. Ασκήσεις για εξάσκηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ". Ασκήσεις για εξάσκηση"

Transcript

1 . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα. Αν Β = 5, να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΕΓ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι BΓ= 4. Η διάµεσος ΑΜ, προεκτεινόµενη, τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να υπολογίσετε το γινόµενο AM ME Φέρνουµε µια χορδή ΑΒ ενός κύκλου µε κέντρο Ο και το απόστηµα ΟΜ αυτής. Μια άλλη χορδή Γ του κύκλου διέρχεται από το Μ. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ = 4ΜΓ Μ 1.79 Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος Σ = x Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος της χορδής E= x ίνεται κύκλος (Κ,6) και σηµείο Α, ώστε ΑΚ 14 φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ που τέµνει τον κύκλο κατά χορδή ΒΓ 6 = cm. Αν από το σηµείο Α = cm, να υπολογίσετε το ΑΒ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 73

2 1.8 Να αποδείξετε ότι η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων διχοτοµεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόµενο τµήµα τους Στο διπλανό σχήµα να αποδειχθεί ότι ΣA= Σ Θεωρούµε κύκλο (Ο,R) και τις χορδές του ΑΒ, Γ που τέµνονται στο Ρ. Αν ισχύει ΡΑ Ρ ότι =, να αποδείξετε ότι οι χορδές ΑΒ, Γ είναι ίσες. ΡΒ ΡΓ 1.85 Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ= 0, Γ = 19, ΑΟ= 6 και ΓΟ= 7. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα ση- µεία Α, Β και Γ διέρχεται επίσης από το σηµείο Στο διπλανό σχήµα είναι ΟΑ= ΟΕ. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ= 3ΒΟ ύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου τέµνονται σε µέρη ανάλογα. Να αποδειχθεί ότι οι χορδές αυτές είναι ίσες Να αποδειχθεί ότι στο διπλανό σχήµα τα σηµεία, Ε, Ζ και Η είναι οµοκυκλικά (ανήκουν στον ίδιο κύκλο). 74

3 1.89 Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ= ΑΓ) είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Η ευθεία του ύψους Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. Αν ΑΒ= ΑΓ= 10 και ΒΓ= 1, να βρείτε: α) το µήκος του τµήµατος Ε, β) την ακτίνα R του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ Στο διπλανό σχήµα είναι ΣΑ= 77, Σ = 33 και ΑΒ= 74. Να υπολογίσετε: α) το τµήµα ΣΓ, β) τη γωνία ˆΣ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε β + γ = α. Η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµ- µένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι: α 3 α 3 α) ΑΜ=, β) Μ = Τα ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Η. Η προέκταση του Α τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι: α) HA H = ΗΒ ΗΕ= ΗΓ ΗΖ, β) ΑΖ ΑΒ= ΑΓ ΑΕ, γ) ΑΕ ΑΓ= ΑΗ Α, δ) Η = Η, ε) Β Γ= Η Α Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ= ΑΓ. Η Β είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΒ. Να αποδειχθεί ότι: α) Α ΒΓ= Γ ΒΑ, β) Α = ΓΕ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 75

4 1.94 Έστω ΑΒ µια διάµετρος και ΑΓ µια χορδή ενός κύκλου. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουµε σηµείο τέτοιο, ώστε Α = ΑΒ. Αν το Ε είναι εφαπτόµενο τµήµα, να αποδειχθεί ότι: =, β) τα τµήµατα Β και Ε είναι ασύµµετρα. α) Β Ε R 1.95 ύο κύκλοι (Κ,R) και Λ, εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο Α. Από ένα ση- µείο Μ του µικρού κύκλου φέρνουµε µια χορδή Γ του µεγάλου. Να αποδειχθεί ότι: MΓ Μ = ΜΑ 1.96 Με τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Γ,, Ε και Ζ είναι οµοκυκλικά ίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο (Αˆ = 90 ) και ο περιγεγραµµένος του κύκλος (Ο, R). Μια µεταβλητή ευθεία (ε) διέρχεται από το Γ και τέµνει το ύψος Α στο σηµείο Μ και τον κύκλο στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι ΓΜ ΓΗ= ΓΑ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ο κύκλος, που διέρχεται από το Α και τα µέσα Μ, Ν των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, εφάπτεται της ΒΓ στο, να αποδείξετε ότι: A = Β Γ 1.99 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραµµένος του κύκλος (O,R). Αν η διχοτόµος Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε και ισχύει Α = Β Γ να αποδειχθεί ότι: α) Α = Ε, β) τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΕΓ είναι όµοια, =. γ) ΑΕ ΕΓ 76

5 1.100 Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Μια ευθεία παράλληλη προς την πλευρά Γ τέµνει τις Β και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να α- ποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Β, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε την τέµνουσα ΣΒΑ και το εφαπτόµενο τµήµα ΣΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας ˆΣ τέµνει την ΑΓ στο σηµείο, Α ΣΓ να αποδειχθεί ότι =. Γ ΣΒ 1.10 ίνεται κύκλος (Ο,R) και ένα σηµείο του Α. Έστω Β σηµείο της εφαπτοµένης (ε) του κύκλου στο σηµείο Α. Η παράλληλη από το σηµείο Β προς την ακτίνα ΟΑ τέ- µνει τον κύκλο πρώτα στο Γ και µετά στο. Να αποδειχθεί ότι: ΑΓ = ΒΓ + ΒΓ Γ ίνεται η διάµετρος ΑΒ ενός κύκλου (O,R) και ένα τυχαίο σηµείο Ε της ΟΑ. Μια ο ο χορδή Γ διέρχεται από το Ε και σχηµατίζει µε την ΑΒ γωνία 45 ( ΕΒ ˆ = 45 ). Αν Ζ είναι το µέσο της Γ, να αποδειχθεί ότι: ΕΑ ΕΒ+ ΟΖ = R Ένα τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς α είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Αν Ε είναι το µέσο της Α και η ΒΕ προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο Ζ, να α- ποδείξετε ότι: α 5 α) ΒΕ=, β) ΒΕ= 5ΕΖ Από σηµείο Α εκτός κύκλου (Ο,R) φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ και εφαπτόµενο τµήµα Α. Αν η διχοτόµος της γωνίας ˆΑ τέµνει τις Β, Γ στα Ε και Ζ α- ντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ΕΒ ΖΓ= Ε Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 77

6 1.106 Αν η διάµεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: ΒΓ α) ΑΜ ΜΕ=, β) ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ ΑΕ ίνεται κύκλος (Ο,R) και ευθεία (ε) που δεν τέµνει τον κύκλο. Από µεταβλητό σηµείο Μ της (ε) φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ, ΜΒ. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σηµείο ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο (Aˆ = 90 ), εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R) και το ύψος του Α. Αν µεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέµνει το ύψος Α στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι: α) ΓΜ ΓΗ= ΓΑ, β) ο περιγεγραµµένος κύκλος του AMH εφάπτεται µε την ΑΓ Αν η διχοτόµος Α, τριγώνου ΑΒΓ, τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε και είναι Α = Β Γ, να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΕΓ Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ και ΣΒ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΣΒ τέµνει τον κύκλο στο Γ. Έστω το σηµείο, στο οποίο η ΣΓ τέµνει τον κύκλο. Αν η Α τέµνει τη ΣΒ στο σηµείο Ε, να αποδειχθεί ότι: α) τα τρίγωνα ΣΕ και ΑΣΕ είναι όµοια, β) EΣ= EB Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο ση- µείο. Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και α = β + γ, τότε: α) να υπολογίσετε, συναρτήσει της πλευράς α, τα τµήµατα ΜΘ και Μ, β) να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΒΘΓ είναι παραλληλόγραµµο. 78

7 1.11 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του Α. Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ αποδειχθεί ότι ΒΑ ΑΓ. = και Γ = ΑΒ, να Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση: α + β β + γ γ + α + + 1R µ µ µ γ α β όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου ίνεται ρόµβος ΑΒΓ. Μια ευθεία που διέρχεται από την κορυφή Α τέµνει τη διαγώνιο Β στο σηµείο Ε, την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ και την προέκταση της Γ στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι: α) τα τρίγωνα ΕΓΖ και ΕΓΗ είναι όµοια, β) EΓ = ΕΖ ΕΗ, γ) ο κύκλος που διέρχεται από τα σηµεία Γ, Ζ και Η εφάπτεται στην ευθεία ΕΓ ίνονται δύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου C που τέµνονται στο Σ, ώστε ΣΑ< ΣΒ. Έστω Ε το συµµετρικό του Α ως προς το Σ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΕΒ τέµνει τη Γ στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι: ΣΓ= ΣΖ Ένας κύκλος που είναι εγγεγραµµένος σε τετράγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ= 10, εφάπτεται µε την πλευρά ΑΒ στο σηµείο Μ. Οι Μ, ΜΓ τέµνουν τον κύκλο αυτό στα Ε και Ζ. Να υπολογίσετε το µήκος x του ΕΖ ίνεται κύκλος (Ο,R) και µια διάµετρός του ΑΒ. Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ προς το µέρος του Β παίρνουµε τυχαίο σηµείο Γ και φέρνουµε την εφαπτο- µένη Γ. Η κάθετη πάνω στην ΑΓ, στο σηµείο Γ, τέµνει την προέκταση της Α στο σηµείο Ε. Να αποδειχθεί ότι: ΓΑ = Γ + Α ΑΕ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 79

8 1.118 ίνεται κύκλος (Ο,R) και τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ. Φέρνουµε την ΟΓ ε, όπου (ε) µια τυχαία ευθεία που διέρχεται από το Μ και δεν τέµνει τον κύκλο. Να αποδειχθεί ότι: α) τα σηµεία Μ, Α, Ο, Β και Γ είναι οµοκυκλικά, β) ΟΝ ΟΓ= R, όπου Ν το κοινό σηµείο των ΟΓ, ΑΒ Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ, προς το σηµείο Β, ενός κύκλου µε κέντρο Ο παίρνουµε ένα σηµείο. Από το φέρνουµε την εφαπτοµένη Γ του κύκλου. Αν A = Γ, να αποδείξετε ότι: ΑΒ= 3Β 1.10 ίνεται κύκλος (Ο,R), µια διάµετρος ΑΒ και ένα σηµείο του Γ. Έστω Γ ΑΒ. Ο κύκλος (Γ,Γ ) τέµνει τον κύκλο (Ο,R) στα σηµεία Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΜΝ διχοτοµεί το τµήµα Γ Ένα σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα σηµεία Β και Γ τέµνονται στο. Αν η ευθεία Α τέµνει τον κύκλο στο Ε και Μ είναι το µέσο του ΒΓ, να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Ο, Μ, Ε είναι οµοκυκλικά. 1.1 ύο χορδές ΑΓ και Β ενός ηµικυκλίου ΑΟΒ µε κέντρο Ο, τέµνονται στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ = ΑΕ ΑΓ+ ΒΕ Β 1.13 ίνεται κύκλος ακτίνας R= 10 και µια χορδή ΑΒ. Προς το εξωτερικό του κύκλου κατασκευάζουµε τετράγωνο ΑΒΓ και από την κορυφή φέρνουµε την εφαπτοµένη Ε. Αν E = Α, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου Έστω τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α Β και Α Γ τέµνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: BΓ= ΒΖ+ ΖΕ 80

9 1.15 Η διάµεσος ΒΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΒΑ + ΒΓ + ΕΑ + ΕΓ = ΒΕ 1.16 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, µε β + γ = α. Αν η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο, να αποδείξετε ότι α 3 Μ = Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ γ = β. Αν Μ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΜ εφάπτεται της ΒΓ στο Β ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε µ β µ γ. Να αποδείξετε ότι: α) β + γ = 5α, β) αν Α ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΗ Α = α Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, µε ΑΒ= ΑΓ= 6. Αν Α = 4 και ΓΕ= 3, να αποδείξετε ότι: α) ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΒΕ εφάπτεται της ΑΒ, β) η ΒΓ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆ ΒΕ Ένα τρίγωνο ΑΒΓ, µε α= 3, β= και γ= 4 είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Στο Α φέρνουµε την εφαπτοµένη του κύκλου που τέµνει την προέκταση της ΒΓ στο. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ είναι όµοια. γ) Να εκφράσετε το µήκος του Α ως συνάρτηση του µήκους x του Γ. δ) Να υπολογίσετε τα τµήµατα Γ και Α. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 81

10 Ασκήσεις για Ολυµπιάδες Σε κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ Ε οι διαγώνιοι Β και ΓΕ τέµνονται στο σηµείο Ο. Να αποδείξετε ότι η ΓΒ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΒΟΕ ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και οι κύκλοι (Γ 1), (Γ ) µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Το ύψος από το Β του ΑΒΓ, τέµνει τον (Γ ) στα σηµεία Ε και Ζ, ενώ το ύψος από το Γ του ΑΒΓ, τέµνει τον (Γ 1) στα Η και Θ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Η, Θ είναι οµοκυκλικά. (Αυστρία 005) ίνεται κύκλος µε κέντρο Ο, µια ακτίνα του ΟΑ, ένα σηµείο αυτής και µια χορδή ΒΓ κάθετη προς την ΟΑ, η οποία διέρχεται από το. Έστω Μ Ν µια τυχαία χορδή του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο Β τέµνει την ευθεία ΟΑ στο σηµείο Ρ. Να αποδείξετε ότι η ΜΑ διχοτοµεί τη γωνία ΜΡ ˆ ίνεται κύκλος (Ο,R), µια ακτίνα του ΟΑ, το µέσο Σ της ΟΑ και µια χορδή ΒΓ η οποία διέρχεται από το Σ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Β και Γ τέ- µνονται στο. Αν Ε είναι η προβολή του πάνω στην ευθεία ΟΑ, να αποδείξετε ότι: α) ΑΟ= ΑΕ, β) καθώς η χορδή ΒΓ στρέφεται περί το Σ, το σηµείο κινείται σε µια σταθερή ευθεία Από σηµείο Α εκτός κύκλου φέρνουµε τις τέµνουσες ΑΒΓ και Α Ε. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΕ τέµνει την ευθεία Γ στο Ζ. Από το Ζ φέρνουµε την εφαπτοµένη ΖΗ προς τον κύκλο. Να αποδείξετε ότι ZA = ZH. 8

11 1.136 ίνεται ηµικύκλιο C 1 διαµέτρου ΑΒ και ένα σηµείο του τόξου ΑΒ. Φέρνουµε Γ ΑΒ. Στην ηµιευθεία Γ παίρνουµε τµήµα ΓΕ> Γ. Η ΑΕ τέµνει το C 1 στο σηµείο Ζ. Ένα ηµικύκλιο C µε διάµετρο το ΑΕ τέµνει το C 1 στο σηµείο Η και τη ΒΖ στο σηµείο Θ. Να αποδείξετε ότι A = ΑΘ. o ίνεται γωνία xoy ˆ < 90 και δύο ηµιευθείες Ox 1 και Oy 1 στο εσωτερικό της, ώστε xox ˆ ˆ 1 = yoy1 και οι γωνίες αυτές να µην έχουν κοινά εσωτερικά ση- µεία. Από ένα σηµείο Α της Ox 1 φέρνουµε AΓ Ox και A Oy. Από ένα σηµείο Β της Oy 1, φέρνουµε BE Ox και BZ Oy. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΟΓ και ΟΕΖ είναι όµοια, β) τα σηµεία Ε, Γ, Ζ, είναι κορυφές τετραπλεύρου εγγράψιµου σε κύκλο ίνεται ηµικύκλιο C διαµέτρου ΑΒ και κέντρου Ο. Έστω Γ τυχαίο σηµείο του ηµικυκλίου, διάφορο των Α, Β, και Μ το µέσο του τόξου ΑΓ. Η εφαπτοµένη του C στο Μ τέµνει την ευθεία ΒΓ στο. Η ευθεία Α τέµνει το C στο Ε και η ΒΕ τέµνει το Μ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΗΜ = Η ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο και το σηµείο τοµής Ε των απέναντι πλευρών ΒΑ και Γ. Η παράλληλη από το Ε προς την ΑΓ τέµνει την ευθεία Β στο σηµείο Ζ. Αν ΖΗ είναι εφαπτόµενο τµήµα από το Ζ προς τον κύκλο, να αποδείξετε ότι ΖΕ = ΖΗ ύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ), µε R> ρ, τέµνονται στα Α και Β. Οι κοινές εφαπτοµένες Γ και ΕΖ τέµνονται στο Η. (Τα Γ και Ε είναι σηµεία του κύκλου (Κ, R)). Η ευθεία ΗΑ τέµνει τον κύκλο Κ στο Θ και η ΓΕ τέµνει την ΚΛ στο Ι. Να αποδείξετε ότι KΘΙ ˆ = ΚΑΙ ˆ ίνεται ένας κύκλος και δύο σηµεία του Α και Β όχι αντιδιαµετρικά. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α και Β τέµνονται στο Γ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέµνει τον κύκλο στο. Η Γ τέµνει τον κύκλο στο Ε και η ΑΕ τέµνει τη ΒΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΖΒ= ΖΓ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 83

12 1.14 Από ένα εξωτερικό σηµείο Α ενός κύκλου C 1 φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΑΒ και ΑΓ. Έστω το συµµετρικό του Α ως προς το Β. Ένας κύκλος C που εφάπτεται της ΑΒ στο Α, διέρχεται από το Γ και τέµνει τον C 1 στο Ε. Η ΑΕ τέµνει τον C 1 στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΖ είναι εγγράψιµο. (GM) ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α και τα µέσα Μ, Ν των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ΜΒ, ΓΝ ξανατέµνονται στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία Ε διέρχεται από το µέσο του ΜΝ Εξωτερικά των πλευρών ΑΓ, ΒΓ ενός οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούµε τα ηµικύκλια C 1, C µε διαµέτρους ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Φέρνουµε τα ύψη Α, ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ. Αν οι ευθείες Α, ΒΕ τέµνουν τα ηµικύκλια στα ση- µεία Ν και Μ, να αποδείξετε ότι ΓΜ = ΓΝ. (Βρετανία 005) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα µέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα και σηµείο της πλευράς ΒΓ. Αν ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΜΝ διέρχεται από τα βαρύκεντρα Κ, Λ των τριγώνων Α Β, Α Γ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Μ= Ν, β) οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α Β, Α Γ διέρχονται αντίστοιχα από τα Λ και Κ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος Α, Ε ΑΒ και Ζ ΑΓ. Αν Ο είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ και Α = R, όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου του ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ο, Ζ είναι συνευθειακά. (Βοσνία, tst 008) 84

13 1.147 Έστω Ρ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα και Θ το βαρύκεντρο του ABΓ. Αν το τετράπλευρο ΡΘΜΒ είναι εγγράψιµο και 3 µ β = γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (5 η Ολυµπιάδα Αλβανία) ίνεται κύκλος (C) και σηµείο Α αυτού. ύο ευθείες διέρχονται από το Α και τέµνουν τον (C) στα σηµεία Β και Γ. Μια ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ τέ- µνει τις ηµιευθείες ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία, Ε αντίστοιχα και εφάπτεται του (C) στο Ρ. Τα τµήµατα Γ και ΕΒ τέµνουν τον (C) στα Ζ, Η αντίστοιχα. Οι ευθείες ΑΖ, ΑΗ τέµνουν τη Ε στα Κ, Λ. Να αποδείξετε ότι η ΑΡ διχοτοµεί τη γωνία ΑΕ ˆ ίνεται κύκλος (Ο,R) και σηµείο Α στο εσωτερικό του. Μια µεταβλητή ευθεία από το Α τέµνει τον κύκλο στα Κ, Λ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Κ, Λ τέ- µνονται στο Ν. Να αποδείξετε ότι καθώς η χορδή ΚΛ µεταβάλλεται διερχόµενη από το Α, το Ν κινείται σε µια ευθεία ίνονται δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) που δεν έχουν κοινά σηµεία. Έστω ΚΑ, ΛΒ εφαπτόµενα τµήµατα προς τους δύο κύκλους. Η ευθεία ΑΒ τέµνει τους κύκλους (Κ), (Λ) στα σηµεία Γ και. Να αποδείξετε ότι ΒΓ= Α ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Β, ΓΕ και το ορθόκεντρο Η του ΑΒΓ. Η ευθεία Ε τέµνει την ευθεία ΓΒ στο Κ. Αν ΗΘ ΑΚ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΘΗ διέρχεται από το µέσο του ΒΓ ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Με διάµετρο ΒΓ γράφουµε ηµικύκλιο που τέ- µνει την ΑΓ στο Ε. Το ύψος Α του τριγώνου ΑΒΓ τέµνει το ηµικύκλιο στο Κ. Στο τµήµα ΒΕ παίρνουµε σηµείο Ν, ώστε ΓΝ= ΓΚ. Να αποδείξετε ότι: α) το τµήµα ΓΝ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου Β Ν, ο β) ΑΝΓ ˆ = 90. (Κίνα 007) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 85

14 1.153 ύο κύκλοι (C 1,ρ), (C,R), µε ρ< R, εφάπτονται εξωτερικά. Μια ευθεία (ε 1) εφάπτεται µε τον C 1 στο Α και τον C στο Β. Μια ευθεία ε // ε 1 εφάπτεται στον C 1 και τέµνει τον C στα Γ και. Μια ευθεία διέρχεται από το Β και τέ- µνει τη Γ στο Ε και τον κύκλο C στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε 1) εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΕΖ. (Ρουµανία, tst 003) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σηµείο στην πλευρά ΒΓ τέτοιο, ώστε ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Β να περνάει από το βαρύκεντρο Λ του τριγώνου Α Γ και συγχρόνως ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Γ να περνάει από το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου Α Β. Να αποδείξετε ότι οι διάµεσοι Μ, Ν των τριγώνων Α Β, Α Γ που άγονται από το είναι ίσες. (Κροατία 008) ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Ο κύκλος µε διάµετρο ΑΓ τέµνει τη Β στα Ε και Ζ. Η κάθετη προς την ΑΓ στο σηµείο Γ τέµνει τις ευθείες ΑΒ και Α στα σηµεία Κ και Λ. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Κ, Λ είναι οµοκυκλικά. (Baltic way 008) Στο διπλανό σχήµα οι δύο µικροί κύκλοι είναι τυχαίοι και εφάπτονται του ΑΒ καθώς και του τόξου ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) οι ευθείες Γ, ΖΕ τέµνονται επί του κύκλου, β) τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά ίνεται κύκλος C, µια χορδή Κ αυτού και ένα σηµείο Α στην προέκταση του Κ, ώστε ΚΑ= Κ. Η εφαπτοµένη του C στο τέµνει τις εφαπτοµένες του C που άγονται από το Α στα σηµεία Β και Γ. Αν ο C εφάπτεται µε την πλευρά ΑΓ στο Ε και η ΓΚ τέµνει τον κύκλο C ξανά στο Ζ, να αποδειχθεί ότι ΕΖ // Α. 86

15 1.158 ίνεται κύκλος (C) και µια χορδή του ΑΒ. ύο κύκλοι που εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά, εφάπτονται επίσης της ΑΒ στα Γ, και του κύκλου (C) στα Ε, Ζ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο στην πλευρά ΒΓ. Ο κύκλος που διέρχεται από το Α και εφάπτεται της ΒΓ στο τέµνει την πλευρά ΑΒ στο Ν και την ΑΓ στο Μ. Η ΒΜ ξανατέµνει τον κύκλο στο Ρ και η ΓΝ τον ξανατέµνει στο Κ. Αν η ευθεία ΑΡ διχοτοµεί το τµήµα Β, να αποδείξετε ότι η ΑΚ διχοτοµεί το τµήµα Γ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο C. Ένας κύκλος Ω εφάπτεται της πλευράς ΒΓ στο Γ και της πλευράς ΑΒ στο σηµείο. Αν Ζ ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΑΕΖ ˆ = ΒΑΓ ˆ. (Crux, problem 18) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α, το µέσο Μ της ΑΒ και το µέσο Ν της ΑΓ. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Β Ν και Γ Μ ξανατέµνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι η Ρ διέρχεται από το µέσο του τµήµατος ΜΝ. (All Russian 007) 1.16 ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της Α στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι: α) τα τετράπλευρα ΑΒΕΖ και Γ ΖΕ είναι εγγράψιµα, β) Ε // ΖΒ και ΓΖ // ΕΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 87

16 1.163 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Κ στην πλευρά ΑΒ τέτοιο, ώστε ΒΚ= ΒΓ. Ένας κύκλος C έχει το κέντρο του Ο στην πλευρά ΑΓ και εφάπτεται της ΑΒ στο Κ. Από το Γ φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΓΕ προς τον C έτσι, ώστε το Ε να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι το ύψος ΒΗ του τριγώνου ΑΒΓ διχοτοµεί το τµήµα ΓΕ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας άλλος κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της Α στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η κοινή χορδή ΚΛ των δύο αυτών κύκλων διχοτοµεί το τµήµα ΕΖ ύο κύκλοι τέµνονται στα σηµεία Α και Β, ενώ µια ευθεία που διέρχεται από το Α τους τέµνει στα Γ και. Έστω Ε, Ζ δύο σηµεία των δύο κύκλων. Αν η ΕΑ τέµνει τη ΓΒ στο Ν, η ΖΑ τέµνει την Β στο Μ, Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΒΓ και τα σηµεία Μ, Ε, Ζ, Ν είναι οµοκυκλικά, να αποδείξετε ότι: ΟΑ ΜΝ Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες ΓΒ, Α τέ- µνονται στο Ρ και οι ΒΑ, Γ τέµνονται στο Σ. Σχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο ΑΒΓΕ. Αν η ευθεία ΓΕ τέµνει την ευθεία ΡΣ στο Ζ, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ζ, Σ,, Ε είναι οµοκυκλικά. (Ρουµανία 008) Ένα τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες AD, BC τέµνονται στο Ρ και οι DC, AB τέµνονται στο Q. Σχηµατίζουµε το παραλληλό- 88

17 γραµµο ABCE. Η CE τέµνει την PQ στο F. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία D, E, F, Q είναι οµοκυκλικά ίνεται κύκλος C, µια διάµετρος ΑΒ και µια χορδή Γ ΑΒ, µε ΓΑΒ ˆ < ΓΒΑ ˆ. Η εφαπτοµένη του C στο Γ τέµνει την ΑΒ στο Ε. Αν ΓΚ Α, Μ είναι το µέσο του ΓΚ και η ΑΜ τέµνει τον C στο Σ, να αποδείξετε ότι η ΑΒ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΓΣΕ. ο = και ˆΒ = 90. Αν ΒΗ ΑΓ και Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΟΑ Η Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ΑΒ Α Οι διαγώνιες ΑΓ και Β ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Μ. Η διχοτόµος της γωνίας ΑΓ ˆ τέµνει την ευθεία ΒΑ στο σηµείο Κ. Αν: να αποδείξετε ότι ΜΑ ΜΓ+ ΜΑ Γ = ΜΒ Μ ΒΚΓ ˆ = Γ Β ˆ ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Α, ΒΕ, ΓΖ και η διάµεσος ΑΜ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΕΖ τέµνει την ΑΜ ξανά στο Θ. Η ΑΜ τέµνει τη ΓΖ στο Κ και η Α τέµνει τη ΒΘ στο Ν. Να αποδείξετε ότι ΚΝ // ΒΓ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε έγκεντρο Ι. Η ευθεία ΑΙ τέµνει τη ΒΓ στο και τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στο Ε. Έστω Μ το µέσο του τόξου ΑΒΕ. Αν η ΜΙ τέµνει τον κύκλο (Α, Β, Γ) στο Ρ, η Ρ τέµνει τον (Α, Β, Γ) στο Ζ και η ευθεία ΜΖ τέµνει την Α στο Ν, να αποδείξετε ότι: α) τα σηµεία Β, Ι, Γ, Ν είναι οµοκυκλικά, β) το Ν είναι το παράκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΒΓ Σε ένα εγγράψιµο τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ΒΓ= Γ. Οι διαγώνιες ΑΓ και Β τέµνονται στο Ε. Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα έγκεντρα των τριγώνων ΑΒΕ, Α Ε, ΑΒΓ, Α Γ αντίστοιχα και τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά, να αποδείξετε ότι ΑΒ= Α. (Hong Kong 005, tst) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 89

18 1.174 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη Β και ΓΕ, καθώς και τα ηµικύκλια C 1, C µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ που ξανατέµνονται στο εσωτερικό της γωνίας Â. Αν τα τµήµατα Β, ΓΕ τέµνουν τα ηµικύκλια C, C 1 στα σηµεία Ζ και Η, να α- ποδείξετε ότι AZ= AH ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ορθόκεντρο Η και οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΗΒ, ΑΗΓ που τέµνουν την ευθεία ΒΓ στα σηµεία Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ ύο κύκλοι C 1 και C τέµνονται στα σηµεία Μ και Ν. Έστω ΑΒ η κοινή εφαπτοµένη των C 1, C που βρίσκονται πιο κοντά στο Μ (το Α ανήκει στον C 1). Η παράλληλη από το Μ προς την ΑΒ τέµνει τους C 1, C στα Γ, αντίστοιχα. Οι ευθείες ΓΑ, Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι ΑΝ, ΒΝ τέµνουν τη Γ στα Ρ και Σ. Να αποδείξετε ότι EP= ΕΣ. (ΙΜΟ 000) ύο άνισοι κύκλοι µε κέντρα Κ, Λ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Μια κοινή εφαπτοµένη Γ των δύο κύκλων (το Γ στον (Κ) και το στον (Λ)) τέµνει τη διακεντρική ευθεία ΚΛ στο Σ. Αν Μ, Ν είναι οι προβολές των Γ, αντίστοιχα πάνω στην ΚΣ, να αποδειχθεί ότι ΚΑΜ ˆ = ΛΑΝ ˆ. (ΙΜΟ 1983) Έστω Ι το έγκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ. Μια ευθεία που διέρχεται από το Ι τέµνει τον εγγεγραµµένο κύκλο στα σηµεία, Ε και τον περιγεγραµµένο κύκλο του ΑΒΓ στα Ζ, Θ ώστε το να είναι ανάµεσα στα Ι και Ζ. Να αποδειχθεί ότι: Ζ ΕΘ ρ όπου ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. ( η ΒΜΟ 1986) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω C 1 ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Β και εφάπτεται µε την ΑΓ στο Α και C ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Γ και εφάπτεται µε την ΑΒ στο Α. Οι κύκλοι C 1, C τέµνονται στο Ζ. Αν Μ είναι το µέσο του ΒΓ, να αποδειχθεί ότι BAZ ˆ = MAΓ ˆ. 90

19 1.180 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ορθόκεντρο Η και περίκεντρο Ο. Στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία Μ, Ν ώστε το ΑΜΗΝ να είναι παραλληλόγραµµο. Να αποδειχθεί ότι ΟΜ= ΟΝ. ο Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διχοτόµο Α. Αν Α Β 45 Α = Β Γ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ˆ = και ισχύει ότι 1.18 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Αν Ρ είναι η προβολή του Η πάνω στη διάµεσο ΑΜ του ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το Ρ βρίσκεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΗΒΓ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Ο κύκλος µε κέντρο Κ το µέσο του ΑΒ που διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΒ στα Ε και Ζ. Ο κύκλος που διέρχεται από το µέσο Λ του ΑΓ και διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΓ στα σηµεία Θ και Ι, ενώ ο κύκλος µε κέντρο το µέσο της ΒΓ που διέρχεται από το Η την τέµνει στα Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Θ, Ι, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά. (ΙΜΟ 008) ύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου (Ο) τέµνονται στο σηµείο Ρ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α, Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι εφαπτοµένες στα σηµεία Γ, τέ- µνονται στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι ΟΡ ΕΖ. (Singapore Olympiad) ύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΡΣΤ είναι τοποθετηµένα µε τέτοιο τρόπο, ώστε το Ρ να είναι µέσο του ΒΓ, το Α να είναι µέσο του ΤΣ, η ΤΣ να διχοτοµεί τη γωνία ΒΑΓ και η ΒΓ να διχοτοµεί τη γωνία ΤΡΣ. Να αποδειχθεί ότι: α) τα σηµεία Τ, Β, Γ, Σ είναι οµοκυκλικά, β) ΑΒ+ ΑΓ= ΡΤ+ ΡΣ. (Ιαπωνία 001) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 91

20 1.186 ίνεται κύκλος C και δύο σηµεία του Α, Β. Οι εφαπτοµένες του C στα Α, Β τέ- µνονται στο Ρ. Έστω Γ, δύο σηµεία του κύκλου ώστε Β ΓΑ και τα Ρ,, Γ να είναι συνευθειακά. Η Β τέµνει την ΓΑ στο Ζ. Αν οι ΑΒ, ΡΓ τέµνονται στο Θ και η µεσοκάθετος της PΘ τέµνει τη Β στο Η, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ρ, Η, Θ, Ζ είναι οµοκυκλικά. (Ιαπωνία 005) Ένας κύκλος k 1 βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου k. Το σηµείο Ρ βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου k 1 και το σηµείο Q βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου k. Φέρουµε µια µεταβλητή ευθεία e από το Ρ που δεν περνάει από το Q. Έστω ότι η e τέµνει τον k 1 στα Α και Β. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ABQ τέµνει τον k στα C και D. Να αποδείξετε ότι όλα τα τµήµατα CD που προκύπτουν µε αυτόν τον τρόπο, καθώς η ευθεία e µεταβάλλεται δηλαδή γύρω από το Ρ, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. (Kömal competition 003) 9

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ. 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ>ΑΓ) και ΑΔ, ΑΕ η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. Αν είναι ΑΒ=6, ΔΒ=, ΒΓ=5 και ΒΕ=5, να αποδείξετε ότι: α) ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα