ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. ηλαδή ΑΒ = ΒΓ Β Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα ΒΓ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΑ είναι όµοια γιατί έχουν: A = = Β είναι κοινή γωνία των τριγώνων Εποµένως ισχύει η αναλογία AB ΒΓ = ΑΒ = ΒΓ Β Β ΑΒ ΣΧΟΛΙΟ Το ίχνος της καθέτου που φέρουµε από το Α προς την ΒΓ ονοµάζεται ορθή προβολή ή απλώς προβολή του Α στην ΒΓ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος µε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα. ΑΒ Β ηλαδή = ΑΓ Γ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα ΒΓ. Ισχύουν οι σχέσεις: ΑΒ = ΒΓ Β και ΑΓ = ΒΓ Γ. ιαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά µέλη προκύπτει: ΑΒ BΓ Β ΑΒ Β = = ΑΓ BΓ Γ ΑΓ Γ

2 3. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισµα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο µε το τετράγωνο της υποτείνουσας. (Πυθαγόρειο Θεώρηµα) Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα ΒΓ. Θα αποδείξουµε ότι: AB + ΑΓ = ΒΓ Ισχύουν οι σχέσεις: ΑΒ = ΒΓ Β και ΑΓ = ΒΓ Γ. Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά µέλη προκύπτει: ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ Β + ΒΓ Γ = = ΒΓ(ΒΛ + Γ ) = = ΒΓ ΒΓ = ΒΓ.. Να αποδείξετε ότι αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε A = L. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ορθή γωνία xôy. Πάνω στις πλευρές Ox, Oy ορθής γωνίας xôy θεωρούµε αντίστοιχα τµήµατα Ο = ΑΒ και ΟΕ = ΑΓ. Επειδή το τρίγωνο Ο Ε είναι ορθογώνιο σύµφωνα µε το Πυθαγόρειο θεώρηµα και την υπόθεση, έχουµε: Ε = Ο + ΟΕ = ΑΒ +ΑΓ = ΒΓ. Άρα Ε = ΒΓ. Εποµένως τα τρίγωνα ΑΒΓ και Ο Ε είναι ίσα, γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες, οπότε θα είναι A = Ô = ηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε A = L.

3 3 5. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. ηλαδή Α = Β Γ. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα ΒΓ. Τα τρίγωνα ΑΒ και ΓΑ είναι όµοια, αφού είναι ορθογώνια και A = Γ ως συµπληρωµατικές της Β. Εποµένως, Α Γ = Β Α Α = Β Γ. 6. Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωµένο κατά το διπλάσιο γινόµενο της µίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ηλαδή α = β + γ β Α Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε γωνία Α οξεία και το ύψος του Α. Στα ορθογώνια τρίγωνα ΒΓ, ΒΑ εφαρµόζοντας το πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε : α = Β + Γ () γ = Α + Β Β = γ Α () Αν Γ <, τότε είναι Γ = β Α και από τις ισότητες () και () έχουµε: α = Β + Γ = γ - Α + Γ = γ Α +( β Α ) = = γ Α + β + Α -β Α = β + γ β Α. αν Γ > τότε είναι Γ = Α β και από τις ισότητες () και () έχουµε: α = Β + Γ = γ Α + Γ = γ Α +( Α β) = = γ Α + β + Α β Α = β + γ β Α. αν τέλος Γ =, το συµπίπτει µε το Γ και το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ ισχύει Α = β

4 Τότε β + γ β Α = β + γ β = γ β = α 7. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αµβλεία γωνία είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενο της µίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ηλαδή α = β + γ + β Α Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε γωνία Α αµβλεία και το ύψος του Α. Στα ορθογώνια τρίγωνα ΒΓ, ΒΑ εφαρµόζοντας το πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε : α = Β + Γ () γ = Α + Β Β = γ Α () Επειδή A > έχουµε Γ = β + Α οπότε από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: α = Β + Γ = γ Α + Γ = = γ Α + ( β + Α ) = = γ Α + β + Α + β Α = β + γ + β Α. ΣΧΟΛΙΑ Α. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναµίες:

5 5 (i) α > β + γ Α > (ii) α = β + γ Α = (iii) α < β + γ Α < Επειδή σε κάθε τρίγωνο η µεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι στη µεγαλύτερη γωνία, συγκρίνοντας το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου µε το άθροισµα των τετραγώνων των άλλων πλευρών του, διαπιστώνουµε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αµβλυγώνιο. Β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: α = β + γ βγ συνα. (ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ) 8. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το πρώτο και το δεύτερο θεώρηµα διαµέσων ΙΑΤΥΠΩΣΗ Το άθροισµα των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται µε το διπλάσιο του τετραγώνου της διαµέσου που περιέχεται µεταξύ των πλευρών αυτών, αυξηµένο κατά το µισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται µε το διπλάσιο γινόµενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαµέσου πάνω στην πλευρά αυτή. ηλαδή β + γ = µ α + α ηλαδή β γ = α Μ

6 6 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, η διάµεσος του AM = µ α και το ύψος του Α. Αν ΑΓ > ΑΒ, τότε το ίχνος του ύψους υ α βρίσκεται µεταξύ των Β, Μ και είναι ΑΜΓ >, ενώ ΑΜΒ > Στα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΒ έχουµε: β = µ α α + γ = µ α α + + α Μ α Μ Προσθέτοντας κατά µέλη αυτές τις σχέσεις έχουµε: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, η διάµεσος του AM = µ α και το ύψος του Α. Αν ΑΓ > ΑΒ, τότε το ίχνος του ύψους υ α βρίσκεται µεταξύ των Β, Μ και είναι ΑΜΓ >, ενώ ΑΜΒ > Στα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΒ έχουµε: β = µ α α + γ = µ α α + + α Μ α Μ Αφαιρώντας κατά µέλη αυτές τις σχέσεις έχουµε: β + γ = µ α α + β + γ = µ α + α β γ = α Μ ( α Μ) β γ = α Μ β γ = α Μ ΣΧΟΛΙΑ Μπορούµε να υπολογίσουµε τα τετράγωνα των διαµέσων ενός τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση των πλευρών του α, β, γ µε την βοήθεια του πρώτου θεωρήµατος των διαµέσων ως εξής: β + γ = µ α + α β + γ = µ α + α µ α = β + γ α µ α = και µε κυκλική εναλλαγή των α, β και γ έχουµε για τις άλλες διαµέσους τις σχέσεις β + γ α µ β = α + γ β και µ γ = β + α β 9. Να αποδείξετε ότι αν δυο χορδές ΑΒ, Γ ενός κύκλου τέµνονται σε ένα σηµείο Ρ εσωτερικό του κύκλου, τότε ισχύει: ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ.

7 7 Τα τρίγωνα ΡΑΓ και ΡΒ είναι όµοια, αφού οι γωνίες ΡAΓ = Ρ Β και ΡΓΑ = ΡΒ (ως εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Εποµένως ισχύει: PA PΓ = ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ P PA 0. Να αποδείξετε ότι αν οι προεκτάσεις δύο χορδών ΑΒ, Γ ενός κύκλου τέµνονται σε ένα σηµείο Ρ, τότε ισχύει ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ Τα τρίγωνα ΡΑΓ και ΡΒ είναι όµοια, αφού οι γωνίες ΡAΓ = Ρ Β και ΡΓΑ = ΡΒ (ως εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Εποµένως ισχύει: PA PΓ = ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ P PA. Αν από ένα εξωτερικό σηµείο Ρ κύκλου (O,R) φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΡΕ και µία ευθεία που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α, Β, να αποδείξετε ότι ισχύει: ΡΕ = ΡΑ ΡΒ Τα τρίγωνα ΡΕΑ και ΡΕΒ είναι όµοια γιατί έχουν: ΕΡΑ = ΕΡΑ κοινή γωνία ΡΕΑ = ΕΒΑ από χορδή και εφαπτοµένη Εποµένως ισχύει PE PB = ΡΕ = ΡΑ ΡΒ PA PE

8 ΣΧΟΛΙA 8 A. Αν από σηµείο Ρ εκτός κύκλου φέρουµε την ευθεία ΡΟ που τέµνει τον κύκλο στα Γ και και µια τυχαία τέµνουσα ΡΑΒ και θέσουµε ΟΡ = δ, έχουµε: ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ = (δ R)(δ + R) = δ R Όµοια αποδεικνύεται ότι ΡΑ ΡΒ = R δ, αν το Ρ είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου. Η διαφορά δ R λέγεται δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον κύκλο (O, R) και συµβολίζεται P (O,R) = δ R B. Για οποιοδήποτε σηµείο Ρ του επιπέδου του κύκλου έχουµε: το Ρ είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου (O, R) το Ρ είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου (O, R) το Ρ είναι σηµείο του κύκλου (O, R) P (O,R) = 0 P (O,R) > 0 P (O,R) < 0. Τι ονοµάζεται πολυγωνικό χωριό; Τι ονοµάζεται πολυγωνική επιφάνεια. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πολυγωνικό χωρίο ονοµάζεται ένα οποιοδήποτε πολύγωνο του επιπέδου µαζί µε τα εσωτερικά του σηµεία. Πολυγωνική επιφάνεια ονοµάζεται ένα σχήµα που αποτελείται από πεπερασµένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία. 3. Τι ονοµάζεται εµβαδόν ενός πολυγωνικού χωρίου. Να αναφέρετε τα αξιώµατα που ισχύουν για το εµβαδό ενός πολυγώνου. Πότε δύο πολύγωνα ονοµάζονται ισοδύναµα; ΑΠΑΝΤΗΣΗ

9 9 Έστω, ένα πολυγωνικό χωρίο S, τότε µέτρηση του χωρίου S λέµε τη σύγκρισή του µε ένα άλλο επίπεδο χωρίο σ, το οποίο επιλέγουµε ως µονάδα. Η σύγκριση αυτή οδηγεί σε µια σχέση της µορφής: S = λ σ, όπου λ θετικός αριθµός. Ο θετικός αριθµός λ λέγεται εµβαδόν του πολυγωνικού χωρίου S και συµβολίζεται µε (S). ΣΧΟΛΙΟ Πολλές φορές το εµβαδόν ενός πολυγωνικού χωρίου ή µιας πολυγωνικής επιφάνειας θα το συµβολίζουµε µε το γράµµα Ε.. Να αναφέρετε τα αξιώµατα που ισχύουν για το εµβαδό ενός πολυγώνου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για το εµβαδόν δεχόµαστε ότι ισχύουν τα επόµενα αξιώµατα Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εµβαδά. Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή µια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασµένου πλήθους πολυγωνικά χωρία, που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία, τότε το εµβαδόν του ισούται µε το άθροισµα των εµβαδών των επιµέρους πολυγωνικών χωρίων. Το εµβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς είναι. Αν ένα πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός άλλου πολυγώνου Π, τότε το εµβαδόν του Ρ είναι µικρότερο του εµβαδού του Π. 5. Πότε δύο πολύγωνα ονοµάζονται ισοδύναµα ή ισεµβαδικά; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ισοδύναµα ή ισεµβαδικά ονοµάζονται δύο ή περισσότερα σχήµατα που έχουν το ίδιο εµβαδόν. ΣΧΟΛΙΟ Αν δύο πολυγωνικά χωρία είναι ίσα, τότε έχουν ίσα εµβαδά. Το αντίστροφο δεν ισχύει. 6. ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ = α και Α = β. Να κατασκευάσετε τετράγωνα ΒΓΘΙ και Γ ΕΖ έτσι, ώστε να µην έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία µε το ΑΒΓ. Αν οι προεκτάσεις των ΕΖ και ΙΘ τέµνονται στο σηµείο Η, τότε να αποδείξετε ότι το εµβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράµµου ΑΒΓ είναι Ε ΑΒΓ = α β

10 0 Έστω ένα ορθογώνιο ΑΒΓ, µε ΑΒ = α και Α = β. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε = α, την ΑΒ κατά ΒΙ = β και σχηµατίζουµε το τετράγωνο ΑΙΗΕ, το οποίο έχει πλευρά α + β και εποµένως είναι: (ΑΙΗΕ) = (α + β) (). Προεκτείνοντας τις Γ και ΒΓ σχηµατίζονται τα τετράγωνα ΓΖΕ, ΒΙΘΓ µε πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΓΘΗΖ που είναι ίσο µε το ΑΒΓ. Έτσι έχουµε ( ΓΖΕ)=α, (ΒΙΘΓ) = β και (ΓΘΗΖ) = (ΑΒΓ ) () Είναι φανερό όµως ότι (ΑΙΗΕ) = (ΑΒΓ ) + (ΓΘΗΖ) + (ΒΙΘΓ) + ( ΓΖΕ), από την οποία µε τη βοήθεια των () και () προκύπτει ότι: (α + β) = (ΑΒΓ ) + α + β. α +αβ + β = (ΑΒΓ ) + α + β αβ = (ΑΒΓ ) Άρα (ΑΒΓ ) = α β. 7. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε ενός παραλληλογράµµου ισούται µε το γινόµενο µιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή. ηλαδή είναι : Ε = β υ Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΖ που αντιστοιχεί στη ΒΓ. Από το φέρουµε Η κάθετη στην προέκταση της ΒΓ. Τα τρίγωνα ΖΒΑ και ΗΓ είναι ίσα γιατί Z = H = 90 ΑΒ = Γ και Β = Γ οπότε:

11 Άρα (ΖΒΑ) = (ΗΓ ) (). Από το σχήµα όµως έχουµε ότι (ΑΒΓ ) = (ABZ) + (ΑΖΓ ), οπότε σύµφωνα µε την () προκύπτει ότι: (ΑΒΓ ) = (ΑΖΓ ) + ( ΓΗ) = (ΑΖΗ ). Εποµένως έχουµε ηλαδή είναι: (ΑΒΓ ) = (ΑΖΗ ) = Α ΑΖ = ΒΓ ΑΖ, (ΑΒΓ ) = ΒΓ ΑΖ. 8. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ. Αν υ α είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου δίνεται από την σχέση: Ε = α υα Με πλευρές ΑΒ και ΒΓ σχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, το εµβαδόν του οποίου είναι (ΑΒΓ ) = α υ α (). Όµως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓ είναι ίσα, οπότε: Από το σχήµα έχουµε ότι: (ΑΒΓ) = (Α Γ) (). (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓ ) (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) + (ΑΒΓ) (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) α υ α = (ΑΒΓ), άρα (ΑΒΓ) = ΣΧΟΛΙΟ α υα Με κυκλική εναλλαγή των γραµµάτων α, β και γ έχουµε: (ΑΒΓ) = α υα = β υβ = γ υγ 9. Να αποδείξετε ότι το εµβαδό ενός τραπεζίου µε βάσεις Β, β και ύψος υ δίνεται από τον τύπο (Β + β) Ε = υ. Θεωρούµε τραπέζιο ΑΒΓ (ΒΓ//Α ), µε βάσεις ΒΓ = Β, Α = β και ύψος υ. Φέρουµε τη διαγώνιο ΑΓ. Τότε έχουµε Ε = (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓ ) (). Αλλά τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓ έχουν το ίδιο ύψος υ και βάσεις Β, β αντίστοιχα και εποµένως:

12 (ΑΒΓ) = Β υ και (ΑΒ ) = β υ (), Με αντικατάσταση των σχέσεων () στην () προκύπτει ότι: (Β + β) Ε = (ΑΒΓ) + (ΑΓ ) = Β υ + β υ = υ. ΣΧΟΛΙΟ Το εµβαδόν ενός τραπεζίου επιπλέον, ισούται µε το γινόµενο της διαµέσου επί το ύψος του. ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΕΜΒΑ ΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Η διάµεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα. α Ισόπλευρό µε πλευρά α έχει εµβαδό: Ε= 3 Το εµβαδό ενός τετραπλεύρου µε διαγώνιες κάθετες ισούται µε το ηµιγινόµενο των διαγωνίων του δ και δ. 0. Να αποδείξετε ότι το εµβαδό ενός τριγώνου ισούται µε Ε= τ ρ όπου τ είναι η ηµιπερίµετρος και ρ η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ο εγγεγραµµένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουµε τα τµήµατα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο

13 3 ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία. Είναι : (ΑΒΓ) = (ΑΙΒ) + (ΒΙΓ) + (ΓΙΑ) = = α ρ + β ρ + γ ρ = = (α + β +γ) ρ = τ ρ = τ ρ. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ εγγεγραµµένο σε κύκλο µε ακτίνα R και Α το ύψος του. α) Να φέρετε την διάµετρο ΑΕ του κύκλου και να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΕΓ είναι όµοια. β) Να υπολογίσετε το ύψος Α του τριγώνου ως συνάρτηση των πλευρών του β και γ και της ακτίνας R του περιγεγραµµένου του κύκλου. α β γ γ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδό Ε του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο Ε= R α) Θεωρούµε τη διάµετρο Α. Τα τρίγωνα ΑΗΓ και ΑΒ είναι όµοια, αφού B = H = και Γ = ως εγγεγραµµένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. β) Από την οµοιότητα των τριγώνων έχουµε ότι: AH AΓ = ΑΒ ΑΓ = Α ΑΗ βγ = Rυ α. AB A γ) Από την σχέση βγ = Rυ α έχουµε ότι υ α = βγ α β γ Ε = α υα = α = R R βγ. Οπότε για το εµβαδό Ε του τριγώνου ΑΒΓ έχουµε: R. Για το εµβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ να αποδείξετε ότι το εµβαδό του δίνεται από τον τύπο Ε= β γ ηµα.

14 Nα γραφτεί ο προηγούµενος τύπος µε κυκλική εναλλαγή των γραµµάτων του για όλες τις γωνίες του τριγώνου. ιακρίνουµε τις περιπτώσεις Αν A>, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΑ έχουµε ηµα = υ β γ υ β = γηµα άρα το εµβαδό Ε του τριγώνου είναι: Ε = β υβ = β γηµα Αν A >, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΑ προκύπτει ότι: ηµ(80 ο - Α) = υ β γ υ β = γηµ(80 ο - Α) = γηµα άρα το εµβαδό Ε του τριγώνου είναι: Ε = β υβ = β γηµα Αν A =, τότε υ β = γ, εποµένως πάλι ο τύπος ισχύει Άρα σε κάθε περίπτωση έχουµε: Ε = β γηµα ΣΧΟΛΙΟ α β γ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση = = = R, όπου R είναι η ακτίνα του ηµα ηµβ ηµγ περιγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου. Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ο νόµος των ηµιτόνων. 3. Να αποδείξετε ότι αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εµβαδών τους ισούται µε το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εµβαδών τους ισούται µε το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. Θεωρούµε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ µε εµβαδά Ε και Ε αντίστοιχα µε α, α και υ α, υ α οι βάσεις τους και τα αντίστοιχα ύψη τους. Θα αποδείξουµε τις συνεπαγωγές : Ε υ α = α, = α Ε υα Ε α υ α = υ α, = Ε α Για τα εµβαδά Ε και Ε των τριγώνων είναι Ε = α υα και Ε = α υα

15 5 Ε α υ Και διαιρώντας κατά µέλη προκύπτει: = α Ε α υα Από την τελευταία σχέση προκύπτουν οι ζητούµενες συνεπαγωγές.. Αν δύο τρίγωνα είναι όµοια µε λόγο οµοιότητας λ να αποδείξετε ότι ο λόγος των εµβαδών τους Ε είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας, δηλαδή = λ. Ε Έστω τα όµοια τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' µε A = A' και Β = B'. α υ Τότε = α α υα = λ (), όπου λ ο λόγος οµοιότητας. Για τα εµβαδά Ε και Ε των τριγώνων είναι Ε = α υα και Ε = α υα που διαιρώντας κατά µέλη Ε υ προκύπτει: = α Ε α υα α ) ( α α = = λ λ = λ. α α 5. Να δείξετε ότι ο λόγος των εµβαδών δύο όµοιων πολυγώνων είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας τους. Θεωρούµε δυο όµοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα ΑΒΓ Ε και Α'Β'Γ' 'Ε' µε λόγο οµοιότητας λ, τότε ισχύουν οι αναλογίες Φέρουµε τις διαγώνιους των πολυγώνων από τις κορυφές Α και Α', οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθµα τρίγωνα όµοια µεταξύ τους. Αν Ε, Ε, Ε 3 και Ε', Ε', Ε' 3 είναι τα εµβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, τότε έχουµε : E AB = = λ E E και αντίστοιχα έχουµε: E A B = 3 E E = λ, εποµένως είναι: 3

16 6 λ E E = = E E E = 3 E E = + E + E 3 E + E + E 3 3 ( ΑΒΓ Ε) = ( Α Β Γ Έ ) 6. Aν µια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση µε µια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εµβαδών τους είναι ίσος µε τον λόγο των γινοµένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. Θεωρούµε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' και διακρίνουµε τις περιπτώσεις. Αν A = A' τότε ηµα = ηµα και ισχύει: Ε = Ε βγηµα = β γ ηµα βγ β γ Αν A + A' = 80 Α = 80 ο Α τότε ηµα = ηµ(80 ο Α ) = ηµα', και πάλι ισχύει: Ε = Ε βγηµα = β γ ηµα βγ β γ 7. Πότε ένα πολύγωνο ονοµάζεται κανονικό; Να αποδείξετε ότι σε κάθε κανονικό πολύγωνο µε ν πλευρές η γωνία του φ ν είναι ίση µε 80 ο ο 360. ν ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ένα πολύγωνο ονοµάζεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Έστω Α Α...Α ν ένα κανονικό πολύγωνο µε ν πλευρές και έστω A = A =... = A ν = φ ν Επειδή το άθροισµα των γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι (ν - )80, θα έχουµε: φ ν + φ ν + + φ ν = (ν ) 80 ν φ ν = 80 ν 360 o o 80 ν 360 φ ν = φ ν = 80 ο ν ν ο 360 ν

17 7 8. Να αποδείξετε ότι δύο κανονικά πολύγωνα µε τον ίδιο αριθµό πλευρών είναι όµοια. Θεωρούµε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ, Α'Β'Γ'...Τ' µε τον ίδιο αριθµό πλευρών ν. Τότε η γωνία καθενός είναι ν, άρα είναι ίσες, δηλαδή ισχύει: A = A, Β = Β',..., Τ = Τ' (). Επίσης, έχουν και τις πλευρές τους ίσες, δηλαδή ισχύει: ΑΒ = ΒΓ =... = ΤΑ και Α'Β' = Β'Γ' =... = Τ'Α' Άρα AB A' B' BΓ TA = =... = () B' Γ' T' A' Από τις () και () προκύπτει ότι τα πολύγωνα ΑΒΓ... Τ και Α'Β'Γ'...Τ' είναι όµοια. ΣΧΟΛΙΑ Α. Κάθε κανονικό πολύγωνο έχει έναν περιγεγραµµένο και έναν εγγεγραµµένο κύκλο που έχουν κοινό κέντρο. Β. Το κοινό κέντρο των δύο αυτών κύκλων λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Γ. Η ακτίνα R του περιγεγραµµένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου.. Η απόσταση του κέντρου του πολυγώνου από µια πλευρά του, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου λέγεται απόστηµα του πολυγώνου. Ε. Η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου 9. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΣΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ R η ακτίνα του κύκλου µέσα στο οποίο συνήθως σχεδιάζουµε κανονικό πολύγωνο δ η διάµετρος του προηγούµενου κύκλου. ν ο αριθµός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου λ ν η πλευρά ενός κανονικού πολυγώνου α ν το απόστηµα ενός κανονικού πολυγώνου. ω ν η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου φ ν η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου Ε ν το εµβαδό ενός κανονικού πολυγώνου P ν η περίµετρος ενός κανονικού πολυγώνου

18 8 30. Να αποδείξετε ότι σε κάθε κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R ισχύει: λ ν + α ν = R Έστω ΑΒΓ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λ ν η πλευρά του και OH = α ν το απόστηµά του. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟΑ, µε εφαρµογή του Πυθαγόρειου θεωρήµατος προκύπτει OH +HA =OA λ ν + α ν = R 3. Να αποδείξετε ότι σε κάθε κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R ισχύουν οι 360 o σχέσεις: α) Ρ ν = ν λ και β) ω ν = ν Έστω ΑΒΓ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λ ν η πλευρά του και OH = α ν το απόστηµά του. α) Επειδή ΑΒ = ΒΓ =... = ΤΑ = λ ν, θα είναι Ρ ν = ν λ ν. β) Επειδή AB = BΓ =... = TA θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ =... = ΤÔΑ = ω ν και αφού οι γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ,... και ΤÔΑ έχουν άθροισµα 360, έχουµε: o 360 ν ω ν = 360 ω ν = ν 3. Να αποδείξετε ότι σε κάθε καν. πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R ισχύει Ε ν = Ρν α ν. Έστω ΑΒΓ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λ ν η πλευρά του και OH = α ν το απόστηµά του. Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ,..., ΟΤΑ είναι ίσα, άρα και ισεµβαδικά και εποµένως έχουµε: Ε ν = ν (ΟΑΒ) = ν ΑΒ ΟΗ = ν λν α ν = ν λν.(αφού Ρ ν = νλ ν )

19 9 33. Να αποδείξετε ότι σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται µε το λόγο των λ ν R ν α ακτίνων τους και το λόγο των αποστηµάτων τους. ηλαδή ισχύει: = = λ ν R' ν α ν Έστω δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και Α'Β Τ'...Τ' µε το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν 3) και Ο, Ο' τα κέντρα τους. Τα τρίγωνα ΟΑΒ και Ο'Α'Β' είναι όµοια γιατί είναι ισοσκελή και o 360 έχουν ΑÔΒ = Α'Ô'Β' = ν εποµένως, AB A' B' OA OH = = O' A' O' H' λ ν λ ν = R ν α = R' ν α ν όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. 3. Σε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε τετράγωνο και να υπολογίσετε το απόστηµα και την πλευρά του ως συνάρτηση της ακτίνας του. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Έστω ένας κύκλος (Ο,R). Για την κατασκευή τετραγώνου φέρουµε δύο κάθετες διαµέτρους ΑΓ και Β, τότε θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ = ΓÔ = ÔΑ = 90, οπότε ΑΒ = BΓ = Γ = Α και εποµένως το ΑΒΓ είναι τετράγωνο. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΛΕΥΡΑΣ Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ µε εφαρµογή του Πυθαγόρειου θεωρήµατος έχουµε ΑΒ = ΟΑ + ΟΒ λ = R + R λ = R λ = R ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΣΤΗΜΑΤΟΣ λ Ισχύει: + α = R α = R λ = R R = R R = R α = R εποµένως α = R R R = = α = R

20 0 35. Σε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε κανονικό εξάγωνο και να υπολογίσετε το απόστηµα και την πλευρά του ως συνάρτηση της ακτίνας του. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Έστω ένας κύκλος (Ο,R), για την κατασκευή κανονικού εξαγώνου παίρνουµε πάνω στον κύκλο έξι διαδοχικά τόξα ΑΒ, BΓ, Γ, Ε, ΕΖ και ΖΑ µε αντίστοιχη χορδή R, το καθένα. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΛΕΥΡΑΣ Είναι ΑÔΒ = ω 6 = 60 και επειδή OA = OB (=R) το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. Άρα AB = OA = R, δηλαδή λ 6 = R ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΣΤΗΜΑΤΟΣ λ 6 Ισχύει: + α 6 = R α 6 = R λ 6 = R R = R R = 3R 3R 3R R 3 R 3 α 6 = α 6 = = δηλαδή α 6 = 36. Σε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε ισόπλευρο τρίγωνο και να υπολογίσετε το απόστηµα και την πλευρά του ως συνάρτηση της ακτίνας του. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Έστω ένας κύκλος (Ο,R), για την κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουµε τα σηµεία Α, Β, Γ,, Ε και Ζ που διαιρούν τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα, τότε τα σηµεία Α, Γ, Ε είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου, αφού ΑΓ = ΓΕ = ΕΑ = 0. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΛΕΥΡΑΣ Επειδή ΑΓ = 80, η Α είναι διάµετρος και εποµένως το τρίγωνο ΑΓ είναι ορθογώνιο, οπότε λ 3 = ΑΓ = Α - Γ = (R) - R = 3R λ 3 = 3R λ 3 = 3R = R 3, δηλαδή είναι λ 3 = R 3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΣΤΗΜΑΤΟΣ λ 3 Ισχύει: + α 3 = R α 3 = R λ 3 = R R 3 = R 3R = R α 3 = R α 3 = R R R = δηλαδή α 6 =

21 37. Ο αριθµός π L Έστω κύκλος µε διάµετρο R. Aν συµβολίσουµε µε L το µήκος του τότε λόγος του µήκους του R κύκλου προς τη διάµετρό του είναι σταθερός, δηλαδή είναι ο ίδιος για κάθε κύκλο. Η σταθερή αυτή τιµή του λόγου ΣΧΟΛΙΑ L R συµβολίζεται διεθνώς µε το Ελληνικό γράµµα π (αρχικό της λέξης περιφέρεια) ηλαδή π = Α. Ο αριθµός π είναι ένας άρρητος, υπερβατικός αριθµός και µια προσέγγισή του, που στην πράξη χρησιµοποιείται, είναι π 3,. Β. Ο Αρχιµήδης χρησιµοποιούσε ως προσέγγιση του π το 7 L R 38. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΙΣΧΥΟΥΝ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ. Το µήκος L του κύκλου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση L = πr. Ένα τόξο l, µετρηµένο σε µοίρες µ ο πrµ, κύκλου ακτίνας R έχει µήκος l = Ακτίνο (rad) ονοµάζεται ένα τόξο κύκλου µε µήκος R.. Ένα τόξο l, µετρηµένο σε ακτίνια α, κύκλου ακτίνας R έχει µήκος l = αr 5. Η σχέση που µετατρέπει µια γωνία από µοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα είναι: µ α = 80 π 6. Το εµβαδόν Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση E = πr. 7. Θεωρούµε έναν κύκλο (O,R) και µία επίκεντρη γωνία ΑÔΒ. Το σύνολο των κοινών σηµείων της επίκεντρης γωνίας ΑÔΒ και του κυκλικού δίσκου (O,R) λέγεται κυκλικός τοµέας κέντρου Ο και ακτίνας R. Το εµβαδόν ενός κυκλικού τοµέα (ΟΑΒ) δίνεται από τις σχέσεις: (Ο AB ) = πr µ = αr Έστω ένας κύκλος (O,R) και µια χορδή του ΑΒ. Η ΑΒ χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο µέρη που βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής. Καθένα από αυτά τα µέρη λέγεται κυκλικό τµήµα. Το εµβαδόν ε του κυκλικού τµήµατος που περιέχεται στην κυρτή γωνία ΑΟΒ είναι ε = (Ο AB ) ( ΟΑΒ)

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου ΚΦΩΝΗΣΙΣ Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο:

Ερωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο: ρωτήσεις ανάπτυξης. α) πό το ορθογώνιο τρίγωνο, έχουµε: - () λλά R, R, αφού η γωνία 0. () γίνεται: (R) - R R - R R Άρα R cm H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α 6 cm. β) Το 6 7 cm. B A H O. κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 0/6/0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ. ΚΦΑΛΑΙΟ 11. Παραθέτουμε για εύκολη αναφορά το πινακάκι με την αντιστοιχία χορδών-αποστημάτων-τόξων που χρειάζεται σε όλες σχεδόν τις παρακάτω ασκήσεις Κανονικό εξάγωνο Πλευρά λν Χορδή λ = Απόστημα α =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου.

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μέρος Α Θεωρία. 1. Ποια γωνία λέγετε εγγεγραμμένη σε κύκλο; 2. Ποιο είναι το αντίστοιχο τόξο εγγεγραμμένης γωνίας; 3. Με τι είναι ίση κάθε εγγεγραμμένη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β 0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα