Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας"

Transcript

1 Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας Αθανάσιος Ηλ. Παλληκάρης Ανάτυπο από την έκδοση: Nausivios Chora, A Journal in Naval Science and Technology ISSN: , Hellenic Naval Academy 010. Τεύχος 3/010 Copyright Hellenic Naval Academy 010 Ανατύπωση με μικρές διορθώσεις: Δεκέμβριος 011

2 Ανάτυπο από την έκδοση: Nausivios Chora, A Journal in Naval Science and Technology ISSN: Hellenic Naval Academy 010 Τεύχος 3/010 (Σελίδες 9-65) Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή του παρόντος, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτού, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον εκδότη. Copyright Hellenic Naval Academy 010 ISSN:

3 Βελτιωμένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεμελιωδών Προβλημάτων Ναυσιπλοΐας Αθανάσιος Ηλ. Παλληκάρης Σχολή Ναυτικών Δοκίμων. Εργαστήριο Ναυτιλίας και Θαλάσσιων Επιστημών Λεωφόρος Χατζηκυριακού, Χατζηκυριάκειο, Πειραιάς, TK Περίληψη. Στην παρούσα μελέτη παρουσιάζονται και αξιολογούνται οι παραδοσιακές μέθοδοι επίλυσης των θεμελιωδών προβλημάτων ναυσιπλοΐας (ευθύ και αντίστροφο πρόβλημα πλου), οι οποίες προτείνονται στα κλασικά συγγράμματα ναυσιπλοΐας, καθώς και νεότερες μέθοδοι ακριβέστερης επίλυσης στο σφαιροειδές. Προτείνονται νέες μέθοδοι ακριβέστερης και ευχερέστερης επίλυσης των προβλημάτων του λοξοδρομικού πλου και του πλου στη μέγιστη έλλειψη, οι οποίες είναι κατάλληλες τόσο για την ανάπτυξη ναυτιλιακού λογισμικού, όσο και για χρήση με προγραμματιζόμενους υπολογιστές χειρός. Η αξιοπιστία και η ακρίβεια των προτεινόμενων μεθόδων τεκμηριώθηκε με την εκτέλεση συγκριτικής αξιολόγησης των αριθμητικών αποτελεσμάτων επίλυσης των προβλημάτων λοξοδρομικού και ορθοδρομικού πλου της παραδοσιακής ναυτιλίας, λοξοδρομικού πλου στη σφαίρα και στο σφαιροειδές, πλου στη γεωδαισιακή γραμμή και πλου στη μέγιστη έλλειψη. Κατά τη συγκριτική αυτή αξιολόγηση διαπιστώθηκε ότι οι μέθοδοι που προτείνονται στα συγγράμματα, τα οποία χρησιμοποιούνται στη ναυτική εκπαίδευση παρέχουν αποτελέσματα, τα οποία για πλόες πολύ μεγάλων αποστάσεων, εμπεριέχουν σφάλματα της τάξης των δεκάδων ναυτικών μιλίων. Εκτός από την ευχερέστερη και ακριβέστερη επίλυση των προβλημάτων του λοξοδρομικού πλου στο σφαιροειδές και του πλου ελάχιστης απόστασης στο μέγιστο ελλειπτικό τόξο, με τις προτεινόμενες μεθόδους και αλγόριθμους επιτυγχάνεται και ο υπολογισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων μεγάλου αριθμού ενδιάμεσων σημείων πλου για την ακριβή υποτύπωση των δρομολογίων μεγάλων αποστάσεων στην οθόνη των σύγχρονων ηλεκτρονικών συστημάτων πλοήγησης. Λέξεις - Κλειδιά: ναυτιλία, λοξοδρομία, ορθοδρομία, μέγιστη έλλειψη, μέγιστο ελλειπτικό τόξο, ναυτικοί υπολογισμοί, γεωδαισία Abstract. The aim of this study is to investigate the methods of sailing calculations used in traditional navigation and in contemporary maritime navigational systems and propose new improved methods for precise calculation on the ellipsoid. New formulas have been derived for both Rhumb Line Sailing (RLS) on the ellipsoid and Great Elliptic Sailing (GES). The proposed improved methods and algorithms for Rhumb Line Sailing (RLS) on the ellipsoid and the Great Elliptic Sailing (GES) are straightforward and can be easily implemented in navigational software as well as in programmable pocket calculators. The results of numerical tests and comparisons showed that they provide the same and in some cases, higher accuracy than other methods and formulas for sailing calculations on the ellipsoid. The proposed algorithms calculate also the geodetic coordinates of any finite number of intermediate points along the rhumbline (loxodrome) and the great elliptic arc for the precise depiction on long navigational paths on the screen of the Electronic Chart Systems. 9

4 I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. ΤΟ ΕΥΘΥ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΛΟΥ Η σχεδίαση και η εκτέλεση του πλου στηρίζεται στην επίλυση των δύο θεμελιωδών προβλημάτων της ναυσιπλοΐας. Τα θεμελιώδη αυτά προβλήματα είναι το ευθύ και το αντίστροφο, τα οποία χρησιμοποιούνται με διαφορετική μορφή σε όλες τις κατηγορίες πλου (λοξοδρομικός πλους, ορθοδρομικός πλους κλπ.), καθώς και σε αρκετές άλλες εφαρμογές της παραδοσιακής ναυτιλίας και των σύγχρονων αυτόματων συστημάτων πλοήγησης. Στο ευθύ πρόβλημα είναι γνωστές οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Α, λ Α ) του σημείου αναχώρησης Α, η απόσταση D του πλου από το σημείο αναχώρησης Α στο σημείο προορισμού Β καθώς και η διεύθυνση (αζιμούθιο) ζ του σημείου προορισμού Β από το σημείο αναχώρησης Α, και υπολογίζονται οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Β, λ Β ) του σημείου προορισμού Β. Στο αντίστροφο πρόβλημα είναι γνωστές οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Α, λ Α ) του σημείου αναχώρησης Α, καθώς και οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Β, λ Β ) του σημείου προορισμού Β και υπολογίζονται η διεύθυνση ζ του σημείου προορισμού Β από το σημείο αναχώρησης Α και η απόσταση D του πλου από το σημείο Α στο σημείο Β. Β. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΛΟΥ Στην παραδοσιακή ναυτιλία ο πλους από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β υλοποιείται είτε με τη μέθοδο του λοξοδρομικού πλου, είτε με τη μέθοδο του ορθοδρομικού πλου, είτε με το συνδυασμό των δύο αυτών βασικών μεθόδων (μικτός ή σύνθετος πλους). Στο λοξοδρομικό πλου τηρείται σταθερή πορεία, αλλά δεν διανύεται η συντομότερη απόσταση. Το ίχνος του λοξοδρομικού πλου (πλους με σταθερή πορεία) στην επιφάνεια της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ) ονομάζεται ρυμβοειδής γραμμή (Rhumbline) 1 ή λοξοδρομία (Loxodrome) [Σχ. 1]. Στην ελληνική βιβλιογραφία χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά ο όρος λοξοδρομία. Στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία οι δύο όροι είναι συνώνυμοι, εν τούτοις η ονομασία ρυμβοειδής γραμμή (Rhumbline) χρησιμοποιείται κυρίως ως ναυτιλιακός όρος για το ίχνος του λοξοδρομικού πλου και η ονομασία λοξοδρομία (Loxodrome) χρησιμοποιείται κυρίως ως γεωμετρικός όρος για τον ορισμό και την περιγραφή της γραμμής αυτής (η μη επίπεδη γραμμή στην επιφάνεια της σφαίρας ή του σφαιροειδούς που τέμνει τους μεσημβρινούς με σταθερή γωνία) [Σχ. 1]. Στον ορθοδρομικό πλου διανύεται η συντομότερη απόσταση, αλλά δεν τηρείται σταθερή πορεία (πλους με μεταβαλλόμενη πορεία). Το ίχνος του ορθοδρομικού πλου μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια της σφαίρας είναι το τόξο του μοναδικού μέγιστου κύκλου που διέρχεται από τα δύο αυτά σημεία (ορθοδρομικό τόξο) [Σχ. ]. Η ρυμβοειδής γραμμή (λοξοδρομία) και το ορθοδρομικό τόξο (ορθοδρομία) είναι κατά κανόνα δύο διαφορετικά δρομολόγια πλου (Σχ. 3). Ανάλογα με τη σχετική θέση των σημείων αναχώρησης και προορισμού, τα δρομολόγια του λοξοδρομικού και του ορθοδρομικού πλου έχουν μεγαλύτερες ή μικρότερες αποκλίσεις. Στις ειδικές περιπτώσεις, κατά τις οποίες τα σημεία αυτά βρίσκονται επί του ισημερινού ή επί του ιδίου μεσημβρινού, η ορθοδρομία και η λοξοδρομία ταυτίζονται. 1 Ο όρος ρυμβοειδής γραμμή (rhumbline) προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη ρύμβος [1], η οποία σημαίνει σπείρα και χρησιμοποιήθηκε στη ναυσιπλοΐα για πρώτη φορά με την εκλατινισμένη ονομασία Rumbo κατά το έτος 1566 από τον Pedro Nunes, καθηγητή μαθηματικών του πανεπιστημίου Coibra της Πορτογαλίας σε μονογραφία του για το λοξοδρομικό πλου [], [3]. 30

5 [4] ΣΧΗΜΑ 1: Ρυμβοειδής γραμμή ή λοξοδρομία [5] ΣΧΗΜΑ : Ορθοδρομικό τόξο (τόξο μέγιστου κύκλου) Το πρόβλημα του σύνθετου ή μικτού πλου (Composite Sailing) αφορά τη σχεδίαση πλου ελάχιστης διαδρομής από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β, όταν υπάρχουν περιορισμοί στη σχεδίαση του ορθοδρομικού πλου, όπως π.χ. χερσαίες περιοχές που παρεμβάλλονται στο ίχνος του ορθοδρομικού πλου, αποφυγή πλου σε περιοχές μεγάλου γεωγραφικού πλάτους κλπ. Στις περιπτώσεις αυτές ο πλους εκτελείται σε ορισμένα τμήματά του ως ορθοδρομικός πλους και στα υπόλοιπα ως λοξοδρομικός πλους. Η συνηθέστερη μορφή του σύνθετου πλου της παραδοσιακής ναυτιλίας, αφορά τη σχεδίαση πλου ελάχιστης διαδρομής από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β με τον περιορισμό το δρομολόγιο του πλου να μην υπερβεί ένα παράλληλο πλάτους φ σ, ο οποίος λέγεται παράλληλος ασφαλείας [6], [7]. Ο περιορισμός αυτός δεν επιτρέπει την υλοποίηση του ορθοδρομικού πλου επί του ορθοδρομικού τόξου ΑΚΒ (Σχ. 4). Σε αυτή την περίπτωση σύνθετου πλου συνδυάζεται ο ορθοδρομικός πλους με την ειδική περίπτωση λοξοδρομικού πλου επί παραλλήλου (πορεία 090 ή 70 ) και η πλεύση από το σημείο αναχώρησης Α προς το σημείο προορισμού Β (Σχ. 4) εκτελείται με: Ορθοδρομικό πλου από το σημείο αναχώρησης Α μέχρι το σημείο Σ 1 του παραλλήλου ασφαλείας φ σ. Το (ορθοδρομικό) τόξο ΑΣ 1 εφάπτεται στον παράλληλο ασφαλείας στο σημείο Σ 1. Λοξοδρομικό πλου επί του παραλλήλου ασφαλείας φ σ με πορεία 090 ή 70, (από το σημείο Σ 1 μέχρι το σημείο Σ ). Το (ορθοδρομικό) τόξο BΣ εφάπτεται στον παράλληλο ασφαλείας στο σημείο Σ. Ορθοδρομικό πλου από το σημείο Σ του παραλλήλου ασφαλείας φ σ μέχρι το σημείο προορισμού Β (τόξο Σ Β). Η σχεδίαση και εκτέλεση πλου στηρίζεται στην επίλυση του ευθέος και του αντίστροφου προβλήματος πλου. 31

6 α. Απεικόνιση ορθοδρομίας και λοξοδρομίας στη σφαίρα τορικό χάρτη β. Απεικόνιση ορθοδρομίας και λοξοδρομίας στο μερκα- ΣΧΗΜΑ.3: Λοξοδρομία και Ορθοδρομία στη σφαίρα και στο μερκατορικό χάρτη Στο ευθύ λοξοδρομικό πρόβλημα (Σχ. 5) είναι γνωστές οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Α, λ Α ) του σημείου αναχώρησης Α, η απόσταση D λ του λοξοδρομικού πλου από το σημείο Α στο σημείο Β καθώς και η σταθερή πορεία πλεύσης ζ λ, και υπολογίζονται οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Β, λ Β ) του σημείου προορισμού Β. Στο αντίστροφο λοξοδρομικό πρόβλημα (Σχ. 5) είναι γνωστές οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Α, λ Α ) του σημείου αναχώρησης Α, καθώς και οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Β, λ Β ) του σημείου προορισμού Β και υπολογίζονται η σταθερή πορεία ζ λ που πρέπει τηρηθεί κατά τον πλου από το σημείο Α στο σημείο Β και η απόσταση D λ του λοξοδρομικού πλου από το σημείο Α στο σημείο Β. Ο πλους αποτελείται από δύο σκέλη ορθοδρομίας (τόξα ΑΣ 1 και Σ Β) και ένα σκέλος λοξοδρομίας (τόξο Σ 1 Σ στον παράλληλο ασφαλείας φ σ ) Το τόξο ΑΣ 1 εφάπτεται στον παράλληλο ασφαλείας στο σημείο Σ 1 Το τόξο Σ Β εφάπτεται στον παράλληλο ασφαλείας στο σημείο Σ ΣΧΗΜΑ 4: Το πρόβλημα του μικτού πλου με παράλληλο ασφαλείας Στο ευθύ ορθοδρομικό πρόβλημα είναι γνωστές οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Α, λ Α ) του σημείου αναχώρησης Α, η απόσταση D ο του ορθοδρομικού πλου από το σημείο Α στο σημείο Β (τόξο ΑΚΒ σχήματος 4), και η αρχική πορεία ζ Α του ορθοδρομικού πλου στο σημείο αναχώρησης Α και υπολογίζονται οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Β, λ Β ) του σημείου προορισμού Β. Στο αντίστροφο ορθοδρομικό πρόβλημα είναι γνωστές οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Α, λ Α ) του σημείου αναχώρησης Α, καθώς και οι γεωγραφικές συντεταγμένες (φ Β, λ Β ) του σημείου προορισμού Β (Σχ. 4), και υπολογίζονται η απόσταση D ο του ορθοδρομικού πλου από το σημείο Α στο σημείο Β (τόξο ΑΚΒ), και η αρχική πορεία ζ Α του ορθοδρομικού πλου στο σημείο αναχώρησης Α (ο ορθοδρομικός πλους είναι πλους με συνεχώς μεταβαλλόμενη πορεία). 3

7 α) β) ΣΧΗΜΑ 5: Απεικόνιση λοξοδρομίας στη σφαίρα και στο μερκατορικό χάρτη Γ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΗΣ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΚΡΙΒΕΣΤΕΡΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Στην παραδοσιακή ναυσιπλοΐα η σχεδίαση και η εκτέλεση του πλου στηρίζεται κυρίως στη γραφική επίλυση του ευθέος και του αντίστροφου προβλήματος στους ναυτικούς χάρτες, όπως αυτές παρουσιάζονται συνοπτικά στην ενότητα ΙΙ. Εν τούτοις, για πλόες πολύ μεγάλων αποστάσεων χρησιμοποιούνται και αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης, οι οποίες παρουσιάζονται συνοπτικά στην ΙΙΙ. Στα σύγχρονα ηλεκτρονικά συστήματα πλοήγησης εκτελείται μόνο αριθμητική επίλυση και τα αποτελέσματα αποδίδονται γραφικά στον ηλεκτρονικό χάρτη (απεικόνιση αντίστοιχων δρομολογίων πλου) με το ναυτιλιακό λογισμικό του συστήματος. Στην παραδοσιακή ναυτιλία οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης των ναυτιλιακών προβλημάτων στηρίζονται στη χρήση σφαιρικού μοντέλου προσέγγισης της επιφάνειας της γης, αντί της ακριβέστερης προσέγγισης με την επιφάνεια του σφαιροειδούς. Οι μέθοδοι επίλυσης στην επιφάνεια της σφαίρας έχουν το πλεονέκτημα της απλούστευσης των υπολογισμών εις βάρος της ακρίβειας των αποτελεσμάτων. Οι γραφικές μέθοδοι επίλυσης στους ναυτικούς χάρτες προσφέρουν γρήγορη, εύκολη και αξιόπιστη επίλυση για πλόες μικρών αποστάσεων, αλλά για πλόες πολύ μεγάλων αποστάσεων παρέχουν αρκετά μειωμένη ακρίβεια ως προς τις μεθόδους επίλυσης στο σφαιροειδές. Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης στο ελλειψοειδές παρέχουν μεν υψηλότερη ακρίβεια, αλλά οι υπολογισμοί είναι πολυπλοκότεροι. Οι απλοποιήσεις των υπολογισμών της παραδοσιακής ναυτιλίας ήταν κατά το παρελθόν αποδεκτές και αναπόφευκτες, λόγω των περιορισμών τόσο των διατιθέμενων υπολογιστικών εργαλείων όσο και της ακρίβειας των παλαιοτέρων μεθόδων προσδιορισμού θέσης και πλοήγησης. Εν τούτοις, οι σημερινές δυνατότητες των Δορυφορικών Συστημάτων Προσδιορισμού Θέσης και των Συστημάτων Ηλεκτρονικού Χάρτη τόσο για τον εντοπισμό όσο και για την απεικόνιση της θέσης του πλοίου με αδιανόητες για την παραδοσιακή ναυτιλία ακρίβειες, σε συνδυασμό με τις σημερινές δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών, επιβάλλουν την εκτέλεση των ναυτιλιακών υπολογισμών με μεγαλύτερη ακρίβεια στην επιφάνεια του σφαιροειδούς. Με την επίλυση των προβλημάτων ναυσιπλοΐας στο ελλειψοειδές είναι θεωρητικά δυνατό να επιτευχθεί γεωδαιτική ακρίβεια λίγων εκατοστών ή ακόμη και χιλιοστών του μέτρου. Εν τούτοις, η επιδίωξη τόσο υψηλής ακρίβειας για τον υπολογισμό των στοιχείων πλου δεν έχει καμμία πρακτική σημασία. 33

8 Η επίλυση των προβλημάτων ναυσιπλοΐας στην επιφάνεια του σφαιροειδούς πρέπει να υλοποιείται με κατάλληλη προσαρμογή των μεθόδων της γεωδαισίας για την ορθολογική βελτίωση της ακρίβειας των παραδοσιακών μεθόδων της ναυτιλίας. Εν τούτοις, έχει παρατηρηθεί ότι από την περίοδο της αρχικής δημιουργίας ναυτιλιακού λογισμικού για ενσωμάτωση σε δέκτες δορυφορικών συστημάτων εντοπισμού θέσης, τόσο για λόγους απλοποίησης όσο και για άλλους λόγους, το λογισμικό αυτό αρκετές φορές βασίζεται σε υπολογιστικές μεθόδους περιορισμένης ακρίβειας [8]. Ακόμη και στο πρόσφατο παρελθόν έχει παρατηρηθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η επίλυση των θεμελιωδών προβλημάτων της ναυσιπλοΐας στηρίζεται σε απλοποιημένες μεθόδους και παραδοχές της κλασικής ναυτιλίας, όπως η προσέγγιση της μορφής της επιφάνειας της γης, σύμφωνα με την οποία η γη θεωρείται εν μέρει σφαίρα και εν μέρει ελλειψοειδές εκ περιστροφής [9]. Για πλόες πολύ μεγάλων αποστάσεων ( > ν.μ.) ο υπολογισμός της απόστασης πλου στη σφαίρα ενδέχεται να εμπεριέχει σφάλματα της τάξης των 10-0 ν.μ. (40 km περίπου) ως προς τα αποτελέσματα των υπολογισμών στην επιφάνεια του σφαιροειδούς [10]. Προβλήματα λοξοδρομικού πλου Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης των προβλημάτων λοξοδρομικού πλου στην παραδοσιακή ναυτιλία στηρίζονται σε παραδοχές και απλοποιήσεις, οι οποίες δημιουργούν αποκλίσεις της υπολογιζόμενης απόστασης του λοξοδρομικού πλου από την πραγματική τιμή της. Οι αποκλίσεις αυτές ήταν αποδεκτές για τις ανάγκες της κλασικής ναυτιλίας (σχεδίαση και εκτέλεση πλου σε έντυπους ναυτικούς χάρτες), όχι όμως για τις σύγχρονες μεθόδους ναυσιπλοΐας (σχεδίαση και εκτέλεση πλου με τα συστήματα ηλεκτρονικού χάρτη). Επιπροσθέτως, ορισμένες από τις παραδοχές και απλοποιήσεις της παραδοσιακής ναυσιπλοΐας, χρησιμοποιούνται με λανθασμένο τρόπο προκαλώντας περαιτέρω υποβάθμιση της ακρίβειας, αλλά και σύγχυση, χωρίς να συμβάλλουν ουσιαστικά στην απλοποίηση των υπολογισμών [9]. Προβλήματα ορθοδρομικού πλου και πλου ελάχιστης απόστασης στο σφαιροειδές Ο ορθοδρομικός πλους της παραδοσιακής ναυσιπλοΐας αντιστοιχεί σε δρομολόγιο ελάχιστης απόστασης μεταξύ δύο σημείων της επιφάνειας της σφαίρας. Για τον ακριβέστερο υπολογισμό της ελάχιστης απόστασης πλου μεταξύ δύο σημείων της επιφάνειας της γης πρέπει να χρησιμοποιηθεί η ακριβέστερη προσέγγιση της επιφάνειάς της με την επιφάνεια ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ΕΕΠ). Το ΕΕΠ, το οποίο χρησιμοποιείται για την προσέγγιση της επιφάνειας της γης προσεγγίζει το σχήμα της σφαίρας και ονομάζεται σφαιροειδές. ΣΧΗΜΑ 6: Γεωδαισιακή γραμμή στην επιφάνεια του σφαιροειδούς Στην επιφάνεια του ΕΕΠ η συντομότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι η γεωδαισιακή γραμμή. Η γεωδαισιακή γραμμή που διέρχεται από δύο σημεία της επιφάνειας του ΕΕΠ είναι μία 34

9 μη επίπεδη γραμμή με διπλή καμπυλότητα και στρέψη, η οποία αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων αυτών (Σχ. 6). Από δύο σημεία της επιφάνειας του ΕΕΠ είναι δυνατό να διέρχονται περισσότερες από μία γεωδαισιακές γραμμές. Στην επιφάνεια της σφαίρας η γεωδαισιακή γραμμή που διέρχεται από δύο σημεία είναι το τόξο του μοναδικού μέγιστου κύκλου που διέρχεται από τα σημεία αυτά. Ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο σημείων της γεωδαισιακής γραμμής του σφαιροειδούς είναι αρκετά πολύπλοκος. Εν τούτοις, για τις πρακτικές ανάγκες της ναυσιπλοΐας τα στοιχεία του πλου επί της γεωδαισιακής γραμμής του σφαιροειδούς πρακτικά ταυτίζονται με τα στοιχεία πλου στη μέγιστη έλλειψη [11]. Η μέγιστη έλλειψη ορίζεται ως η τομή της επιφάνειας του σφαιροειδούς με το επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο του σφαιροειδούς, το σημείο αναχώρησης Σ 1 και το σημείο προορισμού Σ (Σχ. 7). ΣΧΗΜΑ 7: Μέγιστη έλλειψη του σφαιροειδούς Για την ακριβή σχεδίαση και απεικόνιση των δρομολογίων πλου μεγάλων αποστάσεων στους ναυτικούς χάρτες, ιδιαίτερα δε στους ηλεκτρονικούς ναυτιλιακούς χάρτες των σύγχρονων ηλεκτρονικών συστημάτων πλοήγησης, απαιτείται ο υπολογισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των ενδιάμεσων σημείων Ε 1, Ε, Ε 3 των δρομολογίων πλου, ανεξάρτητα αν πρόκειται για ενδιάμεσα σημεία της λοξοδρομίας, της ορθοδρομίας, του τόξου της μέγιστης έλλειψης, ή της γεωδαισικής (Σχ. 8). Ο υπολογισμός αυτός υλοποιείται με διαδοχικές επιλύσεις του ευθέος προβλήματος. Στις επιλύσεις αυτές οι γνωστές παράμετροι για την επίλυση του ευθέος προβλήματος είναι: οι γεωδαιτικές συντεταγμένες του σημείου αναχώρησης Α, το υπολογιζόμενο με το αντίστροφο πρόβλημα αζιμούθιο (στο σημείο αναχώρησης Α) και οι επιθυμητές αποστάσεις των ενδιάμεσων σημείων από το αρχικό. Οι αποστάσεις αυτές καθορίζονται είτε με το επιθυμητό βήμα, π.χ. κάθε 100 ν.μ., είτε με τον επιθυμητό αριθμό των ενδιάμεσων σημείων του εξεταζόμενου δρομολογίου πλου (λοξοδρομία, τόξο μέγιστης έλλειψης κλπ.). Στις επόμενες ενότητες παρουσιάζονται: Οι γραφικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων λοξοδρομικού, ορθοδρομικού και σύνθετου πλου της παραδοσιακής ναυσιπλοΐας ( ΙΙ), Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων λοξοδρομικού πλου της παραδοσιακής ναυσιπλοΐας ( ΙΙΙ) Οι προτεινόμενες μέθοδοι και αλγόριθμοι επίλυσης προβλημάτων λοξοδρομικού πλου στο σφαιροειδές ( ΙV) Οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ορθοδρομικού και σύνθετου πλου με μεθόδους της σφαιρικής τριγωνομετρίας που χρησιμοποιούνται στην παραδοσιακή ναυσιπλοία ( V), 35

10 Οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ορθοδρομικού και σύνθετου πλου με μεθόδους της διανυσματικής ανάλυσης που χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη ναυτιλιακού λογισμικού ( VΙ), Η προτεινόμενη μέθοδος και αλγόριθμος επίλυσης του ευθέος και του αντίστροφου προβλήματος πλου στη μέγιστη έλλειψη ( VΙΙΙ) Τα αποτελέσματα της συγκριτικής αξιολόγησης των προτεινόμενων μεθόδων με μεθόδους της παραδοσιακής ναυσιπλοΐας και άλλες μεθόδους επίλυσης στο σφαιροειδές ( IX). Η γραμμή ΑΒ αντιπροσωπεύει δρομολόγιο: λοξοδρομικού πλου, ή ορθοδρομικού πλου, ή πλου στη μέγιστη έλλειψη, ή πλου στη γεωδαισιακή γραμμή του σφαιροειδούς. Για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των ενδιάμεσων σημείων Ε 1, Ε, Ε 3, επιλύεται το ευθύ πρόβλημα με γνωστά στοιχεία τις συντεταγμένες του αρχικού σημείου Α, το αζιμούθιο και τις επιθυμητές αποστάσεις S 1 =AE 1, S =AE, S 3 =AE 3,... των ενδιάμεσων σημείων από το αρχικό. ΣΧΗΜΑ 8: Υπολογισμός συντεταγμένων ενδιάμεσων σημείων πλου ΙΙ. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΛΟΥ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΗ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Α. Γραφική επίλυση προβλημάτων λοξοδρομικού και ορθοδρομικού πλου Στις παραδοσιακές μεθόδους ναυσιπλοΐας η επίλυση των θεμελιωδών προβλημάτων για τη σχεδίαση και την υλοποίηση του πλου γίνεται συνήθως με γραφικές μεθόδους στον παραδοσιακό έντυπο ναυτικό χάρτη, η κατασκευή του οποίου στηρίζεται στην ορθή μερκατορική απεικόνιση και για το λόγο αυτό είναι γνωστός με το όνομα «ναυτικός μερκατορικός χάρτης», καθώς και στο γνωμονικό χάρτη, η κατασκευή του οποίου στηρίζεται στη γνωμονική απεικόνιση. Οι δύο βασικές ιδιότητες της ορθής μερκατορικής απεικόνισης: να διατηρεί τις διευθύνσεις που μετρώνται στην επιφάνεια της γης αναλλοίωτες στο χάρτη (σύμμορφη απεικόνιση) και να απεικονίζει τους μεσημβρινούς ως παράλληλες και ισαπέχουσες ευθείες, παρέχουν τα επόμενα βασικά για τη ναυσιπλοΐα πλεονεκτήματα: Άμεση σχεδίαση του πλου σταθερής πορείας από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β (λοξοδρομικός πλους) με τη χάραξη στο μερκατορικό χάρτη του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία αυτά (Σχ. 5β και Σχ. 9). Άμεσος προσδιορισμός της πορείας ζ λ του λοξοδρομικού πλου με τη μέτρηση στο χάρτη της γωνίας που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα σημεία αναχώρησης και προορισμού, με οποιαδήποτε από τις παράλληλες ευθείες, οι οποίες αναπαριστούν τους μεσημβρινούς (Σχ. 9). 36

11 ΣΧΗΜΑ 9: Σχεδίαση λοξοδρομικού πλου στο ναυτικό μερκατορικό χάρτη Η βασική ιδιότητα του γνωμονικού χάρτη να απεικονίζει τα δρομολόγια του ορθοδρομικού πλου ως ευθύγραμμα τμήματα παρέχει το βασικό για τη ναυσιπλοΐα πλεονέκτημα της άμεσης σχεδίασης των δρομολογίων του ορθοδρομικού πλου από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β με τη χάραξη στο γνωμονικό χάρτη του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία αυτά (Σχ. 10α). Για την υλοποίηση του ορθοδρομικού πλου απαιτείται η σχεδίαση του δρομολογίου και στο μερκατορικό χάρτη και για το λόγο αυτό στην παραδοσιακή ναυτιλία ο γνωμονικός χάρτης χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το «μερκατορικό ναυτικό χάρτη» ως εξής: Σχεδιάζεται στο γνωμονικό χάρτη το δρομολόγιο του ορθοδρομικού πλου με το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το σημείο αναχώρησης Α με το σημείο προορισμού Β (Σχ. 10α). Προσδιορίζονται επί του γνωμονικού χάρτη οι γεωγραφικές συντεταγμένες ορισμένων ενδιάμεσων σημείων του ορθοδρομικού πλου, συνήθως στα σημεία τομής του ευθύγραμμου τμήματος του ορθοδρομικού πλου με επιλεγμένους μεσημβρινούς. Γίνεται μεταφορά του δρομολογίου του ορθοδρομικού πλου από το γνωμονικό στο μερκατορικό χάρτη. Η μεταφορά αυτή πραγματοποιείται με τη μέτρηση επί του γνωμονικού χάρτη των συντεταγμένων ορισμένων σημείων τομής Ε 1, Ε, Ε 3, Ε 4, του δρομολογίου του ορθοδρομικού πλου (Σχ. 10α) με επιλεγμένους μεσημβρινούς, ή/και παραλλήλους πλάτους και στη συνέχεια με την υποτύπωση των σημείων αυτών στο μερκατορικό χάρτη (Σχ. 10β). 37

12 Τα σημεία που υποτυπώνονται στο μερκατορικό χάρτη συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία αντιπροσωπεύουν λοξοδρομικούς πλόες, και με τον τρόπο αυτό ο ορθοδρομικός πλους προσεγγίζεται ικανοποιητικά με μία σειρά διαδοχικών λοξοδρομικών πλεύσεων στο μερκατορικό χάρτη (Σχ. 10β). Η προσέγγιση αυτή είναι πολύ ικανοποιητική, όταν οι αποστάσεις των ενδιάμεσων σημείων δεν είναι μεγαλύτερες από 150 ν.μ. α) Στο γνωμονικό χάρτη το δρομολόγιο του ορθοδρομικού πλου σχεδιάζεται με ευθεία γραμμή β) Στο μερκατορικό χάρτη το δρομολόγιο του ορθοδρομικού πλου προσεγγίζεται ικανοποιητικά με διαδοχικές λοξοδρομικές πλεύσεις (τεθλασμένη γραμμή) ΣΧΗΜΑ 10: Σχεδίαση ορθοδρομικού πλου στο γνωμονικό και στο μερκατορικό χάρτη Λόγω των ιδιοτήτων της μερκατορικής και της γνωμονικής απεικόνισης να απεικονίζουν τον λοξοδρομικό και τον ορθοδρομικό πλου αντίστοιχα, με την απλούστερη δυνατή μορφή, δηλαδή με το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το σημείο αναχώρησης και το σημείο προορισμού, οι δύο αυτές χαρτογραφικές απεικονίσεις έχουν καθιερωθεί για χρήση στη ναυσιπλοΐα, παρά τις σημαντικές παραμορφώσεις που παρουσιάζουν. Οι παραμορφώσεις της μερκατορικής και γνωμονικής απεικόνισης δεν επηρεάζουν την ακρίβεια των εργασιών σχεδίασης και υλοποίησης του πλου στην παραδοσιακή ναυτιλία, διότι: α) Στο χάρτη γνωμονικής απεικόνισης δεν γίνονται μετρήσεις διευθύνσεων ή αποστάσεων, αλλά μόνον ανάγνωση των γεωγραφικών συντεταγμένων ορισμένων ενδιάμεσων σημείων του ορθοδρομικού πλου, με αποδεκτή για τις ανάγκες της παραδοσιακής ναυτιλίας ακρίβεια, για την υποτύπωση στη συνέχεια των σημείων αυτών στο μερκατορικό χάρτη. 38

13 β) Η μέτρηση των διευθύνσεων στο μερκατορικό χάρτη δεν εμπεριέχει σφάλματα, γιατί η μερκατορική απεικόνιση δεν παρουσιάζει γωνιακές παραμορφώσεις, αλλά μόνο γραμμικές και επιφανειακές. γ) Παρά τις γραμμικές παραμορφώσεις της μερκατορικής απεικόνισης η μέτρηση των αποστάσεων στο μερκατορικό χάρτη δίνει πολύ ικανοποιητικά για τις ανάγκες της κλασικής ναυσιπλοΐας αποτελέσματα, γιατί η μέτρηση αυτή πραγματοποιείται με τις ενδείξεις γεωγραφικού πλάτους στο πλαίσιο του χάρτη και την παραδοχή ότι ένα πρώτο λεπτό της μοίρας αντιστοιχεί σε ένα ναυτικό μίλι. Στη μερκατορική απεικόνιση το γραμμικό μήκος μεταξύ διαδοχικών ενδείξεων του γεωγραφικού πλάτους που αντιστοιχούν σε ίσες διαφορές γεωγραφικού πλάτους δεν είναι σταθερό (Σχ. 11), αλλά προσδιορίζεται από το συντελεστή γραμμικής παραμόρφωσης στη διεύθυνση των μεσημβρινών για το γεωγραφικό πλάτος του αντίστοιχου παράλληλου πλάτους. Η πραγματική απόσταση του λοξοδρομικού πλου ΑΒ (873 ν.μ) είναι 47% μεγαλύτερη από την απόσταση του λοξοδρομικού πλου ΓΔ (593 ν.μ.). Λόγω των γραμμικών παραμορφώσεων η γραμμή ΑΒ στο μερκατορικό χάρτη έχει εμφανώς μικρότερο μήκος από τη γραμμή ΓΔ. ΣΧΗΜΑ 11: Παράδειγμα γραμμικών παραμορφώσεων μερκατορικής απεικόνισης Για τους παραπάνω λόγους οι γραμμικές και οι επιφανειακές παραμορφώσεις της μερκατορικής απεικόνισης δεν επηρεάζουν την ακρίβεια των εκτελούμενων στο χάρτη μετρήσεων αποστάσεων, αλλά μόνο την οπτική αντίληψη των γεωγραφικών περιοχών και των δρομολογίων πλου. Λόγω των γραμμικών παραμορφώσεων της μερκατορικής απεικόνισης η οπτική εικόνα των απεικονιζόμενων στο χάρτη δρομολογίων πλου δεν αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά την πραγματική κατάσταση στην επιφάνεια της γης με κίνδυνο δημιουργίας εσφαλμένων εντυπώσεων, όπως π.χ.: 39

14 Η απεικόνιση του δρομολογίου του ορθοδρομικού πλου από ένα σημείο αναχώρησης προς ένα σημείο προορισμού, με γραμμή σημαντικά μεγαλύτερου μήκους από τη γραμμή που απεικονίζει το δρομολόγιο του λοξοδρομικού πλου μεταξύ των ίδιων σημείων (σχήμα 10β), παρά το γεγονός ότι το δρομολόγιο ελάχιστης διαδρομής είναι αυτό του ορθοδρομικού πλου. Η απεικόνιση διαφορετικών δρομολογίων λοξοδρομικού πλου με γραμμές, οι οποίες αντιστοιχούν: η μεν γραμμή μεγαλύτερου μήκους στο δρομολόγιο μικρότερης διαδρομής, η δε γραμμή μικρότερου μήκους στο δρομολόγιο μεγαλύτερης διαδρομής (Σχ.11). Παρά τις προαναφερθείσες οπτικές παραμορφώσεις της πραγματικότητας που προκαλούνται στη μερκατορική απεικόνιση, με κίνδυνο εξαγωγής εσφαλμένων εντυπώσεων για την απόσταση του πλου, ο ναυτικός μερκατορικός χάρτης αποτελεί βασικό, πολύτιμο και αναντικατάστατο εργαλείο των μεθόδων της παραδοσιακής ναυτιλίας λόγω της σημαντικής ιδιότητάς του να απεικονίζει τα δρομολόγια του λοξοδρομικού πλου με την απλούστερη δυνατή μορφή, η οποία είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το σημείο αναχώρησης και το σημείο προορισμού. Με τον τρόπο αυτό υπεραπλουστεύεται τόσο η επίλυση των λοξοδρομικών προβλημάτων (με απλές γραφικές μεθόδους) όσο και η υλοποίησή τους με τη χρησιμοποίηση της πυξίδας και των κλασικών μεθόδων προσδιορισμού θέσης (στίγματος). Στην παραδοσιακή ναυτιλία η δυνατότητα του χάρτη μερκατορικής απεικόνισης για την εύκολη σχεδίαση και υλοποίηση του λοξοδρομικού πλου αξιοποιείται και για τη σχεδίαση και υλοποίηση του ορθοδρομικού πλου, η οποία εκτελείται με την προσέγγιση του δρομολογίου του ορθοδρομικού πλου με μία σειρά διαδοχικών λοξοδρομικών πλεύσεων στο μερκατορικό χάρτη (Σχ.10β). Β. Γραφική επίλυση προβλημάτων σύνθετου πλου Η γραφική επίλυση των προβλημάτων του σύνθετου πλου υλοποιείται με μεθόδους ανάλογες αυτών που χρησιμοποιούνται για τη γραφική επίλυση των προβλημάτων του ορθοδρομικού πλου, με την εκμετάλλευση της βασικής ιδιότητας της γνωμονικής απεικόνισης να απεικονίζει το ορθοδρομικό τόξο με ευθεία. Ως παράδειγμα αναφέρεται η γραφική επίλυση του μικτού πλου του σχήματος 4. Η επίλυση αυτή στις περισσότερες περιπτώσεις υλοποιείται ευχερέστερα με τη χρήση χάρτη πολικής γνωμονικής απεικόνισης, στον οποίο οι μεν μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ευθείες συγκλίνουσες στον πόλο οι δε παράλληλοι πλάτους ως ομόκεντροι κύκλοι (Σχ.1α). Η γραφική εργασία στο γνωμονικό χάρτη συνοψίζεται στα εξής: Υποτυπώνεται η θέση των σημείων αναχώρησης και προορισμού στο γνωμονικό χάρτη (σημεία Α και Β του σχήματος 1) και χαράσσεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, το οποίο απεικονίζει το δρομολόγιο του ορθοδρομικού πλου (το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του σχήματος 1α απεικονίζει το τόξο ΑΛΚΜΒ του σχήματος 4). Προσδιορίζεται η θέση του κορυφαίου σημείου Κ στο σημείο τομής του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ του σχήματος 1 με την κάθετη σε αυτό ευθεία γραμμή ΠΚ που διέρχεται από τον πόλο. Σχεδιάζεται ο παράλληλος ασφαλείας ως ομόκεντρος κύκλος με ακτίνα που προσδιορίζεται ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος φ σ. Υποτυπώνονται οι θέσεις των σημείων Σ 1 και Σ του παραλλήλου ασφαλείας του σχήματος 4 στις αντίστοιχες θέσεις Σ 1 και Σ του γνωμονικού χάρτη του σχήματος 1α. Η υποτύπωση της θέσης των σημείων αυτών γίνεται με τη σχεδίαση των εφαπτόμενων στον παράλληλο ασφαλείας ευθειών ΑΣ 1 και ΒΣ του σχήματος 1α. Με την περαιτέρω αξιοποίηση της παραπάνω γραφικής εργασίας επιτυγχάνεται: Ο γραφικός προσδιορισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων του κορυφαίου σημείου Κ και των σημείων Σ 1 και Σ του παραλλήλου ασφαλείας στο γνωμονικό χάρτη. Η μεταφορά του ίχνους του σύνθετου πλου στο μερκατορικό χάρτη (Σχ. 1β) ως εξής: 40

15 Τα δύο σκέλη του μικτού πλου που αντιστοιχούν στα ορθοδρομικά τόξα ΑΣ 1 και ΒΣ απεικονίζονται στο μερκατορικό χάρτη με διαδοχικές λοξοδρομικές πλεύσεις όπως στην περίπτωση του ορθοδρομικού πλου του σχήματος 10β. Το σκέλος του μικτού πλου που αντιστοιχεί στο λοξοδρομικό πλου επί του τόξου Σ 1 Σ του παραλλήλου ασφαλείας φ σ απεικονίζεται στο μερκατορικό χάρτη με το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από τα σημεία Σ 1 και Σ. α. Σχεδίαση σύνθετου πλου σε γνωμονικό χάρτη β. Μεταφορά ίχνους σύνθετου πλου στο μερκατορικό χάρτη ΣΧΗΜΑ 1: Σχεδίαση σύνθετου πλου στο γνωμονικό και στο μερκατορικό χάρτη III. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΛΟΞΟΔΡΟΜΙΚΟΥ ΠΛΟΥ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ Στην παραδοσιακή ναυτιλία, εκτός από τις γραφικές μεθόδους που παρουσιάστηκαν στην ενότητα ΙΙ, η επίλυση των προβλημάτων του λοξοδρομικού πλου υλοποιείται και με αριθμητικές μεθόδους, οι οποίες ανάγονται στην επίλυση απλών ορθογώνιων τριγώνων με μεθόδους της επίπεδης τριγωνομετρίας. Τα βασικά χαρακτηριστικά των ορθογώνιων τριγώνων του λοξοδρομικού πλου (Σχ. 13) είναι: Η υποτείνουσα D λ απεικονίζει το δρομολόγιο του λοξοδρομικού πλου από το σημείο αναχώρησης Α προς το σημείου προορισμού Β. Οι κάθετες πλευρές σχεδιάζονται η μεν μία (ΔY) στο μεσημβρινό του σημείου αναχώρησης Α, η δε άλλη (ΔX) στον παράλληλο πλάτους του σημείου προορισμού Β. Η απόσταση του λοξοδρομικού πλου ισούται με το μήκος της υποτείνουσας D λ και η πορεία του λοξοδρομικού πλου είναι ίση με την γωνία ζ στο σημείο αναχώρησης Α. Ανάλογα με τη χρησιμοποιούμενη μέθοδο επίλυσης, οι δύο κάθετες πλευρές του επίπεδου τριγώνου του λοξοδρομικού πλου (ΔY και ΔX) αντιπροσωπεύουν διάφορες παραμέτρους (Σχ. 13β, και Σχ.13γ). Εξαίρεση αποτελούν οι δύο ειδικές περιπτώσεις του λοξοδρομικού πλου στη διεύθυνση του μεσημβρινού και του λοξοδρομικού πλου στη διεύθυνση του παραλλήλου. 41

16 α. Γενική μορφή β. Με αποχώρηση (p) και διαφορά πλάτους (Δφ) γ. Με διαφορά αυξομερών Δφ ξ και διαφορά μήκους Δλ ΣΧΗΜΑ 13: Μορφές του τριγώνου του λοξοδρομικού πλου της παραδοσιακής ναυτιλίας Για πλόες μικρών αποστάσεων, η μεν πλευρά ΔΥ είναι ίση με τη διαφορά γεωγραφικού πλάτους Δφ σε πρώτα λεπτά της μοίρας, η δε πλευρά ΔΧ είναι ίση με την τιμή της αποχώρησης p σε ναυτικά μίλια (Σχ. 13β). Η αποχώρηση (departure) ορίζεται ως η απόσταση που μετατοπίζεται ένα πλωτό κατά τη διεύθυνση Ανατολή-Δύση, όταν πλέει λοξοδρομικώς από ένα σημείο αναχώρησης Α προς ένα σημείο προορισμού Β [6]. Για τις περισσότερες περιπτώσεις η τιμή της αποχώρησης σε ναυτικά μίλια προσεγγίζεται με το γραμμικό μέγεθος του παραλλήλου μέσου πλάτους των δύο σημείων που περιέχεται μεταξύ των μεσημβρινών των σημείων αυτών. Η προσέγγιση αυτή δεν είναι απόλυτα σωστή, αλλά για πλόες μικρών αποστάσεων δεν δημιουργεί αξιοσημείωτα για τις ανάγκες της ναυτιλίας σφάλματα. Για πλόες μεγάλων αποστάσεων, η μεν πλευρά ΔΥ είναι ίση με τη διαφορά των αυξομερών πλατών Δφ ξ (meridional difference), η δε πλευρά ΔΧ είναι ίση με τη διαφορά γεωγραφικού μήκους Δλ σε πρώτα λεπτά της μοίρας (Σχ. 13γ). Το αυξομερές πλάτος φ ξ (meridional parts m) ενός παραλλήλου πλάτους είναι το - επί του ναυτικού μερκατορικού χάρτη - μήκος του τόξου του μεσημβρινού μεταξύ του ισημερινού και του παραλλήλου μετρούμενο σε μονάδες πρώτου λεπτού του ισημερινού. Στους υπολογισμούς της παραδοσιακής ναυτιλίας οι τιμές της διαφοράς αυξομερών πλατών δεν υπολογίζονται, αλλά λαμβάνονται από διάφορους ναυτιλιακούς πίνακες, όπως οι πίνακες Norie s [1] και οι πίνακες Bowditch [4]. Οι μέθοδοι επίλυσης των προβλημάτων λοξοδρομικού πλου της παραδοσιακής ναυτιλίας είναι δυνατό να δώσουν αποτελέσματα υπολογισμών πολύ μεγάλης ακρίβειας, ανάλογα με τη μέθοδο προσδιορισμού των τιμών των κάθετων πλευρών ΔΧ και ΔΥ του τριγώνου του λοξοδρομικού πλου (Σχ. 13α). Εν τούτοις, προκειμένου να επιτευχθεί απλοποίηση των εκτελούμενων υπολογισμών, η επίλυση των προβλημάτων του λοξοδρομικού πλου στηρίζεται στον προσδιορισμό του μήκους των κάθετων πλευρών ΔΧ και ΔΥ του επίπεδου τριγώνου του λοξοδρομικού πλου (Σχ. 13) με παραδοχές που μειώνουν την ακρίβεια των υπολογισμών. Οι κυριότερες από τις παραδοχές της κλασικής ναυτιλίας, που υποβαθμίζουν την ακρίβεια των υπολογισμών του λοξοδρομικού προβλήματος, είναι: Η παραδοχή ότι το γραμμικό μήκος τόξου ενός πρώτου λεπτού στο μεσημβρινό είναι ένα ναυτικό μίλι (1.85 μέτρα), ανεξάρτητα αν οι υπολογισμοί αυτοί πραγματοποιούνται στην επιφάνεια της σφαίρας, ή του σφαιρoειδούς. Το γραμμικό μήκος ενός πρώτου λεπτού της μοίρας στη μεσημβρινή έλλειψη δεν ισούται με 1.85 μέτρα, αλλά μεταβάλλεται με το γεωγραφικό πλάτος και επίσης εξαρτάται από το γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς (WGS- 84, ED-50 κλπ.). Χρήση μικτής προσέγγισης της μορφής της επιφάνειας της γης σύμφωνα με την οποία, η γη θεωρείται εν μέρει σφαίρα και εν μέρει ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Πιο συγκεκριμένα, η μεν πλευρά ΔΥ του τριγώνου του λοξοδρομικού πλου (Σχ. 13β), προσδιορίζεται ως 4

17 διαφορά αυξομερών πλατών Δφ ξ του σφαιροειδούς, ενώ η πλευρά ΔΧ (αποχώρηση - departure), για λόγους περαιτέρω απλοποίησης των υπολογισμών προσδιορίζεται στη σφαίρα με την παραδοχή ότι προσεγγίζεται ικανοποιητικά με το μήκος σε ναυτικά μίλια του τόξου του παραλλήλου μέσου πλάτους που ορίζεται από τους μεσημβρινούς των σημείων Α και Β. Για την ακριβέστερη επίλυση των προβλημάτων λοξοδρομικού πλου οι τιμές των δύο κάθετων πλευρών Δy και Δx του ορθογώνιου τριγώνου του λοξοδρομικού πλου πρέπει να προσδιορίζονται από τους τύπους που προκύπτουν από τη μαθηματική ανάλυση του προβλήματος του λοξοδρομικού πλου στο σφαιροειδές, χωρίς τις παραδοχές της παραδοσιακής ναυτιλίας που υποβαθμίζουν την ακρίβεια των υπολογισμών. Ο καθορισμός των κατάλληλων τιμών των δύο κάθετων πλευρών ΔX και ΔY του ορθογώνιου τριγώνου του λοξοδρομικού πλου (Σχ. 13α), για τη συνεχή βελτίωση των μεθόδων επίλυσης των προβλημάτων του λοξοδρομικού έχει αποτελέσει θέμα συνεχούς μελέτης και έρευνας τουλάχιστον κατά τα τελευταία πενήντα και πλέον έτη ανάλογα με τα διατιθέμενα ανά χρονική περίοδο υπολογιστικά εργαλεία [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [8] και [0]. ΙV. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΛΟΞΟΔΡΟΜΙΚΟΥ ΠΛΟΥ ΣΤΟ ΣΦΑΙΡΟΕΙΔΕΣ Α. Κυριότερες μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων λοξοδρομικού πλου στο σφαιροειδές Οι σημαντικότερες μέθοδοι επίλυσης των προβλημάτων του λοξοδρομικού πλου στο ελλειψοειδές, που είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν άμεσα για την ανάπτυξη ναυτιλιακού λογισμικού, ανεξάρτητα αν η επίλυση εκτελείται σε κάποια παραμετροποιημένη επιφάνεια, ή απευθείας στην επιφάνεια του σφαιροειδούς, είναι: η μέθοδος του Bowring [17], η μέθοδος του Snyder [19] η μέθοδος του Bennet [8] και η προτεινόμενη μέθοδος, η οποία δημιουργήθηκε από τη βελτίωση, τη συμπλήρωση και τη σύνθεση των παραπάνω μεθόδων επίλυσης στο σφαιροειδές. Β. Προτεινόμενη μέθοδος επίλυσης προβλημάτων λοξοδρομικού πλου στο σφαιροειδές 1. Αντίστροφο λοξοδρομικό πρόβλημα Η μέθοδος στηρίζεται στην ανάλυση της γεωμετρίας της λοξοδρομίας στο σφαιροειδές (Σχ.14) από την οποία προκύπτουν οι σχέσεις (1) και () για τον υπολογισμό της πορείας ζ και της απόστασης D λ του λοξοδρομικού πλου [1]. Η () μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί στην επίλυση του επίπεδου ορθογώνιου τριγώνου του λοξοδρομικού πλου της παραδοσιακής ναυτιλίας του σχήματος 13α, στο οποίο η κάθετη πλευρά ΔΧ είναι ίση με το μήκος του τόξου του μεσημβρινού, το οποίο περιέχεται μεταξύ των παραλλήλων πλάτους των σημείων αναχώρησης και προορισμού (Σ 1 και Σ ). Δλ tanζ = e φ (1) π φ 1 esinφ ln tan esinφ + φ1 D λ = Μ secζ () 1 Όπου: Μ είναι το μήκος του τόξου του μεσημβρινού, το οποίο περιέχεται μεταξύ των παραλλήλων πλάτους των σημείων αναχώρησης και προορισμού (Σ 1 και Σ 1 ). 43

18 dλ dφ ds = dφ = tanζ ( 1 e ) 1/ ( 1 e sin φ) cosφ a(1 e ) ( 1 e sin φ) 3 secζ ΣΧΗΜΑ 14: Γεωμετρία λοξοδρομίας στο σφαιροειδές [1] Η ακριβέστερη και ταχύτερη μέθοδος υπολογισμού του μήκος Μ 1 του τόξου του μεσημβρινού παρέχεται από την σειρά της (3). Το μήκος του τόξου του μεσημβρινού Μ 1, το οποίο περιέχεται μεταξύ των παραλλήλων πλάτους των σημείων αναχώρησης και προορισμού (Σ 1 και Σ ) προσδιορίζεται από την (4), στην οποία οι τιμές Μ 1 και Μ υπολογίζονται από την (3). Σύμφωνα με τα αποτελέσματα αναλυτικής αξιολόγησης [] με τη χρήση της (3) με όρους μέχρι τάξης Μ επιτυγχάνεται ακρίβεια της τάξης των 16 μέτρων, η οποία υπερκαλύπτει τις ανάγκες της ναυσιπλοΐας. = a (1 e ) M φ M sinφ + M sin4φ M sin6φ + M sin8φ +... (3) ( ) M M = 1+ e + e + e + e M = e + e + e M M e = e + e + e = e + e M8 = e Μ =Μ 1 -Μ 1 (4) Όπου: Οι τιμές Μ 1 και Μ υπολογίζονται με την (3) για τα γεωγραφικά πλάτη φ 1 και φ. 44

19 Εκτός από τις (3) και (4) για τον υπολογισμό του μήκους του τόξου του μεσημβρινού στο ελλειψοειδές WGS-84, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και οι (5) και (6), στις οποίες οι τιμές των φ 1 και φ είναι σε μοίρες και η τιμή M σε μέτρα και ναυτικά μίλια αντίστοιχα. 1 M1 M1 φπ φ1π = 11113,9551Δϕ ,50861 sin sin φ π φ1π = sin sin Στην ειδική περίπτωση πλου επάνω, ή κοντά σε έναν μεσημβρινό (λ 1 λ λ), δεν εκτελείται επίλυση του επίπεδου τριγώνου του λοξοδρομικού πλου, αλλά: Η πορεία ζ του λοξοδρομικού πλου είναι ίση με 000 ή 180, ανάλογα αν το πλοίο κατευθύνεται βόρεια ή νότια. Η απόσταση D λ του λοξοδρομικού πλου υπολογίζεται από οποιαδήποτε από τις σχέσεις (4) (5) και (6), που δίνουν το μήκος του τόξου του μεσημβρινού στο σφαιροειδές. Στην ειδική περίπτωση πλου επάνω, ή κοντά σε έναν παράλληλο πλάτους (φ 1 φ φ), δεν εκτελείται επίλυση του επίπεδου τριγώνου του λοξοδρομικού πλου, αλλά: Η πορεία ζ του λοξοδρομικού πλου είναι ίση με 090 ή 70, ανάλογα αν το πλοίο κατευθύνεται ανατολικά ή δυτικά. Ο υπολογισμός της απόστασης D λ του λοξοδρομικού πλου πραγματοποιείται με την (7). a Δλ cosφ D = λ 1 e sin φ (7). Ευθύ λοξοδρομικό πρόβλημα Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων φ και λ του σημείου προορισμού χρησιμοποιούνται οι (8) και (9). φ = φ1 + Δφ (8) λ = λ + Δλ (9) Για τον υπολογισμό του φ στη (8) η διαφορά γεωγραφικού πλάτους Δφ προσδιορίζεται από τη (3), που δίνει το μήκος του τόξου του μεσημβρινού με διαδοχικές προσεγγίσεις ως εξής: Βήμα 1 ο : Υπολογίζεται το μήκος Μ 1 του τόξου του μεσημβρινού, από τον ισημερινό μέχρι τον παράλληλο πλάτους φ 1 με την (3). Βήμα ο : Υπολογίζεται το μήκος Μ του τόξου του μεσημβρινού μεταξύ των παραλλήλων πλάτους φ 1 και φ με τη (10). 1 Βήμα 3 ο : Υπολογίζεται το μήκος Μ του τόξου του μεσημβρινού, από τον ισημερινό μέχρι τον παράλληλο πλάτους φ με την (11). Βήμα 4 ο : Υπολογίζεται η τιμή του τόξου Μ, από τον ισημερινό μέχρι τον παράλληλο πλάτους φ, αυτή τη φορά με την (3) και με μία πρώτη προσέγγιση της τιμής φ σε μοίρες ίση με Μ /60. Βήμα 5 ο : Υπολογίζεται η δεύτερη (ακριβέστερη) προσέγγιση της τιμής του φ ίση με Μ /60, αλλά αυτήν τη φορά με την τιμή του Μ που υπολογίστηκε στο 4 ο βήμα. Βήμα 6 ο : Επαναλαμβάνεται το 5 ο βήμα για τον υπολογισμό της τρίτης ακριβέστερης προσέγγισης της τιμής του φ. Συνήθως δύο έως τρεις προσεγγίσεις είναι αρκετές για τον ακριβή προσδιορισμό του φ. M = 1 D λcosζ (10) () M = M (1) + M (11) 1 (5) (6) 45

20 Για τον υπολογισμό του λ στην (8), η διαφορά γεωγραφικού μήκους Δλ προσδιορίζεται από τη () (1) (1), στην οποία το μήκος του τόξου του μεσημβρινού M = M - M προσδιορίζεται από τη (4) 1 (1) () με τιμές των M και M που υπολογίζονται από την (3). Δλ = M tan ζ (1) 1 Εκτός από την παραπάνω μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων, υπάρχει η δυνατότητα εναλλακτικού υπολογισμού του γεωγραφικού πλάτους φ του σημείου προορισμού (ευθύ πρόβλημα) χωρίς τη χρήση της μεθόδου των διαδοχικών προσεγγίσεων 5, αλλά με τη (13) του αντίστροφου μετασχηματισμού του μήκους του τόξου του μεσημβρινού Μ από τον ισημερινό μέχρι ένα σημείο γεωγραφικού πλάτους φ [8]. Με τη μέθοδο αυτή το γεωγραφικό πλάτος φ του σημείου προορισμού προσδιορίζεται από τη (13) με τιμή του μήκους του τόξου μεσημβρινού Μ, η οποία προσδιορίζεται από τη (14). Στη (14) η παράμετρος Μ 1 προσδιορίζεται από την (3). 185 M A 7 A 4 11A 6 (13) φ = + sin T + sin 4T + sin 6T + a A A 5 A 5 A o o Όπου: Τ είναι ο πρώτος όρος του αθροίσματος o o 185 M a A o Μ =Μ 1 +D λ cosζ (14) V. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΟΡΘΟΔΡΟΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΥ ΠΛΟΥ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΤΗΣ ΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α. Πρόβλημα ορθοδρομικού πλου Στην παραδοσιακή ναυτιλία η επίλυση των προβλημάτων του ορθοδρομικού πλου υλοποιείται με την επίλυση σφαιρικών τριγώνων σε σφαίρα μοναδιαίας ακτίνας και την παραδοχή ότι ένα πρώτο λεπτό της μοίρας οποιουδήποτε μέγιστου κύκλου αντιστοιχεί σε ένα ναυτικό μίλι. Τα σταδια επίλυσης του προβλήματος του ορθοδρομικού πλου και οι σχέσεις για την τυποποίηση των υπολογισμών είναι τα εξής: Στάδιο Ι (υπολογισμός της απόστασης και της αρχικής πορείας του ορθοδρομικού πλου) Στο στάδιο αυτό εκτελείται επίλυση του σφαιρικού τριγώνου ΑΠΒ του ορθοδρομικού πλου με κορυφές το σημείο αναχωρήσεως Α, το σημείο προορισμού Β και τον πλησιέστερο στο σημείο αναχωρήσεως πόλο Π (Σχ. 15) για τον υπολογισμό της απόστασης και της αρχικής πορείας ορθοδρομικού πλου. Η απόσταση D o του ορθοδρομικού πλου σε ναυτικά μίλια προκύπτει από την υπολογιζόμενη τιμή της πλευράς ΑΒ του σφαιρικού τριγώνου ΑΠΒ σε πρώτα λεπτά της μοίρας και δίνεται από τη (15). D o =arccos[(sinφ Α sinφ Β +cosφ Α cosφ Β cosδλ)] (15) Η αρχική πορεία ζ Α του ορθοδρομικού πλου στο σημείο αναχώρησης Α προκύπτει από την υπολογιζόμενη τιμή της γωνίας στη κορυφή Α του σφαιρικού τριγώνου ΑΠΒ σε μοίρες και δίνεται από τη (16). ζ Α = arctan (cosφ Α sin Δλ tan φ ) (sin φ Β Α cos Δλ) (16) 46

21 E, E3 E( 1 φ1 λ 1) K α. Επίλυση του σφαιρικού τριγώνου ΑΠΒ για τον υπολογισμό της απόστασης του ορθοδρομικού πλου (τόξο ΑΒ). β. Επίλυση του ορθογωνίου σφαιρικού τριγώνου ΑΠΚ για τον υπολογισμό της θέσης κορυφαίου σημείου Κ. γ. Διαδοχική επίλυση των ορθογώνιων σφαιρικών τριγώνων ΠΚΕ1, ΠΚΕ, ΠΚΕ3,.. για τον υπολογισμό της θέσης των ενδιάμεσων σημείων Ε1, Ε, Ε3,... ΣΧΗΜΑ 15: Επίλυση προβλήματος ορθοδρομικού πλου με σφαιρική τριγωνομετρία Στάδιο ΙΙ (υπολογισμός της θέσεως του κορυφαίου σημείου) Στο στάδιο αυτό εκτελείται επίλυση του ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου ΑΠΚ (Σχ. 15) με κορυφές το σημείο αναχώρησης Α, το κορυφαίο σημείο Κ του ορθοδρομικού τόξου και τον πλησιέστερο πόλο Π, για τον υπολογισμό της θέσης του κορυφαίου σημείου Κ. Το γεωγραφικό μήκος λ Κ του κορυφαίου σημείου Κ προκύπτει από την υπολογιζόμενη τιμή της γωνίας ΑΠΚ, η οποία ισούται με τη διαφορά γεωγραφικού μήκους Δλ Κ του κορυφαίου σημείου Κ από το σημείο αναχώρησης Α (Δλ Κ = λ Κ - λ Α ) και δίνεται από τη (17). cosζ Α = (17) Δλ Κ arcsin sin φκ λ Κ = Δλ Κ - λ Α (Δλ Κ =ΑΠΚ) Το γεωγραφικό πλάτος φ Κ του κορυφαίου σημείου Κ του μέγιστου κύκλου προκύπτει από την υπολογιζόμενη τιμή της πλευράς ΠΚ του ορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου ΑΠΚ, η οποία ισούται με το σύμπλατος του σημείου Κ (90º - φ κ ) και δίνεται από τη (18). φ K = arccos(cosφ Α sinζ λ ) (18) Στάδιο ΙΙΙ (υπολογισμός θέσης ενδιάμεσων σημείων και προσέγγιση ορθοδρομικού πλου με διαδοχικές λοξοδρομικές πλεύσεις) Στο στάδιο αυτό εκτελείται επίλυση των ορθογώνιων σφαιρικών τριγώνων ΠΚΕ 1, ΠΚΕ,... για τον υπολογισμό της θέσης των ενδιάμεσων σημείων (Ε 1, Ε, Ε 3,...) του ορθοδρομικού τόξου, τα οποία αντιστοιχούν σε προκαθορισμένη διαφορά μήκους Δλ ι (i = 1,, 3, ) από το κορυφαίο σημείο Κ. Το γεωγραφικό πλάτος φ i των ενδιάμεσων σημείων Ε i (i = 1,, 3, ), τα οποία προσδιορίζονται στα σημεία τομής του ορθοδρομικού τόξου με προεπιλεγμένους μεσημβρινούς και συνεπώς αντιστοιχούν σε προκαθορισμένη διαφορά μήκους Δλ ι εκατέρωθεν του κορυφαίου σημείου Κ, δίνεται από τη (19). φ i = arctan(cosδλ i tanφ i ) (19) 47

22 Το γεωγραφικό μήκος λ i των ενδιάμεσων σημείων Ε i (i = 1,, 3, ) προκύπτει από την προκαθορισμένη τιμή της διαφοράς γεωγραφικού μήκους Δλ i (γωνία ΚΠΕ i, σχήματος 15) και δίνεται από την (0). λ i = λ Κ Δλ i (0) Τα ενδιάμεσα σημεία (Ε 1, Ε, Ε 3,...) του ορθοδρομικού τόξου ΑΒ (Σχ. 15) χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της συνεχώς μεταβαλλόμενης πορείας του ορθοδρομικού πλου (γωνίας των μεσημβρινών και του ορθοδρομικού τόξου). Ο προσδιορισμός της συνεχώς μεταβαλλόμενης πορείας γίνεται με την προσέγγιση του ορθοδρομικού πλου με μια σειρά διαδοχικών λοξοδρομικών πλεύσεων (πλεύσεις με σταθερή πορεία) για τα τμήματα πλου, τα οποία ορίζονται από το σημείο αναχώρησης Α προς το σημείο Ε 1, από το Ε 1 προς το Ε κλπ. Με τον τρόπο αυτό, μετά τον υπολογισμό των συντεταγμένων των ενδιάμεσων σημείων Ε 1, Ε, Ε 3, η επίλυση του προβλήματος του ορθοδρομικού πλου ανάγεται στην επίλυση των διαδοχικών λοξοδρομικών προβλημάτων για τα τμήματα του πλου, τα οποία ορίζονται από το σημείο αναχώρησης Α προς το σημείο Ε 1, από το Ε 1 προς το Ε κλπ. (Σχ. 16). Με την επίλυση αυτή υπολογίζονται: oι διαφορετικές πορείες, που πρέπει να ληφθούν στα ενδιάμεσα σημεία Ε 1, Ε, Ε 3, κλπ. και η συνολική απόσταση του πλου (άθροισμα αποστάσεων των διαδοχικών λοξοδρομικών πλεύσεων). Η απόσταση αυτή προσεγγίζει καλύτερα το μήκος του ορθοδρομικού τόξου ΑΒ, όταν λαμβάνεται μεγαλύτερος αριθμός ενδιάμεσων σημείων. (απεικόνιση στην επίπεδη επιφάνεια πλοήγησης του ναυτικού μερκατορικού χάρτη) ΣΧΗΜΑ 16: Προσέγγιση ορθοδρομικού πλου με διαδοχικές λοξοδρομικές πλεύσεις Β. Πρόβλημα σύνθετου πλου Η αριθμητική επίλυση των προβλημάτων του σύνθετου πλου στην παραδοσιακή ναυτιλία βασίζεται στην επίλυση σφαιρικών τριγώνων με μεθόδους ανάλογες αυτών που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των προβλημάτων του ορθοδρομικού πλου ( V/A). Ως παράδειγμα αναφέρεται η αριθμητική επίλυση του μικτού πλου του σχήματος 4. Στο παράδειγμα αυτό επιλύονται τα ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα ΑΣ 1 Π και ΒΣ Π (Σχ.17) για τον υπολογισμό: Των αποστάσεων θ 1 και θ 3 των δύο σκελών του μικτού πλου που αντιστοιχούν στα ορθοδρομικά τόξα ΑΣ 1 και ΒΣ από την (1). Των διαφορών γεωγραφικού μήκους Δλ 1 και Δλ και των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων Σ 1 και Σ από τα σημεία Α και Β αντίστοιχα (Σχ. 4 και Σχ. 17). Οι τιμές των Δλ 1 και Δλ υπολογίζονται από τις () και (3). Η απόσταση θ του σκέλους του μικτού πλου που αντιστοιχεί στον πλου επί του παραλλήλου ασφαλείας φ σ, ισούται με το μήκος του τόξου Σ 1 Σ, το οποίο υπολογίζεται από την (4). 48

23 θ i = sinφ i cosφ σ (i=1,) (1) Δλ 1 = sinθ 1 cosφ σ () Δλ = sinθ 3 cosφ σ (3) θ =Δλcosφ σ (4) ΣΧΗΜΑ 17: Αριθμητική επίλυση σύνθετου πλου Η συνολική απόσταση D του μικτού πλου είναι ίση με: D=θ 1 +θ +θ 3 (5) Τα στοιχεία του ορθοδρομικού πλου στα τόξα ΑΣ 1 και ΒΣ υπολογίζονται με τη μέθοδο που παρουσιάστηκε στην ενότητα ( V/A). VI. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΟΡΘΟΔΡΟΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΥ ΠΛΟΥ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΤΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Εκτός από τις μεθόδους της σφαιρικής τριγωνομετρίας, για την ανάπτυξη ναυτιλιακού λογισμικού επίλυσης των προβλημάτων πλου ελάχιστης απόστασης στη σφαίρα, χρησιμοποιούνται μέθοδοι της αναλυτικής γεωμετρίας και της διανυσματικής ανάλυσης. Στις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας και διανυσματικής ανάλυσης γίνεται χρήση των καρτεσιανών συντεταγμένων (x, y, z) ενός επίγειου γεωκεντρικού συστήματος αναφοράς, το οποίο παρουσιάζει αρκετά πλεονεκτήματα για την ανάπτυξη λογισμικού επίλυσης προβλημάτων εντοπισμού θέσης τόσο στη γεωδαισία όσο και στη ναυσιπλοΐα. Σε ένα επίγειο γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς (Σχ. 18) η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο κέντρο της γης, ο άξονας Ζ έχει διεύθυνση προς το βόρειο πόλο, ο άξονας Χ διέρχεται από το σημείο τομής του ισημερινού με τον πρώτο μεσημβρινό και ο άξονας Υ συμπληρώνει το δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστημα. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y, z) ενός σημείου P στην επιφάνεια της σφαίρας ή του σφαιροειδούς αποτελούν τις συνιστώσες του διανύσματος θέσης V του σημείου αυτού. Για την περίπτωση του χρησιμοποιούμενου στην παραδοσιακή ναυτιλία σφαιρικού μοντέλου της γης με ακτίνα R ίση με τη μονάδα, οι καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y, z) ενός σημείου P στην επιφάνεια της σφαίρας και οι αντίστοιχες γεωγραφικές συντεταγμένες (φ, λ) συνδέονται με τους τύπους (6 ) έως (30). x = cosφ.cosλ (6) y = cosφ.sinλ (7) z = sin φ (8) φ = sin -1 z (9) 49

24 tan λ = tan tan y, x f 0, y f 0 x y + π, x p 0 x y, x f 0, y p 0 x (30) ΣΧΗΜΑ 18: Μετασχηματισμός σφαιρικών γεωγραφικών συντεταγμένων (φ, λ) σε καρτεσιανές (x, y, z) Για την επίλυση του προβλήματος του ορθοδρομικού πλου με τη χρήση των καρτεσιανών συντεταγμένων (x, y, z) γίνεται ανάλυση της γεωμετρίας των διανυσμάτων θέσης διάφορων σημείων του ορθοδρομικού τόξου (Σχ. 19), όπως: το διάνυσμα θέσης V A του σημείου αναχώρησης Α., το διάνυσμα θέσης V B του σημείου προορισμού Β και τα διανύσματα θέσης V 1, V, V 3, των ενδιάμεσων σημείων Ε 1, Ε, Ε 3,... Υπολογισμός της απόστασης του ορθοδρομικού πλου Η απόσταση Do του ορθοδρομικού πλου υπολογίζεται από την τιμή του ορθοδρομικού τόξου ΑΒ που προκύπτει από τον υπολογισμό του εσωτερικού γινομένου των διανυσμάτων θέσης των σημείων αναχώρησης και προορισμού V A και V B. Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων V A και V B δίνεται από την (31). V A V = V V cosd (31) B A Επειδή τα σημεία Α και Β βρίσκονται στην επιφάνεια σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας, οι τιμές VA και VB είναι ίσες με τη μονάδα και από την (31) προκύπτει: D o ( V V ) A B B o = arcos (3) Επειδή V A VB = x1x + y1y + z1z [3], από την (3) προκύπτει: o ( x x + y y z z ) D = ar cos + (33)

Βελτιωµένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεµελιωδών Προβληµάτων Ναυσιπλοΐας

Βελτιωµένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεµελιωδών Προβληµάτων Ναυσιπλοΐας PaperID: NCH-00-A3, Nausivios Chora 00, Copyright 006-00: Hellenic Naval Academy Βελτιωµένες Μέθοδοι Επίλυσης Θεµελιωδών Προβληµάτων Ναυσιπλοΐας Αθανάσιος Ηλ. Παλληκάρης Σχολή Ναυτικών οκίµων. Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν.

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ. Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΝΑΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Δρ. ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Η. ΠΑΛΛΗΚΑΡΗΣ Αν. καθηγητής ΣΝΔ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2011 Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ναυτικών Δοκίμων

Σχολή Ναυτικών Δοκίμων Σχολή Ναυτικών Δοκίμων ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Καθηγητής Α. Παλληκάρης Θεματική Ενότητα: Βασικές αρχές γεωδαισίας. Σχήμα και μέγεθος της Γης, Γεωδαιτικά Συστήματα Αναφοράς (Datums), Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 4Π /2008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητα: ΠΕ 18.23 ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ) ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Γνωστικό αντικείμενο:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ B ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητα: ΠΕ 1861 ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ) ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό εισάγονται οι βασικές έννοιες που διέπουν τις χαρτογραφικές προβολές. Αρχικά ορίζονται οι επιφάνειες που προσομοιώνουν την επιφάνεια της Γης για τις ανάγκες της Χαρτογραφίας.

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 3

Σημειώσεις Μαθηματικών 3 Σημειώσεις Μαθηματικών 3 Εφαρμογές Στη Ναυτιλία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 2 Εφαρμογές στη Ναυτιλία 2.1 Τρίγωνο Ορθοδρομίας Μια πρώτη και σημαντική εφαρμογή της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας στη Ναυτιλία

Διαβάστε περισσότερα

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Χαρτογραφία Ι 1 ΤΡΟΠΟΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ: ΥΔΡΟΓΕΙΟΣ Πλεονεκτήματα: Διατήρηση σχετικών αποστάσεων, γωνιών, εμβαδών, αζιμουθίων, μέγιστων κύκλων, λοξοδρομιών Μειονεκτήματα: Είναι δαπανηρές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΛΟΗΓΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΑΛΑΣΣΙΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 69 8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 8.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό πλάτος ενός τόπου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου του τόπου και του επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού. Ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 8: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια)

Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΜΕ801 Χαρτογραφία 1 Μάθηµα επιλογής χειµερινού εξαµήνου Πάτρα, 2016 Συνέχεια της ζήτησης για την έννοια του χάρτη Βασικά συστατικά των χαρτών (συνέχεια) Βασίλης Παππάς, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ

Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪΔΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝΩ Α.Π.Θ Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

β. Το τρίγωνο που σχηματίζεται στην επιφάνεια της σφαίρας, του οποίου οι πλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων, ονομάζεται σφαιρικό τρίγωνο.

β. Το τρίγωνο που σχηματίζεται στην επιφάνεια της σφαίρας, του οποίου οι πλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων, ονομάζεται σφαιρικό τρίγωνο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Α ) & ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΘΕΜΑ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗ 16/04/2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ II ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 4: Μοντέλα Ανάλυσης και Εξισώσεις Παρατηρήσεων Δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης

Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο καθορισμός του μηχανισμού γένεσης ενός σεισμού με βάση τις πρώτες αποκλίσεις των επιμήκων κυμάτων όπως αυτές καταγράφονται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ. Διδακτικές σημειώσεις. Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ, MSc Γεωπληροφορική ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ Διδακτικές σημειώσεις Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ MSc Γεωπληροφορική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τοπολογικές απεικονίσεις Αζιμουθιακή ισόχρονη απεικόνιση

Κεφάλαιο Τοπολογικές απεικονίσεις Αζιμουθιακή ισόχρονη απεικόνιση Κεφάλαιο 9 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, περιγράφονται αναλυτικές χαρτογραφικές μέθοδοι μετασχηματισμού του χώρου, μετατρέποντας τη γεωμετρία του χάρτη με τρόπο που να απεικονίζεται το ίδιο το χωρικό φαινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 63 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου.

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου. Ενότητα Χάρτες Φύλλο Εργασίας Μελέτη χαρτών Τάξη Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο.Τμήμα..Ημερομηνία. Σκοποί του φύλλου εργασίας Η εξοικείωση 1. Με την χρήση των χαρτών 2. Με την χρήση της πυξίδας 3. Με την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις.

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις. ΔΙΚΤΥΑ SCHMIDT Στερεογραφική προβολή Η στερεογραφική προβολή είναι μια μέθοδος που προσφέρει το πλεονέκτημα της ταχύτατης λύσης προβλημάτων που λύνονται πολύπλοκα με άλλες μεθόδους. Με την στερεογραφική

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή 6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μονάδες, Φυσικές Ποσότητες και Κυματοδιανύσματα

Κεφάλαιο 1. Μονάδες, Φυσικές Ποσότητες και Κυματοδιανύσματα Κεφάλαιο 1 Μονάδες, Φυσικές Ποσότητες και Κυματοδιανύσματα Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Τρεις βασικές ποσότητες στη φυσική: μέτρα, χιλιόγραμμα και δευτερόλεπτα Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία στις μετρήσεις Βαθμωτές

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γεωδαιτικό σύστημα Χάρτης Πυξίδα Χάραξη

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ του μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών «Γεωγραφία & Περιβάλλον» Καθ. Βαϊόπουλος Δημήτριος Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 6. 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 6 6 Χαρτογραφικές προβολές-προβολικά συστήματα συντεταγμένων Για να παράξουμε ένα χάρτη πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μία χαρτογραφική προβολή. Ως χαρτογραφική προβολή ονομάζουμε οποιοδήποτε μετασχηματισμό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 6 Ο ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ: Είναι η επιστήμη που ασχολείται με την απεικόνιση μιας γεωγραφικής ενότητας σε ένα χαρτί

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Συντεταγμένων

Συστήματα Συντεταγμένων Σφαιρικό Σύστημα Συντεταγμένων DD = Degrees + ( Minutes / 60 ) + ( Seconds / 3600 ) Greenwich meridian =0 Z N Meridian of longitude Parallel of latitude P X W O Equator =0 R E - Geographic longitude -

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα