ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ"

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Πολύ συχνά οι κατασκευαστές υαλοστασίων έχουν βρεθεί µπροστά στο δίληµµα για το ποιό πάχος γυαλιού θα έπρεπε να επιλέξουν για κάποια κατασκευή από τζάµι. Οι προβληµατισµοί αυτοί µάλιστα πρόσφατα έγιναν πολύ επίκαιροι µετά τη θεοµηνία που έπληξε φέτος το χειµώνα (χειµώνας 1998) την Αθήνα, όπου οι σφοδροί άνεµοι οι οποίοι άγγιξαν ταχύτητες κοντά στα 140 km/h, προκάλεσαν εκτεταµένες ζηµιές στις βιτρίνες των καταστηµάτων και στα µεγάλα τζάµια των σπιτιών, φέρνοντας πολλούς επαγγελµατίες (που κατασκεύασαν τις εν λόγω βιτρίνες) σε διαµάχη µε τους πρώην πελάτες τους, οι οποίοι τους ζητούσαν ευθύνες για τη φθορά των περιουσιών τους. Σε πολλές περιπτώσεις η θραύση των βιτρινών προκάλεσε µεγάλες ζηµιές και στα εµπορεύµατα εκθέσεων αυτοκινήτων, επίπλων, φωτιστικών κλπ. Το βασανιστικό ερώτηµα που αναδύεται από όλη την ιστορία είναι το ποιός πραγµατικά φταίει και από ποιόν θα έπρεπε να ζητηθούν ευθύνες. Φταίνε µήπως οι κατασκευαστές-τοποθετητές οι οποίοι έχοντας υιοθετήσει την εύκολη λύση των υαλοπινάκων 10mm χωρίς κανένα δεύτερο προβληµατισµό για τις διαστάσεις της βιτρίνας ή µε την περιοχή όπου αυτή τοποθετείται, προτείνουν και τελικά τοποθετούν στο 95% των περιπτώσεων τζάµια αυτού του πάχους. Φταίνε µήπως οι πελάτες, οι οποίοι κυνηγώντας το φθηνό κόστος αποπαίρνουν οποιαδήποτε άλλη ασφαλέστερη λύση που πιθανώς θα τους προταθεί από κάποιον ευσυνείδητο κατασκευαστή, αναγκάζοντας έτσι την πλειονότητα των κατασκευαστών να αποφεύγουν ακόµη και να αναφέρουν την ύπαρξη ασφαλέστερων λύσεων. Ή µήπως φταίνε τα συλλογικά όργανα των εµπόρων υαλοπινάκων, οι εταιρείες παραγωγής και διάθεσης υαλοπινάκων, κλπ. οι οποίοι δεν φροντίζουν να ενηµερώνουν επαρκώς τους κατασκευαστές-καταναλωτές για τα όρια αντοχής των προϊόντων τους? Όποιος και να φταίει είτε καθένας ξεχωριστά ή όλοι µαζί ή κανένας, το αποτέλεσµα είναι το ίδιο και είναι από ενοχλητικό έως και επικίνδυνο σε ορισµένες περιπτώσεις. Ας δούµε, όµως, µε ποιό τρόπο µπορεί κανείς να υπολογίσει µε ακρίβεια το ασφαλέστερο πάχος αλλά και είδος γυαλιού για κάποια κατασκευή: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 1 / 8

2 (1) Σαν πρώτη περίπτωση (και πιο απλή) ας εξετάσουµε την περίπτωση όπου θέλουµε να υαλώσουµε ένα άνοιγµα µε κάποιο µονό τζάµι. Εστω, λοιπόν, ότι το τζάµι αυτό κατά την τοποθέτησή του θα πακτωθεί σε 4 σταθερά σηµεία (όλες του οι πλευρές εφαρµόζουν σταθερά σε κάποια µορφή πλαισίου π.χ. αλουµίνιο, σίδηρο, ξύλο, κλπ.) και έστω ότι οι διαστάσεις του θα είναι: L=2,48m η µεγάλη πλευρά του l=2,00m η µικρή πλευρά του συνεπώς S=4,96m² είναι το εµβαδόν του Εκτιµούµε, τέλος, την µέγιστη ένταση ανέµων που έχουν σηµειωθεί στην περιοχή την τελευταία δεκαετία και πληροφορούµαστε ότι αυτή είναι 130km/h. Από τον πίνακα Ι βλέπουµε ότι αυτή η ταχύτητα ανέµου αντιστοιχεί σε πίεση 793 Pascals. Για να είµαστε απολύτως βέβαιοι για κάποια τοπικά φαινόµενα «στροβιλισµού» προσαυξάνουµε το νούµερο αυτό, αυθαίρετα, κατά 15% περίπου, και κάνουµε τους υπολογισµούς µας για πίεση ανέµου: P=900Pascals Τύλος, υπολογίζουµε τον λόγο της µεγάλης προς τη µικρή πλευρά και διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: i: 3 ii: L/l > 3 Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η τιµή αυτού του λόγου είναι: 2,48/2=1,24<3 άρα είµαστε στην περίπτωση (i) και για τους υπολογισµούς του πάχους (e) του γυαλιού θα χρησιµοποιήσουµε τον εξής τύπο: (α) e= SP/72 Αντικαθιστώντας σ αυτόν τον τύπο τις γνωστές τιµές έχουµε: e= 4,96x900/72 = 7,87mm Άρα για το συγκεκριµένο άνοιγµα ένα τζάµι 8mm αρκεί για να αντέξει µε ασφάλεια ανέµους µέχρι και 140km/h. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 2 / 8

3 (2) Ας υποθέσουµε τώρα ότι δίπλα σ αυτό το τζάµι πρέπει να τοποθετηθεί και µία πόρτα securit, οπότε το τζάµι δεν είναι πακτωµένο σταθερά σε 4 αλλά σε 3 µόνο πλευρές. Σε αυτή την περίπτωση παίζει µεγάλο ρόλο το ποια από τις πλευρές θα µείνει ελεύθερη. (2α) Αν µείνει ελεύθερη η µικρή πλευρά l, τότε ο τύπος υπολογισµού θα γίνει: (b) e= l P/4,9 Kαι εάν αντικαταστήσουµε τις γνωστές τιµές τότε θα έχουµε: e= 2 900/4,9 = 12,24mm πράγµα που σηµαίνει ότι το τζάµι που πρέπει να χρησιµοποιήσουµε θα πρέπει να είναι 15mm. Το τζάµι των 12mm δεν µας καλύπτει πλήρως. Επειδή, όµως, ο τύπος αυτός λειτουργεί και «ανάποδα» µπορούµε να υπολογίσουµε την πίεση του αέρα για την οποία ένα τζάµι 12mm θα µας καλύψει µε ασφάλεια. Εδώ χρειάζεται να προσέξει κανείς ότι χρησιµοποιώντας τέτοιου είδους τύπους «ανάποδα», θα πρέπει να ξέρει ότι στο πάχος του γυαλιού που χρησιµοποιούµε θα πρέπει να θέσουµε το ελάχιστο πάχος που προβλέπεται βάσει των διεθνών στάνταρντ παραγωγής τζαµιού. Αυτό φαίνεται στον πίνακα 2 όπου βλέπουµε για τα 12mm ότι µπορεί να φτάσει µέχρι και τα 11,7mm. Άρα εάν λύσουµε τον τύπο (b) ως προς την ανεµοπίεση Ρ θα πάρουµε: e= l P/4,9 (4,9xe/l)² = P P = (4,9x11,7/2) ² P = 821 Pascals που ισοδυναµεί µε άνεµο (πίνακας 1) 133km/h. (2β) Στην περίπτωση που η πόρτα εφάπτεται στη µεγάλη πλευρά L τότε ο τύπος (b) αλλάζει ως εξής: (2βi) αν ο λόγος τότε e = 3SP/72 (c) και (2βii) αν ο λόγος L/l >9, τότε e = 3l P/4,9 (d) Για το παράδειγµά µας ισχύει ο τύπος (c)όπου αντικαθιστώντας θα πάρουµε: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 3 / 8

4 e = 3x4,96x900/72 = 13,63mm Aρα, εφόσον, δεν υπάρχει τζάµι 14mm θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τζάµι 15mm για να έχουµε «το κεφάλι µας ήσυχο». Επειδή, όµως, το πάχος αυτό φαντάζει πιθανώς υπερβολικό για κάποιους, ας δούµε την αντοχή ενός τζαµιού 12mm σε αυτήν την περίπτωση, χρησιµοποιώντας τον τύπο (c)ανάποδα. Ρ = e²x72/3s = 11,7²x72/(3x4,96) P = 662 Pascals που αντιστοιχεί σε άνεµο 125km/h. Αν στην ίδια περίπτωση δοκιµάσουµε για τζάµι 10mm (9,7 τοπικά) θα διαπιστώσουµε ότι η αντοχή της βιτρίνας στην ανεµοπίεση θα περιοριστεί στα: Ρ = 455Pascals πράγµα που σηµαίνει ότι ένας άνεµος που θα ξεπεράσει τα 10 µποφόρ θα σπάσει την βιτρίνα! (3) Τέλος, ας υποθέσουµε ότι η υποτιθέµενη βιτρίνα µας εκτός από την πόρτα στην οποία εφάπτεται από τη µία πλευρά, από την άλλη πλευρά εφάπτεται σε ένα άλλο γυαλί. Τότε η πάκτωση του γυαλιού περιορίζεται µόνο στις δύο απέναντι πλευρές, και έστω ότι οι ελεύθερες πλευρές είναι οι µεγάλες. Τότε ο τύπος υπολογισµού του πάχους γίνεται: e = L P/4,9 (f) Και κάνοντας τις απαραίτητες αντικαταστάσεις διαπιστώνουµε µε δέος ότι το αναγκαίο πάχος του γυαλιού που θα µας καλύψει µε ασφάλεια είναι πλέον e = 2,48 900/4,9 = 15,2mm Χρησιµοποιώντας τον τύπο (f) ανάποδα για να δούµε την ασφάλεια που θα µας παρέχει σε αυτήν την περίπτωση ένα τζάµι 10mm θα βρούµε ότι: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 4 / 8

5 P = (9,7x4,9/2,48)² = 367 Pascals ηλαδή ακόµη και τα 9 µποφόρ ανέµου καθιστούν επικίνδυνη την όλη κατασκευή. Πιθανόν όλα αυτά να φαντάζουν κάπως υπερβολικά αποτελούν, όµως, την πικρή αλήθεια για το πόσο επιπόλαια αντιµετωπίζεται το θέµα της αντοχής των υαλοπινάκων τόσο από τους τοποθετητές όσο και από τους ιδιοκτήτες. Υπάρχουν, βέβαια, διάφοροι τρόποι (πατέντες) οι οποίοι εφαρµόζονται εµπειρικά και οι οποίοι αυξάνουν ικανοποιητικά την αντοχή των υαλοπινάκων. 0 πιο διαδεδοµένος από όλους είναι αυτός της τοποθέτησης αντιρίδων αντιστήριξης. Πρακτικά, τοποθετώντας µία αντιρίδα σε κάποια από τις ελεύθερες πλευρές της βιτρίνας είναι σαν να αυξάνουµε τις σταθερά πακτωµένες πλευρές κατά µία. Όταν τοποθετεί κανείς αντιρίδες κατά µήκος της βιτρίνας την χωρίζει σε «υποβιτρίνες» µικρότερου µήκους άρα και εµβαδού, µε αποτέλεσµα να αυξάνεται εντυπωσιακά η αντοχή στην ανεµοπίεση όπως εύκολα διαπιστώνει κανείς αν στα παραδείγµατά µας υποδιπλασιάσει τη µία από τις δύο πλευρές. Ως εδώ, λοιπόν, τα πράγµατα λίγο ως πολύ ξεκαθάρισαν. Τι γίνεται, όµως, όταν το άνοιγµα θα πρέπει να καλυφθεί µε τζάµι triplex, securit, διπλό ή ακόµα χειρότερα µε συνδυασµό και των τριών (διπλός υαλοπίνακας µε ένα τζάµι securitκαι το άλλο απλό ή triplex)? Για τέτοιες περιπτώσεις υπάρχει η έννοια του ισοδύναµου πάχους et όπου αντιπροσωπεύει το πάχος του ειδικού γυαλιού που αντιστοιχεί στο πάχος e που υπολογίσαµε για το µονό απλό γυαλί. Ισχύει, λοιπόν, ο τύπος: et = ε x e (g) όπου ε είναι ένας συντελεστής ο οποίος εξαρτάται από το είδος του γυαλιού που θέλουµε να τοποθετήσουµε και δίνεται σε κάθε περίπτωση χωριστά από τον πίνακα 4. Ας επανέλθουµε τώρα στην περίπτωση (2) του παραδείγµατός µας για να υπολογίσουµε το ελάχιστο αναγκαίο πάχος γυαλιού που χρειαζόµαστε εάν χρησιµοποιήσουµε τζάµι securit. Από τους υπολογισµούς µας είχαµε βρει ότι το αναγκαίο πάχος του µονού απλού γυαλιού ήταν: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 5 / 8

6 e = 12,24mm το ισοδύναµο πάχος γυαλιού securit θα είναι: et = 0,8x 12,24 = 9,79mm Άρα ενώ το απλό γυαλί πάχους 12mm δε µας καλύπτει µε ασφάλεια αν χρησιµοποιήσουµε γυαλί securit 10mm, είµαστε πλήρως καλυµµένοι. Υποθέτουµε τώρα ότι ο ενδιαφερόµενος ιδιοκτήτης επιµένει να χρησιµοποιήσουµε γυαλί τρiplex. Για να βρούµε ποιόν τύπο, ποιο πάχος γυαλιού triplex θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε, καταφεύγουµε στον τύπο (g), ο οποίος µας αποκαλύπτει ότι: et = 1,3 x 12,24 = 15,9mm ηλαδή θα πρέπει να βάλουµε τζάµι 8+8 το οποίο, όµως, στην πραγµατικότητα και βάσει του πίνακα 2 θεωρούµε ότι είναι 7,7 +7,7 = 15,4mm. Αλλά και σε αυτήν την περίπτωση οι υπολογισµοί µπορούν να γίνουν και ανάποδα. Έστω, λοιπόν, ότι µόλις ο πελάτης ζητήσει γυαλί τρiplex, εµείς προτείνουµε το 5+5 και θέλουµε να υπολογίσουµε σε τι άνεµο αντέχει. Από τον πίνακα 2 έχουµε: et = 4,8 + 4,8 = 9,6mm Και από τον τύπο (g) ξέρουµε ότι: et = 1,3 x e e = et/1,3 = 9,6/1,3 e = 7,4mm Και χρησιµοποιώντας τον τύπο (b) λυµένο ως προς Ρ, διαπιστώνουµε µε έκπληξη ότι: Ρ = (e x 4,9/l)² P = 328 Pascals Συµπερασµατικά βλέπει κανείς ότι το συγκεκριµένο παράδειγµα (βιτρίνα 2 x 2,48 σε επαφή µε πόρτα κατά µήκος της µικρής πλευράς) αν ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 6 / 8

7 κάποιος χρησιµοποιήσει τζάµι 10mm securit, τότε η κατασκευή θα αντέχει σε ανεµοπίεση µέχρι και 900 Pascals (ταχύτητα ανέµου 137km/h). Για τζάµι 10mm απλό θα αντέχει σε ανεµοπίεση µέχρι και 600 Pascals (ταχύτητα ανέµου 112km/h). Τέλος, για τζάµι 5+5, η αντοχή της κατασκευής περιορίζεται σε ανεµοπίεση 328 Pascals (ταχύτητα ανέµου 82 Κm/h). Βλέπει κανείς, λοιπόν, ότι η επιλογή του 5+5 στη θέση του απλού 10mm δήθεν για µεγαλύτερη αντοχή είναι ένας µύθος που πολλές φορές οδηγεί σε ανεξήγητα ραγίσµατα βιτρινών ή άλλης µεγάλης επιφάνειας. Αντίθετα φαίνεται ξεκάθαρα, ότι η χρήση του γυαλιού securit ίσου πάχους 10mm αυξάνει την αντοχή της κατασκευής στην ανεµοπίεση κατά 50%. Αυτός είναι, άλλωστε, και ένας από τους λόγους που για τη δηµιουργία των γυάλινων πορτών επικράτησε η χρήση του γυαλιού 10mm securit και όχι το 5+5 (όποιος έκανε το πείραµα κατάλαβε την διαφορά). Το πλεονέκτηµα του triplex απέναντι του securit και του απλού γυαλιού είναι, βέβαια, ότι στο τζάµι 5+5 όταν ξεπεραστούν τα όρια αντοχής του και σπάσει, τότε δεν θα καταρρεύσει προκαλώντας παραπέρα ζηµίες στα εµπορεύµατα ή στα έπιπλα. Ούτε βέβαια στο securit θα προξενηθούν παραπέρα ζηµίες µια και ο πολύ µικρός θρυµµατισµός του αφήνει ανέπαφα τα γειτονικά αντικείµενα (είτε είναι εµπορεύµατα ή έπιπλα ή άνθρωποι!). Είναι αυτό που στη γλώσσσα του αυτοκινήτου αναφέρεται ως ενεργητικά και παθητική ασφάλεια. Το τζάµι securit σπάζει κατά 175% δυσκολότερα από το triplex. Αλλά όταν σπάσει απαιτείται η άµεση αντικατάστασή του αφήνοντας «ανοικτό» το χώρο µέχρι εκείνη τη στιγµή. Αντίθετα, το 5+5 σπάζει πολύ πιο εύκολα αλλά εκµηδενίζεται ο κίνδυνος παραπέρα ζηµιών από δολιοφθορές περαστικών, µια και παραµένει στη θέση του έως την αντικατάστασή του. Το απλό 10άρι βρίσκεται κάπου ενδιάµεσα από πλευράς αντοχής αλλά από τη στιγµή που θα σπάσει οι συνέπειες είναι απρόβλεπτες. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 7 / 8

8 Σε αυτό το σηµείο θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η προσέγγιση που κάναµε µέχρι τώρα ήταν η απλούστερη δυνατή, χωρίς να λαµβάνουµε υπ όψιν ορισµένους σηµαντικούς παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν τους υπολογισµούς. Όπως για παράδειγµα το γεγονός ότι η ανεµοποίηση που ασκείται σ έναν υαλοπίνακα σε κάποια συγκεκριµένη τοποθεσία επηρεάζεται από το ύφος σε σχέση µε το έδαφος που είναι τοποθετηµένος. Άλλη δύναµη δέχεται ένας υαλοπίνακας που είναι τοποθετηµένος στο ισόγειο, άλλη στον 1 ο όροφο οικοδοµής, άλλη στο δεύτερο κ.ο.κ. Επίσης σηµαντικές διαφοροποιήσεις υπάρχουν και όταν ο υαλοπίνακας είναι διπλός αντί για µονός. Όλες αυτές όµως οι επιµέρους µετρήσεις και υπολογισµοί, αποτελούν από µόνοι τους ένα τεράστιο νέο κεφάλαιο που δεν µπορεί να καλυφθεί στα πλαίσια αυτής της σύντοµης επικοινωνίας. Σε κάθε συγκεκριµένη περίπτωση ο συνυπολογισµός όλων των επι µέρους αυτών στοιχείων έχει σαν αποτέλεσµα την σηµαντική διαφοροποιηση από τα παραπάνω που δεν παύουν όµως να δίνουν µια ικανοποιητικη προσέγγιση στο πρόβληµα. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Σελίδα 8 / 8

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τα εργαλεια και τα υλικα τα οποια θα εχουµε για αυτη την µελετη θα ειναι:

Τα εργαλεια και τα υλικα τα οποια θα εχουµε για αυτη την µελετη θα ειναι: Απώλειες MAF - Μόνωση Εισαγωγής 08/11/2005, 17:25 Τα εργαλεια και τα υλικα τα οποια θα εχουµε για αυτη την µελετη θα ειναι: Μονωτικο υλικο, υαλοϋφασµα µε επικαλυψη αλουµινιου. Πολυµετρο µε προεκταση αισθητηρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html ΑΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html Παίρνω στο ένα µου χέρι τα 2 kg σίδερο και στο άλλο τα 2 kg ξύλο. Αισθάνοµαι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές: Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 1 6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΘΕΩΡΙΑ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα : Είναι τα ποσά για τα οποία ισχύει το παρακάτω. Όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται η τιµή του ενός µε έναν αριθµό να διαιρείται αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου ιδακτικό υλικό µαθητή παράθυρα Κατά τη διάρκεια της µελέτης µας γράφουµε και διαβάζουµε, απλώνοντας πάνω στο γραφείο τετράδια και βιβλία. Ξεκινώντας ανοίγουµε αυτά που µας ενδιαφέρουν πρώτα και συνεχίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Β) Μέχρι τη στιγµή t 1 που ξετυλίγεται όλο το νήµα, Β-1) Κατά πόσο διάστηµα x έχει µετατοπιστεί ο κύλινδρος, πόση ενέργεια

Β) Μέχρι τη στιγµή t 1 που ξετυλίγεται όλο το νήµα, Β-1) Κατά πόσο διάστηµα x έχει µετατοπιστεί ο κύλινδρος, πόση ενέργεια Ένας κύλινδρος που σπινάρει Νήµα τυλίγεται σε λεπτό αυλάκι κατά µήκος της περιφέρειας κυλίνδρου, που έχει µάζα M=2kg και ακτίνα R = 0,2m. Ο κύλινδρος συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήµα,

Διαβάστε περισσότερα

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων»

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Παρακολουθώ στο δίκτυο τις τελευταίες µέρες να γίνεται συζήτηση για την «Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» ή την «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Προσπαθώ στο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. . Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

Point to Point Navigation Using RMI only

Point to Point Navigation Using RMI only Point to Point Navigation Using RMI only Γειά χαρά, κατόπιν συζητήσεων που εχουν γίνει σε συναντήσεις Ελλήνων FlightSimmers έκρινα σκόπιµο να γίνει µια παρουσίαση του πως γινεται η point-to-point αεροναυτιλία

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η αντλία και η ισχύ της

Η αντλία και η ισχύ της Η αντλία και η ισχύ της Κατά την προηγούµενη χρονιά είχα αναρτήσει τρία θέµατα µε αντλίες, τα οποία διαπίστωσα ότι δύσκολα περπάτησαν, αφού θεωρήθηκαν δύσκολα. Ας πάρουµε λοιπόν τα πράγµατα από την αρχή,

Διαβάστε περισσότερα

Λύση. Γνωρίζουµε ότι η µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και από το εµβαδόν της γραφικής παράστασης υ=f(t) ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ :

Λύση. Γνωρίζουµε ότι η µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και από το εµβαδόν της γραφικής παράστασης υ=f(t) ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : X 6 (s) Σηµαντικό: Στην Ε.Ο.Κ και στο διάγραµµα µετατόπισης -χρόνου: Χ υ = = εφθ Μοτοσικλετιστής κινείται ευθύγραµµα και η κίνηση του περιγράφεται από το διάγραµµα Θέσης χρόνου του διπλανού

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α γ γ 4 β 5 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ ο α) Μετατόπιση αριστερά, µείωση της ποσότητας του Cl β) Μετατόπιση δεξιά, αύξηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÑÏÓÇÌÏ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÑÏÓÇÌÏ. . γ) Μετατόπιση δεξιά, συνολικά µείωση της ποσότητας του Cl. . στ) Καµία µεταβολή. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α γ γ 4 β 5 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ ο α) Μετατόπιση αριστερά, µείωση της ποσότητας του Cl β) Μετατόπιση δεξιά, αύξηση

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη.

4.1 Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. 4. Ζήτηση για Ασφάλιση. Πλήρη κάλυψη. Η αγορά ασφαλιστικών συµφωνιών είναι µία ιδιαίτερη περίπτωση αγοράς δικαιωµάτων. Αντικείµενο της αγοράς αυτής είναι να δώσει την ευκαιρία µεταβίβασης εισοδήµατος από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 9ου κεφαλαίου-αρχές Οικονοµίας

Ασκήσεις 9ου κεφαλαίου-αρχές Οικονοµίας Ασκήσεις 9ου κεφαλαίου-αρχές Οικονοµίας Α. Ασκήσεις Εθνικού προϊόντος µε τη µέθοδο της αξίας των τελικών προϊόντων (τελικής αξίας) 1. Έστω ότι µια οικονοµία παράγει µόνο τρία τελικά προϊόντα, το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας

Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Αρχιµήδης ΙΙΙ Υποέργο 18 2013 Ενα µάγµα µπορεί να εξελιχθεί κάτω από την επίδραση τριών ειδών επιρροών. Την εξέλιξη αυτή συµβολίζουµε µε ένα απλό τόξο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση 4.1.α.. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. Μια πλάκα µάζας Μ=4kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=250ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΕΩΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΟΜΕΣ ΤΟΥ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΕΩΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΟΜΕΣ ΤΟΥ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΕΩΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΟΜΕΣ ΤΟΥ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΕΡΓΟ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ 3.1.2.γ ΤΟΥ ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ ΠΟΥ ΣΥΓΧΡΗΜΑΤΟ ΟΤΕΙΤΑΙ ΚΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακές Εξαρτήσεις

Συναρτησιακές Εξαρτήσεις Εισαγωγή Θεωρία για το πότε ένας σχεδιασµός είναι «καλός» Η θεωρία βασίζεται στις Τι είναι; Εξαρτήσεις ανάµεσα σε σύνολα από γνωρίσµατα S1 S2 (όπου S1, S2 σύνολα γνωρισµάτων): αν ίδιες τιµές στα γνωρίσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 49 Συνάρτηση και καµπύλη κόστους Πολύ χρήσιµες

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνές εµπόριο-1 P 1 P 2

Διεθνές εµπόριο-1 P 1 P 2 Διεθνές εµπόριο-1 Το διεθνές εµπόριο συµβάλλει στην καλύτερη αξιοποίηση των παραγωγικών πόρων της ανθρωπότητας γιατί ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής της συνολικής προσφοράς αγαθών και υπηρεσιών που διακινείται

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων

Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2015-16 Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων 1. Πρώτη άσκηση 2. Δεύτερη άσκηση 3. α) Για τη συνάρτηση κέρδους έχουµε Π=P f(x)

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Λυκείου. Ορμή. Ορμή συστήματος σωμάτων Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Κ Ρ Ο Υ Σ Ε Ω Ν. Θετικού προσανατολισμού

Φυσική Γ Λυκείου. Ορμή. Ορμή συστήματος σωμάτων Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Κ Ρ Ο Υ Σ Ε Ω Ν. Θετικού προσανατολισμού Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Κ Ρ Ο Υ Σ Ε Ω Ν Φυσική Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού Ορμή Ορμή Ρ ενός σώματος ονομάζουμε το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο το γινόμενο της μάζας m του σώματος επί την ταχύτητά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το Ερωτήσεις βιβλίου. Συµπλήρωσε τις λέξεις που λείπουν από το παρακάτω κείµενο έτσι ώστε οι προτάσεις που προκύπτουν να είναι επιστηµονικά ορθές: i. Η θέση ενός σώµατος καθορίζεται σε σχέση µε ένα σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Α-7-1 Θετικοί και Αρνητικοί αριθµοί Η ευθεία των ρητών Ονοµατεπώνυµο:...

Ενότητα: Α-7-1 Θετικοί και Αρνητικοί αριθµοί Η ευθεία των ρητών Ονοµατεπώνυµο:... Ενότητα: Α-7-1 Θετικοί και Αρνητικοί αριθµοί Η ευθεία των ρητών Άσκηση 1 Να γράψετε έναν αριθµό που να εκφράζει το καθένα από τα παρακάτω µεγέθη ή τις µεταβολές α/α Έκφραση Συµβολισµός 1 Θερµοκρασία: 5

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα