ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση» ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΕΥΧΟΣ Β ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ Μ. Τζεκάκη σε συνεργασία με Π. Σταγιόπουλο, Γ. Μπαραλό 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Έννοιες κατά θεματικό άξονα για τη Β Τάξη 3 Εξισώσεις και ανισώσεις 3 Πυθαγόρειο, τετραγωνικές ρίζες και άρρητοι αριθμοί 8 Συναρτήσεις 16 Τριγωνομετρικές έννοιες 22 Κανονικά Πολύγωνα 26 Μετρήσεις εμβαδών και όγκων 31 Έννοιες κατά θεματικό άξονα για την Γ Τάξη 59 Αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις με πολυώνυμα 59 Ταυτότητες 66 Εξίσωση δευτέρου βαθμού 69 Απλά γραμμικά συστήματα 72 Ομοιότητα- Ομοιθεσία 75 Βιβλιογραφικές Αναφορές 81 2

3 Έννοιες κατά Θεματικό άξονα για την Β Τάξη Εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις α βαθμού Στόχοι Στόχοι διδακτικής ενότητας προηγούμεν ων τάξεων Χρήση μεταβλητών Αναζήτηση του άγνωστου με νοερούς υπολογισμού ς Απλές εξισώσεις σε πραγματικές καταστάσεις Να εκφράζουν µε μεταβλητές διάφορες καταστάσεις της καθημερινής Να κατανοήσουν την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουν εξισώσεις πρώτου βαθμού µε έναν άγνωστο. Να επιλύουν ένα τύπο ως προς μία µμεταβλητή, θεωρώντας τον ως εξίσωση µε άγνωστο τη μεταβλητή Να διακρίνουν τα δεδομένα από τα ζητούμενα του προβλήματος. Να κάνουν εισαγωγή του αγνώστου. Να καταστρώνουν την εξίσωση, να την επιλύουν, να ελέγχουν το αποτέλεσμα και να καταγράφουν την απάντηση. Προσαρμογή στόχων Χρησιμοποιούν μεταβλητές Αναζητούν τον άγνωστου με νοερούς υπολογισμούς Επιλύουν απλές εξισώσεις α βαθμού Βρίσκουν ένα άγνωστο σε ένα τύπο Μετατρέπουν ένα απλό πρόβλημα σε εξίσωση Ιδιαιτερότητες εννοιών Οι μαθητές έχουν εισαχθεί στις απλές μορφές εξισώσεων από την προηγούμενη τάξη. Στην ενότητα αυτή έρχονται σε μεγαλύτερη επαφή με τις αλγεβρικές μορφές και τις αλγεβρικές πράξεις. Αυτό αντικαθιστά βαθμιαία στα μαθηματικά έργα τους αριθμούς με σύμβολα όπως τα χ, ψ, α, β κλπ. Τα σύμβολα έρχονται να παραστήσουν ένα σύνολο αριθμών ή άλλων στοιχείων και κατά συνέπεια αφορούν διαφορετικές καταστάσεις, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές σε πολλές παρανοήσεις. - Αρχικά, τέτοια σύμβολα χρησιμοποιούνται για να παραστήσουν έναν άγνωστο όπως στην εξίσωση x+5= 22. Το ρόλο αυτό σε μικρότερες τάξεις είχαν άλλες συμβολικές μορφές όπως τα σχήματα: +5=22. - Αντίστοιχα σύμβολα χρησιμοποιούνται για να παραστήσουν ιδιότητες ή σχέσεις όπως α+β = β+α. Την ίδια χρήση έχουν τα γράμματα στις ταυτότητες. - Τέλος, τα ίδια σύμβολα παριστάνουν μεταβλητές σε μία σχέση ή σε ένα τύπο και παίζουν διαφορετικό ρόλο από ότι οι άγνωστοι, όπως συμβαίνει στις συναρτήσεις ή στους τύπους, ψ=αχ ή Ε=α.β. Για την κάθε μία χρήση είναι απαραίτητο να αποσαφηνισθούν οι διαφορετικοί ρόλοι μέσα από διαφορετικές δραστηριότητες. Ιδιαίτερα η χρήση των χ και ψ στις συναρτήσεις που ακολουθούν, διαφοροποιείται από αυτήν που έχουν στις εξισώσεις. Όπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη τάξη, η χρήση των εξισώσεων αποτελεί ένα μέσο για να επιλύουμε με απλούστερο τρόπο προβλήματα και η επιδίωξή μας είναι να εξοικειωθούν οι μαθητές να χρησιμοποιούν συμβολισμό για να παραστήσουν ένα πρόβλημα. Αντίστοιχη χρήση έχουν οι εξισώσεις σε επιλύσεις προβλημάτων όπως: Αν το 3

4 εμβαδό ενός κύβου είναι 24 τ.ε. πόσα εκατοστά είναι η ακμή του. Εκτός από τους μαθηματικούς τύπους οι μαθητές συναντούν τέτοιες επιλύσεις και σε άλλα γνωστικά αντικείμενα, όπως η Φυσική. Δυσκολίες των μαθητών Έχει αποδειχθεί ερευνητικά ότι οι μαθητές δείχνουν περιορισμένη κατανόηση στη χρήση συμβόλων. Αρχικά αντιλαμβάνονται τα γράμματα ως αντικείμενα και όχι ως αριθμητικές τιμές πχ. στη σχέση 2x που εκφράζει ότι «Ο Δημήτρης έχει διπλάσια παιχνίδια από τον Γιώργο», το x εκφράζει τα παιχνίδι και όχι την ποσότητά τους. Επίσης ο τρόπος γραφής των αλγεβρικών παραστάσεων που ακολουθούν τις αριθμητικές παραστάσεις, δημιουργούν συγχύσεις στους μαθητές, έτσι το 3α δεν σημαίνει 3 φορές το α, όπως στους αριθμούς 34 το δεν σημαίνει 3.4. Τέλος, οι λύσεις των εξισώσεων εμπλέκουν ισότητες που αλλάζουν μορφή από τις αριθμητικές παραστάσεις. Έτσι αν το ίσον σε μία εξίσωση σημαίνει το πρώτο μέρος είναι ίσο με το δεύτερο, στις αριθμητικές παραστάσεις το ίσον σημαίνει «κάνε μια πράξη και δώσε μία απάντηση» όπως πχ =. Διδακτικές υποδείξεις Μεγάλο μέρος της διδασκαλίας των εξισώσεων δαπανάται στην εκμάθηση της διαδικασίας επίλυσης τους. Μερικές φορές οι μαθητές καταφέρνουν να λύνουν εξισώσεις χωρίς όμως να αντιλαμβάνονται το νόημα της διαδικασίας που ακολουθούν (Van de Walle, 2001). Στην ενότητα αυτή, αρχικά επιδιώκεται να αντιληφθούν οι μαθητές τους ρόλους που παίζουν τα σύμβολα και η γραφή τους, ιδιαίτερα το ρόλο του αγνώστου, μέσα από διαφορετικές χρήσεις σε κατάλληλες δραστηριότητες. Στη συνέχεια ενθαρρύνονται να παριστάνουν συμβολικά μια κατάσταση δημιουργώντας σχέσεις από λεκτικά προβλήματα. Στο τέλος μόνο οδηγούνται να κατανοήσουν την διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης, εμβαθύνοντας μέσα από δραστηριότητες, τη διατήρηση της ισότητας των δύο μερών της εξίσωσης. Αν και το μοντέλο της ζυγαριάς δεν καλύπτει εννοιολογικά όλες τις περιπτώσεις λύσεις μια εξίσωσης, ωστόσο είναι χρήσιμο για την κατανόηση αυτής της ισότητας. Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 η Μαγικό τρυκ: Διάλεξε ένα αριθμό, πρόσθεσε σε αυτόν τον επόμενό του, πρόσθεσε το 3 και διαίρεσε το αποτέλεσμα δια 2. Αφαίρεσε τον αριθμό με τον οποίο άρχισες. Το αποτέλεσμα είναι 2. (αν το παιδιά δυσκολεύονται στα σύμβολα μπορούν να δοκιμάσουν με υλικά, είναι ο αριθμός και είναι μια μονάδα). 4

5 Ο αριθμός Ο επόμενος αριθμός Προθέτω 3 Διαιρώ δια 2 Αφαιρώ τον αριθμό Δραστηριότητα 2 η Δραστηριότητα 3 η Δραστηριότητα 4η Με πόσα τετράγωνα θα ισορροπήσουν οι δύο σφαίρες στη δεύτερη ζυγαριά;? Δραστηριότητα 5 η Πόσο ζυγίζει κάθε σχήμα;

6 Δραστηριότητα 6 η Ισορροπεί ή γέρνει η ζυγαριά; Ποια τιμή πρέπει να βάλεις στο x για να ισορροπεί η ζυγαριά; x x x+4 x+9 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Βρες με το νου το x στις παρακάτω εξισώσεις: x + 12 = x = 7 5.x + 2 = Υπολόγισε τις παρακάτω σχέσεις για x = 3 ή x = 6 ή x = 9 και ανάλογα με το αποτέλεσμα βάλε το σύμβολο < ή = ή >. 4.x x 8 3. Ο τύπος Ε = β.υ δίνει τον εμβαδόν του παραλληλογράμμου με βάση β και ύψος υ. Αν η βάση ενός παραλληλογράμμου είναι 15m και το εμβαδόν του 105 m 2, πόσο είναι το ύψος του; Στόχοι προηγούμεν ων τάξεων Ανισώσεις α βαθμού Στόχοι διδακτικής ενότητας Να λύνουν ανισώσεις πρώτου βαθμού µε έναν άγνωστο και να παριστάνουν τις λύσεις στον άξονα. Να βρίσκουν τις κοινές λύσεις δυο ή περισσότερων ανισώσεων πρώτου βαθμού. Να λύνουν απλά προβλήματα ανισώσεων πρώτου βαθμού. Προσαρμογή στόχων Συνδέουν την ανίσωση με μία εξίσωση. Βρίσκουν τις τιμές του x με νοερούς υπολογισμούς. Λύνουν απλά προβλήματα ανισώσεων πρώτου βαθμού. Ιδιαιτερότητες εννοιών Η ανίσωση διαφοροποιείται από την εξίσωση ως προς τις λύσεις. Για το λόγο αυτό, αν κι οι μαθητές γνωρίζουν να αναζητούν, νοερά ή επιλύοντας, μία τιμή για τον άγνωστο x σε μια εξίσωση, στην ανίσωση χρειάζεται να αναζητήσουν ένα σύνολο τιμών. Η λύση της ανίσωσης, σε επίπεδο διαδικασίας, δεν αλλάζει από τη λύση μιας εξίσωσης, το νόημά της όμως είναι σημαντικά διαφορετικό. Έτσι, στην ενότητα αυτή δεν επιδιώκεται να μάθουν τυπικά οι μαθητές να λύνουν ανισώσεις, αλλά να προσεγγίζουν το νόημά της. 6

7 Δυσκολίες των μαθητών Σύμφωνα με τα στοιχεία που παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα για την κατανόηση συμβόλων και μεταβλητών, η σχέση x>3 δεν ερμηνεύεται από τους μαθητές ως «όλες οι τιμές για τις οποίες ισχύει». Η χρήση των ανισοτικών συμβόλων που παρουσιάζονται από τις μικρότερες τάξεις του δημοτικού ανάμεσα στους αριθμούς είναι δηλωτικές μιας σύγκρισης μεταξύ δύο αριθμών, πχ. 12 > 10. Η προηγούμενη εύρεση μιας τιμής για το x στις εξισώσεις και η χρήση ανισοτικών συμβόλων σε αυτή τη μορφή δυσκολεύουν στους μαθητές να κατανοήσουν ότι το χ> 10 σημαίνει «όλες οι τιμές του χ οι οποίες είναι μεγαλύτερες του 10». Διδακτικές υποδείξεις Προτείνονται πραγματικές καταστάσεις μέσα από τις οποίες αναδεικνύεται η αναγκαιότητα χρήσης ανισότητας και οι οποίες οδηγούν στην εύρεση ενός συνόλου λύσεων που επιτρέπουν την κατανόηση του νόηματος του συμβόλου, πχ. x>4. Παράλληλα, ενθαρρύνονται οι νοεροί υπολογισμοί στην αναζήτηση λύσεων και επιδιώκεται να αντιληφθούν οι μαθητές ότι οι ανισώσεις δεν έχουν μία και μόνο λύση. Η αριθμητική γραμμή μπορεί να στηρίξει αναπαραστατικά αυτή την προσέγγιση. Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 η Η Λυδία έχει τα γενέθλια της και πηγαίνει στο σούπερ μάρκετ να πάρει αναψυκτικά, πατατάκια και άλλα κεράσματα για το πάρτυ της. Έχει από το χαρτζιλίκι της 10 αλλά υπολογίζει ότι θα χρειαστεί περισσότερα από 30 για τα ψώνια της. Πόσα χρήματα θα χρειαστεί να ζητήσει από τη μαμά της; Δραστηριότητα 2 η Ο Δημήτρης πηγαίνει στην αγορά για να ψωνίσει ένα παντελόνι και μία μπλούζα κι έχει μαζί του 75. Το παντελόνι που του αρέσει στοιχίζει 45. Βλέπει στις βιτρίνες μπλούζες με διάφορες τιμές: 10, 12, 15, 22, 35, 40 ποιες από αυτές μπορεί να αγοράσει; Αν ονομάσεις την τιμή της μπλούζας ψ, δοκίμασες να γράψεις μια σχέση που να δίνει απάντηση στο ερώτημα «μέχρι πόσα χρήματα το πολύ μπορεί να στοιχίζει η μπλούζα;». Δραστηριότητα 3 η Βάλε στο x τις τιμές 2, 3, 5, 6, 7, 10, 12 και εξέτασε από πού γέρνει η κάθε ζυγαριά. Βάλε ένα σύμβολο <, +, >. x x x+4 x+9 Δραστηριότητα 4 η Υπολόγισε με το νου ποια τιμή μπορεί να πάρει το x στις παρακάτω ανισώσεις: x > 5 2. x > 24 x + 7 < 20 x 10 > 50 Χρωμάτισε τις απαντήσεις πάνω στην αριθμογραμμή. 7

8 Δραστηριότητα 4 η Λύσε κάθε μία από τις ανισώσεις όπως λύνεις μια εξίσωση και δοκίμασε να ερμηνεύσεις το αποτέλεσμα. Χρωματίστε πάνω στην αριθμογραμμή. x + 12 > 25 ψ 7 > 5 4.ω > 16 2.x- 3 < x + 1 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Ποια είναι η διαφορά μιας ανίσωσης από μία εξίσωση; 2. Πόσες τιμές μπορεί να πάρει ο x στην ανίσωση x + 2 > 10; 3. Χρωμάτισε πάνω στην αριθμητική γραμμή τις λύσεις των παρακάτω σχέσεων: x 5 < 7 x 5 = 7 x 5 > 7 Στόχοι προηγούμεν ων τάξεων Πυθαγόρειο θεώρημα, τετραγωνικές ρίζες και άρρητοι αριθμοί Στόχοι διδακτικής ενότητας Τελικοί στόχοι για μαθητές με Μ.Δ. -Να μπορούν να διατυπώνουν λεκτικά και συμβολικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα - Να διακρίνουν τους ρητούς από τους άρρητους - Να μπορούν να βρίσκουν προσεγγιστικά την τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού - Να ξέρουν και να εφαρμόζουν σωστά τις ιδιότητες των ριζών Διατυπώνουν λεκτικά και συμβολικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφό του Βρίσκουν μία (οποιαδήποτε) πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου όταν είναι γνωστές οι δύο άλλες πλευρές του Διακρίνουν τους ρητούς από τους άρρητους Γνωρίζουν τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού Ξέρουν τις βασικές ιδιότητες των ριζών Ιδιαιτερότητες των Εννοιών Η κατανόηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος με το οποίο εισάγεται η Ευκλείδεια Μετρική Γεωμετρία είναι σημαντική και απαραίτητη για την αντιμετώπιση πολλών προβλημάτων. Η επιδίωξη της ενότητας αυτής είναι να κατανοήσουν οι μαθητές την ιδιαίτερη αυτή μετρική σχέση που συνδέεται (και αποδεικνύει) τα ορθογώνια τρίγωνα. Η προσέγγιση των άρρητων αριθμών είναι αρκετά ιδιαίτερη και το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα είναι να κατανοήσουν οι μαθητές ότι υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι ρητοί και να έρθουν σε επαφή με ορισμένους χαρακτηριστικούς άρρητους όπως είναι το π και οι τετραγωνικές ρίζες μη τετράγωνων αριθμών. Παράλληλα επιδιώκεται, μέσα από την τοποθέτηση στην αριθμογραμμή να τους συνδέσουν με τους υπόλοιπους αριθμούς. 8

9 Δυσκολίες των μαθητών Οι μαθητές με ΜΔ, όπως και οι υπόλοιποι μαθητές μπορούν να αντιμετωπίσουν δυσκολίες στην κατανόηση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος για μια ποικιλία λόγων, που συναρτώνται κυρίως με ελλείψεις σε προηγούμενες γεωμετρικές ή αριθμητικές έννοιες όπως είναι: - η δυσκολία αντίληψης του ορθογώνιου τριγώνου σε μη στερεοτυπικές θέσεις. - Η μη κατανόηση της έννοιας του εμβαδού και σύνδεσης του τετραγώνου αριθμού με το εμβαδόν του αντίστοιχου τετραγώνου. - Πράξεις, λύση εξισώσεων και προσέγγισης της τετραγωνικής ρίζας Για τις τετραγωνικές ρίζες πρέπει αποσαφηνίσουν ότι ορίζονται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς και είναι πάντοτε θετικοί αριθμοί. Ένα συνηθισμένο λάθος είναι ότι : 4 = ± 2. Η έννοια των ρητών αριθμών είναι αρκετά σύνθετη και η πλήρης κάλυψής τους είναι μάλλον δύσκολο. Ωστόσο οι μαθητές μπορούν να εντοπίσουν κάποιες τετραγωνικές ρίζες (αν και δεν πρέπει να αναπτύξουν τη λαθεμένη αντίληψη των μαθητών είναι ότι άρρητοι αριθμοί είναι μόνο οι τετραγωνικές ρίζες των μη τετράγωνων αριθμών). Συχνά επίσης οι μαθητές μεταφέρουν ιδιότητες από τους ρητούς στους άρρητους όπως a + β a + β. Διδακτικές υποδείξεις Βασική προϋπόθεση για την κατανόηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος είναι η εξασφάλιση ορισμένων προαπαιτουμένων γνώσεων όπως: - Η ευχέρεια στις πράξεις. Με δεδομένες τις σχετικές δυσκολίες σ αυτό το πεδίο για τους μαθητές με ΜΔ είναι προτιμότερο να επιτρέπεται η χρήση αριθμομηχανής - Η λύση εξισώσεων της μορφής αχ+β = 0 και γι αυτό είναι απαραίτητο να γίνει σχετικός έλεγχος πριν την διδασκαλία του Π.Θ. - Η κατανόηση της εννοίας του εμβαδού. - Η αναγνώριση των κάθετων πλευρών και της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Γι αυτό πρέπει να δίνονται ορθογώνια τρίγωνα σε διάφορες θέσεις και να ζητείται η αναγνώριση των πλευρών τους από τους μαθητές Η τετραγωνική ρίζα συνδέεται άμεσα με το τετράγωνο ενός αριθμού, οπότε ο λογισμός των ριζών στηρίζεται στις ιδιότητες των δυνάμεων τις οποίες θα πρέπει να ξέρουν οι μαθητές. Πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στο πρόσημο μιας τετραγωνικής ρίζας και να δοθούν αριθμητικά παραδείγματα με μικρούς αριθμούς για γίνουν κατανοητές από τους μαθητές. Είναι σημαντικό να εντοπίσουν μόνοι τους οι μαθητές με δοκιμές τις τετραγωνικές ρίζες που είναι ρητοί αριθμοί όπως π.χ. 9, 25 και οι ρίζες που παραπέμπουν σε άρρητους αριθμούς. Παράλληλα μπορεί να δοθεί το παράδειγμα του π που είναι άρρητος αν και όχι ρίζα αριθμού. Η εύρεση τετραγωνικής ρίζας καθώς και οι ιδιότητες των ριζών είναι μάλλον έξω από τις δυνατότητες αρκετών παιδιών με μαθησιακές δυσκολίες και γι αυτό δεν επιμένουμε σε αυτές και αφήνουμε τους μαθητές να κάνουν δοκιμές με την αριθμομηχανή. Ενδεικτικές δραστηριότητες: 1. Στα παραπάνω τρίγωνα να αναγνωρίσεις τις κάθετες πλευρές και τις υποτείνουσες τους. 9

10 2. Να βρεις το χ στις ακόλουθες εξισώσεις: χ 2 = 4, χ 2 = 25, χ = 9, 5 + χ 2 = 9 3. Να βρεις το εμβαδόν στα παρακάτω σχήματα: 3 μ. Δραστηριότητα 1η Στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα να υπολογίσεις τα τετράγωνα του μήκους των πλευρών τους. 3 μ. 6μ 12μ 5μ 4μ 5μ 8μ 3μ 10μ 13μ Στη συνέχεια να συμπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί. Υποτείνουσα: 5 2 = 10 2 = 13 2 = Κάθετες πλευρές: 4 2 = 8 2 = 12 2 = 3 2 = 6 2 = 5 2 = = = = Τι παρατηρείς; 10

11 Δραστηριότητα 2η Στο διπλανό γραμματόσημο: - Μέτρησε τα τετραγωνάκια που υπάρχουν σε καθένα από τα καρό τετράγωνα στις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου - Τι παρατηρείς; - Να εκφράσεις τη σχέση που βρήκες: Λεκτικά Συμβολικά Ποια σχέση συμπεραίνεις ότι ισχύει για τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου; Δραστηριότητα 3η - Να σχηματίσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με 6 cm και 8 cm. Να μετρήσεις την υποτείνουσα. - Να εξετάσεις αν για τους αριθμούς 6,8,10 ισχύει κάποια σχέση - Κάνε το ίδιο για τους αριθμούς 3, 4 και 5. Τι είδους τρίγωνο είναι; - Αν ένα τρίγωνο έχει μήκη τέτοια ώστε το τετράγωνο ενός από αυτά είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε τι συμπεραίνεις για το τρίγωνο αυτό; Δραστηριότητα 4η Να υπολογίσεις την υποτείνουσα χ στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα: χ 1 μ 3 μ χ 2 μ 4 μ Δραστηριότητα 5η Μπορείς να βρεις στο παρακάτω σχήμα πόσες τετράγωνες πλάκες ίδιου εμβαδού με τις υπόλοιπες του σχήματος θα χρειαστούμε για να καλύψουμε την περιοχή μέσα στο πλαίσιο με μπλε γραμμές; 11

12 Δραστηριότητα 6η Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς γράφονται σαν κλάσματα; 1. α = 3,5 2. β = 2,35 3. γ = 1, δ = 1, ε = 0, ζ = 1, Δραστηριότητα 7η - Να υπολογίσεις την διαγώνιο του τετραγώνου με πλευρές ίσες με 1μ. δ 1μ 1μ 12

13 - Με κέντρο το 0 και ακτίνα ίση με τη διαγώνιο που βρήκες, γράψε ένα κύκλο μέχρι τον άξονα χ χ. Τι παρατηρείς για τις τετμημένες των σημείων τομής; μ μ Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Να διατυπώσεις λεκτικά και συμβολικά το Πυθαγόρειο θεώρημα 2. Να πάρεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο της αρεσκείας σου, να μετρήσεις τις πλευρές του και να επαληθεύσεις το Πυθαγόρειο θεώρημα. 3. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι μεταξύ τους; 2 5, 25, 5, ( 5), Να βρείτε τα σημεία του άξονα που παριστάνουν τους αριθμούς: 2 και 3 5. Στο παρακάτω σχήμα, να υπολογίσεις πόσα μέτρα πρέπει να ανοίξει τη σκάλα του ένας εργάτης που θέλει να κάνει εργασίες στο καμπαναριό της εκκλησίας από τη θέση που βρίσκεται 8 μ 6 μ 7. Ο ιδιοκτήτης του τριγωνικού οικοπέδου του σχήματος θέλει να φυτέψει με γκαζόν τον τετραγωνικό κήπο του. Αν το κόστος για το φύτεμα ενός τετραγωνικού είναι 10 ευρώ, πόσα χρήματα θα χρειαστεί; 13

14 12 μ 5 μ 14

15 Συναρτήσεις Στόχοι προηγούμενων τάξεων Γνωρίζουν την αναλογία και την αντίστροφη αναλογία Μπορούν να βρουν το συντελεστή αναλογίας, να συμπληρώνουν πίνακες και σχεδιάζουν μια γραφική παράσταση Λύνουν προβλήματα αναλόγων και αντιστρόφως αναλόγων ποσών Αναγνώριση σχέσεων Στόχοι διδακτικής ενότητας Η έννοια της συνάρτησης Η συνάρτηση ψ=αχ Η συνάρτηση ψ=αχ +β Η συνάρτηση ψ=α/χ Να σχεδιάζουν τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης από τον αντίστοιχο πίνακα τιµών. Προσαρμογή στόχων Παριστάνουν αριθμητικές σχέσεις σε πίνακα τιμών και εντοπίζουν τον κανόνα (κυρίως περιγραφικά) Σχεδιάζουν μια γραφική παράσταση από τον πίνακα Βρίσκουν τιμές για τα χ και ψ σε πραγματικά προβλήματα Ιδιαιτερότητες εννοιών Οι συναρτήσεις εξετάζουν και αναπαριστούν σχέσεις. Στην καθημερινή ζωή εκφράζουμε λεκτικά τη σύνδεση καταστάσεων με διαφορετικούς παράγοντες λέγοντας: «είναι συνάρτηση του». Οι μαθητές έχουν γνωρίσει από τις προηγούμενες τάξης τη σχέση αναλογίας. Στην ενότητα αυτή επιδιώκεται να αντιληφθούν την ιδέα της «συμμεταβολής», δηλαδή της σχέσης που συνδέει δύο μεταβλητές. Μια συνάρτηση εκφράζει μια (ιδιαίτερη) σχέση ανάμεσα σε συμμεταβαλόμενες τιμές δύο τουλάχιστον μεταβλητών και έχει τρεις μορφές παράστασης: πίνακα αριθμητικών τιμών, γραφική παράσταση και συναρτησιακό τύπο. Η επιδίωξη στην ενότητα αυτή είναι να μπορούν οι μαθητές να αντιληφθούν σχέσεις που προκύπτουν από πραγματικές καταστάσεις, να βρίσκουν σχέσεις από πίνακες τιμών και να «διαβάζουν» γραφικές παραστάσεις. Δυσκολίες των μαθητών Αν και ιδιαίτερα σημαντική, η έννοια της συνάρτησης δεν είναι απλή γιατί τυποποιεί και εκφράζει αλγεβρικά μια σχέση. Οι μαθητές μπορούν να αντιληφθούν σχέσεις, δεν καταφέρνουν όμως με άνεση να τις μετατρέψουν σε συναρτησιακό τύπο. Αντίστοιχα έχουν δυσκολία να περάσουν από τη μία μορφή παράστασης στην άλλη, δηλαδή από τον πίνακα τιμών στις γραφικές παραστάσεις, κι αντίστροφα από τον πίνακα τιμών στον τύπο και την αντίστοιχη παράσταση (Tall, 1996). Στην ενότητα αυτή δεν επιδιώκεται να αντιληφθούν οι μαθητές τη γενικότερη έννοια της συνάρτησης, αλλά να εξοικειωθούν στην εύρεση σχέσεων και τη μεταφορά τους σε γραφικές παραστάσεις. Διδακτικές υποδείξεις Οι πρώτες προτεινόμενες δραστηριότητες βοηθούν τους μαθητές να προσεγγίσουν το νόημα των συναρτήσεων μελετώντας σχέσεις μέσα σε πραγματικές καταστάσεις. Στη συνέχεια ενθαρρύνονται να εκφράζουν τις σχέσεις αυτές με διάφορες μορφές παράστασης: λεκτικά, γραφικά ή με κάποιους απλούς τύπους. Προτείνεται επίσης η μελέτη γραφικών παραστάσεων η οποία, εκτός από την γενικότερη καθημερινή της αξία, μπορεί να είναι βοηθητική στην μελέτη των σχέσεων. 15

16 Οι υπολογισμοί τιμών μέσα από αριθμητικούς πίνακες βοηθούν τους μαθητές να αντιληφθούν την ευκολία που προσφέρουν οι συναρτησιακοί τύποι και να δοκιμάσουν να τυποποιήσουν την σχέση της αναλογίας και της αντίστροφης αναλογίας που διδάχθηκαν την προηγούμενη χρονιά. Παράλληλα τους προτείνεται να μελετήσουν και άλλες μορφές σχέσεων (σε διαφορετικά προβλήματα, της καθημερινής ζωής, της γεωμετρίας, της φυσικής κλπ.) για να μην αναγνωρίζουν σε όλα τα προβλήματα σχέσεις αναλογίας. Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 η Ο Κωστάκης θέλει να αγοράσει ένα καινούργιο τιμόνι για το ποδήλατο του που στοιχίζει 65 και για το λόγο αυτό αποταμιεύει από το χαρτζιλίκι του 15 κάθε βδομάδα. Συμπλήρωσε τον πίνακα για να βρεις πότε θα έχει συγκεντρώσει τα χρήματα που του χρειάζονται. βδομάδες Χρήματα 15 Δραστηριότητα 2 η Ένα αυτοκίνητο χάνει το 10% της αξίας του κάθε χρόνο. Ο πατέρας του Δημήτρη αγόρασε το αυτοκίνητό του και θα ήθελε να ξέρει πόσο θα μπορεί να το πουλήσει σε 5 χρόνια. Ο Δημήτρης κάνει ένα πίνακα για να τον βοηθήσει. χρόνια Μείωση σε Δραστηριότητα 3 η Ένας βιολόγος παρατηρεί σε ένα μικροσκόπιο τον τρόπο με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ένα μικρόβιο και γράφει σε ένα πίνακα τα αποτελέσματα. Γράφει στο σημειωματάριο του ένα κανόνα που περιγράφει αυτό τον πολλαπλασιασμό. Δοκίμασε να γράψεις κι εσύ αυτό τον κανόνα. Χρόνος σε sec Αριθμός μικροβίων Δραστηριότητα 4 η Ο Θανάσης τρέχει με το ποδήλατό του 20 km την ώρα. Ποια απόσταση θα έχει διανύσει σε 3, 4 ή 5 ώρες; Κάνε ένα πίνακα για να το υπολογίσεις την απόσταση που διανύει σε συνάρτηση με το χρόνο. Βρες ένα τύπο που δίνει σύντομα αυτό το αποτέλεσμα. Δραστηριότητα 5 η Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 20 cm. Ποιο είναι το μήκος και ποιο το πλάτος του; Βρες όλες τις δυνατές λύσεις μήκους και πλάτους και τοποθετείστε τις σε ένα πίνακα. Σχεδίασε σε τετραγωνισμένο χαρτί τα ζεύγη που βρίσκεις και σχολιάστε τη μορφή της. Αν ονομάσουμε x το μήκος και ψ το πλάτος, μπορείς να γράψετε μια σχέση που συνδέει το x με το ψ; Δραστηριότητα 6η Με τέσσερα σπίρτα σχηματίζεται ένα τετράγωνο. Με επτά σπίρτα σχηματίζεται και δεύτερο τετράγωνο, δίπλα στο πρώτο. Με δέκα σπίρτα σχηματίζεται και τρίτο τετράγωνο 16

17 δίπλα στα προηγούμενα. Πόσα σπίρτα χρειάζονται για τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, δέκα, εκατό τετράγωνα; Απαντώντας, συμπλήρωσε τον πίνακα και στη συνέχεια γράψε ένα κανόνα που δίνει αυτό το αποτέλεσμα. Πλήθος τετραγώνων Πλήθος σπίρτων Δραστηριότητα 7 η Την πρώτη εβδομάδα του Μαΐου μετρήθηκαν στη Θεσσαλονίκη (κάθε μέρα στις 3.00 τη νύχτα και στις 3.00 το μεσημέρι), οι παρακάτω θερμοκρασίες: στις 1/5 τη νύχτα 15 ο και το μεσημέρι 23 ο στις 2/5 τη νύχτα 13 ο και το μεσημέρι 23 στις 3/5 τη νύχτα 13 και το μεσημέρι 27 ο στις 4/5 τη νύχτα 16 ο και το μεσημέρι 25 ο στις 5/5 τη νύχτα 17 ο και το μεσημέρι 28 ο στις 6/5 τη νύχτα 19 ο και το μεσημέρι 25 ο στις 7/5 τη νύχτα 15 ο και το μεσημέρι 21 ο. Κάνε μια γραφική παράσταση για να παρουσιάσεις τις θερμοκρασίες. Δραστηριότητα 8 η Το γράφημα που ακολουθεί παριστάνει τη μέση θερμοκρασία κάθε μήνα, στην Τσεχία, για το έτος Θερμοκρασία σε C Ημερήσιες Θερμοκρασίες (μέσος όρος) (2004) Μήνας - Ποιος μήνας έχει τη μεγαλύτερη και ποιος τη μικρότερη μέση θερμοκρασία; Μεγαλύτερη:.. Μικρότερη:. - Πώς θα περιγράψεις τις μεταβολές θερμοκρασίας στην Τσεχία, σύμφωνα με το γράφημα αυτό; 17

18 Δραστηριότητα 9 η Η απόσταση ανάμεσα σε δύο πόλεις είναι 400 χιλιόμετρα. Πόσες ώρες θα χρειαστεί για να τη διανύσει ένα ποδήλατο με ταχύτητα 25 Km/ώρα, ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 100 Km/ώρα, ένα άλλο ταχύτερο με 200 Km/ώρα και ένα αεροπλάνο με 800 Km/ώρα; Κατασκεύασε ένα πίνακα τιμών για τα ποσά χρόνος (ανά ώρα) και ταχύτητα. Τοποθέτησε τα ζεύγη τιμών που βρήκες σε μια γραφική παράσταση. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά αυτής της γραφικής παράστασης. Δραστηριότητα 10 η Στη λαϊκή αγορά ο παραγωγός πουλάει ντομάτες προς 1,20 το κιλό. Τοποθετεί πάνω στη ηλεκτρονική ζυγαριά την ποσότητα και γράφει την τιμή του κιλού. Η ζυγαριά αυτόματα εμφανίζει το βάρος και την τιμή που πρέπει να πληρώσει ο καταναλωτής. Συμπλήρωσε τον πίνακα που δείχνει τα ποσά που πληρώνουν οι καταναλωτές για τις διάφορες ποσότητες. - Η ποσότητα και η τιμή είναι ποσά ανάλογα; Ποσότητα σε κιλά Τιμή σε 1,20 - Οι αριθμοί της δεύτερης σειράς προκύπτουν από τους αριθμούς της πρώτης σειράς πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με τον ίδιο αριθμό, που λέγεται συντελεστής αναλογίας. Υπολόγισε τον. - Να παραστήσεις γραφικά τα σημεία του πίνακα τιμών σε ένα σύστημα αξόνων. Στη συνέχεια, ενώνοντας τα σημεία σχεδίασε τη γραφική παράσταση που δείχνει τη σχέση ανάμεσα στην ποσότητα και την τιμή. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά αυτής της γραφικής παράστασης; - Χρησιμοποιώντας μόνο τη γραφική παράσταση (χωρίς τον πίνακα τιμών και χωρίς πράξεις) υπολόγισε την τιμή των 9 κιλών. Δραστηριότητα 11 η Η Μαρία πληρώνει για το κινητό της πάγιο 11 και 0,003 ανά δευτερόλεπτο συνομιλίας. Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα: Χρόνος ομιλίας σε δευτερόλεπτα Λογαριασμός σε Πώς προκύπτουν οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής από τους αριθμούς της πρώτης; Τα ποσά είναι ανάλογα; - Να κάνεις μια γραφική παράσταση που να δείχνει τη σχέση αυτή. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά αυτής της γραφικής παράστασης; Σε τι διαφέρει αυτή η γραφική παράσταση από τη γραφική παράσταση της προηγούμενης δραστηριότητας; Δραστηριότητα 12 η Μία ομάδα εργατών αποτελούμενη από 4 άτομα συσκευάζει σε κουτιά μια παραγγελία παπουτσιών σε 3 ώρες. Σε πόσες ώρες θα τελείωνε την ίδια δουλειά μια ομάδα 2 ατόμων; Σε πόσες ώρες τελειώνει την ίδια δουλειά μια ομάδα 6 ατόμων που θα εργαζόταν με τον ίδιο ρυθμό; Συμπλήρωσε τον πίνακα. Βρες και άλλα 3 ζεύγη τιμών που ικανοποιούν την ίδια σχέση και τοποθέτησε τα στον πίνακα. Άτομα Ώρες 3 18

19 Τοποθέτησε τα ζεύγη των αριθμών του πίνακα σε σύστημα ημιαξόνων και σχεδίασε τη γραφική παράσταση. Δραστηριότητα 13 η Μια παρέα παιδιών πλήρωσε για τις 3 πορτοκαλάδες που ήπιε 6,6. Πόσο χρήματα πλήρωσαν για κάθε πορτοκαλάδα. - Πόσα χρήματα θα είχαν πληρώσει αν είχαν πιει 6 πορτοκαλάδες; - Πόσα χρήματα θα είχαν πληρώσει για κάθε πορτοκαλάδα αν είχαν πληρώσει 6,6 για 6 πορτοκαλάδες; Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Σε έναν πίνακα αναλογίας μπορούμε να πάρουμε Σωστό Λάθος τους αριθμούς της πρώτης σειράς πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς της δεύτερης σειράς επί τον αντίστροφο του συντελεστή αναλογίας. 1. Ο συντελεστής αναλογίας του πίνακα είναι 0,7 Σωστό Λάθος x ψ 3,5 4,2 5,6 2. Ο πίνακας τιμών είναι πίνακας αναλογίας. Σωστό Λάθος x ψ 3 7, Ποια σχέση συνδέει τα x και ψ στον παρακάτω πίνακα; x ψ Αντιστοίχισε μία συνάρτηση με την αντίστοιχη γραφική παράσταση: ψ = 3.χ ψ = 2.χ + 1 ψ = 12/χ 19

20 Τριγωνομετρικές έννοιες Ημίτονο- συνημίτονο - εφαπτομένη Στόχοι Στόχοι διδακτικής ενότητας προηγούμενων τάξεων Να γνωρίζουν πώς ορίζεται το ηµίτονο και το συνηµίτονο και η εφαπτομένη οξείας γωνίας. Να υπολογίζουν το ηµίτονο, το συνηµίτονο και την εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου όταν δίνονται οι πλευρές του. Να υπολογίζουν το ηµίτονο, το συνηµίτονο και την εφαπτομένη µιας οξείας γωνίας µε τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης. Να γνωρίζουν ότι δύο γωνίες που έχουν το ίδιο ηµίτονο, συνηµίτονο και εφαπτομένες είναι ίσες και να µπορούν να σχεδιάζουν µια γωνία της οποίας δίνεται το ηµίτονο ή το συνηµίτονο ή η εφαπτομένη. Να γνωρίζουν πώς µεταβάλλεται το ηµίτονο, το συνηµίτονο και την εφαπτομένη οξείας γωνίας όταν µεταβάλλεται η γωνία. Να υπολογίζουν µε τη βοήθεια του ηµιτόνου, του συνηµιτόνου και της εφαπτομένης διάφορες αποστάσεις. Να γνωρίζουν και να υπολογίζουν τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών 300, 450, 600 Προσαρμο γή στόχων Να προσεγγίσο υν την έννοια των τριγωνομετ ρικών αριθμών μέσα από πραγματικέ ς καταστάσει ς που τους δίνουν νόημα Ιδιαιτερότητες εννοιών Οι τριγωνομετρικές έννοιες παρουσιάζουν κάποιες ιδιαιτερότητες γιατί συνδυάζουν τις γωνίες με τους λόγους των πλευρών σε ένα τρίγωνο. Η επιδίωξη σε αυτή την ενότητα είναι να προσεγγίσουν οι μαθητές αυτή τη σύνδεση και τους λόγους που τις περιγράφουν χωρίς να δοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στους τριγωνομετρικούς συμβολισμούς Δυσκολίες των μαθητών Οι μαθητές δυσκολεύονται να αντιληφθούν το λόγο δύο πλευρών ενός τριγώνου ως ένα αριθμό κι ακόμα περισσότερο να συνδέσουν το λόγο με το μέτρο της γωνίας. Οι τυπικές παρουσιάσεις των τριγωνομετρικών αριθμών δεν τους επιτρέπουν να αντιληφθούν αυτή τη σύνδεση. Για το λόγο αυτό είναι απαραίτητο να οδηγηθούν σε συγκρίσεις ορθογωνίων τριγώνων που μέσα από τη σύγκριση του σχήματος και κατά συνέπεια των γωνιών να προσεγγίσουν τους λόγους των πλευρών. Διδακτικές υποδείξεις Αρχικά προτείνονται δραστηριότητες με τις συγκρίσεις που αναφέρθηκαν. Στη συνέχεια μέσα από καθημερινές καταστάσεις αναδεικνύεται η σύνδεση του μέτρου των γωνιών με τους λόγους των πλευρών. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί συνδέονται με την ανάγκη να περιγραφούν αυτοί οι λόγοι. 20

21 Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1η Σου δίνεται μια συλλογή από 12 ορθογώνια τρίγωνα (τα τρίγωνα αυτά είναι κατασκευασμένα έτσι ώστε 4 ορθογώνια να είναι κατασκευασμένα με λόγο πλευρών 1 προς 4, 4 με λόγο 1 προς 3 και τα υπόλοιπα με λόγο 1 προς 2). Ομαδοποιήστε τα και εξήγησε τα κριτήρια αυτής της ομαδοποίησης. Τοποθέτηση τα τρίγωνα κάθε ομάδας το ένα πάνω στο άλλο και συμπλήρωσε τον πίνακα: Ομάδα1 Μικρή πλευρά Μεγάλη πλευρά Μικρή / μεγάλη πλευρά Ορθογώνιο 1ο Ορθογώνιο 2ο. Ομάδα 2 Ορθογώνιο 1ο Ορθογώνιο 2ο. Τι κοινό έχουν τα ορθογώνια αυτά τρίγωνα; Τι το περιγράφει; Δραστηριότητα 2η Τοποθετούμε τα τρίγωνα της ίδιας ομάδας πάνω σε ένα σύστημα αξόνων. Τι παρατηρούμε για τα τρίγωνα αυτά; 3,6 km 20 km Δραστηριότητα 4η Το Villach είναι μια μικρή πόλη της Αυστρίας, κοντά στα σύνορα με τη Σλοβενία. Ο δρόμος που φτάνει από τη Σλοβενία στο Villach είναι ένας από τους πιο ανηφορικούς δρόμους στην Ευρώπη. Αρκετά χιλιόμετρα νωρίτερα υπάρχουν προειδοποιητικές πινακίδες σχετικές με την κλίση του δρόμου, ώστε να τον αποφύγουν αυτοκίνητα με κινητήρες μικρής ισχύος. Ο δρόμος καλύπτει μια οριζόντια απόσταση 20 Km και ανεβαίνει ύψος 3,6 Km. Οι προειδοποιητικές πινακίδες αναφέρουν την κλίση του δρόμου εκφρασμένη ως ποσοστό. Υπολόγισε την κλίση του δρόμου και συμπλήρωσε την πινακίδα. - Οι πινακίδες της τροχαίας για την κλίση των δρόμων γράφουν πχ. 10% ή 8%. Εξήγησε τι σημαίνει αυτός ο αριθμός και τι περιγράφει. Δραστηριότητα 5η Την ίδια έννοια χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε την κλίση μιας ευθείας στην γραφική της παράσταση. Βρες την κλίση των παρακάτω ευθειών από τις γραφικές τους 21

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο ΤΕΥΧΟΣ B ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση»

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 2: Απόδειξη Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Η ΔΙΑΧΥΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Συγγραφική Ομάδα Βλάμος Παναγιώτης Δρούτσας Παναγιώτης Πρέσβης Γεώργιος Ρεκούμης Κωνσταντίνος Φιλολογική Επιμέλεια Βελάγκου Ευγενία Σκίτσα Βρανάς Θεοδόσης Υπεύθυνος Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΕΞΙΟΤΗΤΕΣ - 02

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΕΞΙΟΤΗΤΕΣ - 02 . Το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος είναι ίσο με: 5α β. 6α γ. 9α δ. 4α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΕΞΙΟΤΗΤΕΣ - 0 α 3α α α. Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔΕΖ είναι 5m και το εμβαδόν του ορθογωνίου ΗΘΙΚ είναι 9m, πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ: Βιβλίο μαθητή, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, ένα τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, α τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, β τεύχος Τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

MATHematics.mousoulides.com

MATHematics.mousoulides.com ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Ενδεικτικές Επαναληπτικές Δραστηριότητες 1 1. Να χαρακτηρίσετε με ΟΡΘΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Ο κύλινδρος είναι πολύεδρο. ΟΡΘΟ /

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Β Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Μέρος Α Κεφάλαιο 1ο Εξισώσεις 1.1. Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα