Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Transcript

1 Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ιουνιου 2014

2 2 Περιεχόµενα Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση 3 Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 34 Μέρος 3. Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων 61 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα 214 I. ιαιρετότητα Ακεραίων Αρχή Καλής ιάταξης και Μαθηµατική Επαγωγή Η m-αδική αναπαράσταση ενός ϕυσικού αριθµού Το Λήµµα του Ευκλείδη Κριτήρια ιαιρετότητας Η Εικασία του Bertrand και η Κατανοµή των Πρώτων Αριθµών Η Εικασία του Bertrand Η Κατανοµή των πρώτων αριθµών Ο Αλγόριθµος του Ευκλείδη και το Θεώρηµα του Lamé 235 II. Αριθµητικές Συναρτήσεις 238 III. Ισοτιµίες 239 IV. Πρωταρχικές Ρίζες 241 V. Τετραγωνικά Υπόλοιπα 242 Μέρος 5. Ενδεικτική Βιβλιογραφία 243 Μέρος 6. Πίνακες 244

3 3 Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 10 Μαρτίου 2014 Ασκηση 1. είξτε ότι : n N : n! n n Ασκηση 2. είξτε ότι για κάθε n N ισχύουν τα ακόλουθα : (2n 1) = n 2 και (3n 2) = n(3n 1) 2 Ασκηση 3. Να δείξετε ότι υπάρχει ϕυσικός αριθµός N N έτσι ώστε : n N : 2 n > n 3 Ασκηση 4. Να δείξετε ότι : 1. n ( n(n + 1) k 3 = n 3 = 2 k=1 2. n k k! = 1 1! + 2 2! + + n n! = (n + 1)! 1 k=1 ) 2 { Ασκηση 5. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία Fibonacci Fn N n N } είναι η ακολουθία ϕυσικών αριθµών η οποία ορίζεται αναδροµικά ως εξής : F 1 = 1, F 2 = 1, και F n = F n 1 + F n 2, n 3 είξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα για κάθε n, m N: 1. n F k = F 1 + F F n = F n+2 1 k=1

4 4 2. F n = an b n όπου a = Τέλος να υπολογισθεί το άθροισµα n k=1 F 2k & b = Ασκηση 6. Να υπολογισθεί η n-οστή δύναµη του πίνακα ( ) 1 1 A = 1 0 Ασκηση Να εκτελεσθεί η Ευκλείδεια ιαίρεση µεταξύ των ακεραίων a και b, όταν : a = και b = 22 & a = και b = Εστω a, b Z, b 0. Να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι q, r έτσι ώστε : Ασκηση 8. Να δείξετε ότι : a = bq + r, b 2 < r b 2 1. το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθµός. 2. το γινόµενο τριών διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 3. Επιπλέον να εξετασθεί αν : 3. το γινόµενο n το πλήθος διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του n. Ασκηση 9. (1) είξτε ότι το γινόµενο δύο ακεραίων της µορφής 4k + 1 είναι ακέραιος της µορφής 4k + 1, και το γινόµενο δύο ακεραίων της µορφής 4k + 3 είναι ακέραιος της µορφής 4k + 1. (2) είξτε ότι το γινόµενο δύο ακεραίων της µορφής 6k + 5 είναι ακέραιος της µορφής 6k + 1, (3) είξτε ότι η τέταρτη δύναµη ενός περιττού ακεραίου είναι της µορφής 16k + 1. (4) είξτε ότι το γινόµενο τριών διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το 6. (5) είξτε ότι : (αʹ) n Z: 3 n 3 n. (ϐʹ) n Z: 5 n 5 n. Ασκηση είξτε ότι για κάθε περιττό ϕυσικό αριθµό n: n είξτε ότι για κάθε άρτιο ϕυσικό αριθµό n: n 1 3. (Κριτήριο ιαιρετότητας µε το 11) Εστω a i Z, 0 i m, και a = a 0 + a a a m 10 m είξτε ότι : 11 a 11 a 0 a 1 + a 2 a ( 1) m a m Εφαρµογή: Εξετάστε αν ο 11 διαιρεί τον αριθµό n =

5 5 Ασκηση 11. Εστω p 1 = 2, p 2 = 3, p 3, p 4, p 5,, p n, p n+1,, η αύξουσα ακολουθία των πρώτων αριθµών. είξτε ότι για κάθε n 1: p n+1 p 1 p 2 p n + 1 και p n+1 2 2n Ασκηση είξτε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός της µορφής 6k + 5 έχει έναν πρώτο διαιρέτη της µορφής 6k είξτε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της µορφής 6k + 5. Ασκηση 13. είξτε ότι αν p > 1 και ο p διαιρεί τον (p 1)! + 1 τότε ο p είναι πρώτος. Ασκηση 14. (1) Να εξετασθεί αν ένας ϕυσικός αριθµός της µορφής 3n 2 1, n N, είναι τετράγωνο ακεραίου αριθµού. (2) ύο πρώτοι αριθµοί p και q, όπου p < q, καλούνται δίδυµοι πρώτοι αν q = p + 2. Αν p και q είναι δίδυµοι πρώτοι αριθµοί, όπου p > 3, τότε να δείξετε ότι : 12 p + q Ασκηση 15. Να ϐρεθούν όλες οι τριάδες ϕυσικών αριθµών οι οποίοι είναι πρώτοι αριθµοί. p, p + 2, p + 4 Ασκηση 16. Εστω a, b, p, q N, όπου οι αριθµοί p, q είναι πρώτοι. (1) Να δείξετε ότι : pb = a 2 = p b. (2) Αν p q, να εξετασθεί αν ο αριθµός pq είναι τέλειο τετράγωνο. (3) Να προσδιορισθούν όλοι οι πρώτοι αριθµοί της µορφής a ή b Ασκηση 17. είξτε ότι κάθε ακέραιος αριθµός µεγαλύτερος του 11 είναι άθροισµα δύο σύνθετων αριθ- µών 1. Ασκηση 18. είξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες : 1. Εικασία του Goldbach: Κάθε άρτιος ακέραιος µεγαλύτερος του 2 είναι άθροισµα δύο πρώτων αριθµών. 2. Κάθε ακέραιος µεγαλύτερος του 5 είναι άθροισµα τριών πρώτων αριθµών. Ασκηση 19. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n µε ακέραιους συντελεστές έτσι ώστε ο ακέραιος f(m) να είναι είναι πρώτος αριθµός, για κάθε m Z. 1 Η εικασία του Goldbach, ϐλέπε την επόµενη Άσκηση 18, η οποία παραµένει µέχρι και σήµερα ανοιχτό πρόβληµα, πιστοποιεί ότι κάθε άρτιος ακέραιος µεγαλύτερος του 2 είναι άθροισµα δύο πρώτων αριθµών.

6 6 Ασκηση 20. είξτε ότι ο πραγµατικός αριθµός είναι άρρητος, δηλαδή δεν µπορεί να γραφεί στην µορφή a/b όπου a, b ακέραιοι και b 0. e = n=0 1 n!

7 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 17 Μαρτίου 2014 Ασκηση 21. Βρείτε όλους τους ϕυσικούς διαιρέτες των αριθµών : 140, 2013, 1001, 9999, , 10!, ( ) Ασκηση 22. Να ϐρεθεί η πρωτογενής ανάλυση των ϕυσικών αριθµών : (α) , (β) , (γ) Ασκηση 23. Εστω a, b, n, m N έτσι ώστε : n m. είξτε ότι : Ισχύει η παραπάνω συνεπαγωγή αν n < m ; a n b m = a b Ασκηση 24. Εστω p ένας πρώτος αριθµός. 1. Αν k είναι ένας ϑετικός ακέραιος και k < p, δείξτε ότι : p ( p k). 2. Αν n είναι ένας ϑετικός ακέραιος και n < p 2n, δείξτε ότι : p ( 2n n ). Ασκηση 25. Να ϐρεθούν όλες οι ϑετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης m n = n m δηλαδή να ϐρεθούν όλα τα Ϲεύγη ϑετικών ακεραίων αριθµών (n, m) τα οποία ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. Ασκηση 26. Εστω n ένας ϕυσικός αριθµός. 1. Αν ο n είναι περιττός, δείξτε ότι : 2. Αν n > 1, δείξτε ότι : n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 n! n! = n + 1 : πρώτος

8 8 Ασκηση 27. Ενας εκδοτικός οίκος από τις πωλήσεις ενός ϐιβλίου είχε έσοδα Μπορείτε να εκτιµήσετε πόσα ϐιβλία πούλησε ο εκδοτικός οίκος αν η τιµή του ϐιβλίου είναι ακέραιος και πάνω από ένα ευρώ ; Ασκηση είξτε ότι ο 2 είναι άρρητος. 2. Να δείξετε ότι αν ο ϕυσικός αριθµός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο αριθµός n είναι άρρητος. 3. Αν n, m N όπου n, m > 1, και ο αριθµός n m είναι ϱητός, τότε να δείξετε ότι ο αριθµός n m είναι ακέραιος. Ασκηση 29. (1) Να δείξετε ότι ο ϕυσικός αριθµός n είναι τέλειο τετράγωνο αν και µόνον αν οι δυνάµεις στην πρωτογενή ανάλυση του n είναι άρτιοι αριθµοί. (2) Εστω n 2 και a = p a 1 1 pa 2 2 pam m η πρωτογενής ανάλυση του ϕυσικού αριθµού a. είξτε ότι η n-στή ϱίζα του a είναι ϱητός αριθµός αν και µόνο αν το n διαιρεί το a i για κάθε i = 1, 2,, m: n a Q n ai, 1 i m Ασκηση 30. Εστω a > 1 ένας ϕυσικός αριθµός. 1. Ο αριθµός είναι πρώτος. 2. Αν ο a είναι σύνθετος, δείξτε ότι : min { k N k 1 & k a } min { k N k 1 & k a } a Ασκηση 31. Να ϐρεθούν όλοι οι ϕυσικοί αριθµοί οι οποίοι έχουν ακριβώς (α) 3, και (β) 4, ϑετικούς διαιρέτες. Ασκηση 32. Ενα µη-σταθερό πολυώνυµο f(t) Z[t] µε ακέραιους συντελεστές καλείται ανάγωγο αν δεν υπάρχουν πολυώνυµα g(t), h(t) Z[t] µικρότερου ϐαθµού µε f(t) = g(t)h(t). είξτε το ακόλουθο Κριτηριο Eisenstein: Θεωρούµε ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές f(t) = a 0 + a 1 t + + a n t n, n > 0, a i Z, 0 i n και a n 0 και έστω p ένας πρώτος αριθµός. Τότε : p a 0, p a 1,, p a n 1 & p a n & p 2 a 0 = f(t) : ανάγωγο Εφαρµογη: είξτε ότι τα πολυώνυµα g 1 (t) = t 4 6t t 2 30t + 14, g 2 (t) = t t 24, g 3 (t) = t 5 + 5t + 5, και g 4 (t) = t n p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός και n > 1, είναι ανάγωγα υπεράνω του Q. Είναι το πολυώνυµο t και ανάγωγο υπεράνω του Q; Ασκηση 33. Θεωρούµε ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές f(t) = t n + c n 1 t n 1 + c 1 t + c 0, Αν ρ είναι µια πραγµατική ϱίζα του f(t), να δείξετε ότι : είτε ο ρ είναι ακέραιος ή ο ρ είναι άρρητος.

9 9 Ασκηση 34. είξτε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της µορφής : (α) 3k + 2 και (β) 4k + 3. Ασκηση 35. είξτε ότι για κάθε n 3, υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί οι οποίοι δεν είναι της µορφής nk Συµβολισµός : Εστω p πρώτος. Αν n είναι ένας ϕυσικός αριθµός και k N 0, τότε ϑα γράφουµε : p k n p k n και p k+1 n δηλαδή p k είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον n, και όπου k = 0 αν p n. Ασκηση 36. Εστω p ένας πρώτος αριθµός. Ορίζουµε µια συνάρτηση ως εξής : v p : N N 0, v p (n) = max { k N 0 p k n } Αν P = {p N p : πρώτος} είναι το σύνολο των πρώτων αριθµών, να δείξετε ότι : (1) v p (n) = 0, p P n = 1. (2) v p (mn) = v p (m) + v p (n), p P. (3) m n v p (m) v p (n), p P. (4) v p (m) = v p (n), p P m = n. Ασκηση 37. Εστω p ένας πρώτος αριθµός και n, m, a, b N. Να δειχθούν τα ακόλουθα : (1) p n a & p m b = p n+m ab. (2) p n a = p nk a k. (3) n m & p n a & p m b = p min{n,m} (a + b). 2 Εποµένως υπάρχουν άπειροι πρώτοι οι οποίοι δεν είναι της µορφής 3k + 1, 4k + 1, 5k + 1, (και προφανως, για n = 2, µόνον ένας πρώτος αριθµός ο οποίος δεν είναι της µορφής 2k + 1, ο πρώτος 2).

10 10 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 24 Μαρτίου 2014 Ασκηση 38. Αφού ϐρείτε την πρωτογενή ανάλυση των αριθµών 130 και 2275, να υπολογίσετε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη (130, 2275). Ασκηση 39. είξτε ότι για κάθε ακέραιο k ισχύει (2k + 1, 9k + 4) = 1 & (8k + 3, 5k + 2) = 1 Ασκηση 40. Εστω οι ακέραιοι αριθµοί a 1, a 2,, a n, n είξτε ότι : ( a1, a 2,, a n ) = ( a1, a 2,, a n ) 2. είξτε ότι αν λ, είναι ένας ακέραιος αριθµός, τότε : ( λa1, λa 2,, λa n ) = λ ( a1, a 2,, a n ) 3. Αν k n 2, τότε : (a1, a 2,, a n ) = ( a1, a 2,, a k, (a k+1,, a n ) ) 4. Αν b = x 1 a 1 + x 2 a x n a n για κάποιους ακεραίους x 1, x 2,, x n, τότε : ( a1, a 2,, a n ) = ( a1, a 2,, a n, b ) 5. Αν a k 0, k = 1, 2,, n, δείξτε ότι : ( a1, a 2,, a n ) = d d a1, d a 2,, d a n και (a 1 d, a 2 d,, a n ) = 1 d Ασκηση Αν a, b, c είναι ακέραιοι και (a, b) = 1 = (a, c), δείξτε ότι : (a, bc) = Γενικότερα αν a 1, a 2,, a n και b είναι ακέραιοι και (a 1, b) = (a 2, b) = = (a n, b) = 1, δείξτε ότι : (a 1 a 2 a n, b) = 1. Ασκηση 42. Εστω a, b, c µη-µηδενικοί ακέραιοι αριθµοί. 1. Αν (a, b) = 1 και c (a + b), δείξτε ότι : (c, a) = 1 = (c, b). 2. Αν (b, c) = 1, τότε : (a, bc) = (a, b)(a, c).

11 11 Ασκηση 43. Εστω οι ακέραιοι αριθµοί a, b, c, d. Αν b, d > 0 και (a, b) = 1 = (c, d), και αν ο αριθµός είναι ακέραιος, δείξτε ότι : b = d. a b + c d Ασκηση 44. Αν x, y είναι ϑετικοί ακέραιοι και y > x, τότε : ( a 2x + 1 a 2y 1 και άρα : a 2 y 1, a 2x + 1 ) = a 2x + 1 ( ) Ασκηση 45. Αν a, n, m είναι ϑετικοί ακέραιοι και n m, δείξτε ότι : ( a 2 m + 1, a 2n + 1 ) 1 α : άρτιος = 2 α : περιττός Ασκηση 46. Αν a, n, m είναι ϕυσικοί αριθµοί, και ο n είναι περιττός, να δείξετε ότι : Ισχύει η παραπάνω ισότητα αν ο n είναι άρτιος ; (a n 1, a m + 1) = 1 ή 2 Ασκηση 47. είξτε οτι : 1. (a, b) = 1 (a n, b m ) = 1, n, m (a n, b n ) = (a, b) n. Ασκηση 48. Αν n, m N όπου n m, να δείξετε ότι 3 : ( 2 2 n + 1, 2 2m + 1 ) = 1 Με τη ϐοήθεια της παραπάνω σχέσης να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί. Ασκηση 49. Εστω a, b ϑετικοί ακέραιοι και p ένας πρώτος αριθµός. αληθείς ή ψευδείς; Για κάθε µια δώστε απόδειξη ή αντιπαράδειγµα : 1. Αν (a, p 2 ) = p, τότε : (a 2, p 2 ) = p Αν (a, p 2 ) = p και (b, p 2 ) = p 2, τότε : (ab, p 4 ) = p Αν (a, p 2 ) = p και (b, p 2 ) = p, τότε : (ab, p 4 ) = p Αν (a, p 2 ) = p, τότε : (a + p, p 2 ) = p. Είναι οι ακόλουθες προτάσεις Ασκηση είξτε ότι αν b, c είναι µη µηδενικοί ακέραιοι µε (b, c) = 1 τότε (b, c m ) = 1 = (b n, c) για κάθε n, m N. 2. Θεωρούµε το πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a i Z, 0 i n, n > 0, & a 0, a n 0 Αν b/c είναι ϱητή ϱίζα του f(x), όπου b, c µη µηδενικοί ακέραιοι πρώτοι µεταξύ τους, δείξτε ότι : b a 0 & c a n 3 Οι αριθµοί fn = 2 2n + 1, n 0 καλούνται αριθµοί του Fermat.

12 12 Ασκηση 51. Εστω k ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι οι αριθµοί είναι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους. 6k 1, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 5 Ασκηση 52. Εστω a, b N, και υποθέτουµε ότι : (a, b) = 1. Να δείξετε ότι : ( ) 1. ( a + b, a b = ) 1 ή ( 2a + b, a + 2b ) = 1 ή a + b, a b, ab = 1 ή 2. Μπορείτε να προσδιορίσετε, στις παραπάνω περιπτώσεις (1), (2), (3), πότε ακριβώς ο µέγιστος διαιρέτης έχει την τιµή 1, 2, ή 3; Ασκηση 53. Εστω a, b ϕυσικοί αριθµοί µε µέγιστο κοινό διαιρέτη (a, b) = 1. Εστω ότι υπάρχει κάποιος c N µε ab = c 2, τότε να δειχθεί ότι υπάρχουν x, y N {0} µε a = x 2 και b = y 2. Ασκηση 54. Εστω a, b δύο ϕυσικοί αριθµοί > 1 για τους οποίους ισχύει Να δειχθεί ότι a = b. a b 2, b 2 a 3, a 3 b 4, b 4 a 5,.... (*) Ασκηση 55. ώστε : 1. Να δείξετε ότι ( 1147, 851 ) = 37 και ακολούθως να ϐρεθούν ακέραιοι x και y έτσι 37 = 1147x + 851y 2. Να υπολογίσετε τον Μέγιστο Κοινό ιαιρέτη d και το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δ των αριθµών 1485 και Στη συνέχεια να ϐρεθούν ακέραιοι x και y έτσι ώστε : d = 1485x y Ασκηση 56. Αν a, b είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : (a, b) = ( a + b, [a, b] ) Ως εφαρµογή, ϐρείτε δύο ϕυσικούς αριθµούς έτσι ώστε το άθροισµά τους να είναι 798 και το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο να είναι Ασκηση 57. Αν a, b, c είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : (a, b, c)[ab, ac, bc] = abc & [a, b, c](ab, ac, bc) = abc Ασκηση 58. Εστω F n και F n+1 δύο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci, όπου n N. είξτε ότι ( Fn, F n+1 ) = 1, n N και επιπλέον δείξτε ότι στον Ευκλείδειο Αλγόριθµο για την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη (F n+1, F n+2 ) = 1, n > 1, απαιτούνται ακριβώς n διαιρέσεις. Ασκηση { 59. Εστω F n η ακολουθία Fibonacci. Να δείξετε ότι : }n 1

13 13 (1) (2) (3) F n+m = F m F n+1 + F m 1 F n n m = F n F m (F n, F m ) = F (n,m)

14 14 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 31 Μαρτίου 2014 Ασκηση 60. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι a, b για τους οποίους ισχύει : (a, b) = 18 & [a, b] = 540 Ασκηση Αν α, β, γ είναι µη-αρνητικοί ακέραιοι, δείξτε ότι : max { α, β, γ } = α + β + γ min { α, β } min { α, γ } min { β, γ } + min { α, β, γ } 2. είξτε ότι αν a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι, τότε : [a, b, c] = a b c (a, b, c) (a, b) (a, c) (b, c) ( ) ( ) Ασκηση 62. Εστω a 1,..., a n ϑετικοί ακέραιοι. είξτε ότι [a 1, a 2,..., a n ] = a 1 a 2 a n (a i, a j ) = 1 για κάθε 1 i j n ( ) Ασκηση 63. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις x y = x y = x + 18y = 97 Ασκηση 64. (α) Εστω η ιοφαντική εξίσωση ax + by = c όπου a, b, c N και (a, b) = 1. Να δείξετε ότι το σύνολο των ϑετικών 4 λύσεων της παραπάνω ιοφαντικής εξίσωσης είναι πεπερασµένο. (β) Να εξετασθεί αν η ιοφαντική εξίσωση έχει ϑετικές λύσεις. 31x + 43y = 5 4 Με τον όρο ϑετικές λύσεις ενοούµε λύσεις (x, y) µε την ιδιότητα x > 0 και y > 0.

15 15 Ασκηση 65. Ενας υπάλληλος ταχυδροµείου διαθέτει µόνο γραµµατόσηµα των 14 και 21 λεπτών. Με ποιούς συνδυασµούς αυτών των γραµµατοσήµων µπορεί να αποσταλλεί ένα δέµα το οποίο τιµάται : (α) 3.50, (β) 4.00 ; Ασκηση 66. Με χρήση του αλγορίθµου του Ευκλείδη υπλογίστε τους µέγιστους κοινούς διαιρέτες : d = (20785, 44350) & δ = (34709, ) και εκφράστε καθέναν από τους d, δ ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των παραπάνω αριθµών. Ασκηση 67. Να ϐρεθούν, αν υπάρχουν όλες οι ακέραιες λύσεις των ιοφαντικών εξισώσεων : (α) x y = 25 & (β) x y = 37 Επιπρόσθετα να ϐρεθούν, αν υπάρχουν, όλες οι ϑετικές ακέραιες λύσεις τους. Ασκηση 68. Εστω a 1,..., a n ϑετικοί ακέραιοι, n 2, και c ένας ακέραιος. Υποθέτουµε ότι d = (a 1,..., a n ) c. είξτε ότι η ιοφαντική εξίσωση έχει άπειρες ακέραιες λύσεις. a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c ( ) Ασκηση 69. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες ιοφαντικές εξισώσεις 1. 2x + 3y + 4z = x + 21y + 35z = x + 102y + 103z = 1 Ασκηση 70. Ενας ϕοιτητής επιστρέφει στην Νέα Υόρκη απο διακοπές στη Ελλάδα και την Αγγλία. Στην Νέα Υόρκη αλλάζει τις λίρες Αγγλίας και τα ευρώ τα οποία έχει σε δολλάρια και µετά την αλλαγή λαµβάνει συνολικά δολλάρια. Αν παίρνει 1.11 δολλάρια για κάθε ευρώ και 1.69 δολλάρια για κάθε λίρα Αγγλίας, πόσα ευρώ και πόσες λίρες Αγγλίας είχε πρίν την αλλαγή συναλλάγµατος ; Ασκηση 71. Ενας ιδιοκτήτης ϐιβλιοπωλείου παραγγέλνει ηµερολόγια, καθένα εκ των οποίων κοστίζει 5, µαρκαδόρους, καθένας εκ των οποίων κοστίζει 3, και ξύστρες, όπου τρείς ξύστρες µαζί κοστίζουν 1. Αν η παραγγελία αφορά 100 κοµµάτια και το συνολικό ποσό το οποίο πλήρωσε είναι 100, πόσα ηµερολόγια, µαρκαδόρους, και ξύστρες παρέλαβε ο ϐιβλιοπώλης ;

16 16 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 5 Μαίου 2014 Ασκηση 72. είξτε ότι για κάθε ϕυσικό n 1 ισχύει όπου µ η συνάρτηση του Möbius. µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0 Ασκηση 73. είξτε ότι για κάθε ϕυσικό n 3 ισχύει n µ(k!) = 1 k=1 Ασκηση 74. Εστω n > 1 ϕυσικός, και n = p a 1 1 pa par r η πρωτογενής ανάλυση του, δηλ. p i είναι διακεκριµένοι πρώτοι και a i > 0 για κάθε i. είξτε ότι µ(d) = 2 r. d n Ασκηση 75. Εστω m, n N. Τότε για κάθε πολλαπλασιαστική συνάρτηση f : N C, ισχύει ότι : f ( (m, n) ) f ( [m, n] ) = f(m)f(n) Ασκηση 76. Μια αριθµητική συνάρτηση f : N C καλείται προσθετική αν : n, m N : (n, m) = 1 = f(nm) = f(n) + f(m) Η f καλείται πλήρως προσθετική αν f(nm) = f(n) + f(m), n, m N. (1) Να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(n) = log n είναι πλήρως προσθετική. (2) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση ω(n) = πλήθος διακεκριµµένων πρώτων παραγόντων του n είναι προσθετική, αλλά δεν είναι πλήρως προσθετική. (3) Να δειχθεί ότι αν f είναι µια προσθετική συνάρτηση τότε η συνάρτηση g(n) = 2 f(n) είναι πολλαπλασιαστική.

17 17 Ασκηση 77. Εστω λ: N C, η συνάρτηση του Liouville, δηλαδή η αριθµητική συνάρτηση 1, αν n = 1 λ: N C, λ(n) = ( 1) k 1+ +k r, αν n = p k 1 1 pkr r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > 1 (1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση λ είναι πολλαπλασιαστική. (2) Να υπολογισθεί το άθροισµα λ(d) d n Ασκηση 78. Εστω Λ η συνάρτηση του Magnoldt, δηλαδή η αριθµητική συάρτηση log p, αν n = p m, m N & p : πρώτος Λ: N C, Λ(n) = 0, διαφορετικά (1) Είναι η συνάρτηση Λ πολλαπλασιαστική ή ενελικτικά αντιστρεπτή ; (2) Να δείξετε ότι, n N: Λ(d) = log n d n Ασκηση 79. Να δειχθεί ότι για την συνάρτηση Λ του Magnoldt, ισχύει ότι : Λ(n) = d n µ(d) log d Ασκηση 80. Εστω a N, και έστω η αριθµητική συνάρτηση (a, ) : N C, (a, )(b) = (a, b) = ΜΚ (a, b) είξτε ότι η συνάρτηση (a, ) είναι πολλαπλασιαστική. Ασκηση 81. Να ϐρεθεί η ενελικτική αντίστροφη µ 1 της συνάρτησης µ του Möbius. Ασκηση 82. Θεωρούµε τις αριθµητικές συναρτήσεις : φ, ν, σ, τ, ɛ, και I, όπου I(n) = n, n N. Να δείξετε τις ακόλουθες σχέσεις : µ 1 = ν, τ = ν ν, φ = µ I, σ = ν I, σ = φ τ, σ φ = I I Ασκηση 83. Να δείξετε ότι : τ(d)µ( n d ) = 1 & σ(d)µ( n d ) = n d n d n Επιπρόσθετα αν ο n είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε δείξτε ότι : σ(d k 1 )φ(d) = n k, k 2 d n

18 18 Ασκηση 84. Να υπολογισθούν τα αθροίσµατα : µ(d) d, µ(d)τ(d), d n d n µ(d)σ(d), d n dµ(d) d n Ασκηση 85. Αν n είναι ένας ϑετικός ακέραιος, τότε συµβολίζουµε µε ω(n) το πλήθος των διακεκριµµένων πρώτων παραγόντων του n. Να δειχθεί ότι : µ 2 (d) = 2 ω(n) d n Ασκηση 86. Εστω f και g δύο αριθµητικές συναρτήσεις, και έστω f(n) = d n g(d) Θεωρούµε τον n n πίνακα ϕυσικών αριθµών M = (m ij ), όπου m ij = f((i, j)), δηλαδή f((1, 1)) f((1, 2)) f((1, n)) f((2, 1)) f((2, 2)) f((2, n)) M = f((n, 1)) f((n, 2)) f((n, n)) και f((i, j)) είναι η τιµή της f στον µέγιστο κοινό διαιρέτη (i, j) των i και j. Να δείξετε ότι : n Det(M) = g(k) Επιπρόσθετα, αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική και f(p) 0, για κάθε πρώτο p, τότε : n Det(M) = f(j) (1 1 f(p) ) j=1 p j k=1 Ασκηση 87. Να δείξετε ότι : (1, 1) (1, 2) (1, n) (2, 1) (2, 2) (2, n) (n, 1) (n, 2) (n, n) = φ(1)φ(2) φ(n) Ασκηση 88. Να δείξετε ότι : [1, 1] [1, 2] [1, n] [2, 1] [2, 2] [2, n] [n, 1] [n, 2] [n, n] n = φ(k) ( p) k=1 p k

19 19 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 12 Μαίου 2014 Ασκηση Να δειχθεί ότι αν n N, τότε : φ(n) = n n = Να δειχθεί ότι : n: σύνθετος > 1 = φ(n) < n Να δειχθεί ότι : n: πρώτος φ(n) = n 1. Ασκηση 90. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι n για τους οποίους φ(n) = 1, 2, 3, 4. Ασκηση 91. Αν n, k είναι ϑετικοί ακέραιοι, να δειχθεί ότι φ(n k ) = n k 1 φ(n) Ασκηση 92. Εστω n, d, k N, και d n. Τότε να δειχθεί ότι : φ(n d k ) = d k φ(n) Ασκηση Αν n 1, να υπολογισθεί η τιµή φ(2 n) συναρτήσει της τιµής φ(n). 1. Αν n 1, να υπολογισθεί η τιµή φ(3 n) συναρτήσει της τιµής φ(n). Ασκηση Για ποιούς ϑετικούς ακέραιους n ισχύει ότι : φ(2n) = 2φ(n); 2. Για ποιούς ϑετικούς ακέραιους n ισχύει ότι : φ(3n) = 3φ(n); 3. Για ποιούς ϑετικούς ακέραιους n ισχύει ότι : n = 2φ(n); 4. Αν ο n είναι περιττός ϑετικός ακέραιος, τότε να δειχθεί ότι φ(4n) = 2φ(n). Ισχύει το αντίστροφο ; Ασκηση 95. Εστω ω(n) το πλήθος των διακεκριµµένων πρώτων διαρετών του n. Να δειχθεί ότι : φ(n) n 2 ω(n) και φ(n) = n 2 ω(n) n = 2 r, r 0 Ασκηση Αν p είναι ένας πρώτος αριθµός, να δειχθεί ότι, n 1: φ(pn) = (p 1)φ(n)

20 20 2. Αν n, m είναι ϑετικοί ακέραιοι και (n, m) = p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός, να δειχθεί ότι : φ(nm) = p p 1 φ(n)φ(m) 3. Αν n, m είναι ϑετικοί ακέραιοι, να δειχθεί ότι : φ(nm) = (n, m) φ((n, m)) φ(n)φ(m) Ασκηση 97. Να δείξετε ότι αν m N, τότε το σύνολο των ϑετικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης είναι πεπερασµένο. φ(x) = m Ασκηση Να δείξετε ότι υπάρχουν ϑετικοί ακέραιοι n έτσι ώστε φ(n) = 2, 4, 6, 8, 10, Να δείξετε ότι η εξίσωση φ(n) = 14 δεν έχει ϑετικές ακέραιες λύσεις. Ασκηση 99. Να δείξετε ότι d, n N: d n = φ(d) φ(n) Ασκηση 100. Να υπολογισθούν τα αθροίσµατα : d φ(d) d n και d n φ(d) d Ασκηση 101. Για έναν ϑετικό ακέραιο n, να δειχθεί ότι : n : άρτιος d n µ(d)φ(d) = 0 Ασκηση 102. Να δείξετε ότι : d n µ 2 (d) φ(d) = n φ(n) Ασκηση 103. είξτε ότι : 0, n: άρτιος ( 1) n d φ(d) = n, n: περιττός d n Υπενθυµίζουµε ότι ένας ϕυσικός αριθµός n καλείται τέλειος, αν είναι ίσος µε το άθροισµα των γνησίων διαιρετών του. Ισοδύναµα ο n είναι τέλειος αν και µόνον αν σ(n) = 2n. Ασκηση 104. Αν ο n είναι ένας τέλειος άρτιος αριθµός, να δείχθεί ότι : 1 d = 2 d n

21 21 Ασκηση 105. Εστω n = 2 k 1 (2 k 1) ένας άρτιος τέλειος αριθµό, όπου ο αριθµός 2 k 1 είναι πρώτος και k > 1. Τότε : 1. γ(n) := d n d = nk. 2. n = (2 k 1). 3. φ(n) = 2 k 1 (2 k 1 1). Ενας ϑετικός ακέραιος n καλείται : (1) ατελής, αν σ(n) < 2n. (2) υπερτελής, αν σ(n) > 2n. Ασκηση Εστω n ένας ϑετικός ακέραιος της µορφής n = 2 m 1 (2 m 1), όπου ο 2 m 1 είναι σύνθετος. Να δειχθεί ότι ο αριθµός n είναι υπερτελής. 2. Να δειχθεί ότι κάθε αριθµός της µορφής p a q b, όπου p, q είναι διακεκριµµένοι περιττοίµ πρώτοι και a, b είναι ϑετικοί ακέραιοι, είναι ατελής. 3. Να δειχθεί ότι κάθε γνήσιος διαιρέτης ενός ατελούς ή τέλειου αριθµού είναι ατελής αριθµός. 4. Να δειχθεί ότι κάθε πολλαπλάσιο ενός υπερτελή ή τέλειου αριθµού, στην τελευταία περίπτωση εκτός του τέλειου αριθµού, είναι υπερτελής αριθµός. Ενα Ϲεύγος (n, m) ϑετικών ακεραίων αριθµών n και m καλείται ϕίλιο Ϲεύγος αν : σ(n) = n + m = σ(m) Ασκηση Να δειχθεί ότι τα Ϲεύγη ϑετικών ακεραίων (220, 284), (1184, 1210), (79750, 88730) είναι ϕίλια Ϲεύγη. 2. Αν οι αριθµοί 3 2 n 1 1, 3 2 n 1, n 1 είναι πρώτοι, όπου n 2, τότε το Ϲεύγος ϑετικών ακεραίων ( 2 n (3 2 n 1 1)(3 2 n 1), 2 n ( n 1 1) ) είναι ϕίλιο Ϲεύγος. 3. Με χρήση του 2. να ϐρεθούν τρία ϕίλια Ϲεύγη ϑετικών ακεραίων.

22 22 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 21 Μαίου Πέµπτη 22 Μαίου 2014 Ασκηση 108. Για κάθε n N, να προσδιορισθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων, n 1 : & 3 2n + 3 n & 2n 3 + 3n 2 + n 6 Ασκηση είξτε ότι η κλάση υπολοίπων [10] 21 είναι αντιστρέψιµη ως στοιχείο του Z 21, και ϐρείτε την αντίστροφη κλάση της. 2. είξτε ότι η κλάση [62] 155 δεν είναι αντιστρέψιµη ως στοιχείο του Z 155. Ασκηση 110. είξτε ότι αν a, n Z µε n 1 τότε το σύνολο αποτελεί ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod n. {a, a + 1,..., a + n 1} Ασκηση 111. Εστω {a 1, a 2,, a p } και {b 1, b 2, b p } δύο πλήρη συστήµατα υπολοίπων mod p, όπου p είναι ένας πρώτος. Να δείξετε ότι αν p > 2, τότε το σύνολο { a1 b 1, a 2 b 2,, a p b p } δεν είναι ποτέ πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod p. Ασκηση 112. (1) είξτε ότι : a b (mod n 1 ) & b c (mod n 2 ) = a c (mod(n 1, n 2 )) (2) είξτε ότι αν a, b, n 1,..., n k Z µε n i 1 για κάθε i, τότε a b (mod n i ), για κάθε i = 1, 2,, k a b (mod[n 1,..., n k ]) Ασκηση 113. Αν n > 1 είναι ένας ϑετικός ακέραιος, να δειχθεί ότι : n : πρώτος (n 2)! 1 (mod n) Ασκηση 114. είξτε ότι

23 23 (1) (2) (3) (4) (5) mod mod mod 7 1! + 2! + 3! ! 9 mod mod 4 Ασκηση 115. Εαν οι a, b είναι ακέραιοι και p είναι ένας πρώτος αριθµός δείξτε ότι (a + b) p a p + b p (mod p) Ασκηση 116. Εστω n ένας ϑετικός ακέραιος. 1. Αν a Z και (a, n) = 1 = (a 1, n), να δειχθεί ότι : 1 + a + a a φ(n) 1 0 (mod n) 2. Αν ο n είναι σύνθετος ακέραιος και n > 4, να δειχθεί ότι : (n 1)! 0 (mod n) Ασκηση 117. Εστω X = { } x 1, x 2,, x n ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod n, όπου n > 1 είναι περιττός ϕυσικός. είξτε ότι : n x i 0 (mod n) i=1 Ασκηση 118. Εστω X = { x 0, x 1,, x m 1 } ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod m και έστω Y = { y0, y 1,, y n 1 } ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod n. Αν (n, m) = 1, δείξτε ότι το σύνολο Z = { nx i + my j N 0 i m 1 & 0 j n 1 } ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod mn. Ασκηση 119. Εστω X = { x 1, x 2,, x φ(m) } ένα αναγµένο (περιορισµένο) σύστηµα υπολοίπων mod m και έστω Y = { y 1, y 2,, y φ(n) } ένα αναγµένο (περιορισµένο) σύστηµα υπολοίπων mod n. Αν (n, m) = 1, δείξτε ότι το σύνολο Z = { nx i + my j N 1 i φ(m) & 1 j φ(n) } ένα αναγµένο (περιορισµένο) σύστηµα υπολοίπων mod mn. Ασκηση 120. Εστω p ένας περιττός πρώτος αριθµός και n ένας ϑετικός ακέραιος έτσι ώστε : 2 n 1 (mod p) Να δειχθεί ότι : 1 n + 2 n + + (p 1) n 0 (mod p)

24 24 Ασκηση Εστω m, n δύο ϕυσικοί αριθµοί έτσι ώστε : (m, n) = 1. είξτε ότι : m φ(n) + n φ(m) 1 (mod mn) 2. Εστω p, q δύο πρώτοι, όπου p q. είξτε ότι : (αʹ) p q 1 + q p 1 1 (mod pq) (ϐʹ) p 1 q 1 & (a, pq) = 1 = a q 1 1(mod pq) Ασκηση 122. είξτε ότι για κάθε n N, ο αριθµός είναι ακέραιος. 1 5 n n n Ασκηση είξτε ότι : 11 10! + 1 και 13 12! Να ϐρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσων : 16! 19 & 5!25! 31 & & & Ασκηση 124. είξτε ότι : (mod 7) & (mod 17) Ασκηση 125. Να ϐρεθεί το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο των αριθµών : & & Ασκηση 126. είξτε ότι, n N: 42 n 7 n & 30 n 9 n Ασκηση 127. Εστω p ένας πρώτος αριθµός. 1. Για κάθε ακέραιο a να δειχθεί ότι p a p + a(p 1)! 2. Αν ο p είναι περιττός, για κάθε k, όπου 0 < k < p, να δειχθεί ότι : (p k)!(k 1)! ( 1) k mod p Ασκηση 128. Να δειχθεί ότι, n 2: 2 n 1 mod n

25 25 Ασκηση 129. Να δειχθεί για κάθε ϑετικό ακέραιο n > 2 και για κάθε ακέραιο x, ισχύει ότι : x n x n φ(n) (mod n) Ασκηση 130. Εστω p και q δύο περιττοί πρώτοι, όπου p q. Αν a είναι ένας ϑετικός ακέραιος έτσι ώστε (a, pq) = 1, τότε να δειχθεί ότι : a φ(pq) 2 1 (mod pq)

26 26 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 28 Μαίου 2014 Ασκηση 131. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 71 (mod 380) x 419 (mod 440). Ασκηση 132. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 9 (mod 25) x 610 (mod 1597) x 1500 (mod 1600). Ασκηση 133. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : 1. 2 x 5 (mod 7) 2. 3 x 6 (mod 9) x 30 (mod 40) Ασκηση 134. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι b, όπου 0 b < 1001, για τους οποίους η γραµµική ισοτιµία 154 x b (mod 1001) ( ) έχει λύση. Οταν υπάρχει τουλάχιστον µια λύση, πόσες ανισότιµες (mod 1001) λύσεις υπάρχουν ; Ασκηση 135. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 5) (Σ) x 2 (mod 6) x 3 (mod 7) Ασκηση 136. Να ϐρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί οι οποίοι δίνουν υπόλοιπα 1, 2, και 3, όταν διαιρεθούν µε τους αριθµούς 4, 3, και 5, αντίστοιχα.

27 27 Ασκηση 137. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 2) (Σ) : x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 4 (mod 7) x 5 (mod 11) Ασκηση 138. Βρείτε έναν αριθµό ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του 11 και δίνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί µε τους αριθµούς 2, 3, 5, και 7. Ασκηση 139. είξτε ότι για κάθε k 2, υπάρχουν k το πλήθος διαδοχικοί ακέραιοι, κάθε ένας από τους οποίους διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1. Ασκηση 140. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 65 (mod 99) x 2 (mod 98) (Σ) x 51 (mod 97) x 10 (mod 95) Ασκηση 141. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών { 51 x 2 (mod 38) (Σ) 3 x 6 (mod 9) Ασκηση 142. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 32 (mod 21) (Σ) x 6 (mod 10) x 2 (mod 12) Ασκηση 143. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών 3x 6 (mod 12) (Σ) 2x 5 (mod 7) 3x 1 (mod 5) Ασκηση 144. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για τα σύστηµατα γραµµικών ισοτιµιών (Σ) 2x 4 (mod 6) 4x 8 (mod 12) 5x 10 (mod 25) & (Σ ) x 7 (mod 9) x 2 (mod 10) x 3 (mod 12) x 6 (mod 15) Ασκηση 145. ( Πρόβληµα του Branmagupta, 7ος αιώνας µ.χ.) Οταν παίρνουµε αυγά από ένα καλάθι ανά : 2, 3, 4, 5, 6 κάθε ϕορά, τότε µένουν αντίστοιχα 1, 2, 3, 4, 5 αυγά στο καλάθι. Οταν όµως παίρνουµε ανά 7 τότε δεν µένει κανένα. Να υπολογισθεί ο ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι.

28 28 Ασκηση 146. Σε ένα πάρτυ, κάποιος Ϲητάει από έναν γνωστό του να διαλέξει στην τύχη έναν αριθµό από το 1 µέχρι το 100, και ακολούθως χωρίς να του αναφέρει το αριθµό, του Ϲητάει να του πει τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του αριθµού µε τους αριθµούς 3, 5, και 7. Γνωρίζοντας τα υπόλοιπα αυτών των διαιρέσεων, µπορείτε να ϐρείτε τον κρυφό αριθµό ; Ασκηση 147. Επτά ληστές προσπαθούν να µοιράσουν δίκαια τα κλοπιµαία τα οποία αποτελούνται από ϱάβδους χρυσού. Μετά τη µοιρασιά 6 ϱάβδοι χρυσού περίσσεψαν και στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ληστής σκοτώθηκε. Οι υπόλοιποι έξι ληστές δοκίµασαν να µοιράσουν πάλι τους ϱάβδους, αλλά πάλι δεν τα κατάφεραν διότι αυτή τη ϕορά περίσσεψαν 2 ϱάβδοι. Στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ακόµα ληστής σκοτώθηκε. Στη νέα µοιρασιά που ακολούθησε περίσσεψε µια ϱάβδος χρυσού και µετά τον ϑάνατο ενός ακόµα ληστή, τελικά οι εναποµείναντες ληστές κατάφεραν να µοιράσουν στα ίσια τους ϱάβδους χρυσού. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές ; Ασκηση 148. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος (όχι απαραίτητα γραµµικών) ισοτιµιών : { x (Σ) 2 1 (mod 3) x 2 (mod 4) Ασκηση 149. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 14) (Σ) x 16 (mod 21) x 10 (mod 30) Ασκηση 150. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 6) x 4 (mod 8) (Σ) x 2 (mod 14) x 14 (mod 15)

29 29 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 4 Ιουνίου 2014 Ασκηση 151. Εστω a και n δύο ακέραιοι, όπου n 1. Να δειχθεί ότι ο ϑετικός ακέραιος x είναι λύση της ισοτιµίας a x 1 (mod n) αν και µόνον αν : ord n (a) x. Ως εφαρµογή να ϐρεθούν όλες οι ϑετικές ακέραιες λύσεις της ισοτιµίας 2 x 1 (mod 7). Ασκηση 152. Εστω n 3 ακέραιος. είξτε ότι Σαν συνέπεια να συµπεράνετε ότι : 2 φ(n). (n 1, n) = 1 & ord n (n 1) = 2 Ασκηση 153. Εστω n 2 ακέραιος και a, b ακέραιοι µε ab 1 (mod n). είξτε ότι : (a, n) = (b, n) = 1 & ord n (a) = ord n (b) Ασκηση 154. Βρείτε τις τάξεις mod 16 των ακεραίων 3, 5, 7 και 9. Ασκηση 155. Εστω n > 1 ένας ϑετικός ακέραιος, και a Z ένας ακέραιος ο οποίος είναι πρώτος προς τον m, έτσι ώστε ord m (a) = m 1. είξτε ότι ο m είναι πρώτος. Ασκηση 156. Βρείτε τις τάξεις των στοιχείων του U(Z 9 ) και U(Z 10 ), όπου U(Z n ) = U n είναι το σύνολο των αντιστρεψίµων στοιχείων του Z n. Ασκηση 157. είξτε ότι αν a, n είναι ϑετικοί ακέραιοι, τότε : και ακολούθως να συµπεράνετε ότι : n φ(a n 1). ord a n 1(a) = n

30 30 Ασκηση Βρείτε, αν υπάρχουν, πρωταρχικές ϱίζες (mod n), όπου n = 4, 5, 10, 13, 14, Βρείτε, αν υπάρχουν, πρωταρχικές ϱίζες (mod 20). Ασκηση 159. Βρείτε αρχικές ϱίζες mod n για n = 23 και n = 31. Ασκηση 160. Εστω n > 1 ένας ϑετικός ακέραιος, και a, b δύο ϑετικοί ακέραιοι έτσι ώστε : (a, n) = 1 = (b, n) & (ord n (a), ord n (b)) = 1 είξτε ότι : ord n (a b) = ord n (a) ord n (b) Να δειχθεί µε ένα αντιπαράδειγµα ότι η παραπάνω ισότητα δεν ισχύει αν (ord n (a), ord n (b)) 1. Ασκηση 161. είξτε ότι αν υπάρχει µια πρωταρχική ϱίζα mod n τότε υπάρχουν ακριβώς φ(φ(n)) (ανισότιµες) πρωταρχικές ϱίζες mod n. Μπορείτε να περιγράψετε το σύνολο P n των πρωταρχικών ϱιζών mod n; Ασκηση 162. Βρείτε όλες τις πρωταρχικές ϱίζες mod 23. Ασκηση 163. Εστω n ένας ϕυσικός ακέραιος και a ένας ϑετικός ακέραιος έτσι ώστε : δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Ο αριθµός a είναι µια πρωταρχική ϱίζα mod n. 2. Για κάθε πρώτο διαιρέτη p του φ(n), ισχύει ότι : Ως εφαρµογή, να εξετάσετε αν οι αριθµοί 2, 3 είναι : (α) πρωταρχικές ϱίζες mod 11, και (ϐ) πρωταρχικές ϱίζες mod 9. a φ(n) p 1 (mod n) (a, n) = 1. Να Ασκηση είξτε ότι το 3 είναι αρχική ϱίζα mod Για δοθέντα ακέραιο a µε (a, 17) = 1 υπολογίστε τον ελάχιστο ϑετικό ακέραιο k ώστε a 3 k (mod 17). 3. Λύστε την ισοτιµία x 4 13 (mod 17) (1) Ασκηση 165. Εστω n = 4, p m ή 2p m, όπου p περιττός πρώτος και m 1 ακέραιος. Αν a είναι µια αρχική ϱίζα mod n, δείξτε ότι a φ(n)/2 1 (mod n) Ασκηση 166. Εστω p περιττός πρώτος και a ένας ακέραιος µε (a, p) = 1. είξτε ότι : 1. Αν p 1 mod 4, τότε ο a είναι πρωταρχική ϱίζα mod p αν και µόνο αν ο ακέραιος a είναι επίσης πρωταρχική ϱίζα mod p. 2. Αν p 3 mod 4, τότε ο a είναι πρωταρχική ϱίζα mod p αν και µόνο αν ord p ( a) = p 1 2.

31 31 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 13 Ιουνίου 2014 Ασκηση 167. (1) Να λυθεί η γραµµική ιοφαντική εξίσωση : 13521x + 732y = (1) (2) Να ϐρεθούν : (α) όλες οι λύσεις, και (β) όλες οι ϑετικές λύσεις, της γραµµικής ιοφαντικής εξίσωσης 17x + 19y = 23 (2) Ασκηση 168. Να ϐρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : & n 257 n, n Z 255 Ασκηση 169. Αν n > 1 είναι ένας ϑετικός ακέραιος µε πρωτογενή ανάλυση n = p a 1 1 par r, δείξτε ότι : µ 2 (d) τ(d) = 3r 2 r d n Ασκηση 170. Εστω m, n ϕυσικοί αριθµοί, όπου m > 2. Αν να δείξετε ότι ο n είναι πρώτος και n = m 1. (m 1) σ(n) = n m Ασκηση 171. Αν n > 1 είναι ένας ϕυσικός αριθµός, να υπολογισθεί το άθροισµα : f(n) = k & f(d) 1 k<n & (k,n)=1 d n Ασκηση 172. Αν n > 1, να υπολογισθεί το άθροισµα (1 d d n 1 k d & (k,d)=1 k ) Ασκηση 173. (1) Αν ο n είναι περιττός και 3 n, τότε : n 2 1 (mod 24).

32 32 (2) Αν (a, 35) = 1, δείξτε ότι : 35 a Ασκηση 174. Να ϐρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού µε τον αριθµό 7. A = Ασκηση 175. Να δείξετε ότι : Ασκηση 176. Αν p είναι ένας πρώτος µε p > 5, δείξτε ότι ο αριθµός έχει τουλάχιστον δύο πρώτους διαιρέτες. (p 1)! + 1 Ασκηση 177. Να ϐρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού k k=1 µε τον αριθµό 100. Ασκηση 178. Αν n 2 είναι ένας ϑετικός ακέραιος, δείξτε ότι : n 2 n 1 Ασκηση 179. Να λυθεί το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 3 (mod 34) x 5 (mod 107) (Σ) x 3 (mod 1111) x 8 (mod 38) Ασκηση 180. Εστω m 1, m 2,, m n ϑετικοί ακέραιοι οι οποίοι είναι πρώτοι µεταξύ τους ανα δύο. Να δείξετε ότι η µοναδική λύση (mod m 1 m 2 m n ) του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) (Σ). x a n (mod m n ) είναι : όπου x a 1 M φ(m 1) 1 + a 2 M φ(m 2) a n M φ(mn) n (mod M) M = m 1 m 2 m n & M i = M m i, 1 i n

33 33 Ασκηση 181. Να λυθεί το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών 2x 4 (mod 8) (Σ) 3x 12 (mod 9) x 34 (mod 12)

34 34 Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 10 Μαρτίου 2014 Ασκηση 182. Να υπολογίσετε το γινόµενο n k=1 2 k Ασκηση 183. Για κάθε n N, ο n-οστός τριγωνικός αριθµός T n ορίζεται να είναι : T n = n Ο n-οστός πυραµιδικός αριθµός ορίζεται ως το άθροισµα των πρώτων n τριγωνικών αριθµών : n Π n = T k = T 1 + T T n Να δείξετε ότι, n N: k=1 Π n = n(n + 1)(n + 2) 6 Ασκηση 184. Να δείξετε ότι : n k 2 = n 2 = k=1 n k(k + 1) = n (n + 1) = k=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1)(n + 2) 3 Ασκηση 185. Από την παραπάνω Ασκηση 184 καθώς και την Ασκηση 4 έχουµε ότι : n 2 = n 1 = n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1) 2 & n 3 = ( n(n + 1) 2 ) 2

35 35 Προσπαθήστε να ϐρείτε και να αποδείξετε 5 έναν ανάλογο τύπο για το άθροισµα : για κάθε ϕυσικό αριθµό d 1. 1 d + 2 d + + n d Ασκηση 186. Να δείξετε ότι για κάθε ϕυσικό αριθµό n ισχύει ότι : 1 + n 2n 2 1 k 1 + n k=1 { Ασκηση 187. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία Fibonacci Fn N n N } είναι η ακολουθία ϕυσικών αριθµών η οποία ορίζεται αναδροµικά ως εξής : F 1 = 1, F 2 = 1, και F n = F n 1 + F n 2, n 3 είξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα για κάθε n, m N: Τέλος να υπολογισθεί το άθροισµα F n+1 F n 1 F 2 n = ( 1) n F n+m = F m F n+1 + F n F m 1 n k=1 F 2k 1 Ασκηση 188. Να δείξετε ότι, n N: 9 10 n n Ασκηση 189. Είναι δυνατόν το γινόµενο τριών διαδοχικών ϕυσικών αριθµών να ισούται µε τον κύβο ενός ϕυσικού αριθµού; Ασκηση 190. Εστω F n ο n-οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci. είξτε ότι : 1. 3 n 2 F n n 3 F n n 4 F n. 4. n m = F n F m. Ασκηση Να δείξετε ότι : 2 k 1 2 k m 1, k, m N. 2. Αν k, m N και k > 2, να δείξετε ότι : 2 k 1 2 m Αν n N, να δείξετε ότι : n 2 (n + 1) n Αν n N, να δείξετε ότι : (2 n 1) 2 2 (2n 1)n 1. Ασκηση 192. Ενας πρώτος αριθµός p καλείται πρώτος του Fermat αν είναι της µορφής p = 2 2r + 1, r 0. Ενας πρώτος αριθµός p καλείται πρώτος του Mersenne αν είναι της µορφής p = 2 q 1, q : πρώτος. 5 Πρόβληµα εξαιρετικά αυξηµένης δυσκολίας!

36 36 1. Να δείξετε ότι αν n N και ο αριθµός 2 n + 1 είναι πρώτος, τότε ο n είναι δύναµη του 2 και άρα ο αριθµός 2 n + 1 είναι πρώτος του Fermat. 2. Να δείξετε ότι αν ο αριθµός 2 n 1 είναι πρώτος, n N, τότε ο αριθµός n είναι πρώτος και άρα ο 2 n 1 είναι πρώτος του Mersenne. 3. Γενικότερα δείξτε ότι αν a, n είναι ϕυσικοπι αριθµοί, όπου n > 1, και ο αριθµός a n 1 είναι πρώτος, τότε a = 2 και ο αριθµός n είναι πρώτος (και άρα πρώτος του Mersenne). Ασκηση 193. Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός. 1. Αν ο n είναι περιττός, τότε να δείξετε ότι : 2. είξτε ότι : n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 n! n! = n : πρώτος Ασκηση 194. Εστω a > 1 ένας ϕυσικός αριθµός και έστω η παράσταση του a = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0, a k 0 και 0 a i 9, 0 i k στο δεκαδικό σύστηµα. Να δείξετε ότι : (1) 4 a 4 a a 0 (2) 25 a 25 a a 0 (3) 3 a 3 a k + + a 1 + a 0 (4) 9 a 9 a k + + a 1 + a 0 (5) 7 a 7 2a 0 a όπου : a = a k 10 k 1 + a k 1 10 k a a 1 Ασκηση 195. είξτε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός µπορεί να γραφεί ως άθροισµα πεπερασµένου πλήθους διακεκριµµένων δυνάµεων του 2. Ως εφαρµογή γράψτε τον αριθµό ως άθροισµα διακεκριµµένων δυνάµεων του 2. Ασκηση 196. Να γραφεί ο αριθµός (1) ( ) 2 στο δεκαδικό σύστηµα αριθµήσης. (2) (999) 10, δηλαδή ο αριθµός 999, στο δυαδικό σύστηµα αρίθµησης. (3) ( ) 2 στο 16-αδικό σύστηµα αρίθµησης. Ασκηση 197. Χρησιµοποιήστε το Κόσκινο του Ερατοσθένη για να ϐρείτε όλους τους πρώτους αριθµούς 200.

37 37 Ασκηση 198. Βρείτε όλους τους πρώτους αριθµούς οι οποίοι µπορούν να εκφρασθούν ως διαφορά τετάρτων δυνάµεων δύο ακεραίων αριθµών. Ασκηση Βρείτε όλους τους πρώτους αριθµούς οι οποίοι είναι της µορφής n Ασκηση 200. Αν n είναι ένας ϕυσικός αριθµός, να δείξετε ότι ο αριθµός n! + 1 έχει έναν πρώτο διαιρέτη d > n. Να συµπεράνετε ότι το πλήθος των πρώτων αριθµών είναι άπειρο. Ασκηση 201. Εστω ότι n, k, a είναι ϑετικοί ακέραιοι, όπου n > 1, και υποθέτουµε ότι οι ϑετικοί ακέραιοι a, a + k, a + 2k,, a + (n 1)k είναι περιττοί πρώτοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ο αριθµός k διαιρείται από όλους τους πρώτους αριθµούς οι οποίοι είναι µικρότεροι του n. 6 εν είναι γνωστό αν υπάρχει πεπερασµένο πλήθος πρώτων αριθµών της µορφής n Το 1973 αποδείχθηκε από τον H. Iwaniec ότι το πλήθος των αριθµών της µορφής n οι οποίοι είναι πρώτοι ή γινόµενο δύο πρώτων αριθµών είναι άπειρο.

38 38 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 17 Μαρτίου 2014 Ασκηση 202. Να ϐρεθούν όλοι οι πρώτοι διαρέτες των αριθµών : 289, 515, 9555, , , 20!, ( ) Ασκηση 203. Να ϐρεθεί η πρωτογενής ανάλυση των αριθµών : , , Ασκηση 204. Εστω n > 1 ένας ϕυσικός αριθµός. Να δείξετε ότι ο αριθµός δεν είναι ακέραιος n Ασκηση 205. είξτε ότι αν ο ϕυσικός αριθµός n > 4 είναι σύνθετος, τότε : n (n 1)!. Ασκηση 206. Βρείτε, αν υπάρχουν, όλους τους πρώτους της µορφής : (1) n 3 1. (2) n 2 4. (3) 8 n + 1 (4) 3p + 1, όπου p πρώτος. Ασκηση 207. είξτε ότι αν n > 1 είναι ένας ϑετικός ακέραιος και ισχύει n 4[(n 1)! + 1], τότε είτε n = 4 ή n είναι πρώτος. Ασκηση 208. Χρησιµοποιώντας κατάλληλα το Κριτηριο Eisenstein, ϐλέπε Ασκηση 32 να δείξετε ότι το πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγο. Φ p (t) = 1 + t + t t p, p : πρώτος (p-οστό κυκλοτοµικό πολυώνυµο)

39 39 Ασκηση 209. Χρησιµοποιώντας κατάλληλα το Κριτηριο Eisenstein, ϐλέπε Ασκηση 32, να δείξετε ότι τα πολυώνυµα µε ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγα υπεράνω του Q. g 1 (t) = 6t t 3 21t + 35, g 2 (t) = 18t 5 30t t = 360 g 3 (t) = t 4 2t 3 + 6t 3, g 4 (t) = t 4 + 6t t t + 6 Ασκηση 210. Να επεκτείνετε κατάλληλα το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής έτσι ώστε να ισχύει για κάθε ϑετικό ϱητό αριθµό. Ασκηση 211. Εστω a, b N τέτοιοι ώστε είξτε ότι a = b. a b 2, b 2 a 3, a 3 b 4, b 4 a 5, Ασκηση 212. Εστω A, B, C ϕυσικοί αριθµοί µε πρωτογενείς αναλύσεις A = p a 1 1 pa 2 2 pan n & B = p b 1 1 p b 2 2 p bn n & C = p c 1 1 pc 2 2 pcn n όπου : a i < b i < c i, 1 < i < n. Να ϐρεθεί το πλήθος και το άθροισµα των ϕυσικών διαρετών των A, B, C. Ασκηση 213. Εστω a > 1 ένας ϕυσικός αριθµός και έστω η παράσταση του a = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0, a k 0 και 0 a i 9, 0 i k στο δεκαδικό σύστηµα. Να δείξετε ότι : 13 a 13 9a 0 a όπου : a = a k 10 k 1 + a k 1 10 k a a 1 Ως εφαρµογή να δείξετε ότικάθε αριθµός της µορφής abcabc, δηλαδή κάθε αριθµός της µορφής a b c a b10 + c διαρείται από το 13. Ασκηση 214. Ενας κατάστηµα ηλεκτρονικών ειδών από την πώληση ενός συγκεκριµένου τύπου κινητού τηλεφώνου είχε έσοδα Αν η τιµή του κινητού τηλεφώνου είναι ακέραιος µεγαλύτερος του 1 και µικρότερος του 300, να ϐρεθεί ο αριθµός των κινητών τηλεφώνων που πούλησε το κατάστηµα. Ασκηση 215. Εστω H το σύνολο όλων των ϕυσικών αριθµών της µορφής 4k + 1. Ενας αριθµός h H καλείται πρώτος του Hilbert αν οι µοναδικές παραγοντοποιήσεις του h µε αριθµούς από το σύνολο H είναι οι τετριµµένες : h = h 1 και h = 1 h. (1) Να δείξετε ότι το σύνολο H είναι κλειστό στον πολλαπλασιασµό ϕυσικών αριθµών. (2) Βρείτε του 20 µικρότερους πρώτους του Hilbert. (3) είξτε ότι κάθε αριθµός από το σύνολο H µπορεί να γραφεί ως γινόµενο πρώτων του Hilbert. (4) είξτε ότι η παραγοντοποίηση αριθµών από το σύνολο H ως γινόµενο πρώτων του Hilbert δεν είναι µοναδική, γράφοντας τον αριθµό 693 H µε δύο διαφορετικούς τρόπους ως γινόµενα πρώτων του Hilbert.

40 40 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 24 Μαρτίου 2014 Ασκηση 216. έτσι ώστε : (1) Να δείξετε ότι ( 112, 96, 24 ) = 8 και ακολούθως να ϐρεθούν ακέραιοι x, y και z 8 = 112x + 96y + 24z (2) Να υπολογίσετε τον Μέγιστο Κοινό ιαιρέτη d = (1092, 1155, 2002) και στη συνέχεια να ϐρείτε ακέραιους x, y και z έτσι ώστε : d = 1092x y z Ασκηση 217. Για κάθε ϕυσικό αριθµό m να δείξετε ότι : ( 2 m + 3 m, 2 m m+1) = 1 Ασκηση 218. Εστω {a n } n 0 η ακολουθία ακεραίων αριθµών η οποία ορίζεται µέσω της αναδροµικής σχέσης : a 0 = 2 & a n+1 = a 2 n a n + 1, n 0 Να δείξετε ότι : ( an, a m ) = 1, n m Με τη ϐοήθεια της παραπάνω σχέσης να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί. Ασκηση 219. Εστω οι ϑετικοί ακέραιοι a, b. (1) είξτε ότι : (a n b n a b, a b) = (n(a, b) n 1, a b) (2) Να συµπεράνετε ότι αν (a, b) = 1, τότε : (a n b n a b, a b) = (n, a b) Ασκηση 220. (1) είξτε ότι : (a + kb, a) = (a, b). (2) είξτε ότι : (x, b) = 1 = (ax + by, b) = (a, b). (3) είξτε ότι : (y, a) = 1 = (a, ax + by) = (a, b).

41 41 (4) Εστω x, y Z και έστω M = ( ) a1 b 1 a 2 b 2 M 2 (Z) ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία ακεραίους αριθµούς. Αν Det(M) = ±1, να δείξετε ότι : ( a1 x + b 1 y, a 2 x + b 2 y ) = (x, y) Ασκηση 221. Εστω a, b N, και υποθέτουµε ότι : (a, b) = 1. Να δείξετε ότι : ( (1) a + b, a 2 ab + b 2) = 1 ή 3. ( (2) a 3 + b 3, a 2 + b 2) (a b). Μπορείτε να προσδιορίσετε, στις παραπάνω περιπτώση (1), πότε ακριβώς ο µέγιστος κοινός διαιρέτης έχει την τιµή 1, ή 3; Ασκηση 222. Αν a, b, c > 0 και (a, b) = 1 = (b, c), και αν ο αριθµός 1 a + 1 b + 1 c συµπέρασµα µπορείτε να εξάγετε για τους αριθµούς a, b, c; είναι ακέραιος, τι Ασκηση 223. Αν a, b είναι ϑετικοί ακέραιοι και (a, b) = 1, να ϐρεθεί ο µέγιστος κοινός διαιρέτης : ( a 2 + b 2, a + b ) Ασκηση 224. Εστω k ένας ακέραιος. (1) Αν k > 0, να δείξετε ότι οι αριθµοί 3k + 2, 5k + 3 είναι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους. (2) Εστω οι ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί n, m, κ, λ και ο ακέραιος a. είξτε ότι : m κ λ n = 1 = (na + κ, ma + λ) = 1 Ασκηση 225. Εστω n ένας ϕυσικός αριθµός και έστω ότι i και j είναι ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι : 1 i < j n = ( n! i + 1, n! j + 1 ) = 1 Χρησιµοποιώντας το παραπάνω αποτέλεσµα δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί. Ασκηση 226. Αν a, b είναι δύο µη µηδενικοί ακέραιοι, δείξτε ότι (a 2, ab, b 2 ) = (a, b) 2 & [a 2, ab, b 2 ] = [a, b] 2 Ασκηση 227. Εστω a 1,..., a n ακέραιοι όχι όλοι µηδέν και b ένας ακέραιος. είξτε ότι ο b διαιρεί τον a i για κάθε i = 1,..., n αν και µόνο αν ο b διαιρεί τον Μέγιστο Κοινό ιαιρέτη των a i. Επίσης δείξτε ότι ο b είναι κοινό πολλαπλάσιο των a i, αν και µόνο αν ο b διαιρείται από το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των a i.

42 42 Ασκηση 228. Αν a, b, c είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : ( [a, b], c ) = [(a, c), (b, c)] & [(a, b), c] = ( [a, c], [b, c] ) Ασκηση 229. Αν a, b, c είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : ( [a, b], [a, c], [b, c] ) = [(a, b), (a, c), (b, c)] Ασκηση 230. Εστω a, n, m N, όπου a 2 και n m. Να δείξετε ότι : (1) Αν m n, τότε : (a n 1, a m 1) = a m 1 (2) Αν n = mq + r, όπου 1 r < m, τότε : (a n 1, a m 1) = (a r 1, a m 1) (3) (a n 1, a m 1) = a (n,m) 1

43 43 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 31 Μαρτίου 2014 Ασκηση 231. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις 1. 33x + 77y = x + 77y = x y = 1 Ασκηση 232. είξτε ότι η διοφαντική εξίσωση έχει µια ϑετική λύση. 101x + 37y = 3819 Ασκηση 233. Αν (a, b) = 1 και οι ακέραιοι a, b είναι ετερόσηµοι, να δείξετε ότι η διοφαντική εξίσωση έχει άπειρες ϑετικές λύσεις, για κάθε ακέραιο c. ax + by = c Ασκηση 234. Αν a, b, c N και a + b > c, να δείξετε ότι η διοφαντική εξίσωση δεν έχει ϑετικές λύσεις. ax + by = c Ασκηση 235. Να ϐρεθούν, αν υπάρχουν, όλες οι ϑετικές λύσεις για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις 1. 3x + 4y = x + 47y = x + 501y = 1 Ασκηση 236. Ενας ιδιοκτήτης ϐιβλιοπωλείου παραγγέλνει µολύβια και ξύστρες και το συνολικό ποσό της παραγγελίας του είναι Αν το κάθε µολύβι του κοστίζει 25 λεπτά και η κάθε ξύστρα του κοστίζει 18 λεπτά, να ϐρεθεί πόσα µολύβια και πόσες ξύστρες παρήγγειλε.

44 44 Ασκηση 237. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης : 1 x + 1 y = 1 14 Ασκηση 238. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις των συστηµάτων ιοφαντικών εξισώσεων : 1. x + y + z = 100 & x + 8y + 50z = x + y + z = 100 & x + 6y + 21z = x + y + z + w = 100 & x + 2y + 3z + 4w = 300 & x + 4y + 9z + 16w = 1000

45 45 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 5 Μαίου 2014 Ασκηση 239. Για κάθε m N 0 = N {0}, ϑεωρούµε την αριθµητική συνάρτηση σ m : N C, σ m (n) = d n d m Να δείξετε ότι η σ m είναι πολλαπλασιαστική, και ακολούθως να δείξετε ότι αν n = p a 1 1 pa k k πρωτογενής ανάλυση του n, τότε : k p m(a i+1) i 1 σ m (n) = p m i 1 i=1 είναι η Ασκηση 240. Θεωρούµε τις αριθµητικές συναρτήσεις γ, τ : N C όπου γ(n) είναι το γινόµενο των ϕυσικών διαιρετών του n και τ(n) είναι το πλήθος των ϕυσικών διαιρετών του n. Να δείξετε ότι : γ(n) = n τ(n) 2 Αν n > 1 είναι ένας ϕυσικός αριθµός, τότε να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) γ(n) = n 2. (2) Είτε (α) n = p 3, όπου p: πρώτος, ή (β) n = pq, όπου p, q είναι διακεκριµµένοι πρώτοι. Ασκηση 241. Θεωρούµε την αριθµητική συνάρτηση τ : N C, όπου τ(n) είναι το πλήθος των ϕυσικών διαιρετών του n. Να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Ο αριθµός τ(n) είναι περιττός. (2) Ο αριθµός n είναι τέλειο τετράγωνο. Ασκηση 242. Ετσω n > 1 ένας ϕυσικός αριθµός. 1. Αν ο n είναι σύνθετος, τότε να δειχθεί ότι : σ(n) > n + n. 2. Αν ο n είναι άρτιος, τότε να δειχθεί ότι : τ(n) 2 n.