Η έννοια του διανύσματος & πρόσθεση αφαίρεση διανυσμάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η έννοια του διανύσματος & πρόσθεση αφαίρεση διανυσμάτων"

Transcript

1 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ & The D s tht mke chmpion: Devotion, Desire, Discipline Η έννοια του διανύσματος & πρόσθεση αφαίρεση διανυσμάτων Τα διανύσµατα έχουν σηµασία όχι µόνο για τα µαθηµατικά αλλά και για πολλές άλλες επιστήµες διότι προσφέρουν τη δυνατότητα µαθηµατικοποίησης µεγεθών τα οποία δεν ορίζονται µόνο µε την αριθµητική τιµή τους. Εξάλλου η αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία ενός σηµείου του επιπέδου µε ένα διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριθµών οδηγεί στην αλγεροποίηση της γεωµετρίας, δηλαδή της µελέτης γεωµετρικών σχηµάτων µε αλγερικές µεθόδους. Ετσι πολλά θέµατα της Ευκλείδιας γεωµετρίας µπορούν πλέον να αντιµετωπισθούν και διανυσµατικά. Εισαγωγή Ορισμός Κάποια µεγέθη στη φύση όπως η µάζα, ο όγκος, η θερµοκρασία, η πυκνότητα κλπ. προσδιορίζονται πλήρως, απλά και µόνο µε το µέτρο τους και τη µονάδα µέτρησης τους. Πχ λέµε kgr, 5 lt, ο C κοκ. Τα µεγέθη αυτά λέγονται µονόµετρα ή αθµωτά. Υπάρχουν όµως και άλλα µεγέθη που για να προσδιοριστούν πλήρως χρειάζονται επιπλέον τη διεύθυνση και τη φορά. Τέτοια είναι η δύναµη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η µετατόπιση, η µαγνητική επαγωγή κλπ. Τα µεγέθη αυτά λέγονται διανυσµατικά µεγέθη ή απλώς διανύσµατα. Πρακτικά η έννοια τους υπονοεί ένα έλος! (αρκεί να σκεφτούµε ότι η έννοια του έλους εµπεριέχει το µέτρο ή µήκος, τη διεύθυνση και τη φορά...) Το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα µε διατεταγµένα άκρα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή του διανύσµατος (ή σηµείο εφαρµογής) και το δεύτερο άκρο λέγεται πέρας του διανύσµατος. Ετσι ένα διάνυσµα µε αρχή Α και πέρας Β συµολίζεται ως AB. Β Α Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσµατος συµπίπτουν τότε το διάνυσµα λέγεται µηδενικό διάνυσµα. Πχ το AA είναι ένα µηδενικό διάνυσµα. Συμολισμός Τα διανύσµατα συµολίζονται µε κεφαλαία γράµµατα πχ AB,KL,BC, ΡΜ,... ή µε µικρά πχ,b, γ,w,... αρκεί από πάνω να τοποθετούµε το έλος. 5

2 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στοιχεία Διανύσματος Η απόσταση των άκρων Α, Β ενός διανύσµατος AB, δηλαδή το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ λέγεται µέτρο του διανύσµατος και συµολίζεται ως AB. Αν AB τότε το AB θα το λέµε µοναδιαίο διάνυσµα. Η ευθεία ε πάνω στην οποία ρίσκεται ένα µη-µηδενικό διάνυσµα λέγεται ε φορέας του διανύσµατος. Ως φορέα ενός µηδενικού διανύσµατος AA µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το Α. Αν ο φορέας ενός διανύσµατος AB είναι παράλληλος ή συµπίπτει µε µια ευθεία ζ, τότε λέµε ότι AB // ζ. ύο µη-µηδενικά διανύσµατα, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραµµικά και προφανώς γράφουµε / /. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα, έχουν την ίδια διεύθυνση. Τα συγγραµµικά διανύσµατα διακρίνονται σε οµόρροπα ή αντίρροπα. Οµόρροπα διανύσµατα Αντίρροπα διανύσµατα α α α α Στις περιπτώσεις αυτές λέµε ότι τα, έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουµε. Στις περιπτώσεις αυτές λέµε ότι τα, έχουν την αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουµε. Ισα Διανύσματα ύο µη-µηδενικά διανύσµατα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα µέτρα. Οπότε γράφουµε θεωρούνται ίσα µεταξύ τους και συµολίζονται µε 0. ΑΒ Γ ή. Τα µηδενικά διανύσµατα 6

3 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ισχύει ότι Αν Μ µέσο του ΑΒ τότε Α MMB και αντιστρόφως Α Μ Β Αν ΑΒ Γ τότε και ΑΓ Β Β ΓΑ Α Β ΒΑ Γ Γ Αντίθετα Διανύσματα ύο διανύσµατα λέγονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα µέτρα. Οπότε γράφουµε ΑΒ Γ ή ΑΒ Γ. Ισχύει AB Γ AB Γ και AB BA Γωνία δύο Διανύσματων Εστω δύο µη-µηδενικά διανύσµατα,. Με αρχή ένα σηµείο Ο παίρνουµε τα διανύσµατα OA α και O Β. B Την κυρτή γωνία AO B που ορίζουν οι ηµιευθείες ΟΑ και ΟΒ την λέµε γωνία των διανυσµάτων α και και τη συµολίζουµε ως ( α, ) ή (, α) ή ϑ. Η γωνία αυτή είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου Ο. Επίσης o 0 ϑ 80 ή 0 ϑ π. Ισχύει ϑ 0 α ϑ π π ϑ α α α Αν ένα από τα διανύσµατα α και είναι το 0 τότε ως γωνία των α και µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε γωνία ϑ µε 0 ϑ π. Επίσης θεωρούµε ότι το 0 είναι οµόρροπο, αντίρροπο ή κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσµα. O ϑ α A 7

4 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Πρόσθεση Διανυσμάτων Εστω δύο διανύσµατα,. Με αρχή ένα σηµείο Ο παίρνουµε το διάνυσµα ΟΑ και µετά µε αρχή το Α παίρνουµε ΑΜ. Το διάνυσµα ΟΜ λέγεται άθροισµα ή συνισταµένη των ως, και συµολίζεται. Ο Α Μ Αποδεικνύεται ότι το είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σηµείου Ο. Ιδιότητες της Πρόσθεσης διανυσμάτων αντιµεταθετική ( ) γ ( γ ) προσεταιριστική 0 το 0 ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση ( ) 0 αντίθετα διανύσµατα Αφαίρεση Διανυσμάτων Ως διαφορά ηλαδή ορίζουµε το άθροισµα των διανυσµάτων και. ( ) Αν έχουµε δύο διανύσµατα. Πράγµατι,, τότε υπάρχει µοναδικό διάνυσµα µε ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 8

5 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα Θέσεως Εστω Ο σταθερό σηµείο (σηµείο αναφοράς). Τότε για κάθε σηµείο Μ ορίζεται το διάνυσµα ΟΜ το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσης του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ. Το σηµείο Ο λέγεται σηµείο αναφοράς και είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτίνων των σηµείων. Ετσι αν Ο το σηµείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσµα ΑΒ έχουµε ηλαδή OA AB OB AB OB OA Συμπέρασμα: Κάθε διάνυσµα στο χώρο είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του πέρατος µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής. Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Για το µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων ισχύει γενικά ότι r ur r ur r ur (Τριγωνική ανισότητα) Ειδικότερα Αν, µη-συγγραµµικά τότε α < α < α Αν, οµόρροπα τότε α < α α Αν, αντίρροπα τότε α α < α Αν α 0ή 0 τότε α α α 9

6 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Βασική Μεθοδολογία Α Για να εκφράσουµε ένα διάνυσµα συναρτήσει κάποιων άλλων ή για να αποδείξουµε σχέση µε διανύσµατα είναι χρήσιµο να θεωρούµε σηµείο αναφοράς (τυχαίο ή συγκεκριµένο). Αλλιώς κάνουµε πράξεις στην δοθείσα σχέση. Β Οι ασκήσεις που ζητούν να αποδειχτεί µια ανίσωση µε µέτρα (απλή ανίσωση ή διπλή ανίσωση) αντιµετωπίζονται µε κατάλληλη χρήση της σχέσης α α α Γ Από την εκφώνηση πρέπει να µπορούµε να καταλάουµε αν απαιτείται σχήµα για την επίλυση της άσκησης ή όχι ΑΒ 0. Ε Για νδο δύο σηµεία Α, Β ταυτίζονται (συµπίπτουν), αρκεί νδο Για να αποδείξουµε ότι τα α και είναι συγγραµµικά και οµόρροπα αρκεί να δείξουµε ότι α α Για να αποδείξουµε ότι τα α και είναι συγγραµµικά και αντίρροπα αρκεί να δείξουµε ότι α α Ζ Αν η άσκηση µας λέει ότι ένα σηµείο Μ είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ, τότε Η ΑΜΜΒ ΜΑΜΒ 0 Αν ΑΜ ΜΒ καταλααίνουµε ότι AM // MBκαι επειδή έχουµε δύο παράλληλα τµήµατα µε κοινό σηµείο το Μ, τότε τα σηµεία Α, Μ, Β είναι συνευθειακά, και συνεπώς το Μ είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ. r r r r Θ Αν α α τότε τα διανύσµατα είναι οµόρροπα, ενώ αν r r r r α α τότε τα διανύσµατα είναι αντίρροπα 0

7 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ Παράδειγµα Για τέσσερα σηµεία Α, Β, Γ, νδο Θεωρούµε σηµείο αναφοράς Ο, οπότε ΑΒ Γ ΑΒ Γ Β O Β OA OΓ Ο ΑΓ ( ΟΒ Ο ) ( ΟΓ ΟΑ) Β ΑΓ Παράδειγµα Νδο α γ α γ Οι ασκήσεις αυτού του τύπου αποδεικνύονται µε χρήση της τριγωνικής ανίσωσης δηλαδή της α α α Οπότε α γ ( α) γ α γ α γ Παράδειγµα Εστω Μ το µέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Με αρχή το Μ γράφουµε τα διανύσµατα Μ ΓΒ και ΜΕ ΒΑ. Νδο το Α είναι µέσο του Ε Κάνουµε σχήµα A E M B Γ Αφού Μ µέσο του ΑΓ άρα ΑΜ ΜΓ Αφού Μ ΓΒ άρα ΜΓ Β Συνεπώς ΑΜ Β άρα και Α ΒΜ () Αφού ΜΕ ΒΑ άρα ΑΕ ΒΜ () Από τις () και () προκύπτει Α ΑΕ δηλαδή Α µέσο του Ε

8 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα Εστω τα σηµεία Α, Β, Γ,, Ε, Ζ για τα οποία ισχύει και Β συµπίπτουν Α τρόπος Θεωρούµε Ο σηµείο αναφοράς. Οπότε ΑΓ Ε ΓΒΕ ΟΓ ΟΑΟΕ Ο ΟΓ Ο ΟΕ ΟΒ ΑΓ Ε Γ ΒΕ. Νδο τα σηµεία Α ΟΑ ΟΒ ΟΑΟΒ ΑΟΟΒ ΑΟΟΒ 0 ΑΒ 0 άρα τα Α,Β ταυτίζονται. Β τρόπος Eκτελούµε πράξεις στην δοθείσα σχέση. Οπότε ΑΓ Ε ΓΒΕ ΑΓ Ε Γ ΒΕ 0 ΑΓ ΕΓ ΕΒ 0 ΑΓΓ ΕΕΒ 0 Α Β 0 ΑΒ 0 άρα τα Α,Β ταυτίζονται. Παράδειγµα 5 Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Ε ισχύει είναι παραλληλόγραµµο Κάνουµε πράξεις στην δοθείσα σχέση. Παρατηρούµε ότι αυτή γράφεται ως ΑΒ ΑΓΑ ΑΕ νδο το τετράπλευρο Β ΓΕ ΑΒ ΑΓΑ ΑΕ ΑΒ Α ΑΓ ΑΕ 0 ΒΕΓ 0 Β ΕΓ Β ΓΕ δηλαδή το Β ΓΕ είναι παρ/µο Παράδειγµα 6 Για ένα τυχαίο εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ νδο ΑΓ Β ΓΕ ΖΕΑΖΒ 0 Θεωρούµε Ο σηµείο αναφοράς οπότε Α Β ΑΓ Β ΓΕ ΖΕΑΖΒ Ζ Γ ΟΓ ΟΑΟ ΟΒΟΕ ΟΓΟΖ Ο ΟΑ ΟΕΟΒ ΟΖ0 Ε

9 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα 7 Εστω το κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ µε ΑΒ και ΒΓ. Να γραφεί το διάνυσµα Γ ως συνάρτηση των, Θεωρούµε ως σηµείο αναφοράς Ο το κέντρο του εξαγώνου οπότε Α Β Γ ΓΟΟ Ζ O Γ Ε Παράδειγµα 8 Αν Α, Β, Γ, είναι τέσσερα τυχαία σηµεία, να συµπληρωθούν οι ισότητες ) AB BΓ.. ) AB B.. ) AB BΓΓ.. ) B Γ.. 5) AB B Γ.. 6) A ΓΓ B.. 7) ΓB B A.. 8) A B BA. 9) AB B Γ AΓ. Παράδειγµα 9 Αν ΑΒΓ ρόµος να χαρακτηρίσεις ως Σ ή Λ ) AB Γ ) AB B ) AB Γ 5) AB Γ ) AB A 6) AB BΓ

10 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ / ΕΞΑΣΚΗΣΗ ) Να ρεθεί το άθροισµα ΑΓ Β ΓΕ ΖΕΑ ΖΒ ) Αν ΑΒ ΑΓ Β Γ νδο τα σηµεία Α και ταυτίζονται ) Αν Α ΒΓ και ΑΓ ΒΕ νδο το Γ είναι µέσο του Ε ) Βάση του διπλανού σχήµατος νδο το Μ είναι µέσο του ΑΒ γ Μ γ B α 5) Αν α, 5νδο α 7 α A 6) Αν ΟΑ 5, ΟΒ νδο ΑΒ 8 7) Εστω τρίγωνο ΑΒΓ. Νδο ΑΒ ΒΓΓΑ 0 8) Αν ΚΛ ΛΚ νδο ΚΛ 0

11 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ασκήσεις ) Oι δυνάµεις F,F,..., F5 ασκούνται στο σώµα Σ. Ποιά δύναµη χρειάζεται ώστε να µην αφήσει το σώµα Σ να µετακινηθεί από τη θέση του? F F 5 F F Σ F ) ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ και έστω,, γ, δ τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσεως ως προς ένα σηµείο αναφοράς Ο. Τι µπορείτε να πείτε για το τετράπλευρο ΑΒΓ αν Α) α γ δ Β) α γ δ Γ) α γ δ και α γ δ ) Να εκφράσετε το διάνυσµα σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα ως συνάρτηση των άλλων διανυσµάτων που δίνονται α γ α α ζ γ δ ε ) Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Ε ισχύει ΑΒ ΑΓ Α ΑΕ νδο το τετράπλευρο Β ΓΕ είναι παραλληλόγραµµο 5) ίνονται σηµεία Α, Β, Γ, και έστω Ο το µέσο του τµήµατος ΑΓ. Νδο O ΒΟ ΑΒ Γ 5

12 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 6) ίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ. Αν ΑΒ α, συνάρτηση των α και ΒΓ να εκφράσετε το Γ ως 7) Για ένα τυχαίο εξάγωνο Ρ PP PP5 P6 νδο Ρ P PP PP 5 PP6 P5 P P6P 0 Γ 8) Στο ρόµο ΑΒΓ του σχήµατος είναι ΑΓ, Β b. Να ρεθούν τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α O Β 9) Εστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σηµείο του χώρου. Α Α) Νδο ΡΑ ΡΓΡΒ Ρ Β) Να ρεθεί η θέση του σηµείου Ρ ώστε να ισχύει ΡΑ ΡΒΡΓΡ 0 0) Εστω τα διανύσµατα ΟΑ, ΟΒ b, ΟΓ b, Ο b. Να εκφραστούν τα διανύσµατα ΑΓ, Β, ΒΓ, ΑΒ, ΑΓ Β συναρτήσει των, b ) Εστω το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Νδο το διάνυσµα MA BMΜΓ Μ είναι σταθερό (δηλαδή ανεξάρτητο του Μ) ) Εστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σηµείο του επιπέδου. Νδο το διάνυσµα w ΡΑ 5ΡΒ ΡΓ είναι σταθερό (δηλαδή ανεξάρτητο του Ρ) ) Εστω ΑΒΓ παραλληλόγραµµο και Ε σηµείο του επιπέδου µε ΑΕ ΑΓ ΒΓ. Νδο α) Ε ΑΒ Α, ) τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΕ, Γ διχοτοµούνται ) Εστω ΑΒΓ παραλληλόγραµµο µε Α α, ΑΒ και τα σηµεία Μ, Ν µε Μ Α και ΒΝ ΑΒ. Νδο τα σηµεία Μ, Γ, Ν είναι συνευθειακά 6

13 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 5) Νδο για οποιαδήποτε σηµεία Α, Β, Γ, ισχύει Α ΒΓΑΓΒ 6) Αν για τα µη-µηδενικά διανύσµατα,, γ ισχύει ότι α γ 0 και α 6 γ νδο α και γ 7) Αν για τα µη-µηδενικά διανύσµατα,, γ ισχύει ότι α γ 0 και γ α νδο / / / / γ 8) Αν για τα µη-µηδενικά διανύσµατα,, γ ισχύει ότι α γ 0 και γ α νδο / / / / γ 9) Για τρία µη-µηδενικά διανύσµατα,, γ ισχύει γ γ και γ. Νδο α) γ, ) 0) Αν γ γ γ τότε ) Αν u υ, u υ να εκφράσετε τα u, υ συναρτήσει των, ) Νδο αν, 5τότε ) Νδο αν και τότε 7 7

14 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Μια απλή αλλά ιδιαίτερα όµορφη πρόταση του γνωστού Καραθεοδωρή, που συνδυάζει απλές γνώσεις διανυσµάτων και ευκλείδιας γεωµετρίας απλή µεν..έξυπνη δε!!!... ΠΡΟΤΑΣΗ ΚΑΡΑΘΕΟ ΩΡΗ ( όθηκε ως θέµα σε ϖαλαιότερη Ελληνική Μαθηµατική Ολυµϖιάδα) Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ, θεωρούµε τυχαίο σηµείο Ο. Αν ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ είναι τα εµαδά των τριγώνων ΒΟΓ, ΑΟΓ, ΑΟΒ αντίστοιχα, νδο uuur uuur uuur r E OA E OB E OΓ 0 A B A Γ E Γ O E B B E A Γ 8

15 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ Σήµερα γίνεσαι αυτό που θα είσαι αύριο Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Ορισμός Εστω λ R * και ένα µη-µηδενικό διάνυσµα. Λέµε γινόµενο του αριθµού λ µε το διάνυσµα και συµολίζουµε ως οποίο είναι Οµόρροπο του αν λ> 0 και αντίρροπο του αν λ< 0 Εχει µέτρο λ λ ή λ, ένα διάνυσµα το Αν λ 0 ή 0 τότε ορίζουµε ως λ το µηδενικό διάνυσµα 0. Ιδιότητες λ ( α±) λα±λ ( λ ±µ ) αλα±µ α λ ( µα) ( λµ )α λ α 0 λ 0 ή α 0 ( λα) λ( α) λα ( ) Αν Αν λ αλ και λ 0 τότε α λ αµ α και α 0 τότε λ µ Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων Γραµµικό συνδυασµό δύο διανυσµάτων και λέµε κάθε διάνυσµα της µορφής v k λ, όπου k,λ R. Πχ. v α, m α 5 κλπ Ανάλογα ορίζεται και ο γραµµικός συνδυασµός τριών ή περισσότερων διανυσµάτων. 9

16 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Συνθήκη Παραλληλίας α // αλ όπου R λ και 0 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου τμήματος Εστω ένα διάνυσµα ΑΒ και ένα σηµείο αναφοράς Ο. Αν Μ µέσο του ΑΒ, τότε προφανώς ΑΜ ΜΒ. ηλαδή αναλύοντας προκύπτει OΜ OA OΒ OM δηλαδή A M B OΜ OA OΒ ή O Μ ( OA OΒ) O 0

17 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Βασική Μεθοδολογία Α Για να δείξουµε ότι δύο διανύσµατα, b είναι παράλληλα (ή συγγραµµικά), αρκεί νδο kb k R Β Για να δείξουµε ότι δύο διανύσµατα, b είναι οµόρροπα, αρκεί νδο kb k R,k > 0 Γ Για να δείξουµε ότι δύο διανύσµατα, b είναι αντίρροπα, αρκεί νδο kb k R,k< 0 Για να δείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί νδο AB kbγ ή AB kaγ k R Ε Είναι χρήσιµο να θυµόµαστε ότι οι περισσότερες ασκήσεις αντιµετωπίζονται αναλύοντας (σπάζοντας) τα διανύσµατα της σχέσης που δίνεται. Οι αναλύσεις αυτές γίνονται είτε ως προς τυχαίο σηµείο αναφοράς Ο είτε ως προς συγκεκριµένο σηµείο αναφοράς Α δεδοµένου ότι το σηµείο Α προυπάρχει στα διανύσµατα που δίνονται Ζ Οταν µια άσκηση αναφέρει µέσο τµήµατος, θα χρησιµοποιούµε τον τύπο για την διανυσµατική ακτίνα του µέσου τµήµατος Η Οταν µια άσκηση αναφέρει το αρύκεντρο G ενός τριγώνου, θα χρησιµοποιούµε σχέσεις για το αρύκεντρο

18 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ Παράδειγµα Νδο (ασική εφαρμογή για το αρύκεντρο τριγώνου) Α) Ενα σηµείο G είναι αρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ αν και µόνο αν GA GB GΓ 0 Β) Aν G το αρύκεντρο τριγώνου ΑΒΓ, τότε για οποιοδήποτε σηµείο Ο ισχύει OG (OA OB OΓ) Α) Αφού G αρύκεντρο (ή κέντρο άρους) του ΑΒΓ (δηλαδή σηµείο τοµής των διαµέσων) τότε ΑG G A δηλαδή και AG G. Επίσης ισχύει G (GB GΓ) ή G GB GΓ Οπότε GA GB GΓ GA G GA AG GG 0 B G Γ Αντιστρόφως: Aν για ένα σηµείο G ενός τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει GA GB GΓ 0, θδο το G είναι αρύκεντρο του τριγώνου. Πράγµατι, GA GB GΓ 0 GA G 0 AG G 0 AG G άρα AG G δηλαδή G αρύκεντρο του ΑΒΓ. Β) Η σχέση GA GB GΓ 0αναλύοντας την, γράφεται ως OA OG OB OG OΓ OG 0 OG OA OB OΓ OG (OA OB OΓ) Παράδειγµα Aν G, G τα αρύκεντρα των τριγώνων ΑΒΓ και Α Β Γ νδο AA ' BB' ΓΓ' GG' Ξεκινούµε αναλύοντας τα διανύσµατα του Α-µέλους, οπότε AA' BB' ΓΓ' OA' OA OB' OB OΓ' OΓ (OA' OB' OΓ') (OA OB OΓ) OG' OG (OG' OG) GG'

19 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ. Νδο για οποιοδήποτε σηµείο Μ το διάνυσµα MA 5MB MΓ είναι σταθερό Ξεκινούµε αναλύοντας το δοθέν διάνυσµα ως προς Α. MA 5MB MΓ MA 5(AB AM) (AΓ AM) MA 5AB 5AM AΓ AM AM 5AM AM 5AB AΓ 5AB AΓ το τελευταίο διάνυσµα είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ) Παράδειγµα Στο παρακάτω σχήµα είναι Α Α B και Α E ΑΓ. Αν G αρύκεντρο του ΑΒΓ, νδο το τετράπλευρο ΑG Ε είναι παραλληλόγραµµο E Αφού Ζ µέσο του ΒΓ, άρα AZ ( AB AΓ). A Για νδο ΑG Ε παρ/µο, αρκεί νδο Πράγµατι, E AG. G E EA A AE A AΓ AB (AB AΓ) AZ AZ AG B Z Γ Παράδειγµα 5 Εστω παρ/µο ΑΒΓ και δύο σηµεία Ε, Ζ ώστε AE ka και AZ λab µε k λ, k. Νδο τα σηµεία Ε, Γ, Ζ είναι συνευθειακά k E Γ AΓ AE AB BΓ ka AB A ka AB ( k)a AB (k ) A () k k EZ AZ AEλAB ka AB ka k k k Αρα EZ ΕΓ δηλαδή EZ // ΕΓ k Οπότε τα σηµεία Ε, Γ, Ζ είναι συνευθειακά () k ( AB (k )A ) ΕΓ k A Γ B

20 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα 6 ίνεται παρ/µο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Μ τέτοιο ώστε Αναλύουµε τα διανύσµατα της δοθείσας σχέσης ως προς Α. Οπότε MA MB MΓ M MA MB MΓ M AM AB AM AΓ AM A AM A Γ B AM AB AΓ A AM AB AB BΓ A AM AB AB A A AM AB AM AB M B Το ζητούµενο σηµείο Μ είναι η κορυφή Β του παρ/µου Παράδειγµα 7 Εστω τετράπλευρο ΑΒΓ και Μ, Ν τα µέσα των διαγωνίων ΑΓ και Β αντίστοιχα. Νδο αν ισχύει MN A BΓ τότε το τετράπλευρο αυτό είναι παρ/µο Αναλύουµε τα διανύσµατα της δοθείσας σχέσης ως προς Α. Οπότε A MN A BΓ (AN AM) A (AΓ AB) ( (AB A ) AΓ) A AΓ AB M N Γ B (AB A ) AΓ A AΓ AB AB A AΓ A AΓ AB AB A AΓ AB A AB BΓ A BΓ άρα ΑΒΓ είναι παρ/µο Παράδειγµα 8 Αν AB, AΓ 7 8, AM νδο το Μ ανήκει στην ΒΓ Το διάνυσµα BM αναλύεται ως BM AM AB 5 Το διάνυσµα M Γ αναλύεται ως MΓ AΓ AM BM Οπότε MΓ / / BM και Μ κοινό σηµείο, άρα τα Μ, Β, Γ είναι συνευθειακά συνεπώς το Μ ανήκει στην ΒΓ

21 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα 9 Νδο αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις KA KB zkγ 0 (), Λ A ΛB zλγ 0 (), z 0 () τότε θα ισχύει και η τρίτη (δίνεται ότι το σηµείο Κ είναι διαφορετικό από το Λ) Εστω ότι ισχύει η () και η (). Θδο ισχύει και η () ( ) ( ΛΑ ΛΚ) ( ΛΒ ΛΚ) z( ΛΓ ΛΚ) 0 ( z) ΛΚ ΛΑ ΛΒ zλγ 0 ΛΑ ΛΒ zλγ 0 άρα ισχύει και η () Εστω ότι ισχύει η () και η (). Θδο ισχύει και η () Αφαιρώντας κατά µέλη τις () και () προκύπτει (KA ΛΑ) (KB ΛΒ) z(kγ ΛΓ) 0 (KA ΑΛ) (KBΒΛ) z(kγγλ) 0 KΛ KΛ zkλ 0 ( z)kλ 0 z 0 άρα ισχύει και η () () Παράδειγµα 0 Αν α,, r είναι οι διανυσµατικές ακτίνες των σηµείων Α, Β, Μ αντίστοιχα και αν το Μ είναι εσωτερικό του ΑΒ τότε τότε λα k r λ k MA k MB λ νδο λα k r, ενώ αν το Μ είναι εξωτερικό του ΑΒ λ k k Είναι MA MB, οπότε αναλύοντας προκύπτει λ k OA OM (OB OM) λoa λom k(ob OM) λoa λom kob kom λ λoa kob λα k komλomλoa kob (kλ)omλoa kob OM OM kλ kλ k Είναι MA MB, οπότε αναλύοντας προκύπτει λ k OA OM (OB OM) λoa λom k(ob OM) λoa λom kob kom λ λoa kob kom λom λoa kob (k λ)om λoa kob OM k λ λα k ( λα k) λα k OM OM OM k λ ( λ k) λ k 5

22 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα Στο παρακάτω σχήµα δίνεται ένα τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ Γ. Το ΚΑΛΒ είναι παρ/µο και Ι µέσο του Γ. Νδο Α) ΚΓ KA και Κ KB Β) Τα σηµεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά Α) Τα τρίγωνα ΚΑΒ, ΚΓ είναι όµοια άρα I Γ ΚΓ K Γ K KA KB AB Αρα ΚΓ KA και Κ KB A B Οπότε ΚΓ KA και Κ KB Β) Αρκεί νδο ΚI k KΛ. Πράγµατι: Λ ΚI (A) ( KΓ K ) KA KB ( KA KB) ( KA AΛ) KΛ Όταν λέμε γεωμετρικό τόπο, εννοούμε το σύνολο των σημείων του επιπέδου που έχουν μια κοινή ιδιότητα. Αν για παράδειγμα, πούμε ποιο είναι το σύνολο των σημείων Μ που ισαπέχουν από σταθερό σημείο Κ είναι σα να λέμε ποιος είναι ο γ.τ. των σημείων Μ που ισαπέχουν από σταθερό σημείο Κ. Ας δούµε τα εξής παραδείγµατα Παράδειγµα ευθεία Εστω Ρ σταθερό σηµείο µε PM PA m PB, m R. Να ρεθεί ο γ.τ. των σηµείων Μ PM PA m PB PM PA m PB AM m PB άρα AM// PB Ο γ.τ. των σηµείων Μ είναι ευθεία // στο ΡΒ που διέρχεται από το Α Παράδειγµα κύκλος Εστω Α σταθερό σηµείο. Να ρεθεί ο γ.τ. των σηµείων Μ αν AM OA 7 και OA AM OA 7 AM 7 AM 6 AM Ο γ.τ. των σηµείων Μ είναι κύκλος µε κέντρο Α και ακτίνα 6

23 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα ευθεία-μεσοκάθετος Αν Α, Β, Γ, σταθερά σηµεία του επιπέδου, να ρεθεί ο γ.τ. των σηµείων Μ µε MA MB MΓ M Αν Ε το µέσο του ΑΒ και Ζ το µέσο του Γ, τότε MA MB MΓ M ME MZ ME MZ ME MZ Ο γ.τ. των σηµείων Μ είναι η µεσοκάθετος του ΕΖ Παραλλαγή του παραπάνω αλλά σε πιο σύνθετη μορφή είναι να το υπάρχει στην δοθείσα σχέση διάνυσμα της μορφής k MA m MB, όπου k, m 0. Τότε το διάνυσμα k MA m MB μετασχηματίζεται ως k MA m MB ( k m) MO () Απόδειξη: m Στο φορέα του AB παίρνω σημείο Ο με AO OB. Οπότε k AO mob ή k ( AM MO) mom ( MB) k ή k AM kmo mom mmb ή k MA kmo mmo mmb ή ή ( k mmo ) kma mmb k MO mmo kma mmb ή k MA mmb ( k m)mo Παράδειγµα 5 Αν ΑΒΓ τρίγωνο, να ρεθεί ο γ.τ. των σηµείων Μ µε ευθεία-μεσοκάθετος MA 5MB MA MΓ () Αν σηµείο στο φορέα του ΑΒ, Ε στο φορέα του ΑΓ τότε λόγω () η () γράφεται ως ( 5M ) ( ) ME 7 M 7ME 7 M 7ME M ME µεσοκάθετος του Ε 7

24 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ / ΕΞΑΣΚΗΣΗ ) Αν α 0νδο τα διανύσµατα α, είναι αντίρροπα.. ) Αν 5 ΟΑ ΟΒ ΟΓ 0 νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. ) Αν ΣΑ ΣΒ 5ΣΓ 0 να γραφεί το ΣΑ ως γραµµικός συνδυασµός των ΑΒ και ΑΓ.. ) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Μ ώστε AM BM ΓΜ ) Νδο το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο και ίσο µε το µισό της τρίτης πλευράς.... 6) Εστω Ο τυχαίο σηµείο. Νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν-ν λ R ώστε OΓ λoa ( λ)ob.... 7) Αν τα, b είναι µη-συγγραµµικά και ισχύει k m b, όπου k, m R τότε k m ) Αν ΑΒ b, ΑΓ 7 8b, ΑΜ b νδο το Μ είναι στη ΒΓ.... 9) Εστω ΑΒΓ τρίγωνο και Μ, Μ σηµεία ώστε ΑΜ ΑΒ ΑΓ, ΑΜ ΑΒ ΑΓ νδο Μ Μ ΑΓ,

25 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ασκήσεις ) Αν α διάνυσµα, τι µπορείτε να πείτε για το µέτρο και την κατεύθυνση του διανύσµατος α α α o? ) Να ρεθεί το διάνυσµα, µε Α) ( α) () Β) ( α) ( α ) ) Αν στο σχήµα ισχύει (ΒΜ) (ΜΓ) νδο ( γ) ) Στο παρακάτω σχήµα ισχύει Ε ΕΒ, ΑΒ α, Γ α και Α. Α) Να εκφράσετε συναρτήσει των α, τα διανύσµατα B,EB, ΓB,AE, EΓ Β) Από τις εκφράσεις των AE, EΓ τι συµπέρασµα προκύπτει για τα σηµεία Α,Ε,Γ? A Γ B γ M Γ α B E α A 5) Στο παρακάτω σχήµα, νδο τα σηµεία Α, Γ, Ε είναι συνευθειακά A Γ Ε α B α 6) Αν Α K ΒΚ ΒΑΒΛ AM, νδο τα σηµεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά 7) Αν Α, ΒΕ, ΓΖ οι διάµεσοι του τριγώνου ΑΒΓ, νδο Α ΒΕΓΖ 0 9

26 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8) Αν Κ, Λ, Μ είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ, νδο για οποιοδήποτε σηµείο Ο ισχύει OA OB OΓ OK OΛ ΟΜ 9) Αν Μ, Ν είναι τα µέσα των διαγωνίων ΑΓ και Β αντίστοιχα ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ νδο AB A ΓBΓ MN 0) ίνεται το µη-µηδενικό διάνυσµα AB και σηµείο Γ τέτοιο ώστε AΓ λab και B Γ µab. Νδο λ µ ) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν A kabλαγ και A ΕλAB kαγνδο Ε // ΒΓ 5 ) Νδο ( α) [ α (α 6γ) (α γ) ] 0γγ α ) Αν ( k )MA MB (k 5) MΓ νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά ) Εστω τρίγωνο ΑΒΓ και Μ µέσο του ΒΓ, Ν µέσο του ΑΓ. Νδο α) AM (AB AΓ), ) MN BA 5) Εστω τα διανύσµατα AB, A'B'. Αν Μ, Μ είναι τα µέσα των AB, A'B' αντίστοιχα, νδο AA ' BB' MM' 6) Εστω τετράπλευρο ΑΒΓ. Αν Μ µέσο της διαγωνίου ΑΓ και Ν µέσο της διαγωνίου Β, νδο α) MN (A BΓ) (AB Γ ), ) MN A ABΓ ΓB 7) ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ και Μ, Ν τα µέσα των µη-παραλλήλων πλευρών του. Νδο το ευθύγραµµο τµήµα ΜΝ είναι παράλληλο προς τις άσεις του και MN (AB Γ) 8) ίνεται ένα κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ. Νδο AB AΓ A AE AZ A 9) Εστω παρ/µο ΑΒΓ, Κ το κέντρο του και Μ το µέσο του ΚΓ. Νδο AB A ΑM AΓ 0) Εστω παρ/µο ΑΒΓ και Ρ σηµείο τέτοιο ώστε ΡΓ ΡB. Νδο Ρ A ΡBΡ AB 0 0

27 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ) Εστω τετράπλευρο ΑΒΓ και Κ, Λ τα µέσα των ΑΒ, Γ αντίστοιχα. Νδο ΑΓ Β KΛ ) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Ρ τέτοιο ώστε Ρ A ΡΒΡΓ 0 ) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Ρ τέτοιο ώστε A Ρ ΒΡ ΓΡ ) ίνεται παρ/µο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Ρ τέτοιο ώστε ΡA ΡΒΡΓ Ρ 5) ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Μ τέτοιο ώστε AΓ BM B Γ 6) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Μ ώστε BM MΓ 0. Νδο AB AM AΓ 7) ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Μ τέτοιο ώστε MA MB MΓ Μ 0 8) Σε παρ/µο ΑΒΓ παίρνουµε τα σηµεία Ε και Ζ της διαγωνίου ΑΓ ώστε AE ΖΓ AΓ. Αν AB α, ΒΓ να εκφραστούν τα διανύσµατα E, Z συναρτήσει των α, και µετά νδο το ΕΒΖ είναι παρ/µο 9) ίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ µε Α B α και ΒΓ. Α) Να εκφραστούν τα Γ,AE συναρτήσει των α, και Β) Nδο AB AΓ A AE AZ 6BΓ 0) Αν ΑΛ ΒΛ ΜΒΑΚΑΜ ΒΚ νδο ΚΛ ΜΛ ) Νδο σε κάθε παρ/µο οι διαγώνιοι του διχοτοµούνται και αντιστρόφως ) Νδο τα µέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παρ/µου ) Αν τα διανύσµατα α,, γ είναι ανά δύο µη-συγγραµµικά και ισχύει α //( γ) και //( α γ) νδο γ //( α ) ) Αν τα διανύσµατα α,, γ είναι ανά δύο µη-συγγραµµικά και ισχύει α //( γ) και //( α γ) νδο γ //( α ) 5) Eστω moa ( m)ob OΓ OB. Νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά για κάθε m R 6) Αν ΑΚ, ΒΛ, ΓΜ διάµεσοι του τριγώνου ΑΒΓ και υπάρχουν µη-µηδενικοί πραγµατικοί κ, λ, µ µε κ ΑΚλ ΒΛµ ΓΜ 0 νδο κ λ µ 7) ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ και Γ που τέµνονται στο Μ. Εστω Ν το µέσο της ΑΒ και Λ το µέσο της Γ. Νδο

28 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ α) ΟΑΟΒΟΓΟ ΟΜ ) ΜΑΜΒΜΓΜ ΜΟ 8) Αν Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Γ ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ νδο α) ΕΖΑ ΒΓ ) ΕΖ < Α ΒΓ 9) Εστω το µη-µηδενικό διάνυσµα ΑΒ και Γ τέτοιο ώστε ΑΓ λαβ, ΒΓ µ ΑΒ. Νδο λ µ 0) Εστω τα σηµεία Α, Β, Γ, Ο µε OΓ p OA qob, p, q R, p q. Νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά ) Εστω AM λ AB. Νδο για οποιοδήποτε σηµείο Ο ισχύει ( λ) OM OA λ OB. Τι συµαίνει αν AM AB? ) Εστω τα διανύσµατα u, υ, w και τα σηµεία Ο, Α, Β, Γ µε OA u υ w, υ υ OB u w, OΓ u 5 w. Νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά ) Αν τα διανύσµατα, δεν είναι παράλληλα, νδο και τα διανύσµατα u και υ δεν είναι παράλληλα ) Εστω τα σηµεία Α, Β, Γ και οι αριθµοί p, q, r. Νδο για κάθε θέση του σηµείου Μ το διάνυσµα ( p q) AM ( q r) BM ( r p) Γ M είναι σταθερό 5) Εστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηµεία, Ε µε A AB AΓ, AE AB AΓ. Νδο Ε/ / BΓ 6) Εστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηµεία Μ, Μ µε AM AB AΓ, AM AB AΓ. Νδο MM AΓ

29 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ Η γνώση εµπεδώνεται µέσα µας µόνο µε τη συνεχή επανάληψη Συντεταγμένες στο επίπεδο Ορισμός Kάθε διάνυσµα του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή i j,. Τα διανύσµατα i, ή ( ) j λέγονται συνιστώσες του διανύσµατος ενώ οι αριθµοί, λέγονται συντεταγµένες του διανύσµατος. (Ο αριθµός λέγεται τετµηµένη του, ενώ ο λέγεται τεταγµένη του ). Συνεπώς ύο διανύσµατα είναι ίσα αν και µόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους είναι ίσες. Ιδιότητες Αν (, ) και (, ) τότε α (, ) (, ) (, ) λ αλ (, ) ( λ, λ) λ αµ λ (, ) µ (, ) ( λ µ, λ µ ) Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Αφού το Μ είναι µέσο του ΑΒ, ως γνωστό ισχύει ( OA OB) OM δηλαδή, ) ((, ) (, )) οπότε (, ) (, ) άρα οι συντεταγµένες του µέσου Μ είναι (, ), ( O Β(, ) M(, ) A (, )

30 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Συντεταγμένες Διανύσματος με γνωστά άκρα Ως γνωστό άση του σχήµατος ισχύει OA AB OBδηλαδή AB OB OA άρα AB (, ) (, ) (, ) Αρα οι συντεταγµένες (, ) ενός διανύσµατος µε άκρα A (, ) και (, ) Β είναι και ηλ. (, ) (, ) O Β(, ) A (, ) Μέτρο Διανύσματος A A(, ) Εφαρµόζοντας Π.Θ. στο τρίγωνο ΟΑΑ, προκύπτει α α (OA) (OA ) (A A) άρα O A α Απόσταση δύο Σημείων Η απόσταση των σηµείων A (, ) και (, ) Β είναι ίση µε ) ( ( AB ) ( ) Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων α det( α, ) 0 // ή α // αλ α // 0

31 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Εστω το µη-µηδενικό διάνυσµα r και Α σηµείο του επιπέδου για το οποίο uuur r ισχύει OA. Τη γωνία φ που διαγράφει ο ηµιάξονας Οχ αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία ΟΑ, την λέµε γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα µε τον χ χ. Προφανώς ϕ [ 0,π). r, λέµε το πηλίκο Συντελεστή διεύθυνσης του διανύσµατος ( ) µε 0 και τον συµολίζουµε µε λ. A(, ) ηλαδή λ εφϕ O ϕ r Αν 0δηλαδή / / ' τότε λ 0 r Αν 0 δηλαδή / / ' τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων ur uur / / λuur λuuur Απόδειξη Αφού α // άρα det( α, ) 0 δηλαδή 0 οπότε 0 λ α λ 5

32 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Βασική Μεθοδολογία Α Για νδο δύο συγγραµµικά διανύσµατα είναι οµόρροπα ή αντίρροπα τότε εξετάζουµε το πρόσηµο των συντεταγµένων τους. Αν οι αντίστοιχες συντεταγµένες είναι οµόσηµες τότε τα διανύσµατα είναι οµόρροπα, ενώ αν είναι ετερόσηµες τότε είναι αντίρροπα. ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Νδο τα διανύσµατα (,), (, 6) είναι συγγραµµικά και αντίρροπα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα (, 6) γράφεται ως (, ), δηλαδή. Αρα τα διανύσµατα είναι συγγραµµικά. Επειδή οι αντίστοιχες συντεταγµένες των διανυσµάτων είναι ετερόσηµες άρα τα διανύσµατα είναι αντίρροπα. Β Για να είναι δύο διανύσµατα ίσα, αρκεί να έχουν ίσες τις αντίστοιχες συντεταγµένες τους. ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να ρεθούν τα, ώστε τα διανύσµατα (,), (,) να είναι ίσα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για να είναι τα διανύσµατα ίσα, πρέπει δηλαδή Γ 0 (,) (,), ή Για νδο τρία διαφορετικά σηµεία Α, Β, Γ (των οποίων οι συντεταγµένες είναι γνωστές) είναι συνευθειακά, τότε θεωρούµε τα διανύσµατα πχ ΑΒ, ΑΓ ρίσκουµε τις συντεταγµένες τους και δείχνουµε ότι είναι συγγραµµικά. ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Νδο τα σηµεία Α(0,), Β(,-), Γ(-,) είναι συνευθειακά. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θεωρούµε τα διανύσµατα ΑΒ, ΑΓ και ρίσκουµε τις συντεταγµένες αυτών. Οπότε ΑΒ ( 0, ) (, ) και ΑΓ ( 0, ) (,). Για να είναι τα διανύσµατα ΑΒ, ΑΓ συγγραµµικά αρκεί det( ΑΒ, ΑΓ) 0 6

33 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Πράγµατι det( ΑΒ, ΑΓ) ( ) ( ) 0 Συνεπώς ΑΒ// ΑΓ και Α κοινό σηµείο άρα τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Για νδο δύο διανύσµατα δεν είναι συγγραµµικά (δηλαδή δεν είναι παράλληλα) αρκεί νδο η ορίζουσα αυτών είναι 0. Ανάλογα, για νδο δύο διανύσµατα είναι συγγραµµικά αρκεί νδο η ορίζουσα αυτών είναι 0. ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να εξεταστεί αν τα διανύσµατα (,), (,0) είναι συγγραµµικά. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βρίσκουµε την ορίζουσα αυτών.οπότε det(, ) 0 ( ) Αρα τα διανύσµατα δεν είναι συγγραµµικά. Ε Κάθε διάνυσµα u του επιπέδου µπορεί κατά µοναδικό τρόπο να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός δύο οποιονδήποτε µησυγγραµµικών διανυσµάτων του επιπέδου δηλαδή να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες που σηµαίνει να γραφεί στην µορφή όπου λ, µ κατάλληλοι πραγµατικοί αριθµοί. ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ u λ µ Να αναλυθεί το u (,) σε δύο συνιστώσες που να είναι παράλληλα προς τα (, ), (, ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ξεκινάµε υπολογίζοντας τους λ, µ R για τους οποίους ισχύει Οπότε u λ µ u λ µ (,) λ (, ) µ (, ) (,) (λ, λ) (µ, µ ) (,) (λ µ, λ µ ). λ µ Καταλήγουµε στο (Σ) το οποίο λύνουµε οπότε ρίσκουµε λ µ λ / 8, µ / Αρα u 8 7

34 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ Παράδειγµα (ασική εφαρμογή για το αρύκεντρο τριγώνου) Να ρεθούν οι συντεταγµένες του αρύκεντρου G ενός τριγώνου ΑΒΓ µε κορυφές A (, ), Β (, ) και Γ (, ) Σύµφωνα µε το παρ..β του προηγούµενου µαθήµατος, αν Ο ένα οποιοδήποτε σηµείο τότε ισχύει OG ( OA OB OΓ) δηλαδή (, ) ( (, ) (, ) (, ) ) άρα (, ) (, ) (, ) (, ) Αρα οι συντεταγµένες του αρύκεντρου G είναι, B A G Γ Παράδειγµα m,,, m, m R να εξετάσετε αν / / Αν ( ) ( ) Η ορίζουσα των διανυσµάτων είναι m det, m( m ) m m > 0 m διότι το τριώνυµο οµόσηµο του α > 0 m m έχει < 0 άρα δεν έχει πραγµατικές ρίζες και είναι πάντα συνεπώς det, 0 άρα τα, δεν είναι παράλληλα 8

35 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα Σε ένα σύστηµα αξόνων οι τετµηµένες δύο σηµείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( λ λ ) 7 0 (). Να ρεθεί η τιµή του λ R ώστε το µέσο του τµήµατος ΑΒ να έχει τετµηµένη ίση µε Εστω τα σηµεία A (, ) και (, ) ρίζες της δευτεροάθµιας εξίσωσης (). B οπότε οι τετµηµένες αυτών δηλαδή τα, Οπότε σύµφωνα µε τους τύπους Viet για το άθροισµα των ριζών τριωνύµου, έχουµε ( λ λ ) S λ λ () Το µέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγµένες, ), M M και αφού M άρα ( δηλαδή 8 () Από την () και () προκύπτει λ λ 8δηλαδή λ λ 5 0 δηλ. λ 5 ή λ Nα γνωρίζω ότι: ΤΥΠΟΙ VIETA είναι Τριώνυµο α bγ 0 µε ρίζες, b S α P γ α Παράδειγµα uuur uuur Εστω τα σηµεία Α(-,0), Β(,), Γ(, ) µιας ευθείας (ε) και ΒΓ ΓΑ. Να ρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου Γ uuur uuur Είναι ΒΓ (, ), ΓΑ (,0 ) (, ) Οπότε uuur uuur ΒΓ ΓΑ (, ) (, ) (, ) (, ) Αρα Γ 5 5, 5 5 / 5 / 5 9

36 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα 5 ίνονται τα σηµεία M ( κ, λ ), M ( κ, λ ), M ( κ, λ ) και M ( κ, λ ) σηµεία αυτά είναι µέσα των διαδοχικών πλευρών ενός τετραπλεύρου τότε ισχύει κ κκ κ και λ λ λ λ Εστω το τετράπλευρο ΑΒΓ µε κορυφές A (, ), B (, ), Γ (, ), (, ) Αφού M (, λ ) Αφού M (, λ ) Αφού M (, λ ) Αφού M (, λ ) Συνεπώς: κ κ λ λ κ κ λ λ κ µέσο του ΑΒ άρα κ µέσο του ΒΓ άρα κ µέσο του Γ άρα κ µέσο του Α άρα κ και κ και κ και κ και κ λ λ λ λ Αρα κ κ. Νδο αν τα. κ Αρα λ λ λ λ Παράδειγµα 6 Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α α,,,, νδο, ) ( ) ( α) ( ) ( α α) ( ) ( α Θεωρούµε τα σηµεία A( α ), B( α ), Γ (, ),,. Λόγω της τριγωνικής ανισότητας έχουµε ( ΓΑ ) ( ΓΒ) (AB) οπότε αντικαθιστώντας (σύμφωνα με τον τύπο της απόστασης δύο σημείων) προκύπτει το ζητούµενο: ) ( ) ( α) ( ) ( α α) ( ) ( α 0

37 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα 7 Aν τα σηµεία 5, K, Λ 7,, 5, M, ( ), N και Ξ, είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ, Ε και ΕΑ αντιστοίχως του πενταγώνου ΑΒΓ Ε, να ρεθούν οι συντεταγµένες των κορυφών του πενταγώνου Εστω το πεντάγωνο ΑΒΓ Ε µε κορυφές ( ), A, ( ), B, ( ), Γ, ( ),, ( ) 5 5, Ε. Αφού Κ µέσο του ΑΒ ισχύει: και 5 5 Αφού Λ µέσο του ΒΓ ισχύει: 6 και 7 7 Αφού Μ µέσο του Γ ισχύει: 8 και 5 5 Αφού Ν µέσο του Ε ισχύει: και 5 5 Αφού Ξ µέσο του ΑΕ ισχύει: 5 5 και 5 5 Είναι προφανές ότι από τα παραπάνω καταλήγουµε στα εξής (Σ): Σ ) ( 5 5 Σ ) ( 5 5 Προσθέτοντας κατά µέλη τις εξισώσεις του (Σ ) προκύπτει 6 5 δηλαδή A B Γ E K Λ M N Ξ

38 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 5 () και αφού πχ και 8άρα () Οµοίως αφού και 6 άρα () 6 5 Οµοίως αφού και 6 άρα () 6 5 Οµοίως αφού και 8άρα () 8 5 Οµοίως αφού 6 και 6 άρα () Με την ίδια λογική δουλεύουµε στο (Σ ) για να ρούµε τις τεταγµένες,..., 5... Παράδειγµα 8 ίνονται δύο µη-συγγραµµικά διανύσµατα α, ενός επιπέδου. Να αποδείξετε ότι οποιοδήποτε διάνυσµα r του επιπέδου αυτού µπορεί να εκφραστεί ως γραµµικός συνδυασµός των α, κατά µοναδικό τρόπο Σχεδιάζουµε τα διανύσµατα α,, r έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή το Ο. Από το πέρας Ρ του διανύσµατος r φέρουµε παράλληλες προς τα α, ώστε να σχηµατιστεί το παρ/µο Ο ΡΓ Προφανώς Αρα O α, O Γ όπου, R. OP OΓΓΡ OΓΓΡ α δηλαδή το διάνυσµα r γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των α, µε r α () Αρκεί νδο αυτός ο γραµµικός συνδυασµός είναι µοναδικός, δηλαδή οι αριθµοί ώστε να ισχύει η () είναι µοναδικοί. Θα δουλέψουµε µε την εις-άτοπο απαγωγή. Υποθέτουµε ότι υπάρχουν και άλλοι αριθµοί, R, R ώστε να ισχύει r α () Από τις () και () προκύπτει α α Από την τελευταία σχέση συµπεραίνουµε ότι και αφού Αρα τελικά το r γράφεται κατά µοναδικό τρόπο µε την µορφή () O α α // Γ A P B

39 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ / ΕΞΑΣΚΗΣΗ ) Να ρεθούν τα, ώστε το διάνυσµα ΑΒ (, ) να είναι 0.. ) Να εξεταστεί αν τα διανύσµατα α (,) και (, 0) είναι συγγραµµικά.. ) Να ρεθεί ο αριθµός λ ώστε τα διανύσµατα α ( λ, ) και ( λ), να είναι συγγραµµικά.. ) Νδο τα σηµεία A ( 0, ), B(, ), (, ) Γ είναι συνευθειακά.... 5) ίνονται τα διανύσµατα α (, -) και (, ). Να ρεθεί διάνυσµα v έτσι ώστε Α) v α Β) v α 6) Νδο το v (, 6) γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των α (,) ( ) εξής v α, ως.. 7) Να ρεθεί η απόσταση των σηµείων A (, ), B (, 6).. 8) Αν AB (, 5) και ( -) B, να ρεθεί το σηµείο A.. 9) Να ρεθούν διανύσµατα w // ( 6, 8) α µε µέτρο w ίσο µε 5

40 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ασκήσεις ) Ποιά είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σηµείων Μ(,) για τα οποία ισχύει Α), Β) <, Γ) >, ) ) Να ρεθούν οι αποστάσεις των παρακάτω σηµείων από τους άξονες χ χ και ψ ψ A(,) Β (,) Γ ( 5, 6) ( α, ) M (, ) ) ίνεται το διάνυσµα ( λ, λ λ ) Α) α 0 Β) α 0 και α µε λ R. Για ποιά τιµή του λ είναι α // χ χ ) ίνονται τα διανύσµατα ( λ λ, λ λ ) ( λ 5λ 6, λ 7λ ) α και. Να ρεθεί το λ ώστε α 5) Να ρεθεί ο πραγµατικός αριθµός ώστε τα διανύσµατα α (, ) και (, ) να είναι οµόρροπα 6) Αν (, ) u ποιό διάνυσµα είναι συγγραµµικό µε το u και έχει διπλάσιο µέτρο από το u? 7) Στο διπλανό σύστηµα συντεταγµένων είναι OA i, O Β j. Να εκφράσετε συναρτήσει των i, j Z Α) Τα διανύσµατα θέσεως των σηµείων Γ,, Ε, Ζ, Κ, Η Β) Τα διανύσµατα Γ, KA, Η, K, ΗΘ, ZA, KZ B j O E i Θ Η A K 8) ίνονται τα σηµεία A(,6) και Β ( 9, ). Να ρεθεί Α) Το σηµείο του χ χ που ισαπέχει από τα Α και Β Β) Το σηµείο του ψ ψ που ισαπέχει από τα Α και Β

41 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 9) Να εξεταστεί αν τα σηµεία M ( 6, ), M (, ), ( 0, ) M είναι συνευθειακά 0) Να εξεταστεί αν τα σηµεία ( b, b), M (, b), ( b, b) συνευθειακά M ) ίνονται τα σηµεία A( 5, ), B (, ), Γ (, ) ορθογώνιο µε Β 90 ο ) Να ρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί, (, ) να είναι ίσα ) ίνονται τα σηµεία A (, ), B ( 7, - ) ΜΑΒ να είναι Α) Ισοσκελές µε κορυφή το Μ, M είναι. Νδο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ώστε τα διανύσµατα (, ) α και. Να ρεθεί σηµείο Μ του χ χ ώστε το τρίγωνο Β) Ορθογώνιο στο Μ ) Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές A( 5, ), Β ( 9, ) και ( 6, 6) ισοσκελές και να υπολογίσετε την περίµετρό του 5) Να εξετάσετε αν τα σηµεία A(, ), Β (, ), (, ) τετραγώνου 6) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε A (, 0), Β (, ) και (, ) ΑΒΓ. Να ρεθούν οι συντεταγµένες της κορυφής Γ 7) Αν α (, ), (,), (, ) γ να ρεθούν τα µέτρα α) α γ και ) α γ γ α Γ είναι Γ και Ο(0, 0) είναι κορυφές G όπου G το αρύκεντρο του 8) Αν α (, ), (, - ), γ (, ) και δ (, ) Α) Να ρεθούν οι συντεταγµένες του διανύσµατος u α γ Β) Να ρεθεί σχέση ώστε u // δ Γ) Να ρεθούν τα, ώστε u 0 9) Εστω τα σηµεία Α(-κ, ), Β(-, 5). Να ρεθεί ο αριθµός κ ώστε το διάνυσµα ΑΒ να είναι παράλληλο στον ψ ψ 0) Εστω τα σηµεία Α(, κ), Β(9, κ). Να ρεθεί ο αριθµός κ ώστε το διάνυσµα ΑΒ να είναι παράλληλο στον χ χ ) Εστω τα σηµεία Α(κ-5, 5µ-), Β(7κ, µ9). Να ρεθούν οι αριθµοί κ, µ ώστε το διάνυσµα ΑΒ να µην είναι παράλληλο σε κανέναν από τους άξονες 5

42 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ) Εστω τα διανύσµατα (, ), b (, ), u (, ), v ( 5, ). Να ρεθούν οι αριθµοί, ώστε // u και b// v ) Eστω τα διανύσµατα α (, ) και (,- ) (, ) w ως γραµµικός συνδυασµός των α και ) Eστω τα διανύσµατα α (, ), (, ) και (, ) µ, ν ώστε λ αµ ν γ 0. Να εκφραστεί το διάνυσµα γ. Να ρεθούν οι αριθµοί λ, 5) Το σηµείο Μ ρίσκεται πάνω στον χ χ και απέχει απόσταση από το σηµείο Κ(, ). Να ρεθούν οι συντεταγµένες του Μ 6) Εστω τα διανύσµατα (, ), b (, ). Να ρεθούν τα συγγραµµικά προς τα και b διανύσµατα, που να έχουν άθροισµα c ( 0, ) 7) Eστω τα διανύσµατα α (, ) και ( 0,) α και διανύσµατα που έχουν διαφορά ίση µε το διάνυσµα i 8) Αν τα σηµεία A (, ) και ( 5, 0) (, ). Να οριστούν τα συγγραµµικά προς τα Β είναι κορυφές ενός παρ/µου ΑΒΓ µε κέντρο K να ρεθούν οι συντεταγµένες των κορυφών Γ και 9) Να ρεθεί ο ακέραιος αριθµός ώστε η απόσταση των σηµείων (, ) (, - 5) A και B να είναι 0. Μετά να ρεθεί σηµείο Γ του άξονα ψ ψ για το οποίο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε κορυφή Γ 0) Να ρεθεί σηµείο Μ του χ χ ώστε το άθροισµα των αποστάσεων του από τα σηµεία A (, ) και (, ) Β να είναι ελάχιστο ) Να ρεθεί σηµείο Μ του ψ ψ ώστε η διαφορά των αποστάσεων του από τα σηµεία A(, ) και (, 5) Β να είναι µέγιστη ) Αν για τα διανύσµατα α,, γ ισχύει α γ 0 και γ α νδο Α) α Β) γ ) Αν για τα διανύσµατα α,, γ ισχύει α γ 0 και γ α νδο α // // γ 6

43 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ) Εστω Μ σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων που ενώνουν τα µέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ και στο επίπεδο του τετραπλεύρου ορίζουµε τα σηµεία Κ και Λ ώστε τµήµατος Λ AK MB, K Λ MΓ. Νδο το Μ είναι µέσο του λ 5) Για ποια τιµή του λ τα διανύσµατα, λ και, λ λ είναι ίσα? Απ. λ 6) Για ποιες τιµές των, ΕΜΕ το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε άκρα A(,) και B( 5, ) έχει ως µέσο το σηµείο M (,) Απ. -, 7) Eστω (,), (, ), γ (, ). Να γραφεί το διάνυσµα γ ως γραµµικός συνδυασµός των, Απ. γ 5 5 8) Το µέτρο του διανύσµατος u (, ) διανύσµατος w (, ) είναι. Να ρεθεί το µέτρο του 9) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε AB, AΓ 7 8 και ένα σηµείο Ρ µε AΡ. Νδο το σηµείο Ρ ανήκει στην ΒΓ 0) Εστω τετράπλευρο ΑΒΓ και τα σηµεία Κ, Λ στις πλευρές ΑΒ και Γ αντίστοιχα ώστε AK λ AB, Λ λ Γ, λ R*. Νδο τα µέσα των ΒΓ, ΚΛ, Α είναι συνευθειακά ) Εστω τα διανύσµατα OM, OM, γ OM. Αν k λ µγ 0 µε k, λ, µ R (διαφορετικοί µεταξύ τους) και k λ µ 0 νδο τα σηµεία M, M, M είναι συνευθειακά 7

44 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Προσδιορισµός σηµείου αϖό γνωστή σχέση ) Εστω Α, Β δυο διαφορετικά σηµεία. Να ρεθεί σηµείο Μ ώστε α) uuuur uuur uuuur uuur uuuur AM AB, ) AM AB, γ) AM.. ) Εστω Α, Β δυο διαφορετικά σηµεία. Νδο υπάρχει µοναδικό σηµείο Μ ώστε για κάθε uuuur uuur uuur σηµείο Ο να ισχύει OM kob ( k) OA, k R και να ρεθεί το σηµείο Μ.. ) Εστω Α, Β δυο διαφορετικά σηµεία. Νδο υπάρχει µοναδικό σηµείο Μ ώστε για κάθε uuuur uuur uuur σηµείο Ο να ισχύει OM koa λob, k, λ R και να ρεθεί το σηµείο Μ.. uuur uuur ) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Μ ώστε MA MB 0, uuur uuur uuuur uuur MA MB MΓ / / BΓ.. uuur uuur uuuur uuuur 5) ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Να ρεθεί σηµείο Μ µε MA MB MΓ M.. uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur 6) ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε Γ AB. Να ρεθεί σηµείο Μ µε MA MΓ M BA.. uuur MB 8

45 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 5 Η σκληρή δουλειά είναι η συσσώρευση των εύκολων πραγµάτων που δεν τελείωσαν όταν έπρεπε Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Ορισμός Εστω δύο µη-µηδενικά διανύσµατα,. Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο των, και συµολίζουµε ως τον πραγµατικό αριθµό α α συνφ Αν 0 ή 0 τότε ορίζουµε 0 όπου φ η γωνία των διανυσµάτων, Ιδιότητες 0 i j j i 0 και i j Αναλυτική Έκφραση του Εσωτερικού γινομένου τότε α Αν (, ), (, ) ηλαδή, το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους. (λ. Απόδειξη) Ιδιότητες ( λ α) α ( λ) λ( α ) α ( γ) α α γ α α γ γ α λ λ α (λ.απόδειξη) 9

46 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Συνημίτονο γωνίας Δύο διανυσμάτων Αν (, ), (, ) δύο µη-µηδενικά διανύσµατα που σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία φ, τότε α α συνφ () η οποία γράφεται ως α συνφ () α και αφού α, άρα η () γράφεται ως α, συνφ () Προολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Εστω, v δύο διανύσµατα του επιπέδου µε 0. Με αρχή ένα σηµείο Ο παίρνουµε τα διανύσµατα OA και OM v. Από το Μ φέρνουµε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω Μ το ίχνος της καθέτου όπως φαίνεται στο σχήµα. Μ Ο Το διάνυσµα OM λέγεται προολή του v στο και συµολίζεται ως προ v. ηλαδή v ϑ OM προ v Η προολή του v στο είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σηµείου Ο. Ισχύει ( OM M M) OM M M OM προ v v οπότε Μ, v προ v () Α 50

47 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Xρήσιμος τύπος: Aπό την () προκύπτει ένας ιδιαίτερα χρήσιµος τύπος για τις ασκήσεις, ως εξής: v προ v v προ v v προ v v προ v v v προ v προ v Bασική πρόταση: προ λ µγ λ προ µ προγ Απόδειξη λ µγ λ µ γ προ λ µγ λ µ γ γ λ µ λ προ µ προ γ Βασική Μεθοδολογία Α Για νδο α αρκεί νδο (Ι) 0 ή (ΙΙ) λ ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να εξεταστεί αν τα διανύσµατα (,5), (6,) είναι κάθετα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για να είναι τα διανύσµατα κάθετα αρκεί 0. Πράγµατι (,5)(6,) συνεπώς τα διανύσµατα δεν είναι κάθετα. λ 5

48 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 5 ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να εξεταστεί αν τα διανύσµατα ) (,,), ( είναι κάθετα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για να είναι τα διανύσµατα κάθετα αρκεί λ λ. Βρίσκουµε τους συντελεστές διεύθυνσης του κάθε διανύσµατος λ και λ οπότε λ λ άρα τα διανύσµατα είναι κάθετα. Β Για να ρούµε το µέτρο διανύσµατος όταν δεν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες του, τότε χρησιµοποιούµε τη σχέση. ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν τα διανύσµατα z w u,, έχουν µέτρο και σχηµατίζουν ανά δύο γωνία π/ νδο 6 z w u. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι π συν w u w u π συν z u z u π συν z w z w Οπότε 6 ) )( ( z w u wz uz uw z w u z w u z w u z w u Συνεπώς 6 z w u Γ Για να αποδείξουµε µια ισότητα ή ανισότητα µε µέτρα διανυσµάτων εργαζόµαστε είτε αναλύοντας τα διανύσµατα ως προς τις συντεταγµένες τους είτε χρησιµοποιώντας τη σχέση ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Νδο ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α µέλος ) )( ( ) )( (

49 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Για να αναλύσουµε ένα διάνυσµα σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες εργαζόµαστε όπως στο επόµενο παράδειγµα. ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να αναλυθεί το διάνυσµα u (0,5) σε δύο συνιστώσες µιας παράλληλης προς το διάνυσµα (,) και µιας κάθετης προς αυτό. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι u u u µε u // και u. Χρησιµοποιούµε τον τύπο u προ u u () Επειδή u // άρα R λ µε u λ λ(,) ( λ, λ) Οπότε u (,) ( λ,λ) 9λ 6λ 5λ u (,) ( 0,5) & Οπότε αντικαθιστώντας στην () προκύπτει 50 5λ λ, συνεπώς u ( 6,8) Οπότε u u u u u u (0,5) (6,8) u (, ) Ε u Για να ρούµε την γωνία που σχηµατίζουν δύο διανύσµατα ΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ, χρησιµοποιούµε τον τύπο Εστω τα διανύσµατα, του επιπέδου µε, και, 60 o. Αν γ, να υπολογιστεί η γωνία, γ ΑΠΑΝΤΗΣΗ γ Είναι συν, γ () γ γ συνϑ b b γ 9 8 γ Οπότε η () δίνει συν, γ γ

50 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ Παράδειγµα ίνονται τα σηµεία A(,), (,) ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ Προφανώς Γ ( 0, ). Οπότε AΓ (, ), ΒΓ (, ) Β. Να ρεθεί σηµείο Γ του άξονα ψ ψ ώστε το τρίγωνο. Αφού Γ 90 ο άρα A Γ ΒΓ δηλαδή A Γ ΒΓ 0 ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 0 0 ή Αρα Γ ( 0,0) ή Γ ( 0,) Παράδειγµα Να ρεθεί διάνυσµα (, ) µε µέτρο κάθετο στο α (,) () α α 0 0 () Λύνοντας το (Σ) των () και () προκύπτει ( 8 / 56, / 5) ή ( 8 / 5, 6/ 5) Παράδειγµα Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ, νδο AΒ ΑΓ AM ΒΓ ( ο θεώρημα διαμέσων) Β µέλος AM AB ΒΓ AΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒΑΓ ΑΓ ( AΓ AB) ( AB AΓ) ( ΑΓ ΑΒ) ΑΒ ΑΓΑΒ AB ΑΓ 5

51 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα r ur r ur Εστω τα διανύσµατα, µε, r ur π r ur, να ρεθεί το (, ) Βρίσκω το τετράγωνο του µέτρου, χρησιµοποιώντας τη γνωστή σχέση:. r ur r ur r ur r ur r ur r ur π Οπότε ( ) 9 9 συν r ur Αρα 7 Παράδειγµα 5 r ur r r ur r Εστω τα διανύσµατα,, γ µε,, γ rur urr rr της παράστασης K γ 5γ r ur r r και γ 0, να ρεθεί η τιµή Στη δεδοµένη ισότητα κρατάµε κυκλικά στο ο µέλος δύο προσθετέους και υψώνουµε στο τετράγωνο ώστε να δηµιουργήσουµε το γινόµενο των δύο διανυσµάτων του ου µέλους. Ετσι, r ur r r r ur r r ur r r ur rur r γ 0 γ ( ) ( γ ) 6 6 9γ r ur rur r rur rur γ rur 9 6 r ur r r ur r r ur r r ur r ur r r γ 0 γ ( γ ) ( ) 9γ γ 6 ur r ur r r urr urr 9 γ γ 6 9 γ 6 γ 8 urr 8 γ r ur r r r r ur r r ur r r rr ur γ 0 γ ( γ ) ( ) 6 9γ γ r r rr ur rr rr 6 9 γ γ 6 9 γ γ 8 Οπότε rr 8 γ rur urr rr K γ 5γ

52 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα 6 r ur Εστω τα διανύσµατα (, ), (5, ) ur να ρεθεί η προ r Είναι προ µε προ / / άρα προ λ, λ R Οπότε προ λ (, )(5, ) λ 5 λ λ λ συνεπώς προ (, ), Παράδειγµα 7 Εστω τα διανύσµατα, r ur µε ( ) r ur, 60 o r ur ur r και,, νδο προr 8 Είναι προ µε προ / / άρα προ λ, λ R Οπότε 8 προ λ λ λ Συνεπώς προ λ προ 8 Παράδειγµα 8 Εστω Α σταθερό σηµείο. Αν Ο, Μ σηµεία για τα οποία ισχύει νδο το Μ ανήκει σε κύκλο uuuur uuur uuur uuuur OM OA OA OM uuuur uuur uuur uuuur Από την OM OA OA OM προκύπτει uuuur uuur uuur uuuur uuuur OM OA OA OM OM uuur uuuur uuuur OA AM AM ( ) uuuur AM άρα το Μ ανήκει σε κύκλο µε κέντρο Α και ακτίνα 56

53 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα 9 Νδο τα διανύσµατα i j, i 7 j, γ i j σχηµατίζουν πλευρές τριγώνου του οποίου να ρεθούν οι γωνίες. Είναι γ i j i 7 j i j 8i 6 j ( i j), συνεπώς τα διανύσµατα αποτελούν τρίγωνο. γ Είναι α συν (, ) (, ) γ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 συν ( γ, ) 0 (, ) γ π γ γ ( ) ( 7) ( ) 5 5 συν (, γ) (, γ) γ π π 57

54 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ / ΕΞΑΣΚΗΣΗ ) Αν, b και η γωνία των, b είναι π/, να ρεθεί το b και το. ) Να ρεθεί το b αν (, ), b (, ). ) Να ρεθεί η γωνία φ των διανυσµάτων (, ) και b (, ). ) Να εξεταστεί αν τα διανύσµατα (, ) και b (, ) είναι κάθετα. 5) Να ρεθεί ο αριθµός 0 λ ώστε ( ) ( λb) λ όπου (, ) και b (, 0). 6) Aν i j, b i j να ρεθεί το b. 7) Αν, b και (, b) π/ να ρεθούν Α) b Β) Γ) ( b)( b) ) ( b). 8) Εστω (, ) και b (, ). Να ρεθούν Α) ( b) ( b) Β) b ( b) Γ) ( b). 9) Να ρεθεί η γωνία των διανυσµάτων b και b αν ( /, 6) και b ( 5/, -) 58

55 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ) Αν α (,) και (,5) τότε Α) Να ρεθούν τα εσωτερικά γινόµενα α, ( α ) ( ), ( α ) (α ) Β) Να ρεθεί η σχέση που συνδέει τους κ, λ R ώστε το εσωτερικό γινόµενο των ( κ λ) u, και να είναι ίσο µε µηδέν. Ποιά η σχέση όλων των διανυσµάτων u στην περίπτωση αυτή? ) Αν u (,), v (,) και ( 6,0) ) Αν α (,0) και (,) w να ρεθούν οι παραστάσεις u (7v w), u (v w), (u v)w, ( u v) w τότε να ρεθεί ο λ R ώστε Α) Τα διανύσµατα α και α λ να είναι κάθετα Β) Τα διανύσµατα και α λ να είναι κάθετα ) Να ρεθούν τα διανύσµατα που είναι κάθετα στο u (, ) µε και έχουν µέτρο ίσο 5) Αν α, και ( α, ) π/ να ρεθεί ο k R ώστε τα διανύσµατα u α και v kα να είναι κάθετα 6) Αν α ( k, ) και (,) να ρεθεί ο k R ώστε Α) α 0 Β) ( α, ) π/ Γ) α // 7) Αν α και ( α, ) π/ να ρεθεί η γωνία των διανυσµάτων u α και v α Ασκήσεις 8) Αν τα διανύσµατα α και είναι µη-µηδενικά, νδο α ( α ) συνα (, ) 9) Νδο τα διανύσµατα u α α και v α α είναι κάθετα α 0) Νδο για δύο µη-µηδενικά διανύσµατα α και, το διάνυσµα v α ( α ) είναι κάθετο στο 59

56 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ) ίνονται τα σηµεία A(, ), B ( 6, - ), Γ (, 5) και (, ) Α) Το εσωτερικό γινόµενο AB Γ Β) Τι συµπεραίνετε για τα διανύσµατα AB, Γ?. Να ρεθεί ) ίνονται τα διανύσµατα α (, ) και ( 8,5). Να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µια να είναι παράλληλη προς το α ) Να υπολογιστούν τα µήκη των διαγωνίων ενός παρ/µου που κατασκευάζεται µε τα διανύσµατα 5 α και α αν α, και ( α, ) o 5 ) Για τα διανύσµατα του σχήµατος να ρεθεί η παράσταση AB AΓ AB Γ B Γ 5) Να εξεταστεί πότε ισχύει E A Α) α α Β) α α 6) Νδο Α) u v u v u v Β) u v u v u v 7) Τα διανύσµατα α, είναι µη-µηδενικά και µη-συγγραµµικά. Νδο για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς λ, µ ισχύει λ α λµ ( α) µ 0. Πότε ισχύει η ισότητα? 8) Αν α,, γ και α γ 0 να ρεθούν τα Α) α, γ, γ α Β) συν ( α, ), συν (, γ), συν ( γ, α) και νδο α και γ αγδ 9) Νδο α γ δ 0) Αν τα διανύσµατα α ( κ, λ) και ( µ, ν) είναι κάθετα και έχουν µέτρα ίσα µε τη µονάδα, νδο ( κν λµ ) 60

57 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ) Αν (, ) και b (, ) να ρεθούν τα διανύσµατα p, q ώστε να ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις p q, p// και q b ) Να ρεθεί το εσωτερικό γινόµενο ( b) όταν, ) Να ρεθεί το εσωτερικό γινόµενο b όταν, ) Αν ( ), ), b (, ) 5) Αν (, ), b (, ), c (, 0) απ. p (, ), q ( 0,0), π/ b και ( b), π/ b και ( b) να ρεθεί ο ώστε (, b) π/ απ. 0 απ. απ. ± να ρεθούν όλα τα διανύσµατα v µε v 0, v c και v λ µ b λ, µ R απ. ( 0,0 ),( 0, 0) 6) Αν, b µοναδιαία διανύσµατα µε (, b) π/ να ρεθεί διάνυσµα γ µε γ //( b) και b ( γ) 7) Να αναλυθεί το διάνυσµα b ( 5, 0) τις οποίες η µια να είναι παράλληλη στο (, ) απ. γ b σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες, από 8) Αν u (, ), v (, ) να ρεθεί το διάνυσµα w ώστε w ( v 5u) απ. (, ),( 8,6) απ.,, R 9) Αν b,( b) ( b) και b νδο, b 0) Αν b, διανύσµατα µε ( kb) ( k λb) λ για κάθε k, λ R * Α) να ρεθεί το b όταν Β) νδο b 6

58 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ απ. ) Αν b b νδο b ) Αν τα b, έχουν ίσα µέτρα και είναι κάθετα µεταξύ τους, νδο ( b) ( b) ) Αν, b διανύσµατα µε b και b νδο τα, b είναι αντίρροπα ) Αν, b διανύσµατα µε, b 6 να ρεθεί ο αριθµός m ώστε τα διανύσµατα mb και mb να είναι κάθετα 5) Αν, b µοναδιαία διανύσµατα και θ η µεταξύ τους γωνία, νδο b θ συν απ. ± / 6) Αν, b, c 5και b c 0να ρεθεί το άθροισµα b b c c 7) Να αναλυθεί το διάνυσµα b (, ) οποίες η µια να είναι παράλληλη στο (, ) απ. 5 σε δύο συνιστώσες κάθετες µεταξύ τους, από τις 8) Αν για τα διανύσµατα, b 0 είναι b και b νδο (, b) 60 απ. 7,,, ) Αν τα διανύσµατα, b είναι κάθετα και έχουν ίσα µέτρα, νδο το ίδιο συµαίνει και o για τα διανύσµατα w b, v b 0) Αν b c και b b c νδο b// c // BAC ) Αν Α (, ), Β(, ), Γ(, 6) κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ, να ρεθεί η γωνία Α ) Για δύο µη-µηδενικά διανύσµατα, b νδο απ. π / b b b b 6

59 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ) Νδο // b b b ) Νδο ) b b b ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ) b b b 5) Νδο ) b b b ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ) b b b ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 6) Νδο // b ( b) b ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 7) Νδο b 0 b b ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 8) Νδο ) ) b 0 b b b 0 b b ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 9) Νδο b b Πότε ισχύει η ισότητα? 50) Νδο b b Πότε ισχύει η ισότητα? ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 5) Αν τα διανύσµατα (, ), b (, 5) είναι κάθετα, να ρεθούν οι, R απ., 5) Α) Νδο b b. Πότε ισχύει η ισότητα? Β) Να ρεθεί η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της παράστασης K αν 6 απ. 0 K 0 5) Α) Νδο b b. Πότε ισχύει η ισότητα? Β) Να ρεθεί η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της παράστασης K 6 8 αν 6 Γ) Νδο 6ηµ 8συν 0 απ. 60 K

60 Κεφάλαιο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 5) Αν για τα διανύσµατα, b, c ισχύει b c 0 και, b, c να ρεθεί η τιµή της παράστασης A b b c c απ. 5 55) Αν για τα διανύσµατα α,, γ ισχύει α γ 0 και γ α νδο α, γ 56) Αν για τα διανύσµατα α,, γ ισχύει α γ 0 και γ α νδο α // // γ 57) ίνονται τα διανύσµατα α,, γ µε ( α, ) π/, ( γ, α) π / και α, 5, γ 8. Α) Να ρεθούν τα ( α )( γ) και ( α γ) Β) Να γραφεί το γ ως γραµµικός συνδυασµός των α, ), B) b 5 απ. A 58 0, ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ 5 b, ΑΓ b µε b, b και ΑΜ διάµεσος. Νδο ΑΜ 5 59) Αν b 0 και p qµε p// b και q b νδο Α) b p b b, Β) q b b b b 60) Νδο το διάνυσµα b είναι κάθετο στο b για κάθε διάνυσµα b 6) Aν (α) γ µε α 0 νδο 6) Αν (, ), b (, ) αγ α α να ρεθεί η προολή του πάνω στο b 6) Να ρεθεί η προολή του (, ) στο b (, ) 6) Αν (, ) και b (, ) 0 5 νδο προ ( b) απ. 0 0,

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων

Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων 1 ίνονται τα διανύσµατα α,, x, y για τα οποία ισχύουν: x+ y= α+ 4 και 4x y= α+ Nδο τα διανύσµατα x, y είναι οµόρροπα Αν ισχύει η ισότητα MA+ 5ΡΑ = 3ΡΜ+ ΡΒ 4ΓΜ νδο τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ .5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α, και συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό : α = ( α συν α ) αν α και α = αν α = ή =. Ιδιότητες α = α Αν α τότε Αν

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Β Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα του Υπουργείου Παιδείας σε (3) ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ . ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα α 0 λέγεται νέο διάνυσµα λα, που έχει µέτρο λα = λ α και είναι οµόρροπο του α όταν λ > 0 αντίρροπο του α όταν

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η Έννοια του Διανύσματος

1.1 Η Έννοια του Διανύσματος ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ΜΘΗΣΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να κατανοήσει τις έννοιες : διάνυσµα, µηδενικό διάνυσµα, φορέας-διεύθυνση, κατεύθυνση - φορά, µέτρο διανύσµατος, ϖαραλληλία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 4 13 ΠΛΛΠΛΣΙΣΣ ΡΙΘΥ ΙΝΥΣ ρισμός Πολλαπλασιασμού ριθμού με ιάνυσμα Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0 και α ένα μη μηδενικό διάνυσμα νομάζουμε γινόμενο του λ με το α και το συμολίζουμε με λ α ή λ α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

!! viii) Αν λ α = μα

!! viii) Αν λ α = μα Αν έχουμε το διάνυσμα α O και τον πραγματικό αριθμό * λ R τότε γινόμενο του λ με το διάνυσμα α! λέγεται το διάνυσμα λ α! το οποίο: i) είναι ομόρροπο του α! όταν λ>0 και είναι αντίρροπο του α! όταν λ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Λυκείου. Προσανατολισµού Θετικών Σπουδών. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Λυκείου. Προσανατολισµού Θετικών Σπουδών. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά 'Λυκείου Προσανατολισµού Θετικών Σπουδών Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΟΣ 5 Σελ. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΙΣΜΟΣ Ενότητα 1 Η έννοια του διανύσµατος 7 Πράξεις διανυσµάτων 11 Ενότητα 2 Πολλαπλασιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΝΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» 1. * Αν α =, τότε α =. 2. * Αν α, µη µηδενικά διανύσµατα και θ η γωνία τους, τότε 0 θ π 3. * Ισχύει α + 0 = 0 + α = α 4. * Κάθε διάνυσµα µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

5. Να γράψετε την τριγωνική ανισότητα για το µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων.

5. Να γράψετε την τριγωνική ανισότητα για το µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων. Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο :" ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ"..:Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ώστε τον ορισµό του διανύσµατος i) Ποιο διάνυσµα ονοµάζουµε µηδενικό; ii) Τι ονοµάζουµε µέτρο ή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / 7 / 0 1 8 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Ο 863 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔ=AB+5AΓ και AΕ =5AB+AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ ) Να δείξετε ότι τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. ** Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε) 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α 3 Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= ΟΑ Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να βρείτε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ και ΕΔ συναρτήσει των α και γ και να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα ιανύσµατα

Ασκήσεις στα ιανύσµατα Ασκήσεις στα ιανύσµατα Λυγάτσικας Ζήνων zenon7@otenet.gr http://blogs.sch.gr/zenonlig/ Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 15 Νοεµβρίου 014 c:\education\ B lycee \module\ module\revision vec.tex

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα