Δ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α

Transcript

1 Δ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α «Η μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο μέσα από τη σύγκριση των σχολικών βιβλίων των Μαθηματικών της ΣΤ Δημοτικού και της Α Γυμνασίου» Λεωνίδας Νταραδήμος Δ Επιβλέπoυσα Συμβουλευτικής Επιτροπής Δέσποινα Πόταρη Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα Οκτώβριος 2015

2 1

3 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την 21 η Οκτωβρίου 2015 από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Δ. Πόταρη (Επιβλέπoυσα) Αναπλ. Καθηγήτρια Θ. Ζαχαριάδη Καθηγητή Π. Σπύρου τ. Αναπλ. Καθηγητή Η εκπόνηση της παρούσας Διπλωματική Εργασία πραγματοποιήθηκε υπό την καθοδήγηση της Συμβουλευτική Επιτροπή αποτελούμενη από τους: Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Δ. Πόταρη (Επιβλέπoυσα) Αναπλ. Καθηγήτρια Θ. Ζαχαριάδη Καθηγητή Π. Σπύρου τ. Αναπλ. Καθηγητή 2

4 3

5 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά την αναπληρώτρια καθηγήτρια κ. Δέσποινα Πόταρη τόσο για την τιμή που μου έκανε να είναι η επιβλέπουσα καθηγήτριά μου, όσο και για τις πολύτιμες συμβουλές, την καθοδήγηση και τη συμπαράστασή της κατά τη διάρκεια της εργασίας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Θεοδόσιο Ζαχαριάδη και τον τ. αναπληρωτή καθηγητή κ. Παναγιώτη Σπύρου για την τιμή που μου έκαναν να συμμετέχουν στην τριμελή συμβουλευτική επιτροπή. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τους καθηγητές του ΠΜΣ για τις νέες γνώσεις και εμπειρίες που μου πρόσφεραν οι οποίες με βοήθησαν ως εκπαιδευτικό, καθώς και τη γραμματεία του προγράμματος, τις κ. Διονυσία Μπακογιάννη και Ελένη Κλη, για τη βοήθεια και την άμεση ανταπόκρισή τους σε ό,τι τους ζητούσα κατά τη διάρκεια του προγράμματος. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την αμέριστη συμπαράστασή τους κατά τη διάρκεια των σπουδών μου, να τους ζητήσω συγνώμη για το χρόνο που τους στέρησα την παρουσία μου και να τους διαβεβαιώσω πως όλη αυτή η «περιπέτεια» άξιζε τον κόπο. Λιβαδειά Σεπτέμβριος

6 Στη Μαρκέλλα στο Νίκο και στο Στάθη 5

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη. 8 Abstract ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Η μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο Τι είναι μετάβαση Ερευνητικά δεδομένα σχετικά με τη μετάβαση Μετάβαση και μαθηματικά Η διδασκαλία και η μάθηση του κλάσματος Οι διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων Η μαθηματική δραστηριότητα Βασικά χαρακτηριστικά μιας δραστηριότητας Μαθηματική γνώση και μαθηματική επάρκεια Διαδικαστική και εννοιολογική γνώση Τα σχολικά εγχειρίδια Αναλυτικά προγράμματα σπουδών Ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων Ανάλυση σχολικών εγχειριδίων μαθηματικών ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ερευνητικό πρόβλημα Ερευνητικά ερωτήματα Μέθοδος έρευνας Το υλικό της έρευνας Ο τρόπος ανάλυσης ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων

8 4.3 Το πλαίσιο των δραστηριοτήτων Είδη αναπαραστάσεων και συνδέσεις Το είδος των δραστηριοτήτων Η μαθηματική δραστηριότητα Σύγκριση κοινών περιεχομένων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων Το πλαίσιο των δραστηριοτήτων Είδη αναπαραστάσεων και συνδέσεις Το είδος των δραστηριοτήτων Η μαθηματική δραστηριότητα Αναλυτικά προγράμματα σπουδών Η μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

9 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζει το θέμα της μετάβασης των μαθητών από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο, μέσα από την ανάλυση των σχολικών εγχειριδίων των μαθηματικών της ΣΤ Δημοτικού και της Α Γυμνασίου. Από τα κοινά περιεχόμενα των δύο εγχειριδίων επιλέχθηκε το κεφάλαιο των κλασμάτων και αυτό γιατί παρά την έμφαση που δίνεται στα αναλυτικά προγράμματα, τα κλάσματα σύμφωνα με τη βιβλιογραφία αποτελούν έννοια που δύσκολα κατανοούν οι μαθητές. Στη συνέχεια καθορίστηκαν άξονες ανάλυσης με τη βοήθεια των οποίων αναλύθηκε το σύνολο των δραστηριοτήτων των δύο κεφαλαίων. Η ανάλυση αφορούσε σε μαθηματικά και διδακτικά χαρακτηριστικά των δραστηριοτήτων. Από τα αποτελέσματα της έρευνας προέκυψαν ομοιότητες αλλά και διαφορές ανάμεσα στις δύο εκπαιδευτικές βαθμίδες. Κυρίως όμως αυτό που προέκυψε είναι ότι οι μαθητές των δύο βαθμίδων βιώνουν τις έννοιες σε διαφορετικά πλαίσια και εμπλέκονται σε διαφορετικά είδη μαθηματικών δραστηριοτήτων, κάτι που δυσκολεύει ακόμη περισσότερο τη μετάβασή τους από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο. Λέξεις κλειδιά: μετάβαση, διαστάσεις του κλάσματος, μαθηματική δραστηριότητα, διαδικαστική εννοιολογική γνώση 8

10 Abstract The present thesis examines the issue of transition of students from Primary School to Junior High School through the analysis of the coursebooks of mathematics of the sixth grade of Primary School and the first grade of Junior High School. The chapter concerning the fractions was selected from the common content of the two manuals and the reason was that fractions despite the emphasis given in the curriculum constitute a difficult concept, according to literature, for the students to comprehend. There were set then the analysis axes with the help of which all the activities of the two chapters were analysed. The analysis dealt with the mathematical and the educational features of the activities. From the results of the research both similarities and differences between the two educational levels occured. However, what mainly arose is that students of both educational levels experience the concepts in different contexts and get involved in different kinds of mathematical activities, which further complicates their transition from primary to secondary education. Keywords: transition, subconstructs of fractions, mathematical activity, procedural - conceptual knowledge 9

11 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μετάβαση είναι το «πέρασμα» από μια γνωστή κατάσταση σε μια άλλη άγνωστη. Οι μαθητές κατά τη διάρκεια της ζωής τους θα βιώσουν πολλές μεταβάσεις. Αυτές μπορεί να έχουν σχέση με την προσωπική, εκπαιδευτική, κοινωνική ή επαγγελματική ζωή τους όπως π.χ. είναι η μετάβαση από το Νηπιαγωγείο στο Δημοτικό, από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο, η μετάβαση από την παιδική στην εφηβική ηλικία, η μετάβαση από το σχολείο στην αγορά εργασίας κ.τ.λ. Αυτές οι μεταβάσεις αποτελούν σημαντικό γεγονός στη ζωή τους. Ειδικότερα στη μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο, που θα μας απασχολήσει στην παρούσα έρευνα, έχουμε την είσοδο των μαθητών σε ένα καινούριο σχολικό περιβάλλον, η οποία συνοδεύεται από πολλές προσδοκίες, αποτελεί τη αρχή ενός νέου κεφαλαίου στην εκπαιδευτική διαδικασία και ένα σημαντικό σκαλοπάτι στο δρόμο προς την ενηλικίωση. Οι περισσότεροι μαθητές αισθάνονται ανησυχία αλλά και ενθουσιασμό στην προοπτική εισαγωγής σε μια υψηλότερη εκπαιδευτική βαθμίδα, αβεβαιότητα για το σχολικό περιβάλλον στο οποίο μεταβαίνουν, το είδος και το ύφος της εκπαιδευτικής διαδικασίας, τον τρόπο αντιμετώπισής τους από τους εκπαιδευτικούς και το είδος υποδοχής τους από τους παλαιότερους μαθητές. Η διαδικασία της μετάβασης καθορίζεται από πολλούς παράγοντες (McGee, Ward, Gibbons & Harlow, 2004) και αποτελείται από διάφορα στάδια (Κόπτσης, Νάκου, 2009). Ενδιαφέρον όμως παρουσιάζει και η έρευνα στο θέμα της μετάβασης σε συνδυασμό με συγκεκριμένα γνωστικά αντικείμενα. Στην εργασία μας θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το θέμα της μετάβασης σε σχέση με τα μαθηματικά. Οι διαστάσεις του θέματος είναι πολλές και έχουν να κάνουν με τη συνέχεια ή μη των προγραμμάτων σπουδών (Φιλίππου, Πίττα Πανταζή, Χρίστου, 2003) σε συνδυασμό με το περιεχόμενο των σχολικών εγχειριδίων, αλλά και με τις διαφορετικές πρακτικές στη διδασκαλία των μαθηματικών στις δύο βαθμίδες και το πόσο προετοιμασμένοι είναι οι μαθητές να δεχθούν αυτές τις πρακτικές. Δεδομένου ότι το θέμα της μετάβασης είναι άμεσα συνδεδεμένο με τα σχολικά εγχειρίδια, αποφασίσαμε να εξετάσουμε τη μετάβαση μέσα από την ανάλυση των σχολικών εγχειριδίων της ΣΤ Δημοτικού και της Α Γυμνασίου. Το ζήτημα των σχολικών εγχειριδίων έχει απασχολήσει αρκετά τους ερευνητές της μαθηματικής 10

12 εκπαίδευσης, καθώς θεωρείται ο ενδιάμεσος κρίκος ανάμεσα στο αναλυτικό πρόγραμμα και την παιδαγωγική πρακτική στη σχολική τάξη. Η έρευνα επίσης έχει δείξει ότι οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί χρησιμοποιούν τα εγχειρίδια ως κύρια ή μοναδική πολλές φορές πηγή για την οργάνωση της διδασκαλίας τους καθώς και την ανάθεση εργασιών για το σπίτι. Έτσι ο τρόπος με τον οποίον έρχονται σε επαφή οι μαθητές με τη νέα γνώση εξαρτάται άμεσα από το περιεχόμενο του σχολικού εγχειριδίου, τις μαθηματικές δραστηριότητες που περιλαμβάνει και τον τρόπο με τον οποίο αυτές χρησιμοποιούνται από τους εκπαιδευτικούς. Αν και τα σχολικά εγχειρίδια είναι πολύ σημαντικά στην καθημερινή εκπαιδευτική πρακτική, λίγες είναι οι έρευνες που έχουν ασχοληθεί με τη σχέση των μαθηματικών εγχειριδίων και του περιεχομένου τους. Οι περισσότερες εξετάζουν τη χρήση των εγχειριδίων από τους εκπαιδευτικούς. Αν όμως μας ενδιαφέρει τι μαθηματικά μαθαίνουν οι μαθητές στο σχολείο, πρέπει εκτός από τη χρήση των εγχειριδίων να εξετάσουμε και το περιεχόμενό τους, γιατί σύμφωνα με τη Mesa (2004) αυτά «αναπτύσσουν το σώμα της αποδεκτής γνώσης», «είναι σημαντικά εργαλεία για τη διδασκαλία και τη μάθηση», «καθορίζουν τι είναι τα σχολικά μαθηματικά» και «εξυπηρετούν τη λειτουργία ελέγχου των μαθητών». Τα κλάσματα είναι μια από τις πιο σημαντικές, αλλά και πιο σύνθετες μαθηματικές έννοιες με τις οποίες έρχονται σε επαφή οι μαθητές κατά τη διάρκεια της σχολικής τους σταδιοδρομίας. Κατά συνέπεια ένα μεγάλο μέρος του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών κυρίως της πρωτοβάθμιας και λιγότερο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης αφορά στη διδασκαλία τους. Παρά την έμφαση που δίνεται στα αναλυτικά προγράμματα τα κλάσματα αποτελούν έννοια που δύσκολα κατανοούν οι μαθητές. Η κατανόηση των κλασμάτων από τους μαθητές είναι μια περιοχή έρευνας στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης που έχει απασχολήσει τους ερευνητές των μαθηματικών εδώ και πολλές δεκαετίες. Πολύ συχνά οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την έννοια του κλάσματος και τις ιδιότητές της, γιατί στηρίζονται στην έννοια των φυσικών αριθμών των οποίων οι ιδιότητες δεν εφαρμόζονται στα κλάσματα. Μια άλλη πιθανή αιτία των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές σχετικά με τα κλάσματα είναι ότι, σε αντίθεση με τους φυσικούς, τα κλάσματα δεν προκύπτουν από μια φυσική διαδικασία σκέψης, αλλά είναι ένα σύστημα κοινωνικά κατασκευασμένο και επικυρωμένο που ικανοποιεί συγκεκριμένες ανάγκες (Κολέζα, 2000). 11

13 Η έννοια του κλάσματος έχει πέντε διαφορετικές διαστάσεις. Αυτές είναι: μέρος-όλου, λόγος, τελεστής, πηλίκο και μέτρο. Σύμφωνα με τους Charalambous & Pitta-Pantazi (2007) η διάσταση «μέρος-όλου» μαζί με τη διαδικασία της διαμέρισης θεωρούνται θεμελιώδης για την ανάπτυξη της κατανόησης των άλλων τεσσάρων διαστάσεων. Η προτεραιότητα που δίνεται στη διάσταση «μέρος-όλου» δικαιολογεί γιατί αυτή καταλαμβάνει τη μερίδα του λέοντος στα αναλυτικά προγράμματα πολλών χωρών. Πάντως η κατανόηση της έννοιας του κλάσματος εξαρτάται από την κατανόηση καθεμιάς από τις πέντε διαστάσεις. Στην προσπάθεια για καλύτερη κατανόηση των κλασμάτων, αλλά και γενικά των μαθηματικών, το Υπουργείο Παιδείας προχώρησε στην εισαγωγή καινούριων σχολικών εγχειριδίων μαθηματικών κατά το σχολικό έτος για το Δημοτικό και για το γυμνάσιο. Τα βιβλία αυτά γράφτηκαν με βάση τα νέα Α.Π.Σ., τα οποία στηρίζονται σε σύγχρονες απόψεις για τη διδασκαλία και τη μάθηση. Στα νέα Α.Π.Σ. καθώς και στα βιβλία εκπαιδευτικού που συνοδεύουν τα νέα βιβλία του Δημοτικού και του Γυμνασίου υπάρχουν πολλές αναφορές στην ενεργητική προσέγγιση της γνώσης και τον κρίσιμο ρόλο των δραστηριοτήτων στην οικοδόμηση των νέων γνώσεων από τους μαθητές. Σύμφωνα με τη σύγχρονη Διδακτική των μαθηματικών οι μαθητές μαθαίνουν μέσα από την εμπλοκή τους σε μαθηματικές δραστηριότητες, συμμετέχοντας ενεργά στην κατασκευή της γνώσης. Η αντίληψη αυτή δίνει στην έννοια της δραστηριότητας καθοριστική σημασία για τη μαθηματική εκπαίδευση. Δεδομένης λοιπόν της χρησιμότητας της μαθηματικής δραστηριότητας στη διδασκαλία, το ζητούμενο είναι το πώς θα σχεδιαστεί μια «κατάλληλη μαθηματική δραστηριότητα». Για πολλά από τα σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών ένα ακόμη ζητούμενο είναι το πλαίσιο μέσα στο οποίο ενσωματώνεται η μαθηματική γνώση. Η προσέγγιση αυτή υποστηρίζει μια ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση όπου οι μαθητές κατασκευάζουν μόνοι τους τις γνώσεις μέσα από προβλήματα που παίρνουν νόημα από τον πραγματικό κόσμο (Streefland, 2000). Σύμφωνα με αυτή τη λογική η μάθηση πρέπει να ξεκινά μέσα από μια πραγματική κατάσταση μέσα από την οποία με την κατάλληλη δράση αναδύεται η μαθηματική γνώση. Μια άλλη σημαντική παράμετρος σχετική με τη μαθηματική δραστηριότητα είναι η δράση των μαθητών σε σχέση με τη δράση του δασκάλου (Τζεκάκη, 2000). Είναι σημαντικό σύμφωνα με τον Brousseau (1997) ο δάσκαλος να «εκχωρεί» τη δραστηριότητα στους μαθητές, ενθαρρύνοντάς τους να συμμετέχουν ενεργά, 12

14 διατηρώντας για τον εαυτό του ένα ρόλο συντονιστή που δεν παρεμβαίνει και δεν κάνει συνεχείς υποδείξεις (Λεμονίδης, Θεοδώρου, 2011). Τέλος η χρήση συγκεκριμένων υλικών που προσφέρει ακριβείς αναπαραστάσεις βοηθά τους μαθητές να φέρουν σε πέρας τη δραστηριότητα, υπερπηδώντας τις δυσκολίες της αφηρημένης γλώσσας και να αναπτύξουν στρατηγικές επίλυσης (Δεσλή, 2006). Οι αναπαραστάσεις θεωρούνται απολύτως απαραίτητες στη μαθηματική δραστηριότητα, επειδή τα αντικείμενα των μαθηματικών δεν μπορούν να γίνουν άμεσα αντιληπτά και πρέπει επομένως να αντιπροσωπευθούν. Την αντιπροσώπευση αυτή αναλαμβάνουν τα διαφορετικά συστήματα αναπαράστασης, κάθε ένα από τα οποία αναπαριστά διαφορετικές πτυχές μιας μαθηματικής έννοιας, καθεμία με τους δικούς της περιορισμούς νοήματος και λειτουργίας (Duval, αναφορά σε Λεμονίδης, Θεοδώρου, 2011). Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω δεδομένα, αποφασίσαμε να εξετάσουμε το θέμα της μετάβασης από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο, μέσα από την ανάλυση των σχολικών εγχειριδίων των μαθηματικών της ΣΤ Δημοτικού και της Α Γυμνασίου. Ανάμεσα στα κοινά περιεχόμενα των δύο εγχειριδίων επιλέξαμε τα κεφάλαια των κλασμάτων από τα οποία αναλύσαμε το σύνολο των δραστηριοτήτων τους. Θεωρήσαμε ότι οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί όπως προκύπτει και από τα ερευνητικά δεδομένα χρησιμοποιούν κυρίως ή αποκλειστικά τα σχολικά εγχειρίδια για τον σχεδιασμό της διδασκαλίας τους. Άρα οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τις περισσότερες από τις παραπάνω δραστηριότητες, οπότε μπορούμε να καταλάβουμε σε τι είδους μαθηματικές εμπειρίες αποκτούν πρόσβαση. Καθορίσαμε άξονες ανάλυσης βάση των οποίων αναλύσαμε τις δραστηριότητες. Οι άξονες αυτοί αφορούσαν σε μαθηματικά και διδακτικά χαρακτηριστικά των δραστηριοτήτων, εστιάζοντας στον τρόπο εμπλοκής των μαθητών. Το πρώτο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει μια ανασκόπηση της βιβλιογραφίας ως προς τέσσερις άξονες: τη μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο, τη διδασκαλία και μάθηση του κλάσματος, τη μαθηματική δραστηριότητα και τα χαρακτηριστικά της και τέλος την ανάλυση των σχολικών εγχειριδίων. Το δεύτερο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει τη μεθοδολογία της έρευνας. Το τρίτο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει την ανάλυση των δραστηριοτήτων ως προς τους άξονες ανάλυσης που καθορίσαμε. Το τέταρτο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την ανάλυση. 13

15 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 2.1 Η μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο Τι είναι μετάβαση Η μετάβαση των μαθητών από το δημοτικό στο γυμνάσιο είναι μια πολύ σημαντική περίοδος της ζωής τους, γι αυτό και το συγκεκριμένο θέμα έχει απασχολήσει πολλές φορές το χώρο της εκπαίδευσης. Το πέρασμα από μια γνωστή κατάσταση όπως αυτή του δημοτικού, σε μία άλλη άγνωστη και περισσότερο απαιτητική όπως αυτή του γυμνασίου, ενέχει κινδύνους και εκπλήξεις. Ως μετάβαση νοείται η χρονική εκείνη περίοδος αλλαγής εκπαιδευτικής βαθμίδας, που θέτει συγκεκριμένες προκλήσεις ή/και απειλές για την «ευεξία» των εφήβων σε διάφορους τομείς της ακαδημαϊκής και κοινωνικής τους ζωής (Sirsch, 2003). Η μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο είναι στην ουσία η μετακίνηση από ένα πλαίσιο (με την έννοια του περιβάλλοντος) σε ένα άλλο. Πρόκειται για μια σημαντική αλλαγή η οποία δεν έχει καμία σχέση με την έως τότε αλλαγή περιβάλλοντος από τάξη σε τάξη. Έχει ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, που έχουν να κάνουν με περιβαλλοντικούς, αναπτυξιακούς και ψυχολογικούς συναισθηματικούς παράγοντες. Οι μαθητές έχουν την τάση να αντιστέκονται σε οποιαδήποτε αλλαγή, να κλείνονται στο γνωστό και στο καθιερωμένο προσπαθώντας να διατηρήσουν αυτό που ήδη γνωρίζουν καλά και που δεν τους δημιουργεί αίσθηση ανασφάλειας και απειλής. Όταν αναγκαστούν λοιπόν, εκ των πραγμάτων, να μεταβούν από κάτι γνωστό σε κάτι άγνωστο - όπως στην περίπτωση της μετάβασης στο γυμνάσιο περνούν συνήθως από διάφορα στάδια με τα εξής χαρακτηριστικά (Κόπτσης, Νάκου, 2009): 1. Σοκ αλλαγής 2. Διάθεση να παραμείνουν στο παλιό 3. Κατάθλιψη και πτώση αυτοεκτίμησης, αφού συνειδητοποιήσουν ότι η αλλαγή είναι αναπόφευκτη 4. Διάθεση παραίτησης 5. Αναγκαστικός έλεγχος του καινούργιου 6. Εσωτερίκευση της εμπειρίας του νέου με αποτέλεσμα θετικότερη αυτοαντίληψη και αυτοεκτίμηση 14

16 Τα συναισθήματα που περιγράφονται παραπάνω ποικίλλουν ανάλογα με την προσωπικότητα του μαθητή, τις προηγούμενες εμπειρίες του και δεν ακολουθούν πάντα την παραπάνω σειρά. Για να διανύσει ο μαθητής τα στάδια της μετάβασης με σύνεση και ωριμότητα θα πρέπει να είναι κατάλληλα προετοιμασμένος και να έχει αναπτύξει δεξιότητες όπως: της ευελιξίας, της λήψης αποφάσεων, της αναζήτησης και κριτικής ανάγνωσης των πληροφοριών κ.ά Ερευνητικά δεδομένα σχετικά με τη μετάβαση Το θέμα της μετάβασης από το δημοτικό στο γυμνάσιο έχει αποτελέσει αντικείμενο μελέτης πολλών ερευνών (Galton, Gray & Ruddock, 2000, Graham & Hill, 2002, Evangelou, et al, 2008). Οι έρευνες επισημαίνουν κάποιες βασικές δυσκολίες που αφορούν τη μετάβαση αυτή. Σε μια προσπάθεια βιβλιογραφικής ανασκόπησης των ερευνών και της βιβλιογραφίας που έγινε από πανεπιστήμιο της Νέας Ζηλανδίας οι ερευνητές McGee, Ward, Gibbons και Harlow το 2004 προσπάθησαν να φωτίσουν το θέμα της μετάβασης. Οι κυριότεροι παράγοντες που επισημάνθηκαν και οι οποίοι καθορίζουν τη διαδικασία της μετάβασης είναι: Κοινωνική προσαρμογή Σχολική επίδοση: Η μετάβαση δημιουργεί άγχος που οφείλεται στο νέο σχολικό περιβάλλον, στην απομάκρυνση από τους συμμαθητές, στις μεγαλύτερες απαιτήσεις για σχολική εργασία και στο φόβο για παρενόχληση από μεγαλύτερα παιδιά (Zeedyck et al, 2003). Το άγχος αυτό προκαλεί τη μείωση της επίδοσης στα μαθήματα αλλά και τη μείωση του ενδιαφέροντος για τα σχολικά δρώμενα. Δεσμοί μεταξύ δημοτικού και γυμνασίου Συνέχεια στα αναλυτικά προγράμματα: Οι έρευνες βρήκαν σημαντικές διαφορές στις προσδοκίες των καθηγητών και δασκάλων σχετικά με τους ίδιους μαθητές (Galton et al, 2000, Evangelou et al, 2008). Οι καθηγητές ασχολιόντουσαν μόνο με τα γνωστικά τους αντικείμενα, αγνοώντας τις περισσότερες φορές τις επιδόσεις των μαθητών στο δημοτικό. Αυτό δημιουργούσε την αίσθηση στους μαθητές ότι ξεκινούσαν καινούρια μαθήματα από την αρχή. Το συνεχές του αναλυτικού προγράμματος ανάμεσα στις δύο βαθμίδες δεν ισχύει (McGee et al, 2004), γιατί λίγα από τα γυμνάσια που συμμετείχαν στις έρευνες, συνέχιζαν τις διδακτικές πρακτικές που εφαρμόζονταν στο δημοτικό και αποσκοπούσαν στην ενεργοποίηση του μαθητή, στην ανακάλυψη της γνώσης και στην εργασία σε ομάδες. Αυτό οδήγησε στο μειωμένο ενδιαφέρον 15

17 των μαθητών για τα διδασκόμενα μαθήματα. Οι μαθητές αργούν να καταλάβουν τον καινούριο τρόπο εργασίας και να προσαρμοστούν σε αυτόν. Κοινωνικές και προσωπικές δεξιότητες: Στις έρευνες διαπιστώθηκε η ανάγκη να αναπτύξουν τα παιδιά κοινωνικές και προσωπικές δεξιότητες (φιλίες, αυτοεκτίμηση και εμπιστοσύνη στον εαυτό τους). Οι μεγαλύτεροι μαθητές μπορούν να παίξουν σημαντικό ρόλο βοηθώντας τους μικρότερους να προσαρμοστούν στο νέο περιβάλλον, μειώνοντας τους φόβους και τις ανησυχίες τους. Έχει παρατηρηθεί άλλωστε (McGee et al, 2004, Evangelou et al, 2008) ότι οι μαθητές που είχαν μεγαλύτερα αδέλφια στο γυμνάσιο είχαν πιο ομαλή μετάβαση από τη μια βαθμίδα στην άλλη. Οι καινούριες φιλίες αποδείχθηκαν σημαντικός παράγοντας άμβλυνσης των δυσκολιών της μετάβασης. Βοήθησαν τους μαθητές να αποκτήσουν μεγαλύτερη αυτοεκτίμηση και εμπιστοσύνη στον εαυτό τους. Η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών: Η έρευνα έδειξε ότι χρειάζεται συντονισμός και συνεργασία των δύο βαθμίδων για την κατάλληλη προετοιμασία των μαθητών. Επίσης είναι αναγκαία η επιμόρφωση δασκάλων και καθηγητών μέσα από την οποία θα μετριαστούν οι δυσκολίες της μετάβασης. Ωστόσο, από έρευνες που έγιναν με στόχο να διαπιστωθούν οι ανάγκες επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες στις δύο βαθμίδες, (Tytler, Groves et al, 2008) προέκυψε ότι οι ανάγκες επιμόρφωσης δασκάλων και καθηγητών δε συμπίπτουν, καθώς η φιλοσοφία τους είναι διαφορετική. «Οι καθηγητές διδάσκουν μαθήματα ενώ οι δάσκαλοι διδάσκουν παιδιά» (Tytler & Symington, 2008). Άρα, προκύπτουν ανάγκες διαφορετικής επιμόρφωσης γιατί οι γενικές παιδαγωγικές αρχές καλύπτουν τις ανάγκες των δασκάλων όχι όμως και τις ανάγκες των διαφορετικών γνωστικών αντικειμένων του γυμνασίου. Οι καθηγητές χρειάζονται εξειδικευμένη επιμόρφωση για τη διδασκαλία των γνωστικών αντικειμένων τους στους μαθητές. Άλλες έρευνες που έχουν γίνει πάνω στο θέμα της μετάβασης δείχνουν ότι ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών που μεταβαίνουν από το δημοτικό στο γυμνάσιο συναντούν μεγάλες δυσκολίες στην προσαρμογή τους στο νέο σχολικό περιβάλλον. Ταυτόχρονα, παρόλο που η συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών φαίνεται πως προσαρμόζεται τελικά στη νέα βαθμίδα εκπαίδευσης, αυτή η προσαρμογή αφορά περισσότερο την υφιστάμενη κατάσταση πραγμάτων με την ανεπίσημη κουλτούρα του γυμνασίου και λιγότερο μια επιθυμητή ομαλή μετάβαση από τη μια τάξη στην άλλη μέσα στο νέο σχολείο. Μέσα από την έρευνα προκύπτει ότι το κύριο μέλημα 16

18 των μαθητών είναι η κοινωνική τους ένταξη μέσα στο νέο περιβάλλον, ενώ ιδιαίτερη σημασία για αυτούς έχουν οι παραπρογραμματικές δραστηριότητες και οι κοινωνικές ή συναισθηματικές έγνοιες. Στα αρνητικά συναισθήματα των μαθητών καταγράφονται το «να χάσουν τους φίλους τους» αλλά και οι «προαγωγικές εξετάσεις», τα οποία δεν αποτελούν συνηθισμένη εμπειρία στο δημοτικό. Όσον αφορά την αυτοϊδέα τους, από την έρευνα προκύπτει ότι η μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο έχει ένα αντίκτυπο πάνω της, που ως επί το πλείστον είναι δυσμενές. Σύμφωνα με τους ερευνητές η μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο περιλαμβάνει τέσσερις φάσεις (Galton, Gray & Ruddock, 2000): την προετοιμασία τη μεταφορά την επαγωγή την ενσωμάτωση Η προετοιμασία αρχίζει στο δημοτικό σχολείο και περιλαμβάνει μια σειρά από δράσεις που αφορούν στο συναισθηματικό και στο γνωστικό τομέα με σκοπό να αναπτύξουν οι μαθητές μια σειρά από δεξιότητες (γνωστικές και κοινωνικές). Η μεταφορά από τους μαθητές αυτών των δεξιοτήτων και γνώσεων στο γυμνάσιο τους βοηθά να γεφυρώσουν τη μία βαθμίδα εκπαίδευσης με την άλλη. Η επαγωγή περιγράφει την καθημερινή χρησιμοποίηση και εξέλιξη όλων αυτών των μηχανισμών που έχουν μεταφερθεί από το δημοτικό στο γυμνάσιο. Η επαγωγή θα οδηγήσει στην τελική ενσωμάτωση, όπου οι μαθητές αισθάνονται ασφαλείς και σίγουροι για το νέο ρόλο τους στο γυμνάσιο. Αυτονόητο είναι ότι για κάθε μαθητή η διάρκεια κάθε φάσης διαφέρει, αλλά είναι σίγουρο ότι η καλή προετοιμασία από το δημοτικό θα φέρει την ενσωμάτωση γρηγορότερα Μετάβαση και μαθηματικά Εκτός από τη γενική προσέγγιση στο θέμα της μετάβασης που μελετήσαμε παραπάνω, το ίδιο σημαντική και ενδιαφέρουσα είναι η εξέταση της μετάβασης σε σχέση με συγκεκριμένα γνωστικά αντικείμενα. Η περίπτωση των μαθηματικών έχει απασχολήσει αρκετούς ερευνητές αλλά και όσους εμπλέκονται στην εκπαιδευτική διαδικασία (μαθητές, εκπαιδευτικούς, αρμόδιες αρχές). Η έρευνα στο θέμα της μετάβασης σε σχέση με τα μαθηματικά εστιάζεται στις διάφορες διαστάσεις του θέματος. Μια από αυτές είναι ο εντοπισμός των διαφορών 17

19 και ομοιοτήτων στα αναλυτικά προγράμματα των δύο βαθμίδων (Φιλίππου, Πίττα Πανταζή, Χρίστου, 2003). Στην ίδια έρευνα επίσης εξετάζεται η αξιολόγηση των σχολικών εγχειριδίων, αλλά και οι διδακτικές προσεγγίσεις που ακολουθούνται στις δύο βαθμίδες. Η μελέτη των εμποδίων που επηρεάζουν τη μαθηματική ανάπτυξη των μαθητών κατά τη διαδικασία της μετάβασης, αλλά και οι ομοιότητες και διαφορές στην παιδαγωγική προσέγγιση που ακολουθείται στις δύο βαθμίδες είναι αντικείμενο έρευνας των Coad και Jones (1999). Οι δυσκολίες στη μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο στα μαθηματικά, έχουν σχέση με την επαρκή προετοιμασία των μαθητών από το δημοτικό, ώστε να συνεχίσουν την πορεία τους χωρίς προβλήματα και με τις διαφορετικές πρακτικές στη διδασκαλία τους στις δύο βαθμίδες (Κλιάπης, 2009). Μάλιστα σε έρευνες (Οικονόμου, 2000, Doig κ.ά. 2005) που έχουν γίνει σχετικά με τις πρακτικές φαίνεται πως οι διαφορετικές αντιλήψεις δασκάλων και καθηγητών για τη διδασκαλία των μαθηματικών δημιουργούν συνθήκες μη ομαλής μετάβασης (Κλιάπης, 2009). Ο Doig (2005) αξιολογώντας τις πρακτικές δασκάλων και καθηγητών διαπίστωσε σημαντικές διαφορές. Σε αντίθεση με τους δασκάλους, οι καθηγητές δε θεωρούσαν σημαντικό τη σύνδεση της γνώσης με την καθημερινότητα, ούτε τη δημιουργία περιβάλλοντος στην τάξη όπου θα υπάρχουν κίνητρα για κινητοποίηση του μαθητή και ανακάλυψη της γνώσης, ενώ από την άλλη πλευρά, οι δάσκαλοι θεωρούσαν μικρής σημασίας τα σαφή κριτήρια αξιολόγησης για τα μαθηματικά (Κλιάπης, 2009). Έτσι, η απαιτούμενη συνέχεια στα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών δεν φαίνεται να μπορεί να υπάρξει καθώς δεν είναι απολύτως ξεκάθαρο στους εκπαιδευτικούς των δύο βαθμίδων, με ποιον ακριβώς τρόπο πρέπει να γίνεται η διδασκαλία. Όμως σύμφωνα με τους Coad & Jones (1999) και Howard & Johnson (2004) εκτός από τις διαφορετικές προσεγγίσεις και τις διαφορετικές πρακτικές διδασκαλίας που χρησιμοποιούνται στις δύο βαθμίδες, χρησιμοποιείται και διαφορετικό εκπαιδευτικό υλικό με αποτέλεσμα η όποια συνέχεια να μην μπορεί να εφαρμοστεί (Κλιάπης, 2009). Μια άλλη πτυχή του προβλήματος της μετάβασης σε σχέση με τα μαθηματικά είναι ότι οι καθηγητές δεν χρησιμοποιούν τις προηγούμενες εμπειρίες σε σχέση με τα μαθηματικά που έχουν οι μαθητές (Bangser, 2008). Οι μαθητές φτάνουν στο γυμνάσιο εφοδιασμένοι με γνώσεις και εμπειρίες από το δημοτικό, οι οποίες δεν αξιοποιούνται ως βάση για τις νέες γνώσεις. Αυτό έχει ως συνέπεια μειωμένες επιδόσεις και αυξημένο άγχος για τα μαθηματικά. 18

20 Επίσης κάτι που καταγράφεται ως τάση ανάμεσα στις σχετικές έρευνες των Nardi και Steward (2003) είναι το μικρό ποσοστό των μαθητών που επιδιώκουν τη μαθηματική γνώση στο γυμνάσιο. Αυτή η άρνηση μάλλον επηρεάζεται από τις μαθηματικές εμπειρίες πριν και κατά τη μετάβαση στο γυμνάσιο (Παπαδόπουλος, 2015). Από όλα τα παραπάνω φαίνεται ότι οι βασικές προκλήσεις κατά τη μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο σε σχέση με τα μαθηματικά ανήκουν σύμφωνα με τον Paul (2014) σε τέσσερις ευρείες κατηγορίες: προσαρμογή, παιδαγωγική όψη, περιεχόμενο αναλυτικού προγράμματος και επιδόσεις. Και στις τέσσερις κατηγορίες το κοινό χαρακτηριστικό είναι το δίπολο συνεχές ασυνεχές (Παπαδόπουλος, 2015). Η ύπαρξη συνέχειας στις προσδοκίες των μαθητών, στις πρακτικές που χρησιμοποιούν οι εκπαιδευτικοί, στις ευκαιρίες που δίνονται στους μαθητές, στη μάθηση που λαμβάνει υπόψη τις προηγούμενες εμπειρίες αποτελούν εγγύηση για μια πετυχημένη μετάβαση. 2.2 Η διδασκαλία και μάθηση του κλάσματος Η διδασκαλία και η μάθηση των κλασμάτων ήταν ανέκαθεν μια από τις πιο προβληματικές περιοχές των μαθηματικών του δημοτικού. Παρόλο που στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση σημαντικό μέρος του χρόνου διδασκαλίας αφιερώνεται στη διδασκαλία των κλασμάτων, εν τούτοις με βάση τα αποτελέσματα αξιολογήσεων τα κλάσματα είναι μια έννοια που δύσκολα κατανοούν οι μαθητές. Σύμφωνα με τους ερευνητές, υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους οι μαθητές δυσκολεύονται στην κατανόηση των κλασμάτων. Οι δυσκολίες των μαθητών οφείλονται από τη μία στη φύση των κλασμάτων και από την άλλη στον τρόπο διδασκαλίας τους. Παρά το γεγονός ότι κατά τη διάρκεια των τριών τελευταίων δεκαετιών, πολλοί παράγοντες έχει διαπιστωθεί ότι συμβάλλουν στις δυσκολίες των μαθητών για εκμάθηση των κλασμάτων, οι ερευνητές συμφωνούν ότι ένας από τους κυρίαρχους παράγοντες που συμβάλλουν στην πολυπλοκότητα της διδασκαλίας και μάθησης των κλασμάτων, έγκειται στο γεγονός ότι τα κλάσματα αποτελούν μια πολυδιάστατη κατασκευή. 19

21 2.2.1 Οι διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1970, ο Kieren (1976) υποστήριξε ότι η έννοια του κλάσματος αποτελείται από τέσσερις αλληλοσυνδεόμενες υποκατασκευές (subconstructs): λόγος (ratio), τελεστής (operator), πηλίκο (quotient) και μέτρο (measure). Σύμφωνα με αυτή την αρχική σύλληψή του, η υποκατασκευή «μέροςόλο» διαχέεται στις υπόλοιπες τέσσερις, γι αυτό απέφυγε τον προσδιορισμό της ως πέμπτης. Αργότερα, oι Behr et al. (1983) επέκτειναν τις ιδέες του Kieren προτείνοντας ότι η σχέση «μέρος-όλο» αποτελεί από μόνη της ξεχωριστή υποκατασκευή (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Αν και οι διαφορετικές υποκατασκευές δεν είναι μαθηματικά ανεξάρτητες, κάθε υποκατασκευή αποτελεί μια διαφορετική άποψη για τα κλάσματα και όλες μαζί συνθέτουν την έννοια του κλάσματος. Κάθε υποκατασκευή σχετίζεται με διαφορετικούς τρόπους σκέψης και με διαφορετικές γνωστικές δομές και ως εκ τούτου δεν μπορεί να υποστηριχθεί ότι αν αναπτυχθεί μία από αυτές, αναπτύσσονται παράλληλα και αυτόματα οι υπόλοιπες. Η παραπάνω διαπίστωση έχει άμεσες διδακτικές προεκτάσεις και υποδεικνύει ότι σε ένα πρόγραμμα σπουδών για τα μαθηματικά χρειάζεται να αναπτύσσονται περισσότερες από μία ή δύο υποκατασκευές. Αν η διδασκαλία σύμφωνα με τον Lamon (2001) βασίζεται σε μία μοναδική υποκατασκευή του κλάσματος και παρουσιάζονται επιλεκτικά μόνο μερικές από τις αναπαραστάσεις της, οι μαθητές είναι δυνατόν να μην κατορθώσουν να κατασκευάσουν επαρκή θεμέλια για την κατανόηση των κλασμάτων (Σταματόπουλος, 2011). (α) Η ερμηνεία του κλάσματος ως «μέρος-όλου» Η ερμηνεία του κλάσματος ως σχέση «μέρος-όλου» είναι εκείνη που πρωτοσυναντούν οι περισσότεροι μαθητές όταν έρχονται σε επαφή για πρώτη φορά με τα κλάσματα και συνήθως η μόνη που τυγχάνει διδακτικής διαπραγμάτευσης στο δημοτικό σχολείο. Σε αυτήν την περίπτωση, το κλάσμα μπορεί να παρουσιαστεί ως μέρος μιας επιφάνειας ενός γεωμετρικού σχήματος, που είναι χωρισμένη σε ομοιόμορφα τμήματα (συνεχή ποσότητα) ή ως μέρος ενός συνόλου ομοειδών αντικειμένων (διακριτή ποσότητα). Στην ερμηνεία του κλάσματος ως «μέρος-όλου», ένα «όλο» χωρίζεται σε ν κομμάτια και κάθε κομμάτι συμβολίζεται με 1/ν. Αν αναφερόμαστε σε περισσότερα από ένα κομμάτια (κ) χρησιμοποιούμε το συμβολισμό κ/ν. Από την άποψη αυτή, ο αριθμητής του κλάσματος πρέπει να είναι 20

22 μικρότερος ή ίσος με τον παρονομαστή (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Συνήθως οι μαθητές εισάγονται σε καταστάσεις «μέρος-όλου» μέσω οπτικών αναπαραστάσεων και σταδιακά περνούν σε συμβολικές αναπαραστάσεις. Το κλάσμα ως μέρος επιφάνειας είναι συνήθως η πρώτη επαφή των παιδιών με τα κλάσματα και θεωρείται ευκολότερη και πιο κατάλληλη προσέγγιση από τα σύνολα διακριτών αντικειμένων (Pitkethly & Hunting, 1996). Μετά συνήθως ακολουθεί η διδασκαλία του κλάσματος ως μέρος ενός συνόλου αντικειμένων. Η αριθμογραμμή θεωρείται το πιο απαιτητικό μοντέλο για την αναπαράσταση των κλασμάτων, αφού για την τοποθέτηση ενός αριθμού στην αριθμογραμμή απαιτείται η αντίληψη της απόστασης του αριθμού από το μηδέν (Van de Walle, 2005), ενώ εμφανίζονται επιπρόσθετες δυσκολίες όταν η αριθμογραμμή έχει μήκος μεγαλύτερο από τη μονάδα. Για να κατανοήσουν την ερμηνεία του κλάσματος ως «μέρος-όλου» οι μαθητές θα πρέπει να αντιληφθούν ότι τα μέρη στα οποία το σύνολο κατανέμεται πρέπει να είναι ίσου μεγέθους. Επίσης θα πρέπει να είναι σε θέση να διαμερίσουν μια συνεχή περιοχή ή ένα διακριτό σύνολο σε ίσα μέρη και να διακρίνουν αν το σύνολο έχει χωριστεί σε ίσα μέρη. Αναγκαίες είναι και μια σειρά από ιδέες που συνδέονται με τη σχέση ανάμεσα στα μέρη και στο όλο, όπως: Τα μέρη αν ληφθούν όλα μαζί αποτελούν το σύνολο. Όσο περισσότερα είναι τα μέρη στα οποία χωρίζεται το όλο, τόσο μικρότερα είναι αυτά. Η σχέση μεταξύ των μερών και του όλου διατηρείται ανεξάρτητα από το μέγεθος, το σχήμα, τη διάταξη ή τον προσανατολισμό των ισοδυνάμων μερών. Τέλος, η πλήρης κατανόηση της ερμηνείας του κλάσματος ως «μέρος-όλου», απαιτεί από τους μαθητές ανάπτυξη ικανοτήτων εύρεσης του όλου βασιζόμενοι στα μέρη του (π.χ. βρες το όλο όταν ξέρεις τα 3/8) και ικανοτήτων επαναδιαμέρισης ήδη ισοδιαμερισμένων όλων (π.χ. βρες τα 3/8 μιας ποσότητας χωρισμένης σε τέταρτα ή βρες τα 3/4 μιας ποσότητας χωρισμένης σε όγδοα (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Οι πιθανές δυσκολίες στην κατανόηση τη ερμηνείας του κλάσματος ως «μέρος-όλου» συνδέονται κυρίως: Με τη φύση του «όλου» και τον τρόπο χωρισμού του. Με την αναγνώριση του «μέρους». Πιο συγκεκριμένα, στην περίπτωση ενός συνεχούς «όλου», το «μέρος» είναι ένα από τα ίσα τμήματα στα οποία χωρίζεται το όλο. Αντίθετα, στην περίπτωση του 21

23 διακριτού «όλου», το «μέρος» μπορεί να αποτελείται από περισσότερες από μία δομικές μονάδες (Κολέζα, 2000). (β) Η ερμηνεία του κλάσματος ως «πηλίκου» Στην ερμηνεία του κλάσματος ως «πηλίκου», το κλάσμα α/β μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της διαίρεσης μεταξύ δύο ακεραίων αριθμών α, β, με β 0. Ενώ όμως χρησιμοποιούμε την ίδια αναπαράσταση (α/β) και για την ερμηνεία του κλάσματος ως «μέρος-όλου» και για την ερμηνεία ως «πηλίκο», το νόημα του κλάσματος είναι διαφορετικό. Εδώ ο διαιρετέος α δεν αναπαριστά τα μέρη ενός όλου, αλλά την ποσότητα ή τα στοιχεία που θα κατανεμηθούν ισομερώς, ενώ ο διαιρέτης β τον αριθμό των ίσων μερών που θα μοιραστεί κάθε στοιχείο (Κολέζα, 2000). Για παράδειγμα αν ζητηθεί από τους μαθητές να μοιράσουν 3 πίτσες σε 4 παιδιά, οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι οι πίτσες θα μοιραστούν σε τέταρτα η κάθε μία και το κάθε παιδί θα πάρει 3 κομμάτια (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Επίσης, σε αντίθεση με την περίπτωση του «μέρους-όλου», στην περίπτωση του «πηλίκου» εμπλέκονται διαφορετικοί χώροι μετρήσεων (measure spaces), (π.χ. πίτσες παιδιά). Επιπλέον, δεδομένου ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης αναφέρεται σε μια αριθμητική τιμή και όχι στα μέρη που λαμβάνονται από τη δραστηριότητα ισοκατανομής, στην ερμηνεία «πηλίκο» δεν υπάρχει κανένας περιορισμός σχετικά με το μέγεθος του κλάσματος: ο αριθμητής μπορεί να είναι μικρότερος, ίσος ή μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, ενώ η ποσότητα που προκύπτει από την ισοκατανομή μπορεί να είναι μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από τη μονάδα. Αυτή η ερμηνεία οδηγεί στα καταχρηστικά κλάσματα. Επίσης, για καλύτερη αντίληψη της έννοιας από τους μαθητές απαιτείται κατανόηση από τη μεριά τους της διάκρισης ανάμεσα στη μεριστική και τη μετρική διαίρεση. Στο πρώτο είδος δίνεται μεγαλύτερη έμφαση στην ποσότητα που κάθε συμμετέχων λαμβάνει εάν κάποια ποσότητα ισοδιαμεριστεί (π.χ. Αν τέσσερα παιδιά μοιραστούν εξίσου τρεις πίτσες, πόση πίτσα παίρνει το καθένα;), ενώ στο δεύτερο δίνεται έμφαση στο αριθμό των ίσων μεριδίων που μπορούν να παραχθούν, όταν μοιράζεται μια ποσότητα σε ίσα μερίδια (π.χ. Τρεις πίτσες μοιράζονται μεταξύ φίλων. Αν ο καθένας από αυτούς πάρει τα ¾ της πίτσας, πόσοι ήταν όλοι οι φίλοι;) (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). 22

24 (γ) Η ερμηνεία του κλάσματος ως «λόγος» Η ερμηνεία του κλάσματος ως «λόγου» διαφέρει από τις δύο προηγούμενες ερμηνείες, στο ότι δεν αναπαριστά μια διαμέριση μιας ποσότητας ή ενός συνόλου αντικειμένων. Το κλάσμα ως «λόγος» εκφράζει τη σύγκριση μεταξύ δύο ποσοτήτων. Το μέγεθος της μιας ποσότητας συγκρίνεται με το μέγεθος της άλλης ποσότητας. Ουσιαστικά μιλάμε για δύο χώρους μέτρησης. Αυτοί οι δύο χώροι μπορούν να συνδεθούν: Είτε με μια «μεταξύ» των χώρων στρατηγική, οπότε μιλάμε για λόγο υπό μορφή ρυθμού μεταβολής (rate) ή για «εξωτερικό λόγο» (Κολέζα, 2000). Είτε με μια «εντός» του ίδιου χώρου στρατηγική, οπότε μιλάμε για «εσωτερικό λόγο» ή απλώς λόγο (ratio) (Κολέζα, 2000). Ως παράδειγμα των παραπάνω θα μπορούσαν να δοθούν οι δύο εναλλακτικοί τρόποι προσέγγισης της λύσης του παρακάτω προβλήματος από τους μαθητές: «Επτά κορίτσια μοιράζονται δύο πίτσες και τρία αγόρια μοιράζονται μία πίτσα. Ποιος θα φάει περισσότερη πίτσα, ένα αγόρι ή ένα κορίτσι;». Αν οι μαθητές συγκρίνουν τον αριθμό των παιδιών με τον αριθμό από τις πίτσες χρησιμοποιούν «εξωτερικό λόγο». Αν όμως συγκρίνουν κορίτσια με αγόρια και τον αριθμό από τις πίτσες των κοριτσιών με αυτόν των αγοριών, τότε χρησιμοποιούν «εσωτερικό λόγο». Ο «εσωτερικός λόγος» είναι ένας καθαρός αριθμός, ενώ ο «εξωτερικός λόγος» ορίζει ένα νέο μέγεθος που εκφράζει τη σχέση μεταξύ των δύο αρχικών μεγεθών. Μια διαφορά μεταξύ «εξωτερικών λόγων» και «εσωτερικών λόγων» είναι ότι μπορούμε να προσθέσουμε τους πρώτους αλλά όχι τους δεύτερους (Κολέζα, 2000). Για να κατανοήσουν πλήρως την έννοια του κλάσματος ως «λόγο», οι μαθητές θα πρέπει να αντιληφθούν την έννοια των σχετικών ποσοτήτων. Οι μαθητές επίσης πρέπει να συνειδητοποιήσουν τι σημαίνει να λέμε ότι υπάρχει μία σχέση ανάμεσα σε δύο ποσότητες και να καταλάβουν τις ιδιότητες της συμμεταβλητότητας και του αναλλοίωτου. Δηλαδή οι δύο ποσότητες που συγκρίνονται, μεταβάλλονται ταυτόχρονα έτσι ώστε η μεταξύ τους σχέση να παραμένει αναλλοίωτη. Επιπρόσθετα πρέπει να αντιληφθούν ότι, όταν οι δύο ποσότητες του λόγου πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, η τιμή του λόγου παραμένει ίδια. Δεδομένου ότι οι ιδιότητες της συμμεταβλητότητας και του αναλλοίωτου ισχύει μόνο για τους λόγους, θεωρούνται σημαντικές για τη διάκριση ανάμεσα στην ερμηνεία «μέρος-όλου» και «λόγου» (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Επιπλέον θεωρούνται αναγκαίες για 23

25 την ανάπτυξη της ιδέας της ισοδυναμίας κλάσματος (Marshall, 1993, αναφορά στο Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). (δ) Η ερμηνεία του κλάσματος ως «μέτρο» Στην ερμηνεία του κλάσματος ως «μέτρο», το κλάσμα α/β σημαίνει ότι η μονάδα έχει διαιρεθεί σε β ίσα μέρη μήκους 1/β και ότι το σημείο που αντιστοιχεί στο κλάσμα α/β πάνω στην αριθμογραμμή, απέχει από το μηδέν α διαστήματα μήκους 1/β. Η συμβολική αναπαράσταση του κλάσματος συνοδεύεται συνήθως από την οπτική αναπαράσταση μιας ευθείας επάνω στην οποία θέτουμε αυθαίρετα το σημείο μηδέν και η οποία είναι χωρισμένη σε μοναδιαία τμήματα, καθένα από τα οποία είναι χωρισμένο σε β κομμάτια (Κολέζα, 2000). Για να τοποθετήσει επιτυχώς κάποιος το κλάσμα επάνω στην αριθμογραμμή πρέπει να έχει κατανοήσει ότι το κλάσμα 1/β λειτουργεί ως μονάδα μέτρησης και χρησιμοποιείται επαναληπτικά, ξεκινώντας από το μηδέν, τόσες φορές όσες υποδεικνύει το κλάσμα. Είναι δύσκολη διαδικασία για τους μικρούς μαθητές, αφού δε συσχετίζεται εύκολα με την καθημερινή τους εμπειρία. Σε αυτή την ερμηνεία τα κλάσματα θεωρούνται αριθμοί, αλλά για τους μαθητές η μετάβαση από τους φυσικούς αριθμούς στην αντίληψη του κλάσματος ως αριθμού δεν είναι απλή διαδικασία (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Αρχικά, οι μαθητές δυσκολεύονται να δουν το κλάσμα ως έναν αριθμό και συνήθως το αντιμετωπίζουν ως δύο ξεχωριστούς αριθμούς. Θεωρούμε ότι οι μαθητές κατανοούν την ερμηνεία του κλάσματος ως μέτρο, όταν είναι σε θέση να πραγματοποιήσουν οποιαδήποτε ισοδιαμέριση, να βρουν οποιοδήποτε αριθμό κλασμάτων μεταξύ δύο δοθέντων κλασμάτων, να συγκρίνουν οποιαδήποτε κλάσματα, να διατάσσουν κλάσματα και να υπολογίζουν ισοδύναμα κλάσματα (Charalambous & Pitta-Pandazi, 2007). Η ερμηνεία των κλασμάτων ως «μέτρο» συνδέεται με τη χρήση της αριθμογραμμής και βοηθά τους μαθητές στην εκτίμηση του μεγέθους των κλασμάτων. Παρόλα αυτά η αριθμογραμμή ως μοντέλο αναπαράστασης των κλασμάτων δυσκολεύει τους μαθητές, ιδίως όταν το μήκος της αριθμογραμμής είναι μεγαλύτερο από 1 ή και η αριθμογραμμή έχει διαμεριστεί σε διαφορετικό πλήθος ίσων τμημάτων από το μέτρο του παρονομαστή του κλάσματος (Charalambous & Pitta-Pandazi, 2007). 24

26 (ε) Η ερμηνεία του κλάσματος ως «τελεστής» Η ερμηνεία του κλάσματος ως τελεστή περιγράφει σύμφωνα με τον Kieren (1980) ένα μηχανισμό πολλαπλασιαστικής αντιστοίχησης μεταξύ δύο συνόλων ή επιφανειών (Σταματόπουλος, 2011). Για παράδειγμα, το κλάσμα α/β αντιμετωπίζεται ως συνάρτηση που μετασχηματίζει γεωμετρικά σχήματα σε όμοια γεωμετρικά σχήματα με λόγο ομοιότητας α/β, ή μετασχηματίζει σύνολα σε νέα σύνολα με πλήθος στοιχείων α/β φορές το πλήθος των στοιχείων των αρχικών συνόλων (Σταματόπουλος, 2011). Ενδεικτικό παράδειγμα είναι το εξής: «Έχω 4/3 φλιτζάνια γάλα. Η συνταγή που έχω, αναφέρει 9/4 φλιτζάνια γάλα. Κατά πόσο πρέπει να μειώσω τις ποσότητες των άλλων συστατικών της συνταγής ώστε να χρησιμοποιήσω 4/3 φλιτζάνια αντί για 9/4;» (Κολέζα, 2000) Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων (α) Τι είναι οι αναπαραστάσεις Ως ορισμό της έννοιας «αναπαράσταση» θα μπορούσαμε να δώσουμε τον ορισμό του Kaput (1987), σύμφωνα με τον οποίο «αναπαράσταση» είναι ένα νοητικό σύμβολο ή έννοια, το οποίο αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο υλικό σύμβολο και εμπεριέχει ένα σύνολο νοητικών δραστηριοτήτων και πρακτικών, και ως έννοια περιλαμβάνει πέντε ολότητες: 1. Την ολότητα που αναπαριστάται 2. Την ολότητα που αναπαριστά 3. Τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας της αναπαράστασης που αναπαρίστανται 4. Τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες σχηματίζουν την αναπαράσταση 5. Την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες. Με βάση τον παραπάνω ορισμό η αναπαράσταση είναι ένα νοητικό σύμβολο που παίρνει τη θέση κάποιου άλλου αντικειμένου και αποκτά περισσότερες δυνατότητες από το ίδιο το αντικείμενο. Με άλλα λόγια η αναπαράσταση είναι αυτόνομη και ανεξάρτητη από το αντικείμενο που αναπαριστά και το άτομο μπορεί να την τροποποιήσει και να την επεξεργαστεί χωρίς περιορισμούς. Οι αναπαραστάσεις μπορεί να χωριστούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: εσωτερικές ή νοητικές 25

27 εξωτερικές ή σημειωτικές Σύμφωνα με τους Dufour, Janvier et al. (1987), o όρος εσωτερικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε νοητικές εικόνες, που κατασκευάζουν τα υποκείμενα, για να αναπαραστήσουν την εξωτερική πραγματικότητα και δεν είναι προσβάσιμες σε άλλους, ενώ ο όρος εξωτερικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε όλους τους εξωτερικούς φορείς (σύμβολο, σχήμα, διάγραμμα) οι οποίοι έχουν στόχο να αναπαραστήσουν εξωτερικά μια συγκεκριμένη μαθηματική πραγματικότητα (Παντσίδης. 2006). Ανάμεσα στις εσωτερικές και εξωτερικές αναπαραστάσεις υπάρχει αμφίδρομη σχέση. Σύμφωνα με τους Ανδρέου, Νεοκλέους και Γαγάτση (2003) η ερμηνεία των εξωτερικών αναπαραστάσεων εξαρτάται από την ερμηνεία των εσωτερικών αναπαραστάσεων. Αυτό συμβαίνει γιατί μια αναπαράσταση δεν αναπαριστά από μόνη της αλλά χρειάζεται να ερμηνευθεί από το άτομο. Όμως, το κάθε άτομο αντιλαμβάνεται και ερμηνεύει μια εξωτερική αναπαράσταση με βάση τις νοητικές αναπαραστάσεις που έχει είδη κατασκευάσει, ως αποτέλεσμα προηγούμενων γνώσεων και εμπειριών που έχει ως τώρα αποκτήσει. Με άλλα λόγια, ο τρόπος με τον οποίο οι μαθητές αντιμετωπίζουν ή παράγουν μια εξωτερική αναπαράσταση αποκαλύπτει στοιχεία για το πώς οι μαθητές έχουν αναπαραστήσει αυτές τις πληροφορίες εσωτερικά (Hiebert & Carpenter, 1998, αναφορά στο Δημοσθένους, Μ. 2012). (β) Αναπαραστάσεις και μαθηματικά Τα μαθηματικά έχουν μια ιδιαιτερότητα συγκρινόμενα με άλλα γνωστικά αντικείμενα, διότι οι μαθηματικές έννοιες δεν σχετίζονται άμεσα με την εμπειρία. Τα τελευταία χρόνια έχει αναγνωριστεί ευρέως η σημαντική θέση που κατέχουν οι διάφορες μορφές αναπαράστασης στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών. Χαρακτηριστικό είναι ότι σε ένα από τα κριτήρια που περιλαμβάνεται στο Principles and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 2000), σημειώνεται ότι είναι πολύ σημαντικό οι μαθητές να χρησιμοποιούν τις αναπαραστάσεις με τρόπο που να έχει νόημα για τους ίδιους, έστω και αν αυτές δεν είναι οι συμβατικές. Η σημασία των αναπαραστάσεων στα μαθηματικά είναι μεγάλη γιατί είναι στενά συνδεδεμένες με τις μαθηματικές έννοιες. Η χρήση τους από τους μαθητές βοηθάει στην κατανόηση πολλών εννοιών. Σε πολλές περιπτώσεις οι αναπαραστάσεις έχουν άμεση σχέση με μια έννοια ώστε είναι δύσκολη η κατανόησή 26

28 της χωρίς τη χρήση αυτών (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλή, 2000). Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η συνάρτηση και η γραφική της παράσταση. Οι αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία των μαθηματικών καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό τι μαθαίνει ο μαθητής και πόσο εύκολα το μαθαίνει (Cheng, 2000). Βοηθούν δηλαδή στην οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης, την εννοιολογική κατανόηση και την επικοινωνία μαθηματικών εννοιών. Όπως αναφέρουν οι Καλδρυμίδου και Οικονόμου (1992) κάθε αναπαράσταση δεν μπορεί να περιγράψει ολοκληρωτικά μια έννοια γιατί παρέχει πληροφορίες για μερικές μόνο πτυχές της. Αυτό επιτυγχάνεται μόνο από το σύνολο των διαφορετικών αναπαραστάσεων που αναφέρονται στην ίδια έννοια. Υπάρχουν πέντε διαφορετικά είδη συστημάτων εξωτερικών αναπαραστάσεων σε σχέση με τη μάθηση των μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος (Lesh, Post & Behr, 1987): 1. Κείμενα, στα οποία η γνώση είναι οργανωμένη με βάση γεγονότα της καθημερινής ζωής και τα οποία αποτελούν το πλαίσιο για την ερμηνεία και επίλυση άλλων καταστάσεων προβλήματος. 2. Χειραπτικά αντικείμενα μοντέλα όπως είναι οι κύβοι αριθμητικής, οι ράβδοι κλασμάτων, η αριθμητική γραμμή, οι κύβοι Dienes, όπου τα επιμέρους στοιχεία του συστήματος μοντέλου δεν έχουν νόημα από μόνα τους, ωστόσο οι σχέσεις και οι λειτουργίες που προκύπτουν από το χειρισμό και συνδυασμό των επιμέρους στοιχείων ταιριάζουν με πολλές καταστάσεις της καθημερινότητας. 3. Εικόνες ή διαγράμματα: στατικά εικονικά μοντέλα τα οποία, όπως και τα χειριστικά μοντέλα είναι δυνατόν να εσωτερικευθούν ως νοητικές εικόνες. 4. Γλώσσες, συμπεριλαμβανομένων και των εξειδικευμένων γλωσσών, που σχετίζονται με τα διάφορα επιμέρους πεδία (π.χ. μαθηματική λογική). 5. Γραπτά σύμβολα τα οποία, όπως και οι γλώσσες, είναι δυνατόν να περιλαμβάνουν εξειδικευμένες προτάσεις και φράσεις της καθημερινής γλώσσας. (γ) Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων Τα μοντέλα για την αναπαράσταση των κλασμάτων χωρίζονται σύμφωνα με τον Van de Walle (2005) τρεις κατηγορίες: 1. Μοντέλα περιοχής ή εμβαδού (συνεχή) 2. Μοντέλα μήκους ή μέτρησης (συνεχή) 27

29 3. Μοντέλα συνόλων (διακριτά) Στα μοντέλα περιοχής, μια επιφάνεια ή περιοχή υποδιαιρείται σε μικρότερα μέρη (Van de Walle, 2005). Κάθε μέρος μπορεί να συγκριθεί με το όλο. Σε αυτή την κατηγορία συναντάμε κυκλικές και ορθογώνιες περιοχές γεωπίνακες διάστικτους καμβάδες κ.α. Τα μοντέλα μήκους ή μέτρησης μοιάζουν με τα μοντέλα εμβαδού, μόνο που, αντί για εμβαδά, συγκρίνονται μήκη (Van de Walle, 2005). Σε αυτή την κατηγορία συναντάμε τις λωρίδας κλασμάτων, μια εκδοχή των ράβδων Cuisenaire, αλλά και την αριθμογραμμή. Η αριθμογραμμή ως μοντέλο αναπαράστασης κλασμάτων διαφέρει από τα άλλα μοντέλα (π.χ. επιφάνειες, σύνολα) σε πολλά σημεία (Κολέζα 2000): 1. Η μονάδα αναπαρίσταται από ένα μήκος και η αριθμογραμμή υποβάλλει την ιδέα όχι μόνο της επανάληψης της μονάδας, αλλά και της υποδιαίρεσης όλων των επαναλαμβανόμενων μονάδων. Δηλαδή η αριθμογραμμή έχει τη μορφή χάρακα. 2. Στην αριθμογραμμή δεν υπάρχει διαχωρισμός μεταξύ (συνεχόμενων) μονάδων: το μοντέλο είναι συνεχές. 3. Ένα σημείο στην αριθμογραμμή δεν έχει αριθμητικό νόημα μέχρι τη στιγμή που θα καθοριστεί το νόημα δύο άλλων τουλάχιστον σημείων αναφοράς. Στα μοντέλα συνόλων το όλο νοείται ως σύνολο αντικειμένων και τα υποσύνολα του συνόλου συνιστούν κλασματικά μέρη (Van de Walle, 2005). (δ) Δυσκολίες στη χρήση μοντέλων Τα συνεχή «μοντέλα εμβαδού ή μέτρησης» και τα διακριτά «μοντέλα συνόλων» χρησιμοποιούνται ως επί το πλείστον για τη διδασκαλία των κλασμάτων. Το αν αυτά πρέπει να συνυπάρξουν είναι κάτι που απασχόλησε πολλούς ερευνητές. Η επικρατέστερη άποψη είναι ότι τα διακριτά μοντέλα πρέπει να χρησιμοποιηθούν αφού πρώτα οι μαθητές έχουν εξοικειωθεί με την έννοια του κλάσματος μέσω των συνεχών μοντέλων εμβαδού, πράγμα που συμφωνεί και με τα αποτελέσματα των ερευνών που έχουν δείξει ότι τα διακριτά μοντέλα είναι δυσκολότερα για τους μαθητές από ότι τα συνεχή μοντέλα (Κολέζα, 2000). Αυτό οφείλεται στο ότι η κλασματική μονάδα στο συνεχές μοντέλο είναι ένα ενιαίο τμήμα της συνολικής 28

30 επιφάνειας, ενώ στο διακριτό μοντέλο η μονάδα μπορεί να είναι ένα αντικείμενο ή περισσότερα. Από τα συνεχή μοντέλα, η αριθμογραμμή είναι το πιο απαιτητικό (Charalambous, Pitta-Pandazi, 2007). Οι μαθητές δυσκολεύονται να αντιστοιχίσουν ένα κλάσμα στην αριθμογραμμή, όταν ο αριθμός των ίσων μερών που έχει χωριστεί αυτή είναι διαφορετικός από τον παρονομαστή του κλάσματος. Μια ακόμη δυσκολία στη χρήση μοντέλων για τη διδασκαλία των κλασμάτων, είναι ότι αυτά δε διαθέτουν μαθηματικά χαρακτηριστικά (Moyer, 2001). Ενώ οι εκπαιδευτικοί προσπαθούν να συνδέσουν τα μοντέλα με τα κλάσματα, οι μαθητές μπορεί να αποκομίσουν διαφορετικό νόημα από αυτήν την προσπάθεια. Αυτό συμβαίνει γιατί οι εκπαιδευτικοί αναγνωρίζουν την ήδη γνωστή σε αυτούς έννοια του κλάσματος στο μοντέλο, ενώ οι μαθητές πρέπει από μόνοι τους να την κατασκευάσουν με τη βοήθεια του μοντέλου. Μόνο η χρήση των μοντέλων δεν αρκεί για την κατανόηση της έννοιας του κλάσματος. Σημασία έχει το πλαίσιο μέσα στο οποίο αυτά θα χρησιμοποιηθούν. 2.3 Η μαθηματική δραστηριότητα Η σύγχρονη έρευνα της διδακτικής των μαθηματικών δίνει μεγάλη βαρύτητα στη μαθηματική δραστηριότητα, θεωρώντας πως μέσω αυτής επιτυγχάνεται η κατασκευή των μαθηματικών εννοιών, κάτι που συνεπάγεται την ουσιαστική μάθηση των μαθηματικών. Κατά συνέπεια ο σχεδιασμός κατάλληλων δραστηριοτήτων και η εφαρμογή τους από τους εκπαιδευτικούς στη σχολική τάξη αποτελούν σημαντικό παράγοντα για την επίτευξη των παραπάνω στόχων. Σύμφωνα με τους Καλδρυμίδου, Πόταρη, Σακονίδη και Τζεκάκη (2009): «Βασική συνιστώσα της πράξης της διδασκαλίας των μαθηματικών αποτελεί η επιλογή και η αξιοποίηση δραστηριοτήτων και συζητήσεων στην τάξη, οι οποίες αφενός μπορεί να οδηγήσουν στην ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης που ορίζει το Αναλυτικό Πρόγραμμα και αφετέρου συνιστούν πλαίσια αυθεντικής μαθηματικής δράσης, δηλαδή παιδία αλληλεπίδρασης και επικοινωνίας τόσο μεταξύ του εκπαιδευτικού και των μαθηματικών όσο και των μαθητών μεταξύ τους, που μπορεί να οδηγήσουν στην ανάδειξη και την ανάπτυξη μαθηματικών ιδεών». 29

31 Όσον αφορά το σχεδιασμό μιας κατάλληλης μαθηματικής δραστηριότητας, οι Ainley, Pratt και Hansen (2006) θεωρούν ότι πρέπει να επικεντρώνεται σε δύο άξονες. Αυτοί είναι ο σκοπός (purpose) και η χρησιμότητα (utility) της δραστηριότητας. Έτσι μια «καλή» δραστηριότητα έχει νόημα για τους ίδιους τους μαθητές που εμπλέκονται σε αυτή (σκοπός της δραστηριότητας) και τους δίνει την ευκαιρία να μη διεκπεραιώνουν απλά διαδικασίες, αλλά να δημιουργούν νοήματα (χρησιμότητα της δραστηριότητας) (Ainley et al., 2006). Ως δραστηριότητα είναι δυνατό να ορίσουμε μια κατάσταση πρόβλημα ή τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος (Κολέζα, 1997). Όποια ορολογία και αν υιοθετήσουμε, είναι κοινά αποδεκτό ότι η λειτουργία μιας δραστηριότητας χρησιμεύει αφενός για την κατασκευή από τους ίδιους τους μαθητές της νέας γνώσης και αφετέρου για να δώσει την ευκαιρία ποικίλων εφαρμογών των ήδη αποκτηθεισών γνώσεων. Σύμφωνα με την Κολέζα (1997) εργασία πάνω σε μια μαθηματική δραστηριότητα σημαίνει κυρίως: Προσδιορίζω το πρόβλημα Εικάζω το αποτέλεσμα Πειραματίζομαι με τη βοήθεια παραδειγμάτων Συνθέτω ένα συλλογισμό Διατυπώνω μια λύση Ελέγχω τα αποτελέσματα Αξιολογώ την ορθότητά τους σε σχέση με το αρχικό πρόβλημα Βασικά χαρακτηριστικά μιας δραστηριότητας Σύμφωνα με τους Stein και Smith (1998) είναι πολύ σημαντικό ο εκπαιδευτικός να έχει την ικανότητα να διακρίνει και να επιλέγει κατάλληλες δραστηριότητες για υλοποίηση στην τάξη. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά όμως μιας «καλής» δραστηριότητας; Πώς καταλαβαίνει ο εκπαιδευτικός ποια είναι η «καλή» δραστηριότητα; Αναζητώντας κάποια από τα βασικά χαρακτηριστικά μιας δραστηριότητας θα μπορούσαμε να αναφερθούμε στα παρακάτω (Μαθηματικά Α Γυμνασίου Βιβλίο Εκπαιδευτικού σελ. 9): 30

32 1. Η εκφώνηση να γίνεται εύκολα κατανοητή ώστε ο μαθητής να μπορεί να διαβλέψει τη μορφή μιας απάντησης στο πρόβλημα. Αυτό είναι ανεξάρτητο της ικανότητάς του να προτείνει τη σωστή απάντηση. Η απάντηση, συχνά, δεν είναι προφανής, αλλά με βάση τις γνώσεις του ο μαθητής μπορεί να εμπλακεί σε μια διαδικασία αναζήτησης διεξόδου. 2. Προκειμένου να λυθεί ένα πρόβλημα απαιτείται να κατασκευαστεί η γνώση που αποτελεί το τελικό προϊόν της διαδικασίας μάθησης (είτε από τους ίδιους τους μαθητές, είτε με τη διευκόλυνση του διδάσκοντος). 3. Το δίκτυο των εμπλεκομένων εννοιών σε μία δραστηριότητα πρέπει να είναι ευρύ, αλλά πάντα μέσα στο πλαίσιο των δυνατοτήτων των μαθητών. 4. Η διατύπωση του προβλήματος πρέπει να είναι αρκετά ανοικτή ώστε να αφήνει περιθώρια διερεύνησης και διαδικασίες διαισθητικής προσέγγισης. 5. Να δίνεται η δυνατότητα στους μαθητές, μόνοι τους ή στα πλαίσια της ομάδας, να διατυπώνουν και να επεξεργάζονται ενδιάμεσες προτάσεις. Ένα άλλο βασικό στοιχείο των δραστηριοτήτων είναι η χρήση αναπαραστάσεων οι οποίες θεωρούνται απολύτως απαραίτητες, επειδή τα αντικείμενα των μαθηματικών δεν μπορούν να γίνουν άμεσα αντιληπτά, γι αυτό χρειάζονται αντιπροσώπευση. Την αντιπροσώπευση αυτή αναλαμβάνουν τα διαφορετικά συστήματα αναπαράστασης, καθένα από τα οποία αναπαριστά διαφορετικές πτυχές μιας μαθηματικής έννοιας, κάθε μία με τους δικούς της περιορισμούς νοήματος και λειτουργίας (Duval, αναφορά σε Λεμονίδης, Θεοδώρου, 2011). Σε έρευνά τους οι Henningsen και Stein (1997) ορίζουν τη μαθηματική δραστηριότητα ως μία απασχόληση μέσα στην τάξη, σκοπός της οποίας είναι να εστιάσει την προσοχή των μαθητών σε μια συγκεκριμένη μαθηματική έννοια, ιδέα, ή δεξιότητα. Η παραπάνω έρευνα βασίζεται σε ένα πλαίσιο σύμφωνα με το οποίο η μαθηματική δραστηριότητα περνάει μέσα από τρεις φάσεις: Τον τρόπο που παρουσιάζεται στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών. Τον τρόπο που παρουσιάζεται από τον εκπαιδευτικό στην τάξη. Τον τρόπο που εφαρμόζεται από τους μαθητές στην τάξη. Το παραπάνω πλαίσιο καθορίζει και δύο άλλες διαστάσεις των μαθηματικών δραστηριοτήτων: Χαρακτηριστικά που βοηθούν στην ανάπτυξη της μαθηματικής κατανόησης, μαθηματικής λογικής και δημιουργίας νοήματος (πολλαπλές 31

33 στρατηγικές λύσεων, πολλαπλές αναπαραστάσεις, μαθηματική επικοινωνία) Γνωστικές απαιτήσεις κατά τη διάρκεια επίλυσης του προβλήματος από τους μαθητές (απομνημόνευση, χρήση διαδικασιών και αλγορίθμων, σύνθετη σκέψη και στρατηγικές επίλυσης που δείχνουν ότι οι μαθητές «κάνουν μαθηματικά») Εξετάζοντας τους παράγοντες που οδηγούν στη διατήρηση ή όχι του υψηλού επιπέδου των γνωστικών απαιτήσεων μιας μαθηματικής δραστηριότητας κατά τη διάρκεια της εφαρμογής της οι Henningsen και Stein (1997) κατέληξαν ότι: Παράγοντες που σχετίζονται με τη διατήρηση υψηλού επιπέδου γνωστικών απαιτήσεων: Υποστήριξη (scaffolding) στη δημιουργία συλλογισμών από τον καθηγητή Δραστηριότητες που βασίζονται στις προηγούμενες γνώσεις των μαθητών Κατάλληλη ποσότητα χρόνου που διατίθεται για τη δραστηριότητα Διατήρηση μαθηματικής πρόκλησης κατά τη διάρκεια της δραστηριότητας Πίεση από τη μεριά του εκπαιδευτικού για εξηγήσεις και αιτιολόγηση μέσω ερωτήσεων, σχολίων και ανατροφοδότησης Παράγοντες που σχετίζονται με τη μείωση του επιπέδου των γνωστικών απαιτήσεων: Αφαίρεση μαθηματικής πρόκλησης κατά τη διάρκεια της δραστηριότητας Ακαταλληλότητα της δραστηριότητας για τους συγκεκριμένους μαθητές Ο εκπαιδευτικός δίνει μεγαλύτερη έμφαση σε διαδικασίες παρά στην κατανόηση της έννοιας Δίνεται περισσότερος ή λιγότερος χρόνος από όσος χρειάζεται Προβλήματα διαχείρισης της τάξης Μαθηματική γνώση και μαθηματική επάρκεια Πολλά άρθρα έχουν γραφτεί τα τελευταία χρόνια σχετικά με την έρευνα για τον τρόπο που μαθαίνονται τα μαθηματικά, ποιες προσεγγίσεις είναι οι πιο αποτελεσματικές, από ποιον και γιατί. Ένα άλλο συναφές ζήτημα που απασχολεί 32

34 τους ερευνητές αφορά τη φύση της μαθηματικής γνώσης, ποια τα χαρακτηριστικά της και πώς μπορεί να πραγματοποιηθεί. Στις δεκαετίες του 70 και του 80 υπήρξε σημαντικό έργο και συμφωνία για τις διαφορετικές μορφές γνώσεις που μπορεί να αναπτυχθούν οι οποίες χαρακτηρίστηκαν με τους όρους εννοιολογική (conceptual) και διαδικαστική (procedural), ή συσχετιστική (relational) και οργανωτική (instrumental). Αργότερα οι Noss, Healy και Hoyles (1997) σε έρευνά τους εξετάζουν τους τρόπους με τους οποίους οι μαθητές κάνουν συνδέσεις μεταξύ οπτικών και συμβολικών μορφών των λειτουργικών σχέσεων. Εκεί υποστηρίζουν ότι η πράξη της δημιουργίας συνδέσεων είναι σημαντική γιατί οι μαθηματικές έννοιες προέρχονται από τις μαθηματικές συνδέσεις. Άρα η πράξη της παρατήρησης σχέσεων και σχεδιασμού συνδέσεων, είτε μεταξύ διαφορετικών λειτουργικών αναπαραστάσεων ή μαθηματικών περιοχών, είναι μια βασική πτυχή για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών από μόνη της και δεν πρέπει να θεωρηθεί απλά ως ένα μέσο για την κατάκτηση της μαθηματικής γνώσης (Boaler, 2003). Το 1916 ιδρύθηκε στην Αμερική το National Research Council (NRC) σκοπός του οποίου είναι η διεξαγωγή μελετών που αφορούν σε επιστημονικά και τεχνολογικά θέματα. Τις τελευταίες δεκαετίες το NRC ασχολήθηκε και με την εκπαιδευτική έρευνα. Ο κύριος στόχος του NRC Mathematics Learning Study είναι η ανασκόπηση και η σύνθεση της υπάρχουσας έρευνας γύρω από τη μάθηση των μαθηματικών, με σκοπό να προβεί σε προτάσεις για καλύτερες πρακτικές. Επίσης η επιτροπή επιφορτίστηκε με την περιγραφή του πλαισίου της μελέτης σε σχέση με το τι σημαίνει επιτυχημένη μάθηση των μαθηματικών, ποιοι τομείς των μαθηματικών είναι σημαντικοί ως θεμέλια στις πρώτες τάξεις του σχολείου για την οικοδόμηση συνεχούς μαθήσεως, καθώς και του ρόλου της έρευνας στον σχεδιασμό πρακτικών προγραμμάτων και πολιτικών (Kilpatrick, 2001). Στις αρχές του 2000 ορίστηκε μια επιτροπή μελέτης από ειδικούς στην έρευνα των μαθηματικών, στις πρακτικές της τάξης, στις γνωστικές επιστήμες με σκοπό να περιγράψει και να διερευνήσει την έννοια «επιτυχής μάθηση μαθηματικών». Ένα από τα πρώτα προβλήματα που αντιμετώπισε η επιτροπή ήταν να βρει κάποιον τρόπο να χαρακτηρίσει-ορίσει την «επιτυχή μάθηση των μαθηματικών». Ανάμεσα στους όρους που συζητήθηκαν ήταν ο μαθηματικός εγγραμματισμός (mathematical literacy), αριθμητισμός (numeracy), γνώση των μαθηματικών (mastery of mathematics), και μαθηματική ικανότητα (mathematical competence). Τελικά η 33

35 επιτροπή κατέληξε στον όρο μαθηματική επάρκεια (mathematical proficiency) ο οποίος αποτελείται από πέντε αλληλοσυνδεόμενους άξονες που αναπτύσσονται από κοινού. Η μαθηματική επάρκεια μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει τους στόχους μάθησης για όλους τους μαθητές, αλλά και το βαθμό επάρκειας κάθε μαθητή σε κάθε ηλικία. Επιπλέον η έννοια της μαθηματικής επάρκειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσει με παρόμοιο τρόπο τι σημαίνει να είναι ικανός κάποιος να διδάξει μαθηματικά (Kilpatrick, 2001). Οι πέντε άξονες της μαθηματικής επάρκειας είναι (Kilpatrick, 2001): Εννοιολογική κατανόηση (conceptual understanding) η οποία αναφέρεται στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών, διαδικασιών και σχέσεων από τους μαθητές. Διαδικαστική ευχέρεια (procedural fluency) η οποία αναφέρεται στην ικανότητα των μαθητών να εκτελούν μαθηματικές διαδικασίες ευέλικτα, με ακρίβεια, αποτελεσματικά και κατάλληλα. Ικανότητα στρατηγικών (strategic competence) η οποία αναφέρεται στην ικανότητα των μαθητών να διατυπώνουν, αναπαριστούν και να λύνουν μαθηματικά προβλήματα. Προσαρμοστική συλλογιστική επιχειρηματολογία (adaptive reasoning) η οποία αναφέρεται στην ικανότητα για λογική σκέψη και αναστοχασμό, εξήγηση και αιτιολόγηση των μαθηματικών επιχειρημάτων. Παραγωγική προδιάθεση (productive disposition) η οποία περιλαμβάνει την προδιάθεση των μαθητών να βλέπουν τα μαθηματικά ως χρήσιμο αντικείμενο που αξίζει τον κόπο να μελετηθεί, σε συνδυασμό με την πίστη στην αξία της επιμελούς εργασίας και την αποτελεσματικότητα του ατόμου που «κάνει» μαθηματικά Διαδικαστική και εννοιολογική γνώση Η διάκριση μεταξύ εννοιολογικής και διαδικαστικής γνώσης έχει τις ρίζες της στο χώρο της Γνωστικής Ψυχολογίας. Σύμφωνα με μία προσέγγιση (Hiebert, 1986) η μαθηματική γνώση μπορεί να διακριθεί σε διαδικαστική και εννοιολογική. Ο Hiebert (1986) ορίζει ως εννοιολογική γνώση (Star & Stylianides, 2013) την: γνώση που είναι πλούσια σε σχέσεις. Μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συνεκτικός ιστός γνώσεων, ένα δίκτυο στο οποίο οι συνδεόμενες σχέσεις είναι τόσο 34

36 σημαντικές όσο και τα διακριτά κομμάτια των πληροφοριών. Οι σχέσεις διαπερνούν τα επιμέρους στοιχεία και προτάσεις, έτσι ώστε όλα τα κομμάτια των πληροφοριών να συνδέονται σε κάποιο δίκτυο. Η διαδικαστική γνώση σύμφωνα με τον Hiebert (1986) ορίζεται με βάση δύο είδη γνώσεων (Star & Stylianides, 2013): Ένα είδος της διαδικαστικής γνώσης είναι μια εξοικείωση με τα επιμέρους σύμβολα του συστήματος και με τις συντακτικές συμβάσεις για αποδεκτές διαμορφώσεις των συμβόλων. Το δεύτερο είδος της διαδικαστικής γνώσης αποτελείται από κανόνες και διαδικασίες για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Πολλές από τις διαδικασίες που οι μαθητές κατέχουν, ίσως είναι αλυσίδες συνταγών για το χειρισμό συμβόλων. Η διαδικαστική γνώση περιλαμβάνει τη γνώση των αλγορίθμων και κανόνων και την ικανότητα εφαρμογής τους ή εκτέλεσης πράξεων. Για την απόκτηση διαδικαστικής γνώσης αρκεί ένα ελάχιστο συνδέσεων ανάμεσα σε διαδοχικές διαδικασίες. Η χρήση της διαδικαστικής γνώσης δεν απαιτεί σημαντικό επίπεδο κατανόησης από το μέρος του μαθητή. Πρέπει απλά να εκτελέσει σωστά μια διαδικασία για να βρει τη σωστή λύση. Οι Hiebert και Lefevre (1986) χαρακτήρισαν τη διαδικαστική γνώση ως ασύνδετες πληροφορίες που δε σχετίζονται με μαθηματικές ιδέες (Μπεμπένη, 2011). Σύμφωνα με τον Byrnes (1992), η διαδικαστική γνώση αποτελεί το σύνολο των αλγορίθμων, κανόνων, για την ολοκλήρωση μιας δραστηριότητας (knowing how). Περιλαμβάνει την αλληλουχία συγκεκριμένων πράξεων που θεωρούνται ότι παράγουν το σωστό αποτέλεσμα που στην περίπτωση των μαθηματικών είναι η σωστή απάντηση σε ένα πρόβλημα (Μπεμπένη, 2011). Αντίθετα, η εννοιολογική γνώση ή κατανόηση χαρακτηρίζεται από ένα πλούσιο δίκτυο συνδέσεων ανάμεσα σε ιδέες και πληροφορίες που σχετίζονται με μια έννοια. Σύμφωνα με τους Hiebert & Carpenter, (1992) «μια μονάδα εννοιολογικής γνώσης δε διατηρείται ως απομονωμένο σύνολο πληροφοριών, είναι πράγματι εννοιολογική γνώση μόνο όταν αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου δικτύου». Η εννοιολογική γνώση είναι γνώση συγκροτημένη σε γνωστικά σχήματα, στο καθένα από τα οποία εντάσσονται και ταξινομούνται συνδεδεμένες σχετικές γνώσεις, οι οποίες είναι δυνατό να συντελέσουν στην αναδιαμόρφωση του σχήματος (Χρίστου και Φιλίππου, 1995). Η εννοιολογική γνώση ξεφεύγει από τη στείρα απομνημόνευση κανόνων και αλγορίθμων και περιλαμβάνει την πραγματική 35

37 μαθηματική κατανόηση ενός δεδομένου προβλήματος και τη σχέση του με ένα ευρύτερο πλέγμα μαθηματικών εννοιών. Σύμφωνα με τον Byrnes (1992), η εννοιολογική κατανόηση (knowing that), χαρακτηρίζεται ως η ικανότητα μας να κάνουμε συνδέσεις στη γνώση και όχι ως η ικανότητά μας να απομνημονεύουμε ασύνδετες πληροφορίες (Μπεμπένη, 2011). Στη διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών είναι απαραίτητο να αναπτύσσονται ταυτόχρονα και οι δύο διαστάσεις της γνώσης, γιατί η μία ενισχύει και συμπληρώνει την άλλη. Υπάρχουν σοβαροί λόγοι για να υποστηριχθεί η άποψη ότι προέχει η κατανόηση εννοιών, γιατί είναι πιο δυναμική, εμπεριέχει και υποβοηθάει την απόκτηση της διαδικαστικής γνώσης, αφού σε κάθε περίπτωση οι μαθηματικές διαδικασίες στηρίζονται σε αρχές που αντιπροσωπεύονται εννοιολογικά. Δηλαδή, κάθε μαθηματική διαδικασία εξαρτάται ή συνδέεται με ευρύτερα συγκροτημένα δίκτυα πληροφοριών που στηρίζουν δυναμικά τη μάθηση διαδικασιών (Χρίστου και Φιλίππου, 1995). Η εμπειρική ερμηνεία της σύνδεσης της εννοιολογικής και διαδικαστικής γνώσης μπορεί να θεωρηθεί μέσα στο οργανωμένο πλαίσιο φάσεων που αναπτύχθηκε από τους Hiebert και Wearne (1986). Σύμφωνα με αυτό το πλαίσιο, κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος στα μαθηματικά μπορούν να επισημανθούν τρεις διακεκριμένες φάσεις κατά τις οποίες μπορεί να διαπιστωθεί ο βαθμός σύνδεσης της εννοιολογικής και διαδικαστικής γνώσης (Χρίστου και Φιλίππου, 1995). Κατά την πρώτη φάση ο μαθητής ασχολείται με την ερμηνεία του συμβολισμού ή της σημειολογικής και φραστικής διατύπωσης του προβλήματος. Για παράδειγμα, ο μαθητής σε αυτή τη φάση μπορεί να ερμηνεύει μαθηματικά σύμβολα, όπως, «2/3», «-«, «+», «=», κτλ. Η ερμηνεία η οποία εσωτερικεύει μπορεί να κυμαίνεται από καθαρά διαδικαστική ως καθαρά εννοιολογική. Ο μαθητής π.χ. μπορεί να αντιλαμβάνεται την έκφραση «2/3 : 1/4» αλγοριθμικά ως «αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου κλάσματος και πολλαπλασιάζω» ή εντελώς εννοιολογικά ως «πόσες φορές χωράει το ένα τέταρτο στα δύο τρίτα». Οι Hiebert και Wearne (1986) ισχυρίζονται ότι η σύνδεση, σε αυτή τη φάση, των συμβόλων με την εννοιολογική τους διάσταση είναι θεμελιώδης για τη μαθηματική επάρκεια (Χρίστου και Φιλίππου, 1995). Κατά τη δεύτερη φάση ο μαθητής επιλέγει τους κατάλληλους αλγόριθμους που θα τον βοηθήσουν να αξιοποιήσει τα δεδομένα του προβλήματος, για να προχωρήσει 36

38 στην επίλυσή του. Στις περιπτώσεις που οι αλγόριθμοι έχουν διδαχθεί στο σχολείο υπό μορφή συνταγής ή κανόνων, χωρίς να προηγηθεί η σύνδεσή τους με το εννοιολογικό πλαίσιο, τότε είναι πιθανόν να διαγραφούν τελείως από τη μνήμη, να χρησιμοποιηθούν λανθασμένα ή έξω από το κανονικό τους πλαίσιο. Η γνήσια μαθηματική επάρκεια μπορεί να δομηθεί μόνο ως αποτέλεσμα πολύμορφης και πολυδιάστατης σύνδεσης των αλγορίθμων και κανόνων με το νόημα των εννοιών στις οποίες αναφέρονται. Η τρίτη και τελευταία φάση αποτελεί το επιστέγασμα της όλης μαθηματικής δραστηριότητας. Κατά τη διάρκειά της ο μαθητής αξιολογεί το αποτέλεσμα στο οποίο κατέληξε, το συνδέει με τη διατύπωση του προβλήματος και προσπαθεί να δώσει νόημα στην απάντησή του. Τα εννοιολογικά στοιχεία που εμπλέκονται σε αυτή τη φάση μπορούν να προσδιοριστούν από το πόσο λογική είναι η απάντησή του μαθητή. Για παράδειγμα, αν ο μαθητής δώσει απάντηση στην άσκηση «12/13 + 2/3» μεγαλύτερη του 2, τότε φαίνεται η αδυναμία του να κατανοήσει την έννοια του κλάσματος και της σύνδεσης των συμβόλων που χειρίζεται με τη σχετική προς τη μονάδα αξία τους. Οι τρεις φάσεις που αναφέρθηκαν πιο πάνω (ερμηνεία συμβόλων, επιλογή αλγορίθμων και εκτέλεση πράξεων, αξιολόγηση απάντησης) παρέχουν ένα πλαίσιο συστηματικού ελέγχου και ερμηνείας των σχέσεων που υπάρχουν μεταξύ της διαδικαστικής και εννοιολογικής γνώσης (Χρίστου και Φιλίππου, 1995). 2.4 Τα σχολικά εγχειρίδια Αναλυτικά προγράμματα σπουδών Ο όρος «αναλυτικό πρόγραμμα» εμπεριέχει τις έννοιες «πρόγραμμα» και «αναλυτικό». Στα χαρακτηριστικά του όρου «πρόγραμμα» διακρίνουμε σχεδιασμό και εσωτερική οργάνωση, άρα αξιολόγηση και επιλογή κάποιων θεμάτων με στόχο την επίτευξη συγκεκριμένου σκοπού. Ο όρος «αναλυτικό» οδηγεί στο περιεχόμενο του Αναλυτικού Προγράμματος Σπουδών (Α.Π.Σ.), στις οδηγίες και στις δραστηριότητες που προτείνει το Α.Π.Σ. σε κάθε θέμα, για να επιτευχθούν οι στόχοι που έχουν τεθεί (Αφράτης, 2007). Θα μπορούσαμε επομένως να ορίσουμε την έννοια «αναλυτικό πρόγραμμα» ως εξής: «Είναι ένα πρόγραμμα, το οποίο έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε η οργάνωση του περιεχομένου του, να οδηγήσει στη μάθηση 37

39 σύμφωνα με κάποιο συγκεκριμένο σκοπό (Χατζηγεωργίου, 2004)». Τα αναλυτικά προγράμματα σύμφωνα με τον Ευαγγέλου (2007), διακρίνονται σε παραδοσιακά και σε σύγχρονα, ανάλογα με τον τρόπο που προσδιορίζουν τα περιεχόμενά τους, τους στόχους τους, τις μεθόδους διδασκαλίας και αξιολόγησής τους ή τις δυνατότητες ερμηνευτικών παρεμβάσεων που παρέχουν στους εκπαιδευτικούς. Τα Α.Π.Σ. στην ελληνική εκπαίδευση μέχρι το 1997, παρέμειναν παραδοσιακά παρά τις αλλεπάλληλες μεταρρυθμίσεις. Με τις αλλαγές όμως που επιχειρήθηκαν κατά την περίοδο έγινε προσπάθεια τα Α.Π.Σ. να αποκτήσουν σταδιακά χαρακτήρα ευέλικτων προγραμμάτων, με στόχο να αντιμετωπιστεί η μάθηση όχι ως συσσώρευση γνώσεων αλλά ως δημιουργική καλλιέργεια των τρόπων πολυπρισματικής κατάκτησης της γνώσης μέσα από συμμετοχικές και βιωματικές διαδικασίες (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Αναλυτικά προγράμματα σπουδών, 2009). Τα σχολικά έτη και εισήχθησαν στο Ελληνικό Δημόσιο σχολείο νέα βιβλία για τα μαθηματικά στο Δημοτικό και στο Γυμνάσιο αντίστοιχα. Είναι γραμμένα σύμφωνα με το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών (Δ.Ε.Π.Π.Σ.) και τα νέα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών (Α.Π.Σ.) για τα μαθηματικά του Δημοτικού και του Γυμνασίου. Γενικοί σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο Κύριος σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου είναι η σε πρώτο επίπεδο κατανόηση του κόσμου των αριθμών και απόκτηση της ικανότητας εκτέλεσης των πράξεων, η κατανόηση του περιβάλλοντος φυσικού χώρου με την παρατήρηση, περιγραφή και μέτρηση, έτσι ώστε το παιδί να καταστεί σταδιακά ικανό να εφαρμόζει μαθηματικές γνώσεις, μεθόδους και διαδικασίες σε προβλήματα της καθημερινής ζωής. Ο σκοπός αυτός επιδιώκεται με την ενεργητική οικοδόμηση θεμελιωδών μαθηματικών εννοιών, την ανάπτυξη της ικανότητας του παιδιού να μαθηματικοποιεί καταστάσεις προβλήματος, να επιλύει προβλήματα, να αιτιολογεί τα συμπεράσματά του, να χρησιμοποιεί μαθηματικό συμβολισμό, να εφαρμόζει αλγόριθμους και διαδικασίες, να εκτελεί λογιστικές πράξεις και να υπολογίζει το αποτέλεσμα (Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών Μαθηματικών, 1997). Γενικοί σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο Τα Μαθηματικά συμβάλλουν στη γενικότερη πνευματική καλλιέργεια και στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του μαθητή, αφού αποτελούν μέρος της 38

40 πολιτισμικής κληρονομιάς της ανθρωπότητας. Συγκεκριμένα, βοηθούν στην ανάπτυξη του κριτικού πνεύματος και της συγκροτημένης σκέψης, που συνοδεύεται από δημιουργική φαντασία. Ειδικότερα με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο επιδιώκεται: α) Να εμπεδωθεί καλύτερα και να συμπληρωθεί η ύλη που διδάχτηκε στο Δημοτικό Σχολείο, ώστε οι μαθητές να εφοδιαστούν με όλες τις μαθηματικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη ζωή και την περαιτέρω μελέτη και εκπαίδευση. β) Να εμπλουτιστούν οι εμπειρίες των μαθητών με εφαρμογές από την καθημερινή ζωή, την τεχνολογία και τις άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες, ώστε να αναπτυχθεί μια θετική στάση των μαθητών προς τα Μαθηματικά. γ) Να εισαχθούν οι μαθητές στην αποδεικτική διαδικασία και να συνειδητοποιήσουν ότι αυτό αποτελεί χρήσιμο εργαλείο για την επαλήθευση γενικών νόμων (Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών Μαθηματικών, 1997). Εστιάζοντας ξεχωριστά στην ΣΤ Δημοτικού και στην Α Γυμνασίου τα σχολικά εγχειρίδια των οποίων θα μας απασχολήσουν στην εργασίας μας, οι στόχοι που έχουν τεθεί από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών είναι οι παρακάτω: ΣΤ Δημοτικού 1. Ειδικοί σκοποί Με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό σχολείο επιδιώκεται: Η απόκτηση βασικών μαθηματικών γνώσεων και ικανοτήτων. Η καλλιέργεια της μαθηματικής γλώσσας ως μέσου επικοινωνίας. Η κατανόηση στοιχειωδών Μαθηματικών μεθόδων. Η εξοικείωση με τη διαδικασία παραγωγής συλλογισμών και την αποδεικτική διαδικασία. Η ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων. Η ανάδειξη της δυνατότητας εφαρμογής και πρακτικής χρήσης των Μαθηματικών. Η ανάδειξη της δυναμικής διάστασης της μαθηματικής επιστήμης (ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών εργαλείων, συμβόλων και εννοιών). Η καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηματικά. 2. Στόχοι - Θεματικές ενότητες Οι επιμέρους στόχοι ανά θεματική ενότητα του κεφαλαίου των κλασμάτων της ΣΤ Δημοτικού είναι οι εξής: 39

41 Στόχοι Να διακρίνουν και να δημιουργούν ισοδύναμα κλάσματα. Να δημιουργούν και να διακρίνουν ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα. Να συγκρίνουν και να διατάσσουν κλάσματα. Να μετατρέπουν κλάσματα σε μεικτούς αριθμούς. Να απλοποιούν κλάσματα. Να μετατρέπουν κλάσματα σε δεκαδικούς και αντίστροφα. Να χειρίζονται απλές παραστάσεις που συνδυάζουν κλάσματα και δεκαδικούς. Θεματικές ενότητες (Διατιθέμενος χρόνος) Αριθμοί και πράξεις Κλάσματα (8 ώρες) Α Γυμνασίου 1 Ειδικοί σκοποί Με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο επιδιώκεται: Η απόκτηση βασικών μαθηματικών γνώσεων και ικανοτήτων. Η καλλιέργεια της Μαθηματικής Γλώσσας ως μέσου επικοινωνίας αλλά και περιγραφής πραγματικών φαινομένων και καταστάσεων. Η σταδιακή κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών της δομής των Μαθηματικών. Η εξοικείωση με τη διαδικασία παραγωγής συλλογισμών και την αποδεικτική διαδικασία. Η σταδιακή ανάπτυξη της ικανότητας για επίλυση προβλημάτων και αντιμετώπιση πραγματικών καταστάσεων. Η ανάδειξη της εφαρμοσιμότητας και πρακτικής χρήσης των Μαθηματικών από την αρχαιότητα ως τις μέρες μας, τόσο στις θετικές όσο και στις ανθρωπιστικές και κοινωνικοοικονομικές επιστήμες. Η ανάδειξη της δυναμικής διάστασης της μαθηματικής επιστήμης που εκφράζεται μέσα από τη ραγδαία ανάπτυξή της, και της σημασίας της ως απαραίτητου εργαλείου όλων των ανθρώπινων δραστηριοτήτων. 40

42 Η καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηματικά, χωρίς την οποία η κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και προτάσεων αποβαίνει εξαιρετικά δυσχερής. 2. Στόχοι - Θεματικές ενότητες Οι επιμέρους στόχοι ανά θεματική ενότητα του κεφαλαίου των κλασμάτων της Α Γυμνασίου είναι οι εξής: Θεματικές ενότητες Στόχοι (Διατιθέμενος χρόνος) Να κατανοήσουν την έννοια του κλάσματος μέσα από διαδικασίες χωρισμού σε μέρη ενός «όλου». Να κατανοήσουν την έννοια του κλάσματος μέσα από διαδικασίες αναζήτησης σχέσης μεταξύ ομοειδών ποσοτήτων. Να υπολογίζουν με την μέθοδο αναγωγής στη μονάδα την τιμή ενός μέρους από το όλο. Να υπολογίζουν την τιμή του όλου από τη τιμή ενός μέρος του. Να κατανοήσουν την έννοια των ισοδύναμων κλασμάτων. Να απλοποιούν κλάσματα. Να μετατρέπουν κλάσματα σε ομώνυμα. Να χρησιμοποιούν τη «χιαστί» ιδιότητα για τον έλεγχο της ισοδυναμίας των κλασμάτων : «Αν, τότε» Να συγκρίνουν κλάσματα. Να αντιστοιχούν τα κλάσματα με σημεία της ευθείας των αριθμών. Να προσθέσουν και να αφαιρούν κλάσματα και να λύνουν σχετικά προβλήματα. Η έννοια του κλάσματος (2 ώρες) Ισοδύναμα κλάσματα (1 ώρα) Σύγκριση κλασμάτων (1 ώρα) Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (2 ώρες) Να πολλαπλασιάζουν κλάσματα. Πολλαπλασιασμός και 41

43 Να βρίσκουν τον αντίστροφο ενός αριθμού. Να διαιρούν κλάσματα. Να μετατρέπουν ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό. Να γνωρίζουν τις ιδιότητες των πράξεων, να μπορούν να τις διατυπώνουν με τη βοήθεια συμβόλων και να τις χρησιμοποιούν στον υπολογισμό της τιμής μιας παράστασης. Διαίρεση κλασμάτων (4 ώρες) Ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων Πολλές έρευνες τα τελευταία χρόνια έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι τα εκπαιδευτικά υλικά που χρησιμοποιούνται στα σχολεία παίζουν σημαντικό ρόλο, επηρεάζοντας ταυτόχρονα το τι διδάσκεται αλλά και το πώς αυτό διδάσκεται. Κατά συνέπεια, οποιαδήποτε προσπάθεια για βελτίωση της διδασκαλίας δεν μπορεί να είναι ανεξάρτητη από αντίστοιχη προσπάθεια για βελτίωση των εκπαιδευτικών υλικών. Ένα από τα θέματα που απασχολεί συχνά τους ερευνητές των μαθηματικών είναι τα προγράμματα σπουδών. Μία από τις σημαντικότερες παραμέτρους ενός νέου προγράμματος σπουδών είναι τα σχολικά εγχειρίδια. Το σχολικό εγχειρίδιο μαζί με το πρόγραμμα σπουδών αποτελούν το μόνιμο και μοναδικό ίσως άμεσο βοηθό του εκπαιδευτικού στο έργο του. Η σημασία του σχολικού εγχειριδίου και για τους μαθητές, ειδικά στη χώρα μας που δεν έχει τεθεί σε εφαρμογή ο θεσμός του πολλαπλού βιβλίου, ελάχιστα αμφισβητείται. Δεν είναι τυχαίο άλλωστε ότι το μεγαλύτερο μέρος της διδακτικής ώρας αφιερώνεται στην ενασχόληση των καθηγητών και των μαθητών με το σχολικό εγχειρίδιο, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να δίνεται μεγάλη προσοχή τόσο στο περιεχόμενο, όσο και στον τρόπο που αυτό παρουσιάζεται. Σύμφωνα με έρευνες που έχουν γίνει στις Ηνωμένες Πολιτείες τα 3/4 των εκπαιδευτικών χρησιμοποιούν καθημερινά το σχολικό εγχειρίδιο (Tarr et al, 2006). Τα 2/3 των καθηγητών μαθηματικών χρησιμοποιούν μόνο ένα εγχειρίδιο μαθηματικών κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς και καλύπτουν τουλάχιστον τα 3/4 αυτού (Tarr et al, 2006). Ο σημαντικός ρόλος του σχολικού εγχειριδίου στην διδακτική πράξη φανερώνει την αναγκαιότητα δημιουργίας κατάλληλων βιβλίων που βοηθούν τους εκπαιδευτικούς και τους μαθητές. 42

44 Ιδιαίτερα στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης έχουμε να παρατηρήσουμε ότι, παρά την κυρίαρχη παρουσία των σχολικών εγχειριδίων στη σχολική και εκπαιδευτική πρακτική, λίγες μελέτες έχουν εστιάσει την προσοχή τους σε αυτά σε σχέση με το μαθηματικό τους περιεχόμενο. Προσπαθώντας να ερμηνεύσει αυτό το παράδοξο η Mesa (2004) ισχυρίζεται ότι στην προσπάθειά μας να κατανοήσουμε την φύση των μαθηματικών που μαθαίνουν οι μαθητές, θεωρήσαμε πιο σημαντικό το πώς οι εκπαιδευτικοί χρησιμοποιούν τα εγχειρίδια παρά τη μελέτη των ίδιων των εγχειριδίων. Τα σχολικά εγχειρίδια εξυπηρετούν πολλούς σκοπούς (Mesa, 2004): Αναπτύσσουν το σώμα της αποδεκτής γνώσης καθορίζοντας με αυτό τον τρόπο το επιστημονικό πεδίο. Είναι σημαντικά εργαλεία για τη διδασκαλία και τη μάθηση. Καθορίζουν τι είναι τα σχολικά μαθηματικά. Σε συνδυασμό με τις διάφορες μορφές αξιολόγησης εξυπηρετούν τη λειτουργία ελέγχου των μαθητών. Σύμφωνα με την Κολέζα (2006): τα εγχειρίδια μπορούν μεν να καθοδηγήσουν τους δασκάλους σχετικά με: ποια θέματα θα διδάξουν πόσος χρόνος να διατεθεί σε κάθε θέμα με ποια σειρά να διδαχθεί κάθε θέμα, αλλά οι τελικές επιλογές σχετικά με τη διδασκαλία ανήκουν στους δασκάλους. Οι επιλογές αυτές προϋποθέτουν συνεχή επαγγελματική κατάρτιση με διάφορους τρόπους. Οι Reys, Reys και Chavez (2004) σε μελέτη τους αναφέρουν ότι τα σχολικά εγχειρίδια έχουν άμεση επιρροή στο τι διδάσκεται στο σχολείο και τι μαθαίνουν οι μαθητές. Επίσης, οι δάσκαλοι των μαθηματικών στηρίζονται κατά κύριο λόγο στα σχολικά εγχειρίδια για την καθημερινή τους διδασκαλία, αποφασίζουν τι θα διδάξουν, πώς θα το διδάξουν, και ποιες ασκήσεις θα αναθέσουν ως εργασία βασιζόμενοι κυρίως στα περιεχόμενά τους. Οι ίδιοι αποδίδουν τρεις ρόλους στα εγχειρίδια: Εκθέτουν το περιεχόμενο που πρέπει να διδαχθεί. Καθορίζουν τη ροή των δραστηριοτήτων και τον τρόπο χρήσης του υλικού. 43

45 Παρέχουν ιδέες και προτείνουν δραστηριότητες για τη συμμετοχή των μαθητών στο μάθημα. Τα σχολικά εγχειρίδια παίζουν έναν καθοριστικό ρόλο στις μεταρρυθμίσεις του προγράμματος σπουδών και θεωρούνται ως το σημαντικότερο εργαλείο για την εφαρμογή των ιδεών ενός νέου προγράμματος στις περισσότερες χώρες (Valverde, αναφορά σε Κολέζα, 2006). Η συγγραφή εγχειριδίων και η ανάπτυξη του συνοδευτικού υλικού μπορεί να θεωρηθεί ως γρήγορος και εύκολος τρόπος για τη βελτίωση του τρόπου διδασκαλίας (Κολέζα, 2006). Τα εγχειρίδια είναι κατά κάποιο τρόπο «εξουσία μέσα στην εξουσία»: παρουσιάζουν τα μαθηματικά θέματα σε μία συγκεκριμένη σειρά, υπογραμμίζουν κάποιες ιδιαίτερες αναπαραστάσεις των μαθηματικών εννοιών και αναδεικνύουν ως σημαντικές κάποιες συγκεκριμένες ικανότητες ή δεξιότητες (Κολέζα, 2006). Σε ένα άλλο σημείο η Κολέζα (2006) αναφέρει ότι ένα εγχειρίδιο είναι μια κωδικοποιημένη έκφραση του μαθηματικού περιεχομένου, που θεωρείται από τη μαθηματική κοινότητα ή την πολιτική εξουσία ως σημαντικό για τους μαθητές σε μία δεδομένη χρονική περίοδο. Επιπλέον μέσω του βιβλίου του δασκάλου γίνονται προτάσεις για τον τρόπο που θα οργανωθεί η τάξη άρα εμμέσως για το πώς θα οργανωθεί η κοινωνική συμπεριφορά των μαθητών και για το πώς θα διδαχθούν οι μαθηματικές έννοιες. Ένα σχολικό εγχειρίδιο είναι προφανώς ένα κρίσιμο συστατικό μιας εκπαιδευτικής μεταρρύθμισης, υπό την προϋπόθεση ότι δε θα λειτουργεί ως υποκατάστατο της προσωπικής ευθύνης, πρωτοβουλίας και δημιουργικής συνεισφοράς των εκπαιδευτικών, αλλά ως ένα εργαλείο που θα τους επιτρέπει να οργανώσουν καλύτερα τη διδασκαλία τους (Κολέζα, 2006). Η εκπαιδευτική κοινότητα, ενδιαφέρεται για την ποιότητα των σχολικών εγχειριδίων. Ποιο όμως θεωρείται «καλό» εγχειρίδιο; Σε αυτό το ερώτημα η βιβλιογραφία δείχνει ότι δεν υπάρχουν ενιαία κριτήρια (Fritzche, 1992), γεγονός που αντανακλά τις διαφορετικές τάσεις και αντιλήψεις στο χώρο της εκπαίδευσης. Παρά τις όποιες διαφορές όμως, θεωρείται ότι ένα σχολικό εγχειρίδιο (Fritzche, 1992), πρέπει να διαθέτει επιστημονική, κοινωνική, παιδαγωγική και διδακτική εγκυρότητα, διαφάνεια αφετηρίας και προθέσεων, αλλά και συμφωνία με το αναλυτικό πρόγραμμα. 44

46 2.4.3 Ανάλυση σχολικών εγχειριδίων μαθηματικών Η έρευνα σε διάφορες χώρες δείχνει ότι το διδακτικό υλικό και κυρίως τα σχολικά εγχειρίδια επηρεάζουν σημαντικά τη διδασκαλία των μαθηματικών στην τάξη. Αν και η έρευνα έχει δείξει επίσης ότι το θεσμοθετημένο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών, δεν ταυτίζεται με αυτό που γράφεται στα βιβλία (Dolev & Even, 2013), τα σχολικά βιβλία μαθηματικών είναι συχνά η κύρια πηγή που οι εκπαιδευτικοί χρησιμοποιούν για να σχεδιάσουν τη διδασκαλία τους, να επιλέξουν το περιεχόμενο που πρέπει να διδαχθεί και τις δραστηριότητες που θα χρησιμοποιήσουν (Haggarty & Pepin, 2002). Η ανάλυση σχολικών εγχειριδίων είναι ένας ευρύς όρος που κατά κύριο λόγο περιλαμβάνει: (1) την ανάλυση ενός ενιαίου εγχειριδίου ή μιας σειράς εγχειριδίων, η οποία συχνά επικεντρώνεται στο πως ένα θέμα ή θέματα αντιμετωπίζονται, ή πως μια συγκεκριμένη ιδέα ή μια ενδιαφέρουσα πτυχή ενός θέματος αντικατοπτρίζεται στα εγχειρίδια και (2) την ανάλυση διαφορετικών σειρών εγχειριδίων από την ίδια χώρα ή πιο συχνά από διαφορετικές χώρες, η οποία έχει σκοπό τον εντοπισμό ομοιοτήτων και διαφορών. Η τελευταία ονομάζεται επίσης και σύγκριση εγχειριδίων. Προφανώς η σύγκριση εγχειριδίων πρέπει να βασίζεται σε ανάλυση της κάθε σειράς εγχειριδίων (Fan, Zhu & Miao, 2013). Παράδειγμα στην πρώτη περίπτωση είναι η έρευνα των Triantafillou, Spiliotopoulou και Potari (2015) οι οποίες μελέτησαν τη δομή της επιχειρηματολογίας που αναπτύσσεται σε ελληνικά σχολικά βιβλία μαθηματικών και φυσικής, στον τρόπο οργάνωσης της νέας γνώσης, σε συγκεκριμένες θεματικές ενότητες που σχετίζονται με την έννοια της περιοδικότητας. Η ποιοτική ανάλυση της δομής της επιχειρηματολογίας σε δύο θεματικές ενότητες σε σχολικά κείμενα Β Λυκείου, με παρεμφερές περιεχόμενο (η ημιτονοειδής συνάρτηση και ο ορισμός της απλής αρμονικής ταλάντωσης σε κείμενα Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα ) ανέδειξε πραγματολογικής και οντολογικής φύσης διαφορές ανάμεσα στα δύο κείμενα. Ως παράδειγμα στη δεύτερη περίπτωση είναι η έρευνα των Pepin, Haggarty και Keynes (2001), οι οποίοι εστιάζοντας στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών της Αγγλίας, Γαλλίας και Γερμανίας, ανέλυσαν την πιο επιτυχημένη από πλευράς πωλήσεων σειρά μαθηματικών εγχειριδίων σε καθεμία από τις τρεις χώρες. Αυτό που προέκυψε είναι ότι η δομή των εγχειριδίων στις τρεις χώρες ήταν αρκετά διαφορετική. Ενώ τα Γαλλικά εγχειρίδια περιείχαν δραστηριότητες, βασικές αλλά και βοηθητικές ασκήσεις, με σκοπό να καθοδηγήσουν 45

47 τους μαθητές στις νέες έννοιες, τα Γερμανικά βιβλία αποτελούνταν από εισαγωγικές ασκήσεις και τη βασική έννοια την οποία ακολουθούσε ένα ευρύ φάσμα ασκήσεων. Αντίστοιχα, τα Βρετανικά βιβλία φαίνονταν απλά, με ερωτήσεις που είναι ως επί το πλείστον απλές εφαρμογές των παραδειγμάτων που προηγήθηκαν. Σύμφωνα με τους ερευνητές οι διαφορές αυτές σχετίζονται με τα διαφορετικά εκπαιδευτικά πλαίσια αλλά και παραδόσεις. Η ανάλυση των σχολικών εγχειριδίων των μαθηματικών βρίσκεται στο επίκεντρο των ερευνητών των μαθηματικών σε διάφορες χώρες τα τελευταία χρόνια. Οι μελέτες που έχουν γίνει, έχουν εξετάσει μια σειρά από ζητήματα, όπως το περιεχόμενο των σχολικών εγχειριδίων (Li, Chen & An, 2009), τη φύση των δραστηριοτήτων που προτείνονται (da Ponte & Marques, 2007), το επίπεδο των γνωστικών απαιτήσεων που είναι αναγκαίες για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων (Jones & Tarr, 2007), τα είδη των προβλημάτων που χρησιμοποιούνται (Zhu & Fan, 2006), το πλαίσιο των προβλημάτων (Son 2005) και τις διδακτικές προσεγγίσεις (Kulm et al, 1999). Η έρευνα επίσης έχει εξετάσει επίσης διαφοροποιήσεις μεταξύ ενοτήτων, εκπαιδευτικών βαθμίδων και διαφορετικών σειρών σχολικών εγχειριδίων (Jones & Tarr, 2007, Stylianides, 2009). Το 1989 ξεκίνησε μια έρευνα στο πλαίσιο του Third International Math and Science Study (TIMSS). Η συγκεκριμένη έρευνα επικεντρώθηκε κυρίως στην ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας ανάλυσης των εγχειριδίων προκειμένου να γίνει μια έγκυρη ανάλυση των προγραμμάτων σπουδών και των εγχειριδίων χωρών με διαφορετικά εκπαιδευτικά περιβάλλοντα. Το δείγμα περιέλαβε 241 προγράμματα σπουδών και 318 εγχειρίδια μαθηματικών. Τα εγχειρίδια, όπως και το σύνολο του υλικού των προγραμμάτων σπουδών, διερευνήθηκαν σε σχέση με τρεις παραμέτρους (Robitaille et al. αναφορά σε Κολέζα, 2007): το μαθηματικό περιεχόμενο, τις προσδοκίες απόδοσης, τις μεταγνωστικές προοπτικές. Το μαθηματικό περιεχόμενο ομαδοποιήθηκε σε δέκα κατηγορίες κάθε μία από τις οποίες περιελάμβανε δύο έως είκοσι υποκατηγορίες (π.χ. Αριθμοί, Μέτρηση, Γεωμετρία, Αναλογίες, Κλάσματα κ.τ.λ.). Οι προσδοκίες απόδοσης αναφέρονται στο είδος των γνώσεων και ικανοτήτων που αναμένεται να αποκτήσουν οι μαθητές μέσα από τη μελέτη του περιεχομένου. 46

48 Οι μεταγνωστικές προοπτικές αναφέρονται σε εκείνους τους στόχους του προγράμματος σπουδών, ή σε εκείνα τα σημεία των εγχειριδίων που εστιάζουν στην ανάπτυξη στάσεων, ενδιαφερόντων και κινήτρων για την ενεργή εμπλοκή των μαθητών στη διαδικασία. Μια δεύτερη εκτενής αξιολόγηση των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηματικών είναι εκείνη που πραγματοποιήθηκε από την American Association for the Advancement of Science (AAAS) στο πλαίσιο του Project 2061 το Συγκροτήθηκαν ομάδες καθηγητών των μαθηματικών καθώς και δασκάλων, προκειμένου να αξιολογήσουν τα εγχειρίδια, τα βιβλία του δασκάλου και το αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό για όλες τις τάξεις. Χρησιμοποιώντας επιλεγμένα κριτήρια, οι ομάδες αξιολόγησαν - μεταξύ άλλων το πόσο καλά 12 επιλεγμένα εγχειρίδια των μαθηματικών πραγματεύονται 6 βασικές μαθηματικές έννοιες/δεξιότητες και το πόσο καλά τα εγχειρίδια ενσωματώνουν 24 βασικά εκπαιδευτικά κριτήρια. Η διαφορά των δύο αξιολογήσεων (του TIMSS και της AAAS) ήταν ότι η πρώτη είχε διεθνή συγκριτικό χαρακτήρα, ενώ η δεύτερη είχε στόχο τη σύγκριση ενός μεγάλου αριθμού αμερικάνικων εγχειριδίων. Σύμφωνα με το μοντέλο αξιολόγησης σχολικών εγχειριδίων του Project 2061 το πρώτο βήμα στην αξιολόγηση ενός εγχειριδίου είναι να εντοπισθούν οι στόχοι μάθησης, οι οποίοι εκτίθενται αναλυτικά στο πρόγραμμα σπουδών και με τους οποίους τα εγχειρίδια υποτίθεται ότι πρέπει να ευθυγραμμιστούν. Αυτοί οι στόχοι μάθησης πρέπει να ικανοποιούν δύο βασικούς όρους (Κολέζα 2007): να εκφράζουν αυτό που όλοι οι μαθητές πρέπει να ξέρουν και να είναι σε θέση να κάνουν και η διατύπωσή τους πρέπει να είναι σαφής, συγκεκριμένη, και να μην αφήνει περιθώρια για παρερμηνείες. Η αξιολόγηση του Project 2061 βασίστηκε στην παραδοχή ότι μία σε βάθος διερεύνηση της ποιότητας του εξεταζόμενου υλικού σε σχέση με μερικούς καλά επιλεγμένους στόχους μάθησης είναι περισσότερο αποκαλυπτική από ένα επιφανειακό βλέμμα σε έναν μεγάλο αριθμό στόχων. Στα αποτελέσματα της έρευνας περιλαμβάνεται η διαπίστωση ότι τα περισσότερα από τα βιβλία δεν προωθούσαν τις δεξιότητες σκέψης που προσδιορίζονταν από τα πρότυπα των προγραμμάτων σπουδών και είχαν ελλείψεις ακόμα και ως προς το περιεχόμενο. Παρατήρησαν επίσης ανεπάρκεια ως προς τις 47

49 οδηγίες για τους μαθητές ή τους δασκάλους, κυρίως όσον αφορά στα σημεία που η έρευνα έχει δείξει ότι είναι πιθανή η δημιουργία παρανοήσεων ή εσφαλμένων αντιλήψεων. Αν θέλαμε να συγκρίνουμε τα δύο εκτενή μοντέλα αξιολόγησης εγχειριδίων, σύμφωνα με την Κολέζα (2007) εκείνο της AAAS υπερτερεί δεδομένου ότι το μοντέλο του TIMSS παρέχει σημαντικά στοιχεία για τον τρόπο παρουσίασης των θεμάτων, αλλά δεν παρέχει πληροφορίες για το πόσο καλά τα εγχειρίδια ευθυγραμμίζονται με τους συγκεκριμένους στόχους του προγράμματος σπουδών ή τους προκαθορισμένους δείκτες απόδοσης. Αυτό βέβαια ήταν αναμενόμενο, δεδομένου ότι πρόκειται για μια διεθνή συγκριτική αξιολόγηση και θα ήταν παρακινδυνευμένο να ορισθεί εκ των προτέρων ως σημείο αναφοράς ένα συγκεκριμένο πλαίσιο σπουδών. Η δεύτερη αδυναμία, όμως, είναι σημαντικότερη: Το μοντέλο του TIMSS δεν αντιμετωπίζει το κρίσιμο ζήτημα των εκπαιδευτικών στρατηγικών που υιοθετούν τα εγχειρίδια. Είναι προφανές ότι μια οποιαδήποτε ανάλυση των εγχειριδίων πρέπει να λάβει υπ όψη το πρόγραμμα σπουδών και το ρόλο που αυτό διαδραματίζει στη διδασκαλία. Στο Guidebook On Textbook Research and Textbook Revision της UNESCO διατυπώνονται κάποια σχετικά ερωτήματα: Πώς έχει σχεδιαστεί το πρόγραμμα σπουδών; Καθορίζει μόνο τους γενικούς σκοπούς της εκπαίδευσης, ή διευκρινίζει τους ιδιαίτερους στόχους του συγκεκριμένου γνωστικού αντικειμένου; Κάνει διάκριση μεταξύ πρωτευόντων (υποχρεωτικών) και προαιρετικών θεμάτων; Αιτιολογείται στο πρόγραμμα σπουδών πόσος χρόνος διατίθεται για το κάθε θέμα και σε ποιο ηλικιακό επίπεδο πρέπει να διδαχθεί; Τα εγχειρίδια καλύπτουν εξ ολοκλήρου το θέμα που προσδιορίζεται στο πρόγραμμα σπουδών; Αιτιολογούνται επιστημονικά οι οποιεσδήποτε επιλογές τους; Οι δάσκαλοι έχουν εύκολη πρόσβαση στο πρόσθετο υλικό ή εξαρτώνται αποκλειστικά από το βιβλίο; (Κολέζα, 2006) Μια ουσιαστική παρατήρηση που διατυπώνεται στο συγκεκριμένο κείμενο της UNESCO αφορά στη σχέση των σχολικών εγχειριδίων που προορίζονται για τους μαθητές με το βιβλίο του δασκάλου: Συχνά τα εγχειρίδια συμπληρώνονται από έναν οδηγό των δασκάλων που προτείνει συγκεκριμένο σχέδιο μαθήματος, διαφορετικές ερμηνείες των πηγών που βρίσκονται στο βιβλίο υπόβαθρο για να εξηγηθεί και να διασαφηνισθεί η πρόθεση των συγγραφέων των εγχειριδίων. Αν και μπορούν να προκύψουν χρήσιμα αποτελέσματα 48

50 από μια εξέταση του βιβλίου του δασκάλου, τα δύο βιβλία (μαθητή και δασκάλου) πρέπει να είναι ανεξάρτητα: οι μαθητές πρέπει να μπορούν να κατανοήσουν τα κείμενά τους χωρίς να πρέπει να «ερωτηθεί» το βιβλίο του δασκάλου. Στην περίπτωση που το βιβλίο του δασκάλου είναι απαραίτητο, προκειμένου να κατανοηθεί το βιβλίο του μαθητή, το κείμενο που προορίζεται για τους μαθητές ενδέχεται να είναι ανακριβές. Αυτό είναι ένα που ελάττωμα δεν μπορεί να αγνοηθεί απλά επειδή στο δάσκαλο παρέχονται περισσότερες πληροφορίες και μια πιο λεπτομερής επεξεργασία του μαθηματικού θέματος. (Κολέζα, 2006). Η Κολέζα (2006) προτείνει μια ανάλυση εγχειριδίων βασιζόμενη σε δύο άξονες: Τον άξονα του τρόπου εφαρμογής τους στις τάξεις Τον άξονα της δομής και του περιεχομένου τους Η ανάλυση του τρόπου εφαρμογής των σχολικών εγχειριδίων σχετίζεται με τη διερεύνηση ερωτημάτων μερικά από τα οποία είναι τα ακόλουθα: Ποια στοιχεία των κειμένων των εγχειριδίων χρησιμοποιούν οι εκπαιδευτικοί, ποια αγνοούν και γιατί; Σε τι δίνουν έμφαση, σε τι αναφέρονται επιφανειακά και γιατί; Πως διαχειρίζονται το διαθέσιμο υλικό και πως χρησιμοποιούν αυτό οι μαθητές; Οι εκπαιδευτικοί ακολουθούν τη σειρά που παρουσιάζεται στο εγχειρίδιο; Γιατί ή γιατί όχι; Συμπληρώνουν τα εγχειρίδια με άλλα υλικά; Με ποιους τρόπους συμπληρώνουν το εγχειρίδιο ή το αντικαθιστούν; Πως αιτιολογούν τις αποφάσεις τους; Για ποιους λόγους οι εκπαιδευτικοί στηρίζονται ή όχι στα εγχειρίδια; Ο άξονας του περιεχομένου έχει μια τετραπλή διάσταση. Αφορά: στη μαθηματική διάσταση, στη γνωστική διάσταση της μάθησης των Μαθηματικών: δηλαδή τι είδους μαθηματικές ικανότητες προωθούνται μέσω του μαθηματικού περιεχομένου, τη διδακτική διάσταση του περιεχομένου, την παιδαγωγική διάσταση, δηλαδή τα πολιτισμικά, γλωσσικά και κοινωνιολογικά χαρακτηριστικά του. 49

51 Η μαθηματική διάσταση ενός σχολικού εγχειριδίου έχει σχέση με την επιλογή και οργάνωση του μαθηματικού περιεχομένου, τις υπονοούμενες πεποιθήσεις σχετικά με τη φύση των Μαθηματικών και τον τρόπο παρουσίασης της μαθηματικής γνώσης (γλώσσα και αναγνωσιμότητα, λεξιλόγιο, αναπαραστασιακά συστήματα). Η γνωστική διάσταση προσδιορίζει τις διαδικασίες σκέψης που θεωρούνται σημαντικές ώστε να πρέπει να υπογραμμισθούν στο πλαίσιο ενός προγράμματος σπουδών και να διακριθούν μέσα από κατάλληλες δραστηριότητες τόσο μέσα στα εγχειρίδια, όσο και κατά τη διδασκαλία μέσα από διδακτικές επιλογές των δασκάλων. Η διδακτική διάσταση αναφέρεται στη διερεύνηση των διδακτικών αρχών που διέπουν το περιεχόμενο και τη μορφή του κειμένου στο σχολικό εγχειρίδιο. Μπορεί να διερευνηθεί ως προς τους εξής άξονες: Σε σχέση με το πώς το εγχειρίδιο βοηθά το μαθητή, είτε μέσα από το περιεχόμενό του, είτε μέσα από τις μεθόδους που περιλαμβάνονται στο κείμενο (π.χ. δραστηριότητες σε ποικίλα επίπεδα δυσκολίας, χρήση εικόνων). Σε σχέση με τη συμβολή του περιεχομένου στη δημιουργία θετικών στάσεων και συναισθημάτων των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά, και την επιθυμία για ενεργή εμπλοκή τους σε μαθηματικές δραστηριότητες. Σε σχέση με το βαθμό που ένα συγκεκριμένο εγχειρίδιο παρέχει στήριξη στους εκπαιδευτικούς για την οργάνωση της διδασκαλίας τους. Η παιδαγωγική διάσταση περιλαμβάνει τις κοινωνιολογικές και πολιτισμικές προθέσεις των εγχειριδίων. Προϋποθέτει τις ακόλουθες παραδοχές: Το μέσο δεν αντιμετωπίζεται ως προκατασκευασμένο. Δηλαδή το κείμενο που διαμεσολαβεί την παιδαγωγική σχέση, είναι ένα σύνολο ιδεών ή ένα δίκτυο εννοιών, η γλωσσική διαμεσολάβηση των οποίων συμβάλει, με έναν αποφασιστικό τρόπο, στην κατασκευή νοημάτων ή και μηνυμάτων. Το κείμενο διαμεσολαβεί, υπό την έννοια ότι συμβάλει στη διαμόρφωση της θέσης των υποκειμένων, της παιδαγωγικής σχέσης δηλαδή δασκάλων και μαθητών. 50

52 Τις τέσσερις διαστάσεις του άξονα της δομής και του περιεχομένου που αναλύσαμε παραπάνω, η Κολέζα (2007) τις συνοψίζει σε δύο ευρύτερες κατηγορίες: Μια γνωσιακή/εννοιολογική διάσταση που περιλαμβάνει τις μαθηματικές, γνωσιακές και διδακτικές προθέσεις των εγχειριδίων, και Μια παιδαγωγική διάσταση που περιλαμβάνει τις κοινωνιολογικές και πολιτισμικές προθέσεις των εγχειριδίων. Θεωρεί ότι και οι δύο αναλύσεις είναι συμπληρωματικές, εμπεριέχουν διακριτές επιστημολογικές παραδοχές, και πρέπει να συνυπάρξουν. Συμπεραίνει επίσης ότι στην πρώτη ανάλυση, τα σχολικά Μαθηματικά θεωρούνται ως ένας τομέας της γνώσης η κατανόηση του οποίου απαιτεί συγκεκριμένες διανοητικές ικανότητες και δεξιότητες. Οι ικανότητες αυτές προσδιορίζονται σαφώς μέσω προτύπων και τελικών στόχων αξιολόγησης. Τα σχολικά εγχειρίδια, επομένως αξιολογούνται σε σχέση με το βαθμό συνεισφοράς τους στην επίτευξη αυτών των στόχων. Στη δεύτερη ανάλυση τα σχολικά Μαθηματικά εκλαμβάνονται ως μια διαδικασία αναπλαισίωσης. Συγκροτούνται δηλαδή, με βάση συγκεκριμένους κανόνες αναπλαισίωσης της επιστημονικής γνώσης. Οι κανόνες αναπλαισίωσης καθορίζουν το τι θα διδαχθεί (καθορίζουν δηλαδή, το περιεχόμενο των προγραμμάτων σπουδών και εγχειριδίων, ως προϊόν μετατροπής της επιστημονικής γνώσης) και το πώς θα διδαχθεί (δηλαδή τις διδακτικές πρακτικές). Η αναπλαισιωμένη επιστημονική γνώση αξιολογείται σε σχέση συγκεκριμένους αξιολογικούς κανόνες. Επομένως, αυτή η δεύτερη ανάλυση εστιάζει το πώς τα σχολικά Μαθηματικά μέσω των εγχειριδίων, κατασκευάζουν συγχρόνως την εικόνα των Μαθηματικών και την εικόνα του μαθητή που μαθαίνει Μαθηματικά. Μια τέτοια ανάλυση δεν έχει ως στόχο τη διάκριση των εγχειριδίων σε «κατάλληλο» ή μη (όπως συμβαίνει στην ανάλυση του πρώτου τύπου), αλλά στην ανάδειξη του ρόλου των εγχειριδίων ως έμμεσο τρόπο αναπαραγωγής των κοινωνικών διαστρωματώσεων (Κολέζα, 2007). 51

53 3 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3.1 Ερευνητικό πρόβλημα Ερευνητικά ερωτήματα Η μετάβαση από το δημοτικό στο γυμνάσιο θεωρείται ένα πολύ σημαντικό γεγονός στη ζωή των μαθητών. Περνούν από ένα σταθερό και συνήθως πολύ ανεκτικό πλαίσιο, όπως αυτό του δημοτικού, σε ένα περισσότερο απαιτητικό όπως αυτό του γυμνασίου. Η αλλαγή αυτή, χρειάζεται χρόνο, υπομονή και θετική στάση όλων όσων εμπλέκονται στο σχολικό περιβάλλον. Ένα από τα θέματα που έχει άμεση σχέση με τη μετάβαση είναι τα προγράμματα σπουδών. Μία από τις σημαντικότερες παραμέτρους ενός νέου προγράμματος σπουδών είναι τα σχολικά εγχειρίδια. Τα σχολικά εγχειρίδια έχουν άμεση επιρροή στο τι διδάσκεται στο σχολείο και στο τι μαθαίνουν οι μαθητές. Οι εκπαιδευτικοί στηρίζονται κατά κύριο λόγο στα εγχειρίδια για την καθημερινή τους διδασκαλία. Κατά συνέπεια η ανάλυση του περιεχομένου των σχολικών εγχειριδίων μαθηματικών μπορεί να μας δείξει τι μαθηματικά μαθαίνουν οι μαθητές στο σχολείο. Η έννοια του κλάσματος και γενικά του ρητού αριθμού αποτελεί θεμελιώδη μαθηματική έννοια. Γι αυτό ένα μεγάλο μέρος του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης αφορά στη διδασκαλία των ρητών αριθμών. Μάλιστα στο αναλυτικό πρόγραμμα της Ελλάδας αυτό επεκτείνεται και στο πρόγραμμα σπουδών της Α Γυμνασίου, όπου τα κλάσματα αποτελούν ξεχωριστό κεφάλαιο. Παρά την έμφαση όμως που δίνεται στα αναλυτικά προγράμματα, τα κλάσματα αποτελούν έννοια που δύσκολα κατανοούν οι μαθητές. Αναλύοντας τα σχολικά εγχειρίδια ως προς τον τρόπο που παρουσιάζεται η έννοια του κλάσματος μπορούμε να αντλήσουμε πληροφορίες για τον τρόπο που οι μαθητές την κατανοούν. Οι δραστηριότητες που χρησιμοποιούνται για την εισαγωγή της έννοιας του κλάσματος παίζουν σημαντικό ρόλο στην εικόνα που σχηματίζουν οι μαθητές για την έννοια. Κατά συνέπεια είναι αναγκαία η ύπαρξη κατάλληλων δραστηριοτήτων στα σχολικά εγχειρίδια αλλά και η κατάλληλη αξιοποίησή τους από τους εκπαιδευτικούς. Η επιλογή συγκεκριμένων δραστηριοτήτων μπορεί να διευκολύνει ή να εμποδίσει την κατανόηση της έννοιας. Λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω σκεπτικό επιλέξαμε να εξετάσουμε το θέμα της μετάβασης μέσα από την ανάλυση δύο σχολικών εγχειριδίων των μαθηματικών, 52

54 αυτά της ΣΤ δημοτικού και της Α γυμνασίου. Συγκεκριμένα, μέσα από τα κοινά περιεχόμενα των δύο βιβλίων επιλέξαμε το κεφάλαιο των κλασμάτων, του οποίου αναλύσαμε το σύνολο των δραστηριοτήτων. Σκοπός της ανάλυσης είναι να απαντήσουμε στα παρακάτω ερευνητικά ερωτήματα: Ποιο είδος δραστηριοτήτων χρησιμοποιούν τα εγχειρίδια των δύο τάξεων για να αναπτύξουν την έννοια του κλάσματος; Πώς διαχειρίζονται τα εγχειρίδια αυτές τις δραστηριότητες; Ποια τα χαρακτηριστικά των δραστηριοτήτων που χρησιμοποιούνται ανά εκπαιδευτική βαθμίδα; Ποιες οι ομοιότητες και οι διαφορές στα περιεχόμενα των δύο βιβλίων; Ποιες οι ομοιότητες και οι διαφορές στα διδακτικά χαρακτηριστικά των δύο βιβλίων; Πώς αντιμετωπίζουν τα σχολικά εγχειρίδια κοινά μαθηματικά περιεχόμενα; Πώς εμπλέκονται οι μαθητές της κάθε εκπαιδευτικής βαθμίδας στην παραπάνω διαδικασία; Υπάρχουν ζητήματα που έχουν σχέση με τη μετάβαση και προκύπτουν από την παραπάνω σύγκριση; 3.2 Μέθοδος έρευνας Στην έρευνά μας επιλέξαμε δύο σχολικά εγχειρίδια που διδάσκονται στο ελληνικό σχολείο. Το πρώτο είναι το σχολικό εγχειρίδιο «Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού» το οποίο διδάσκεται στους μαθητές της ΣΤ Δημοτικού. Αποτελείται από έξι ενότητες (αριθμοί και πράξεις, εξισώσεις, λόγοι-αναλογίες, συλλογή και επεξεργασία δεδομένων, μετρήσεις-μοτίβα, γεωμετρία) και συνοδεύεται από τέσσερα τετράδια εργασιών (α, β, γ, δ τεύχος). Το δεύτερο σχολικό εγχειρίδιο είναι το «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» το οποίο διδάσκεται στους μαθητές της Α Γυμνασίου. Είναι χωρισμένο σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος (αριθμητική-άλγεβρα) αποτελείται από επτά κεφάλαια (φυσικοί αριθμοί, κλάσματα, δεκαδικοί αριθμοί, εξισώσεις και προβλήματα, ποσοστά, ανάλογα ποσά-αντιστρόφως ανάλογα ποσά, θετικοί και αρνητικοί αριθμοί). Το δεύτερο (γεωμετρία) αποτελείται από τρία κεφάλαια (βασικές γεωμετρικές έννοιες, συμμετρία, τρίγωνα παραλληλόγραμμα τραπέζια). Και τα δύο σχολικά εγχειρίδια συνοδεύονται από βιβλίο εκπαιδευτικού. 53

55 Τα κοινά περιεχόμενα των δύο εγχειριδίων ήταν αρκετά. Εμείς επιλέξαμε να ασχοληθούμε με τα κλάσματα. Στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού τα κλάσματα είναι ενσωματωμένα στην πρώτη ενότητα (αριθμοί και πράξεις) και αναλύονται σε έξι παραγράφους. Στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου το κεφάλαιο κλάσματα είναι το δεύτερο κεφάλαιο της άλγεβρας αποτελείται από έξι παραγράφους και το περιεχόμενο του κεφαλαίου έχει επαναληπτικό χαρακτήρα. Αξίζει να σημειωθεί εδώ, ότι οι μαθητές στο Δημοτικό έρχονται σε επαφή με τα κλάσματα για πρώτη φορά στην Γ Δημοτικού και μετά τα συναντούν σχεδόν συνέχεια μέχρι και την ΣΤ Δημοτικού, λόγω της σπειροειδούς διάταξης της ύλης. Συνολικά χρησιμοποιήσαμε τρία σχολικά βιβλία. Το εγχειρίδιο της έκτης δημοτικού μαζί με το τετράδιο εργασιών και το εγχειρίδιο της πρώτης γυμνασίου. Και τα τρία βιβλία αποτελούν το επίσημο διδακτικό υλικό για την υλοποίηση των στόχων που θέτουν τα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών των δύο εκπαιδευτικών βαθμίδων. Από τα συγκεκριμένα εγχειρίδια αναλύσαμε το σύνολο των δραστηριοτήτων τους. Λέγοντας δραστηριότητες περιλαμβάνουμε τις εισαγωγικές δραστηριότητες κάθε παραγράφου, τα παραδείγματα-εφαρμογές που αναπτύσσονταν μετά την καταγραφή της θεωρίας, τις ασκήσεις-προβλήματα και τις δραστηριότητες με προεκτάσεις ή δραστηριότητες για το σπίτι που βρίσκονταν στο τέλος κάθε παραγράφου. Η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε είναι μία θεμελιωμένη ανάλυση περιεχομένου (grounded content analysis) και βασίστηκε στο περιεχόμενο των δραστηριοτήτων που υπάρχουν στα σχολικά εγχειρίδια και χρησιμοποιούνται για την παρουσίαση της έννοιας του κλάσματος. Οι δραστηριότητες καταγράφηκαν ανά είδος και ανά παράγραφο και αναλύθηκαν με βάση τους άξονες ανάλυσης. 3.3 Το υλικό της έρευνας Από τα σχολικά εγχειρίδια της ΣΤ Δημοτικού (βιβλίο μαθητή και τετράδιο εργασιών) αναλύσαμε 68 δραστηριότητες: 13 εισαγωγικές δραστηριότητες 11 εφαρμογές 19 ασκήσεις 19 προβλήματα 6 δραστηριότητες με προεκτάσεις 54

56 Το κεφάλαιο των κλασμάτων στο βιβλίο της ΣΤ Δημοτικού καλύπτει 12 σελίδες και στο τετράδιο εργασιών επίσης 12 σελίδες. Από το σχολικό εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου αναλύσαμε 90 δραστηριότητες: 11 εισαγωγικές δραστηριότητες 20 παραδείγματα εφαρμογές 48 ασκήσεις 6 προβλήματα 5 δραστηριότητες για το σπίτι Το κεφάλαιο των κλασμάτων στο βιβλίο της Α Γυμνασίου καλύπτει 22 σελίδες. Οι διδακτικοί στόχοι κάθε παραγράφου του εγχειριδίου της ΣΤ Δημοτικού αναφέρονται στην αρχή της ενώ στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου οι διδακτικοί στόχοι όλων των παραγράφων καταγράφονται στην αρχή του κεφαλαίου. Και στα δύο εγχειρίδια η κάθε παράγραφος ξεκινάει με τις εισαγωγικές δραστηριότητες οι οποίες αποτελούν το έναυσμα για προβληματισμό και συζήτηση με τους μαθητές, με σκοπό να εξάγουν οι μαθητές, αν είναι δυνατόν μόνοι τους, με τη διακριτική καθοδήγηση του εκπαιδευτικού, τα συμπεράσματά τους υπό μορφή ορισμών και κανόνων. Στο σχολικό εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού οι εισαγωγικές δραστηριότητες δεν είναι λυμένες σε αντίθεση με το σχολικό εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου όπου κάποιες από τις εισαγωγικές δραστηριότητες έχουν υποδείξεις ή είναι λυμένες. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η θεωρία με συμπεράσματα, ορισμούς και κανόνες, σαφώς διακριτή σε ειδική έγχρωμη στήλη, συνοδευόμενη από αντίστοιχα παραδείγματα. Ακολουθούν παραδείγματα και εφαρμογές σχετικά με τη νέα γνώση, υποδειγματικά λυμένα ως πρότυπα για τις ασκήσεις. Το εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού τελειώνει με τις «ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση» σκοπός των οποίων είναι η ανάδειξη των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών της μαθηματικής γνώσης που αποκτήθηκε, των δυσκολιών που πιθανόν περικλείει και των ορίων εφαρμογής και χρήσης της. Η εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης γίνεται μέσα από τις ασκήσεις, τα προβλήματα και τις «δραστηριότητες με προεκτάσεις» στο τετράδιο εργασιών. Αντίστοιχα στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου μετά τα παραδείγματα-εφαρμογές ακολουθούν οι ασκήσεις οι οποίες παρατίθενται κατά αύξουσα σειρά δυσκολίας και αντιστοιχούν, ως επί το πλείστον, στη διδακτέα ύλη της συγκεκριμένης ενότητας. Σε ορισμένες ενότητες της ύλης του εγχειριδίου περιλαμβάνονται «δραστηριότητες για το σπίτι», που είναι προαιρετικές και αφορούν τους μαθητές εκείνους που θα δείξουν 55

57 λίγο περισσότερο ενδιαφέρον για εμβάθυνση στα διαπραγματευόμενα θέματα (Α Γυμνασίου, Βιβλίο εκπαιδευτικού, σελ. 34). Η διάταξη των παραγράφων που ακολουθείται στο βιβλίο της ΣΤ Δημοτικού είναι: 1. Κεφάλαιο 19: Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα 2. Κεφάλαιο 20: Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης 3. Κεφάλαιο 21: Ισοδύναμα κλάσματα 4. Κεφάλαιο 22: Σύγκριση-διάταξη κλασμάτων 5. Κεφάλαιο 23: Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 6. Κεφάλαιο 24: Προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων Η διάταξη των παραγράφων που ακολουθείται στο βιβλίο της Α Γυμνασίου είναι: 1. Παράγραφος 2.1: Η έννοια του κλάσματος 2. Παράγραφος 2.2: Ισοδύναμα κλάσματα 3. Παράγραφος 2.3: Σύγκριση κλασμάτων 4. Παράγραφος 2.4: Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 5. Παράγραφος 2.5: Πολλαπλασιασμός κλασμάτων 6. Παράγραφος 2.6: Διαίρεση κλασμάτων 3.4 Ο τρόπος ανάλυσης Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη παράγραφο αναλύσαμε τις δραστηριότητες των τριών εγχειριδίων που έχουν σχέση με τα κλάσματα. Ως δραστηριότητα θεωρήσαμε οτιδήποτε περιέχεται στα εγχειρίδια και βοηθάει το μαθητή στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται. Επίσης θεωρήσαμε ως δραστηριότητα οτιδήποτε βοηθάει τους μαθητές να εκτελούν μαθηματικές διαδικασίες σχετικές με τα κλάσματα, με ακρίβεια και αποτελεσματικότητα. Συνολικά αναλύσαμε τις εισαγωγικές δραστηριότητες, τα παραδείγματα εφαρμογές, τις ασκήσεις, τα προβλήματα και τις δραστηριότητες για το σπίτι. Για τη διευκόλυνση της έρευνας και την ομοιομορφία στα είδη των δραστηριοτήτων αποφασίσαμε να χωρίσουμε τις ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου της Α Γυμνασίου σε δύο κατηγορίες. Αυτές είναι οι ασκήσεις και τα προβλήματα. Στην κατηγορία «προβλήματα» κατατάξαμε αυτά που εμείς θεωρήσαμε ως προβλήματα μετά από προσεκτική ανάγνωση. Πριν ξεκινήσουμε μελετήσαμε το 56

58 αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών των δύο εκπαιδευτικών βαθμίδων και είδαμε τους στόχους κάθε θεματικής ενότητας αλλά και τις αντίστοιχες ενδεικτικές δραστηριότητες. Στη συνέχεια καταγράψαμε όλες τις δραστηριότητες κάθε εγχειριδίου ξεχωριστά και τις κατατάξαμε ανά είδος αλλά και κατά ενότητα. Μερικές από αυτές τις απορρίψαμε, πριν αρχίσουμε την ανάλυση, γιατί κρίναμε ότι δεν εξυπηρετούσαν τους σκοπούς της έρευνας. Αυτές ήταν κάποιες ασκήσεις συμπλήρωσης κενού του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου. Ακολούθως αναλύσαμε κάθε μία δραστηριότητα ξεχωριστά κρατώντας σημειώσεις και προσπαθώντας κάθε φορά να απαντάμε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιες διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος χρησιμοποιούνται; 2. Ποια μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων χρησιμοποιούνται; 3. Σε ποιο πλαίσιο εντάσσονται οι δραστηριότητες και οι εφαρμογές; 4. Τι είδη αναπαραστάσεων χρησιμοποιούνται και ποιες οι συνδέσεις μεταξύ τους αλλά και με άλλους χώρους; 5. Ποιο το είδος των δραστηριοτήτων που χρησιμοποιούνται; 6. Ποιο το είδος της μαθηματικής δραστηριότητας στο οποίο εμπλέκονται οι μαθητές; Οι παραπάνω ερωτήσεις αποτέλεσαν τους άξονες ανάλυσης της εργασίας, αφορούσαν σε μαθηματικά και διδακτικά χαρακτηριστικά των δραστηριοτήτων και προέκυψαν από την ανάγνωση των άρθρων αλλά και την αποκτηθείσα εμπειρία κατά τη διάρκεια της φοίτησης στο μεταπτυχιακό. Σε κάθε δραστηριότητα πριν την ανάλυσή της διαβάζαμε το βιβλίο του εκπαιδευτικού όπου αναφέρονται οι σκοποί και οι στόχοι. Για κάθε άξονα ανάλυσης διαμορφώσαμε επιμέρους κατηγορίες, οι οποίες είναι: 1. Στις διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος οι κατηγορίες είναι: Η ερμηνεία του κλάσματος ως «μέρος-όλου» Η ερμηνεία του κλάσματος ως «πηλίκο» Η ερμηνεία του κλάσματος ως «λόγος» Η ερμηνεία του κλάσματος ως «μέτρο» Η ερμηνεία του κλάσματος ως «τελεστής» 2. Στα μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων οι κατηγορίες είναι: Μοντέλα περιοχής ή εμβαδού Μοντέλα μήκους ή μέτρησης Μοντέλα συνόλων 57

59 3. Στο πλαίσιο οι κατηγορίες είναι: Πραγματικό πλαίσιο (Λεκτικό πρόβλημα ή αντικείμενο) Μαθηματικό πλαίσιο 4. Στα είδη των αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται οι κατηγορίες είναι: Λεκτικές αναπαραστάσεις (κείμενα) Χειραπτικά μοντέλα (γεωμετρικές επιφάνειες, πίτσες, ευθύγραμμα τμήματα) Μοντέλο αριθμογραμμής Συμβολικές αναπαραστάσεις Εικόνες διαγράμματα (πίνακες) 5. Στα είδη των δραστηριοτήτων οι κατηγορίες είναι: Διαδικαστικού χαρακτήρα Εννοιολογικού χαρακτήρα 6. Στο είδος της μαθηματικής δραστηριότητας στο οποίο εμπλέκονται οι μαθητές οι κατηγορίες είναι: Χρήση ιδιοτήτων της έννοιας Εκτέλεση πράξεων Εφαρμογή μεθόδου Διατύπωση συλλογισμού-επιχειρηματολογίας Διατύπωση συμπεράσματος Κατά τη διάρκεια της ανάλυσης βρεθήκαμε αντιμέτωποι με διάφορα προβλήματα σχετικά με την κατάταξη δραστηριοτήτων. Ένα από αυτά τα προβλήματα αφορούσε στη διάσταση της έννοιας του κλάσματος που χρησιμοποιείται σε ασκήσεις διαδικαστικού χαρακτήρα, όπου το ζητούμενο είναι η εκτέλεση πράξεων. Μια τέτοια άσκηση είναι η παρακάτω: Τελικά αποφασίσαμε να θεωρούμε κάθε φορά που συναντάμε παρόμοια δραστηριότητα, ότι η διάσταση του κλάσματος που χρησιμοποιείται είναι αυτή του «μέτρου». Αυτό γιατί σύμφωνα με τους Chaffe & Stengel (1982) (αναφορά σε Κολέζα, 2000) οι πράξεις των κλασμάτων απαιτούν μια διαφορετική αντίληψη του κλάσματος: τα κλάσματα είναι αριθμοί και πρέπει να διδάσκονται ως αριθμοί. Δηλαδή να προηγείται το σχήμα του ρητού ως μέτρηση πριν από τη διδασκαλία των 58

60 πράξεων των κλασμάτων. Βασιζόμενοι στο παραπάνω σκεπτικό απαντήσαμε και στο ερώτημα σχετικά με το ποιο μοντέλο αναπαράστασης κλασμάτων χρησιμοποιείται σε ασκήσεις διαδικαστικού χαρακτήρα, όπου το ζητούμενο είναι η εκτέλεση πράξεων. Αποφασίσαμε ότι σε αντίστοιχες ασκήσεις χρησιμοποιείται το μοντέλο μήκους-μέτρησης. Ένα άλλο πρόβλημα που αντιμετωπίσαμε αφορούσε στις δραστηριότητες στις οποίες ήταν ζητούμενο η τοποθέτηση κλασμάτων πάνω στην αριθμογραμμή. Ποια είναι η διάσταση της έννοιας του κλάσματος που χρησιμοποιείται; Ποιο μοντέλο αναπαράστασης κλασμάτων χρησιμοποιείται; Ένα παράδειγμα είναι το παρακάτω: Σε αυτήν την περίπτωση θεωρήσαμε ότι η διάσταση του κλάσματος που χρησιμοποιείται είναι αυτή του «μέτρου» γιατί όπως αναφέραμε και στο θεωρητικό πλαίσιο: η ερμηνεία των κλασμάτων ως «μέτρο» συνδέεται με τη χρήση της αριθμογραμμής. Το κλάσμα α/β ως «μέτρο» προκύπτει από την επανάληψη του μοναδιαίου κλάσματος 1/β για τον καθορισμό μιας απόστασης. Η συμβολική αναπαράσταση του κλάσματος συνοδεύεται συνήθως από την οπτική αναπαράσταση μιας ευθείας επάνω στην οποία θέτουμε αυθαίρετα το σημείο μηδέν και η οποία είναι χωρισμένη σε μοναδιαία τμήματα, καθένα από τα οποία είναι χωρισμένο σε β κομμάτια (Κολέζα, 2000). Επίσης το μοντέλο αναπαράστασης κλασμάτων που χρησιμοποιείται είναι αυτό του μήκους μέτρησης. Σε κάποιες περιπτώσεις δραστηριοτήτων συναντήσαμε δυσκολία ως προς τη διάκριση των κατηγοριών στις οποίες ανήκουν ως προς συγκεκριμένους άξονες ανάλυσης. Για παράδειγμα την παρακάτω άσκηση δεν μπορούμε να την χαρακτηρίσουμε με σιγουριά διαδικαστικού ή εννοιολογικού χαρακτήρα. 59

61 Αυτό γιατί εξαρτάται από το πώς θα αντιμετωπιστεί από τους μαθητές. Αν οι μαθητές δουλέψουν με τη μέθοδο «χιαστί», η άσκηση είναι διαδικαστικού χαρακτήρα. Αν δουλέψουν όμως με την έννοια του ισοδύναμου κλάσματος, η άσκηση είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Από την εμπειρία μας οι μαθητές θα το αντιμετωπίσουν με το δεύτερο τρόπο, γι αυτό θεωρήσαμε ότι είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Αντίστοιχο πρόβλημα αντιμετωπίσαμε και στην παρακάτω άσκηση: Ως μοντέλο αναπαράστασης των κλασμάτων μπορούμε να θεωρήσουμε το μοντέλο εμβαδού (συνεχές μοντέλο) αν δεχτούμε ότι σε κάθε πλαίσιο υπάρχουν τέσσερις ολόκληρες σοκολάτες. Επειδή όμως κάθε σοκολάτα είναι χωρισμένη σε κομμάτια μπορεί να αντιμετωπιστεί και ως μοντέλο συνόλου (διακριτό μοντέλο). Θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως ένας συνδυασμός διακριτών μερών και συνεχούς ποσότητας (σοκολάτας). Στην έρευνά μας για τη συγκεκριμένη άσκηση θεωρήσαμε ότι το μοντέλο είναι αυτό του συνόλου. 60

62 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4.1 Οι διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος ΣΤ Δημοτικού Από την ανάλυση των δεδομένων ως προς τις διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος που χρησιμοποιούνται στις 68 δραστηριότητες του εγχειριδίου της ΣΤ Δημοτικού πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος Μέρος-όλου 21 (31%) Πηλίκο 13 (19%) Λόγος 0 Μέτρο 34 (50%) Τελεστής 0 Αναλύοντας αυτές τις 68 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 13 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εισαγωγικές δραστηριότητες 13 Μέρος-όλου 4 (31%) Πηλίκο 3 (23%) Λόγος 0 Μέτρο 6 (46%) Τελεστής 0 Βλέπουμε ότι επικρατεί η διάσταση «μέτρο». Αυτό συμβαίνει γιατί χρησιμοποιείται σε δραστηριότητες που σχετίζονται είτε με τις πράξεις ανάμεσα στα κλάσματα, είτε με την τοποθέτηση κλασμάτων στην αριθμογραμμή. Και στις δύο περιπτώσεις τα κλάσματα θεωρούνται αριθμοί μεταξύ των οποίων γίνονται πράξεις, ή τοποθετούνται πάνω στην αριθμογραμμή. Η διάσταση «μέρος-όλου» συναντάται στις εισαγωγικές δραστηριότητες που αφορούν στην εννοιολογική κατανόηση του κλάσματος, των ισοδυνάμων κλασμάτων και της σύγκρισης-διάταξης κλασμάτων. Η 61

63 διάσταση «πηλίκο» συναντάται στο κεφάλαιο που ασχολείται αποκλειστικά με «το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης». Στις 11 εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εφαρμογές 11 Μέρος-όλου 1 (9%) Πηλίκο 2 (18%) Λόγος 0 Μέτρο 8 (73%) Τελεστής 0 Οι εφαρμογές που χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέτρο» έχουν σχέση με πράξεις ανάμεσα σε κλάσματα, τη σύγκριση-διάταξη κλασμάτων και τα ισοδύναμα κλάσματα. Παράδειγμα τέτοιας εφαρμογής είναι η παρακάτω. Η διάσταση «πηλίκο» συναντάται στο κεφάλαιο που ασχολείται αποκλειστικά με «το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης». Στις 19 ασκήσεις του τετραδίου εργασιών που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 19 Μέρος-όλου 3 (16%) Πηλίκο 4 (21%) Λόγος 0 Μέτρο 12 (63%) Τελεστής 0 Εδώ παρατηρούμε ότι στις περισσότερες από τις ασκήσεις γίνεται χρήση της διάστασης «μέτρου». Πρόκειται για τις περιπτώσεις όπου χρειάζεται σύγκρισηδιάταξη κλασμάτων, εύρεση ισοδυνάμων κλασμάτων και πράξεις μεταξύ κλασμάτων. Η διάσταση «πηλίκο» χρησιμοποιείται εκεί που το κλάσμα ζητείται να 62

64 αντιμετωπισθεί ως πηλίκο διαίρεσης, ενώ εκεί που χρειάζεται η κατανόηση της έννοιας του κλάσματος χρησιμοποιείται η διάσταση «μέρος-όλου». Στα 19 προβλήματα του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 19 Μέρος-όλου 9 (47%) Πηλίκο 3 (16%) Λόγος 0 Μέτρο 7 (37%) Τελεστής 0 Παρατηρούμε ότι η διάσταση «μέρος-όλου» χρησιμοποιείται περισσότερο στα προβλήματα της ενότητας και μάλιστα τη συναντάμε σχεδόν σε όλες τις παραγράφους. Εξαίρεση αποτελεί η παράγραφος που ασχολείται με «το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης» όπου η διάσταση που συναντάμε είναι αποκλειστικά αυτή του «πηλίκου». Τη διάσταση «μέτρο» τη συναντάμε στα προβλήματα που απαιτούν πράξεις μεταξύ κλασμάτων και σύγκριση-διάταξη κλασμάτων. Στις 6 δραστηριότητες με προεκτάσεις του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες με προεκτάσεις 6 Μέρος-όλου 4 (66%) Πηλίκο 1 (17%) Λόγος 0 Μέτρο 1 (17%) Τελεστής 0 Παρατηρούμε ότι επικρατεί η διάσταση «μέρος-όλου» ενώ οι άλλες δύο χρησιμοποιούνται ελάχιστα. Αυτό που έχουμε να παρατηρήσουμε συνολικά είναι ότι από τις πέντε διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος συναντάμε μόνο τις τρεις από αυτές. Αυτές είναι η διάσταση «μέρος-όλου», η διάσταση «πηλίκο» και η διάσταση «μέτρο». Δε συναντάμε τις διαστάσεις «λόγος» και «τελεστής». Η διάσταση «λόγος» χρησιμοποιείται όταν γίνεται αναφορά στις έννοιες του «λόγου δύο μεγεθών» των «αναλογιών» και των «αναλόγων ποσών». Αυτό όμως συμβαίνει σε διαφορετική ενότητα από εκείνη των κλασμάτων γι αυτό και δεν την συναντήσαμε στα δεδομένα που αναλύσαμε. Επίσης η διάσταση «τελεστής» δεν συναντάται στα δεδομένα μας γιατί όπως έχουμε αναφέρει και στο θεωρητικό πλαίσιο το κλάσμα α/β ως «τελεστής» λειτουργεί ως 63

65 μια «μηχανή» που μετατρέπει μια ποσότητα σε μια άλλη. Ως εκ τούτου, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η συγκεκριμένη διάσταση του κλάσματος εμπεριέχεται στη γενικότερη διάσταση του κλάσματος ως «λόγου» το οποίο χρησιμοποιείται περισσότερο στις αναλογίες (Κολέζα, 2000). Επίσης αυτό που είναι προφανές είναι ότι η διάσταση «μέτρο» υπερτερεί των άλλων δύο διαστάσεων, γιατί χρησιμοποιείται ως επί το πλείστον στις εισαγωγικές δραστηριότητες, τις εφαρμογές και τις ασκήσεις ιδιαίτερα στα κεφάλαια που εξετάζονται οι πράξεις μεταξύ των κλασμάτων. Ακολουθεί η διάσταση «μέρος-όλου» η οποία χρησιμοποιείται περισσότερο στα προβλήματα και στις δραστηριότητες με προεκτάσεις. Εδώ να θυμίσουμε το σχόλιό στο θεωρητικό πλαίσιο σύμφωνα με το οποίο: η ερμηνεία του κλάσματος ως σχέση «μέρος-όλου» είναι εκείνη που πρωτοσυναντούν οι περισσότεροι μαθητές όταν έρχονται σε επαφή για πρώτη φορά με τα κλάσματα και συνήθως η μόνη που τυγχάνει διδακτικής διαπραγμάτευσης στο δημοτικό σχολείο. Τέλος η διάσταση «πηλίκο» χρησιμοποιείται λιγότερο από τις άλλες δύο, σχεδόν μόνο στο κεφάλαιο που ασχολείται αποκλειστικά με «το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης». Συγκεκριμένα από τις 13 δραστηριότητες που χρησιμοποιούν τη διάσταση «πηλίκο» οι 12 ανήκουν στη συγκεκριμένη παράγραφο. Α Γυμνασίου Από την ανάλυση των δεδομένων ως προς τις διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος που χρησιμοποιούνται στις 90 δραστηριότητες του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος Μέρος-όλου 26 (29%) Πηλίκο 1 (1%) Λόγος 0 Μέτρο 63 (70%) Τελεστής 0 Αναλύοντας αυτές τις 90 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 11 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 64

66 Εισαγωγικές δραστηριότητες 11 Μέρος-όλου 6 (55%) Πηλίκο 1 (9%) Λόγος 0 Μέτρο 4 (36%) Τελεστής 0 Παρατηρούμε ότι στις περισσότερες δραστηριότητες συναντάμε τη διάσταση «μέρος-όλου». Κοιτάζοντας το σχολικό εγχειρίδιο θα δούμε ότι αυτές οι δραστηριότητες όπως και εκείνη με τη διάσταση «πηλίκο» ανήκουν στις πρώτες τρεις παραγράφους του κεφαλαίου. Εκεί γίνεται αναφορά στην έννοια του κλάσματος, στα ισοδύναμα κλάσματα και τη σύγκριση κλασμάτων. Αν ανατρέξουμε στους στόχους αυτών των παραγράφων όπως αυτοί περιγράφονται στην πρώτη σελίδα του κεφαλαίου, θα διαπιστώσουμε ότι στις δύο από τις τρεις παραγράφους στόχος είναι η κατανόηση εννοιών. Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι ίσως υπάρχει σχέση ανάμεσα στη χρήση της συγκεκριμένης διάστασης και το στόχο της εννοιολογικής κατανόησης. Οι υπόλοιπες δραστηριότητες που χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέτρο» αντιστοιχούν στις παραγράφους που έχουν σχέση με τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων όπου το ζητούμενο είναι η εκτέλεση διαδικασιών. Στα 20 παραδείγματα-εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένα για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Παραδείγματα εφαρμογές 20 Μέρος-όλου 4 (20%) Πηλίκο 0 Λόγος 0 Μέτρο 16 (80%) Τελεστής 0 Αυτό που προκύπτει από την ανάλυση των παραδειγμάτων είναι ότι στα περισσότερα χρησιμοποιείται η διάσταση «μέτρο» και στα υπόλοιπα η διάσταση «μέρος-όλου». Καμία άλλη από τις διαστάσεις του κλάσματος δε χρησιμοποιείται. Σχεδόν όλα τα παραδείγματα (3 από τα 4) που χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέροςόλου» ανήκουν στην πρώτη παράγραφο η οποία αναφέρεται στην έννοια του κλάσματος. Τα παραδείγματα που χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέτρο» ανήκουν στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους. Σχεδόν όλα έχουν σχέση με εκτέλεση 65

67 διαδικασιών όπως: απλοποίηση κλάσματος, έλεγχος ισοδυναμίας κλασμάτων, μετατροπή κλασμάτων σε ομώνυμα και πράξη ανάμεσα σε κλάσματα. Στις 48 ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 48 Μέρος-όλου 8 (17%) Πηλίκο 0 Λόγος 0 Μέτρο 40 (83%) Τελεστής 0 Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι στην πλειονότητα των ασκήσεων χρησιμοποιείται η διάσταση «μέτρο» ενώ στις υπόλοιπες η διάσταση «μέρος-όλου». Καμία άλλη από τις διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος δεν αντιπροσωπεύεται στις ασκήσεις του κεφαλαίου. Κοιτάζοντας στο σχολικό εγχειρίδιο θα δούμε ότι σχεδόν όλες οι ασκήσεις (7 από τις 8) που ανήκουν στην κατηγορία «μέρος-όλου» ανήκουν στην πρώτη παράγραφο, όπου μελετάται η έννοια του κλάσματος. Όλες οι υπόλοιπες ασκήσεις των άλλων πέντε παραγράφων ανήκουν στην κατηγορία «μέτρο». Ελέγχοντας καθεμία ξεχωριστά αυτές τις 40 ασκήσεις παρατηρούμε ότι οι περισσότερες από αυτές ελέγχουν την ικανότητα για απομνημόνευση και εκτέλεση διαδικασιών όπως η παρακάτω άσκηση. Για τις υπόλοιπες απαιτείται πρώτα η εννοιολογική κατανόηση και μετά η εκτέλεση διαδικασιών. Παράδειγμα είναι η άσκηση που ακολουθεί. Στα 6 προβλήματα του σχολικού εγχειριδίου, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 6 Μέρος-όλου 6 (100%) Πηλίκο 0 Λόγος 0 Μέτρο 0 Τελεστής 0 Όπως φαίνεται όλα τα προβλήματα χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέρος-όλου». Από τα 6 προβλήματα τα 4 ανήκουν στην πρώτη παράγραφο της οποίας το 66

68 περιεχόμενο είναι «η έννοια του κλάσματος». Τα άλλα δύο προβλήματα ανήκουν στις παραγράφους που διαπραγματεύονται τις πράξεις των κλασμάτων. Στις 5 δραστηριότητες για το σπίτι, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες για το σπίτι 5 Μέρος-όλου 2 (40%) Πηλίκο 0 Λόγος 0 Μέτρο 3 (60%) Τελεστής 0 Από τις 5 δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο στις 2 συναντάμε τη διάσταση «μέρος-όλου». Και οι δύο ανήκουν στην πρώτη παράγραφο της οποίας το περιεχόμενο είναι «η έννοια του κλάσματος». Οι άλλες 3 χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέτρο» και ανήκουν στις παραγράφους που διαπραγματεύονται τις πράξεις των κλασμάτων. Αυτό που μπορούμε να παρατηρήσουμε συνολικά είναι ότι από τις πέντε διαστάσεις της έννοιας του κλάσματος, στις δραστηριότητες του αντίστοιχου κεφαλαίου του σχολικού εγχειριδίου της Α Γυμνασίου χρησιμοποιούνται ουσιαστικά μόνο οι δύο. Αυτές είναι η διάσταση «μέρος-όλου» σε ποσοστό 29% και η διάσταση «μέτρο» σε ποσοστό 70%. Η διάσταση «πηλίκο» θεωρήσαμε ότι λόγω πολύ μικρού ποσοστού (1%) στην ουσία δεν αντιπροσωπεύεται. Οι άλλες δύο διαστάσεις, αυτές του κλάσματος ως «λόγου» και «τελεστή» δεν χρησιμοποιούνται και ο λόγος είναι αυτός που αναλύσαμε παραπάνω στα αντίστοιχα σχόλια για το εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού. Στην πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου που αναφέρεται στην έννοια του κλάσματος, από τις 20 δραστηριότητες που αναλύσαμε οι 19 χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέρος-όλου». Αυτό σημαίνει ότι από τις 26 συνολικά δραστηριότητες του κεφαλαίου που χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέροςόλου» οι 19 ανήκουν στην πρώτη παράγραφο και οι άλλες 7 είναι διάσπαρτες στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους. Κατά συνέπεια από τις 70 δραστηριότητες που υπάρχουν στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους οι 63 χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέτρο». Σαν συμπέρασμα λοιπόν από την ανάλυση των δραστηριοτήτων του κεφαλαίου των κλασμάτων ως προς τις διαστάσεις της έννοιας που χρησιμοποιούνται, παρατηρήσαμε ότι μόνο δύο από τις πέντε διαστάσεις χρησιμοποιούνται. Οι δραστηριότητες της πρώτης παραγράφου χρησιμοποιούν μόνο 67

69 τη διάσταση «μέρος-όλου», ενώ στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους σχεδόν όλες οι δραστηριότητες χρησιμοποιούν τη διάσταση «μέτρο». Σύγκριση-συμπεράσματα Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης των δραστηριοτήτων των δύο σχολικών εγχειριδίων παρατηρούμε τα εξής: 1. Στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού από τις πέντε διαστάσεις συναντάμε τις τρεις. Υπερτερεί η διάσταση «μέτρο», ακολουθεί η διάσταση «μέρος-όλου» και τρίτη η διάσταση «πηλίκο» με ποσοστά 50%, 31% και 19% αντίστοιχα. Στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου από τις πέντε διαστάσεις συναντάμε τις τρεις. Υπερτερεί η διάσταση «μέτρο» και ακολουθεί η διάσταση «μέρος-όλου» με ποσοστά 70% και 29% αντίστοιχα. Η συμμετοχή της διάστασης «πηλίκο» είναι ελάχιστη (1%). Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι υπάρχει αντιπροσώπευση περισσότερων διαστάσεων στο δημοτικό από ότι στο γυμνάσιο, πράγμα που σημαίνει καλύτερη κατανόηση της έννοιας του κλάσματος. Στο δημοτικό μπορεί να υπερτερεί η διάσταση «μέτρο» αλλά η διαφορά από τη διάσταση «μέρος-όλου» δεν είναι πολύ μεγάλη. Στο γυμνάσιο η διάσταση «μέτρο» υπερτερεί της διάστασης «μέρος-όλου» με μεγάλη διαφορά. Αυτό οφείλετε στο ότι στις τρεις από τι πέντε κατηγορίες που υπερτερεί αυτό συμβαίνει με μεγάλη διαφορά. Στα παραδείγματα υπάρχουν 16 με τη διάσταση «μέτρο» και 4 με τη διάσταση «μέρος-όλου», ενώ στις ασκήσεις υπάρχουν 40 με τη διάσταση «μέτρο» και 8 με τη διάσταση «μέρος-όλου». 2. Η διάσταση «μέτρο» καλύπτει σχεδόν αποκλειστικά και στα δύο εγχειρίδια τις παραγράφους που σχετίζονται με τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων. Στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου όμως καλύπτει και άλλες δύο παραγράφους άρα συνολικά πέντε, ενώ η έκτη παράγραφος καλύπτεται από τη διάσταση «μέρος-όλου». Στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού η διάσταση «μέτρο» καλύπτει και την παράγραφο που ασχολείται με τη σύγκριση-διάταξη κλασμάτων, μία παράγραφος καλύπτεται από τη διάσταση «πηλίκο», και στις υπόλοιπες δύο συναντάμε κυρίως τη διάσταση «μέρος-όλου». Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι και στα δύο εγχειρίδια σε όλες τις παραγράφους συναντάμε σχεδόν μόνο μία από τις τρεις διαστάσεις. Επίσης αξιοσημείωτο είναι η μεγάλη χρήση της διάστασης «μέτρο» στο γυμνάσιο, γιατί οι πέντε από τις έξι παραγράφους καλύπτονται μόνο από αυτή τη διάσταση. 68

70 3. Στις ασκήσεις του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου συναντάμε σε πολύ μεγάλο ποσοστό (83%) τη διάσταση «μέτρο» και λιγότερο τη διάσταση «μέρος-όλου» (17%), σε αντίθεση με το εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού όπου δεν υπάρχουν τόσο μεγάλες διαφορές ανάμεσα στις τρεις διαστάσεις που χρησιμοποιούνται. Στα προβλήματα του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου συναντάμε μόνο τη διάσταση «μέρος-όλου», σε αντίθεση με το εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού όπου αντιπροσωπεύονται και οι τρεις διαστάσεις που συναντάμε σε αυτή την τάξη. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι τα προβλήματα του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου είναι πολύ λιγότερα σε σχέση με αυτά της ΣΤ Δημοτικού (6 και 19). 4.2 Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων ΣΤ Δημοτικού Από την ανάλυση των δεδομένων ως προς τα μοντέλα αναπαράστασης του κλάσματος που χρησιμοποιούνται στις 68 δραστηριότητες του εγχειριδίου της ΣΤ Δημοτικού πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων Περιοχής-εμβαδού 13 (19%) Μήκους-μέτρησης 47 (69%) Συνόλων 8 (12%) Αναλύοντας αυτές τις 68 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 13 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εισαγωγικές δραστηριότητες 13 Περιοχής-εμβαδού 5 (39%) Μήκους-μέτρησης 6 (46%) Συνόλων 2 (15%) 69

71 Παρατηρούμε ότι χρησιμοποιείται κυρίως το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» και «περιοχής-εμβαδού» ενώ το μοντέλο «συνόλων» χρησιμοποιείται λιγότερο. Αναλύοντας κάθε μία ξεχωριστά τις εισαγωγικές δραστηριότητες διαπιστώνουμε ότι στις πέντε από τις έξι παραγράφους υπάρχουν από δύο δραστηριότητες, που χρησιμοποιούν τα μοντέλα «περιοχής-εμβαδού» και «μήκους-μέτρησης». Δηλαδή τα δύο αυτά είδη μοντέλων αντιπροσωπεύονται σχεδόν σε όλο το κεφάλαιο και είναι ισοκατανεμημένα. Το μοντέλο «περιοχής-εμβαδού» χρησιμοποιείται σε δραστηριότητες με γεωμετρικά σχήματα, σχεδιαγράμματα και ασκήσεις με πίτσες όπου οι μαθητές συγκρίνουν μετρούν και γραμμοσκιάζουν, ενώ το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» χρησιμοποιείται σε δραστηριότητες που ζητείται τοποθέτηση κλασμάτων στην αριθμογραμμή και εκτέλεση πράξεων. Αξίζει να σημειωθεί ότι όπου υπάρχουν στην ίδια παράγραφο δραστηριότητες που χρησιμοποιούν τα δύο παραπάνω μοντέλα, στις περισσότερες περιπτώσεις προηγείται το μοντέλο «περιοχής-εμβαδού» και ακολουθεί το «μήκους-μέτρησης». Το μοντέλο «συνόλων» χρησιμοποιείται ελάχιστα και αυτό ίσως συμβαίνει γιατί όπως αναφέραμε και στο θεωρητικό πλαίσιο σύμφωνα με έρευνες τα διακριτά μοντέλα είναι δυσκολότερα για τους μαθητές από ότι τα συνεχή μοντέλα (Κολέζα, 2000). Στις 11 εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εφαρμογές 11 Περιοχής-εμβαδού 2 (18%) Μήκους-μέτρησης 8 (73%) Συνόλων 1 (9%) Παρατηρούμε ότι επικρατεί το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» με τα άλλα δύο μοντέλα να συναντώνται ελάχιστα. Μελετώντας τις εφαρμογές παρατηρούμε ότι οι 8 εφαρμογές που χρησιμοποιούν το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» μοιράζονται αποκλειστικά σε 4 παραγράφους, αυτές που αναφέρονται στα ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα, στο κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης, στη σύγκρισηδιάταξη κλασμάτων και στον πολλαπλασιασμό-διαίρεση κλασμάτων. Στις 19 ασκήσεις του τετραδίου εργασιών που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 70

72 Ασκήσεις 19 Περιοχής-εμβαδού 0 Μήκους-μέτρησης 16 (84%) Συνόλων 3 (16%) Παρατηρούμε ότι κυριαρχεί το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» σε όλες σχεδόν τις ασκήσεις. Εξαιρούνται οι ασκήσεις που αντιστοιχούν στην πρώτη παράγραφο οι οποίες αναφέρονται στην κατανόηση της έννοιας του κλάσματος ως μέρος όλου. Σε αυτές τις ασκήσεις χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο του «συνόλου». Το μοντέλο «περιοχής εμβαδού δε χρησιμοποιείται καθόλου. Στα 19 προβλήματα του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 19 Περιοχής-εμβαδού 3 (16%) Μήκους-μέτρησης 14 (74%) Συνόλων 2 (10%) Παρατηρούμε ότι εμφανίζονται και τα τρία μοντέλα με αυτό του «μήκουςμέτρησης» να επικρατεί και τα άλλα δύο να ακολουθούν. Στις 4 από τις 6 παραγράφους τα προβλήματα χρησιμοποιούν αποκλειστικά το μοντέλο «μήκουςμέτρησης». Επίσης στα προβλήματα που απαιτούνται πράξεις μεταξύ κλασμάτων χρησιμοποιείται το μοντέλο «μήκους μέτρησης». Αυτό που επίσης παρατηρήσαμε είναι ότι όπως και στις ασκήσεις, τα δύο προβλήματα που χρησιμοποιούν το μοντέλο «συνόλων» αντιστοιχούν στην πρώτη παράγραφο η οποία αναφέρεται στην κατανόηση της έννοιας του κλάσματος ως μέρος όλου. Στις 6 δραστηριότητες με προεκτάσεις του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες με προεκτάσεις 6 Περιοχής-εμβαδού 3 (50%) Μήκους-μέτρησης 3 (50%) Συνόλων 0 71

73 Παρατηρούμε ότι τα μοντέλα που εμφανίζονται είναι της «περιοχής-εμβαδού» και του «μήκους-μέτρησης», και είναι μοιρασμένα από ένα σε κάθε παράγραφο. Το μοντέλο «συνόλων» δεν εμφανίζεται. Βλέποντας συνολικά τα παραπάνω, αυτό που προκύπτει είναι ότι όσον αφορά στα μοντέλα αναπαράστασης των κλασμάτων στο αντίστοιχο κεφάλαιο της ΣΤ Δημοτικού, επικρατεί με μεγάλη διαφορά το μοντέλο «μήκους-μέτρησης». Αλλά και στις επιμέρους κατηγορίες δεδομένων παρουσιάζεται η ίδια κατάσταση. Στις τέσσερις από τις πέντε κατηγορίες οι δραστηριότητες που χρησιμοποιούν το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» είναι πολύ περισσότερες από τις υπόλοιπες. Μόνο στις δραστηριότητες με προεκτάσεις δε συμβαίνει αυτό. Το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» αντιπροσωπεύεται σε όλων των ειδών τις δραστηριότητες, σε αντίθεση με τα άλλα δύο μοντέλα τα οποία αντιπροσωπεύονται στα τέσσερα από τα πέντε είδη δραστηριοτήτων. Μελετώντας το πώς είναι κατανεμημένες οι δραστηριότητες ανά παράγραφο σε σχέση με τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται, παρατηρούμε ότι μόνο στην πρώτη παράγραφο που εξετάζεται η έννοια του κλάσματος αντιπροσωπεύονται ικανοποιητικά και τα τρία μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων. Στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους συναντάμε δύο από τα τρία μοντέλα σε καθεμία με το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» να αποτελεί την πλειοψηφία πάντα. Α Γυμνασίου Από την ανάλυση των δεδομένων ως προς τα μοντέλα αναπαράστασης του κλάσματος που χρησιμοποιούνται στις 90 δραστηριότητες του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων Περιοχής-εμβαδού 15 (17%) Μήκους-μέτρησης 71 (79%) Συνόλων 4 (4%) Αναλύοντας αυτές τις 90 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: 72

74 Στις 11 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εισαγωγικές δραστηριότητες 11 Περιοχής-εμβαδού 8 (73%) Μήκους-μέτρησης 2 (18%) Συνόλων 1 (9%) Παρατηρούμε ότι με μεγάλη διαφορά επικρατεί το μοντέλο «περιοχήςεμβαδού». Μελετώντας καθεμία τις παραγράφους και τις αντίστοιχες εισαγωγικές δραστηριότητες διαπιστώνουμε ότι το μοντέλο «περιοχής-εμβαδού» αντιπροσωπεύεται σε όλες τις παραγράφους που περιλαμβάνουν εισαγωγικές δραστηριότητες. Σε όλες αυτές τις δραστηριότητες υπάρχουν γεωμετρικά σχήματα χωρισμένα σε περιοχές και ζητείται ο υπολογισμός γραμμοσκιασμένων τμημάτων είτε παρατηρώντας τα σχήματα, είτε κάνοντας πράξεις. Στις δύο δραστηριότητες που χρησιμοποιούν το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» συναντάμε την αριθμογραμμή στη μία όπου ζητείται να υπολογιστούν επιμέρους τμήματα και ένα ευθύγραμμο τμήμα στην άλλη το οποίο αναπαριστά την απόσταση Πάτρας-Τρίπολης, είναι χωρισμένο σε μικρότερα ίσα μέρη και ζητείται να υπολογιστούν κάποιες αποστάσεις. Στα 20 παραδείγματα-εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Παραδείγματα εφαρμογές 20 Περιοχής-εμβαδού 2 (10%) Μήκους-μέτρησης 18 (90%) Συνόλων 0 Παρατηρούμε ότι σχεδόν όλα τα παραδείγματα χρησιμοποιούν το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» ενώ το μοντέλο «περιοχής-εμβαδού» χρησιμοποιείται ελάχιστα. Το πρώτο το συναντάμε σε όλες τις παραγράφους ενώ το δεύτερο μόνο σε δύο. Στα παραδείγματα που χρησιμοποιείται το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» συνήθως ζητούνται υπολογισμοί και εκτέλεση διαδικασιών (αναγωγή στη μονάδα, έλεγχος 73

75 ισοδυνάμων κλασμάτων, απλοποίηση κλασμάτων, σύγκριση κλασμάτων, πράξεις μεταξύ κλασμάτων). Στις 48 ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 48 Περιοχής-εμβαδού 3 (6%) Μήκους-μέτρησης 43 (90%) Συνόλων 2 (4%) Παρατηρούμε ότι το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» επικρατεί στις ασκήσεις του κεφαλαίου των κλασμάτων. Τα άλλα δύο μοντέλα έχουν πολύ μικρή συμμετοχή. Αν εξαιρέσουμε την πρώτη παράγραφο η οποία αναφέρεται στην έννοια του κλάσματος και στην οποία τα μοντέλα στις ασκήσεις είναι σχετικά μοιρασμένα, στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» χρησιμοποιείται αποκλειστικά στις ασκήσεις. Στις ασκήσεις που χρησιμοποιείται το μοντέλο «μήκους-μέτρησης» συνήθως ζητούνται υπολογισμοί και εκτέλεση διαδικασιών (αναγωγή στη μονάδα, έλεγχος ισοδυνάμων κλασμάτων, απλοποίηση κλασμάτων, σύγκριση κλασμάτων, πράξεις μεταξύ κλασμάτων). Στα 6 προβλήματα του σχολικού εγχειριδίου, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 6 Περιοχής-εμβαδού 0 Μήκους-μέτρησης 5 (83%) Συνόλων 1 (17%) Τα προβλήματα του κεφαλαίου των κλασμάτων παρατηρούμε ότι είναι λιγοστά και συναντώνται στις τρεις από τις έξι παραγράφους. Από αυτά τα περισσότερα όπως βλέπουμε χρησιμοποιούν το μοντέλο «μήκους-μέτρησης». Στις 5 δραστηριότητες για το σπίτι, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 74

76 Δραστηριότητες για το σπίτι 5 Περιοχής-εμβαδού 2 (40%) Μήκους-μέτρησης 3 (60%) Συνόλων 0 Οι δραστηριότητες για το σπίτι του κεφαλαίου των κλασμάτων χρησιμοποιούν τα μοντέλα «περιοχής-εμβαδού» και «μήκους-μέτρησης». Οι δύο δραστηριότητες που χρησιμοποιούν το μοντέλο «περιοχής-εμβαδού» βρίσκονται στην πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου, όπου αναλύεται η έννοια του κλάσματος και περιέχουν γεωμετρικά σχήματα χωρισμένα σε μέρη με ζητούμενο το χρωματισμό περιοχών που αντιστοιχούν σε δοσμένα κλάσματα και αντίστροφα. Βλέποντας συνολικά τα παραπάνω, αυτό που προκύπτει είναι ότι όσον αφορά στα μοντέλα αναπαράστασης των κλασμάτων στο αντίστοιχο κεφάλαιο της Α Γυμνασίου, επικρατεί με μεγάλη διαφορά το μοντέλο «μήκους-μέτρησης». Ακολουθεί το μοντέλο «περιοχής εμβαδού» και τέλος το μοντέλο «συνόλων». Από τα πέντε είδη δραστηριοτήτων μόνο στα δύο συναντάμε και τα τρία είδη μοντέλων. Στα τέσσερα από τα πέντε είδη δραστηριοτήτων κυριαρχεί το μοντέλο «μήκουςμέτρησης». Μόνο στις εισαγωγικές δραστηριότητες δεν ισχύει αυτό γιατί εκεί επικρατεί το μοντέλο «περιοχής-εμβαδού». Μελετώντας το πώς είναι κατανεμημένες οι δραστηριότητες ανά παράγραφο σε σχέση με τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται, παρατηρούμε ότι μόνο στην πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου αντιπροσωπεύονται και τα τρία είδη μοντέλων που χρησιμοποιούνται. Μάλιστα, το μοντέλο «συνόλων» δεν το συναντάμε σε άλλη παράγραφο. Στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους κυριαρχεί το μοντέλο «μήκους-μέτρησης». Ειδικά στην τελευταία παράγραφο η οποία αναφέρεται στη διαίρεση κλασμάτων χρησιμοποιείται αποκλεστικά το μοντέλο «μήκους-μέτρησης». Σύγκριση-συμπεράσματα Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης των δραστηριοτήτων των δύο σχολικών εγχειριδίων ως προς τα μοντέλα αναπαράστασης των κλασμάτων παρατηρούμε τα εξής: 1. Στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού υπάρχουν και τα τρία μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων με αυτό του «μήκους-μέτρησης» να υπερτερεί κατά 75

77 πολύ των άλλων δύο καλύπτοντας ποσοστό 69%. Ακολουθεί το μοντέλο «περιοχής-εμβαδού» με ποσοστό 19% και τέλος το μοντέλο «συνόλων» με ποσοστό 12%. Την ίδια εικόνα συναντήσαμε και στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου με τα τρία μοντέλα να έχουν την ίδια σειρά κατάταξης με αντίστοιχα ποσοστά 79%, 17% και 4%. Άρα υπάρχει ίδια περίπου κατανομή των τριών μοντέλων και στα δύο εγχειρίδια. Είναι προφανές όμως ότι για την ανάπτυξη του κεφαλαίου των κλασμάτων και τα δύο εγχειρίδια βασίζονται περισσότερο στο μοντέλο «μήκους-μέτρησης» και λιγότερο στο μοντέλο «περιοχής εμβαδού». Το μοντέλο «συνόλων» ουσιαστικά χρησιμοποιείται ελάχιστα. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί αν ανατρέξουμε στο θεωρητικό μας πλαίσιο όπου στην ερώτηση αν τα συνεχή «μοντέλα εμβαδού ή μέτρησης» και τα διακριτά «μοντέλα συνόλων» πρέπει να συνυπάρξουν στη διδασκαλία κλασμάτων, η απάντηση των ερευνητών είναι ότι τα διακριτά μοντέλα πρέπει να χρησιμοποιηθούν αφού πρώτα οι μαθητές έχουν εξοικειωθεί με την έννοια του κλάσματος μέσω των συνεχών μοντέλων εμβαδού, πράγμα που συμφωνεί και με τα αποτελέσματα των ερευνών που έχουν δείξει ότι τα διακριτά μοντέλα είναι δυσκολότερα για τους μαθητές από ότι τα συνεχή μοντέλα (Κόλεζα, 2000). 2. Και στα δύο σχολικά εγχειρίδια η πρώτη παράγραφος η οποία αναφέρεται στην έννοια του κλάσματος είναι αυτή όπου συναντάμε και τα τρία μοντέλα αναπαράστασης κλασμάτων. Σε όλες τις άλλες παραγράφους και των δύο εγχειριδίων συναντάμε δύο ή ένα μοντέλο αναπαράστασης κλασμάτων με αυτό του «μήκους-μέτρησης» να έχει την πλειοψηφία. 4.3 Το πλαίσιο των δραστηριοτήτων ΣΤ Δημοτικού Από την ανάλυση των δεδομένων ως προς το πλαίσιο που χρησιμοποιείται στις 68 δραστηριότητες του εγχειριδίου της ΣΤ Δημοτικού πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 76

78 Πλαίσιο δραστηριοτήτων Πραγματικό 41 (60%) Μαθηματικό 27 (40%) Λεκτικό πρόβλημα 30 (73%) Αντικείμενο 11 (27%) Αναλύοντας αυτές τις 68 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 13 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εισαγωγικές δραστηριότητες 13 Πραγματικό 11 (85%) Μαθηματικό 2 (15%) Λεκτικό πρόβλημα 7 (64%) Αντικείμενο 4 (36%) Παρατηρούμε ότι το πλαίσιο σχεδόν όλων των εισαγωγικών δραστηριοτήτων είναι πραγματικό. Οι μαθητές σε αυτές τις δραστηριότητες έρχονται σε επαφή με οικείες καταστάσεις όπως σχέσεις ανάμεσα σε λεπτά, ώρες και ημέρες, γραμμάρια και κιλά, πίτσες χωρισμένες σε κομμάτια, σοκολάτες, ορθογώνιες εκτάσεις όπως πάρκα χωρισμένες σε ίσα τμήματα κ.τ.λ. Αυτό βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών. Από τις 11 εισαγωγικές δραστηριότητες με πραγματικό πλαίσιο οι 7 αποτελούν λεκτικά προβλήματα τα οποία έχουν σχέση με μοίρασμα χρημάτων, υπολογισμό χρονικών διαστημάτων και είναι στην ουσία καθημερινά προβλήματα που οι μαθητές έχουν αντιμετωπίσει. Άρα χρησιμοποιείται η άτυπη γνώση των μαθητών γύρω από τα κλάσματα. Στις υπόλοιπες 4 δραστηριότητες περιλαμβάνονται αντικείμενα τα οποία είναι γεωμετρικά σχήματα μοιρασμένα σε ίσα μέρη. Οι 11 77

79 δραστηριότητες με πραγματικό πλαίσιο είναι μοιρασμένες στις έξι παραγράφους του κεφαλαίου με την πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) να συγκεντρώνει τρεις από αυτές. Οι δραστηριότητες με μαθηματικό πλαίσιο μοιράζονται από μία στη δεύτερη (το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης) και στην τέταρτη παράγραφο (σύγκριση-διάταξη κλασμάτων) και έχουν σχέση με την τοποθέτηση κλασμάτων στην αριθμογραμμή. Στις 11 εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εφαρμογές 11 Πραγματικό 5 (46%) Μαθηματικό 6 (54%) Λεκτικό πρόβλημα 5 (100%) Αντικείμενο 0 Οι εφαρμογές ως προς το πλαίσιο που ανήκουν είναι μοιρασμένες στα δύο είδη. Ελέγχοντας την κατανομή τους στις έξι παραγράφους παρατηρούμε ότι μόνο στην πρώτη (η έννοια του κλάσματος) και στην τελευταία παράγραφο (πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων) υπάρχουν και τα δύο πλαίσια. Στη δεύτερη παράγραφο (το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης) επιλέγεται το μαθηματικό πλαίσιο με δύο εφαρμογές στις οποίες ζητείται μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό και αντίστροφα, δηλαδή εκτέλεση διαδικασιών. Στην τέταρτη παράγραφο (σύγκριση-διάταξη κλασμάτων) επιλέγεται το μαθηματικό πλαίσιο με δύο εφαρμογές στις οποίες ζητείται σύγκριση κλασμάτων με το νου και μετατροπή ετερωνύμων σε ομώνυμα κλάσματα. Αντίθετα στην πέμπτη παράγραφο (πρόσθεσηαφαίρεση κλασμάτων) επιλέγεται το πραγματικό πλαίσιο με δύο εφαρμογές που έχουν σχέση με την καθημερινή εμπειρία των μαθητών. Όλες οι εφαρμογές των οποίων το πλαίσιο είναι πραγματικό είναι λεκτικά προβλήματα. Στις 19 ασκήσεις του τετραδίου εργασιών που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 78

80 Ασκήσεις 19 Πραγματικό 2 (11%) Μαθηματικό 17 (89%) Λεκτικό πρόβλημα 1 (50%) Αντικείμενο 1 (50%) Είναι προφανές ότι στις ασκήσεις του κεφαλαίου των κλασμάτων επικρατεί το μαθηματικό πλαίσιο. Μελετώντας την κατανομή των ασκήσεων σε κάθε παράγραφο προκύπτει ότι στις τέσσερις από τις έξι παραγράφους οι ασκήσεις είναι μόνο μαθηματικού πλαισίου. Στις άλλες δύο συναντάμε και τα δύο είδη. Εξετάζοντας τις ασκήσεις των οποίων το πλαίσιο είναι μαθηματικό, παρατηρούμε ότι πρόκειται για ασκήσεις με γεωμετρικά σχήματα ή σύνολα αντικειμένων όπου ζητείται το μέρος του συνόλου, ή για ασκήσεις που περιλαμβάνουν πράξεις και υπολογισμούς μεταξύ κλασμάτων. Στις ασκήσεις πραγματικού πλαισίου συναντάμε μία στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) και αφορά γραμμοσκιασμένα μέρη από γεωμετρικά σχήματα, τα οποία παριστάνουν σοκολάτες, και ζητείται η μετατροπή της οπτικής αναπαράστασης σε συμβολική δηλαδή κλάσμα και μία στην πέμπτη παράγραφο (πρόσθεση-αφαίρεση κλασμάτων) η οποία αφορά πρόσθεση δύο μεικτών αριθμών που αντιπροσωπεύουν μήκη δύο διαδρόμων. Από τις 2 ασκήσεις πραγματικού πλαισίου μία είναι λεκτικό πρόβλημα και μία περιλαμβάνει και γεωμετρικά σχήματα. Στα 19 προβλήματα του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 19 Πραγματικό 17 (89%) Μαθηματικό 2 (11%) Λεκτικό πρόβλημα 15 (88%) Αντικείμενο 2 (12%) 79

81 Παρατηρούμε ότι στα προβλήματα του κεφαλαίου των κλασμάτων επικρατεί το πραγματικό πλαίσιο. Μελετώντας την κατανομή των προβλημάτων σε κάθε παράγραφο προκύπτει ότι στις τέσσερις από τις έξι παραγράφους τα προβλήματα είναι μόνο πραγματικού πλαισίου. Στις άλλες δύο συναντάμε και τα δύο είδη. Εξετάζοντας τα προβλήματα των οποίων το πλαίσιο είναι πραγματικό, παρατηρούμε ότι πρόκειται για προβλήματα που αναφέρονται σε μοίρασμα χρημάτων, εύρεση του μέρους γνωρίζοντας το όλο, μετατροπή συμβολικής αναπαράστασης σε εικονική και αντίστροφα, σύγκριση κλασμάτων και πράξεις μεταξύ κλασμάτων. Τα προβλήματα με μαθηματικό πλαίσιο ανήκουν στις παραγράφους που αναφέρονται στις πράξεις με κλάσματα. Από τα 17 προβλήματα με πραγματικό πλαίσιο τα 15 είναι λεκτικά και στα υπόλοιπα 2 περιλαμβάνεται μια εικόνα (δείκτης βενζίνης αυτοκινήτου) και ένα γεωμετρικό σχήμα (κύκλος χωρισμένος σε ίσα τόξα). Στις 6 δραστηριότητες με προεκτάσεις του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες με προεκτάσεις 6 Πραγματικό 6 (100%) Μαθηματικό 0 Λεκτικό πρόβλημα 2 (33%) Αντικείμενο 4 (66%) Παρατηρούμε ότι το πλαίσιο όλων των δραστηριοτήτων με προεκτάσεις του κεφαλαίου είναι πραγματικό. Αυτό είναι αναμενόμενο γιατί σύμφωνα με το βιβλίο του εκπαιδευτικού σκοπός των δραστηριοτήτων με προεκτάσεις είναι να γίνει εφαρμογή της νέας γνώσης σε πραγματικά (μη κατασκευασμένα) προβλήματα στα οποία, μέσα από ομαδική αντιμετώπιση και συνεργατικές δραστηριότητες, εξετάζονται θέματα, ζητήματα και προβλήματα που αντλούνται από διαφορετικούς τομείς των επιστημών και της καθημερινής ζωής. Από τις 6 δραστηριότητες οι 2 είναι λεκτικά προβλήματα και οι 4 συνδυάζονται με εικόνες ή γεωμετρικά σχήματα. Βλέποντας συνολικά τα παραπάνω αυτό που θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε είναι ότι το πλαίσιο των περισσότερων δραστηριοτήτων του κεφαλαίου των κλασμάτων είναι πραγματικό. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές θα εμπλακούν σε 80

82 δραστηριότητες που έχουν σχέση με την καθημερινή ζωή, κάτι που θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών αλλά και στη σύνδεση των μαθηματικών με την καθημερινότητα. Ιδιαίτερα, οι εισαγωγικές δραστηριότητες είναι όλες πραγματικού πλαισίου, πράγμα που σημαίνει ότι η πρώτη επαφή των μαθητών με τη νέα γνώση θα γίνει μέσω δραστηριοτήτων που εμπλέκουν οικείες καταστάσεις. Οι δραστηριότητες των οποίων το πλαίσιο είναι μαθηματικό ανήκουν κυρίως στην κατηγορία των ασκήσεων πράγμα που σημαίνει ότι οι ασκήσεις του κεφαλαίου στην πλειοψηφία τους είναι υπολογιστικές. Επίσης παρατηρούμε ότι ενώ στις ασκήσεις επικρατεί το μαθηματικό πλαίσιο στα προβλήματα η κατάσταση αντιστρέφεται εντελώς ακόμη και ως προς τους αριθμούς. Α Γυμνασίου Από την ανάλυση των δεδομένων ως προς το πλαίσιο που χρησιμοποιείται στις 90 δραστηριότητες του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Πλαίσιο δραστηριοτήτων Πραγματικό 22 (24%) Μαθηματικό 68 (76%) Λεκτικό πρόβλημα 15 (68%) Αντικείμενο 7 (32%) Αναλύοντας αυτές τις 90 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 11 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 81

83 Εισαγωγικές δραστηριότητες 11 Πραγματικό 7 (64%) Μαθηματικό 4 (36%) Λεκτικό πρόβλημα 1 (14%) Αντικείμενο 6 (86%) Παρατηρούμε ότι στις εισαγωγικές δραστηριότητες του κεφαλαίου των κλασμάτων υπερτερεί το πραγματικό πλαίσιο. Παρόλα αυτά όμως μόνο στις 4 από τις 6 παραγράφους υπάρχουν δραστηριότητες με πραγματικό πλαίσιο. Για την εισαγωγή στην έννοια του κλάσματος στην πρώτη παράγραφο χρησιμοποιούνται τέσσερις δραστηριότητες, δύο με πραγματικό πλαίσιο (μοίρασμα πίτσας και σοκολάτας) και δύο με μαθηματικό πλαίσιο (ευθύγραμμο τμήμα και γεωμετρικό σχήμα χωρισμένα σε ίσα μέρη) ενώ για τη σύγκριση κλασμάτων στην τρίτη παράγραφο χρησιμοποιούνται μία δραστηριότητα με πραγματικό πλαίσιο και μία με μαθηματικό πλαίσιο. Στη δεύτερη παράγραφο (ισοδύναμα κλάσματα) υπάρχει μία δραστηριότητα μαθηματικού πλαισίου, στην τέταρτη (πρόσθεση κλασμάτων) υπάρχουν τρεις δραστηριότητες πραγματικού πλαισίου και στην πέμπτη μία δραστηριότητα πραγματικού πλαισίου. Αυτό που προκύπτει είναι ότι δεν υπάρχει ισοκατανομή δραστηριοτήτων ως προς το πλαίσιο στις παραγράφους του κεφαλαίου πράγμα που είναι εις βάρος της κατανόησης των εννοιών. Σε όλες σχεδόν τις δραστηριότητες πραγματικού πλαισίου περιλαμβάνονται γεωμετρικά σχήματα και εικόνες που βοηθούν τους μαθητές στην επίλυση των προβλημάτων. Στα 20 παραδείγματα-εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 82

84 Παραδείγματα εφαρμογές 20 Πραγματικό 5 (25%) Μαθηματικό 15 (75%) Λεκτικό πρόβλημα 5 (100%) Αντικείμενο 0 Παρατηρούμε ότι στα παραδείγματα-εφαρμογές του κεφαλαίου των κλασμάτων επικρατεί το μαθηματικό πλαίσιο. Μάλιστα στις 4 από τις 6 παραγράφους το πλαίσιο των παραδειγμάτων είναι μόνο πραγματικό. Οι παράγραφοι αυτές εξετάζουν τα ισοδύναμα κλάσματα, τη σύγκριση κλασμάτων, την πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων και τη διαίρεση κλασμάτων. Τα παραδείγματα αυτών των παραγράφων έχουν σχέση με απλοποίηση κλασμάτων, μετατροπή κλασμάτων σε ομώνυμα, σύγκριση κλασμάτων, εύρεση κλάσματος μεταξύ δύο δοσμένων, πράξεις μεταξύ κλασμάτων κ.τ.λ. Σε αντίθεση όμως με τα προηγούμενα στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) και τα τρία παραδείγματα είναι πραγματικού πλαισίου και όλα έχουν σχέση με τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα. Όλα τα παραδείγματα με πραγματικό πλαίσιο είναι λεκτικά προβλήματα. Στις 48 ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 48 Πραγματικό 5 (10%) Μαθηματικό 43 (90%) Λεκτικό πρόβλημα 4 (80%) Αντικείμενο 1 (20%) Παρατηρούμε ότι το πλαίσιο των περισσότερων ασκήσεων του κεφαλαίου των κλασμάτων είναι μαθηματικό. Ελέγχοντας τις παραγράφους αναλυτικά διαπιστώνουμε ότι εκτός από την πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) σε όλες τις άλλες παραγράφους οι ασκήσεις είναι μόνο μαθηματικού περιεχομένου. Οι περισσότερες από αυτές είναι υπολογιστικές, διαδικαστικού χαρακτήρα όπου το 83

85 ζητούμενο είναι η εκτέλεση αλγορίθμων. Όλες οι ασκήσεις πραγματικού πλαισίου βρίσκονται στην πρώτη παράγραφο και από αυτές οι περισσότερες είναι λεκτικά προβλήματα. Στα 6 προβλήματα του σχολικού εγχειριδίου, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 6 Πραγματικό 4 (67%) Μαθηματικό 2 (33%) Λεκτικό πρόβλημα 4 (100%) Αντικείμενο 0 Το πλαίσιο των περισσοτέρων προβλημάτων του κεφαλαίου είναι πραγματικό Από τις 6 παραγράφους μόνο στις 3 υπάρχουν προβλήματα. Στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) υπάρχουν τέσσερα προβλήματα από τα οποία δύο είναι πραγματικού πλαισίου και δύο μαθηματικού πλαισίου. Τα άλλα δύο προβλήματα πραγματικού πλαισίου αφορούν στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων. Όλα τα προβλήματα πραγματικού πλαισίου είναι λεκτικά. Στις 5 δραστηριότητες για το σπίτι, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες για το σπίτι 5 Πραγματικό 1 (20%) Μαθηματικό 4 (80%) Λεκτικό πρόβλημα 1 (100%) Αντικείμενο 0 Παρατηρούμε ότι από τις 5 δραστηριότητες για το σπίτι το πλαίσιο στις 4 είναι μαθηματικό. Στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) συναντάμε δύο δραστηριότητες μαθηματικού πλαισίου, στις οποίες ζητείται μετατροπή συμβολικής αναπαράστασης (κλάσμα) σε οπτική (γραμμοσκιασμένο τμήμα) και αντίστροφα. Στην παράγραφο που ασχολείται με την πρόσθεση κλασμάτων συναντάμε τις άλλες δύο δραστηριότητες μαθηματικού πλαισίου οι οποίες έχουν σχέση με πράξεις 84

86 κλασμάτων. Στην τελευταία παράγραφο που έχει σχέση με τη διαίρεση κλασμάτων υπάρχει η δραστηριότητα με το πραγματικό πλαίσιο, η οποία είναι ένα λεκτικό πρόβλημα το οποίο συνδυάζει μαθηματικά και ιστορία: Βλέποντας συνολικά όλα τα παραπάνω αυτό που προκύπτει είναι ότι το μαθηματικό πλαίσιο κυριαρχεί στις δραστηριότητες του κεφαλαίου των κλασμάτων με το πραγματικό πλαίσιο να υπολείπεται κατά πολύ. Εξετάζοντας την κατανομή των δραστηριοτήτων ανά παράγραφο παρατηρούμε ότι μόνο στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) υπερτερούν οι δραστηριότητες πραγματικού πλαισίου γιατί γίνεται προσπάθεια κατανόησης της έννοιας του κλάσματος μέσα από προβλήματα και ασκήσεις που παρουσιάζουν οικείες καταστάσεις προς τους μαθητές. Στις υπόλοιπες πέντε παραγράφους χρησιμοποιούνται σχεδόν αποκλειστικά δραστηριότητες μαθηματικού πλαισίου και ελάχιστες πραγματικού πλαισίου. Στην παράγραφο που εξετάζονται τα ισοδύναμα κλάσματα η χρήση δραστηριοτήτων μαθηματικού πλαισίου είναι αποκλειστική. Οι δραστηριότητες πραγματικού πλαισίου χρησιμοποιούνται περισσότερο στις εισαγωγικές δραστηριότητες όπου γίνεται η πρώτη επαφή του μαθητή με την νέα γνώση και στα προβλήματα. Στις υπόλοιπες κατηγορίες γίνεται χρήση μόνο δραστηριοτήτων μαθηματικού πλαισίου. Ιδιαίτερα στην κατηγορία των ασκήσεων αυτές των οποίων το πλαίσιο είναι μαθηματικό είναι υπερβολικά περισσότερες (43 έναντι 5) των ασκήσεων μαθηματικού πλαισίου. Από τις δραστηριότητες πραγματικού πλαισίου αυτές που είναι λεκτικά προβλήματα είναι διπλάσια από αυτές που περιέχουν και κάποιο αντικείμενο το οποίο βοηθάει στην επίλυση του προβλήματος. Σύγκριση-συμπεράσματα Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης των δραστηριοτήτων των δύο σχολικών εγχειριδίων ως προς το πλαίσιο που χρησιμοποιείται παρατηρούμε τα εξής: 85

87 1. Ενώ στο σχολικό εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού είναι περισσότερες οι δραστηριότητες με πραγματικό πλαίσιο στο σχολικό εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου περισσότερες είναι οι δραστηριότητες μαθηματικού πλαισίου. Και στις δύο περιπτώσεις οι διαφορές είναι μεγάλες, κατά συνέπεια έχουμε να κάνουμε με διαφορετική διαπραγμάτευση του κεφαλαίου των κλασμάτων. Στην ΣΤ Δημοτικού δίνεται βάση σε δραστηριότητες που έχουν σχέση με την καθημερινή ζωή των μαθητών. Αυτές είναι πιο ενδιαφέρουσες και φανερώνουν την άμεση σχέση των μαθηματικών με την πραγματικότητα. Αντίστοιχα στην Α Γυμνασίου δίνεται βάση σε δραστηριότητες μαθηματικού πλαισίου θεωρώντας ότι οι μαθητές έχουν την ικανότητα και την ωριμότητα να αντιληφθούν τις πτυχές της έννοιας του κλάσματος χωρίς τη χρήση παραδειγμάτων από την καθημερινή ζωή. 2. Στην κατηγορία των εισαγωγικών δραστηριοτήτων και στα δύο εγχειρίδια οι δραστηριότητες με πραγματικό πλαίσιο είναι περισσότερες από αυτές με μαθηματικό πράγμα που σημαίνει ότι και στα δύο εγχειρίδια γίνεται προσπάθεια οι μαθητές να εισαχθούν στη νέα γνώση με τη βοήθεια οικείων καταστάσεων. 3. Στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού υπάρχει ίδιος αριθμός ασκήσεων και προβλημάτων (19). Στις ασκήσεις υπερτερεί το μαθηματικό πλαίσιο (17 μαθηματικό και 2 πραγματικό) ενώ στα προβλήματα υπερτερεί το πραγματικό πλαίσιο (17 πραγματικό και 2 μαθηματικό). Αυτή η ισοκατανομή ασκήσεων και προβλημάτων ως προς την ποσότητα αλλά και ως προς το είδος του πλαισίου συνολικά (19 πραγματικό και 19 μαθηματικό) είναι θετική για τη διδασκαλία και βοηθάει τον εκπαιδευτικό στο σχεδιασμό της. 4. Στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου οι ασκήσεις είναι πολύ περισσότερες από τα προβλήματα (48 και 6). Στις ασκήσεις συναντάμε σχεδόν μόνο το μαθηματικό πλαίσιο (43 μαθηματικό και 5 πραγματικό) ενώ στα προβλήματα υπερτερεί το πραγματικό πλαίσιο (4 πραγματικό και 2 μαθηματικό). Συνολικά λοιπόν στις ασκήσεις και τα προβλήματα τα οποία στο εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου αποτελούν μία ενότητα και δεν είναι ξεχωριστά το μαθηματικό πλαίσιο υπερτερεί κατά πολύ του πραγματικού (45 μαθηματικό και 9 πραγματικό). Αυτό σημαίνει ότι ο μαθητής έρχεται σε επαφή περισσότερο με ασκήσεις μαθηματικού περιεχομένου κάτι που ίσως σημαίνει ότι μειώνετε το ενδιαφέρον και η ελκυστικότητα του μαθήματος. 86

88 5. Από τις δραστηριότητες πραγματικού πλαισίου που υπάρχουν στα δύο εγχειρίδια κάποιες είναι λεκτικά προβλήματα και κάποιες περιλαμβάνουν μία εικόνα. Η εικόνα αυτή μπορεί να είναι μια φωτογραφία, ένα σκίτσο, ή ένα γεωμετρικό σχήμα. Το αντικείμενο αυτό πολλές φορές βοηθάει στην επίλυση του προβλήματος, άλλες φορές είναι απαραίτητο και κάποιες φορές ζητείται να σημειωθεί κάτι πάνω στο σχήμα. Αν και οι δραστηριότητες πραγματικού περιεχομένου στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού είναι διπλάσιες από αυτές του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου, σε επίπεδο ποσοστών τα λεκτικά προβλήματα σε σχέση με τα μη λεκτικά είναι περίπου τα ίδια και στις δύο τάξεις, με τα λεκτικά να είναι περισσότερα (σχεδόν διπλάσια). 4.4 Είδη αναπαραστάσεων και συνδέσεις ΣΤ Δημοτικού Από την ανάλυση των δεδομένων ως όπως το είδος των αναπαραστάσεων που χρησιμοποιείται στις 68 δραστηριότητες του εγχειριδίου όπως ΣΤ Δημοτικού πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Είδη αναπαραστάσεων Λεκτικές αναπαραστάσεις 34 (50%) Χειραπτικά μοντέλα 7 (10%) Μοντέλο αριθμογραμμής 4 (6%) Συμβολικές αναπαραστάσεις 20 (29%) Εικόνες διαγράμματα 3 (5%) Αναλύοντας αυτές τις 68 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 13 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα όπως μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εισαγωγικές δραστηριότητες 13 Λεκτικές αναπαραστάσεις 9 (70%) Χειραπτικά μοντέλα 2 (15%) Μοντέλο αριθμογραμμής 2 (6%) Συμβολικές αναπαραστάσεις 0 Εικόνες διαγράμματα 0 87

89 Οι εισαγωγικές δραστηριότητες του κεφαλαίου χρησιμοποιούν κυρίως λεκτικές αναπαραστάσεις όπου η γνώση παρουσιάζεται μέσω κειμένων τα οποία περιγράφουν καταστάσεις από την καθημερινή ζωή. Σε πολλές από αυτές το ζητούμενο είναι το μοίρασμα αντικειμένων όπως σοκολάτες, πίτσες αλλά και χρηματικών ποσών. Σε κάποιες δραστηριότητες χρησιμοποιούνται χειραπτικά μοντέλα όπως ορθογώνιες περιοχές με ίσο εμβαδό, χωρισμένες σε ίσα τμήματα η καθεμία, μέσω των οποίων εισάγονται οι μαθητές στην έννοια των ισοδυνάμων κλασμάτων. Παρόμοιες αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται και για τη σύγκριση κλασμάτων. Επίσης χρησιμοποιείται σε δύο δραστηριότητες το μοντέλο της αριθμογραμμής με ζητούμενο την τοποθέτηση κλασμάτων πάνω σε αυτή. Στην παρακάτω δραστηριότητα η οποία δίνεται με λεκτική αναπαράσταση υπάρχει σύνδεση της έννοιας του κλάσματος με τον πραγματικό κόσμο μέσω της έννοιας του χρόνου, των χρημάτων και της μάζας. Έτσι τονίζεται η χρησιμότητα των μαθηματικών αλλά ταυτόχρονα δημιουργείται και θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά. Επίσης χρησιμοποιείται η «άτυπη» γνώση των μαθητών γύρω από τα κλάσματα. Στις 11 εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εφαρμογές 11 Λεκτικές αναπαραστάσεις 5 (45%) Χειραπτικά μοντέλα 0 Μοντέλο αριθμογραμμής 0 Συμβολικές αναπαραστάσεις 6 (55%) Εικόνες διαγράμματα 0 Στις εφαρμογές του κεφαλαίου χρησιμοποιούνται μόνο λεκτικές και συμβολικές αναπαραστάσεις. Με τον όρο συμβολικές αναπαραστάσεις θεωρήσαμε τις δραστηριότητες όπου το ζητούμενο είναι η εκτέλεση διαδικασιών εννοιολογικού ή διαδικαστικού χαρακτήρα, πράξεων ανάμεσα σε κλάσματα όπου το πλαίσιο είναι μαθηματικό. Αυτά μπορεί να είναι μετατροπή μεικτού ή δεκαδικού σε κλάσμα, μετατροπή ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα, αριθμητικές παραστάσεις με 88

90 κλάσματα κ.τ.λ. Ένα παράδειγμα όπου η ζητούμενη διαδικασία είναι εννοιολογικού χαρακτήρα και αφορά σύγκριση κλασμάτων είναι η παρακάτω εφαρμογή: Στις 19 ασκήσεις του τετραδίου εργασιών που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 19 Λεκτικές αναπαραστάσεις 1 (5%) Χειραπτικά μοντέλα 3 (16%) Μοντέλο αριθμογραμμή 1 (5%) Συμβολικές αναπαραστάσεις 14 (74%) Εικόνες διαγράμματα 0 Οι αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται στις περισσότερες ασκήσεις του κεφαλαίου είναι συμβολικές. Οι ασκήσεις αυτές έχουν σχέση με την κατανόηση και εύρεση ισοδυνάμων κλασμάτων, τη σύγκριση κλασμάτων και τις πράξεις κλασμάτων. Το πλαίσιό τους είναι μαθηματικό ενώ κάποιες από αυτές είναι εννοιολογικού και κάποιες διαδικαστικού χαρακτήρα. Στην πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου που αφορά στην έννοια του κλάσματος οι ασκήσεις περιέχουν χειραπτικά μοντέλα όπως σύνολα σημείων, κυκλικές επιφάνειες και ορθογώνιες περιοχές. Σε αυτές τις ασκήσεις χρησιμοποιείται η διάσταση του κλάσματος «μέρος-όλου». Χαρακτηριστικό παράδειγμα η επόμενη άσκηση: Στα 19 προβλήματα του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 89

91 Προβλήματα 19 Λεκτικές αναπαραστάσεις 17 (89%) Χειραπτικά μοντέλα 0 Μοντέλο αριθμογραμμής 0 Συμβολικές αναπαραστάσεις 0 Εικόνες διαγράμματα 2 (11%) Σχεδόν σε όλα τα προβλήματα του κεφαλαίου χρησιμοποιούνται λεκτικές αναπαραστάσεις. Μόνο σε δύο χρησιμοποιούνται εικονικές αναπαραστάσεις. Το πρόβλημα που ακολουθεί χρησιμοποιεί εικόνες με τη μορφή τριών καρτών: Αξίζει να σημειωθεί ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα ανήκει στην παράγραφο της πρόσθεσης-αφαίρεσης κλασμάτων, αλλά δεν έχει κάποια προφανή σχέση με το συγκεκριμένο αντικείμενο. Στις 6 δραστηριότητες με προεκτάσεις του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες με προεκτάσεις 6 Λεκτικές αναπαραστάσεις 2 (33%) Χειραπτικά μοντέλα 2 (33%) Μοντέλο αριθμογραμμής 1 (17%) Συμβολικές αναπαραστάσεις 0 Εικόνες διαγράμματα 1 (17%) Παρατηρούμε ότι στις δραστηριότητες με προεκτάσεις αντιπροσωπεύονται σχεδόν όλα τα είδη αναπαραστάσεων. Παρατηρώντας συνολικά τις δραστηριότητες του κεφαλαίου προκύπτει ότι υπάρχει ποικιλία αναπαραστάσεων με τις μισές από τις δραστηριότητες να ανήκουν στην κατηγορία «λεκτική αναπαράσταση». Οι περισσότερες από αυτές συναντώνται στις εισαγωγικές δραστηριότητες και τα προβλήματα και είναι πραγματικού πλαισίου. Αυτό σημαίνει ότι γίνεται προσπάθεια να παρουσιαστεί η νέα γνώση αλλά και να ελεγχθεί η κατανόησή της με δραστηριότητες που σχετίζονται με τις εμπειρίες των μαθητών. Αρκετές από τις δραστηριότητες χρησιμοποιούν συμβολικές 90

92 αναπαραστάσεις, ανήκουν στις εφαρμογές και τις ασκήσεις και είναι μαθηματικού πλαισίου. Οι δραστηριότητες που χρησιμοποιούν χειραπτικά μοντέλα, το μοντέλο της αριθμογραμμής και εικόνες-διαγράμματα καλύπτουν ένα πολύ μικρό κομμάτι του κεφαλαίου. Για τα είδη των συνδέσεων που επιτυγχάνονται, αυτό που παρατηρήσαμε είναι ότι μέσω των δραστηριοτήτων επιτυγχάνονται συνδέσεις μεταξύ των αναπαραστάσεων. Αυτό συμβαίνει σε εισαγωγική δραστηριότητα η οποία χρησιμοποιεί λεκτική αναπαράσταση για να περιγράψει το πρόβλημα στο οποίο ζητείται να μοιραστεί μια πίτσα δημιουργώντας ταυτόχρονα στο μυαλό του μαθητή σύνδεση με το χειραπτικό μοντέλο. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι δραστηριότητες στις οποίες οι μαθητές πρέπει να αντιστοιχίσουν κλάσματα (συμβολική αναπαράσταση) σε σημεία της αριθμογραμμής (μοντέλο αριθμογραμμής). Σε άλλη εισαγωγική δραστηριότητα χρησιμοποιείται η λεκτική αναπαράσταση για την περιγραφή του προβλήματος, η λύση του οποίου παραπέμπει σε δημιουργία αριθμητικών παραστάσεων (συμβολική αναπαράσταση). Σε πρόβλημα ισοδυνάμων κλασμάτων έχουμε σύνδεση συμβολικής αναπαράστασης με εικονική αναπαράσταση. Επίσης υπάρχουν συνδέσεις μεταξύ διαφορετικών χώρων στα μαθηματικά. Δηλαδή, εκεί που διαπιστώνεται ότι το κλάσμα είναι ακριβές πηλίκο διαίρεσης και ο μαθητής πρέπει να κάνει τη διαίρεση για να τοποθετήσει το κλάσμα πάνω στην αριθμογραμμή, εκεί επιτυγχάνεται σύνδεση των κλασμάτων με την πράξη της διαίρεσης. Άλλου είδος σύνδεσης που υπάρχει έχει σχέση με το πλαίσιο αναφοράς της δραστηριότητας. Σε εισαγωγική δραστηριότητα που αναφέρεται στους τρόπους παραγωγής ενέργειας της ΔΕΗ συνδέεται η έννοια του κλάσματος με το χώρο της παραγωγής ενέργειας ως επιστημονικό χώρο και ταυτόχρονα με τα σχετικά ακούσματα που έχει ο μαθητής είτε μέσω της οικογένειας είτε μέσω της τηλεόρασης. Άλλο παράδειγμα είναι η δραστηριότητα για το σπίτι στην οποία συνδέεται η έννοια του κλάσματος με το χώρο της λογοτεχνίας μέσω της κειμένου του Τολστόι. Α Γυμνασίου Από την ανάλυση των δεδομένων ως της το είδος των αναπαραστάσεων που χρησιμοποιείται στις 90 δραστηριότητες του εγχειριδίου της Α Γυμνασίου πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 91

93 Είδη αναπαραστάσεων Λεκτικές αναπαραστάσεις 21 (23%) Χειραπτικά μοντέλα 9 (10%) Μοντέλο αριθμογραμμής 3 (3%) Συμβολικές αναπαραστάσεις 49 (55%) Εικόνες διαγράμματα 8 (9%) Αναλύοντας αυτές τις 90 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 11 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα της μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εισαγωγικές δραστηριότητες 11 Λεκτικές αναπαραστάσεις 5 (45%) Χειραπτικά μοντέλα 5 (45%) Μοντέλο αριθμογραμμής 0 Συμβολικές αναπαραστάσεις 0 Εικόνες διαγράμματα 1 (10%) Παρατηρούμε ότι στις εισαγωγικές δραστηριότητες χρησιμοποιούνται κυρίως λεκτικές αναπαραστάσεις και χειραπτικά μοντέλα τα οποία είναι μοιρασμένα σε όλες τις παραγράφους. Στην πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου η οποία αναφέρεται στην έννοια του κλάσματος συναντάμε και τα τρία είδη αναπαραστάσεων. Έχουμε δηλαδή μία δραστηριότητα με λεκτική αναπαράσταση, δύο δραστηριότητες με χειραπτικά μοντέλα, ένα ευθύγραμμο τμήμα και μια ορθογώνια περιοχή και μια δραστηριότητα με εικόνα μιας σοκολάτας χωρισμένης σε οκτώ κομμάτια. Αυτό σημαίνει ότι ο μαθητής έρχεται σε επαφή με πολλά είδη αναπαραστάσεων, άρα έχουμε καλύτερη κατανόηση της έννοιας. Στα 20 παραδείγματα-εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για της ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Παραδείγματα εφαρμογές 20 Λεκτικές αναπαραστάσεις 4 (20%) Χειραπτικά μοντέλα 0 Μοντέλο αριθμογραμμής 1 (5%) Συμβολικές αναπαραστάσεις 14 (70%) Εικόνες διαγράμματα 1 (5%) 92

94 Στα παραδείγματα του κεφαλαίου επικρατούν οι συμβολικές αναπαραστάσεις της οποίες συναντάμε σε όλες τις παραγράφους εκτός της πρώτης. Στην πρώτη παράγραφο που αφορά στην έννοια του κλάσματος έχουμε τρεις εισαγωγικές δραστηριότητες εκ των οποίων οι δύο χρησιμοποιούν λεκτικές αναπαραστάσεις και η τρίτη περιέχει μια εικόνα. Για το τελευταίο παράδειγμα αξίζει να σημειώσουμε ότι αν και η εικόνα δε βοηθάει στη λύση του προβλήματος, παρόλα αυτά ο μαθητής μπορεί να τη χρησιμοποιήσει για να σχηματοποιήσει το πρόβλημα στο μυαλό του. Στις 48 ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 48 Λεκτικές αναπαραστάσεις 5 (11%) Χειραπτικά μοντέλα 2 (4%) Μοντέλο αριθμογραμμής 2 (4%) Συμβολικές αναπαραστάσεις 35 (73%) Εικόνες διαγράμματα 4 (8%) Στις ασκήσεις του κεφαλαίου επικρατούν οι συμβολικές αναπαραστάσεις και αυτό συμβαίνει σε όλες τις παραγράφους εκτός της πρώτης. Οι περισσότερες είναι ασκήσεις που σχετίζονται με μεθόδους γύρω από τα ισοδύναμα κλάσματα, συγκρίσεις κλασμάτων και πράξεις ανάμεσα σε κλάσματα. Οι ασκήσεις που περιέχουν το μοντέλο της αριθμογραμμής, ανήκουν στην παράγραφο της σύγκρισης κλασμάτων και σχετίζονται με τοποθέτηση κλασμάτων στην αριθμογραμμή αλλά και αναγνώριση κλασμάτων τα οποία παρουσιάζονται ως σημεία πάνω στην αριθμογραμμή. Στην πρώτη παράγραφο συναντάμε όλα τα είδη αναπαραστάσεων εκτός της αριθμογραμμής, άρα ο μαθητής έρχεται σε επαφή με πολλαπλές αναπαραστάσεις, όταν ασχολείται με την επίλυση ασκήσεων που αφορούν στην έννοια της κατανόησης του κλάσματος. Στα 6 προβλήματα του σχολικού εγχειριδίου, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 93

95 Προβλήματα 6 Λεκτικές αναπαραστάσεις 6 (100%) Χειραπτικά μοντέλα 0 Μοντέλο αριθμογραμμής 0 Συμβολικές αναπαραστάσεις 0 Εικόνες διαγράμματα 0 Όλα τα προβλήματα του κεφαλαίου χρησιμοποιούν λεκτικές αναπαραστάσεις. Τα τέσσερα από αυτά βρίσκονται στην πρώτη παράγραφο και έχουν σχέση με τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα. Στις 5 δραστηριότητες για το σπίτι, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες για το σπίτι 5 Λεκτικές αναπαραστάσεις 1 (20%) Χειραπτικά μοντέλα 2 (40%) Μοντέλο αριθμογραμμής 0 Συμβολικές αναπαραστάσεις 0 Εικόνες διαγράμματα 2 (40%) Οι δύο δραστηριότητες που χρησιμοποιούν χειραπτικά μοντέλα βρίσκονται στην πρώτη παράγραφο, έχουν σχέση με την κατανόηση της έννοιας του κλάσματος μέσω της διάστασης «μέρος όλου» και περιέχουν γεωμετρικές περιοχές χωρισμένες σε ίσα τμήματα και χρωματισμένες. Οι δύο δραστηριότητες που χρησιμοποιούν εικόνες-διαγράμματα ανήκουν στην παράγραφο της πρόσθεσης κλασμάτων περιέχουν δύο πίνακες και είναι οι παρακάτω: Αν και ουσιαστικά οι ασκήσεις αφορούν σε εκτέλεση πράξεων θεωρήσαμε ότι ο τρόπος με τον οποίον παρουσιάζεται η άσκηση μέσω της εικόνας την κάνει πιο ενδιαφέρουσα και δημιουργεί κίνητρα στο μαθητή, είτε κάνοντας σωστά την αντιστοίχηση αφού βρει τα σωστά αποτελέσματα, είτε συμπληρώνοντας τον πίνακα. Παρατηρώντας συνολικά της δραστηριότητες του κεφαλαίου προκύπτει ότι ο μαθητής συναντά πολλά είδη αναπαραστάσεων. Κυρίως όμως συναντά λεκτικές και συμβολικές αναπαραστάσεις με τις συμβολικές να χρησιμοποιούνται στις μισές από της δραστηριότητες του κεφαλαίου. Οι συμβολικές αναπαραστάσεις αποτελούν την πλειοψηφία σε όλες τις παραγράφους του κεφαλαίου εκτός από την πρώτη. Συνήθως 94

96 αφορούν σε εφαρμογή μεθόδων των ισοδυνάμων κλασμάτων, της σύγκρισης κλασμάτων και σε εκτέλεση πράξεων. Ιδιαίτερα στην πρώτη παράγραφο αυτό που παρατηρήσαμε είναι ότι πρόκειται για την παράγραφο με τη μεγαλύτερη αντιπροσώπευση σε αναπαραστάσεις. Εκεί συναντήσαμε τα τέσσερα από τα πέντε είδη με αυτό της λεκτικής αναπαράστασης να χρησιμοποιείται στις μισές δραστηριότητες ενώ αυτό της συμβολικής μόνο μία φορά. Τα χειραπτικά μοντέλα χρησιμοποιούνται μόνο στις τρεις πρώτες παραγράφους με τα περισσότερα να συγκεντρώνονται στην πρώτη ενώ στις παραγράφους των πράξεων απουσιάζουν. Αυτό που προκύπτει τελικά είναι ότι γίνεται προσπάθεια κατανόηση της έννοιας του κλάσματος μέσω πολλαπλών αναπαραστάσεων. Για τα είδη των συνδέσεων που επιτυγχάνονται, αυτό που παρατηρήσαμε είναι ότι μέσω των δραστηριοτήτων επιτυγχάνονται συνδέσεις μεταξύ των αναπαραστάσεων. Αυτό συμβαίνει σε δραστηριότητα της πρώτης παραγράφου όπου ζητείται από της μαθητές να χρωματίσουν σε δοσμένα σχήματα, τα μέρη που αντιστοιχούν σε δοσμένα κλάσματα. Εδώ υπάρχει σύνδεση ανάμεσα στο χειραπτικό μοντέλο (σχήμα) και τη συμβολική αναπαράσταση (κλάσμα). Σε άλλη άσκηση όπου οι μαθητές πρέπει να αντιστοιχίσουν κλάσματα σε δεδομένα σημεία πάνω στην αριθμογραμμή έχουμε σύνδεση του μοντέλου της αριθμογραμμής με τη συμβολική αναπαράσταση του κλάσματος. Οι εισαγωγικές δραστηριότητες της παραγράφου της πρόσθεσης παρουσιάζονται μέσω λεκτικών αναπαραστάσεων αλλά λύνονται και με τη βοήθεια χειραπτικών μοντέλων. Ένα άλλο είδος σύνδεσης που συναντήσαμε έχει σχέση με το πλαίσιο αναφοράς της δραστηριότητας. Σε δραστηριότητα για το σπίτι στην παράγραφο της διαίρεσης κλασμάτων, όπου ζητείται από της μαθητές να εφαρμόσουν έναν κανόνα, βασισμένοι σε δεδομένα από τον πάπυρο του Ριντ, έχουμε σύνδεση της έννοιας του κλάσματος με το χώρο της ιστορίας και της αρχαιολογίας. Επίσης συναντήσαμε την πρώτη προσπάθεια επαφής των μαθητών με τη διαδικασία της απόδειξης μιας ισότητας, οπότε θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι έχουμε συνδέσεις μέσα στο χώρο της άλγεβρας. Σύγκριση-συμπεράσματα Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης των δραστηριοτήτων των δύο εγχειριδίων ως προς το είδος των αναπαραστάσεων και τις συνδέσεις που επιτυγχάνονται παρατηρούμε τα εξής: 95

97 1. Όλα τα είδη των αναπαραστάσεων αντιπροσωπεύονται στα δύο σχολικά εγχειρίδια. Το 80% των δραστηριοτήτων στα δύο εγχειρίδια χρησιμοποιούν μόνο δύο είδη αναπαραστάσεων, αυτό της λεκτικής αναπαράστασης και αυτό της συμβολικής αναπαράστασης. Όμως, ενώ στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού οι περισσότερες δραστηριότητες χρησιμοποιούν τις λεκτικές αναπαραστάσεις, σε εκείνο της Α Γυμνασίου οι περισσότερες δραστηριότητες χρησιμοποιούν συμβολικές αναπαραστάσεις. Υπάρχει δηλαδή μια διαφορετική αντιμετώπιση στα δύο εγχειρίδια. Σε αυτό της ΣΤ Δημοτικού οι μισές δραστηριότητες σχετίζονται με εμπειρίες από την καθημερινή ζωή των μαθητών, ενώ σε αυτό της Α Γυμνασίου οι μισές δραστηριότητες σχετίζονται με πράξεις και διαδικασίες. 2. Οι δραστηριότητες που χρησιμοποιούν χειραπτικά μοντέλα, το μοντέλο της αριθμογραμμής και εικόνες-διαγράμματα είναι λίγες και στα δύο κεφάλαια. 3. Και στα δύο εγχειρίδια συναντήσαμε συνδέσεις που επιτυγχάνονται μέσω των δραστηριοτήτων, αλλά και συνδέσεις μεταξύ των μαθηματικών και άλλων χώρων. Επίσης διαπιστώσαμε και συνδέσεις μεταξύ διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών οι οποίες όμως ήταν ελάχιστες. 4.5 Το είδος των δραστηριοτήτων ΣΤ Δημοτικού Από την ανάλυση των δεδομένων ως όπως το είδος των 68 δραστηριοτήτων του εγχειριδίου όπως ΣΤ Δημοτικού πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Είδος δραστηριοτήτων Διαδικαστικό 21 (31%) Εννοιολογικό 47 (69%) Αναλύοντας αυτές τις 68 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: 96

98 Στις 13 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα όπως μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εισαγωγικές δραστηριότητες 13 Διαδικαστικό 0 Εννοιολογικό 13 (100%) Όπως βλέπουμε και οι 13 εισαγωγικές δραστηριότητες είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Αυτό σημαίνει ότι η εισαγωγή στη νέα γνώση κάθε παραγράφου γίνεται με τη βοήθεια δραστηριοτήτων που προκαλούν συνδέσεις ανάμεσα σε ιδέες και πληροφορίες που σχετίζονται με μια έννοια. Δραστηριοτήτων που ξεφεύγουν από τη στείρα απομνημόνευση κανόνων και αλγορίθμων. Ένα τέτοιο παράδειγμα δραστηριότητας είναι η ακόλουθη που χρησιμοποιείται για την εισαγωγή στην έννοια των ισοδυνάμων κλασμάτων: Στις 11 εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 97

99 Εφαρμογές 11 Διαδικαστικό 6 (55%) Εννοιολογικό 5 (45%) Όπως βλέπουμε οι εφαρμογές του κεφαλαίου καλύπτουν και τις δύο κατηγορίες ως προς το είδος. Μελετώντας καθεμία ξεχωριστά τις παραγράφους του κεφαλαίου, παρατηρήσαμε ότι ενώ σε όλες υπάρχουν από δύο εφαρμογές, δεν αντιπροσωπεύονται και οι δύο κατηγορίες εφαρμογών ως προς το είδος. Δεν υπάρχει δηλαδή ισοκατανομή εφαρμογών στις παραγράφους. Στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) υπάρχουν δύο εφαρμογές εννοιολογικού χαρακτήρα οι οποίες χρησιμοποιούνται για την κατανόηση της έννοιας της κλασματικής μονάδας, της ακέραιης μονάδας και της έννοια του μεικτού αριθμού. Στη δεύτερη (το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης) και στην πέμπτη παράγραφο (πρόσθεση αφαίρεση κλασμάτων) υπάρχουν από δύο εφαρμογές διαδικαστικού χαρακτήρα που αναφέρονται στη μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό και αντίστροφα και σε εκτέλεση πράξεων ανάμεσα σε κλάσματα. Στην τρίτη παράγραφο (ισοδύναμα κλάσματα) υπάρχει μια εφαρμογή εννοιολογικού χαρακτήρα η οποία αναφέρεται στη δημιουργία ισοδυνάμων κλασμάτων, παρέχει ελευθερία στους μαθητές γιατί έχει πολλές λύσεις και προτρέπει σε συζήτηση και επιχειρηματολογία. Αυτή είναι η παρακάτω: Στην τέταρτη παράγραφο (σύγκριση-διάταξη κλασμάτων) και στην έκτη (πολ/μοςδιαίρεση κλασμάτων) οι εφαρμογές είναι μία εννοιολογικού και μία διαδικαστικού χαρακτήρα. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε τη σύγκριση κλασμάτων με το νου (εννοιολογική) και τη μετατροπή ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα (διαδικαστική) και στη δεύτερη περίπτωση την εύρεση του κλασματικού μέρους ενός ποσού (εννοιολογική) και τον υπολογισμό αριθμητικών παραστάσεων (διαδικαστική). Στις 19 ασκήσεις του τετραδίου εργασιών που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 98

100 Ασκήσεις 19 Διαδικαστικό 10 (53%) Εννοιολογικό 9 (47%) Οι ασκήσεις του κεφαλαίου είναι μοιρασμένες ως προς το είδος. Μελετώντας το πώς οι ασκήσεις είναι κατανεμημένες στις έξι παραγράφους παρατηρήσαμε ότι δεν υπάρχει ισοκατανομή ανά είδος σε κάθε παράγραφο. Στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) και στην τρίτη (ισοδύναμα κλάσματα) όλες οι ασκήσεις είναι εννοιολογικού χαρακτήρα αν και όπως αναφέραμε και στη μεθοδολογία κάποιες ασκήσεις δεν μπορούσαμε να τις χαρακτηρίσουμε με σιγουριά διαδικαστικού ή εννοιολογικού χαρακτήρα. Κάποιες από αυτές τις ασκήσεις ανήκουν στις προαναφερθείσες παραγράφους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα η παρακάτω: Στη δεύτερη παράγραφο (το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης) και στην τέταρτη (σύγκριση-διάταξη κλασμάτων) οι ασκήσεις διαδικαστικού πλαισίου είναι περισσότερες από τις ασκήσεις εννοιολογικού πλαισίου (6 και 2). Στην δεύτερη παράγραφο ζητούνται πράξεις (διαδικαστικό) και τοποθέτηση κλασμάτων στην αριθμογραμμή (εννοιολογικό). Η τελευταία περίπτωση είναι η επόμενη άσκηση: Εδώ το ζητούμενο είναι η εννοιολογική κατανόηση του κλάσματος ως πηλίκου διαίρεσης και ως αριθμού. Στην τέταρτη παράγραφο ζητούνται συγκρίσεις κλασμάτων με ίδιους αριθμητές ή παρονομαστές (διαδικαστικό) και υπολογισμό της αξίας κλασμάτων ελέγχοντας τη σχέση αριθμητή παρονομαστή (εννοιολογικό). Στις 99

101 δύο τελευταίες παραγράφους (πράξεις μεταξύ κλασμάτων) και οι τέσσερις ασκήσεις είναι διαδικαστικού χαρακτήρα και αφορούν σε εκτέλεση πράξεων μεταξύ κλασμάτων. Στα 19 προβλήματα του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 19 Διαδικαστικό 5 (26%) Εννοιολογικό 14 (74%) Τα περισσότερα προβλήματα του κεφαλαίου των κλασμάτων είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Παρατηρώντας την κατανομή τους βλέπουμε ότι στις πρώτες τρεις παραγράφους όλα τα προβλήματα είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Στην πρώτη παράγραφο (έννοια του κλάσματος) τα προβλήματα έχουν σχέση με την κατανόηση της κλασματικής μονάδας και την αναγωγή στη μονάδα. Στη δεύτερη παράγραφο (το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης) τα προβλήματα έχουν σχέση με την κατανόηση της έννοιας του κλάσματος ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης. Στην τρίτη παράγραφο (ισοδύναμα κλάσματα) τα προβλήματα έχουν σχέση με την κατανόηση της έννοιας των ισοδυνάμων κλασμάτων. Στην τέταρτη παράγραφο (σύγκριση-διάταξη κλασμάτων) τα προβλήματα είναι μοιρασμένα. Κάποια έχουν σχέση με τη σύγκριση κλασμάτων που έχουν ίδιο αριθμητή ή παρονομαστή και κάποια άλλα τη διάταξη κλασμάτων τα οποία πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε ισοδύναμα-ομώνυμα. Αξιοσημείωτη είναι η διαχείριση των παρακάτω προβλημάτων: Εδώ θα μπορούσαν τα δύο προβλήματα να χαρακτηριστούν διαδικαστικού χαρακτήρα. Όμως η τελευταία ερώτηση του πρώτου προβλήματος αυτόματα το 100

102 μετατρέπει σε εννοιολογικού χαρακτήρα γιατί οι μαθητές καλούνται να αναπτύξουν επιχειρηματολογία και να περάσουν από τη συμβολική στην οπτική αναπαράσταση. Στις δύο τελευταίες παραγράφους οι οποίες αναφέρονται στις πράξεις μεταξύ κλασμάτων τα προβλήματα είναι μοιρασμένα στα δύο είδη (3 και 3). Σε κάποια ζητείται εκτέλεση πράξεων (διαδικαστικό) ενώ σε κάποια άλλα χρειάζεται διερεύνηση, στρατηγική και επιχειρηματολογία (εννοιολογικό). Στις 6 δραστηριότητες με προεκτάσεις του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες με προεκτάσεις 6 Διαδικαστικό 0 Εννοιολογικό 6 (100%) Οι δραστηριότητες με προεκτάσεις του κεφαλαίου είναι όλες εννοιολογικού χαρακτήρα. Είναι μοιρασμένες από μία σε κάθε παράγραφο και απαιτούν στρατηγική επίλυσης και επιχειρηματολογία. Οι μαθητές δημιουργούν συνδέσεις, αποδεικνύεται η χρησιμότητα των μαθηματικών αλλά και η σχέση τους με την καθημερινότητα. Επίσης μερικές από αυτές δίνουν αφορμές για περεταίρω συζήτηση εκτός του πεδίου των μαθηματικών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα η παρακάτω δραστηριότητα για το σπίτι η οποία ανήκει στην παράγραφο σύγκριση-διάταξη κλασμάτων: Βλέποντας συνολικά όλα τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι γίνεται προσπάθεια εννοιολογικής κατανόησης του κεφαλαίου των κλασμάτων. Οι δραστηριότητες του κεφαλαίου είναι στην πλειοψηφία τους εννοιολογικού χαρακτήρα. Το συγκεκριμένο είδος δραστηριοτήτων υπερτερεί σε όλες τις κατηγορίες δεδομένων εκτός των ασκήσεων όπου τα δύο είδη είναι μοιρασμένα. Μελετώντας ξεχωριστά το πώς είναι κατανεμημένες οι δραστηριότητες ανά 101

103 παράγραφο παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο παράγραφοι στις οποίες όλες οι δραστηριότητες είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Αυτές είναι η πρώτη παράγραφος (η έννοια του κλάσματος) όπου υπάρχουν 13 δραστηριότητες και η τρίτη παράγραφος (ισοδύναμα κλάσματα) όπου υπάρχουν 10 δραστηριότητες. Στην δεύτερη παράγραφο (το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης) είναι περισσότερες οι εννοιολογικές δραστηριότητες (7 έναντι 5), καλύπτουν όλες τις κατηγορίες δραστηριοτήτων, ενώ τις διαδικαστικές δραστηριότητες τις συναντάμε μόνο στις εφαρμογές και τις ασκήσεις. Στην τέταρτη παράγραφο (σύγκριση διάταξη κλασμάτων) είναι περισσότερες οι εννοιολογικές δραστηριότητες (7 έναντι 6), καλύπτουν όλες τις κατηγορίες δραστηριοτήτων, ενώ τις διαδικαστικές δραστηριότητες τις συναντάμε στις εφαρμογές τις ασκήσεις και τα προβλήματα. Στις δύο τελευταίες παραγράφους το πλήθος των δραστηριοτήτων είναι το ίδιο και για τα δύο είδη. Α Γυμνασίου Από την ανάλυση των δεδομένων ως όπως το είδος των 90 δραστηριοτήτων του εγχειριδίου όπως Α Γυμνασίου πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Είδος δραστηριοτήτων Διαδικαστικό 39 (43%) Εννοιολογικό 51 (57%) Αναλύοντας αυτές τις 90 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 11 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 102

104 Εισαγωγικές δραστηριότητες 11 Διαδικαστικό 0 Εννοιολογικό 11 (100%) Παρατηρούμε ότι και οι 11 εισαγωγικές δραστηριότητες είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Άρα οι μαθητές θα εισαχθούν στη νέα γνώση κάθε παραγράφου με τη βοήθεια δραστηριοτήτων που δίνουν την ευκαιρία για δημιουργία συνδέσεων, λήψη αποφάσεων, έλεγχο και αναστοχασμό. Δραστηριότητες που προωθούν τη συζήτηση και την επικοινωνία. Ένα τέτοιο παράδειγμα δραστηριότητας είναι η παρακάτω, η οποία χρησιμοποιείται για την εισαγωγή στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων: Στα 20 παραδείγματα-εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Παραδείγματα εφαρμογές 20 Διαδικαστικό 11 (55%) Εννοιολογικό 9 (45%) Τα παραδείγματα του κεφαλαίου καλύπτουν και τα δύο είδη με τα διαδικαστικά να είναι περισσότερα. Μελετώντας ξεχωριστά κάθε παράγραφο παρατηρήσαμε ότι στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) όλα τα παραδείγματα είναι εννοιολογικού χαρακτήρα και βοηθούν στην κατανόηση της μεθόδου της αναγωγής στη μονάδα. Αντίθετα στη δεύτερη παράγραφο (ισοδύναμα κλάσματα) και στην έκτη (διαίρεση κλασμάτων) τα παραδείγματα είναι διαδικαστικού χαρακτήρα εστιάζοντας στην εκτέλεση διαδικασιών και την απομνημόνευση αλγορίθμων, όπως απλοποίηση κλασμάτων, μετατροπή κλασμάτων 103

105 σε ομώνυμα και εκτέλεση πράξεων. Στις υπόλοιπες τρεις παραγράφους υπάρχουν παραδείγματα και των δύο ειδών. Κάποια από αυτά είναι υψηλού γνωστικού επιπέδου, απαιτούν επιχειρηματολογία, συνδέσεις με τις έννοιες που εμπλέκονται και υποστηρίζουν πολλαπλές στρατηγικές επίλυσης. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το επόμενο που χρησιμοποιείται στη σύγκριση κλασμάτων: Στις 48 ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 48 Διαδικαστικό 26 (54%) Εννοιολογικό 22 (46%) Παρατηρούμε ότι οι ασκήσεις με διαδικαστικό χαρακτήρα είναι περισσότερες από αυτές με εννοιολογικό χαρακτήρα. Μελετώντας την κατανομή των ασκήσεων στις παραγράφους παρατηρήσαμε το εξής. Στις πρώτες δύο παραγράφους επικρατεί ο εννοιολογικός χαρακτήρας. Συγκεκριμένα στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) όλες οι ασκήσεις είναι εννοιολογικού χαρακτήρα με σκοπό να γίνει κατανοητή από τους μαθητές η έννοια του κλάσματος ως μέρος-όλου. Στη δεύτερη παράγραφο (ισοδύναμα κλάσματα) πάλι επικρατεί ο εννοιολογικός χαρακτήρας στις ασκήσεις (7 έναντι 2) με σκοπό να κατανοήσουν οι μαθητές το πώς δημιουργούνται και πως ελέγχονται τα ισοδύναμα κλάσματα. Στην τρίτη παράγραφο (σύγκριση κλασμάτων) οι ασκήσεις είναι περίπου μοιρασμένες (5 έναντι 4), με σκοπό τη σύγκριση των κλασμάτων με τη χρήση κανόνων θεωρίας (διαδικαστικό) και την τοποθέτηση τους στην αριθμογραμμή με βάση την αξία τους (εννοιολογικό). Στις υπόλοιπες παραγράφους που ασχολούνται με τις πράξεις ανάμεσα σε κλάσματα οι ασκήσεις διαδικαστικού χαρακτήρα είναι πολύ περισσότερες γιατί ο σκοπός είναι η απομνημόνευση αλγορίθμων σχετικών με τις τέσσερις πράξεις. Στα 6 προβλήματα του σχολικού εγχειριδίου, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 104

106 Προβλήματα 6 Διαδικαστικό 0 Εννοιολογικό 6 (100%) Παρατηρούμε ότι όλα τα προβλήματα της παραγράφου είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. Βέβαια εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι μόνο οι μισές παράγραφοι περιλαμβάνουν προβλήματα, από τα οποία τέσσερα ανήκουν στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) και τα άλλα δύο στην τέταρτη και πέμπτη παράγραφο οι οποίες διαπραγματεύονται τις πράξεις των κλασμάτων. Κανένα πάντως από τα παραπάνω προβλήματα δεν θα μπορούσε να χαρακτηριστεί υψηλού γνωστικού επιπέδου. Στις 5 δραστηριότητες για το σπίτι, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες για το σπίτι 5 Διαδικαστικό 2 (40%) Εννοιολογικό 3 (60%) Παρατηρούμε ότι οι δραστηριότητες για το σπίτι είναι σχεδόν μοιρασμένες. Μόνο τρεις από τις έξι παραγράφους περιέχουν δραστηριότητες για το σπίτι. Εννοιολογικού χαρακτήρα είναι οι δραστηριότητες της πρώτης (η έννοια του κλάσματος) και της τελευταίας παραγράφου (διαίρεση κλασμάτων) και διαδικαστικού χαρακτήρα είναι αυτές τη τέταρτης παραγράφου (πρόσθεση-αφαίρεση κλασμάτων) οι οποίες αφορούν σε πράξεις Από τις πιο ενδιαφέρουσες δραστηριότητες για το σπίτι, εννοιολογικού χαρακτήρα που ανήκει στην πρώτη παράγραφο είναι η επόμενη: 105

107 Βλέποντας συνολικά όλα τα προηγούμενα παρατηρούμε ότι οι δραστηριότητες εννοιολογικού χαρακτήρα είναι περισσότερες από τις δραστηριότητες διαδικαστικού χαρακτήρα. Όμως τις πρώτες τις συναντάμε σε κάθε κατηγορία δεδομένων ενώ τις δεύτερες μόνο στα παραδείγματα, στις ασκήσεις και στα προβλήματα. Γι αυτό στις ασκήσεις και στα προβλήματα οι δραστηριότητες διαδικαστικού περιεχομένου είναι περισσότερες. Ελέγχοντας συνολικά τις παραγράφους ως προς το είδος των δραστηριοτήτων διαπιστώνουμε ότι μοιράζονται σε δύο ομάδες. Η πρώτη ομάδα αποτελείται από τις πρώτες τρείς παραγράφους του κεφαλαίου, εκεί όπου υπερτερούν οι δραστηριότητες εννοιολογικού περιεχομένου. Μάλιστα στην πρώτη παράγραφο και οι είκοσι δραστηριότητες είναι εννοιολογικού περιεχομένου. Αυτό ίσως εξηγείται, αν σκεφτούμε ότι οι πρώτες τρεις παράγραφοι οι οποίες ασχολούνται με την έννοια του κλάσματος, τα ισοδύναμα κλάσματα και τη σύγκριση κλασμάτων, απαιτούν περισσότερο εννοιολογική κατανόηση των εννοιών και μετά ακολουθεί η εκμάθηση διαδικασιών. Η δεύτερη ομάδα αποτελείται από τις τρεις υπόλοιπες παραγράφους του κεφαλαίου, εκεί όπου υπερτερούν οι δραστηριότητες διαδικαστικού περιεχομένου. Σε αυτές τις παραγράφους αναλύονται οι πράξεις μεταξύ κλασμάτων και δίνεται μεγαλύτερο βάρος στην εκμάθηση των αλγορίθμων των πράξεων μέσω ασκήσεων διαδικαστικού χαρακτήρα. Σύγκριση-συμπεράσματα Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης των δύο σχολικών εγχειριδίων ως προς το είδος των δραστηριοτήτων που χρησιμοποιείται αναφορικά με τα κλάσματα παρατηρούμε τα εξής: 1. Και στα δύο σχολικά εγχειρίδια οι δραστηριότητες εννοιολογικού χαρακτήρα είναι περισσότερες από τις δραστηριότητες διαδικαστικού χαρακτήρα. Όμως στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού η διαφορά είναι πολύ μεγαλύτερη γι αυτό κάνουμε λόγο για προσπάθεια εννοιολογικής κατανόησης του κεφαλαίου των κλασμάτων. 2. Στις παραγράφους που ασχολούνται με θέματα όπως η έννοια του κλάσματος, τα ισοδύναμα κλάσματα και η σύγκριση κλασμάτων υπερτερούν οι δραστηριότητες εννοιολογικού χαρακτήρα. Αυτό συμβαίνει και στα δύο εγχειρίδια. Μάλιστα στην πρώτη παράγραφο και των δύο εγχειριδίων που ασχολείται με την έννοια του κλάσματος οι δραστηριότητες είναι όλες εννοιολογικού χαρακτήρα. Αντίστοιχα στις παραγράφους που ασχολούνται με τις πράξεις στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού οι δραστηριότητες είναι μοιρασμένες στη μέση, ενώ στο 106

108 εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου υπερτερούν οι δραστηριότητες διαδικαστικού χαρακτήρα. 3. Δραστηριότητες εννοιολογικού περιεχομένου υπάρχουν σε όλες τις παραγράφους και των δύο εγχειριδίων ενώ διαδικαστικού χαρακτήρα όχι. 4. Σχεδόν όλα τα προβλήματα εννοιολογικού χαρακτήρα που συναντήσαμε στο εγχειρίδιο της ΣΤ Δημοτικού στον άξονα ανάλυσης «πλαίσιο» ανήκαν στην κατηγορία «πραγματικό».συγκεκριμένα από τα 19 προβλήματα του κεφαλαίου, τα 13 ήταν ταυτόχρονα πραγματικού πλαισίου και εννοιολογικού χαρακτήρα. Κάτι αντίστοιχο παρατηρήσαμε και στο σχολικό εγχειρίδιο της Α Γυμνασίου, μόνο που εκεί το πλήθος των προβλημάτων συνολικά είναι πάρα πολύ μικρό. 4.6 H μαθηματική δραστηριότητα ΣΤ Δημοτικού Από την ανάλυση των δεδομένων ως όπως το είδος της μαθηματικής δραστηριότητας στο οποίο εμπλέκονται οι μαθητές ασχολούμενοι με τις 68 δραστηριότητες του εγχειριδίου όπως ΣΤ Δημοτικού πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Μαθηματική δραστηριότητα Χρήση ιδιοτήτων έννοιας 13 (19%) Εκτέλεση πράξεων 11 (16%) Εφαρμογή μεθόδου 17 (25%) Διατύπωση συλλογισμού επιχειρηματολογίας 19 (28%) Διατύπωση συμπεράσματος 8 (12%) Αναλύοντας αυτές τις 68 δραστηριότητες ανά κατηγορία σύμφωνα με τη θέση που καταλαμβάνουν στην παράγραφο προέκυψαν τα παρακάτω: Στις 13 εισαγωγικές δραστηριότητες που υπάρχουν στο σχολικό εγχειρίδιο και χρησιμοποιούνται στην αρχή κάθε ενότητας, για να προκαλέσουν συζήτηση ανάμεσα όπως μαθητές και τον εκπαιδευτικό, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 107

109 Εισαγωγικές δραστηριότητες 13 Χρήση ιδιοτήτων έννοιας 2 (15%) Εκτέλεση πράξεων 0 Εφαρμογή μεθόδου 0 Διατύπωση συλλογισμού επιχειρηματολογίας 8 (62%) Διατύπωση συμπεράσματος 3 (23%) Στις εισαγωγικές δραστηριότητες συναντάμε τρεις από τις πέντε κατηγορίες. Οι περισσότερες εισαγωγικές δραστηριότητες οδηγούν τους μαθητές σε διατύπωση συλλογισμού και επιχειρηματολογίας. Στις υπόλοιπες οι μαθητές εμπλέκονται σε χρήση ιδιοτήτων της έννοιας και διατύπωση συμπεράσματος. Σε όλες τις παραγράφους υπάρχουν εισαγωγικές δραστηριότητες που παραπέμπουν σε διατύπωση συλλογισμού και επιχειρηματολογίας. Σε αυτές τις δραστηριότητες οι μαθητές καλούνται μέσα από ερωτήσεις να δικαιολογήσουν τις απαντήσεις τους εκφράζοντας συλλογισμούς και επιχειρήματα. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η επόμενη δραστηριότητα όπου οι μαθητές πρέπει να ανακαλύψουν σχέσεις ανάμεσα στους όρους δύο κλασμάτων, να σχηματίσουν ισοδύναμα κλάσματα κάνοντας συλλογισμούς και τέλος να επιχειρηματολογήσουν για την επιλογή τους: Στις 11 εφαρμογές που ακολουθούν μετά την παρουσίαση της θεωρίας και είναι υποδειγματικά λυμένες για να χρησιμοποιηθούν ως πρότυπα για τις ασκήσεις, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Εφαρμογές 11 Χρήση ιδιοτήτων έννοιας 0 Εκτέλεση πράξεων 3 (28%) Εφαρμογή μεθόδου 4 (36%) Διατύπωση συλλογισμού επιχειρηματολογίας 4 (36%) Διατύπωση συμπεράσματος 0 108

110 Στις εφαρμογές συναντήσαμε τρεις από τις πέντε κατηγορίες. Στην πρώτη παράγραφο (η έννοια του κλάσματος) και στην τρίτη (ισοδύναμα κλάσματα) υπάρχουν εφαρμογές που εμπλέκουν τους μαθητές μόνο σε διατύπωση συλλογισμού και επιχειρηματολογίας. Στις υπόλοιπες παραγράφους όλες οι εφαρμογές αφορούν σε εκτέλεση πράξεων και εφαρμογή μεθόδων. Η επόμενη εφαρμογή εμπλέκει τους μαθητές σε εφαρμογή μεθόδου, αυτή της μετατροπής δεκαδικού σε κλάσμα: Θα μπορούσαμε κοιτάζοντας το πρώτο βήμα να τοποθετήσουμε την εφαρμογή στην κατηγορία «εκτέλεση πράξεων». Προτιμήσαμε όμως να βασιστούμε στο τελευταίο όπου ζητάει εφαρμογή της μεθόδου που οι μαθητές διατύπωσαν στο δεύτερο βήμα. Στις 19 ασκήσεις του τετραδίου εργασιών που χρησιμοποιούνται για εμπέδωση και επέκταση της νέας γνώσης, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ασκήσεις 19 Χρήση ιδιοτήτων έννοιας 6 (32%) Εκτέλεση πράξεων 5 (26%) Εφαρμογή μεθόδου 5 (26%) Διατύπωση συλλογισμού επιχειρηματολογίας 1 (5%) Διατύπωση συμπεράσματος 2 (11%) Παρατηρούμε ότι όλες οι κατηγορίες δεδομένων αντιπροσωπεύονται. Στις πρώτες τρεις παραγράφους (έννοια κλάσματος, κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης, ισοδύναμα κλάσματα) συναντάμε ασκήσεις που οδηγούν τους μαθητές κυρίως σε χρήση ιδιοτήτων της έννοιας και διατύπωση συμπεράσματος. Με τον όρο «χρήση ιδιοτήτων έννοιας» εννοούμε ότι για να λυθεί η άσκηση οι μαθητές πρέπει να χρησιμοποιήσουν πληροφορίες που προκύπτουν από τις ιδιότητες ή τον ορισμό της έννοιας. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η επόμενη άσκηση: 109

111 Για να λυθεί η άσκηση οι μαθητές πρέπει να χρησιμοποιήσουν την ιδιότητα των ισοδυνάμων κλασμάτων που αναφέρεται στο σχολικό εγχειρίδιο και λέει ότι: Αν πολλαπλασιάσουμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό, προκύπτει ισοδύναμο με το αρχικό κλάσμα. Ένα παράδειγμα άσκησης όπου οι μαθητές οι μαθητές οδηγούνται σε διατύπωση συμπεράσματος είναι το παρακάτω: Οι μαθητές μετατρέπουν το κλάσμα σε δεκαδικό και επιλέγουν-συμπεραίνουν ποια είναι η απάντηση. Στις τρεις τελευταίες παραγράφους (σύγκριση-διάταξη κλασμάτων, πράξεις κλασμάτων) συναντάμε ασκήσεις που οι μαθητές οδηγούνται σε εκτέλεση πράξεων και εφαρμογή μεθόδου. Στα 19 προβλήματα του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Προβλήματα 19 Χρήση ιδιοτήτων έννοιας 5 (26%) Εκτέλεση πράξεων 3 (15%) Εφαρμογή μεθόδου 7 (37%) Διατύπωση συλλογισμού επιχειρηματολογίας 2 (11%) Διατύπωση συμπεράσματος 2 (11%) Παρατηρούμε ότι τα περισσότερα προβλήματα εμπλέκουν τους μαθητές σε εφαρμογή μεθόδου χρήση ιδιοτήτων της έννοιας και εκτέλεση πράξεων. Η εφαρμογή μεθόδου και η εκτέλεση πράξεων συναντώνται κυρίως στις τρεις τελευταίες παραγράφους (σύγκριση-διάταξη κλασμάτων, πράξεις κλασμάτων). Τα προβλήματα όπου οι μαθητές εμπλέκονται σε εκτέλεση πράξεων είναι διαδικαστικού χαρακτήρα όπως το επόμενο: 110

112 Στις 6 δραστηριότητες με προεκτάσεις του τετραδίου εργασιών, πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Δραστηριότητες με προεκτάσεις 6 Χρήση ιδιοτήτων έννοιας 0 Εκτέλεση πράξεων 0 Εφαρμογή μεθόδου 1 (17%) Διατύπωση συλλογισμού επιχειρηματολογίας 4 (66%) Διατύπωση συμπεράσματος 1 (17%) Παρατηρούμε ότι οι περισσότερες δραστηριότητες με προεκτάσεις εμπλέκουν τους μαθητές σε διατύπωση συλλογισμού και επιχειρηματολογίας. Θέλοντας να συνοψίσουμε τα παραπάνω δεδομένα αυτό που έχουμε να παρατηρήσουμε είναι ότι οι μαθητές της ΣΤ Δημοτικού στο κεφάλαιο των κλασμάτων ενεπλάκησαν σε πολλών ειδών μαθηματικές δραστηριότητες. Μελετώντας ξεχωριστά κάθε παράγραφο προέκυψε ότι οι δραστηριότητες που οδηγούν σε χρήση ιδιοτήτων της έννοιας βρίσκονται στις πρώτες τρεις παραγράφους (έννοια κλάσματος, κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης, ισοδύναμα κλάσματα) και είναι σχεδόν όλες εννοιολογικού χαρακτήρα. Οι δραστηριότητες που οδηγούν σε εκτέλεση πράξεων βρίσκονται στις δύο τελευταίες παραγράφους (πράξεις κλασμάτων) και είναι διαδικαστικού χαρακτήρα. Οι δραστηριότητες που οδηγούν σε διατύπωση συλλογισμού-επιχειρηματολογίας είναι μοιρασμένες περίπου ισοδύναμα σε όλες τις παραγράφους, είναι όλες εννοιολογικού χαρακτήρα και ανήκουν κυρίως στις εισαγωγικές δραστηριότητες και στις εφαρμογές. Οι δραστηριότητες που οδηγούν σε εκτέλεση μεθόδων είναι μοιρασμένες σε όλες τις παραγράφους, τις περισσότερες από αυτές όμως τις συναντάμε σε εκείνες που ασχολούνται με τα ισοδύναμα κλάσματα και τη σύγκριση-διάταξη κλασμάτων. Αυτό συμβαίνει γιατί αυτές οι παράγραφοι προσφέρονται για χρήση μεθόδων όπως μετατροπή κλασμάτων σε ομώνυμα για σύγκριση, μέθοδος χιαστί κ.τ.λ. Οι μισές είναι εννοιολογικού χαρακτήρα και οι άλλες μισές διαδικαστικού. Οι δραστηριότητες που οδηγούν σε διατύπωση συμπεράσματος βρίσκονται μοιρασμένες στις 4 από τις 6 παραγράφους και είναι εννοιολογικού χαρακτήρα. 111