ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση» ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΕΥΧΟΣ Β ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ Μ. Τζεκάκη σε συνεργασία με Π. Σταγιόπουλο, Γ. Μπαραλό 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Έννοιες κατά θεματικό άξονα για τη Β Τάξη 3 Εξισώσεις και ανισώσεις 3 Πυθαγόρειο, τετραγωνικές ρίζες και άρρητοι αριθμοί 8 Συναρτήσεις 16 Τριγωνομετρικές έννοιες 22 Κανονικά Πολύγωνα 26 Μετρήσεις εμβαδών και όγκων 31 Έννοιες κατά θεματικό άξονα για την Γ Τάξη 59 Αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις με πολυώνυμα 59 Ταυτότητες 66 Εξίσωση δευτέρου βαθμού 69 Απλά γραμμικά συστήματα 72 Ομοιότητα- Ομοιθεσία 75 Βιβλιογραφικές Αναφορές 81 2

3 Έννοιες κατά Θεματικό άξονα για την Β Τάξη Εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις α βαθμού Στόχοι Στόχοι διδακτικής ενότητας προηγούμεν ων τάξεων Χρήση μεταβλητών Αναζήτηση του άγνωστου με νοερούς υπολογισμού ς Απλές εξισώσεις σε πραγματικές καταστάσεις Να εκφράζουν µε μεταβλητές διάφορες καταστάσεις της καθημερινής Να κατανοήσουν την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουν εξισώσεις πρώτου βαθμού µε έναν άγνωστο. Να επιλύουν ένα τύπο ως προς μία µμεταβλητή, θεωρώντας τον ως εξίσωση µε άγνωστο τη μεταβλητή Να διακρίνουν τα δεδομένα από τα ζητούμενα του προβλήματος. Να κάνουν εισαγωγή του αγνώστου. Να καταστρώνουν την εξίσωση, να την επιλύουν, να ελέγχουν το αποτέλεσμα και να καταγράφουν την απάντηση. Προσαρμογή στόχων Χρησιμοποιούν μεταβλητές Αναζητούν τον άγνωστου με νοερούς υπολογισμούς Επιλύουν απλές εξισώσεις α βαθμού Βρίσκουν ένα άγνωστο σε ένα τύπο Μετατρέπουν ένα απλό πρόβλημα σε εξίσωση Ιδιαιτερότητες εννοιών Οι μαθητές έχουν εισαχθεί στις απλές μορφές εξισώσεων από την προηγούμενη τάξη. Στην ενότητα αυτή έρχονται σε μεγαλύτερη επαφή με τις αλγεβρικές μορφές και τις αλγεβρικές πράξεις. Αυτό αντικαθιστά βαθμιαία στα μαθηματικά έργα τους αριθμούς με σύμβολα όπως τα χ, ψ, α, β κλπ. Τα σύμβολα έρχονται να παραστήσουν ένα σύνολο αριθμών ή άλλων στοιχείων και κατά συνέπεια αφορούν διαφορετικές καταστάσεις, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές σε πολλές παρανοήσεις. - Αρχικά, τέτοια σύμβολα χρησιμοποιούνται για να παραστήσουν έναν άγνωστο όπως στην εξίσωση x+5= 22. Το ρόλο αυτό σε μικρότερες τάξεις είχαν άλλες συμβολικές μορφές όπως τα σχήματα: +5=22. - Αντίστοιχα σύμβολα χρησιμοποιούνται για να παραστήσουν ιδιότητες ή σχέσεις όπως α+β = β+α. Την ίδια χρήση έχουν τα γράμματα στις ταυτότητες. - Τέλος, τα ίδια σύμβολα παριστάνουν μεταβλητές σε μία σχέση ή σε ένα τύπο και παίζουν διαφορετικό ρόλο από ότι οι άγνωστοι, όπως συμβαίνει στις συναρτήσεις ή στους τύπους, ψ=αχ ή Ε=α.β. Για την κάθε μία χρήση είναι απαραίτητο να αποσαφηνισθούν οι διαφορετικοί ρόλοι μέσα από διαφορετικές δραστηριότητες. Ιδιαίτερα η χρήση των χ και ψ στις συναρτήσεις που ακολουθούν, διαφοροποιείται από αυτήν που έχουν στις εξισώσεις. Όπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη τάξη, η χρήση των εξισώσεων αποτελεί ένα μέσο για να επιλύουμε με απλούστερο τρόπο προβλήματα και η επιδίωξή μας είναι να εξοικειωθούν οι μαθητές να χρησιμοποιούν συμβολισμό για να παραστήσουν ένα πρόβλημα. Αντίστοιχη χρήση έχουν οι εξισώσεις σε επιλύσεις προβλημάτων όπως: Αν το 3

4 εμβαδό ενός κύβου είναι 24 τ.ε. πόσα εκατοστά είναι η ακμή του. Εκτός από τους μαθηματικούς τύπους οι μαθητές συναντούν τέτοιες επιλύσεις και σε άλλα γνωστικά αντικείμενα, όπως η Φυσική. Δυσκολίες των μαθητών Έχει αποδειχθεί ερευνητικά ότι οι μαθητές δείχνουν περιορισμένη κατανόηση στη χρήση συμβόλων. Αρχικά αντιλαμβάνονται τα γράμματα ως αντικείμενα και όχι ως αριθμητικές τιμές πχ. στη σχέση 2x που εκφράζει ότι «Ο Δημήτρης έχει διπλάσια παιχνίδια από τον Γιώργο», το x εκφράζει τα παιχνίδι και όχι την ποσότητά τους. Επίσης ο τρόπος γραφής των αλγεβρικών παραστάσεων που ακολουθούν τις αριθμητικές παραστάσεις, δημιουργούν συγχύσεις στους μαθητές, έτσι το 3α δεν σημαίνει 3 φορές το α, όπως στους αριθμούς 34 το δεν σημαίνει 3.4. Τέλος, οι λύσεις των εξισώσεων εμπλέκουν ισότητες που αλλάζουν μορφή από τις αριθμητικές παραστάσεις. Έτσι αν το ίσον σε μία εξίσωση σημαίνει το πρώτο μέρος είναι ίσο με το δεύτερο, στις αριθμητικές παραστάσεις το ίσον σημαίνει «κάνε μια πράξη και δώσε μία απάντηση» όπως πχ =. Διδακτικές υποδείξεις Μεγάλο μέρος της διδασκαλίας των εξισώσεων δαπανάται στην εκμάθηση της διαδικασίας επίλυσης τους. Μερικές φορές οι μαθητές καταφέρνουν να λύνουν εξισώσεις χωρίς όμως να αντιλαμβάνονται το νόημα της διαδικασίας που ακολουθούν (Van de Walle, 2001). Στην ενότητα αυτή, αρχικά επιδιώκεται να αντιληφθούν οι μαθητές τους ρόλους που παίζουν τα σύμβολα και η γραφή τους, ιδιαίτερα το ρόλο του αγνώστου, μέσα από διαφορετικές χρήσεις σε κατάλληλες δραστηριότητες. Στη συνέχεια ενθαρρύνονται να παριστάνουν συμβολικά μια κατάσταση δημιουργώντας σχέσεις από λεκτικά προβλήματα. Στο τέλος μόνο οδηγούνται να κατανοήσουν την διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης, εμβαθύνοντας μέσα από δραστηριότητες, τη διατήρηση της ισότητας των δύο μερών της εξίσωσης. Αν και το μοντέλο της ζυγαριάς δεν καλύπτει εννοιολογικά όλες τις περιπτώσεις λύσεις μια εξίσωσης, ωστόσο είναι χρήσιμο για την κατανόηση αυτής της ισότητας. Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 η Μαγικό τρυκ: Διάλεξε ένα αριθμό, πρόσθεσε σε αυτόν τον επόμενό του, πρόσθεσε το 3 και διαίρεσε το αποτέλεσμα δια 2. Αφαίρεσε τον αριθμό με τον οποίο άρχισες. Το αποτέλεσμα είναι 2. (αν το παιδιά δυσκολεύονται στα σύμβολα μπορούν να δοκιμάσουν με υλικά, είναι ο αριθμός και είναι μια μονάδα). 4

5 Ο αριθμός Ο επόμενος αριθμός Προθέτω 3 Διαιρώ δια 2 Αφαιρώ τον αριθμό Δραστηριότητα 2 η Δραστηριότητα 3 η Δραστηριότητα 4η Με πόσα τετράγωνα θα ισορροπήσουν οι δύο σφαίρες στη δεύτερη ζυγαριά;? Δραστηριότητα 5 η Πόσο ζυγίζει κάθε σχήμα;

6 Δραστηριότητα 6 η Ισορροπεί ή γέρνει η ζυγαριά; Ποια τιμή πρέπει να βάλεις στο x για να ισορροπεί η ζυγαριά; x x x+4 x+9 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Βρες με το νου το x στις παρακάτω εξισώσεις: x + 12 = x = 7 5.x + 2 = Υπολόγισε τις παρακάτω σχέσεις για x = 3 ή x = 6 ή x = 9 και ανάλογα με το αποτέλεσμα βάλε το σύμβολο < ή = ή >. 4.x x 8 3. Ο τύπος Ε = β.υ δίνει τον εμβαδόν του παραλληλογράμμου με βάση β και ύψος υ. Αν η βάση ενός παραλληλογράμμου είναι 15m και το εμβαδόν του 105 m 2, πόσο είναι το ύψος του; Στόχοι προηγούμεν ων τάξεων Ανισώσεις α βαθμού Στόχοι διδακτικής ενότητας Να λύνουν ανισώσεις πρώτου βαθμού µε έναν άγνωστο και να παριστάνουν τις λύσεις στον άξονα. Να βρίσκουν τις κοινές λύσεις δυο ή περισσότερων ανισώσεων πρώτου βαθμού. Να λύνουν απλά προβλήματα ανισώσεων πρώτου βαθμού. Προσαρμογή στόχων Συνδέουν την ανίσωση με μία εξίσωση. Βρίσκουν τις τιμές του x με νοερούς υπολογισμούς. Λύνουν απλά προβλήματα ανισώσεων πρώτου βαθμού. Ιδιαιτερότητες εννοιών Η ανίσωση διαφοροποιείται από την εξίσωση ως προς τις λύσεις. Για το λόγο αυτό, αν κι οι μαθητές γνωρίζουν να αναζητούν, νοερά ή επιλύοντας, μία τιμή για τον άγνωστο x σε μια εξίσωση, στην ανίσωση χρειάζεται να αναζητήσουν ένα σύνολο τιμών. Η λύση της ανίσωσης, σε επίπεδο διαδικασίας, δεν αλλάζει από τη λύση μιας εξίσωσης, το νόημά της όμως είναι σημαντικά διαφορετικό. Έτσι, στην ενότητα αυτή δεν επιδιώκεται να μάθουν τυπικά οι μαθητές να λύνουν ανισώσεις, αλλά να προσεγγίζουν το νόημά της. 6

7 Δυσκολίες των μαθητών Σύμφωνα με τα στοιχεία που παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα για την κατανόηση συμβόλων και μεταβλητών, η σχέση x>3 δεν ερμηνεύεται από τους μαθητές ως «όλες οι τιμές για τις οποίες ισχύει». Η χρήση των ανισοτικών συμβόλων που παρουσιάζονται από τις μικρότερες τάξεις του δημοτικού ανάμεσα στους αριθμούς είναι δηλωτικές μιας σύγκρισης μεταξύ δύο αριθμών, πχ. 12 > 10. Η προηγούμενη εύρεση μιας τιμής για το x στις εξισώσεις και η χρήση ανισοτικών συμβόλων σε αυτή τη μορφή δυσκολεύουν στους μαθητές να κατανοήσουν ότι το χ> 10 σημαίνει «όλες οι τιμές του χ οι οποίες είναι μεγαλύτερες του 10». Διδακτικές υποδείξεις Προτείνονται πραγματικές καταστάσεις μέσα από τις οποίες αναδεικνύεται η αναγκαιότητα χρήσης ανισότητας και οι οποίες οδηγούν στην εύρεση ενός συνόλου λύσεων που επιτρέπουν την κατανόηση του νόηματος του συμβόλου, πχ. x>4. Παράλληλα, ενθαρρύνονται οι νοεροί υπολογισμοί στην αναζήτηση λύσεων και επιδιώκεται να αντιληφθούν οι μαθητές ότι οι ανισώσεις δεν έχουν μία και μόνο λύση. Η αριθμητική γραμμή μπορεί να στηρίξει αναπαραστατικά αυτή την προσέγγιση. Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 η Η Λυδία έχει τα γενέθλια της και πηγαίνει στο σούπερ μάρκετ να πάρει αναψυκτικά, πατατάκια και άλλα κεράσματα για το πάρτυ της. Έχει από το χαρτζιλίκι της 10 αλλά υπολογίζει ότι θα χρειαστεί περισσότερα από 30 για τα ψώνια της. Πόσα χρήματα θα χρειαστεί να ζητήσει από τη μαμά της; Δραστηριότητα 2 η Ο Δημήτρης πηγαίνει στην αγορά για να ψωνίσει ένα παντελόνι και μία μπλούζα κι έχει μαζί του 75. Το παντελόνι που του αρέσει στοιχίζει 45. Βλέπει στις βιτρίνες μπλούζες με διάφορες τιμές: 10, 12, 15, 22, 35, 40 ποιες από αυτές μπορεί να αγοράσει; Αν ονομάσεις την τιμή της μπλούζας ψ, δοκίμασες να γράψεις μια σχέση που να δίνει απάντηση στο ερώτημα «μέχρι πόσα χρήματα το πολύ μπορεί να στοιχίζει η μπλούζα;». Δραστηριότητα 3 η Βάλε στο x τις τιμές 2, 3, 5, 6, 7, 10, 12 και εξέτασε από πού γέρνει η κάθε ζυγαριά. Βάλε ένα σύμβολο <, +, >. x x x+4 x+9 Δραστηριότητα 4 η Υπολόγισε με το νου ποια τιμή μπορεί να πάρει το x στις παρακάτω ανισώσεις: x > 5 2. x > 24 x + 7 < 20 x 10 > 50 Χρωμάτισε τις απαντήσεις πάνω στην αριθμογραμμή. 7

8 Δραστηριότητα 4 η Λύσε κάθε μία από τις ανισώσεις όπως λύνεις μια εξίσωση και δοκίμασε να ερμηνεύσεις το αποτέλεσμα. Χρωματίστε πάνω στην αριθμογραμμή. x + 12 > 25 ψ 7 > 5 4.ω > 16 2.x- 3 < x + 1 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Ποια είναι η διαφορά μιας ανίσωσης από μία εξίσωση; 2. Πόσες τιμές μπορεί να πάρει ο x στην ανίσωση x + 2 > 10; 3. Χρωμάτισε πάνω στην αριθμητική γραμμή τις λύσεις των παρακάτω σχέσεων: x 5 < 7 x 5 = 7 x 5 > 7 Στόχοι προηγούμεν ων τάξεων Πυθαγόρειο θεώρημα, τετραγωνικές ρίζες και άρρητοι αριθμοί Στόχοι διδακτικής ενότητας Τελικοί στόχοι για μαθητές με Μ.Δ. -Να μπορούν να διατυπώνουν λεκτικά και συμβολικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα - Να διακρίνουν τους ρητούς από τους άρρητους - Να μπορούν να βρίσκουν προσεγγιστικά την τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού - Να ξέρουν και να εφαρμόζουν σωστά τις ιδιότητες των ριζών Διατυπώνουν λεκτικά και συμβολικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφό του Βρίσκουν μία (οποιαδήποτε) πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου όταν είναι γνωστές οι δύο άλλες πλευρές του Διακρίνουν τους ρητούς από τους άρρητους Γνωρίζουν τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού Ξέρουν τις βασικές ιδιότητες των ριζών Ιδιαιτερότητες των Εννοιών Η κατανόηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος με το οποίο εισάγεται η Ευκλείδεια Μετρική Γεωμετρία είναι σημαντική και απαραίτητη για την αντιμετώπιση πολλών προβλημάτων. Η επιδίωξη της ενότητας αυτής είναι να κατανοήσουν οι μαθητές την ιδιαίτερη αυτή μετρική σχέση που συνδέεται (και αποδεικνύει) τα ορθογώνια τρίγωνα. Η προσέγγιση των άρρητων αριθμών είναι αρκετά ιδιαίτερη και το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα είναι να κατανοήσουν οι μαθητές ότι υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι ρητοί και να έρθουν σε επαφή με ορισμένους χαρακτηριστικούς άρρητους όπως είναι το π και οι τετραγωνικές ρίζες μη τετράγωνων αριθμών. Παράλληλα επιδιώκεται, μέσα από την τοποθέτηση στην αριθμογραμμή να τους συνδέσουν με τους υπόλοιπους αριθμούς. 8

9 Δυσκολίες των μαθητών Οι μαθητές με ΜΔ, όπως και οι υπόλοιποι μαθητές μπορούν να αντιμετωπίσουν δυσκολίες στην κατανόηση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος για μια ποικιλία λόγων, που συναρτώνται κυρίως με ελλείψεις σε προηγούμενες γεωμετρικές ή αριθμητικές έννοιες όπως είναι: - η δυσκολία αντίληψης του ορθογώνιου τριγώνου σε μη στερεοτυπικές θέσεις. - Η μη κατανόηση της έννοιας του εμβαδού και σύνδεσης του τετραγώνου αριθμού με το εμβαδόν του αντίστοιχου τετραγώνου. - Πράξεις, λύση εξισώσεων και προσέγγισης της τετραγωνικής ρίζας Για τις τετραγωνικές ρίζες πρέπει αποσαφηνίσουν ότι ορίζονται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς και είναι πάντοτε θετικοί αριθμοί. Ένα συνηθισμένο λάθος είναι ότι : 4 = ± 2. Η έννοια των ρητών αριθμών είναι αρκετά σύνθετη και η πλήρης κάλυψής τους είναι μάλλον δύσκολο. Ωστόσο οι μαθητές μπορούν να εντοπίσουν κάποιες τετραγωνικές ρίζες (αν και δεν πρέπει να αναπτύξουν τη λαθεμένη αντίληψη των μαθητών είναι ότι άρρητοι αριθμοί είναι μόνο οι τετραγωνικές ρίζες των μη τετράγωνων αριθμών). Συχνά επίσης οι μαθητές μεταφέρουν ιδιότητες από τους ρητούς στους άρρητους όπως a + β a + β. Διδακτικές υποδείξεις Βασική προϋπόθεση για την κατανόηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος είναι η εξασφάλιση ορισμένων προαπαιτουμένων γνώσεων όπως: - Η ευχέρεια στις πράξεις. Με δεδομένες τις σχετικές δυσκολίες σ αυτό το πεδίο για τους μαθητές με ΜΔ είναι προτιμότερο να επιτρέπεται η χρήση αριθμομηχανής - Η λύση εξισώσεων της μορφής αχ+β = 0 και γι αυτό είναι απαραίτητο να γίνει σχετικός έλεγχος πριν την διδασκαλία του Π.Θ. - Η κατανόηση της εννοίας του εμβαδού. - Η αναγνώριση των κάθετων πλευρών και της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Γι αυτό πρέπει να δίνονται ορθογώνια τρίγωνα σε διάφορες θέσεις και να ζητείται η αναγνώριση των πλευρών τους από τους μαθητές Η τετραγωνική ρίζα συνδέεται άμεσα με το τετράγωνο ενός αριθμού, οπότε ο λογισμός των ριζών στηρίζεται στις ιδιότητες των δυνάμεων τις οποίες θα πρέπει να ξέρουν οι μαθητές. Πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στο πρόσημο μιας τετραγωνικής ρίζας και να δοθούν αριθμητικά παραδείγματα με μικρούς αριθμούς για γίνουν κατανοητές από τους μαθητές. Είναι σημαντικό να εντοπίσουν μόνοι τους οι μαθητές με δοκιμές τις τετραγωνικές ρίζες που είναι ρητοί αριθμοί όπως π.χ. 9, 25 και οι ρίζες που παραπέμπουν σε άρρητους αριθμούς. Παράλληλα μπορεί να δοθεί το παράδειγμα του π που είναι άρρητος αν και όχι ρίζα αριθμού. Η εύρεση τετραγωνικής ρίζας καθώς και οι ιδιότητες των ριζών είναι μάλλον έξω από τις δυνατότητες αρκετών παιδιών με μαθησιακές δυσκολίες και γι αυτό δεν επιμένουμε σε αυτές και αφήνουμε τους μαθητές να κάνουν δοκιμές με την αριθμομηχανή. Ενδεικτικές δραστηριότητες: 1. Στα παραπάνω τρίγωνα να αναγνωρίσεις τις κάθετες πλευρές και τις υποτείνουσες τους. 9

10 2. Να βρεις το χ στις ακόλουθες εξισώσεις: χ 2 = 4, χ 2 = 25, χ = 9, 5 + χ 2 = 9 3. Να βρεις το εμβαδόν στα παρακάτω σχήματα: 3 μ. Δραστηριότητα 1η Στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα να υπολογίσεις τα τετράγωνα του μήκους των πλευρών τους. 3 μ. 6μ 12μ 5μ 4μ 5μ 8μ 3μ 10μ 13μ Στη συνέχεια να συμπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί. Υποτείνουσα: 5 2 = 10 2 = 13 2 = Κάθετες πλευρές: 4 2 = 8 2 = 12 2 = 3 2 = 6 2 = 5 2 = = = = Τι παρατηρείς; 10

11 Δραστηριότητα 2η Στο διπλανό γραμματόσημο: - Μέτρησε τα τετραγωνάκια που υπάρχουν σε καθένα από τα καρό τετράγωνα στις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου - Τι παρατηρείς; - Να εκφράσεις τη σχέση που βρήκες: Λεκτικά Συμβολικά Ποια σχέση συμπεραίνεις ότι ισχύει για τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου; Δραστηριότητα 3η - Να σχηματίσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με 6 cm και 8 cm. Να μετρήσεις την υποτείνουσα. - Να εξετάσεις αν για τους αριθμούς 6,8,10 ισχύει κάποια σχέση - Κάνε το ίδιο για τους αριθμούς 3, 4 και 5. Τι είδους τρίγωνο είναι; - Αν ένα τρίγωνο έχει μήκη τέτοια ώστε το τετράγωνο ενός από αυτά είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε τι συμπεραίνεις για το τρίγωνο αυτό; Δραστηριότητα 4η Να υπολογίσεις την υποτείνουσα χ στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα: χ 1 μ 3 μ χ 2 μ 4 μ Δραστηριότητα 5η Μπορείς να βρεις στο παρακάτω σχήμα πόσες τετράγωνες πλάκες ίδιου εμβαδού με τις υπόλοιπες του σχήματος θα χρειαστούμε για να καλύψουμε την περιοχή μέσα στο πλαίσιο με μπλε γραμμές; 11

12 Δραστηριότητα 6η Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς γράφονται σαν κλάσματα; 1. α = 3,5 2. β = 2,35 3. γ = 1, δ = 1, ε = 0, ζ = 1, Δραστηριότητα 7η - Να υπολογίσεις την διαγώνιο του τετραγώνου με πλευρές ίσες με 1μ. δ 1μ 1μ 12

13 - Με κέντρο το 0 και ακτίνα ίση με τη διαγώνιο που βρήκες, γράψε ένα κύκλο μέχρι τον άξονα χ χ. Τι παρατηρείς για τις τετμημένες των σημείων τομής; μ μ Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Να διατυπώσεις λεκτικά και συμβολικά το Πυθαγόρειο θεώρημα 2. Να πάρεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο της αρεσκείας σου, να μετρήσεις τις πλευρές του και να επαληθεύσεις το Πυθαγόρειο θεώρημα. 3. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι μεταξύ τους; 2 5, 25, 5, ( 5), Να βρείτε τα σημεία του άξονα που παριστάνουν τους αριθμούς: 2 και 3 5. Στο παρακάτω σχήμα, να υπολογίσεις πόσα μέτρα πρέπει να ανοίξει τη σκάλα του ένας εργάτης που θέλει να κάνει εργασίες στο καμπαναριό της εκκλησίας από τη θέση που βρίσκεται 8 μ 6 μ 7. Ο ιδιοκτήτης του τριγωνικού οικοπέδου του σχήματος θέλει να φυτέψει με γκαζόν τον τετραγωνικό κήπο του. Αν το κόστος για το φύτεμα ενός τετραγωνικού είναι 10 ευρώ, πόσα χρήματα θα χρειαστεί; 13

14 12 μ 5 μ 14

15 Συναρτήσεις Στόχοι προηγούμενων τάξεων Γνωρίζουν την αναλογία και την αντίστροφη αναλογία Μπορούν να βρουν το συντελεστή αναλογίας, να συμπληρώνουν πίνακες και σχεδιάζουν μια γραφική παράσταση Λύνουν προβλήματα αναλόγων και αντιστρόφως αναλόγων ποσών Αναγνώριση σχέσεων Στόχοι διδακτικής ενότητας Η έννοια της συνάρτησης Η συνάρτηση ψ=αχ Η συνάρτηση ψ=αχ +β Η συνάρτηση ψ=α/χ Να σχεδιάζουν τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης από τον αντίστοιχο πίνακα τιµών. Προσαρμογή στόχων Παριστάνουν αριθμητικές σχέσεις σε πίνακα τιμών και εντοπίζουν τον κανόνα (κυρίως περιγραφικά) Σχεδιάζουν μια γραφική παράσταση από τον πίνακα Βρίσκουν τιμές για τα χ και ψ σε πραγματικά προβλήματα Ιδιαιτερότητες εννοιών Οι συναρτήσεις εξετάζουν και αναπαριστούν σχέσεις. Στην καθημερινή ζωή εκφράζουμε λεκτικά τη σύνδεση καταστάσεων με διαφορετικούς παράγοντες λέγοντας: «είναι συνάρτηση του». Οι μαθητές έχουν γνωρίσει από τις προηγούμενες τάξης τη σχέση αναλογίας. Στην ενότητα αυτή επιδιώκεται να αντιληφθούν την ιδέα της «συμμεταβολής», δηλαδή της σχέσης που συνδέει δύο μεταβλητές. Μια συνάρτηση εκφράζει μια (ιδιαίτερη) σχέση ανάμεσα σε συμμεταβαλόμενες τιμές δύο τουλάχιστον μεταβλητών και έχει τρεις μορφές παράστασης: πίνακα αριθμητικών τιμών, γραφική παράσταση και συναρτησιακό τύπο. Η επιδίωξη στην ενότητα αυτή είναι να μπορούν οι μαθητές να αντιληφθούν σχέσεις που προκύπτουν από πραγματικές καταστάσεις, να βρίσκουν σχέσεις από πίνακες τιμών και να «διαβάζουν» γραφικές παραστάσεις. Δυσκολίες των μαθητών Αν και ιδιαίτερα σημαντική, η έννοια της συνάρτησης δεν είναι απλή γιατί τυποποιεί και εκφράζει αλγεβρικά μια σχέση. Οι μαθητές μπορούν να αντιληφθούν σχέσεις, δεν καταφέρνουν όμως με άνεση να τις μετατρέψουν σε συναρτησιακό τύπο. Αντίστοιχα έχουν δυσκολία να περάσουν από τη μία μορφή παράστασης στην άλλη, δηλαδή από τον πίνακα τιμών στις γραφικές παραστάσεις, κι αντίστροφα από τον πίνακα τιμών στον τύπο και την αντίστοιχη παράσταση (Tall, 1996). Στην ενότητα αυτή δεν επιδιώκεται να αντιληφθούν οι μαθητές τη γενικότερη έννοια της συνάρτησης, αλλά να εξοικειωθούν στην εύρεση σχέσεων και τη μεταφορά τους σε γραφικές παραστάσεις. Διδακτικές υποδείξεις Οι πρώτες προτεινόμενες δραστηριότητες βοηθούν τους μαθητές να προσεγγίσουν το νόημα των συναρτήσεων μελετώντας σχέσεις μέσα σε πραγματικές καταστάσεις. Στη συνέχεια ενθαρρύνονται να εκφράζουν τις σχέσεις αυτές με διάφορες μορφές παράστασης: λεκτικά, γραφικά ή με κάποιους απλούς τύπους. Προτείνεται επίσης η μελέτη γραφικών παραστάσεων η οποία, εκτός από την γενικότερη καθημερινή της αξία, μπορεί να είναι βοηθητική στην μελέτη των σχέσεων. 15

16 Οι υπολογισμοί τιμών μέσα από αριθμητικούς πίνακες βοηθούν τους μαθητές να αντιληφθούν την ευκολία που προσφέρουν οι συναρτησιακοί τύποι και να δοκιμάσουν να τυποποιήσουν την σχέση της αναλογίας και της αντίστροφης αναλογίας που διδάχθηκαν την προηγούμενη χρονιά. Παράλληλα τους προτείνεται να μελετήσουν και άλλες μορφές σχέσεων (σε διαφορετικά προβλήματα, της καθημερινής ζωής, της γεωμετρίας, της φυσικής κλπ.) για να μην αναγνωρίζουν σε όλα τα προβλήματα σχέσεις αναλογίας. Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 η Ο Κωστάκης θέλει να αγοράσει ένα καινούργιο τιμόνι για το ποδήλατο του που στοιχίζει 65 και για το λόγο αυτό αποταμιεύει από το χαρτζιλίκι του 15 κάθε βδομάδα. Συμπλήρωσε τον πίνακα για να βρεις πότε θα έχει συγκεντρώσει τα χρήματα που του χρειάζονται. βδομάδες Χρήματα 15 Δραστηριότητα 2 η Ένα αυτοκίνητο χάνει το 10% της αξίας του κάθε χρόνο. Ο πατέρας του Δημήτρη αγόρασε το αυτοκίνητό του και θα ήθελε να ξέρει πόσο θα μπορεί να το πουλήσει σε 5 χρόνια. Ο Δημήτρης κάνει ένα πίνακα για να τον βοηθήσει. χρόνια Μείωση σε Δραστηριότητα 3 η Ένας βιολόγος παρατηρεί σε ένα μικροσκόπιο τον τρόπο με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ένα μικρόβιο και γράφει σε ένα πίνακα τα αποτελέσματα. Γράφει στο σημειωματάριο του ένα κανόνα που περιγράφει αυτό τον πολλαπλασιασμό. Δοκίμασε να γράψεις κι εσύ αυτό τον κανόνα. Χρόνος σε sec Αριθμός μικροβίων Δραστηριότητα 4 η Ο Θανάσης τρέχει με το ποδήλατό του 20 km την ώρα. Ποια απόσταση θα έχει διανύσει σε 3, 4 ή 5 ώρες; Κάνε ένα πίνακα για να το υπολογίσεις την απόσταση που διανύει σε συνάρτηση με το χρόνο. Βρες ένα τύπο που δίνει σύντομα αυτό το αποτέλεσμα. Δραστηριότητα 5 η Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 20 cm. Ποιο είναι το μήκος και ποιο το πλάτος του; Βρες όλες τις δυνατές λύσεις μήκους και πλάτους και τοποθετείστε τις σε ένα πίνακα. Σχεδίασε σε τετραγωνισμένο χαρτί τα ζεύγη που βρίσκεις και σχολιάστε τη μορφή της. Αν ονομάσουμε x το μήκος και ψ το πλάτος, μπορείς να γράψετε μια σχέση που συνδέει το x με το ψ; Δραστηριότητα 6η Με τέσσερα σπίρτα σχηματίζεται ένα τετράγωνο. Με επτά σπίρτα σχηματίζεται και δεύτερο τετράγωνο, δίπλα στο πρώτο. Με δέκα σπίρτα σχηματίζεται και τρίτο τετράγωνο 16

17 δίπλα στα προηγούμενα. Πόσα σπίρτα χρειάζονται για τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, δέκα, εκατό τετράγωνα; Απαντώντας, συμπλήρωσε τον πίνακα και στη συνέχεια γράψε ένα κανόνα που δίνει αυτό το αποτέλεσμα. Πλήθος τετραγώνων Πλήθος σπίρτων Δραστηριότητα 7 η Την πρώτη εβδομάδα του Μαΐου μετρήθηκαν στη Θεσσαλονίκη (κάθε μέρα στις 3.00 τη νύχτα και στις 3.00 το μεσημέρι), οι παρακάτω θερμοκρασίες: στις 1/5 τη νύχτα 15 ο και το μεσημέρι 23 ο στις 2/5 τη νύχτα 13 ο και το μεσημέρι 23 στις 3/5 τη νύχτα 13 και το μεσημέρι 27 ο στις 4/5 τη νύχτα 16 ο και το μεσημέρι 25 ο στις 5/5 τη νύχτα 17 ο και το μεσημέρι 28 ο στις 6/5 τη νύχτα 19 ο και το μεσημέρι 25 ο στις 7/5 τη νύχτα 15 ο και το μεσημέρι 21 ο. Κάνε μια γραφική παράσταση για να παρουσιάσεις τις θερμοκρασίες. Δραστηριότητα 8 η Το γράφημα που ακολουθεί παριστάνει τη μέση θερμοκρασία κάθε μήνα, στην Τσεχία, για το έτος Θερμοκρασία σε C Ημερήσιες Θερμοκρασίες (μέσος όρος) (2004) Μήνας - Ποιος μήνας έχει τη μεγαλύτερη και ποιος τη μικρότερη μέση θερμοκρασία; Μεγαλύτερη:.. Μικρότερη:. - Πώς θα περιγράψεις τις μεταβολές θερμοκρασίας στην Τσεχία, σύμφωνα με το γράφημα αυτό; 17

18 Δραστηριότητα 9 η Η απόσταση ανάμεσα σε δύο πόλεις είναι 400 χιλιόμετρα. Πόσες ώρες θα χρειαστεί για να τη διανύσει ένα ποδήλατο με ταχύτητα 25 Km/ώρα, ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 100 Km/ώρα, ένα άλλο ταχύτερο με 200 Km/ώρα και ένα αεροπλάνο με 800 Km/ώρα; Κατασκεύασε ένα πίνακα τιμών για τα ποσά χρόνος (ανά ώρα) και ταχύτητα. Τοποθέτησε τα ζεύγη τιμών που βρήκες σε μια γραφική παράσταση. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά αυτής της γραφικής παράστασης. Δραστηριότητα 10 η Στη λαϊκή αγορά ο παραγωγός πουλάει ντομάτες προς 1,20 το κιλό. Τοποθετεί πάνω στη ηλεκτρονική ζυγαριά την ποσότητα και γράφει την τιμή του κιλού. Η ζυγαριά αυτόματα εμφανίζει το βάρος και την τιμή που πρέπει να πληρώσει ο καταναλωτής. Συμπλήρωσε τον πίνακα που δείχνει τα ποσά που πληρώνουν οι καταναλωτές για τις διάφορες ποσότητες. - Η ποσότητα και η τιμή είναι ποσά ανάλογα; Ποσότητα σε κιλά Τιμή σε 1,20 - Οι αριθμοί της δεύτερης σειράς προκύπτουν από τους αριθμούς της πρώτης σειράς πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με τον ίδιο αριθμό, που λέγεται συντελεστής αναλογίας. Υπολόγισε τον. - Να παραστήσεις γραφικά τα σημεία του πίνακα τιμών σε ένα σύστημα αξόνων. Στη συνέχεια, ενώνοντας τα σημεία σχεδίασε τη γραφική παράσταση που δείχνει τη σχέση ανάμεσα στην ποσότητα και την τιμή. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά αυτής της γραφικής παράστασης; - Χρησιμοποιώντας μόνο τη γραφική παράσταση (χωρίς τον πίνακα τιμών και χωρίς πράξεις) υπολόγισε την τιμή των 9 κιλών. Δραστηριότητα 11 η Η Μαρία πληρώνει για το κινητό της πάγιο 11 και 0,003 ανά δευτερόλεπτο συνομιλίας. Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα: Χρόνος ομιλίας σε δευτερόλεπτα Λογαριασμός σε Πώς προκύπτουν οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής από τους αριθμούς της πρώτης; Τα ποσά είναι ανάλογα; - Να κάνεις μια γραφική παράσταση που να δείχνει τη σχέση αυτή. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά αυτής της γραφικής παράστασης; Σε τι διαφέρει αυτή η γραφική παράσταση από τη γραφική παράσταση της προηγούμενης δραστηριότητας; Δραστηριότητα 12 η Μία ομάδα εργατών αποτελούμενη από 4 άτομα συσκευάζει σε κουτιά μια παραγγελία παπουτσιών σε 3 ώρες. Σε πόσες ώρες θα τελείωνε την ίδια δουλειά μια ομάδα 2 ατόμων; Σε πόσες ώρες τελειώνει την ίδια δουλειά μια ομάδα 6 ατόμων που θα εργαζόταν με τον ίδιο ρυθμό; Συμπλήρωσε τον πίνακα. Βρες και άλλα 3 ζεύγη τιμών που ικανοποιούν την ίδια σχέση και τοποθέτησε τα στον πίνακα. Άτομα Ώρες 3 18

19 Τοποθέτησε τα ζεύγη των αριθμών του πίνακα σε σύστημα ημιαξόνων και σχεδίασε τη γραφική παράσταση. Δραστηριότητα 13 η Μια παρέα παιδιών πλήρωσε για τις 3 πορτοκαλάδες που ήπιε 6,6. Πόσο χρήματα πλήρωσαν για κάθε πορτοκαλάδα. - Πόσα χρήματα θα είχαν πληρώσει αν είχαν πιει 6 πορτοκαλάδες; - Πόσα χρήματα θα είχαν πληρώσει για κάθε πορτοκαλάδα αν είχαν πληρώσει 6,6 για 6 πορτοκαλάδες; Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση 1. Σε έναν πίνακα αναλογίας μπορούμε να πάρουμε Σωστό Λάθος τους αριθμούς της πρώτης σειράς πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς της δεύτερης σειράς επί τον αντίστροφο του συντελεστή αναλογίας. 1. Ο συντελεστής αναλογίας του πίνακα είναι 0,7 Σωστό Λάθος x ψ 3,5 4,2 5,6 2. Ο πίνακας τιμών είναι πίνακας αναλογίας. Σωστό Λάθος x ψ 3 7, Ποια σχέση συνδέει τα x και ψ στον παρακάτω πίνακα; x ψ Αντιστοίχισε μία συνάρτηση με την αντίστοιχη γραφική παράσταση: ψ = 3.χ ψ = 2.χ + 1 ψ = 12/χ 19

20 Τριγωνομετρικές έννοιες Ημίτονο- συνημίτονο - εφαπτομένη Στόχοι Στόχοι διδακτικής ενότητας προηγούμενων τάξεων Να γνωρίζουν πώς ορίζεται το ηµίτονο και το συνηµίτονο και η εφαπτομένη οξείας γωνίας. Να υπολογίζουν το ηµίτονο, το συνηµίτονο και την εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου όταν δίνονται οι πλευρές του. Να υπολογίζουν το ηµίτονο, το συνηµίτονο και την εφαπτομένη µιας οξείας γωνίας µε τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης. Να γνωρίζουν ότι δύο γωνίες που έχουν το ίδιο ηµίτονο, συνηµίτονο και εφαπτομένες είναι ίσες και να µπορούν να σχεδιάζουν µια γωνία της οποίας δίνεται το ηµίτονο ή το συνηµίτονο ή η εφαπτομένη. Να γνωρίζουν πώς µεταβάλλεται το ηµίτονο, το συνηµίτονο και την εφαπτομένη οξείας γωνίας όταν µεταβάλλεται η γωνία. Να υπολογίζουν µε τη βοήθεια του ηµιτόνου, του συνηµιτόνου και της εφαπτομένης διάφορες αποστάσεις. Να γνωρίζουν και να υπολογίζουν τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών 300, 450, 600 Προσαρμο γή στόχων Να προσεγγίσο υν την έννοια των τριγωνομετ ρικών αριθμών μέσα από πραγματικέ ς καταστάσει ς που τους δίνουν νόημα Ιδιαιτερότητες εννοιών Οι τριγωνομετρικές έννοιες παρουσιάζουν κάποιες ιδιαιτερότητες γιατί συνδυάζουν τις γωνίες με τους λόγους των πλευρών σε ένα τρίγωνο. Η επιδίωξη σε αυτή την ενότητα είναι να προσεγγίσουν οι μαθητές αυτή τη σύνδεση και τους λόγους που τις περιγράφουν χωρίς να δοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στους τριγωνομετρικούς συμβολισμούς Δυσκολίες των μαθητών Οι μαθητές δυσκολεύονται να αντιληφθούν το λόγο δύο πλευρών ενός τριγώνου ως ένα αριθμό κι ακόμα περισσότερο να συνδέσουν το λόγο με το μέτρο της γωνίας. Οι τυπικές παρουσιάσεις των τριγωνομετρικών αριθμών δεν τους επιτρέπουν να αντιληφθούν αυτή τη σύνδεση. Για το λόγο αυτό είναι απαραίτητο να οδηγηθούν σε συγκρίσεις ορθογωνίων τριγώνων που μέσα από τη σύγκριση του σχήματος και κατά συνέπεια των γωνιών να προσεγγίσουν τους λόγους των πλευρών. Διδακτικές υποδείξεις Αρχικά προτείνονται δραστηριότητες με τις συγκρίσεις που αναφέρθηκαν. Στη συνέχεια μέσα από καθημερινές καταστάσεις αναδεικνύεται η σύνδεση του μέτρου των γωνιών με τους λόγους των πλευρών. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί συνδέονται με την ανάγκη να περιγραφούν αυτοί οι λόγοι. 20

21 Ενδεικτικές δραστηριότητες Δραστηριότητα 1η Σου δίνεται μια συλλογή από 12 ορθογώνια τρίγωνα (τα τρίγωνα αυτά είναι κατασκευασμένα έτσι ώστε 4 ορθογώνια να είναι κατασκευασμένα με λόγο πλευρών 1 προς 4, 4 με λόγο 1 προς 3 και τα υπόλοιπα με λόγο 1 προς 2). Ομαδοποιήστε τα και εξήγησε τα κριτήρια αυτής της ομαδοποίησης. Τοποθέτηση τα τρίγωνα κάθε ομάδας το ένα πάνω στο άλλο και συμπλήρωσε τον πίνακα: Ομάδα1 Μικρή πλευρά Μεγάλη πλευρά Μικρή / μεγάλη πλευρά Ορθογώνιο 1ο Ορθογώνιο 2ο. Ομάδα 2 Ορθογώνιο 1ο Ορθογώνιο 2ο. Τι κοινό έχουν τα ορθογώνια αυτά τρίγωνα; Τι το περιγράφει; Δραστηριότητα 2η Τοποθετούμε τα τρίγωνα της ίδιας ομάδας πάνω σε ένα σύστημα αξόνων. Τι παρατηρούμε για τα τρίγωνα αυτά; 3,6 km 20 km Δραστηριότητα 4η Το Villach είναι μια μικρή πόλη της Αυστρίας, κοντά στα σύνορα με τη Σλοβενία. Ο δρόμος που φτάνει από τη Σλοβενία στο Villach είναι ένας από τους πιο ανηφορικούς δρόμους στην Ευρώπη. Αρκετά χιλιόμετρα νωρίτερα υπάρχουν προειδοποιητικές πινακίδες σχετικές με την κλίση του δρόμου, ώστε να τον αποφύγουν αυτοκίνητα με κινητήρες μικρής ισχύος. Ο δρόμος καλύπτει μια οριζόντια απόσταση 20 Km και ανεβαίνει ύψος 3,6 Km. Οι προειδοποιητικές πινακίδες αναφέρουν την κλίση του δρόμου εκφρασμένη ως ποσοστό. Υπολόγισε την κλίση του δρόμου και συμπλήρωσε την πινακίδα. - Οι πινακίδες της τροχαίας για την κλίση των δρόμων γράφουν πχ. 10% ή 8%. Εξήγησε τι σημαίνει αυτός ο αριθμός και τι περιγράφει. Δραστηριότητα 5η Την ίδια έννοια χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε την κλίση μιας ευθείας στην γραφική της παράσταση. Βρες την κλίση των παρακάτω ευθειών από τις γραφικές τους 21

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο

Προσαρμογές αναλυτικών προγραμμάτων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο ΤΕΥΧΟΣ B ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών-Ενημέρωση-Ευαισθητοποίηση»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΤΑΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΤΑΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΤΑΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Δείκτες Επιτυχίας ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ Δείκτες Επάρκειας ΑΡΙΘΜΟΙ & ΠΡΑΞΕΙΣ Επίπεδο Δραστηριοτήτων Μαθηματικές Πρακτικές Αρ1.1 Απαγγέλλουν, διαβάζουν, γράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι Υποστόχοι Δραστηριότητες Πετράκη Ζαχαρούλα Προύντζου Δέσποινα Χριστοπούλου Ευθαλεία Κανονικότητες Συναρτήσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις Ισότητα Ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα