( + ) ( ) Derivacija funkcije y = f x, u tocki x, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza:

Transcript

1 . DERIVACIJA FUNKCIJE. Pojam derivacije Derivacija funkcije f, u tocki, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza: f lim ili f lim Funkcija je u tocki Obrat moze ali ne mora vrijediti. ( ( f + f f + f derivabilna, ako ima derivaciju. Tada je u toj tocki i neprekinuta. ( + f f f ( takav limes postoji. Vrijednosti za, (, poprimaju samo pozitivne vrijednosti kako se Desna derivacija funkcije definirana je kao omjer: + lim,ako + priblizava nuli. ( + Lijeva derivacija funkcije definirana je kao omjer: f lim,ako takav limes postoji. Vrijednosti za, nuli. f f ( (, poprimaju samo negativne vrijednosti kako se priblizava Funkcija ima derivaciju u nekoj tocki samo ako je f f f + Funkcija je u nekom intervalu derivabilna ako ima derivaciju u svim tockama intervala. Graficki gledano, derivacija funkcije u tocki tu funkciju, u tocki. ( + f f jednaka je koeficijentu smjera tangente na f lim tanα f f " n Derivacija viseg reda: f, f se dobije deriviranjem postojece derivacije. Druga derivacija, derivacijom prve, treca derivacija derivacijom druge itd. Tumacenje derivacija viseg reda biti ce obradjeno u narednim poglavljima.. Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f u tocki 5. f f f ( f 5+ f lim lim lim lim lim lim ( 5 Derivacije

2 . Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f f f + f lim lim + + ( lim f ( lim( Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f (. + 4 ( + f ( + f ( ( f ( lim lim lim f f f ( ( ( + 4 ( ( ( ( ( ( + 4 ( ( + ( ( lim ( ( + 4 ( ( + 4 lim lim lim ( + 4 ( + + ( + ( + + ( + ( 4. Koristeci jednadzbu definicije, izracunaj derivaciju funkcije f. Ispitaj f. f f + f + lim lim izraz u brojniku nadopunimo na potpunu razliku kuba: a b a b a + ab+ b f lim ( ( ( + + lim f ( lim ( + ( + + ( + ( + + Derivacije

3 lim f U tocki, funkcija je neprekinuta ali derivacija ne postoji jer je nazivnik nula f. 5. Zadana je funkcija f u intervalu. Dokazi da je diferencijabilna u tom intervalu. Neka je vrijednost unutar intervala f + f ( lim lim lim f + lim f ( lim( + f + f Za tocku : f+ ( lim lim lim f + f + + Za tocku : f ( lim lim lim ( + Zadana funkcija je diferencijabilna u intervalu sa vrijednostima derivacije f i f. 6. Zadana je funkcija f. Izracunaj derivaciju za sve vrijednosti. + Za <, f ( : f ( lim lim ( + ( Za >, f : f lim lim ( + ( Za, f ( : f ( lim lim Ako se s lijeva imamo: + Ako se s desna imamo: Funkcija nema derivaciju za Derivacije

4 7. Snaga otpornika strujnog kruga, mjenja se sa velicinom struje koja protice kroz njega. Pri struji od i.5 A, snaga otpornika je P. W. Izracunaj brzinu promjenesnage otpornika u zavisnosti od struje kada je i.5 A.. W P ki. k(.5 k P i A Poznavajuci funkcionalnu ovisnost k i i, mozemo izracunati promjenu snage: ( i+ i i 4.8( i + i i+ i i dp P lim lim lim 4.8 i+ i di i i i i i i dp dp W 4.8 i 9.6i odnosno za i.5 : 9.6i di di A ( 5 8. Energija suncevog zracenja na zemlji dana je jednadzbom R, gdje je t t + vrijeme u podne 6 u jutro i 6 poslijepodne 6 t 6,. Izracunaj trenutnu ( t ( t ( t + + ( t + promjenu energije zrecenja u 5 sati ( poslije podne. ( t ( t ( t + + ( t dr ( t + + t + lim lim dt dr lim 5( t dt lim t + t+ + t + dr t 5 dt t + ( ( t + + dr t W Za t imamo: dt m 9. Tijelo koje se krece predje razdaljinu danu jednadzbom s 6 t. Izracunaj brzinu tijela nakon t s. Brzina je definirana kao derivacija puta po vremenu. ( t + t ( t t ds t 6 t+ v lim lim lim dt m lim6( t + t Za t, brzina tijela je: v t 96 s v. Izracunaj promjenu volumena po radijusu r, balona u obliku kugle radijusa m. Derivacije 4

5 4 Volumen je dan izrazom V r π ( r + π r π π ( r + r + r + r dv lim lim dr 4 π ( r + r+ lim 4π r dv m dr m Za r, promjena volumena iznosi: 4πr 4π 6π 5.. m Promjena volumena po radijusu iznosi 5.. m sin,. Zadan je funkcija f (, a Da li je funkcija f derivabilna za? b Da li je funkcija f neprekidna za? ( + sin f ( + f ( ( + sin a f ( lim lim lim lim sin Funkcija ima derivaciju u jednaku. b Koristeci pravila za deriviranje slozene funkcije mozemo napisati: d sin d sin d( f ( + sin cos + sin d d d cos + sin Ispitajmo neprekinutost f : ( lim f ( lim cos + sin lim cos + lim sin ; lim cos ne postoji Funkcija f nije neprekidna za iako ima derivaciju u toj tocki. Derivacije 5

6 mt, t 5. Zadan je funkcija f ( t, gdje je t vrijeme, m i n su konstante. t + n, t > 5 Izracunaj vrijednosti za m i n uz predpostavku da je f t diferencijabilna za t 5. Derivacija funkcije: ( mt m t ( t n + ( m m, t 5 m t f ( t t t, t > 5 Za t 5, funkcija ima obje derivacije jednake: m m t 5 m 5 m 45 6 Za t 5, funkcija je neprekinuta: mt 5 + n n n 5 5 Trazene vrijednosti su: m 6, n 5. Izracinaj derivaciju funkcije f 4 u tocki 4. ( + ( + 4 ( 4 d f + f lim lim d d lim d d d f ( ( + + lim lim ( Rezervor ulja za kocnice u automobilu ima oblik obrnutog stosca sa bazom polumjera r jednak visini. Izracunaj promjenu volumena u ovisnosti od visini ulja. ( V + V r π ( l+ l r π ( l + l r πl r π ( l + l l V r πl dv dl l l lim lim r π; l l Promjena volumena rezervoara po visini ulja iznosi r cm π cm Derivacije 6

7 . Pravila za deriviranje Izraz d f d naziva se diferencijal funkcije ili glavni dio od i obicno pisemo: Pravila za deriviranje: ( + d f f f ( lim lim d d d d d d d d d { f ( ± g( } f ( ± g( f ( ± g ( d Cf C f Cf C konstanta d { } d d d d d d { f ( g( } f ( g( + g( f ( f ( g ( + g( f ( d d g ( f ( f ( g( d f d d g f f g d g ( g( g g Za slozenu funkciju f u u g d d du du f ( u f { g( } g ( ili d du d d d d du dv f ( u, u g( v, v ( d du dv d d d f t Parametarski zadana funkcija: f ( t, g( t dt d d g t dt ( ( Pravila za deriviranje poznatiji funkcija: d d du d du ( C sin u cos u cos u sin u d d d d d d n n du d du d du u nu sin u cosu tan u sec u d d d d d d Derivacije 7

8 d du d du d du cosu sin u cot u csc u tan u sec u d d d d d d d du d du sec u sec utan u cot u csc u d d d d d du d du sin u secu secutan u d + u d d d d du d du cos u cscu cscucot u d u d d d d d u du d tan u, u < d sin d u u du d d du d du cot u, u > cos u d u d d u d d du d du sec u tan u u u + u d d d d d du d du csc u cot u u u + + u d d d d d du d d du sec u loge u ln u d u u d d d u d d log d a loga e du d u u du d u u du u a >, a a a ln a e e u d d d d d d sec d du + za u > u ± u u d za u < d csc d du za u > u ± u u d + za u < Derivacije 8

9 Deriviranje inverzne funkcije: Ako je funkcija f ( neprekinuta u a,b tada su funkcijske vrijedosti (range konacne i funkcija je rastuca ili padajuca. Inverzna funkcija f neprekinuta. i ( Ako je f derivabilna i f, tada je f derivabilna za f f f f i promatrane funkcije je takodjer f ( f d f ( d d d Deriviranje implicitno zadane funkcije: Funkcija F, oznacava implicitnu funkciju od. Domena te funkcije sadrzi vrijednosti za, za koje postoji jedinstveni, tako da je F, Implicitno zadana funkcija se derivira kao slozena funkcija. Rijeseni zadaci.. Deriviranje algebarki izraza 5. Deriviraj (diferenciraj izraz: + 4 d d ( + 4 ( + ( ( + 4 d d d d d d ( 4 ( ( ( ( ( + 4( ( + 6 Radi lakseg razumijevanja kasnijeg tumacenja toka funkcije, ovdje je dan graf zadane funkcije i njene derivacije. Derivacije 9

10 6. Deriviraj (diferenciraj izraz: ( ( 4 ( 4 ( 4 ( ( 4 d d ( 4 ( 4 ( ( d d u u + 7. Deriviraj ako je u + ( + d u d u + ( u + ( u d d du d d d d du d du u Derivacije

11 ( u + uu ( u ( u + ( u + ( u + d u u u u u du d ( + du u ( + d du 4u 8 du d ( u + u u( u + d ( + d 8. Deriviraj d + d 4 ( ( ( 4 ( ( ( ( Deriviraj 5 d ( ( 5 5 d d ( 6 ( 5 d d d 5 Derivacije

12 d ( + ( d d + d 9 5 ( u. Deriviraj ako je u u + d d du du d d du d d d d( u d( u+ ( u+ ( u d u u u u du u+ u+ ( + ( d u ( u+ u+ u d du ( u+ ( u+ d ( u+ ( u+ ( + t t. Deriviraj po t: 4 + za d d 4 ( t( t + d dt d d d ( t 4t( Za t ( + 5 dt d dt t + ( t + Derivacije

13 d dt ( ( 5 ( 5 5. Deriviraj kompoziciju funkcija zadani u obliku: f ; g + i pokazi razliku u rezultatu u ovisnosti o redosljedu deriviranja. ( f g( f ( g( f ( ( g f ( g( f ( g( Derivacija ( f g( se razlikuje od derivacije ( g f ( ( ( Deriviraj kompoziciju funkcija zadani u obliku: f + ; g + Prvi nacin: Izrazi funkcije implicitno i deriviraj: f g f d 8+ 4 d Drugi nacin: Nazovimo f g vanjskom funkcijom a g unutrnjom funkcijom: ( ( + Derivirajmo vanjsku funkciju: Derivirajmo unutarnju funkciju: g Derivacija kompozicije je: D f g f g g g 4g f d ( d d( + d 4. Odredi inverznu funkciju i derivaciju, funkcije. + f ( inverzna funkcija je: f ( + Derivacije

14 ( + ( + + f ( f ( ( ( ( + ( + d d + ( f ( d d d d 5 5. Deriviraj cos ako je u u + Koristeci formulu za derivaciju funkcije cos i slozene funkcije, imamo: ( cos u d( + d d du d sinu sin + d du d du d.. Tangenta i normala na krivulju 6. Odredi koeficijent smjera tangente na krivulju 4 u tocki gdje krivulja sjece os. d d ( 4 4 d d d 4 d Presjecista su za : 4 4 ; 4 Trazene tocke su A(, i B(, 4. Koeficijent smjera tangente jednak je : d T: ( A A A d A d T: ( B B B d B Koeficijent smjera tangente jednak je : 7. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na f + 4, u tocki T,4. Derivacije 4

15 f i za tocku T: 4 ( Jednadzba tangente kroz tocku T i koeficijentom smjera : T T T Normala je pravac okomit na tangentu u tocki T, pa je koeficijent smjera normale: kn. Normala ima jednadzbu: k 4 T T kn ( T 4 ( N ( 8. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju f sin u tocki nultockama, (. Nultocke funkcije su u: sin, π Za Koordinata diralista je A(, π + π + Za π Koordinata diralista je B(, Koeficijent smjera tangente jednak je : f cos 6cos i za zadane tocke: kta : ( A 6cos 6cos 6 kta 6 kna k 6 π + ktb : ( B 6cos 6cosπ 6 ktb 6 knb ktb 6 Jednadzba tangente kroz tocke A i B : A ( A 6 T 6 π + B B T + Pripadajuce normale imaju koeficijente smjera i jednadzbe: 6 6 ( π TA Derivacije 5

16 A kna( A N π + π + A knb ( B N 6 6 k k Izracunaj jedn. tangente koja ima koeficijent smjera, na elipsu Koeficijent smjera: 8 8 : 4 Koordinate diralista su: T 9 9 Diraliste je na elipsi: ± ± T T, T, T T T T T T T Tgta. T : T ( T ( T Tgta. T : T ( T + ( + T Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju u tocki A(,. Diferencirajmo: D k Derivacije 6

17 k k Koeficijent smjera : T N A + kt Tangenta T : T + A ( A( A Normala N : k N A N A. Izracunaj jednadzbu tangente koja prolazi tockom A(4,5 i tangira krivulju f + 9. ( + ( + Tocke diralista su D, 9 D, 9. Koeficijenti smjera:, koji zadovoljavaju jednadzbe tangenta kroz tocku A ( 4,5 : ( ( + ( 4 4 A b± b 4ac, 8.476;.476 a 6.944;.944 A ( A Tgta T : T A Tgta T : A T A. Izracunaj jednadzbu vertikalne i orizontalne tangente na krivulju + 7. Koeficijent smjera tangenta dobijemo derivirajuci implicitno funkciju: D Derivacije 7

18 Horizontalna tangenta ima koeficijent smjera: : ; uvrstimo u jednadzbu: 7 7,, ± ± Diralista orizontalni tangenti su u tockama: H,6 ; H, 6 nazivnik : : Vertikalna tangenta je okomica na orizontalnu tangentu i ima koeficijent smjera ; ;uvrstimo u jednadzbu: ± ± 6,, V ( Diralista orizontalni tangenti su u tockama: V 6, ; 6, Koeficijent smjera tangenti jednak je : ( 5 5. Izracunaj kut pod kojim se sjeku zadane krivulje, ako je jedno presjeciste u tocki A, : 4 i 5 4 k D ( 4 4 k k k D Tangente se sjeku pod kutem:tanα A 4 4 k k k k kk α arc tan A Derivacije 8

19 4. Viseci most je pricvrscen na stupovima udaljeni 5m. Most je u obliku parabole, sa najnizom tockom 5m ispod visine ovjesenja. Izracunaj kut izmedju lancanice mosta i stupa (nosaca. 5 Parabola ima oblik: k izracunajmo koeficijent k : 5; k k Jednadzba parabole je tada: U tocki ovjesenja koeficijent smjera tangente lancanice je: A 4 A 5.8 Trazeni kut α iznosi: β arctan A arctan α 9 β Jednadzba tangente u tocki A: A A Derivacija implicitno zadane funkcije 5. Deriviraj 5 ( ( 5 d d d d d d d d d d d + d Derivacije 9

20 6. Deriviraj e + ln cos ( ln ( cos d d e d d + e + e + + ln sin d d d d d ( e + ln sin e d sin+ + e d sin+ + e d e + ln e + ln 7. Deriviraj ( d d d d d d + + d d d d d d 4 d d d d ( d d, zamijenimo promjenjive: Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za f, >. f > f d d po definiciji d d d d d 9. Izracunaj izraza d d d d ( d( d ( ( + ( d d d + + ( ( ( d + + d d d ( ( ( Derivacije

21 Trazena derivacija ( ( d d d d 4. Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za f ( f ( zamijenimo promjenjive: f ( d d d( po definiciji ( + + d d d d 4.Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza u tocki (,. d d d d d d d + + d d u tocki A(, A d d d d d d + A " " d " d ( + ( + Trazena derivacija u tocki A(,, uz d( d( ( iznosi: 8 " A 4. Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza d d + + d d d d d d d " " + + d d d d d " + zamijenimo sa ranijim rjesenjem: Derivacije

22 " " " " 6 + ( ( ( Drugu derivaciju smo mogli izracunati deriviranjem prve derivacije: " " d d d ( ( d d d ( ( ( ( ( 6 + ( ( (..4 Deriviranje u rjesavanju zadataka iz fizike Izracunaj brzinu promjene vrijednosti,za t 4. Vrijednost t je vrijeme. 4. Tocka putuje po krivulji + 5, gdje je t +. t Trazi se derivacija za t 4: u u+ 5 u + d d du d du ( u t d du d du d 4 t ( u u t 4 d du ( i za 4. du d 4 t 4 t ( Sila prenesena na bregastu osovinu dana je sa: gdje je sa oznacena udaljenost od sredista vrtnje ( 5. Izracunaj brzinu promjene sile u zavisnosti o, kada je 4cm. [ ] F N Derivacije

23 4 ( df df d Trazimo za 4 : d d d df N ( 4 + 6( 4 + 9( 4 6 d m 45. Tocka putuje po krivulji + i 6. Izracunaj za i 5. t t t dt d ( t + ( t ( ( t t t d t t t t t t d d d dt d dt d 6 6 6( + d dt d dt d dt t d dt 6 i za zadane vrijednosto t: su u odnosu. Izracunaj. ( ( Dva otpornika sa otporom r i r + su spojena paralelno. Kombinirani otpor R i otpor r r rr+ R r dr dr dr d r rr R r r R+ rr + R + dr dr dr r R + ( + r R + r R R dr r + r + r+ 47. Faktor iskoristenja motora sa unutarnjim sagorjevanjem dan je sa jednadzbom η gdje su.4 V i V minimalni i maksimalni volumen cilindra. V V Izracunaj faktor iskoristenja za V uz predpostavku da je V konstantan d.4 V dη d V V 4 V (.4 dv dv dv V V V V dη 4V V dv VV V V V.4.4 Derivacije

24 ( 48. Putanja tijela koje putuje dano je sa s f t t t. Izracunaj brzinu i ubrzanje nakon vremena t s. m dt dt s d t d s dv Ubrzanje je a m t t at t 6 dt dt dt s d t t ds Brzina je v t vt 6 4 ( 49. Putanja cestice koja se krece po pravcu dano je sa s f t t 6t + 9t+ 4. a Izracunaj put s i ubrzanje kada je brzina v. b Izracunaj put s i brzinu v kada je ubrzanje a. c Izracunaj kada put s raste d Izracunaj kada brzina v raste. e Kada se smjer kretanja mijenja? ( ds d t t t v t t+ dt dt a Ako je : 9 t s t 6t + 9t m ( ( ( t s t 6t + 9t m dv d t t + 9 Ubrzanje iznosi a 6t i za dano t imamo: dt dt m m at 6t 6 6 a t 6t 6 6 s s b Ubrzanje je nula za a 6t t Put iznosi: st t 6t + 9t Brzina iznosi: v t t t c v t t t t Put raste kada brzina raste > : + 9 > < i > d Brzina raste kada je ubrzanje a > : 6t > t > e Smjer kretanja se mijenja u trenutku t i t, kada je brzina v i ubrzanje a. Iz prilozenog grafickog prikaza lijepo se mogu vidjeti svi uvjeti i rjesenja zadatka. Derivacije 4

25 ( Savijanje celicnog nosaca dano je jednadzbom 5 gdje je sa oznacena udaljenost od oslonca. Izracunaj drugu derivaciju (promjenu koeficijeta smjera tangente za d 5 d d d ( 5 5 d d d d ( 5 5 ( 5 ( 5 " d d d d -4 5 d d d d " -4-4 ( 5 ( ( 5.49 m 5. Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa s t 9t + 4 t. a Izracunaj kada put s raste a kada pada. b Izracunaj kada brzina v raste a kada pada. c Izracunaj put s koje cestica predje u prvi 5 sekundi kretanja. ds dt ( d t t t a Izracunajmo brzinu: v t 8t+ 4 8 ± 8 4 4, v za t t t 4 ili drukcije v t t 4 Put raste za v > t <, t > 4 vidi graf! Put pada za v < < t < 4 vidi graf! dt ( dv d t t bizracunajmo ubrzanje: a 6t8 a 6 dt dt Brzina raste za a > t > Brzina pada za a < t < c Udaljenost za prvi 5 sekundi: Za t tijelo je u polozaju s - Predjeni put je nula Za v >, tijelo krece u desno i za prve t sekunde predje put: ( t Derivacije 5

26 st t 9t + 4t m U naredni sekundi, tijelo mijenja smjer u lijevo do t 4: st 4 t 9t + 4t m Smjer kretanja je u lijevo, pa je s 6 4m Za t 5 sekundi, tijelo je preslo put od: st 5 t t + t + m Sveukupno, predjeni put iznosi: S s + s + s m t t 4 t Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa s t 6t + t t+. a Izracunaj kada brzina v raste a kada se smanjuje. b Kada cestica mjenja smjer. c Izracunaj put s koje cestica predje u prvi sekundi kretanja. Izracunajmo brzinu i ubrzanje: ( ds d t t t t v 4t 8t + 4t+ 4 dt dt Nultocke jednadzbe za v su : t, t 5 Rjesenje se moze izracunati koristeci, objasnjenja u dijelu "Jednadzbe viseg reda". ( dv d t t t a t 6t+ 4 t, t dt dt a Brzina mijenja predznak u t.5 a ubrzanje mijenja predznak u t i t Za t < brzina v < i a >. Posto je a >, brzina se povecava;odnosno posto je v < brzina se smanjuje: v v Za < t < brzina v < i a <. Posto je a <,brzina se smanjuje; odnosno posto je v < brzina se povecava: v v Za < t <.5 brzina v < i a >. Brzina se smanjuje. Za t >.5 brzina v > i a >. Brzina se povecava: v > i v v b Smjer kretanja se promijeni za t.5 (funkcija puta s ima ekstrem c Za t put s. To je predjeni put cestice za t. t Derivacije 6

27 Do vremena t.5, cestica putuje u lijevo i proci ce put od: 4 st.5 t t t t t Za t, put je nula s. Cestica je dosla na pocetni polozaj, sto iznosi Sveukupno, predjeni put za prve sekunde iznosi: S s + s + s jedinica mjere za duzinu t t.5 t t 5. Cestice rotira po putanji danoj jednadzbom Φ t, gdje Φoznacava kut u radijanima 5 i t, vrijeme u sekundama. Izracunaj kutni pomak ϕ, kutnu brzinu ω i kutno ubrzanje α nakon vremena t s. t Izracunajmo pomak cestice: Φ t t Φ [ rad] 5 5 dφ rad Kutna brzina cestice: ω t ωt ( 5 dt 5 5 s dω rad Kutno ubrzanje cestice: α t αt dt s..5 L Hospital-ovo pravilo Utvrdjivanje granicni vrijednosti za funkcije, koje uvrstavanjem granicne vrijednosti postaju neodredjene, rjesavaju se LHospital-ovim pravilom: Vrijednost funkcije u obliku razlomka ( f ili g " f f f dobije se tako, da se derivira posebno brojnik i posebno nazivnik onoliko puta, koliko je dovoljno da se dobije konacna vrijednost kao rezultat. lim lim lim itd. " g g g Izraz lim moze biti bilo koji od oblika, kao na pr. lim, lim,lim,... + Derivacije 7

28 Za funkcije koje nisu zadane u obliku kvocijenta i neodredjeni oblik je na pr.,, funkciju treba najprije prikazati kao kvocijet a potom primijeniti LHospital-ovo pravilo. Za funkcije koje imaju neodredjeni oblik na pr.,, racunaju se tako, da se funkcija najprije logaritmira po bazi prirodnog broja e, prikaze ako kvocijent i potom primijeni LHospital-ovo pravilo. sin 54. Rijesi za ( sin ( sin cos Izraz je oblika ( lim lim lim sin Napomena: Kvocijent se derivira posebno brojnik a posebno nazivnik. a 55. Rijesi lim ( + a ln + izraz je oblika a ln a + lim ln lim sada primjenimo pravilo: + ( a + ( + a a a a a ln a + a + + lim lim lim ( + a lim ( + a ( + a ( + a ( + a ( + a + a a + a a lim lim lim a+ a+ a a 56. Rijesi za ln ln Izraz je oblika ln ln lim ln lim sada primjenimo pravilo na desnu stranu jednadzbe: lim ln lim ( ln ( lim sada rjesimo jednakost: lim ln ln samo za slijedi: lim za Derivacije 8

29 + cosπ 57. Rijesi lim + ( ( + ( + cosπ + cosπ πsinπ π cosπ π lim lim lim lim Rijesi za logaritmirajmo, limitirajmo i primjenimo pravilo: ln ( ln ln ln lim ln lim lim lim ( lim lim ln odnosno za sin 59. Rijesi za ln ln sin ln csc ( ln lim ln lim lim sin lim lim ( csc cot csc cos cos sin sin sin sin sin sin sin lim ln lim lim lim lim lim tan ( cos cos 6. Rijesi: + za ln + Izraz ima oblik ln ln + + ( ln + + lim( ln lim lim lim lim lim lim( ln lim ln ( lim e e + + Derivacije 9

30 ln cos sin ( ( ln cos cos sin cos lim lim lim + + ( ln cos sin ( + sin cos cos sin cos cos 9 lim lim lim + sin + cos + cos 4 6. Rijesi: lim + ln cos Derivirajmo opet 6. Rijesi lim e ( ( e + e Izraz je jednak ( ( e e e Izraz je oblika lim lim lim e e + e e e e lim lim lim e + e + e e + e + 6. Rijesi lim + + ( + + ( + + Izraz je oblika lim lim lim lim lim Ponovno deriviranje nas dovodi do pocetnog rezultata. LHospital-ovo pravilo se ne moze primijeniti. Koristimo zato drukciju transformaciju: ( + + lim lim lim + + π π 6. Rijesi ( tan za π ( π ( Izraz je oblika lim lim tan lim ln lim ln tan π π π π Derivacije

31 cos ln ( tan ( π lim lim tan cos lim sin cos lim π π π π sin cos sin ( π ( π ( π π π π [ ] π 4 π ( π lim ( ln lim lim ( ln cos π definicija logaritma baza lim lim tan 64. Rijesi cos za ( ( π π lncos Izraz je oblika ln ln cos limitirajmo ( ln cos cos sin cos lim ln lim lim lim lim cos lim ln lim cos ( cos e ( sin ( ( cos ( ln lim ( cos ln lim sin Derivacije

32 + 65. Rjesi za + Izraz je oblika ( 7 + ( lim lim lim lim Rijesi lim izraz je oblika sin sin sin lim l im lim sin sin sin sin lim lim lim 4 sin sin sin sin sincos ( sin lim lim ( cos 4sin 4 lim lim ( ( 4 ( ( 4 8cos 8 lim lim 4 4 sin Ovaj zadatak se moze rjesiti koristeci Talor-ov teorem, koji ce biti obradjen u poglavlju Beskonacni Redovi. π 4 ( 67. Rjesi lim tan sec ( tan ( tan π Izraz je oblika ; sec lim lim cos cos cos π 4 4 π sec ( tan sec 4 lim lim π π ( cos sin π 4 4 sin 4 π ( cos π 68. Rjesi lim tan za izraz je oblika π π π π π cos ln tan lim lim ( tan ln lim lim cos ln ( tan lim sec Derivacije

33 sec tan sec ln lim lim lim lim lim cos ( ln tan ( sec π π π sec tan π tan π sin cos lim sin π cos Derivacije