Γνωστική ιερεύνηση Λογικοµαθηµατικών εννοιών µε χρήση δυναµικού περιβάλλοντος Μικροκόσµων. Η περίπτωση της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας.

Transcript

1 Γνωστική ιερεύνηση Λογικοµαθηµατικών εννοιών µε χρήση δυναµικού περιβάλλοντος Μικροκόσµων. Η περίπτωση της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας. ρ. Παναγιώτης Σωτηρόπουλος Ινστιτούτο Πολιτιστικής και Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας (Ι.Π.Ε.Τ.) Τσιµισκή 58, ΞΑΝΘΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή επιχειρείται µια ανάλυση των ιδιαιτεροτήτων και της πολυπλοκότητας που εµφανίζουν οι έννοιες της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας. Παρέχεται ένα δυναµικό περιβάλλον διδασκαλίας και κατανόησης των λογικών εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας σε γλώσσα Java. Το περιβάλλον αυτό αποκαλύπτει τα ερµηνευτικά πρότυπα που χρησιµοποιούνται για την επίλυση προβληµάτων που εµπλέκουν τις έννοιες αυτές, αλλά και τους ενδιάθετους νοητικούς µηχανισµούς που συγκροτούν τη διαδικασία επίλυσης των προβληµάτων. Μελετώντας σε παιδιά 7-14 ετών, τις επιδόσεις και τη δυσπραγία στην πρόσληψη λογικοµαθηµατικών εννοιών, βρισκόµαστε συχνά αντιµέτωποι µε το είδος του λογικού προτύπου που θα πρέπει να υιοθετήσουµε. Έχοντας ως σηµείο αναφοράς, για τη διερεύνηση των γνωστικών εµποδίων που παρεµβάλλονται στην κατανόηση των λογικοµαθηµατικών εννοιών, τα αναλυτικά προγράµµατα σπουδών της πρωτοβάθµιας και δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης, η έρευνα θα πρέπει να συσχετίσει όλες τις θεµελιώδεις δραστηριότητες που κάνουν χρήση των εννοιών αυτών: γλωσσικές, διαλογικές, µαθηµατικές και πρακτικές. Κριτήριο για το χαρακτηρισµό ενός µαθητή ως εκπαιδευτικά υπολειτουργικού θεωρούµε την αδυναµία του να ανταποκριθεί µε επιτυχία µετά από ένα εύλογο αριθµό προσπαθειών στις δοκιµασίες που συνδέονται µε όλες αυτές τις δραστηριότητες. Η µελέτη µας επικεντρώνεται στο πρόβληµα της πρόσληψης και της επεξεργασίας των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας, εξ αιτίας της δυσκολίας και της

2 ιδιαιτερότητας που αυτές παρουσιάζουν τόσο από µαθηµατική όσο και από γλωσσολογική άποψη. Στην πραγµατικότητα, διαπιστώνουµε πως η βραδύτητα ανάπτυξης των µαθηµατικών εννοιών που περιέχουν αρνητικούς ορισµούς, είναι παράλληλη προς τις δυσκολίες που συναντώνται µε τις αντίστοιχες λογικο-διαλογικές πράξεις, αν και υπάρχει µια σαφής υπεροχή στην ανάπτυξη των τελευταίων. Η άρνηση εµφανίζεται ως αποτέλεσµα ενός συµπλέγµατος γνωστικών και διανοητικών πράξεων, παρά την φαινοµενικά απλή λογική, τυπική µορφή της. Α Αληθής Ψευδής Α Ψευδής Αληθής Η παρουσία της άρνησης θέτει ένα παράδοξο στους πολυάριθµους µελετητές της µεταξύ των οποίων συγκαταλέγονται ο Αριστοτέλης, ο Βούδας, ο Σπινόζα, ο Λάιµπνιτζ, ο Χέγκελ, ο Φρόυντ, ο Μαρξ, ο Φρέγκε και ο Ράσελ 1. Παράδοξο που υπαγορεύεται από τη διττή λειτουργία της άρνησης: από τη µια, η απλή αντιστροφή των τιµών αληθείας µε τη µορφή λογικής συµµετρίας µεταξύ αρνητικών και καταφατικών προτάσεων για έναν από τους βασικούς λογικούς τελεστές µε καθορισµένο ρόλο στη σύνταξη και στη σηµασιολογία των προτάσεων και από την άλλη, η πολυπλοκότητα της µορφής και της λειτουργίας των αρνητικών προτάσεων στη φυσική γλώσσα µε τη µορφή εµφανούς ασυµµετρίας µεταξύ της δοµής και της χρήσης της γλώσσας. Η πληθώρα χρήσεων και νοηµάτων που συνδέονται µε ειδικές µορφές της άρνησης θέτει ένα σοβαρό πρόβληµα ερµηνείας που επιβάλλει µια διεπιστηµονική προσέγγιση (Λογική, Μαθηµατικά, Φιλοσοφία της γλώσσας, Φιλοσοφία της σκέψης, Γλωσσολογία στα διαδραστικά επίπεδα της µορφολογίας, της σύνταξης, της σηµασιολογίας, του πραγµατισµού). Ιδωµένη, ανάλογα µε την περίπτωση, ως απόρριψη, ως διάψευση, ως διάκριση του αληθούς από το ψευδές, ως 1 Για µια υποδειγµατική σύνθεση της διανοητικής ιστορίας της άρνησης από την αρχαιότητα µέχρι σήµερα Laurence R. HORN A Natural History of Negation. The University of Chicago Press, Επανέκδοση µε νέο Πρόλογο Center for The Study of Language and Information, 2001.

3 αµφιβολία, ως αβεβαιότητα κλπ η άρνηση επάγει πάντοτε µια τροποποίηση της ποιότητας ενός πράγµατος. Η πρόσληψη της έννοιας της άρνησης σε παιδιά 15 µηνών περίπου µαρτυρεί την ικανότητα της διάκρισης του εαυτού τους από τους άλλους. Την εφαρµογή της άρνησης σε µια πρόταση ακολουθεί, ως αποτέλεσµα στο επίπεδο της µεταγλωσσικής λειτουργίας, η τροποποίηση της ποιότητας αλλά και της ποσότητας του πράγµατος που εκφράζεται από την πρόταση αυτή. Υπό την επενέργεια της άρνησης το αντικείµενο αλλοιώνεται και αναφερόµαστε στην περίπτωση αυτή για στερηµένα ή αρνητικά αντικείµενα που έχουν απολέσει µερικές από τις ιδιότητές τους. Η Αριστοτελική αντίληψη για την άρνηση βασίζεται στην παραδοχή πως ένα πράγµα διαχωρίζεται από κάποιο άλλο (Περί ερµηνείας 6. 17α: 26-29). Σ ένα δυναµικό, διαλεκτικό πλαίσιο, η άρνηση προσδιορίζει τους αντιθετικούς πόλους δυϊκών ιδιοτήτων που συνυφαίνονται µεταξύ τους. Πεπερασµένο / Άπειρο Άρτιο / Περιττό ίκαιο / Άδικο Ζεστό / Κρύο Τέτοιου είδους αντιθέσεις συναντά κανείς συχνά στη διαδικασία επίλυσης µαθηµατικών προβληµάτων και σε ένα στατικό πλαίσιο εκφράζουν ουσιαστικά τη βασική αρχή του αποκλειόµενου τρίτου: για µια πρόταση Α, είτε η πρόταση αυτή είτε η άρνησή της µπορούν νάναι αληθείς. Η διάζευξη νοείται αποκλειστικά. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να διακρίνουµε ανάµεσα στην κατασκευή και στην αναγνώριση µιας αρνητικής πρότασης καθώς, ανάλογα µε τις χρήσεις, η άρνηση είναι είτε ένα πρωταρχικό δεδοµένο, είτε ένα κατασκευάσιµο αντικείµενο. Στην πραγµατικότητα, αυτό που κρίνεται είναι το γνωστικό καθεστώς των εννοιών και οι αντίστοιχες λογικές αναπαραστάσεις (συνολοθεωρητικές ως κλάσεις ή προτάσεις εκφρασµένες στη συµβολική γλώσσα της κλασικής λογικής). Οι διαφορές που εµφανίζονται στο επίπεδο της τυπικής, συµβολικής αναπαράστασης (συνολοθεωρητικές vs λογικές πράξεις), επιβάλουν µια επανεκτίµηση των πορισµάτων του Piaget και της σχολής του. Η άρνηση ως αποτυχία είναι η βασική µέθοδος προσέγγισης για την επικύρωση αποφατικών προτάσεων στο λογικό προγραµµατισµό. Πρακτικά αυτό σηµαίνει ότι το πρόγραµµα δεν µπορεί να παράξει απαντήσεις αντικατάστασης σε αρνητικές έρευνες (negated queries), δεν υπάρχουν δηλ. µέσω µιας διαδικασίας επαναδρόµησης διαδροµές αναζήτησης που να ικανοποιούν την άρνηση της συγκεκριµένης έρευνας. Αυτό που δηλώνεται

4 στην περίπτωση αυτή είναι ότι ο στόχος του προγραµµατικού τύπου (goal clause) δεν είναι αποδείξιµα αληθής, αλλά απλώς αποδείξιµα ψευδής 2 : non(p) p / αποτυχία. Η έµµεση, µη κατασκευαστική αναγωγή της διαψευσιµότητας του αντιθέτου αντί της άµεσης επικύρωσής της ίδιας της πρότασης, βρίσκεται στη βάση των αποδείξεων µε χρήση της µεθόδου της εις άτοπον απαγωγής (reductio ad absurdum). Χαρακτηριστικό της δυσκολίας που εισάγει η έννοια της άρνησης στις έµµεσες αποδείξεις είναι η ακόλουθη πρόταση από την Ανάλυση 3 : Αν για µια συνάρτηση f ορισµένη σε ανοικτό διάστηµα (α, β) και παραγωγίσιµη σε αυτό ισχύει ότι f (x) 0 για κάθε x, τότε η f είναι αύξουσα Για την απόδειξη της πρότασης αυτής αρκετοί φοιτητές υποθέτουν ότι η f είναι φθίνουσα µε σκοπό να καταλήξουν σε αντίφαση. Άλλοι απορρίπτουν τη µέθοδο αυτή γιατί εκτιµούν ότι αν η f δεν είναι αύξουσα, τότε είναι πιθανό η f να είναι είτε φθίνουσα είτε σταθερή, ή να είναι φθίνουσα αλλά όχι γνησίως, ή να είναι ταυτόχρονα αύξουσα και φθίνουσα. Η µελέτη των πιθανών περιπτώσεων που προκύπτουν (διερεύνηση του συµπληρωµατικού χώρου) µε την εισαγωγή της άρνησης στην έµµεση απόδειξη αναδεικνύει και το βαθµό δυσκολίας στην κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και αποδείξεων 4. Παράλληλα αποκαλύπτει και την αλληλεξάρτηση των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας. Οι δυσκολίες κατανόησης των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας µπορούν να τυποποιηθούν για διαφορετικές διδακτικές καταστάσεις µέσα από τη συγκρότηση σχηµάτων που εκφράζουν 2 Για το πρόβληµα του ορισµού της άρνησης στο Λογικό Προγραµµατισµό βλέπε F. GIANNESINI H. KANOUI R. PASERO, M. VAN CANEGHEM PROLOG, InterEditions, Paris 1985, pp , Tony DODD PROLOG. A LOGICAL APPROACH. Oxford University Press, 1990, p.67. Ulf NILSSON Jan MAŁUSZYŃSKI LOGIC, PROGRAMMING AND PROLOG, John Wiley & Sons 1990, pp Samuel ANTONINI Difficulties of Negation in Mathematics: A First Classification. In Proceedings of The Second Conference of The European society for Research in Mathematics Education (ERME), 24 th 27 th February 2001, Mariánské Lázně, The Czech Republic. 4 Ο Thomson υπογραµµίζει τη σηµασία της ορθής τυποποίησης της άρνησης ως σηµαντικού προαπαιτούµενου για την εφαρµογή των έµµεσων αποδείξεων. Βλέπε D. R. THOMSON Learning and Teaching Indirect Proof. The Mathematics Teacher, 89(6)1996, pp

5 κατά περίπτωση διαφορετικές προσεγγίσεις 5. Πρόκειται για την αναπαράσταση του οργανωτικού πλέγµατος των γνώσεων στο µνηµονικό µε τέτοιο τρόπο ώστε να καθιστούν λειτουργικές τις γνώσεις αυτές σε περιπτώσεις ανάµνησης, κατανόησης ή συλλογισµού. Ως οµάδες συγκροτηµένων γνώσεων τα σχήµατα λειτουργούν άλλοτε ως δηλωτικές γνώσεις αναφορικά µε καταστάσεις είτε ως διαδικαστικές που συνδέονται µε εξειδικευµένες γνώσεις ή δεξιότητες. Η τυποποίηση των σχηµάτων αυτών προϋποθέτει όµως µελέτη και αποκάλυψη των γνωστικών µηχανισµών που εµπλέκονται στην κατανόηση των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας. Η µελέτη των στοιχειωδών λογικών δοµών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας από τους Piaget και Inhelder Η ανάπτυξη των λογικών δοµών µε τη µελέτη της γένεσης των στοιχειωδών λογικών δοµών από τη σχολή της Γενεύης, ως αποτέλεσµα µιας συστηµατικής έρευνας πάνω στο σχηµατισµό της ταξινόµησης και της διάταξης, αποτελεί µια από τις θεµελιώδεις συνεισφορές στην αναπτυξιακή ψυχολογία 6. Η σηµασία της εργασίας τους συνίσταται κυρίως στην κατανόηση των µηχανισµών διαµόρφωσης των διεργασιακών δοµών (structures opératoires) αφού η γνώση των σταδίων ανάπτυξής τους ήταν σχεδόν επαρκής. Για τις ανάγκες της εργασίας µας θα αναφερθούµε µε συντοµία στο µέρος της έρευνας που αφορά τις έννοιες της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας. 5 Η έννοια του σχήµατος εισήχθη αρχικά από τον Jean PIAGET Biologie et Connaissance, Paris, Gallimard 1967, και αναφέρονταν στις αισθησιοκινητικές επιδεξιότητες που επιδεικνύουν τα παιδιά και τα οδηγούν στην εξερεύνηση του περιβάλλοντος. Ο Vergnaud επαναδιατύπωσε την έννοια του σχήµατος ορίζοντάς την ως τη «σταθερή οργάνωση της συµπεριφοράς αναφορικά µε µια κλάση δεδοµένων καταστάσεων». Με την έννοια του σχήµατος διακρίνουµε i) κλάσεις καταστάσεων για τις οποίες το υποκείµενο διαθέτει στο µνηµονικό του, σε καθορισµένη χρονική στιγµή της ανάπτυξής του και κάτω από ορισµένες συνθήκες, τις αναγκαίες ικανότητες για την άµεση αντιµετώπιση της κατάστασης και ii) κλάσεις καταστάσεων για τις οποίες το υποκείµενο δε διαθέτει όλες τις αναγκαίες δεξιότητες και είναι κατά συνέπεια υποχρεωµένο να αναστοχασθεί, να διερευνήσει, να διστάσει, να προβεί σε αποτυχηµένες προσπάθειες, οδηγώντας τελικά είτε στην επιτυχία είτε στην αποτυχία. G. VERGNAUD La théorie des champs conceptuels Recherche en Didactique des Mathématiques, 10(2 & 3)1990, pp Jean PIAGET Bärbel INHELDER La Genèse des Structures Logiques Élémentaires. Classifications et Sériations. Delachaux et Niestlé, (1959).

6 Στο ερµηνευτικό σχήµα που προτείνουν ο Piaget και οι συνεργάτες του έµφαση δίνεται στις σταθερές αντιληπτικές δοµές και στα σχήµατα δράσης που αυτές παράγουν. Η επιλογή τους υπαγορεύεται από τη σχετική αυτονοµία και τη σταθερότητα που εµφανίζουν µε την ηλικία του παιδιού. Ως τέτοιες αντιληπτικές δοµές προτείνουν τα γεωµετρικά σχήµατα και όλες στις πρωτόλειες οπτικές δοµές προκειµένου να µελετήσουν τους τύπος δεσµών που αναφέρονται στην ανάπτυξη των µορφών οργάνωσης που προεικονίζουν ορισµένες πλευρές των διεργασιακών δοµών των κλάσεων και των σχέσεων. Η έννοια της κλάσης εντάσσεται στο συγκείµενο της µελέτης στο βαθµό που ο µαθητής είναι ικανός i) να την ορίσει σε βάθος από το είδος και από την ειδοποιό διαφορά της ii) να την επεξεργάζεται σε έκταση (πλάτος) ανάλογα µε τις σχέσεις συµπερίληψης ή ένταξης. Η επιλογή των γεωµετρικών µορφών για τη µελέτη των εννοιών της ταξινόµησης και της διάταξης ενισχύεται και από την διαπίστωση του J. Bruner ότι η αντίληψη είναι µια πράξη κατηγοριοποίησης, αφού βασική λειτουργία της παραµένει η αναγνώριση του αντικειµένου και η αντιστοίχησή του σε µια γνωστή κλάση, εµφαίνοντας στο σηµείο αυτό το ρόλο των διαδοχικών οµοιοτήτων 7. εν υπονοείται εδώ η αυτόνοµη λειτουργία της κλάσης, αφού ως αφηρηµένο αντικείµενο δεν είναι αφ εαυτής αντιληπτή, αλλά η παρουσία της που µορφοποιείται από τη συλλογή των χωρικών γεωµετρικών αντικειµένων. Οι συλλογές σχηµάτων που χρησιµοποιούνται για τη µελέτη των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας περιλαµβάνουν χαρακτηριστικά ή σχέσεις που θεωρούνται αναγκαία για τη συγκρότησή τους. Ως τέτοια εννοούνται τα κοινά ποιοτικά χαρακτηριστικά των µελών της κλάσης όπως και η ειδοποιός διαφορά που επιτρέπει τη διάκρισή τους από µέλη άλλων κλάσεων. Ένα σηµαντικό µεθοδολογικό ερώτηµα που απασχόλησε την οµάδα του Piaget και που η έκβασή του επηρεάζει την εξαγωγή των συµπερασµών, αφορούσε στη διαπίστωση αν το παιδί κατανόησε τις εργασίες που έπρεπε να εκτελέσει και η άλλη στη διασάφηση ενός επιστηµολογικού προβλήµατος που αναφύεται στην πορεία του πειράµατος: αν οι σχέσεις µεταξύ των γεωµετρικών σχηµάτων έχουν µια συµβολική σηµασία (απορρέουν από µαθηµατική επεξεργασία συµβόλων που αναπαρίστανται από γεωµετρικά σχήµατα) ή παρεµβαίνουν αποτελεσµατικά στη συγκρότηση της κλάσης των γεωµετρικών σχηµάτων ως στοιχειώδεις 7 J. BRUNER Les processus de préparation à la perception in Logique et perception, chap. I (Etudes d Epistémologie génétique, vol. VI)

7 µορφές της κλάσης. Η οµάδα του Piaget κατέληξε στο συµπέρασµα ότι µια συλλογή σχηµάτων συνιστά ένα σχήµα χάρη στις σχέσεις που υπάρχουν µεταξύ των µελών της συλλογής (αφορούν στις σχέσεις µεταξύ αντικειµένων και όχι µόνο στις σχέσεις ένταξης και συµπερίληψης), ενώ οι συλλογές που δεν απαρτίζονται από σχήµατα διατηρούν µια αυτονοµία από κάθε σχηµατική αναπαράσταση ή ισοµορφία 8. Οι υποθέσεις εργασίας που θα πρέπει να επικυρωθούν ή να απορριφθούν αναφέρονται σε έναν συντονισµό των σχέσεων των µερών µε το σύνολο, µέσα από τις σχέσεις οµοιότητα ή διαφοράς που καθορίζουν το βάθος της κλάσης. Στις συλλογές σχηµάτων (π.χ γεωµετρικές) οι σχέσεις οµοιότητας ή διαφοράς προϋπάρχουν αλά δεν εφαρµόζονται παρά σε διαδοχικά αντικείµενα ή σε διαδοχικά ζεύγη αντικειµένων, χωρίς σύνδεση των σχέσεων του µέρους προς το σύνολο. Για την πραγµατοποίηση του πειράµατος η οµάδα χρησιµοποίησε υλικό από κυκλικές, τετραγωνικές, τριγωνικές, δακτυλιοειδείς ή ηµιδακτυλιοειδείς επιφάνειες από ξύλο ή πλαστικό µε διαφορετικά χρώµατα. Οι ερωτήσεις που απευθύνθηκαν στα παιδιά ήταν µε φθίνουσα σειρά I. i. ώσε µου τα αντικείµενα που δεν είναι στρόγγυλα ii. ώσε µου τα αντικείµενα που δεν είναι στρόγγυλα µπλε iii. ώσε µου τα αντικείµενα που δεν είναι µικρά στρόγγυλα µπλε II. i. ώσε µου τα αντικείµενα που δεν είναι µεγάλα κόκκινα III. i. ώσε µου όλα τα αντικείµενα εκτός από τα.. και τα ii. µε εξαίρεση τα. IV. i. ώσε µου τα αντικείµενα που δεν είναι µικρά άσπρα τρίγωνα ii.. Αυτά που δεν είναι µικρά τρίγωνα iii... αυτά που δεν είναι τρίγωνα κλπ Από τα παραπάνω ερωτήµατα ενδιαφέρουν εµφανίζουν οι αρνήσεις κλάσεων που περιλαµβάνουν δύο ποιοτικά χαρακτηριστικά Α 1 xa 2 (όπου Α 1 =στρόγγυλο και A 2 =µπλε ή Α 1 =τρίγωνο και A 2 =µικρό) Τα συµπεράσµατα στα οποία κατέληξε η οµάδα του Piaget είναι ότι η εξέλιξη της άρνησης είναι συνάρτηση της προόδου του εγκιβωτισµού. Σε 8 J. PIAGET B. INHELDER Ibid p. 27.

8 ένα ιεραρχικό σύστηµα εγκλεισµών ενδιαφέρον παρουσιάζουν η άρνηση σε σχέση προς το όλο (το συµπλήρωµα της κλάσης), η άρνηση ως προς την πλησιέστερη κλάση τα Β που δεν είναι Α, δηλ. η συµπληρωµατική κλάση Α ) 9. Σχεδιασµός δυναµικού περιβάλλοντος Μικροκόσµων για τη µελέτη των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας. Η εφαρµογή ενός δυναµικού περιβάλλοντος Μικροκόσµων που επιτρέπει τη µελέτη των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας βασισµένων σε συγκεκριµένα συλλογιστικά σχήµατα, όπως αυτά προκύπτουν από τις έρευνες γνωστικών ψυχολόγων, αναπτύχθηκε στο εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας του Ινστιτούτου Πολιτιστικής και Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας (ΙΠΕΤ) 10. Ως γλώσσα ανάπτυξης των Μικροκόσµων επιλέχθηκε η Java καθώς επιτρέπει τη δηµιουργία ευέλικτων µικρών εφαρµογών (applets) που µπορούν να λειτουργήσουν σε περιβάλλον ιαδικτύου ή εσωτερικού δικτύου. Επιπλέον µια εφαρµογή που σχεδιάζεται σε Java είναι αρκετά ισχυρή για να επιτρέψει την ανάπτυξη εφαρµογών που απαιτούν περίπλοκες ενέργειες, επιτρέπει σχετικά εύκολα βελτιώσεις, διορθώσεις και είναι ανεξάρτητη από λειτουργικό σύστηµα χάρη στην εικονική µηχανή που ενσωµατώνει ( Java Virtual Machine). Η εφαρµογή αυτή επιτρέπει διάφορες λειτουργίες όπως τη δηµιουργία ή τροποποίηση ασκήσεων την εµφάνιση των επιδόσεων των µαθητών τη δηµιουργία ταυτότητας ή αναγνώρισης του χρήστη τη χρήση ασκήσεων Η διεπιφάνεια χρήστη περιλαµβάνει λειτουργικά κουµπιά που επιτρέπουν τη δηµιουργία µιας βιβλιοθήκης γεωµετρικών σχηµάτων και µιας βιβλιοθήκης χρωµάτων. Τα κουµπιά επιλογής παρέχουν τη δυνατότητα πρόσθεσης ή απαλοιφής ενός συγκεκριµένου σχήµατος, σύνταξης ερωτήσεων του τύπου «Επέλεξε το σχήµα που δεν είναι (γεωµετρικό σχήµα) και δεν είναι (χρώµα)». 9 J. PIAGET B. INHELDER Ibid p Το προγραµµατιστικό µέρος της εφαρµογής έγινε, υπό την επίβλεψη του συγγραφέα, από τον Cedric NOTOT, φοιτητή στην Ecole Polytechnique του Παν/µίου της Nantes κατά τη διάρκεια τρίµηνης παραµονής του για πρακτική εξάσκηση στο ΙΠΕΤ.

9 Μετά τη δηµιουργία της άσκησης ο εκπαιδευτικός µπορεί να ζητήσει από τον µαθητή να εισαγάγει τα δεδοµένα του συµπληρώνοντας το ονοµατεπώνυµό του και την τάξη του.

10 Η εργασία που καλούνται να επιτελέσουν οι µαθητές περιλαµβάνει τρία συστατικά: µια εντολή, µια πρόταση και µια κατάσταση πραγµάτων. Η εντολή υπαγορεύει την κατάλληλη επιλογή γεωµετρικών σχηµάτων και εκφράζεται από µια πρόταση διατυπωµένη σε φυσική γλώσσα ενώ η κατάσταση πραγµάτων που περιγράφεται από την πρόταση αυτή είναι ένα µικρόκοσµος τα αντικείµενα του οποίου βρίσκονται σε ορισµένη σχέση. Η εµφάνιση των επιδόσεων των µαθητών µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους: είτε εµφάνιση των επιδόσεων ανά άσκηση για όλη την τάξη είτε εµφάνιση της επίδοσης συγκεκριµένου µαθητή.

11 Το Γνωστικό καθεστώς των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας και τα πρότυπα επεξεργασίας τους Η λειτουργία της πειραµατικής διερεύνησης των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας αποκαλύπτει ότι ο τρόπος µε τον οποίο εξελίσσεται η ικανότητα διαχείρισης της έννοιας της άρνησης ακολουθεί την εξελεγκτική πορεία της αναπαράστασης των αντικειµένων. Εξαρτάται ειδικότερα από τη δυνατότητα αντιστοίχισης των τιµών των κατηγορηµάτων στις ιδιότητες των γεωµετρικών αντικειµένων. Η σπουδαιότητα της ανάπτυξης ενός δυναµικού περιβάλλοντος για τη µελέτη και τη διδασκαλία των εννοιών της άρνησης και της συµπληρωµατικότητας αποδεικνύεται από το γεγονός ότι οι µεταβολές των γνωστικών καταστάσεων δε συνιστούν ένα τυχαίο πλαίσιο, αλλά παρεµβαίνουν καθοριστικά στην αναπαράσταση της άρνησης από τους µαθητές. Αυτό σηµαίνει ότι το εσωτερικό συγκείµενο του µαθητή προσδιορίζει διαφορετικές επεξεργασίες των εννοιών, αν και η κατάσταση από την άποψη της λογικής παραµένει η ίδια. Το ερώτηµα που καλείται να απαντήσει ο ερευνητής, αναφορικά µε την υπόθεση εργασίας που αναφέρεται στην εξελεγκτική πορεία εµπέδωσης των εννοιών, αφορά στην τυποποίηση των χαρακτηριστικών της επεξεργασίας των εννοιών για τις οποίες όµως ζητείται από το µαθητή να επιδείξει µια µη ρηµατική συµπεριφορά εξαγωγής του συµπληρωµατικού µέρους. Με όρους λογικής

12 το ερώτηµα συνοψίζεται ως εξής: πώς ο µαθητής µετατρέπει τον τελεστή της άρνησης, ο οποίος σε µια εντολή ανεύρεσης του συµπληρωµατικού είναι ενδο-προτασιακός ( Gc) ( όλα τα σχήµατα που δεν είναι [G, c] ) σε ένα ισοδύναµο ενδοπροτασιακό τελεστή αποκλεισµού C B. Τα παιδιά s δεν ακολουθούν ένα λογικό συµβολισµό σύµφωνα µε τους κανόνες της πράξης της λογικής άρνησης, αλλά µετατρέπουν την έκφραση αυτή σε µια πράξη συµπληρωµατικής κλάσης C B που συνίσταται στο σχηµατισµό δύο s συµπληρωµατικών υποσυνόλων (Το σύνολο αναφοράς Β και το αρνητικό υποσύνολο s) µε τη βοήθεια της πράξης σχηµατισµού της συµπληρωµατικής κλάσης 11. Με τον τρόπο αυτό η άρνηση µετατρέπεται σε θετική πρόταση δύο αµοιβαία αποκλειόµενων υποσυνόλων µε τη βοήθεια ενός σύνθετου λογισµού ισοδυναµιών. Αν και λογικά ισοδύναµες (ισοµορφία ανάµεσα στην Άλγεβρα Boole και στον κλασικό κατηγορικό λογισµό) οι δύο πράξεις δεν είναι γνωστικά ισοδύναµες 12. Οι µαθητές συλλογίζονται σύµφωνα µε όρους συµπληρωµατικών κλάσεων. Η γνωστική διερεύνηση των εννοιών συντάσσει πρωτόκολλα έρευνας σύµφωνα µε τρία κριτήρια: i) την έγκυρη εκτέλεση των εντολών η διάγνωση γίνεται µε τον έλεγχο της ενέργειας (ο µαθητής δεν επιλέγει σχήµα που δεν ανήκει στην κλάση ii) την µη ολοκλήρωση της ενέργειας iii) την τάξη εξαγωγής των στοιχείων, είτε µε επιλογή υποκλάσεων ή µε τυχαίο τρόπο. Από τα κριτήρια αυτά συνάγονται δύο τρόποι επίλυσης του προβλήµατος (εντολής) κατά τη διάρκεια της µάθησης: Ι) ένας τρόπος απαγόρευσης επιλογής που εκφράζει τη µετάβαση από την κατηγορηµατική άρνηση στη συµπληρωµατικότητα και II) ένας τρόπος απαγόρευσης, ενδεικτικός της αναγνώρισης δύο συµπληρωµατικών υποσυνόλων και εξ αυτού της κατοχής της έννοιας της συµπληρωµατικότητας. Για την ολοκλήρωση της διδασκαλίας των λογικών εννοιών το περιβάλλον µπορεί εύκολα να συµπληρωθεί από ασκήσεις που προτείνουν µια εργασία επαλήθευσης που συνίσταται στον προσδιορισµό της αλήθειας ή του ψεύδους µιας πρότασης. 11 Claude BASTIEN - Annie DESPRELS-FRAYSSE Aline PELISSIER Alain TETE Cognitive status of Logical Negation : Concurrent Processing Models Archives de Psychologie, 1994, 62, pp Aline PELISSIER & Alain TETE Analysis of the Logical Characteristics of a Complementation Task International Journal of Psychology, 1994, 29(2) pp

13 Η επιλογή ενός δυναµικού περιβάλλοντος επιτρέπει τη µελέτη λογικών εννοιών υπό καθεστώς ελεγχόµενων συνθηκών. Εξάλλου έχει επισηµανθεί ότι σε συνθήκες εργαστηρίου οι µαθητές έχουν την τάση να υιοθετήσουν τρόπους εκτέλεσης πράξεων παρόµοιες µε αυτών των Η/Υ προκειµένου να αποφύγουν να αντιµετωπίσουν απευθείας το πρόβληµα 13. Το περιβάλλον µελέτης των λογικών εννοιών που προτείνουµε επιτρέπει την επιβεβαίωση συµπερασµάτων που η έρευνα κατακύρωσε σε συνθήκες που τηρούσαν µε λιγότερο αυστηρό τρόπο πρωτόκολλα έρευνας. Η διδασκαλία και η µελέτη των λογικών εννοιών καθιστά πλέον εµφανή τον αναπτυξιακό κανόνα πως η κατάφαση προηγείται της άρνησης. Στην καταφατική περίπτωση το παιδί αναγνωρίζει ένα αντικείµενο του οποίου είχε ήδη την εµπειρία, ενώ στην αρνητική περίπτωση το παιδί αναγνωρίζει την απουσία (εξαφάνιση) ή διαφορά του αντικειµένου. Μια αποφατική συναρτησιακή σχέση απαιτεί µεγαλύτερη υπολογιστική ικανότητα από µια καταφατική συναρτησιακή σχέση. Η πράξη σύγκρισης στην καταφατική συναρτησιακή σχέση που αναφέρεται στην «οµοιότητα» ή «ανοµοιότητα» των αντικειµένων που ικανοποιούν τη συγκεκριµένη σχέση εκφράζεται ισοδύναµα µε τη σχέση «ανήκει» για τις καταφατικές συναρτησιακές σχέσεις ή «δεν ανήκει» για τις αποφατικές συναρτησιακές σχέσεις, δηλ αντίστοιχα µε τη σχέση ένταξης στην κλάση των αντικειµένων που ικανοποιούν τις ιδιότητες ή στη συµπληρωµατική της. Από την άλλη ψευδείς αρνητικές προτάσεις γίνονται πιο εύκολα αντιληπτές από αληθείς αρνήσεις εξ αιτίας της υποτίµησης που συνήθως επιδεικνύουµε στην αρνητική πληροφορία κατά το στάδιο της πρώιµης εννοιολογικής µάθησης 14. Αν και η έννοια της άρνησης, θεµελιώδης για τη λειτουργία της γλώσσας, κατακτάται στα πρώιµα παιδικά χρόνια, η αντίληψη της λογικής και αναπαραστατικής λειτουργίας της εµφανίζεται στην ύστερη παιδική φάση της νοητικής ανάπτυξης και εξαρτάται εν µέρει από την επινόηση των συµβολικών µέσων αναπαράστασής της P. C. WASON In Real Life Negatives are False Logique et Analyse 15(1972)pp P.C. WASON S. JONES Negatives: denotation and connotation Journal of Psychology, 54(1963), pp David R. OLSON The written representation of negation Pragmatics & Cognition 5(2) Στην εργασία αυτή συµπεραίνεται ότι ενώ η άρνηση είναι µέρος της προφορικής γλώσσας, η εννοιολογικοποίηση της απουσίας ενός πράγµατος ή µιας ιδιότητας, συνδέεται µε την επινόηση του συµβολισµού για την άρνηση.

14 SUMMARY A dynamical environment is developed in order to study and teach the logico-mathematical notions of negation and complementation. The whole project written in Java language allows the creation of exercises written in the form of tasks to be executed by the student. The task consists of selecting geometrical shapes, which are not of certain type and color. The interface is user friendly and allows the teaching staff to follow the score of the students and adapt the exercises to their teaching needs. The cognitive status of the logical notions of negation and complementation is thus considered here and the relation between the two concurrent processing modes is evaluated. RESUME Un environnement dynamique rédigé en langage Java est proposé afin d étudier et d enseigner les notions logiques de négation et de complément. L application permet la création d exercices, selon les besoins de l enseignant, en forme des taches à accomplir. Elles consistent à la découverte, parmi plusieurs formes, des figures géométriques qui ne sont pas de telle forme et de telle couleur. L enseignant peut suivre la performance des élèves et d adapter à tout moment la difficulté des taches. Le statut cognitif des notions de négation et de complément est mis en jeu par l intermédiaire de cette application et la relation entre les deux modes concurrentiels est évaluée.