ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Καθηγητές Α. Μπούντης Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ Β ΠΡΟΟΔΟΥ

Transcript

1 ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Καθηγητές Α Μπούντης Σ Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ Β ΠΡΟΟΔΟΥ Για να γίνουν κατανοητά τα βήματα μελέτης των κεντρικών πεδίων δυνάμεων (Θέμα Ι) και της δυναμικής και των κινήσεων των στερεών σωμάτων στο χώρο (Θέμα ΙΙ), είναι απαραίτητο να τα εφαρμόσετε προσε- κτικά σε συγκεκριμένα παραδείγματα όπως αυτά που δίνονται στα αντίστοιχα κεφάλαια του βιβλίου Κατά την προφορική εξέταση μπορείτε να συμβουλεύεστε τις προσωπικές σας σημειώσεις στις οποίες θα έχετε ήδη αναπτύξει τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα που ακολουθούν και τα παραδείγματά σας ΘΕΜΑ Ι ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΕ ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Αφού δώσετε τον ορισμό των κεντρικών πεδίων δυνάμεων και αποδείξετε ότι σε αυτά τα πεδία δυνάμεων η κίνηση μιας σημειακής μάζας πραγματοποιείται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από το κέντρο του πεδίου, την αρχική θέση και την αρχική ταχύτητα της σημειακής μάζας, διαπιστώστε ότι στις πολικές συντεταγμένες αυτού του επιπέδου οι εξισώσεις κίνησης γράφονται ως εξής: m r(t) mr(t) θ 2 (t) = f (r) r(t) θ(t) + 2 r(t) θ(t) = 0 Αφού υπενθυμίσετε γιατί στα κεντρικά πεδία δυνάμεων, κατά τη διάρκεια της κίνησης μιας σημειακής μάζας η ενεργειακή της τιμή και η στροφορμή της διατηρούνται σταθερές, δείξτε ότι στις πολικές συντεταγμένες του επιπέδου κίνησης ισχύουν οι εκφράσεις: Ω o = mr 2 (t) θ(t) = U(r) + m ( 2 r 2 (t) + r 2 (t) θ 2 (t)) Υπενθυμίστε γιατί στα κεντρικά πεδία δυνάμεων, κατά την κίνηση μιας σημειακής μάζας, το διάνυσμα της θέσης της σε ισόχρονα διαστήματα σαρώνει στο επίπεδο της κίνησης ισοεμβα- δικά χωρία (Νόμος Kepler) Με δεδομένη την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα μιας σημειακής μάζας που κινείται σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάμεων, προκειμένου να προσδιορίσουμε την τροχιά της κάνουμε αναγωγή σε μια προσαρτημένη μονοδιάστατη κίνηση Αφού εξηγήσετε τη διαδικασία αυτής της αναγω- γής, αποδείξτε τη σύμπτωση της ενεργειακής τιμής της σημειακής μάζας με εκείνη της μονοδι- άστατης κίνησης Ποια είναι η πρακτική χρησιμότητα αυτής της ενεργειακής σύμπτωσης; Δείξτε ότι στα κεντρικά πεδία δυνάμεων η τροχιά μιας σημειακής μάζας ορίζεται στις πολικές συντεταγμένες του επιπέδου κίνησης από την ακόλουθη σχέση στην οποία υπεισέρχεται το ενεργό δυναμικό και η σταθερή ενεργειακή τιμή της: θ θ o = ± Ω o 2m r 2 dr V(r) Αποδείξτε ότι, με δεδομένη την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα μιας σημειακής μάζας που κινείται σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάμεων, η τροχιά της διαγράφεται σε ένα χωρίο του επιπέ- δου κίνησης που πληροί την ακόλουθη ανισωτική σχέση στην οποία υπεισέρχεται το ενεργό δυναμικό και η σταθερή ενεργειακή τιμή της σημειακής μάζας: V(r)

2 Σαφέστερα, δείξτε ότι αυτό το χωρίο επιτρεπτών κινήσεων διαμερίζεται από έναν ή περισσό- τερους δακτυλίους ομόκεντρων κύκλων με ακτίνες τις ρίζες της εξίσωσης: V(r) = Διαπιστώστε ότι υφίσταται το ενδεχόμενο εκφυλισμού κάποιου από αυτούς τους δακτυλίους σε κύκλο και στην περίπτωση αυτή η σημειακή μάζα μπορεί να διαγράψει κυκλική τροχιά με συγκεκριμένη ενεργειακή τιμή Επίσης, ανάλογα με την ενεργειακή τιμή της σημειακής μάζας, δείξτε ότι υφίσταται το ενδεχόμενο ύπαρξης μη φραγμένων τροχιών που εξελίσσονται στο εξωτερικό του ευρύτερου δακτυλίου στο επίπεδο της κίνησης Δείξτε ότι, με δεδομένη την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα της σημειακής μάζας, η τροχιά της διατηρεί σταθερή φορά και όταν εξελίσσεται στο εσωτερικό ενός δακτυλίου τότε διέρχε- ται εφαπτομενικά από τις αψίδες της κίνησης, δηλαδή τα περίκεντρα και τα απόκεντρα Δια- πιστώστε ότι κάθε άξονας που ορίζεται από το κέντρο του πεδίου και μια αψίδα είναι άξονας συμμετρίας της τροχιάς, άρα αν προσδιοριστεί το τμήμα της τροχιάς μεταξύ δυο διαδοχικών αψίδων τότε διαμέσου της συμμετρίας καθορίζεται πλήρως σε όλο το δακτύλιο Δείξτε ότι όταν η τροχιά εξελίσσεται στο εσωτερικό ενός δακτυλίου τότε η γωνία που ορίζεται από το κέντρο του πεδίου και δυο διαδοχικές αψίδες παραμένει σταθερή και στις πολικές συν- τεταγμένες υπολογίζεται ως εξής: Θ = Ω o 2m r max r 2 r min dr V(r) Δείξτε ότι αν το μέτρο αυτής της γωνίας είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π τότε η τροχιά της σημειακής μάζας είναι περιοδική και επανέρχεται στο αρχικό της σημείο με ίδια ταχύτητα, ενώ, σε αντίθετη περίπτωση, είναι τοπολογικά παντού πυκνή στο εσωτερικό του δακτυλίου Ασκήσεις Μπορείτε να ασκηθείτε στα προηγούμενα ζητήματα επιλέγοντας και μελετώντας κάποιες από τις ασκήσεις του βιβλίου στις σελίδες 146, 147, 148, 149 TO ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ KAI OI ΤΡΟΧΙΕΣ ΤΩΝ ΟΥΡΑΝΙΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Μια ειδική περίπτωση κεντρικού πεδίου δυνάμεων αποτελεί το βαρυτικό πεδίο δυνάμεων που υπακούει στο νόμο της παγκόσμιας έλξης και ορίζεται από το δυναμικό Kepler : U(r) = k / r, k + Διατυπώστε την έκφραση του βαρυτικού πεδίου δυνάμεων στις καρτεσιανές χωρικές συντε- ταγμένες και εξετάστε όλα τα προηγούμενα ερωτήματα στην ειδική αυτή περίπτωση Δείξτε ότι στο βαρυτικό πεδίο δυνάμεων οι τροχιές των κινήσεων αντιστοιχούν σε κωνικές τομές και συγκεκριμένα όταν η ενεργειακή τιμή μιας κίνησης είναι E διαπιστώστε ότι: 1 < 0 έλλειψη, = 0 παραβολή, > 0 υπερβολή o 1 Στην περίπτωση των πλανητών η κίνηση γύρω από τον ήλιο είναι ελλειπτική όπως ακριβώς το είχε πει ο Kepler και το είχε αποδείξει ο Νεύτωνας Εντούτοις, η τροχιά ενός σώματος στο ηλιακό σύστημα δεν είναι αναγκαστικά ελλειπτική αλλά μπορεί να είναι παραβολική ή υπερβολική και στην περίπτωση αυτή τα σώ- ματα εισέρχονται στο ηλιακό σύστημα και κατόπιν το εγκαταλείπουν χωρίς ενδεχόμενο επιστροφής 2

3 ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΕΝΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 3

4 Εφαρμογή Μια σημειακή μάζα κινείται υπό την επίδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάμεων και δίνεται το γράφημα του ενεργού δυναμικού που αντιστοιχεί σε αυτή την κίνηση: Αν η ενεργειακή τιμή της σημειακής μάζας κατά τη διάρκεια της κίνησής της είναι η τιμή Ε ο που σημειώνεται στο γράφημα του ενεργού δυναμικού, περιγράψτε το είδος της τροχιάς της Ποιο είναι το είδος της τροχιάς της σημειακής μάζας στην περίπτωση όπου η ενεργειακή της τιμή είναι γνήσια θετική και στην περίπτωση μηδενικής ενεργειακής τιμής; Αν το κεντρικό πεδίο δυνάμεων ορίζεται από το δυναμικό Kepler, δείξτε ότι οι ακτίνες των δακτυλίων επιτρεπτής κίνησης δίνονται από τις ρίζες του ακόλουθου τριωνύμου και ανά- λογα με τη φύση των ριζών υποδείξτε τη φύση της τροχιάς: Διαπιστώστε ότι : r 2 + k r Ω o 2 / 2m = 0 - αν = mk 2 / 2Ω o 2 τότε η τροχιά είναι κυκλική αν mk 2 / 2Ω o 2 < < 0 τότε η τροχιά είναι ελλειπτική αν = 0 τότε η τροχιά είναι παραβολική αν > 0 τότε η τροχιά είναι υπερβολική Σας προτείνουμε να αναζητήσετε μια συγκεκριμένη αρχική θέση και αρχική ταχύτητα της σημειακής μάζας έτσι ώστε η τροχιά της να είναι κυκλική ΘΕΜΑ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Το πρόβλημα της κίνησης ενός στερεού σώματος στο χώρο συνίσταται στο εξής: Γνωρίζοντας την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα ενός δεδομένου σημείου του στερεού σώματος ζητάμε να προβλέψουμε και να μάθουμε τη θέση του και την ταχύτητά του στην κάθε μελλοντική χρονική στιγμή της κίνησής του στο χώρο υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων 1 Η αρχή για τη μελέτη των κινήσεων ενός στερεού σώματος δίνεται από το σπουδαίο θεώρημα των Michel Chasles ( ) και Leonhard Euler ( ) : Η κίνηση ενός στερεού σώματος στον χώρο αποσυντίθεται κάθε χρονική στιγμή σε μεταφορική και στροφική κίνηση γύρω από ένα στιγμιαίο άξονα περιστροφής Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε στην πράξη αυτό το θεώρημα 2 Το κεντρικό ζητούμενο που απαντά στο πρόβλημα της κίνησης ενός στερεού σώματος στο χώρο είναι, εκτός βέβαια από τον προσδιορισμό της κίνησης του αδρανειακού του κέντρου που καλύπτεται από την εξίσωση του Νεύτωνα, ο προσδιορισμός του τελεστή περιστροφής: S : I SO(3), S(0) = I 3 4

5 Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε την πρακτική σημασία της γνώσης του τελεστή περιστροφής Αν γνωρίζουμε την γωνιακή ταχύτητα της στροφικής κίνησης του στερεού σώματος στο χώρο, εξηγείστε γιατί ο τελεστής περιστροφής δίνεται από την εξίσωση: S(t) = S(t)L ω (t), S(0) = I 3 3 Η γνώση της γωνιακής ταχύτητας ενός στερεού σώματος κατά την στροφική του κίνηση στο χώρο δίνεται από την εξίσωση του Euler Για να διαμορφωθεί η εξίσωση αυτή χρειάζεται να κατασκευαστεί ο τελεστής αδράνειας του στερεού σώματος: I: 3 3 Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε τον τρόπο κατασκευής του τελεστή αδράνειας ενός στερεού σώματος λαμβάνοντας υπόψη την κατανομή της μάζας του και τις αδρανειακές ροπές του Τι υποδηλώνουν οι ιδιοτιμές αυτού του γραμμικού τελεστή; 4 Η γνώση του τελεστή αδράνειας ενός στερεού σώματος επιτρέπει να προσδιορίσουμε το σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων όπου η εξίσωση του Euler αποκτά την πιο απλή έκφρασή της, η οποία όταν δεν υφίστανται ροπές εξωτερικών δυνάμεων έχει ως εξής: I( ω(t)) + ω(t) I( ω(t)) = 0 Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε το γιατί και το πώς η γωνιακή ταχύτητα του στερεού σώματος, όταν δεν υφίστανται ροπές εξωτερικών δυνάμεων, υπολογίζεται από την επίλυση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων: ω 1 (t) + I 3 I 2 ( ) ω 2 (t) ω 3 (t) = 0, I 2 ω 2 (t) + ( I 3 ) ω 3 (t) ω 1 (t) = 0, I 3 ω 3 (t) + ( I 2 ) ω 1 (t) ω 2 (t) = 0 5 Η κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος διασπάται σε στροφική και μεταφορική κινητική ενέργεια και, εφόσον γνωρίζουμε τον τελεστή αδράνειας, υπολογίζεται ως εξής: K(t) = 1 2 < I( ω(t)), ω(t) > m R ο (t) 2 Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε το γιατί και το πώς προκύπτει αυτή η διάσπαση της κινητικής ενέργειας και το τι σημαίνει η αρχή διατήρησης της στροφικής κινητικής ενέργειας ενός στερεού σώματος κατά την στροφική του κίνηση στο χώρο 6 Αν η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων στο στερεό σώμα είναι μηδενική, τότε η στροφική κινητική του ενέργεια και η στροφορμή του διατηρούνται σταθερές και, στο σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων του στερεού σώματος, αυτό δηλώνεται ως εξής: ω 1 2 (t) + I 2 ω 2 2 (t) + I 3 ω 3 2 (t) = 2K o, 2 ω 1 2 (t) + I 2 2 ω 2 2 (t) + I 3 2 ω 3 2 (t) = Ω o2 Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε το γιατί και το πώς προκύπτουν αυτές οι δυο αρχές διατήρησης και το πώς αξιοποιούνται στην πράξη 7 Αν η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων στο στερεό σώμα είναι μηδενική, οπότε ισχύουν οι αρχές διατήρησης της στροφικής κινητικής ενέργειας και της στροφορμής, τότε ορίζονται τα δυο αντίστοιχα ελλειψοειδή αδράνειας του στερεού σώματος: { }, E Ωo = { ξ 3 / I( ξ) = Ω o } E Ko = ξ 3 / < I( ξ), ξ >= 2K o Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε το γιατί και το πώς προκύπτουν αυτά τα δυο ελλειψοειδή αδράνειας και ότι, κατά την στροφική κίνηση του στερεού σώματος, το άκρο του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας εξελίσσεται στην τομή των δυο αυτών ελλειψοειδών 8 Με δεδομένες τις αρχές διατήρησης της στροφικής κινητικής ενέργειας και της στροφορμής, ανάλογα με τη φύση των ιδιοτιμών του τελεστή αδράνειας του στερεού σώματος, η τομή των 5

6 ελλειψοειδών αδράνειας, στην οποία εξελίσσεται το άκρο του διανύσματος της γωνιακής ταχύ- τητας, σχηματοποιείται στα τρία ακόλουθα πρότυπα: < I 2 < I 3 = I 2 < I 3 = I 2 = I 3 Ερώτημα Δώστε τις διευκρινίσεις που θα επιτρέψουν να κατανοήσουμε το γιατί και το πώς προκύπτουν τα τρία αυτά πρότυπα και το πώς στην πράξη αντιλαμβανόμαστε τη φύση των καταστάσεων ισορροπίας 9 Ο θεσεογραφικός χώρος ενός στερεού σώματος ορίζεται αφενός από τις θέσεις που έχει τη δυνατότητα να καταλάβει στο χώρο το αδρανειακό του κέντρο στον ευκλείδειο χώρο και αφε- τέρου από τις στροφικές χωρικές διευθετήσεις του στερεού σώματος στον ευκλείδειο χώρο οι οποίες αναπαρίστανται στην ομάδα των χωρικών στροφών SO(3) Ερώτημα Διευκρινίστε το πώς αξιοποιείται το γεωμετρικό αυτό πρότυπο του θεσεογραφικού χώρου των στερεών σωμάτων σε συνδυασμό με την εξίσωση του Νεύτωνα που δίνει την τροχιά του αδρανειακού του κέντρου και την εξίσωση του Euler που δίνει την στροφική του κίνηση στο χώρο ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ Τα θέματα που ακολουθούν δεν αποτελούν αντικείμενο της εξέτασής σας αλλά μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο του ενδιαφέροντός σας για εμβάθυνση στο ζήτημα των κινήσεων των ουρανίων σωμάτων 1 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΛΑΝΗΤΩΝ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΗΛΙΟ Κάποτε πίστεψαν στην ύπαρξη ενός πλανήτη, του Ήφαιστου, που περιφερόταν γύρω από τον Ήλιο, πλησιέστερα από ότι ο Ερμής, σε μέση απόσταση 0,2 AU Αν αυτός ο πλανήτης υπήρχε, σε πόσα γήινα χρόνια θα πραγματοποιούσε μια πλήρη περιφορά γύρω από τον Ήλιο; Ανάμεσα στους πλανήτες Άρη και Δία υπάρχει ένα πλήθος αστεροειδών που κινούνται σε μια ζώνη με μέση απόσταση 2,8 AU από τον Ήλιο Κάποιοι εικάζουν ότι ίσως αυτοί οι αστεροειδείς να προέκυψαν από την έκρηξη ενός άγνωστου πλανήτη που υπήρχε κάποτε στο ηλιακό σύστημα Το 1772, όταν δεν ήταν ακόμη γνωστή η ύπαρξη των αστεροειδών, δημοσιεύτηκε από τον Johann Bode μια παρατήρηση με μορφή εμπειρικού κανόνα που έως σήμερα παραμένει χωρίς θεωρητική θεμελίωση Συγκεκριμένα, αριθμώντας τους πλανήτες διαδοχικά από τον Ερμή έως τον Πλούτωνα και συμβολίζοντας με r n AU τη μέση απόσταση του n- οστού πλανήτη από τον Ήλιο, εντοπίστε σε ημιλογαριθμική κλίμακα τα αντίστοιχα σημεία με τεταγμένες r n 4 AU, n>1 Θεωρώντας σε αυτή τη διαδικασία και τον άγνωστο πλανήτη, και επαναλαμβάνοντας την αρίθμηση, διαπιστώστε ότι τα σημεία έξι πλανητών κείνται στην ίδια ευθεία σύμφωνα με τη σχέση r n =2 n c+0,4 AU υπολογίστε την τιμή της σταθεράς c 2 ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΟΥ ΣΕ ΤΡΟΧΙΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ Αν ένα σώμα εκτοξευτεί από την επιφάνεια της γης με ταχύτητα μικρότερη των 11,2km/s αποδείξτε ότι δεν θα μπορέσει να εγκαταλείψει το πεδίο της γήινης βαρύτητας και αν εκτοξευτεί με ταχύτητα μικρότερη των 16,6km/s δεν θα μπορέσει να εγκαταλείψει το ηλιακό μας σύστημα 6

7 Κατά την τοποθέτηση ενός δορυφόρου γύρω από τη γη σε κυκλική τροχιά ακτίνας 300 km, η o διεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας υπέστη απόκλιση προς την πλευρά της γης κατά 1 Επαληθεύστε ότι το περίγειο της τροχιάς θα μειωθεί περίπου κατά 110 km 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Στο βιβλίο Κίνηση Διαστημοπλοίων του V Béletski, Εκδόσεις Naouka, Μόσχα 1972,- βλ επίσης Μαθηματικές Μέθοδοι Κλασικής Μηχανικής, V I Arnold, Εκδόσεις Mir, Μόσχα 1976, -, τίθεται το εξής ενδιαφέρον ερώτημα : Όταν ο κοσμοναύτης A Léonov βγήκε έξω από το διαστημόπλοιό του, ενώ αυτό εκτελούσε κυκλική τροχιά γύρω από τη γη, έριξε προς την πλευρά της γης το φακό της κάμεράς του με ταχύτητα 10m/sec Ποια τροχιά διέγραψε ο φακός; Το βιβλίο δίνει ως απάν- τηση ότι, αναφορικά προς το διαστημόπλοιο, ο φακός διέγραψε ελλειπτική τροχιά της οποίας ο μεγάλος άξονας είχε μήκος 32 km και ο μικρός άξονας 16 km περίπου Επίσης, ότι ο φακός αφού διήνυσε στην τροχιά του σε μιάμιση ώρα περίπου 30 km, τότε ο Léonov τον είδε να περνά δίπλα του, σε απόσταση μερικών δεκάδων μέτρων, στην αντίθετη πλευρά από εκείνη που έβλεπε τη γη Σας προτείνουμε να κάνετε τους δικούς σας υπολογισμούς και να διασταυρώσετε το συμπέρασμά σας με την απάντηση που δίνεται στο βιβλίο του V Béletski Ίσως η σχηματική παράσταση που παραθέτουμε, της τροχιάς του διαστημοπλοίου γύρω από τη γη και του φακού γύρω από το δια- στημόπλοιο, σας βοηθήσει στους συλλογισμούς σας που όπως είναι λογικό πρέπει να βασιστούν στο νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα 7