Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS"

Transcript

1 5 Τα δίκτυα GPS 5.1 Γενικά περί των δικτύων GPS H τεχνική των "µεµονωµένων βάσεων" εφαρµόζεται όταν διατίθενται δύο µόνο δέκτες και χρησιµοποιείται για τα συνήθη δίκτυα πύκνωσης µε µικρό α- ριθµό σηµείων. O ένας δέκτης τοποθετείται σε ένα σηµείο και ο άλλος δέκτης περιφέρεται σε κάποια από τα υπόλοιπα. Σε ένα δίκτυο που αποτελείται από N κορυφές θα πρέπει να µετρηθούν περισσότερες από τον παραµετρικό βαθµό r = 3 N 1 βάσεις. Oι µετρήσεις θα πρέπει να είναι έτσι σχεδιασµένες, ώστε να δηµιουργούνται βρόγχοι τρίγωνα ή πολύγωνα, µε την ίδια λογική των χωροσταθµικών δικτύων. O µέγιστος αριθµός βάσεων που µπορεί να µετρηθεί είναι ο αριθµός των δυνατών βάσεων n max = N N 1/ µεταξύ των κορυφών του δικτύου. Oι µέγιστοι βαθµοί ελευθερίας τότε, για την περίπτωση των ανεξαρτήτων δικτύων, είναι f max = N 1 N 6/. Όλες οι βάσεις που µετριώνται και επιλύονται µεµονωµένα, είναι ανεξάρτητες και ασυσχέτιστες µεταξύ τους. Παρατηρήσεις στο δίκτυο θεωρούνται οι τρεις συνιστώσες της κάθε βάσης r b ij και ο 3 3 πίνακας των συµµεταβλητοτήτων τους Q ij. Aν ο αριθµός των µετρηµένων βάσεων είναι n b, ο αριθµός των παρατηρήσεων είναι n = 3n b. Για συνήθεις εφαρµογές, όπως είναι τα δίκτυα πύκνωσης µε σκοπό την αποτύπωση µιας περιοχής ή τη χάραξη ενός τεχνικού έργου, και όταν διατίθενται περισσότεροι από δύο δέκτες, οι βάσεις συνορθώνονται ως µεµονωµένες, επειδή τα σχετικά λογισµικά αγνοούν τη µεταξύ τους σε κάθε περίοδο συσχέτιση. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να επιλεγούν οι ανεξάρτητες µεταξύ τους βάσεις. αν ταυτόχρονα µετρούν K δέκτες, τότε οι µεταξύ τους βάσεις είναι K 1/, από τις οποίες όµως µόνο οι K 1 είναι ανεξάρτητες. Mια πιο απλοποιηµένη περίπτωση είναι ο υπολογισµός των αποστάσεων από τις συνιστώσες των βάσεων και στη συνέχεια η συνόρθωση ενός τριπλευρικού δικτύου στο χώρο ή στο προβολικό επίπεδο. Aγνοείται όµως έτσι ένα

2 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα ένα µεγάλο µέρος της πληροφορίας των βάσεων, που είναι ο προσανατολισµός της κάθε πλευράς, ως προς το σύστηµα αναφοράς που χρησιµοιοείται. Διαχωρίζονται στη συνέχεια τρεις περιπτώσεις: α η συνόρθωση των βάσεων στο σύστηµα WGS 84, β η συνόρθωση σε κάποιο άλλο τρισδιάστατο σύστηµα και γ η συνόρθωση µε καµπυλόγραµµες γεωδαιτικές συντεταγµένες. 5. H συνόρθωση των βάσεων Στην πιο απλή περίπτωση, όπου οι συντεταγµένες αναφέρονται στο σύστηµα ααναφοράς των βάσεων, oι εξισώσεις παρατηρήσεων για κάθε βάση r ij µεταξύ των κορυφών P i, P j γράφονται ή # "X ij b "Y ij b "Z ij b # = X j Y j Z j # X i Y i Z i # + "X v ij "Y v ij "Z v ij 1 r ij b = r j " r i + v ij Σχήµα 1. Oι συνιστώσες της βάσης στο σύστηµα WGS 84. Aν θέσουµε r i = r o i + x i και r j = r o j + x j, όπου r o i, r o j οι προσεγγιστικές συντεταγµένες και x i, x j οι διορθώσεις των προσεγγιστικών συντεταγµένων, η σχέση γίνεται # "X ij b "Y ij b "Z ij b # X o o j X i #*X Y o j #*X i # v o ij j Y i = *Y j *Y i + v ij Z o o j Z i *Z j *Z i v ij "X "Y "Z 3

3 Δίκτυα GPS 3 ή ή όπου r ij b " r ij o = x j " x i + v ij 4 b ij = A ij x ij + v ij 5 b ij = r ij b " r ij o = r ij b " r j o " r i o, A ij = ["I 3 I 3 ], " x ij = x i # x j και I 3 ο 3 3 µοναδιαίος πίνακας. Για όλες τις βάσεις, το σύστηµα των εξισώσεων παρατηρήσεων γράφεται b = A x + v 6 Oι πίνακες N και u του συστήµατος των κανονικών εξισώσεων N x ˆ = u είναι διαστάσεων 3 N 3 N και 3 N 1 αντίστοιχα, όπου N είναι ο αριθµός των κορυφών του δικτύου, και έχουν την αναλυτική δοµή: " O M M " M L N ii L N ij L u i N = M O M, u = M L N ji L N jj L u j # M M O # M 7 όπου οι υποπίνακες N ij και u i είναι διαστάσεων 3 3 και 3 1 αντίστοιχα. Πίνακας 1. Oι πίνακες N και u µπορούν να δηµιουργηθούν απευθείας, χωρίς να δηµιουργηθούν αρχικά οι πίνακες A και b, προσθέτοντας χωριστά τη συµβολή των παρατηρήσεων στο αντίστοιχο στοιχείο τους. Για την παρατήρηση r ij b έχουµε το σχήµα N ii " N ii + Q #1 ij, u i " u i # Q #1 ij r b ij, N jj " N jj + Q #1 ij, u j " u j + Q #1 b ij r ij #1 N ij " N ij # Q ij Στη λύση µε γνωστά σηµεία διατηρούνται σταθερές οι συντεταγµένες ενός ή περισσότερων σηµείων ελάχιστες ή πλεονάζουσες δεσµεύσεις αντίστοιχα, αποµακρύνοντας τις αντίστοιχες σειρές στήλες του πίνακα N και τα αντίστοιχα στοιχεία των x ˆ και u. Aν µετατεθούν κατάλληλα οι εξισώσεις και οι άγνωστες παράµετροι στο σύστηµα των κανονικών εξισώσεων, αυτό µπορεί να γραφεί 3

4 4 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα " N 11 N 1 " x ˆ 1 " T = u 1 # # ˆ 8 # N 1 N x u ˆ x είναι το διά- όπου x ˆ 1 είναι το διάνυσµα των αγνώστων συντεταγµένων και νυσµα των γνωστών. H λύση δίνεται από τις σχέσεις x ˆ 1 = N "1 11 u 1 και x ˆ = 0. 9 H ένταξη του δικτύου, όταν η συνόρθωση γίνεται στο σύστηµα WGS 84, γίνεται στο προβολικό επίπεδο που αναφέρονται οι συντεταγµένες του κρατικού δικτύου ανώτερης τάξης. Για το λόγο αυτό συνήθως η συνόρθωση γίνεται µε ε- λάχιστες δεσµεύσεις ώστε να αξιολογηθεί η ποιότητα του δικτύου και µάλιστα µε εσωτερικές δεσµεύσεις. Eπειδή η αδυναµία βαθµού του δικτύου είναι ίση µε τρία και αναφέρεται στη δυνατότητα της µετάθεσης του συστήµατος αναφοράς κατά τη διεύθυνση των τριών αξόνων, οι εσωτερικές δεσµεύσεις στο δίκτυο GPS δίνονται από τις σχέσεις N #"X i = #X i X o i = 0 i=1 N N i=1 #"Y i = #Y i Y o i = 0 i=1 N N i=1 #"Z i = #Z i Z o i = 0 10 i=1 N i=1 οι οποίες γράφονται σε µορφή πινάκων E x = 0, όπου ο E = [I 3 I 3... I 3 ], είναι διαστάσεων 3 3 N. H λύση δίνεται από τη σχέση x ˆ = N + E T E "1 u. 11 H αναλυτική δοµή του γινοµένου E T E είναι " I 3 I 3 L I 3 E T I E = 3 I 3 L I 3 M M O M # I 3 I 3 L I 3. 1 H λύση µε ελάχιστες δεσµεύσεις της µορφής H x = z δίνεται από τη σχέση ˆ x = N + H T H "1 u + E T HE T "1 z. 13 Στη συνέχεια υπολογίζονται τα σφάλµατα των παρατηρήσεων 4

5 Δίκτυα GPS 5 v ˆ = b " A x ˆ 14 ή για κάθε βάση χωριστά, v ˆ ij = r b ij " r ˆ ij # ˆ v ˆ ij = ˆ ˆ "X v ij "Y v ij "Z v ij # = "X ij b "Y ij b "Z ij b # X ˆ j X ˆ i Y ˆ j Y ˆ i ˆ Z j Z ˆ i. 15 H εκτίµηση ˆ " της µεταβλητότητας " δίνεται από τη σχέση # = ˆ f = v ˆ T P ˆ N v n + r 3N = 1 v ˆ T 1 ij Q ij v ˆ ij 16 n + r 3N i=1 όπου = v ˆ T P v ˆ είναι το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, f = n + r " 3N είναι οι βαθµοί ελευθερίας και r ο αριθµός των δεσµεύσεων. Tέλος, υπολογίζονται οι πίνακες συµµεταβλητοτήτων των συνορθωµένων συντεταγµένων, για τη λύση µε "γνωστά σηµεία" από τη σχέση # C ˆ " x ˆ = ˆ N και για τη λύση µε ελάχιστες δεσµεύσεις H x = z, από τη σχέση C ˆ x ˆ = [N + H T H #1 # E T HE T #1 EH T #1 E] 18 ή, για τις εσωτερικές δεσµεύσεις C ˆ x ˆ = [N + E T E #1 # E T EE T # E] = ˆ Xρήσιµος για τη σάρωση δεδοµένων είναι ο υποπίνακας των εκτιµήσεων των σφαλµάτων [ ] = ˆ " N + E T E #1 # 1 N ET E. 19 ˆ C ˆ v ij του πίνακα C ˆ v ˆ ij = Q ˆ v ˆ ij = T Q ij # A ij {Q x ˆ } ij A ij " Q ij # C ˆ ˆ r ij 0 όπου ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων της συνορθωµένης βάσης τη σχέση ˆ C ˆ v ˆ r ij δίνεται από 5

6 6 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Σχήµα. Tο τοπικό γεωκεντρικό σύστηµα σε σχέση µε το παγκόσµιο WGS 84 και το γεωειδές. C ˆ ˆ r ij = A ij {Q x ˆ } ij A ij T = #x #x#y ˆ #x#y #y ˆ #x#z #y#z ˆ " #x#z " #y#z " #z 1 και αναλυτικά τα στοιχεία του που είναι οι µεταβλητότητες των συνιστωσών " X ˆ ij, " Y ˆ ij και " Z ˆ ij και οι µεταξύ τους συµµεταβλητότητες #x = X ˆ i + X ˆ j X ˆ i, X ˆ j #y = Y ˆ i + Y ˆ j Y ˆ i, Y ˆ j #z = Z ˆ i + Z ˆ j Z ˆ i, Z ˆ j #x#y = X ˆ i, Y ˆ i + X ˆ j, Y ˆ j X ˆ i, Y ˆ j Y ˆ i, X ˆ j #x#z = X ˆ i, Z ˆ i + X ˆ j, Z ˆ j X ˆ i, Z ˆ j Z ˆ i, X ˆ j #y#z = Y ˆ i, Z ˆ i + Y ˆ j, Z ˆ j Y ˆ i, Z ˆ j Z ˆ i, Y ˆ j όπου οι µεταβλητότητες X ˆ i... και οι συµµεταβλητότητες X ˆ i, Y ˆ j,... των συνορθωµένων συντεταγµένων X ˆ i, Y ˆ i και του πίνακα C ˆ x ˆ. X ˆ i, X ˆ j, ˆ Z i είναι στοιχεία 6

7 Δίκτυα GPS H συνόρθωση του δικτύου σε τοπικό σύστηµα H συνόρθωση του δικτύου µπορεί να γίνει σε άλλο σύστηµα, εκτός από αυτό που αναφέρονται οι βάσεις, π.χ. σ ένα τοπικό γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς. Oι γνωστές συντεταγµένες x, y στο προβολικό επίπεδο, ενός ή περισσoτέρων κορυφών µέσω των οποίων θα γίνει η ένταξη του δικτύου GPS, καθώς και το ορθοµετρκό του υψόµετρο H, µετατρέπονται σε γεωδαιτικές συντεταγµένες φ, λ, h στο συγκεκριµένο σύστηµα αναφοράς και στη συνέχεια υπολογίζονται οι συντεταγµένες X, Y, Z στο τοπικό γεωκεντρικό σύστηµα. Aν το τοπικό σύστηµα είναι πολύ κοντά στο WGS 84 π.χ. EΓΣA 87, τότε, από τις συντεταγµένες αυτές, χρησιµοποιώντας ορισµένες κατάλληλα επιλεγµένες βάσεις, υπολογίζονται οι προσεγγιστικές συντεταγµένες των υπολοίπων κορυφών του δικτύου. Διαφορετικά, υπολογίζονται οι παράµετροι του µετασχηµατισµού οµοιότητας στις τρεις διαστάσεις από τη βέλτιστη προσαρµογή των συντεταγµένων X, Y, Z GPS του συστήµατος WGS 84, στις συντεταγµένες X, Y, Z TΣ του τοπικού συστήµατος, όπου γίνεται η συνόρθωση. Mε βάση τις παραµέτρους µετασχηµατισµού που υπολογίσθηκαν από τα κοινά σηµεία, µετασχηµατίζονται οι προσεγγιστικές συντεταγµένες των υπολοίπων σηµείων από το σύστηµα WGS 84 στο σύστηµα της συνόρθωσης. Στο σύστηµα των εξισώσεων παρατηρήσεων προστίθενται και οι άγνωστες παράµετροι µετασχηµατισµού των συντεταγµένων από το σύστηµα GPS στο σύστηµα που γίνεται η συνόρθωση του δικτύου. Tο διάνυσµα βάσης r b ij συνδέεται µε τις συντεταγµένες στο σύστηµα αναφοράς της συνόρθωσης µέσω της σχέσης r GPS ij = " R# x,# y,# z r j r i = " R 1 # x R # y R 3 # z r j r i 3 όπου ε x, ε x, ε z είναι οι γωνίες στροφής µεταξύ των δύο συστηµάτων, οι οποίες εµφανίζονται ως νέες άγνωστες παράµετροι στη συνόρθωση. O πίνακας στροφής R = Rε x, ε y, ε z έχει την αναλυτική µορφή cos" y cos" z cos" y sin" z #sin" y R = sin" x sin" y cos" z # cos" x sin" z sin" x sin" y sin" z + cos" x cos" z sin" x cos" y cos" x sin" y cos" z + sin" x sin" z cos" x sin" y sin" z # sin" x cos" z cos" x cos" y 4 Aπό τη σχέση 3, µετά τη γραµµικοποίησή της, προκύπτουν οι εξισώσεις παρατήρησης των συνιστωσών x b ij, y b ij και z b ij του διανύσµατος βάσης 7

8 8 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα r ij b " # o R o r ij o = "# o R o x i + # o R o x j + R o r ij o # + + # o R x r ij o x + # o R y r ij o y + # o R z r ij o z + v ij 5 όπου λ ο η προσεγγιστική τιµή της µεταβολής της κλίµακας και οι ιακωβιανοί πίνακες R o x, R o y και R o z είναι υπολογισµένοι στις προσεγγιστικές τιµές o o x, y και o z των γωνιών στροφής R x = cos" x sin" y cos" z + sin" x sin" z cos" x sin" y sin" z # sin" x cos" z cos" x cos" y cos" x sin" z # sin" x sin" y cos" z #sin" x sin" y sin" z # cos" x cos" z #sin" x cos" y "sin# y cos# z "sin# y sin# z " cos# y R y = sin# x cos# y cos# z sin# x cos# y sin# z "sin# x sin# y cos# x cos# y cos# z cos# x cos# y sin# z " cos# x sin# y " cos# y sin# z cos# y cos# z 0 R z = "sin# x sin# y sin# z " cos# x cos# z sin# x sin# y cos# z " cos# x sin# z 0 sin# x cos# z " cos# x sin# y sin# z cos# x sin# y cos# z + sin# x sin# z 0 Θέσαµε επίσης r ij o = r j o " r i o και παρατήρησης 5 γράφεται. 6 r ij GPS = r ij b " v ij. Tο σύστηµα των εξισώσεων b ij = A ij x ij + B ij y + v ij 7 όπου b ij = r b ij " # o R o r o ij, A ij = ["# o R o # o R o ], " x ij = x i # x j o B ij = R o r ij " o R o o x r ij " o R o o y r ij " o R o o [ z r ij ] και y = "# " x " y " z [ ] T. 8 Για τη συνόρθωση των παρατηρήσεων ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Σχηµατίζονται οι κανονικές εξισώσεις " # N x T N xy N xy N y " x ˆ " = u x 9 # y ˆ # u y Mε την εισαγωγή των τεσσάρων νέων παραµέτρων δλ, δε x, δε y, δε z, η αδυναµία βαθµού του δικτύου αυξάνεται κατά τέσσερα συνολικά είναι επτά. Tο σύστηµα αναφοράς ορίζεται µε ελάχιστες δεσµεύσεις, ή πλεονάζουσες. Aν και 8

9 Δίκτυα GPS 9 Πίνακας. Oι πίνακες N x και u x είναι διαστάσεων 3 N 3 N και 3 N 1 αντίστοιχα και η αναλυτική δοµή τους δόθηκε στις σχέσεις 7. Για την παρατήρηση, π.χ., r b ij έχουµε το σχήµα N ii " N ii + # o R T o Q 1 ij R o, N ij " N ij # o R T o Q #1 ij R o και N jj " N jj + # o R T o Q 1 ij R o u i " u i # o R T o Q #1 ij r b ij, u j " u j + # o R T o Q 1 ij r b ij. O πίνακας N xy είναι διαστάσεων 3 N k όπου k είναι ο αριθµός των παραµέτρων µετασχηµατισµού, συνήθως k = 7 για πλήρη µετασχηµατισµό οµοιότητας και η αναλυτική του δοµή είναι " N xy = # M [ N xy ] i M [ N xy ] j M όπου οι υποπίνακες [N xy ] i και [N xy ] i είναι διαστάσεων 3 k και η συµβολή της παρατήρησης r b ij δίνεται από το σχήµα [ N xy ] " i [ N xy ] # Q #1 i ij B ij [ N xy ] " N j [ xy ] # Q #1 j ij B ij Oι πίνακες N y και u y είναι διαστάσεων k k και k 1 αντίστοιχα και σχηµατίζονται σύµφωνα µε το σχήµα N y " N y + B T ij Q #1 ij B ij, u y " u y + B T ij Q #1 b ij r ij. και ο πιο απλός τρόπος εισαγωγής δεσµεύσεων είναι η διατήρηση ορισµένου αριθµού σταθερών συντεταγµένων επτά συντεταγµένες για ανεξάρτητο δίκτυο ή περισσότερες στην περίπτωση της ένταξης, στη συνέχεια θα δώσουµε τη λύση για ελάχιστες δεσµεύσες της µορφής H x = z. Θα µπορούσαν να συµµετάσχουν στις δεσµεύσεις και οι παράµετροι προσανατολισµού y, οι παράµετροι όµως αυτές δεν µας ενδιαφέρουν στην παρακάτω ανάλυση και αντιµετωπίζονται ως αδιάφορες παράµετροι όπως ακριβώς και η σταθερά προσανατολισµού στα οριζόντια δίκτυα. H λύση, στην περίπτωση των ελαχίστων δεσµεύσεων H x = z, δίνεται από τις σχέσεις ˆ x = R x "1 u x " N xy N y "1 u y + H T z 9

10 10 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα y ˆ = N "1 y u y " N T xy x ˆ 30 όπου R x = N x " N xy N "1 y N T xy + H T H και Q ˆ x = R x "1 " E T HE T "1 EH T "1 E Q y ˆ = N "1 y + N "1 y N T "1 xy Q x ˆ N xy N y "1 Q x ˆ y ˆ = "Q x ˆ N xy N y 31 O πίνακας E των εσωτερικών δεσµεύσεων έχει τη µορφή E = [ E 1 E... E N ], όπου N είναι ο συνολικός αριθµός των κορυφών του δικτύου και ο κάθε E i δίνεται από τη σχέση # o o E i = 0 z i "y i o o "z i 0 x i o o y i "x i 0 o o o x i y i z i. 3 H λύση των εσωτερικών δεσµεύσεων E x = 0, προκύπτει αν στους παραπάνω τύπους γίνει η αντικατάσταση H E και z 0. Στη συνέχεια υπολογίζονται τα σφάλµατα των παρατηρήσεων v ˆ ij = b ij " A ij x ˆ ij " B ij y ˆ 33 και η εκτίµηση ˆ " της µεταβλητότητας αναφοράς # = ˆ f = 1 v ˆ T ij Q 1ˆ ij v ij 34 n + r 3N k ij όπου = v ˆ T P v ˆ είναι το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, f = n + r 3 N k είναι οι βαθµοί ελευθερίας, r ο αριθµός των δεσµεύσεων και k ο αριθµός των παραµέτρων µετασχηµατισµού k = 7. Oι πίνακες συµµεταβλητοτήτων των αποτελεσµάτων της συνόρθωσης, προκύπτουν από τους αντίστοιχους πίνακες των συντελεστών που δίνονται στις σχέσεις 31, αν πολλαπλασιασθούν µε τη µεταβλητότητα αναφοράς. Tέλος, ο πίνακας C ˆ v ˆ ij των εκτιµήσεων των σφαλµάτων της βάσης r ij υποπίνακας του πίνακα C ˆ v ˆ δίνεται από τη σχέση 10

11 Δίκτυα GPS 11 B T # A y ij ij {Q x ˆ y ˆ } B T [ ] ij ij C ˆ v ˆ ij = Q ˆ v ˆ ij = Q ij # A ij {Q x ˆ } ij A T # B Q ij ij ˆ 35 Στην περίπτωση που η συνόρθωση γίνει σ ένα συµβατικό γεωκεντρικό σύστη- µα πολύ κοντά στο σύστηµα GPS π.χ. περίπτωση του Εθνικού Γεωδαιτικού συστήµατος αναφοράς, οι γωνίες στροφής είναι αρκετά µικρές δεν ξεπερνούν τα περίπου δευτερόλεπτα τόξου, " o x = " o y = " o z = 0 και " o = 1, ο παραπάνω πίνακας R απλοποιείται sin ε ο = ε και cos ε ο = 1 και η σχέση 3 γίνεται 1 # z # y r b * ij = " # z 1 # x * r j r i 36 # y # x 1 * H εξίσωση παρατήρησης γράφεται r b ij " r o ij = " x i + x j + r o ij # + P 1 r o ij # x + P r o ij # y + P 3 r o ij # z + v ij 37 όπου # # 0 0 "1 # P 1 = 0 0 1, P = 0 0 0, P 3 = " " και οι πίνακες b ij, A ij και B ij παίρνουν την αναλυτική µορφή b ij = r b ij " r o ij, A ij = ["I I] και o o o o B ij = [ r ij P 1 r ij P r ij P 3 r ij ]. 39 H λύση δίνεται από τις σχέσεις 30 έως 35. Η περίπτωση της αλλαγής του συστήµατος αναφοράς που αναπτύχθηκε παραπάνω είναι χρήσιµη στην ανάλυση των διαχρονκών δικτύων προσδιορισµού µικροµετακινήσεων. Επιδράσεις όπως µεταβολές της τροχιάς του δορυφόρου επιδρούν στην εκτίµηση της βάσης ως αλλαγή του συστήµατος αναφοράς και στα δίκτυα υψηλής ακριβεία δεν πρέπει να αγνοούνται. 5.4 Η περίπτωση των γεωδαιτικών συντεταγµένων φ, λ και h. H συνόρθωση του δικτύου µπορεί να γίνει και µε παραµέτρους τις γεωδαιτικές συντεταγµένες q = φ, λ, h αρκεί να γίνει η µετατροπή από το ένα σύστηµα συντεταγµένων στο άλλο µε τη βοήθεια της σχέσης 11

12 1 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα Σχήµα 3. Oι γεωδαιτικές συντεταγµένες φ, λ και h. N i + h i cos" i cos # i * r i = N i + h i cos" i sin # i * [1 e N i + h i ]sin" i *, όπου N i = a 1" e sin # i 40 η ακτίνα καµπυλότητας της πρώτης κάθετης τοµής, a ο µεγάλος ηµιάξονας και e η κύρια εκκεντρότητα του ελλειψοειδούς. Oι εξισώσεις παρατηρήσεων προκύπτουν αν γίνει η αντικατάσταση των διορθώσεων των προσεγγιστικών o καρτεσιανών συντεταγµένων x i = r i " r i από τις αντίστοιχες γεωδαιτικές καµπυλόγραµµες z i = q i " q o i, σύµφωνα µε τη σχέση x i = r i " r o i = #r i q #q i i " q o i = R T i G 1/ i q i " q o i = R T i G 1/ i z i 41 όπου ο πίνακας στροφής R i = R" i,# i έχει την αναλυτική µορφή "sin i cos i 0 R i = R 1 90 o " # i R 90 o * + i = "cos i sin# i "sin i sin# i cos# i * 4 cos i cos# i sin i cos# i sin# i * και ο πίνακας G i 1/ είναι τέτοιος ώστε G i 1/ G i 1/ = G i και x i T x i = z i T G i z i, 1

13 Δίκτυα GPS 13 #N i + h i cos" i 0 0 G 1/ i = 0 M i + h i 0, όπου M i = a1" e 1" e sin # i 3 43 η ακτίνα καµπυλότητας της µεσηµβρινής τοµής. H σχέση 41 γράφεται αναλυτικά #"X i #N i + h i sin * i cos+ i M i + h i cos * i sin+ i cos * i cos+ i #"* i "Y i = N i + h i cos * i cos+ i M i + h i sin * i sin+ i sin * i cos+ i "+ i "Z i 0 M i + h i cos+ i sin+ i "h i H εξίσωση παρατήρησης είναι r b ij " r o ij = " R T i G 1/ i z i + R T j G 1/ j z j + r o ij # + P 1 r o ij # x + P r o ij # y + P 3 r o ij # z + v ij όπου z είναι τα διανύσµατα των διορθώσεων δλ, δφ, δh των προσεγγιστικών τιµών των γεωδαιτικών συντεταγµένων λ ο, φ ο, h ο και οι προσεγγιστικές τιµές r o i, r o j του διανύσµατος r o ij = r o o j " r i προκύπτουν από τη σχέση 40, οι πίνα- Πίνακας 3. Οι κανονικές εξισώσεις έχουν τη µορφή που δόθηκε στη σχέση 9 Αναλυτικά τα στοιχεία των πινάκων N x και u x προκύπτουν σύµφωνα µε το σχήµα N ii " N ii + G 1/ i R T i Q #1 ij R j G 1/ j, N jj " N jj + G 1/ i R T i Q #1 1/ ij R j G j N ij " N ij # G 1/ i R T i Q #1 1/ ij R j G j u i " u i # G 1/ i R T i Q #1 ij r b ij, u j " u j + G 1/ i R T i Q #1 b ij r ij Οι υποπίνακες [N xy ] i και [N xy ] i του πίνακα N xy είναι διαστάσεων 3 4 και η συµβολή της παρατήρησης r b ij δίνεται από το σχήµα [ N xy ] " N i xy [ ] i # Q ij #1 B ij, [ N xy ] " N j [ xy ] + Q #1 j ij B ij Oι πίνακες N y και u y είναι διαστάσεων 4 4 και 4 1 αντίστοιχα και σχηµατίζονται σύµφωνα µε το σχήµα N y " N y + B T ij Q #1 ij B ij, u y " u y + B T ij Q #1 b ij r ij 13

14 14 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα πίνακες P 1, P, P 3, b ij και B ij δόθηκαν στις σχέσεις 38 και 39 και ο πίνακας A ij γίνεται A ij = "R T 1/ i G i R T 1/ [ j G j ]. 46 H λύση των ελαχίστων δεσµεύσεων δίνεται από τις σχέσεις 30, 31, όπου ο πίνακας E των εσωτερικών δεσµεύσεων E z = 0, z T z = min. έχει τη µορφή E = E [ E... 1 E N ] 47 και ο κάθε E i είναι E i = E i R T i G "1/ i, όπου ο E i δόθηκε στη σχέση 3. Η αναλυτική δοµή του E i δίνεται στον πίνακα 4. Μια χρήσιµη επιλογή είναι οι δεσµεύσεις H z = 0, που οδηγούν στην ελαχιστοποίσηση της νόρµας x T x = z T G z = min., όπου ο πίνακας H = E G έχει τη µορφή H = [ H 1 H... H N ] και κάθε πίνακας H i έιναι H i = E i G i = E i R T 1/ i G i. 48 Πίνακας 4. O 7 1 πίνακας E i των εσωτερικών δεσµεύσεων E z = 0. "sin # i N i + h i cos i "cos # i sin i M i + h i cos " i cos# i cos " i "sin # i sin i sin " N i + h i cos# i M i + h i cos# i i cos" i 0 sin" M i + h i i [1" e N i + h i ]sin# i cos i e sin " i #1# h i sin "N i e sin # i sin i cos i i N i + h i cos# i M i + h i [1" e N i + h i ]sin# i sin i e sin " i #1+ h i cos N i + h i cos# i M i + h i i N i e cos " i sin# i cos# i " N i e sin# i cos# i M i + h i h i + N i 1" e sin# i 14

15 Δίκτυα GPS Οι στατιστικοί έλεγχοι και τα κριτήρια αξιοπιστίας Σχετικά µε την αξιοπιστία των δικτύων GPS, ισχύουν όσα και στα κλασικά οριζόντια ή κατακόρυφα δίκτυα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι, αν και εφαρµόσθηκαν στατιστικές µέθοδοι για τον εντοπισµό πιθανών συστηµατικών ή χονδροειδών σφαλµάτων στο στάδιο των εκτιµήσεων των βάσεων, παρόλα αυτά δεν µπορούµε να παραλείψουµε τους στατιστικούς ελέγχους κατά την τελική συνόρθωση του δικτύου. Eίναι πιθανόν, ενώ κατά τον έλεγχο στο στάδιο της ανάλυσης των φάσεων ή ψευδοαποστάσεων οι υποθέσεις ότι δεν υπάρχουν συστηµατικά ή χονδροειδή σφάλµατα να έγιναν δεκτές, στο στάδιο της συνόρθωσης των βάσεων συνολικά στο δίκτυο, ορισµένες να απορριφθούν, εξαιτίας της καλύτερης εσωτερικής αξιοπιστίας. Eποµένως, για τους παραπάνω λόγους, πρέπει να εφαρµόζονται οι στατιστικοί έλεγχοι, όπως και στην περίπτωση των κλασικών δικτύων, και κατά τη συνόρθωση των δικτύων GPS. Πίνακας 5. Εκατοστιαία σηµεία κατανοµών για τη σάρωση δεδοµένων. " # / " # / t " # / t " # / t " # / # F 3," k α = ν α = 0.01 α = α = 0.01 α = α = 0.05 α = 0.05 α = # F," O έλεγχος για την ύπαρξη χονδροειδών ή συστηµατικών σφαλµάτων γίνεται µε την τεχνική της "σάρωσης δεδοµένων" για κάθε παρατήρηση y b k k=1,, 3 ή y 1 b = "X ij b, r k = y b = "Y ij b και Βασίζεται στις σχέσεις ˆ # {Q ij ή ισοδύναµα {Q "1ˆ ij v ij } k "1 Q v ˆ ij Q "1, ij } kk y 3 b = "Z ij b αντίστοιχα που ανήκει στη βάση / r k " # f 1 r ij b

16 16 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα t k = r k f "1 f " r k a # F o 1, f "1 ή t k = r k f "1 f " r k ~ t f "1 και a t k " t o f #1 50 Ο πίνακας Q v ˆ ij υπολογίζεται από τη σχέση 0 ή 35. Συνήθως ο έλεγχος στα δίκτυα GPS γίνεται για όλη τη βάση συνολικά και όχι για µία µόνο συνιστώσα της. O έλεγχος της βάσης r b ij γίνεται σύµφωνα µε τις σχέσεις r v = ˆ T ij {Q v ˆ ij } "1 v ˆ ij 3# ˆ ή ισοδύναµα F = r f " 3 a f " 3r # F 3, f "3 f F 3, f "3 f " 3+ 3 F 3, f "3 = T 3, f " H αποδοχή των υποθέσεων κατά την αξιολόγηση της αξιοπιστίας των αποτελεσµάτων µιας συνόρθωσης, δε σηµαίνει αναγκαστικά ότι όλες οι παραδοχές των υποθέσεων αυτών ικανοποιούνται. Mπορεί επίσης να σηµαίνει ότι τα αποτελέσµατα της συνόρθωσης δεν είναι ικανά να δείξουν ότι οι αρχικές µηδενικές υποθέσεις δεν ισχύουν. Για παράδειγµα, κάποια χονδροειδή ή συστηµατικά σφάλµατα µπορεί να παραµείνουν ακόµη στις µετρήσεις και µετά από την ε- φαρµογή των παραπάνω στατιστικών ελέγχων. Για να αξιολογήσουµε την ποιότητα στην εκτίµηση της θέσης των σηµείων, εκτός από τη µέτρηση της ακρίβειάς τους και τον έλεγχο για τον εντοπισµό και την αποµάκρυνση των συστη- µατικών ή χονδροειδών σφαλµάτων των παρατηρήσεων από τις οποίες προέκυψαν τα σηµεία αυτά, θα πρέπει να γνωρίζουµε πόσο µεγάλα είναι τα πιθανά σφάλµατα των παρατηρήσεων που δεν εντοπίζονται και πώς επιδρούν τα σφάλµατα αυτά στην εκτίµηση των τελικών θέσεων των σηµείων. Χρήσιµο εργαλείο για τη µελέτη της αξιοπιστίας, τόσο στο στάδιο σχεδιασµού όσο και κατά τη συνόρθωση των δικτύων, είναι ο βαθµός ελέγχου ή α- ριθµός πλεονασµού f i της κάθε παρατήρησης, που ορίζεται ως ο λόγος της µεταβλητότητας του συνορθωµένου σφάλµατος προς την αρχική µεταβλητότητα της παρατήρησης. Ο αριθµός αυτός κυµαίνεται από 0 έως 1 και συνήθως ένα δίκτυο είναι αξιόπιστο όταν όλες οι τιµές f i είναι ίσες ή µεγαλύτερες από 0.3. Από το άθροισµα των αριθµών f i όλων των παρατηρήσεων, προκύπτουν οι βαθµοί ελευθερίας f του δικτύου. Στην περίπτωση της k παρατήρησης που ανήκει στη βάση r ij k=1,,3 ή "X ij b, "Y ij b και "Z ij b αντίστοιχα, επειδή οι συνιστώσες της βάσης είναι συσχετισµένες µεταξύ τους, oι βαθµοί πλεονασµού f k = Q ˆ "1 { v ij Q ij } = I 3 " Q "1 ij Qˆ r ij kk { } 53 kk 16

17 Δίκτυα GPS 17 εκφράζουν την πλεονάζουσα πληροφορία της παρατήρησης, δεν µπορούν όµως να χρησιµοποιηθούν ως δείκτες αξιοπιστίας, επειδή παίρνουν τιµές και µεγαλύτερες του 1. Στην περίπτωση αυτή ως δείκτες αξιοπιστίας χρησιµοποιούνται οι ανηγµένοι βαθµοί πλεονασµού f k = Q "1 Q v ˆ Q "1 { ij } ij ij kk "1 Q ij { } kk 54 όπου {Q "1 ij Q v ˆ ij Q "1 ij } kk και {Q "1 ij } kk τα διαγώνια στοιχεία των πινάκων που αντιστοιχούν στην παρατήρηση. Οι βαθµοί πλεονασµού της βάσης r ij δίνονται από τη σχέση f ij = f 1 + f + f 3 = tr Q v ˆ ij Q ij Στην περίπτωση της βάσης "1 { } = tr I 3 " Q ij { "1 Qˆ r ij } 55 r ij των δικτύων GPS, η τιµή του οριακού σφάλ- µατος της κάθε συνιστώσας y b k "X b ij, "Y b ij και "Z b ij υπολογίζονται από τους τύπους " ok = # o o, k = 1,, 3 56 k όπου " k είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα πίνακας συµµεταβλητοτήτων της βάσης και "1 R = Q ij Q v ˆ ij Q "1 ij, Q ij είναι ο 3 3 Q v ˆ ij είναι ο υποπίνακας του πίνακα των συντελεστών συµµεταβλητοτήτων των σφαλµάτων, που αντιστοιχεί στα σφάλµατα v ˆ ij της βάσης r ij. Oι τιµές " ok και τα αντίστοιχα ιδιοανύσµατα u k k = 1,, 3 του πίνακα R ορίζουν ελλειψοειδές, το οποίο παριστά το οριακό σφάλµα της βάσης r ij συνολικά. Στην περίπτωση των δικτύων GPS και όταν ελέγχονται ταυτόχρονα οι τρεις συνιστώσες της βάσης, η παράµετρος εκκεντρότητας, το επίπεδο σηµαντικότητας και η ισχύς του ελέγχου συνδέονται µε τη βοήθεια της σχέσης " o = f F 3, f #3 f # 3+ 3F 3, f #3 + Q ˆ v f F o 3, f #3. 57 f # 3+ 3F o 3, f #3 Όλες οι πληροφορίες οι σχετικές µε την ακρίβεια των συνορθωµένων συντεταγµένων των κορυφών του δικτύου περιέχονται, στον πίνακα των συµµεταβλητοτήτων τους C ˆ x ˆ. Aπό τα στοιχεία του πίνακα αυτού µπορούν να υπολογισθούν τα ελλειψοειδή σφάλµατος των κορυφών, ή οι ελλείψεις σφάλµατος στα 17

18 18 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα σφάλµατος στα επίπεδα X, Y, X, Z και Y, Z. 5.6 O έλεγχος της ακρίβειας O έλεγχος της ακρίβειας µπορεί να γίνει διαχωρισµένα, για το οριζόντιο και το κατακόρυφο µέρος του δικτύου, ακριβώς όπως και στα κλασικά δίκτυα. O πίνακας C ˆ i των συντεταγµένων x i, y i, h i που αναφέρονται σε τοπικό σύστηµα αναφοράς, προκύπτει από τον πίνακα { C ˆ x ˆ } i σύµφωνα µε τη σχέση # x ˆ i C ˆ i = F i { C ˆ x ˆ } i F T i = x ˆ i, y ˆ i x ˆ i, h ˆ i x ˆ i, y ˆ i y ˆ i y ˆ i, h ˆ i x ˆ i, ˆ y ˆ i, ˆ h i h i h ˆ i 58 όπου F i = G 1/ i G "1/ i R i ο πίνακας στροφής R i = Rφ i, λ i δόθηκε αναλυτικά στη σχέση 43 και ο πίνακας G 1/ i G "1/ i είναι N i cos# i 0 0 N i + h i cos# i 0 0 G 1/ i G "1/ i = 0 M i 0 0 M i + h i "1 * I 3 59 όπου Ν i είναι η ακτίνα καµπυλότητας της πρώτης κάθετης τοµής και Μ i η ακτίνα καµπυλότητας της µεσηµβρινής τοµής. Προκύπτει εποµένως ότι F i R i. Aντίστοιχα υπολογίζεται και κάθε πίνακας διασυµµεταβλητοτήτων C ˆ ij = F i { C ˆ x ˆ } ij F T j " R i { C ˆ x ˆ } ij R j. 60 Aπό τα στοιχεία των πινάκων και # C ˆ xy " i = ˆ x ˆ i x ˆ i, y ˆ i C ˆ xy #" ij = ˆ x ˆ i, x ˆ j y ˆ i, x ˆ j x ˆ i, y ˆ i, y ˆ i ˆ C j xy = # x ˆ j x ˆ j, y ˆ j x ˆ j, y ˆ j y ˆ j x ˆ i, y ˆ j 61 y ˆ i, y ˆ j των συµµεταβλητοτήτων των οριζοντίων συντεταγµένων, υπολογίζονται οι ελλείψεις και οι σχετικές ελλείψεις σφάλµατος, ενώ από τις µεταβλητότητες h ˆ i, h ˆ j, ˆ " ˆ h i, ˆ h j 6 18

19 Δίκτυα GPS 19 ελέγχεται η ακρίβεια των υψοµέτρων. Για τον έλεγχο της ακρίβειας το δίκτυο πρέπει να συνορθωθεί αρχικά ως ελεύθερο. Σχετικά µε τους µετασχηµατισµούς των πινάκων συµµεταβλητοτήτων στα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων, ισχύουν οι σχέσεις C ˆ i = G 1/ i { C ˆ z ˆ } i G 1/ i, C ˆ ij = G 1/ i { C ˆ z ˆ } ij { C ˆ z ˆ } i = G "1/ i R i { C ˆ x ˆ } i R T i G "1/ i, 1/ G j { C ˆ z ˆ } ij = G "1/ i R i { C ˆ x ˆ } ij R T "1/ j G j όπου C ˆ i ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των οριζοντίων συντεταγµένων x, y και του υψοµέτρου h της κορυφής P i του δικτύου στο τοπικό σύστηµα και C ˆ ij ο πίνακας των διασυµµεταβλητοτήτων µεταξύ των σηµείων P i και P j, { C ˆ x ˆ } i, { C ˆ x ˆ } ij οι αντίστοιχοι πίνακες των συντεταγµένων X, Y, Z στο τοπικό γεωκεντρικό σύστηµα και { C ˆ z ˆ } i, { C ˆ z ˆ } ij οι υποπίνακες των συµµεταβλητοτήτων των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων φ, λ, h στο προηγούµενο σύστηµα. Για παράδειγµα, από τις µεταβλητότητες # ˆ i, # ˆ i και # ˆ i, ˆ i υπολογίζονται x ˆ i, y ˆ i στο ορι- οι µεταβλητότητες x ˆ i, ζόντιο επίπεδο x ˆ i = N i cos # i # ˆ i x ˆ i, y ˆ i = M i N i cos# i # ˆ i, ˆ i y ˆ i και η συµµεταβλητότητα y ˆ i = M i # ˆ i. 65 Σε πολλές περιπτώσεις απαιτείται η ένταξη του δικτύου, διατηρώντας "γνωστές" τις συντεταγµένες περισσοτέρων από ένα σηµείων. Aν η συνόρθωση γίνει στο τοπικό σύστηµα αναφοράς, όπου θα ενταχθεί το νέο δίκτυο, η ένταξη µπορεί να γίνει µε πλεονάζουσες δεσµεύσεις, διατηρώντας γνωστές τις συντεταγµένες των κορυφών του κρατικού δικτύου. Στην περίπτωση αυτή ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: α. Συνορθώνεται το δίκτυο µε ελάχιστες δεσµεύσεις µε ένα σηµείο γνωστό, ή σαν ελεύθερο και γίνεται ο έλεγχος για την ύπαρξη χονδροειδών ή συστη- µατικών σφαλµάτων. β. Aφού αποµακρυνθούν οι παρατηρήσεις, που βρέθηκαν να περιέχουν χονδροειδή ή συστηµατικά σφάλµατα, συνορθώνεται το δίκτυο διατηρώντας αµετάβλητες τις συντεταγµένες των γνωστών σηµείων. Στο σηµείο αυτό ε- λέγχεται η πιθανή ύπαρξη σφαλµάτων στις γνωστές συντεταγµένες. H ένταξη όµως του δικτύου GPS γίνεται συνήθως στο προβολικό επίπεδο. Mία τεχνική ένταξης στο προβολικό επίπεδο περιγράφεται παρακάτω στο ίδιο κεφά- 19

20 0 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα κεφάλαιο. 5.7 Ο έλεγχος των δικτύων από δειγµατικές µετρήσεις πεδίου Ο έλεγχος της ποιότητας ενός δικτύου µπορεί να γίνει: α Με τη βοήθεια των κριτηρίων ακρίβειας και αξιοπιστίας, και των αποτελεσµάτων των στατιστικών ελέγχων, σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν παραπάνω, και β Με τη βοήθεια νέων µετρήσεων στα «στοιχεία» του δικτύου, µε όργανα ίσης ή καλύτερης α- κρίβειας, και τη σύγκρισή τους µε τις αντίστοιχες τιµές που υπολογίζονται από τις συνορθωµένες συντεταγµένες. Στη δεύτερη περίπτωση ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: Επιλέγονται και εκτελούνται οι νέες µετρήσεις π.χ. γωνίες, αποστάσεις µεταξύ των σηµείων του δικτύου, βάσεις GPS, υψοµετρικές διαφορές κλπ.. Οι νέες µετρήσεις περιέχονται στο διάνυσµα y b. Υπολογίζονται οι αντίστοιχες ποσότητες y x ˆ χρησιµοποιώντας τις εκτιµήσεις x ˆ των συντεταγµένων του δικτύου. Υπολογίζονται τα σφάλµατα των νέων παρατηρήσεων v = y b " y x ˆ 66 και ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων τους C v = P "1 + #y #x C #y x ˆ #x T 67 όπου είναι η µεταβλητότητα αναφοράς της συνόρθωσης του δικτύου και f είναι οι αντίστοιχοι βαθµοί ελευθερίας. Ο έλεγχος γίνεται µε την τεχνική της σάρωσης δεδοµένων κατά παρατήρηση και βασίζεται στη σχέση t i = " i = v i / t f # i 68 όπου v i και " i αντιστοιχούν στην i παρατήρηση και είναι στοιχεία των πινάκων " v και C v αντίστοιχα. Στον πίνακα 5 δίνονται τα στοιχεία t / f για επίπεδο σηµαντικότητας α = Παράδειγµα 1. Έλεγχος Δικτύου µε µετρήσεις αποστάσεων Έστω ότι µετριούνται n αποστάσεις για τον έλεγχο ενός δικτύου. Δίνονται οι τιµές των παρατηρήσεων S b i i = 1,, n και οι µεταβλητότητές τους " i. Από 0

21 Δίκτυα GPS 1 τη συνόρθωση του δικτύου προέκυψαν οι αντίστοιχες τιµές S ˆ i και i και οι βαθµοί ελευθερίας f. Για κάθε απόσταση, υπολογίζονται οι ποσότητες v i = S b i " S ˆ i, " i = " i + i και " i = v i # i. 69 Ο έλεγχος γίνεται κατά απόσταση µε την τεχνική της σάρωσης δεδοµένων t i = " i = v i / t f. 70 # i για επίπεδο σηµαντικότητας α = Παράδειγµα. Έλεγχος Δικτύου µε µετρήσεις n βάσεων. Έστω ότι µετριούνται n βάσεις µε GPS για τον έλεγχο ενός δικτύου. Δίνονται οι τιµές των παρατηρήσεων και οι µεταβλητότητες και συµµεταβλητότητές τους # r b ij = "X ij b "Y ij b "Z ij b, C b ij = " #X " #X#Y " #X#Z " #X#Y " #Y " #Y#Z " #X#Z " #Y#Z " #Z 71 Από τη συνόρθωση του δικτύου προέκυψαν οι αντίστοιχες τιµές ˆ r ij = #" X ˆ ij " Y ˆ ij " Z ˆ ij, #X #X#Y ˆ C ˆ ij = #X#Y #Y ˆ #X#Z #Y#Z ˆ " #X#Z " #Y#Z " #Z 7 και οι βαθµοί ελευθερίας f. Για κάθε βάση, υπολογίζονται οι ποσότητες: v ij = r b ij " r ˆ ij, C ij = C b ij + C ˆ ij και " i = v ij T C #1 ij v ij 73 O έλεγχος γίνεται κατά βάση µε την τεχνική της σάρωσης δεδοµένων: " i = T v #1 ij C ij v ij 3F 3, f 74 για επίπεδο σηµαντικότητας α = Στον πίνακα 5 δίνονται οι τιµές των εκατοστιαίων σηµείων F 3, f 1

22 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα 5.8 H συνόρθωση των περιόδων H τεχνική των περιόδων ακολουθείται όταν χρησιµοποιούνται περισσότεροι από δύο δέκτες, έστω K. Oι K δέκτες µετρούν ταυτόχρονα K K 1/ βάσεις, από τις οποίες οι K 1 είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, όσος και ο παραµετρικός βαθµός του τµήµατος του δικτύου των K κορυφών. Oι ταυτόχρονες µετρήσεις των K δεκτών, αποτελούν τις περιόδους µέτρησης sessions. Για να είναι δυνατή η τελική ενιαία συνόρθωση των περιόδων ως δίκτυο, θα πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους µε δύο τουλάχιστον κοινά σηµεία. Oι βάσεις µεταξύ των κοινών κορυφών των κορυφών που εµφανίζονται τουλάχιστον σε δύο περιόδους αποτελούν και την πλεονάζουσα πληροφορία στο δίκτυο. Aν N είναι ο αριθµός των κορυφών του δικτύου και M ο αριθµός των κορυφών που εµφανίζεται τουλάχιστον σε δύο περιόδους, ο αριθµός των περιόδων θα πρέπει να είναι s = N " M K " M 75 όπου ο ακέραιος s στρογγυλεύεται στον αµέσως επόµενο ακέραιο. Έτσι, ο συνολικός αριθµός των ανεξαρτήτων µετρηµένων βάσεων είναι s K "1, ενώ ο αριθµός των βάσεων που µετρήθηκαν σε περισσότερες από µία περιόδους είναι s "1M "1. Για την περίπτωση των ελαχίστων δεσµεύσεων, οι βαθµοί ελευθερίας του δικτύου είναι f = 3s "1M "1 76 Oι αρχικές παρατηρήσεις της κάθε περίοδου συνορθώνεται ξεχωριστά se sion solution, απ όπου προκύπτουν οι K 1 βάσεις, σύµφωνα µε όσα αναφέρθηκαν στο κεφάλαιο 9. H τελική συνόρθωση προκύπτει από τη συνόρθωση ό- λων των επιµέρους περιόδων multisession solution. Tο σύστηµα των K 1 εξισώσεων παρατηρήσεων για την α έστω περίοδο, στην τελική συνόρθωση του δικτύου, γράφεται b α = A α x + v α α = 1,,..., s 77 όπου s ο αριθµός των περιόδων, τα στοιχεία των στηλών του πίνακα A α που αναφέρονται στις K κορυφές της περιόδου είναι 1 ή 1, ενώ τα στοιχεία των υπολοίπων στηλών είναι 0. O 3 K 3 K πίνακας Q α των συµµεταβλητοτήτων των βάσεων της α περιόδου δεν έχει διαγώνια µορφή. Oι βάσεις µε κοινή κορυφή είναι συσχετισµένες µεταξύ τους. Iκανοποιώντας το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων s v ˆ T #1 " Q " ˆ = min. 78 "=1 v "

23 Δίκτυα GPS 3 προκύπτει το σύστηµα των κανονικών εξισώσεων N ˆ x = u όπου s T N = " A a Q #1 a A a και a=1 s T u = " A a Q #1 a b a. 79 a=1 Oι λύσεις δίνονται από τις σχέσεις 13 έως 19, όπου, εκτός από την ολική µεταβλητότητα = 1 s v ˆ T 1 # Q # v ˆ # 80 f #=1 υπολογίζεται και η µεταβλητότητα αναφοράς των παρατηρήσεων της κάθε περιόδου # a f a a = ˆ όπου a = v ˆ T 1 # Q # v ˆ # και f a = tr{i " Q a "1 Qˆ r a } 81 και Qˆ r a = A a N g A T a είναι ο πίνακας των συντελεστών µεταβλητοτήτων των συνορθωµένων βάσεων της περιόδου. O έλεγχος για την ύπαρξη χονδροειδών ή συστηµατικών σφαλµάτων γίνεται: α "κατά συντεταγµένη", όπου υπολογίζεται για κάθε παρατήρηη y b k k=1,,..., n που ανήκει στην περίοδο α, το "εξωτερικά οµαλοποιηµένο σφάλµα" t k = r k f "1 f " r k ~ F 1, f "1 ή t k = r k f "1 f " r k ~ t f "1 όπου r "1 {Q k = a ˆ v a } k # ˆ "1 {Q a Q v ˆ a Q "1 a } kk 8 β κατά "βάση", όπου ελέγχονται οι τρείς συνιστώσες της βάσης ταυτόχρονα r e ij = ˆ T ij {Qˆ e ij } "1ˆ e ij 3ˆ # και F = r ij f " 3 f " 3r ij όπου ˆ "1 e ij = {Q a ˆ "1 v a } ij, Qˆ e ij = {Q a Q v ˆ a Q "1 a } ij γ ή συνολικά για τις παρατηρήσεις της α περιόδου r a = v ˆ T {Q " Qˆ r a a a } "1 ˆ n a # ˆ v a και F = r a a # F 3, f "3 f " n a f " n a r a. 83 a # F na, f "n a. 84 Για συνήθεις εφαρµογές, π.χ. δίκτυα πύκνωσης, οι βάσεις επιλύονται ανά 3

24 4 Εφαρµογές GPS στα γεωδαιτικά δίκτυα περίοδο παρατήρησης και το δίκτυο συνορθώνεται µε όλες τις βάσεις αλλά χωρίς να ληφθεί υπόψη η συσχέτιση µεταξύ τους. 5.9 H τεχνική της ταυτόχρονης µέτρησης όλων των κορυφών Διατίθενται τόσοι δέκτες όσα και τα σηµεία. Στην περίπτωση αυτή, αν N είναι ο αριθµός των κορυφών του δικτύου, N 1 βάσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους αλλά συσχετισµένες. H τεχνική αυτή χρησιµοποιείται συνήθως στα παγκόσµια και ηπειρωτικά δίκτυα, σε γεωδυναµικές εφαρµογές και σε µελέτες µικροµετακινήσεων. Ως περίοδος ορίζεται ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα µέτρησης, π.χ. µισή ώρα ή µερικές ώρες, ανάλογα µε τα µήκη των βάσεων, ή µια µέρα για µετρήσεις υψηλής ακρίβειας. Στο τέλος κάθε περιόδου θα πρέπει να κλείνουν οι δέκτες και να τίθενται σε νέα διαδικασία µέτρησης για την επόµενη περίοδο. Mάλιστα, θα πρέπει να εναλλάσονται και οι θέσεις τους ανάµεσα στα σηµεία. H διαδικασία αυτή δεν τηρείται πολλές φορές και ο συνολικός χρόνος µέτρησης, π.χ. 4 ώρες, διαιρείται σε περιόδους, π.χ. της µιας ώρας. Oι παρατηρήσεις είναι οι συντεταγµένες x b i, i = 1,,..., n, για κάθε µία περίοδο από τις n περιόδους συνολικά. Oι συντεταγµένς αυτές συνοδεύονται από τον πίνακα συµµεταβλητοτήτων Q i και προέκυψαν από τις χωριστές συνορθώσεις κάθε περιόδου. Tο σύστηµα των εξισώσεων παρατηρήσεων της κάθε περιόδου είναι x i b = x + v i, i = 1,,..., n. 85 H λύση του συστήµατος των κανονικών εξισώσεων δίνεται από τη σχέση όπου ˆ x = N "1 u = Q u 86 n # N = Q i "1 i=1 και n "1 b u = # Q i x i i=1. 87 Tο σύστηµα αναφοράς ορίζεται στην ανά περίοδο επεξεργασία. Για λόγους απλοποίησης του αλγόριθµου στο µέρος αυτό των υπολογισµών πρόβληµα επιλογής γενικευµένου αντίστροφου για τους πίνακες συµµεταβλητοτήτων Q i, το σύστηµα αναφοράς είναι σκόπιµο να ορίζεται θεωρώντας απόλυτα γνωστές τις συντεταγµένες µιας κορυφής. Στην περίπτωση των παρατηρήσεων GPS ο αριθµός των σταθερών συντεταγµένων είναι 3 1 σηµείο. Tα σφάλµατα των παρατηρήσεων, η µεταβλητότητα αναφοράς και ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των συντεταγµένων δίνονται από τις σχέσεις ˆ v i = x i b x 88 4

25 Δίκτυα GPS 5 # = ˆ f όπου n " i i=1 n = # ˆ = # v ˆ T i Q 1ˆ i 89 i=1 C ˆ x ˆ = Q = N g 90 Eκτός από την "ολική" µεταβλητότητα αναφοράς, υπολογίζονται οι συνιστώσες της για κάθε περίοδο µέτρησης # i f i i = ˆ όπου i = v ˆ T i Q #1ˆ i v i και οι οποίες είναι χρήσιµες για τον έλεγχο της σχετικής ακρίβειας των παρατηρήσεων των διαφόρων περιόδων. Tο εξωτερικά οµαλοποιηµένο σφάλµα για τον εντοπισµό συστηµατικών ή χονδροειδών σφαλµάτων, στο σύνολο των παρατηρήσεων της κάθε περιόδου δίνεται από τις σχέσεις r v i = ˆ T i {Q i " Q} "1 v ˆ i n i # ˆ και F = r i v i f i = tr{i " Q i "1 Q} 91 f " n i f " n i r i a # F ni, f "n i. 9 Aν όλες οι ηµέρες περάσουν τον παραπάνω έλεγχο συµπεραίνουµε ότι δεν υπάρχει σηµαντική µετακίνηση στο διάστηµα των µερικών ηµερών και εποµένως οι παρατηρήσεις µπορούν να θεωρηθούν ταυτόχρονες. Σε αντίθετη περίπτωση πρέπει να εντοπισθεί η αιτία της απόρριψης του ελέγχου, που συνήθως είναι η ύπαρξη χονδροειδών σφαλµάτων. 5

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή 6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 1 Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός σημείου P μετρήθηκαν οι οριζόντιες αποστάσεις προς τρία γνωστά σημεία (βλέπε σχήμα).

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 4: Μοντέλα Ανάλυσης και Εξισώσεις Παρατηρήσεων Δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου (και όχι μόνο..) Χ. Κωτσάκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Ιούλιος 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Βασικές σχέσεις.3 Γραμμική vs. μη-γραμμική προσέγγιση του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS

Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ SUPPLEMENTARY COURSE NOTES Για περισσότερες λεπτομέρειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 016-017 Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Υψομετρικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς

Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς Μετασχηματισμός δικτύου GPS στα ελληνικά γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς Α. Φωτίου και Χ. Πικριδάς Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ Περίληψη: Παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 5: Προ επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 11: Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

4. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα

4. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα 4. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα 4.1. Μέθοδοι µετρήσεων. Η µέθοδος που θα χρησιµοποιήσουµε για τον προσδιορισµό θέσης µε το GPS εξαρτάται κυρίως από την ακρίβεια που απαιτείται σε κάθε εφαρµογή και από τον

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων

Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ ΕΙΔΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ. προς τους φοιτητές/τριες που θα πάρουν μέρος στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 2016

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ ΕΙΔΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ. προς τους φοιτητές/τριες που θα πάρουν μέρος στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 2016 Θεσσαλονίκη, 13 Ιουνίου 2016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ΕΙΔΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ προς τους φοιτητές/τριες που θα πάρουν μέρος στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΑΙΘΡΟΥ 2016 Αντικείμενο του μαθήματος Το αντικείμενο των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS. GPS Block Ι. GPS Block ΙΙ και ΙΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS. GPS Block Ι. GPS Block ΙΙ και ΙΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS GPS Block Ι Η σειρά δορυφόρων GPS Block Ι (Demonstration) ήταν η πρώτη σειρά δορυφόρων και είχε δοκιµαστικό χαρακτήρα, ακολουθήθηκε από την επόµενη επιχειρησιακή

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ Διδακτικές σημειώσεις Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ MSc Γεωπληροφορική

Διαβάστε περισσότερα

1. Eισαγωγή ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ. Ιωάννης Δ. Δούκας 1, Δηµήτριος Ρωσσικόπουλος 2. Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

1. Eισαγωγή ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ. Ιωάννης Δ. Δούκας 1, Δηµήτριος Ρωσσικόπουλος 2. Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ Ιωάννης Δ. Δούκας 1, Δηµήτριος Ρωσσικόπουλος 1 Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ HEPOS και σύγχρονα γεωδαιτικά συστήµατα αναφοράς: Θεωρία και υλοποίηση, προοπτικές και εφαρµογές. HEPOS workshop 25-26/9/2008 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ Γεωδαιτικά Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου

Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 216-217 Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Γεωδαιτικό Υπόβαθρο για τη χρήση του HEPOS

Γεωδαιτικό Υπόβαθρο για τη χρήση του HEPOS Επιµορφωτικά Σεµινάρια ΑΤΜ Γεωδαιτικό Υπόβαθρο για τη χρήση του HEPOS Συστήματα & πλαίσια αναφοράς Μετασχηματισμοί συντεταγμένων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου

Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Πως ξεπερνάμε το

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 9: Η έννοια και η χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών Ενημερωτικό σεμινάριο για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών (θεματικές ενότητες 4, 5, 6, 7) Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και

Διαβάστε περισσότερα

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS) Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Διαβάστε περισσότερα

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 69 8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 8.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό πλάτος ενός τόπου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου του τόπου και του επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού. Ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SMANET1 Πρόγραµµα Συνόρθωσης και Ελέγχου Γεωµετρικών Συνθηκών σε 3 Τοπογραφικά ίκτυα ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Χριστόφορος Κωτσάκης Επίκουρος Καθηγητής ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι)

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS)

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS) ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS) ιδακτικές σηµειώσεις Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας

Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας 3 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΑΤΜ Ανάλυση χωροσταθμικών υψομέτρων στο κρατικό τριγωνομετρικό δίκτυο της Ελλάδας Χ. Κωτσάκης, Μ. Ζουλίδα, Δ. Τερζόπουλος, Κ. Κατσάμπαλος Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ HEPOS (HTRS07) ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ (ΕΓΣΑ87)

ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ HEPOS (HTRS07) ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ (ΕΓΣΑ87) ΤΑΤΜ ΑΠΘ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Α.Ε. ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ HEPOS (HTRS07) ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ (ΕΓΣΑ87) Βασική µεθοδολογία και αριθµητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια)

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΜΕ801 Χαρτογραφία 1 Μάθηµα επιλογής χειµερινού εξαµήνου Πάτρα, 2016 Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Βασίλης Παππάς, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Φωτογραμμετρία

Αναλυτική Φωτογραμμετρία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναλυτική Φωτογραμμετρία Ενότητα # 6: Βασικά Φωτογραμμετρικά προβλήματα II Καθηγήτρια Όλγα Γεωργούλα Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Εφαρμογές Παγκοσμίου

Διαβάστε περισσότερα

-1- Π = η απόλυτη παράλλαξη του σημείου με το γνωστό υψόμετρο σε χιλ.

-1- Π = η απόλυτη παράλλαξη του σημείου με το γνωστό υψόμετρο σε χιλ. -1- ΜΕΤΡΗΣΗ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ ΑΝΑΓΛΥΦΟΥ. Η γνώση των υψομέτρων διαφόρων σημείων μιας περιοχής είναι πολλές φορές αναγκαία για ένα δασοπόνο. Η χρησιμοποίηση φωτογραμμετρικών μεθόδων με τη βοήθεια αεροφωτογραφιών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Φωτογραμμετρία

Αναλυτική Φωτογραμμετρία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναλυτική Φωτογραμμετρία Ενότητα # 5: Βασικά Φωτογραμμετρικά προβλήματα I Καθηγήτρια Όλγα Γεωργούλα Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 63 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 7: Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί 2 & 3

Μετασχηµατισµοί 2 & 3 Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων

Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Μου τη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS

Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS Επιµορφωτικά Σεµινάρια ΑΤΜ Μοντέλο μετασχηματισμού μεταξύ του ΕΓΣΑ87 και του συστήματος αναφοράς του HEPOS Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ένταξη διανομών Υπ. Γεωργίας στο ΕΓΣΑ 87 μέσω μετρήσεων GNSS: η περίπτωση του Συνοικισμού Δασοχωρίου Σερρών

Ένταξη διανομών Υπ. Γεωργίας στο ΕΓΣΑ 87 μέσω μετρήσεων GNSS: η περίπτωση του Συνοικισμού Δασοχωρίου Σερρών 4 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Ένταξη διανομών Υπ. Γεωργίας στο ΕΓΣΑ 87 μέσω μετρήσεων GNSS: η περίπτωση του Συνοικισμού Δασοχωρίου Σερρών Ν. Ασλανίδης, Χ. Κωτσάκης Τομέας Γεωδαισίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Ø Η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος που υλοποιεί µια συνάρτηση oole σχετίζεται άµεσα µε

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1.

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1. Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση Περιέχει: 1. Αναλυτική Θεωρία 2. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 4.

Διαβάστε περισσότερα