ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»"

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα Πείραμα τύχης ονομάζουμε κάθε πείραμα το οποίο όσες φορές και να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα του πχ η ρίψη ενός ζαριού είναι ένα πείραμα τύχης Δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης, ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος Το πλήθος των στοιχείων ενός δειγματικού χώρου συμβολίζεται με ( πχ στη ρίψη ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι,,,4,5, 6 με ( 6 Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία του ένα ή περισσότερα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος Δηλαδη κάθε ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικου χώρου και συμβολίζεται συνήθως με ένα κεφαλαίο γράμμα Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου συμβολίζεται με ( πχ στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α η ρίψη να είναι περιττός αριθμός είναι,, 5 με ( Βέβαιο ενδεχόμενο ονομάζεται ο δειγματικός χώρος Ω, γιατί πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράματος πχ στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α η ρίψη να είναι αριθμός από -6 είναι,,,4,5, 6 Αδύνατο ενδεχόμενο είναι αυτό που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος και συμβολίζεται με το κενό σύνολο πχ στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α η ρίψη να είναι αριθμός μεγαλύτερος του 6 είναι Απλό ονομάζεται το ενδεχόμενο που έχει μόνο ένα στοιχειό, ενώ σύνθετο ονομάζεται το ενδεχόμενο που έχει περισσότερα από ένα στοιχεία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Επειδή τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω, εφαρμόζονται γι αυτά οι γνωστές πράξεις συνόλων Έτσι αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικου χώρου Ω, ισχύει : Τομή των Α, Β : x / x & x Δηλαδή η Τομή των Α, Β περιέχει τα κοινά τους στοιχεία ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Ένωση των Α, Β : x / x ήx ή Δηλαδή η Ένωση των Α, Β περιέχει τα στοιχεία και των δυο συνόλων Συμπλήρωμα του Α ή αντίθετο του Α : ' x / x Δηλαδή περιέχει τα στοιχεία του δειγματικου χώρου που δεν ανήκουν στο Α Διαφορά του Β από το Α ονομάζεται το ενδεχόμενο x / x,, x Δυο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ασυμβίβαστα όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχειό δηλ Ρίχνουμε ένα ζάρι και έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα τέτοια ώστε, και,4, 5 Προφανώς,,,4,5, 6 Να βρείτε τα ενδεχόμενα : i ii iii ' iv i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii,,4,5 iii ',4,5,6 iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Ρίχνουμε ένα ζάρι και έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα τέτοια ώστε,, και,, 5 Προφανώς,,,4,5, 6 Να βρείτε τα ενδεχόμενα : i ii iii ' iv ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ (ΔΕΝΔΡΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ) Πολλές φορές για τον προσδιορισμό του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης και των ενδεχομένων του χρησιμοποιούμε δενδροδιαγραμματα Όταν η διαδικασία εκτέλεσης ενός πειράματος τύχης μπορεί να χωριστεί σε δυο τουλάχιστον φάσεις ή βήματα, τότε ο δειγματικός χώρος προσδιορίζεται με τη βοήθεια ενός διαγράμματος στο οποίο περιγράφουμε διαδοχικά τα δυνατά αποτελέσματα σε κάθε φάση του πειράματος Το διάγραμμα αυτό καλείται δενδροδιαγραμμα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Τρεις φίλοι, ο Αντρέας, ο Βασίλης και ο Γιώργος διαγωνίστηκαν μεταξύ τους σε ένα μαθηματικό τεστ Η κατάταξη ως προς τις θέσεις που κατέλαβαν ήταν ανάλογη των αποτελεσμάτων τους στο παραπάνω τεστ i Να βρεθεί το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ως προς τη σειρά κατάταξης τους (Δειγματικός χώρος) ii Έστω τα ενδεχόμενα Α : ο Γιώργος βγήκε πρώτος και Β : ο Βασίλης βγήκε Λύση : i δεύτερος Να γράψετε τα ενδεχόμενα Α, Β,,, ', Άρα ο δειγματικός χώρος είναι,,,,, ii,,,,,,,, ',,,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Β : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ) Σε κάποια πειράματα τύχης (συνήθως ρίψη δυο ζαριών) για τον προσδιορισμό του δειγματικού χώρου θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα διπλής εισόδου Ο πίνακας διπλής εισόδου κατασκευάζεται ως εξής : Βρίσκουμε τα δυνατά αποτελέσματα της ης φάσης και τα γράφουμε στην πρώτη στήλη του πίνακα Βρίσκουμε τα δυνατά αποτελέσματα της ης φάσης και τα γράφουμε στην πρώτη γραμμή του πίνακα Τέλος συμπληρώνουμε τον πίνακα με ζεύγη της μορφής (α,β) όπου α και β είναι το αντίστοιχο αποτέλεσμα της ης και της ης φάσης ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4 Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές i Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : Α : το αποτέλεσμα της ης ρίψης είναι μεγαλύτερο από το αποτέλεσμα της ης Β : το άθροισμα των ενδείξεων είναι μεγαλύτερο του 7 iii Να βρεθεί το ενδεχόμενο Λύση: i η ρίψη η ρίψη (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) 4 (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,4) (6,5) (6,6) Άρα ο δειγματικός χώρος είναι (,),(,),(,),,(6,6 ) ii,),(,),(,),(4,),(4,),(4,),(5,),(5,),(5,),(5,4),(6,),(6,),(6,),(6,4),(6,5),6),(,5),(,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,),(5,4),(5,5),(5,6),(6,),(6,),(6,4),(6,5),(6,6) (5,),(5,4),(6,),(6,),(6,4),(6,5) iii ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5 Μια οικογένεια έχει 4 παιδιά Εξετάζουμε την οικογένεια ως προς το φύλο και τη σειρά γέννησης των παιδιών i Να γράψετε το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων (Δειγματικό χώρο) ii Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α : το πρώτο παιδί είναι κορίτσι, Β : τα δυο μικρότερα παιδιά είναι αγόρια Να βρεθούν τα ενδεχόμενα Α, Β, Α, Β,,,, 6 Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές i Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α : μια φορά τουλάχιστον κεφαλή Β : το πολύ μια φορά γράμματα Να βρεθούν τα ενδεχόμενα Α, Β, Α,,,( ' ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές i Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : Α : το αποτέλεσμα της ης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της ης Β : το άθροισμα των ενδείξεων είναι μικρότερο του 8 Γ : το γινόμενο των ενδείξεων είναι μικρότερο του 5 iii Να βρεθούν τα ενδεχόμενα,,,( 8 Μεταξύ των οικογενειών με 4 παιδία, Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια και καταγράφουμε τα παιδία ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησης Να βρεθούν : i Ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii Τα ενδεχόμενα : Α : Η οικογένεια έχει μόνο ένα παιδί διαφορετικού φύλλου από το πρώτο Β : Τα δυο μικρότερα παιδία είναι του ίδιου φύλλου 9 Ένα κουτί περιέχει μπάλες, άσπρη και μαύρη Επιλέγουμε από το κουτί τυχαία μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και την επανατοποθετούμε στο κουτί, στη συνεχεία Επιλέγουμε άλλη μια μπάλα Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος 0 Δυο κουτιά περιέχουν μπάλες Το πρώτο κουτί περιέχει άσπρη, μαύρη και πράσινη μπάλα Το δεύτερο κουτί περιέχει άσπρη και μαύρη μπάλα Επιλέγουμε τυχαία ένα κουτί και στη συνεχεία μια μπάλα μέσα από αυτό Να βρεθούν : i Ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii Το ενδεχόμενο να επιλέγει άσπρη μπάλα Ένα κουτί περιέχει 6 μπάλες αριθμημένες από το έως το 6 Τραβάμε από το κουτί μια μπάλα έως ότου επιλέγει η μπάλα με τον αριθμό 6 Να βρείτε το δειγματικο χώρο του πειράματος Ένας καθηγητής διορθώνει γραπτά 5 μαθητών και γνωρίζει από τον επιτηρητή ότι μαθητές έχουν αντιγράψει i Να βρείτε το δειγματικο χώρο του πειράματος, αν ο καθηγητής διορθώσει γραπτά ii Με την προϋπόθεση ότι ο καθηγητής διορθώνοντας κάποιο γραπτό μπορεί να καταλάβει αν είναι προϊών αντιγραφής, να βρείτε το ενδεχόμενο όπου ο καθηγητής μπορεί να βρει τους αντιγραφείς διορθώνοντας μόνο γραπτά Έστω ένας μαθητής της γ λυκείου και τα ενδεχόμενα : Α : «ο μαθητής είναι άριστος στα μαθηματικά» Β : «ο μαθητής είναι άριστος στη φυσική» Να γράψετε με λόγια καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα : i Α ii iii iv v ( ' vi ( ' vii ( ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω ότι εκτελούμε ένα πείραμα τύχης ν φορές Αν στις ν εκτελέσεις του πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος λέγεται σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Α και συμβολίζεται με f Επειδή 0 τότε ισχύει : 0 f Στην περίπτωση που ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι το σύνολο :,,, τότε για τις σχετικές συχνότητες f, f,, f των απλών ενδεχομένων,,, ισχύει : f f f πχ ρίχνουμε ένα νόμισμα 00 φορές και έστω το ενδεχόμενο να εμφανιστεί κορόνα και το ενδεχόμενο να εμφανιστεί γράμματα με, Ας υποθέσουμε ότι το (κορόνα) εμφανίζεται 55 φορές και το (γράμματα) εμφανίζεται 45 φορές Τότε f και f Προφανώς ισχύει 0 f και 0 f και f f Αν επαναλάβουμε το παραπάνω πείραμα άπειρες φορές τότε η σχετική συχνότητα του ενδεχομένου (κορόνα) θα γίνει f, αντίστοιχα και του (γράμματα) θα γίνει f Η παραπάνω διαπίστωση είναι γνωστή ως νόμος των μεγάλων αριθμών ή στατιστική ομαλότητα ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ - ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Έστω ένα πείραμα τύχης όπου κάθε απλό ενδεχόμενο, έχει την ίδια δυνατότητα να εμφανιστεί, δηλαδή όπως λέμε τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπιθανα Τότε ορίζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό : ( P(A)= ( N(A) : το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για το Α Ν(Ω) : το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος Συνέπειες : ( P(Ω)= = Δηλαδή, το βέβαιο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα ίση με ( ( 0 ( 0 Δηλαδή το αδύνατο ενδεχόμενο έχει μηδενική ( ( πιθανότητα Για κάθε ενδεχόμενο Α δειγματικού χώρου Ω, ισχύει : άρα ( Επιπλέον, αν, τότε Ν(Α) 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Γενικά ισχύει : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ : 0 ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ (πχ ζαριά, ρίψη κέρματος κα) Αν δίνεται πείραμα τύχης, του οποίου τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπιθανα και ζητείται η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α του πειράματος, τότε : Θα γράφουμε τον δειγματικο χώρο του πειράματος και θα βρίσκουμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του Θα βρίσκουμε τα απλά ενδεχόμενα που ικανοποιούν το Α και αν είναι δυνατόν, θα γράφουμε το Α με αναγραφή Θα βρίσκουμε το πλήθος Ν(Α) των στοιχείων του Α ( Τέλος, η ζητούμενη πιθανότητα είναι : P(A)= ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Ρίχνουμε ένα ζάρι Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α : η ένδειξη του ζαριού να είναι περιττός Β : η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος και μεγαλύτερος του Γ : η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός ή μικρότερος του και να εξετάσετε αν τα Α και Γ είναι ασυμβίβαστα Λύση :,,,4,5,6 με ( 6 (,,5 με (, άρα ( ( 6 ( 4,6 με (, άρα ( ( 6 ( 4,,,5 με ( 4, άρα ( ( 6 Τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα γιατί δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο δηλ Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο,,,,0 και τα ενδεχόμενα x / x, και x / x, Να βρείτε τις πιθανότητες (, (, (, ( Λύση : ( 0,4,6,8,0,,4,6,8,0 με ( 0, άρα ( ( 0 ( 6,6,9,,5,8 με ( 6, άρα ( ( 0 0 ( 6,,8 με (, άρα ( ( 0 ( 7,4,8,0,4,6,0 με ( 7, άρα ( ( 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Ρίχνουμε ένα ζάρι Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α : η ένδειξη του ζαριού να είναι άρτιος Β : η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός και μεγαλύτερος του Γ : η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός ή μικρότερος του και να εξετάσετε αν τα Α και Γ είναι ασυμβίβαστα 4 Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο,,,,0 και τα ενδεχόμενα x / x, και x / x,5 Να βρείτε τις πιθανότητες (, (, (, ( 5 Ένας αριθμός σχηματίζεται με τα ψηφία, 0, 9, που χρησιμοποιούνται μια φορά το καθένα Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : i Α : «ο αριθμός διαιρείται με το» ii Β : «ο αριθμός διαιρείται με το 4» 6 Ρίχνουμε ζάρια το ένα μπλε και το άλλο κόκκινο Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων : i Α : «οι δυο ενδείξεις να είναι ισες» ii Β : «το μπλε ζάρι έχει μικρότερη ένδειξη από το κόκκινο» 7 Έστω 0,,, ο δειγματικός χώρος Επιλέγουμε τυχαία ένα Να βρείτε την πιθανότητα η ανίσωση x x 0, να αληθεύει για κάθε x 8 Έστω,,,4,5,6,7, 8 ο δειγματικός χώρος Να βρείτε την πιθανότητα των / _ ί _ x 4x 0 _ ί _ ύ ενδεχομένων / _ ί _ x x 0 _ έ _ έ _ ί 9 Κάνουμε το εξής πείραμα : σκεφτόμαστε ένα μονοψήφιο ακέραιο αριθμό διαφορετικό του 0 και τον υψώνουμε στο τετράγωνο Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων : i Ο αριθμός που προκύπτει να έχει τελευταίο ψηφίο το 6 ii Ο αριθμός που προκύπτει να έχει τελευταίο ψηφίο το 9 iii Ο αριθμός που προκύπτει να έχει τελευταίο ψηφίο το 6 ή το 9 0 Σε ένα κουτί υπάρχουν άσπρες, 4 μπλε, 6 πράσινες και 8 κόκκινες σφαίρες Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί Να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα : i Να είναι μπλε ii Να είναι άσπρη ή πράσινη iii Να μην είναι άσπρη Σε ένα κουτί υπάρχουν 6 άσπρες, 5 μπλε, 6 και 4 κόκκινες σφαίρες Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί Να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα : i Να είναι άσπρη ii Να είναι άσπρη ή κόκκινη iii Να μην είναι μπλε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ένας σάκος περιέχει πράσινους, κόκκινους, άσπρους και μπλε βόλους Παίρνουμε τυχαία ένα βόλο Οι άσπροι βόλοι είναι 5 Αν η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινο βόλο είναι, η πιθανότητα να πάρουμε μπλε είναι και η πιθανότητα να πάρουμε πράσινο είναι, να βρείτε πόσους βόλους έχει ο σάκος 0 Έστω,,,4,5,6,7,8,9, 0 ένας δειγματικός χώρος, ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπιθανα ενδεχόμενα Επιλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση x 4x 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες 4 Σ ένα τεστ Γεωγραφίας δίνονται κράτη,, και οι πρωτεύουσες τους,, με τυχαία αντιστοίχηση και ζητείται οι μαθητές να αντιστοιχίσουν σε κάθε κράτος τη σωστή πρωτεύουσα Ένας μαθητής δίνει τυχαία την απάντηση του Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : σε κάθε κράτος να αντιστοιχίσει τη σωστή πρωτεύουσα Β : μόνο σε ένα κράτος να αντιστοιχίσει τη σωστή πρωτεύουσα Γ : σε κανένα κράτος δεν αντιστοίχισε τη σωστή πρωτεύουσα 5 Ο Γιώργος γραφεί 4 κάρτες για 4 φίλους του Πάνω στο γραφείο του υπάρχουν οι αντίστοιχοι φάκελοι με τις διευθύνσεις των παραληπτών Αφηρημένος ο Γιώργος βάζει τυχαία τις κάρτες στους φακέλους Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : ο κάθε παραλήπτης να πάρει τη δική του κάρτα Β : μόνο ένας παραλήπτης να πάρει τη δική του κάρτα Γ : κανένας παραλήπτης να μην πάρει τη δική του κάρτα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΗ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αρχικά θα βρίσκουμε (αν δεν δίνεται) το δειγματικό χώρο, και θα καταγράφουμε τη σχέση : ( ) ) ) () Στη συνέχεια θα βρίσκουμε, με βάση την εκφώνηση, τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων i, i=,,,ν (σε συνδυασμό με την ()) Θα βρίσκουμε τις ευνοϊκές περιπτώσεις για το ενδεχόμενο Α του οποίου αναζητούμε την πιθανότητα Αν,,, τότε ( ) ) ), ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Έστω ότι έχουμε ένα μη αμερόληπτο (άτιμο) ζάρι (κάθε πλευρά δεν έχει τις ίδιες πιθανότητες να έρθει με τις άλλες) Ο δειγματικός χώρος είναι,,,4,5,6 με ( ) () 6() και ( 6) (5) (4) Επίσης για το ενδεχόμενο,4 ισχύει ότι ( Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων 5 i Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : / ό και / Να βρείτε τις πιθανότητες (, ( και ( Λύση : i Θέτω ( ) () 6() x και ( 6) (5) (4) y x x Άρα ( ) x, () x ), 6 () x ) 6 y y Επίσης : ( 6) y, (5) y 5), (4) y 4) x x y y 6 Ισχύει ότι () ) ) 4) 5) 6) x y 6 x x y y 6 6 6x 6 6 6y 6 x x 6x y y 6y 6 9x y 6 () 6 y 5 y Επίσης ισχύει : ( ) 4) x 5x x 5y 6 () Από () και () έχω : 9x y 6 (5) 45x 55y 0 άρα προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 5x 5y 6 ( ) 65x 55y 66 6 : 0 0x 6 x x και στην () : 9x y 6 9 y : y 6 7 0y 60 0y y y x Άρα 0 x ( ), 0 ( ), ( ) x y 0 y ( 4), 0 ( 5), ( 6) y / ό,,5 και / 4,5,6 6 0 Άρα ( ) ) 5) ( 4) 5) 6) ii ( 5) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0 x και 5, 4 7 Δίνεται δειγματικός χώρος :,, με ( ) Να βρείτε : 4 i την πιθανότητα ( 4 ) ii την πιθανότητα του ενδεχομένου,4 ( ), 0 ( ) και 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Δίνεται δειγματικός χώρος :,,, 4, 5 με ( ), ( ) 4 ) 4 4 και ( 5 ) Να βρείτε : i την πιθανότητα ( ) ii θεωρούμε τα ενδεχόμενα,, 5 και, Να βρείτε τις πιθανότητες (, (, ( και ( 9 Έστω,, ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα,,, και, Αν (, (, (, λ>0, να υπολογίσετε : i Την τιμή του λ ii Τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) iii Τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, 0 Έστω, ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης i Αν ( ) 0, και ( ) 0, 5, να βρείτε την πιθανότητα ) i Αν ) ( ) ), να βρείτε τις πιθανότητες ), ), ) ( Έστω ο δειγματικός χώρος,,4 δίνονται και οι πιθανότητες ( ), 4 λ=,4 να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ() Έστω,,, 4 ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα,,,, και, Αν 7 4 (, ( και 4 0 ( να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω 5 Δίνεται ο δειγματικός χώρος,,,4, 5 με ( 5) (4) 4() () 4() i Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων ii Θεωρούμε τα ενδεχόμενα / ό και / Να βρείτε τις πιθανότητες (, ( και ( 4 Δίνεται ο δειγματικός χώρος,,,4, 5 με ( ) () 4(4) 8() Επίσης για το ενδεχόμενο, ισχύει ( Να βρείτε 4 i τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων ii Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : / _ ί _ x x 0_ έ _ έ _ ί, 5 Έστω ο δειγματικός χώρος, ενός πειράματος τύχης και 9 ( ) και ( ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr ( ( ( ( ( ),

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, 6 Έστω ο δειγματικός χώρος, ( ) και 0 ενός πειράματος τύχης και ( ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ ( ), 0 7 Έστω ο θετικός ακέραιος ν και 0,,,, ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης Δίνονται οι πιθανότητες ( ), κ=,,,,ν να υπολογίσετε : i Την πιθανότητα Ρ(0) ii Την πιθανότητα του ενδεχομένου Α=,4,6,,v 8 Δίνεται ο δειγματικός χώρος,,,4,5, 6 με ( ) () 6() και ( 6) (5) (4) Επίσης για το ενδεχόμενο, 4 ισχύει ( Να βρείτε 5 i τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων ii Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : / ύ _ x x _ x () () 9 **Δίνεται ο δειγματικός χώρος,,, 4 με ) και (4) 4 όπου Να βρείτε : i τον ακέραιο κ ii τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω x x ( ) iii την πιθανότητα του ενδεχομένου : / lim x x 6x 4 5 4, 0 **Έστω ο δειγματικός χώρος,4,6, Δίνονται επίσης οι τύποι ( ) και 4 6 ( ) ένας από τους οποίους εκφράζει την πιθανότητα κάθε απλού ενδεχομένου 5 κ του Ω i Να εξετάσετε ποιος από τους παραπάνω τύπους εκφράζει τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω ii Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου / _ έ C f _ ό _ f ( x) x x ( ) x 0 _ ί (, f ())_ ί _ ά _ x' x _ ί _ 45 iii Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου x / _ C g _ ό _ g( x) x 6e 4, έ ά y' y ί ή _ έ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πιθανότητα Ερμηνεία Τύπος ( Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί Αν (ασυμβίβαστα), τότε ( τουλάχιστον ένα από τα Γενικά : Α και Β ( Η πιθανότητα να ( πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β (') Η πιθανότητα να μη ( ') ( ή ( ' ) ( ( ( ή ( ' ' ) ( ή ( ' ' ) πραγματοποιηθεί το Α Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β Η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα Α και Β (ή δεν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α,Β) ( ( ( ( ( ' ') ( ' ( ( ' ') ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση 7 σελ 55 Α ομάδας σχολικό βιβλίο) 7 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν (, 0 ( Να βρείτε την ( Λύση : 7 7 ( ( (Άσκηση 8 σελ 55 Α ομάδας σχολικό βιβλίο) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( και 5 ( Να βρείτε την ( 6 7 (, 5 (, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 5

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Λύση : 5 5 ( ( (Άσκηση 0 σελ 55 Α ομάδας σχολικό βιβλίο) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν και ( Να βρείτε την ( Λύση : ( ') ( (, ( ) 4 Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι 0 να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 5 9 να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι 0 Να βρείτε την πιθανότητα : i να πραγματοποιηθεί το Α ii να πραγματοποιηθεί το Β iii να πραγματοποιηθεί μόνο το Α (αλλά όχι το Β) iv να πραγματοποιηθεί το μόνο Β (αλλά όχι το Α) v να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β vi να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β vii πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα Α και Β Λύση : i Πρώτα μεταφράζουμε τα δεδομένα : Η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι, άρα ( ') 0 0 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 5, άρα ( 5 9 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι, άρα 0 9 ( 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 ( ') ii 9 7 ( ( iii ( iv 6 4 ( ( ( ( vi 9 ( ' ') ( ' ( 0 0 vii 4 6 ( ' ' ) 0 0 v 5 Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά, το 0% μαθαίνει γαλλικά και το 0% μαθαίνει και τις γλώσσες Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα : i να μαθαίνει αγγλικά ή γαλλικά ii να μαθαίνει αγγλικά αλλά όχι γαλλικά iii να μη μαθαίνει ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά iv να μαθαίνει μόνο μια από τις γλώσσες v να μαθαίνει το πολύ μια από τις γλώσσες vi να μη μαθαίνει αγγλικά ή να μαθαίνει γαλλικά vii να μη μαθαίνει γαλλικά ή να μαθαίνει αγγλικά Λύση : i Έστω Α το ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει αγγλικά και έστω Γ το 80 0 ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει γαλλικά Τότε (, ( και ( Τότε ( ii ( iii ( ' ') ( ' ( iv ( ( ( v ( ' ' ) vi ( ' ') ' ') [ ( ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ vii 80 0 ( ( ' ') ' [ ( ] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( Να βρείτε την ( 4 (, 40 (, 8 7 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( και 8 ( Να βρείτε την ( (, 4 8 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( 0,, ( ) 0,65 και ( 0, 5 Να βρείτε την ( 9 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν Να βρείτε τις πιθανότητες : i ( ii ( iii iv ( ' ) (, 6 ( και 40 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( και ( Να βρείτε τις πιθανότητες : 4 4 i ( ii ( ' ) iii ( iv ( ' ) ( ' ), 4 Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ ενός δειγματικού χώρου Ω, τέτοια ώστε το Α να είναι ασυμβίβαστο με καθένα από τα Β και Γ Επίσης ισχύουν ( ') 70%, ( 90% και ( 80% Να βρείτε τις πιθανότητες : i (, ( και ( ii να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( 0,, ( 0,5 και ( 0, 9 Να βρείτε τις πιθανότητες : i (, ( και ( ii ( ' ) iii ( ' ' ) iv ( ' ' ) 4 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( 0, 8, ( 0, και ( ' ') 0, 9 Να βρείτε τις πιθανότητες : i (, ( και ( ii ( ' ' ) iii ( ' 44 Δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω έχουν γινόμενο 4 πιθανοτήτων ισο με Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων αυτών 5 45 Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 6 να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα : i να πραγματοποιηθεί το Α ii να πραγματοποιηθεί το Β iii να πραγματοποιηθεί μόνο το Α (αλλά όχι το Β) iv να πραγματοποιηθεί το μόνο Β (αλλά όχι το Α) v να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β vi να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β vii πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα Α και Β 46 Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να πραγματοποιηθεί το Α είναι 60 % να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 70 % να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 0 % Να βρείτε την πιθανότητα : i να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β ii να πραγματοποιηθεί μόνο το Α (αλλά όχι το Β) iii να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β 47 Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 5 να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι 5 Να βρείτε την πιθανότητα : i να πραγματοποιηθεί το Β ii να πραγματοποιηθεί το Α iii να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β iv να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β v να πραγματοποιηθεί το Β ή να μην πραγματοποιηθεί το Α 48 Σε δυο διαγωνίσματα Μαθηματικών οι μαθητές που έγραψαν κάτω από τη βάση αποτελούσαν το 0% στο ο, το 40% στο ο και το 5% και στα δυο Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής μα έγραψε : i κάτω από τη βάση σε ένα τουλάχιστον διαγώνισμα ii από τη βάση και πάνω (τουλάχιστον βάση) και στα δυο διαγωνίσματα iii κάτω από τη βάση μόνο στο ο διαγώνισμα iv κάτω από τη βάση σε ένα μόνο διαγώνισμα 49 Από τις οικογένειες των 0 μαθητών μιας αγροτικής περιοχής, 5 έχουν αγροτικό αυτοκίνητο, 0 έχουν ΙΧ αυτοκίνητο και 0 έχουν αγροτικό και ΙΧ Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια Να βρείτε την πιθανότητα : i να έχει ένα τουλάχιστον αυτοκίνητο ii να μην έχει κανένα αυτοκίνητο iii να μην έχει δυο αυτοκίνητα iv να έχει μόνο αγροτικό v να έχει ένα μόνο αυτοκίνητο 50 Οι επιβάτες ενός λεωφορείου είναι άνδρες και 8 γυναίκες Από τους άνδρες οι 6 και από τις γυναίκες οι 8 είναι πάνω από 0 ετών Αν επιλέξουμε τυχαία έναν επιβάτη του λεωφορείου, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : i να είναι πάνω από 0 ετών ii να είναι άνδρας iii να είναι άνδρας πάνω από 0 ετών iv να είναι άνδρας πάνω από 0 ετών ή γυναίκα όχι πάνω από 0 ετών 5 Ρωτήθηκαν 4000 τουρίστες, μεταξύ των οποίων ήταν και Ιταλοί, αν θα επισκεφτούν ξανά τη χώρα μας Διαπιστώθηκε ότι η πιθανότητα να επισκεφτεί ξανά τη χώρα μας ένας απ αυτούς είναι 5, ενώ η πιθανότητα να την επισπευτεί ξανά και να είναι Ιταλός είναι Τέλος η πιθανότητα να μην επισκεφτεί ξανά τη χώρα μας ένας όχι Ιταλός 40 7 τουρίστας είναι Να βρείτε πόσοι από τους τουρίστες που ρωτήθηκαν ήταν Ιταλοί 0 5 Από τους μαθητές ενός σχολείου το 60% είναι αγόρια, το 40% υποστηρίζουν τον ΑΡΗ και το 0% είναι αγόρια και ΑΡΗΣ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα : i να είναι αγόρι ή ΑΡΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii να είναι αγόρι αλλά να μην είναι ΑΡΗΣ iii να μην είναι ούτε αγόρι, ούτε ΑΡΗΣ iv να μην είναι αγόρι ή να είναι ΑΡΗΣ v να μην είναι ΑΡΗΣ ή να είναι αγόρι 5 Από τους μαθητές της Γ λυκείου ενός σχολείου, το 40% ανήκουν στη Θεωρητική κατεύθυνση, το 60% έχει επιλέξει ως μάθημα επιλογής Βιολογία και το 5% ανήκουν στη Θεωρητική και έχουν επιλέξει Βιολογία Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα : i να ανήκει στη Θεωρητική ή να έχει επιλέξει Βιολογία ii να ανήκει στη Θεωρητική, αλλά να μην έχει επιλέξει Βιολογία iii να μην ανήκει στη Θεωρητική και να μην έχει επιλέξει Βιολογία iv να μην ανήκει στη Θεωρητική ή να εξεταστεί στη Βιολογία 54 Σε ένα σχολείο το 65% των μαθητών έχει laptop, το 5% έχει ipad και δεν έχει laptop και το 60% δεν έχει τουλάχιστον ένα από τα δυο (δεν έχει laptop ή δεν έχει ipad) Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Να βρείτε την πιθανότητα : i Να έχει και laptop και ipad ii Να έχει ipad iii Να μην έχει ούτε laptop ούτε ipad iv Να έχει μόνο ένα από τα δυο 55 Ένα λύκειο στην επαρχεία έχει 50 μαθητές από τους οποίους 0 είναι στην Α τάξη Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Β τάξης είναι 4% Να βρείτε : i Την πιθανότητα ώστε ο μαθητής να είναι της Α τάξης ii Πόσους μαθητές έχει η Β τάξη; iii Την πιθανότητα ο μαθητής να είναι της Γ τάξης 56 Ένα λύκειο έχει 00 αγόρια και κορίτσια Το 90% των αγοριών και τα /5 των κοριτσιών επέλεξαν την θετική ή τεχνολογική κατεύθυνση ενώ οι υπόλοιποι μαθητές την θεωρητική κατεύθυνση Εκλέγουμε τυχαία ένα άτομο Η πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε την θετική ή τεχνολογική κατεύθυνση είναι 0% Να βρείτε i ποσά είναι τα αγόρια και ποσά τα κορίτσια ii Την πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε την θεωρητική κατεύθυνση 57 Ένα τμήμα της Γ λυκείου έχει 0 αγόρια και 4 κορίτσια Τα μισά αγόρια και τα μισά κορίτσια έχουν καστανά μάτια Επιλέγουμε στην τύχη ένα μαθητή Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : να είναι αγόρι και να μην έχει καστανά μάτια Β : να είναι κορίτσι ή να έχει καστανά μάτια 58 Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το νόμισμα να φέρει γράμματα ή το ζάρι περιττό αριθμό 59 Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω, με πιθανότητες τέτοιες ώστε ( ' ) και ( ') Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχόμενου 4 60 Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω, για τα οποία ισχύει η πιθανότητα, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β είναι 5% Να πραγματοποιείται μόνο σαν από τα Α και Β είναι 0% Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β 6 Σε μια εκδήλωση τα ¾ των καλεσμένων αντρών και τα 5/6 των καλεσμένων γυναικών είναι παντρεμένοι Αν είναι γνωστό ότι όλα τα αντρόγυνα βρίσκονται στην εκδήλωση, να βρεθεί η πιθανότητα ένα άτομα που Επιλέγουμε τυχαία, να είναι : i Ανύπαντρο ii Ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα 6 Από την Γ τάξη ενός λυκείου Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Η πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει γαλανά μάτια είναι 60% Η πιθανότητα να είναι αγόρι και να έχει γαλανά μάτια είναι 5% Να βρείτε την πιθανότητα να είναι κορίτσι 6 Μια κάλπη περιέχει άγνωστο αριθμό από σφαιρίδια αριθμημένα από,,,ν Επιλέγουμε ένα στην τύχη Αν η πιθανότητα να επιλέξουμε άρτιο είναι μεγαλύτερη κατά 0,04 από το να διαλέξουμε περιττό, να βρεθεί το ν 64 Σε μια επαρχιακή πόλη με 0000 κάτοικους κυκλοφορούν δυο τοπικές εφημερίδες η Α και η Β Μια μέρα αγόρασαν 000 την εφημερίδα Α, 500 την εφημερίδα Β και 50 και τις εφημερίδες Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Να βρείτε την πιθανότητα να έχει αγοράσει : i Μια τουλάχιστον εφημερίδα ii Μια το πολύ εφημερίδα iii μόνο την εφημερίδα Α iv μόνο μια εφημερίδα 65 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, που αποτελείται από ισοπιθανα απλά ενδεχόμενα ( Αν οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), ( είναι ρίζες της εξίσωσης (4x-)(x-)(6x-5)=0 να βρείτε την πιθανότητα ' 66 Έστω Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω για το οποίο ισχύει : ( Να δείξετε ότι λ=0 67 Δίνετε η εξίσωση ax x 0, όπου α, β καθορίζονται από τη ρίψη αμερόληπτων ζαριών Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει ρίζα το - 68 **Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Θεωρούμε και τη 5 9 συνάρτηση f ( x) x x x 4 Η εφαπτομένη της γραφικής ( ( παράστασης της f (x) στο σημείο, f () έχει εξίσωση ( ) : y x i Να αποδείξετε ότι ( και ( 4 ii Να μελετήσετε την f (x) ως προς τη μονοτονία iii Επιπλέον ισχύει ότι (, όπου μ το τοπικό ελάχιστο και Μ το τοπικό f ( x) 4 μέγιστο της f (x) Να βρείτε το όριο lim x( 4x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ iv Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Γ : να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α,Β Δ : να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β Ε : να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β Ζ : να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α,Β 69 **Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Θεωρούμε και τη συνάρτηση f ( x) x x i Να αποδείξετε ότι f ( f ( ') ( ii Να αποδείξετε ότι η f (x) παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 και να [ ( ] αποδείξετε ότι το ελάχιστο της f (x) είναι ισο με iii Αν η f (x) έχει ελάχιστο στο σημείο, και η εφαπτομένη της γραφικής 8 παράστασης της f (x) στο ), f σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 45 να βρείτε τις πιθανότητες : a να πραγματοποιηθεί το Α b να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β c να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α d να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α,Β e να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν, τότε ( Για την απόδειξη ανισοτήτων της μορφής : ή Χρησιμοποιώ τα εξής :, ά, ( (), ά, (, ά, ( (), ά, ( Παρατηρώ ότι τα (, ( πιθανόν να ισούνται με ένα από τα α,β, χρησιμοποιώ τις () και () και σε συνδυασμό με τον τύπο : ( καταλήγω σε μια ανισότητα η οποία προφανώς ισχύει (πχ (, ή ( 0 ) Για την απόδειξη ανισοτήτων της μορφής : Χρησιμοποιώ τα εξής :, ά, (,(), ά, (,() Παρατηρώ ότι τα (, ( πιθανόν να ισούνται με ένα από τα α,β, χρησιμοποιώ τις () και () και σε συνδυασμό με τον τύπο : ( καταλήγω σε μια ανισότητα η οποία προφανώς ισχύει ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 70 Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δχ Ω με ( 0, 8, ( ') 0, 6 i Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα ii Να δείξετε ότι 0, 0, 4 Λύση : i Έστω ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, τότε (, ( ') 0, 6 0, 6 ( 0, 4, άρα ( 0,8 0,4, που είναι άτοπο Άρα τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα ii Θα δείξουμε ότι ( 0, 4 και ότι 0, Παρατηρώ ότι ( 0, 4 είναι το ένα άκρο της ανίσωσης που θέλω να αποδείξω άρα :, άρα ( ( 0, 4 () Επίσης ( ( () () Θέλω να δείξω ότι 0, 0, 0, 0,8 0,4 ( που ισχύει Άρα ισχύει ότι 0, () Από () και () προκύπτει 0, 0, 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δχ Ω με 0 ' ') Λύση : Θα δείξουμε ότι 0 ' ' ) και ότι ( ' ') 0 ' ' (), ισχύει εξ ορισμού ( Να δείξετε ότι Η ανισότητα ) ' ' ' άρα ( ' ') ' ) ( ' ') ' ') ' ') () Άρα από () και () έχω 0 ' ') 7 Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δχ Ω με (, ( Να δείξετε ότι 5 0 Λύση : Θα δείξουμε ότι και ότι ( 0, άρα ( ( () Θέλω να δείξω ότι ( ( ( Η τελευταία σχέση στην 0 5 οποία κατέληξα, ισχύει γιατί Άρα ισχύει και ( () 0 Από () και () 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με αποδείξετε ότι : i 5 ii ( και ( Να 4 74 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ( 0, 8 και ( 0, 4 Να αποδείξετε ότι : 0, 0, 4 75 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ( 0, 5 και ( 0, Να αποδείξετε ότι : 0, 0, 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 5

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 76 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ( 0, 6 και ( 0, 8 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των πιθανοτήτων : i ( ii ( iii ( 77 Έστω Α,Β και Χ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν ( 0%, ( 45% και Να βρείτε : i την πιθανότητα ( ii τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας ( 78 Έστω Α,Β και Χ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν (, ( και Να βρείτε : 6 i την πιθανότητα ( ii τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας ( 79 Έστω Α,Β και Χ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν ( 0,55, ( 0, 5 και Να βρείτε : i την πιθανότητα ( ii τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας ( 80 Έστω Α,Β και Χ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν 9 (, ( και Να βρείτε : 0 0 i την πιθανότητα ( ii τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας ( 8 Α Έστω η συνάρτηση f ( x) x ( x), x [0,] Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f Β Αν Α, Β συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι ( ( 8 Α Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x, x Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα Β Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω i Αν, να δείξετε ότι ( ( ( ii Αν (, να αποδείξετε ότι f ( 4 f ( iii Να αποδείξετε ότι 0 8 Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες ( και ( 4 για τις οποίες ισχύει : ( i Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α,Β είναι ασυμβίβαστα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii iii Να αποδείξετε ότι Να αποδείξετε ότι ( ( 84 Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι ισχύει ( ') ') 85 Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι ισχύει ( ') 86 Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες ( 0, 6 και ( 0, i Να αποδείξετε ότι ( ' ') 0, 4 ii Να αποδείξετε ότι ( ') 0, 4 87 Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με [( '] Να δείξετε ότι 6 88 Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : δείξετε ότι : i ii 6 ( iii 5 ') iv 6 v ( ') (, ( και ( ' ) 89 Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : ( ') 0, 8 και ( ' ) 0, 7 Να δείξετε ότι : i (,0 ii Το ενδεχόμενο δεν είναι κενό 90 Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : ( ' ) και ( ' ), κ+λ< Να δείξετε ότι : i ( ( ii 9 Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Να αποδείξετε ότι ( Να ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 7

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 **Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Θεωρούμε και τη x συνάρτηση f ( x) Οι πιθανότητες (, (, ( και ( είναι x f () διαφορετικές ανά δυο και ανήκουν στο σύνολο :,, f (0),, f ( ), όπου f () μ το τοπικό ελάχιστο και Μ το τοπικό μέγιστο της f (x) Να βρείτε : i τους αριθμούς μ και Μ ii τις πιθανότητες (, (, ( iii την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: Α να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; Β να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; Γ να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; (000) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Δίνεται ακόμα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(AB)) - (x - P(AB)), x R α Να δείξετε ότι P(AB) P(AB) ( β Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει μέγιστο στο x γ Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να δείξετε ότι f(p(a)) = f(p(b)) (00) Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 0% είναι γυναίκες φιλόλογοι Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α γυναίκα ή φιλόλογος β γυναίκα και όχι φιλόλογος γ άνδρας και φιλόλογος δ άνδρας ή φιλόλογος (00) 5 4 Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ( x) x x x 0 Οι πιθανότητες P(A) και P(B) δύο ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ίσες µε τις τιμές του x, στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγιστο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α Να δείξετε ότι Ρ(Α) = Ρ(Β) = Β Για τις παραπάνω τιμές των P(A), P(B) καθώς και για (, να βρείτε τις πιθανότητες: i P(A B) ii P(A-B) iii P[ (A B) ] ( ( (004) iv 5 Έστω Ω = {,,, 4, 5, 6} ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός µη αμερόληπτου ζαριού και η συνάρτηση f:ir IR µε τύπο f ( x) x x 4x όπου k Ω Αν P() = P() = P(5) = P() = 4P(4) = P(6), τότε να βρείτε: α Τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων P(), P(), P(), P(4), P(5), P(6) β Τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β, όπου Α: «Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός» Β: «Η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός αριθμός» γ Την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ, όπου Γ: «Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR» (004 Β ) 6 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν: (i) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι 8 7 (ii) Οι πιθανότητες P(B), P(A B) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο 5 x 5,,, όπου lim 4 5 x x 6x 5 α Να βρεθεί το k β Να βρεθούν τα P(B), P(A B) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ Να βρεθούν οι πιθανότητες: () Να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α () Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α (005) 7 Έστω ο δειγματικός χώρος Ω={,,,4,5,6,7,8,9,0} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Για τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ του Ω είναι x AỤB = {,,,4,5,6}, A B = {,,4}, A-B = {,6} και x / x α Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) β Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ γ Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ δ Αν s είναι η διακύμανση των τιμών λ,λ,5λ, όπου λ Ω, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχόμενου Δ = {λ Ω / s > 4} (005 Β ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 9

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x+4) κορίτσια α Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι β Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με και ο όμιλος περιλαμβάνει 9 λιγότερα από 00 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι γ Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της πιθανότητας αυτής; (006) 9 Μία Τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της Αν επιλεγεί τυχαία κάποιος πελάτης η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό ή μόνο καταναλωτικό δάνειο είναι 0,7 ενώ η πιθανότητα να μην έχει πάρει κανένα από τα δύο προηγούμενα δάνεια είναι 0, α Να βρείτε την πιθανότητα ένας πελάτης να έχει πάρει και τα δύο δάνεια Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα «έχει πάρει στεγαστικό» και «έχει πάρει καταναλωτικό» είναι ασυμβίβαστα β Αν επιπλέον η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό είναι 0,6 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i «έχει πάρει καταναλωτικό» ii «έχει πάρει μόνο καταναλωτικό» (006 Β ) 0 Έστω ο δειγματικός χώρος,0,,,,4,5 για τον οποίο ισχύει Ρ( )=Ρ(0)=Ρ()=Ρ()=Ρ()=Ρ(4)=Ρ(5) Ορίζουμε τα ενδεχόμενα του Ω: Α=,, x -x- Β=,, x+, x +x-, -x+ όπου x ένας πραγματικός αριθμός α Να βρεθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, δηλαδή οι Ρ( ), Ρ(0), Ρ(), Ρ(), Ρ(), Ρ(4), Ρ(5) β Να βρεθεί η μοναδική τιμή του x για την οποία ισχύει A Β ={,} γ Για x= να δειχθεί ότι: 5 (, 7 (, ( και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β ) (007) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {,,, 4, 5} Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β του Ω τα οποία ορίζονται ως εξής: Α = {xω/ 0 ln(x ) < ln}, B = {xω/ (x 5x)(x )= 6(x )} α Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(Β Α ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 0

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ β Αν Ρ(Α) = 4, να υπολογιστεί η πιθανότητα Ρ(Α Β ) γ Αν Ρ(Α) = 4 και Ρ(Β Α) = 8, να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή της πιθανότητας Ρ(X), όπου Χ είναι ενδεχόμενο του Ω τέτοιο ώστε Α Χ=Β (007 Β ) Το 50% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 0% των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα β α Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα α ή να διαβάζει την εφημερίδα β; β Ορίζουμε το ενδεχόμενο Β: «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφημερίδα β» Να αποδείξετε ότι γ Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f ( x) x x x, x και Β το ενδεχόμενο που ορίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) δεν έχει ακρότατα (008) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και p ένας πραγματικός αριθμός με 0 < p < Δίνεται ότι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) είναι ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους και αποτελούν στοιχεία του συνόλου {p, p, p +, p, p } α Να δείξετε ότι Ρ(Α) = p, Ρ(Α Β) = p και Ρ(Α Β) = p β Να αποδείξετε ότι Ρ(Β) = p p + p γ Να αποδείξετε ότι Ρ(Β Α) > Ρ(Α Β) (008Β ) 4 Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και η συνάρτηση f(x) = ln x P(A ) x P(A ) + P(B), x>p(α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο x να αποδείξετε ότι: ( και ( o 5 με τιμή f(x o)=0, 5 Λαμβάνοντας υπόψη το ερώτημα και επιπλέον ότι ( να βρείτε την 6 πιθανότητα: να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α, Β 4 να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α, Β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι (, η πιθανότητα να είναι άσπρη 4 7 είναι ( 4 και η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι ( 5, όπου 4 Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει : 64<Ν(Ω)<7, τότε Β Να δείξετε ότι Ν(Ω)=68 Β Να υπολογίσετε την τιμή του λ Β Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί Β4 Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη (0) 6 Από τους μαθητές μιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή Αν ν φυσικός αριθμός με ν, τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει ν Γαλλικά είναι ν + ν+ Ισπανικά είναι ν + ν+ και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι ν + ( x + ) μία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση με το όριο lim x x +x B Να αποδείξετε ότι το ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει μία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες είναι βέβαιο B Να αποδείξετε ότι ν = B Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες B4 Αν ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών της τάξης (0) 7 Έστω Ω={ω,ω,ω,ω 4,ω 5 } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α={ω,ω,ω }, Β={ω, ω 4, ω 5 } δύο ενδεχόμενα του Ω, με Ρ(Α)= Αν είναι Ρ(ω )=α, Ρ(ω )=β, με 6α 0α αβ+β +=0, Ρ(ω )=γ και η συνάρτηση g(x)= Ρ(ω4)x, x R, τότε: C Να αποδείξετε ότι α=β= 5 και γ= 0 C Να βρείτε το Ρ(ω 4 ), αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g, στο σημείο (, g()), είναι παράλληλη προς την ευθεία y=x, και στη συνέχεια να βρείτε το Ρ(ω 5 ) C Αν είναι Ρ(ω 4 )=, Ρ(ω 5)= τότε να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων Κ, Λ, 6 όπου: Κ: «ένα μόνο από τα Α και Β να πραγματοποιείται» Λ: «να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β» (0Β ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ( Για τα ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικου χώρου Ω ισχύει Ρ(Β )=0,6 5, 8 ( 0 Να βρεθούν οι πιθανότητες : i Ρ(Β), Ρ(Α) Ρ(Α-Β) ( ') ii 5, ( (, ( ' ') Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικου χώρου Ω ισχύει : ( ' ') ( ' δείξετε ότι ) ( Να Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικου χώρου Ω ισχύει : ( 0, Να βρείτε την πιθανότητα : i Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β ii Να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β iii Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β iv Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α ( 0,4 και ( ( 4 Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικου χώρου Ω ισχύει : Να δείξετε ότι Α, Β είναι ισοπιθανα 5 Αν για το ενδεχόμενο Α ενός δειγματικου χώρου Ω ισχύει : 00 ( 004 να βρεθούν οι τιμές του κ, 6 Έστω ο δειγματικός χώρος, 5 ενός πειράματος τύχης ( ) ) 4 ) i Αν ( ) = 8, και 6 ( να βρεθεί η ) 5 ii Αν ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) και ( 4) 5 ) τότε να βρεθούν : Οι πιθανότητες ( ), ( ) (, ), ( 4 ) (, ) 5 Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α=,, και Β=, 4 5, 7 Έστω ο δειγματικος χώρος, και Β= ενδεχόμενα Α= πιθανότητες ( ),, ( ), ( ), ενός πειράματος τύχης και τα με Ρ(Α)=0,8 και Ρ(Β)=0,5 να βρεθούν οι Έστω ο θετικός ακέραιος ν με ν> και,,,,, ο δειγματικός χώρος 4 ενός πειράματος τύχης Δίνονται οι πιθανότητες ( ) ln, για κάθε Να βρείτε το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 9 Αν η πιθανότητα να διαλέξουμε ένα γλυκό καρπούζι από το μανάβη είναι της πιθανότητας να μην είναι γλυκό, να προσδιοριστεί η πιθανότητα να διαλέξουμε γλυκό καρπούζι 0 Αν η πιθανότητα να πετύχει κάποιος στη σχολή μαθηματικών είναι δεκαπλάσια της πιθανότητας του να μην πετύχει, να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικου χώρου Ω ξένα μεταξύ τους Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι 0,4 και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι 0,8 Να βρεθεί η π[πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Β Από μια τράπουλα με 5 χαρτιά παίρνουμε ένα στην τύχη Να βρεθεί η πιθανότητα να είναι ρήγας σπαθί Το 0% των μαθητών ενός σχολείου δεν έχουν παίξει βόλεϊ, το 45% δεν έχει παίξει ποδόσφαιρο και το 0% δεν έχει παίξει ούτε βόλεϊ ούτε ποδόσφαιρο Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων : i Να έχει παίξει ποδόσφαιρο και βόλεϊ ii Να έχει παίξει βόλεϊ iii Να έχει παίξει μόνο ένα από τα παιχνίδια 4 Ένας αθλητής στοχεύει σε μετάλλια στο χρυσό Χ και στο άργυρο Α η πιθανότητα να κερδίσει το χρυσό μετάλλιο είναι 0,7 και η πιθανότητα να χάσει το άργυρο είναι 0,5 και η πιθανότητα να χάσει ένα τουλάχιστον από τα μετάλλια είναι 0,6 Να βρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει ένα τουλάχιστον από τα μετάλλια 5 Ρίχνουμε ένα ζάρι Να βρεθεί η πιθανότητα να εμφανιστεί αριθμός μικρότερος του 4 ή μεγαλύτερος του 4 6 Ένας παίκτης του τάβλι παίρνει το παιχνίδι διπλό αν δε φέρει 6 ή 0 (άθροισμα) Ποια η πιθανότητα να πάρει το παιχνίδι διπλό; 7 Σε μια ομάδα ανθρώπων κάποιοι έχουν μαύρα μάτια, κάποιοι γαλανά και άλλοι καστανά Αυτοί που έχουν μαύρα μάτια είναι τριπλάσιοι αυτών που έχουν καστανά, ενώ Αυτοί που έχουν γαλανά είναι εξαπλάσιοι αυτών που έχουν καστανά παίρνουμε στην τύχη ένα άτομο : i Να βρεθεί η πιθανότητα να έχει : α μαύρα μάτια β γαλανά μάτια γ όχι καστανά ii Να βρεθεί το πλήθος των ανθρώπων της ομάδας αν οι άνθρωποι με μαύρα μάτια είναι 8 8 Ένας καθηγητής διορθώνει γραπτά 5 μαθητών Αν ξέρει ότι από αυτούς έχουν αντιγράψει και ελέγχει τα γραπτά το ένα μετά το άλλο μέχρι να εντοπίσει τους αντιγράφεις, να βρεθεί η πιθανότητα να βρει τους αντιγράφεις με το πολύ δόκιμες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 4

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 Ένα κουτί περιέχει 0 λευκές μπάλες, χ κόκκινες κ y πράσινες παίρνουμε μια στη τύχη Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη είναι και η πιθανότητα να πάρουμε πράσινη είναι 4 Να βρεθεί πόσες μπάλες έχει το κουτί 0 Σε ένα ράφι υπάρχουν 60 βιβλία μαθηματικών και φυσικής Τα από κάθε είδος είναι της Γ λυκείου Η πιθανότητα ένα βιβλίο να είναι φυσικής και όχι Γ λυκείου είναι 5 Αν επιλέξουμε ένα βιβλίο στην τύχη να βρεθεί η πιθανότητα να είναι βιβλίο φυσικής και της Γ λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr 5

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f 1 ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:, 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. 1, f 1 ΙΙ. Το όριο lm είναι ίσο με: 0 Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. 1/ Ε. Τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ~ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ~ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 000-014 ΘΕΜΑ 4 ο 00 Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). Δίνεται ακόμα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(AB)) 3 - (x - P(AB)) 3, x R. α. Να δείξετε ότι P(AB) P(AB). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) Οι απαντήσεις και οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 ΘΕΜΑ 1 Ο 1Α. α). Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 03 06 000... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ 369 Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι f (x) = Β. Να γράψετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΘΗΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέματα και παντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα αθηματικών http://www.othisi.gr ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Δευτέρα, Ιουνίου 07 Γ ΛΥΕΙΟΥ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ

ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ Θ Ε Μ Α 1 Από τους 120 μαθητές ενός Λυκείου, οι 24 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Α, οι 20 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Β και οι 12 μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΗΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΕΤ ΘΕ 1. ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f x g x f x g x, για κάθε x ονάδες 7. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Δειγματικός Χώρος: Ενδεχόμενο: Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματικός χώρος. Συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. α = 1 δ. im( f (x) x ) = im - 2βx x = - 4β 8 = 4α - 32β =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. α = 1 δ. im( f (x) x ) = im - 2βx x = - 4β 8 = 4α - 32β = ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 005 ΘΕΜΑ ο Α.. Θεωρία s s Α.. CV =, αν > 0, ενώ CV =, αν < 0. - Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > 0, άρα A f = (0, + ). β. f () = (α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α είναι f 1, για κάθε. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: ΘΕΜΑ 2 (479) α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii) B Γ iii) (A B) Γ iv) A (Μονάδες 12) β) Στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα