Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
|
|
- Ἀνίκητος Κρεστενίτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
2 Mocninové rady Definícia Rad a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n +... n=0 kde x 0, a 0, a 1,..., a n, R, n N 0 nazývame mocninový rad. Číslo x 0 nazývame stred mocninového radu, čísla a 0, a 1,..., a n,... nazývame koeficienty mocninového radu. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
3 Mocninové rady Definícia Rad a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n +... n=0 kde x 0, a 0, a 1,..., a n, R, n N 0 nazývame mocninový rad. Číslo x 0 nazývame stred mocninového radu, čísla a 0, a 1,..., a n,... nazývame koeficienty mocninového radu. Ak existuje mocninový rad n=0 a n(x x 0 ) n so stredom v bode x 0 taký, že konverguje v nejakom okolí bodu x 0 k funkcii f a ak má funkcia f v bode x 0 všetky derivácie, tak ho môžeme v okolí bodu x 0 rozvinút do Taylorovho radu. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
4 Taylorov rad, MacLaurinov rad Definícia Taylorov rad funkcie f premennej x v bode x 0 je mocninový rad so stredom x 0 tvaru f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n = n! = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! n=0 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n +... n! pričom f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov a f (n) (x 0 ) je n-tá derivácia funkcie f v bode x 0. Pre x 0 = 0 hovoríme o MacLaurinovom rade. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
5 Taylorov rad, MacLaurinov rad Definícia Taylorov rad funkcie f premennej x v bode x 0 je mocninový rad so stredom x 0 tvaru f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n = n! = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! n=0 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n +... n! pričom f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov a f (n) (x 0 ) je n-tá derivácia funkcie f v bode x 0. Pre x 0 = 0 hovoríme o MacLaurinovom rade. Funkcia f sa nazýva analytická (v bode x 0 ) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu x 0 zhoduje s danou funkciou. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
6 Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
7 Taylorov polynóm Definícia Nech f je (n + 1)-krát diferencovatel ná funkcia v bode x 0, definovaná na okolí O(x 0 ) bodu x 0. Potom platí f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n+1 (x), n! kde výraz R n+1 (x) označuje zvyšok. Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá čast (čast bez zvyšku) sa nazýva (n-tý) Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie f so stredom v bode x 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
8 Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
9 Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Implikácia platí aj opačne: Ak je uvedená limita nulová, p(x) je Taylorovým polynómom funkcie f stupňa n. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
10 Taylorov polynóm Aby bol polynóm p(x) konečného stupňa n Taylorovým polynómom, musí platit : f (x) p(x) lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Implikácia platí aj opačne: Ak je uvedená limita nulová, p(x) je Taylorovým polynómom funkcie f stupňa n. Pre n z Taylorového aproximačného polynómu dostaneme Taylorov rad. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
11 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
12 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
13 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Brook Taylor a Colin MacLaurin - vybudovanie teórie nezávisle na sebe - nevyhnutnosť znalosti diferenciálneho počtu Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
14 História Taylorových radov storočie - potreba predstavy priebehu zložitých funkcií - potreba znalosti hodnôt niektorých zložitých funkcií -nápad nahradiť zložitú funkciu jednoduchšou, napríklad polynómom Brook Taylor a Colin MacLaurin - vybudovanie teórie nezávisle na sebe - nevyhnutnosť znalosti diferenciálneho počtu sin x x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
15 Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
16 Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Nech x 0 = 0. Uvažujme funkciu f (x) a polynóm p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, n N je konečné číslo. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
17 Odvodenie Taylorovho radu Myšlienka: Majme dve funkie definované na okolí nejakého bodu z ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú, tak sa rovnajú i ich derivácie (všetkých rádov). Nech x 0 = 0. Uvažujme funkciu f (x) a polynóm p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, n N je konečné číslo. Potom f (x) = p(x) a pre x 0 = 0 máme: a 0 = f (0) f (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n 1 a 1 = f (0) f (x) = 2a 2 + 6a 3 x + + n(n 1)a n x n 2 a 2 = f (0) 2. Všeobecne a k = f (k) k! p(x). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
18 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
19 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
20 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 Goniometrická funkcia cosínus cos (x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! ! + + x 2m 2 ( 1)m 1 (2m 2)! +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
21 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 a x ( 1; 1) Exponenciálna funkcia e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! +... Goniometrická funkcia sínus sin (x) = x 1! x 3 3! + x 5 5! x 7 Goniometrická funkcia cosínus cos (x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 Prirodzený logaritmus ln(1 + x) = x x x 3 3 x 4 7! + + x 2m 1 ( 1)m 1 (2m 1)! ! + + x 2m 2 ( 1)m 1 (2m 2)! ( 1)n 1 x n n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
22 Taylorove rady niektorých funkcií pre x 0 = 0 e x = n=0 xn n! pre x R sin (x) = x2n+1 n=0 ( 1)n (2n+1)! pre x R cos (x) = x2n n=0 ( 1)n (2n)! pre x R arcsin(x) = (2n)!x 2n+1 n=0 pre x 1 4 n (n!) 2 (2n+1) arctg(x) = ( 1) n x 2n+1 n=0 2n+1 pre x R ln(1 + x) = n=1 ( 1) n+1 x n n pre x 1, x ( 1) ln(1 x) = n=1 xn n pre x 1, x 1 (1+x) α = n=0 x n pre x < 1 (1-x) 1 = n=0 x n pre x < 1 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
23 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
24 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
25 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). sin (2x) = 2x 1! (2x)3 3! + (2x)5 5! (2x)7 7! + + ( 1)m 1 (2x) 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a 2x ( 1; 1), teda x ( 1 2 ; 1 2 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
26 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = x sin (2x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0. sin (x) = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)m 1 x 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). sin (2x) = 2x 1! (2x)3 3! + (2x)5 5! (2x)7 7! + + ( 1)m 1 (2x) 2m 1 (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a 2x ( 1; 1), teda x ( 1 2 ; 1 2 ). x sin (2x) = 2x2 1! 23 x 4 3! + 25 x 6 5! 27 x 8 7! + + ( 1)m 1 2 2m 1 x 2m (2m 1)! +... pre x 0 = 0 a x ( 1 2 ; 1 2 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
27 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
28 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
29 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
30 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
31 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n x ln(1 + 3x) = x x ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n +... Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
32 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n x ln(1 + 3x) = x x ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n x ln(1 + 3x) = n=1 ( 1) n 1 3 n+2 n (x 0) n 1 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
33 Rozvoj funkcií do mocninového radu - úlohy Pr.: Rozviňte funkciu f (x) = 9 x ln (1 + 3x) do mocninového radu so stredom x 0 = 0 a daný rad zapíšte v tvare m=0 a m (x x 0 ) m. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 pre x 0 = 0 a x ( 1; 1). 3 x ( 1)n 1 x n n +... ln(1 + 3x) = (3x) (3x)2 2 + (3x)3 3 (3x) ( 1)n 1 (3x) n n +... pre x 0 = 0 a 3x ( 1; 1), teda x ( 1 3 ; 1 3 ). Pre x 0 = 0 a x ( 1 3 ; 1 3 ) dostávame: 9 x ln(1 + 3x) = 9 x (3x) 9 (3x) 2 x (3x) 3 x ( 1) n 1 (3x) n x n x ln(1 + 3x) = x x ( 1)n 1 3 n+2 x n 1 n x ln(1 + 3x) = n=1 9 x ln(1 + 3x) = m=0 ( 1) n 1 3 n+2 n (x 0) n 1 ( 1) m 3 m+3 m+1 (x 0) m Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
34 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
35 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
36 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
37 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov - pri výpočte limít funkcií Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
38 Využitie Taylorových radov Využitie Taylorových radov: - pri hl adaní približných hodnôt funkcií - pri hľadaní súčtov nekonečných radov - pri výpočte limít funkcií - pri hl adaní riešenia systému diferenciálnych rovníc... a inde Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
39 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
40 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
41 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
42 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Zároveň platí, že lim x 0 o(x n ) x n = 0. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
43 Využitie Taylorových radov Pri hl adaní približných hodnôt funkcií využívame Taylorov polynóm: - Taylorov rad si predstavíme ako nekonečný súčet - vypočítame niekoľko prvých členov polynómu - ostatné členy zapíšeme v tvare o(x k ) (pre p(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ), ide o členy stupňa > 3) Zároveň platí, že lim x 0 o(x n ) x n = 0. - chybu odhadneme pomocov zvyškov, napríklad pomocou Lagrangeovho tvaru zvyšku: R n+1 (x) = f (n+1) (ζ) (n + 1)! (x x 0) n+1, kde číslo ζ je medzi x a stredom x 0 (pre x < x 0 je ζ (x, x 0 ), pre x > x 0 je ζ (x 0, x)). Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
44 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
45 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
46 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
47 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Zvolíme π2n 4 = ( ) π 2n n 2 = x 2n. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
48 Využitie Taylorových radov Hl adanie súčtov radov: Pr.: Nájdite súčet nekonečného číselného radu n=0 ( 1) n π 2n 4 n (2n + 1)! Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus. Zvolíme π2n 4 = ( ) π 2n n 2 = x 2n. Potom ( 1) n x 2n = 1 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! x (2n + 1)! n=0 x= π 2 n=0 x= π 2 = 1 x sin x x= π 2 = 2 π Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
49 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
50 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
51 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
52 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
53 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
54 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus: Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
55 Využitie Taylorových radov Výpočet niektorých limít: Pr.: Vypočítajte lim x 0 e x 1 x. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie e x : e x ( x + o(x) 1 lim = lim = lim 1 + o(x) ) = 1 x 0 x x 0 x x 0 x Pr.: Vypočítajte lim x 0 x sin x x 3. Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus: x sin x lim x 0 x 3 x 3 x x + = lim 3! + o(x 3 ) x 0 x 3 = 1 6 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
56 Ďakujem za pozornost. Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov rad Košice, / 17
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Prednáška 1 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2
NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek
Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότερα9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,
Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραDAI01 GUNČAGA, J: Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, FPV UKF Nitra, 2004
DAI0 GUNČAGA, J: Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, FPV UKF Nitra, 2004 Obhájená na FPV UKF Nitra.. 2004 2 Obsah Súčasný stav problematiky v školskej matematike 5. Pedagogické východiská.........................
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραPríklady k Matematike 1
Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. V. Balek UČEBNICE. J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 1973.
Matematika V. Balek UČEBNICE J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV. Alfa, Bratislava, 973. I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava,
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραTézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty
Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότερα