Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad"

Transcript

1 Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

2 Mocninové rady Definícia Rad a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n +... n=0 kde x 0, a 0, a 1,..., a n, R, n N 0 nazývame mocninový rad. Číslo x 0 nazývame stred mocninového radu, čísla a 0, a 1,..., a n,... nazývame koeficienty mocninového radu. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

3 Mocninové rady Definícia Rad a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n +... n=0 kde x 0, a 0, a 1,..., a n, R, n N 0 nazývame mocninový rad. Číslo x 0 nazývame stred mocninového radu, čísla a 0, a 1,..., a n,... nazývame koeficienty mocninového radu. Ak existuje mocninový rad n=0 a n(x x 0 ) n so stredom v bode x 0 taký, že konverguje v nejakom okolí bodu x 0 k funkcii f a ak má funkcia f v bode x 0 všetky derivácie, tak ho môžeme v okolí bodu x 0 rozvinút do Taylorovho radu. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

4 Taylorov rad, MacLaurinov rad Definícia Taylorov rad funkcie f premennej x v bode x 0 je mocninový rad so stredom x 0 tvaru f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n = n! = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! n=0 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n +... n! pričom f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov a f (n) (x 0 ) je n-tá derivácia funkcie f v bode x 0. Pre x 0 = 0 hovoríme o MacLaurinovom rade. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

5 Taylorov rad, MacLaurinov rad Definícia Taylorov rad funkcie f premennej x v bode x 0 je mocninový rad so stredom x 0 tvaru f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n = n! = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! n=0 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n +... n! pričom f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov a f (n) (x 0 ) je n-tá derivácia funkcie f v bode x 0. Pre x 0 = 0 hovoríme o MacLaurinovom rade. Funkcia f sa nazýva analytická (v bode x 0 ) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu x 0 zhoduje s danou funkciou. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

6 Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

7 Taylorov polynóm Definícia Nech f je (n + 1)-krát diferencovatel ná funkcia v bode x 0, definovaná na okolí O(x 0 ) bodu x 0. Potom platí f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n+1 (x), n! kde výraz R n+1 (x) označuje zvyšok. Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá čast (čast bez zvyšku) sa nazýva (n-tý) Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie f so stredom v bode x 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

8 Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

9 Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Implikácia platí aj opačne: Ak je uvedená limita nulová, p(x) je Taylorovým polynómom funkcie f stupňa n. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

10 Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Implikácia platí aj opačne: Ak je uvedená limita nulová, p(x) je Taylorovým polynómom funkcie f stupňa n. Pre n z Taylorového aproximačného polynómu dostaneme Taylorov rad. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

11 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

12 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

13 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Brook Taylor a Colin MacLaurin - vybudovanie teórie nezávisle na sebe - nevyhnutnosť znalosti diferenciálneho počtu Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

14 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Brook Taylor a Colin MacLaurin - vybudovanie teórie nezávisle na sebe - nevyhnutnosť znalosti diferenciálneho počtu sin x x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

15 Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

16 Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Nech x 0 = 0. Uvažujme funkciu f (x) a polynóm p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, n N je konečné číslo. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

17 Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Nech x 0 = 0. Uvažujme funkciu f (x) a polynóm p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, n N je konečné číslo. Potom f (x) = p(x) a pre x 0 = 0 máme: a 0 = f (0) f (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n 1 a 1 = f (0) f (x) = 2a 2 + 6a 3 x + + n(n 1)a n x n 2 a 2 = f (0) 2. Všeobecne a k = f (k) k! p(x). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

18 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

19 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

20 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 Goniometrická funkcia cosínus cos (x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! ! + + x 2m 2 ( 1)m 1 (2m 2)! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

21 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 Goniometrická funkcia cosínus cos (x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 Prirodzený logaritmus ln(1 + x) = x x x 3 3 x 4 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! ! + + x 2m 2 ( 1)m 1 (2m 2)! ( 1)n 1 x n n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

22 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 e x = n=0 xn n! pre x R sin (x) = x2n+1 n=0 ( 1)n (2n+1)! pre x R cos (x) = x2n n=0 ( 1)n (2n)! pre x R arcsin(x) = (2n)!x 2n+1 n=0 pre x 1 4 n (n!) 2 (2n+1) arctg(x) = ( 1) n x 2n+1 n=0 2n+1 pre x R ln(1 + x) = n=1 ( 1) n+1 x n n pre x 1, x ( 1) ln(1 x) = n=1 xn n pre x 1, x 1 (1+x) α = n=0 x n pre x < 1 (1-x) 1 = n=0 x n pre x < 1 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

23 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

24 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

25 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). sin (2x) = 2x 1! (2x)3 3! + (2x)5 5! (2x)7 7! + + ( 1)m 1 (2x) 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a 2x ( 1; 1), teda x ( 1 2 ; 1 2 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

26 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). sin (2x) = 2x 1! (2x)3 3! + (2x)5 5! (2x)7 7! + + ( 1)m 1 (2x) 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a 2x ( 1; 1), teda x ( 1 2 ; 1 2 ). x sin (2x) = 2x2 1! 23 x 4 3! + 25 x 6 5! 27 x 8 7! + + ( 1)m 1 2 2m 1 x 2m (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1 2 ; 1 2 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

27 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

28 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

29 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

30 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

31 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n x ln(1 + 3x) = x x ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

32 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n x ln(1 + 3x) = x x ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n x ln(1 + 3x) = n=1 ( 1) n 1 3 n+2 n (x 0) n 1 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

33 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n x ln(1 + 3x) = x x ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n x ln(1 + 3x) = n=1 9 x ln(1 + 3x) = m=0 ( 1) n 1 3 n+2 n (x 0) n 1 ( 1) m 3 m+3 m+1 (x 0) m Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

34 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

35 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

36 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

37 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov - pri výpočte limít funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

38 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov - pri výpočte limít funkcií - pri hl adaní riešenia systému diferenciálnych rovníc... a inde Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

39 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

40 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

41 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

42 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Zároveň platí, že lim x 0 o(x n ) x n = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

43 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Zároveň platí, že lim x 0 o(x n ) x n = 0. - chybu odhadneme pomocov zvyškov, napríklad pomocou Lagrangeovho tvaru zvyšku: R n+1 (x) = f (n+1) (ζ) (n + 1)! (x x 0) n+1, kde číslo ζ je medzi x a stredom x 0 (pre x < x 0 je ζ (x, x 0 ), pre x > x 0 je ζ (x 0, x)). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

44 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

45 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

46 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

47 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Zvolíme π2n 4 = ( ) π 2n n 2 = x 2n. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

48 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Zvolíme π2n 4 = ( ) π 2n n 2 = x 2n. Potom ( 1) n x 2n = 1 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! x (2n + 1)! n=0 x= π 2 n=0 x= π 2 = 1 x sin x x= π 2 = 2 π Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

49 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

50 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

51 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

52 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

53 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

54 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

55 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus: x sin x lim x 0 x 3 x 3 x x + = lim 3! + o(x 3 ) x 0 x 3 = 1 6 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

56 Ďakujem za pozornost. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2 Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Zbierka úloh

Numerické metódy Zbierka úloh Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"

M8 Model Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Základy automatického riadenia

Základy automatického riadenia Základy automatického riadenia Prednáška 1 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy

Διαβάστε περισσότερα

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 Elementárny kalkulus

Matematika 1 Elementárny kalkulus Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH

MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol

Διαβάστε περισσότερα

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie, Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne

Διαβάστε περισσότερα

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana. Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2 NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11 Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3

Διαβάστε περισσότερα

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných

Διαβάστε περισσότερα

Matematická analýza pre fyzikov IV.

Matematická analýza pre fyzikov IV. 119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica

Διαβάστε περισσότερα

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu. Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B

Διαβάστε περισσότερα

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17 Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie komplexnej premennej

Funkcie komplexnej premennej (prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH

MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek

Matematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,

9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a, Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F

Διαβάστε περισσότερα

Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif

Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová

Διαβάστε περισσότερα

DAI01 GUNČAGA, J: Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, FPV UKF Nitra, 2004

DAI01 GUNČAGA, J: Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, FPV UKF Nitra, 2004 DAI0 GUNČAGA, J: Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, FPV UKF Nitra, 2004 Obhájená na FPV UKF Nitra.. 2004 2 Obsah Súčasný stav problematiky v školskej matematike 5. Pedagogické východiská.........................

Διαβάστε περισσότερα

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto

Διαβάστε περισσότερα

Príklady k Matematike 1

Príklady k Matematike 1 Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti: Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

viacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.

viacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne. Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej

Διαβάστε περισσότερα

Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011

Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011 Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. V. Balek UČEBNICE. J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 1973.

Matematika 1. V. Balek UČEBNICE. J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 1973. Matematika V. Balek UČEBNICE J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 973. I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava,

Διαβάστε περισσότερα

Automaty a formálne jazyky

Automaty a formálne jazyky Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné

Διαβάστε περισσότερα

Základy matematickej štatistiky

Základy matematickej štatistiky 1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov

Διαβάστε περισσότερα

Tézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty

Tézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice riešené substitúciou

Goniometrické rovnice riešené substitúciou Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα