11. ΧΥΤΕΥΣΗ ΜΕ ΕΓΧΥΣΗ

Transcript

1 ΧΥΤΕΥΣΗ ΜΕ ΕΓΧΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διεργασία χύτευσης µε έγχυση πολυµερικών τηγµάτων χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή παντός είδους αντικειµένων που παλαιότερα γίνονταν µε µέταλλα. Η διεργασία είναι εποµένως από τις πιο κοινές στη µορφοποίηση πλαστικών. Αντικείµενα που παράγονται µε έγχυση σε µήτρες χύτευσης (καλούπια) συµπεριλαµβάνουν από συνδετήρες χαρτιών µέχρι προφυλακτήρες αυτοκινήτων, και από κύπελλα καφέ µέχρι περιβλήµατα ηλεκτρονικών υπολογιστών. Λόγω της τροµερής ευχρηστίας, ευελιξίας, και ολικού βιοµηχανικού όγκου πλαστικών που παράγονται µε τη διεργασία αυτή, αποτελεί µια από τις πιο σηµαντικές διεργασίες µορφοποίησης πλαστικών που υπάρχουν σήµερα. Αναφορικά µε τα βασικά στάδια της διεργασίας, η χύτευση µε έγχυση µπορεί να παρουσιαστεί σχηµατικά όπως φαίνεται στο Σχήµα Το πολυµερικό στερεό υλικό τήκεται, και το πολυµερικό τήγµα µεταφέρεται στη µήτρα, όπου εγχύεται κάτω από υψηλή πίεση. Η µήτρα ψύχεται για τη στερεοποίηση του προϊόντος, κατόπιν ανοίγει, και το τελειωµένο πλαστικό αντικείµενο εκβάλλεται. Η µήτρα κλείνει και ο κύκλος επαναλαµβάνεται. Τήξη πλαστικού Έγχυση του πολυµερικού τήγµατος στη µήτρα Ψύξη της µήτρας Αποµάκρυνση του αντικειµένου Σχήµα 11.1 Σχηµατική παράσταση των διαφόρων σταδίων της διεργασίας χύτευσης µε έγχυση. Το Σχήµα 11. παρουσιάζει µια τυπική µηχανή έγχυσης µε χύτευση.

2 11- Σχήµα 11. Φωτογραφία τυπικής µηχανής χύτευσης µε έγχυση. Η πιο απλή µηχανή έγχυσης είναι τύπου εµβόλου (ram ή pluger), όπως φαίνεται στο Σχήµα Το πλαστικό απλά ωθείται προς τα εµπρός από το έµβολο µέσα στη θερµαινόµενη περιοχή. Επειδή το υψηλό ιξώδες του πολυµερούς εµποδίζει τη µεταφορά θερµότητας µε συναγωγή, είναι απαραίτητο να απλωθεί το πολυµερικό τήγµα σε ένα λεπτό στρώµα για να έρθει σε επαφή µε τις θερµαινόµενες επιφάνειες. Από τους πιο κοινούς απλωτήρες είναι ο τύπος «τορπίλης», που φαίνεται στο παραπάνω σχήµα, ο οποίος απλά τροφοδοτεί το υλικό κυκλικά µέσα από δακτύλιο. Μετά την τήξη, το υλικό συγκλίνει και ρέει µέσα από ακροφύσιο που το οδηγεί στη µήτρα έγχυσης. Σχήµα 11.3 Μηχανή χύτευσης µε έγχυση τύπου εµβόλου. Πιο κοινή στις σηµερινές χρήσεις είναι η µηχανή τύπου παλινδροµούντος κοχλία (reciprocatig screw), όπως φαίνεται στο Σχήµα Στο σύστηµα αυτό η λειτουργία του κοχλία είναι κυρίως

3 11-3 να τήξει κια να αναµίξει το υλικό της τροφοδοσίας. Για την έγχυση ολόκληρος ο κοχλίας κινείται προς τα εµπρός, ενώ ειδική βαλβίδα δεν επιτρέπει ροή προς τα πίσω. Σχήµα 11.4 Μηχανή χύτευσης µε έγχυση τύπου παλινδροµούντος κοχλία. Σχήµα 11.5 Πλήρης εσωτερικός σχεδιασµός µηχανής χύτευσης µε έγχυση τύπου παλινδροµούντος κοχλία. Ο µηχανές χύτευσης µε έγχυση είναι αρκετά πολύπλοκες, όπως φαίνεται στο Σχήµα Ο µηχανικός σχεδιασµός τους, που συµπεριλαµβάνει τη σύσφιξη της µήτρας (clampig), την απελευθέρωση του πολυµερούς, και την εκβολή και αποτίναξη (ejectio) του τελειωµένου στερεοποιηµένου αντικειµένου, αποτελεί ολόκληρη επιστήµη της µηχανολογίας, και δεν θα µας απασχολήσει εδώ. Το παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθεί µε τη ροή που σχετίζεται µε τη γέµιση της µήτρας. Για παραπάνω πληροφορίες για το σχεδιασµό ενός

4 11-4 ολοκληρωµένου συστήµατος µηχανής χύτευσης µε έγχυση και την επίλυση των αντιστοίχων προβληµάτων που παρουσιάζει, υπάρχει το πολύ καλό και γενικό βιβλίο του Rubi [RUB 73]. Πριν θεωρήσουµε ορισµένα συγκεκριµένα προβλήµατα της διεργασίας, ας ακολουθήσουµε ένα υλικό στοιχείο καθώς κινείται από το ακροφύσιο προς τη µήτρα, και ας σχολιάσουµε ορισµένα στοιχεία της ροής του. Η µεταφορά του τήγµατος στη µήτρα είναι απλώς πρόβληµα παρόµοιο µε αυτά της υδραυλικής. Τα τυπικά στοιχεία του συστήµατος µεταφοράς φαίνονται στο Σχήµα Το υλικό µεταφέρεται από τη µηχανή χύτευσης προς τη µήτρα έγχυσης µέσα από το ακροφύσιο (ozzle), το οποίο είναι άµεσα ζευγµένο µε τη µήτρα µέσω του διαύλου (sprue bushig). Σε µήτρες µε πολλαπλές κοιλότητες (cavities), το θερµό τήγµα µεταφέρεται σε κάθε µήτρα από τους δροµείς (ruers). Κάθε δροµέας συνδέεται µε την κοιλότητα που τροφοδοτεί µε την πύλη εισόδου (gate), που δεν είναι άλλο από µια στένωση στο κανάλι ροής. Σχήµα 11.6 Σχηµατική παράσταση µήτρας χύτευσης τριών στοιχείων. Το τήγµα περνά από το ακροφύσιο (ozzle), το δίαυλο (sprue), το δροµέa (ruer), εισερχόµενο στις κοιλότητες της µήτρας (cavities) από την πύλη εισόδου (gate).

5 11-5 Οι δροµείς και οι κοιλότητες πρέπει να είναι κανονικά κενοί στην αρχή κάθε κύκλου γέµισης. Εποµένως, πρόκειται για µεταβατική ροή (χρονικά εξαρτηµένη) καθώς γίνεται η γέµιση, σε αντίθεση µε όλες τις διεργασίες που έχουµε εξετάσει µέχρι τώρα. Αν ο ρυθµός έγχυσης του υλικού είναι σταθερός (η κανονική περίπτωση), τότε η πίεση στο ακροφύσιο αυξάνει βαθµιαία όπως προχωρά η γέµιση. Θα δείξουµε ότι το µεταβατικό αυτό στάδιο της γέµισης των δροµέων δεν είναι σηµαντικό σχετικά µε το στάδιο γέµισης της κοιλότητας. Ένας άλλος παράγοντας που περιπλέκει την διεργασία είναι ο έντονα µη-ισοθερµοκρασιακός χαρακτήρας της γέµισης της µήτρας. ιακρίνουµε τρία θερµικά φαινόµενα, που συµβάλουν και περιπλέκουν την ανάλυση ροής: (α) Τα τοιχώµατα της µήτρας, που είναι τα όρια του πεδίου ροής, δε βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία όπως το τήγµα. Αυτό συνδέεται µε τη δυσκολία να ρυθµίζεται παντού µέσα στη µήτρα οµοιόµορφη θερµοκρασία. Πέρα από τη µεταβολή της θερµοκρασίας στο χώρο, υπάρχει και η µεταβολή της θερµοκρασίας στο χρόνο, λόγω της κυκλικής µορφής της διεργασίας γέµισης της µήτρας. Εποµένως, η ανάλυση του συστήµατος πρέπει να θεωρηθεί ως µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση µη-µόνιµης κατάστασης. (β) Συνέπεια των µη-ισοθερµοκρασιακών τοιχωµάτων αποτελεί η ψύξη του πολυµερούς που έρχεται σε επαφή µε τα τοιχώµατα, αν αυτά είναι αρκετά ψυχρά. Η κύρια επίπτωση της στερεοποίησης του πολυµερούς στα τοιχώµατα είναι η στένωση του πεδίου ροής, που οδηγεί αντίστοιχα σε ανάπτυξη µεγάλων πιέσεων. Φυσικά, αν το πρόβληµα αυτό δεν αντιµετωπιστεί κατάλληλα, οδηγεί σε ψύξη

6 11-6 των δροµέων και εµποδίζει την πλήρη γέµιση των κοιλοτήτων. Το ελάττωµα αυτό αναφέρεται ως ελλιπής γέµιση (short shot). (γ) Μια άλλη συνέπεια της µη-ισοθερµοκρασιακής λειτουργίας της διεργασίας είναι η µεγάλη αύξηση της θερµοκρασίας του τήγµατος λόγω ιξώδους τριβής, που προκαλείται από το υψηλό ιξώδες του πολυµερούς και τα στενά κανάλια ροής. Με ορισµένα πολυµερή, η αύξηση αυτή οδηγεί σε θερµική αποσύνθεση. Και οπωσδήποτε µεγάλες αυξήσεις θερµοκρασίας επιδρούν στη σχέση πτώσης πίεσης ογκοµετρικής παροχής. Επειδή στη διεργασία αναπτύσσονται πιέσεις χιλιάδων ατµοσφαιρών, είναι σηµαντικό να ληφθεί υπόψη η επίδραση της πίεσης στο ιξώδες του πολυµερικού τήγµατος. Η γέµιση της µήτρας συµβαίνει σε µικρούς σχετικά χρόνους συγκρινόµενη µε τον ολικό χρόνο του κύκλου παραγωγής του προς χύτευση αντικειµένου. Με το τέλος της γέµισης, αρχίζει ο κύκλος ψύξης. Καθώς το πολυµερικό τήγµα στερεοποιείται, η πυκνότητά του αυξάνει λίγο, και αν η µάζα του υλικού στην κοιλότητα ήταν σταθερή, θα µειωνόταν ο όγκος. Αυτό θα οδηγούσε στη συρρίκνωση (shrikage) του αντικειµένου και στην επακόλουθη αλλαγή της γεωµετρίας του σε σχέση µε τη γεωµετρία της µήτρας, γεγονός ανεπιθύµητο. Και αν µεν η συρρίκνωση ήταν οµοιόµορφη, θα µπορούσε κανείς να σχεδιάσει τη µήτρα λίγο µεγαλύτερη παντού και να λύσει το πρόβληµα. υστυχώς, το µη-ισοθερµοκρασιακό πεδίο που υπάρχει τόσο για το πολυµερικό τήγµα όσο και για τα τοιχώµατα της κοιλότητας, δεν επιτρέπουν µια απλή αναλογική επίλυση του προβλήµατος. Επιπλέον, εκτός από τις πιο απλές γεωµετρίες µητρών, περιοχές διαφορετικού πάχους στο χυτευµένο αντικείµενο ψύχονται µε

7 11-7 διαφορετικούς ρυθµούς, γεγονός που οδηγεί σε διαφορετικούς βαθµούς συρρίκνωσης, και το οποίο στη συνέχεια µπορεί να οδηγήσει σε σκέβρωση (warpage) του αντικειµένου. Για να ελαχιστοποιηθούν οι µεταβολές των διαστάσεων (συρρίκνωση) και οι µεταβολές σχήµατος (σκέβρωση), χρησιµοποιείται πολύ υψηλή πίεση στην κοιλότητα κατά τη διάρκεια του κύκλου ψύξης. Καθώς η πυκνότητα του ψυχόµενου πολυµερούς αυξάνει, περισσότερο τήγµα ρέει µέσα στην κοιλότητα για να κρατήσει σταθερό τον όγκο. Αυτό µπορεί να συνεχίζεται µέχρι η πύλη εισόδου στερεοποιείται από την ψύξη. Ο κύκλος χύτευσης συνήθως παρίσταται γραφικά όπως φαίνεται στο Σχήµα Τα τρία βασικά στάδια είναι η γέµιση (fillig), η συµπίεση (packig), και η ψύξη (coolig). Η πίεση αυξάνει µε σχετικά αργό ρυθµό στη διάρκεια του κύκλου γέµισης. Στο στάδιο συµπίεσης η συρρίκνωση αποφεύγεται µε εφαρµογή και διατήρηση πολύ υψηλής πίεσης. Υπάρχει σχετικά µικρή ροή στη διάρκεια του σταδίου αυτού. Τελικά, στο στάδιο ψύξης επέρχεται η µείωση της πίεσης στη µήτρα. Σχήµα 11.7 Ογκοµετρική παροχή και πτώση πίεσης σα συνάρτηση του χρόνου στη διάρκεια ενός κύκλου σε τυπική µονάδα χύτευσης µε έγχυση.

8 11-8 Το στάδιο ψύξης γενικά ρυθµίζει τον ολικό χρόνο του κύκλου και εξαρτάται κυρίως από το πάχος του παραγόµενου αντικειµένου, αφού η µεταφορά θερµότητας µέσα από το χαµηλής θερµικής αγωγιµότητας πολυµερές παρέχει την κύρια αντίσταση στην ψύξη. Οι κύκλοι ψύξης διαρκούν τυπικά από 1 µέχρι 1 s (εκτός από σπάνιες περιπτώσεις για πολύ µικρά ή πολύ µεγάλα αντικείµενα). Μετά τη γέµιση κάθε κοιλότητας και τη στερεοποίηση του πλαστικού κατά τον κύκλο ψύξης, η µήτρα ανοίγει και το αντικείµενο εκβάλλεται. Τα διάφορα αντικείµενα είναι συνήθως ακόµα συνδεδεµένα µεταξύ τους µε το στερεοποιηµένο υλικό που γέµιζε τους δροµείς. Το αντικείµενο που µας ενδιαφέρει αποχωρίζεται στη συνέχεια από το δροµέα στην πύλη εισόδου. Το µέγεθος και η θέση της πύλης σχεδιάζεται έτσι ώστε να απλοποιεί και να διευκολύνει τις ατέλειες που παρουσιάζονται όταν αποχωρίζεται το αντικείµενο από τις διασυνδέσεις του µε τους δροµείς. Τα διάφορα τεµάχια που αποµένουν στους δροµείς αποτελούν απορρίµµατα και τις περισσότερες φορές ανακυκλώνονται στην τροφοδοσία. Ο σχεδιασµός των δροµέων αποτελεί συµβιβασµό πολλών παραγόντων. Πρέπει να είναι αρκετά φαρδείς ώστε να διευκολύνεται η άµεση γέµιση της κοιλότητας, αλλά όχι τόσο φαρδείς ώστε να µην αυξάνεται κατά πολύ ο χρόνος που απαιτείται για την ψύξη και στερεοποίηση του υλικού στους δροµείς. Το άριστο σχήµα τους είναι το κυλινδρικό, αλλά το σχήµα αυτό είναι το πιο δύσκολο στην κοπή του, και γι αυτό χρησιµοποιούνται συνήθως τραπεζοειδή σχήµατα. Από τα πιο σηµαντικά χαρακτηριστικά του σχεδιασµού δροµέων είναι η ζυγοστάθµιση (balacig) που εξασφαλίζει τη γέµιση κάθε κοιλότητας µε τον ίδιο ρυθµό. Αν το σύστηµα των δροµέων είναι συµµετρικό, όπως φαίνεται στο Σχήµα 11.8α, τότε η ζυγοστάθµιση

9 11-9 εξαρτάται κυρίως από την ακρίβεια των διαστάσεων της µήτρας. Ορισµένες µήτρες δεν µπορούν να κοπούν συµµετρικά, όπως φαίνεται στο Σχήµα 11.8β, οπότε η διατοµή κάθε δροµέα πρέπει να προσαρµοστεί έτσι ώστε να ισορροπεί την πτώση πίεσης από τον κύριο δίαυλο προς κάθε κοιλότητα. (α) (β) Σχήµα 11.8 (α) Συµµετρική µήτρα τύπου 16-Chupchik. (β) Μησυµµετρική µήτρα τύπου 18-Chupchik. Ενώ στην εκβολή οι µέγιστοι ρυθµοί διάτµησης κυµαίνονται συνήθως µεταξύ 1-1 s -1, στη χύτευση µε έγχυση οι ρυθµοί µπορούν να φθάσουν τα 1 s -1. Προφανώς, οι υψηλοί ρυθµοί παραγωγής έχουν να κάνουν µε τις οικονοµικές απαιτήσεις της διεργασίας. Όλα σχεδόν τα πλαστικά που υπάρχουν στο εµπόριο χρησιµοποιούνται στη διεργασία χύτευσης µε έγχυση. Σε σχέση µε τις προηγούµενες διεργασίες που έχουµε µελετήσει µέχρι τώρα, η διεργασία χύτευσης µε έγχυση είναι η πιο δύσκολη, γιατί στην πραγµατικότητα είναι πλήρως τριδιάστατη, µηισοθερµοκρασιακή, µη-µόνιµης κατάστασης, µε στοιχεία τόσο διατµητικής όσο και εφελκυστικής ροής. Εποµένως, για τη µαθηµατική µοντελοποίηση και ανάλυση της παρούσας διεργασίας, υπάρχει δυσκολία πρόβλεψης. Για τη µοντελοποίηση, χρειάζεται κατάλληλη ρεολογική καταστατική εξίσωση που να περιγράφει τη

10 11-1 συµπεριφορά του πολυµερούς σε διατµητική και εφελκυστική παραµόρφωση, µαζί µε τις εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας. Παρ όλα αυτά, έχουν γίνει τεράστιες προσπάθειες προσεγγιστικής µοντελοποίησης, βασισµένες στις εξισώσεις Hele- Shaw της προσεγγιστικής θεωρίας λεπτής κοιλότητας (Thi Cavity Approximatio ή Hele-Shaw Flow Approximatio) και θεωρώντας το ρευστό ως γενικευµένο Νευτωνικό. Λογισµικά παγκοσµίου φήµης και χρήσης, όπως το MOLDFLOW και το C-FLOW, βασίζονται σε τέτοιες προσεγγίσεις, αλλά περιέχουν πολλές εµπειρικές σχέσεις για καλύτερη ανάλυση και σχεδιασµό µητρών χύτευσης. Ο Middlema [MID 77] δίνει τις αντίστοιχες σχέσεις για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών µεγεθών της διεργασίας. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται σαν αρχή για τις περαιτέρω αναλύσεις της διεργασίας και παρατίθεται και εδώ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Ισοθερµοκρασιακή Χύτευση µε Έγχυση µε το Νευτωνικό Μοντέλο Η ανάλυση της διεργασίας χύτευσης µε έγχυση διαφόρων πλαστικών αντικειµένων ακολουθεί την ανάλυση που δίνεται από το Middlema [MID 77], όπου το πολυµερές θεωρείται να γεµίζει µια απλή µήτρα τύπου δίσκου (βλ. Σχήµα 11.9) υπό συνθήκες µη-µόνιµης ισοθερµοκρασιακής Νευτωνικής ροής. Υπάρχουν δύο δυνατές περιπτώσεις: (α) σταθερή παροχή (η πιο πιθανή περίπτωση παραγωγής), και (β) σταθερή πίεση στο ακροφύσιο. Και στις δύο περιπτώσεις θεωρούµε ότι ο δροµέας είναι µικρού όγκου σε σύγκριση µε την κοιλότητα. Η παραδοχή αυτή επιτρέπει να θεωρήσουµε ότι ο

11 11-11 δροµέας είναι πάντα γεµάτος και ότι η µη-µόνιµη κατάσταση αφορά µόνο τη γέµιση της κοιλότητας. L r R D R Η Σχήµα 11.9 Μήτρα χύτευσης τύπου δίσκου µε κεντρική πύλη έγχυσης. Η γεωµετρία της διεργασίας επιβάλλει την τοποθέτηση του προβλήµατος σε κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων, που ορίζεται από την αξονική κατεύθυνση z και την ακτινική κατεύθυνση r (βλ. Σχήµα 11.1) για την ανάλυση της ροής. Θεωρούµε ότι το διάνυσµα ταχύτητας έχει τις εξής συνιστώσες 1 u = [ u ( r, z, t),,] για D r R και H z H (11.1) r r Η εξίσωση διατήρησης της µάζας (εξίσωση συνέχειας) δίνει 1 ( rur ) = (11.) r r Η θέση της διεπιφάνειας R* ορίζεται ως προς την ογκοµετρική παροχή dr * Q = 4πHR * (11.3) dt Η ακτινική συνιστώσα της εξίσωσης διατήρησης της ορµής γράφεται ur ur p τ rz rτ rr τ ρ 1 ( + ur = + + ) t r r z r r r θθ (11.4)

12 11-1 Σχήµα 11.1 Σχηµατική παράσταση για την προσεγγιστική ανάλυση της διεργασίας χύτευσης σε µήτρα έγχυσης τύπου δίσκου (συµµετρική θεώρηση). Για το Νευτωνικό ρευστό η ρεολογική καταστατική εξίσωση δίνει u τ r rr = µ, r τ θθ = µ u r, r u τ r rz = µ (11.5) z Οι όροι που έχουν τις τάσεις τ rr και τ θθ µηδενίζονται για τη συγκεκριµένη ροή, λόγω της εξίσωσης συνέχειας. Εποµένως, η Εξ. (11.4) απλοποιείται ως εξής ur ur p ur ρ + ur = + µ (11.6) t r r z Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί µη-γραµµική µερική διαφορική εξίσωση της οποίας η επίλυση απαιτεί αρκετά περίπλοκη αριθµητική επίλυση. Για να προχωρήσουµε σε αναλυτική επίλυση, πρέπει να κάνουµε και άλλες παραδοχές, αρχίζοντας µε το µηδενισµό των όρων αδράνειας (το αριστερό σκέλος της Εξ. 11.6) µε τη δικαιολογία τήγµατος µεγάλου ιξώδους.

13 11-13 Παρατηρούµε ότι η εξίσωση συνέχειας (11.) ικανοποιείται από ταχύτητα u r µε την εξής µορφή 1 u r = c( z, t) (11.7) r όπου c δεν είναι συνάρτηση του r αλλά µπορεί να εξαρτάται από το z και το t. Εισαγωγή της παραπάνω σχέσης στην απλοποιηµένη εξίσωση διατήρησης της ορµής, δίνει p µ c = + r r z (11.8) Θεωρούµε επίσης ότι η πίεση εξαρτάται από το r αλλά όχι από το z. Εποµένως οι συναρτήσεις p και c πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις r p µ r c = z = A( t) (11.9) αφού p p(z) και c c(r). Επίλυση δίνει AH z c = 1 (11.1) H και r p P = Aµ l (11.11) D r Στα ανωτέρω έχουν χρησιµοποιηθεί οι ακόλουθες οριακές συνθήκες u r = στο z = ± H (11.1α) = r στο z = (11.1β) 1 p = P στο r = D r (11.1γ) Η συνάρτηση Α(t) µπορεί να γραφεί ως προς την ογκοµετρική παροχή Q από τη σχέση H Q = 4π ru r dz (11.13)

14 11-14 Το αποτέλεσµα είναι 3Q A = (11.14) 3 4πH Παρατηρούµε ότι το Α είναι ανεξάρτητο από το χρόνο µόνο αν το Q είναι σταθερό. Πριν προχωρήσουµε µε την εξέταση ορισµένων χαρακτηριστικών της παραπάνω επίλυσης, θα δικαιολογήσουµε την παραδοχή ότι οι όροι αδράνειας είναι αµελητέοι. Γι αυτό γράφουµε τον όρο ιξωδών δυνάµεων που δίνεται από u r 3µ Q 1 µ = 3 z 4πH r (11.15) Ο όρος µη-µόνιµης κατάστασης είναι όπου u r 3ρ Q 1 z ρ = 1 (11.16) t 8π H r H dq Q =. Ο όρος της (ακτινικής) επιτάχυνσης συναγωγής είναι dt u 9 1 r ρq z ρ ur = 1 3 (11.17) r 64π H r H Για να υπολογίσουµε τη σχετική συµβολή καθένα από τους δύο παραπάνω όρους στην εξίσωση διατήρησης της ορµής, προχωρούµε µε ανάλυση τάξης µεγέθους ως προς τον όρο των ιξωδών δυνάµεων. Ο όρος µη-µόνιµης κατάστασης εξαρτάται από τον εξής αδιάστατο αριθµό ρh Q Π tr = (11.18) µ Q Φυσικά για την περίπτωση σταθερού ρυθµού έγχυσης, Q =, και ο όρος µη-µόνιµης κατάστασης είναι ταυτόσηµα µηδέν. Ο όρος ρ H / µ µπορεί να θεωρηθεί σα χρόνος χαλάρωσης των ιξωδών τάσεων, ενώ ο όρος Q / Q σα χρόνος χαρακτηριστικός της διεργασίας. Θέτοντας

15 11-15 τυπικές τιµές ρ = 1, µ = 1, και Η = 1 (σε µονάδες CGS), βρίσκουµε ότι ο χρόνος χαλάρωσης των ιξωδών τάσεων είναι τυπικά της τάξης των 1-4 s. Ο χαρακτηριστικός χρόνος της διεργασίας προσεγγίζεται λογικά από το χρόνο γέµισης, ο οποίος κανονικά δεν είναι λιγότερος από 1 s. Εποµένως βλέπουµε ότι ισχύει Π tr < 1-4, και συµπεραίνουµε ότι ο όρος µη-µόνιµης κατάστασης είναι αµελητέος. Ο όρος αδράνειας εξαρτάται από τον εξής αδιάστατο αριθµό Π i = 3 16 Re π H r (11.19) όπου ρq Re = (11.) µ H είναι ο αριθµός Reyolds της διεργασίας. Λογικές τιµές για τις παραµέτρους Q, µ, και Η, δίνουν τιµές για το Π i << 1. Εποµένως και ο όρος αδράνειας µπορεί να θεωρηθεί αµελητέος. Άρα η ανάλυση που παρουσιάσαµε είναι λογική, και έχει γίνει κάτω από τις παραδοχές της ισοθερµοκρασιακής, Νευτωνικής ροής, µε αµελητέα την επίδραση της ροής εισόδου σε απόσταση r = ½D r. Θεωρούµε τώρα τις δύο περιπτώσεις που παρουσιάζουν ενδιαφέρον: (α) σταθερής πίεσης, και (β) σταθερής παροχής. (α) Σταθερή πίεση: Με τον όρο αυτό θεωρούµε ότι το Ρ παραµένει σταθερό. Η παροχή αναµένεται να µειώνεται καθώς γεµίζει η κοιλότητα. Χρειάζεται µια επιπλέον οριακή συνθήκη για την πίεση, που να εξισώνει την πίεση της αναπτυσσόµενης διεπιφάνειας µε την ατµοσφαιρική πίεση. Θέτοντας την ατµοσφαιρική πίεση σαν πίεση αναφοράς (ίση µε το µηδέν, ως συνήθως), έχουµε στην Εξ. (11.11) R * P = Aµ l (11.1) D r Από τη σχέση του Α µε το Q (Εξ ) και τον ορισµό του R* (Εξ. 11.3) βρίσκουµε µετά από µια απλή ολοκλήρωση, ότι η επίλυση για το R*(t) µπορεί να γραφεί έµµεσα σαν

16 Bt ϕ lϕ ( ϕ 1) = (11.) a όπου Dr H P a =, B =, R 3µ R R * ϕ = D r Ο χρόνος γέµισης συµβαίνει όταν R*=R ή φ=1/α, έτσι ώστε, αν το t* δηλώνει το χρόνο γέµισης, βρίσκουµε 1 1 t * = lα (1 α ) B (11.3) Το Σχήµα δείχνει τη θέση του αναπτυσσόµενου µετώπου σα συνάρτηση του χρόνου, και το Σχήµα 11.1 δίνει τον ολικό χρόνο σα συνάρτηση της εφαρµοζόµενης πίεσης. Σχήµα Θέση του αναπτυσσόµενου µετώπου σα συνάρτηση του χρόνου (Εξ. 11.) και ογκοµετρική παροχή σα συνάρτηση του χρόνου (Εξ. 11.4). Νευτωνική ισοθερµοκρασιακή γέµιση δίσκου. Η ογκοµετρική παροχή σα συνάρτηση του χρόνου ακολουθεί άµεσα από τη σχέση του Α µε το Q (Εξ ) και αντιστροφή της Εξ. 11.1, µε το αποτέλεσµα

17 11-17 Σχήµα 11.1 Χρόνος γέµισης σα συνάρτηση της εφαρµοζόµενης πίεσης. Νευτωνική ισοθερµοκρασιακή γέµιση δίσκου. 3µ Q 1 Bt = = f 3 4πH P lϕ α (11.4) Το αποτέλεσµα αυτό δίνεται επίσης στο Σχήµα Η Εξ. (11.4) δίνει για χρόνο µηδέν (δηλ. όταν φ = 1) άπειρη τιµή για το Q, κάτι που δε στέκει φυσικά. Η µέγιστη τιµή για το Q θα συνέβαινε στο δροµέα. Το µοντέλο όµως που παρουσιάστηκε εδώ δε λαµβάνει υπόψη του το τι συµβαίνει στο δροµέα µε βάση τη λογική ότι µόλις αρχίσει και προχωρεί η γέµιση της κοιλότητας, το τι συµβαίνει στην κοιλότητα κανονίζει το τι συµβαίνει στην διεργασία. Όταν το R* είναι περίπου ½D r, η επίδραση των φαινοµένων εισόδου είναι πιθανό ότι κάνουν το παρόν µοντέλο να µην ισχύει, µιας και υπάρχουν δύο συνιστώσες της ταχύτητας και όχι µόνο η u r συνιστώσα. Η µη-φυσική παρουσία του άπειρου Q για µικρούς χρόνους δεν φαίνεται να µειώνει την αξία της ανάλυσης όµως, και δεν γίνεται περαιτέρω προσπάθεια για τη βελτίωσή της. Απλώς πρέπει να θυµόµαστε ότι η ανάλυση ισχύει για R* > 3D r (αυθαίρετη τιµή αλλά λογική), και να την εφαρµόζουµε εντός της περιοχής αυτής. (β) Σταθερή παροχή: Αν η παροχή είναι σταθερή τότε ο χρόνος γέµισης δίνεται απλά από το λόγο του όγκου της κοιλότητας µε την ογκοµετρική παροχή, δηλ.

18 11-18 πh t* = R Q D 4 r (11.5) Η πίεση Ρ δεν είναι πια σταθερή αλλά δίνεται από την Εξ. (11.1). Από τον ορισµό του R* έχουµε για σταθερό Q (Εξ. 11.3) Q R * R * = 4πH (11.6) ή Q 1 R * = t + Dr (11.7) π H 4 Η πίεση Ρ προκύπτει από την Εξ. (11.1) και αυξάνει µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση P 3Qµ Q = l 1 + t 3 8πH πhdr (11.8) Το Σχήµα δείχνει την αύξηση της πίεσης στην περίπτωση αυτή. Σχήµα Αύξηση της πίεσης: Νευτωνική ισοθερµοκρασιακή γέµιση δίσκου υπό σταθερή παροχή. Παράδειγµα 11.1 Θα αναλύσουµε τη συµπεριφορά µιας απλής µήτρας τύπου δίσκου, όπως φαίνεται στο Σχήµα 11.1, µε τις ακόλουθες παραµέτρους: L r =1 cm, R=9 cm, D r =1 cm, H=.316 cm. Το πολυµερικό υλικό θεωρείται Νευτωνικό µε ιξώδες µ=1 Pa s και πυκνότητα ρ=1 g/cm 3. Θα θεωρήσουµε δύο περιπτώσεις: (α) σταθερής παροχής Q,µε χρόνο γέµισης 1 s,

19 11-19 (β) σταθερής πίεσης P, µε χρόνο γέµισης 1 s. Επίλυση: (α) Από την Εξ. (11.5) βρίσκουµε πh Q = R t * D 4 r και από την Εξ. (11.8) P 3Qµ Q = l 1 + t 3 8πH πhdr Με τα δεδοµένα του προβλήµατος µπορούµε να παραστήσουµε την αύξηση της πίεσης στη γραφική παράσταση του Σχήµατος 11.14α. Σχήµα Επίλυση του Παραδείγµατος 11.1: (α) P (t) για σταθερή παροχή Q, (β) Q(t) για σταθερή πίεση P. Ας εξετάσουµε την πτώση πίεσης που αναµένεται στο δροµέα υπό αυτές τις συνθήκες. Από την εξίσωση του Poiseuille βρίσκουµε 18Qµ Lr Pr = πd 4 r η οποία δίνει πτώση πίεσης Ρ r =34 MPa. Η σταθερή αυτή πίεση πρέπει να προστεθεί στο Ρ για να υπερκεραστεί η αντίσταση του δροµέα. εν είναι δύσκολο να αντιληφθεί κανείς ότι δροµέας µε πολύ

20 11- µικρότερη διάµετρο από 1 cm, θα δώσει πολύ µεγαλύτερη πτώση πίεσης από εκείνη που συµβαίνει µε τη ροή µέσα στην κοιλότητα, για την συγκεκριµένη αυτή κοιλότητα του προβλήµατος. (β) Κάνοντας χρήση του Σχήµατος 11.1 και για α=.55 βρίσκουµε Bt* = 1.. Αφού θέλουµε t* = 1 s, παίρνουµε H P B = = 1. 3µ R από την οποία έπεται ότι Ρ = 117 MPa. Το Σχήµα 11.14β δείχνει το Q(t) για την περίπτωση αυτή κάνοντας χρήση του Σχήµατος Εκτίµηση της Ενέργειας Ιξώδους Τριβής στο ροµέα Η ανάλυση στο δροµέα δείχνει ότι η ροή γίνεται κάτω από τόσο υψηλούς ρυθµούς διάτµησης που παράγεται σηµαντική ενέργεια ιξώδους τριβής. Αφού η εξάρτηση του ιξώδους από τη θερµοκρασία είναι ως γνωστό εκθετική, πρέπει να λαµβάνεται υπόψη η σηµαντική αυτή ενεργειακή συµβολή στη ροή. Το πιο απλό µοντέλο για την περίπτωση αυτή θεωρεί αδιαβατική ροή, για την οποία ο πρώτος νόµος της θερµοδυναµικής δίνει µια απλή έκφραση για την αύξηση της θερµοκρασίας, δηλ. ρ Qc p dt = Qdp (11.9) H παραπάνω σχέση εξισώνει το ρυθµό αύξησης της θερµικής ενέργειας µε το ρυθµό µε τον οποίο η πίεση παράγει έργο κινώντας το ρευστό µέσα από το δροµέα µε παροχή Q. Η θερµοκρασία που εµφανίζεται στην εξίσωση είναι η θερµοκρασία µέσης ροής ή θερµοκρασία ανάµειξης.

21 11-1 Θα θεωρήσουµε ότι η βαθµίδα πίεσης στο δροµέα δίνεται τοπικά από την εξίσωση του Poiseuille dp 18µ Q = (11.3) 4 dz πd όπου το ιξώδες µ µπορεί να είναι συνάρτηση του z. Το ιξώδες εξαρτάται ως συνήθως από τη θερµοκρασία µε τον εκθετικό νόµο µ µ [ b( T T )] = exp (11.31) όπου b είναι ο συντελεστής µετατόπισης της θερµοκρασίας. Σε ό,τι ακολουθεί θα θεωρήσουµε ότι Τ είναι η θερµοκρασία του τήγµατος στην είσοδο του δροµέα, και µ το ιξώδες σε αυτή τη θερµοκρασία. Αν η βαθµίδα πίεσης στην Εξ. (11.9) αντικατασταθεί µε την αντίστοιχη έκφραση για τη θερµοκρασία, κάνοντας χρήση των τελευταίων δύο εξισώσεων παίρνουµε την εξής διαφορική εξίσωση για τη θερµοκρασία dt dz P = exp[ b( T T )] (11.3) c pl ρ όπου Ρ είναι η πτώση πίεσης που θα υπήρχε κάτω από ισοθερµοκρασιακές συνθήκες στο Τ=Τ : 18µ LQ P = (11.33) 4 πd Ολοκλήρωση της Εξ. (11.3) δίνει b P z χ = 1 + c (11.34) ρ p L όπου = [ b( T T )] χ exp (11.35) Η αύξηση της θερµοκρασίας σε µήκος L δίνεται από b P = 1 + (11.36) ρc p χ L

22 11- Το Σχήµα δείχνει το αποτέλεσµα αυτό σε απλή αδιάστατη µορφή. Για να βρούµε την πραγµατική πτώση πίεσης πρέπει να κάνουµε χρήση της Εξ. (11.3), όπου γίνεται αντικατάσταση του ιξώδους µ[τ(z)] και ολοκλήρωση. Το αποτέλεσµα βρίσκεται εύκολα και εκφράζεται βολικά µε την έκφραση P P l χ L = χ 1 L (11.37) Το Σχήµα δείχνει το αποτέλεσµα αυτό. Σχήµα Η επίδραση της ενέργειας ιξώδους τριβής στην αύξηση της θερµοκρασίας και την πτώση πίεσης κάτω από συνθήκες αδιαβατικής ροής σε δροµέα. Παράδειγµα 11. Τυπικό πολυµερικό τήγµα ABS (ακρυλοβουτυλο-στυρένιο) εγχύεται σε µήτρα χύτευσης µε σχήµα δίσκου µέσα από κυλινδρικό δροµέα διαµέτρου 1 cm και µήκους 1 cm µε θερµοκρασία εισόδου τήγµατος Τ= 13 C. Να υπολογιστεί η πτώση πίεσης σα συνάρτηση του ρυθµού έγχυσης µεταξύ 8. < Q < 38 cm 3 /s.

23 11-3 Οι φυσικές ιδιότητες για το ABS στη θερµοκρασία εισόδου του τήγµατος, είναι: b=.6 C -1 =1/3 m=.6x1 5 dye.s 1/3 cm ρ=1.1 g/cm 3 c p =.4 cal/g.k Επίλυση: Θεωρούµε ότι το πρόβληµα διέπεται από τη Νευτωνική αδιαβατική ανάλυση που προηγήθηκε, µε σταθερό Νευτωνικό ιξώδες προσαρµοσµένο για κάθε ρυθµό έγχυσης. Θα κάνουµε χρήση των εξισώσεων που αναπτύχθηκαν στο Κεφάλαιο για ροή σε αγωγούς. Φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης: γ = 8Q πd Νόµος Poiseuille: P 18QL = η 4 πd 4 Εκθετικός νόµος: η = mγ 1 Εποµένως, για Q=8. cm 3 /s, γ =119 s -1, η=16 Pa s στους 13 C. Ρ =5.6 MPa και Τ=5 C. b P = 1 + =1.1 ρc p χ L Από την Εξ. (11.37) βρίσκουµε Ρ=4.73 MPa. Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία για διάφορες παροχές µέχρι Q=38 cm 3 /s, παίρνουµε τα αποτελέσµατα του Σχήµατος Για σύγκριση παρουσιάζονται επίσης τα αποτελέσµατα για την πτώση πίεσης χωρίς να λάβουµε υπόψη την ενέργεια ιξώδους τριβής, όπως προκύπτουν από την αναλυτική επίλυση για τον εκθετικό νόµο. Είναι προφανές ότι η ενέργεια ιξώδους τριβής είναι υπεύθυνη για την ουσιώδη µείωση της απαιτούµενης πτώσης πίεσης ιδίως για αυξηµένες παροχές.

24 11-4 Σχήµα Πτώση πίεσης για το πρόβληµα του Παραδείγµατος Θα συνεχίσουµε µε τη θεώρηση της επίδρασης της ενέργειας ιξώδους τριβής στην κοιλότητα. Σε ορισµένες περιπτώσεις η ροή στο δροµέα ρυθµίζει τη διεργασία γέµισης, και εποµένως η ενέργεια ιξώδους τριβής στην κοιλότητα δεν παίζει ρόλο. Αν όµως δε συµβαίνει αυτό, η ειδική γεωµετρία της κοιλότητας και οι θερµικές συνθήκες στα τοιχώµατα είναι εκείνα που ρυθµίζουν τη θερµοκρασία του τήγµατος κατά τη διάρκεια της γέµισης. Αργότερα, θα θεωρήσουµε µια από τις πιο απλές περιπτώσεις της γέµισης της κοιλότητας: αδιαβατική ροή σε κοιλότητα σχήµατος δίσκου Επίδραση της Εξάρτησης του Ιξώδους από την Πίεση Λόγω των πολύ υψηλών πιέσεων που αναπτύσσονται στις περιπτώσεις χύτευσης µε έγχυση υψηλών ταχυτήτων, είναι απαραίτητη η θεώρηση της εξάρτησης του ιξώδους από την πίεση, και η εκτίµηση

25 11-5 της επίπτωσης της εξάρτησης αυτής στα µοντέλα ανάλυσης της διεργασίας. Στο Σχήµα δίνονται δεδοµένα για ένα τυπικό τήγµα πολυαιθυλενίου χαµηλής πυκνότητας (LDPE). Φαίνεται ότι το ιξώδες Σχήµα εδοµένα τάσης διάτµησης ρυθµού διάτµησης σε διαφορετικές πιέσεις για τυπικό δείγµα τήγµατος πολυαιθυλενίου χαµηλής πυκνότητας (LDPE). αυξάνει περίπου µια τάξη µεγέθους καθώς η πίεση µεταβάλλεται από 1 atm σε 1 atm. Εποµένως, δεδοµένα ιξώδους που έχουν ληφθεί σε ατµοσφαιρική πίεση µπορεί να οδηγήσουν σε σφάλµατα όταν χρησιµοποιούνται σε διεργασίες υψηλής πίεσης. Αρχίζουµε την ανάλυση θεωρώντας την απλούστερη περίπτωση ροής Poiseuille σε κυλινδρικό αγωγό. Η εξίσωση διατήρησης της ορµής για πλήρως ανεπτυγµένη ροή είναι p µ uz = + r (11.38) z r r r Θεωρούµε ότι η εξάρτηση του ιξώδους, για το εύρος των µεταβολών των πιέσεων που εφαρµόζονται, δίνεται από τη σχέση µ = µ (1 + b' ) (11.39) p

26 11-6 όπου b είναι ο συντελεστής µετατόπισης της πίεσης. Αντικατάσταση της Εξ. (11.39) στην Εξ. (11.38) και διαχωρισµός των µεταβλητών p και u z δίνει 1 dp 1+ b' p dz µ = r d dr duz r dr = σταθερά (11.4) Η επίλυση για το p(z) βρίσκεται να είναι z l( 1 + b' p) = 1 l(1 + b' P) (11.41) L όπου Ρ είναι η πτώση πίεσης κατά µήκος L του αγωγού. Έχουµε υποθέσει ότι p= στο z=l. Το Νευτωνικό παραβολικό προφίλ της ταχύτητας δεν αλλάζει από την εξάρτηση του ιξώδους από την πίεση, και δίνεται ως Q r u z = 1 (11.4) π R R αλλά η ογκοµετρική παροχή Q συσχετίζεται τώρα µε την πτώση πίεσης Ρ µε τη σχέση 4 πr P l(1 + b' P) Q = µ L b' P 8 (11.43) Μπορούµε να θεωρούµε την Εξ. (11.43) σα µια τροποποιηµένη σχέση Hage-Poiseuille, και µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε ότι το Q είναι µειωµένο σε σχέση µε την τιµή του όταν το b =. Παράδειγµα 11.3 Για ένα τυπικό πολυµερικό τήγµα ΡS υψηλού µοριακού βάρους δίνεται η τιµή b = atm -1. Αναµένεται µεγάλη επίδραση στην ογκοµετρική παροχή σε ροή από κυλινδρικό αγωγό για πτώση πίεσης Ρ=1 atm; για Ρ=1 atm;

27 11-7 Επίλυση: Θεωρούµε ότι η Εξ. (11.43) έχει τη µορφή Q = Q f ( b', P ) όπου Q είναι η παροχή όταν δεν υπάρχει εξάρτηση του ιξώδους από την πίεση. Για Ρ = 1 atm, βρίσκουµε b Ρ =.9 και Q /Q =.88. Εποµένως, η παροχή αναµένεται να µειωθεί κατά 1%. Για Ρ = 1 atm, βρίσκουµε ότι η παροχή αναµένεται να µειωθεί κατά 5%! Θεώρηση της ροής σε κοιλότητα τύπου δίσκου µε εξάρτηση του ιξώδους από την πίεση Στην περίπτωση αυτή ισχύουν οι Εξ. (11.1) έως (11.5), αλλά όχι η Εξ. (11.6). Οι όροι των κάθετων τάσεων δεν µηδενίζονται όπως συµβαίνει για ροή µε σταθερό ιξώδες. Αντίθετα εµφανίζονται όροι µε την παράγωγο dµ/dr, και αν ισχύει p=p(r) και µ=µ(p), τότε υπάρχουν επιπλέον όροι στην Εξ. (11.6) διατήρησης της ορµής. Θα θεωρήσουµε ότι η Εξ. (11.7) ισχύει (αποδεικνύεται) και βρίσκουµε ότι p µ c c = µ r r z r r (11.44) Οι µεταβλητές δεν µπορούν πλέον να διαχωριστούν και δεν υπάρχει αναλυτική λύση για το p=p(r) και c=c(z). Εποµένως, για περίπλοκα σχήµατα κοιλοτήτων δεν είναι δυνατή η ανάλυση µε απλό µοντέλο που να λαµβάνει υπόψη του την εξάρτηση του ιξώδους από την πίεση. Για να προχωρήσουµε όµως, θα απαλείψουµε τον όρο στην Εξ. (11.44) που κάνει το πρόβληµα άλυτο. Αυτό επιτρέπει το διαχωρισµό των µεταβλητών p=p(r) και c=c(z), και έτσι έχουµε πάλι την Εξ. (11.9) αλλά αυτή τη φορά µε το µ=µ(r). Αν

28 11-8 χρησιµοποιήσουµε πάλι την Εξ. (11.39) σα µοντέλο για το µ(p), τότε µπορούµε να λύσουµε για το p(r) και βρίσκουµε 1+ b' p 1+ b' P r = D r b' µ A (11.45) Η επίλυση για το c=c(z) (Εξ. 11.1) ισχύει και πάλι, καθώς και η σχέση του Α µε το Q (Εξ ). Εισάγοντας τη συνθήκη p= στο r=r*, µπορούµε να γράψουµε 1 + ' P = D r β b R * (11.46) 3Qµ b' όπου β = (11.47) 3 8πH Το R* δίνεται και πάλι από την Εξ. (11.6), που δεν είναι άλλο από ένα ισοζύγιο µάζας. Ας θεωρήσουµε τώρα την περίπτωση της σταθερής παροχής. Η πίεση αυξάνεται µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση β Q π = + + b' P 1 1 t (11.48) HDr Στο τέλος του χρόνου γέµισης (που δίνεται από την Εξ. 11.5), η πίεση δίνεται από β * R ' 1 1 b P = + + (11.49) Dr Αν ορίσουµε µια αδιάστατη πίεση έτσι ώστε ~ βp = b P * ' * ή 3 ~ * 8πH P P = 3Q µ *

29 11-9 τότε µπορούµε να γράψουµε την Εξ. (11.49) ως β ~ * 1 1 R P = + β β (11.5) D r Στην περίπτωση που δεν υπάρχει επίδραση της πίεσης (β=), η Εξ. (11.8) ισχύει, και στο τέλος του χρόνου γέµισης έχουµε P * 3Qµ R = l 3 4πH D r ή ~ R P * = l (11.51) D r Ένα µέτρο της επίδρασης του εξαρτηµένου από την πίεση ιξώδους αποτελεί ο λόγος β R ~ 1 * P D ( β ) r = ~ * P ( β = ) R β l Dr (11.5) Αν επιστρέψουµε στο Παράδειγµα 11.1 και θέσουµε b = atm -1, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε την επίδραση στην πίεση για αυτή την περίπτωση. Υποθέτουµε ότι µ =1 Pa s. Βρίσκουµε β=1 και ~ * ~ P ( β ) = 56P * ( β ). Εποµένως, η = επίδραση του εξαρτηµένου από την πίεση ιξώδους, όπως προκύπτει από τη δεδοµένη τιµή του b, είναι να αυξήσει την αναµενόµενη µέγιστη πίεση σηµαντικά. Αν ο σχεδιασµός βασιζόταν σε δεδοµένα ιξώδους µετρηµένα σε ατµοσφαιρική πίεση, θα προέκυπτε ακατάλληλος σχεδιασµός για τις πιέσεις που αναπτύσσονται στη µήτρα έγχυσης. Ας εξετάσουµε τώρα, εκ των υστέρων, το µέγεθος του όρου που απαλείψαµε στην Εξ. (11.44) σε σχέση µε τον όρο ιξωδών τάσεων. Θέλουµε να εκτιµήσουµε το µέγεθος του όρου

30 11-3 c dµ r dr ε = (11.53) µ d c r dz Μπορούµε να αποδείξουµε ότι c ( z) dµ = (11.54) r dp ε Αν χρησιµοποιήσουµε c() σαν τη µέγιστη τιµή για το c(z) και r=d r / σαν τη µέγιστη τιµή για το r, βρίσκουµε 4 A H c( z) dµ = (11.55) D dp ε r Κάνοντας χρήση της Εξ. (11.39) για το µ, βρίσκουµε H max 8 ε = β (11.56) D r σαν το ανώτατο όριο για το ε. Η ελάχιστη τιµή για το ε (εκτός από το ό,τι το ε µηδενίζεται στο z=±h) λαµβάνεται θέτοντας c(z) = c() και r=r, και βρίσκουµε H ε mi = β (11.57) R Όπως αναµένεται, µικρή τιµή για το ε αντιστοιχεί σε µικρή τιµή για το β. Όµως, ακόµα και όταν το β έχει µεγάλες τιµές, είναι πιθανό το ε mi να έχει πολύ µικρές τιµές αν το H << R, όπως συµβαίνει συχνά. Αυτό σηµαίνει ότι η προσέγγιση που κάναµε στην Εξ. (11.44) θα ισχύει µόνο στην περιοχή της κοιλότητας µακριά από την είσοδο. Η ανάλυση δεν είναι σωστή στην περιοχή r = D r (εκτός αν το β είναι πολύ µικρό), και οι προβλέψεις για τη µέγιστη αύξηση πίεσης θα ήταν

31 11-31 λανθασµένες. Εποµένως, πρέπει να είναι κανείς πολύ προσεκτικός σχετικά µε το πότε χρησιµοποιείται η παραπάνω ανάλυση Συνδυασµός ροµέα και Κοιλότητας Στην προσπάθειά µας να αναπτύξουµε ένα απλό µοντέλο για την ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική ροή σε κοιλότητα τύπου δίσκου, θεωρήσαµε την πίεση Ρ στην είσοδο της κοιλότητας (για r = ½D r ) σαν κύρια µεταβλητή (είτε δεδοµένη είτε ζητούµενη από την επίλυση). Αν θεωρήσουµε το Ρ ως την πίεση στο τέλος του δροµέα που οδηγεί στην κοιλότητα, τότε η ροή µέσα από το δροµέα θα επηρεάσει την τιµή του Ρ. Παρουσιάζουµε εδώ ένα απλό µοντέλο για το δροµέα και την κοιλότητα σε σειρά. Το προηγούµενο µοντέλο ισχύει ακόµα µέχρι την Εξ. (11.11) εκτός από το γεγονός ότι δεν γνωρίζουµε το Ρ. Αν θέσουµε ως Ρ R την πίεση στην είσοδο του δροµέα, τότε η πτώση πίεσης κατά µήκος του δροµέα είναι P = P (11.58) R R P Η πτώση πίεσης κατά µήκος της κοιλότητας παραµένει Ρ, και η Εξ. (11.1) ισχύει και εδώ. Τη γράφουµε όµως µε τη µορφή (βλ. Εξ ) P 3Qµ R * = l 3 4πH D r Για το PR γράφουµε το νόµο του Poiseuille (11.59) 18µ LQR PR = (11.6) 4 πd

32 11-3 όπου Q R είναι η παροχή µέσα από το δροµέα. Έτσι βρίσκουµε ότι η πίεση Ρ R (την οποία λαµβάνουµε σαν το άθροισµα των πιέσεων Ρ R και Ρ ) δίνεται από P R 18µ LQ = 4 πd R 3Qµ R * + l 3 4πH Dr (11.61) Αν λάβουµε υπόψη µας την απλούστερη περίπτωση όπου ο δροµέας οδηγεί σε µια και µόνη κοιλότητα, έτσι ώστε Q R = Q, βρίσκουµε P R 18µ L 3µ = πd 4πH R * l Q D r (11.6) Και πάλι µπορούµε να διακρίνουµε δύο ειδικές περιπτώσεις: (α) Αν το Q είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε η Εξ. (11.7) ισχύει, και το Ρ R προκύπτει κατευθείαν σαν άµεση συνάρτηση του Q. (β) Αν το Ρ R είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε έχουµε περιπλοκές. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Εξ. (11.6), µε την οποία η Εξ. (11.6) γίνεται µια µη-γραµµική διαφορική εξίσωση ως προς R*: 18µ L 3µ R * π H + l R R = PR D H D * * (11.63) 4 π 4π r 4 3 Η επίλυση ακολουθεί κατόπιν ολοκλήρωσης µε το εξής αποτέλεσµα 1 ( g )( ϕ 1) + ϕ lϕ = τ (11.64) 51LH όπου g = 4 3D 3 R * ϕ = D r και τ είναι αδιάστατος χρόνος που ορίζεται από τη σχέση 8H P τ = 3µ D r R t Όπως αναµένεται, για g << 1, επανερχόµαστε στην Εξ. (11.).

33 Ισοθερµοκρασιακή Χύτευση µε Έγχυση στην Κοιλότητα µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου Για την ισοθερµοκρασιακή ανάλυση µε το µοντέλο του εκθετικού νόµου (και γενικότερα µε οποιοδήποτε µη-νευτωνικό ιξώδες µοντέλο), οι όροι των κάθετων τάσεων δεν µηδενίζονται στην Εξ. (11.14). Έτσι, όπως και στην περίπτωση του εξαρτηµένου από την πίεση ιξώδους, καταλήγουµε σε µερική διαφορική εξίσωση που δε διαχωρίζεται. Θα προχωρήσουµε µε την παραδοχή ότι η ροή διέπεται από διατµητικές τάσεις. Αρχίζουµε µε την απλουστευµένη εξίσωση διατήρησης της ορµής p r τ = z rz (11.65) και τον εκθετικό νόµο ur τ rz = m (11.66) z Εισάγοντας την Εξ. (11.7), µπορούµε να διαχωρίσουµε τις µεταβλητές και να γράψουµε r m dp dr = ( c' ) 1 c" = A (11.67) Προχωρώντας όπως στη Νευτωνική περίπτωση, βρίσκουµε p P Am = r D r 1 (11.68) 1/ 1 1/ + 1 [ ] + H z 1/ ( A) c ( z) = (11.69) 1/ + 1 A πH = Q + 1 / (11.7)

34 11-34 r Q D R H m P + = / 1 *) ( π (11.71) Ξεχωρίζουµε και πάλι δύο ειδικές περιπτώσεις: (α) Αν το Q είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε η Εξ. (11.7) ισχύει και δίνει το R*(t), η δε Εξ. (11.71) δίνει το Ρ (t) κατευθείαν σαν άµεση συνάρτηση του Q. (β) Αν το Ρ είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε έχουµε περιπλοκές αλλά µπορούµε να προχωρήσουµε. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Εξ. (11.6) και να απαλείψουµε το Q προς χάρη του R* µε το ακόλουθο αποτέλεσµα ά dt R d D R r = σταθερ 1/ 1 1 *) ( 1 * (11.7) Η Εξ. (11.7) µπορεί να ολοκληρωθεί αριθµητικά και να δώσει το R*(t). Ας θέσουµε τώρα µαζί τα διάφορα αποτελέσµατα που έχουµε λάβει από την προηγούµενη ανάλυση. Αν προσθέσουµε τις πτώσεις πίεσης κατά µήκος του κυλινδρικού δροµέα που τροφοδοτεί κυκλική κοιλότητα σχήµατος δίσκου, τότε έχουµε r r r Q D R m H Q D m L D P = / ' ' 3 1 *) ( ' 4 ' ' π π (11.73) Να σηµειωθεί ότι στον όρο για το δροµέα χρησιµοποιούµε m και για να υπενθυµίσουµε ότι αν ο ρυθµός διάτµησης στο δροµέα είναι πολύ διαφορετικός από αυτόν στην κοιλότητα, τότε πρέπει να χρησιµοποιηθούν διαφορετικές τιµές για το m και το σε κάθε περιοχή. Σε ό,τι ακολουθεί θα χρησιµοποιήσουµε όµως για ευκολία

35 11-35 ένα σύνολο τιµών για τα m και. Η πίεση Ρ θεωρείται ως η πίεση στην είσοδο του δροµέα. Και πάλι µπορούµε να διακρίνουµε δύο ειδικές περιπτώσεις: (α) Αν το Q είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε η Εξ. (11.7) ισχύει και δίνει το R*(t), η δε Εξ. (11.73) δίνει το Ρ (t) κατευθείαν σαν άµεση συνάρτηση του Q. (β) Αν το Ρ είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε έχουµε περιπλοκές. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την Εξ. (11.3) για το Q, µε την οποία η Εξ. (11.73) γίνεται µια µη-γραµµική διαφορική εξίσωση ως προς R*. Η επίλυση µπορεί να γραφεί ως εξής ϕ 1/ P t 1/ = ( c1ϕ + cϕ ) dϕ HD π r 1 (11.74) όπου R * ϕ = D r c 1+ = 4πH 1 m 1 D + 1/ r 1 c mL = 8 c 3 D π r Dr Η Εξ. (11.74) µπορεί να ολοκληρωθεί αναλυτικά µόνο αν το είναι αντίστροφος ακέραιος. Ο ολικός χρόνος λαµβάνεται θέτοντας το άνω όριο στο ολοκλήρωµα φ = R/D r. Παράδειγµα 11.4 Να ευρεθεί ο ολικός χρόνος γέµισης για ένα σύστηµα δροµέα-δίσκου µε τα ακόλουθα δεδοµένα: D r =.48 cm L =.54 cm H =.159 cm R = 9 cm Ιδιότητες τήγµατος PVC στους C:

36 11-36 m = dye s 1/ /cm = 1/ Σταθερή πίεση 1 atm στην είσοδο του δροµέα. Επίλυση: Χρησιµοποιούµε την Εξ. (11.74) την οποία ολοκληρώνουµε για να λάβουµε το φ(t) στη µορφή πhd = 1 r t c ( 1) + ( 1) + ( 3 1 ϕ cc1 ϕ c ϕ 1) P 5 3 (11.75) Με αντικατάσταση των δεδοµένων βρίσκουµε ότι ο χρόνος γέµισης είναι 1.5 s Ενέργεια Ιξώδους Τριβής για Ροή στην Κοιλότητα Αδιαβατική Ανάλυση Νευτωνικό µοντέλο Η αδιαβατική ανάλυση επιτρέπει τον υπολογισµό της µέγιστης δυνατής θερµότητας στην κοιλότητα λόγω ενέργειας ιξώδους τριβής. Αρχίζουµε µε την Εξ. (11.9). Για Νευτωνικό τήγµα ισχύει η Εξ. (11.8), την οποία γράφουµε µε την παρακάτω µορφή Aµ dr dp = = ρc pdt (11.76) r Αν χρησιµοποιήσουµε την Εξ. (11.31) σα µοντέλο για το µ(τ), βρίσκουµε Aµ dr r = ρc exp[ b( T T ]dt p ) (11.77) Ολοκλήρωση µε την οριακή συνθήκη Τ = Τ στο r = D r / δίνει r ρc p l = Dr Aµ b ( exp[ b( T T )] 1) (11.78)

37 11-37 Έτσι χρησιµοποιούµε την Εξ. (11.78) για να βρούµε το Τ(r) και από εκεί το µ[τ(r)]. Όταν αντικαταστήσουµε το τελευταίο στην Εξ. (11.76), λαµβάνουµε µια διαφορική εξίσωση για το p(r). Μετά από απλή ολοκλήρωση και κάµποση άλγεβρα βρίσκουµε p P ρc = b p l 1+ Aµ b r l ρc p Dr (11.79) Η επίλυση για το Α δεν αλλάζει από την ισοθερµοκρασιακή περίπτωση (Εξ ). Θέτοντας p = στο r = R*, βρίσκουµε P ρc = b p 3Qµ b l 1 3 4πH ρc p R * l Dr (11.8) Και πάλι µπορούµε να διακρίνουµε δύο ειδικές περιπτώσεις: (α) Αν το Q είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε η Εξ. (11.7) ισχύει και δίνει το R*(t), η δε Εξ. (11.8) δίνει το Ρ (t) κατευθείαν σαν άµεση συνάρτηση του Q. (β) Αν το Ρ είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε έχουµε περιπλοκές. Η Εξ. (11.8) γίνεται µια µη-γραµµική διαφορική εξίσωση ως προς R*. Η επίλυση µπορεί να γραφεί ως εξής όπου 1 ϕ lϕ ( ϕ 1) = αt R * ϕ = D r 8H ρc p bp = 1 exp 3µ D r b ρc α p (11.81) (11.8) Μπορούµε εύκολα να αποδείξουµε ότι η Εξ. (11.81) αντιστοιχεί στην ισοθερµοκρασιακή περίπτωση (Εξ. 11.) όταν το b. Μπορούµε επίσης να δούµε ότι η επίδραση της ενέργειας ιξώδους τριβής στο χρόνο γέµισης είναι να µειώνει το χρόνο γέµισης κατά α( b) ρc p bp = exp 1 α() bp ρc p (11.83)

38 11-38 Είναι σηµαντικό να θυµόµαστε ότι η αδιαβατική ανάλυση δίνει τη µέγιστη δυνατή αύξηση της θερµοκρασίας. Οι συνθήκες της αδιαβατικής γέµισης στην πράξη επιτυγχάνονται µε ταχύ ρυθµό έγχυσης και µε τοιχώµατα της κοιλότητας που ψύχονται µετά το τέλος της έγχυσης. Για αργούς ρυθµούς έγχυσης και µε ψυχόµενες επιφάνειες, δίνεται αρκετός χρόνος στην οποιαδήποτε αύξηση θερµότητας να µεταφερθεί µε αγωγή προς τα τοιχώµατα της κοιλότητας. Μοντέλο εκθετικού νόµου Η αντίστοιχη ανάλυση για την περίπτωση του µοντέλου εκθετικού νόµου ακολουθεί την παραπάνω ανάλυση για το Νευτωνικό µοντέλο, όπου ο δείκτης συνέπειας m ακολουθεί την εκθετική εξάρτηση από τη θερµοκρασία, δηλ. [ b( T )] m = m exp T (11.84) Μολονότι η άλγεβρα είναι τώρα πιο πολύπλοκη, παίρνουµε µε λίγη δυσκολία την παρακάτω εξίσωση για την πίεση P = Am D r 1 R*/ D r dx Mx (1 + M ) x 1 (11.85) όπου M = Amb( Dr / ) (1 )ρc p 1 (11.86) και το Α δίνεται όπως πριν από την Εξ. (11.7). Για την ειδική περίπτωση του = ½, βρίσκουµε 1/ ρc p R * P = l m + (1 + M ) b Dr (11.87)

39 11-39 Υπενθυµίζουµε ότι το m εξαρτάται από το Q. Και πάλι µπορούµε να διακρίνουµε δύο ειδικές περιπτώσεις: (α) Αν το Q είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε η Εξ. (11.7) ισχύει και δίνει το R*(t), η δε Εξ. (11.87) δίνει το Ρ (t) κατευθείαν σαν άµεση συνάρτηση του Q. (β) Αν το Ρ είναι δεδοµένο και σταθερό, τότε έχουµε περιπλοκές. Η Εξ. (11.87) γίνεται µια µη-γραµµική διαφορική εξίσωση ως προς R*. Η επίλυση µπορεί να γραφεί ως εξής ( ϕ 1) ( ϕ 1) + ( ϕ 1) = α1/ t 5 3 (11.88) όπου R * ϕ = D r bp 1 exp ρc p α 1/ = (11.89) 3/ 4mb( D / ) r 3/ ρc ph Μπορούµε εύκολα να αποδείξουµε ότι η Εξ. (11.88) αντιστοιχεί στην ισοθερµοκρασιακή περίπτωση (Εξ ) όταν το b =. Μπορούµε επίσης να δούµε ότι η επίδραση της ενέργειας ιξώδους τριβής στο χρόνο γέµισης είναι να µειώνει το χρόνο γέµισης κατά α α 1/ 1/ bp 1 exp ( b) ρc p = () bp ρc p (11.9) Αν το αποτέλεσµα αυτό συγκριθεί µε το αντίστοιχο Νευτωνικό αποτέλεσµα (Εξ ), διαπιστώνεται ότι η επίδραση της ενέργειας ιξώδους τριβής είναι πολύ πιο ισχυρή για µη-νευτωνικά ρευστά, σε συνθήκες σταθερής πίεσης.

40 ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΑ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑΣ Τα µοντέλα που παρουσιάστηκαν µέχρι τώρα αγνοούν ένα από τα πιο σηµαντικά φαινόµενα στη γέµιση της µήτρας: τη µεταφορά θερµότητας στα (συνήθως) ψυχρά τοιχώµατα της κοιλότητας. Εδώ θα κάνουµε ορισµένα σύντοµα ποιοτικά σχόλια για την περίπτωση αυτή. Σχήµα Σχηµατική παράσταση της γέµισης ορθογώνιας κοιλότητας µε ψυχρά τοιχώµατα. Το Σχήµα δίνει ποιοτικά την εικόνα που συµβαίνει σε ορθογώνια µήτρα έγχυσης. Η µεταφορά θερµότητας προς τα ψυχρά τοιχώµατα µπορεί να προκαλέσει στερεοποίηση του τήγµατος πριν να γεµίσει η κοιλότητα. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα να µειώνεται ο όγκος που είναι διαθέσιµος για ροή, µε άµεση επίπτωση την αύξηση της πίεσης αν επιβληθούν συνθήκες σταθερής παροχής. Αν επιβληθούν συνθήκες σταθερής πίεσης, τότε µειώνεται η παροχή όσο αυξάνει η ψύξη της κοιλότητας. Το πρόβληµα του θερµικού σχεδιασµού της κοιλότητας πρέπει να λαµβάνει υπόψη του τη στερεοποίηση του πολυµερούς έτσι ώστε αυτό να µην εµποδίζει την πλήρη γέµιση της κοιλότητας ή του δροµέα. Αν συµβεί πρόωρη ψύξη του πολυµερούς, δε γεµίζει η κοιλότητα, γεγονός που οδηγεί σε ελλιπή γέµιση (short shot).

41 11-41 Προφανώς, και βλέποντας το Σχήµα 11.18, είναι απαραίτητη η θεώρηση πολύπλοκου µοντέλου, που να λαµβάνει υπόψη του το µη- µόνιµο, τριδιάστατο, µη-ισοθερµοκρασιακό, µε αλλαγή φάσης, χαρακτήρα της ροής και γέµισης της κοιλότητας. Μόνο αριθµητικές µέθοδοι µπορούν να εφαρµοστούν για την επίλυση τέτοιων µοντέλων, και λογισµικά πακέτα υπάρχουν στο εµπόριο που κάνουν τέτοιες αναλύσεις µε αρκετή επιτυχία, όπως το MOLDFLOW, το C-FLOW, κλπ. Λόγω της σπουδαιότητας της διεργασίας, πολλές προσπάθειες έχουν γίνει για την όσο το δυνατό καλύτερη πρόβλεψη των µεγεθών. Με αναφορά το Σχήµα 11.18, βλέπουµε ότι το πεδίο ροής παραµορφώνεται λόγω ισχυρών επιδράσεων της θερµοκρασίας. Αναπτύσσεται µια µορφή «διαδρόµου» µέσα στον οποίο τρέχει το ρευστό πολυµερικό τήγµα, και το οποίο περιβάλλεται από το πολύ ιξώδες (παχύρευστο) ψυχρό ρευστό (ή ακόµα και στερεό πολυµερές) που σχηµατίζεται στα τοιχώµατα της κοιλότητας. Το σχήµα του προφίλ της ταχύτητας, και µέχρι κάποιου βαθµού, και το σχήµα του αναπτυσσόµενου µετώπου, εξαρτώνται πολύ από τις θερµικές ιδιότητες του τήγµατος, όπως ο συντελεστής µετατόπισης της θερµοκρασίας για το ιξώδες (b). Υπάρχουν στη βιβλιογραφία σειρά εικόνων από πειράµατα που δείχνουν ακριβώς τέτοια πολύπλοκα µηισοθερµοκρασιακά φαινόµενα. Τελειώνουµε εδώ αυτή τη σύντοµη περιγραφή των φαινοµένων µε το να δώσουµε ένα παράδειγµα από την πράξη. Παράδειγµα 11.5 Η χύτευση µε έγχυση δισκίων ABS γίνεται µε µηχανή έγχυσης µάρκας Ciciatti-Milacro 375 τόννων, τύπου παλινδροµούντος κοχλία µε µέγεθος γέµισης 9 γραµµαρίων. Το Σχήµα δείχνει µετρήσεις πίεσης σα συνάρτηση του ρυθµού

42 11-4 γέµισης σε διάφορες συνθήκες λειτουργίας. Το πολυµερές είναι το ABS Q 714 της εταιρείας Mosato µε το κωδικό όνοµα Lustra, και H (cm) T (K) ( C) (43) (65), (43) (65) Σχήµα εδοµένα πίεσης σα συνάρτηση της παροχής (στο τέλος της γέµισης) για κοιλότητα τύπου δίσκου µε γέµιση από πολυµερικό τήγµα ΑΒS. Η καµπύλη αντιστοιχεί στην αδιαβατική θεωρία για Η=.17 cm και T=516 K (43 C). έχει τις εξής φυσικές ιδιότητες: ρ = 1. g/cm 3 c p = erg/g K και τις εξής παραµέτρους για τον εκθετικό νόµο: =.9 (1 < < 1 4 s -1 ), m = 3 exp(346/t K ) dye s.9 /cm Η γεωµετρία της µήτρας είναι τύπου δίσκου µε H =.17 cm ή H =.3 cm. Η πίεση εισόδου Ρ έχει µετρηθεί σε ακτινική θέση r = ½D r = 1.9 cm. (Αυτή δεν είναι η πραγµατική ακτίνα του δροµέα, αλλά πρέπει να χρησιµοποιήσουµε για το ½D r την πραγµατική ακτινική θέση της µέτρησης πίεσης). Οι πιέσεις που δίνονται στη γραφική παράσταση δεν έχουν µετρηθεί ακριβώς στο τέλος του χρόνου γέµισης, αλλά σε χρόνο γέµισης τέτοιο ώστε το R* να είναι στο r = 1.5 cm. Εποµένως χρησιµοποιούµε R* = 1.5 cm στο µοντέλο.

43 11-43 Οι θερµοκρασίες εισόδου µπορούν να µεταβάλλονται λίγο, και η µήτρα ψύχεται µε νερό στους 38 C. Εποµένως, η θερµοκρασία των τοιχωµάτων της κοιλότητας διατηρείται στους 311 Κ (38 C). Επίλυση: Κάνουµε υπολογισµούς κάνοντας χρήση της αδιαβατικής θεωρίας για την περίπτωση H =.17 cm και Τ = 43 C = 516 Κ. Θα χρησιµοποιήσουµε την Εξ. (11.85) µε R* = 1.5 cm και τις υπόλοιπες παραµέτρους όπως δόθηκαν. Είναι πρώτα απαραίτητο να υπολογίσουµε το m (Εξ ), για το οποίο χρειαζόµαστε κάποια τιµή για το b. Αποδεικνύεται εύκολα ότι E 346 b = = =.13 K R TT TT g 1 (για Τ = Τ = 516 Κ) Έτσι βρίσκουµε ότι: m =.6Q.9 (Q σε cm 3 /s), που δίνει τιµές πολύ µικρότερες της µονάδας. Εποµένως, έχουµε ισοθερµοκρασιακή έγχυση και µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ισοθερµοκρασιακό µοντέλο, αφού η ενέργεια ιξώδους τριβής είναι, όπως φαίνεται, αµελητέα στην κοιλότητα. Από την Εξ. (11.71) βρίσκουµε Ρ = Q.9 (Ρ σε dyes/cm και Q σε cm 3 /s) Η παραπάνω καµπύλη δίνεται γραφικά στο Σχήµα Τα αποτελέσµατα δεν είναι σε καλή συµφωνία µε τα πειραµατικά δεδοµένα, αν και σε περίπου 1 mi εργασίας πήραµε χονδρικά προσεγγιστικά αποτελέσµατα. Πρέπει να γίνουν όµως ορισµένα σχόλια σ αυτό το σηµείο. Για χαµηλές τιµές του Q υπάρχει σηµαντική µεταφορά θερµότητας προς τα τοιχώµατα της κοιλότητας, και οι πειραµατικές µετρήσεις της πίεσης αντανακλούν την ισχυρή εξάρτηση του ιξώδους από τη θερµοκρασία, και ίσως κάποια ψύξη και στερεοποίηση στα τοιχώµατα. Για υψηλές τιµές του Q έχουµε περισσότερο αδιαβατική

44 11-44 συµπεριφορά, αλλά και πάλι το µοντέλο και τα δεδοµένα δεν είναι σε καλή συµφωνία. Η ενέργεια ιξώδους τριβής στην κοιλότητα δεν είναι σηµαντική, αλλά µπορεί να είναι σηµαντική στο σύστηµα δίαυλου δροµέα. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσµα να µειώσει τις προβλέψεις του µοντέλου, αν λαµβανόταν υπόψη, και να χειροτερέψει τη συµφωνία µεταξύ µοντέλου και πειράµατος. Όµως, µια άλλη αντίθετη προς αυτά επίδραση είναι του ιξώδους από την πίεση, που αν λαµβανόταν υπόψη θα αύξανε τη θεωρητική καµπύλη. εν υπήρχαν όµως δεδοµένα για την εξάρτηση του ιξώδους από την πίεση στο συγκεκριµένο παράδειγµα, γεγονός που θα µπορούσε να οδηγήσει σε πρόχειρες εκτιµήσεις µηχανικού. Εποµένως, καταλήγουµε ότι τα απλά µοντέλα ανάλυσης που παρατέθηκαν εδώ είναι µεν χρήσιµα, αλλά πρέπει να χρησιµοποιούνται µε προσοχή και µε πλήρη κατανόηση των παραδοχών που έχουν γίνει για την ανάπτυξή τους ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΤΩΝ ΡΟΜΕΩΝ Το Σχήµα 11. δείχνει ένα σύστηµα διαύλου και δροµέα από τυπική µήτρα έγχυσης 6 κοιλοτήτων που χρησιµοποιείται για την κατασκευή ακουστικών τηλεφώνου. Οι κοιλότητες που τροφοδοτούνται από το σύστηµα δε γεµίζουν µε τον ίδιο ρυθµό επειδή το σύστηµα δεν είναι ζυγοσταθµισµένο. Το Σχήµα 11.1 δείχνει τα αποτελέσµατα απο µια σειρά ελλιπών γεµίσεων (short shots), που είναι εγχύσεις που σταµατούν πριν γεµίσει ολόκληρο το σύστηµα των κοιλοτήτων. Ελλιπείς γεµίσεις κάνουν δυνατή την παρατήρηση ορισµένων χαρακτηριστικών του τρόπου γέµισης που δε µπορούν να παρατηρηθούν αλλιώς, δηλ. όταν η γέµιση είναι πλήρης.

45 11-45 Σχήµα 11. Σύστηµα διαύλου δροµέα από τυπική µήτρα έγχυσης 6 κοιλοτήτων που χρησιµοποιείται για την κατασκευή ακουστικών τηλεφώνου. Σχήµα 11.1 Ελλιπείς γεµίσεις σε µήτρα έγχυσης ακουστικών τηλεφώνου. Σηµειωτέον ότι η ασυµµετρία οφείλεται στην έλλειψη ζυγοστάθµισης των δροµέων (φωτογραφία από τους Williams και Lord [WIL 77]). Είναι προφανές από το Σχήµα 11.1 ότι τα 3 ζευγάρια των κοιλοτήτων δε γεµίζουν µε ίσους ρυθµούς, το οποίο αντανακλά την έλλειψη ζυγοστάθµισης στο σύστηµα των δροµέων. Ποσοτικά δεδοµένα που δείχνουν ακριβώς αυτή την έλλειψη δίνονται στο Σχήµα 11..

46 11-46 Πλήρης ανάλυση του συστήµατος αυτού δίνεται σε µια ενδιαφέρουσα εργασία των Williams και Lord [WIL 77]. Σχήµα 11. Βάρη που αντιστοιχούν σε ελλιπείς γεµίσεις του Σχήµατος Η εξισορρόπηση και ζυγοστάθµιση των δροµέων είναι ένα αρκετό πολύπλοκο πρόβληµα, αν και φαίνεται µε την πρώτη µατιά απατηλά εύκολο. Αναφερόµενοι στο Σχήµα 11., παρατηρούµε ότι η διαδροµή ΑΒ αποτελεί τον κοινό δίαυλο και για τις 6 κοιλότητες. Γίνεται η παραδοχή ότι κάθε ζεύγος κοιλοτήτων είναι ζυγοσταθµισµένο, αφού τα ζεύγη είναι συµµετρικά διαρρυθµισµένα εκατέρωθεν του άξονα του διαύλου. Είναι εποµένως απαραίτητο να ζυγοσταθµιστούν οι διαδροµές ΒΕ, ΒF, και ΒG των δροµέων. Αυτό απαιτεί ότι η πτώση πίεσης κατά µήκος καθεµιάς από τις διαδροµές αυτές, πρέπει να είναι τέτοια ώστε η πίεση στην είσοδο κάθε κοιλότητας (σηµεία Ε, F, G) να είναι η ίδια.