Η εξερεύνηση των μαθηματικών στον κόσμο ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η εξερεύνηση των μαθηματικών στον κόσμο ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 Η εξερεύνηση των μαθηματικών στον κόσμο ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ, ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Στην εργασία αυτή συμμετείχαν οι μαθήτριες της γ γυμνασίου: Βασιλάκη Μίρκα, Βρέντζου Ζαχαρένια, Κληρονόμου Ευγενία, Παναγιωτάκη Μαριλιάνα και Σμαραγδάκη Ηρώ. Την επιμέλεια είχε ο μαθηματικός Παυλάκος Περικλής.

2 Περιεχόμενα 1 ο ταξίδι: η χρυσή αναλογία.. σελ.3 2 ο ταξίδι: πλακοστρώσεις. σελ. 9 Παράρτημα Α... σελ. 29 Παράρτημα Β σελ. 37 2

3 1 ο ταξίδι: η χρυσή τομή Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο, δηλαδή (α + β) / α = φ που ισούται περίπου με 1,618. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, ο οποίος ήταν ο πρώτος που παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία, αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες. Δεν είναι τυχαία δηλαδή τα όμορφα σχέδια των λουλουδιών. Ο αριθμός φ ισούται με (1+ )/2 και είναι η θετική λύση της εξίσωσης : φ 2 +φ-1=0, που προκύπτει αν θέσουμε α=φ και α+β=1 στον αρχικό ορισμό. Πέρα όμως από τη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων, η Χρυσή Τομή παίζει σημαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών. Για παράδειγμα, αν παρουσιάσετε σε μια ομάδα ανθρώπων ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διάφορες αναλογίες 3

4 πλευρών, οι περισσότεροι επιλέγουν ως «αρμονικότερο» αυτό του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. H τάση αυτή ήταν ήδη γνωστή στους αρχιτέκτονες της αρχαίας Ελλάδας, όπως δείχνει το γεγονός ότι η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ, το αρχικό του ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα (Χαρακτηριστικό παράδειγμα Αρχιτεκτονικής όπου συναντάται ο λόγος χρυσής τομής στις αναλογίες των πλευρών του.). Επίσης συναντάμε την χρυσή τομή από την πυραμίδα του Χέοπα και της Γκίζας στην αρχαία Αίγυπτο μέχρι στις μεσαιωνικές εξωτερικές διαρρυθμίσεις την κτιρίων. Αν πάρουμε ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές, αν διαιρεθούν, μας δίνουν τον αριθμό φ (για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 13 x 8), αυτό το ορθογώνιο ονομάζεται "χρυσό ορθογώνιο". Αυτό έχει την εξής ενδιαφέρουσα ιδιότητα: Αν σχεδιάσουμε ένα νέο ορθογώνιο με μήκος το άθροισμα των διαστάσεων του ορθογωνίου που έχουμε, το καινούργιο ορθογώνιο είναι και αυτό χρυσό. Στη συγκεκριμένη περίπτωση (13 x 8), το νέο ορθογώνιο έχει διαστάσεις ( =)21 x 13. Επίσης: Αν ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο (1 x 1) και αρχίσουμε να περιστρέφουμε τις πλευρές για να φτιάξουμε ορθογώνια, όπως φαίνεται στην δίπλα εικόνα: καταλήγουμε σε χρυσά ορθογώνια. Ένα παράδειγμα, για να κατανοήσουμε καλύτερα τη φύση του αριθμού, είναι η ακολουθία Fibonacci, όπου από έναν δοσμένο αριθμό, κάθε καινούργιος αριθμός αποτελεί το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Ας πάρουμε μια βασική ακολουθία Fibonacci: Αν υπολογίσουμε το λόγο ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο διαδοχικούς αριθμούς της ακολουθίας: = = = = = 13 3 / 2 = / 3 = / 5 = / 8 =

5 = = = = = = = = = = = = = = = = κλπ. 21 / 13 = / 21 = / 34 = / 55 = / 89 = / 144 = / 233 = / 377 = / 610 = / 987 = / 1597 = / 2584 = / 4181 = / 6765 = / = / = κλπ. Συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός στον οποίο τείνει να καταλήξει αυτός ο λόγος είναι το φ. Πάρτε για παράδειγμα το λόγο 34/21. Το πηλίκο διαφέρει από το φ μόνο κατά 0,001 περίπου. Τελικά μια αρκετά καλή προσέγγιση του φ είναι η: Ο ΠΙΟ ΑΡΡΗΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΑΡΡΗΤΟΥΣ Οι αρχαίοι Έλληνες δεν χρησιμοποιούσαν άρρητους αριθμούς. Γι αυτό και το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί σταθμό στη μαθηματική σκέψη. Ονόμαζαν λοιπόν τους ρητούς αριθμούς σύμμετρα μεγέθη, ενώ τους άρρητους όταν πλέον τους αποδεχθήκαν τους ονόμασαν ασύμμετρα μεγέθη. Υπάρχει όμως ένα θεώρημα της θεωρίας αριθμών, αυτό του Hurwitz, που εξηγεί πόσο «καλά» μπορούν οι ρητοί να προσεγγίσουν έναν άρρητο. Και εκεί υπάρχει ένας περιορισμός: η συγκεκριμένη προσέγγιση δεν μπορεί να γίνει καλύτερη για τον αριθμό φ. Με άλλα λόγια, ο αριθμός φ προσεγγίζεται κατά το χειρότερο τρόπο από του ρητούς, είναι δηλαδή «ο πιο άρρητος από τους άρρητους»! 5

6 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία. Εμφανίζεται ακόμα και στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών τους Οι σπείρες στα ανθύλλια των λουλουδιών και στα σαλιγκάρια, είναι χρυσές σπείρες στις περισσότερες περιπτώσεις. Αυτό συμβαίνει γιατί τα πάντα αυξάνονται με έναν αριθμό ίσο με Φ. Στο σώμα εντόμων, ζώων αλλά και σε πολλά λουλούδια, μπορούμε να διακρίνουμε λόγους χρυσής τομής.. Παρατηρώντας λεπτομερέστερα σημεία του ανθρώπινου σώματος, διακρίνουμε και άλλες διαιρέσεις σε χρυσό λόγο. Για παράδειγμα ο καρπός διαιρεί το χέρι από τον αγκώνα και κάτω, σε λόγο χρυσής τομής, ενώ αν παρατηρήσουμε τις φάλαγγες του δείκτη μας, φαίνεται πως καθεμιά βρίσκεται σε χρυσή αναλογία με την επόμενή της. Επίσης η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις αναλογίες των δοντιών μας, του αυτιού μας αλλά και σε πολλές άλλες λεπτομέρειες του προσώπου μας όπως είναι τα χείλη, τα ματιά η ακόμα και η μύτη. 6

7 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΓΛΥΠΤΙΚΗ Την αναγέννηση οι καλλιτέχνες άρχισαν να επιστρέφουν στα κλασικά θέματα της αρχαιότητας για τις εμπνεύσεις τους και τις τεχνικές τους.o Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να αναφέρουμε τους Michelangelo ( ) και Raphael ( ) οι οποίοι επανέφεραν στις συνθέσεις τους την χρυσή τομή. Ο ομφαλός διαιρεί το σώμα του Δαβίδ του Michelangelo σε λόγο χρυσής τομής. Η πιο πρόσφατη αναζήτηση για μια «γραμματική» στην τέχνη οδήγησε μοιραία τους σύγχρονους καλλιτέχνες στην χρήση της χρυσής τομής. Η «παρέλαση» του Γάλλου νέο-ιμπρεσιονιστή καλλιτέχνη Seurat ( ), που χαρακτηρίζεται από το γνωστό του στυλ με τις άπειρες κουκκίδες, περιέχει πλήθος παραδειγμάτων χρυσών αναλογιών. Σύμφωνα με ένα εμπειρογνώμονα τέχνης, ο Seurat «επιτέθηκε σε κάθε καμβά του με τη χρυσή αναλογία». Τα χρυσά ορθογώνια είναι πολύ εμφανή στους Λουόμενούς του. Ο Μυστικός Δείπνος του Salvador Dali ( ) πλαισιώνεται από ένα χρυσό ορθογώνιο. Χρυσοί λόγοι χρησιμοποιηθήκαν για να καθορίσουν τη θέση κάθε φιγούρας, ενώ ο θόλος του δωματίου σχηματίζεται από τις έδρες κανονικού δωδεκάεδρου που όπως είδαμε είναι ένα από τα στερεά που συνδέεται άμεσα με τη χρυσή τομή. Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη Χρυσή Τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών 7

8 αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων. 8

9 2 ο ταξίδι: πλακοστρώσεις Πολύς κόσμος διασκεδάζει τον ελεύθερό του χρόνο με την κατασκευή ενός puzzle. Τα διάφορα κομματάκια θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν όλα και να ενωθούν αρμονικά για να συνθέσουν ένα όμορφο σχέδιο. Πολύ απλοϊκά θα λέγαμε ότι οι πλακοστρώσεις είναι ένα παρόμοιο παιχνίδι: μας δίνουν διάφορα επίπεδα σχήματα που θα πρέπει να τα ενώσουμε ώστε να καλύψουμε μια επιφάνεια. Τρείς είναι οι περιορισμοί: 1. Τα κομματάκια να μην αλληλεπικαλύπτονται τμηματικά 2. Να μην αφήνουμε κενά 3. Να μην μεταβάλουμε το μέγεθός τους Οτιδήποτε άλλο επιτρέπεται: μπορούμε να περιστρέψουμε τα κομματάκια, να τα μεταφέρουμε σε άλλες θέσεις που ίσως προτιμάμε και να χρησιμοποιήσουμε όσα αντίγραφά τους θέλουμε. Τα επίπεδα σχήματα που θα μας δώσουν, μπορεί να είναι γεωμετρικά πολύγωνα, κυρτά ή μη κυρτά, μπορεί και όχι. Πολλοί καλλιτέχνες έχουν επιτύχει υψηλά αισθητικά αποτελέσματα στα έργα τους, κάνοντας πλακοστρώσεις με διάφορες φιγούρες. Ίσως ο σημαντικότερος εκπρόσωπος αυτών των εφαρμογών είναι ο M. Escher, ο οποίος στις πλακοστρώσεις του, έχει χρησιμοποιήσει ψάρια, άλογα, μονόκερους, ερπετά και άλλες πρωτότυπες φιγούρες. 9

10 Σ αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με πλακοστρώσεις με πολύγωνα. Νομίζουμε ότι παρουσιάζουν ενδιαφέρον αφού αρκετά συχνά τις συναντάμε στη φύση. Για παράδειγμα, φυσικές πλακοστρώσεις αποτελούν οι κηρύθρες των μελισσών, οι τοποθέτηση των σπορίων στο άνθος του καλαμποκιού, η φολιδώσεις στα δέρματα των ζώων και πολλά άλλα. Από τις πολλές εφαρμογές των πλακοστρώσεων στη φύση, θα σταθούμε ιδιαίτερα στους κρυστάλλους και ημικρυστάλλους και θα εξηγήσουμε τι σχέση έχει η δομή των δεύτερων με τις πλακοστρώσεις Penrose. Εκεί θα αναφέρουμε και μία από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις της σύγχρονης τεχνολογίας για τους ημικρυστάλλους που κυριολεκτικά έφερε επανάσταση στην αντίληψη που είχαμε για τους κρυστάλλους. Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία πως τα πολύγωνα είναι κλειστές τεθλασμένες γραμμές που ορίζουν μια κυρτή πολυγωνική επιφάνεια (δηλαδή είναι μονοδιάστατα γεωμετρικά αντικείμενα). Εμείς εδώ για απλότητα, όταν θα λέμε πολύγωνο, θα εννοούμε κυρτές πολυγωνικές επιφάνειες που είναι δισδιάστατα γεωμετρικά αντικείμενα. Όπως είπαμε και στην εισαγωγή, οι πλακοστρώσεις είναι ένα γεωμετρικό παιχνίδι με τους παραπάνω τρεις περιορισμούς. Στις πλακοστρώσεις με πολύγωνα προστίθεται και ένας τέταρτος: Τα κομματάκια που χρησιμοποιούμε είναι κυρτά πολύγωνα. Το πρόβλημα λοιπόν είναι να «γεμίσουμε» το επίπεδο χωρίς κενά και επικαλύψεις, με τα πλακάκια κομματάκια που μας δίνονται. Θα δούμε ότι αυτό δεν είναι πάντα εφικτό. Για να μελετήσουμε καλύτερα τις πλακοστρώσεις με πολύγωνα, τις διακρίνουμε καταρχήν στις ακόλουθες δύο κατηγορίες: Απλές είναι οι πλακοστρώσεις, όπου χρησιμοποιούμε μόνο ένα πολύγωνο (και αντίγραφά του). Μια τέτοια πλακόστρωση φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα. Πομπηία: Πλακόστρωση με ισόπλευρα τρίγωνα. Τα πράγματα με τις απλές πλακοστρώσεις είναι ιδιαίτερα περιοριστικά. Γι αυτό και υπάρχουν μόνο τρία είδη: 1. Πλακοστρώσεις με τρίγωνα 2. Πλακοστρώσεις με παραλληλόγραμμα 3. Πλακοστρώσεις με εξάγωνα. Για να καταλάβουμε το γιατί υπάρχουν μόνο αυτά τα είδη, ας υποθέσουμε ότι το πολύγωνο που έχουμε στη διάθεσή μας είναι κανονικό (δηλαδή έχει όλες τις πλευρές του και όλες τις γωνίες του ίσες). Αυτό δεν είναι τόσο περιοριστικό, αν σκεφτούμε ότι 10

11 κάθε άλλη απλή πλακόστρωση είναι απλώς μία «παραμόρφωση» πλακοστρώσεων με κανονικά πολύγωνα. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι τα κομμάτια ενώνονται πλευρά με πλευρά και επομένως υπάρχουν κάποια σημεία «κόμβοι» που ενώνονται οι κορυφές. (Τέτοιες πλακοστρώσεις λέγονται κανονικές). Πλακόστρωση με ισόπλευρα τρίγωνα Πλακόστρωση με τετράγωνα Πλακόστρωση με κανονικά εξάγωνα Σε ένα τέτοιο σημείο κόμβο θα πρέπει οι γωνίες που ενώνονται να αθροίζονται ακριβώς σε 360 ο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με 6 ισόπλευρα τρίγωνα, αφού η γωνία του καθενός είναι 60 ο και 6 60 = 360 ή 360:60 = 6. Όμοια, αφού η γωνία κάθε τετραγώνου είναι 90 ο και 360: 90 = 4, μπορούν να ενώσουν τις κορυφές τους 4 τετράγωνα σε ένα κόμβο. Για τα κανονικά πεντάγωνα όμως που η γωνία τους είναι 108 ο και δεν είναι τέλεια η διαίρεση 360:108, δεν μπορούμε να έχουμε απλή πλακόστρωση. Πάρετε και εσείς πεντάγωνα και πειραματιστείτε: Τρία πεντάγωνα ενωμένα στις κορυφές αφήνουν πολύ χώρο ακάλυπτο, ενώ με τέσσερα πεντάγωνα έχουμε επικαλύψεις. Με τα εξάγωνα δεν έχουμε πρόβλημα, αλλά με τα υπόλοιπα κανονικά πολύγωνα έχουμε το ίδιο πρόβλημα με τα πεντάγωνα. Το βιβλίο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας του Λυκείου περιέχει ότι χρειάζεστε. Δείτε παράγραφο 11.1, σελίδα 233 και την άσκηση: σύνθετα 1 σελ Ενδιαφέρον παρουσιάζει η άσκηση εμπέδωσης 7 (πεντάγωνο και χρυσή τομή) και η άσκηση αποδεικτική 1 (κανονικά πολύγωνα και αριθμοί).. Ας ολοκληρώσουμε αυτή την παράγραφο εξηγώντας γιατί οι μέλισσες κατασκευάζουν εξαγωνικά κελιά στις κηρύθρες τους: Είδαμε ότι μόνο τρία σχήματα θα μπορούσαν να επιλέξουν οι μέλισσες για να κατασκευάσουν τα κελιά τους ώστε να πλακοστρώσουν μία επιφάνεια. Ποιο όμως από τα τρία έχει τα περισσότερα πλεονεκτήματα; Με λίγη γεωμετρία Γυμνασίου βλέπουμε ότι το καλύτερο είναι το κανονικό εξάγωνο γιατί από τα τρία σχήματα είναι αυτό που έχει την μεγαλύτερη επιφάνεια σε σχέση με την περίμετρό του. Αν δηλαδή πάρουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο, και ένα κανονικό εξάγωνο το καθένα με περίμετρο 1cm, τότε το κανονικό εξάγωνο είναι αυτό 11

12 που έχει την μεγαλύτερη επιφάνεια. Κατασκευάζοντας λοιπόν οι μέλισσες εξαγωνικά κελιά, με σχετικά μικρή ποσότητα κεριού εξασφαλίζουν μεγάλο χώρο για το μέλι τους. Είναι λοιπόν πολύ σοφές οι κυρίες μέλισσες! Μικτές λέγονται οι πλακοστρώσεις που παράγονται από περισσότερα από ένα είδος κυρτών πολυγώνων. Σίγουρα παρουσιάζουν μεγαλύτερη ποικιλία μορφών από τις απλές και έχουν προτιμηθεί ανά τους αιώνες στις διακοσμήσεις κτηρίων. Δύο Παραδείγματα μικτών πλακοστρώσεων Παραδείγματα φαίνονται στις ακόλουθες εικόνες και σχεδιαγράμματα. Ισλαμικό σχέδιο με μικτές εξαγωνικές τριγωνικές πλακοστρώσεις. Θα προχωρήσουμε και σε έναν δεύτερο διαχωρισμό των πλακοστρώσεων, σε περιοδικές και μη περιοδικές. Περιοδικές λέγονται οι πλακοστρώσεις που επαναλαμβάνονται. Μπορούν δηλαδή να μετακινηθούν κατάλληλα και να ταυτιστούν με την αρχική τους θέση. Όλες οι πλακοστρώσεις που εκθέσαμε παραπάνω, είναι περιοδικές. Έτσι μία πλακόστρωση τετραγώνων ενωμένα πλευρά με πλευρά είναι περιοδική, αφού αν την μετακινήσουμε 12

13 κατά μία πλευρά δεξιά ή αριστερά η εικόνα της δεν θα αλλάξει. Τα σημεία της που ήταν κόμβοι, θα παραμείνουν κόμβοι και στη νέα πλακόστρωση. Μη περιοδικές λέγονται οι πλακοστρώσεις που δεν είναι περιοδικές. Όσο δηλαδή και να τις μετατοπίζουμε δεν μπορούν να επανέλθουν στην αρχική τους θέση. Υπάρχουν όμως μη περιοδικές πλακοστρώσεις; Τα παραδείγματα μας δεν ήταν τέτοια. Είναι ανάγκη λοιπόν να δώσουμε ένα παράδειγμα μη περιοδικής πλακόστρωσης και θα δώσουμε φυσικά το πιο απλό: Ας πάρουμε την πλακόστρωση τετραγώνων που ενώνονται πλευρά με πλευρά και ας επιχειρήσουμε να της «χαλάσουμε» την περιοδικότητά της, μετακινώντας λίγο κάθε οριζόντια σειρά τετραγώνων. Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι η πλευρά των τετραγώνων έχει μήκος 1, τότε μετακινούμε μία σειρά κατά 1/2 δεξιά, την επόμενη σειρά κατά 1/3, την μεθεπόμενη κατά 1/4, κ.ο.κ. Έτσι θα έχουμε πάρει μία διάταξη περίπου τέτοια: Αυτό το είδος της πλακόστρωσης δεν επαναλαμβάνεται. Η αιτία είναι ένα θεώρημα της θεωρίας αριθμών που λέει ότι το άθροισμα 1/2+ 1/3 + 1/ν δεν είναι ποτέ ακέραιος αριθμός. Αλλά και αν θέλουμε ένα παράδειγμα πλακοστρώσεως μη περιοδικής πλευράς με πλευρά, ας παρατηρήσουμε το σχέδιο δεξιά: Πάλι ξεκινήσαμε με την ίδια πλακόστρωση των τετραγώνων αλλά τώρα φέραμε τυχαία σε κάθε τετράγωνο την μία από τις δύο διαγώνιούς του. Είναι μεγάλες οι πιθανότητες να προκύψει έτσι μία μη περιοδική πλακόστρωση τριγώνων. Θα δούμε στη συνέχεια τις πλακοστρώσεις Penrose που είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες για τις εφαρμογές τους στους ημικρυστάλλους. Αποτελούν επίσης χαρακτηριστικό παράδειγμα μη περιοδικών πλακοστρώσεων. 13

14 Τα παραπάνω σχέδια είναι πολύ εντυπωσιακά. Είναι και τα δύο πλακοστρώσεις Penrose. Θα εξηγήσουμε πώς δημιουργήθηκαν και ποια είναι η σχέση τους με τον λόγο χρυσής τομής. Ας δούμε πρώτα πώς παράγονται τα πλακάκια μας. Αν πάρουμε το οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο και το διαιρέσουμε σε δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα, (σχέδιο αριστερά), τότε ενώνοντας τα μικρότερα με δύο όμοιά τους μπορούμε να πάρουμε έναν «στενό» ρόμβο και έναν «πλατύ» που και οι δύο έχουν ίσες πλευρές. Κατά τον ίδιο τρόπο, αν πάρουμε το χρυσό αμβλυγώνιο τρίγωνο και το διαιρέσουμε σε δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα (σχέδιο δεξιά), μπορούμε πάλι να ενώσουμε τα μικρότερα αυτά τρίγωνα με όμοιά τους και να πάρουμε δύο σχήματα που ονομάζουμε σαΐτα και αετό. Και εδώ, η σαΐτα και ο αετός έχουν πλευρές που ταιριάζουν μεταξύ τους και μπορούν έτσι να συνενώνονται. Αν παρατηρήσουμε τώρα τις εικόνες με τις πλακοστρώσεις Penrose, θα δούμε ότι η πρώτη είναι μία πλακόστρωση με σαΐτες και αετούς, ενώ η δεύτερη είναι μία 14

15 πλακόστρωση με στενούς και πλατιούς ρόμβους. Το ερώτημα φυσικά είναι αν αυτά τα σχέδια είναι όντως πλακοστρώσεις. Δηλαδή αν πάντοτε μπορούμε να προσθέτουμε σαΐτες και αετούς (ή στενούς και πλατιούς ρόμβους) στο σχέδιό μας χωρίς να δημιουργούνται κενά ή επικαλύψεις. Υπάρχει ένα απλό γεωμετρικό επιχείρημα που μπορεί να μας πείσει ότι υπάρχουν τέτοιες πλακοστρώσεις. Η ιδέα είναι να περνάμε διαδοχικά από ένα σχέδιο με ρόμβους σε ένα σχέδιο με σαΐτες και αετούς και αντίστροφα. Πολύ αναλυτικά διδάσκεται στην ιστοσελίδα και περιγράφεται στα επόμενα σχεδιαγράμματα. Με αυτή την διαδικασία μπορούμε αν ξεκινήσουμε από μία απλή σύνθεση από αετούς για παράδειγμα (α) και στη συνέχεια να δημιουργήσουμε συνθέσεις με μικρότερους αετούς και σαΐτες που γίνονται όλο και πιο περίπλοκες και πυκνές, όπως δείχνουν τα επόμενα σχεδιαγράμματα. Τώρα πρέπει λίγο να φανταστούμε ότι κάθε μια από αυτές τις συνθέσεις μεγεθύνεται έως ότου οι σαΐτες και οι αετοί να επιστρέψουν στο αρχικό τους μέγεθος. Τότε θα δούμε πραγματικά το επίπεδο να πλακοστρώνεται από τα πλακάκια Penrose. Η διαδικασία που περιγράψαμε είναι μια γνωστή μέθοδος πλακόστρωσης του επιπέδου που λέγεται μέθοδος της σύμπτυξης επέκτασης. 15

16 α β γ δ ε στ ζ Όταν το 1970 ο sir Robert Penrose, καθηγητής στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης στην Αγγλία, ανακάλυψε τα πλακάκια του, ήταν η πρώτη πλακόστρωση που μόνο με δύο πλακάκια επέτρεπε μόνο μη περιοδικές πλακοστρώσεις. Νωρίτερα, το 1964 είχε βρεθεί το πρώτο σύνολο από πλακάκια που επέτρεπαν μόνο μη περιοδικές πλακοστρώσεις και περιείχε διαφορετικά σχήματα! Καταλαβαίνουμε λοιπόν γιατί είναι τόσο σημαντική η ανακάλυψη του Penrose. Παρόλο που οι πλακοστρώσεις Penrose δεν είναι περιοδικές, παρουσιάζουν ένα είδος συμμετρίας που ονομάζεται πενταπλή και δεκαπλή συμμετρία. Αν πάρουμε δηλαδή ένα από τα σχηματιζόμενα δεκάγωνα (κυρτά ή μη) και στρέψουμε την πλακόστρωση γύρω από το κέντρο του κατά 75 ο (1/5 στροφής) το σχέδιο επανέρχεται στη θέση του. Οι πλακοστρώσεις Penrose συνδέονται άμεσα με την χρυσή τομή. Θα λέγαμε ότι αποτελούνται από χρυσούς ρόμβους, ή από χρυσές σαΐτες και αετούς. Υπάρχει όμως και κάποια άλλη εντυπωσιακή συγγένεια αυτών των δύο: Αν σε μία πλακόστρωση από ρόμβους μετρήσουμε πόσοι είναι οι πλατιοί και πόσοι οι στενοί, θα βρούμε ότι οι πλατιοί είναι 1,618 φορές περισσότεροι! Με άλλα λόγια, ο λόγος του πλήθους των πλατιών ρόμβων προς το πλήθος τον στενών είναι ίσος με τον λόγο χρυσής τομής. Φυσικά επειδή μετρούμε τους ρόμβους σε ένα «κομμάτι» του επιπέδου, ο λόγος αυτός δεν είναι ακριβώς ίσος με τον λόγο χρυσής τομής, πάντως όσο μεγαλώνουμε αυτό το κομμάτι, τόσο και πιο πολύ θα πλησιάζουμε τον λόγο χρυσής τομής. 16

17 Θα δούμε στη συνέχεια μία πολύ ενδιαφέρουσα εφαρμογή των πλακοστρώσεων Penrose που είναι ένα επίτευγμα της σύγχρονης έρευνας της τεχνολογίας. Πρόκειται για την κατασκευή ημικρυστάλλων. Οι πλακοστρώσεις είναι διατάξεις επίπεδων σχημάτων στο επίπεδο γι αυτό και δεν έχουμε πολλές ελπίδες να συναντήσουμε πολλά φυσικά παραδείγματα στον τρισδιάστατό χώρο μας. Αναφέραμε στην αρχή του κεφαλαίου μερικά, όπως οι διατάξεις των καρπών του καλαμποκιού στο άνθος του αραβοσίτου, οι σκελίδες του ανανά, οι φολίδες στα δέρματα των ζώων, μία τομή μιας κηρύθρας. Όλες αυτές οι επιφάνειες δεν είναι βέβαια επίπεδες, αλλά θα λέγαμε ότι είναι παραμορφώσεις του επιπέδου και γι αυτό και συγγενεύουν αρκετά με αυτό. Μερικά παραδείγματα που συγκεντρώσαμε, φαίνονται στις ακόλουθες εικόνες: αλιγάτορας αχινός(επάνω κάτω) κόκκινο κοράλλι Μέχρι τώρα συζητήσαμε για το πώς είναι δυνατόν να γεμίσουμε το επίπεδο με πλακάκια που επιλέγουμε. Κάτι ανάλογο μπορούμε να κάνουμε και στον τρισδιάστατο χώρο. Τώρα όμως οι δομικές μονάδες είναι επίσης τρισδιάστατες και επομένως δεν είναι πλακάκια. Θα μπορούσαμε να τα πούμε «πέτρες» ή «τούβλα», αλλά οι όροι αυτοί δεν έχουν επικρατήσει. Πάντως οι κανόνες του «παιχνιδιού» είναι πάλι οι ίδιοι: Να καλυφθεί όλος ο χώρος χωρίς να μείνουν κενά ή να παρουσιαστούν επικαλύψεις. Είναι γνωστό από την φυσική ότι πολλά μόρια διαφόρων ενώσεων διατάσσονται στο χώρο με ιδιαίτερα τακτικό τρόπο. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε όλοι ότι τα μόρια του χλωριούχου νατρίου (το κοινό αλάτι) είναι τοποθετημένα σε κυβικές διατάξεις δηλαδή είναι στις κορυφές ίσων μεταξύ τους κύβων, που στοιβάζονται με τρόπο όμοιο με αυτόν που στοιβάζουν οι έμποροι όμοια κιβώτια στις αποθήκες τους. Μία τέτοια συγκέντρωση μορίων τόσο τακτικά διατεταγμένη δημιουργεί αυτό που στην φυσική ονομάζουμε κρύσταλλο. 17

18 Οι κρύσταλλοι παρουσιάζουν αρκετές συμμετρίες. Σύμφωνα με τον νόμο του Barlow, ή αλλιώς κρυσταλλογραφικό περιορισμό, ένας κρύσταλλος μπορεί να περιστραφεί γύρω από έναν άξονα κατά 180 ο ή 120 ο ή 90 ο ή 60 ο και να επιστρέψει στην αρχική του θέση, όμως μία στροφή κατά 72 ο αποκλείεται να τον αφήσει στην θέση του. Με άλλα λόγια ο νόμος του Barlow δεν επιτρέπει στους κρυστάλλους πενταπλές και δεκαπλές συμμετρίες. Το 1982 μία ομάδα επιστημόνων στο Γραφείο Μέτρων και Σταθμών των ΗΠΑ διεξήγαγε πειράματα με σκοπό την κατασκευή ισχυρών κραμάτων αλουμινίου. Συνήθως το μαγγάνιο δεν σχηματίζει κράμα με το αλουμίνιο, αλλά οι επιστήμονες αυτοί κατόρθωσαν να δημιουργήσουν μικρούς κρυστάλλους τέτοιου κράματος, ψύχοντας μίγμα των μετάλλων με ρυθμό εκατομμυρίων βαθμών ανά δευτερόλεπτο. Όταν λοιπόν ο χημικός Daniel Shechtman, που κλήθηκε να μελετήσει την δομή των νέων κρυστάλλων, ισχυρίστηκε ότι αυτοί παρουσιάζουν πενταπλή συμμετρία, κανείς δεν τον πίστεψε. Άλλοι επιστήμονες παρατήρησαν την σχέση που υπήρχε μεταξύ των κρυσταλλικών αυτών διατάξεων και των πλακοστρώσεων Penrose και των τρισδιάστατων αναλόγων τους. Έτσι σιγά σιγά η επιστημονική κοινότητα, αναθεώρησε τις απόψεις της περί κρυστάλλων και οι κρύσταλλοι του Shechtman έγιναν αποδεκτοί στην οικογένεια των κρυστάλλων με το όνομα ημικρύσταλλοι, όπως και άλλες παρόμοιες διατάξεις με πενταπλή συμμετρία. Είναι εντυπωσιακό το πώς μία καθαρά μαθηματική ιδέα όπως οι πλακοστρώσεις Penrose βρήκαν τόσο γρήγορα εφαρμογή στην τεχνολογία και μάλιστα άνοιξαν δρόμους για νέες δυνατότητες. κρύσταλλος σε κυβική διάταξη ένας κρύσταλλος κράματος Ho-Mg-Zn. η μορφή του κρυστάλλου του Shechtman 18

19 πλακόστρωση Penrose αντίστοιχη κρυσταλλική διάταξη. 19

20 Παράρτημα Α: πλακοστρώσεις, θεωρία ομάδων και το παλάτι της Alambra Πλακόστρωση: κάλυψη όλων των επιφανειών με σχήματα που δεν επικαλύπτονται. Από τότε που οι διάφοροι πολιτισμοί άρχισαν να ανεγείρουν σπίτια ή να κατασκευάζουν δρόμους, το ζητούμενο ήταν, να βρεθούν τρόποι συναρμολόγησης τούβλων, λίθων ή πλακών ώστε να καλυφθούν πλήρως δυσδιάστατες επιφάνειες και τρισδιάστατοι χώροι. Η φυσική μας δίψα για μοτίβα και αναγνωρίσιμες εικόνες οδήγησε σύντομα τους τεχνίτες να δημιουργήσουν κάτι όμορφο στον χώρο που διαμόρφωναν. Οι μουσουλμάνοι, δεν είχαν δικαίωμα να απεικονίζουν έμψυχα πράγματα, αυτό που χαρακτηρίζει τη διακόσμησή τους είναι η απουσία οποιασδήποτε ανθρώπινης ή ζωικής μορφής. Γι' αυτό το λόγο, ήταν υποχρεωμένοι να βρουν πιο γεωμετρικούς τρόπους για να δώσουν διέξοδο στις καλλιτεχνικές τους ανησυχίες. Γι' αυτούς, η γεωμετρία και η συμμετρία αποτελούσαν γνωρίσματα ενός τέλειου Θεού. Ταυτιζόταν ισχυρά με την άποψη του Πλάτωνα ότι "ο Θεός αεί γεωμετρεί". Οι σουλτάνοι αντάμειβαν πλουσιοπάροχα όποιον τεχνίτη ανακάλυπτε ένα νέο μοτίβο για τη διακόσμηση των τοίχων και την ευχαρίστηση των ενοίκων του παλατιού. Στο βιβλίο του «Θεωρία Ομάδων», ο καθηγητής Marcus Du Sautoy αναφέρεται σε πολλά θέματα. Αυτό που μας αφορά στη συνθετική μας εργασία είναι οι πλακοστρώσεις και οι συμμετρίες που βρίσκονται στο παλάτι της Αλάμπρα, στην Ισπανία. Στο παλάτι αυτό υπάρχουν και τα 17 είδη πλακοστρώσεων που είναι δυνατό να φτιάξουμε και, όπως τονίζει και ο καθηγητής πολλές φορές, "χάρη στη μοναδική ισχύ των μαθηματικών, μπορούμε να δηλώσουμε με κατηγορηματικό τρόπο ότι δεν θα βρεθεί ποτέ 18ο μοτίβο, όσο δημιουργικοί κι αν φανούμε στην προσπάθειά μας να δείξουμε το αντίθετο". 20

21 Μπαίνοντας στο παλάτι της Αλάμπρα, το πρώτο πράγμα που χτυπάει στο μάτι είναι η κατοπτρική δύναμη του νερού. Η αρχιτεκτονική του παλατιού επιδεικνύει ήδη μια κάθετη συμμετρία: η αριστερή πλευρά της πρόσοψης ανακλάται τέλεια στη δεξιά πλευρά. Αν σταθεί κανείς στη μία άκρη της μικρής λίμνης στην Αυλή των Μυρτών, θα δει ακόμα ένα τέλειο αντίγραφο του κτιρίου να ανακλάται οριζόντια στην επιφάνεια του νερού. Ο διάκοσμος του παλατιού είναι γεμάτος με εικόνες πλήρους συμμετρίας στροφών. Οι Μαυριτανοί, όπως τα άνθη και οι αστερίες πριν από αυτούς, ανακάλυψαν τη δύναμη της συμμετρίας που κρύβεται στο αστέρι με τις πολλές κορυφές, και κάλυψαν τις οροφές, τους τοίχους, τα δάπεδα και τους κήπους της Αλάμπρα με αστέρια ακόμη πιο δαιδαλώδους τεχνοτροπίας. Για το σκάλισμα των αστεριών αυτών, κατέφυγαν σε ένα τέχνασμα που χρησιμοποιούν επίσης και τα άνθη. Το άνθος της μανόλιας με τα πέντε πέταλα δε διαθέτει κατοπτρική συμμετρία. Αντίθετα, τα πέταλα είναι διατεταγμένα με τέτοιο τρόπο ώστε αλληλοκαλύπτονται, καταστρέφοντας την ανακλαστική συμμετρία. Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι σπειροειδές, είτε κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού είτε κατά την αντίθετη φορά. Για να δημιουργήσει τα αστέρια αυτά, ο τεχνίτης συχνά διαπλέκει μερικά τετράγωνα για την απόδοση των 8, 12 ή 16 κορυφών του αστεριού. Παρά τη σύνθετη διακόσμηση και τα έντονα χρώματα, οι συμμετρίες του όμορφου αστεριού με τις οκτώ κορυφές είναι ίδιες με τις οκτώ συμμετρίες στροφής ενός απλού οκταγώνου. Οι τοίχοι του παλατιού είναι επιστρωμένοι με πλακίδια διαφορετικών χρωμάτων διατεταγμένα με τρόπο ώστε να σχηματίζουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Αυτό που καθιστά τις εικόνες στην είσοδο της Αλάμπρα κανονική πλακόστρωση είναι ότι το κάθε κομμάτι μπορεί να μετατοπιστεί(κάτω, πάνω, δεξιά ή αριστερά) και να ταιριάξει απόλυτα στη θέση πάνω από κάποιο αντίγραφο του εαυτού του. 21

22 Υπάρχει όμως μεγαλύτερη κανονικότητα εδώ απ' όση κρύβει η μεμονωμένη κίνηση κάθε κομματιού. Μπορούμε να πάρουμε ένα αντίγραφο ολόκληρης της εικόνας, να το μετακινήσουμε κατά τον οριζόντιο ή τον κάθετο άξονα, και να το αποθέσουμε με τρόπο ώστε να ταιριάζει ακριβώς στην αρχική εικόνα. Η συμμετρία στον τοίχο αυτό όμως κρύβει πολύ περισσότερα από την απλή επανάληψη. Ο λόγος είναι ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε και με άλλους τρόπους την εικόνα, διατηρώντας πάντα το είδωλό της. Αντί να τη μετακινήσουμε απλώς δεξιά ή αριστερά, πάνω ή κάτω, μπορούμε πρώτα να τη στρέψουμε πριν να την επαναφέρουμε στη θέση της. Για παράδειγμα, αν κρατήσουμε σταθερό το κέντρο ενός αστεριού με τις οκτώ κορυφές και στρέψουμε ένα αντίγραφο ολόκληρης της εικόνας κατά 90 μοίρες γύρω από το σημείο αυτό, τα επιμέρους σχήματά της θα ταιριάξουν τέλεια με την αρχική εικόνα. Το σχέδιο που κοσμεί την είσοδο του παλατιού χαρακτηρίζεται από τον τύπο συμμετρίας που είναι εξοικειωμένοι οι περισσότεροι άνθρωποι, την ανακλαστική δηλαδή συμμετρία. Το αστέρι με τις οκτώ κορυφές διαθέτει κατοπτρική συμμετρία. το μυστικό για να φανερώσουμε στον τοίχο αυτό τη συμμετρία είναι να σκεφτούμε όλους τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να αφαιρέσουμε την εικόνα και να την ξαναβάλουμε πίσω στο περίγραμμα του τοίχου. 22

23 Στην οροφή οι τεχνίτες συχνά σκάλιζαν το ξύλο ή τοποθετούσαν τα πλακίδια με τρόπο ώστε να σχηματίσουν γραμμές οι οποίες μοιάζουν σα να τρέχουν η μία κάτω από την άλλη σαν φιόγκος. Ξεγελούν έξυπνα το μάτι, κάνοντάς μας να πιστέψουμε στην ύπαρξη μια επιπλέον διάστασης κοιτώντας τον δυσδιάστατο τοίχο. Όπως και στην είσοδο του παλατιού, κρατώντας σταθερό το κέντρο του οκταγώνου, μπορούμε να το στρέψουμε κατά 90 μοίρες, και το μοτίβο στην οροφή θα έχει ακριβώς την ίδια όψη με πριν. Τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί κατάφεραν επιτέλους να εφεύρουν μια γλώσσα για να εκφράσουν το γεγονός ότι τα δύο μοτίβα, το ένα στην είσοδο και το άλλο στην οροφή της Αλάμπρα, ανήκουν στην ίδια ομάδα συμμετριών, με την έννοια ότι οι στροφές έχουν το ίδιο αποτέλεσμα στα αντικείμενα που στρέφονται. Το πιο εντυπωσιακό αποτέλεσμα από τη νέα αυτή γλώσσα ήταν ότι απέδωσε επιτέλους τη δυνατότητα στους μαθηματικούς να αποδεικνύουν ότι δε γίνεται να υπάρχουν περισσότεροι από 17 διαφορετικοί τύποι συμμετρίας πλακόστρωσης. Στην καρδιά της Αλάμπρα υπάρχει το εξαγωνικό πλέγμα κυψέλης καθώς και ένας τοίχος γεμάτος τρίγωνα. Πάνω σε έναν κίονα υπάρχει ένα μοτίβο από φυλλοειδή πλακίδια, το οποίο αρχίζει να προωθεί τις ιδέες μας περί συμμετρίας πέρα από τις καθιερωμένες ανακλάσεις και στροφές. Στο μοτίβο αυτό υπάρχει η θαυματουργή ή ολισθαίνουσα συμμετρία, κατά την οποία πρώτα αναστρέφουμε κι έπειτα μετατοπίζουμε. Το δάπεδο στην Αυλή των Λεόντων, είναι στρωμένο με τη συμμετρία που ονομάζεται διπλό θαύμα. Είναι ένα ζιγκ-ζαγκ από ορθογώνια παραλληλόγραμμα που αλλάζουν χρώματα από το άσπρο στο πράσινο. Χωρίς τα χρώματα έχουμε μια στροφή, η οποία ταιριάζει επακριβώς την πάνω σειρά με τα ζιγκζαγκ πλακίδια στην κάτω σειρά. Ο παράγοντας χρώμα όμως δημιουργεί ένα διπλό θαύμα. Στον τοίχο που βρίσκεται στο τέρμα της Αυλής των Λεόντων υπάρχουν έξι τρίγωνα που σχηματίζουν εξάγωνο, με τα χρώματά τους να εναλλάσσονται γύρω από το εξάγωνο από το κίτρινο στο κόκκινο. Με τη χρήση των χρωμάτων, ο τεχνίτης μετέτρεψε τη στροφή κατά το ένα έκτο σε στροφή κατά το ένα τρίτο μιας πλήρους περιστροφής, καθώς, προκειμένου να μετακινήσουμε το μοτίβο γύρω από τον ίδιο σχηματισμό, πρέπει να τοποθετήσουμε ένα κίτρινο τρίγωνο πάνω σε κίτρινο τρίγωνο. Στην Αυλή των Λεόντων υπάρχει ακόμα ένα μοτίβο. Σε αυτό δεν υπάρχουν ευθείες ανάκλασης. Μπορούμε όμως να διακρίνουμε σημεία γύρω από τα οποία μπορούμε να εκτελέσουμε περιστροφική κίνηση κατά το ένα έκτο, το ένα τρίτο και το ένα δεύτερο μιας πλήρους περιστροφής. Στο Χαρέμι υπάρχει ολόκληρος θησαυρός από διαφορετικές συμμετρίες, που γεμίζουν με μοτίβα κάθε διαθέσιμο χώρο. Σε έναν τοίχο υπάρχει μία συμμετρία κατασκευασμένη από τρίγωνα, τα οποία όμως διαθέτουν μια ανεπαίσθητη αίσθηση 23

24 περιστροφής που ακυρώνει την ανακλαστική συμμετρία. Οι καμπύλες τους δημιουργούν ένα αισθησιακό φόντο στο μέρος όπου χτυπούσε η συναισθηματική καρδιά του παλατιού. Αν αγνοήσουμε τα χρώματα, μπορούμε να στρέψουμε την εικόνα κατά το ένα τρίτο μιας πλήρους περιστροφής γύρω από το κέντρο κάθε πλακιδίου. Μπορούμε επίσης να το στρέψουμε κατά το ένα έκτο μιας πλήρους περιστροφής γύρω από το σημείο όπου συναντιούνται τα άκρα των πλακιδίων. Και τελικά, μέσα στην εικόνα βλέπουμε μια πιο ανεπαίσθητη στροφή. Αν κρατήσουμε σταθερό ένα σημείο στα μισά μιας ακμής, μπορούμε βασικά να πραγματοποιήσουμε μισή περιστροφή η οποία μετακινεί τα πλακίδια επαναφέροντάς τα τέλεια εντός του περιγράμματός τους. Αν το παρατηρήσουμε προσεκτικά είναι η ίδια συμμετρία που υπάρχει στην Αυλή των Λεόντων. Κληρονόμου Ευγενία 24

25 Παράρτημα Β: Υπάρχει σχέση Μαθηματικών και Τέχνης; Υπάρχει Σχέση Μαθηματικών και Τέχνης; Επιστήμης και τέχνης γενικότερα; Τα Μαθηματικά αναμφίβολα έχουν το στοιχείο της αντικειμενικότητας και σχετίζονται με το λογικό τμήμα του ανθρώπου σε αντίθεση με την Τέχνη που έχει το στοιχείο της υποκειμενικότητας και σχετίζεται κυρίως με το συναισθηματικό τμήμα. Άρα καταρχήν φαίνεται μια μεγάλη αγεφύρωτη διαφορά. Το θέμα της Τέχνης και της σχέσης της με τις αλήθειες των Μαθηματικών και της επιστήμης όπως και πολλά άλλα βέβαια έχει εξετασθεί εκτενέστατα στο Πλατωνικό αλλά και το Αριστοτελικό έργο και όπως σε πολλά παρόμοια ερωτήματα θα ανακαλύψουμε ξανά τον τροχό αν δεν ανατρέξουμε στις αναζητήσεις των γιγάντων της κλασικής περιόδου. Ο Πλάτων με πάνω από 100 αναφορές του στην Τέχνη, ασχολείται ιδιαίτερα με αυτήν, της ασκεί δριμύτατη κριτική, (με εξαίρεση την αρχιτεκτονική) θεωρώντας την ως απλή μίμηση της μιμήσεως, απεικόνιση και αντίγραφο δηλαδή του αισθητού κόσμου, που με τη σειρά του είναι αντίγραφο και απεικόνιση του νοητού κόσμου των ιδεών. Έτσι θεωρεί ότι είναι τρεις φορές μακριά από την αλήθεια. Η Τέχνη (ως παράγουσα εμπειρικά αντίγραφα και εικασίες) και τα Μαθηματικά ως μέσα αναζήτησης του αγαθού τοποθετούνται αξιολογικά από τον Πλάτωνα σε συγκεκριμένες θέσεις στην περίφημη τετμημένη γραμμή του διαλόγου «Πολιτεία». Και μπορεί κανείς να συμφωνήσει ή να διαφωνήσει με τις Πλατωνικές θέσεις για τη φύση της αλήθειας των Μαθηματικών προτάσεων σε σύγκριση με τη φύση της αλήθειας ή μη των δημιουργημάτων της Τέχνης. Σίγουρα όμως δεν μπορεί να μην εισέλθει στον προβληματισμό που εισάγει ο Πλάτων, διότι ο προβληματισμός για τις «μιμήσεις» της Τέχνης γενικεύεται και ερευνάται από τον μεγάλο φιλόσοφο 25

26 για όλες γενικώς τις «μιμήσεις». Και οι μιμήσεις ερμηνευόμενες ως αναπαραστάσεις των εννοιών είναι βασικό εργαλείο της επιστήμης γενικότερα αλλά και της διδακτικής ειδικότερα των Μαθηματικών και των φυσικών επιστημών. Η Αριστοτελική άποψη είναι σαφώς ευμενέστερη από αυτήν του Πλάτωνα για την Τέχνη, έχοντας σε αυτήν αφιερώσει ένα ολόκληρο βιβλίο (την «Ποιητική») από όπου και ο ορισμός της τραγωδίας «έστι ουν τραγωδία μίμησις πράξεως σπουδαίας και τελείας κάθαρσις». Η τραγωδία επιφέρει την κάθαρση και όχι τον εκμαυλισμό της ψυχής όπως ισχυρίζεται ο Πλάτων. Ας δούμε όμως την άποψη του επιστήμονα Einstein για το θέμα αυτό: «Εκεί που ο κόσµος παύει να είναι η σκηνή για τις προσωπικές ελπίδες και επιθυµίες, εκεί που εµείς σαν ελεύθερα όντα, τον παρατηρούµε µε απορία, αναρωτιόµαστε για αυτόν και µελετάµε, εκεί είναι η είσοδος στο βασίλειο της τέχνης και της επιστήµης. Εάν µεταφράσουµε αυτό που νιώσαµε και παρατηρήσαµε µε τη γλώσσα της λογικής, τότε κάνουµε επιστήµη, αν το δείξουµε µε µορφές των οποίων οι σχέσεις δεν είναι προσιτές στην ενσυνείδητη σκέψη αλλά αναγνωρίζονται µε τη διαίσθηση ως µεστές νοήµατος τότε κάνουµε τέχνη. Το κοινό στοιχείο και στην τέχνη και στην επιστήµη είναι η αφοσίωση σε κάτι που υπερβαίνει το προσωπικό, που κείται πέρα από την περιοχή της αυθαιρεσίας». Σημαντική είναι και η συνεισφορά στο διάλογο αυτό της άποψης του Νίτσε, όπως αυτή διατυπώνεται στη "Γέννηση της τραγωδίας". Θεωρεί ότι η Τέχνη και ειδικότερα η τραγωδία είναι η προσπάθεια προσέγγισης του Διονυσιακού στοιχείου της ανθρώπινης φύσης, ενώ η επιστήμη του Απολλώνιου στοιχείο. Χωρίς την αρμονίασυνεργασία αυτών των στοιχείων η ανθρώπινη φύση είναι λειψή! Εκεί βέβαια κατηγορεί τη σωκρατική θέση αλλά αυτό είναι μια άλλη συζήτηση. H δική μας άποψη είναι ότι οποιαδήποτε καλλιτεχνική δημιουργία στο χώρο των εικαστικών τεχνών, από τη στιγμή που κάτι απεικονίζεται στο επίπεδο ενός καμβά ή στο χώρο εμπεριέχει αναμφίβολα, συνειδητή η ασυνείδητη χρήση γεωμετρίας και αναλογιών σε φανερή ή λιγότερο φανερή μορφή. Οι αναλογίες στην περίπτωση της ζωγραφικής μπορεί να περιορίζονται σε αναλογία τονισμού ή χρωματισμού. Οριζόντιες γραμμές σε ένα ζωγραφικό πίνακα προσδίδουν την αίσθηση της ηρεμίας, οι κατακόρυφες την αίσθηση της έντασης ενώ οι καμπύλες «κυματιστές» γραμμές δίνουν την αίσθηση της κίνησης. Οι απλές γεωμετρικές μορφές-σχήματα αποτελούν ούτως ή άλλως βασικά παραστατικά εργαλεία αντίληψης και έκφρασης και με πρωτοπόρους τους ψυχολόγους της μορφής (Gestalt) αποτελούν πλέον αντικείμενο μελέτης της γνωστικής ψυχολογίας. Είναι άκρως ενδιαφέρουσα η αναζήτηση των ελαχίστων εκείνων γεωμετρικών στοιχείων με τα οποία η ανθρώπινη αντίληψη αντιλαμβάνεται και εκφράζει τις βασικές μορφές του περιβάλλοντος. Είναι επίσης βέβαιο ότι σε εξπρεσιονιστικές και παραπλήσιες τάσεις της Τέχνης απουσιάζει η ύπαρξη γεωμετρικού υποβάθρου. Σημαντικό όμως παρόλα αυτά μέρος 26

27 της μοντέρνας Τέχνης με πρωτεργάτες τους Kandinsky, Montrian, Vasarely, Escher κλπ χρησιμοποιεί συνειδητά γεωμετρικά σχήματα στα δημιουργήματά τους. Μια εικαστική μορφή π.χ. ένα άγαλμα αποτελεί μια παρέμβαση στον αισθητό τρισδιάστατο χώρο, δεν είναι πάντοτε μια μείξη αυστηρών γεωμετρικών στερεών, όμως τα διάφορα μέρη του, συνειδητά η ασυνείδητα εμπεριέχουν μια αναλογία, αυτήν που αρμόζει στην ψυχική στόχευση του καλλιτέχνη. Οι αναλογίες αυτές είχαν και έχουν μια συγκεκριμένη στόχευση, π.χ. στην κλασική εποχή, την απεικόνιση του ιδανικού πολίτη - μαχητή του καλού καγαθού και βέβαια δεν προυποθέτουν τη γνώση μαθηματικών και Γεωμετρίας αλλά του καλλιτεχνικού ταλέντου. Από την έκδοση της «Aesthetic Measure» το 1933 από το μεγάλο μαθηματικού Birkhoff (γνωστό για την εισαγωγή της εργοδικής θεωρίας μέτρου), όλο και περισσότερες έρευνες όμως έρχονται στο φως που αναδεικνύουν κρυφές μαθηματικές δομές στα έργα τέχνης και μάλιστα κάποιες από αυτές πλέον συνεπικουρούν στον έλεγχο της γνησιότητας έργων τέχνης και πεποίθησή μας είναι (ότι το αισθητικά όμορφο είναι και μαθηματικά μετρήσιμο. Για διδακτικούς και μόνον όμως σκοπούς αναζητούμε καλλιτεχνήματα στα οποία είναι παραπάνω από φανερή η ύπαρξη γεωμετρικού και γενικότερα μαθηματικού υποβάθρου. Θεωρούμε υπερβολική την άποψη της ύπαρξης συγκεκριμένου γεωμετρικού υποβάθρου σε μια πληθώρα πινάκων όπως αυτή του Bouleau στο βιβλίο «H κρυφή γεωμετρία των ζωγράφων», όμως δεν μπορεί να αμφισβητηθεί το συγκεκριμένο γεωμετρικό υπόβαθρο των αναγεννησιακών προοπτικών πινάκων. Επίσης δε θα μπορούσε να αμφισβητηθεί η ύπαρξη γεωμετρικού μοτίβου στα αραβουργήματα, στα δημιουργήματα της Op Art, και σε μια σειρά τεχνοτροπιών και έργων Τέχνης, τα οποία για διδακτικούς λόγους σταχυολογούμε στη συνέχεια του κειμένου. Η μαθηματική δομή επίσης των μουσικών δημιουργιών είναι πέραν πάσης αμφισβήτησης. Θεργιάκη Βρέντζου Ζαχαρένια 27

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα.

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή Χρυσή τομή 3.1 Εισαγωγή Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Α Γενικό Λύκειο Τοσιτσειο Αρσάκειο Εκάλης Ερευνητική εργασία project :Τα μαθηματικά στην Ακρόπολη Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Μέλη ομάδας: Χρήστος Παπακωνσταντίνου Βασίλης Πελωριάδης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια

Διαβάστε περισσότερα

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Λουλούδια και Αριθμοί. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ Εργασία της Σοφίας Ευαγγέλου A 3 Καθηγήτρια : Ελένη Μελαχροινού

Λουλούδια και Αριθμοί. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ Εργασία της Σοφίας Ευαγγέλου A 3 Καθηγήτρια : Ελένη Μελαχροινού Λουλούδια και Αριθμοί ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ Εργασία της Σοφίας Ευαγγέλου A 3 Καθηγήτρια : Ελένη Μελαχροινού Τελικά, μάλλον τα φυτά ξέρουν καλά μαθηματικά και όπως φαίνεται η Φύση ολόκληρη

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Υπεύθυνη καθηγήτρια: Χαρίτου Τριανταφυλιά ΠΕ03

Υπεύθυνη καθηγήτρια: Χαρίτου Τριανταφυλιά ΠΕ03 Υπεύθυνη καθηγήτρια: Χαρίτου Τριανταφυλιά ΠΕ03 Η ομάδα αποτελείται από τα εξής άτομα : Βασιλική Βαλλιανάτου Κρίστη Κουνάδη Ειρήνη Μαυρογιάννη Ελευθερία Μπαζίγου Κατερίνα Κουρβισιάνου Φιορένια Τουλάτου

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση αριθμών Γ2.1 Oνομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες) με διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά στερεά - Ο όγκος. Ενότητα 8. β τεύχος

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά στερεά - Ο όγκος. Ενότητα 8. β τεύχος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 49 Γεωμετρικά στερεά - Ο όγκος Ενότητα 8 β τεύχος Γεωμετρικά στερεά - Ο όγκος 49 1η Άσκηση Να αναγνωρίσεις τα γεωμετρικά στερεά που σχηματίζουν τα παρακάτω αναπτύγματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο 1.1 ΠΡΟΒΛΗ ΜΑ Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν απόσταση 1. Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκινα

Διαβάστε περισσότερα

Project Α Λυκείου. Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ

Project Α Λυκείου. Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ Project Α Λυκείου Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ Πιτόσκας Γιάννης Στεργίου Γιάννης Παπακωνσταντίνου Χρήστος Πελωριάδης Βασίλης ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ηρεμία, στατικότατα, σταθερότητα

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ηρεμία, στατικότατα, σταθερότητα ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (μάθημα κατεύθυνσης) Τι είναι η δομή και η σύνθεση ενός εικαστικού έργου. Είναι η οργάνωση όλων των στοιχείων ενός έργου σε ένα ενιαίο σύνολο με στόχο να εκφράσουν κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:...

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 13 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος. Ενότητα 8. β τεύχος

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος. Ενότητα 8. β τεύχος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 46 Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος Ενότητα 8 β τεύχος Γεωμετρικά σχήματα-η περίμετρος 46 1η Άσκηση Να κυκλώσεις όλα τα κανονικά πολύγωνα: 60 ο 108 ο 108 ο 120

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ α) Ειρήνη Χρυσοβαλάντη Ρουμπάνη β) Μαρία Πανακάκη «Το τοπίο είναι αντικείμενα σε διάφορες αποστάσεις, που χαρακτηρίζονται με χρώματα, σε διάφορες πλάκες, οριζόντιες,

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 5 6 (E - Στ Δημοτικού) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Γνωρίζοντας ότι + + 6 = + + +, ποιόν αριθμό αντιπροσωπεύει το ; A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η ΟΜΑΔΑ μας ανέλαβε το θέμα της σχέσης των Μαθηματικών με τη ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ!!! ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΟΥΛΑ ΕΙΡΗΝΗ, ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΥΑΝΘΙΑ, ΤΣΙΜΗΤΡΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ. ΙΣΤΟΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Εισαγωγή Στην Α Λυκείου είχαμε μελετήσει τη δύναμη προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 7 8 (A - Β Γυμνασίου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιά η τιμή: 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89 ; A) 389 B) 396 C) 404 D) 405 E) άλλη απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /

Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Βιοφυσική & Νανοτεχνολογία Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Ημερομηνία εκτέλεσης άσκησης... Ονοματεπώνυμα... Περίληψη Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση με την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση.

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. 5Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α. Οι κύκλοι είναι διπλάσιοι σε αριθμό από τα τετράγωνα. Β.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα» 1. Εισαγωγή Η προσέγγιση των Μαθηματικών της Β Δημοτικού από το παιδί προϋποθέτει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στην Α Δημοτικού και την εξοικείωση του παιδιού με τις πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Σημειώσεις στη Γεωμετρία Α Γυμνασίου

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Σημειώσεις στη Γεωμετρία Α Γυμνασίου 1. Γωνία Ο Δημήτρης ζωγράφισε ένα δέντρο στο δωμάτιο του. Το δέντρο απλώνει τα κλαδιά του στα δυο επίπεδα των τοίχων του δωματίου και στο επίπεδο της οροφής. Στη γωνία αυτή θα τοποθετήσει όλα τα παιχνίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α):

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α): Κατασκευή ρόμβων Ονοματεπώνυμο(α): Πόσους τρόπους μπορείτε να σκεφτείτε για την κατασκευή ενός ρόμβου; Εξετάστε μεθόδους που χρησιμοποιούν το μενού Κατασκευή, το μενού Μετασχηματισμός ή συνδυασμούς αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες. Γεωμετρικά σχήματα και σώματα

Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες. Γεωμετρικά σχήματα και σώματα Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες Γεωμετρικά σχήματα και σώματα Αφόρμιση Σχεδιάστε 5 τρίγωνα, κάθε ένα από τα οποία διαφέρει από τα άλλα Εξηγείστε ως προς τι διαφέρουν τα τρίγωνά σας Σε τι διαφέρουν;

Διαβάστε περισσότερα