Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις"

Transcript

1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε πρώτες προτάσεις, τότε ισχύει και το συμπέρασμα στην έκτη πρόταση. Κατά τη μετάφραση των προτάσεων στον ΠΛ να χρησιμοποιήσετε μόνο πέντε μεταβλητές προσδιορίζοντας με σαφήνεια ποια πρόταση της φυσικής γλώσσας αντιστοιχεί σε κάθε μεταβλητή. Αν η κίνηση υπάρχει, τότε κάποιος μπορεί να μετακινηθεί από το σημείο Χ στο σημείο Υ σε πεπερασμένο χρόνο. Δεδομένου ότι ανά πάσα στιγμή κάποιος μπορεί να βρίσκεται μόνο σε ένα σημείο, δεν είναι δυνατόν κάποιος να διασχίσει ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων σε πεπερασμένο χρόνο. Η απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία Χ και Υ μπορεί να διαιρεθεί σε ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων. Ανά πάσα στιγμή κάποιος μπορεί να βρίσκεται σε ακριβώς ένα σημείο. Αν κάποιος μπορεί να μετακινηθεί από το Χ στο Υ σε πεπερασμένο χρόνο τότε, είτε η απόσταση από το Χ στο Υ δεν μπορεί να διαιρεθεί σε ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων, είτε κάποιος μπορεί να διασχίσει ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων σε πεπερασμένο χρόνο. Επομένως, δεν υπάρχει η κίνηση. (Ζήνων ο Ελεάτης, 5 ος αιώνας π.χ. Το Παράδοξο της Κίνησης) ια τη διατύπωση των προτάσεων στον Προτασιακό λογισμό θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο κάτω ατομικές προτάσεις. Κ: Υπάρχει η κίνηση Π: Κάποιος μπορεί να μετακινηθεί από το σημείο Χ στο σημείο Υ σε πεπερασμένο χρόνο Ε: Κάποιος μπορεί να βρίσκεται σε ακριβώς ένα σημείο ανά πάσα στιγμή Α: Η απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία Χ και Υ μπορεί να διαιρεθεί σε ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων Δ: Κάποιος μπορεί να διασχίσει ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων σε πεπερασμένο χρόνο Οι προτάσεις της άσκησης μεταφράζονται στον Προτασιακό Λογισμό ως τις πιο κάτω προτάσεις: Η 1: K Π Η 2: Ε Δ Η 3: Α Η 4: Ε Η 5: Π (Α Δ) Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 1

2 Και το συμπέρασμα είναι το C: Κ Συνεχίζουμε μετατρέποντας τις προτάσεις σε CNF. Θεωρούμε την άρνηση της πρότασηςσυμπέρασμα. 1. K Π 2. Ε Δ 3. Α 4. Ε 5. Π Α Δ 6. Κ Και σε προτασιακή μορφή: {{K, Π}, {Ε, Δ}, {Α}, {Ε}, {Π, Α, Δ}, {Κ}} Εφαρμογή της Μεθόδου της Επίλυσης μας οδηγεί σε διάψευση όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Επομένως, ο συλλογισμός είναι ικανοποιήσιμος. Κ,Π Π, Α, Δ Ε, Δ Ε Κ,Α, Δ Δ Α Κ,Α Κ Κ Άσκηση 2 Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα. (α) (p r) (s t), p (q r), q r t (β) (p q) (q r) (γ) p q, q r p r (δ) ((p q) r) ((p r) (r q)) (ε) p (q r), q, r t, (p t) (q s) s Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 2

3 (α) (p r) (s t), p (q r), q r t 1. (p r) (s t) προϋπόθεση 2. p (q r) προϋπόθεση 3. q r προϋπόθεση 4. p πρ. υπόθεση 5. q r ΜΡ 2, 4 6. q πρ. υπ. r πρ. υπ. 7. r ΜΡ 3, 6 8. r e 5, p r i s t MP 1, t e 2 (β) (p q) (q r) 1. q q LEM 2. q υπόθεση 3. p υπόθεση 4. q copy 2 5. p q i (p q) (q r) i 5 7. q υπόθεση 8. q υπόθεση 9. e 8, r e q r i (p q) (q r) i (p q) (q r) e 1, 2 6, 7 12 (γ) p q, q r p r 1. p q προϋπόθεση 2. q r προϋπόθεση 3. q υπόθεση 4. p q copy 1 5. p υπόθεση 6. p r i 5 7. q υπόθεση 8. e 7, 3 9. p r e p r e 4, 5 6, r υπόθεση 12. p r i p r e 2, 3 10, Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 3

4 (δ) (ε) ((p q) r) ((p r) (r q)) 1. (p q) r πρ. υπόθεση 2. p πρ. υπόθεση 3. p q i 2 4. r MP 1, 3 5. p r i r πρ. υπόθεση 7. q πρ. υπόθεση 8. p q i 7 9. r MP 1, e 6,9 11. q i r q i ((p r) (r q)) 5, ((p q) r) ((p r) (r q)) i 1 13 p (q r), q, r t, (p t) (q s) s Άσκηση 3 1. p (q r) προϋπόθεση 2. q προϋπόθεση 3. r t προϋπόθεση 4. (p t) (q s) προϋπόθεση 5. p πρ. υπόθεση 6. q r ΜΡ 1, 5 7. r MP 6, 2 8. t MP 3, 7 9. p t i q s MP 4, s MP 10, 2 Το σύνολο τελεστών Σ = {,,,} συχνά συσχετίζεται με τον Προτασιακό Λογισμό λόγω του ότι είναι σε θέση να περιγράψει με φυσικό τρόπο διάφορους συλλογισμούς. Εντούτοις, η ύπαρξη όλων των τελεστών του Σ δεν είναι απαραίτητη για την εκφραστικότητα του Προτασιακού Λογισμού: είναι δυνατό να αφαιρέσουμε κάποιους τελεστές ή ακόμα και να τους αντικαταστήσουμε από άλλους, χωρίς να επηρεάσουμε τη δύναμη της γλώσσας. Μια χρήσιμη έννοια για να αξιολογούμε αν ένα σύνολο από τελεστές είναι ισοδύναμο με το Σ είναι η έννοια της επάρκειας. Συγκεκριμένα, ένα σύνολο από τελεστές C του Προτασιακού Λογισμού είναι επαρκές αν για κάθε πρόταση που χρησιμοποιεί τελεστές από το σύνολο Σ υπάρχει ισοδύναμη πρόταση ψ όπου η ψ χρησιμοποιεί μόνο τελεστές από το σύνολο C. ια παράδειγμα, το σύνολο {, } είναι επαρκές αφού κάθε εμφάνιση των τελεστών και μπορεί να αντικατασταθεί μέσω των ισοδυναμιών ψ ψ ψ ( ψ) Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 4

5 (α) Να δείξετε ότι τo σύνολο {false, } είναι ένα επαρκές σύνολο τελεστών, όπου ο τελεστής ορίζεται από τον πιο κάτω πίνακα αλήθειας. p q p q T T T T F T F T F F F Τ ια να δείξουμε ότι το σύνολο τελεστών { false, } είναι επαρκές αρκεί να δείξουμε ότι οι τελεστές και μπορούν να αντικατασταθούν μέσω ισοδύναμων προτάσεων που χρησιμοποιούν μόνο τελεστές από το σύνολο. Οι ζητούμενες ισοδυναμίες είναι: 1. p false p 2. p q p q Ισοδυναμία 1: Ισοδυναμία 2: false p false p p q q p q F T F T T F T F F T T F T T F T F T F F T F (β) Να αποδείξετε ότι τo σύνολο { } δεν είναι ένα επαρκές σύνολο τελεστών. Θα αποδείξουμε ότι είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε τον τελεστή χρησιμοποιώντας τον τελεστή. Συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι οποιαδήποτε πρόταση φ που περιέχει μια ατομική πρόταση p και τον τελεστή είναι τέτοια ώστε αν [[p]] = T τότε [[φ]] = Τ. Επομένως φ p. H απόδειξη γίνεται με επαγωγή στον αριθμό των τελεστών της πρότασης φ. Βάση της Επαγωγής: Αν ο αριθμός των τελεστών της φ είναι 0, τότε φ = p και προφανώς φ p. Υπόθεση της Επαγωγής: Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε πρόταση με λιγότερους από k τελεστές. Βήμα της Επαγωγής: Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση φ έχει ακριβώς k τελεστές Τότε φ = φ 1 φ 2 όπου οι προτάσεις φ 1 και φ 2 έχουν λιγότερους από k τελεστές. Επομένως, από την υπόθεση της επαγωγής, για [[p]] = T, [[φ 1]] = T και [[φ 2]] = T. Συνεπώς, [[φ]] = ΤΤ = Τ. Το ζητούμενο έπεται. Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 5

6 Άσκηση 4 Θεωρήστε τον τελεστή p q ο οποίος ορίζεται όπως στην Άσκηση 3. Να προτείνετε κανόνες εισαγωγής και απαλοιφής του τελεστή αυτού και να τους χρησιμοποιήσετε για να αποδείξετε το πιο κάτω επακόλουθο. Κανόνας εισαγωγής: Κανόνες απαλοιφής:, e 1 p q q r, r s (u s) (p u) i, Ακολουθεί η απόδειξη του ζητούμενου επακόλουθου: 1. p q q r προϋπόθεση 2. r s προϋπόθεση 3. u s προσωρινή υπόθεση 4. u προσωρινή υπόθεση 5. u i 4 6. s e 1 3, 5 7. s e 6 8. r e 2 2, 7 9. q r e q e 2 9, p q e p e 2 11, p u i (u s) (p u) i 2 14 e 2 Άσκηση 5 (α) Ένα σύνολο προτάσεων του Προτασιακού Λογισμού Φ είναι ικανοποιήσιμο αν υπάρχει ανάθεση λογικών τιμών στις ατομικές προτάσεις που αναφέρονται στο Φ η οποία να κάνει όλες τις προτάσεις της Φ ταυτόχρονα αληθείς. Να αποφασίσετε ποια από τα πιο κάτω σύνολα προτάσεων είναι ικανοποιήσιμα και ποια όχι. (i) { p q, q } (ii) { p q, q r, p r } (iii) { (p q) r, ((p q) r) } Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 6

7 (i) (ii) To σύνολο είναι ικανοποιήσιμο για ανάθεση των πιο κάτω λογικών τιμών στις μεταβλητές: [[p]]=[[q]] = F To σύνολο δεν είναι ικανοποιήσιμο. Εφαρμόζοντας τη Μέθοδο της Επίλυσης παίρνουμε το προτασιακό σύνολο { {p, q}, {q, r}, {p }, {r}} και έχουμε ότι: p, q q, r p,r p r r Αφού φθάσαμε σε διάψευση, το σύνολο δεν είναι ικανοποιήσιμο. (Σημείωση: Η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί και με πίνακες αλήθειας.) (iii) To σύνολο δεν είναι ικανοποιήσιμο. Η απόδειξη (η οποία μπορεί να γίνει είτε με τη Μέθοδο της Επίλυσης είτε με πίνακες αλήθειας) παραλείπεται. (β) Να αποφασίσετε ποια από τα πιο κάτω είναι αληθή αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. (i) Αν φ και, φ ψ, τότε ψ. (ii) Αν φ και, ψ φ, τότε ψ. (iii) Αν, φ χ και, ψ χ, τότε, φ ψ χ (iv) Αν, φ χ και, ψ χ, τότε, φ ψ χ (i) H πρόταση είναι αληθής: θεωρούμε την απόδειξη του φ από το και στη συνέχεια τοποθετούμε την απόδειξη του ψ, όπως αυτή προκύπτει από το, φ ψ. Αυτό μας δίνει την απόδειξη του ψ από το σύνολο προυποθέσεων και το ζητούμενο έπεται. (ii) Η πρόταση είναι ψευδής. Ως αντιπαράδειγμα επιλέγουμε = {p}, φ=pq και ψ = q. Αν και p pq και p, q pq, δεν ισχύει ότι p q. (iii) H πρόταση είναι αληθής. Θεωρούμε την απόδειξη, φ χ. Ας υποθέσουμε ότι έχει τη μορφή φ προϋπόθεση Κ Χ Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 7

8 όπου το Κ είναι ένα κουτί το οποίο κάνει αναφορές μόνο σε γραμμές εντός του κουτιού και στις και φ. Τότε η απόδειξη, φ ψ χ προκύπτει ως φ ψ προϋπόθεση φ e Κ Χ (iv) H πρόταση είναι αληθής. Θεωρούμε την απόδειξη, φ χ. Ας υποθέσουμε ότι έχει τη μορφή φ προϋπόθεση Κ1 Χ όπου το Κ1 είναι ένα κουτί το οποίο κάνει αναφορές μόνο σε γραμμές εντός του κουτιού και στις προυποθέσεις και φ. Παρόμοια, θεωρούμε την απόδειξη, ψ χ. Ας υποθέσουμε ότι έχει τη μορφή ψ προϋπόθεση Κ2 Χ όπου το Κ2 είναι ένα κουτί το οποίο κάνει αναφορές μόνο σε γραμμές εντός του κουτιού και στις προυποθέσεις και ψ. Τότε η απόδειξη, φ ψ χ προκύπτει συνδυάζοντας τις δύο αποδείξεις ως εξής: φ ψ προϋπόθεση φ πρ. υπόθεση ψ πρ. υπόθεση Κ1 χ χ e Κ2 χ Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 8

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 O πιο κάτω συλλογισμός (αποτελεί μικρή παραλλαγή συλλογισμού που) αποδίδεται στον Samuel Clarke και προέρχεται από την εργασία του Demonstration of the Being and Attributes

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 p q r p (q r) (p q) p q r ( r p q) T T T T F T T T T F F F F T T F T T T T T T F F T T T T F T T T F T T F T F T F T T F F T T F T F F F F T F T T Ο πιο πάνω πίνακας παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σκοπεύετε να διοργανώσετε ένα πάρτι για τους συμφοιτητές σας κάτω από τους πιο κάτω περιορισμούς. Π1. Η Μαίρη δεν μπορεί να έρθει. Π2. Ο Ηλίας και η Αντιγόνη είτε θα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 Λύσεις

Φροντιστήριο 2 Λύσεις Φροντιστήριο 2 Λύσεις Άσκηση 1 1. p ( p r) προϋπόθεση 2. r προϋπόθεση 3. q προσωρινή υπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση 5. p r ΜP 6. p προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 7. i 4, 6 8. r e 9. r e 5, 8, 6

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 α) p q r (p s) ((s t) t) 1. p q r προϋπόθεση 2. p s προσωρινή υπόθεση 3. s t προσωρινή υπόθεση 4. p e 1 5. s ΜP 2,4 6. t ΜP 3,5 7. (s t) t i 3, 6 8. (p s) ((s t) t)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Έστω οι ατομικές προτάσεις A 1 = H Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα, A 3 = H Αντιγόνη πήρε την τρίτη θέση, Β 2 = Ο Βίκτορας πήρε την δεύτερη θέση, Γ 3 = Ο Γιάννης πήρε την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Να αποφασίσετε κατά πόσο οι πιο κάτω προδιαγραφές είναι ορθές σύμφωνα με την έννοια της μερικής ορθότητας και την έννοια της ολικής ορθότητας. Να αιτιολογήσετε σύντομα

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019 Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 N φιλόσοφοι κάθονται γύρω από ένα τραπέζι με N καρέκλες, N πιάτα και N πιρούνια. Όταν κάποιος φιλόσοφος πεινάσει παίρνει τα δύο πιρούνια που βρίσκονται δίπλα από το πιάτο

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Στην άσκηση αυτή σας ζητείται να διατυπώσετε στον Κατηγορηματικό Λογισμό ένα σύνολο από απαιτήσεις/προτάσεις που σχετίζονται με ένα κοινωνικό δίκτυο χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Θεωρήστε το σύνολο των ατομικών προτάσεων ΑΡ = {α, π, ε} που αντιστοιχούν στις ενέργειες αποστολής μηνύματος, παραλαβής μηνύματος και επιστροφής αποτελέσματος που εκτελούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ664: Ανάλυση και Επαλθευση Συστημάτων Τμμα Πληροφορικς Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC0, PC1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Σκελετοί Λύσεων Ημερομηνία : Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Διάρκεια : 11:00 13:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13

Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13 Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13 Άσκηση 1 (20 μονάδες) Οι ιδιότητες διατυπώνοντας στην PLTL ως εξής: (α) Αν ο καταχωρητής Κ 1 κάποια στιγμή πάρει την τιμή 1 θα διατηρήσει την τιμή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Τετάρτη 24 Οκτωβρίου, 2018 Διάρκεια : 12:00 13:30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2017 1 η Σειρά Ασκήσεων Παράδοση: Τρίτη, 28/2/2017 μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες Άσκηση 1.1 [1 μονάδα]

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC 1, PC 2, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. bool y 1

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Έστω το σύνολο ατομικών προτάσεων ΑΡ = {red, yellow, green}. Με βάση τις ατομικές προτάσεις ΑΡ διατυπώστε τις πιο κάτω προτάσεις που αφορούν την κατάσταση των φώτων της

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic Majhmatik c Logik c 2

Ask seic Majhmatik c Logik c 2 Ask seic Majhmatik c Logik c 2 1. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες. (αʹ) (A B) και A B. (βʹ) A (B C) και (A B) (A C). (γʹ) A B και B A. (δʹ) A B και B A.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 Να υπολογίσετε τις ασθενέστερες προσυνθήκες έτσι ώστε οι πιο κάτω προδιαγραφές να είναι ορθές σύμφωνα (i) με την έννοια της μερικής ορθότητας και (ii) με την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ, Λ επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις. Σε περίπτωση που μια σχέση ισχύει να το αποδείξετε,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις Άσκηση 1 Χρησιμοποιώντας τα πιο κάτω κατηγορήματα και σταθερές και υποθέτωντας ως σύμπαν το σύνολο όλων των ανθρώπων, να διατυπώσετε τις προτάσεις που ακολουθούν στον Κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση Θεωρήστε τις πιο κάτω διεργασίες: A....A B....B.... P ( A B \{ P ( A A \{,,, },,, } (α Να κτίσετε τα συστήματα μεταβάσεων που αντιστοιχούν στις διεργασίες P, Ρ. Ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας

Διαβάστε περισσότερα

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Λογικοί Πράκτορες Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Πράκτορες βασισμένοι

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων. Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός

Λογικός Προγραμματισμός Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα 4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 Άσκηση 1 (α) {x = 12 y = 7} skip {y = 7} Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 Η προδιαγραφή αυτή είναι ορθή τόσο με την έννοια της μερικής ορθότητας όσο και με την έννοια της ολικής ορθότητας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα είναι μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής.

Πρόβλημα είναι μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Κεφάλαιο 2 - Πρόβλημα 2.1.1. Η έννοια του προβλήματος Πρόβλημα είναι μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. 2.1.2. Κατηγορίες προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC i, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. Process P i :

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους ήταν δίπλα μου όλα αυτά τα χρόνια και με βοήθησαν να πραγματοποιήσω τους στόχους μου.

Ευχαριστίες. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους ήταν δίπλα μου όλα αυτά τα χρόνια και με βοήθησαν να πραγματοποιήσω τους στόχους μου. Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου, Δρ Γιάννη Δημόπουλο, ο οποίος ήταν ο επιβλέπον καθηγητής της διπλωματικής αυτής εργασίας και με βοήθησε ώστε να ολοκληρωθεί με επιτυχία. Επίσης θα

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC 0, PC 1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. P[0] P[1]

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 8 Λύσεις

Φροντιστήριο 8 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 8 Λύσεις Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing όπου όλες οι μεταβάσεις που απουσιάζουν οδηγούν στην κατάσταση απόρριψης (q απόρριψης). Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα ) Εξετάστε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής για οποιαδήποτε σύνολα Α,Β,C. Δικαιολογήστε την απάντηση σας Αν A B και B C, τότε Α C έστω Β {α,β,γ}, αφού Α B τότε ένα παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα