατεύθυνση των εφαπτόμενων διανυσμάτων παραμένει σταθερή και αλλάζει το μέγεθός τους. Στην πρώτη περίπτωση ο λόγος του μεγέθους των δύο διανυσμάτων παραμένει σταθερός. Φαίνεται ότι όσο περισσότερο αυξάνει το μέγεθος των διανυσμάτων τόσο περισσότερο η καμπύλη απομακρύνεται από τη χορδή Ρ Ρ. Στη δεύτερη περίπτωση αυξάνει το πρώτο εφαπτόμενο διάνυσμα, Ρ ενώ το δεύτερο παραμένει σταθερό. Η καμπύλη τείνει να απομακρυνθεί από τη χορδή Ρ Ρ στην αρχή ενώ τείνει να παραμείνει ση χορδή στο τέλος. Το αποτέλεσμα είναι να γέρνει προς το δεύτερο άκρο. Μοντέλα Ακμών -4-8-

30 Σχ.4.7. Μεταβολή καμπύλης με τις τιμές των παραγώγων Ρ και Ρ, όταν αυτές μεταβάλλονται : α συμμετρικά, β ασύμμετρα Με τη χρήση των καμπύλων Fergsson μπορούμε να παρεμβάλλουμε καμπύλη από μια σειρά σημείων. Ένα από τα πιο απλά προβλήματα παρεμβολής είναι όταν δίδεται μια σειρά από n σημεία, Ρ, Ρ, Ρ,..., Ρ n- και τα δύο ακραία εφαπτόμενα διανύσματα, Ρ και Ρ' η- της καμπύλης, σχ.4.8. Στην περίπτωση αυτή μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων, Ρ κ και Ρ κ, προσαρμόζουμε μια καμπύλη Fergsson. Για να ορίσουμε την καμπύλη, με δεδομένο ότι έχουμε τα ακραία σημεία, πρέπει να βρούμε τα εφαπτόμενα διανύσματα. Συνεπώς, πρέπει να υπολογίσουμε τα εφαπτόμενα διανύσματα σε όλα τα ενδιάμεσα σημεία, Ρ έως Ρ n-, δεδομένου ότι τα Ρ και Ρ n-, είναι γνωστά. Σχ.4.8. Παρεμβολή καμπύλης Fergsson σε σειρά σημείων. Σε όλα τα ενδιάμεσα σημεία επιβάλλουμε συνέχεια καμπυλότητας εκτός από συνέχεια Μοντέλα Ακμών -4-9-

31 κλίσης. Συνεπώς, για τα δύο πρώτα τμήματα της καμπύλης, μεταξύ των σημείων P P και P P, πρέπει η δεύτερη παράγωγος στο τέλος του πρώτου τμήματος της καμπύλης να ισούται με τη δεύτερη παράγωγο στην αρχή του δεύτερου τμήματος της καμπύλης. C" C" Αντικαθιστώντας, παίρνουμε τη σχέση ' ' ' P P P P P 4 που μας δίνει την κλίση του ενδιάμεσου σημείου για παρεμβολή μεταξύ τριών σημείων, σε συνάρτηση με τα γνωστά μεγέθη στα άκρα. Συνεπώς, το ενδιάμεσο εφαπτόμενο διάνυσμα μπορεί να υπολογιστεί και άρα και τα δύο τμήματα της καμπύλης. Για τα n- τμήματα που έχουμε να συνδυάσουμε σε μια μόνο καμπύλη, έχουμε n- εξισώσεις όπως παραπάνω, που μας δίνουν τις n- τιμές των παράγωγων στα ενδιάμεσα σημεία που μαζί με τις δύο παραγώγους στα ακραία σημεία, μας δίνουν όλες τις παραγώγους για τα n διανύσματα θέσης. Το πεδίο ορισμού της καμπύλης είναι τώρα [, n. Η καμπύλη που παίρνουμε ονομάζεται ομοιόμορφη παραμετρική κυβική καμπύλη splne, επειδή οι ενώσεις των τμημάτων γίνονται σε ακέραιες τιμές της παραμέτρου. Αποτελεί μια εύκολη και αυτόματη μέθοδο προσαρμογής ομαλής καμπύλης σε ομοιόμορφα κατανεμημένο σύνολο σημείων. Σε πολύ ανομοιόμορφα κατανεμημένα σημεία παίρνουμε ομαλές αλλά ταλαντούμενες καμπύλες. Μοντέλα Ακμών -4--

32 4.5.. ΚΑΜΠΥΛΕΣ HERMITE Η γενίκευση της μεθόδου δημιουργίας καμπύλων Fergsson, μας δίνει τα τμήματα Hermte. Δύο σημεία για τα οποία γνωρίζουμε τα διανύσματα θέσης και τις παραγώγους μέχρι βαθμού k ορίζουν πολυωνυμική καμπύλη βαθμού k που περνάει από τα σημεία αυτά. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται καμπύλη παρεμβολής Hermte. Μια καμπύλη Fergsson είναι μια τρίτου βαθμού καμπύλη Hermte. Για την περίπτωση k έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία, C - Ρ Ρ Η πέμπτου βαθμού καμπύλη Hermte προσδιορίζεται από τα διανύσματα θέσης Ρ και Ρ, τα εφαπτόμενα διανύσματα Ρ και Ρ και τα δευτέρου βαθμού εφαπτόμενα διανύσματα P και Ρ ", σχ.4.9, και δίνεται από τη σχέση : C [Η, Η, Η, Η, Η, Η, ] x [Ρ Ρ Ρ ' Ρ ' Ρ " Ρ "] T όπου : Η, Η, Η, Η, Η, -/ 5 / 4 - / / Η, / 5-4 / Σχ.4.9. Δεδομένα δημιουργίας καμπύλης παρεμβολής Hermte 5ου βαθμού και συναρτήσεις μείξης. Οι καμπύλες αυτές είναι κατάλληλες για παρεμβολή σημείων στα οποία εκτός από την κλίση είναι δεδομένη και η ακτίνα καμπυλότητας στα σημεία. Μοντέλα Ακμών -4--

33 4.5.4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΒEΖΙER Οι καμπύλες Bezer προσεγγίζουν μια σειρά από σημεία στο χώρο, τα οποία συνιστούν το πολύγωνο ελέγχου ή χαρακτηριστικό πολύγωνο της καμπύλης και αυτά μόνο προσδιορίζουν τη μορφή της καμπύλης. Συνεπώς, αποτελούν μια μέθοδο προσέγγισης σειράς σημείων με μια καμπύλη. Οι κυριότερες διαφορές ως προς τις καμπύλες Fergsson, είναι : Η μορφή της καμπύλης εξαρτάται μόνο από τα σημεία ελέγχου ορισμού της καμπύλης, με συνέπεια να υπάρχει καλλίτερη σχέση και κατανόηση της μορφής και των δυνατοτήτων ελέγχου της καμπύλης. Ο βαθμός της καμπύλης εξαρτάται από τα σημεία ελέγχου βαθμός καμπύλης αριθμός σημείων ελέγχου -. Η καμπύλη Bezer είναι πιο ομαλή επειδή έχει μεγαλύτερου βαθμού συνέχεια ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ BEZIER Για τον ορισμό τους χρησιμοποιούνται οι βασικές συναρτήσεις Bernsten. Η γενική μορφή της καμπύλης Bezer βαθμού n, είναι : n C P B,, n όπου B,n είναι τα πολυώνυμα Bernsten και τα P,..., n, είναι τα διανύσματα θέσης των n σημείων ελέγχου της καμπύλης, που συνιστούν το χαρακτηριστικό πολύγωνου της καμπύλης. Τα πολυώνυμα Bernsten ορίζονται από τις εξισώσεις : B D n, n, n, Όπου Dn, είναι ο Δυωνυμικός συντελεστής n! D n,! n! Καμπύλη Bezer πρώτου βαθμού. Για n, έχουμε B, - και B,. Η εξίσωση της καμπύλης είναι, C -P P. Η καμπύλη είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο P μέχρι το σημείο P, σχ.4.α. Καμπύλη Bezer δευτέρου βαθμού. Για n, η εξίσωση της καμπύλης είναι C - P -P P. Η καμπύλη αυτή είναι ένα παραβολικό τόξο από το Ρ μέχρι το Ρ, σχ.4.β. Βασικές ιδιότητες: Το πολύγωνο ελέγχου είναι το Ρ Ρ Ρ και η καμπύλη προσεγγίζει το πολύγωνο, η καμπύλη διέρχεται από τα άκρα δηλ. Ρ C, και P C, Η εφαπτόμενη κατεύθυνση στα άκρα είναι παράλληλες προς τα τμήματα P P και P P. Η καμπύλη περιέχεται στο τρίγωνο P P P. Μοντέλα Ακμών -4--

34 Καμπύλη τρίτου βαθμού. Οι κυβικές βασικές συναρτήσεις είναι : -, -, -, Η εξίσωση του κυβικού τμήματος γίνεται : C - r - r - r r και σε μορφή πινάκων έχει τη μορφή C UMA [ ] 6 r r r r Οι διανυσματικοί συντελεστές r, r, r και r, στις κυβικές καμπύλες Bezer είναι τα διανύσματα θέσης των τεσσάρων σημείων Ρ, Ρ, Ρ και Ρ, τα οποία σχηματίζουν το χαρακτηριστικό πολύγωνο ή πολύγωνο ελέγχου του τμήματος. Η καμπύλη διέρχεται από τα σημεία Ρ και Ρ για τιμές του και, και οι εφαπτόμενες στα σημεία αυτά είναι προς την κατεύθυνση των τμημάτων Ρ Ρ και Ρ Ρ αντίστοιχα, σχ.4.γ-δ. α β γ Σχ.4.. Διάφορα τμήματα Bezer α πρώτου βαθμού β δεύτερου βαθμού, γ-δ τρίτου βαθμού. δ Μοντέλα Ακμών -4--

35 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ BERSTEI Στο σχ.4.α-δ, φαίνονται οι βασικές συναρτήσεις B,n για,,,9. Οι βασικές συναρτήσεις έχουν τις παρακάτω ιδιότητες. α β γ Σχ.4.. Ορισμός βασικών συναρτήσεων Bernsten, α πρώτου βαθμού, β δευτέρου βαθμού, γ τρίτου βαθμού, δ ενάτου βαθμού. δ Θετικές τιμές: B,n, για όλα τα,,n και. Για κάθε τιμή του το άθροισμα όλων των βασικών συναρτήσεων είναι ίσο με την n μονάδα, B, για., n Στις ακραίες τιμές της παραμέτρου ορισμού, μόνο η πρώτη και η τελευταία βασική συνάρτηση είναι μη μηδενική και μάλιστα, Β o,n B n,n Κάθε συνάρτηση B,n, έχει ένα μόνο μέγιστο στο διάστημα [,], και την μέγιστη τιμή την παίρνει για /n; Συμμετρία. Για κάθε n, το σύνολο των πολυωνύμων B,n είναι συμμετρικό ως προς /. Αναδρομικός ορισμός βασικών συναρτήσεων, B,n -B,n- B -,n-, σχ.4.. Αρχικές συνθήκες, B,n εάν <, ή >n. Στην αρχή αυτή βασίζεται και ο αλγόριθμος De Castelja. Ορισμός παραγώγου, B I,n db,n /d nb -,n- -B,n- με Β -,n- B n,n- Μοντέλα Ακμών -4-4-

36 Σχ.4.. Ο αναδρομικός τύπος ορισμού των πολυωνύμων Bernsten. Μοντέλα Ακμών -4-5-

37 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ BEZIER Οι ιδιότητες των καμπύλων Bezer, οποιουδήποτε βαθμού, στηρίζονται στις ιδιότητες των πολυώνυμων Bernsten, και είναι : Η καμπύλη περνάει από τα ακραία σημεία. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στα ακραία σημεία οι μόνες βασικές συναρτήσεις που είναι μη μηδενικές είναι οι B ο,n για και B n,n για. Η καμπύλη εφάπτεται στα ακραία τμήματα του χαρακτηριστικού πολύγωνου. Η παράγωγος της καμπύλης βαθμού r στα ακραία σημεία δίνεται από τις σχέσεις C n! n r! r r ' D r, P, C' n! n r! r D r, P Συνεπώς, η πρώτη παράγωγος είναι : C' nρ Ρ και C' nρ n Ρ n- Ανώτερου βαθμού παράγωγοι στα άκρα, εξαρτώνται μόνο από τα σημεία ελέγχου της καμπύλης και συγκεκριμένα, παράγωγος k - βαθμού εξαρτάται από τα k προηγούμενα για το τελικό σημείο ή επόμενα για το αρχικό σημείο σημεία ελέγχου της καμπύλης. Η δευτέρου βαθμού παράγωγος στα άκρα είναι: C nn-p - P P και C nn-p n - P n- P n-. Συνεπώς, στην αρχή εξαρτάται από τα σημεία Ρ, Ρ και Ρ, ενώ στο τέλος από τα σημεία Ρ n-, P n- και P n. Η καμπύλη είναι συμμετρική ως προς και -, με συνέπεια η αντιστροφή των σημείων ελέγχου να μην αλλάζει τη μορφή της καμπύλης. Τα πολυώνυμα παρεμβολής B,n παίρνουν τη μέγιστη τιμή για /n dβ ί,n /d, με συνέπεια το κάθε σημείο ελέγχου να επηρεάζει περισσότερο την καμπύλη για υ/n. Η καμπύλη μεταβάλλεται αλλάζοντας τη θέση των σημείων ελέγχου ή επιβάλλοντας πολλαπλότητα στα σημεία ελέγχου, σχ.4.. n Μοντέλα Ακμών -4-6-

38 Σχ.4.. Μεταβολή καμπύλης Bezer, α από αλλαγή θέσης του σημείου ελέγχου, β από την ύπαρξη πολλαπλού σημείου ελέγχου. Δημιουργούμε μια κλειστή καμπύλη Bezer κλείνοντας το χαρακτηριστικό πολύγωνο, σχ.4.4 a-b. Στην δεύτερη περίπτωση η καμπύλη είναι και ομαλή επειδή τα σημεία ελέγχου P P και P 5 P 6 είναι στην ίδια ευθεία. Σχ.4.4. Παραγωγή κλειστής καμπύλης Bezer α τρίτου βαθμού β έκτου βαθμού. α β Για κάθε τιμή του το άθροισμα όλων των συναρτήσεων B,n είναι ίσο με τη μονάδα, σχέση που καθιστά τις καμπύλες Bezer αμετάβλητες στην εφαρμογή των απλών μετασχηματισμών affne transformatons και είναι επίσης και μια μέθοδος ελέγχου των υπολογισμών. Τα σημεία ελέγχου της καμπύλης σχηματίζουν ένα πολύγωνο, και όλη η καμπύλη περικλείεται μέσα στο πολύγωνο αυτό. Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται και ιδιότητα κυρτού περιβλήματος convex hll, σχ.4.5 και συνέπεια αυτού είναι : Δυνατότητα δημιουργίας ευθυγράμμου τμήματος Όρια μεγέθους καμπύλης, ιδιότητα ιδιαίτερα χρήσιμη στον υπολογισμό τομής καμπύλων και σε άλλες εφαρμογές όπου απαιτείται η εύρεση του χώρου των καμπύλων Όριο ταλάντωσης καμπύλης Μοντέλα Ακμών -4-7-

39 Σχ.4.5. Ιδιότητα κυρτού περιβλήματος σε καμπύλη Bezer. Varaton Dmnshng Property. Ο αριθμός των σημείων τομής μεταξύ μιας ευθείας ή επίπεδου για τρισδιάστατη καμπύλη με την καμπύλη είναι μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό των σημείων τομής της ευθείας επίπεδου με το πολύγωνο ελέγχου, σχ.4.6. Σχ.4.6. Varaton Dmnshng Property. Ο βρόγχος στο πολύγωνο ελέγχου μας δίνει και βρόγχο στην καμπύλη. Στην αρχή η καμπύλη στρέφει κατά την ίδια κατεύθυνση όπως το P P P, και στο τέλος όπως το P n- P n- P n, σχ.4.7. Βρόγχος στο πολύγωνο ελέγχου μπορεί να μας δώσει και βρόγχο στη καμπύλη, σχ. 4.7, ή να μη μας δώσει βρόγχο στην καμπύλη, σχ Η μετάβαση από το ένα είδος στο άλλο γίνεται με την δημιουργία καμπύλης με σπάσιμο csp. Σχ.4.7. Καμπύλη Bezer που το πολύγωνο ελέγχου έχει βρόγχο ενώ η καμπύλη δεν έχει βρόγχο. Μοντέλα Ακμών -4-8-

40 Στην περίπτωση που ενώνουμε περισσότερα του ενός τμήματα καμπύλων Bezer σε μια σύνθετη καμπύλη, επιβάλλουμε συνθήκες συνέχειας μεταξύ των τμημάτων. Στο σχ.4.8, φαίνονται δύο τμήματα Bezer που ορίζονται από τα σημεία Ρ, Ρ, Ρ και Ρ 4 το πρώτο και από τα Ρ 4, Ρ 5, Ρ 6, Ρ 7, και P 8 το δεύτερο. Για συνέχεια μηδενικού βαθμού, πρέπει να συμπίπτουν δύο ακραία σημεία ελέγχου. Για συνέχεια πρώτου βαθμού πρέπει να έχουμε κοινή κλίση, και πρέπει να ισχύει η σχέση : P 4 P5 4 P P4 Σχ.4.8. Ένωση τμημάτων Bezer, α συνέχεια θέσης, β συνέχεια κλίσης. Για να έχουμε συνέχεια δευτέρου βαθμού θα πρέπει και οι παράγωγοι δευτέρου βαθμού να είναι ίσοι. Η περίπτωση αυτή εξετάζεται στις καμπύλες B-Splne. Για μια καμπύλη Bezer καταχωρούνται στη βάση των δεδομένων τα σημεία του χαρακτηριστικού πολύγωνου επίπεδο, χρώμα, όνομα, είδος, πλάτος, κλπ. Όσο μεγαλώνει ο βαθμός της καμπύλης Bezer αυξάνει και η ευελιξία στη σχεδίαση καμπύλων, αλλά η σχέση μεταξύ του χαρακτηριστικού πολύγωνου και της καμπύλης γίνεται ασθενέστερη, με συνέπεια να μην βοηθάει το σχεδιαστή, επειδή οι γεωμετρικές ιδιότητες της καμπύλης, όπως η καμπυλότητα, δεν είναι γραμμική συνάρτηση των παραγώγων και συνεπώς μη γραμμικές σε σχέση με τα σημεία του πολύγωνου. Οι καμπύλες αυτές χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από το Γάλλο μαθηματικό Μοντέλα Ακμών -4-9-

41 Bezer το 97 στη Renalt, και αποτελούν ακόμα τη βάση για τα περισσότερα συστήματα CAD. Είχαν αναπτυχθεί και από τον Ρ. DeCastelja, το 959, στη Ctroen, όπου είχαν χρησιμοποιηθεί ως τμήμα του συστήματος CAD της Ctroen, αλλά δεν είχαν ποτέ δημοσιευθεί, σε αντίθεση με τις καμπύλες Bezer. Μοντέλα Ακμών -4-4-

42 Ο ΑΛΓΟΡlΘΜΟΣ DECASTELJAU Ο αλγόριθμος αυτός βασίζεται στην αναδρομική σχέση που συνδέει τα πολυώνυμα Bernsten, δηλ. B,n B,n- B -,n- και μας δίνει μια μεθοδολογία προσδιορισμού σημείων πάνω σε μια καμπύλη Bezer με επαναλαμβανόμενη γραμμική παρεμβολή. Εφαρμόζεται σε κάθε καμπύλη ακόμα και στις ρητές καμπύλες. Για μια κυβική καμπύλη με σημεία ελέγχου Ρ, Ρ, Ρ, Ρ και για κάθε τιμή του, ισχύει η παρακάτω αναδρομική τριγωνική σχέση, σχήμα DeCastelja, Ρ Ρ P, -Ρ Ρ Ρ P, -Ρ Ρ Ρ, -Ρ, P, Ρ P, -Ρ Ρ Ρ, -Ρ, P, Ρ, -Ρ, P, Η πρώτη στήλη είναι τα αρχικά σημεία ελέγχου. Η κάθε μια από τις επόμενες στήλες προκύπτει με γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της προηγούμενης. Το σημείο Ρ, από τα σημεία Ρ και Ρ, το Ρ, από τα σημεία Ρ και Ρ, κλπ. Συνεπώς, πρώτα συνδέουμε τα αρχικά σημεία ελέγχου της καμπύλης και σχηματίζουμε το πολύγωνο ελέγχου. Τα σημεία της δεύτερης στήλης βρίσκονται πάνω στα τμήματα του πολύγωνου ελέγχου και σχηματίζουν το τρίγωνο Ρ, Ρ, Ρ,. Όμοια τα σημεία της τρίτης στήλης βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τριγώνου, σχ.4.9, και δημιουργούν το ευθύγραμμο τμήμα Ρ, Ρ,. Το τελικό σημείο Ρ, είναι το ζητούμενο σημείο πάνω στην καμπύλη για την δεδομένη τιμή του και βρίσκεται πάνω σε αυτό το ευθύγραμμο τμήμα. Σχ.4.9. Αλγόριθμος De Castelja. Μοντέλα Ακμών -4-4-

43 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΑMΠΥΛΗΣ BEZIER Ο αλγόριθμος DeCastelja μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τη διαίρεση ενός τμήματος Bezer σε δύο επί μέρους τμήματα, σχ.4.9. Για κάθε σημείο στην καμπύλη αντιστοιχεί μια τιμή της παραμέτρου. Πραγματοποιώντας τον αντίστροφο αλγόριθμο το σημείο Ρ, διαιρεί την καμπύλη Bezer σε δύο νέες καμπύλες Bezer, με τιμές του από, για το κάθε ένα τμήμα, και με σημεία ελέγχου τα Ρ Ρ, Ρ, Ρ, Ρ, Ρ, Ρ, Ρ αντίστοιχα για κάθε τμήμα. Μια εφαρμογή της διαίρεσης της καμπύλης με χρήση του αλγόριθμου DeCastelja είναι και στην προσέγγιση της μορφής της καμπύλης για τη σχεδίασή της με ευθύγραμμα τμήματα. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται και η ιδιότητα του κυρτού πολύεδρου, για να προσδιορίσουμε το βαθμό ακρίβειας που απαιτείται κατά τη σχεδίαση, σχ.4.4. Με τη μέθοδο αυτή η καμπύλη χωρίζεται σε δύο τμήματα, τιμή,5. Τα δύο νέα τμήματα χωρίζονται σε δύο νέα το κάθε ένα, συνολικά τέσσερα τμήματα. Μια νέα διαίρεση των τεσσάρων τμημάτων σε δύο το κάθε ένα, συνολικά οκτώ τμήματα μας δίνει ίσως την απαιτούμενη ακρίβεια για τη σχεδίαση της καμπύλης. Σε αντίθετη περίπτωση χωρίζουμε περαιτέρω την καμπύλη σε δεκαέξι τμήματα, κοκ. Σχ.4.4. Σχεδίαση καμπύλης με συνεχή υποδιαίρεση. Μοντέλα Ακμών -4-4-

44 ΑΝΥΨΩΣΗ ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΜΠΥΛΗΣ BEZIER Μια άλλη σημαντική ιδιότητα των καμπύλων Bezer που προκύπτει από την εφαρμογή του αλγόριθμου decastelja, είναι η δυνατότητα ανύψωσης του βαθμού της καμπύλης χωρίς να αλλάξει η καμπύλη. Εάν τα σημεία ελέγχου μιας κυβικής καμπύλης είναι τα P, P, P, P και ορίσουμε νέα σημεία ελέγχου με τις σχέσεις : P P P [P P ] / 4 P [P P ] / 4 P [P P ] / 4 P 4 P τότε η αρχική καμπύλη παραμένει αμετάβλητη και ο βαθμός της καμπύλης έχει αλλάξει από κυβική σε 4 τετάρτου βαθμού, σχ.4.4. Η αρχή αυτή μπορεί να επεκταθεί και σε καμπύλες μεγαλύτερου βαθμού και τα νέα σημεία ελέγχου προκύπτουν από γραμμικό συνδυασμό των υπαρχόντων. Οι παράγοντες που χρησιμοποιούνται κάθε μία φορά, για καμπύλη βαθμού n, είναι οι : / n και n - / n για,,..., n και μεταξύ των σημείων ελέγχου ισχύει η αναδρομική σχέση, P, για,,..., n n n P P Σχ.4.4. Ανύψωση βαθμού καμπύλης Bezer, P P αρχικά σημεία, P - P 4 νέα σημεία. Εφαρμογή της ιδιότητας αυτής έχουμε κατά την προσαρμογή τμήματος καμπύλης μεταξύ άλλων καμπύλων, και συγκεκριμένα στην περίπτωση που θέλουμε να αλλάξουμε την καμπύλη αλλά δεν θέλουμε να αλλάξουμε τις κατευθύνσεις στα άκρα της. Μοντέλα Ακμών -4-4-

45 4.5.5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ Β-SPLIES Αποτελούν μια γενίκευση των καμπύλων Bezer, σχ.4.4. Έχουν όλες τις ιδιότητες αυτών αλλά συγχρόνως έχουν και βασικά προτερήματα απέναντί τους και συγκεκριμένα : Δυνατότητα τοπικού ελέγχου καμπύλης. Το μεγάλο μειονέκτημα των καμπύλων Bezer είναι ότι η μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου αλλάζει όλη τη μορφή της καμπύλης. Ο φυσικός τρόπος εργασίας που συνήθως απαιτείται είναι να απομονώνεται ένα τμήμα της καμπύλης, και αλλάζοντας τη θέση των γειτονικών σημείων ελέγχου της καμπύλης να αλλάζει μόνο αυτό το τμήμα. Ο βαθμός της καμπύλης είναι ανεξάρτητος από τα σημεία ελέγχου, και επιλέγεται από τις βασικές συναρτήσεις. Όταν μια καμπύλη Bezer, προσαρμόζεται σε πολλά σημεία ελέγχου, τότε εάν θέλουμε να έχουμε μια ενιαία καμπύλη, η καμπύλη που προκύπτει είναι μεγάλου βαθμού. Η μεγάλου βαθμού καμπύλη και υπολογιστικά είναι δύσκολη και παρουσιάζει ταλαντώσεις. Εάν τα σημεία τα διαιρέσουμε σε τμήματα, τότε η διατήρηση της συνέχειας μεταξύ των διαδοχικών τμημάτων Bezer είναι προβληματική. Προσθήκη σημείων ελέγχου χωρίς να αντίστοιχη αλλαγή του βαθμού της καμπύλης. Σχ.4.4. Καμπύλη B-Splne. Αποτελείται από επί μέρους τμήματα. Η εξίσωση της καμπύλης Β-Splne k τάξης, που ορίζεται από n σημεία ελέγχου P, n, σημεία deboor που σχηματίζουν το πολύγωνο ελέγχου ή πολύγωνο deboor είναι : n C P, max, k n, k οι συναρτήσεις,k ονομάζονται βασικές συναρτήσεις Β-splnes. Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα Bernsten, που στον ορισμό τους υπήρχε ο όρος nαριθμός σημείων ελέγχου, οι βασικές συναρτήσεις B-Splne είναι ανεξάρτητες από αυτή την παράμετρο. Οι διαφορές ως προς τις καμπύλες Bezer είναι: Μοντέλα Ακμών

46 Μοντέλα Ακμών Η παράμετρος k τάξη της καμπύλης που ρυθμίζει και το βαθμό της καμπύλης p, pk-, επιλέγεται από το χρήστη και είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των σημείων ελέγχου. Το μέγιστο όριο της παραμέτρου δεν είναι το. Οι βασικές συναρτήσεις Β-Splne υπολογίζονται από την αναδρομική σχέση :,,, k k k k k k Όπου εκτός,,, Τα ονομάζονται κόμβοι knots και όλες οι τιμές σχηματίζουν το διάνυσμα κόμβων. O αριθμός των κόμβων είναι m, και ισχύει η σχέση : k n m ή m n k Συνεπώς, για n σημεία ελέγχου και για p ου βαθμού καμπύλη, ο αριθμός των κόμβων είναι mnk94. Άρα απαιτούνται m4 τιμές στο διάνυσμα των κόμβων.

47 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΟΜΒΩΝ Οι παραπάνω εξισώσεις δείχνουν ότι, η επιλογή του διανύσματος κόμβων είναι πολύ σημαντικός παράγοντας, επειδή επηρεάζει τις βασικές συναρτήσεις και κατά συνέπεια την τελική καμπύλη. Η μόνη απαίτηση για το διάνυσμα κόμβων είναι,. Χρησιμοποιούνται δύο τύποι διανυσμάτων κόμβων, Περιοδικό Perodc Ανοικτό Open Το διάνυσμα των κόμβων μπορεί να είναι ομοιόμορφο και σε αυτό θα επικεντρωθούμε στο κεφάλαιο αυτό ή ανομοιόμορφο. Στην πρώτη περίπτωση οι διακριτές τιμές των κόμβων ισαπέχουν, ενώ στη δεύτερη δεν είναι ισαπέχουσες. Η επιλογή αυτού του είδους είναι συνάρτηση της κατανομής των σημείων ελέγχου. Εάν τα σημεία ελέγχου είναι σε περίπου ίσες αποστάσεις μεταξύ τους, τότε το ομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Εάν οι μεταξύ τους αποστάσεις διαφέρουν σημαντικά, τότε πρέπει να επιλεγεί ανομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων που οι μεταξύ τους αποστάσεις να είναι σε αναλογία με τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων ελέγχου η πιο απλή μέθοδος προσδιορισμού των κόμων. Συνεπώς, το διάνυσμα των κόμβων μπορεί να είναι: Περιοδικό ομοιόμορφο Ανοικτό ομοιόμορφο Περιοδικό ανομοιόμορφο Ανοικτό ανομοιόμορφο Στο περιοδικό ομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων οι επί μέρους κόμβοι είναι διακριτοί και ισαπέχουν μεταξύ τους, πχ. [ 4] ή [ ] Συνήθως, αρχίζει από το μηδέν και αυξάνει κατά μονάδα, ή κανονικοποιείται στο διάστημα [, πχ. [ ] Ο γενικός τύπος ορισμού του διανύσματος κόμβων είναι : j j, j nk και το χρήσιμο διάστημα κόμβων διάστημα στο οποίο ορίζεται η καμπύλη, είναι : k - j n Στο ανοικτό ομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων, υπάρχει μια πολλαπλότητα τιμών στα άκρα που ισούται με τη τάξη k των βασικών συναρτήσεων Β-Splne. Οι εσωτερικοί κόμβοι είναι ομοιόμορφα διατεταγμένοι, πχ. Μοντέλα Ακμών

48 K [ 4 4] K [ ] K 4 [ ] ή για κανονικοποιημένα διαστήματα, k [ /4 / /4 ] k [ / / ] k 4 [ / ] Στη γενική του περίπτωση, το ανοικτό ομοιόμορφο διάνυσμα τιμών προσδιορίζεται από τη σχέση < k k k < n n k n n k Στην περίπτωση αυτή το χρήσιμο διάστημα τιμών συμπίπτει με όλες τις τιμές στο διάνυσμα κόμβων. Το ανομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων μπορεί να παίρνει τιμές ανομοιόμορφα κατανεμημένες, ή να έχει πολλαπλούς εσωτερικούς κόμβους και μπορεί να είναι περιοδικό ή ανοικτό, πχ. [ ] ανοικτό ανομοιόμορφο [ 4] περιοδικό ανομοιόμορφο [ ] περιοδικό ανομοιόμορφο Στο περιοδικό διάνυσμα κόμβων η καμπύλη δεν διέρχεται από τα ακραία σημεία ελέγχου, ενώ στο ανοικτό διάνυσμα η καμπύλη διέρχεται. Για τον λόγο αυτό το δεύτερο διάνυσμα είναι πιο σύνηθες. Μοντέλα Ακμών

49 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β-SPLIES Η μορφή των βασικών συναρτήσεων εξαρτάται από το διάνυσμα κόμβων. Όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα, οι βασικές συναρτήσεις Β-Splne υπολογίζονται από την αναδρομική σχέση :, k, k k k, k k Όπου,,, εκτός Η εξάρτηση μιας βασικής συνάρτησης,k, για < <n από τις αντίστοιχες μικρότερου βαθμού φαίνεται στην παρακάτω πυραμίδα. Ν ι,k,k-,k-,k-,k-,k-,,,, k-, Αντίστροφα, οι βασικές συναρτήσεις που επηρεάζονται από μια βασική συνάρτηση Ν, φαίνονται στο επόμενο διάγραμμα. -k,k -k,k- -k,k -, -, -, -,k- -,k Ν,,,,k-,k. Το πρώτο διάγραμμα μας δείχνει ότι μια βασική συνάρτηση k τάξης, εξαρτάται από k βασικές συναρτήσεις πρώτης τάξης και συγκεκριμένα από την Ν, μέχρι την k-,. Συνεπώς, η βασική συνάρτηση,k, επηρεάζει το τμήμα της καμπύλης που ορίζεται από τις τιμές των κόμβων, μέχρι k- p. Άρα και το αντίστοιχο σημείο ελέγχου το σημείο ελέγχου, επηρεάζει το ίδιο ακριβώς τμήμα της καμπύλης. Μοντέλα Ακμών

50 Το δεύτερο διάγραμμα, μας δίνει με μια διαφορετική θεώρηση τα ίδια αποτελέσματα. Το διάγραμμα αυτό μας δείχνει ότι η βασική συνάρτηση πρώτου βαθμού, Ν,, επηρεάζει τις βασικές συναρτήσεις k τάξης από την -k,k -p,k μέχρι και την,k. Συνεπώς, και το διάστημα της καμπύλης που ορίζεται από τις τιμές των κόμβων,, επηρεάζεται από τα σημεία P -p, μέχρι και το P. Στο ανοικτό ομοιόμορφο διάνυσμα κόμβων και για δεδομένη τάξη καμπύλης ισχύει η σχέση, Ν,k Ν -,k - Ν,k δηλ. η κάθε βασική συνάρτηση προκύπτει από τη μετατόπιση μιας άλλης, σχ.4.4. Η καμπύλη B-Splne που προκύπτει δεν περνάει από τα ακραία σημεία του πολύγωνου ελέγχου. Σχ.4.4. Περιοδικές Ομοιόμορφες βασικές συναρτήσεις Β-Splnes για : [U] [ 4 5 6], n, k. Στο σχ.4.44 φαίνεται η δημιουργία των ομοιόμορφων περιοδικών βασικών συναρτήσεων μέχρι την τρίτη τάξη από τις επί μέρους συνιστώσες, σύμφωνα με την προηγούμενη πυραμίδα εξαρτήσεων. Το σχ.4.44α δείχνει τις βασικές συναρτήσεις πρώτης τάξης, το 4.44β της δεύτερης τάξης και το 4.44γ της τρίτης τάξης. Από τα διαγράμματα των βασικών συναρτήσεων φαίνεται ότι μια βασική συνάρτηση k-τάξης επηρεάζει τα διαστήματα μέχρι k. Επειδή πρέπει να ισχύει η σχέση Σ,k για κάθε τιμή της παραμέτρου, τότε για το παράδειγμα δημιουργίας βασικών συναρτήσεων του σχήματος 4.44, η σχέση αυτή ισχύει μόνο για διάστημα τιμών του μεταξύ 4. Γενικότερα, σε ένα ομοιόμορφο διάστημα κόμβων που αρχίζει από το με ακέραιες τιμές, το χρησιμοποιήσιμο διάστημα τιμών είναι k- nk-k- n. Δηλαδή, χάνουμε k- τιμές κόμβων σε κάθε άκρο του διανύσματος. Μοντέλα Ακμών