1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

Transcript

1 . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny A : A = {, 3,, } 5,... Hromadné body a : a = 0 Znázornenie množiny : { A =,, 3,,..., 3, 3, 3 3, } 3,... a = { A =,, 3,,..., 3, 3, 3 3, } 3,... a = 0, a = Hromadné body niektorých významných množín A: A = N = {,,3,...} = hromadný bod je A = Z = {..., 3,,,0,,,3,...} = hromadné body sú, A = a,b), pre a,b R = hromadné body sú všetky čísla intervalu a,b A = a,b, pre a,b R = hromadné body sú všetky čísla intervalu a,b A = Q = hromadné body sú všetky reálne čísla R a ešte aj, A = R = hromadné body sú všetky reálne čísla R a ešte aj, Limita postupnosti limes = hranica

2 Definícia.: Limita postupnosti {a n } n= - ozn. lim a n = a alebo a n a): ε > 0 n 0 N n > n 0 : a n a < ε Konvergentná postupnost : ak postupnost má konečnú limitu a R Divergentná postupnost : ak nie je konvergentná, t.j. neeistuje limita alebo to nie je konečné číslo Vlastná limita postupnosti: ak limita postupnosti je reálne číslo, t.j. ak postupnost je konvergentná Nevlastná limita postupnosti: ak limita postupnosti je alebo 3 lim n = 0 Vlastnosti limity postupnosti: VLP: Každá konvergentná postupnost má iba jednu limitu VLP: Ak je postupnost konvergentná, tak je ohraničená!!!opačne to nemusí platit!!!) VLP3: Každá zhora ohraničená, rastúca neklesajúca) postupnost je konvergentná a konverguje k jej supremum VLP: Každá zdola ohraničená, klesajúca nerastúca) postupnost je konvergentná a konverguje k jej infimum

3 3 VLP5: Nech {a n } n= a {b n} n= sú konvergentné postupnosti, pričom lim a n = a a lim b n = b, potom lim a n = lim a n = a ; lim a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = a ± b; a lim a n n lim = b n lim b = a n b za predpokladu, že b n 0 a b 0 lim k a n ) = lim k a n ) = k a pre k R lim a n b n ) = lim a n lim b n = a b VLP6: Nech lim a n = lim c n = a a pre skoro všetky n tj. začínajúc od nejakého n 0 ) platí, že a n b n c n. Potom lim b n = a VLP7: Nech lim a n = 0 a postupnost {b n } n= je ohraničená, potom lim a nb n ) = sinn lim = 0, lebo n z vlastnosti VLP6: lim n = lim n = 0 a n sinn n n z vlastnosti VLP7: lim n = 0 a postupnost {sinn} n= je ohraničená

4 Významné limity: lim c = c pre c R lim qn = pre q > lim qn neeistuje pre q Počítanie s a : lim n k = pre k > 0 lim q n = pre q = lim + n = e n) lim n k = 0 pre k > 0 lim q n = 0 pre q,) Sčítanie: + = = c + = pre c R Násobenie: ± ± ) = ± ) = c = pre c > 0 c = pre c R c = pre c < 0 Umocnenie: c = pre c > 0!!!Neurčité limity!!! c = c = 0 pre c > 0 =? 0 =? c = pre c > 0 0 =? =? c = 0 pre c,) Cvičenia.. Vypočítajte limity postupnosti: a) lim n 5n + 6) b) lim n + n c) lim n + n [ d) lim e) lim + n) ) ) ] n n 3 f) lim n 3n + n 3n 3 + n g) lim n + n + 3 n n ) j) lim n + n n + n h) lim n + n k) lim n + n n ) i) lim n + n n + 3 l) lim n + ) n n ) n m) lim 3 n + n + ) n n n 3 n) lim o) lim n + n ) n ) n n p) lim q) lim n ) n n + ) 3n 5n 3 r) lim 3n n s) lim.3 n + 3 t) lim ) n + 3 n ) n+ + 3 n+ u) lim n + n

5 sinn v) lim n w) lim n 3 0sinn) ) 9n 3 n z) lim + cosn ) n 5 Limita funkcie Definícia.3: Funckia má v bode a limitu b - ozn. lim a f ) = b): ak a je hromadným bodom množiny D f ) a ak pre každú postupnost { n } n= D f ) \ {a} takú, že n a, platí lim f n) = b Limita zprava - ozn. lim a+ f )): ak v definície limity funkcie platí, že n > a Limita zl ava - ozn. lim a f )): ak v definície limity funkcie platí, že n < a Vlastná limita vo vlastnom bode : a R a aj b R Nevlastná limita vo vlastnom bode : a R a b {, } Vlastná limita v nevlastnom bode : a {, } a b R Nevlastná limita v nevlastnom bode : a {, } a b {, }!!!Limita lim f ) eistuje práve vtedy, ak eistujú lim f ) a lim f ) a rovnajú sa!!! a a+ a Významné limity: sin ln + ) lim = lim = lim = pre nepárne k N + k lim + ) = e lim = pre párne k N k lim = pre nepárne k N k e lim = lim neeistuje pre nepárne k N k Cvičenia.. Vypočítajte limity funkcie:

6 ) a) lim 3 + ) b) lim 3 + ) c) lim ) + d) lim + e) lim 3 ) 3 f) lim + 3) + ) 3 tg g) lim 3 h) lim sin sin3 i) lim sin + sin3 cos cos cos 3 tg sin j) lim k) lim l) lim 3 m) lim + 3) n) lim + 5log) log o) lim + sin) 5 p) lim ln + ) ln) q) lim ln + 6) r) lim ) s) lim log t) lim e u) lim ln + ) 3 v) lim 3 tg sin w) lim ctg z) lim 3.3. Pomocou vzorca A B) A + B) = A B vypočítajte limity: a) lim n + n ) d) lim b) lim n + )n + 3) n ) ) e) lim + c) lim f) lim g) lim ) h) lim i) lim + sin5.. Vypočítajte jednostranné limity funkcie f v bode a: a) f ) = cos, a = b) f ) =, a = 0 c) f ) = e) f ) = 5 ) 3, a = d) f ) = /, a = 0 { + pre < 0 3 pre 0,) pre, a =, a = 0, a =

7 Spojitost funkcie Definícia.: 7 Funckia je spojitá v bode a D f ): ak pre každú postupnost { n } n= D f ) takú, že n a, platí lim f n ) = f a) Funkcia je spojitá na množine M: ak je spojitá v každom bode a M Bod nespojitosti funkcie : bod, v ktorom funkcia nie je spojitá Bod a D f ) môže byt hromadným alebo izolovaným bodom množiny D f ) t.j. eistuje také jeho okolie, v ktorom neleží žiadny iný bod D f )) : funkcia f je vždy spojitá v izolovanom bode, ak a je hromadným bodom množiny D f ), tak lim a f ) = f a) Typ bodov nespojitosti: Typ nespojitosti Znázornenie Odstránitel ná nespojitost : eistuje vlastná lim a f ) ale nerovná sa f a) Neodstránitel ná nespojitost. druhu: neeistuje lim a f ) ale iba limita zprava a limita zl ava a tieto sú vlastné a nerovnajú sa

8 Typ nespojitosti Neodstránitel ná nespojitost. druhu: bud eistuje len nevlastná limita lim a f ), alebo neeistuje vôbec, len limita zprava a limita zl ava a tieto sú aspoň jedna) nevlastné Znázornenie 8 Vlastnosti spojitých funkcií: VSF: Každá elementárna funkcia je spojitá všade, kde je definovaná VSF: Súčet a súčin spojitých funkcií je spojitý VSF3: VSF: VSF5: Funkcia zložená zo spojitých funkcií je spojitá Inverzná funkcia spojitej funkcie je spojitá Ak funkcia f je spojitá na intervale a,b, potom je ohraničená na a,b nadobúda na a,b svoje maimum a minimum pokial f a) > 0 a f b) < 0 alebo opačne), tak eistuje prvok c a,b taký, že f c) = 0 Cvičenia.5. Zistite, kde sú spojité nasledujúce funkcie. Nájdite body nespojitosti a zistite ich typ: a) f ) = + 3) sin + 3) b) f ) = e / c) f ) = sgn )) d) f ) = e) f ) = + ) f) f ) = ln { e pre < 0 g) f ) = pre 0 h) f ) = arctg i) f ) = +

9 .6. Dokážte, že daná rovnica má na intervale I riešenie: 9 a) 3 = 0 I =, b) = 0 I =,8 c) e + = 0 I =,0 d) cos k = 0, k 0 I = π,π e) ln 3 + = 0 I =,e f) = 0 I =.3,. g) = 0 I =., Diferenciálny počet Definícia.5: Derivácia funkcie f v bode 0 D f ) - ozn. f 0 )): reálne číslo tgα 0 = f 0 ) = lim 0 f ) f 0 ) 0 Ak eistuje derivácia funkcie f v každom bode niektorej množiny M, tak funkcia f, ktorá priradí každému číslu M hodnotu f ) je derivácia funkcie f v množine M. Derivácia elementárnych funkcií: Vzorec podmienky Vzorec podmienky c) = 0 c R, c konštanta ) = R n ) = n n R, n N α ) = α α > 0, α R e ) = e R a ) = a lna R, a > 0 ln) = > 0 log a ) = lna > 0, a > 0, a

10 Vzorec podmienky Vzorec podmienky 0 sin) = cos R cos) = sin R tg) = cos arcsin) = k + ) π, k Z cotg) = sin,) arccos) = kπ, k Z,) arctg) = + R arccotg) = + R Vlastnosti derivácie: VD: VD: VD3: c f ) ) = c f ) pre c R f ) ± g) ) = f ) ± g ) f ) g) ) = f )g) + f )g ) VD: VD5: ) f ) = f )g) f )g ) g) g ) f g) )) = f g) ) g ) pre g) 0 Definícia.6: Derivácia druhého rádu funkcie f - ozn. f ): funkcia, ktorá vznikne ako derivácia prvej derivácie funkcie, t.j. f ) = f Cvičenia.7. Pomocou definície nájdite deriváciu funkcie f v bode 0 : a) f ) = 3 3, 0 = 0 b) f ) =, 0 = c) f ) = 3 sin π ), 0 = π d) f ) = +, 0 = 0 e) f ) =, 0 = f) f ) = e, 0 = 0.8. Nájdite derivácie daných funkcií: a) y = b) y = + sin c) y = e + ln 8 6 d) y = + cos e) y = + 3)log f) y = + 3 5)e

11 g) y = sin 3 + h) y = arcsin i) y = + arctg j) y = tg 3 sin) k) y = ln ) l) y = 3 cos ) m) y = ln arccos p) y = arctg cos + sin 3 6 ) + 5 n) y = log arcsin o) y = 3 log 3 q) y = e sin sin r) y = s) y = lnarctg t) y = u) y = ) 5 ) 3 tge + )cos 3 8) v) y = arccosln 8 sin) w) y = 5 + sin3 cos z) y = log 6 sine.9. Vypočítajte f 0) a f ), ak a) f ) = b) f ) = + 3 c) f ) = tg d) f ) = e