Δυσμενής Επιλογή. Το βασικό υπόδειγμα

Transcript

1 Δυσμενής Επιλογή Το βασικό υπόδειγμα Όμοια με τον ηθικό κίνδυνο καταπιανόμαστε με τον σχεδιασμό ενός βέλτιστου δανειακού συμβολαίου Ο Εντολέας στο υπόδειγμά μας αντιπροσωπεύει μια Τράπεζα ενώ η Επιχείρηση ως Εντολοδόχος επιθυμεί να χρηματοδοτήσει ένα επενδυτικό της σχέδιο Βασικό χαρακτηριστικό στα υποδείγματα δυσμενούς επιλογής είναι ότι υπάρχει ασυμμετρία πληροφόρησης, η Επιχείρηση διαθέτει πληροφορία για τα χαρακτηριστικά του επενδυτικού σχεδίου τα οποία δεν διαθέτει η Τράπεζα Όπως προηγουμένως θα υποθέσουμε ότι η Τράπεζα θα χρηματοδοτήσει εξολοκλήρου το επενδυτικό σχέδιο με το ποσό I Η ασύμμετρη πληροφόρηση στο πρόβλημα μας θα είναι το επίπεδο παραγωγικότητας της Επιχείρησης Υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο τύποι επιχειρήσεων Και οι δύο τύποι θα χρησιμοποιούν τεχνολογία που αποδίδεται από μια λογαριθμική συνάρτηση παραγωγής με μόνη εισροή στη παραγωγή το κεφάλαιο, f(i) = θlni με θ > 0 Ωστόσο, η παραγωγική επιχείρηση θα χαρακτηρίζεται από βαθμωτό θ μεγαλύτερο από αυτό της λιγότερο παραγωγικής επιχείρησης Για παράδειγμα, αν η παραγωγική επιχείρηση έχει θ = 12 ενώ η λιγότερο παραγωγική θ = 1, αντιλαμβάνεται κανείς ότι η παραγωγική επιχείρηση θα παράγει 20% περισσότερο προϊόν από τον λιγότερο παραγωγικό τύπο 1

2 Η χρονική εξέλιξη για την σύναψη του συμβολαίου έχει ως εξής Η Τράπεζα προσφέρει ένα συμβόλαιο στην Επιχείρηση της μορφής (I, R), όπου I είναι το ποσό που θα δανείσει στην Επιχείρηση ενώ το R είναι το τελικό ποσό που θα επιστρέψει η Επιχείρηση στην Τράπεζα με την ολοκλήρωση της περιόδου δανεισμού Διαφορετικά θα μπορούσαμε να αποδώσουμε το τελικό ποσό ως R = I(1 + r), για r το επιτόκιο δανεισμού για την περίοδο Αρχικά, υπολογίζουμε την βέλτιστο αποτέλεσμα υπό καθεστώς πλήρους πληροφόρησης Ξεκινώντας, είναι απαραίτητο να ορίσουμε την αντικειμενική συνάρτηση των δύο μερών Θεωρώντας ότι η τιμή του προϊόντος της επένδυσης είναι ένα ευρώ, τα κέρδη που πραγματοποιεί η επιχείρηση είναι U E = θ ln I R Αντίστοιχα, η Τράπεζα θα έχει κέρδη από την δανειακή σχέση U T = u t (R) I, όπου u T είναι η συνάρτηση ωφέλειας της Τράπεζας και το κόστος κεφαλαίου, πχ το επιτόκιο με το οποίο δανείζεται η Τράπεζα από την διατραπεζική αγορά Για αρχή θα υποθέσουμε ότι η συνάρτηση της Τράπεζας θα είναι γραμμική, u T (R) = R, αποδίδοντάς της ουδέτερες προτιμήσεις έναντι του ρίσκου Στη συνέχεια ορίζουμε το μαθηματικό πρόγραμμα της Τράπεζας όταν η ίδια γνωρίζει τον τύπο παραγωγικότητας της Επιχείρησης Βέλτιστο αποτέλεσμα υπό καθεστώς πλήρους πληροφόρησης Η Τράπεζα γνωρίζει τον τύπο θ { θ, θ} Ο μόνος περιορισμός που υπεισέρχεται και εξασφαλίζει τη συμμετοχή της Επιχείρησης Δ Βολιώτης 2

3 Περιορισμός συμμετοχής U E = θ ln I R 0 (1) Εφόσον η συμπεριφορά της Τράπεζας είναι ατομικά ορθολογική, αναμένουμε ότι ο περιορισμός θα ικανοποιείται ισοτικά Επομένως, στο βέλτιστο ισχύει θ ln I = R Ως αποτέλεσμα, το μαθηματικό πρόγραμμα που λύνει η Τράπεζα είναι Το πρόβλημα της Τράπεζας max U T = R I = θ ln I I (2) I Από τις αναγκαίες (και ικανές) συνθήκες πρώτης τάξης έχουμε: θ I = 0 I = θ (3) Αντικαθιστώντας πίσω στο περιορισμό συμμετοχής υπολογίζουμε και το R, R = θ ln I = θ ln θ Το βέλτιστο συμβόλαιο από μέρους της Τράπεζας είναι Βέλτιστο συμβόλαιο (I, R) = ( θ, θ ln ) θ Το πρόβλημα με ατελή πληροφόρηση Στο γενικότερο πρόβλημα με την ασύμμετρη πληροφόρηση η Τράπεζα δεν είναι πλέον Δ Βολιώτης 3

4 σε θέση να γνωρίζει τι τιμή λαμβάνει η τυχαία μεταβλητή θ Ωστόσο, είναι σε θέση να γνωρίζει την a priori κατανομή να είναι η Επιχείρηση υψηλής ή χαμηλής παραγωγικότητας Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι η πιθανότητα να είναι η Επιχείρηση υψηλής παραγωγικότητας θ είναι π (αντίστοιχα 1 π να είναι χαμηλής παραγωγικότητας θ) Σκοπός της Τράπεζας είναι να σχεδιάσει ένα μενού συμβολαίων {(Ī, R), (I, R)}, ένα συμβόλαιο κατάλληλα σχεδιασμένο για τον κάθε πιθανό τύπο Τα συμβόλαια αυτά θα πρέπει αφενός να εξασφαλίζουν όχι μόνο ότι η Επιχείρηση, ανεξάρτητα του τύπου της θα επιλέξει να δεχθεί ένα από τα δύο συμβόλαια, αφετέρου ότι ο κάθε τύπος θα διαλέξει εκείνο το συμβόλαιο που αντιστοιχεί στον τύπο που τον χαρακτηρίζει Η αντικειμενική συνάρτηση για την Τράπεζα είναι, V = π( R Ī) + (1 π)(r I) Περιορισμοί Συμμετοχής Ū = θ ln Ī R 0 U = θ ln I R 0 (ΠΣ1) (ΠΣ2) Περιορισμοί Κινήτρου θ ln Ī R θ ln I R θ ln I R θ ln Ī R (ΠΚ1) (ΠΚ2) Δ Βολιώτης 4

5 Το πρόβλημα της Τράπεζας max V = π( R Ī) + (1 π)(r I) ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί (ΠΣ1), (ΠΣ2), (ΠΚ1) και (ΠΚ2) Η πληροφοριακή πρόσοδος Είναι χρήσιμο να διατυπώσουμε το πρόβλημα σε όρους προσόδου καθώς βασικός σκοπός της ανάλυσής μας είναι να εξετάσουμε κατά πόσο η Επιχείρηση που διαθέτει ανώτερη πληροφόρηση από την Τράπεζα είναι σε θέση να την εκμεταλλευτεί ώστε να εξασφαλίσει για τον εαυτό της επιπλέον πρόσοδο Επομένως θα επαναδιατυπώσουμε το παραπάνω πρόβλημα σε όρους προσόδου Η πρόσοδος που εξασφαλίζει ο κάθε τύπος Επιχείρησης είναι, Ū = θ ln Ī R 0 U = θ ln I R 0 Επομένως, εύκολα δείχνουμε ότι οι περιορισμοί συμμετοχής ανάγονται στους απλούς περιορισμούς Ū, U 0 Για την αναγωγή των περιορισμών κινήτρου χρειάζεται λίγο προσπάθεια παραπάνω Ξεκινώντας από τον περιορισμό για τον τύπο θ έχουμε θ ln I R θ ln Ī R θ ln I R + θ ln Ī θ ln Ī R + θ ln Ī U + θ ln Ī Ū + θ ln Ī U Ū ( θ θ) ln Ī U Ū θ ln Ī (4) Δ Βολιώτης 5

6 Όμοια για τον τύπο θ θ ln Ī R θ ln I R Ū θ ln I R Ū + θ ln I θ ln I R + θ ln I Ū U + θ ln I θ ln I Ū U + θ ln I (5) Σε αυτό το σημείο είναι χρήσιμες κάποιες παρατηρήσεις Από τον περιορισμό (5) αντιλαμβανόμαστε εύκολα ότι η πρόσοδος που θα εξασφαλίσει ο παραγωγικός τύπος επιχείρησης θα είναι μεγαλύτερη από αυτήν της λιγότερο παραγωγικής Η λύση του προβλήματος Είναι χρήσιμο να προσδιορίσουμε την αντικειμενική συνάρτηση της Τράπεζας εκφρασμένη σε όρους προσόδου Γνωρίζουμε ότι R = θ ln Ī Ū R = θ ln I U Επομένως, αντικαθιστώντας στην αντικειμενική συνάρτηση της Τράπεζας έχουμε π( R Ī) + (1 π)(r I) π( θ ln Ī Ū Ī) + (1 π)(θ ln I U I) π( θ ln Ī Ī) + (1 π)(θ ln I I) [πū + (1 π)u] Στη παραπάνω σχέση, εκφράζεται η αναμενόμενη πρόσοδος για τη Τράπεζα μειούμενη κατά την μεταβίβαση στην Επιχείρηση, δηλ την πρόσοδο της Επιχείρησης Η προσέγγιση που θα ακολουθήσουμε είναι να αξιολογήσουμε ποιοι από το σύνολο περιορισμών Δ Βολιώτης 6

7 θα ικανοποιούνται ισοτικά στη βέλτιστη λύση του προβλήματος Από την (5) δείξαμε ότι πάντα η πρόσοδος Ū θα είναι υψηλότερη από την U Μάλιστα, ισχύει ότι Ū U + θ ln I, επομένως αν U = 0, τότε η μικρότερη τιμή που λαμβάνει η Ū είναι Ū = θ ln I Όντως, Στη βέλτιστη λύση Στη βέλτιστη λύση μόνο ο περιορισμός συμμετοχής για τον θ θα ικανοποιείται ισοτικά, U = θ ln I R = 0 Στη συνέχεια δείχνουμε ότι αν η Τράπεζα δεν προσαρμόσει κατάλληλα τα συμβόλαια της πλήρους πληροφόρησης, η υψηλής παραγωγικότητας Επιχείρηση θα έχει κίνητρο να μιμηθεί τον τύπο χαμηλής παραγωγικότητας Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το R είναι χαμηλότερο για τον τύπο χαμηλής παραγωγικότητας ως αποτέλεσμα του περιορισμού συμμετοχής, το οποίο εξασφαλίζει χαμηλότερο επιτόκιο Το κίνητρο προς μίμηση Τα συμβόλαια που προσφέρει η Τράπεζα στους δύο τύπους είναι (Ī, R) = ( θ, θ ln θ ) (θ, (I, R) =, θ ln θ ) Τα κέρδη του τύπου υψηλής παραγωγικότητας αν διαλέξει το συμβόλαιο (Ī, R) που είναι σχεδιασμένο για τον τύπο του θα είναι Ū(Ī, R) = θ ln Ī R = θ ln θ θ ln θ = 0 Αν όμως διαλέξει το συμβόλαιο για τον τύπο χαμηλής παραγωγικότητας θα πραγματοποιήσει αυστηρά θετικά κέρδη, Ū(I, R) = θ ln I R = θ ln θ θ ln θ = ( θ θ) ln θ > 0 Δ Βολιώτης 7

8 Αντίθετα, ο τύπος χαμηλής παραγωγικότητας δεν θα έχει ποτέ το κίνητρο να μιμηθεί τον τύπο υψηλής παραγωγικότητας Αν διαλέξει το συμβόλαιο σχεδιασμένο για τον τύπο του πραγματοποιεί μηδενικά κέρδη, U(I, R) = θ ln I R = θ ln θ θ ln θ = 0 Αλλά αν διαλέξει το εναλλακτικό συμβόλαιο για τον υψηλής παραγωγικότητας τύπο θα έχει ζημιά, U(Ī, R) = θ ln Ī R = θ ln θ θ ln θ = (θ θ) ln θ < 0 Επομένως, ο μόνος περιορισμός που θα ικανοποιείται ισοτικά θα είναι ο περιορισμός κινήτρου για τον παραγωγικό τύπο, ο περιορισμός (5) Στη βέλτιστη λύση Στη βέλτιστη λύση μόνο ο περιορισμός κινήτρου για τον θ θα ικανοποιείται ισοτικά, U = Ū θ ln I Ū = θ ln I Αντικαθιστώντας τους περιορισμούς στην αντικειμενική συνάρτηση της Τράπεζας, το μαθηματικό πρόγραμμα της γίνεται, Το πρόβλημα της Τράπεζας max V = π( θ ln Ī Ī) + (1 π)(θ ln I I) π θ ln I (Ī,I) Δ Βολιώτης 8

9 Από τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες πρώτης τάξης λαμβάνουμε Ī = θ I = θ π θ (6) (7) Μια πρώτη παρατήρηση που έχουμε σε αυτό το σημείο είναι ότι στη περίπτωση του λιγότερου παραγωγικού τύπου οδηγούμαστε σε υπο-επένδυση λόγω της δυσμενούς επιλογής Με αντικατάσταση βρίσκουμε και τα R, R R = θ ln I = θ ln( θ π θ ) (8) R = θ ln Ī Ū = θ ln θ θ ln(θ π θ ) (9) Συμμετρική πληροφόρηση και αποστροφή ρίσκου Στη συνέχεια εξετάζουμε τη περίπτωση για την οποία ο τύπος της επένδυσης δεν έχει αποκαλυφθεί στην Επιχείρηση κατά την σύναψη του συμβολαίου Επιπλέον υποθέτουμε ότι η Επιχείρηση αποστρέφεται το ρίσκο Στη περίπτωση αυτή, οι περιορισμοί κινήτρου παραμένουν αμετάβλητοι αλλά οι περιορισμοί συμμετοχής αντικαθίστανται από τον ακόλουθο περιορισμό πū + (1 π)ku 0 Με απλά λόγια, η Επιχείρηση αναμένει στην ισορροπία να μην πραγματοποιεί αρνητική πρόσοδο Συγκεκριμένα η Επιχείρηση λύνει το πρόβλημα ώστε max V = π( θ ln Ī Ū Ī) + (1 π)(θ ln I U I) {(Ī,Ū),(I,U)} U Ū + θ ln I 0 πu E (Ū) + (1 π)u E(U) 0 Δ Βολιώτης 9

10 Σχηματίζω την Λαγκρανζιανή και μεγιστοποιώ, L =π( θ ln Ī Ū Ī) + (1 π)(θ ln I U I) + λ[ U Ū + θ ln I] + µ [ πu E (Ū) + (1 π)u E(U) ] Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης ως προς τα Ī και I (1 π)θ I Αντίστοιχα ως προς τα π θ Ī π = 0 Ī = θ (1 π) + λ θ I = 0 I = θ + λ θ (1 π) Ū και U, (10) (11) π λ + µπu E(Ū) = 0 µ = π + λ πu E (Ū) (12) (1 π) + λ + µ(1 π)u E(U) = 0 λ = (1 π) µ(1 π)u E(U) (13) Αντικαθιστώντας την (12) στην (13) λαμβάνουμε, λ = (1 π) = π(1 π) 1 MRS MRS π + λ πu E (Ū)(1 π)u E(U) όπου MRS = u E (U) > 1 (καθώς η u u E (Ū) E είναι αύξουσα και κοίλη και U < Ū), δηλαδή ο (αρνητικός) οριακός λόγος υποκατάστασης, συνεπώς το λ < 0 Κατανοούμε εύκολα, ότι από τη σχέση (11) θα έχουμε I < θ, άρα θα έχουμε πάλι υπο-επένδυση για το τύπο θ Άσκηση Υπόθέτουμε ότι τόσο η Τράπεζα όσο και η Επιχείρηση διατηρούν ουδέτερες προτιμήσεις έναντι του ρίσκου Η τεχνολογία που χαρακτηρίζει την Επιχείρηση περιγράφεται από Δ Βολιώτης 10

11 την συνάρτηση παραγωγής f(x) = θx a με την παράμετρο θ να εκφράζει το επίπεδο παραγωγικότητας της Επιχείρησης και να παίρνει τιμές θ {3, 4} (α) Γράψτε την αντικειμενική συνάρτηση της Τράπεζας και της Επιχείρησης U E = θx a R U T = R I (β) Υπό καθεστώς πλήρους πληροφόρησης για τον τύπο παραγωγικότητας της Επιχείρησης, ποιο μαθηματικό πρόγραμμα λύνει η Τράπεζα; max(r I) I,R ώστε U E = 0 = θx a R (γ) Υποθέτουμε ότι a = 08, = 5% και θ = 3, ποιο είναι το βέλτιστο συμβόλαιο υπό το καθεστώς της πλήρους πληροφόρησης; Εφόσον ο περιορισμός συμμετοχής ικανοποιείται ισοτικά, ισχύει ότι R = I R = 005I Αντικαθιστώντας στην αντικειμενικη συνάρτηση στη Τράπεζας το πρόβλημα τροποποιείται στο max(3i I) I Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης λαμβάνουμε, 08 3 I = 0 I = 48 Δ Βολιώτης 11

12 Αντικαθιστώντας στον περιορισμό συμμετοχής υπολογίζουμε και το R R = = 66, 39 (δ) Υπολογίστε το βέλτιστο συμβόλαιο στην γενική μορφή του προβλήματος Εφόσον ο περιορισμός συμμετοχής ικανοποιείται ισοτικά, πρέπει θi a = R Eπομένως το πρόβλημα της Τράπεζας ανάγεται στο ακόλουθο max(θi a I) I Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης στο βέλτιστο έχουμε Επομένως το R θα είναι R = θ I a = θ a θ I a 1 = 0 I a 1 = a θ I = a 1 a θ a 1 a a θ (ε) Υπό το καθεστώς της δυσμενούς επιλογής και για τις παραμέτρους της ερώτησης (γ), διατυπώστε τους περιορισμούς συμμετοχής και τους περιορισμούς κινήτρου Οι περιορισμοί συμμετοχής είναι Αντίστοιχα, οι περιορισμοί κινήτρου 4 Ī08 R 0 3 I 08 R 0 4 Ī08 R 4 I 08 R 3 I 08 R 3 Ī08 R (στ) Εκφράστε τον περιορισμό κινήτρου για την Επιχείρηση τύπου θ = 4 σε όρους προσόδου Δ Βολιώτης 12

13 Ο περιορισμός είναι 4 Ī08 R 4 I 08 R Ū 4 I 08 R Για να εμφανίσουμε και το U προσθέτουμε και στις 2 πλευρές της ανισότητας το 3I 08 Ū + 3 I 08 4 I I 08 R Ū + 3 I 08 4 I 08 + U Ū U + I 08 Δ Βολιώτης 13