ΓΝΣΤΠΟ-ΑΡΩΓΟ ΓΙΑ ΣΗΝ ΓΠΑΝΑΛΗΦΗ ΣΗ ΤΛΗ ΣΗ Γ ΛΤΚΓΙΟΤ. Πνέπεη κα αλημπμηήζεηε θαηάιιεια ημ πνμκηθό δηάζηεμα ηςκ εμνηώκ

Transcript

1 ΓΝΣΤΠΟ-ΑΡΩΓΟ ΓΙΑ ΣΗΝ ΓΠΑΝΑΛΗΦΗ ΣΗ ΤΛΗ ΣΗ Γ ΛΤΚΓΙΟΤ Πνέπεη κα αλημπμηήζεηε θαηάιιεια ημ πνμκηθό δηάζηεμα ηςκ εμνηώκ...η ακηίζηνμθε μέηνεζε έπεη ανπίζεη ε ιηγόηενμ από 7 μήκεξ ζα δηεθδηθήζεηε μηα ζέζε ζηα αμθηζέαηνα. Η οιμπμίεζε ημο ζηόπμο ζαξ πιεζηάδεη. Γη αοηό μεκ επηηνέρεηε ζε ηίπμηα κα ζαξ απμζοκημκίζεη! Καιύρηε ηώνα ηα όπμηα θεκά, θάκηε επακάιερε ζηεκ ύιε θαη θαηεβείηε με ημκ αένα ημο κηθεηή ζηηξ ελεηάζεηξ 015. «Θοζηάζηε» αοηά ηα Υνηζημύγεκκα ζημ ζηόπμ πμο εζείξ βάιαηε, γηα κα ζθναγίζεηε ηε 1πνμκε μαζεηηθή ζαξ πμνεία. Αθήζηε γηα ηα επόμεκα, πμο ζα είζηε θμηηεηέξ ηηξ βόιηεξ θαη ηε παιάνςζε. Απμδείληε, ζημκ εαοηό ζαξ πάκς από όια, όηη είζηε ανεημάκημη Μαπεηέξ! Καιό δηάβαζμα... Φίλια Γ. Σταυρακάκη ύζζςμμ ημ θνμκηηζηήνημ ΝΓΑ ΤΜΒΟΛΗ ζαξ εύπεηαη 1

2 ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γ.Π. ΠΕΡΙΕΥΟΜΕΝΑ ΕΚΘΕΗ: ΕΛ. 3-5 ΒΙΟΛΟΓΙΑ: ΕΛ. 6-7 ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ: ΕΛ ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΦΤΙΚΗ: ΕΛ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ:31-35 ΥΗΜΕΙΑ: ΕΛ 36 ΒΙΟΛΟΓΙΑ: ΕΛ 36

3 ΔΚΘΔΗ ΔΚΦΡΑΗ ΓΙΑ ΟΛΑ ΣΑ ΣΜΗΜΑΣΑ: ΝΑ ΑΠΑΝΣΗΔΣΔ ζηις ΑΚΗΔΙ ΣΟΤ ΚΔΙΜΔΝΟΤ ΠΟΤ ΑΚΟΛΟΤΘΔΙ Δ ΚΟΛΛΑ ΑΝΑΦΟΡΑ ΚΔΙΜΔΝΟ: ΕΡΓΑΙΕ 1. ΝΑ ΑΠΑΝΣΗΕΣΕ Ε ΚΟΛΛΑ ΑΝΑΥΟΡΑ ΣΙ ΑΚΗΕΙ ΣΟΤ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ Όταν οι ατάκες «καπελώνουν» τις διαφημίσεις Μετά τον «ομορφάντρα» και τον «αγαπούλα», την εμφάνισή του έκανε ο Κίτσος< Ο λόγος για τους Μανώλη Μαυροματάκη, ο οποίος υποδύεται τον «γιατρό της πείνας», έξω από το Ολυμπιακό τάδιο που προσπαθεί να πείσει τους φιλάθλους να αγοράσουν το δικό του «βρώμικο», τον Σάκη πυριδάκη, τον διεφθαρμένο πρόεδρο μιας ποδοσφαιρικής ομάδας, ο οποίος επιδιώκει να επιβληθεί σε προπονητές και παίκτες, και προσφάτως τον Νίκο Ορφανό, ο οποίος «επιθυμεί» ερωτικά την Σασούλα και της τραγουδά, χορεύοντάς της συγχρόνως, το «την καρδιά μου βάζω αμπάρες» του. αλέα< Μπορεί οι παραπάνω διαφημίσεις με τα ευρηματικά σλόγκαν τους και τις καταπληκτικές ερμηνείες των «πρωταγωνιστών» τους να αποτελούν τα απόλυτα «σουξέ» της εποχής και να έχουν γίνει «καραμέλα» στα χείλη του κόσμου, η ταύτισή τους με το προϊόν που παρουσιάζουν, όμως, είναι αμφίβολη στη μνήμη του κοινού, με το πέρασμα του χρόνου. Και αυτό γιατί και στις τρεις κυρίαρχο ρόλο έχουν οι ατάκες, το «στόρι», οι καταπληκτικές ερμηνείες των «πρωταγωνιστών», και όχι αυτή καθαυτή η διαφημιζόμενη υπηρεσία (σ.σ. και οι τρεις επιτυχημένες, και συνάμα ευφάνταστες, προαναφερθείσες διαφημίσεις προέρχονται από τις ισάριθμες ελληνικές εταιρείες κινητής τηλεφωνίας). Εν αντιθέσει, οι διαφημίσεις προηγούμενων δεκαετιών περιείχαν στα σλόγκαν τους και το όνομα του προϊόντος ή της υπηρεσίας που διαφήμιζαν. Έτσι, νίκησαν τη μάχη με τον χρόνο και έχουν παραμείνει συνδεδεμένες με το εκάστοτε προϊόν. Ας θυμηθούμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα κυρίως των δεκαετιών του 80 και του 90 που έχουν χαραχθεί τόσο στη μνήμη, όσο και στην καρδιά μας, από τα παιδικά μας χρόνια: ΙΟΝ, η πρώτη σου αγάπη και παντοτινή. LACTA, το πιο γλυκό κομμάτι της ζωής. Έκαστος στο είδος του και ο ΛΟΤΜΙΔΗ στους καφέδες. 9 κατασκευαστές πλυντηρίων συνιστούν SΚΙΡ, αυτοί ξέρουν. Αναμφισβήτητα, τα σλόγκαν των παραπάνω διαφημίσεων τα οποία εμπεριέχουν τη μάρκα του προϊόντος είναι αυτά που τραβούν την προσοχή του καταναλωτή. Η συντομία, η λιτότητα και η ευκολία «απομνημόνευσης» αυτών αποτελούν το μεγάλο τους πλεονέκτημα. 3

4 Παρότι, λοιπόν, και σήμερα πολλές διαφημίσεις χαρακτηρίζονται για την ευρηματικότητά τους, τα εξυπνότατα κείμενα, τη δημιουργικότητα αλλά και την πρωτότυπη σκηνοθεσία, πολλές φορές μάλιστα συνδυαζόμενη με δημοφιλή πρόσωπα, το κοινό τείνει να φέρνει στη μνήμη του τις όποιες ατάκες αυτές περιέχουν, δυσκολεύεται όμως να θυμηθεί το ίδιο το διαφημιζόμενο προϊόν, εν απουσία της μάρκας από το σλόγκαν. Κατ αυτόν τον τρόπο, θυμόμαστε μεν την όποια ατάκα/σλόγκαν, όχι όμως και το διαφημιζόμενο προϊόν. Κορυφαίες ατάκες, σ αυτή την κατηγορία, που έχουν αφήσει μεν εποχή, ίσως όμως πολλοί από εμάς να μη θυμόμαστε το διαφημιζόμενο προϊόν, είναι: Πουτ δε κοτ ντάουν σλόουλι Put the cot down slowly< (Nova) Συχαίο; Δε νομίζω! (11888) Ευλόγως γεννιέται, λοιπόν, κατά νου το ερώτημα αν οι, κατά τα άλλα ευρηματικές, ατάκες των διαφημιστικών σποτ δεν συνδέονται απολύτως με το διαφημιστικό προϊόν, αν δεν παραπέμπουν το κοινό απευθείας σ αυτό, πετυχαίνουν τον στόχο τους που δεν είναι άλλος από το να πείσουν τον κόσμο να καταναλώσει το εν λόγω προϊόν; Ποιος ο ρόλος της Σέχνης της Πειθούς, όπως χαρακτηριστικά αποκαλείται η διαφήμιση, αν όχι η προώθηση των προϊόντων; Αρκεί μόνο η ικανοποίηση και ευχαρίστηση του κοινού; ε μια δύσκολη οικονομική συγκυρία, όπως η σημερινή, μήπως οι διαφημιστές αναθεώρησαν τους στόχους τους; Μήπως προσπαθούν να δώσουν καταρχήν μια διέξοδο, ένα ευχάριστο «διάλειμμα» από τη σκληρή πραγματικότητα στον τηλεθεατή και αφήνουν σε δεύτερη φάση τον άλλοτε πρωταρχικό τους στόχο; Αν και κάτι τέτοιο φαντάζει αρκετά δύσκολο, θα ήταν ευχής έργον< ύνταξη: Ισμήνη Λιάγκουρα Α. Nα συνοψίσετε το περιεχόμενο του κειμενου σε μια περίληψη λέξεων. Μονάδες 5 Β.1. «Ποιος ο ρόλος της Σέχνης της Πειθούς, όπως χαρακτηριστικά αποκαλείται η διαφήμιση, αν όχι η προώθηση των προϊόντων;.». Μετά από όσα διαβάσατε στο παραπάνω κείμενο να απαντήσετε σε μια παράγραφο λέξεων, στη ρητορική ερώτηση του συγγραφέα. Μονάδες 10 Β.. Με ποιον τρόπο και ποια μέσα πειθούς αναπτύσσεται η η παράγραφος του κειμένου να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες 5 Β.3. LACTA, το πιο γλυκό κομμάτι της ζωής. Ποια είναι η τεχνική και ποια η μορφή του συγκεκριμένου διαφημιστικού μηνύματος; Μονάδες 3 Β.4 α ). Να εντοπίσετε 4 παραδείγματα συνυποδηλωτικης χρήσης της γλώσσας. Γιατί επιλέγεται από το συγγραφέα; Μονάδες 4 4

5 Β.4 β )Πως χρησιμοποιούνται τα εισαγωγικά στη η παράγραφο του κειμένου «πρωταγωνιστών», «σουξέ», «καραμέλα», «στόρι» Μονάδες 4 Β.5 α ) Να γράψετε από ένα συνώνυμο για την καθεμιά λέξη: ευρηματικά, συνιστούν, τείνει, συγκυρία,, καταρχήν Μονάδες 5 Β.5 β )να αντικαταστήσετε τις αγγλικές λέξεις με αντίστοιχες ελληνικές (μονολεκτικά) σλόγκαν, στόρι, σουξέ, σποτ Μονάδες 4 Γ. ε μια συζήτηση με θέμα τη διαφήμιση, οι συνομιλητές σας αποδοκιμάζουν τη θετική λειτουργία της, εστιάζοντας στις κοινωνικές της επιπτώσεις. Παίρνετε το λόγο και με αντεπιχειρήματα τονίζετε την προσφορά της διαφήμισης στον εμπορικό, ψυχαγωγικό και κοινωνικό τομέα. Επισημαίνετε, επίσης και τα χαρακτηριστικά που επιβάλλεται να διαθέτει ο πολίτης για να αντιστέκεται στην αρνητική επιρροή της. ( λέξεις) Μονάδες 40. ΣΟ ΣΕΣΡΑΔΙΟ Α, ΝΑ ΑΠΑΝΣΗΕΣΕ Ε ΟΛΕ ΣΙ Β ΑΚΗΕΙ ΣΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

6 ΒΙΟΛΟΓΙΑ Γ.Π. ΓΙΑ ΟΛΑ ΣΑ ΣΜΗΜΑΣΑ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1: ΑΝΘΡΩΠΟ ΚΑΙ ΤΓΔΙΑ Έληππν αζθήζεσλ & δηαγξακκάησλ πνπ ζα ζαο δνζεί. ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΔ ΔΡΧΣΗΔΙ ΓΙΑ ΣΑ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΑ 1. Τπάξρνπλ κηθξόβηα πνπ δελ πξνθαινύλ αζζέλεηεο. Πνηα ε ρξεζηκόηεηα ηνπο;. Ση γλσξίδεηε γηα ην E.coli; 3. Πσο κεηαδίδνληαη νη παζνγόλνη κηθξννξγαληζκνί ζηνλ άλζξσπν; 4. Με πνηνλ ηξόπν δξνπλ ηα αληηβηνηηθά; 5. Πσο κπνξνύλ λα απνθεπρζνύλ νη κνιύλζεηο ηνπ νξγαληζκνύ καο από παζνγόλα κηθξόβηα; 6. Ση γλσξίδεηο γηα ην έιπηξν ησλ ηώλ θαη ην θπηηαξηθό ηνίρσκα ησλ βαθηεξίσλ; 7. Να αλαθέξεηο αζζέλεηεο ζηνλ άλζξσπν θαη εο θαηεγνξίεο ησλ κηθξνβίσλ πνπ ηηο πξνθαινύλ. 8. Να αλαθέξεηο ηξόπνπο κνλνγνληθήο αλαπαξαγσγήο ζηα κηθξόβηα. 9. Να αλαθέξεηο νπζίεο κε αληηκηθξνβηαθή δξάζε. 11. ε πνηεο πεξηπηώζεηο δελ ηζρύνπλ ηα θξηηήξηα ηνπ Κσρ; Ί. Πσο πξνθύπηνπλ ηα καθξνθάγα θαη πνηνο ν ξόινο ηνπο; 13. Πνηα ε ζπκβνιή ηνπ αίκαηνο ζηελ άκπλα ηνπ νξγαληζκνύ καο; 14. Πνην είλαη ην απνηέιεζκα ηεο αλνζνβηνινγηθήο απόθξηζεο έλαληη θάπνηνπ παζνγόλνπ κηθξνβίνπ; Ινύ; 15. Ση είλαη ηα αληηγόλα ηζηνζπκβαηόηεηαο θαη πνηνο ν ξόινο -ρνπο; 16. Πνην ην απνηέιεζκα ηεο δξάζεο ησλ ηνμηθώλ νπζηώλ πνπ απειεπζεξώλνπλ ηα κηθξόβηα; 17. ε πνηεο πεξηπηώζεηο παξαηεξείηαη δηαζηνιή αηκνθόξσλ αγγείσλ; 18. Πνηα ε δνκή ηνπ HIV; Πσο πνιιαπιαζηάδεηαη; Πνηα ηα θύηηαξα ζηόρνη ηνπ; 19. Πσο αληρλεύεηαη ην AIDS ζηνλ άλζξσπν; Πνηα από ηηο κεζόδνπο πνπ γλσξίδεηε πιενλεθηεί; 6

7 Οη θακπύιεο α,β,γ, αλαθέξνληαη ζηελ ζπγθέληξσζε αληηζσκάησλ ζηνλ νξό ηνπ αίκαηνο ελόο νξγαληζκνύ. Πνηεο νη δηαθνξέο ηνπο; Γηθαηνινγήζηε. Η θακπύιε δ αλαθέξεηε ζηελ ζεξκνθξαζία ελόο νξγαληζκνύ. Πνηα από ηηο θακπύιεο, α, β, γ ζρεηίδεηε κε ηελ θακπύιε δ; 7

8 ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ.Π. ΘΔΧΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ 1. Πεδία νξηζκνύ ζπλαξηήζεσλ (Μεζνδνινγία).. Πξάμεηο κεηαμύ ζπλαξηήζεσλ. 3. Γξαθηθή παξάζηαζε ζπλάξηεζεο- Αζθήζεηο. 4. Οξηζκνί γλ. αύμνπζαο - γλ. θζίλνπζαο ζπλάξηεζεο. 5. Οξηζκνί ηνπ. κεγίζηνπ- ηνπ. ειαρίζηνπ ζε έλα ζεκείν Έλλνηα ηνπ νξίνπ Ιδηόηεηεο νξίσλ Υπνινγηζκόο νξίσλ (Μεζνδνινγία). 7. Οξηζκόο ηεο ζπλέρεηαο κηαο ζπλάξηεζεο f ζε ζεκείν 0 ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο θαη αζθήζεηο ζηε ζπλέρεηα. 8. Οξηζκόο ηεο παξαγώγνπ ζπλάξηεζεο ζε ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο. 9. Παξάγσγνη βαζηθώλ ζπλαξηήζεσλ κε ηηο απνδείμεηο ησλ ηύπσλ. 10. Καλόλεο παξαγώγηζεο κε ηηο απνδείμεηο ησλ ηύπσλ.- Σύλζεηε ζπλάξηεζε. 11. Δθαπηνκέλε ζπλάξηεζεο ζε (γλσζηό ή άγλσζην ) ζεκείν ηεο γξαθ. παξάζηαζεο απηήο (Μεζνδνινγία). 1. Κξηηήξην 1 εο παξαγώγνπ. Δύξεζε κνλνηνλίαο αθξνηάησλ (Μεζνδνινγία) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΑΣΙΣΙΚΗ 1. Βαζηθέο έλλνηεο Σηαηηζηηθήο (πιεζπζκόο, δείγκα, κεηαβιεηή, δηάθξηζε κεηαβιεηώλ).. Πίλαθεο θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ (ζπρλόηεηα θαη ζρεη. ζπρλόηεηα, αζξ. ζπρλόηεηα θαη αζξ. ζρεηηθή ζπρλόηεηα). 3. Γξαθηθή παξάζηαζε θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ. 4. Μέηξα ζέζεο θαη δηαζπνξάο (Μέζε ηηκή, ζηαζκηθόο κέζνο, δηάκεζνο, δηαθύκαλζε ή δηαζπνξά, ηππηθή απόθιηζε, ζπληειεζηήο κεηαβνιήο) ΝΑ ΛΤΘΟΤΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΣΩ ΑΚΗΕΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ 3 1) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ) 5 6. Α) Να απνδείμεηε όηη ε f δελ έρεη αθξόηαηα. Β) Να βξείηε ζε πνην ζεκείν ηεο θακπύιεο ηεο f ε εθαπηνκέλε έρεη ηνλ ειάρηζην ζπληειεζηή δηεύζπλζεο. f ( ) Γ) Να βξείηε ην όξην

9 ) Έζησ όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ( ) a 1 εθάπηεηαη ζηνλ άμνλα ρ ρ ζην ζεκείν Α(1,0). Α) Να βξείηε ηα α θαη β. Β) Γηα α=- θαη β=3 f ( ) i. Nα βξείηε ην όξην. 1 ii. Nα εμεηάζεηε ηελ f σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα. iii. Να βξείηε ην ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f πνπ ε εθαπηνκέλε έρεη ηνλ κέγηζην ζπληειεζηή δηεύζπλζεο θαη κεηά ηελ εθαπηνκέλε ζην ζεκείν απηό. 3) Έζησ όηη ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f ( ) ( 1) 5 ζην ζεκείν ηεο Α(-1,8) έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο -4. i. Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ α θαη β. f ( ) ii. Να ππνινγίζεηε ην όξην 1 iii. Να εμεηάζεηε ηελ f σο πξνο ηε κνλνηνλία. iv. Να δείμεηε όηη ε f δελ έρεη αθξόηαηα. 4) Έζησ όηη ε επζεία y 14 εθάπηεηαη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο 3 ζπλάξηεζεο f ( ) 9 10 ζην 0 1. α) Να βξείηε ηα α θαη β. β) Γηα α=1 θαη β=-. i. Να βξείηε ηα ζεκεία ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζηα νπνία νη εθαπηνκέλεο είλαη παξάιιειεο ζηελ επζεία y=-9ρ. ii. Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηεο f σο πξνο ρ. f ( ) f ( ) iii. Να βξείηε ηα όξηα, ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ( 1). Έζησ όηη ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο εθαπηνκέλεο ε ηεο θακπύιεο ηεο ζπλάξηεζεο f ζην ζεκείν (-1,θ(-1)) είλαη -1. Α) Να βξείηε ην α. Β) Γηα α=- i. λα βξείηε ηελ εθαπηνκέλε επζεία ε ζην (-1,θ(-1)). ii. λα απνδείμεηε όηη ε θ δελ έρεη αθξόηαηα iii. λα βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο θ σο πξνο ρ. 3 6) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ). Να βξείηε: 4 5 Α) Τν ζεκείν ζην νπνίν ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ηέκλεη ηνλ άμνλα ρ ρ. Β) ην όξην f ( ) 0 Γ) ηελ παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο f. 9

10 Γ) ηελ εθαπηνκέλε ζηε θακπύιε ηεο f ζην ζεκείν πνπ ηέκλεη ε f ηνλ άμνλα ρ ρ. Δ) ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα. Ση) ηα αθξόηαηα ηεο f ) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ). Α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f. Β) Να βξείηε ηα όξηα f ( ), f ( ) 1 Γ) Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ζε θάζε ζεκείν ηεο θακπύιεο ηεο f ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα ρ ρ γσλία 45. Γ) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην (, ) a 8) Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ). Α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Β) Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ α ώζηε f ( ) 3a 4. 1 Γ) Γηα α=. i. λα βξείηε ηα ζεκεία ηεο θακπύιεο ηεο f πνπ νη εθαπηνκέλεο ζε απηά ζρεκαηίδνπλ κε ηνλ άμνλα ρ ρ γσλία π/4. ii. λα εμεηάζεηε ηελ f σο πξνο ηε κνλνηνλία. 9) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ) 1. Α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Β) Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο θακπύιεο ηεο f ζην ρ=1/. Γ) Να βξείηε ηε κέγηζηε ηηκή ηεο f. 1 f ( ) Γ) Να βξείηε ην. 0 10) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ( ) a ln, α 0. Α) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε f( ) 0 Β) Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηεο f σο πξνο ρ. Γ) Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο f ζην ζεκείν Α(1,f(1)) θαη λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηνπ α ώζηε ε εθαπηνκέλε απηή λα δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. 11) Μηα βηνκεραλία παξάγεη ρ κνλάδεο ελόο πξντόληνο εκεξεζίσο θαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ θόζηνπο παξαγσγήο ησλ ρ κνλάδσλ είλαη C ( ) 9 10, 0 χ 100 ζε ρηιηάδεο επξώ. Τν θέξδνο από ηελ πώιεζε ησλ ρ κνλάδσλ είλαη P( ) , ζε ρηιηάδεο επξώ. 3 Να βξείηε: Α) Τν εκεξήζην θόζηνο ηεο βηνκεραλίαο ρσξίο λα παξάγεη πξντόληα Β) Πόζα πξντόληα πξέπεη λα παξάγεη εκεξεζίσο ώζηε λα έρεη: i. ηε κέγηζηε είζπξαμε 10

11 ii. ην κέγηζην θέξδνο. 1) Έλα ζώκα θηλείηαη ζε έλαλ άμνλα κε αξρή ην ζεκείν Ο, ώζηε ε ζέζε ηνπ ζε ρξόλν 3 t λα δίλεηαη από ην ηύπν ( t) t 6t 9t. Α) Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ην ζώκα βξίζθεηαη ζην ζεκείν Ο. Β) Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ζε ρξόλν t θαη λα πξνζδηνξίζεηε πόηε ην ζώκα είλαη αθίλεην. Γ) Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ηαρύηεηαο θαη ηελ ρξνληθή ζηηγκή πνπ ηελ παξνπζηάδεη. Γ)Πόηε ην ζώκα θηλείηαη ζηελ ζεηηθή θαη πόηε ζηελ αξλεηηθή θαηεύζπλζε; Δ) Να δείμεηε όηη κε ηελ πάξνδν ηνπ ρξόλνπ ε επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο ζπλερώο απμάλεη. 13. Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ όξηα 1 i iii Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ όξηα i. iii ii. iv. ii. iv v. vii Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 8 f () vi. 1 3, 1 α 1, 1 αν αν Να βξείηε ην α ώζηε ε f λα είλαη ζπλερήο ζην 0 = Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f (). Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο θακπύιεο ηεο f πνπ i. έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο. ii. ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα γσλία 45 ν. iii. είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία 3 + y 1 = 0. iv. είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα. 11

12 Να εμεηάζεηε σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηηο ζπλαξηήζεηο i f () ii f () 6 1 iii. f () iv f () v. f () vi. 4 f () Σε πνην ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f () ε εθαπηνκέλε έρεη ην κέγηζην ζπληειεζηή δηεύζπλζεο. 19. Σε πνην ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f (), ( 1 3, 3) ε εθαπηνκέλε έρεη ην κέγηζην ζπληειεζηή δηεύζπλζεο. 0. Να βξείηε ην ζεκείν ηεο επζείαο κε εμίζσζε y = 3 πνπ είλαη πιεζηέζηεξα ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ. 1

13 Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηεο θακπύιεο ηεο ζπλάξηεζεο f () 1 πνπ είλαη πιεζηέζηεξν ζην ζεκείν Α(, 0). M(,y) y 1 Ο 1 Α(,0). Να βξείηε δύν αξηζκνύο θαη y κε ζηαζεξό άζξνηζκα 10, πνπ λα έρνπλ ην κεγαιύηεξν γηλόκελν. 3. Από όια ηα νξζνγώληα κε εκβαδόλ 400 m, λα βξείηε ηηο δηαζηάζεηο εθείλνπ, πνπ έρεη ηε κηθξόηεξε πεξίκεηξν. 4. Από όια ηα νξζνγώληα κε πεξίκεηξν 14 λα βξείηε ηηο δηαζηάζεηο εθείλνπ πνπ έρεη ην κεγαιύηεξν εκβαδόλ. 5. Μηα δεμακελή λεξνύ έρεη ζρήκα νξζνγσλίνπ παξαιιειεπηπέδνπ κε ηηο δύν έδξεο ηνπ ηεηξάγσλα πιεπξάο. Τν επάλσ κέξνο ηεο δεμακελήο είλαη αλνηρηό θαη είλαη θαηαζθεπαζκέλε από ιακαξίλα εκβαδνύ 7 m. Να βξείηε ηηο δηαζηάζεηο ηεο δεμακελήο έηζη ώζηε απηή λα ρσξάεη ηε κεγαιύηεξε δπλαηή πνζόηεηα λεξνύ. 6. Τν θόζηνο ηεο εκεξήζηαο παξαγσγήο κνλάδσλ ελόο βηνκεραληθνύ πξντόληνο είλαη 1 3 K() ζε επξώ κε Η είζπξαμε από ηελ πώιεζε κηαο κνλάδαο πξντόληνο είλαη 40- ζε επξώ. i. Να βξείηε ηε ζπλάξηεζε f πνπ δίλεη ην θέξδνο από ηελ πώιεζε κνλάδσλ. ii. Να βξείηε ηελ εκεξήζηα παξαγσγή ηνπ εξγνζηαζίνπ γηα ηελ νπνία ην θέξδνο είλαη κέγηζην θαη πόζν είλαη απηό. 13

14 Μηα βηνκεραλία θαζνξίδεη ηελ ηηκή πώιεζεο Π() ζε επξώ θάζε κνλάδαο ελόο πξντόληνο, ζπλαξηήζεη ηνπ πιήζνπο κνλάδσλ παξαγσγήο ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν Π() = , To θόζηνο παξαγσγήο κηαο κνλάδαο είλαη 400 επξώ. Αλ ε βηνκεραλία πιεξώλεη θόξν 10 επξώ γηα θάζε κνλάδα πξντόληνο, λα βξείηε πόζεο κνλάδεο πξντόληνο πξέπεη λα παξάγεη ε βηνκεραλία, ώζηε λα έρεη ην κέγηζην δπλαηό θέξδνο. 8. Τν θόζηνο C ηεο εκεξήζηαο παξαγσγήο κνλάδσλ ελόο πξντόληνο από κηα βηνκεραλία πνπ απαζρνιεί λ εξγάηεο δίλεηαη από ηνλ ηύπν C() 3 3 9ν 5ν ζε δεθάδεο επξώ Τν θέξδνο αλά κνλάδα πξντόληνο είλαη 10 λ δεθάδεο επξώ. Να βξείηε πόζεο κνλάδεο πξέπεη λα παξάγνληαη εκεξεζίσο θαη από πόζνπο εξγάηεο, ώζηε λα έρνπκε ειάρηζην θόζηνο θαη κέγηζην θέξδνο. 9. Τν ύςνο (ζε m) πνπ βξίζθεηαη έλα ηειεθαηεπζπλόκελν κνληέιν αεξνπιάλνπ, κεηά από ρξόλν πηήζεο t (sec) δίλεηαη από ηε ζπλάξηεζε: f (t) 3t 30t, όπνπ 0 t 10 i. Να βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ ύςνπο ηνπ αεξνπιάλνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t =. ii. Να βξείηε ην ρξνληθό δηάζηεκα θαηά ην νπνίν ην αεξνπιάλν αλεβαίλεη, θαζώο θαη ην ρξνληθό δηάζηεκα θαηά ην νπνίν θαηεβαίλεη. iii. Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ην αεξνπιάλν βξίζθεηαη ζην κέγηζην ύςνο, θαζώο θαη ην ύςνο απηό. 30. Να ππνινγηζηνύλ νη παξάγσγνη ησλ ζπλαξηήζεσλ i. ln f( ) ln ii. f( ) iii. f( ) 1 3 iv. f () v. f () vi. vii. f ( ) f ( )

15 viii. f ( ) 3 i. f ( ) ln(ln(ln )). ln( ) Σωτήρος 40 & Υψηλάντου i. f ( ) ( ) ii. f ( ) e e iii. f( ) e e e iv. f ( ) ( 1)ln( 1) v. f ( ) 1 vi. f ( ) ln 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ :ΣΑΣΙΣΙΚΗ 1. Έγηλε έξεπλα ζε 5 νηθνγέλεηεο γηα ηνλ αξηζκό ησλ παηδηώλ πνπ έρνπλ. Τα άηνκα πνπ ξσηήζεθαλ απάληεζαλ 0,1,,3,4 παηδηά. Τν πνζνζηό ησλ νηθνγελεηώλ πνπ απάληεζαλ 1 ή 3 παηδηά είλαη 44%, νη νηθνγέλεηεο πνπ δελ έρνπλ παηδηά είλαη 3. Οη νηθνγέλεηεο πνπ έρνπλ παηδηά είλαη δηπιάζηεο ησλ νηθνγελεηώλ πνπ δελ έρνπλ παηδηά. Ο αξηζκόο ησλ νηθνγελεηώλ πνπ έρνπλ 4 παηδηά είλαη θαηά 1 κεγαιύηεξνο ηνπ αξηζκνύ νηθνγελεηώλ πνπ έρνπλ 3 παηδηά. a. Να θαηαζθεπαζηεί πίλαθαο ζπρλνηήησλ b. Να γίλεη δηάγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ % θαη ζεκεηόγξακκα. c. Να βξεζεί ε κέζε ηηκή, ε δηάκεζνο θαη ε ηππηθή απόθιηζε.. Σε κία εηαηξεία εξγάδνληαη 50 άηνκα, κε ζπλνιηθό ρξόλν ππεξεζίαο πνπ δίλεηαη από ηνλ παξαθάησ πίλαθα : Φξόληα ππεξεζίαο λ η f i % F i % a. Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα. b. Να βξεζεί ην πιήζνο ησλ ππαιιήισλ πνπ έρνπλ ζπλνιηθό ρξόλν ππεξεζίαο ηνπιάρηζηνλ 10 ρξόληα. 15

16 c. Να βξεζεί ε γσλία ηνπ θπθιηθνύ δηαγξάκκαηνο πνπ αληηζηνηρεί από 15 έσο 0 ρξόληα. 3. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν f() = -e +4. a. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο f ζην ζεκείν (0,f(0)). b. Δπί ηεο επζείαο (ε) ζεσξνύκε 001 ζεκεία, νη ηεηκεκέλεο ησλ νπνίσλ ρ 1, ρ,,ρ 001 έρνπλ κέζε ηηκή 1. Να βξεζεί ε κέζε ηηκή ησλ ηεηαγκέλσλ. c. Να απνδείμεηε όηη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ησλ ηεηαγκέλσλ είλαη δηπιάζηνο από ην ζπληειεζηή κεηαβνιήο ησλ ηεηκεκέλσλ. 4. Σε έξεπλα πνπ έγηλε ζρεηηθά κε ην ύςνο ησλ κηζζώλ ησλ ππαιιήισλ κίαο επηρείξεζεο δηαπηζηώζεθε όηη ην 50% ησλ κηζζώλ ππεξβαίλεη ηα 900, ελώ ην 16% είλαη ρακειόηεξν από ηα 750. Υπνζέηνπκε όηη ε θαηαλνκή ησλ κηζζώλ είλαη πεξίπνπ θαλνληθή. a. Να βξεζεί ν κέζνο κηζζόο ησλ ππαιιήισλ θαη ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ κηζζνύ ηνπο. b. Να εμεηάζεηε αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο. c. Αλ νη ππάιιεινη είλαη 3000, πόζνη από απηνύο παίξλνπλ κηζζό από 1050 έσο 100 ; 5. Οη βαζκνί 40 καζεηώλ κηαο ηάμεο Γ ιπθείνπ ζην κάζεκα ησλ καζεκαηηθώλ γεληθήο παηδείαο θπκαίλνληαλ από 4 έσο 18. Τν 60% ησλ καζεηώλ πήξε ηνπιάρηζηνλ 10, 34 καζεηέο πήξαλ βαζκνινγία από 7 θαη άλσ, καζεηέο θάησ από 13 θαη 36 καζεηέο θάησ από 16. a. Να νκαδνπνηήζεηε ηα δεδνκέλα ζε πέληε θιάζεηο θαη λα θαηαζθεπάζεηε πίλαθα ζπρλνηήησλ θαη ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ. b. Να βξεζεί ε κέζε ηηκή θαη ε δηάκεζνο. 6. Η κέζε ηηκή θαη ε δηαθύκαλζε ελόο δείγκαηνο δέθα παξαηεξήζεσλ ππνινγίζηεθαλ 0 θαη 5 αληίζηνηρα. Καηά ηε δηάξθεηα ηεο επεμεξγαζίαο ησλ δεδνκέλσλ κηα παξαηήξεζε κε ηηκή 10 θαηαγξάθεθε από ιάζνο κε ηηκή 15. a. Να βξεζεί ε πξαγκαηηθή δηαθύκαλζε ησλ παξαηεξήζεσλ. b. Να απνδείμεηε όηη ην δείγκα δελ παξνπζηάδεη νκνηνγέλεηα θαη λα βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή θαηά ηελ νπνία πξέπεη λα απμεζεί θαζεκία από ηηο δέθα παξαηεξήζεηο, ώζηε ην δείγκα λα γίλεη νκνηνγελέο. 7. Έζησ όηη έρνπκε 100 παξαηεξήζεηο από ηηο νπνίεο νη 0 πξώηεο έρνπλ κέζε ηηκή 10 θαη ηππηθή απόθιηζε, ελώ νη ππόινηπεο έρνπλ κέζε ηηκή 0 θαη ηππηθή απόθιηζε 5. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή θαη ηελ ηππηθή απόθιηζε ηνπ ζπλόινπ. 16

17 Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα : ρ η λ η f i f i % N i F i F i % 1 0, , Σύλνιν 9. Έζησ νη παξαηεξήζεηο 3,,4,,6,1,ρ a. Να βξεζεί ε δηαθύκαλζε. b. Να βξεζεί ην ρ, ώζηε ε δηαθύκαλζε λα γίλεη ειάρηζηε. c. Γηα ηελ ηηκή απηή ηνπ ρ λα βξεζεί αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο θαη λα γίλεη ζεκεηόγξακκα. 17

18 ΦΤΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΓΙΑ ΟΛΑ ΣΑ ΣΜΗΜΑΣΑ Α. Δπαλαιεπηηθέο αζθήζεηο όισλ ησλ παξαγξάθσλ από ηα θπιιάδηα ζε θύιιν αλαθνξάο παξάδνζε 15/1/014 Β. ΤΜΠΛΗΡΩΣΔ ΩΣΟ-ΛΑΘΟ ΣΑ ΠΑΡΑΚΑΣΩ: 1. Καηά ηε δηάδνζε ησλ θπκάησλ ηζρύεη όηη: α. ηα εγθάξζηα θύκαηα δηαδίδνληαη κόλν ζηα ζηεξεά, β. ηα δηακήθε θύκαηα δηαδίδνληαη κόλν ζηα ζηεξεά, γ. ζηα εγθάξζηα θύκαηα, ε δηεύζπλζε δηάδνζεο ηαπηίδεηαη κε ηε δηεύζπλζε ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, δ. ε ηαρύηεηα ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ είλαη κεγαιύηεξε από ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο.. Έλα αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα. Γύν ζεκεία Α θαη Β ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ζην νπνίν δηαδίδεηαη ην θύκα έρνπλ κηα νξηζκέλε ρξνληθή 11 4 ζηηγκή t 1 θάζεηο: θαη αληίζηνηρα. 6 3 Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ ζαλ ζσζηέο ή ιάζνο, εμεγώληαο ηαπηόρξνλα θαη ην γηαηί: (1) Σν θύκα δηαδίδεηαη κε θνξά από ην Α ζην Β. () Η απόζηαζε (ΑΒ) ηζνύηαη κε 3 (όπνπ ην κήθνο θύκαηνο). (3) Η πεγή Ο εθείλε ηε ζηηγκή έρεη θάζε 0. (4) Οη θάζεηο ησλ ζεκείσλ Α θαη Β κηα κεηαγελέζηεξε ρξνληθή ζηηγκή ζα έρνπλ κεγαιώζεη ζε ζρέζε κε ηηο ηηκέο ηνπο ηε ρξνληθή ζηηγκή t Γηα λα δεκηνπξγεζεί ζηάζηκν θύκα πάλσ ζε κία ρνξδή, ηα δύν θύκαηα πνπ ζπκβάιινπλ δελ πξέπεη λα έρνπλ: α. ίδηα ζπρλόηεηα, β. ίδηα ηαρύηεηα δηάδνζεο, γ. ίδην πιάηνο ηαιάλησζεο, δ. ίδηα θνξά δηάδνζεο. 18

19 ην ζρήκα βιέπνπκε ηε κνξθή κηαο ρνξδήο ΟΚ πάλσ ζηελ νπνία έρεη ζρεκαηηζηεί ζηάζηκν θύκα, ηελ ρξνληθή ζηηγκή t 1. α. Να ζρεδηαζηεί ε ρνξδή ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο: t t1 θαη 4 t 3 t1. β. Πνηεο κνξθέο ελέξγεηαο έρνπλ ηα ζεκεία ηεο ρνξδήο (πιελ ησλ δεζκώλ) ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t 1 θαη t 4 t έλα ζηάζηκν θύκα, ηα ζεκεία αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο δεζκνύο έρνπλ: α. ίδην πιάηνο ηαιάλησζεο, β. δηαθνξά θάζεο, γ. ίδηα θάζε, δ. ίδηα κέγηζηε ηαρύηεηα ηαιάλησζεο θαη νιηθή ελέξγεηα ηαιάλησζεο. 6. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ ζαλ ζσζηέο ή ιάζνο: (1) Αλ δηπιαζηάδεηαη ην πιάηνο ηαιάλησζεο ζ έλα αξκνληθό θύκα, ηόηε δηπιαζηάδνληαη θαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα ηαιάλησζεο, θαζώο θαη ε ηαρύηεηα δηάδνζεο. () Γύν ζύγρξνλεο πεγέο δεκηνπξγνύλ θύκαηα πνπ ζπκβάιινπλ ζηελ επηθάλεηα ελόο πγξνύ. ηα ζεκεία ηεο κεζνθαζέηνπ ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο πνπ ζπλδέεη ηηο δύν πεγέο έρνπκε εληζρπηηθή ζπκβνιή, δειαδή πιάηνο. (3) Σα εγθάξζηα θαη ηα δηακήθε θύκαηα κπνξεί λα είλαη γξακκηθά, επηθαλεηαθά θαη θύκαηα ρώξνπ. (4) Η ηαρύηεηα δηάδνζεο ελόο θύκαηνο είλαη ζηαζεξή θαη αλεμάξηεηε από ην κέζν ζην νπνίν δηαδίδεηαη. (5) Γηα λα δεκηνπξγεζεί ζηάζηκν θύκα ζε κία ρνξδή ζα πξέπεη ην έλα άθξν ηεο λα είλαη αθιόλεην (δεζκόο) θαη ην άιιν ειεύζεξν (θνηιία). 7. ην ζρήκα βιέπνπκε ηε κεηαβνιή ηεο θάζεο ησλ δηαθόξσλ ζεκείσλ ελόο ειαζηηθνύ κέζνπ ζην νπνίν 19

20 δηαδίδεηαη έλα θύκα ζε ζρέζε κε ηελ απόζηαζε από ηελ πεγή, ηε ρξνληθή ζηηγκή t1 4s. Να βξείηε: α. ηελ εμίζσζε ηνπ θύκαηνο, αλ δίλεηαη όηη ην πιάηνο ηνπ είλαη 0,m. β. ην δηάγξακκα γηα t 5s. 8. Πνην είλαη ην βαζηθό πιενλέθηεκα ηεο δηακόξθσζεο ζήκαηνο θαηά ζπρλόηεηα F ζε ζρέζε κε ηε δηακόξθσζε θαηά πιάηνο. 9. Η νιηθή εζσηεξηθή αλάθιαζε: α. κπνξεί λα πξαγκαηνπνηεζεί κόλν αλ ε γσλία πξόζπησζεο είλαη κηθξόηεξε από ηε γσλία δηάζιαζεο, β. κπνξεί λα πξαγκαηνπνηεζεί κόλν αλ ην θσο κεηαβαίλεη από κέζν ζε κέζν κε, γ. όηαλ πξαγκαηνπνηείηαη, ηζρύεη ν λόκνο ηνπ Snell, δ. πξαγκαηνπνηείηαη όηαλ ε γσλία πξόζπησζεο είλαη κηθξόηεξε ηεο θξίζηκεο γσλίαο. 10. Ο δείθηεο δηάζιαζεο ηνπ πιηθνύ ηνπ πξίζκαηνο ηνπ ζρήκαηνο είλαη: α., β. 3, γ. /, δ Όηαλ απμάλεηαη ην πιάηνο ελόο κεραληθνύ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη ζε νκνγελέο ειαζηηθό κέζν: α. απμάλεηαη ε ηαρύηεηά ηνπ, β. απμάλεηαη ε ελέξγεηα ηαιάλησζεο θάζε ζεκείνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, γ. απμάλεηαη ην κήθνο θύκαηνο, δ. απμάλεηαη ε ζπρλόηεηά ηνπ. 0

21 ην δηπιαλό ζρήκα θαίλεηαη ην ζηηγκηόηππν ελόο εγθάξζηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο πνπ δηαδίδεηαη ζηε ζεηηθή θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα. Να αηηηνινγήζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ωζηές θαη πνηεο Λάθος. (1) Σν ζεκείν Κ έρεη ηε κέγηζηε επηηάρπλζε θαη ην ζεκείν Μ έρεη ηε κέγηζηε ηαρύηεηα. () Η δηαθνξά θάζεο κεηαμύ ησλ ζεκείσλ Κ, Μ είλαη ίζε κε Μεηαμύ δύν ζεκείσλ ελόο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ έρεη δεκηνπξγεζεί ζηάζηκν εγθάξζην αξκνληθό θύκα. Γύν ζεκεία Μ, Ν βξίζθνληαη ην έλα αξηζηεξά θαη ην άιιν δεμηά ελόο δεζκνύ Γ θαη απέρνπλ από απηόλ απνζηάζεηο 3 θαη αληίζηνηρα, όπνπ ην κήθνο θύκαηνο ησλ θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν 4 θύκα. Σα ζεκεία απηά έρνπλ: α. ίδηα ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο, β. ίδην πιάηνο ηαιάλησζεο, γ. ίδηα θάζε, δ. δηαθνξά θάζεο. 14. Σν κήθνο θύκαηνο ελόο θύκαηνο: α. δε κεηαβάιιεηαη όηαλ ην θύκα αιιάδεη κέζν δηάδνζεο, β. είλαη αληίζηξνθα αλάινγν κε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο, γ. είλαη ίζν κε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε κεηαμύ δύν ζεκείσλ πνπ βξίζθνληαη ζε ζπκθσλία θάζεο, δ. είλαη ίζν κε ηε κέγηζηε απνκάθξπλζε θάζε ζεκείνπ ηνπ κέζνπ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ. 1

22 Πάλσ ζε γξακκηθό νκνγελέο ειαζηηθό κέζν έρεη δεκηνπξγεζεί ζηάζηκν θύκα. Οη απνζηάζεηο ησλ δεζκώλ από ηε ζέζε 0, όπνπ έρεη δεκηνπξγεζεί θνηιία, δίλνληαη από ηε ζρέζε: α., β.,, γ δ Καηά κήθνο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ έρεη ζρεκαηηζηεί εγθάξζην ζηάζηκν αξκνληθό θύκα. Γύν ζεκεία Κ, Λ ηνπ κέζνπ βξίζθνληαη εθαηέξσζελ ελόο δεζκνύ ζε απνζηάζεηο d θαη 8 πξνηάζεηο είλαη ωζηές θαη πνηεο Λάθος. d αληίζηνηρα. Να αηηηνινγήζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ 1 (1) Η δηαθνξά θάζεο κεηαμύ ησλ Κ, Λ είλαη ίζε κε κεδέλ. () Η κέγηζηε ηαρύηεηα ηνπ Κ είλαη θνξέο κεγαιύηεξε από ηε κέγηζηε ηαρύηεηα ηνπ Λ. Τπόδειξη: Θεσξήζηε 0 ζηελ θνηιία πνπ είλαη πην θνληά ζην δεζκό. 17. Όηαλ ζε έλα κέζν δηαδίδνληαη ηαπηόρξνλα δύν θύκαηα: α. ε απνκάθξπλζε ελόο ζεκείνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ είλαη ίζε κε ηε ζπληζηακέλε ησλ απνκαθξύλζεσλ πνπ νθείινληαη ζηα δύν θύκαηα, β. ηα θύκαηα αιιειεπηδξνύλ θαη επεξεάδεηαη ε δηάδνζή ηνπο, γ. ηζρύεη ε αξρή ηεο επαιιειίαο αλεμάξηεηα από ην πόζν ηζρπξή είλαη ε δηαηαξαρή, δ. ηζρύεη ε αξρή ηεο επαιιειίαο κόλν αλ ηα θύκαηα έρνπλ ηελ ίδηα ζπρλόηεηα θαη ην ίδην πιάηνο. 18. ε έλα ηαιαληνύκελν ειεθηξηθό δίπνιν πνπ απνηειείηαη από δύν ξάβδνπο: α. νη δύν ξάβδνη ζπλδένληαη κε πεγή ζπλερνύο ηάζεο, β. νη δύν ξάβδνη ζπλδένληαη κε πεγή ελαιιαζζόκελεο ηάζεο, γ. ην κεηαβαιιόκελν ειεθηξηθό ξεύκα δεκηνπξγεί γύξσ από ηηο

23 ξάβδνπο έλα ζηαζεξό ρξνληθά καγλεηηθό πεδίν, δ. ε πεξηνδηθή κεηαβνιή ηνπ θνξηίνπ ζηα άθξα ησλ ξάβδσλ δεκηνπξγεί έλα ζηαζεξό ρξνληθά ειεθηξηθό πεδίν. 19. Μνλνρξσκαηηθή αθηίλα θσηόο δηαδίδεηαη ζηνλ αέξα θαη πξνζπίπηεη ζηελ επίπεδε επηθάλεηα ελόο δηαθαλνύο κέζνπ. Να αηηηνινγήζεηε πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ωζηές θαη πνηεο Λάθος. (1) Αλ ε αλαθιώκελε αθηίλα θαη ε δηαζιώκελε είλαη θάζεηεο, ηζρύεη: n όπνπ είλαη ε γσλία πξόζπησζεο. () Γηα λα δηαδνζεί αθηίλα ηεο ίδηαο αθηηλνβνιίαο από ην δηαθαλέο κέζν ζηνλ αέξα, πξέπεη λα πξνζπίπηεη ζηε δηαρσξηζηηθή επηθάλεηα ηνπ κέζνπ κε ηνλ αέξα κε γσλία πξόζπησζεο όπνπ αληίζηνηρα., γηα ηελ νπνία ηζρύεη: c, c ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηεο αθηηλνβνιίαο ζην κέζν θαη ζηνλ αέξα 0. ηελ επηθάλεηα ελόο πγξνύ δεκηνπξγνύληαη εγθάξζηα αξκνληθά θύκαηα ίδηνπ πιάηνπο Α θαη ίδηαο ζπρλόηεηαο f από δύν ζύγρξνλεο πεγέο θπκάησλ Π 1, Π. ε έλα ζεκείν ηεο επηθάλεηαο ηνπ πγξνύ βξίζθεηαη έλα κηθξό θνκκάηη θειινύ ην νπνίν εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πιάηνπο Α θαη ελέξγεηαο Δ. Αλ νη πεγέο εθηειέζνπλ ηαιάλησζε ίδηνπ πιάηνπο Α θαη δηπιάζηαο ζπρλόηεηαο (1) Σν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ θειινύ ζα είλαη: f f : α) Α β) Α γ) κεδέλ Δπηιέμηε ηε ζσζηή απάληεζε. Αηηηνινγήζηε ηελ επηινγή ζαο. () Η ελέξγεηα ηαιάλησζεο ηνπ θειινύ ζα είλαη: α) κεδέλ β) Δ γ) 4Δ Δπηιέμηε ηε ζσζηή απάληεζε. Αηηηνινγήζηε ηελ επηινγή ζαο. 1. Πνηεο από ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ είλαη ζσζηέο θαη πνηεο ιάζνο: α. Όηαλ έλα ζεκεηαθό αληηθείκελν εθηειεί γ.α.η. ηόηε γηα ηε ζπληζηακέλε 3

24 δύλακε πάλσ ηνπ ηζρύεη Σωτήρος 40 & Υψηλάντου F D. β. Σα κεγέζε θαη έρνπλ ίδηα θάζε. γ. Η θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο πνπ εθηειεί γ.α.η. είλαη ίζε κε ηελ νιηθή ηνπ ελέξγεηα ζηε ζέζε 0. δ. Η νιηθή ελέξγεηα ζηε γ.α.η. κεηαβάιιεηαη εκηηνλνεηδώο κε ην ρξόλν. ε. Η ζπρλόηεηα κηαο γ.α.η. δίλεηαη από ηε ζρέζε f m. D. Έλα ζεκεηαθό αληηθείκελν εθηειεί γ.α.η. θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 0 βξίζθεηαη ζηε ζέζε 0, θηλνύκελν θαηά ηε ζεηηθή θνξά. Να ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο κε ρξήζε ησλ κεγεζώλ m,, θαη ηνπ. Υξόλνο Φάζε π F ΟΛ U 0 T/4 T/ 3T/4 T 3. Σν πιάηνο Α ζε κία γ.α.η.: α. εμαξηάηαη από ηελ πεξίνδν Σα, β. είλαη αλάινγν ηεο νιηθήο ελέξγεηαο, γ. θαζνξίδεηαη από ηελ νιηθή ελέξγεηα. δ. δηπιαζηάδεηαη αλ δηπιαζηαζηεί ε θπθιηθή ζπρλόηεηα ηεο ηαιάλησζεο. 4. Γύν ζώκαηα κε κάδα m 1 θαη m εθηεινύλ γ.α.η. κε ην ίδην πιάηνο 0,m. Η θάζε ηεο θίλεζεο ησλ δύν ζσκάησλ ζε ζρέζε κε ην ρξόλν δίλεηαη από ηα παξαθάησ δηαγξάκκαηα: (1) Να γξαθνύλ νη εμηζώζεηο f (t) γηα ηηο δύν θηλήζεηο. () Αλ ηα δύν ζώκαηα έρνπλ ζηαζεξέο ηαιαληώζεηο D 1 θαη D γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη D1 D, λα βξείηε ην ιόγν m 1/m. 4

25 Γίλεηαη: ε ηδαληθό θύθισκα LC ηε ζηηγκή t 0 ην θνξηίν ζηνλ ππθλσηή έρεη ηε κέγηζηε ηηκή. Μεηά από ρξόλν t 3/ 4: α. ην ξεύκα είλαη i 0 γηα δεύηεξε θνξά, β. ηζρύεη όηη U U γηα ηξίηε θνξά, γ. ε U παίξλεη ηε κέγηζηε ηηκή ηεο γηα δεύηεξε θνξά, δ. ηζρύεη όηη 3Q q ε κία ακείσηε ειεθηξηθή ηαιάλησζε λα απνδεηρζνύλ νη ζρέζεηο: α. i Q q, όπνπ q i, νη ζηηγκηαίεο ηηκέο ηεο έληαζεο ηνπ β. ξεύκαηνο θαη ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή αληίζηνηρα. di q. dt LC 7. ε κηα θζίλνπζα ηαιάλησζε κε αξρηθό πιάηνο Α 0, κεηά από νξηζκέλν ρξνληθό δηάζηεκα ην ζύζηεκα έρεη ράζεη ελέξγεηα 30 Σν πιάηνο ηεο ηαιάλησζήο ηνπ εθείλε ηε ζηηγκή είλαη: α. Α 0 / 4 β. Α 0 / γ. 3Α 0 / 4 δ. Α 0. 4, όπνπ Δ 0 ε αξρηθή ηνπ ελέξγεηα. 8. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ ζαλ ζσζηέο ή ιάζνο: (1) Η ζύλζεζε δύν ηαιαληώζεσλ κε εμηζώζεηο 1 1 t θαη ( t ) κε ίδηα δηεύζπλζε θαη γύξσ από ην ίδην ζεκείν έρεη θάζε t. () Η ζύλζεζε δύν ηαιαληώζεσλ κε ίδηα δηεύζπλζε, γύξσ από ην ίδην ζεκείν θαη κε εμηζώζεηο 1 αξκνληθή ηαιάλησζε. 1 t θαη t έρεη πιάηνο Α θαη είλαη επίζεο απιή (3) έλα δηαθξόηεκα, ν ρξόλνο πνπ κεζνιαβεί αλάκεζα ζε δύν δηαδνρηθνύο κεδεληζκνύο ηνπ πιάηνπο εμαξηάηαη από ηε δηαθνξά f 1 f θαη ειαηηώλεηαη όζν ε δηαθνξά απηή ειαηηώλεηαη. 5

26 (4) ηελ εμίζσζε ηεο θζίλνπζαο αξκνληθήο ηαιάλησζεο πνπ ην πιάηνο δίλεηαη από ηε ζρέζε 0 e t, ν ρξόλνο t κπνξεί λα πάξεη κόλν νξηζκέλεο ηηκέο πνπ είλαη αθέξαηα πνιιαπιάζηα ηεο πεξηόδνπ Σ. (5) Μηα ηαιάλησζε είλαη ειεύζεξε όηαλ ε ζπρλόηεηά ηεο ηαπηίδεηαη κε ηελ ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ηαιαλησηή. (6) ηελ εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε, ε ζπρλόηεηα ηαπηίδεηαη πάληα κε ηε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε. (7) Γηα λα παξαηεξήζνπκε ζπληνληζκό ζ έλα θύθισκα ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ LC, ζα πξέπεη ην πελίν λα βξίζθεηαη ζε επαγσγηθή ζύδεπμε κε άιιν πελίν, ην νπνίν ηξνθνδνηείηαη από ελαιιαζζόκελν ξεύκα. (8) Η επηινγή ελόο ξαδηνθσληθνύ ζηαζκνύ, ζηεξίδεηαη ζηα θαηλόκελα ηεο απηεπαγσγήο θαη ηεο ακνηβαίαο επαγσγήο. (9) Όηαλ έλα ζώκα εθηειεί δύν ηαιαληώζεηο κε ίδηα δηεύζπλζε θαη γύξσ από ην ίδην ζεκείν, ε απνκάθξπλζε θάζε ζηηγκή δίλεηαη από ηε ζρέζε 1, αλεμάξηεηα από ηε ζρέζε ησλ f 1, f. (10) Γελ είλαη δπλαηή ε ζύλζεζε δύν αξκνληθώλ ηαιαληώζεσλ, αλ απηέο δελ έρνπλ ίδηεο ζπρλόηεηεο. 9. Γύν θπθιώκαηα LC (ρσξίο σκηθή αληίζηαζε) εθηεινύλ ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο, γηα ηηο νπνίεο ηα Q t θαίλνληαη ζην δηάγξακκα. Οη δύν ππθλσηέο έρνπλ θνξηηζηεί από ηελ ίδηα ηάζε V. Να βξείηε ηνπο ιόγνπο: α. C C 1 β. L L 1 γ ε έλα κεραληθό ζύζηεκα κάδαο ειαηεξίνπ πνπ εθηειεί εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε θαη ζην νπνίν αζθείηαη δύλακε αληίζηαζεο ηαρύηεηα): α. ε ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο είλαη ίζε κε ηε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε, β. ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη αλεμάξηεην ηεο ζπρλόηεηαο ηνπ δηεγέξηε, F b ( b ζηαζεξά, 6

27 γ. ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη ειάρηζην όηαλ ε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε είλαη ίζε κε ηελ ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ηαιαληνύκελνπ ζπζηήκαηνο, δ. δελ ππάξρνπλ απώιεηεο ελέξγεηαο ιόγσ ηξηβώλ. 31. Ο ζύλζεηνο ήρνο πνπ παξάγεηαη από δύν δηαπαζώλ πνπ πάιινληαη ηαπηόρξνλα έρεη ζπρλόηεηα 400Ηz θαη παξνπζηάδεη δηαθξνηήκαηα πνπ έρνπλ ζπρλόηεηα 4Ηz. Αλ ε ζπρλόηεηα ηνπ ελόο δηαπαζώλ είλαη f 1 40z, ε ζπρλόηεηα ηνπ άιινπ είλαη: α. 406Ηz β. 400Ηz γ. 398Ηz δ. 40Ηz. 3. ην δηπιαλό δηάγξακκα θαίλεηαη ε κεηαβνιή ηνπ θνξηίνπ δύν ππθλσηώλ ίζεο ρσξεηηθόηεηαο ζε δύν δηαθνξεηηθά θπθιώκαηα Α, Β ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ. (1) Αλ L ν ζπληειεζηήο απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ ηνπ θπθιώκαηνο Α θαη L ν ζπληειεζηήο απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ ηνπ θπθιώκαηνο Β, ν ιόγνο L / L είλαη ίζνο κε: α. 1 β. 4 γ. 4 1 Να αηηηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο. () Να ζπγθξίλεηε ηελ νιηθή ελέξγεηα ησλ δύν θπθισκάησλ θαη ηε κέγηζηε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη θάζε θύθισκα. 7

28 Να ζπκπιεξώζεηε ζηα θελά ηεο ζηήλης Β ηα θπζηθά κεγέζε θαη ηηο ζρέζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα ζηνηρεία ηεο ζηήλης Α. ηήλη Α (Μεραληθή ηαιάλησζε) Απνκάθξπλζε: Σαρύηεηα: d dt ηήλη Β (Ηιεθηξηθή ηαιάλησζε) Γπλακηθή ελέξγεηα: Κηλεηηθή ελέξγεηα: 1 U D 1 m 34. ηε δηάξθεηα κηαο πεξηόδνπ ηεο ειεθηξηθήο ηαιάλησζεο ελόο ηδαληθνύ θπθιώκαηνο LC ε ελέξγεηα ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ηνπ ππθλσηή είλαη ίζε κε ηελ ελέξγεηα καγλεηηθνύ πεδίνπ ηνπ πελίνπ: α. κία θνξά, β. δύν θνξέο, γ. ηξεηο θνξέο, δ. ηέζζεξηο θνξέο. 35. Έλα ζώκα κάδαο m εθηειεί θζίλνπζα ηαιάλησζε δεκέλν ζην άθξν ειαηεξίνπ ζηαζεξάο k. ην ζώκα αζθείηαη δύλακε αληίζηαζεο ηεο κνξθήο F b ( b ζηαζεξά, ηαρύηεηα ζώκαηνο ). Η ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο ηνπ ζώκαηνο εμαξηάηαη: α. κόλν από ηε κάδα ηνπ ζώκαηνο, β. κόλν από ηε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ, γ. κόλν από ηε ζηαζεξά απόζβεζεο b, δ. από όια ηα παξαπάλσ. 36. Ιδαληθό θύθισκα LC εθηειεί ειεθηξηθή ηαιάλησζε κε πεξίνδν Σ. α. Γηα λα δηπιαζηαζηεί ε πεξίνδνο, πξέπεη λα ππνδηπιαζηάζνπκε ηε ρσξεηηθόηεηα ηνπ ππθλσηή θαη ην ζπληειεζηή απηεπαγσγήο ηνπ 8

29 πελίνπ. Σωτήρος 40 & Υψηλάντου β. Γηα λα δηπιαζηαζηεί ε πεξίνδνο, πξέπεη λα δηπιαζηάζνπκε ηε ρσξεηηθόηεηα ηνπ ππθλσηή θαη ην ζπληειεζηή απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ. γ. Αλ ε νιηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο δηπιαζηαζηεί, ε πεξίνδνο ππνδηπιαζηάδεηαη. δ. Η ζπρλόηεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη αλάινγε ηεο νιηθήο ελέξγεηαο ηεο ηαιάλησζεο. 37. ώκα δεκέλν ζην άθξν ηδαληθνύ ειαηεξίνπ εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. Η αληίζηαζε από ηνλ αέξα είλαη ηεο κνξθήο F b ( b ζηαζεξά, ηαρύηεηα ζώκαηνο ). Σν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηε ρξνληθή ζηηγκή t 0 0 είλαη 0 θαη ηε 0 ρξνληθή ζηηγκή t 1 είλαη. 4 α. Σν πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο κεδελίδεηαη ηε ρξνληθή ζηηγκή 4t 1. β. Η ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο ειαηηώλεηαη γξακκηθά κε ην ρξόλν. γ. Η ζπρλόηεηα ηεο ηαιάλησζεο δηαξθώο ειαηηώλεηαη. 0 δ. Σε ρξνληθή ζηηγκή t 1 ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη Γύν ζώκαηα Α θαη Β κε κάδεο m θαη αληίζηνηρα δέλνληαη ζε δύν όκνηα ειαηήξηα άιιν άθξν ησλ νπνίσλ είλαη ζηεξεσκέλν αθιόλεηα θαη εθηεινύλ απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. ην δηάγξακκα θαίλεηαη ε απνκάθξπλζε ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ ησλ δύν ζσκάησλ. Πνηεο από ηηο παξαθάησ ζρέζεηο είλαη ωζηές θαη πνηεο Λάθος. Γηθαηνινγήζηε ηηο απαληήζεηο ζαο. α. β. ma ma γ. m m δ. m ην 9

30 Ο ππθλσηήο ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο έρεη θνξηηζηεί κε θνξηίν Q. Σε ρξνληθή ζηηγκή t 0 0 ν κεηαγσγόο κεηαθέξεηαη ζηε ζέζε (1) θαη ην θύθισκα εθηειεί ειεθηξηθή ηαιάλησζε κε πεξίνδν 1. Σε ρξνληθή ζηηγκή t 1 1 ν κεηαγσγόο κεηαθέξεηαη αθαξηαία ζηε ζέζε (). ην ρξνληθό δηάζηεκα από t 0 0 έσο t 41 λα ζρεδηαζηνύλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν: α. Σνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή. β. Σεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο πνπ πεξλά από ην ακπεξόκεηξν Α. Γηα 40. ώκα κάδαο m εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πιάηνπο Α θαη γσληαθήο ζπρλόηεηαο. Σελ t 0 ην ζώκα βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη θηλείηαη θαηά ηελ αξλεηηθή θνξά. Πνηα από ηηο παξαθάησ ζρέζεηο είλαη Λάθος; α. Απνκάθξπλζε: ( t ). β. Σαρύηεηα: t. γ. Δπηηάρπλζε: t. 1 δ. Γπλακηθή ελέξγεηα ηαιάλησζεο: U m t. 30

31 ΓΙΑ ΟΛΑ ΣΑ ΣΜΗΜΑΣΑ. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ Κεθάιαην Μηγαδηθώλ: ηδηαίηεξε πξνζνρή ζην κέηξν. Κεθάιαην 1 Αλάιπζεο: ηδηαίηεξε πξνζνρή ζηα όξηα θαη ζην ζεώξεκα Βνlzano, ελδηάκεζεο ηηκήο θαη πνξηζκάησλ. Αζθήζεηο: ρνιηθό βηβιίν: ζει. 18: 1,3 ει. 187:1,,3,4 (Β νκάδα) ει 199: 8,9,10 (Α νκάδα),,3,4,β ει. 00:5,6,7,8 ΠΡΟΟΥΗ 1: επαλάιεςε ζηνπο ινγάξηζκνπο θαη ζηελ ηξηγσλνκεηξία. ΝΑ ΛΤΘΟΤΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΣΧ ΑΚΗΔΙ 1. Έζησ κηγαδηθόο z yi,, y R. i. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ z γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη όηη ν w z i z 1 είλαη πξαγκαηηθόο, είλαη κηα επζεία ( z 1). ii. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ z γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη 1 z 1 1, είλαη θύθινο ( z 1). iii. Να απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ z γηα ηνπο νπνίνπο ν w [ηνπ εξ.(i)] είλαη θαληαζηηθόο, είλαη θύθινο.. Γίλεηαη ν κηγαδηθόο z yi,, y R. θαη i. Να απνδείμεηε όηη f (1 i) 3 3i ii. Να απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο (1 ) 004 z iz f ( z), z 1 z 1 f i R iii. Έζησ Α, Β νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ f(1 i) θαη f(1 i) ζην κηγαδηθό επίπεδν. Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη νξζνγώλην ζην Ο. 3. Γίλεηαη ν κηγαδηθόο δ θαη ε ζπλάξηεζε v f ( v) i z, v N * i. Να απνδείμεηε όηη f (1) f (6) f (7) f (16) 0 31

32 ii. Να απνδείμεηε όηη f ( v) f ( v ) f ( v 4) f ( v 6) 0 iii. Αλ z λα απνδείμεηε όηη f(001) f(004) 4. Έζησ νη κηγαδηθνί z1, z κε z 1 θαη z1 z z1. 1 i. Να απνδείμεηε όηη Re( zz 1 ) ii. Να βξείηε ι ηέηνηα ώζηε z z (1 i) 1 iii. Αλ A( z1), B( z ), λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο γηα ηε ζεηηθή ηηκή ηνπ ι πνπ βξήθαηε. 5. Γηα ηνπο z, w C ηζρύνπλ zz z z 3, w ( 1) i, R θαη Re( z) 0 i. Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ηνπ z ζην κηγαδηθό επίπεδν βξίζθνληαη ii. ζε ηόμν θύθινπ (C) κε θέληξν Κ(-1,0) θαη αθηίλα ξ=. Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ηνπ w βξίζθνληαη ζηελ επζεία ( ) : y1 0 iii. Να βξείηε ην z κε ην κέγηζην κέηξν. iv. Βξείηε ηελ εηθόλα Μ ηνπ w πνπ έρεη ην ειάρηζην κέηξν 6. Γίλεηαη ν z ( 1) (3 ) i, a R i. Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ηνπ z ii. Να βξείηε ηνπο z κε ην ειάρηζην θαη ην κέγηζην κέηξν. iii. Να βξείηε ηα κέηξα ησλ z ηνπ [ηη] iv. Να απνδείμεηε όηη 3 z4i 7 7. Έζησ f : R R ζπλερήο ζην R κε 3 1 zz f ( ) z1 z f ( ) f ( ), R όπνπ z1, z ζηαζεξνί 4 κηγαδηθνί, νη εηθόλεο ησλ νπνίσλ είλαη εζσηεξηθά ζεκεία ηνπ θύθινπ : y 1. Να απνδείμεηε όηη: i. z1 z 1 z1z ii. Η εμίζσζε f( ) 0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (0,1) 3

33 Γίλεηαη f ζπλερήο ζην, a κε f ( a) a 0. Αλ ν if ( ) z a if ( a) είλαη θαληαζηηθόο, λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε f ( ) ιύζε ζην ( a, ). 9. Γίλνληαη νη z1, z C κε z1 z 1. έρεη ηνπιάρηζηνλ κηα Θεσξνύκε z1z 1, 0 f( ) 1, 0 Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 λα απνδείμεηε όηη z1 z 10. Έζησ f ( z) z iz, z C i. Να ιπζεί ε εμίζσζε f ( z) i ii. Αλ f z, λα βξείηε ηα z iii. Αλ z 1 λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ηνπ w f () z θύθινο πνπ δηέξρεηαη από ην Ο(0,0) 1. Γίλεηαη ν κηγαδηθόο z=α+βi κε *, R. 1 i) Αλ z z δείμηε όηη Re z. z ii) Αλ ππάξρεη ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην [,3] κε f()=α>0, f(3)=β θαη α>β, λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε f()=0 έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ζην (,3). (004) Έζησ ε ζπλάξηεζε f: R R γηα ηελ νπνία ηζρύεη f ()-f() γηα θάζε R. Να ειέγμεηε αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην = Να βξείηε ηνπο α,β,γr αλ ηζρύεη 15. Αλ ( f ( ) g ( )) 0 ( f ( ) g ( )) 0 =θ 1 θαη 0 ζπλαξηήζεη ησλ θ 1, θ 16. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα ( f ( ) g ( )) =θ κε 0, θ 1, θ R ηόηε λα βξείηε ην 33

34 ) ) ) ) ) Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f:r R γηα ηελ νπνία ηζρύεη f ()+f()-1=0 γηα θάζε R. α) Να δείμεηε όηη ε f δηαηεξεί πξόζεκν. β) Αλ f(0)>0 λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 18. Έζησ ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f:[1,] R ε νπνία είλαη γλεζίσο θζίλνπζα θαη ηζρύεη ε ζρέζε f (1)+f ()+5=4f(1)+f() α) Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f β) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε f()= έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην [1,] 3, Έζησ ε ζπλάξηεζε f ( ) 0, 0 α) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζπλερήο. β) Να βξείηε ην όξην f ( ) 0. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα 1 ) 1 3 ), 0 ) )

35 Έζησ f, g : R R γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη όξηα 0 f( ) θαη g ( ) 0. 0 f ( ) g ( ) 0, λα βξεζνύλ ηα. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη: f ( ) 3 5 Να ππνινγηζηνύλ ηα όξηα:. γηα θάζε R i) f f 0 ( ) (0) f( ) 3 θαη ii). 0 a 3. Να βξείηε ηα α,β R ώζηε 4. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f( ). 1 α) Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο β) Γείμηε όηη ε f είλαη 1-1 θαη λα βξείηε αλ ππάξρεη ε εηθόλα f f. 5 γ) Γείμηε όηη ε εμίζσζε f() = έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (-5,1) Αλ α<β<γ δείμηε όηη ε εμίζσζε R a έρεη αθξηβώο δύν ξίδεο ζην 6. Αλ νη ζπλαξηήζεηο f,g είλαη ζπλερείο ζην [α,β] κε αβ>0,f(α) = α, g(β)=β θαη f()<1<g() γηα θάζε R, ηέηνην ώζηε f(γ)g(γ)=γ., δείμηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα γ 7. Aλ f ζπλερήο ζην [α,β] θαη γ,δ, δείμηε όηη ππάξρεη, f(γ)+3f(δ)=5f(μ). ηέηνην ώζηε 8. Γείμηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f ( ) e θαη θνηλό ζεκείν. g ( ) 1 έρνπλ έλα κόλν ΤΠΑΡΥΔΙ ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΔΝΑ ΞΔΥΧΡΙΣΟ ΑΡΥΔΙΟ ΜΔ ΑΚΗΔΙ ΣΟΝ ΤΝΓΔΜΟ ΓΙΑ ΣΗΝ ΔΠΑΝΑΛΗΦΗ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΧΝ ΓΙΑ ΣΗΝ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ Σελίδα 35

36 ΥΗΜΔΙΑ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΓΙΑ ΟΛΑ ΣΑ ΣΜΗΜΑΣΑ Να γίλνπλ επαλάιεςε ζηα παξαθάησ : Σξνρηαθό θβαληηθνί αξηζκνί Αξρέο ειεθηξνληαθήο δόκεζεο Γνκή πεξηνδηθνύ πίλαθα (ηνκείο s,p,d,f) ηνηρεία κεηάπησζεο Μεηαβνιή νξηζκέλσλ πεξηνδηθώλ ηδηνηήησλ Ηιεθηξνληαθνί ηύπνη Ομέα Βάζεηο Ινληηζκόο νμέσλ Βάζεσλ Ινληηζκόο νμέσλ βάζεσλ θαη λεξνύ Δπίδξαζε θνηλνύ ηόληνο Ρπζκηζηηθά δηαιύκαηα Γείθηεο νγθνκέηξεζε Αζθήζεηο ζα νξηζηνύλ κέζα ζηελ αίζνπζα δηδαζθαιίαο. ΓΙΑ ΟΛΑ ΣΑ ΣΜΗΜΑΣΑ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΔΦΑΛΑΙΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 4 4. BIOΛΟΓΙΑ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ Θεσξία θαη αζθήζεηο θαη ζηα 3 θεθάιαηα θαη ην έληππν κε ζπλδπαζηηθέο εξσηήζεηο πνπ ζα ζαο δνζεί. Σελίδα 36