3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv"

Transcript

1 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a 2 b 2 )(a 2 + b 2 ) djeljiv s Dokaži dajezasvecijelem, broj mn(m 60 n 60 ) djeljiv s Dokaži da je za proizvoljni prirodan broj n broj n 5 5n 3 +4n djeljiv sa Dokaži da niti za jedan n broj n 2 +3n + 5 nije djeljiv sa Postoji li prirodan broj n za kojeg je n 2 + n + djeljiv sa 955? 657. Dokaži dajen 3 +3n 2 n 3za svaki neparni broj n djeljiv s Dokaži dajeizrazn +3n 3 +7n 7 + 9n 9 djeljiv s 0 (n N) Dokaži dajebrojk n+4 k n djeljiv sa 20, za svaki prirodan broj k izasvaki prirodan broj n> Dokaži dajeizraza 2 + ab + b 2, a, b N, djeljiv s 9 ako i samo ako su a i b djeljivi s Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv s 3, a nije djeljiv s Dokaži dajebroj djeljiv s Dokaži dajebroj2 47 djeljiv s Dokaži da je broj djeljiv sa Dokaži dajebroj20 5 djeljiv s Dokaži da je broj djeljiv sa Dokaži da je broj djeljiv s Odredi najveću potenciju broja 979 s kojom je djeljiv broj a) Nađi sve prirodne brojeve n za koje je 2 n djeljiv sa 7. b) Dokaži da2 n + nije djeljiv sa 7 niti za jedan prirodan broj n. 67. Dokaži daje2 26n+2 +3 djeljiv s 9 za n Odredi sve prirodne brojeve n za koje je 2 n + djeljiv s 3. Obrazloži odgovor! 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 53

2 3.. DJELJIVOST 673. Nađi sve prirodne brojeve n za koje je n 2 n + djeljivs Dokaži daje3 6n 2 6n djeljiv s 35, za svaki prirodan broj n Dokaži da je za svaki prirodan broj n bar jedan od brojeva 3 3n +2 3n i 3 3n 2 3n djeljiv s Dokaži daje2 4n +5 djeljiv s 2, za svaki prirodan broj n Ako je n prirodan broj, dokaži da je 3 2n djeljiv sa Odredi najmanji prirodan broj n za kojeg je 2 n +3 n djeljiv sa Za koje prirodne brojeve n je broj 20 n +6 n 3 n djeljiv s 323? 680. Dokaži daje4 2n 3 2n +7 djeljiv s 84, za svaki prirodan broj n. 68. Dokaži da je 3 3n+3 26n 27 djeljiv sa 69 za svaki n N Ako je n prirodan broj, dokaži da je 2 n n+ djeljiv sa Dokaži da je za svaki prirodan broj n broj 7 2n n+ +7 2n+ djeljiv s Dokaži da je za proizvoljni prirodan broj n broj 5 2n+ +3 n+2 2 n djeljiv s Odredi najmanji prirodan broj m takav da je 82 n + m 69 n djeljiv s 963 za sve neparne prirodne brojeve n Dokaži da je za neparni broj n broj 46 n n djeljiv s Za koje prirodne brojeve n je 5 n + n 5 djeljiv s 3? Koji je najmanji takav n? 688. Dokaži da je za svaki n N točno jedan od brojeva 2 2n+ 2 n+ +, 2 2n+ +2 n+ + djeljivs Dokaži dajebroj 0n djeljiv s0 n Dokaži daje2 3n + djeljiv s 3 n+, ali nije s 3 n Ako je broj 2 n djeljiv s n, dokaži dajei2 2n 2 djeljiv s 2 n Dokaži daje4 m 4 n djeljiv s 3 k+ onda i samo onda ako je m n djeljiv s 3 k Dokaži da niti za koji prirodan broj m broj 978 m nije djeljiv s 000 m Neka je n 3 prirodan broj. Dokaži dajen nnn n nn djeljiv s Ako je k neparan, dokaži da 2 n+2 k 2n Pokaži da2 n nije djeljiv s n, niti za jedan prirodan broj n Dokaži daje2 n! djeljiv s n, za svaki neparan prirodan broj n Neka je n neparan prirodan broj. Dokaži da je barem jedan od brojeva 2, 2 2,...,2 n djeljiv s n Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n takvih da je 2 n + djeljiv s n. Odredi sve takve proste brojeve Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n za koje n 2 n Dokaži dazasvakiprirodanbroj a> postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n za koje n a n Dokaži dazasvakiprirodanbroj a veći od2postojibeskonačno mnogo prirodnih brojeva n takvih da je broj a n djeljiv s n. Da li je tvrdnja istinita i za n =2? ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

3 3.. DJELJIVOST 703. Dokaži dazasvakiprirodanbroj a postoji složeni broj n koji dijeli broj a n a Ako su p i q prosti brojevi, pri čemu je q = p +2, dokaži dajep q + q p djeljiv s p + q Neka su a, b, m, n prirodni brojevi, pri čemu su a i b relativno prosti i a>b. Dokaži daa n + b n dijeli a m + b m ako i samo ako n dijeli m Dokaži dajeab p a p b djeljiv sa 6p ako su a, b prirodni brojevi, a p prost broj veći od Dani su prirodni brojevi a, b, n. Akojezasvakik N broj k n a djeljiv s k b, dokaži dajea = b n Poznato je da je a n b n djeljiv sa n (a, b, n su prirodni brojevi, a b). Dokaži dajea n b n djeljiv i s n(a b) Ako je zbroj a+b dvaju cijelih brojeva djeljiv neparnim brojem n, dokaži da je a n +b n djeljiv sa n 2. Da lijeovatvrdnjatočna i za parni broj n? 70. Prirodni brojevi m, n, k imaju svojstvo da je m n djeljiv sa n m,abroj n k djeljiv sa k n.dokaži dajem k djeljiv sa k m. 7. Dokaži dajebrojkojisesastojiod 3 n jednakih znamenaka djeljiv s 3 n. 72. Dva peteroznamenkasta broja daju jednake ostatke pri dijeljenju s. Dokaži da napisani jedan iza drugog, daju deseteroznamenkasti broj koji je djeljiv s. 73. Dani su brojevi, 2, 23,..., , ,... Svaki broj dobiva se od prethodnog tako da mu se dopiše sljedeća znamenka, pri čemu poslije 0 dolazi, poslije dolazi 2,..., poslije 9 dolazi 0, itd. Dokaži dajebar jedan od tih brojeva djeljiv s Ako je neki član niza, 3, 33, 333,...djeljiv s 54, dokaži da je on djeljiv i s Neka su a, b i c prirodni brojevi i a 2 + b 2 = c 2. Dokaži dajeabc djeljiv s Nađi jedan par prirodnih brojeva a, b za koje vrijedi a) produkt ab(a + b) nije djeljiv sa 7, b) broj (a + b) 7 a 7 b 7 djeljiv je sa 7 7. Obrazloži odgovor! 77. Dokaži dazasvakiprirodanbroj n postoji niz od n ili više uzastopnih brojeva od kojih je svaki djeljiv kvadratom nekog prirodnog broja različitog od jedinice. 78. Neka su k i n prirodni brojevi. Odredi sve cijele brojeve x takve da bude n x, n+ x+,...,n+k x+k. 79. Odredi prirodan broj n za kojeg je n 2 + djeljivs n Odredi prirodan broj n tako da n 4 + bude djeljiv s n Dokaži da je za svaki prirodan broj n broj n n n 2 + n djeljiv s (n ) Neka su a, b prirodni brojevi i n prirodan broj koji nije djeljiv s 3. Dokaži da je broj (a+b) 2n + a 2n + b 2n djeljiv s a 2 + ab + b Neka je n proizvoljan prirodan broj. Dokaži dabroj n ( ) 2n + 2 3k 2k + k=0 nije djeljiv s ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 55

4 3.. DJELJIVOST 724. Dokaži da je zbroj kubova n uzastopnih članova aritmetičkog niza djeljiv zbrojem tih članova Dokaži daje3( n 5 ) djeljiv s n Dokaži dajezbroj k +2 k n k, gdje je n prirodan, a k neparan broj, djeljivs n Dokaži tvdnju: 0 a a 988 = 0 a a 5 988, a i N Odredi sve prirodne brojeve n djeljive svim prirodnim brojevima koji nisu veći od n Nađi sve prirodne brojeve n za koje n dijeli n Neka je p prost broj veći od 2. Dokaži dajebroj (2 + 5) p 2 p+ djeljiv sa p. ( x je najveći cijeli broj, koji nije veći od x.) 73. Postojilitakavbrojh da niti za jedan prirodan broj n broj h 969 n nije djeljiv s h 969 n? 732. Neka je k proizvoljan prirodan broj. Dokaži da postoji necjelobrojni realni broj x>takavdak dijeli x n za svaki prirodan broj n Nađi broj n koji je djeljiv sa 2 i 9, a ima 26 djelitelja (uključujući i n) Dokaži: ako je n+ djeljiv s 24, tada je i suma svih prirodnih djelitelja broja n (uključujući i n) djeljiva s 24 (n je prirodan broj) Neka je f(n) N najmanji broj za kojeg je suma f(n) k= k djeljiva s n. Dokaži da je jednakost f(n) =2n ispunjena ako i samo ako je n =2 m,za neki m N Neka su m i n prirodni brojevi. Ako je za neke nenegativne cijele brojeve k,k 2,...,k n broj 2 k +2k k n djeljiv s 2 m, dokažidajetadan m Odredi prirodne brojeve n za koje je n +2 n +...+(n ) n djeljiv s n Dokaži da niti za jedan prirodan broj n zbroj n 987 nije djeljiv s n Neka je n prirodan, a k prost broj. Dokaži da niti jedan od brojeva Cn k, k =0,,...,n nije djeljiv sa p, ako isamoakojen oblika n = p s m za neki s Z +, m N, m<p a, b i p su proizvoljni prirodni brojevi. Dokaži da se mogu pronaći takvi relativno prosti brojevi k i l da je broj ak + bl djeljiv sa p. 74. Dana su tri cijela broja k, m, n takva da je (k, m) =. Dokaži da se može naći cijelibrojx da broj mx + n bude djeljiv sa k Dokaži dasezasvakiprostibrojp mogu naći cijelibrojevix, y takvi da je x 2 + y 2 + djeljivs p Ako je a j = n!+j, onda za svaki n 2isvakik ( k n) postojibar jedan prost broj p takav da p dijeli a k izasvakij k ( j n) p ne dijeli a j.dokaži! ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

5 3.2. PRIM FAKTORI I FAKTORIJELI 744. Neka su a i m prirodni brojevi i x cijeli broj, takav da m dijeli a 2 x a. Dokaži da postoji cijeli broj y,takav,da m dijeli brojeve a 2 y a i a 2 y y Neka su a, b, c cijeli brojevi i m prirodan broj. Ako je a n + bn + c 0( mod m) za svaki n N, dokaži da je b 2 0( mod m). Da li mora biti b 0( mod m)? 746. Ako je p neparan prost broj i a cijeli broj koji nije djeljiv sa p, onda je jedanisamojedanodbrojeva A = a (p ) +, B = a (p ) djeljiv sa p Neka su a, a,a 2,...,a m cijeli brojevi, a n prirodan broj. Dokaži ) broj a(a 2n ) je djeljiv sa 6; 2) zbroj S = a + a a m djeljiv je sa 6 ako i samo ako je zbroj S = a 2n+ + a 2n am 2n+ djeljiv sa Neka su p i q prirodni brojevi takvi da je p q = Dokaži dajebrojp djeljiv brojem prim faktori i faktorijeli 749. Odredi najveću potenciju broja 2 koja dijeli (2 n )! Dokaži da je najveća potencija prostog broja p kojim je djeljiv broj n! jednaka n p + n p 2 n p m Dokaži dabrojn! nije djeljiv s 2 n Ako za prirodne brojeve n, x, y vrijedi x n = y!, dokaži dajetadan = ili x = Dokaži da ni za jedan prirodan broj n, n! nije djeljiv sa p n,gdjejep prost broj Da li postoji takav cijeli broj p da je broj 2 p n n! cijeli, za svaki prirodan broj n? 755. Dokaži da je (n!) (n )! djeljitelj broja (n!)! Dokaži daje broj. (2m)! (2n)! m! n! (m + n)! cijeli 757. (m + n )! Neka je I =.Odredi m! n! nuždan i dovoljan uvjet da I bude cijeli broj Dokaži daje (5n)! 40 n n! prirodan broj, za svaki prirodan broj n Označimo s x n (p) kratnost prostog broja p urastavubrojan! naproste faktore. Dokaži daje x n (p) n < p ; lim n x n (p) n = p p Dokaži dap dijeli j j! ako i samo ako je p prost. j= 76. Ako je p prost broj, dokaži da ( n p ) pri dijeljenju sa p daje ostatak n p Dokaži dajep>prostbrojako i samo ako je za svaki ( ) prirodan broj k, p k p broj djeljiv sa p. k 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 57

6 3.2. PRIM FAKTORI I FAKTORIJELI 763. Dokaži da su za neparan n> brojevi n i n+2 prosti ako i samo ako (n )! nije djeljiv sa n niti sa n Dokaži da za prost broj p>5 jednakost (p )! + = p m nije moguća niti za jedan prirodan broj m Ako je n prirodan broj, dokaži da n(n+) nije nikad potencija prirodnog broja Odredi sve prirodne brojeve n za koje (n )! nije djeljiv sa n Ako je p prost broj, dokaži daje broj N = (2p)! (p!) 2 2 djeljiv sa p Neka su k, m, n prirodni brojevi i m+k+ prost broj veći od n+. Označimo C s = s(s+). Dokaži da je produkt (C m+ C k )(C m+2 C k ) (C m+n C k ) djeljiv sa C C 2 C n Neka je m zadani prirodan broj. a) Dokaži da je broj C2m m djeljiv sa m +. b) Nađi najmanji prirodan broj k k takav da je n + m + Cn+m 2n prirodan broj, za svaki n m Nađi broj dvojki u rastavu broja (n+)(n+2) 2n na proste faktore. 77. Neka je A = 3 5 (2n ), n N n Dokaži dasuunizua, 2A,..., 2 k A,... počevši od nekog svi brojevi cijeli Koristeći Čebiševljev teorem (između brojevan i 2n, n>3, nalaze se barem dva prosta broja) dokaži daseu rastavu broja n! na proste faktore mogu naći najmanjedvarazličita prosta broja čija je kratnost Dokaži dajezasvakiprostibrojp brojnik m u(skraćenom) razlomku m n = p djeljiv sa p Neka je P (n) problem: Nađi n uzastopnih prirodnih brojeva takvih da najveći odnjihdijelinajmanjizajednički višekratnik ostalih n brojeva. Dokaži da za n>2 postoji samo jedan n za koji P (n) ima samo jedno rješenje Dano je 0 prirodnih brojeva: a <a 2 <... < a 0. Dokaži da njihov najmanji zajednički višekratnik nije manji od 0a Neka su m, n prirodni brojevi, m n. Dokaži da u skupu od n uzastopnih prirodnih brojeva postoje dva čiji je produkt djeljiv sa m n Odredi s kojom je najvećom potencijom broja 2 djeljiv broj ( + 3) n Označimo sa f(n) najveći primfaktor broja n N. Da li postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n za koje vrijedi f(n) < f(n +) < f(n +2)? 779. Označimo sa g(n) broj primfaktora broja n N. Dokaži dapostoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n za koje vrijedi g(n) <g(n+) <g(n+2) ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

7 3.3. PROSTI I SLOŽENI BROJEVI 3.3. prosti i složeni brojevi 780. Dokaži da je broj koji u dekadskom zapisu ima 9 znamenku, pri čemususve znamenke jedinice, složen. 78. Ako je n > prirodan, dokaži da n nije prost. Dokaži dapostoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva a takvih da n 4 + a nije prost niti za jedan prirodan broj n> Ako je jedan od brojeva 2 n, 2 n + (n >2) prost, tada je drugi složen. Dokaži! 783. Neka su m, n prirodni brojevi. Dokaži: a) Ako je m>iakojem n + prost broj, tada je n potencija broja 2. b) Ako je n>iakojem n prost broj, tada je m =2 i n je prost broj Ako je za neki prirodan n broj +2 n +4 n prost, dokaži dajen =3 k, za neki k N Nađi sve proste brojeve oblika n n +, n N koji nisu veći od Nađi sve proste brojeve p za koje je broj 2 p + p 2 također prost broj Dokaži dajezasvakiprirodann broj 9 8 n +7 složen Dokaži da je među brojevima 2 k 2 beskonačno mnogo složenih Pokaži daniz{2 n } sadrži proizvoljno dug podniz uzastopnih članova koji se sastoji od složenih brojeva Dokaži da postoji beskonačno mnogo složenih brojeva oblika 0 n Dokaži da za svaki prosti broj p postoji beskonačno mnogo brojeva oblika 2 n n (n N) koji su djeljivi sa p Ako su p, q prosti brojevi, i 2 p djeljiv sa q, dokaži dajep<q Dokaži da postoji broj k N, takav da je za svaki n N broj k 2 n + složen Dokaži da ne postoje prirodni brojevi a, b, c takvi da je ap 2 + bp + c prost, za svaki prost broj p a) p, p+0, p+4 su prosti brojevi. Odredi p. b) Hoće liibroj4p+ biti prost ako su to p i2p+? c) p, 4p 2 +, 6p 2 + su prosti brojevi. Odredi p. d) p i8p su prosti brojevi. Dokaži da je 8p+ složen. e) p i8p 2 + su prosti brojevi. Dokaži da je 8p 2 prost Dan je prirodan broj n, n 2. Dokaži daakojebrojk 2 + k + n prost za svaki cijeli broj k koji zadovoljava n 0 k 3, tada je kk + k + n prost za svaki cijeli broj k takav da je 0 k n Dokaži da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva oblika 4n Dokaži da za svaki prirodan n možemo pronaći prirodan broj k takav da broj nk+ bude složen Neka su a, b, x 0 prirodni brojevi i x n = ax n + b, n. Dokaži daje bar jedan od brojeva x n složen Dokaži da je tvrdnja: Od svakog se broja može promjenomjedneznamenke dobiti prost broj, netočna. 80. Označimo sa S n zbroj prvih n prostih brojeva. Dokaži da se među brojevima S n i S n+ nalazi potpun kvadrat. 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 59

8 3.4. RELATIVNO PROSTI BROJEVI 802. Prirodni brojevi a, b i c imaju svojstva da su brojevi p = b c + a, q = a b + c i r = c a + b prosti. Dokaži da su dva od brojeva p, q, r jednaka među sobom Broj p je prost. Dano je p + različitih prirodnih brojeva. Dokaži dase među njima može pronaći parbrojevax i y takvih da kvocijent većeg od njih i najveće zajedničke mjere nije manji od p Tri prosta broja čine aritmetički niz s razlikom koja nije djeljiva sa 6. Dokaži da je najmanji od njih jednak Ako5prostihbrojevačini aritmetički niz, dokaži da je razlika tog niza veća od Odredi skup od pet različitih prirodnih brojeva u kojemu su svaka dva broja relativno prosta, a proizvoljnih nekoliko brojeva daje u zbroju složeni broj Nađi sve prirodne brojeve n manje od koji imaju sljedeće svojstvo: Ako je m relativno prost sa n i manji je od njega, tada je m prost broj Nazvat ćemo prirodan broj apsolutno prostim, ukoliko je on prost broj i ukoliko pri svakoj permutaciji njegovih znamenaka ponovo dobivamo prost broj. Dokaži da se u zapisu apsolutno prostog broja ne možepojavitiviše od tri različite znamenke Neka je S skup prirodnih brojeva manjih od danog prostog broja p, ali takav da ako a i b pripadaju skupu S, onda njemu pripadaju i ostaci koji nastaju dijeljenjem brojeva ab, a 2, b 2, sa p. Ako skup S nema manje od dva broja, dokaži da je zbroj svih brojeva iz S djeljiv sa p. 80. Dokaži da je cijeli broj r > 2 složen ako i samo ako je ispunjena bar jedna od sljedeće dvije tvrdnje: (a) za neki s =2, 3,... je r =2 s, (b) za neke u, v =3, 4,... (u v )je r = u(2v u +)/2. 8. Broj a dobiven je tako što su brojevi od do 0 napisani jedan do drugog. Dokaži da je a složen broj. Da li je a kvadrat prirodnog broja? 82. Dokaži da su svi brojevi oblika 000, , ,... složeni. 83. Neka su P (x), P 2 (x),..., P n (x) nekonstantni polinomi s pozitivnim cjelobrojnim koeficijentima. Pokaži dapostoji k N takav da su svi brojevi P (k), P 2 (k),..., P n (k) složeni relativno prosti brojevi 84. Ako su a i b relativno prosti brojevi, dokaži da su tada a + b i ab također relativno prosti. Vrijedi li obrat? 85. Dokaži da su dva prirodna broja čije su sve znamenke jedinice relativno prosta ako i samo ako su brojevi njihovih znamenaka relativno prosti. 86. Prirodni brojevi a i b su relativno prosti. Dokaži dajenajveća zajednička mjera brojeva a + b i a 2 + b 2 jednaka ili Dokaži dameđu brojevimaa n = n(n+) ima beskonačno mnogo takvih 2 da su svaka dva relativno prosta ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

9 3.5. BROJEVI U BROJNIM SUSTAVIMA 88. Niz cijelih brojeva {a n } definiran je sa a n+ = a 2 n a n +, a =2. Dokaži da su njegovi članovi relativno prosti brojevi. 89. Neka su a 0,a,...,a 8 cijeli brojevi za koje je a n+ = a 2 n a n +5, n =0,,...,7. Dokaži dameđu ovim brojevima barem dva nisu relativno prosta Dokaži da su 2 p i 2 q + relativno prosti ako i samo ako su p i q relativno prosti. Dokaži općenitije da vrijedi (a p,a q ) = a (p,q). 82. Dokaži da su bilo koja dva broja iz niza 2 2 +, ,...,2 2n + relativno prosta Dokaži da niz {2 n 3}, n = 2, 3,... sadrži beskonačno mnogo članova koji su međusobno prosti Dokaži daje(n, 2 2n +)=, za svaki n>. 2n Dokaži daserazlomak 4n +3 ne može skratiti ni za koji prirodan n Neka je n prirodan broj. Dokaži da je najveća zajednička mjera brojeva n 2 + i (n +) 2 + ili ili 5, i dokaži da je jednaka 5 ako i samo ako je n 2 (mod 5) Nađi baremjedanbrojn takav da svaki od brojeva n, n +,..., n +20 ima s brojem = zajednički djelitelj, veći od jedinice Nađi najveću zajedničku mjeru brojeva n, n =, 2, Odredi sve prirodne brojeve n takve da je svaki složeni broj k, koji je relativno prost sa n i manji od njega, kvadrat cijelog broja Neka su p i q prosti brojevi, broj q 3 djeljiv je s p, abrojp djeljiv s q. Dokaži dajep =+q + q Dokaži da je za sve prirodne brojeve n k najveća zajednička mjera brojeva Cn k, Cn+ k,..., Cn+k k jednaka. 83. Neka je f(x) =x 2 x +. Dokaži da su za svaki prirodan broj m brojevi m, f(m), f(f(m)),...međusobno relativno prosti Dokaži da se među deset uzastopnih prirodnih brojeva uvijek nalazi barem jedan, a najviše četiri broja koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva 2, 3, 5, Dokaži da se među 9 uzastopnih brojeva može naći broj relativno prost s ostalima Dokaži dasemeđu 6uzastopnih brojeva može naći broj relativno prost s ostalima Dokaži da se za proizvoljna tri broja manja od može pronaći broj, manji od 00, koji je relativno prost sa svakim od njih brojevi u brojnim sustavima 836. Neka je n proizvoljan prirodan broj. Dokaži da postoji broj napisan u dekadskom sustavu pomoću jedinica i nula i koji je djeljiv sa n. Akojepak broj n relativno prost s 0, tada postoji broj sastavljen samo od jedinica, koji je također djeljiv sa n Dokaži dazasvakiprirodanbrojn postoji broj oblika koji je djeljiv sa n. 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 6

10 3.5. BROJEVI U BROJNIM SUSTAVIMA 838. Dokaži da postoje brojevi djeljivi s5 985 koji ne sadrže u svom zapisu niti jednu nulu Dokažidasezasvakiprirodanbroj n može naći broj koji je u dekadskom sustavu zapisan samo pomoću znamenki i 2 i koji je djeljiv s 2 n Dokaži da postoji prirodan broj n takav da u dekadskom zapisu broja n nema niti jedne nule. 84. Dokaži da postoji broj djeljiv sa 7 koji se piše samo pomoću jedinica i nula, pri čemu ima 96 jedinicu i 2 96 nulu, a posljednja znamenka je jedinica Dokaži dazasvakiprirodanbrojn postoji potencija broja 2 u čijem zapisu ima više odn uzastopnih nula Dokaži da postoje: a) jedan; b) beskonačno mnogo prirodnih brojeva n, takvih da se broj 2 n završava znamenkama broja n Dokaži dapostojibrojk takav da broj k! počinje znamenkama Dokaži da brojevi oblika 2 n, za različite vrijednosti od n, mogu počinjati proizvoljnom, unaprijed zadanom, kombinacijom znamenki Pokaži da za svaki prirodan broj m postoji prirodan broj n, n > m, takav da se decimalni prikaz broja 5 n dobiva dodavanjem nekih znamenaka slijeva decimalnom prikazu broja 5 m Postoji li prirodan broj djeljiv s (m jedinica) čiji je zbroj znamenaka manji od m? 848. Dokaži da zbroj znamenaka broja N nije veći od peterostrukog zbroja znamenaka broja 5 5 N Prirodni brojevi a i b u dekadskom zapisu imaju n znamenaka. Neka je prvih m znamenaka tih brojeva jednako, računajući s lijeva na desno,pri čemu je n/2 <m<n.dokaži dajetada n a n b< / n Dokaži da brojevi 974 n i 974 n + 2 n imaju za svaki prirodan broj n jednak broj znamenaka u svom dekadskom prikazu. 85. Dokaži da zbroj znamenaka broja 2 n (u dekadskom sustavu) može bitipo volji velik, za dovoljno veliki n Dokaži da postoji prirodan broj n, veći od 000, takav da je zbroj znamenaka broja 2 n veći od zbroja znamenaka broja 2 n Nađi sve prirodne brojeve n i k takve da n n ima k znamenaka, a k k ima n znamenaka Za koje prirodne brojeve n je zbroj znamenki broja n! jednak 9? 855. Dokaži dazasvakiprirodanbroj k postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva t koji nemaju nula u dekadskom prikazu i takvih, da t i kt imaju jednak zbroj znamenaka Označimo sa S(n) zbroj svih znamenaka prirodnog broja n. a) Postoji li prirodan broj n, takavda je n + S(n) = 980? b) Dokaži dasebaremjedanoddva uzastopna prirodna broja može prikazati u obliku n + S(n) zanekitreći prirodan broj n Označimo broj znamenaka u broju A s k(a). Dokaži dajebrojk( ) k( ) djeljiv s Neka je A zbroj znamenki broja , B zbroj znamenki broja A. Nađi zbroj znamenki broja B.(Svibrojevi su zapisani u dekadskom sustavu.) ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

11 3.5. BROJEVI U BROJNIM SUSTAVIMA 859. Postoje li tri znamenke različite od nule pomoću kojihmožemo zapisati kvadrate beskonačnog broja različitih cijelih brojeva? 860. Dan je 999-eroznamenkasti broj. Poznato je da ako izdvojimo proizvoljnih 50 uzastopnih znamenaka, tada je dobiveni broj djeljiv s 2 50.(Tajbrojmože započinjati nulama, ili pak biti cijeli jednak nuli.) Dokaži dajepočetni broj djeljiv s Zadan je prirodan broj n>970. Promotrimo ostatke pri dijeljenju broja 2 n s2,3,4,..., n. Dokaži dajezbroj svih ostataka većiod2n Ako je prirodan broj k djeljiv s , dokaži da njegov dekadski zapis ima barem 6 znamenaka različitih od nule Broj y dobiven je od broja x nekom permutacijom njegovih znamenki. Poznato je da vrijedi x + y = (200 nula). Dokaži dajex djeljiv s Binarni zapis prirodnog broja n djeljivog sa 7 sadrži točno tri znamenke. Dokaži: a) Taj zapis sadrži najmanje 6 znamenaka 0. b) Ako on sadrži točno 7 nula, tada je n paran Neka je m neki 7-eroznamenkasti broj i n njegov obrnuti broj (broj sa suprotnim poretkom znamenaka). Dokaži da je u dekadskom zapisu broja m + n bar jedna znamenka parna Neka su m i n prirodni brojevi, takvi, da je n>m. Posljednje tri znamenke broja 978 m jednake su, redom, posljednjim trima znamenkama broja 978 n (u dekadskom zapisu). Odredi m i n tako da m + n ima najmanju moguću vrijednost n teroznamenkasti broj nazivamo osobitim ako je on potpuni kvadrat, a brojevi napisani pomoću prvih njegovih n znamenaka i posljednjih n znamenaka su također potpuni kvadrati (pri tom drugi broj može počinjati nulom, ali ne može biti cijeli jednak nuli, dok prvi broj ne može počinjati s nulom). a) Nađi sve dvoznamenkaste i četveroznamenkaste osobite brojeve. b) Postoje li šesteroznamenkasti osobiti brojevi? (Dokaži da ih nema, ili pak nađi primjer takvog broja.) c) Dokaži da postoji barem jedan 30- teroznamenkasti osobiti broj. d) Dokaži da postoji ne više od 0 osobitih 00-znamenkastih brojeva e) dokaži da postoji barem jedan 30- znamenkasti osobiti broj Neka su a, b i n prirodni brojevi veći od. Brojevi a i b su baze dvaju brojnih sustava. Brojevi A n i B n imaju jednaki prikaz x n x n x x 0 u sustavima s bazama a i b, pri čemu je x n 0, x n 0. Brojeve koje dobivamo precrtavanjem prve znamenke x n označit ćemo s A n odnosno B n. Dokaži dajea>b ako i samo ako je A n A n < B n B n Dan je broj 2 k, pri čemu je k prirodan broj veći od 3. Dokaži da se permutacijom znamenaka ovog broja ne može dobiti broj oblika 2 n, gdje je n prirodan broj veći odk Prirodni brojevi k imaju sljedeće svojstvo: ako je n djeljiv sa k,tadajei broj zapisan istim znamenkama kao i n, ali u suprotnom poretku, također djeljiv sa k.dokaži dajek djelitelj broja Broj A zapisuje se u dekadskom sustavu pomoću 66 trojki, a broj B pomoću 666 šestica. Od kakvih se znamenaka sastoji broj A B? 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 63

12 3.6. PRIKAZ BROJEVA 872. Prirodan broj k ima u dekadskom zapisu n znamenaka. Taj se broj zaokružuje na točnost do desetki tako da se posljednja znamenka zamijeni nulom, aznamenkadeseticauveća za jedan ako je posljednja znamenka bila veća od 4. Dobiveni broj se na isti način zaokruži na točnost do stotica itd. Poslije n koraka dobiti ćemo broj k. Dokaži da vrijedi k <8k/ U bazi 2 dan je broj (n jedinica). Nađi, također u bazi 2, njegov kvadrat Razlomak 0000 napisan je 0000 u proizvoljnoj bazi. Dokaži da mu se vrijednost neće promijeniti ako srednju znamenku zamijenimo bilo kojim neparnim slogom znamenki, tj = = = 875. Odredi četveroznamenkasti broj u bazi 0 koji je jednak broju s obrnutim poretkom znamenaka, ali u bazi Za koji brojni sustav vrijedi jednakost 2!! 0! = ? 877. Za svaki prirodan broj n odredi najmanji prirodan broj koji zbrojen s 2 n daje potpuni kvadrat Funkcija f : N N zadana je formulom f(m) =m + m. Dokaži datadazasvakim Npostoji k N tako da je f k (m) =f(f(...(f(m))...) }{{} k potpun kvadrat Odredi sve cijele brojeve x tako da x 2 +3x + 24 bude potpuni kvadrat Dokaži da zbroj jednakih parnih potencija triju uzastopnih prirodnih brojeva ne može biti parna potencija prirodnog broja. 88. Dokaži da zbroj jednakih parnih potencija devet uzastopnih prirodnih brojeva ne može biti potencija prirodnog broja (s eksponentom većim od ) Neka je P n produkt prvih n prostih brojeva. Dokaži da niti jedan od brojeva P n, P n + nije potpuni kvadrat prikaz brojeva 883. Dokaži da niti jedan broj oblika 2 n (n prirodan) nije jednak zbroju dvaju ili više uzastopnih brojeva Dokaži da je svaki broj, koji nije potencija broja 2, jednak zbroju dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva Dokaži da se bilo koja potencija prirodnog broja n može prikazati u obliku zbroja n uzastopnih neparnih brojeva Dokaži da se niti jedan prost broj oblika 2 2n + ne može prikazati kao razlika petih potencija dva prirodna broja Dokaži da se svaki prirodan broj koji nije veći od n! može prikazati u obliku zbroja od najviše n pribrojnika među kojima nema jednakih i svaki je djeljitelj broja n! Postoji li prirodan broj z koji se na dva različita načina može prikazatiu obliku z = x!+y!? ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

13 3.6. PRIKAZ BROJEVA 889. Neka je n prirodan i d djelitelj broja 2n 2. Dokaži dabrojn 2 + d nije nikad potpun kvadrat Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n takvih da je n 2 x 2 + p, gdje je p prost a x cijeli broj. 89. Dokaži dasesvakibroj2 n, n 3, može prikazati u obliku 2 n =7x 2 + y 2, gdje su x i y neparni brojevi. (Eulerov zadatak.) 892. Dokaži da postoji beskonačno mnogo vrijednosti n N za koje se svaki od brojeva n, n+, n+2 može prikazatiu obliku sume kvadrata dva cijela broja Dokaži da se svaki prirodan broj može na jedinstveni način prikazati u obliku 2 [(x+y)2 +3x + y] gdje su x, y nenegativni cijeli brojevi Neka su a, b, c pozitivni cijeli brojevi od kojih su bilo koja dva relativno prosta. Dokaži daje2abc ab bc ca najveći cijeli broj koji se ne može prikazati u obliku xbc + yca + zab, s cijelim nenegativnim brojevima x, y, z Dokaži da postoji beskonačno mnogo trojki uzastopnih prirodnih brojeva od kojih je svaki zbroj dva potpuna kvadrata. Primjer: 72 = ,73= , 74 = Dokaži da 2 p +3 p nije potencija prirodnog broja niti za jedan prost broj p Odredi sve prirodne brojeve m, n za koje je 2 m +3 n potpun kvadrat Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji se ne mogu prikazati u obliku p + n 2k ni za koje proste p i prirodne n i k Zadan je rastući niz prirodnih brojeva a,a 2,...,a n,... () za koji vrijedi a i a n, n =, 2,... (2) n + i= Dokaži da se svaki prirodan broj N može prikazati kao suma nekoliko različitih članova niza (). Dokaži da je taj prikaz jednoznačan samo u slučaju kada u relacijama (2) vrijedi znak jednakosti za svaki n. Odrediutomslučaju niz (2) Dokaži dazasvakiprirodanbroj n postoji prirodan broj m i brojevi C,...,C m {, }, takvi da vrijedi nejednakost n = C 2 + C C m m Dokaži da se svaki prirodan broj dade na jedinstven način prikazati u obliku a n n!, 0 a n n. n= 902. Prikaži broj/2 kao zbroj recipročnih vrijednosti konačno mnogo kvadrata prirodnih brojeva, u uzlaznom nizu Dokaži da se svaki pravi razlomak može prikazati kao konačna suma recipročnih vrijednosti različitih cijelih brojeva Postoji li takav broj n da se svaki racionalni broj između 0imože prikazati u obliku zbroja n brojeva recipročnih prirodnim? 905. Ako je a pravi razlomak, dokaži b da se dade prikazati u obliku a b = q q q 2 q q 2 q n gdje su q q 2 q n prirodni brojevi. 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 65

14 3.7. DIOFANTSKE JEDNADŽBE 906. Dokaži da se svaki racionalni broj manji od dade na jedinstven način prikazati u obliku a n (n+)!, 0 a n n. n= 907. Dokaži dajezasvakiprirodann, broj ( 2 ) n oblika m m, gdje je m prirodan broj Ako su m i n prirodni brojevi veći od, pokaži da postoje prirodni brojevi N, N 2,...,N m takvi da je m ( ) /n m =+ N j N j 93. Kazat ćemo da broj N ima svojstvo P (k) ako se on dade prikazati kao produkt k uzastopnih prirodnih brojeva, većih od. a) Nađi k za kojeg neki broj N posjeduje svojstva P (k) ip (k +2). b) Dokaži da ne postoji broj koji bi imao svojstva P (2) i P (4). 94. Skup T 0 sastoji se od svih brojeva oblika (2 k )! gdje je k =0,, 2,... Za svaku vrijednost p =, 2,..., 987 skup T p dobivamo kao skup svih onih brojeva koji se mogu prikazati u obliku zbroja nekoliko različitih brojeva iz T p. Dokaži da barem jedan prirodan broj ne pripada skupu T diofantske jednadžbe j= 909. Dokaži da za sve prirodne brojeve m, n postoji prirodan broj k takav da vrijedi ( m + m ) n = k + k. 90. Neka su m i n prirodni brojevi, ne manji od 2. Dokaži dapostojibrojk takav da je ( ) m n + n2 4 = k + k Ako brojevi m, k, n N zadovoljavaju relaciju +m + n 3=(2+ 3) 2k, dokaži dajem kvadrat cijelog broja. 92. Brojevi n =33, 34,...,73 zadovoljavaju sljedeću tvrdnju: Broj n se dade prikazati u obliku zbroja nekoliko brojeva, čija je suma recipročnih vrijednosti jednaka. Dokaži datadato svojstvo imaju svi prirodni brojevi veći od Riješi u prirodnim brojevima: 2 m 3 n =. 96. Odredi cjelobrojna rješenja jednadžbe 3 x 2 y =. 97. Riješi u prirodnim brojevima: 2 x =y Riješi u prirodnim brojevima: 2 x +=y Riješi u prirodnim brojevima: 2 x =3 y Dokaži dajednadžba x m =2 n nema rješenja u skupu prirodnih brojeva, ako je n>im>. 92. Odredi sve trojke (x, y, z) cijelih brojeva za koje vrijedi x y 2 z = Riješi u cijelim brojevima 4 x +4 y +4 z = u Dokaži da za proizvoljni prosti broj p > 5 jednadžba x 4 +4 x = p nema rješenja u cijelim brojevima ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

15 3.7. DIOFANTSKE JEDNADŽBE 924. Odredi sva rješenja jednadžbe n x + n y = n z u prirodnim brojevima Dokaži da jednadžba m nm = n mn (n m) nema rješenja u prirodnim brojevima Odredi sva pozitivna racionalna rješenja jednadžbe x y = y x Dokaži da jednadžba (2x) 2x =y z+ nema rješenja u prirodnim brojevima Riješi u cijelim brojevima x 2 (x 2 + y) =y z U skupu prirodnih brojeva riješi jednadžbu x 5 x =(6 x) x Riješi u prirodnim brojevima x 2y +(x+) 2y =(x+2) 2y. 93. Odredi pozitivna racionalna rješenja jednadžbe x x+y =(x + y) y Dokaži danepostojemeđusobno različiti brojevi x, y, z, t za koje bi vrijedilo x x + y y = z z + t t Riješi u prirodnim brojevima sustav x + y = zt, z + t = xy Za dani prirodan broj n nađi prirodne brojeve x, y tako da vrijedi x x+y = y n, y x+y = x 2n y n Riješi u cijelim brojevima y 3 x 3 = Dokaži da jednadžba x 3 +y 3 +z 3 = nema cjelobrojnih rješenja Za koje prirodne brojeve k jednadžba x 2 + y 2 = kxy ima rješenje u prirodnim brojevima? 938. Riješi u cijelim brojevima x 2 + y 2 + z 2 =2xyz Za koje k N jednadžba x 2 + y 2 + z 2 = kxyz ima rješenje u prirodnim brojevima? 940. Riješi u cijelim brojevima x 2 + y 2 + z 2 + u 2 =2xyzu. 94. Nađi sve nenegativne cijele brojeve x, y, z, n tako da vrijedi x 3 + y 3 + z 3 = nx 2 y 2 z Riješi u cijelim brojevima x 2 + y 2 =3z Riješi u cijelim brojevima x 2 + y 2 + z 2 = x 2 y Dokaži dajednadžba x 2 +5=y 3 nema rješenja u cijelim brojevima Riješi u skupu cijelih brojeva jednadžbu x 2 + xy + y 2 = x 2 y Dokaži dajednadžba 2x 2 5y 2 =7 nema rješenja u skupu prirodnih brojeva Dokaži dajednadžba 9x 2 +2 = y 2 nema rješenja u skupu cijelih brojeva Ima li jednadžba x 2 + y 3 = z 4 rješenje u prostim brojevima x, y, z? 949. Riješi u cijelim brojevima x 3 =2y 3 +4z Da li je broj rješenja jednadžbe x 2 + y 3 = z 2 konačan ili beskonačan? 95. Riješi u cijelim brojevima (x +2) 4 x 4 = y ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 67

16 3.7. DIOFANTSKE JEDNADŽBE 952. Riješi u cijelim brojevima x 6 +3x 3 +=y Riješi u cijelim brojevima: xy +3x 5y = Riješi u cijelim brojevima x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y Riješi u prirodnim brojevima xy + yz + zx xyz = Nađi sve parove cijelih brojeva (x, y) koji zadovoljavaju jednadžbu y 4 x(x+)(x+2)(x+3) = Riješi u cijelim brojevima x(x +)(x +7)(x +8)=y Nađi sve trojke cijelih brojeva (a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost 3(a 3) 2 +6b 2 +2c 2 +3b 2 c 2 = Riješi u cijelim brojevima jednadžbu 9x 2 84y 2 = Riješi u prirodnim brojevima jednadžbu a 2 + b 2 +3c 2 =(a+b+c) Postojelicijelibrojevim, n za koje je m 2 = n ? 962. Dokaži da za svaki n N jednadžba x x 2 n = y 2 ima rješenja u prirodnim brojevima Riješi u cijelim brojevima x 4 + x x 4 4 = Ako jednadžba ax 2 + bxy + cy 2 = z 2 (a, b, c cjelobrojni) ima cjelobrojna rješenja različita od nule, pokaži datada ona ima beskonačan skup međusobno neproporcionalnih cjelobrojnih rješenja Nađi cjelobrojna rješenja jednadžbe p(x + y) =xy,gdjejep zadani prost broj Dokaži da jednadžba x 2 +x+ = py ima rješenje u skupu prirodnih brojeva za beskonačno mnogo prostih brojeva p Nađi sva cjelobrojna rješenja sustava jednadžbi x + y + z =3, x 3 + y 3 + z 3 = Dana je jednadžba x 4 3xy 2 +y 3 = n. Akojen takav pozitivan cijeli broj da dana jednadžba ima cjelobrojno rješenje (x, y), dokaži da ona tada ima bar tri takva rješenja. Dokaži da za n = 289 ta jednadžba nema nijedno cjelobrojno rješenje Dokaži da jednadžba x!+y! =0z +9 nema rješenja u skupu prirodnih brojeva Riješi u prirodnim brojevima n!+=m Riješi u prirodnim brojevima x!+y!+z! =u! Riješi u prirodnim brojevima! + 2! n! =m Riješi jednadžbu! + 2! x! =y z, gdje su x, y i z prirodni brojevi i z> Dokaži dajednadžba (p )!+ = p n nema rješenja u prirodnim brojevima p i n, akojep> Riješi u prirodnim brojevima (y +) x =y! ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

17 3.7. DIOFANTSKE JEDNADŽBE 976. Riješi u prirodnim brojevima x, ( ) ( ) ( ) x y z y, z, jednadžbu + = n n n gdje je n zadani prirodni broj Riješi u prirodnim brojevima ( ) ( ) x + y + =. y x 978. Odredi sve prirodne brojeve n, takve, da za svaki k =, 2,..., n vrijedi 2Cn k = Cn k + Cn k Riješi u prirodnim brojevima x + x x = z. }{{} y korijena 980. Nađi sve prirodne brojeve a, b, c za koje je a + b b c = a c. 98. Nađi cjelobrojna rješenja x 5 + y 5 = Riješi u skupu realnih brojeva jednadžbu x = x x + x Neka je p prost broj p>2. Da li postoje prirodni brojevi x i y takvi da je x + y = 2p? 984. Koliko cjelobrojnih rješenja ima jednadžba x + y = 980? 985. Riješi u cijelim brojevima x + y = Riješi u cijelim brojevima x + y = z Dokaži da za neparni prirodan broj n jednadžba / x + / y = 4/ n ima rješenje u prirodnim brojevima ako i samo ako vrijedi n = m(4k ) za neke prirodne brojeve m i k Neka je p prost broj veći od 2. Dokaži da se 2/ p može na jedinstven način prikazati u obliku 2/ p = / x + / y, gdje su x i y različiti prirodni brojevi Neka su m, n relativno prosti, 0 < m/ n <. Odredi kada se broj m/ n može prikazati u obliku / x + / y za neke cjelobrojne x i y Nađi sva rješenja u prirodnim brojevima x y z t jednadžbe x + y + z + t =. 99. Riješi u prirodnim brojevima jednadžbu / x + 2/ y + 3/ z = Odredi broj parova cijelih, međusobno različitih brojeva x, y za koje je / n = / x + / y,gdjejen proizvoljan prirodan broj Nađi sve trojke (x, y, z) prirodnih brojeva takvih, da je x y z idaje / x + / y + / z cijeli broj Dokaži da za svaki prirodan n jednadžba / x / xn = ima konačan broj rješenja u prirodnim brojevima. Dokaži da za n>2 ona ima rješenje x,...,x n urastućim prirodnim brojevima. Ako P n označava broj tih rješenja, dokaži davrijedip n+ >P n za n =3, 4, ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 69

18 3.7. DIOFANTSKE JEDNADŽBE 995. Odredi sva rješenja jednadžbe x 2 + y 2 = z 2, gdje su x, y, z relativno prosti prirodni brojevi Riješi u skupu prirodnih brojeva jednadžbu x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = Odredi sve prirodne brojeve n za koje jednadžba x 2 + x x 2 = n ima rješenje u prirodnim brojevima Dokaži dazasvakiprirodanbroj m, za dovoljno veliki n jednadžba = x m x m 2 x m n ima najmanje jedno rješenje u prirodnim brojevima Dokaži da jednadžba x n + y n = z n nema rješenja u prirodnim brojevima, ako je z>0, 0 <x<n, 0 <y<n, n N Dokaži da jednadžba x n + y n = z n nema rješenja u prirodnim brojevima, ako je x 2 2y i n Pretpostavimo da je x n + y n = z n, gdje je n prirodan a x, y, z pozitivni realni brojevi. Dokaži da je tada 5(xy) n < 2z 2n Dokaži da jednadžba x n + y n = z n nema rješenja u skupu prirodnih brojeva ako je n>2iz< n 2/( n 2 ) Dokaži da za fiksne prirodne brojeve x, y, z, jednadžba x n + y n = z n ima najviše jedno rješenje u skupu prirodnih brojeva Dokaži dazaneparnin jednadžba x n +y n = z n ne može imati cjelobrojnih rješenja, ako je x+y prost broj Neka je n prirodan broj. Označimo s p k broj nenegativnih cijelih rješenja jednadžbe kx +(k +)y = n k +. Izračunaj p + p p n a) Služeći se binomnom formulom, iz jednakosti 3 n =(+2) n dokaži da za svaki prirodan broj n veći od vrijedi nejednakost n n + 3. b) Pokaži dasuparovi(4, 2) i (2, 4) jedina rješenja jednadžbe x y = y x u skupu prirodnih brojeva, uz uvjet da je x y Dokaži dazasvakiprirodanbroj n jednadžba ( ) n ( ) n+ 5 5 x + y = 2 2 ima točno jedno cjelobrojno rješenje Riješi u prirodnim brojevima jednadžbu n =. x + x x n 009. Dokaži dajednadžba x + x x n = x x 2 x n ima najmanje jedno rješenje u prirodnim brojevima. 00. Nazovimo Pitagorinom trojkom trojku prirodnih brojeva (x, y, z) takvu da je x y z, x 2 + y 2 = z 2. Dokaži da se za svaki prirodan broj n broj 2 n+ pojavljuje u točno n Pitagorinih trojki ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

19 3.8. NIZOVI I REDOVI 0. Za svaki n N označimo s a n broj rješenja jednadžbe n 2 + x 2 = y 2 u prirodnim brojevima, većim od n. a) Dokaži dazasvakim nejednakost a n >M vrijedi barem za jednu vrijednost n N. b) Da li vrijedi lim n a n =? 3.8. nizovi i redovi 02. Dokaži da je svaki četvrti broj u Fibonaccijevomnizu,,2,3,5,..., djeljiv s Zadan je niz {F n } Fibonaccijevih brojeva,, 2, 3, 5,... Dokaži daje F 5n djeljiv s 5 za svaki n. 04. U Fibonaccijevom nizu, 2, 3, 5, 8,...izabrano je 8 uzastopnih brojeva. Dokaži da njihov zbroj nije član niza. 05. Zadan je Fibonaccijev niz 0,,, 2, 3, 5, 8,... Da li se među njegovih prvih članova može pronaćibrojkojisezavršava s četiri nule? 06. Dokaži dačlanovi Fibonaccijevog niza {u n } zadovoljavaju relacije: )F n = F k F n k + F k F n k, 2)F 2n = F 2 n + F 2 n, 3)F 3n = F 3 n + F 3 n+ F 3 n, 4)F 4 n F n 2 F n F n+ F n+2 =, 5)F n+ F n+2 F n F n+3 =( ) n, 6)F n F n+ F n 2 F n = F 2n, 07. Dokaži dasečlanovi Fibonaccijevog niza mogu izraziti formulom: F n = [( ) n ( ) n ] Dokaži da se svaki prirodan broj može prikazati kao suma nekoliko različitih članova Fibonaccijevog niza,, 2, 3, 5, 8, Dokaži da Fibonaccijev niz (definiran s F = F 2 =, F n+2 = F n+ + F n, n =, 2,...) sadrži beskonačan rastući podniz takav da su svaka njegova dva člana relativno prosta Neka je {F n } Fibonaccijev niz: F = F 2 =,F n+2 = F n+ +F n,n. Označimo s f n posljednju znamenku u dekadskom zapisu broja F n.dalipostoji f + f f n lim? n n 02. Neka je x 0 = a, x = b i x n+ =2x n 9x n, n >. Odredi nužne i dovoljne uvjete na a i b pri kojima postoji član danog niza koji je djeljiv sa Niz a 0,a,...,a n,... definiran je na način a 0 = a =, a n+ = a n a n +, n. Dokaži dabroja 964 nije djeljiv sa U nizu {a n }, a =, a 2 =, svaki je sljedeći član zbroj kvadrata dvaju prethodnih. Da li je a 978 djeljiv sa 7? 024. Niz prirodnih brojeva {x n } definiran je na način: 3 x =2, x n+ = 2 x n, n =, 2,... Dokaži daunizu{x n } ima beskonačno mnogo neparnih i beskonačno mnogo parnih brojeva. ( x je najveći cijeli broj koji nije veći odx.) 025. Niz prirodnih brojeva {x n } definiran je na način x =2, x 2 =3,..., x n+ =,5x n. Dokaži da niz {y n }, gdje je y n =( ) x n, nije periodičan. 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 7

20 3.8. NIZOVI I REDOVI 026. Ako je y = x, y 2 = x + y,..., y n = x + y n,...dokaži da je lim y n cjelobrojan ako i samo ako je x oblika n(n ), n =2, 3,... U tom slučaju izračunaj limes Niz realnih brojeva zadan je na način a =, a n+ =2a n + 3a 2 n +,n N Dokaži dasusvičlanovi tog niza cjelobrojni Dan je niz {x n } čiji članovi zadovoljavaju relaciju x n+ = x2 n + a, n =, 2,... x n x x 2 + a Ako su x 0, x i cijeli x 0 x brojevi, dokaži da su tada svi članovi niza cijeli brojevi Neka je F n n ti član niza definiranog sa F n := F n 2F n 2, F =, F 2 = Dokaži daje2 n+ 7 Fn 2 potpun kvadrat Nađi sve parove a n, a n+ uzastopnih članova niza a,a 2,... definiranog sa a n =2 n +49,tako davrijedi a n = p q, a n+ = r s gdje su p, q, r, s prosti brojevi za koje je p<q, r<s, q p = s r. 03. Prva četiri člana jednog niza su, 9, 8,. Svaki naredni član niza jednak je posljednjoj znamenki zbroja prethodna četiri člana. a) Da li se u nizu pojavljuje četvorka, 2, 3, 4? b) Da li se u nizu nekad pojavi početna četvorka? 032. Neka je a =, a 2 =3,i a n+2 =(n +3)a n+ (n +2)a n za svaki prirodan broj n. Nađi sve vrijednosti n za koje je a n djeljiv s Označimo s P (n) umnožak svih znamenki prirodnog broja n. Može li niz {n k }, zadan formulom n k+ = n k + P (n k ) i svojim prvim članom n, biti neograničen? 034. Dokaži da je niz sastavljen od posljednjih znamenki broja n n periodičan Unizubrojeva{a n } svaki sljedeći je dobiven tako da se prethodnom dopisala s desna neka znamenka, različita od 9. a je neki deseteroznamenkasti broj. Dokaži dasuutomnizubaremdva složena broja Dan je geometrijski niz čiji je kvocijent cijeli broj, različit od 0 ili. Dokaži da zbroj proizvoljnih dvaju ili više članova niza nije jednak nikojem članu tog niza Nađi sve nizove prirodnih brojeva {a n } za koje vrijedi a) a n n n za svaki n; b) za sve različite m i n broj a m a n je djeljiv sa m n a)postojiliniz{a n } prirodnih brojeva sa sljedećim svojstvom: niti jedan član niza nije jednak sumi nekoliko drugih i a n n 0 za svaki n? b) Isto pitanje, ako je a n n n za svaki n U nizovima {a n } i {b n } svaki je član, počevši od trećeg, jednak zbroju dva prethodna, pri čemu je a =, a 2 =2, b =2,i b 2 =. Koliko postoji brojeva koji su članovi i jednog i drugog niza? ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

21 3.8. NIZOVI I REDOVI 040. Dan je aritmetički niz čiji su članovi prirodni brojevi. Poznato je da se u tom nizu pojavljuje član koji je potpun kvadrat. Dokaži danizsadrži beskonačno mnogo takvih članova. 04. Dokaži da u nizu kvadrata prirodnih brojeva ne postoji beskonačan podniz koji čini aritmetički niz Zadan je proizvoljan niz a,..., a 2k+ sastavljen od cijelih brojeva. Iz njega je formiran novi niz 2 (a + a 2 ), 2 (a 2 + a 3 ),..., 2 (a 2k + a 2k+ ), 2 (a 2k+ + a ) Iz ovako dobivenog niza na isti način je formiran novi niz itd. Dokaži dasusvi brojevikojisepritomdobijucijeliako i samo ako su svi brojevi početnog niza jednaki Neka su a,...,a n proizvoljni prirodni brojevi manji od 000 i takvi da je najmanji zajednički višekratnik bilo koja dva među njima veći od 000. Dokaži da je zbroj recipročnih vrijednosti brojeva a,...,a n manji od Ako harmonijskom redu n +... izbacimo članove koji sadrže znamenku 3, pokaži da on postaje konvergentan Promatrajmo sve prirodne brojeve u kojima se ne javlja znamenka 9. Dokaži da zbroj recipročnih vrijednosti tih brojeva nije veći od Neka su a,a 2,...,a n različiti cijeli brojevi od kojih nijedan nije djeljiv prostim brojem većim od 3. Dokaži da je < 3. a a 2 a n 047. Zadan je niz prirodnih brojeva n < n 2 <... takav da za j > i decimalna reprezentacija od n j ne počinje s decimalnom reprezentacijom od n i.dokaži daje < + n j j 048. Neka su p, q, r prosti brojevi i S skup svih prirodnih brojeva koji nemaju drugih prostih faktora osim p, q i r. Izračunaj zbroj / n. n S 049. Niz r, r 2,... formiran je po zakonu: r =,...,r n+ = ( r n + 2 ) 2 r n Prikažimo r k u obliku razlomka p/ q koji se ne može skratiti. Dokaži dasuzasvaki k 2 ispunjene nejednakosti 0 < p q 2 < 2 2 q Dokaži da se u svakom aritmetičkom nizu sastavljenom od prirodnih brojeva nalazi broj u čijem se dekadskom prikazu nalazi znamenka Zadan je prirodan broj a. Neka je a 0 = a. Ako je a n = c 0 +0c k c k (c i N, 0 c i < 0, i =0,,...,k), neka je a n+ =2c 0 +c + 0c k c k.kojisebrojeviunizu a 0,a,...,a n,... pojavljuju beskonačno mnogo puta? 052. Odredi niz {a n } koji zadovoljava uvjet + ( ) n/d a d =0, n =, 2, 3,... d n (Sumira se po svim pozitivnim djeliteljima broja n, uključujući in.) 053. Zadan je strogo rastući niz a, a 2, a 3,... prirodnih brojeva, tako da je a =, a 2 = 2 i da za sve međusobno proste brojeve m i n vrijedi a m a n = a mn. Dokaži da za svaki prirodan broj n vrijedi a n = n. 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 73

22 3.9. FUNKCIJE BROJEVA 054. Neka je α,a 2,a 3,... strogo rastući niz prirodnih brojeva. Dokaži da postoji beskonačno mnogo članova a m tog niza koji se mogu predstaviti u obliku a m = xa p + ya q, gdje su x, y prirodni brojevi i p q S prirodnim brojem k načini se sljedeći postupak: Broj k se prikaže kao produkt svojih prostih faktora: k = p p 2 p n i potom se izračuna zbroj p +p p n +. S dobivenim brojem se ponovi isti postupak itd. Dokaži daje dobiveni niz, počevši od jednog trenutka, periodičan Zadan je polinom P (x) s cjelobrojnim koeficijentima. Označimo s a n zbroj znamenaka broja P (n) u dekadskom sustavu. Dokaži da postoji broj koji se u nizu {a n } pojavljuje beskonačno mnogo puta Zadan je polinom P (x) s cjelobrojnim koeficijentima. Za svaki prirodan broj n vrijednost P (n) je veća od n. Promotrimo niz x =, x 2 = P (x ),..., x n = P (x n ),... Poznato je da za svaki prirodan broj N postoji član niza koji je djeljiv sa N.Dokaži datada vrijedi P (x) =x funkcije brojeva Označimo ϕ(n) = broj svih brojeva manjih od n koji su relativno prosti sa n. τ(n) = broj svih djelitelja broja n, uključujući in. σ(n) = zbroj svih djelitelja broja n, uključujući in Pokaži da je 6 jedini savršeni broj čiji su faktori različiti prosti brojevi. (Broj je savršen ako je jednak zbroju svih svojih djelitelja, uključujući i jedinicu.) 059. Dokaži da je posljednja znamenka svakog parnog savršenog broja uvijek 6 ili Dokaži da kvadrat cijelog broja nije savršen broj. 06. Ako neki broj ima neparan broj djelitelja (uključujući i sam broj), onda je on potpuni kvadrat. Dokaži! 062. Nađi sve prirodne brojeve jednake kvadratu broja svih svojih djelitelja Dokaži da je kvocijent zbroja svih pozitivnih djelitelja nekog cijelog broja n> s brojem tih djelitelja veći od n Dokaži da je zbroj svih djelitelja prirodnog broja n>2manjiodn n Dokaži da broj djelitelja broja n ne prelazi 2 n Nađi sve brojeve N za koje je N = τ(n) p, gdjejep prost broj Odredi sve prirodne brojeve n i proste brojeve p za koje vrijedi ϕ(n) = n/ p Dokaži dajen prost broj ako i samo ako vrijedi ϕ(n)+σ(n) =nτ(n) Ako je n>2 prirodan, dokaži da vrijedi ϕ(n) τ(n) >n Dokaži daje2σ(n) =nτ(n) ako isamoakojen= Neka je ϕ k (n) :=ϕ(ϕ k (n)) i ϕ 0 (n) =ϕ(n). Dokaži da za bilo koji k postoji prirodan broj n 0 takav da je ϕ k (n) > zasvakin>n Odredi sve prirodne brojeve n i s za koje vrijedi n ϕ(s) = s ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija 18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

1 Obične diferencijalne jednadžbe

1 Obične diferencijalne jednadžbe 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f

Διαβάστε περισσότερα

Skup prirodnih brojeva označavamo s N. N = {1, 2, 3, 4, 5,...,n,...}.

Skup prirodnih brojeva označavamo s N. N = {1, 2, 3, 4, 5,...,n,...}. 1 REALNI BROJEVI 1.1. Skupovi brojeva Upitamo li nekoga tko nije matematičar, ili mu matematika barem nije osobito bliska, čime se bavi ta znanost, vjerojatno će odgovoriti brojevima. Premda odgovor baš

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα