ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ Διαπανεπιστημιαό Διατμηματιό Πρόγραμμα Μεταπτυχιαών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΚΥΡΗΝΑΙΟΥ. Ει.: Στοιχεία Ευλείδη ΙΙ.5 ΚΑΛΗΣΠΕΡΗ ΔΗΜΗΤΡΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΤ. ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ ΑΘΗΝΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 008 1

2 Η παρούσα Διπλωματιή Εργασία επονήθηε στα πλαίσια των σπουδών για την απότηση του Μεταπτυχιαού Διπλώματος Ειδίευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιαό Διατμηματιό Πρόγραμμα Μεπταπτυχιαών Σπουδών «Διδατιή αι Μεθοδολογία των Μαθηματιών» Εγρίθηε την 4 η /10/008 από Εξεταστιή Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1) Στυλιανός Νεγρεπόντης (επιβλέπων Καθηγητής) Καθηγητής. ) Διονύσιος Αναπολιτάνος Καθηγητής.. ) Θεοδόσιος Ζαχαριάδης Αναπληρωτής Καθηγητής...

3 Στο Βασίλη

4 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ «ΜΗ ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟ. 1.1 HARDY &WRIGHT 1. W.R.KNORR 1. M.F. BURNYEAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ «ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟ..1 H. ZEUTHEN. B.L. van der WAERDEN. W.R.KNORR.4 D.H. FOWLER ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.1 ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΧΩΡΙΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ, ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ 147c7-148d7 ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Στ. ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗ.. ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥΣ ΓΝΩΜΟΝΕΣ. 5

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η αναάλυψη της ασυμμετρίας αποτελεί το υρίαρχο επίτευγμα των αρχαίων ελληνιών μαθηματιών. Ως προς το χρονιό πεδίο αι τον τρόπο με τον οποίο συντελέστηε, ερεμούν αόμα ερωτήματα τα οποία επιζητούν σαφείς αι εμπεριστατωμένες απαντήσεις. Παρ όλα αυτά γνωρίζουμε ότι ολοληρώθηε σε τρία βήματα φάσεις. Η αφετηρία εντοπίζεται στη Σχολή των Πυθαγορείων με την απόδειξη ασυμμετρίας της πλευράς προς τη διάμετρο τετραγώνου (δηλαδή του ). Στη συνέχεια ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος ( π.χ.) απέδειξε την ασυμμετρία των πλευρών τετραγώνων εμβαδού, 5, 7 17 τετραγωνιών πόδων προς την ποδιαία (δηλαδή των, 5,..., 15, 17 ) αι τελιά στη Σχολή του Πλάτωνος, ο Θεαίτητος στοιχειοθετεί τη θεωρία των «δυνάμει μόνον συμμέτρων» ευθειών, η οποία είναι αταγεγραμμένη στο 10 ο βιβλίο των Στοιχείων. Ο τρόπος με τον οποίο συντελέστηαν αυτά τα βήματα, αποτελεί αντιείμενο πολυετούς επιστημονιής μελέτης, αθώς τα έγγραφα αλλά αι οι μαρτυρίες που έχουν διασωθεί από την αρχαιότητα είναι ελάχιστα. Όσον αφορά στο πρώτο βήμα, πολλοί ισχυρίζονται ότι η αρχιή απόδειξη της ασυμμετρίας πλευράς προς διαγώνιο τετραγώνου δεν είναι άλλη από την αυτή που συναντούμε στα Αριστοτέλους, Αναλυτιά Ύστερα 41a6-1, σύμφωνα με την οποία υποθέτουμε αρχιά ότι τα μεγέθη είναι σύμμετρα αι αταλήγουμε ότι τα περιττά γίνονται ίσα με τα άρτια. Δηλαδή με τη μέθοδο της ατόπου απαγωγής αταλήγουμε στην απόδειξη της ασυμμετρίας. Η απόδειξη αυτή χρησιμοποιεί στοιχεία από τη θεωρία Αριθμών που περιλαμβάνονται στο VII Βιβλίο των Στοιχείων αι παρουσιάζει βασιό μειονέτημα ως προς το ότι γενιεύεται πολύ εύολα αι θα μπορούσε να αποτελεί απόδειξη για όλα τα ασύμμετρα ζεύγη μεγεθών. Η αρχιή αναάλυψη της ασυμμετρίας διαμέτρου προς πλευρά τετραγώνου όπως έγινε αρχιά από τους Πυθαγόρειους αλλά αι ο τρόπος με τον οποίο οι Πυθαγόρειοι ατέληξαν σε αυτή, περιγράφεται λεπτομερώς στο άρθρο [Nε] του αθηγητή Στ. Νεγρεπόντη. Όπως αποδεινύεται οι Πυθαγόρειοι έαναν χρήση μιας πιο απλής μορφής της πρότασης Χ. (Πυθαγόρεια μορφή της Πρότασης Χ.: Αν διαπιστωθεί από τη φύση τους ότι δύο μεγέθη α > β έχουν ανθυφαίρεση αι αν η ανθυφαίρεση αυτή είναι άπειρη, τότε τα μεγέθη α, β 6

7 είναι ασύμμετρα), όπου η άπειρη ανθυφαίρεση των μεγεθών εξασφαλίστηε από τη διατηρησιμότητα του σχήματος των γνωμόνων που προύπτουν άθε φορά. Στην παρούσα εργασία θα επιχειρήσουμε να μελετήσουμε αναατασευάσουμε τις ασυμμετρίες που απέδειξε ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος. Βασιός άξονας μελέτης σε άθε περίπτωση αποτελεί το χωρίο του Πλάτωνος, Θεαίτητος 147c7-148d7. Ο Θεόδωρος στο διάλογο αυτό, που τοποθετείται χρονιά στο 99 π.χ. εμφανίζεται ως γέροντας, συνεπώς πρέπει να ήταν σύγχρονος του Ιπποράτη αι του Δημόριτου. Ο Θεαίτητος έπεσε στο πεδίο της μάχης το 69 π.χ. αι ο διάλογος του Πλάτωνα είναι αφιερωμένος στη μνήμη του νεαρού ήρωα. Στο είμενο ο χαρατήρας αι τα προσόντα του περιγράφονται δια μαρών. Ο Πλάτων στο χωρίο [Θ] σιαγραφεί σε μια σύντομη αναφορά -που δίνει την εντύπωση ότι είχε εισαχθεί σόπιμα- μια μαθηματιή αναάλυψη του νεαρού φίλου του αι περιγράφει λεπτομερώς τι είχε βρεθεί προηγουμένως από το Θεόδωρο αι τι προσθέτει σε αυτό ο Θεαίτητος. Είναι λογιό να υποθέσουμε ότι ο διαχωρισμός της συνεισφοράς του Θεαίτητου από εείνη του Θεοδώρου είναι ιστοριώς αριβή αόμη αι αν τα λεπτομερώς περιγραφόμενα περιστατιά του διαλόγου είναι φανταστιά. Δεν μπορεί ο Πλάτων να είχε πρόθεση να αποδώσει στο Θεόδωρο αυτά που οφείλονται στον Θεαίτητο αι αντιστρόφως. Κατόπιν αυτής της διάλεξης ο Θεαίτητος άρχισε να σέπτεται αι βρήε μια γενιή λύση του προβλήματος το οποίο ο Θεόδωρος είχε επεξεργαστεί για λίγες ειδιές περιπτώσεις. Ταξινόμησε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία παράγουν σύμμετρα τετράγωνα, σε αυτά τα οποία είναι σύμμετρα αι σε εείνα τα οποία είναι ασύμμετρα. Όλα αυτά περιέχονται στο διάλογο Θεαίτητος. Το περίγραμμα στο οποίο θα ινηθούμε προειμένου να δώσουμε μία ολοληρωμένη ειόνα για τα παραπάνω θα είναι το εξής. Αρχιά θα γίνει μία αναδρομή στις ήδη αταγεγραμμένες αναατασευές από τους σύγχρονους μελετητές. Θα μπορούσαμε να χωρίσουμε τις απόψεις των μελετητών σε δύο υρίως ρεύματα που απολίνουν ως προς τη μέθοδο εργασίας του Θεόδωρου του Κυρηναίου με ότι συνέπειες φέρει αυτό. Μία ομάδα μελετητών, μεταξύ αυτών αι οι Zeuthen, Fowler, Vd Waerden θεωρούν ότι ο Θεόδωρος εργάστηε ανθυφαιρετιά (Κεφάλαιο ο ) ενώ μία άλλη ομάδα μελετητών, δεν πιστεύουν ότι υπάρχει άποια ανάμιξη της ανφυφαιρετιής διαδιασίας στα όσα έανε ο Θεόδωρος. Κυρίαρχο παράδειγμα ο W.Knorr ο οποίος πιστεύει ότι η μέθοδος εργασίας αυτού θα ήταν ατασευαστιή 7

8 γεωμετριή (Κεφάλαιο 1 ο ). Όλοι όμως συγλίνουν σε ένα οινό: Θεωρούν ότι παρόλο που ο Πλάτωνας [Θ] αναφέρει ρητά ότι ο Θεόδωρος ήταν αυτός που απέδειξε τις ασυμμετρίες των συγεριμένων ευθυγράμμων τμημάτων, δεν αναφέρει τίποτα για τον τρόπο με τον οποίο εργάστηε. Γι αυτό αι δημιουργείται αυτή η διχογνωμία η οποία φέρει σημαντιές συνέπειες, μεταξύ των οποίων η δημιουργία ερωτηματιού στην περίπτωση αι στο λόγο για τον οποίο σταμάτησε ο Θεόδωρος. Ενώ γενιά ήταν αποδετό ότι ο Θεόδωρος συμπεριέλαβε αι την περίπτωση του 17, ο Knorr θεωρεί ότι ο Θεόδωρος βρήε ανυπέρβλητη δυσολία ατά τη μελέτη της συγεριμένης περίπτωσης αι γι αυτό σταμάτησε. Στο ο Κεφάλαιο της εργασίας αποαλύπτεται ότι το ίδιο το είμενο [Θ] είναι αυτό που μας δείχνει αριβώς τον τρόπο με τον οποίο εργάστηε ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος. Το συμπέρασμα αυτό ήρθε μετά από εξονυχιστιή μελέτη των Πλατωνιών ειμένων, αι ιδιαίτερα της τριλογίας Θεαίτητος Σοφιστής Πολιτιός. Το θέμα της τριλογίας αυτής, η γνώση αι η φύση της επιστήμης είναι ενιαίο. Η διερεύνηση του ζητήματος αρχίζει στο Θεαίτητο, συνεχίζει στο Σοφιστή αι ολοληρώνεται στον Πολιτιό. Η μελέτη αυτή, που έγινε από τον αθηγητή Στ. Νεγρεπόντη, παρουσιάστηε στο μάθημα «Πλάτων αι Μαθηματιά» που έγινε στα πλαίσια του ΔΠΣ «Διδατιή αι Επιστημολογία των Μαθηματιών». Οι σημειώσεις του μαθήματος αυτού αποτελούν το υπόβαθρο της σύνταξης της παρούσας εργασίας. Στο δεύτερο μέρος του τρίτου εφαλαίου παρουσιάζεται μία νέα πρόταση ανθυφαιρετιής πια αναατασευής η οποία έρχεται σε απόλυτη συνέχεια της αρχιής αναάλυψης της ασυμμετρίας από τους Πυθαγόρειους. Δηλαδή ενώ η απόδειξη ασυμμετρίας διαμέτρου προς πλευράς τετραγώνου εξασφαλίστηε από την επανάληψη τετραγώνων γνωμόνων, η νέα απόδειξη της ασυμμετρίας των συγεριμένων ζευγών μεγεθών εξασφαλίζεται με την επανάληψη ορθογωνίων γνωμόνων. 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ «ΜΗ ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟ. G.H.Hardy 1.1 G.H. HARDY & E.M. WRIGHT Μία διάσημη απόδειξη για την αναάλυψη της ασυμμετρίας αποτελεί η απόδειξη που συναντούμε στα Αναλυτιά Ύστερα 41a6-1 του Αριστοτέλους, είναι μία λαωνιή περιγραφή μιας απόδειξης, σύμφωνα με την οποία, εάν υποθέσουμε ότι η πλευρά αι η διαγώνιος του τετραγώνου είναι σύμμετρες, τότε αταλήγουμε στην αντίφαση ότι τα άρτια γίνονται ίσα με τα περιττά. Στο τέλος του Χ. βιβλίου των Στοιχείων του Ευλείδη υπάρχει αυτή η απόδειξη η οποία με συνοπτιή μορφή έχει ως εξής: Έστω ότι ΑΓ η διαγώνιος αι ΑΒ η πλευρά ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι σύμμετρες, αι έστω ότι ο λόγος τους σε ανάγωγη μορφή είναι m:n. Από την σχέση ΑΓ:ΑΒ = m:n συνάγεται ότι θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ), θα είναι ΑΓ : ΑΒ = m : n. Αφού m = n, συνεπώς ο A Γ = ΑΒ (Πυθαγόρειο m είναι άρτιος. Από αυτό συνάγεται ότι ο m είναι άρτιος, γιατί αν ο m ήταν περιττός, θα συμπεραίναμε από την πρόταση IX.9 των Στοιχείων (εάν περιττός αριθμός πολλαπλασιασθείς περιττόν δίνει ως αποτέλεσμα άποιον αριθμό, ο γενόμενος θα είναι περιττός) ότι ο m είναι επίσης περιττός. Αλλά από την m = h λαμβάνουμε συνεπώς n = h. Άρα ο n m = 4h αι είναι άρτιος, οπότε η επανάληψη του αρχιού συλλογισμού δείχνει ότι ο αριθμός n είναι αι άρτιος αι περιττός αι αυτό είναι αδύνατο. Ο Αριστοτέλης αναφέρεται σε αυτή την απόδειξη ως άτι πολύ γνωστό που όσοι διαβάζουν το ξέρουν. Το υρίως μειονέτημα που παρουσιάζει είναι η εύολη 9

10 γενίευσή της προς όλους τους μη τετραγωνιούς αρρήτους. Εάν ήταν αυτή η απόδειξη της ασυμμετρίας εξ αρχής τότε δε θα ανέφερε ο Πλάτων ρητά ότι ο Θεόδωρος αναάλυψε τις ασυμμετρίες των μεγεθών, 5,..., 15, 17 αφού θα περιλαμβάνονταν στην παραπάνω απόδειξη. Θα μπορούσε ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος να έχει αποδείξει με διαφορετιό τρόπο την ασυμμετρία αυτών των μεγεθών, αλλά αφού δε θα ήταν άτι που συνέβη για πρώτη φόρα, ούτε θα πρόσθετε τίποτα περισσότερο στην υπάρχουσα γενιή απόδειξη, τότε δε θα ήταν άξιο αναφοράς από τον Πλάτωνα. Μία παραπλήσια απόδειξη που παρουσιάζει όμως το ίδιο μειονέτημα, δηλαδή είναι γενιή μέθοδος αι απαντά για όλους του μη τετράγωνος αριθμούς (ξεινώντας από το ), είναι αυτή του Heath: Έστω Ν μη τετράγωνος αριθμός. Υποθέτουμε ότι ο N είναι ρητός, δηλαδή N = α/β, με (α,β) = 1. Τότε Νβ = α. Τότε το Ν διαιρεί το α, άρα διαιρεί αι το α. Έστω α = Νγ. Ισχύει Νβ = (Νγ) ή Νβ = Ν γ ή β = Ν γ, δηλαδή το Ν διαιρεί το β. Αυτό είναι άτοπο, διότι αταλήξαμε ότι το Ν διαιρεί αι το α αι το β ενώ (α,β) = 1. Το πρόβλημα αυτό της γενιότητας της απόδειξης, φαίνεται για πρώτη φορά να το υπογραμμίζουν αι να το υπερβαίνουν οι Hardy & Wright, προτείνοντας την παραάτω απόδειξη: Έστω ότι το Ν είναι άρτιος (περιπτώσεις : 6, 8, 10 ). Ας υποθέσουμε ότι N είναι σύμμετρος, N = α/β, όπου (α,β) = 1, δηλαδή α = Ν β. Αφού το Ν είναι άρτιος τότε Ν=n, δηλαδή α = n β. α = n β α άρτιο α άρτιος, έστω α= γ. (γ) = nβ β άρτιος β άρτιος, άτοπο αφού υποθέσαμε ότι (α,β) = 1. 10

11 Έστω ότι το Ν είναι περιττός (περιπτώσεις :, 5, 7, 11, 1, 17 ). Ας υποθέσουμε ότι N είναι σύμμετρος, N = α/β, όπου (α,β) = 1, δηλαδή α = Ν β. Αφού το Ν είναι περιττός τότε τα α, β πρέπει να είναι αι τα δύο περιττά, οπότε α=α+1 αι β=β+1, δηλαδή ισχύει η σχέση Ν(Α+1) = (Β+1) (1). Επιλέγουμε τις λάσεις του Ν που να περιλαμβάνουν τις περιπτώσεις που εξετάζουμε. Το Ν θα είναι της μορφής: 4n+, 8n+5, 8n+1. (O Hardy &Wright επιλέγουν αυτές τις λάσεις αι τονίζουν ότι η μέθοδος λειτουργεί για οποιεσδήποτε λάσεις επιθυμεί να επιλέξει ο αναγνώστης που να απαντούν στις περιπτώσεις υπό εξέταση). o Ν = 4n+ (Ν=,7,11) αντιαθιστούμε στη σχέση (1) αι έχουμε: (4n+)(A+1) = (Β+1) ή (4n+)(4A +4A+1) = 4B +4B+1 ή 16nA +16nA+4n+1A +1A+ = 4B +4B+1 8nA(A+1)+6A(A+1)+n +1 = B(B+1), άτοπο διότι το ένα μέλος της ισότητας είναι άρτιο ενώ το άλλο περιττό. o Ν = 8n+5 (N=5,1) αντιαθιστούμε στη σχέση (1) αι έχουμε: (8n+5) (A+1) = (Β+1) ή (8n+5) (4A +4A+1) = 4B +4B+1 ή 8nA(A+1)+5A(A+1)+n +1 = B(B+1), άτοπο διότι το ένα μέλος της ισότητας είναι άρτιο ενώ το άλλο περιττό. o Ν = 8n+1 (N=17) αντιαθιστούμε στη σχέση (1) αι έχουμε: (8n+1) (A+1) = (Β+1) ή (8n+1) (4A +4A+1) = 4B +4B+1 11

12 17(Β +Β) + 4 = Α + Α, όπου αι τα δύο μέλη της ισότητας είναι άρτια, δηλαδή δε μπορούμε να αταλήξουμε στο συμπέρασμα. Οι Hardy &Wright δεν παραθέτουν επιχειρήματα υποστηρίζοντας ότι σίγουρα ήταν αυτός ο τρόπος που εργάστηε ο Θεόδωρος, τουναντίον προσθέτουν ότι υπάρχουν άλλοι λόγοι για τους οποίους πιθανώς δεν είναι αυτή η μέθοδος. Ωστόσο προτείνουν μία μέθοδο η οποία να μοιάζει με την απόδειξη του Αριστοτέλους [ΑΑΥ], δηλαδή η απόδειξη της ασυμμετρίας είναι της μορφής «άρτιος = περιττός» αι είναι τροποποιημένη ατά τέτοιο τρόπο ώστε να λειτουργεί ατά περίπτωση βρίσοντας δυσολία στο 17. 1

13 1. W.R.KNORR Πλάτωνος, Θεαίτητος 147d-7 QEAI. Perˆ dun meèn ti ¹m n QeÒdwroj Óde œgrafe, táj te tr podoj pšri kaˆ pentšpodoj [ pofa nwn] Óti m»kei où súmmetroi tí podia v, kaˆ oûtw kat m an k sthn proairoúmenoj mšcri táj ptakaidek podoj n d taútv pwj nšsceto. ¹m n oân e sálqš ti toioàton, peid¾ peiroi tõ pláqoj aƒ dun meij fa nonto, peiraqánai sullabe n e j n, ÓtJ p saj taútaj prosagoreúsomen t j dun meij. Στο χωρίο αυτό του Θεαίτητου ο Πλάτων διαχωρίζει δύο θεωρήματα. Αυτό του Θεόδωρου του Κυρηναίου ο οποίος απέδειξε την ασυμμετρία πλευράς τετραγώνου προς την ποδιαία, όπου το εμβαδό του τετραγώνου είναι, 5, 17 τετραγωνιά πόδια, αι αυτό του μαθητή του Θεαίτητου σύμφωνα με το οποίο προχώρησε αι γενίευσε την εργασία του πρώτου αποδεινύοντας ότι η ρίζα άθε μη τετράγωνου φυσιού αριθμού είναι άρρητος. Perˆ dun meèn Ο Πλάτων αρχιά ξεχωρίζει τους αριθμούς σε δύο ατηγορίες. Οι αριθμοί που είναι γινόμενο δύο ίσων αριθμών, αναπαρίστανται με ένα τετράγωνο αι τους ονομάζει τετράγωνους αι ισόπλευρους, αι οι αριθμοί που βρίσονται ενδιάμεσά τους αι είναι γινόμενο δύο άνισων αριθμών, αναπαρίστανται με το προμήες (ορθογώνιο παραλληλόγραμμο) αι τους ονομάζει προμήεις. Αντίστοιχα αναφέρεται σε δύο ατηγορίες ευθυγράμμων τμημάτων. Το ευθύγραμμο τμήμα που είναι πλευρά τετραγώνου με εμβαδό τετράγωνο αριθμό 1

14 λέγεται μήος ενώ το ευθύγραμμο τμήμα που είναι πλευρά τετραγώνου με εμβαδό προμήη αριθμό λέγεται δύναμις. Ο Knorr ξεχωρίζει με σαφήνεια τη μαθηματιή αναατασευή του θεωρήματος του Θεοδώρου από τη διεξοδιή αναζήτηση αι ερμηνεία του παραπάνω χωρίου του Πλάτωνα. (Before examining the mathematical reconstruction. I will first consider in turn the principal features of the text). Θεωρεί όπως αι οι υπόλοιποι μελετητές- ότι ο Πλάτων ενώ μας αναφέρει την αναάλυψη του Θεοδώρου δεν αποαλύπτει τίποτα για τη μέθοδο εργασίας με την οποία διεξήγαγε τα προαναφερθέντα. Ο Θεαίτητος υποδεινύει ότι το μάθημα του Θεόδωρου αναφερόταν σε δυνάμεις: «πerˆ dun meèn ti ¹m n QeÒdwroj Óde œgrafe». Στη συνέχεια αναφέρει τις tr podoj, pentšpodoj, podia v οι οποίες είναι ευθύγραμμα τμήματα αι αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα τα ονομάζει «δυνάμεις». Η ποδιαία είναι θα λέγαμε το ευθύγραμμα τμήμα που αντιστοιχεί στο «1 πόδι», η «τρίπους» είναι το ευθύγραμμο τμήμα α όπου α = ρ. Το ρ είναι γραμμή αι ο Πλάτωνας το ονομάζει δύναμις, σε αντίθεση με τη συνήθη ερμηνεία του «δύναμις» που αναφέρεται σε επιφάνειες. Ο Κnorr αναζητώντας τη σωστή ερμηνεία του όρου αναφέρει παραπλήσιους όρους αι εξετάζει τις διαφορές αυτών: Surd - irrational line (άρρητος πλευρά). Square root the line which produces in square the square number. Δύναμις - signifies second power. Δύνασθαι - to be equivalent in second power. Παρατηρεί ότι ο Paul Tannery πρότεινε τη διόρθωση αι αντιατάσταση του όρου «δύναμις» με τον όρο «δυναμένη». Αυτή την τατιή θα την απορρίψουμε σχεδόν άμεσα αθότι στόχος μας είναι η όσο το δυνατό πιο διεξοδιή αι προσεχτιή μελέτη των ειμένων του Πλάτωνα ώστε να ανααλύψουμε γιατί ο συγγραφέας εφράζεται με τον ένα τρόπο αι όχι με άλλο. Ειδιά στην περίπτωσή μας όπου ο όρος αυτός είναι πρωταρχιής σημασίας αι επαναλαμβάνεται τρεις φορές στο μιρό αυτό χωρίο, δε θα μπορούσε ο Πλάτων να έχει εσφαλμένη διατύπωση. 14

15 Ο Ευλείδης στο Χ Βιβλίο (Χ.-Χ.9) χρησιμοποιεί τους «δυνάμει σύμμετρο», «μήη σύμμετρο»: Χ.: «EÙqe ai dun mei súmmetro e sin, Ótan t p' aùtîn tetr gwna tù aùtù cwr J metrátai, súmmetroi dš, Ótan to j p' aùtîn tetragènoij mhdn ndšchtai cwr on koinõn mštron genšsqai». Χ.9: «T põ tîn m»kei summštrwn eùqeiîn tetr gwna prõj llhla lògon œcei, Ön tetr gwnoj riqmõj prõj tetr gwnon riqmòn kaˆ t tetr gwna t prõj llhla lògon œconta, Ön tetr gwnoj riqmõj prõj tetr gwnon riqmòn, kaˆ t j pleur j xei m»kei summštrouj. t d põ tîn m»kei summštrwn eùqeiîn tetr gwna prõj llhla lògon oùk œcei, Ónper tetr gwnoj riqmõj prõj tetr gwnon riqmòn kaˆ t tetr gwna t prõj llhla lògon m¾ œconta, Ön tetr gwnoj riqmõj prõj tetr gwnon riqmòn, oùd t j pleur j xei m»kei summštrouj». Ο Ιπποράτης ο Χίος που είναι σύγχρονος του Θεόδωρου ατά των τετραγωνισμό των μηνίσων χρησιμοποιεί την ίδια ορολογία, για παράδειγμα: Σιμπλίιος, Εις Αριστοτέλους Φυσιά, 9,61,6-7 «Óti tõn aùtõn lògon œcei t te Ómoia tîn kúklwn tm»mata prõj llhla kaˆ aƒ b seij aùtîn dun mei». Ο Πλάτων χρησιμοποιεί τον όρο αυτό αι σε άλλα συγγράματά του: Πλάτων, Πολιτιός 66b XE. `H fúsij, n tõ gšnoj ¹mîn tîn nqrèpwn kškthtai, mîn llwj pwj e j t¾n pore an pšfuken À kaq per ¹ di metroj ¹ dun mei d pouj; NE. SW. OÙk llwj. XE. Kaˆ m¾n ¼ ge toà loipoà gšnouj p lin stˆ kat dúnamin aâ táj ¹metšraj dun mewj di metroj, e per duo n gš sti podo n dˆj pefuku a. Πλάτων, Tίμαιος 54b ll tù toàto lšgxanti kaˆ neurònti d¾ oûtwj œcon ke tai f lia t «qla. provr»sqw d¾ dúo tr gwna x ïn tò te toà purõj kaˆ t tîn llwn sèmata memhc nhtai, tõ mn soskelšj, tõ d triplán kat 15

16 dúnamin œcon táj l ttonoj t¾n me zw pleur n e. tõ d¾ pròsqen safîj hqn nàn m llon dioristšon. t g r tšttara gšnh di' ll»lwn e j llhla fa neto p nta gšnesin œcein, oùk Ñrqîj fantazòmena Πλάτων, Πολιτεία 587d Triplas ou ra, Ãn d' gè, tripl sion riqmù lhqoàj ¹donÁj fšsthken túrannoj. Fa netai. 'Ep pedon r', œfhn, æj œoiken, tõ e dwlon kat tõn toà m»kouj riqmõn ¹donÁj turannikáj n e h. KomidÍ ge. Kat d dúnamin kaˆ tr thn aüxhn dálon d¾ pòstasin Óshn festhkëj g gnetai. Ο Knorr μετά από αυτή τη μελέτη του όρου σε συγγράμματα του Πλάτωνα ή συγχρόνων του συμπεραίνει ότι ο Πλάτων άνει τηλεγραφιή χρήση των όρων. Δηλαδή αναφέρει «μήος» αι εννοεί «γραμμή μήει σύμμετρος με την ποδιαία», αναφέρει «δύναμις» αι εννοεί «γραμμή ου σύμμετρος, αλλά δυνάμει μόνο σύμμετρος με την ποδιαία». Όμως ποιος είναι ο λόγος που το άνει αυτό; Γιατί να βιάζεται να το αναφέρει έτσι αι να μη το περιγράφει αναλυτιά; Απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά παρατίθενται στο ο Κεφάλαιο. γράφειν Δίνονται δύο διαφορετιές ερμηνείες στη σημασία του «γράφειν» από τους μελετητές. Μία ομάδα μελετητών, μεταξύ αυτών αι οι H.Schmidt, H.Vogt, F. Hultsch αι J.H.Anderhub υποστηρίζουν ότι ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος απλώς ατασεύασε τις ρίζες,5 17. Το ίδιο δε συμβαίνει με τον T.L.Heath αι μία άλλη ομάδα μελετητών που θεωρούν ότι το «γράφειν» δε σημαίνει απλώς ατασεύασε αλλά απέδειξε την ασυμμετρία των ριζών αυτών. Άλλωστε, ο Heath σημειώνει ότι αι άλλοι συγγραφείς, όπως ο Αριστοτέλης αι ο Αρχιμήδης χρησιμοποιούν το απαρέμφατο «γράφειν» εννοώντας «για να αποδείξει». Ο Knorr επισημαίνει ότι ο ισχυρισμός αυτός δεν είναι επαρής για να δεχτούμε ότι το ίδιο ισχύει αι στα 16

17 συγγράμματα του Πλάτωνα. Για να το επαληθεύσουμε δεν έχουμε παρά να εξετάσουμε σε εύρος το έργο του ίδιου του συγγραφέα. Ο Zeuthen εισάγει την υπόθεση της «ατασευαστιής απόδειξης» (construction-as-existence-proof) αι ο Knorr αντιπαρατίθεται σε αυτό. Υποστηρίζει ότι, αν ο Θεόδωρος απέδειξε την ύπαρξη των ριζών μόνο ατασευάζοντας τες, τότε ο Πλάτων θα έανε αναφορά σε αυτό μόνο ως εισαγωγιά αι τελείως χωριστά από τη συζήτηση της θεωρίας ασυμμετρίας. Άλλωστε αν το επίπεδο απόδειξης στην εποχή του Θεοδώρου ήταν τέτοιο ώστε να δέχονται τις ατασευές ως αποδείξεις τότε ο Θεαίτητος δε θα ήταν σε θέση να άνει τέτοιο άλμα αι να αταλήξει στα συμπεράσματα που στοιχειοθετούν τη θεωρία λόγων του Χ. Βιβλίου. Ο Αριστοτέλης αναφέρει συχνά πως τα διαγράμματα βοηθούν όποιον εξετάζει άποιο θεώρημα (Μετεορολογιά 75b18): «k toà diagr mmatoj œstai qewroàsi dálon». Όταν ο Αμμώνιος σχολιάζει την αναφορά του Αριστοτέλη στις Κατηγορίες 14α9, διατυπώνει την άποψη ότι «διαγράμματα αι θεωρήματα είναι το ίδιο». Ο Ασληπιός σε σχόλιο στα Μεταφυσιά 998α6 παρατηρεί ότι «τα διαγράμματα είναι συνώνυμα με τα θεωρήματα στη γεωμετρία». Επίσης άλλοι συγγραφείς όπως για παράδειγμα ο Σιμπλίιος που αναφέρει ότι «ο τετραγωνισμός των μηνίσων για πρώτη φορά «εγράφησαν» (απεδείχθη) από τον Ιπποράτη το Χίο», εναλλάσουν τα «γράφειν αποδεινύειν» ή «διαγράμματα θεωρήματα», θέλοντας να τονίσουν ότι τα διαγράμματα για παράδειγμα δεν είναι απλώς το αταστευαστιό ομμάτι άποιας απόδειξης. Αποτελούν ασφαλώς την ατασευή άποιου σχήματος, η οποία όμως παίζει αίρειο αι αταλυτιό ρόλο στην απόδειξη του εάστωτε θεωρήματος. Με αυτή τη θέση ευθυγραμμίζεται αι ο Πλάτωνας αφού στο Μένωνα (8b-85e), μέσω διαγραμμάτων ο Σωράτης οδηγεί το Σλάβο στο σωστό θεώρημα για τη σχέση διαμέτρου πλευράς τετραγώνου. Παρόμοιες αναφορές υπάρχουν στο Φαίδρο αι στο Θεαίτητο. 17

18 pofa nwn Οι απόψεις των μελετητών διίστανται στην ερμηνεία του «pofa nwn» αφού οι A.Szabo, S.Heller, J.H.Andderhub, F.Hultsch αι E.Sachs υποστηρίζουν ότι ο Θεόδωρος «έδειξε ευρυματιά» την ασυμμετρία των μεγεθών, ενώ οι Heath, H.Vogt, H.Zeuthen, B.L. vd Waerden αι W.Knorr πιστεύουν ότι ο Θεόδωρος «απέδειξε» τις συγεριμένες ασυμμετρίες. Τα επιχειρήματα που έχουν οι μεν υποστηρίζοντας ότι το ρήμα δεν σημαίνει «αποδεινύω» είναι ασθενή. Ο Anderhub εύολα υιοθετεί αυτή τη θέση διότι το λεξιό που συμβουλεύτηε δε δίνει την ερμηνεία αποδεινύω = prove, demonstrate formally. Παρομοίως ο Szabo ισχυρίζεται ότι ο Θεόδωρος δεν έανε αποδείξεις αθότι δεν υπάρχει στο χωρίο το ρήμα «δεινύναι». Μία πιο προσετιή μελέτη, αν αι εσφαλμένη τελιά, άνουν οι Heller αι Sachs αναζητώντας άλλες χρήσεις ερμηνείες του όρου αυτού. Σε χωρίο από το είμενο Μέθοδος ο Αρχιμήδης αναφέρει ότι «ο Εύδοξος απέδειξε (εξηύρηεν πρώτος την απόδειξιν) σε αυτό που πρώτος ο Δημόριτος είχε δηλώσει ισχυριστεί χωρίς απόδειξη (την απόφασιν την περί του ειρημένου σχήματος χωρίς αποδείξεως αποφηναμένω)». Η επίληση αυτού του παραδείγματος προειμένου να δοθεί σωστή αι μοναδιή ερμηνεία στο «pofa nwn» είναι προβληματιή αθώς ο Knorr σωστά παρατηρεί, πως αν ο Αρχιμήδης χρησιμοποιώντας τη λέξη «αποφηναμένω» εννοούσε «δηλώνω ισχυρίζομαι» αι όχι «αποδεινύω» τότε δε θα έγραφε επεξηγηματιά «χωρίς αποδείξεως» αφού θα ήταν πλεονασμός. Επιπλέον το ρήμα «pofa nw» στο παραπάνω παράδειγμα εμφανίζεται στη μέση φωνή αι όχι στην ενεργητιή όπως συμβαίνει με το χωρίο που εξετάζουμε. Ένα αόμη πολύ σημαντιό επιχείρημα εναντίον του επιχειρήματος των Heller αι Sachs αποτελεί η χρονιή περίοδος του παραδείγματος που επιαλούνται. Ο Αρχιμήδης είναι μεταγενέστερος του Πλάτωνα. Μάλιστα γνωρίζοντας τη χρήση του «δεινύναι» από τον Ευλείδη αι αντίστοιχα τη χρήση του «αποδεινύναι» από τον Αριστοτέλη ευλόγως χρησιμοποιεί αυτά τα ρήματα για να περιγράψει αποδείξεις. Ο Knorr αναζητώντας τη σωστή ερμηνεία του «αποφαίνων» μελετά τα είμενα του ίδιου του Πλάτωνα. 18

19 Πλάτωνος, Παρμενίδης 18c1-10α t qaumastòn; e mn g r aùt t Ómoi tij pšfainen nòmoia gignòmena À t nòmoia Ómoia, tšraj n omai Ãn e d t toútwn metšconta mfotšrwn mfòtera pofa nei peponqòta, oùdn œmoige, ð Z»nwn, topon doke, oùdš ge e n panta pofa nei tij tù metšcein toà nõj kaˆ taùt taàta poll tù pl»qouj aâ metšcein. ll' e Ö œstin n, aùtõ toàto poll pode xei kaˆ aâ t poll d¾ n, toàto ½dh qaum somai. kaˆ perˆ tîn llwn p ntwn æsaútwj e mn aùt t gšnh te kaˆ e dh n aøto j pofa noi t nant a taàta p qh p sconta, xion qaum zein e d' m n tij pode xei Ônta kaˆ poll, t qaumastòn, lšgwn, Ótan mn boúlhtai poll pofánai, æj tera mn t pˆ dexi moú stin, tera d t p' rister, kaˆ tera mn t pròsqen, tera d t Ôpisqen, kaˆ nw kaˆ k tw æsaútwj pl»qouj g r omai metšcw Ótan d n, re æj pt ¹mîn Ôntwn eœj gè e mi nqrwpoj metšcwn kaˆ toà nòj éste lhqá pofa nei mfòtera. n oân tij toiaàta piceirí poll kaˆ n taùtõn pofa nein, l qouj kaˆ xúla kaˆ t toiaàta, tˆ f»somen aùtõn poll kaˆ n podeiknúnai, où tõ n poll oùd t poll n, oùdš ti qaumastõn lšgein, ll' per n p ntej Ðmologo men n dš tij ïn nund¾ gë œlegon prîton mn diairátai cwrˆj aùt kaq' aøt t e dh, oœon ÐmoiÒtht te kaˆ nomoiòthta kaˆ pláqoj kaˆ tõ n kaˆ st sin kaˆ k nhsin kaˆ p nta t toiaàta, eta n auto j taàta dun mena sugker nnusqai kaˆ diakr nesqai pofa nv, ga mhn n œgwg', œfh, qaumastîj, ð Z»nwn. taàta d ndre wj mn p nu ¹goàmai pepragmateàsqai polý ment n ïde m llon, æj lšgw, gasqe hn e tij œcoi t¾n aùt¾n taúthn por an n aùto j to j e desi pantodapîj plekomšnhn, ésper n to j Ðrwmšnoij di»lqete, oûtwj kaˆ n to j logismù lambanomšnoij pide xai. Στο χωρίο αυτό ο Πλάτων αναφέρει δώδεα φορές λέξεις που να σημαίνουν «αποδεινύω». Εναλλάσονται ισοδύναμα οτώ φορές το «pofa nειn» τρεις φορές το «poδεινύnαι» αι μία φορά το «pidεινύναι» αθώς πραγματεύεται αποδείξεις αι όχι ευρυματιές δηλώσεις! Αφού στον διάλογο Παρμενίδης ο Πλάτων χρησιμοποιεί ισοδύναμα τις λέξεις αυτές, τότε αι στο χωρίο του διαλόγου Θεαίτητος που εξετάζουμε, γράφει «pofa nωn» εννοώντας «απέδειξε» αι όχι απλώς «υπέδειξε ή δήλωσε ή βρήε ευρηματιά». Ο ίδιος ο Πλάτων λοιπόν μας δίνει 19

20 την απάντηση στην ερμηνεία του όρου που εξετάζουμε. Άλλωστε θα ήταν απίθανο να άνει ειδιή αναφορά στο επίτευγμα του Θεοδώρου, εάν ο τελευταίος δεν είχε άνει αριβείς αι αυστηρές αποδείξεις, παρά είχε βρει μόνο άποιες ευρηματιές με τις οποίες έδειχνε ότι μάλλον είναι ασύμμετρα τα προαναφερθέντα μεγέθη. n d taútv pwj nšsceto Η ερμηνεία που βρίσουμε συνήθως για αυτή την έφραση από σχολιαστές είναι «στην περίπτωση του 17 για άποιο λόγο σταμάτησε» (stopped), δηλαδή απέδειξε αι την περίπτωση του 17 αι εεί σταμάτησε. Ο Knorr υποστηρίζει μία άλλη ερμηνεία της παραπάνω έφρασης: «ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος στην περίπτωση του 17 για άποιο λόγο αντιμετώπισε ανυπέρβλητη δυσολία» (encountered difficulty), το οποίο σημαίνει ότι δεν ατάφερε να μελετήσει αυτή τη περίπτωση. Το ερωτηματιό στην περίπτωση του 17 το έθεσε για πρώτη φορά ο Knorr. Την άποψη αυτή τη στηρίζει υρίως σε παρατήρηση που έανε ο R.Hackforth ο οποίος τονίζει ότι η συνήθης ερμηνεία που δίνει το Λεξιό Liddell-Scott-Jones για τη λέξη αυτή είναι encountered difficulty. Στο Λεξιό υπάρχουν αι άλλες αναφορές που πιστοποιούν αυτήν την ερμηνεία όπως είναι οι παραάτω: Ηρόδοτος, Ι.190,1 Kàroj d por Vsi ne ceto te crònou te gginomšnou sucnoà nwtšrw te oùdn tîn prhgm twn prokoptomšnwn. Θεαίτητος, 191c sugcwr»setai, swj d ntitene. ll g r n toioútj còmeqa, n ú n gkh p nta metastršfonta lògon basan - zein. skòpei oân e tˆ lšgw. «ra œstin m¾ e dòta ti pròteron Ûsteron maqe n; ενώ η μόνη φορά που βλέπουμε από διάφορους σχολιαστές να ερμηνεύεται ως σταμάτησε-stopped είναι στο χωρίο αυτό που εξετάζουμε! Επίσης ο Κnorr θεωρεί λάθος τον ισχυρισμό άποιων μελετητών σύμφωνα με τον οποίο ο Θεόδωρος απέδειξε επιτυχώς τις περιπτώσεις έως 17 αι αντιμετώπισε δυσολία στο 19. Η θέση αυτή ατά τον Κ. είναι λανθάνουσα διότι στο είμενο 0

21 υπάρχει η φράση «n d taútv» η οποία δεν μπορεί παρά να σημαίνει «σε αυτή την περίπτωση» αι όχι «μετά από αυτή την περίπτωση». Ο Knorr διαίως παρατηρεί αι δίνει σημασία στην πρόθεση «n», όμως η οπτιή γωνία υπό την οποία δίνει την ερμηνεία είναι πιθανώς λανθασμένη αφού στην περίπτωση που ο Θεόδωρος ασχολήθηε αι απέδειξε επιτυχώς την περίπτωση του 17 βρίσοντας δυσολία στο 19, τότε θα έγραφε «απέδειξε τις ασυμμετρίες των, 7, 17 αι σε αυτή την περίπτωση βρήε δυσολία αι σταμάτησε» αι όχι στην αντίθετη περίπτωση. Περισσότερη διερεύνηση αυτής της έφρασης παρατίθεται στην επόμενη ενότητα. Η μέθοδος αναατασευής που παρουσιάζει ο Knorr είναι «μηανθυφαιρετιή» αι βρίσει δυσολία στην περίπτωση του 17. Στο ο Κεφάλαιο αποδεινύεται ότι ο ίδιος ο Πλάτων περιγράφει ότι η μέθοδος εργασίας του Θεόδωρου ήταν ανθυφαιρετιή αι με μία τέτοια μέθοδο, η περίπτωση του 17 όχι μόνο δεν παρουσιάζει δυσολία, αλλά είναι σχεδόν τετριμμένη. Δυσολία έντονη όμως παρουσιάζεται στην επόμενη περίπτωση του 19. Ο KNORR προειμένου να στοιχειοθετήσει αι να εξηγήσει την ως άνω αναατασευή ξεινά με μία εξαιρετιή αι χρησιμότατη παρατήρηση μέθοδο απόδειξης: Αρχιά οφείλουμε να εξετάσουμε με ποιο τρόπο ατασευάζονται οι «δυνάμεις» του, 5, 7 17 ή αλλιώς οι πλευρές τετραγώνου πόδων, 5 πόδων. 17 πόδων αι στη συνέχεια να αποδείξουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα αυτό είναι ασύμμετρο προς την ποδιαία. Διατυπώνοντας με σύγχρονούς όρους το παραπάνω ερώτημα προς εξέταση, αταλήγουμε στην αναζήτηση της απόδειξης της παραάτω πρότασης: 1

22 Αν Ν όχι τετράγωνος αριθμός αι a = N β,τότε α, β είναι ασύμμετρα, Ν =, 5, 7, 17. Αρχιά παραθέτουμε άποιες προτάσεις Λήμματα που θα χρειαστούν ως «Εργαλεία» στις ατασευές αποδείξεις που αολουθούν. Ο Knorr [Κno,σελ.155] στο V Κεφάλαιο που αναλύει τα Πυθαγόρεια Μαθηματιά αναφέρει τα παραάτω θεωρήματα: Θεώρημα: Δοθέντος περιττού αριθμού Ν, η τριάδα Ν, (Ν -1)/, (Ν +1)/ αποτελεί Πυθαγόρεια Τριάδα. Θεώρημα: Δοθέντος αρτίου αριθμού Ν, η τριάδα Ν, (Ν/) -1, (Ν/) +1 αποτελεί Πυθαγόρεια Τριάδα. Το πρώτο βήμα προς εξέταση είναι πώς ο Θεόδωρος ατασεύασε τα ευθύγραμμα τμήματα α, β του αρχιού θεωρήματος. Η απόδειξη της ασυμμετρίας α, β έχει απόλυτη σχέση με την ατασευή των α, β. Οι ατασευές των ευθυγράμμων τμημάτων απορρέουν από την εφαρμογή της πρότασης ΙΙ.14 των Στοιχείων του Ευλείδη αι αποτελούν πλευρές ορθογωνίων τριγώνων Πρόταση ΙΙ.14 Tù doqšnti eùqugr mmj son tetr gwnon sust»sasqai. Δοθέντων α, β ευθ. τμημάτων να ατασευαστεί γ ώστε γ = αβ. Η ατασευή του ευθύγραμμου τμήματος γ θα προύψει από το παραάτω σχήμα.

23 Έστω ότι α = ΒΕ αι β = ΕΔ = ΕΖ. Η μέσο ΒΖ, έντρο ημιυλίου ΒΘΖ. Το γ προύπτει από την εξής ατασευή: γ = ΕΘ = ΗΘ - ΗΕ ή γ = αβ = [(α + β)/] - [(α - β)/] Με την εφαρμογή της ως άνω προτάσεως ο Knorr δοθέντων ευθύγραμμου τμήματος β αι μη τετραγωνιού αριθμού Ν ατασευάζει το α με βάση τα παραάτω θεωρήματα. Θεώρημα: Δοθέντος περιττού αριθμού Ν, η πλευρά τετραγώνου Ν μονάδων ( δύναμις του Ν) ατασευάζεται ως η πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα (Ν+1)/ αι άθετη πλευρά (Ν-1)/.

24 Θεώρημα: Δοθέντος αρτίου αριθμού Ν, η δύναμις του Ν ατασευάζεται ως η πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα (Ν+1)/ αι άθετη πλευρά (Ν- 1)/. Δηλαδή αν έχουμε το Ν, ατασευάζουμε τα (Ν-1)/, (Ν+1)/ αι με το ορθογώνιο τρίγωνο βρίσουμε το α/β = N, αφού: N 1 N + N + 1 = Παρατήρηση: Στα παραπάνω επιχειρήματα το παραάτω λήμμα έχει ληφθεί ως δεδομένο, ενώ χρειάζεται μία σύντομη διαιολόγηση. Λήμμα: Εάν τρεις γραμμές Α, Β, Γ στοιχειοθετούν τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε άθε πολλαπλάσιο αυτών, έστω da, db, dγ θα στοιχειοθετεί επίσης ορθογώνιο τρίγωνο. Απόδειξη: Εάν οι γραμμές Α, Β, Γ βρίσονται σε αναλογία το συμπέρασμα έπεται άμεσα. Θεωρούμε ότι οι γραμμές Α, Β, Γ δεν βρίσονται σε αναλογία. Από το παραάτω σχήμα αι με την εφαρμογή της ΙΙ.1 έπεται ότι (da) = d(da ) = d A. 4

25 (Πρόταση ΙΙ.1 'E n ðsi dúo eùqe ai, tmhqí d ¹ tšra aùtîn e j Ðsadhpotoàn tm»mata, tõ periecòmenon Ñrqogènion ØpÕ tîn dúo eùqeiîn son stˆ to j ØpÒ te táj tm»tou kaˆ k stou tîn tmhm twn periecomšnoij Ñrqogwn oij. ) A Οπότε ισχύει η αόλουθη σχέση: (da) + (db) = d A + d B = d Γ οποία έπεται το συμπέρασμα. από την ΛΗΜΜΑ: (άρτιος) = 4 Μ (περιττός) = 4 Μ + 1 Πρόταση Α: ΑΝ Α, Β, Γ είναι Πυθαγόρεια τριάδα αι ο Γ άρτιος τότε Α, Β άρτιοι. Απόδειξη: Α + Β = Γ Τότε ή Α, Β άρτιοι ή Α, Β περιττοί Αν Α, Β περιττοί τότε Α = 4 Μ +1, Β = 4 Ν + 1, δηλαδή Α + Β =4 Κ + = Γ, Γ δεν διαιρείται δια 4, άτοπο Άρα Α, Β άρτιοι. 5

26 Πρόταση Β : Αν Α, Β, Γ αριθμοί αι Α + Β = Γ & Γ περιττός τότε Ή Α περιττός & Β διαιρείται διά του 4 Ή Α διαιρείται διά του 4 & Β περιττός. Απόδειξη: Γ = 8 Μ + 1, οπότε οι μόνες δυνατότητες είναι Ή Α άρτιος, Β περιττός Ή Α περιττός, Β άρτιος Α = 4 Ν, Β = 8 Ρ + 1 Α = Γ - Β = 4 Μ + 1 = 4 Ρ 1 = 8 L A = q, A = 4 q = 8 L, q = L Άρα q άρτιος, δηλαδή Α διαιρείται δια του 4. Ξεινώντας θα αποδείξουμε την ασυμμετρία των Α, Β όπου A = B. Ο Knorr δίνει έμφαση στο ότι δεν πρέπει να αρεστούμε στην ατασευή των «δυνάμεων» του, 5, 17 αλλά αι να προχωρήσουμε στην απόδειξη της ασυμμετρίας των μεγεθών αυτών με την ποδιαία. Η ατασευή αυτή αθαυτή δεν αποτελεί απόδειξη, όμως παίζει υρίαρχο ρόλο στον τρόπο απόδειξης, οπότε: Ως αφετηρία έχουμε την ατασευή της ρίζας του : Με την εφαρμογή της πρότασης ΙΙ.14 έχουμε την Πυθαγόρεια τριάδα,1,. 6

27 Θα εργαστούμε με τη μέθοδο της «εις άτοπο απαγωγής». Έστω ότι Α/Β = ρητός, δηλαδή Α, Β είναι σύμμετρα. Θεωρούμε ότι τα Α, Β βρίσονται σε ελάχιστη αναλογία, με την έννοια ότι το πολύ ένα είναι άρτιος αριθμός. Δε θα μπορούσαν αι οι δύο να είναι άρτιοι γιατί τότε θα θεωρούσαμε τα μισά τους ή τα μισά των μισών τους.ο.. ότι βρίσονται σε ελάχιστη αναλογία. Θα αποδείξουμε ότι η πλευρά τετραγώνου πόδων είναι ασύμμετρη προς την ποδιαία. Το μήος της υποτείνουσας του ως άνω ορθογωνίου τριγώνου είναι άρτιο οπότε από Πρόταση Α τα μήη των αθέτων πλευρών θα είναι άρτια. Όμως αυτό είναι άτοπο διότι εμείς επιλέξαμε το πολύ ένα από τα Α, Β να είναι άρτιο. Οπότε το ένα θα είναι άρτιο αι το άλλο περιττό, δηλαδή ένα από τα Α, Β θα είναι ταυτόχρονα αι άρτιο αι περιττό, άτι που είναι αδύνατο. Συνεπώς δεν ισχύει το αρχιό συμπέρασμα σύμφωνα με το οποίο υπάρχει αριθμός που μετράει αι το Α αι το Β. Άρα τα Α, Β είναι ασύμμετρα ή ο αριθμός είναι άρρητος. Ο Knorr λαμβάνοντας ως «αντιπρόσωπο» τον αριθμό συμπεραίνει την αόλουθη πιο γενιή πρόταση: ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Αν α = (4 Ν + ) β τότε α, β ασύμμετρα, δηλαδή 4 N + άρρητοι για Ν = 0, 1,, (& άρα, 7, 11, 15 άρρητοι) 7

28 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θα εργαστούμε με τη μέθοδο της «εις άτοπο απαγωγής». Υποθέτουμε ότι Α/Β = 4 N + ρητός, δηλαδή α, β σύμμετρα (σε ελάχιστη αναλογία μεταξύ τους). Οι Πυθαγόρειες τριάδες που προύπτουν είναι οι εξής: Η υποτείνουσα του ορθ. Τριγώνου Β(Ν+) είναι άρτιος αριθμό. Από την Πρόταση Α συνεπάγεται ότι οι πλευρές Α, Β(Ν+1) αντιστοιχούν σε άρτιο αριθμό. Τότε όμως προύπτει ότι τα Α, Β είναι άρτια το οποίο είναι άτοπο γιατί θεωρήσαμε ως δεδομένο ότι βρίσονται ατά ελάχιστη αναλογία μεταξύ τους. Συνεπώς δεν ισχύει το αρχιό συμπέρασμα σύμφωνα με το οποίο υπάρχει αριθμός που μετράει αι το Α αι το Β. Άρα τα Α, Β είναι ασύμμετρα ή οι αριθμοί 4 N + είναι άρρητοι για Ν = 0, 1,,, & άρα, 7, 11, 15 άρρητοι. Με ανάλογο τρόπο εργάζεται αι αποδεινύει τις αόλουθες γενιές προτάσεις, ώστε συνολιά αι από τις τέσσερις να προύψουν οι περιπτώσεις ασυμμετριών που αναζητεί. 8

29 ΠΡΟΤΑΣΗ Αν α = (8 Ν + 5) β τότε α, β ασύμμετρα, δηλαδή 8 N + 5 άρρητοι για Ν = 0, 1,, (& άρα 5, 1 άρρητοι) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θα εργαστούμε με τη μέθοδο της «εις άτοπο απαγωγής». Υποθέτουμε ότι Α/Β = 8 N + 5 ρητός, δηλαδή α, β σύμμετρα (σε ελάχιστη αναλογία μεταξύ τους). Οι Πυθαγόρειες τριάδες που προύπτουν είναι οι εξής: Αν Β είναι άρτιος τότε η υποτείνουσα του ορθ. Τριγώνου Β(4Ν+) αντιστοιχεί σε άρτιο αριθμό. Από την Πρόταση Α συνεπάγεται ότι οι πλευρές Α, Β(4Ν+) αντιστοιχούν σε άρτιο αριθμό. Τότε όμως προύπτει ότι τα Α, Β είναι άρτια το οποίο είναι άτοπο γιατί θεωρήσαμε ως δεδομένο ότι βρίσονται ατά ελάχιστη αναλογία μεταξύ τους. Αν Β είναι περιττός τότε Α είναι άρτιος αι Β(4Ν+) διαιρείται με το 4 ή 4Ν+ διαιρείται με το 4 αφού Β περιττός- ή Ν+1 διαιρείται με το, το οποίο είναι αδύνατο. Συνεπώς δεν ισχύει το αρχιό συμπέρασμα σύμφωνα με το οποίο υπάρχει αριθμός που μετράει αι το Α αι το Β. Άρα τα Α, Β είναι ασύμμετρα ή οι αριθμοί 8 N + 5 είναι άρρητοι για Ν = 0, 1,,, & άρα 5, 1 άρρητοι. 9

30 ΠΡΟΤΑΣΗ Αν α = ( Ν + 1) β τότε α, β ασύμμετρα, δηλαδή (N + 1) άρρητοι για Ν = 1,, (& άρα 6, 10, 14 άρρητοι) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θα εργαστούμε με τη μέθοδο της «εις άτοπο απαγωγής». Υποθέτουμε ότι Α/Β = (N + 1) ρητός, δηλαδή α, β σύμμετρα (σε ελάχιστη αναλογία μεταξύ τους). Θέτω Γ=(Ν+1). Οι Πυθαγόρειες τριάδες που προύπτουν είναι οι εξής: Αν Β είναι άρτιος τότε η υποτείνουσα του ορθ. Τριγώνου Β(Γ+1) αντιστοιχεί σε άρτιο αριθμό. Από την Πρόταση Α συνεπάγεται ότι οι πλευρές Α, Β(Γ-1), Β(Γ+1) αντιστοιχούν σε άρτιο αριθμό. Τότε όμως προύπτει ότι τα Α, Β είναι άρτια το οποίο είναι άτοπο γιατί θεωρήσαμε ως δεδομένο ότι βρίσονται ατά ελάχιστη αναλογία μεταξύ τους. Αν Β είναι περιττός τότε Α διαιρείται με το 4 ή Α διαιρείται με το δηλαδή Α άρτιος, οπότε Α = Δ. Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ως άνω τρίγωνο έχουμε 0

31 τελιά Δ =(Ν+1)Β από το οποίο έπεται ότι το Β δε μπορεί να είναι περιττός, το οποίο είναι άτοπο. Συνεπώς δεν ισχύει το αρχιό συμπέρασμα σύμφωνα με το οποίο υπάρχει αριθμός που μετράει αι το Α αι το Β. Άρα τα Α, Β είναι ασύμμετρα ή οι αριθμοί (N + 1) είναι άρρητοι για Ν = 0, 1,,, & άρα 6, 10, 14 άρρητοι. ΠΡΟΤΑΣΗ 4 Αν α = 4 Ν β τότε α, β ασύμμετρα, δηλαδή 4 N άρρητοι για Ν =, (& άρα 8, 1 άρρητοι). ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω Δ = 4Ν. Θεωρούμε το τετράγωνο Δ μονάδων, το οποίο υποδιαιρούμε σε 4 τετράγωνα Ν μονάδων. Η πλευρά του τετραγώνου Δ μονάδων είναι σύμμετρη προς την ποδιαία αν αι μόνο αν η πλευρά του τετραγώνου Ν μονάδων είναι σύμμετρη προς την ποδιαία αθώς έχουν λόγο :1. Ομοίως η πλευρά του τετραγώνου Δ μονάδων είναι ασύμμετρη προς την ποδιαία αν αι μόνο αν η πλευρά του τετραγώνου Ν μονάδων είναι ασύμμετρη προς την ποδιαία. 1

32 Στόχος των παραπάνω στοιχειωδών παρατηρήσεων είναι να αταδείξουμε ότι η ασυμμετρία άθε πλευράς τετραγώνου που αποτελεί παράγοντα του 4 μπορεί να εξεταστεί με τον έλεγχο ενός μιρότερου τετραγώνου. ΤΕΛΙΚΑ: πρόταση 1 4 ρίζες Καταλήγουμε έτσι στην περίπτωση του 17, για την οποία θα εξετάσουμε την ασυμμετρία των α, β όπου a = 17 β. Η Πυθαγόρεια τριάδα που προύπτει από την ΙΙ.14 είναι 8, 9, 17. Έστω ότι Α/Β = 17 ρητός, δηλαδή τα Α, Β είναι σύμμετρα. Θεωρούμε ότι η τα Α, Β βρίσονται σε ελάχιστη αναλογία, με την έννοια ότι το πολύ ένα από τα Α, Β αντιστοιχεί σε άρτιο αριθμό. Δε θα μπορούσαν αι τα δύο να αντιστοιχούν σε άρτιο αριθμό γιατί τότε θα θεωρούσαμε τα μισά τους ή τα μισά των μισών τους.ο.. ότι βρίσονται σε ελάχιστη αναλογία.

33 Θα αποδείξουμε ότι η πλευρά τετραγώνου 17 πόδων είναι ασύμμετρη προς την ποδιαία. Εάν Β άρτιος τότε η υποτείνουσα του ως άνω ορθογωνίου τριγώνου είναι άρτια οπότε από Πρόταση Α τα μήη των αθέτων πλευρών θα είναι άρτια. Όμως αυτό είναι άτοπο διότι εμείς επιλέξαμε το πολύ ένα από τα Α, Β να είναι άρτιο. Οπότε το ένα θα είναι άρτιο αι το άλλο περιττό, δηλαδή ένα από τα Α, Β θα είναι ταυτόχρονα αι άρτιο αι περιττό, άτι που είναι αδύνατο. Τότε το Β είναι περιττό αι αφού αι το 8Β διαιρείται με το 4 τότε το Α είναι περιττό από Πρόταση Β. Δεν μπορούμε να συνεχίσουμε τον ισχυρισμό μας αι να αταλήξουμε σε άποιο αδύνατο αποτέλεσμα. Επιπλέον η γενιή μορφή Πρότασης που θα προέυπτε με αντιπρόσωπο το 17 θα ήταν η Πυθαγόρεια Τριάδα (8Ν+1-1)/ = 4Ν, 4Ν+1, 8 N + 1, για την οποία αν εργαστούμε με παρόμοιο τρόπο όπως στις παραπάνω, δε μπορούμε να εξάγουμε άποιο συμπέρασμα αθότι για διαφορετιά Ν η δύναμις προύπτει να είναι είτε τετράγωνος αριθμός είτε μη τετράγωνος αριθμός. Οπότε δε μπορούμε να διατυπώσουμε αμία γενιευμένη μορφή. Δηλαδή παρατηρούμε ότι με την αναατασευή που προτείνει ο Knorr ο Θεόδωρος αντιμετώπισε ανυπέρβλητη δυσολία στην περίπτωση του 17 αι γι αυτό σταμάτησε. Τελιά αυτή η μέθοδος που εφαρμόζει εδώ ο Knorr δεν είναι άλλη παρά να πούμε ότι N = α/β αι να αταλήξουμε ότι α, β ασύμμετρα. Προσαρμόζοντας αυτή την απόδειξη, την πολύ γενιή που δίνει όλες τις ασυμμετρίες, με τον τρόπο ορισμού του N αι με το Πυθαγόρειο τρίγωνο αι περνώντας σε Πυθαγόρειες τριάδες βρίσει άποιες (Πυθαγόρειες τριάδες) για τις οποίες μπορεί να βγάλει λογιές αποδείξεις για όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις του 17 αι ατά

34 άποιο τρόπο να βρει άποιο εμπόδιο στην περίπτωση του 17 αι να άνει με αυτό τον τρόπο αναατασευή. Δύο είναι τα ύρια μειονετήματα της αναατασευής αυτής: Κατ αρχάς γενιεύεται σε άπειρες περιπτώσεις αι όχι μόνο σε αυτές που αναφέρει ο Knorr, για την αρίβεια στις άπειρες περιπτώσεις των μη τετραγωνιών αρρήτων με γενιή μορφή 4 N +, 8 N + 5, (N + 1), 4 N. Επιπλέον αδυνατεί να ερμηνεύσει σωστά το χωρίο του Πλάτωνος [Θ] το οποίο δεν αφήνει ερωτηματιά στον αναγνώστη, όταν ερμηνευτεί σωστά. 4

35 1. M. F. Burnyeat Ο Μ. Burneat σε αυτοτελές άρθρο του [Β] μελετά διεξοδιά το χωρίο [Θ] με σοπό να αναατασευάσει - μελετήσει τη μαθηματιή αναάλυψη που αναφέρεται, μέσα από φιλολογιό φιλοσοφιό πρίσμα. Κατ αρχάς τονίζει ότι η άποψή του συγλίνει με όλων σχεδόν των μελετητών H.Vogt, E.Sachs, S.T.Heath, K. v Fritz B.L.v d Waerden- στο ότι τα όσα αναφέρονται στο χωρίο αυτό αποτελούν ιστοριή πηγή τόσο για το επίτευγμα του Θεοδώρου όσο αι του Θεαίτητου [Β,σελ.490]. Κύρια διαφωνούσα άποψη είναι αυτή του A.Szabo, σύμφωνα με την οποία ο Θεαίτητος δεν προέβει σε άποια αναάλυψη που είναι άξια αναφοράς αφού τα όσα περιγράφονται στο μιρό αυτό χωρίο είναι ήδη γνωστά από παλαιότερους. Οι αντιρουόμενες αυτές θέσεις θα εξηγηθούν διεξοδιά παραάτω. Ο Burnyeat μελετάει την ερμηνεία των λέξεων που χρησιμοποιεί ο Πλάτων, επιλέγοντας ως ύριο άξονα τη μετάφραση του J.McDowell. Εξετάζει τις ερμηνείες των λέξεων χωριστά για την εργασία του Θεοδώρου από του Θεαίτητου αι είναι της άποψης ότι ο Πλάτων παρόλο που σαφώς θέλει να δηλώσει στο χωρίο αυτό τις λαμπρές ανααλύψεις των δύο ανδρών δεν αναφέρει τίποτα για τον τρόπο με τον οποίο εργάστηαν. «Δύναμις»: Ο όρος «δύναμις» αναφέρεται δύο φορές στο χωρίο αυτό αι ατά τον Burnyeat έχει δύο ερμηνείες αντίστοιχα, στην πρώτη αναφορά περιγράφει τις αποδείξεις του Θεόδωρου αι στη δεύτερη αποτελεί τον ορισμό που ατέληξε να διατυπώσει ο Θεαίτητος. Τα επιχειρήματα που παραθέτει έχουν ως εξής: Ο Θεόδωρος απέδειξε ότι για συγεριμένα τετράγωνα εμβαδού 1 αι εμβαδού, οι πλευρές αυτών είναι ασύμμετρες. Έανε το ίδιο για τα τετράγωνα εμβαδού 5, 7 μέχρι 17 συγρίνοντας τα με το τετράγωνο εμβαδού 1. Στο σημείο αυτό υπάρχει διάσταση απόψεων μεταξύ των Sachs, Vogt, Szabo που πιστεύουν ότι η ερμηνεία είναι «δύναμις = τετράγωνο» αι των Heath, von Fritz, vd Waerden αι 5

36 πολλών άλλων σχολιαστών που πιστεύουν ότι «δύναμις = πλευρά τετραγώνου». Ο όρος «δύναμη», λέει ο Βurnyeat ότι δε θα μπορούσε να αναφέρεται στις πλευρές των τετραγώνων αλλά στα ίδια τα τετράγωνα, διότι τότε η ερμηνεία του χωρίου θα ήταν «περί δυνάμεων(πλευρών τετραγώνου). πόδων, 5 πόδων στο μήος» που είναι λάθος γιατί οι πλευρές, 5 πόδων είναι σύμμετρες με την πλευρά μήους 1. Επιαλείται δύο άλλες χρήσεις του όρου αυτού στον Πολιτιό αι στον Τίμαιο όπου ερμηνεύεται ως «τετράγωνο». Πολιτιός 66αβ XE. Kaˆ m¾n tò ge zùon, Óson ¼meron kaˆ gela on, scedõn pl¾n geno n duo n p n ½dh katakekerm tistai. tõ g r tîn kunîn oùk p xion katariqme n gšnoj æj n gela oij qršmmasin. NE. SW. OÙ g r oân. ll t ni d¾ të dúo diairoàmen; XE. Wiper kaˆ d kaiòn ge Qea thtòn te kaˆ s dianšmein, peid¾ kaˆ gewmetr aj ptesqon. NE. SW. Tù; XE. TÍ diamštrj d»pou kaˆ p lin tí táj diamštrou diamštrj. NE. SW. Pîj epej; XE. `H fúsij, n tõ gšnoj ¹mîn tîn nqrèpwn kškthtai, mîn llwj pwj e j t¾n pore an pšfuken À kaq per ¹ di metroj ¹ dun mei d pouj; NE. SW. OÙk llwj. XE. Kaˆ m¾n ¼ ge toà loipoà gšnouj p lin stˆ kat dúnamin aâ táj ¹metšraj dun mewj di metroj, e per duo n gš sti podo n dˆj pefuku a. NE. SW. Pîj d' oùk œsti; kaˆ d¾ kaˆ scedõn Ö boúlei dhloàn manq nw. XE. PrÕj d¾ toútoij teron aâ ti tîn prõj gšlwta eùdokimhs ntwn n, ð Sèkratej, «ra kaqorîmen ¹m n gegonõj n to j divrhmšnoij; NE. SW. TÕ po on; Τίμαιος 1c ÐpÒtan g r riqmîn triîn e te Ôgkwn e te dun mewn æntinwnoàn Ï tõ mšson, Ótiper tõ prîton prõj aùtò, toàto aùtõ prõj tõ œscaton, kaˆ p lin aâqij, Óti tõ œscaton prõj tõ mšson, tõ mšson prõj tõ prîton, tòte tõ mšson mn prîton kaˆ œscaton gignòmenon, tõ d' œscaton kaˆ tõ prîton aâ mšsa mfòtera, p nq' oûtwj x n gkhj t aùt enai sumb»setai, t aùt d genòmena ll»loij n p nta œstai. 6

37 Αξιοπρόσεχτο είναι ότι ο Βurnyeat φαίνεται να τονίζει τη χρήση του όρου στα παραπάνω χωρία από τις οποία δε βγαίνουν ξεάθαρα συμπεράσματα ενώ αγνοεί άλλες σημαντιές χρήσεις όπως αυτές που συναντούμε στα χωρία Θεαίτητος 156α, Σοφιστής 47e4, 48e5, τις οποίες θα μελετήσουμε στο Κεφ.. Ο Θεαίτητος χωρίζει τους αριθμούς σε δύο ατηγορίες, τους τετράγωνους αι τους προμήεις αι αντίστοιχα χωρίζει αι τις γραμμές σε μήη αι δυνάμεις. Ο όρος «δύναμις» συνήθως αναφέρεται για να ορίσει εμβαδό, επιφάνειες, η μόνη άλλη φορά που βρίσουμε παραπλήσια χρήση αυτού του όρου είναι οι ορισμοί των «μήει συμμέτρων» αι «δυνάμει συμμέτρων» στο Χ. Βιβλίο των Στοιχείων, το οποίο έρχεται σε απόλυτη συμφωνία με το ότι γνωρίζουμε ότι συγγραφέας του Βιβλίου αυτού είναι ο ίδιος ο Θεαίτητος. Ο Βurnyeat ονοματίζει τις δυνάμεις «square lines» -σε αντίθεση με τις «length lines» που είναι τα μήη- θέλοντας να τονίσει με αυτό τον τρόπο, την υπόσταση από την οποία χαρατηρίζονται. Δηλαδή τα τετράγωνα ενυπάρχουν στον ορισμό των δυνάμεων, όπως τον αποδίδει ο Θεαίτητος. Τελιά ο Β. συμπεραίνει ότι οι δύο χρήσεις του όρου «δύναμις» επιδέχονται διαφορετιές ερμηνείες. Η εργασία του Θεόδωρου αναφέρεται σε «τετράγωνα» εμβαδού, 5 ενώ ο ορισμός που διατυπώνει ο Θεαίτητος στην ουσία είναι ο ορισμός των «Δυνάμει μόνο σύμμετρων» ευθειών. Δηλαδή ατά τον Burnyeat 147d δύναμις = τετράγωνο, ενώ στο 148b1 δύναμις = δυνάμει σύμμετρα. Αξίζει να αναφέρουμε μία περίτεχνη ερμηνεία, αλλά άπως αυθαίρετη που δίνει ο Szabo, για το πώς προύπτει γλωσσιά το «δύναμις» να ερμηνεύεται ως «τετράγωνο» [Βu,σελ498-9]. Κάθε ευθύγραμμο χωρίο δύναται να τετραγωνιστεί (ΙΙ.14, VI.1), άρα δύναμις = ιανότητα τετραγωνισμού (square value όσο δύναται, τετραγωνίζειν) = τετράγωνο!! Μάλιστα αφού διατυπώσει την άποψη ότι οι όροι «δύναμις-μήος» είναι συντομεύσεις των όρων «δυνάμει σύμμετρο μήει σύμμετρο», ισχυροποιεί τη θέση του ότι οι ορισμοί αυτοί δεν αποδίδονται στο Θεαίτητο (??) Ένας τέτοιος ισχυρισμός δε μπορεί παρά να είναι λάθος αθώς οι ορισμοί αυτοί περιέχονται στο Χ Βιβλίο που αποδίδεται στο Θεαίτητο αι βρίσονται 7

38 σε πλήρη συμφωνία με όσα περιγράφονται στο [Θ]. Δηλαδή ενώ η αρχιή σέψη του Szabo, ότι οι ορισμοί δύναμις-μήος αναφέρονται ως συντομεύσεις των ορισμών Χ.- είναι σωστός το αποτέλεσμα στο οποίο αταλήγει είναι αριβώς το αντίθετο από το αναμενόμενο. Η χρήση του όρου «δύναμις» είναι πράγματι δυσνόητη στο χωρίο αυτό αι έχει προβληματίσει πολύ τους σχολιαστές από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Ο Burnyeat αν αι άνει εύλογες αι προσεχτιές παρατηρήσεις εν τούτοις εύολα υιοθετεί δύο ξεχωριστές ερμηνείες μίας σημαντιής λέξης που χρησιμοποιεί ο Πάτων δύο φορές στο μιρό αυτό χωρίο που εξετάζουμε. Μία τέτοια λύση δεν φαίνεται να είναι σωστή, παρόλα αυτά ο Burnyeat όχι μόνο την προτείνει αλλά με αυτό το ριτήριο σχολιάζει αι διορθώνει τις απόψεις άλλων σχολιαστών. Υποστηρίζει ότι τόσο οι Αρχαίοι όσο αι σύγχρονοι σχολιαστές στην προσπάθειά τους να δώσουν μία ενιαία ερμηνεία στη λέξη πέφτουν σε σφάλματα. Οι μεν αρχαίοι σωστά ερμηνεύουν το δύναμις στο στίχο 147 ως «Τετράγωνο» αλλά στη συνέχεια προσπαθούν να βγάλουν συμπεράσματα από το διαχωρισμό που άνει ο Θεαίτητος σε «μήη» αι «δυνάμεις» ως δύο είδη τετραγώνων! Από την άλλη πλευρά οι σύγχρονοι σχολιαστές σωστά ερμηνεύουν το «δύναμις» στο στίχο 148 ως είδος γραμμής αλλά εσφαλμένα ατά τον Β. για το λόγο που αναφέρθηε παραπάνω- ερμηνεύουν τις «δυνάμεις» με τις οποίες ασχολήθηε ο Θεόδωρος ως «πλευρές τετραγώνων». Ο ισχυρισμός αυτός ισχυροποιείται ατά τον Β. με την ερμηνεία της φράσεως: «peid¾ peiroi tõ pláqoj aƒ dun meij fa nonto, peiraqánai sullabe n e j n», ως εξής: «since the δυνάμεις were turning out to be unlimited in number». Δηλαδή ο Θεαίτητος αθώς επεξεργαζόταν τα όσα τους έδειξε ο Θεόδωρος -ο οποίος ασχολήθηε με συγεριμένα τετράγωνα δουλεύοντας ατά περίπτωσησέφτηε ότι θα υπάρχουν άπειρες πλευρές τετραγώνων οι οποίες να είναι δυνάμει μόνο σύμμετρες με την ποδιαία αι άπως έτσι ατέληξε στο συλλογισμό «δουλεύοντας πιθανώς με μία μέθοδο η οποία να λειτουργεί επ άπειρο». O Βurnyeat σωστά προσπαθεί να ερμηνεύσει το «δύναμις» σε συνδυασμό με την έφραση 8

39 «peiroi tõ pláqoj», η ερμηνεία της οποίας δεν είναι «επ άπειρο-άπειρος αριθμός». Διεξοδιή μελέτη της τελευταίας έφρασης παραθέτουμε παραάτω στο Κεφ.. n d taútv pwj nšsceto: Υπάρχουν ερμηνείες υπό εξέταση για τον όρο αυτό: α) στο σημείο αυτό για άποιο (ανένα ιδιαίτερο) λόγο σταμάτησε, β) στη σημείο αυτό για άποιο (ιδιαίτερο) λόγο σταμάτησε αι γ) στο σημείο αυτό βρήε ανυπέρβλητη δυσολία. Ο Vogt θεωρεί ότι σωστή ερμηνεία είναι η (α) αι μάλιστα πιστεύει ότι αφού ο Θεόδωρος δε σταμάτησε για άποιο συγεριμένο λόγο αυτό σημαίνει πως η μέθοδός του λειτουργεί για όλες τις περιπτώσεις αι θα μπορούσε να είναι η απόδειξη που αναφέρεται στο χωρίο Αριστοτέλους, Αναλυτιά Υστερα [ΑΥ]. Οπότε στο Θεόδωρο πρέπει να πιστωθεί αι η στοιχειοθέτηση θεωρίας ασυμμετρίας αι όχι στο Θεαίτητο [Βu,σελ.504]. Σε Ανώνυμα Σχόλια αλλά αι σε χωρίο του Ιάμβλιχου υποστηρίζεται η ερμηνεία (α), ενώ το 1957 ο Hackforth υποστήριξε ότι το ρήμα στη συγεριμένη περίπτωση έχει τη συνήθη του ερμηνεία που είναι «be held up, entangled, βρήε ανυπέρβλητη δυσολία». Την ανάλυση του Ηackforth δέχεται αι ο Κnorr όπως αναφέρθηε προηγούμενα. Ο Β. σε παρατήρηση που παραθέτει στο άρθρο του αναφέρεται διεξοδιά στην αναατασευή του Κ. λέγοντας ότι ενώ γενιώς συμφωνούν στην ανάλυση του χωρίου, διαφωνούν στην μελέτη ερμηνεία αυτής της έφρασης. O K. ερμηνεύει την πρόταση αυτή ως «σε αυτή την περίπτωση (17) για άποιο λόγο αντιμετώπισε ανυπέρβλητη δυσολία», το εν ταύτη ισχυρίζεται ότι σημαίνει «σε αυτή την περίπτωση», δηλαδή πιστεύει πως ο Θεόδωρος σταμάτησε γιατί βρήε δυσολία στο 17 αι όχι ότι απέδειξε αι το 17 αι βρήε δυσολία μετά το 17 (στο 19 δηλαδή). Ο Β. ισχυρίζεται πως αν ο Κ. ήθελε να ερμηνεύσει το αρχαίο αυτό χωρίο με βάση το λεξιό, θα ήταν πιο σωστό να ερμηνεύσει την πρόθεση «εν» σε συνδυασμό με το «ενέσχετο» που σημαίνει εξαιτίας του, από αυτό, το «εν» δηλαδή είναι επεξηγηματιό αι όχι τοπιό. Μία τέτοια ερμηνεία όμως δε θα σήμαινε πως στο 17 βρήε δυσολία. 9

40 Ο Knorr απαντώντας σε αυτή την παρατήρηση λέει ότι οι σχολιαστές στους οποίους αναφέρεται ο Β. (ανώνυμος σχολιαστής στο Θεαίτητο αι Ιάμβλιχος) έζησαν χρόνια μετά τον Πλάτωνα αι δεν αποτελούν αλύτερες πηγές από τα ίδια τα έργα του Πλάτωνα ή συγχρόνων του όπως είναι ο Ηρόδοτος, τους οποίους μελετά το Λεξιό Liddell-Scott-Jones που χρησιμοποιεί ο Ηackforth. O Burnyeat επιπλέον υπογραμμίζει ότι το ρήμα συνήθως σημαίνει αυτό αι επιπλέον η σωστή ερμηνεία πρέπει να προύψει από τη μελέτη όλου του ειμένου αι όχι μεμονωμένα από μία λέξη. Δηλαδή πρέπει το ίδιο το είμενο να μας δώσει άποια ένδειξη ότι η δυσολία προέυψε στο 17 ανεξάρτητη από την ερμηνεία του «ενέσχετο» αι αυτό ο Κ. δεν μπορεί να το άνει. Αντιθέτως ο Β. ισχυρίζεται ότι το είμενο δεν έχει αμία ένδειξη ότι ο Θεόδωρος δυσολεύτηε στο 17 αθώς τη συνέχεια της πρότασης «άπειροι το πλήθος αι δυνάμεις εφαίνονται» την ερμηνεύει ως «επειδή οι δυνάμεις φαίνονταν να είναι άπειρες στο πλήθος.», δηλαδή σύμφωνα με το Β. ο Θεόδωρος δεν βρήε δυσολία στο 17 γιατί αν συνέβη άτι τέτοιο πώς ο Θεαίτητος θα μπορούσε να βγάλει συμπεράσματα από τη μέθοδο του Θεόδωρου αν αυτή σταματούσε στο 1 ο παράδειγμα;;; Πιστεύει ότι η φράση είναι ασαφής αι ότι υπάρχουν προβλήματα στην ερμηνεία της. Αφού δεχόμαστε ότι ο Θεαίτητος ατηγοριοποίησε αι ομαδοποίησε τα αποτελέσματα του Θεοδώρου στοιχειοθετώντας μία θεωρία ασυμμέτρων μεγεθών, αυτό έρχεται σε αντίθεση με το «ενέσχετο = αντιμετώπισε ανυπέρβλητη δυσολία» στη περίπτωση του 17 του Θεοδώρου. Από την άλλη πλευρά εάν η μέθοδος του Θεοδώρου λειτουργεί γενιά αι δε βρίσει πρόβλημα στο 17 ή στο 19 τότε οι ορισμοί που αολουθούν στο είμενο δεν ανήουν τόσο πολύ στο Θεαίτητο όσο στο Θεόδωρο. Ο Β. είναι αντίθετος γενιά με την ερμηνεία που δίνει ο Κ. λέγοντας χαρατηριστιά ότι «δεν είναι δυνατό να θεωρεί άποιος το χωρίο αυτό ως αδιάψευστη ιστοριή πηγή αι ταυτόχρονα να αγνοεί άποια ρίσιμα στοιχεία». Ο Knorr απαντά αι σε αυτή την παρατήρηση λέγοντας πως αν δεχτούμε ότι το χωρίο αποτελεί ιστοριή πηγή αι ο Burnyeat συμφωνεί σε αυτό- τότε δεν έχουμε παρά να δεχτούμε ότι ο Θεόδωρος απέδειξε τις ασυμμετρίες από το μέχρι το 17 αι ο Θεαίτητος είναι αυτός που ομαδοποίησε τους αριθμούς αι τις γραμμές στοιχειοθετώντας θεωρία λόγου. Σύμφωνα με αυτό αι αφού δεχτούμε ότι το χωρίο αποτελεί ιστοριή πηγή αι ταυτόχρονα δεχτούμε ότι ο Θεόδωρος δεν αντιμετώπισε 40

Α. Κατασκευασμενοι Ρητοι λογοι

Α. Κατασκευασμενοι Ρητοι λογοι Α. ατασκευασμενοι Ρητοι λογοι Η διαδικασια κατασκευης είναι γνωστη εκ των προτερων, εμεις καθοριζουμε τα μηκη οπότε γνωριζουμε και τη σχεση μεγεθους. Α. 5 0 5 0 To ορθογωνιο εχει μηκος μοναδες και πλατος

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΤΕΛΕΩΝ ΓΕΩΡΓΙΑ- ΧΡΙΣΤΙΝΑ. Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Κα. Φαρµάκη Βασιλική

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΤΕΛΕΩΝ ΓΕΩΡΓΙΑ- ΧΡΙΣΤΙΝΑ. Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Κα. Φαρµάκη Βασιλική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τµήµα Μαθηµατικών και Στατιστικής Τµηµα Επιστήµων Αγωγής ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1 ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Οδηγός Επιβίωσης 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διαφοριός Λογισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Στατιστιή Οδηγός Επιβίωσης Περιλαμβάνει: Ερωτήσεις Θεωρίας Όλες τις Αποδείξεις Χρήσιμο Τυπολόγιο ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Τοπολογιές απειονίσεις Τοπολογία Κλάδος των μαθηματιών που μελετά ανάμεσα σε άλλα τις ιδιότητες εείνες των γεωμετριών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες ατά τις τοπολογιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

A

A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 11/11/017 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας..

Διαβάστε περισσότερα

Ανθυφαιρετική ερµηνεία του επιχειρήµατος του Τρίτου Ανθρώπου (Πλάτωνoς Παρµενίδης, 132a1-b2)

Ανθυφαιρετική ερµηνεία του επιχειρήµατος του Τρίτου Ανθρώπου (Πλάτωνoς Παρµενίδης, 132a1-b2) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ -ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-ail : ifo@hs.gr, www.hs.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistiiou (Εleftheriou Veizelou)

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Ο άρρητος 2=1, και οι αποδείξεις του

Ο άρρητος 2=1, και οι αποδείξεις του Ο άρρητος =1,4141356373095.. και οι αποδείξεις του Ιωσήφ Γκογιάννος 1, Κλειώ Γκουτζάνη, Αργυρώ Δάβου 3, Ειρήνη Δημητρακοπούλου 4, Λυδία Εξάρχου 5 1,,3,4,5 Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 = z 2 x = 3, y = 4, z = 5 x 2 + y 2 = z 2 (2.1)

x 2 + y 2 = z 2 x = 3, y = 4, z = 5 x 2 + y 2 = z 2 (2.1) Πυθαγόρειες Τριάδες Χριστίνα Ιατράκη Ημερομηνία παράδοσης -10-014 1 Εισαγωγικά Ορισμός 1.1 Πυθαγόρεια τριάδα καλείται κάθε τριάδα ακέραιων (x, y, z) που είναι μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης Μια τέτοια

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 14.03.12 Χ. Χαραλάμπους Πριν: Σύμφωνα με την πυθαγόρεια αντιμετώπιση η διαγώνιος και η ακμή τετραγώνου δεν είναι συγκρίσιμα. Ορισμός Ευδόξου: δύο μεγέθη σχηματίζουν λόγο όταν (ακέραιο)

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 18.03.14 Χ. Χαραλάμπους Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Τομές του Dedekind (1831-1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η συνεπαγωγή ν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι το P συνεπάγεται το Q και γράφουμε P Q Π.χ, όταν α=β

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : 1 Η Διδακτική ώρα : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΓ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 4ο: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΙΕΣΗ

ΒΓ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 4ο: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΒΓ/Μ4 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος 4ο: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΕΚΔΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσιή για την B' Τάξη του Γυμνασίου 1. Πίεση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα