ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΑ. Τ η ς έ κ δ ο σ η ς ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ & ΑΛΛΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΦΙΛΩΝ Κ.

Transcript

1 ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΦΙΛΩΝ Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ ΙΔΙΟΚΤΗΤΗΣ: ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΦΙΛΩΝ Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ Αρ. Φύλλου 54 και 3 ο Ηλεκτρονικό ΕΚΔΟΤΗΣ: ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΛΙΠΟΡΔΕΖΗΣ Φρουρίου ΚΟΜΟΤΗΝΗ ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ Τηλ.: Fax: info@karatheodori.gr Θέματα που πραγματεύεται η εφημερίδα: Δραστηριότητες συνδέσμου Επιστημονικά και άλλα ενδιαφέροντα γύρω από τα Μαθηματικά Αφιέρωμα σε μεγάλους μαθηματικούς από την ιστορία των Μαθηματικών Βιβλιοπαρουσιάσεις λογοτεχνικών ή επιστημονικών βιβλίων γύρω από τα Μαθηματικά Γρίφους Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών Αποφθέγματα Ρεπορτάζ Εκπαιδευτικά Μηνύματα Ασκήσεις Χιούμορ Συνεντεύξεις Θέματα Μαθηματικών Διαγωνισμών Ειδήσεις και Ανακοινώσεις για τα Μαθηματικά Τ η ς έ κ δ ο σ η ς Σ αυτό το τεύχος θα ήθελα να μεταφέρω την συγκίνησή μου από δύο φίλους του συνδέσμου μας. Ο ένας είναι πάνω από 80 ετών με 9 εγγόνια, ο οποίος θέλησε να κάνει μία χορηγία προς τον σύνδεσμό μας προκειμένου να μην σταματήσει το έργο μας. Φίλοι μου, σε περίοδο οικονομικής κρίσης όταν συμβαίνουν αυτά σημαίνει ότι ο πολιτισμός και ο ελληνισμός είναι λέξεις και έννοιες ΑΘΑΝΑΤΕΣ. Διότι τα 9 εγγόνια του κυρίου Τ.Ν. θα έχουν διδαχτεί αυτά τα πεπραγμένα από τον παππού τους και αυτά θα πράξουν για να συνεχιστεί ο πολιτισμός, η ανθρωπιά και το φιλότιμο που είναι η πεμπτουσία για τον ελληνισμό. Ένας άλλος φίλος του συνδέσμου από το εξωτερικό και διακεκριμένος επιστήμονας έπραξε το ίδιο. Η οικουμενικότητα του ελληνισμού οφείλεται στο γεγονός ότι οι Έλληνες ως έθνος ενώ κατείχαν μικρό γεωγραφικά χώρο σκέφτηκαν να επικρατήσουν σ όλη την οικουμένη με το υγρό στοιχείο του πλανήτη κατέχοντας ακόμη και σήμερα την 1 η θέση στον εμπορικό στόλο. Αγαπητοί μου φίλοι μπορεί να έχουμε ελαττώματα αλλά οι αρετές μας όπως το ελληνικό φιλότιμο θα κρατήσουν αθάνατη την Ελλάδα και ο Ελληνισμός θα είναι, όπως λέει και ο φίλος και συνεργάτης Ν. Λυγερός διαχρονικά μια μεγάλη προσφορά στην ανθρωπότητα. ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Ο Εκδότης ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ & ΑΛΛΑ Με πολύ χαρά και συγκίνηση παίρνουμε ενθαρρυντικά μηνύματα για την εφημερίδα από σημαντικούς ανθρώπους από την Ελλάδα και το εξωτερικό. Μοιραζόμαστε μαζί σας τη χαρά αυτή δημοσιεύοντας ανωνύμως ένα ανθολόγιο από αυτά τα μηνύματα Κύριε Λιπορδέζη Καλημέρα σας Όλοι όσοι σεβόμαστε και εκτιμούμε την προσπάθειά σας για το έργο του Καραθεοδωρή, χαρήκαμε πολύ για την ηλεκτρονική έκδοση της Εφημερίδας του Συνδέσμου. Μ.Κ. Θανάση μπράβο για την ηλεκτρονική σου προσπάθεια! Θα προωθήσω την έκδοση για να εγγραφούν και άλλα μέλη στον σύνδεσμο που είσαι ο πρωτεργάτης. Φιλιά από την Αθήνα Με εκτίμηση Α.Α. Έλαβα την ηλεκτρονική έκδοση της εφημερίδας σας. Εκφράζω τα θερμά μου συγχαρητήρια στους συντελεστές της έκδοσης αλλά και στην ποιότητα του περιεχομένου. Είναι καιρός να προβάλλουμε τους Έλληνες επιστήμονες οι οποίοι τυγχάνουν παγκόσμιας αναγνώρισης και δυστυχώς παραμένουν άγνωστοι στο ευρύ Ελληνικό κοινό. Χ.Τ. Σας ευχαριστώ πολύ για την ευγενή σας κίνηση να μου αποστείλετε την ηλεκτρονική εφημερίδα του Συνδέσμου Φίλων Καραθεοδωρή. Με εκτίμηση Ε.Κ. Πως ο Ευκλείδης απέδειξε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός α = β +γ, α, β, γ ακέραι οι πυθαγορείων τριάδων Η απόδειξη του Ευκλείδη ξεκινάει με την παρατήρηση ότι η διαφορά διαδοχικών τετραγώνων αριθμών είναι πάντοτε περιττός αριθμός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΑ Έτσι λοιπόν καθένας από τους άπειρους περιττούς αριθμούς μπορεί να προστεθεί σε κάποιο τετράγωνο αριθμού σχηματίζοντας κάποιο άλλο τετράγωνο π.χ. έχουμε 3 5 οπότε 3 5. Όμως «κάποιοι» από τους περιττούς είναι και οι ίδιοι τετράγωνα. Όταν λέμε κάποιοι αυτοί είναι μη πεπερασμένο σύνολο «Μέρος του απείρου είναι άπειρο». Δηλαδή άρα (πυθαγόρεια τριάδα) ή ισοδυναμεί με Άρα μπορούμε να βρούμε άπειρες πυθαγόρειες τριάδες. Όμως με εκθέτη μεγαλύτερο του δεν υπάρχουν τέτοιες τριάδες (Θ. Fermat,,, ν ). Τι αποδεικνύουν οι πυθαγόρειοι με το παρακάτω σχήμα: Αποδεικνύουν οι πυθαγόρειοι μ αυτό το σχήμα ότι το τετράγωνο ενός αριθμού είναι άθροισμα διαδοχικών περιττών αριθμών π.χ. 1 3, , δηλαδή το ο τετράγωνο του σχήματος αποτελείται από 1+3 κύκλους ή 4 κύκλους. Ομοίως το 3 ο τετράγωνο αποτελείται από κύκλους ή αλλιώς 3 9 κύκλους κ.ο.κ Θεώρημα Κ. Καραθεοδωρή Αν Ο τυχαίο σημείο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει: ΟΑ ΕΒΟΓ + ΟΒ ΕΑΟΓ + ΟΓ ΕΑΟΒ = 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Σχόλιο 1 ο Υπάρχουν πολλοί ακόμη τρόποι επίλυσης του θεωρήματος. Σχόλιο ο Μια Γεωμετρική απόδειξη του Θ. Καραθεοδωρή με διανυσματικό λογισμό συναντήσαμε στο 3ο τεύχος του περιοδικού Απολλώνιος που εκδίδει το παράρτημα Ημαθίας της ΕΜΕ. Την έκανε ο Μαθηματικός Θεόφιλος Χρυσοστομίδης, την οποία παραθέτουμε ως μνημόσυνο αφού δυστυχώς πρόωρα σε ηλικία 46 ετών εγκατέλειψε τη ζωή και φυσικά την αγάπη και το μεράκι του για τα Μαθηματικά. Η ΑΟ τέμνει τη ΒΓ στο Δ. Επειδή τα διανύσματα, δεν είναι συγγραμμικά, το διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των,, δηλαδή: (1), όπου τα Β', Γ' βρίσκονται μεταξύ Α, Β και Α, Γ αντίστοιχα, άρα: (1) 0<λ<1, 0<κ<1. Είναι, επίσης και 1 επειδή τα Δ, Β, Γ είναι συνευθειακά: 1. Άρα, 1 () με 0 1.

2 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ & ΑΛΛΑ Mας παρουσιάσατε μία εξαιρετική ηλεκτρονική έκδοση, σεβαστέ Εκδότη. Τι πιο όμορφο να μελετά κανείς αφιερώματα για τον κορυφαίο Έλληνα μαθηματικό των νεότερων χρόνων. Δεν ξέρω πραγματικά αν οι εκδηλώσεις μνήμης και τιμής για την οικογένεια Καραθεοδωρή, θα είναι αρκετές για την προσφορά τους στον ελληνισμό. Εμείς όμως οφείλουμε να συνεχίσουμε να επαινούμε την προσφορά της οικογένειας Καραθεοδωρή καθώς δεν αποτελεί κενοδοξία, αλλά ότι το ελάχιστο. Με εκτίμηση, Δ.Κ. Νομίζω ότι πρέπει να διοργανώσετε ημερίδες σε όλες τις μεγάλες πόλεις της Ελλάδος, αρχής γινομένης από Αθήνα, Θεσ/νικη, κ.λ.π. Μετά τιμής. Θ.Κ. Αγαπητέ κ Λιπορδέζη, Από το Λονδίνο σας στέλνω τις θερμές μου ευχαριστίες και τα συγχαρητήρια μου για τη έκδοση της ηλεκτρονικής εφημερίδας με την οποία μπορούμε να ενημερωνόμαστε για τις δραστηριότητες του συνδέσμου και να την διαδίδουμε εύκολα σε γνωστούς καθώς και στα σχολεία της ελληνικής παροικίας εδώ στη Βρετανία ώστε να γνωρίσουν και τα παιδιά τον σπουδαίο έλληνα μαθηματικό, να νοιώσουν περηφάνεια για τους μεγάλους έλληνες της διασποράς και να παραδειγματιστούν από το έργο και τη ζωή του ώστε να φτιάξουν σωστά πρότυπα. Θα μοιράσω πολλά αντίγραφα της εφημερίδας στο ελληνικό μας σχολείο Αγίου Γεωργίου στο Kingston το Σάββατο και θα έρθω και σε επικοινωνία με την προϊσταμένη της ελληνικής εκπαιδευτικής αποστολής στην ελληνική πρεσβεία για να το προωθήσει και σε όλα τα σχολεία. Να είστε καλά, Με εκτίμηση, Ε.Χ. Αγαπητέ κύριε Λιπορδεζη! Και πάλι θερμά συγχαρητήρια για το έργο σας! Κάθε φορά που λαμβάνω την εφημερίδα σας, χαίρομαι να διαβάζω για τις δραστηριότητες του συλλόγου! Θ.Τ. Ευχαριστώ πολύ. Καλή αρχή και καλή δύναμη Γ.Λ. Σας υπέρ ευχαριστω για την τόσο ενδιαφέρουσα έκδοση. Σας εύχομαι κάθε καλό. Από Κύπρο Χ.Χ. ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΠΟΛΥ ΠΟΥ ΜΕ ΘΥΜΑΣΤΕ Μ.Σ. Εκλεκτέ μου φίλε Σάκη, ένοιωσα την ανάγκη να σου στείλω αυτό το μήνυμα, σε ένδειξη εκτίμησης προς το πρόσωπό σου Γ.Κ. Κύριε Λιπορδέζη, Χριστός Ανέστη! Σας ευχαριστώ για τη φροντίδα σας στην αποστολή της ηλεκτρονικής Εφημερίδας σας. Το έργο σας φωτίζει και το δικό μας δρόμο! Να είστε καλά Α.Ν. Σας ευχαριστώ για το φύλλο της εφημερίδας 5, έλαβα το . Χ.Π. Προς τη Σεβαστή Διοίκηση του Συνδέσμου Φίλων Καραθεοδωρή, Με αφορμή την ηλεκτρονική αποστολή του ου τεύχους της άκρως ενδιαφέρουσας εφημερίδας "Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή", θα θέλαμε να δεχθείτε τις ειλικρινείς και εγκάρδιες ευχές μας για Καλή Ανάσταση! Οι παλαιοί σωστά συνήθιζαν να λέγουν "υγειά μου, πλούτη μου". Πολλή υγεία ευχόμαστε σε εσάς προσωπικά και τις οικογένειές σας. Τα υπόλοιπα με τη δύναμη του Κυρίου μας, δύναται να πραγματοποιηθούν εφόσον του Έχουμε απόλυτη εμπιστοσύνη περί της Υπάρξεώς Του -της ιστορικότητας του Προσώπου Του- και των λόγων/έργων Του -μη αμφισβήτηση της Θεότητας Του-. Θα μας ενδιέφερε δε, να μας κρατήσετε ενήμερους για το Ινστιτούτο Μεταπτυχιακών Σπουδών που σκοπό θα έχει την έρευνα των εργασιών του Κ. Καραθεοδωρή και του Α. Αϊνστάιν και το πως δυνάμεθα να δραστηριοποιηθούμε σε αυτό. Με το δέοντα σεβασμό, Δ.Κ. Είναι τώρα, ( ) ( ) ( ) ( ) Όμως, (3) ( ) 1 1 και και επειδή, ( ) ( ), ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΑ λόγω του παραλληλόγραμμου, προκύπτει: 3 ( )( ), οπότε ( ). Επομένως, η σχέση (1) γράφεται: 4 ( ) ( ) Επομένως, το 1 ο μέλος της σχέσης που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται: Σχόλιο 3ο Ο Καθηγητής του πανεπιστημίου της Lyon μαθηματικός κ. Νίκος Λυγερος και ερευνητής του έργου του Κ. Καραθεοδωρή μας έστειλε ένα σχόλιο του J.H. CONWAY για το θεώρημα αυτό το οποίο παραθέτουμε. «Δεν θα το έλεγα ακριβώς αλλά είμαι σίγουρος ότι ο μεγάλος Καραθεοδωρή δε θα υποστήριζε ότι είναι θεωρία του, γιατί ένα ισοδύναμο αποτέλεσμα (σε πιο μεγάλη γενίκευση) είναι στο Grassman's Ausdehnungs'lehre και νομίζω ότι υπήρχε στο Mobius' little book που σχετίζεται με το βαρυκεντρικό λογισμό. Η κεντρική ιδέα του βαρυκεντρικού λογισμού είναι η χρήση βαρυκεντρικών συντεταγμένων, και ορίζοντας την διάσταση (x : y : z) είναι συντεταγμένες του Ρ μόνο αν το Ρ είναι το κέντρο βάρους των μαζών χ, y, z που τοποθετούνται στις κορυφές Α, Β, Γ του τριγώνου. Τώρα ο Mobius αναφέρει ότι μπορούν οι μάζες αυτές να είναι η περιοχή των ΒΟΓ, ΓΟΑ, ΑΟΒ (έτσι μπορεί οι συγκεκριμένες φυσιολογικά αργότερα να ονομάστηκαν "areal" συντεταγμένες). Τώρα το αποτέλεσμα 0 υπάρχει στο Grassman με γενικεύσεις, ως τμήμα της exterior άλγεβρας και από τότε που οι έννοιες βαρυκεντρικές και areal ήταν γνωστό ότι είναι ισοδύναμες, μπορούμε με σιγουριά να υποστηρίξουμε ότι ο Καραθεοδωρή, προφανώς προσέγγισε αυτό το πρόβλημα σαν γεωμετρική «έκδοση» του θεωρήματος που ήταν αρκετά γνωστό στους περισσότερους ακαδημαϊκούς της εποχής του». Δυστυχώς, αυτά δεν είναι γνωστά σε πολλούς μαθηματικούς σήμερα. Θυμάμαι μια ιστορία του Klein, σε σχέση με την απαγόρευση που υπήρχε στα λύκεια για τη διδασκαλία του calculus (λογισμού) στην Γερμανία γιατί κάποιος στο Υπουργείο Παιδείας υποστήριζε ότι δεν είναι προσεκτική και χωρίς ιδιαίτερη προσοχή στις λεπτομέρειες. Αυτό σήμαινε ότι τα βιβλία διαφόρων συγγραφέων ήταν αναγκασμένα να αποφύγουν το συμβολισμό και την ορολογία αυτή, αλλά κατάφεραν να το ξεπεράσουν παρουσιάζοντας τα βασικά επιχειρήματα στην γεωμετρική «έκδοση» που δεν ήταν αναγνωρίσιμα α- πό τους υπαλλήλους του Υπουργείου. Σαν αποτέλεσμα τα «αρχικά» θεωρήματα του λογισμού ήταν όλα «κρυμμένα» από τους συγγραφείς στα βιβλία τους. Σχόλιο 4ο Θεώρημα Καραθεοδωρή υπάρχει και στη θεωρία του μέτρου και στη μετροθεωρία πιθανοτήτων. Θ. Καραθεοδωρή. Εάν Ρ είναι μία πιθανότητα επί του (Ω, F) όπου F σώμα, τότε υπάρχει πιθανότητα Ρ* επί του πεδίου (Ω, Κ, F) που προεκτείνει την Ρ. Έτσι Ρ*(Α)=Ρ(Α) για κάθε AF όπου Ρ* μονοσήμαντως ορισμένη. Σχόλιο 5ο Θεώρημα Καραθεοδωρή υπάρχει στη θερμοδυναμική και διδάσκεται στους Φυσικούς. (4) 0.

3 ΑΦΙΕΡΩΜΑ: Για τον Αρχιμήδη οι ιστορικοί και συγγραφείς έχουν να αποδώσουν τα σπουδαιότερα εύσημα και να γράψουν τα περισσότερα κοσμητικά επίθετα όπως, εξέχουσα μαθηματική αγχίνοια, ο πολυμελέστερος νους, μεγαλύτερη μαθηματική διάνοια, ο μέγας εφευρέτης, ο ευρυμαθέστερος των μαθηματικών, η αξεπέραστη μαθηματική διάνοια όλων των εποχών, ο πιο λαμπρός αστέρας των μαθηματικών και πολλά άλλα συναφή. Χαρακτηρίζεται ως πανεπιστήμων Μαθηματικός Μηχανικός, Φυσικός και Φιλόσοφος. Όμως πέρα από το χάρισμα του μυαλού που είχε ο Αρχιμήδης πρέπει να προσθέσουμε ότι αγάπησε τα Μαθηματικά τόσο πολύ που η αφοσίωσή του σ αυτά παρέμεινε μνημειώδης στην ιστορία. Τούτο καταμαρτυρεί το παρακάτω ιστορικό γεγονός. Οι Ρωμαίοι εισβάλλουν στις Συρακούσες με τον στρατηγό Μάρκελλο. Ο κόσμος πανικόβλητος τρέχει να σωθεί πίσω από τα τείχη. Ο Αρχιμήδης βρίσκεται επί ώρες με καθολική αφοσίωση και συγκέντρωση πάνω στο γεωμετρικό πρόβλημα. Ο Ρωμαίος στρατιώτης βρίσκεται ήδη δίπλα του σηκώνοντας το σπαθί του και πατώντας τα σχήματά του. Αυτός τον παρατηρεί με αυστηρό ύφος «ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΕ». Αυτή ήταν και η τελευταία φράση του μεγάλου επιστήμονα. Έχασε τη ζωή του για την αγάπη του, στη Γεωμετρία, την απόδειξη και την επιστημονική ανακάλυψη. Πόση άραγε να ήταν η αγάπη αυτού του ανθρώπου για τα μαθηματικά και πως μπορεί κανείς να τη μετρήσει με λόγια ή με άλλες μονάδες μέτρησης; Θα αναρωτηθούν στο πέρασμα των αιώνων πολλοί μεταγενέστεροι μαθηματικοί. Για την σπουδαία μαθηματικό Sophie Germain, το ερώτημα αυτό έγινε η αιτία να αγαπήσει τα Μαθηματικά και να αφιερώσει τη ζωή της σ αυτά. Σκεφτόταν πως για να φτάσει ο Αρχιμήδης να αψηφήσει και τον θάνατο ακόμη, πάνω στην προσπάθεια να λύσει το πρόβλημα, θα πρέπει τα Μαθηματικά να είναι η ομορφότερη και η πιο γλυκειά ενασχόληση για κάποιον άνθρωπο. Η ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ Ο Αρχιμήδης γεννήθηκε το 87 π.χ. στις Συρακούσες. Ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία και συγγενής του βασιλιά των Συρακουσών, του Ιέρωνα του ου. Εκτός από μαθηματικός ήταν μηχανικός, αστρονόμος και εφευρέτης. Πήγε και αυτός στην Αλεξάνδρεια και σπούδασε μαθηματικά με δασκάλους τους διαδόχους του Εύδοξου. Η Αλεξάνδρεια την εποχή εκείνη ήταν το σπουδαιότερο πνευματικό κέντρο που συγκέντρωνε τις μεγαλύτερες διάνοιες του τότε γνωστού κόσμου. Εκεί γνωρίστηκε και συνδέθηκε με φιλία με τον μαθηματικό-αστρονόμο ΚΟΝΩΝΑ ΤΟΝ ΣΑΜΙΟ. Επιστρέφοντας ο Αρχιμήδης στις Συρακούσες αρχίζει το συγγραφικό του έργο. Η γραφή του χαρακτηρίζεται από την αυστηρή ακριβολογία και περιστρέφεται γύρω από τα καθαρά μαθηματικά όπως η Αριθμητική, η Γεωμετρία υπολογισμοί εμβαδών κλπ. Όμως η μαθηματική αυτή διάνοια δεν μένει μόνο στο θεωρητικό υπόβαθρο. Ο εφευρετικός αυτός νους προχωρεί στο χώρο των εφαρμοσμένων μαθηματικών και κάνει τη θεωρία πράξη. Έτσι με τις γνώσεις του πάνω στους μοχλούς κατασκευάζει πρωτοποριακά για την εποχή όπλα, τους γνωστούς καταπέλτες με τους οποίους ο Ιέρων αντιμετωπίζει με επιτυχία την πολιορκία των Συρακουσών από τον Μάρκελο. Μπορούσε να εκσφενδονίζει πέτρες βάρους 80 περίπου κιλών η κάθε μία, και βέλη 1 πήχεων σε απόσταση 180 μ. Αυτή τη μηχανή, όπως και τον Αιγυπτιακό Κοχλία εγκατέστησε ο Αρχιμήδης στο μεγαλύτερο πολεμικό πλοίο, που κατασκευάστηκε στις Συρακούσες υπό την επίβλεψή του. Α Ρ Χ Ι Μ Η Δ Η Σ Συρακούσες 87 π.χ. 1 π.χ. ΛΙΘΟΒΟΛΟΣ ΜΗΧΑΝΗ Το πλοίο αυτό το δώρισε ο τύραννος της πόλης Ιέρων στον βασιλιά της Αιγύπτου Πτολεμαίο. Στην αρχή ο Ιέρων ονόμασε το πλοίο «Συρακοσία», όταν όμως έγινε η καθέλκυσή του, του άλλαξε το όνομα σε «Αλεξανδρίς. Άλλη φορά πάλι καταφέρνει με την κατασκευή τροχαλίας να ανυψώσει μόνος του ολόκληρο πλοίο και να αναφωνήσει την πασίγνωστη φράση: «δòς μοί πᾷ στῶ καί τάν γᾶν κινάσω», σε βαριά δωρική διάλεκτο, που σημαίνει: δώσε μου σημείο να σταθώ και μπορώ και τη Γη να την κινήσω. Μηχανισμοί γερανών χρησιμοποιούταν πολλές φορές από τους εισβολείς για να προσεγγίσουν το ύψος των τειχών με στρατό. Κατάφερνε να πιάνει τα καράβια που πολιορκούσαν την πόλη του και είτε να τα ανυψώνει ανατρέποντάς τα, είτε να τα αφήνει να ξαναπέσουν από ύψος στην θάλασσα προκαλώντας τους σοβαρές ζημιές. Άλλη φορά ο βασιλιάς ζητά από τον Αρχιμήδη να βρει ένα τρόπο για να γνωρίζει τυχόν νοθεία στα χρυσά νομίσματα και κοσμήματα. Ο έξοχος εφευρέτης που διαρκώς σκέφτεται, δεν αργεί να το ανακαλύψει. Καθώς μπαίνει για μπάνιο στη γεμάτη μπανιέρα του παρατηρεί να ξεχειλίζει νερό ίσο με το βάρος του. Έχει έτσι ανακαλύψει τον 1ο νόμο της υδροστατικής και τον τρόπο ν ανακαλύψει τη νοθεία του χρυσού. Επειδή το ενδιαφέρον του και η αγάπη για την απόδειξη είναι πάνω απ όλα, ο εφευρέτης δεν διστάζει να βγει έξω στους δρόμους γυμνός και να φωνάζει γνωστό σε όλους ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ. Το αραιόμετρο είναι όργανο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της πυκνότητας και της περιεκτικότητας υγρών. Αποτελούνται συνήθως από ένα κλειστό γυάλινο σωλήνα, που το επάνω άκρο του είναι επίμηκες και έχει μία κλίμακα. Στο κάτω μέρος ο σωλήνας γίνεται πλατύτερος και περιέχει ορισμένη ποσότητα από σκάγια ή υδράργυρο, για την αύξηση του βάρους του οργάνου. Αν περιέχει υδράργυρο το αραιόμετρο είναι δυνατό να μετασχηματιστεί κατάλληλα, ώστε εκτός από την πυκνότητα του υγρού, να δίνει και τη θερμοκρασία του. Για να μετρήσουμε τη πυκνότητα ενός υγρού, βυθίζουμε το όργανο κάθετα σ' αυτό και το αφήνουνε να ισορροπήσει. Η ένδειξη της κλίμακας που βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού είναι και η ζητούμενη πυκνότητα. ΓΕΡΑΝΟΙ ΑΡΑΙΟΜΕΤΡΟ Η λειτουργία των αραιόμετρων στηρίζεται στην αρχή του Αρχιμήδη. Δηλαδή όταν ένα σώμα (στην προκειμένη περίπτωση το αραιόμετρο) ισορροπεί μέσα σε υγρό, βυθίζεται τόσο λιγότερο, όσο πυκνότερο είναι το υγρό. Με κατάλληλο μετασχηματισμό του κάτω μέρους του οργάνου και με χρησιμοποίηση κατάλληλης ποσότητας υδραργύρου, μπορούμε να κατασκευάσουμε αραιόμετρα που μετρούν πυκνότητα υγρών ελαφρότερων του νερού ή και υγρών βαρύτερων του νερού. Τα αραιόμετρα της δεύτερης κατηγορίας ονομάζονται ειδικότερα πυκνόμετρα. Στον Αρχιμήδη επίσης αποδίδεται η ανακάλυψη του κοχλία με τον οποίο αντλούσε νερό περιστρέφοντας ένα χειροκίνητο στρόφαλο που χρησιμοποιήθηκε ευρέως για την μεταφορά νερού σε διάφορες περιοχές. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται έως σήμερα σ όλο τον πλανήτη. 3

4 Συνέχεια αφιερώματος Α Ρ Χ Ι Μ Η Δ Η Σ 4 Αφορμή για την εφεύρεση του οργάνου (όπως προαναφέρθηκε) δόθηκε στον μεγάλο μαθηματικό όταν ο τελευταίος επισκέφθηκε την Αίγυπτο μετά από πρόσκληση του Πτολεμαίου Β του Φιλάδελφου. Εκεί εμπνεύστηκε τον κοχλία και τον κατασκεύασε στην προσπάθειά του να βοηθήσει τους χωρικούς να αντλήσουν νερό από το Νείλο. Άλλη ανακάλυψή του είναι το ατμοτηλεβόλο. Πολεμικό όπλο που εκτόξευε μπάλες βάρους ενός ταλάντου (περίπου 3 χλγμ.) σε απόσταση 6 σταδίων (περίπου μ.). Λειτουργούσε με την ατμοσυμπίεση. Είναι το πρώτο παγκοσμίως όπλο που λειτουργούσε με ατμό. Το εφεύρε ο Αρχιμήδης στη διάρκεια της πολιορκίας των Συρακουσών από τους Ρωμαίους (13-11 π.χ). ΑΤΜΟΤΗΛΕΒΟΛΟ Ένα άλλο επίτευγμα του Αρχιμήδη είναι τα εμπρηστικά κάτοπτρα, όπου συγκεντρώνοντας με τα κάτοπτρα τις ηλιακές ακτίνες κατεύκασε τα πλοία των Ρωμαίων που πολιορκούσαν τις Συρρακούσες. Ο Αρχιμήδης έστρεψε την η εφευρετική του μεγαλοφυΐα του στο μεγάλο πρόβλημα το χρόνου. Τα ηλιακά ρολόγια δεν θα μπορούσαν να μετρήσουν το χρόνο τη νύχτα ή όταν είχε συννεφιά. Το υδραυλικό ρολόι που ο Αρχιμήδης επινόησε χρησιμοποίησε την ελεύθερη πτώση του νερού για να κινήσει τους δείκτες που έδειχναν τον χρόνο. Η αλλαγή στη στάθμη ύδατος μετράει το πέρασμα του χρόνου, και έχει σχέση με ένα έξυπνο σύστημα που ρύθμιζε το ποσοστό αλλαγής της ροής του νερού, σύμφωνα με την εποχή. Άλλη ανακάλυψή του είναι το δρομόμετρο. Είναι μια συσκευή που μετρά την απόσταση που διάνυσε ένα κινούμενο όχημα. Το μυστικό του μηχανήματος αυτού ήταν οι οδοντωτοί τροχοί. Ένας οδοντωτός τροχός, είναι ένας τροχός με προεξοχές γύρω, γύρω σαν δοντάκια, που είναι συνδεδεμένος με άλλο οδοντωτό τροχό και αυτός με άλλο και ο ένας μεταδίδει στον άλλο την κίνηση του. Ο τελευταίος τροχός είναι συνδεδεμένος με ένα δείκτη, η μετακίνηση του οποίου μετρά την απόσταση που διανύθηκε. Αν ο πρώτος οδοντωτός τροχός είναι συνδεδεμένος με τον τροχό της άμαξας, τότε μαζί με την άμαξα κινούνται διαδοχικά και οι υπόλοιποι οδοντωτοί τροχοί καθώς και ο δείκτης, που ανάλογα με την κίνηση των τροχών μετακινείται και καταγράφει την απόσταση που διάνυσε το όχημα Ο υπολογισμός του θρυλικού πλέον αριθμού π είναι έργο του Αρχιμήδη ενώ θεωρείται ο πρόδρομος του διαφορικού λογισμού που με τους υπολογισμούς του και τον τρόπο που τους κάνει βάζει τα θεμέλια για τον υπολογισμό του ορίου, οπότε και της παραγώγου και του ολοκληρώματος που όμως θα χρειαστούν 800 χρόνια!!! μετά από το θάνατό του το (1 π.χ.) για να θεμελιωθούν οι έννοιες αυτές, και να εκτιναχτεί η μαθηματική γνώση σε δυσθεώρητα ύψη. Να ένας ακόμη λόγος για να τον αποδίδονται τα βέλτιστα κοσμητικά επίθετα για το μεγαλύτερο αυτό Έλληνα σοφό, που τολμά να σπάσει το κατεστημένο του Πλατωνικού ιδεώδους σύμφωνα με το οποίο η γνώση δεν πρέπει να συνδυάζεται με τις τεχνικές εφαρμογές της. Σπουδαίες οι γραφές του και γύρω από τη Γεωμετρία. Ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό της παραβολής, θέματα μετρικής Γεωμετρίας, Στερεομετρίας. Θέμα που αγάπησε ιδιαίτερα και περιγράφει στο βιβλίο του «μέθοδος» είναι η εγγραφή σφαίρας σε κύλινδρο ελαχίστου όγκου όπου ο όγκος της σφαίρας είναι τα /3 του όγκου του κυλίνδρου. Αυτό το σχήμα υπήρξε χαραγμένο στον τάφο του Αρχιμήδη και έγινε αφορμή ν ανακαλυφθεί ο τάφος του σε μελλοντικές ανασκαφές. Σημειωτέον ο κατακτητής Μάρκελος αναγνώριζε την αξία του μεγάλου σοφού και ζήτησε να τον θάψουν με μεγάλες τιμές χαράσσοντας και το εν λόγω σχήμα. Αρκετή δόξα πρόσφερε στον Αρχιμήδη και η εργασία του περί «ελίκων» στην οποία γίνεται μεθοδική μελέτη των καμπυλών που περιγράφονται με εξισώσεις σε πολικές συντεταγμένες. Μεγάλης σπουδαιότητας είναι και τα δύο βιβλία του περί «επιπέδων ισορροπιών» στα οποία περιέχεται και μία εργασία του με τίτλο τετραγωνισμός της παραβολής που αναφέραμε παραπάνω. Τα βιβλία αυτά αποτελούν και την πρώτη επιστημονική έρευνα της Στατικής επιστήμης. Αρχίζει με την ισορροπία ευθείας ράβδου (βαρεία ευθεία) σε κατακόρυφο υπομόχλιο και συνεχίζει με εύρεση κέντρων βάρους παραλληλογράμμου, τριγώνου, τραπεζίου έως και παραβολικού χωρίου. Ο Αρχιμήδης με τα βιβλία του «περί επιπέδων ισορροπιών» γίνεται ο θεμελιωτής της Στερεομετρίας ενώ με τα δύο βιβλία του «περί των εν ὕδατι ἐφισταμένων ἢ περί ỏχουμένων» έθεσε τις βάσεις της Υδροστατικής. Γι αυτό το έργο ο μεγάλος Lagrange χρόνια μετά θα υποστηρίξει την αξία του Αρχιμήδη λέγοντας ότι «οι νεότεροι τίποτε δεν άλλαξαν και ελάχιστα πρόσθεσαν». Έγραψε επίσης μία πραγματεία για τις κωνικές τομές και μία άλλη «περί ημικανονικών πολυέδρων». Επίσης μία συλλογή προτάσεων στοιχειώδους γεωμετρίας υπάρχει στο βιβλίο του «Λήμματα». Τελειώνοντας την επιγραμματική αναφορά ενός μέρους του έργου του Αρχιμήδη θα τελειώσουμε την βιογραφική του αναφορά όπως την αρχίσαμε: ο G. Wallis ορθώς είπε ότι «ο Αρχιμήδης υπήρξε άνδρας εκπληκτικής αγχίνοιας, ο οποίος έθεσε πρώτος τα θεμέλια όλων εκείνων των επινοήσεων για τις οποίες καυχάται η εποχή μας». Εμείς πιστεύουμε πως είναι η προσωπικότητα που προσδίδει στην ελληνική φυλή την πατρότητα αφενός της Μαθηματικής επιστήμης και αφετέρου την παγκόσμια αναγνώριση και κύρος στο χώρο της κορυφαίας αυτής επιστήμης, της βασιλεύουσας όλων των επιστημών. Αυτό το μπρούτζινο άγαλμα του Αρχιμήδη είναι στο Παρατηρητήριο Archenhold στο Βερολίνο. Γλυπτό του Gerhard Thieme που το παρουσίασε το 197.

5 ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΑ 5 ΑΝΑΜΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΡΕΛΘΟΝ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ ΑΠΟ ΤΟ 19ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. ΣΤΗΝ ΚΟΜΟΤΗΝΗ, ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΚΥΡΗΞΕ Η ΑΕΙΜΝΗΣΤΗ ΚΟΡΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ Η κόρη του Κ.Καραθεοδωρή κηρύσσει την έναρξη του 19ου συνεδρίου της ΕΜΕ Ροδόπης. Η κόρη του Κ.Καραθεοδωρή κηρύσσει την έναρξη του 19ου συνεδρίου της ΕΜΕ Ροδόπης. Εξ αριστερών κ. Γ.Δημάκος ο τότε αντιπρόεδρος ΕΜΕ, ο τότε πρόεδρος παραρτήματος Ροδόπης κ. Αθ. Λιπορδέζης, ο κ. Γ. Τυρλής γραμματέας ΕΜΕ και ο κ. Ν. Αντωνάκης αντιπρόεδρος ΕΜΕ Ροδόπης. Ο π.πρόεδρος του παραρτήματος της ΕΜΕ χαρίζει ενθυμήματα στην κόρη του Κ.Καραθεοδωρή. Σύνεδροι Η είσοδος του συνεδριακού χώρου.

6 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ & ΑΛΛΑ Αντιπροσωπεία του Δ.Σ. του συνδέσμου φίλων Καραθεοδωρή επισκέφτηκε τον Δήμαρχο Κομοτηνής και έθεσε ζητήματα για το μουσείο Καραθεοδωρή. Ο Δήμαρχος ανταποκρίθηκε με λύσεις και προοπτικές, ώστε το μουσείο να αποτελέσει χώρο και δράση εξωστρέφειας της πόλης μας σε παγκόσμιο επίπεδο. Η διεξαγωγή διεθνούς συνεδρίου για τον Καραθεοδωρή, η δημιουργία αίθουσας προβολής (video wall) για τους επισκέπτες μαθητές των σχολείων από όλη τη χώρα, θέματα ξεναγού και άλλα. Αναμνηστική φωτογραφία από την επίσκεψη Β Ι Β Λ Ι Ο Π Α Ρ Ο Υ Σ Ι Α Σ Η Ο Γιάννης Θωμαϊδης είναι ένας εργάτης των μαθηματικών. Αγωνιστικός πάντα με καθαρές ιδέες και προτάσεις μέσα από την εμπειρία του και την τριβή του με την εκπαίδευση και ως δάσκαλος και ως σύμβουλος των μαθηματικών. Τον γνώρισα καλύτερα στα συνέδρια, σε ημερίδες, σε καλοκαιρινά σχολεία. Πάντα δυναμικός, αγωνιστικός με προτάσεις και με ξεκάθαρο λόγο. Δεν δίστασε να πει τις αδυναμίες του εκπαιδευτικού συστήματος αλλά το σπουδαιότερο ότι είχε πάντα προτάσεις για την αντιμετώπιση των προβλημάτων. Θεωρώ ότι αποτελεί ένα ξεχωριστό παράδειγμα δημόσιου λειτουργού. Σήμερα η εφημερίδα μας είναι στην ευχάριστη θέση να κάνει την βιβλιοπαρουσίαση ενός βραβευμένου από την Ακαδημία Αθηνών βιβλίου του Γιάννη Θωμαϊδη. Είναι μία μελέτη για την Ιστορία της Άλγεβρας πάνω στις εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού από τα Αριθμητικά του Διόφαντου. Γιάννη συγχαρητήρια. Τα Αριθμητικά του Διόφαντου (Αλεξάνδρεια, περ. 50 μ.χ.) είναι ένα σπουδαίο και ταυτόχρονα αινιγματικό μαθηματικό έργο της ύστερης Ελληνικής αρχαιότητας. Στο έργο αυτό ο Διόφαντος επιλύει δύσκολα προβλήματα στο σύνολο των θετικών ρητών αριθμών, χρησιμοποιώντας, για πρώτη φορά στην ιστορία των Μαθηματικών, μια έννοια αγνώστου αριθμού καθώς και ειδικές συντομογραφίες για τις δυνάμεις του με την βοήθεια των οποίων τα προβλήματα ανάγονται στην επίλυση εξισώσεων. Ο χαρακτηρισμός σπουδαίο οφείλεται στο γεγονός ότι η μελέτη αυτού του έργου έχει εμπνεύσει μαθηματικούς πρώτης κλάσεως όπως οι Viète, Euler, Lagrange, κ.α. Δεν θα είναι ίσως υπερβολή να ισχυριστούμε ότι η δημιουργία της συμβολικής Άλγεβρας από τον Viète στα τέλη του 16 ου αιώνα οφείλεται, σε μεγάλο βαθμό, στην προσπάθειά του να κατανοήσει τις μεθόδους του Διόφαντου. Ο χαρακτηρισμός αινιγματικό οφείλεται, αφενός στο γεγονός ότι το περιεχόμενο των Αριθμητικών διαφέρει ριζικά από τα υπόλοιπα μεγάλα έργα της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης, και αφετέρου ότι από το αρχαιοελληνικό κείμενο του Διόφαντου έχουν διασωθεί μόνο 6 από τα αρχικά 13 βιβλία-κεφάλαια του έργου (και άλλα 4 σε μία αμφιβόλου πιστότητας αραβική μετάφραση του 9 ου αιώνα μ.χ.). Ως αποτέλεσμα, παραμένουν αδιευκρίνιστα και ανοικτά πολλά ζητήματα ερμηνείας των μεθόδων του Διόφαντου τα οποία απασχολούν μέχρι σήμερα τους ιστορικούς των Μαθηματικών. Στο βιβλίο που παρουσιάζουμε ο συγγραφέας ασχολείται με τη διερεύνηση ενός τέτοιου ανοικτού προβλήματος και συγκεκριμένα με τις μεθόδους που χρησιμοποιεί ο Διόφαντος για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων ου βαθμού. Αφού εκθέτει στην εισαγωγή των Αριθμητικών τον τρόπο χρήσης του αγνώστου και την επίλυση απλών εξισώσεων 1 ου και ου βαθμού, ο Διόφαντος υπόσχεται στους αναγνώστες του έργου του ότι θα Συνέχεια Β Ι Β Λ Ι Ο Π Α Ρ Ο Υ Σ Ι Α Σ Η Σ επιδείξει αργότερον τον τρόπο επίλυσης της πλήρους εξίσωσης ου βαθμού. Όταν όμως στη συνέχεια του έργου χρησιμοποιούνται τέτοιες εξισώσεις, οι λύσεις δίνονται χωρίς καμιά ένδειξη του τρόπου υπολογισμού τους, ενώ η συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων εμφανίζεται σαν ένα αποτέλεσμα γνωστό και οικείο στους αναγνώστες. Η απουσία κάθε σχετικής αναφοράς στα διασωθέντα βιβλία-κεφάλαια των Αριθμητικών, οδήγησε τους ιστορικούς κατά το παρελθόν σε διάφορες υποθετικές ερμηνείες και ανακατασκευές της μεθόδου με την οποία ο Διόφαντος είχε φτάσει στα συγκεκριμένα αποτελέσματα. Συνήθως όμως αυτές οι εικασίες ενέπλεκαν εννοιολογικά εργαλεία και μέσα αναπαράστασης της σύγχρονης μαθηματικής επιστήμης, με αποτέλεσμα να αποδίδονται στον Διόφαντο έννοιες και μέθοδοι τελείως ξένες για την εποχή του. Με βάση τα αποτελέσματα προηγούμενων δημοσιευμένων ερευνών του, ο συγγραφέας εξετάζει στο βιβλίο όλα τα προβλήματα των Αριθμητικών στα οποία χρησιμοποιούνται εξισώσεις ή ανισώσεις δευτέρου βαθμού, προσπαθώντας να διατηρήσει μια λεπτή ισορροπία ανάμεσα στις αυστηρές απαιτήσεις της σύγχρονης ιστορικής έρευνας και την ανάγκη του σημερινού αναγνώστη να κατανοήσει ένα δύσκολο μαθηματικό κείμενο της ύστερης αρχαιότητας. Αναλύοντας λεπτομερώς όχι μόνο τις μεθόδους επίλυσης αλλά και την εσωτερική δομή των συγκεκριμένων προβλημάτων, ο συγγραφέας επιχειρεί να συνθέσει το ιστορικό πλαίσιο της πρώτης ουσιαστικά χρήσης του τύπου της διακρίνουσας στην ιστορία των Μαθηματικών. Το βιβλίο αποτελείται από Εισαγωγή, 6 Κεφάλαια με τίτλους: Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; Μια εισαγωγή στα Αριθμητικά του Διόφαντου Ελλιπείς ή προφανείς εξισώσεις ου βαθμού Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού Ανισώσεις ου βαθμού Εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού στα Αριθμητικά: Μια ανασκόπηση και ολοκληρώνεται με 4 Παραρτήματα και Βιβλιογραφία. Για τους αναγνώστες που επιθυμούν να εμβαθύνουν στο έργο του Διόφαντου και την αντίστοιχη, σύγχρονη ιστορική έρευνα προτείνουμε εκτός φυσικά από τη μελέτη του βιβλίου και την ακόλουθη βιβλιογραφία: E. Σταμάτης, Διοφάντου Αριθμητικά: Η Άλγεβρα των Αρχαίων Ελλήνων. Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. Εν Αθήναις, Y. Thomaidis, A Framework for Defining the Generality of Diophantos Methods in Arithmetica. Archive for History of Exact Sciences 59, pp (005). Γ. Θωμαΐδης, Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου. Περιέχεται στο συλλογικό τόμο: Ιστορία & Μαθηματική Εκπαίδευση, σσ Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 006. Y. Thomaidis, Some remarks on the meaning of equality in Diophantos Arithmetica. Historia Mathematica 38, σσ.8 41 (011). N. Sidoli, Research in Ancient Greek Mathematics, Περιέχεται στο συλλογικό τόμο: From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren, pp Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 014. Γ Ρ Ι Φ Ο Σ Η ΦΑΝΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Αναφέρεται στην βιβλιογραφία ότι κάποτε 3 αδέρφια πήγαν στον Αρχιμήδη να τους λύσει το πρόβλημα της μοιρασιάς της περιουσίας του πατέρα τους που ήταν 17 καμήλες και έπρεπε ο 1ος να πάρει τις μισές, ο δεύτερος το 1/3 και ο 3ος το ένα ένατο. Τότε ο Αρχιμήδης με την φαντασία του σπάει το φράγμα των τυπικών διαδικασιών και πράξεων για τη λύση του προβλήματος και τους λέει: Επειδή η μοιρασιά, όπως έχουν τα πράγματα δεν γίνεται σας δανείζω την καμήλα μου και έτσι ο 1ος θα πάρει 9 καμήλες, ο ος 6 καμήλες, και ο 3ος καμήλες. Έτσι τα 3 αδέρφια πήραν τις 17 καμήλες και ο Αρχιμήδης την δικιά του. Πολλοί μαθηματικοί δεν δέχονται αυτή τη λύση αλλά έρχεται μετά από.100 χρόνια ένας άλλος μεγάλος ο γνωστός Αϊνστάιν να δηλώσει αποφθεγματικά: Η φαντασία είναι πιο σημαντική από τη γνώση γιατί η γνώση είναι περιορισμένη ενώ η φαντασία αγκαλιάζει ολόκληρο τον κόσμο προκαλώντας την πρόοδο, δίνοντας ζωή στην εξέλιξη. 6