Από τα σχήµατα (schemes) στα κοινωνικά σχήµατα (social

Transcript

1 Από τα σχήµατα (schemes) στα κοινωνικά σχήµατα (social schemes) σε µια διαδικασία εργαλειακής ενορχήστρωσης Σταυρούλα Πατσιοµίτου*, Ευγενία Κολέζα** *Υπ. ιδάκτωρ Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων, Μ.ed ιδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηµατικών ΕΚΠΑ, **Καθηγήτρια Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στόχος της συγκεκριµένης εργασίας είναι να παρουσιάσει τον ρόλο που ένα υπολογιστικό περιβάλλον µπορεί να διαδραµατίσει, στην διαδικασία κατασκευής και επεξεργασίας των µαθηµατικών εννοιών. Κεντρική έννοια στην εργασία, η έννοια του σχήµατος (scheme). Τόσο ο Piaget όσο και οι µετά τον Piaget ερευνητές εστιάζουν στον ρόλο των δράσεων και δραστηριοτήτων όσον αφορά την γέννηση της γνώσης (κατασκευή εννοιών) αλλά και στον κεντρικό ρόλο που δίνεται στα artefacts 1, ως µέσα διαµεσολάβησης. Σε θεωρητικό επίπεδο η κατασκευή των εννοιών σε υπολογιστικά περιβάλλοντα στηρίζεται στη γνωστική εξέλιξη, µέσω της ανάπτυξης γνωστικών δοµών ή νοητικών σχηµάτων ως αποτέλεσµα της αλληλεπίδρασης µε τα εργαλεία κατά την διαδικασία της εργαλειακής γένεσης (instrumental genesis). Το όλο εγχείρηµα εξαρτάται τόσο από την οικειότητα του µαθητή µε το εργαλείο του υπολογιστή, από την στάση και χρήση του δασκάλου σχετικά µε το τεχνολογικό εργαλείο, αλλά και τις δραστηριότητες που οικοδοµούν µια ενότητα µαθηµατικών. Εποµένως ένα υπολογιστικό περιβάλλον µπορεί να συντελέσει στην ανάπτυξη θεωρηµάτων-ενδράσει (theorems-in-action) και εννοιών-εν-δράσει και µέσα από τη δράση µε τα εργαλεία, να αποτελέσει το µέσο για τον χειρισµό και µετασχηµατισµό των διαδικασιών όσον αφορά την διδασκαλία και µάθηση των µαθηµατικών. Εισαγωγή Οι ποιοτικές διαφορές στη µαθηµατική σκέψη έχουν συζητηθεί εκτενώς µέσα από διαφορετικές θεωρίες και εξακολουθούν να είναι πόλος ιδιαίτερου ενδιαφέροντος ενώ παρατηρείται µια µετατόπιση της προσοχής των ερευνητών από το να κάνει 1 artefacts ή artifacts είναι σύµφωνα µε τον Wartofsky (1979) τα δηµιουργήµατα του ανθρώπου, αντικείµενα δηλαδή κατασκευασµένα από τα ανθρώπινα χέρια, συµπεριλαµβανοµένων των πολιτισµικών δηµιουργηµάτων όπως η γλώσσα

2 (doing) ο µαθητής µαθηµατικά στο να κατανοήσει τις µαθηµατικές έννοιες (conceptualizing) (για παράδειγµα Kruteskii, 1976; Baroody & Dowker, 2003). Επίκεντρο του ενδιαφέροντος και αντικείµενο ανάλυσης πολλών ερευνητών αποτελούν οι απαντήσεις των µαθητών και ο τρόπος µε τον οποίο αυτοί επικοινωνούν προκειµένου να διατυπώσουν λεκτικά συγκεκριµένες και αφηρηµένες καταστάσεις προβληµατισµού. Ένας µεγάλος αριθµός ερευνών στο χώρο της ψυχολογίας της µάθησης (Leont'ev, 1978; Vygotsky, 1978; Luria, 1979; Scribner, 1984; Newman, Griffin, and Cole 1989; Norman, 1991; Salomon, 1993 αναφερόµενοι στη Nardi, 1996), ανθρωπολογίας (Lave, 1988; Suchman, 1987; Flor and Hutchins, 1991; Hutchins 1991a; Nardi and Miller 1990, 1991; Gantt and Nardi, 1992; Chaiklin and Lave, 1993 αναφερόµενοι στη Nardi, 1996), και της επιστήµης των υπολογιστών (Clement, 1990; Mackay, 1990; MacLean et al., 1990 αναφερόµενοι στη Nardi, 1996) έχουν δείξει ότι δεν είναι δυνατόν να αντιληφθούµε πλήρως το πως οι άνθρωποι µαθαίνουν ή εργάζονται αν η γνώση είναι ατοµική χωρίς αλληλεπίδραση µε άλλους ανθρώπους ή µε artefacts για την ολοκλήρωση ενός συγκεκριµένου στόχου (Nardi, 1996 p.35). Στο πλαίσιο αυτό, δεδοµένου ότι οι υπολογιστές συνιστούν βασικά artefacts µε σηµαντικό ρόλο στις διαδικασίες µάθησης, ένα θεµελιώδες ερώτηµα αφορά τους τρόπους και τις διαδικασίες που οι υπολογιστές µπορούν να χρησιµοποιηθούν αποτελεσµατικά στην εκπαίδευση ως γνωστικά εργαλεία, προωθώντας και ισχυροποιώντας τις γνωστικές διαδικασίες και δρώντας ως καταλύτες στην ποιότητα της µάθησης. Οι υπολογιστές σύµφωνα µε τον Pea (1985) είναι ανάδιοργανωτές των γνωστικών λειτουργιών. Το τεχνολογικό περιβάλλον του υπολογιστή παρέχει γνωστικά εργαλεία τα οποία βελτιώνουν την επικοινωνιακή έκφραση του χρήστη µε τόσο σηµαντικό τρόπο, που ο χρήστης αισθάνεται ότι έχει ανοίξει νέες δυνατότητες σκέψης και δράσης. Οι Groen and Kieran (1983, p. 370) στην πραγµατεία τους "In Search of Piagetian Mathematics" αναφέρονται την περιγραφή που γίνεται από τον Papert (1980) σχετικά µε τους µικρόκοσµους γράφοντας : «..οι µικρόκοσµοι είναι στην ουσία µικρο-πεδία (mini-domains) των Πιαζετιανών µαθηµατικών. Μπορούν να σχεδιαστούν σαν µαθηµατικά συστήµατα µε αξιώµατα και θεωρήµατα (για παράδειγµα Abelson & disessa, 1981), αλλά αυτά υπόκεινται της επιφανείας για όσον χρόνο κρατά η απευθείας εµπειρία του παιδιού/ χρήστη. Οι συνέπειες /επιδράσεις των εντολών στην επιφάνεια καθοδηγούνται από τα αξιώµατα (τα οποία είναι συχνά απλές περιγραφές των εξερχόµενων/ αποτελεσµάτων των εντολών).» Το διδακτικό περιβάλλον των µικρόκοσµων όπως προτείνεται από την Mariotti (2002) και µπορεί να αξιοποιηθεί και στη διδασκαλία των µαθηµατικών, παρέχει - 2 -

3 ένα περιβάλλον για επίλυση προβληµάτων. Ένας µικρόκοσµος µπορεί να θεωρηθεί ως µια σύνθεση των ακόλουθων αλληλένδετων ουσιαστικών χαρακτηριστικών γνωρισµάτων (Balacheff & Sutherland, 1994; Balacheff & Kaput, 1996, p. 471): i) Ένα σύνολο πρωτότυπων (primitive) αντικειµένων, στοιχειωδών διαδικασιώνλειτουργιών σε αυτά τα αντικείµενα, και κανόνων σχετικά µε τους τρόπους που αυτές µπορούν να εκτελεσθούν και να συνδεθούν- το οποίο (σύνολο) είναι η συνήθης δοµή ενός τυπικού συστήµατος (formal system) από µαθηµατικής απόψεως. ii) Μια περιοχή (πεδίο) της φαινοµενολογίας (domain of phenomenology) που συσχετίζει ενέργειες µε αντικείµενα που αποτελούν την βάση, προς τα φαινόµενα στη "επιφάνεια της οθόνης". Αυτή η περιοχή της φαινοµενολογίας καθορίζει τον τύπο ανατροφοδότησης που ο µικρόκοσµος παρέχει συνεπεία των ενεργειών και των αποφάσεων των χρηστών (Balacheff & Sutherland, 1994; Balacheff & Kaput, 1996, p. 471) Κατά συνέπεια, ένα τµήµα της µαθηµατικής γνώσης ενσωµατώνεται σε ένα τµήµα του λογισµικού για να δράσει και να αλληλεπιδράσει µε τον υπολογιστή, αντιµετωπίζοντας τη λύση ενός προβλήµατος µέσα στο περιβάλλον του µικρόκοσµου που ο χρήστης κατασκευάζει τη γνώση. Τα σχήµατα (schemes) αναπτύσσονται από τους µαθητές κατά την διάρκεια προβληµατικών καταστάσεων. Σύµφωνα µε την Mariotti (2002) «το κονστρουβιστικό αποτέλεσµα που παράγεται µέσω της αναστοχαστικής αφαίρεσης στη δραστηριότητα επίλυσης προβλήµατος είναι σύµφωνο µε την θεωρία του εννοιολογικού πεδίου του Vergnaud (Vergnaud, 1990). Η θεωρία των εννοιολογικών πεδίων (Conceptual Fields) του Vergnaud, εποµένως, είναι η θεµελιώδης έννοια που αναφέρεται στα συστήµατα αναπαράστασης από πολλούς συγγραφείς (Hoyles & Noss, 1996; Kaput, 1992) αφού σύµφωνα µε τους ορισµούς τους «τα αναπαραστασιακά συστήµατα αποτελούν µια από τις συνιστώσες του εννοιολογικού πεδίου του Vergnaud». 1. H έννοια του σχήµατος (scheme): από τον Piaget στον Vergnaud Οι Rabardel & Beguin (2005, p.439) αναφέρονται στην έννοια του σχήµατος µέσω της ερώτησης «Τι είναι το σχήµα (scheme); Σύµφωνα µε τον Piaget, τα σχήµατα είναι συµπεριφοριστικοί διοργανωτές. Ένα σχήµα δράσης (action scheme) είναι το δοµηµένο σύνολο ενεργών χαρακτηριστικών που µπορούν να γενικευτούν, που µπορούν για παράδειγµα να κάνουν πιθανό να επαναληφθεί η ίδια πράξη ή να εφαρµόσουµε αυτό σε νέα περιεχόµενα (Piaget and Beth, 1961). Ένα σχήµα αποτελείται από ένα σύνολο αµοιβαία εξαρτώµενων συνιστωσών οι οποίες δεν - 3 -

4 µπορούν να λειτουργήσουν χωριστά. Είναι η συνολική έννοια της πράξης η οποία διασφαλίζει την ταυτόχρονη ύπαρξη των σχέσεων που ολοκληρώνουν το σχήµα σαν σύνολο». Για τους Lakoff & Nùñez (2000) τα σχήµατα είναι κεντρικοί εννοιολογικοί µηχανισµοί για τα µαθηµατικά ή αλλιώς οι νοητικές αναπαραστάσεις, οι εννοιολογικές µεταφορές (µηχανισµός που το αφηρηµένο γίνεται αντιληπτό) και οι εννοιολογικοί συνδυασµοί. Ο Piaget (1972, p. 70) σύµφωνα µε τους Tall et al. (2000) διέκριναν µεταξύ της κατασκευής της έννοιας µέσω της εµπειρικής αφαίρεσης (empirical abstraction) η οποία εστιάζει σε αντικείµενα και τις ιδιότητες τους και της ψευδο-εµπειρικής αφαίρεσης (pseudoempirical abstraction) η οποία εστιάζει σε ενέργειες επί των αντικειµένων και τις ιδιότητες των ενεργειών. Έχοντας σαν στόχο οι µαθητές να κατακτήσουν τα αφηρηµένα επίπεδα µαθηµατικής γνώσης, χρειάζεται να προσανατολιστούµε προς µια άλλη διαδικασία δόµησης της γνώσης η οποία σύµφωνα µε τον Piaget, ονοµάζεται αναστοχαστική αφαίρεση (Piaget, 1970, 1985) (σκεπτόµενοι πάνω στις δικές τους δραστηριότητες και στα επιχειρήµατα που διατυπώθηκαν στα πλαίσια της κοινωνικής αλληλεπίδρασης). Η αναστοχαστική αφαίρεση (reflective abstraction) εµφανίζεται µέσω των νοητικών ενεργειών στις νοητικές έννοιες στις οποίες οι νοητικές διαδικασίες οι ίδιες γίνονται νέα αντικείµενα της σκέψης (Gray & Tall, 2006). Η αναστοχαστική αφαίρεση είναι ένας σηµαντικός µηχανισµός, ο όποιος µπορεί να εξηγήσει τον τρόπο που οι µαθητές κατασκευάζουν την εννοιολογική γνώση. Κατασκευάζω µια έννοια, στα µαθηµατικά σηµαίνει, χρησιµοποιώ νοητικές λειτουργίες για να δηµιουργήσω ένα σχήµα αυτής της έννοιας. Μέσω της αναστοχαστικής αφαίρεσης δηµιουργούνται σχήµατα (schemata), που αντανακλούν σε κανονικότητες σχετιζόµενων δράσεων. Η θεωρία του Piaget περί κατασκευής δοµών όσον αφορά την µαθηµατική γνώση αποτέλεσε τον πυρήνα της θεωρίας APOS (Action-Process-Object Schema) (Dubinsky, 1991). Ένα σχήµα όπως αναφέρουν οι Cottrill et al. (1996, p.172) είναι µια συνεπής συλλογή δράσεων, διαδικασιών, αντικειµένων ή σχηµάτων που τα συνδέουν και µπορούν να εφαρµοστούν σε µια κατάσταση προβλήµατος. Η έννοια του σχήµατος είναι κεντρική και στην θεωρία των εννοιολογικών πεδίων του Vergnaud (1990,1996,1998). Τα σχήµα συντονίζει τις παρατηρήσιµες µορφές µιας δραστηριότητας ενός υποκειµένου µε τις νοητικές µορφές της αναπαράστασης. Η ανάπτυξη της θεωρίας των εννοιολογικών πεδίων σύµφωνα µε τους Zazkis and Liljedahl (2002, p.95) παρακινήθηκε από την ανάγκη να ιδρυθούν/ καθιερωθούν συνδέσεις µεταξύ των µαθηµατικών εννοιών, σχέσεων και θεωρηµάτων και µεταξύ των δυναµικών αντιλήψεων και ικανοτήτων των µαθητών (κατά περιόδους υπονοούµενων) των σχετικών µε αυτές τις µαθηµατικές έννοιες, σχέσεις, και θεωρήµατα

5 Ο Vergnaud (1990) δηλώνει ότι: «Κατά την διερεύνηση της διαδικασίας επανεφεύρεσης (rediscovery- reinvention) κάποιος πρέπει να απαντήσει στις ακόλουθες ερωτήσεις: Ποια είναι η φύση και η λειτουργία µιας νέας έννοιας, µιας νέας διαδικασίας, ενός νέου τύπου συλλογισµού, µιας νέας αναπαράστασης;.» Σχήµα 1 2 Οι ακόλουθες έννοιες έχουν οριστεί και χρησιµοποιούνται από τον Vergnaud (αναφ. στους Zazkis and Liljedahl, 2002 p.95): Ένα εννοιολογικό πεδίο (conceptual field) (Vergnaud 1996, p.225) είναι ένα σύνολο καταστάσεων, η κατοχή του οποίου απαιτεί διάφορες αλληλοσυνδεόµενες 2 Ο Vergnaud (1998, p.177) µέσω του σχήµατος 1 (ανακατασκευή του σχήµατος του Vergnaud) επεξηγεί την αλληλεπίδραση των τριών εννοιολογικών πεδίων δηλαδή του αναφορικού (πραγµατικής κατάστασης) του σηµαινόµενου (µαθηµατικής γνώσης σχετική µε την κατάσταση) και του σηµαίνοντος (περιγραφής της κατάστασης µε µαθηµατικό συµβολισµό). Βέλος 0: η σχέση µεταξύ των καταστάσεων και των σχηµάτων είναι η είναι η πρώτη πηγή αναπαράστασης, και εποµένως κατανόησης των εννοιών. Βέλος 1: ο σχηµατισµός των εννοιών υπονοεί τον προσδιορισµό των αντικειµένων, µε τις ιδιότητές σχέσεις, και µετασχηµατισµούς τους. Αυτή είναι η κύρια λειτουργία των λειτουργικών σταθερών, οι οποίες είναι ουσιαστικά συστατικά των σχηµάτων. Βέλη 3: µια γλώσσα είναι ένα σύστηµα σηµαίνοντος σηµαινόµενου και ένα σηµειωτικό σύστηµα επίσης. Η σχέση µεταξύ σηµαίνοντος σηµαινόµενου δεν είναι συνήθως µια ένα- προς- ένα αντιστοιχία. Βέλη 2 : η σχέση µεταξύ των λειτουργικών σταθερών και του σηµαινόµενου µιας γλωσσικής ή σηµειωτικής περίπτωσης δεν είναι µια ένας- προς- ένα αντιστοιχία επίσης. Βέλος 4: η φυσική γλώσσα είναι µια µεταγλώσσα για όλα τα σηµειωτικά συστήµατα. Πάλι δεν είναι µια ένας- προς- ένα αντιστοιχία επίσης - 5 -

6 έννοιες. Είναι ταυτόχρονα και ένα σύνολο εννοιών µε διαφορετικές ιδιότητες, το νόηµα των οποίων εξαρτάται από την ποικιλία των καταστάσεων. Μια έννοια (concept), (Vergnaud 1996 p. 238) είναι µια οµάδα τριών συνόλων (S, I and S), όπου S (αναφορικό- referent) είναι το σύνολο των καταστάσεων που καθιστούν την έννοια σηµαντική /πλήρη νοήµατος, Ι είναι το σύνολο των λειτουργικών σταθερών που περιέχονται στα σχήµατα και έχουν αναπτυχθεί για να «συναλλάσσονται» µε αυτό το σύνολο των καταστάσεων και S (σηµαίνονsignifier) είναι το σύνολο των συµβολικών αναπαραστάσεων. Ένα σχήµα (A scheme) (Vergnaud 1996, p. 222; 1997, p. 12) είναι η αµετάβλητη οργάνωση της συµπεριφοράς για µια ορισµένη κατηγορία καταστάσεων. Η γνώση (- ειs) που περιλαµβάνεται (-ονται) σε αυτό το σχήµα καθοδηγεί τη χειρονοµία /συµπεριφορά /δράση και συγχρόνως η επανάληψη τέτοιων χειρονοµιών /συµπεριφορών /δράσεων εγκαθιστά στο µυαλό αυτό το είδος γνώσης. Αλλά η έννοια του σχήµατος είναι περισσότερο γενική και είναι σχετική µε άλλα διαφορετικά είδη δραστηριοτήτων. Όπως αναφέρει ο Vergnaud (1998 p.172) παραδείγµατα τέτοιων δραστηριοτήτων είναι τα λεκτικά σχήµατα (verbal schemes) και τα κοινωνικά σχήµατα (social schemes). Η αφήγηση µιας ιστορίας, η κατασκευή ενός πολιτικού λόγου, η οµιλία µιας ξένης γλώσσας ευχερώς µε κάποια ειδικά λάθη και κάποια προφορά, ο διάλογος µε µια κατηγορία ατόµων σε µια κατηγορία καταστάσεων είναι παραδείγµατα σχηµάτων. Αυτές οι κατηγορίες σχηµάτων είναι σηµαντικές στην εκπαίδευση, ακόµα και στην εκπαίδευση περί τα µαθηµατικά, καθώς ο µαθητής συνήθως εισέρχεται σε µια µαθηµατική κατάσταση στην τάξη µε ένα ολόκληρο ρεπερτόριο σχηµάτων που έχουν αναπτυχθεί από προηγούµενες καταστάσεις και επίσης επιτρέπουν την ανάπτυξη νέων σχηµάτων ή την βελτίωση των προηγουµένων όσον αφορά τα µαθηµατικά (ή περί τα µαθηµατικά). Για παράδειγµα όταν κάποιοι µαθητές συνεργάζονται για να λύσουν ένα πρόβληµα µπορούν να αναπτύξουν τα κοινωνικά και λεκτικά σχήµατα όπως και τα σχήµατα στα µαθηµατικά. Η έννοια του σχήµατος είναι η πιο σηµαντική έννοια για την γνωστική ψυχολογία αν η ψυχολογία ενδιαφέρεται για την θεωρητικολογία την σχετική µε την δράση και την δραστηριότητα 3 (action and activity).(vergnaud,1998 p.172) Τα σχήµατα σύµφωνα µε τον Vergnaud δίνουν µορφή σε όλους τους πιθανούς τρόπους συµπεριφοράς, περιλαµβάνοντας πολύ διαφορετικές ικανότητες όπως χειρονοµίες, διανοητικές δραστηριότητες, γλωσσολογικές συµπεριφορές (Stipcich, Moreira & Sahelices, 2007). Τα σχήµατα δεν αποτελούν µεµονωµένες µονάδες, αλλά αντιθέτως σχηµατίζονται από τέσσερις συνιστώσες (Vergnaud,1990): 3 δράση (action) : το σύνολο των ενεργειών ενός ατόµου σε ορισµένο πεδίο δραστηριότητα (activity): ανάπτυξη δράσης - 6 -

7 1. στόχους και προβλέψεις (Goals and anticipations): τα ζητούµενα σχήµατα για να επιτευχθούν οι πιθανοί αντικειµενικοί στόχοι 2. λειτουργικές σταθερές (Operational invariants):το γνωσιακό περιεχόµενο των σχηµάτων 3. κανόνες δράσεων (Rules-of-action): οι κανόνες που γενικεύουν την ακολουθία των πράξεων που πρόκειται να γίνουν. Είναι «αν..τότε» µορφές κανόνων που περιέχουν τις λειτουργικές σταθερές, τις οποίες το υποκείµενο χρησιµοποιεί στην πράξη 4. συµπερασµατικές πιθανότητες (Inference possibilities): επιτρέποντας στους κανόνες και στα αναµενόµενα αποτελέσµατα να αποφασίζονται βασισµένα στην πληροφορία που είναι διαθέσιµη στο υποκείµενο. Οι δυο τύποι λειτουργικών σταθερών του Vergnaud (1996) είναι οι έννοιες εν δράσει και τα θεωρήµατα-εν-δράσει. Οι έννοιες-εν-δράσει είναι ουσιώδεις συνιστώσες των θεωρηµάτων εν δράσει. εν υπάρχουν θεωρήµατα-εν-δράσει χωρίς έννοιες-εν-δράσει, αλλά οι έννοιες-εν-δράσει έχουν νόηµα από µόνες τους όταν είναι απόντα τα θεωρήµατα-εν-δράσει. Υπάρχει µια διαλεκτική σχέση µεταξύ αυτών. Όπως γράφει ο Vergnaud (1996) «Με το concept-in-action εννοώ µια έννοια (αντικείµενα και κατηγορήµατα) υπονοούµενη (tacit), και µε τα theorems-in-action, µια πρόταση που θεωρείται αληθινή. εν υπάρχει κανένα θεώρηµα εν δράσει χωρίς µια έννοια εν δράσει και αντίστροφα, δεδοµένου ότι δεν υπάρχει κανένα θεώρηµα χωρίς µια έννοια». Ένα θεώρηµα-εν-δράσει (theorem-in-action), (Vergnaud 1996, p. 225) είναι προτάσεις που το υποκείµενο θεωρεί αληθινές για µια κατηγορία µεταβλητών καταστάσεων ή σε συσχέτιση µε τον πραγµατικό κόσµο. Στη συνέχεια παρατίθεται ένα παράδειγµα (Vergnaud, 1998 p.168) θεωρήµατοςεν-δράσει που προκύπτει µέσα από την επίλυση ενός προβλήµατος από τους µαθητές: Ένα τρένο τρέχει µε µια σταθερή ταχύτητα. Χρειάζεται 16 λεπτά για να φτάσει από την πόλη x στην πόλη y που έχουν απόσταση 40 χιλιόµετρα. Από την πόλη y στην πόλη z χρειάζεται 36 λεπτά. Ποια είναι η απόσταση των πόλεων y- z; υο µαθητές κάνουν τις εξής πράξεις προκειµένου να οδηγηθούν στην λύση: 1 ο µαθητής : 40 x 2 = 80, = 90 2 ο µαθητής : 40: 16 = 2,5, 36 x 2,5 = 90 A µαθητής Β µαθητής - 7 -

8 σχέση 1 σχέση 3 σχέση 2 θεώρηµα-εν-δράσει 1 σχέση 4 θεώρηµα-εν-δράσει 2 Ο Vergnaud επιχειρεί µια ανάλυση των σχέσεων που ακολουθούν οι µαθητές κατά την διάρκεια της επίλυση της άσκησης ενώ καταλήγει στο συµπέρασµα ότι οι µαθητές «δεν είναι ικανοί συνήθως να εξηγήσουν ή να εκφράσουν σε φυσική γλώσσα τα θεωρήµατα που προκύπτουν µέσα από τι διαδικασίες που ακολουθούν προκειµένου να λύσουν µια άσκηση. Η επιλογή των στοιχείων και η ακολουθία των υπολογισµών που παίρνουν µέρος βασίζονται πάνω σε θεωρήµατα-ενδράσει.» Oι µαθητές σύµφωνα µε τον Vergnaud καταλήγουν σε ένα θεώρηµα το οποίο δεν γνώριζαν εκ των προτέρων, αλλά προέκυψε την στιγµή της δράσης τους πάνω στην άσκηση. Για παράδειγµα ο µαθητής Α έχει λύσει το πρόβληµα µε τον τρόπο που ήδη αναφέραµε, ενώ η σχέση 1 είναι η αυστηρή σχέση µε την οποία θα έλυνε το πρόβληµα ο µαθητής (αν είχε τις γνώσεις) του οποίου η γενίκευση οδηγεί στη σχέση 2. Η σχέση 2 είναι το υπονοούµενο θεώρηµα-εν-δράσει 1 για τον µαθητή Α. Όµοια και οι σχέσεις 2,3 οδηγούν στην διατύπωση του θεωρήµατος- εν- δράσει 2. Έννοιες εν-δράσει (Concepts-in-action), (Vergnaud 1996, p.225) είναι κατηγορίες που δίνουν την δυνατότητα στο υποκείµενο να υποδιαιρέσει τον πραγµατικό κόσµο σε διακριτά στοιχεία και να επιλέξει την πιο επαρκή συλλογή πληροφοριών σύµφωνα µε την κατάσταση και το σχήµα που περιλαµβάνεται. Για την κατανόηση της έννοιας-εν-δράσει σε σχέση µε το θεώρηµα-εν-δράσει ο Vergnaud (1998 p.174) δίνει τα παρακάτω παραδείγµατα η µαθήτρια Α έχει 5 βώλους και κερδίζει άλλους 7. Πόσους έχει τελικά ; η µαθήτρια Β είχε 7 βώλους και έχασε τους 5. Πόσους έχει τελικά ; η µαθήτρια Γ είχε 9 βώλους. Τώρα έχει συνολικά14. Πόσους κέρδισε; η µαθήτρια έχει µόλις χάσει 5 βώλους. Τώρα έχει 7. Πόσους είχε αρχικά; Υπάρχουν διαφορετικές έννοιες-εν-δράσει υπονοούµενες στην κατανόηση της κατάστασης όπως: χάνω και κερδίζω, αυξάνω και µειώνω, αρχικό και τελικό, - 8 -

9 αφαίρεση και πρόσθεση κ.α. Η δυσκολία που υπάρχει στην τέταρτη δήλωση είναι ότι χρειάζεται να πάµε προς τα πίσω στην αρχική δήλωση προσθέτοντας τους 5 βώλους στους υπάρχοντες 7. Αυτή η αιτιολόγηση στηρίζεται πάνω σε ένα θεώρηµα-εν-δράσει όπου Ι είναι η αρχική δήλωση, F η τελική δήλωση, Τ ο απευθείας µετασχηµατισµός και T -1 o αντίστροφος µετασχηµατισµός. Κατά συνέπεια, η γνώση σύµφωνα µε την θεωρία των εννοιολογικών πεδίων σχετικά µε µια έννοια ή έννοιες, µπορεί να εκδηλωθεί µε δύο τρόπους (Zazkis and Liljedahl, 2002 p.97): (1) µε αναγνώριση των διαφορών σε δύο φαινοµενικά παρόµοιες κατηγορίες καταστάσεων και εποµένως µε υιοθέτηση διαφορετικών ανά κατάσταση θεωρηµάτων-εν-δράσει. (2) µε αναγνώριση µιας κοινής δοµής µεταξύ δύο κατηγοριών καταστάσεων που θεωρήθηκαν στο παρελθόν ως διαφορετικές. Αυτό µπορεί να οδηγήσει σε µια προσαρµογή δύο προηγουµένως χρησιµοποιούµενων θεωρηµάτων εν δράσει σε ένα γενικότερο θεώρηµα εν δράσει το οποίο είναι εφαρµόσιµο και για τις δύο κατηγορίες καταστάσεων. Συνεπώς κάποιος µπορεί να υποθέσει πως σε ένα σχήµα ενός µαθητή/ σπουδαστή ενσωµατώνονται θεωρήµατα εν-δράσει (theorems-inactions) από τα οποία προκύπτει µια έννοια-εν- δράσει (concept-in-action). Όταν οι µαθητές βρίσκονται αντιµέτωποι µε µια νέα κατάσταση, χρησιµοποιούν τη γνώση η οποία έχει διαµορφωθεί από την εµπειρία τους µε τις απλούστερες και πιο γνωστές καταστάσεις και προσπαθούν να την προσαρµόσουν στη νέα κατάσταση (Vergnaud, 1988, p. 141). Αυτή η διαδικασία είναι παρόµοια µε την προσαρµογή και αφοµοίωση του Piaget. 2. Το σχήµα στο πλαίσιο µιας εργαλειακής προσέγγισης της γνώσης. Οι κοινωνικοπολιτισµικές προσεγγίσεις δεν µπορούν να εξετάσουν τις γνωστικές διεργασίες έξω από το κοινωνικό και πολιτισµικό πλαίσιο στο οποίο διαδραµατίζονται. Εποµένως η έννοια του σχήµατος σύµφωνα µε τις θεωρίες αυτές έχει νόηµα ως οντότητα που αναπτύσσεται σε ένα συγκεκριµένο πολιτισµικό και κοινωνικό περιβάλλον. Το πλέγµα των σχέσεων που διαµορφώνονται κατά την διαδικασία διδασκαλίας και µάθησης σε ένα διαµεσολαβούµενο περιβάλλον, σε σχέση µε τις απόψεις του Vygotsky, αναλύεται - 9 -

10 σε βάθος από την θεωρία δραστηριότητας (Activity theory). Σύµφωνα µε τον Kuutti (1991) η θεωρία δραστηριότητας (Activity Theory) είναι µια φιλοσοφική και διεπιστηµονική θεωρία για την µελέτη διαφορετικών τύπων των ανθρώπινων πρακτικών, συµπεριλαµβάνοντας πρακτικές διδασκαλίας και µάθησης, ως διαδικασίες ανάπτυξης διαµεσολαβούµενες από artefacts στις οποίες ατοµικές και κοινωνικές πτυχές αλληλοσυνδέονται ταυτόχρονα. O Leont'ev (1974) περιγράφει µια δραστηριότητα ως σύνθεση υποκειµένου, αντικειµένου, δράσεων και λειτουργιών. Ένα υποκείµενο είναι ένα πρόσωπο ή µια οµάδα που εµπλέκεται στην δραστηριότητα. Ένα αντικείµενο (µε την έννοια του αντικειµενικού στόχου) τίθεται από το υποκείµενο και κινητοποιεί την δραστηριότητα, δίνοντας µια συγκεκριµένη κατεύθυνση (σχήµα 2). Πίσω από το αντικείµενο όπως γράφει ο Leont'ev (ibid.) υπάρχει µια ανάγκη ή µια επιθυµία προς την οποία η δραστηριότητα πάντοτε απαντά. Για παράδειγµα: Ένας άνθρωπος µπορεί να έχει σαν στόχο να αποκτήσει τροφή, αλλά γιa να το κάνει αυτό πρέπει να κάνει κάποιες ενέργειες κατευθυνόµενες προς την απόκτηση τροφής. Ο στόχος του µπορεί να είναι να φτιάξει ένα κυνηγητικό όπλο. Στη συνέχεια να χρησιµοποιήσει το όπλο που έχει φτιάξει µόνος του ή να το δώσει σε κάποιον άλλον να το χρησιµοποιήσει και να λάβει αυτός (ως αντάλλαγµα) ένα µέρος του συνολικού θηράµατος; Και στις δυο περιπτώσεις εκείνο το οποίο ενεργοποιεί την δραστηριότητα του και αυτό προς το οποίο κατευθύνεται η ενέργεια δεν συµπίπτουν (Leont'ev, 1974). Η εκδοχή του µοντέλου της Activity theory που προτείνεται από τους Engeström & Cole (1991), αφορά ανθρώπινες δραστηριότητες γενικά, αλλά µπορεί να χρησιµοποιηθεί επίσης για να περιγράψει το σύστηµα των σχέσεων που χαρακτηρίζουν µια δραστηριότητα διδασκαλίας /µάθησης (Nardi, 1996). Πως όµως συνδέεται η θεωρία δραστηριότητας µε την διδασκαλία και την µάθηση; Οι Cerulli, Pedemonte, and Robotti (2005) αναφέρουν ότι: αυτό το µοντέλο προσδιορίζει έναν κρίσιµο ρόλο διαµεσολάβησης στα εργαλεία και στις τρεις σχέσεις που χαρακτηρίζουν οποιαδήποτε ανθρώπινη δραστηριότητα: σχέσεις µεταξύ του υποκειµένου και του αντικειµένου, µεταξύ του υποκειµένου και της κοινότητας, µεταξύ της κοινότητας και του αντικειµένου. Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο µια δραστηριότητα µπορεί να εξελιχθεί, κατά τη διάρκεια της ανάπτυξής της, προκαλώντας µια αλλαγή του στόχου της δραστηριότητας και κατά συνέπεια έναν µετασχηµατισµό της δοµής της. Με άλλα λόγια, κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης µιας δραστηριότητας, οι ενέργειες του µαθητή, οι ενέργειες του δασκάλου, ή άλλα γεγονότα µπορούν να προκαλέσουν µια αλλαγή στις σχέσεις που χαρακτηρίζουν την ίδια τη δραστηριότητα. Η συλλογική εργασία των Vygotsky, Luria and Leont'ev, πάνω στην θεωρία δραστηριότητας, σύµφωνα µε την Hoyles (2003) αποδεικνύει ότι οι ατοµικές και

11 κοινωνικές ενέργειες της επίλυσης προβλήµατος εξαρτώνται και από τα artefacts ως «κρυσταλλωµένες λειτουργίες» ( crystallised operations (Leont ev, 1978). Η εισαγωγή ενός artefact σε µια δοθείσα κατάσταση επιτρέπει µεν σε παλαιά προβλήµατα να λυθούν, αλλά αλλάζει την φύση των στόχων και δηµιουργεί νέα προβλήµατα απαιτώντας νέα εργαλεία (Nardi, 1996). Τα διάφορα εργαλεία µπορούν να θεωρηθούν ως εξωτερικά σύµβολα (signs) αναφερόµενα σε µια συγκεκριµένη µαθηµατική έννοια και εποµένως ως εργαλεία σηµειωτικής διαµεσολάβησης 4 (instruments of semiotic mediation) (Mariotti, 2002). Ο ρόλος του δασκάλου είναι κρίσιµος διότι εκτός από την οργάνωση του διδακτικού περιβάλλοντος είναι υπεύθυνος και για την επιλογή των ειδικών εργαλείων της σηµειωτικής διαµεσολάβησης. Η εξέλιξη των µαθητών επιτυγχάνεται διαµέσου της κοινωνικής κατασκευής και κάτω από την καθοδήγηση του δασκάλου (για παράδειγµα Mariotti, 2002; Cerulli & Mariotti, 2003), δεδοµένου ότι ο δάσκαλος µεσολαβεί στην χρησιµοποίηση του εργαλείου προκειµένου να ολοκληρώσει τις στρατηγικές επικοινωνίας που στοχεύουν να αναπτύξουν µια συγκεκριµένη έννοια. 5 4 Σύµφωνα µε την Mariotti (2000) o Vygotsky διακρίνει µια λειτουργία διαµεσολάβησης µεταξύ των εργαλείων και των συµβόλων (ή εργαλείων σηµειωτικής διαµεσολάβησης). Και τα δύο παράγονται και χρησιµοποιούνται από τα ανθρώπινα όντα και είναι µέρος της πολιτιστικής κληρονοµιάς της ανθρωπότητας. Αν και θεωρούνται στην ίδια κατηγορία διαµεσολαβητών, «τα σύµβολα και τα εργαλεία» είναι σαφώς διαχωρισµένα από τον Vygotsky (1978, p. 53). Η βασική αναλογία µεταξύ των συµβόλων και των εργαλείων στηρίζεται στη διαµεσολαβητική λειτουργία που χαρακτηρίζει κάθε ένα από αυτά. Μπορούν, εποµένως, από ψυχολογική προοπτική, να εντάσσονται κάτω από την ίδια κατηγορία της έµµεσης (διαµεσολαβηµένης) δραστηριότητας. H διαφορά µεταξύ των δύο στοιχείων βασίζεται «στο διαφορετικό τρόπο που προσανατολίζουν την ανθρώπινη συµπεριφορά». (Vygotsky, 1978 p. 54). -η λειτουργία των εργαλείων, είναι προσανατολισµένη εξωτερικά, ώστε να χρησιµεύσει ως ο αγωγός της ανθρώπινης δραστηριότητας που στοχεύει στην οργάνωση /κυριαρχία της φύσης. -η λειτουργία των συµβόλων (ψυχολογικών εργαλείων) είναι προσανατολισµένη εσωτερικά, είναι ένας τρόπος της εσωτερικής δραστηριότητας που στοχεύει στην οργάνωση κάποιου. Σύµφωνα µε τον Vygotsky, οι δυο διαδικασίες συνδέονται αυστηρά, «ακριβώς όπως η αλλαγή της φύσης από τον άνθρωπο αλλάζει την ίδια την ανθρώπινη φύση " (Vygotsky, 1978 p. 55). 5 Όταν ένας µαθητής εποµένως χρησιµοποιεί ένα εργαλείο για την επίτευξη ενός στόχου µέσα σε µια δραστηριότητα, η µάθηση συντελείται ως αποτέλεσµα της οικοδόµησης µέσα από τη φύση της ίδιας της δραστηριότητας. Μέσα στο πλαίσιο αυτό, ο δάσκαλος των µαθηµατικών παίζει ένα σηµαντικό ρόλο τόσο στην διαµόρφωση των συζητήσεων όσο και στην διευθέτηση και επιλογή των εργαλείων διαµεσολάβησης µέσω των οποίων θα εισαχθούν ή θα διερευνηθούν οι έννοιες των µαθηµατικών. Τα αποτελέσµατα της µάθησης ως αλληλεπίδραση µε τις δραστηριότητες σε ένα εργαλείο υπολογιστή, δεν είναι απαραιτήτως σύµφωνα µε τους εκπαιδευτικούς στόχους του δασκάλου. (Cerulli, Pedemonte & Robotti, 2005 )

12 εργαλεία διαµεσολάβησης υποκείµενο-χρήστης ( οµάδα) αντικείµενο ( αποτελεσµα ή στόχος ) κανόνες κοινωνικού πλαισίου κοινότητα τµήµα εργασίας Σχήµα 2. Το συστηµικό µοντέλο του Engeström Σχήµα 3. αµφίδροµη διαδικασία δράσης υποκειµένου αντικειµένου Trouche (2006) Εντούτοις όπως ισχυρίζονται οι Cerulli, Pedemonte, and Robotti (2005) «ένα τεχνολογικό εργαλείο (ICT) δεν θεωρείται ως αντίπαλος στα υποκείµενα όπως στην περίπτωση του milieu antagoniste 6 (Brousseau, 1986) αντίθετα, θεωρείται ένα περιβάλλον συνεργασίας». Οι Verillon and Rabardel (1995) τονίζουν την διαφορά µεταξύ ενός εργαλείου (tool) ως υλικού αντικειµένου και ενός εργαλείου (instrument) ως ψυχολογικού κατασκευάσµατος: «το instrument δεν υπάρχει από µόνο του, γίνεται όταν το υποκείµενο είναι σε κατάλληλη θέση να το ενσωµατώσει µέσα στη δραστηριότητά του» ενώ η Mariotti (2002) κρίνει σκόπιµο να κάνει µια διάκριση µεταξύ ενός εργαλείου (instrument) και ενός artefact τονίζοντας ότι «ένα artefact, είναι για παράδειγµα το ιδιαίτερο αντικείµενο µε τα εγγενή χαρακτηριστικά του, σχεδιασµένο για να ολοκληρώσει έναν ιδιαίτερο στόχο, και ένα εργαλείο, είναι το artefact και οι µορφές της χρήσης του, όπως διαµορφώνονται από έναν ιδιαίτερο χρήστη». Η σχέση ανάµεσα στο εργαλείο και τον χρήστη παρέχεται µέσα από την θεωρία του Rabardel (1995). «Τα εργαλεία δεν είναι παθητικά, είναι ενεργά στοιχεία του πολιτισµού στον οποίο παρεµβάλλονται» (Noss and Hoyles 1996, p.58). Το artefact µετασχηµατίζεται σε εργαλείο κατά τη διάρκεια µιας διαδικασίας «εργαλειακής γένεσης» ( instrumental genesis) (Verillon and Rabardel,1995) σε συνάρτηση µε το υποκείµενο (agent) και τον στόχο που το υποκείµενο θέλει να 6 Ο Brousseau G. (1986) πρότεινε ένα µοντέλο προκειµένου να ερµηνεύσει τις διαδικασίες επίλυσης προβλήµατος στο οποίο τα δυο συστήµατα αφ ενός οι µαθητές που προσπαθούν να λύσουν ένα πρόβληµα και αφ ετέρου το περιβάλλον στο οποίο εργάζονται οι µαθητές αλληλεπιδρούν. Οι µαθητές έτσι ενεργούν και αντιδρούν ανάλογα µε την ανατροφοδότηση που παίρνουν, ευρισκόµενοι κατά κάποιον τρόπο σε µια ανταγωνιστική κατάσταση

13 πραγµατοποιήσει µέσω του εργαλείου. Οι Guin and Trouche (1999), χαρακτηρίζοντας την διαδικασία εργαλειακής γένεσης ως µια αµφίδροµη διαδικασία, διακρίνουν µια φάση κατά την οποία το εργαλείο έχει επιπτώσεις στην, και διαµορφώνει τη σκέψη του χρήστη (instrumentation) και µια φάση όπου το εργαλείο διαµορφώνεται από το χρήστη (instrumentalization). Σύµφωνα µε την θεωρία αυτή όταν ένα υποκείµενο χρησιµοποιεί ένα εργαλείο για να ολοκληρώσει έναν στόχο περνά µέσω της instrumentalization διαδικασίας στην εσωτερικοποίηση των σχηµάτων χρήσης του εργαλείου. Η instrumentalization διαδικασία (Guin and Trouche, 2002) µπορεί να περάσει από τα διαφορετικά στάδια: το στάδιο της ανακάλυψης, το στάδιο της εξατοµίκευσης και το στάδιο του µετασχηµατισµού του artefact µερικές φορές σε κατευθύνσεις που δεν είναι σχεδιασµένες από το σχεδιαστή. Η διαδικασία instrumentalization είναι επίσης µια διαδικασία διαφοροποίησης των ίδιων των artefact. Όπως αναφέρουν οι Guin and Trouche (2002) «η διαδικασία instrumentation είναι σχετική µε την εµφάνιση και την εξέλιξη των σχηµάτων ενός υποκειµένου για την εκτέλεση ενός δοθέντος στόχου όπως αναφέρεται στην θεωρία του Vergnaud (1996) περί σχήµατος δηλαδή σαν αµετάβλητη οργάνωση, η οποία στηρίζεται στους δυο τύπους των λειτουργικών σταθερών τις έννοιες- εν- δράσει και τα θεωρήµατα-εν-δράσει». Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας της εργαλειακής γένεσης οι δυο φάσεις συνυπάρχουν και αλληλεπιδρούν επιτρέποντας στο υποκείµενο να χτίζει ενεργά αυτό που ο Rabardel (1995) ονοµάζει «σχήµατα χρησιµοποίησης (του εργαλείου)» (utilization schemes ή using schemes), δηλαδή νοητικά σχήµατα που οργανώνουν την δραστηριότητα µέσω του εργαλείου, προκειµένου να πραγµατοποιηθεί ένας δεδοµένος στόχος. Ο Rabardel (1995, p.84) στο βιβλίο του People and Technology (a cognitive approach to contemporary instruments) διακρίνει δύο τύπους των σχηµάτων χρησιµοποίησης (utilization schemes): 1) Τα σχήµατα χρήσης (usage schemes) που είναι προσανατολισµένα στη διαχείριση του εργαλείου 2) τα εργαλειοποιηµένα σχήµατα δράσης (instrumented action schemes) σχήµατα προσανατολισµένα στην εκτέλεση ενός συγκεκριµένου στόχου Ενώ είναι προφανές ότι τα υποκείµενα εισαγόµενα σε αυτήν την συλλογική δραστηριότητα εφαρµόζουν τα σχήµατα χρησιµοποίησης που αντιστοιχούν στους διάφορους τύπους που αναφέρονται ανωτέρω, δεν είναι λιγότερο προφανές ότι η συλλογική φύση της δραστηριότητας, εκτός εξαιρέσεων, οδηγεί στη σύσταση και εφαρµογή ειδικών σχηµάτων (Rabardel, 1995p.84) των 2α) εργαλειοποιηµένων σχηµάτων συλλογικής δράσης (instrumentmediated collective activity schemes) τα οποία αναφέρονται /αφορούν το συντονισµό µεµονωµένων δράσεων και την ολοκλήρωση των αποτελεσµάτων τους ως συµβολή στην επιτυχία κοινών στόχων

14 Τα σχήµατα χρησιµοποίησης (utilization schemes) έχουν και ατοµικές και κοινωνικές διαστάσεις. Η ατοµική είναι ειδική για κάθε άτοµο, ενώ η κοινωνική προέρχεται από το γεγονός ότι τα σχήµατα αναπτύσσονται στην διάρκεια µιας διαδικασίας στην οποία το υποκείµενο δεν είναι µεµονωµένο. Έτσι οι σχεδιαστές των artefacts σε οποιαδήποτε µορφή αναφερόµαστε (π.χ σχεδιαστές λογισµικού ή σχεδιαστές δραστηριοτήτων λογισµικού) συνεισφέρουν στην εµφάνιση τέτοιων σχηµάτων. Ο Trouche αναφερόµενος στα instrumented action schemes, ισχυρίζεται ότι θα πρέπει να αναζητήσει τις λειτουργικές σταθερές (operational invariants) που καθοδηγούν αυτήν την τεχνική, δηλαδή τα αναδυόµενα θεωρήµατα-εν-δράσει και τις έννοιες-εν-δράσει. Για να γίνει αυτό περισσότερο κατανοητό θα αναφέρουµε το παράδειγµα το οποίο έχει ο Trouche (2004, p.153) Ψάχνοντας για τα σχήµατα εργαλειοποιηµένης δράσης παρατηρούµε τον µαθητή µέσα από την δράση του µε το εργαλείο και του ζητάµε να δικαιολογήσει τις απαντήσεις του. Μια από τις απαντήσεις του µαθητή είναι η εξής «αν η f(x) είναι πολύ µεγαλύτερη από το χ ή αν η συνάρτηση αυξάνει µε µεγαλύτερη ταχύτητα είναι εντάξει. Αν η συνάρτηση αρχίζει να µειώνεται τότε κάτι δεν πάει καλά». Έτσι κάποιος µπορεί να υποθέσει ότι ο µαθητής κατασκευάζει θεωρήµαταεν-δράσει του εξής τύπου «αν η f(x) παίρνει πολύ µεγαλύτερες τιµές από το χ τότε το όριο της f είναι το άπειρο» ή «αν το όριο της f είναι το άπειρο τότε η f αναγκαστικά αυξάνεται». Από όλες αυτές τις ιδιότητες αναδύεται µια έννοια- ενδράσει του τύπου «αν η f έχει ένα άπειρο όριο αυτό σηµαίνει ότι όταν το χ παίρνει µια µεγάλη τιµή τότε η f(x) παίρνει µια πολύ µεγάλη τιµή διαρκώς αυξανόµενη» Ο Trouche (2004, p.154) αναφέρει ότι οι λειτουργικές σταθερές σε πρώτη φάση καθοδηγούν τις χειρονοµίες µέσω της διαδικασίας διερεύνησης, της συµπερασµατικής διαδικασία ς και της διαδικασίας αιτιολόγησης. Ο Rabardel (1995 p.96) προσδιορίζει για ένα νέο εργαλείο δύο αρχές που συνδέονται µε την παραγωγή από το υποκείµενο των σχηµάτων χρησιµοποίησης: Την «αρχή της οικονοµίας» δηλαδή µια οικονοµική αρχή αναζητούµενη από τον χρήστη. Ως εκ τούτου, όταν δυο διαφορετικοί στόχοι προτείνονται στον χρήστη ειδικά προσαρµοσµένοι ο ένας στον άλλον και όταν το υποκείµενο διακόπτεται ενώ εκτελεί τον πρώτο στόχο για να ολοκληρώσει τον άλλον, τότε τείνει να χρησιµοποιήσει το εργαλείο που είχε χρησιµοποιήσει για να εκτελέσει τον αρχικό στόχο ώστε να πραγµατοποιήσει τον νέο στόχο. Την «αναζήτηση της αποδοτικότητας» όπου, εάν το υποκείµενο θεωρεί ότι το προτεινόµενο εργαλείο δεν θα είναι το αποδοτικότερο σχετικά µε τους στόχους που θέλει να επιτύχει, τείνει είτε να επιλέξει ένα άλλο εργαλείο, είτε να χρησιµοποιήσει το προτεινόµενο εργαλείο, αλλά µε έναν τρόπο που οι σχεδιαστές

15 του εργαλείου δεν είχαν προβλέψει (άτυπη χρήση «informal use», ή κατάχρηση «catachrèse» σύµφωνα µε τον Rabardel). Η ψυχολογική συνιστώσα της εργαλειακής προσέγγισης εξηγείται µέσω της έννοιας του σχήµατος (scheme) κατά Piaget σύµφωνα µε τον Trouche (2003) ως «η δοµή ή η οργάνωση των ενεργειών καθώς µεταφέρονται ή γενικεύονται από την επανάληψη σε παρόµοιες ή ανάλογες περιστάσεις» (Piaget & Inhelder, 1969, p.4). Ένα σχήµα κατά τον Trouche (2003) έχει τρεις λειτουργίες: πραγµατιστικές (pragmatic), επιτρέπει στον διαµεσολαβητή (agent) δηλαδή αυτόν που κάνει την πράξη που µπορεί να είναι και ένας δάσκαλος- να κάνει κάτι, ευρετικές (heuristic), επιτρέπει στον διαµεσολαβητή να προσδοκήσει και να προγραµµατίσει τις ενέργειες, και επιστηµικές (epistemic), επιτρέπει στον διαµεσολαβητή να κατανοήσει κάτι. Η εργαλειακή γένεση, εποµένως, είναι µια σύνθετη διαδικασία που συνδέει τις δυνατότητες (affordances) και τους περιορισµούς του εργαλείου µε τους προγενέστερους όρους και τη δραστηριότητα των διαµεσολαβητών (agents). Άλλα κατασκευάσµατα που εισάγονται από τον Trouche είναι οι τεχνικές (techniques) και οι εργαλειοποιηµένες τεχνικές (instrumented techniques) (Trouche, 2005). Οι τεχνικές (techniques) είναι σύνολα χειρονοµιών (gestures) που πραγµατοποιούνται κατά την εκτέλεση ενός στόχου µε ένα εργαλείο. Οι εργαλειοποιηµένες τεχνικές (instrumented techniques) είναι τεχνικές που ενσωµατώνουν περισσότερα artefacts και είναι έτσι η εξωτερίκευση µέσω χειρονοµιών 7 (gestures) των εργαλειοποιηµένων σχηµάτων δράσης (instrumented action schemes). 7 Οι χειρονοµίες (gestures) έννοια που έχει επισηµανθεί από την θεωρία του Verganud είναι σύµφωνα µε τους Guin & Trouche (2002) παρατηρήσιµες συµπεριφορές και ένα σχήµα (scheme) είναι ο ψυχολογικός γεωµετρικός τόπος της διαλεκτικής σχέσης µεταξύ των χειρονοµιών (gestures) και των λειτουργικών σταθερών (operative invariants) (για παράδειγµα µεταξύ της δραστηριότητας και της σκέψης). Η συσχέτιση της έννοιας του «σχήµατος» µε την έννοια των «χειρονοµιών» είναι από την πλευρά του Trouche ένας τρόπος συσχέτισης εσωτερικών κα εξωτερικών φαινοµένων

16 Σχεδιαστές instrument (εργαλείο προς δράση) χρήστες αντικείµενο Σχήµα 4. H εργαλειακή πρόταση instrumental proposal και η εργαλειακή γένεση instrumental genesis όπως σχεδιάστηκαν από τον Benguin (2006). Ο Benguin (2006) όσον αφορά την διαδικασία σχεδιασµού εκπαιδευτικών εργαλείων επιχειρηµατολογεί ότι ο στόχος της είναι ο σχεδιασµός ενός instrument, και όχι µόνο ενός artefact. Αν προσπαθήσουµε να ορίσουµε τη σχεδιαστική διαδικασία σαν διαλογική διαδικασία, τότε, όπως γράφει, «ένα artefact θα µπορούσε να οριστεί ως κάποια γέφυρα µεταξύ ετερογενών δραστών, µε διαφορετικές απόψεις και προοπτικές». Η γενική ιδέα είναι ότι µια εργαλειακή πρόταση (instrumental proposal) φτιαγµένη από τους σχεδιαστές κρυσταλλώνει (crystallizes) στο artefact µια αναπαράσταση από τη δραστηριότητα του χρήστη. Πρέπει να λάβουµε υπόψη το γεγονός ότι στο σχεδιασµό ενός artefact οι σχεδιαστές φαντάζονται µια λειτουργία, µε στόχο τον προσανατολισµό της δραστηριότητας του υποκειµένου. Αλλά αυτό είναι στην καλύτερη περίπτωση µια εργαλειακή πρόταση (instrumental proposal) που γίνεται από τους σχεδιαστές ενώ θα υπάρξει µια απάντηση κατά τη διάρκεια της εργαλειακής γένεσης (instrumental genesis)» από τους χρήστες. 8 Έτσι, η πρόκληση είναι να οργανωθεί µια κυκλική και διαλογική διαδικασία όπου το αποτέλεσµα µιας δραστηριότητας, του σχεδιαστή 8 «Εάν συµφωνούµε µε την ιδέα ότι ο στόχος της διαδικασίας σχεδιασµού είναι να σχεδιάσει ένα instrument (και όχι µόνο ένα artifact), και εάν εξετάζουµε την instrumental genesis σαν συµβολή που γίνεται από το χρήστη στο σχεδιασµό ενός instrument, έπειτα µπορούµε να ορίσουµε την σχεδιαστική διαδικασία ως διαλογική διαδικασία µε την Bakhtinian λογική. Με τον όρο διαλογικότητα ο Bakhtin αναφέρεται σε µια διαδικασία όπου κάποιος παίρνει κάτι που ανήκει σε άλλους, και το κάνει δικό του. Τυπικά η instrumental genesis είναι µια απάντηση που αλλάζει τη µορφή και τη σηµασία του artefact που αρχικά προτείνεται από τους σχεδιαστές. Αλλά και η αντιστροφή ισχύει επίσης: η instrumentalization διαδικασία που γίνεται από τους χρήστες µπορεί να οδηγήσει σε µια απάντηση από τους σχεδιαστές.» (Beguin,2006)

17 και του εργαζοµένου προσώπου, να αποτελεί µια πηγή και έναν πόρο για τη δραστηριότητα άλλων προσώπων (Béguin, 2003). 3. Κοινωνικά σχήµατα (social schemes) και εργαλειακή ενορχήστρωση (instrumental orchestration) Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, τα σχήµατα είναι αποτέλεσµα κοινωνικής αλληλεπίδρασης που διαµορφώνονται σε ένα διαµεσολαβούµενο περιβάλλον στο πλαίσιο µιας εργαλειακής γένεσης. Οι Rabardel and Samurçay (2001) ορίζουν τα κοινωνικά σχήµατα (social schemes) ως: τα σχήµατα που «εγείρουν την ιδιοποίηση των υποκειµένων, ακόµα και αν εµπίπτουν / υπάγονται σε εκπαιδευτικές διαδικασίες». Οι Rabardel and Samurçay (2001) ορίζοντας τα κοινωνικά σχήµατα µας επιτρέπουν να κινηθούµε πέρα από την προηγούµενη αντίθεση µεταξύ των δύο θεωρητικών προσεγγίσεων: της γενετικής επιστηµολογίας του Piaget (genetic epistemology (Piaget 1936), και της θεωρίας διαµεσολάβησης (Vygotsky, 1934): η γενετική επιστηµολογία ενδιαφέρεται για τον κόσµο της φύσης και όχι του πολιτισµού. «Εµείς» όπως αναφέρουν οι Rabardel and Samurçay (ibid.) «έχουµε κινηθεί µεταξύ αυτού του περιορισµού δίνοντας στα σχήµατα χρησιµοποίησης (utilization schemes) τα χαρακτηριστικά των κοινωνικών σχηµάτων: αυτά αναπτύσσονται και γίνονται αποδεκτά στο πλαίσιο κοινοτήτων πρακτικής και µπορούν να τύχουν εξ αρχής αποδοχής από τα υποκείµενα ή και να προκύψουν από σαφείς (ρητές) εκπαιδευτικές διαδικασίες». Σύµφωνα µε τον Trouche (2004) «ένα σχήµα σύµφωνα µε τον Piaget είναι για ένα υποκείµενο ένα µέσο για προσωπική αφοµοίωση µιας κατάστασης και των αντικειµένων που αντιµετωπίζει, αλλά όπως οι Rabardel and Samurçay (ibid.) παρατηρούν ταυτόχρονα ένα σχήµα είναι το ίδιο το παράγωγο της αφοµοιωτικής δραστηριότητας στο οποίο το περιβάλλον και τα διαθέσιµα εργαλεία παίζουν ένα σηµαντικό ρόλο». Είναι σηµαντικό ότι και οι εισηγητές της εργαλειακής γένεσης (Guin & Trouche, 2002; Trouche, 2005) δεν περιορίζονται στην ψυχολογική διάσταση της διαµόρφωσης του νοητικού σχήµατος µέσω διαµεσολάβησης των εργαλείων, εισάγοντας τον όρο της «εργαλειακής ενορχήστρωσης». Γράφει συγκεκριµένα ο Trouche (2005): «Εισάγω τον όρο εργαλειακή ενορχήστρωση (instrumental orchestration) για να επισηµάνω την ανάγκη (για παράδειγµα την περίπτωση ενός δασκάλου στην τάξη του) µιας εξωτερικής καθοδήγησης στων µαθητών προς την εργαλειακή γένεση (instrumental genesis). Αυτή η ανάγκη λαµβάνεται σπάνια υπόψη: κάποιος µπορεί να βρει στο συσχετισµό εγχειριδίων ή εγγράφων, σχόλια για τα πειράµατα ή τα υλικά µέρη (π.χ υπολογιστές ή είδη λογισµικού), και τα διδακτικά συστατικά (π.χ έκθεση του µαθηµατικού και των διαφορετικών σταδίων της επεξεργασίας), αλλά σπάνια πληροφορίες για την οργάνωση του περιβάλλοντος για παράδειγµα την

18 οργάνωση του χώρου και του χρόνου της εργασίας των µαθητών και του δασκάλου». Η εργαλειακή ενορχήστρωση ορίζεται από 4 συνιστώσες (Guin & Trouche, 2002) ένα σύνολο ατόµων (a set of individuals) ένα σύνολο στόχων (a set of objectives) συσχετισµένων µε την επίτευξη ενός τύπου του στόχου ή την διοργάνωση ενός περιβάλλοντος εργασίας, µια διδακτική διαµόρφωση (a didactic configuration) δηλαδή µια γενική δοµή του σχεδίου δράσης, ένα σύνολο εκµετάλλευσης της διαµόρφωσης (a set of exploitation of this configuration). Η διαµόρφωση και η εκµετάλλευση των διαµορφώσεων παράγουν τα αποτελέσµατα της δραστηριότητας, τα οποία µπορούν να παρατηρηθούν από άλλα πρόσωπα τα οποία το υποκείµενο περιέλαβε στην δραστηριότητα του Ένα παράδειγµα διαδικασίας ενορχήστρωσης περιγράφεται από τον Trouche (2004, p.216) ως εξής: «Η διαµόρφωση αυτής της διαδικασίας ενορχήστρωσης βασίζεται στην αποκέντρωση ενός ειδικού ρόλου σε έναν µαθητή 9 ο οποίος καθοδηγεί έναν υπερυψωµένο-προβαλλόµενο υπολογιστή. Έτσι θεωρείται από όλη την τάξη και τον δάσκαλο σαν αναφορά, λειτουργώντας ως οδηγός, βοηθός και διαµεσολαβητής. Αυτή η διαδικασία ενορχήστρωσης συγκεντρώνει την συλλογική διαδικασία εργαλειοποίησης γιατί όταν κάνει κάτι στον δικό του υπολογιστή µπορεί να εµφανιστεί σε όλους. Έτσι επιτρέπει σε κάποιον να συγκρίνει διαφορετικές εργαλειοποιηµένες τεχνικές και να δώσει στον δάσκαλο πληροφορίες για τα σχήµατα εργαλειοποιηµένης δράσης που µπορούν να χτιστούν από τον µαθητή sherpa. Ακόµα ο δάσκαλος είναι υπεύθυνος για την καθοδήγηση, διαµέσου του υπολογιστή του µαθητή χωρίς να αναλάβει ο ίδιος να ολοκληρώσει την εργαλειοποιηµένη χειρονοµία αλλά να την εκτελέσει µέσω του µαθητή. Έτσι ο δάσκαλος λειτουργεί ως διευθυντής ορχήστρας περισσότερο παρά ως η ίδια η ορχήστρα.. Οι εργαλειακές ενορχηστρώσεις µπορούν να δράσουν σε διαφορετικά επίπεδα (Guin & Trouche, 2002) Στο επίπεδο ενός artefact Στο επίπεδο ενός εργαλείου ή ενός συνόλου εργαλείων( instrument or a set of instruments) 9 ο Trouch ονοµάζει sherpastudent έναν µαθητή µε ειδικό ρόλο. Αφ' ενός, η λέξη sherpa αναφέρεται στο πρόσωπο που καθοδηγεί και που φέρνει το φορτίο κατά τη διάρκεια των αποστολών στα Ιµαλάια, και αφ' ετέρου, στους διπλωµάτες που προετοιµάζουν τα ιεθνή Συνέδρια

19 Στο επίπεδο της σχέσης του υποκειµένου µε ένα εργαλείο ή µε ένα σύνολο εργαλείων Σύµφωνα µε τους Noss & Hoyles (1996, p.105 in Trouche) «η ανάγκη των ενορχηστρώσεων (orchestrations), από αυτή την άποψη, είναι εµφανής στην εκµάθηση των µαθηµατικών επιστηµών θεωρούµενη ως «κατασκευή ενός δικτύου (web) συνδέσεων µεταξύ των κατηγοριών προβληµάτων, µαθηµατικών αντικείµενων και σχέσεων, πραγµατικών οντοτήτων και προσωπικών καταστάσεων». Στο συνέδριο CAME3 (2003) στην Discussion session of the Mind & Machine group: report συσχετίζονται οι έννοιες webbing - orchestration : «Η έννοια του webbing αναπτύχθηκε σαν αντίδραση στην έννοια της σκαλωσιάς (scaffolding) 10. Η webbing διαδικασία αφορά την ιδέα που ένας µαθητής µπορεί να χτίσει τη δική του σκαλωσιά (scaffolding) αλληλεπιδρώντας µε το εργαλείο, ακριβώς όπως η αράχνη κατασκευάζει τον ιστό της (web), χωρίς τον δάσκαλο που προσφέρει την σκαλωσιά. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι ανάπτυξης της γνώσης και κατασκευής των συνδέσεων. Τότε όµως ποιος είναι ο ρόλος του δασκάλου; εν περιλαµβάνεται στην έννοια του webbing ενώ στην διαδικασία της orchestration περιέχεται. Θα µπορούσαµε να υποστηρίξουµε τους µαθητές στο webbing, και η διαδικασία orchestration θα µπορούσε να είναι ένας τρόπος». ΣΥΖΗΤΗΣΗ H διδασκαλία των Μαθηµατικών είναι ένα κοινωνικά σχεδιασµένο εγχείρηµα, του οποίου η µορφή και το περιεχόµενο καθορίζονται σε συνάρτηση µε τις ιδιαίτερες λειτουργίες της εκπαίδευσης ως πεδία αναπαραγωγής κοινωνικών και ιδεολογικών σχηµάτων. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, θα µπορούσε να σκεφτεί κάποιος ότι τα νοητικά εργαλεία των σχηµάτων των µαθηµατικών εννοιών και εποµένως και οι µαθηµατικές έννοιες παράγονται τόσο ατοµικά όσο και κοινωνικά. Ένα σχήµα κατά Piaget, είναι ένα µέσο προσωπικής αφοµοίωσης καταστάσεων και αντικειµένων µε τα οποία έχει έρθει αντιµέτωπος ο µαθητής αλλά οι Rabardel and Samurçay (ibid.) παρατηρούν ταυτόχρονα ότι ένα σχήµα είναι το ίδιο το προϊόν µιας αφοµοιωτικής δραστηριότητας (the product of an assimilation activity) στο οποίο τόσο το περιβάλλον όσο και τα εργαλεία παίζουν ένα σηµαντικό ρόλο. Ακολουθώντας τον Piaget ένα σχήµα αναφέρεται σε «οτιδήποτε είναι επαναλήψιµο και γενικεύσιµο σε µια δράση» (Piaget, 1970, p. 42). Υπό αυτήν την 10 Η έννοια της σκαλωσιάς (scaffolding) είναι εκπαιδευτική τεχνική όπου ο δάσκαλος σχεδιάζει την επιθυµητή µαθησιακή στρατηγική ή στόχο και έπειτα σταδιακά µετατοπίζει την υπευθυνότητα στους µαθητές

20 έννοια, ένα σχήµα γενικά παρουσιάζεται µε την χρήση των σύµβολων και εργαλείων, είναι δηλαδή ένα εργαλειακό σχήµα (instrumental scheme)(f.rivera, 2007). Είναι σηµαντικό να ληφθεί υπόψη ότι ένα εργαλείο είναι πάντα το αποτέλεσµα µιας πολιτισµικής εξέλιξης και έχει δηµιουργηθεί για τους συγκεκριµένους στόχους, εποµένως ενσωµατώνει ιδέες. Αυτό έχει µεγάλη σηµασία για τις πρακτικές της διδασκαλίας, επειδή ο στόχος δεν αρκεί να είναι µόνο η εκµάθηση της λειτουργίας αυτού του ίδιου του εργαλείου, ούτε η αλληλεπίδραση του µαθητή και του εργαλείου. Η προσοχή πρέπει να στραφεί στους στόχους που εξυπηρετούνται µέσω του εργαλείου, στις ιδέες που ενσωµατώνονται µέσω του εργαλείου.(κολέζα,2006) Τα εργαλεία πάντα έχουν κοινωνικά στοιχεία σαν προϊόντα κοινωνικής εµπειρίας. Από αυτή την άποψη τα σχήµατα είναι εν µέρει κοινωνικά (έχουν πάντα ένα κοινωνικό µέρος και η εργαλειακή γένεση πάντα έχει ατοµικές και κοινωνικές όψεις (Trouche, 2003). Ποιος ο ρόλος του υπολογιστή εποµένως στην κατασκευή νοητικών σχηµάτων; Πως µπορεί ο υπολογιστής να συµβάλλει στον σχηµατισµό γνωστικών µονάδων, που λειτουργούν ως σηµείο αναφοράς για την οργάνωση, αναζήτηση και ανάκτηση πληροφοριών αλλά και στο να διευκολύνει την επαναχρησιµοποίηση και τη διαχείριση των σχηµάτων για έναν µεγάλο αριθµό καταστάσεων; Ο Rabardel (2000) σηµειώνει ότι αυτό είναι ένα κρίσιµο σηµείο: Τι είδους artefacts θα πρέπει να προτείνουµε στους µαθητές και πως θα πρέπει να τους καθοδηγήσουµε στην σύνθετη διαδικασία της εργαλειακής γένεσης διαµέσου της εξέλιξης και της διευθέτησης των συστηµάτων των ψυχολογικών εργαλείων. Σύµφωνα µε τον Trouche οι εργαλειακές ενορχηστρώσεις φαίνεται να δίνουν µερικά στοιχεία για µια απάντηση σ αυτή την ερώτηση. Στα πλαίσια των ICT επιτρέποντας στους µαθητές να εργάζονται συνεργατικά, δίνουµε ώθηση σε ένα νέο τύπο παιδαγωγικής πρακτικής,που περιλαµβάνει τα «σενάρια- εν χρήσει» (scenarios in use) (Allen & al 1994, 1996, Trouche,2004). Πρόκειται για την οργάνωση µια κατάστασης σε ένα περιβάλλον εργασίας, συνυπολογίζοντας την διαχείριση των artefacts και κάνοντας ρητή την περίπτωση της ενορχήστρωσης. Για τους Pernin and Lejeune (2004), ένα σενάριο µάθησης (learning scenario) «αναπαριστά µια περιγραφή κατασκευασµένη a priori ή a posteriori, σχετικά µε την πρόοδο µιας κατάστασης µάθησης σε ένα δοθέν περιβάλλον, ή σε µια µονάδα µάθησης του οποίου ο στόχος είναι να διασφαλίσει την καταλληλόλητα ενός συνόλου γνώσεων. Ένα σενάριο περιγράφει ρόλους, δραστηριότητες και επίσης γνωστικούς πόρους και εργαλεία αναγκαία για την εκπλήρωση κάθε δραστηριότητας». Η χρήση «σεναρίων-εν-χρήσει» µέσω µιας ακριβούς καθοδήγησης από τον δάσκαλο (και προς τον δάσκαλο) και οι αναφορές των πειραµάτων είναι στην καρδιά της εξελικτικής διαδικασίας σε σχέση µε τον