. Ασκήσεις για εξάσκηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ". Ασκήσεις για εξάσκηση"

Transcript

1 . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα. Αν Β = 5, να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΕΓ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι BΓ= 4. Η διάµεσος ΑΜ, προεκτεινόµενη, τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να υπολογίσετε το γινόµενο AM ME Φέρνουµε µια χορδή ΑΒ ενός κύκλου µε κέντρο Ο και το απόστηµα ΟΜ αυτής. Μια άλλη χορδή Γ του κύκλου διέρχεται από το Μ. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ = 4ΜΓ Μ 1.79 Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος Σ = x Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος της χορδής E= x ίνεται κύκλος (Κ,6) και σηµείο Α, ώστε ΑΚ 14 φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ που τέµνει τον κύκλο κατά χορδή ΒΓ 6 = cm. Αν από το σηµείο Α = cm, να υπολογίσετε το ΑΒ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 73

2 1.8 Να αποδείξετε ότι η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων διχοτοµεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόµενο τµήµα τους Στο διπλανό σχήµα να αποδειχθεί ότι ΣA= Σ Θεωρούµε κύκλο (Ο,R) και τις χορδές του ΑΒ, Γ που τέµνονται στο Ρ. Αν ισχύει ΡΑ Ρ ότι =, να αποδείξετε ότι οι χορδές ΑΒ, Γ είναι ίσες. ΡΒ ΡΓ 1.85 Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ= 0, Γ = 19, ΑΟ= 6 και ΓΟ= 7. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα ση- µεία Α, Β και Γ διέρχεται επίσης από το σηµείο Στο διπλανό σχήµα είναι ΟΑ= ΟΕ. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ= 3ΒΟ ύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου τέµνονται σε µέρη ανάλογα. Να αποδειχθεί ότι οι χορδές αυτές είναι ίσες Να αποδειχθεί ότι στο διπλανό σχήµα τα σηµεία, Ε, Ζ και Η είναι οµοκυκλικά (ανήκουν στον ίδιο κύκλο). 74

3 1.89 Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ= ΑΓ) είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Η ευθεία του ύψους Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. Αν ΑΒ= ΑΓ= 10 και ΒΓ= 1, να βρείτε: α) το µήκος του τµήµατος Ε, β) την ακτίνα R του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ Στο διπλανό σχήµα είναι ΣΑ= 77, Σ = 33 και ΑΒ= 74. Να υπολογίσετε: α) το τµήµα ΣΓ, β) τη γωνία ˆΣ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε β + γ = α. Η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµ- µένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι: α 3 α 3 α) ΑΜ=, β) Μ = Τα ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Η. Η προέκταση του Α τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι: α) HA H = ΗΒ ΗΕ= ΗΓ ΗΖ, β) ΑΖ ΑΒ= ΑΓ ΑΕ, γ) ΑΕ ΑΓ= ΑΗ Α, δ) Η = Η, ε) Β Γ= Η Α Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ= ΑΓ. Η Β είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΒ. Να αποδειχθεί ότι: α) Α ΒΓ= Γ ΒΑ, β) Α = ΓΕ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 75

4 1.94 Έστω ΑΒ µια διάµετρος και ΑΓ µια χορδή ενός κύκλου. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουµε σηµείο τέτοιο, ώστε Α = ΑΒ. Αν το Ε είναι εφαπτόµενο τµήµα, να αποδειχθεί ότι: =, β) τα τµήµατα Β και Ε είναι ασύµµετρα. α) Β Ε R 1.95 ύο κύκλοι (Κ,R) και Λ, εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο Α. Από ένα ση- µείο Μ του µικρού κύκλου φέρνουµε µια χορδή Γ του µεγάλου. Να αποδειχθεί ότι: MΓ Μ = ΜΑ 1.96 Με τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Γ,, Ε και Ζ είναι οµοκυκλικά ίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο (Αˆ = 90 ) και ο περιγεγραµµένος του κύκλος (Ο, R). Μια µεταβλητή ευθεία (ε) διέρχεται από το Γ και τέµνει το ύψος Α στο σηµείο Μ και τον κύκλο στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι ΓΜ ΓΗ= ΓΑ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ο κύκλος, που διέρχεται από το Α και τα µέσα Μ, Ν των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, εφάπτεται της ΒΓ στο, να αποδείξετε ότι: A = Β Γ 1.99 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραµµένος του κύκλος (O,R). Αν η διχοτόµος Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε και ισχύει Α = Β Γ να αποδειχθεί ότι: α) Α = Ε, β) τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΕΓ είναι όµοια, =. γ) ΑΕ ΕΓ 76

5 1.100 Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Μια ευθεία παράλληλη προς την πλευρά Γ τέµνει τις Β και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να α- ποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Β, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε την τέµνουσα ΣΒΑ και το εφαπτόµενο τµήµα ΣΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας ˆΣ τέµνει την ΑΓ στο σηµείο, Α ΣΓ να αποδειχθεί ότι =. Γ ΣΒ 1.10 ίνεται κύκλος (Ο,R) και ένα σηµείο του Α. Έστω Β σηµείο της εφαπτοµένης (ε) του κύκλου στο σηµείο Α. Η παράλληλη από το σηµείο Β προς την ακτίνα ΟΑ τέ- µνει τον κύκλο πρώτα στο Γ και µετά στο. Να αποδειχθεί ότι: ΑΓ = ΒΓ + ΒΓ Γ ίνεται η διάµετρος ΑΒ ενός κύκλου (O,R) και ένα τυχαίο σηµείο Ε της ΟΑ. Μια ο ο χορδή Γ διέρχεται από το Ε και σχηµατίζει µε την ΑΒ γωνία 45 ( ΕΒ ˆ = 45 ). Αν Ζ είναι το µέσο της Γ, να αποδειχθεί ότι: ΕΑ ΕΒ+ ΟΖ = R Ένα τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς α είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Αν Ε είναι το µέσο της Α και η ΒΕ προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο Ζ, να α- ποδείξετε ότι: α 5 α) ΒΕ=, β) ΒΕ= 5ΕΖ Από σηµείο Α εκτός κύκλου (Ο,R) φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ και εφαπτόµενο τµήµα Α. Αν η διχοτόµος της γωνίας ˆΑ τέµνει τις Β, Γ στα Ε και Ζ α- ντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ΕΒ ΖΓ= Ε Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 77

6 1.106 Αν η διάµεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: ΒΓ α) ΑΜ ΜΕ=, β) ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ ΑΕ ίνεται κύκλος (Ο,R) και ευθεία (ε) που δεν τέµνει τον κύκλο. Από µεταβλητό σηµείο Μ της (ε) φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ, ΜΒ. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σηµείο ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο (Aˆ = 90 ), εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R) και το ύψος του Α. Αν µεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέµνει το ύψος Α στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι: α) ΓΜ ΓΗ= ΓΑ, β) ο περιγεγραµµένος κύκλος του AMH εφάπτεται µε την ΑΓ Αν η διχοτόµος Α, τριγώνου ΑΒΓ, τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε και είναι Α = Β Γ, να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΕΓ Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ και ΣΒ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΣΒ τέµνει τον κύκλο στο Γ. Έστω το σηµείο, στο οποίο η ΣΓ τέµνει τον κύκλο. Αν η Α τέµνει τη ΣΒ στο σηµείο Ε, να αποδειχθεί ότι: α) τα τρίγωνα ΣΕ και ΑΣΕ είναι όµοια, β) EΣ= EB Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο ση- µείο. Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και α = β + γ, τότε: α) να υπολογίσετε, συναρτήσει της πλευράς α, τα τµήµατα ΜΘ και Μ, β) να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΒΘΓ είναι παραλληλόγραµµο. 78

7 1.11 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του Α. Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ αποδειχθεί ότι ΒΑ ΑΓ. = και Γ = ΑΒ, να Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση: α + β β + γ γ + α + + 1R µ µ µ γ α β όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου ίνεται ρόµβος ΑΒΓ. Μια ευθεία που διέρχεται από την κορυφή Α τέµνει τη διαγώνιο Β στο σηµείο Ε, την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ και την προέκταση της Γ στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι: α) τα τρίγωνα ΕΓΖ και ΕΓΗ είναι όµοια, β) EΓ = ΕΖ ΕΗ, γ) ο κύκλος που διέρχεται από τα σηµεία Γ, Ζ και Η εφάπτεται στην ευθεία ΕΓ ίνονται δύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου C που τέµνονται στο Σ, ώστε ΣΑ< ΣΒ. Έστω Ε το συµµετρικό του Α ως προς το Σ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΕΒ τέµνει τη Γ στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι: ΣΓ= ΣΖ Ένας κύκλος που είναι εγγεγραµµένος σε τετράγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ= 10, εφάπτεται µε την πλευρά ΑΒ στο σηµείο Μ. Οι Μ, ΜΓ τέµνουν τον κύκλο αυτό στα Ε και Ζ. Να υπολογίσετε το µήκος x του ΕΖ ίνεται κύκλος (Ο,R) και µια διάµετρός του ΑΒ. Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ προς το µέρος του Β παίρνουµε τυχαίο σηµείο Γ και φέρνουµε την εφαπτο- µένη Γ. Η κάθετη πάνω στην ΑΓ, στο σηµείο Γ, τέµνει την προέκταση της Α στο σηµείο Ε. Να αποδειχθεί ότι: ΓΑ = Γ + Α ΑΕ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 79

8 1.118 ίνεται κύκλος (Ο,R) και τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ. Φέρνουµε την ΟΓ ε, όπου (ε) µια τυχαία ευθεία που διέρχεται από το Μ και δεν τέµνει τον κύκλο. Να αποδειχθεί ότι: α) τα σηµεία Μ, Α, Ο, Β και Γ είναι οµοκυκλικά, β) ΟΝ ΟΓ= R, όπου Ν το κοινό σηµείο των ΟΓ, ΑΒ Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ, προς το σηµείο Β, ενός κύκλου µε κέντρο Ο παίρνουµε ένα σηµείο. Από το φέρνουµε την εφαπτοµένη Γ του κύκλου. Αν A = Γ, να αποδείξετε ότι: ΑΒ= 3Β 1.10 ίνεται κύκλος (Ο,R), µια διάµετρος ΑΒ και ένα σηµείο του Γ. Έστω Γ ΑΒ. Ο κύκλος (Γ,Γ ) τέµνει τον κύκλο (Ο,R) στα σηµεία Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΜΝ διχοτοµεί το τµήµα Γ Ένα σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα σηµεία Β και Γ τέµνονται στο. Αν η ευθεία Α τέµνει τον κύκλο στο Ε και Μ είναι το µέσο του ΒΓ, να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Ο, Μ, Ε είναι οµοκυκλικά. 1.1 ύο χορδές ΑΓ και Β ενός ηµικυκλίου ΑΟΒ µε κέντρο Ο, τέµνονται στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ = ΑΕ ΑΓ+ ΒΕ Β 1.13 ίνεται κύκλος ακτίνας R= 10 και µια χορδή ΑΒ. Προς το εξωτερικό του κύκλου κατασκευάζουµε τετράγωνο ΑΒΓ και από την κορυφή φέρνουµε την εφαπτοµένη Ε. Αν E = Α, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου Έστω τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α Β και Α Γ τέµνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: BΓ= ΒΖ+ ΖΕ 80

9 1.15 Η διάµεσος ΒΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΒΑ + ΒΓ + ΕΑ + ΕΓ = ΒΕ 1.16 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, µε β + γ = α. Αν η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο, να αποδείξετε ότι α 3 Μ = Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ γ = β. Αν Μ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΜ εφάπτεται της ΒΓ στο Β ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε µ β µ γ. Να αποδείξετε ότι: α) β + γ = 5α, β) αν Α ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΗ Α = α Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, µε ΑΒ= ΑΓ= 6. Αν Α = 4 και ΓΕ= 3, να αποδείξετε ότι: α) ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΒΕ εφάπτεται της ΑΒ, β) η ΒΓ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆ ΒΕ Ένα τρίγωνο ΑΒΓ, µε α= 3, β= και γ= 4 είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Στο Α φέρνουµε την εφαπτοµένη του κύκλου που τέµνει την προέκταση της ΒΓ στο. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ είναι όµοια. γ) Να εκφράσετε το µήκος του Α ως συνάρτηση του µήκους x του Γ. δ) Να υπολογίσετε τα τµήµατα Γ και Α. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 81

10 Ασκήσεις για Ολυµπιάδες Σε κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ Ε οι διαγώνιοι Β και ΓΕ τέµνονται στο σηµείο Ο. Να αποδείξετε ότι η ΓΒ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΒΟΕ ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και οι κύκλοι (Γ 1), (Γ ) µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Το ύψος από το Β του ΑΒΓ, τέµνει τον (Γ ) στα σηµεία Ε και Ζ, ενώ το ύψος από το Γ του ΑΒΓ, τέµνει τον (Γ 1) στα Η και Θ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Η, Θ είναι οµοκυκλικά. (Αυστρία 005) ίνεται κύκλος µε κέντρο Ο, µια ακτίνα του ΟΑ, ένα σηµείο αυτής και µια χορδή ΒΓ κάθετη προς την ΟΑ, η οποία διέρχεται από το. Έστω Μ Ν µια τυχαία χορδή του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο Β τέµνει την ευθεία ΟΑ στο σηµείο Ρ. Να αποδείξετε ότι η ΜΑ διχοτοµεί τη γωνία ΜΡ ˆ ίνεται κύκλος (Ο,R), µια ακτίνα του ΟΑ, το µέσο Σ της ΟΑ και µια χορδή ΒΓ η οποία διέρχεται από το Σ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Β και Γ τέ- µνονται στο. Αν Ε είναι η προβολή του πάνω στην ευθεία ΟΑ, να αποδείξετε ότι: α) ΑΟ= ΑΕ, β) καθώς η χορδή ΒΓ στρέφεται περί το Σ, το σηµείο κινείται σε µια σταθερή ευθεία Από σηµείο Α εκτός κύκλου φέρνουµε τις τέµνουσες ΑΒΓ και Α Ε. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΕ τέµνει την ευθεία Γ στο Ζ. Από το Ζ φέρνουµε την εφαπτοµένη ΖΗ προς τον κύκλο. Να αποδείξετε ότι ZA = ZH. 8

11 1.136 ίνεται ηµικύκλιο C 1 διαµέτρου ΑΒ και ένα σηµείο του τόξου ΑΒ. Φέρνουµε Γ ΑΒ. Στην ηµιευθεία Γ παίρνουµε τµήµα ΓΕ> Γ. Η ΑΕ τέµνει το C 1 στο σηµείο Ζ. Ένα ηµικύκλιο C µε διάµετρο το ΑΕ τέµνει το C 1 στο σηµείο Η και τη ΒΖ στο σηµείο Θ. Να αποδείξετε ότι A = ΑΘ. o ίνεται γωνία xoy ˆ < 90 και δύο ηµιευθείες Ox 1 και Oy 1 στο εσωτερικό της, ώστε xox ˆ ˆ 1 = yoy1 και οι γωνίες αυτές να µην έχουν κοινά εσωτερικά ση- µεία. Από ένα σηµείο Α της Ox 1 φέρνουµε AΓ Ox και A Oy. Από ένα σηµείο Β της Oy 1, φέρνουµε BE Ox και BZ Oy. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΟΓ και ΟΕΖ είναι όµοια, β) τα σηµεία Ε, Γ, Ζ, είναι κορυφές τετραπλεύρου εγγράψιµου σε κύκλο ίνεται ηµικύκλιο C διαµέτρου ΑΒ και κέντρου Ο. Έστω Γ τυχαίο σηµείο του ηµικυκλίου, διάφορο των Α, Β, και Μ το µέσο του τόξου ΑΓ. Η εφαπτοµένη του C στο Μ τέµνει την ευθεία ΒΓ στο. Η ευθεία Α τέµνει το C στο Ε και η ΒΕ τέµνει το Μ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΗΜ = Η ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο και το σηµείο τοµής Ε των απέναντι πλευρών ΒΑ και Γ. Η παράλληλη από το Ε προς την ΑΓ τέµνει την ευθεία Β στο σηµείο Ζ. Αν ΖΗ είναι εφαπτόµενο τµήµα από το Ζ προς τον κύκλο, να αποδείξετε ότι ΖΕ = ΖΗ ύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ), µε R> ρ, τέµνονται στα Α και Β. Οι κοινές εφαπτοµένες Γ και ΕΖ τέµνονται στο Η. (Τα Γ και Ε είναι σηµεία του κύκλου (Κ, R)). Η ευθεία ΗΑ τέµνει τον κύκλο Κ στο Θ και η ΓΕ τέµνει την ΚΛ στο Ι. Να αποδείξετε ότι KΘΙ ˆ = ΚΑΙ ˆ ίνεται ένας κύκλος και δύο σηµεία του Α και Β όχι αντιδιαµετρικά. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α και Β τέµνονται στο Γ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέµνει τον κύκλο στο. Η Γ τέµνει τον κύκλο στο Ε και η ΑΕ τέµνει τη ΒΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΖΒ= ΖΓ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 83

12 1.14 Από ένα εξωτερικό σηµείο Α ενός κύκλου C 1 φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΑΒ και ΑΓ. Έστω το συµµετρικό του Α ως προς το Β. Ένας κύκλος C που εφάπτεται της ΑΒ στο Α, διέρχεται από το Γ και τέµνει τον C 1 στο Ε. Η ΑΕ τέµνει τον C 1 στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΖ είναι εγγράψιµο. (GM) ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α και τα µέσα Μ, Ν των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ΜΒ, ΓΝ ξανατέµνονται στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία Ε διέρχεται από το µέσο του ΜΝ Εξωτερικά των πλευρών ΑΓ, ΒΓ ενός οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούµε τα ηµικύκλια C 1, C µε διαµέτρους ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Φέρνουµε τα ύψη Α, ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ. Αν οι ευθείες Α, ΒΕ τέµνουν τα ηµικύκλια στα ση- µεία Ν και Μ, να αποδείξετε ότι ΓΜ = ΓΝ. (Βρετανία 005) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα µέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα και σηµείο της πλευράς ΒΓ. Αν ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΜΝ διέρχεται από τα βαρύκεντρα Κ, Λ των τριγώνων Α Β, Α Γ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Μ= Ν, β) οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α Β, Α Γ διέρχονται αντίστοιχα από τα Λ και Κ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος Α, Ε ΑΒ και Ζ ΑΓ. Αν Ο είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ και Α = R, όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου του ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ο, Ζ είναι συνευθειακά. (Βοσνία, tst 008) 84

13 1.147 Έστω Ρ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα και Θ το βαρύκεντρο του ABΓ. Αν το τετράπλευρο ΡΘΜΒ είναι εγγράψιµο και 3 µ β = γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (5 η Ολυµπιάδα Αλβανία) ίνεται κύκλος (C) και σηµείο Α αυτού. ύο ευθείες διέρχονται από το Α και τέµνουν τον (C) στα σηµεία Β και Γ. Μια ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ τέ- µνει τις ηµιευθείες ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία, Ε αντίστοιχα και εφάπτεται του (C) στο Ρ. Τα τµήµατα Γ και ΕΒ τέµνουν τον (C) στα Ζ, Η αντίστοιχα. Οι ευθείες ΑΖ, ΑΗ τέµνουν τη Ε στα Κ, Λ. Να αποδείξετε ότι η ΑΡ διχοτοµεί τη γωνία ΑΕ ˆ ίνεται κύκλος (Ο,R) και σηµείο Α στο εσωτερικό του. Μια µεταβλητή ευθεία από το Α τέµνει τον κύκλο στα Κ, Λ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Κ, Λ τέ- µνονται στο Ν. Να αποδείξετε ότι καθώς η χορδή ΚΛ µεταβάλλεται διερχόµενη από το Α, το Ν κινείται σε µια ευθεία ίνονται δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) που δεν έχουν κοινά σηµεία. Έστω ΚΑ, ΛΒ εφαπτόµενα τµήµατα προς τους δύο κύκλους. Η ευθεία ΑΒ τέµνει τους κύκλους (Κ), (Λ) στα σηµεία Γ και. Να αποδείξετε ότι ΒΓ= Α ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Β, ΓΕ και το ορθόκεντρο Η του ΑΒΓ. Η ευθεία Ε τέµνει την ευθεία ΓΒ στο Κ. Αν ΗΘ ΑΚ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΘΗ διέρχεται από το µέσο του ΒΓ ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Με διάµετρο ΒΓ γράφουµε ηµικύκλιο που τέ- µνει την ΑΓ στο Ε. Το ύψος Α του τριγώνου ΑΒΓ τέµνει το ηµικύκλιο στο Κ. Στο τµήµα ΒΕ παίρνουµε σηµείο Ν, ώστε ΓΝ= ΓΚ. Να αποδείξετε ότι: α) το τµήµα ΓΝ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου Β Ν, ο β) ΑΝΓ ˆ = 90. (Κίνα 007) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 85

14 1.153 ύο κύκλοι (C 1,ρ), (C,R), µε ρ< R, εφάπτονται εξωτερικά. Μια ευθεία (ε 1) εφάπτεται µε τον C 1 στο Α και τον C στο Β. Μια ευθεία ε // ε 1 εφάπτεται στον C 1 και τέµνει τον C στα Γ και. Μια ευθεία διέρχεται από το Β και τέ- µνει τη Γ στο Ε και τον κύκλο C στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε 1) εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΕΖ. (Ρουµανία, tst 003) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σηµείο στην πλευρά ΒΓ τέτοιο, ώστε ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Β να περνάει από το βαρύκεντρο Λ του τριγώνου Α Γ και συγχρόνως ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Γ να περνάει από το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου Α Β. Να αποδείξετε ότι οι διάµεσοι Μ, Ν των τριγώνων Α Β, Α Γ που άγονται από το είναι ίσες. (Κροατία 008) ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Ο κύκλος µε διάµετρο ΑΓ τέµνει τη Β στα Ε και Ζ. Η κάθετη προς την ΑΓ στο σηµείο Γ τέµνει τις ευθείες ΑΒ και Α στα σηµεία Κ και Λ. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Κ, Λ είναι οµοκυκλικά. (Baltic way 008) Στο διπλανό σχήµα οι δύο µικροί κύκλοι είναι τυχαίοι και εφάπτονται του ΑΒ καθώς και του τόξου ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) οι ευθείες Γ, ΖΕ τέµνονται επί του κύκλου, β) τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά ίνεται κύκλος C, µια χορδή Κ αυτού και ένα σηµείο Α στην προέκταση του Κ, ώστε ΚΑ= Κ. Η εφαπτοµένη του C στο τέµνει τις εφαπτοµένες του C που άγονται από το Α στα σηµεία Β και Γ. Αν ο C εφάπτεται µε την πλευρά ΑΓ στο Ε και η ΓΚ τέµνει τον κύκλο C ξανά στο Ζ, να αποδειχθεί ότι ΕΖ // Α. 86

15 1.158 ίνεται κύκλος (C) και µια χορδή του ΑΒ. ύο κύκλοι που εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά, εφάπτονται επίσης της ΑΒ στα Γ, και του κύκλου (C) στα Ε, Ζ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο στην πλευρά ΒΓ. Ο κύκλος που διέρχεται από το Α και εφάπτεται της ΒΓ στο τέµνει την πλευρά ΑΒ στο Ν και την ΑΓ στο Μ. Η ΒΜ ξανατέµνει τον κύκλο στο Ρ και η ΓΝ τον ξανατέµνει στο Κ. Αν η ευθεία ΑΡ διχοτοµεί το τµήµα Β, να αποδείξετε ότι η ΑΚ διχοτοµεί το τµήµα Γ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο C. Ένας κύκλος Ω εφάπτεται της πλευράς ΒΓ στο Γ και της πλευράς ΑΒ στο σηµείο. Αν Ζ ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΑΕΖ ˆ = ΒΑΓ ˆ. (Crux, problem 18) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α, το µέσο Μ της ΑΒ και το µέσο Ν της ΑΓ. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Β Ν και Γ Μ ξανατέµνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι η Ρ διέρχεται από το µέσο του τµήµατος ΜΝ. (All Russian 007) 1.16 ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της Α στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι: α) τα τετράπλευρα ΑΒΕΖ και Γ ΖΕ είναι εγγράψιµα, β) Ε // ΖΒ και ΓΖ // ΕΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 87

16 1.163 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Κ στην πλευρά ΑΒ τέτοιο, ώστε ΒΚ= ΒΓ. Ένας κύκλος C έχει το κέντρο του Ο στην πλευρά ΑΓ και εφάπτεται της ΑΒ στο Κ. Από το Γ φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΓΕ προς τον C έτσι, ώστε το Ε να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι το ύψος ΒΗ του τριγώνου ΑΒΓ διχοτοµεί το τµήµα ΓΕ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας άλλος κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της Α στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η κοινή χορδή ΚΛ των δύο αυτών κύκλων διχοτοµεί το τµήµα ΕΖ ύο κύκλοι τέµνονται στα σηµεία Α και Β, ενώ µια ευθεία που διέρχεται από το Α τους τέµνει στα Γ και. Έστω Ε, Ζ δύο σηµεία των δύο κύκλων. Αν η ΕΑ τέµνει τη ΓΒ στο Ν, η ΖΑ τέµνει την Β στο Μ, Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΒΓ και τα σηµεία Μ, Ε, Ζ, Ν είναι οµοκυκλικά, να αποδείξετε ότι: ΟΑ ΜΝ Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες ΓΒ, Α τέ- µνονται στο Ρ και οι ΒΑ, Γ τέµνονται στο Σ. Σχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο ΑΒΓΕ. Αν η ευθεία ΓΕ τέµνει την ευθεία ΡΣ στο Ζ, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ζ, Σ,, Ε είναι οµοκυκλικά. (Ρουµανία 008) Ένα τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες AD, BC τέµνονται στο Ρ και οι DC, AB τέµνονται στο Q. Σχηµατίζουµε το παραλληλό- 88

17 γραµµο ABCE. Η CE τέµνει την PQ στο F. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία D, E, F, Q είναι οµοκυκλικά ίνεται κύκλος C, µια διάµετρος ΑΒ και µια χορδή Γ ΑΒ, µε ΓΑΒ ˆ < ΓΒΑ ˆ. Η εφαπτοµένη του C στο Γ τέµνει την ΑΒ στο Ε. Αν ΓΚ Α, Μ είναι το µέσο του ΓΚ και η ΑΜ τέµνει τον C στο Σ, να αποδείξετε ότι η ΑΒ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΓΣΕ. ο = και ˆΒ = 90. Αν ΒΗ ΑΓ και Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΟΑ Η Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ΑΒ Α Οι διαγώνιες ΑΓ και Β ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Μ. Η διχοτόµος της γωνίας ΑΓ ˆ τέµνει την ευθεία ΒΑ στο σηµείο Κ. Αν: να αποδείξετε ότι ΜΑ ΜΓ+ ΜΑ Γ = ΜΒ Μ ΒΚΓ ˆ = Γ Β ˆ ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Α, ΒΕ, ΓΖ και η διάµεσος ΑΜ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΕΖ τέµνει την ΑΜ ξανά στο Θ. Η ΑΜ τέµνει τη ΓΖ στο Κ και η Α τέµνει τη ΒΘ στο Ν. Να αποδείξετε ότι ΚΝ // ΒΓ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε έγκεντρο Ι. Η ευθεία ΑΙ τέµνει τη ΒΓ στο και τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στο Ε. Έστω Μ το µέσο του τόξου ΑΒΕ. Αν η ΜΙ τέµνει τον κύκλο (Α, Β, Γ) στο Ρ, η Ρ τέµνει τον (Α, Β, Γ) στο Ζ και η ευθεία ΜΖ τέµνει την Α στο Ν, να αποδείξετε ότι: α) τα σηµεία Β, Ι, Γ, Ν είναι οµοκυκλικά, β) το Ν είναι το παράκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΒΓ Σε ένα εγγράψιµο τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ΒΓ= Γ. Οι διαγώνιες ΑΓ και Β τέµνονται στο Ε. Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα έγκεντρα των τριγώνων ΑΒΕ, Α Ε, ΑΒΓ, Α Γ αντίστοιχα και τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά, να αποδείξετε ότι ΑΒ= Α. (Hong Kong 005, tst) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 89

18 1.174 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη Β και ΓΕ, καθώς και τα ηµικύκλια C 1, C µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ που ξανατέµνονται στο εσωτερικό της γωνίας Â. Αν τα τµήµατα Β, ΓΕ τέµνουν τα ηµικύκλια C, C 1 στα σηµεία Ζ και Η, να α- ποδείξετε ότι AZ= AH ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ορθόκεντρο Η και οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΗΒ, ΑΗΓ που τέµνουν την ευθεία ΒΓ στα σηµεία Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ ύο κύκλοι C 1 και C τέµνονται στα σηµεία Μ και Ν. Έστω ΑΒ η κοινή εφαπτοµένη των C 1, C που βρίσκονται πιο κοντά στο Μ (το Α ανήκει στον C 1). Η παράλληλη από το Μ προς την ΑΒ τέµνει τους C 1, C στα Γ, αντίστοιχα. Οι ευθείες ΓΑ, Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι ΑΝ, ΒΝ τέµνουν τη Γ στα Ρ και Σ. Να αποδείξετε ότι EP= ΕΣ. (ΙΜΟ 000) ύο άνισοι κύκλοι µε κέντρα Κ, Λ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Μια κοινή εφαπτοµένη Γ των δύο κύκλων (το Γ στον (Κ) και το στον (Λ)) τέµνει τη διακεντρική ευθεία ΚΛ στο Σ. Αν Μ, Ν είναι οι προβολές των Γ, αντίστοιχα πάνω στην ΚΣ, να αποδειχθεί ότι ΚΑΜ ˆ = ΛΑΝ ˆ. (ΙΜΟ 1983) Έστω Ι το έγκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ. Μια ευθεία που διέρχεται από το Ι τέµνει τον εγγεγραµµένο κύκλο στα σηµεία, Ε και τον περιγεγραµµένο κύκλο του ΑΒΓ στα Ζ, Θ ώστε το να είναι ανάµεσα στα Ι και Ζ. Να αποδειχθεί ότι: Ζ ΕΘ ρ όπου ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. ( η ΒΜΟ 1986) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω C 1 ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Β και εφάπτεται µε την ΑΓ στο Α και C ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Γ και εφάπτεται µε την ΑΒ στο Α. Οι κύκλοι C 1, C τέµνονται στο Ζ. Αν Μ είναι το µέσο του ΒΓ, να αποδειχθεί ότι BAZ ˆ = MAΓ ˆ. 90

19 1.180 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ορθόκεντρο Η και περίκεντρο Ο. Στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία Μ, Ν ώστε το ΑΜΗΝ να είναι παραλληλόγραµµο. Να αποδειχθεί ότι ΟΜ= ΟΝ. ο Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διχοτόµο Α. Αν Α Β 45 Α = Β Γ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ˆ = και ισχύει ότι 1.18 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Αν Ρ είναι η προβολή του Η πάνω στη διάµεσο ΑΜ του ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το Ρ βρίσκεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΗΒΓ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Ο κύκλος µε κέντρο Κ το µέσο του ΑΒ που διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΒ στα Ε και Ζ. Ο κύκλος που διέρχεται από το µέσο Λ του ΑΓ και διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΓ στα σηµεία Θ και Ι, ενώ ο κύκλος µε κέντρο το µέσο της ΒΓ που διέρχεται από το Η την τέµνει στα Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Θ, Ι, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά. (ΙΜΟ 008) ύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου (Ο) τέµνονται στο σηµείο Ρ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α, Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι εφαπτοµένες στα σηµεία Γ, τέ- µνονται στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι ΟΡ ΕΖ. (Singapore Olympiad) ύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΡΣΤ είναι τοποθετηµένα µε τέτοιο τρόπο, ώστε το Ρ να είναι µέσο του ΒΓ, το Α να είναι µέσο του ΤΣ, η ΤΣ να διχοτοµεί τη γωνία ΒΑΓ και η ΒΓ να διχοτοµεί τη γωνία ΤΡΣ. Να αποδειχθεί ότι: α) τα σηµεία Τ, Β, Γ, Σ είναι οµοκυκλικά, β) ΑΒ+ ΑΓ= ΡΤ+ ΡΣ. (Ιαπωνία 001) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 91

20 1.186 ίνεται κύκλος C και δύο σηµεία του Α, Β. Οι εφαπτοµένες του C στα Α, Β τέ- µνονται στο Ρ. Έστω Γ, δύο σηµεία του κύκλου ώστε Β ΓΑ και τα Ρ,, Γ να είναι συνευθειακά. Η Β τέµνει την ΓΑ στο Ζ. Αν οι ΑΒ, ΡΓ τέµνονται στο Θ και η µεσοκάθετος της PΘ τέµνει τη Β στο Η, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ρ, Η, Θ, Ζ είναι οµοκυκλικά. (Ιαπωνία 005) Ένας κύκλος k 1 βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου k. Το σηµείο Ρ βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου k 1 και το σηµείο Q βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου k. Φέρουµε µια µεταβλητή ευθεία e από το Ρ που δεν περνάει από το Q. Έστω ότι η e τέµνει τον k 1 στα Α και Β. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ABQ τέµνει τον k στα C και D. Να αποδείξετε ότι όλα τα τµήµατα CD που προκύπτουν µε αυτόν τον τρόπο, καθώς η ευθεία e µεταβάλλεται δηλαδή γύρω από το Ρ, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. (Kömal competition 003) 9

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής 1998 Β Γυµνασίου

Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να βρεθούν όλες οι πραγµατικές ρίζες της εξίσωσης 2 42 x + x= 2 x + x+ 1. Θαλής 1998 Α Λυκείου Έστω ότι για τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει α+ β β+ γ γ + α αβ γ + βγ α + γα β = 0. 2

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός 222223 444441 222220+ 222216 2 222222 είναι ακέραιος. Να βρεθεί ο ακέραιος αυτός. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 είναι πολλαπλάσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ 5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Θ ΕΜΑ Β 2814 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Α= 8. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο 14 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο _18997 ΘΕΜΑ Β Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράµπα του παρακάτω σχήµατος. α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Λυκείου 1993-1994 ΜΕΡΟΣ Α

Ευκλείδης Β' Λυκείου 1993-1994 ΜΕΡΟΣ Α Ευκλείδης Β' Λυκείου 993-994 ΜΕΡΟΣ Α. Δύο ίσα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ πλευράς 0 τοποθετούνται έτσι ώστε η κορυφή Ε να βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Το εμβαδό του μέρους του επιπέδου που καλύπτεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 7η έκδοση Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Όταν ήμουν χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414 Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551 Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405 Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Παπουτσάκης Κώστας Α.Μ.3249 Χριστοφάκη Μαρία Α.Μ.3277 1 Ορισμοί 1. Σημείο είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα