ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ: «τὰν δὲ γᾶν περιφέρεσθαι περὶ τὸν ἅλιον κατὰ κύκλου περιφέρειαν» ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ: «τὰν δὲ γᾶν περιφέρεσθαι περὶ τὸν ἅλιον κατὰ κύκλου περιφέρειαν» ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟΝ"

Φόρκυς Αποστολίδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ: «τὰν δὲ γᾶν περιφέρεσθαι περὶ τὸν ἅλιον κατὰ κύκλου περιφέρειαν» ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟΝ Ιωάννης Αραχωβίτης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών Πανεπιστηµιόπολη iarahov@math.uoa.gr Περίληψη Ο Αρίσταρχος ο Σάµιος είναι γνωστός ως ο θεµελιωτής του ηλιοκεντρικού συστήµατος, όπως προκύπτει απο όσα ο Αρχιµήδης γράφει στο έργο του «Ψαµµίτης» και τα οποία οδήγησαν στη διαµόρφωση του τίτλου του Heath : Aristarchus of Samos the ancient Copernicus, αλλά και του τίτλου της παρούσας, εν µέρει. Το υπόλοιπο µέρος του τίτλου υπαινίσσεται οτι ο Αρίσταρχος δεν ήταν µόνον αστρονόµος.πράγµατι ήταν και ένας αναγνωρισµένος µαθηµατικός. Ο Sextus Empiricus ( 1o ήµισυ 3ου αιώνα µ.χ.) αναφέρεται στον Αρίσταρχο λέγοντας : «Αυτοί που δεν παραδέχονται την κίνηση του κόσµου και πιστεύουν οτι η Γή κινείται, όπως οι οπαδοί του Αρίσταρχου του µαθηµατικού». Τα µαθηµατικά εφαρµόζει ο Αρίσταρχος στις αστρονοµικές του µελέτες όπως προκύπτει σαφώς απο µιαν αναφορά του Πάππου στο µοναδικό έργο του Αρίσταρχου «Περὶ µεγεθῶν καὶ αποστηµάτων ἡλίου καὶ σελήνης». Αναφέρεται συγκεκριµένα ο Πάππος σ ένα λήµµα που χρησιµοποιείται εκεί, µια µορφή του οποίου εµφανίζεται σε µια Αρχιµήδεια λύση για την τριχοτόµηση γωνίας βασισµένη στη µέθοδο της νεύσεως. Εκεί ο Αρίσταρχος απλουστεύει τη λύση του Αρχιµήδη, πράγµα που θ αποτελέσει αφετηρία του σχολιασµού που ακολουθεί. Αρίσταρχος Αρχιµήδης Η λύση του Αρχιµήδη Ο Αρχιµήδης πράγµατι, στη σύνθεση κατά τη λύση αυτή, χρησιµοποιεί το εξής λήµµα (8η Πρόταση του «Βιβλίου των Ληµµάτων» ): Έστω ότι δίδεται το τόξο ΑΕ κύκλου κέντρου Ο. Η χορδή ΑΒ άγεται και προεκτείνεται για να τµήσει τη διάµετρο ΕΟ στο Γ, έτσι ώστε ΟΒ=ΒΓ.

gr Περίληψη Ο Αρίσταρχος ο Σάµιος είναι γνωστός ως ο θεµελιωτής του ηλιοκεντρικού συστήµατος, όπως προκύπτει απο όσα ο Αρχιµήδης γράφει στο έργο του «Ψαµµίτης» και τα οποία οδήγησαν στη διαµόρφωση

2 236 Πανελλήνιο Συνέδριο µε ιεθνή Συµµετοχή Τότε το τόξο Β είναι το 1/3 του ΑΕ : Φέρω τη χορδή ΕΖ // ΑΒ και τις ΟΑ ΟΒ, ΟΖ. Οι γωνίες Ε και Ζ είναι ίσες και συνεπώς ΟΖ = 2Ε. Λόγω παραλληλίας Ε = Γ καί άρα ΟΖ = 2Γ. Επειδή ΓΒ = ΒΟ η γωνία ΒΟ = Γ και άρα ΟΖ = 2 ΟΒ, ή τόξο Ζ = 2τόξοΒ. Λόγω παραλληλίας, τόξο ΑΕ = τόξοβζ. Ετσι τόξοαε = 3τόξοΒ. Μια πιθανή λύση του Αρίσταρχου Εύκολα παρατηρεί κανείς οτι η χορδή ΕΖ // ΑΒ είναι περιττή, διότι αφού ΓΒ = ΒΟ, έπεται οτι Γ = ΒΟΓ. Επειδή ΑΒΟ = Γ + ΒΟΓ, προφανώς ΑΒΟ = 2Γ. Εξ άλλου ΟΒ = ΟΑ, οπότε ΟΒΑ = ΒΑΟ Επειδή ΟΑΒ + Γ = ΕΟΑ, θα είναι ΕΟΑ = Γ = 3ΒΟ. Ετσι, τόξοαε = 3τόξοΒ. Στον Αρίσταρχο, κατά τον Πάππο 1, εµφανίζεται το ίδιο σχήµα, µε τη διαφορά οτι το ευθύγραµµο τµήµα ΓΒ δεν έχει συγκεκριµένο µήκος. Ο µόνος ισχυριρισµός που υπάρχει είναι : τόξοαε > τόξοβ 2. Αρα, η παραπάνω βελτίωση στην απόδειξη του Αρχιµήδη, θα µπορούσε να έχει διατυπωθεί κάλλιστα απο τον Αρίσταρχο αφού σαφώς προκύπτει οτι εγνώριζε πως η χορδή ΕΖ δεν είναι αναγκαίο να αχθεί, διορθώνοντας έτσι προκαταβολικά ( ; ) τον Αρχιµήδη,µιά και ο τελευταίος ήταν µεταγενέστερος ( Αρίσταρχος : c π.χ. Αρχιµήδης : π.χ. ).Πάντως είναι περίεργο πώς ο Αρχιµήδης που µελετούσε τον Αρίσταρχο (: ίσως και το περίφηµο «ός µοι πl στ καq τ?ν γ@ν κινήσω» να ήταν.ηλιοκεντρικής εµπνεύσεως ), δεν είχε επισηµάνει τίποτε 1 Συναγωγή, βιβλίο VI, II, σ Knorr,W. R.The Ancient Tradition of Geometric Problems.Dover,1993,p.205,note106 a.

Μια πιθανή λύση του Αρίσταρχου Εύκολα παρατηρεί κανείς οτι η χορδή ΕΖ // ΑΒ είναι περιττή, διότι αφού ΓΒ = ΒΟ, έπεται οτι Γ = ΒΟΓ. Επειδή ΑΒΟ = Γ + ΒΟΓ, προφανώς ΑΒΟ = 2Γ.

3 «Αρίσταρχος ο Σάµιος» 237 σχετικό µε τα παραπάνω στα γραπτά του,καθώς µάλιστα αυτό αφορούσε σ ένα απο τα περίφηµα «άλυτα» προβλήµατα της αρχαιότητας που τον ενδιέφεραν. Αρίσταρχος Απολλώνιος Ενώ ο Αρίσταρχος ο Σάµιος έχει καθιερωθεί ως αστρονόµος και πρόδροµος του Κοπέρνικου, παρ ότι οι σύγχρονοί του και µη 3 τον αποκαλούσαν µαθηµατικό, ο Απολλώνιος ο εκ Πέργης έχει καθιερωθεί ως µαθηµατικός και πρόδροµος του Καρτέσιου, παρ ότι ο Πτολεµαίος αναφέρει στην αρχή του 12ου βιβλίου της Σύνταξεως οτι έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της Πλανητικής Θεωρίας 4. Ο χιασµός αυτός προχωράει βαθύτερα και στο έργο των δύο ανδρών. Ενώ ο Αρίσταρχος φαίνεται να έχει ( επιτυχώς ) ασχοληθεί µε το πρόβληµα της τριχοτόµησης γωνίας, πράγµα φυσικό άλλωστε αφού τον ενδιέφερε η µέτρηση γωνιών και ήταν τριγωνοµέτρης (: α / β = εφα / εφβ ) αλλά και εφευρέτης της σκάφης, ο Απολλώνιος αντιθέτως ενώ είχε ασχοληθεί µε τα άλλα «άλυτα» προβλήµατα όπως το ήλιο 5, δεν φαίνεται να έχει ασχοληθεί µε την τριχοτόµηση. Στο σηµείο αυτό επιτρέψτε µου να παραθέσω ένα σενάριο επιστηµονικής φαντασίας : Αν ο Αρίσταρχος ο Σάµιος µποροούσε να παρατείνει την περιφορά του γύρω απο τον Ηλιο, να παρατείνει δηλαδή τον κύκλο της ζωής του ώστε να ακµάσει συγχρόνως µε τον άλλο µεγάλο µαθηµατικό και αστρονόµο 6 τον Απολλώνιο τον εκ Πέργης ( π.x.) και τις Κωνικές Τοµές του και ώστε να διαβάζουν µαζύ στη Βιβλιοθήκη της Αλεξανδρείας, η σύνοδος αυτή των δύο µεγάλων θα έφερνε αποτελέσµατα µεγάλης λαµπρότητας. Πιθανόν ενδιαφερόµενος για την τριχοτόµηση, να την είχε επιτύχει ο Αρίσταρχος χρησιµοποιώντας κανόνα, διαβήτη και δανειζόµενος και µια κωνική απο τον Απολλώνιο, την παραβολή y 2 = 2x, πράγµα το οποίο θα περιγράψουµε 7 παρακάτω ( Κάνοντας δηλαδή κάτι 3 Dreyer, J.L.E. A History of Astronomy from Thales to Kepler.Dover, 1953, p Dreyer, J.L.E.A History of Astronomy from Thales to Kepler.Dover, 1953, p Μπρίκα, Μ. Τα Περίφηµα Αλυτα Γεωµετρικά Προβλήµατα της Αρχαιότητος. Αθ\ναι, Knorr, W. R. The Ancient Tradition of Geometric Problems.Dover, 1993, p Αραχωβίτη, Ι.Εφαρµογές-Τεκµηρίωση της ιδασκαλίας των Θεωρητικών Μαθηµατικών.

καθιερωθεί ως µαθηµατικός και πρόδροµος του Καρτέσιου, παρ ότι ο Πτολεµαίος αναφέρει στην αρχή του 12ου βιβλίου της Σύνταξεως οτι έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της Πλανητικής Θεωρίας 4.

4 238 Πανελλήνιο Συνέδριο µε ιεθνή Συµµετοχή ανάλογο µε αυτό που πολύ αργότερα έκανε ο Descartes 8 και που ο ίδιος ο Απολλώνιος είχε παραλείψει να κάνει 9. Με µιά σειρά σχηµάτων θα περιγράψουµε τώρα την τριχοτόµηση αυτή, αφού προηγουµένως υπενθυµίσουµε οτι : Για να βρούµε τις ρίζες της εξίσωσης Z 3 + az + b = 0 ( 1 ) τέµνουµε την περιφέρεια κέντρου ( h, k ) που διέρχεται απο την αρχή, µε την παραβολή y 2 = 2x, όπου h = (4 at 2 ) / 4 και k = - bt 3 / 8, t αυθαίρετη παράµετρος. ιαιρώντας δια t την τεταγµένη του σηµείου τοµής, έχουµε µια ρίζα της τριτοβάθµιας εξίσωσης ( 1 ). Η τριχοτόµηση γωνίας ανάγεται στα παραπάνω λόγω της τριγωνοµετρικής ταυτότητας cos3θ = 4cos 3 θ - 3cosθ. Οπότε εάν δίδεται η γωνία ω = 3θ (και ζητείται η θ ), θα είναι γνωστό και το cos3θ = β. Αρα, η παραπάνω ταυτότητα γράφεται Ζ 3 3Ζ β = 0 ( 2 ) όπου θέσαµε Ζ = cos θ και έχουµε αναχθεί στην ( 1 ). Η εύρεση ρίζας της (2) σηµαίνει εύρεση του cosθ. Αρα και της θ. Εδώ εκλέγοντας t = 4 ö h = 4 και k = 2β. Ακολουθεί η γεωµετρική κατασκευή µε κανόνα,διαβήτη και ένα...σπάγκο (για τη χάραξη της παραβολής ) : Συµµετρία, Αθήνα, 1998, σ Bos, H. J. M. Lectures in the History of Mathematics. A.M.S., L.M.S. 1990, p Knorr,W.R. The Ancient Tradition of Geometric Problems.Dover, 1993, p. 305.

k ) που διέρχεται απο την αρχή, µε την παραβολή y 2 = 2x, όπου h = (4 at 2 ) / 4 και k = - bt 3 / 8, t αυθαίρετη παράµετρος.

5 «Αρίσταρχος ο Σάµιος» 239

6 240 Πανελλήνιο Συνέδριο µε ιεθνή Συµµετοχή

7 «Αρίσταρχος ο Σάµιος» 241

8 242 Πανελλήνιο Συνέδριο µε ιεθνή Συµµετοχή

9 «Αρίσταρχος ο Σάµιος» 243 Αρίσταρχος Ευκλείδης O Αρίσταρχος αρχίζει το βιβλίο του «Περὶ µεγεθῶν καὶ ἀποστηµάτων ἡλίου καὶ σελήνης» µε τις 6 υποθέσεις που ακολουθούν 10 : 1. Τὴν σελήνην παρὰ τοῦ ἡλίου φῶς λαµβάνειν. 2. Τὴν γῆν σηµείου τε καὶ κέντρου λόγον ἔχειν πρὸς τὴν τῆς σελήνης σφαῖραν. 3. Ὅταν ἡ σελήνη διχότοµος ἡµῖν φαίνηται, νεύειν εἰς τὴν ἡµετέραν ὄψιν τὸν διορίζοντα τό τε σκιερὸν καὶ τὸ λαµπρὸν τῆ σελήνης µέγιστον κύ κλον. 4. Ὅταν ἡ σελήνη διχότοµος ἡµῖν φαίνηται, τότε αὐτὴν ἀπέχειν τοῦ ἡλίου ἔλασσον τεταρτηµορίου τῷ τοˆ τεταρτηµορίου τριακοστῷ. 5. Τὸ τῆς σκιᾶς πλάτος σεληνῶν εἶναι δύο. 6. Τὴν σελήνην ὑποτείνειν ὑπὸ πεντεκαιδέκατον µέρος ζῳδίου. Οι παραπάνω 6 υποθέσεις στη νέα ελληνική γλώσσα µπορούν ν αποδωθούν ως εξής : 1.Η σελήνη παίρνει φώς απο τον ήλιο. 2.Η γή έχει λόγο προς τη σφαίρα της σελήνης ως σηµείο προς κέντρο. 3.Οταν σ εµάς φαίνεται φωτισµένο το µισό της σελήνης γέρνει προς τα µάτια µας ο µέγιστος κύκλος της σελήνης που καθορίζει το σκιερό και το φωτεινό της µέρος. 4.Οταν σ εµάς ησελήνη φαίνεται φωτισµένη κατά το µισό της µέρος, τότε αυτή απέχει απο τον ήλιο λιγότερο απο ένα τεταρτµόριο και µάλιστα ένα τεταρτηµόριο µείον το 1 / 30 του (δηλαδή 87 0 ). 5.Το πλάτος της σκιάς της γής περιλαµβάνει δύο σελήνες. 6.Η σελήνη υποτείνει το 1 / 15 του ζωδιακού κύκλου ( 2 0 ). Μετά τις υποθέσεις αυτές ο Αρίσταρχος προχωράει στην αυστηρή 10 Σταµάτη,Ε.Αριστάρχου Σαµίου: Περί Μεγεθών και Αποστηµάτων Ηλίου και Σελήνης. Αθήνα,1980.

Ὅταν ἡ σελήνη διχότοµος ἡµῖν φαίνηται, νεύειν εἰς τὴν ἡµετέραν ὄψιν τὸν διορίζοντα τό τε σκιερὸν καὶ τὸ λαµπρὸν τῆ σελήνης µέγιστον κύ κλον. 4.

10 244 Πανελλήνιο Συνέδριο µε ιεθνή Συµµετοχή απόδειξη 18 προτάσεων. Παρ όλο που υπάρχουν ανακρίβειες στα παραπάνω,θα ήθελα να ρωτήσω: µήπως η προηγούµενη διαδικασία θυµίζει αξιωµατική θεµελίωση µαθηµατικής αστρονοµίας (θα λέγαµε σήµερα ) χαράζοντας έτσι µια πορεία παράλληλη προς του Ευκλείδη ; Βιβλιογραφία Αραχωβίτης,Ι.Εφαρµογές-Τεκµηρίωση της ιδασκαλίας των Θεωρητικών Μαθηµατικών. Συµµετρία, Αθήνα, Bos, H.J.M. Lectures in the History of Mathematics.A.M.S.,L.M.S Dreyer, J.L.E.A History of Astronomy from Thales to Kepler.Dover, Heath, T.Sir A History of Greek Mathematics.V. I, V. II, Dover,1981. Heath, T.Sir Aristarchus of Samos, the Ancient Copernicus.Oxford, Heath,T.Sir Greek Astronomy. Dover,1991. Knorr,W.R. The Ancient Tradition of Geometric Problems.Dover,1993. Mπρίκα,Μ. Τα Περίφηµα Αλυτα Γεωµετρικά Προβλήµατα της Αρχαιότητος. Αθήναι, Σταµάτη, Ε.Αριστάρχου Σαµίου:Περί Μεγεθών και Αποστηµάτων Ηλίου και Σελήνης. Αθήναι, Abstract ARISTARCHUS OF SAMOS: the earth revolves round the sun in the circumference of a circle AND NOT ONLY THAT Aristarchus was an astronomer, thus too little attention was given him as a mathematician, especially after he was the first to put forward the above Copernican Heliocentric Hypothesis. In this note we are proposed to give some hints on his qualities as a ma thematician by a rudimentary comparison to Archimedes, Apollonius and Euclid.

παράλληλη προς του Ευκλείδη ; Βιβλιογραφία Αραχωβίτης,Ι.Εφαρµογές-Τεκµηρίωση της ιδασκαλίας των Θεωρητικών Μαθηµατικών. Συµµετρία, Αθήνα, 1998. Bos, H.J.M. Lectures in the History of Mathematics.A.M.S.

Σχετικά έγγραφα

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση