ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα:

Transcript

1 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Αν.Καθηγητής Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Διευθυντής Γραφείο: Κτήριο (Ε), 3 ος όροφος, τηλ: antogian@central.ntua.gr Δρ. Λεωνίδας Αλεξόπουλος, Λέκτορας Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Γραφείο: Κτήριο (Ε), 3 ος όροφος, τηλ: leo@mail.ntua.gr Προσωπική ιστοσελίδα: ΒΟΗΘΟΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: Δρ. Δημήτριος Βενετσάνος, ΙΔΑΧ Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Γραφείο: Κτήριο (Ε), Ισόγειο, τηλ: demetrios.venetsanos@gmail.com Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: Στο πλαίσιο του μαθήματος Δυναμική Μηχανών Ι, προβλέπεται: ενδιάμεση πρόοδος (προαιρετική). ένα υπολογιστικό θέμα (προαιρετικό). Σχετικές λεπτομέρειες (εκφωνήσεις και βαθμολογική βαρύτητα) θα ανακοινωθούν σύντομα

2 Μάθημα 1 ο : Εισαγωγή (10 Οκτ 010 / 08:45 09:30) Tο μάθημα Δυναμική Μηχανών Ι ασχολείται με την ανάλυση «Μηχανών» υπό το πρίσμα όχι της στατικής αλλά της «Δυναμικής» τους καταπόνησης και συμπεριφοράς. Με τον όρο Μηχανή, που αποτελεί το δεύτερο συνθετικό του ονόματος του μαθήματος, εννοούμε μία σύνθετη μηχανολογική διάταξη η οποία αποτελείται από διάφορα υποσυστήματα μηχανικών ή/και ηλεκτρικών ή/και υδραυλικών ή/και θερμικών διατάξεων. Υπάρχει ένα πολύ μεγάλο πλήθος τεχνολογικών παραδειγμάτων για τον όρο Μηχανή. Ο κινητήρας του αυτοκινήτου αποτελεί το πλησιέστερο στις παραστάσεις μας παράδειγμα μηχανής. Πρόκειται για μια αμιγώς μεταλλική μηχανολογική διάταξη, αποτελούμενη από ακίνητα και κινούμενα τεμάχια μετάλλου (μάζες, πιστόνια, άξονας, κ.λ.π.). Ωστόσο, σε ένα αυτοκίνητο δεν απαιτείται μόνον η εξασφάλιση της κίνησής του, αλλά ενδιαφέρει και η εξασφάλιση άλλων λειτουργιών, όπως είναι η λειτουργία του φωτισμού, του κλιματισμού, του ραδιοφώνου, κοκ. Εξ αιτίας αυτής της απαίτησης/επιθυμίας, η τάξη μεγέθους της ηλεκτροπαραγωγής ενός σύγχρονου αυτοκινήτου είναι σε πολλές περιπτώσεις μεγαλύτερη του 1KW. Για να καλυφθούν αυτές οι ανάγκες, έχει προσαρμοσθεί στον κινητήρα κατάλληλη ηλεκτρική διάταξη (ηλεκτρικό υποσύστημα: ηλεκτρογεννήτρια / δυναμό). Η Ανεμογεννήτρια (Α/Γ) αποτελεί άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα μηχανής. Πρόκειται για μία μηχανολογική διάταξη, η οποία φέρει πτερύγια κινούμενα από τον αέρα και διαθέτει γεννήτρια για την παραγωγή ενέργειας. Επειδή διασυνδέεται με το δίκτυο, η συχνότητα του οποίου είναι 50Hz, απαιτείται περιστροφή της γεννήτριας της Α/Γ με περιστροφική ταχύτητα αντίστοιχης τάξης μεγέθους. Ωστόσο, οι πτέρυγες της Α/Γ περιστρέφονται με συχνότητα λίγων HZ. Άρα, απαιτείται μία επιπρόσθετη ειδική μηχανική διάταξη (μειωτήρας) για τη σύζευξη της χαμηλόσυχνης περιστροφής των πτερυγίων της Α/Γ με το υψηλότερης συχνότητας διασυνδεδεμένο δίκτυο. Στο οικιακό περιβάλλον, ο καυστήρας και ο ανελκυστήρας (ασανσέρ) αποτελούν δυο χαρακτηριστικά παραδείγματα μηχανής. Ο καυστήρας αποτελεί ένα μηχανολογικό συγκρότημα, το οποίο διαθέτει διάφορα υποσυστήματα, όπως σύστημα τροφοδοσίας καυσίμου (κύκλωμα καυσίμου), κύκλωμα νερού καθώς και σύστημα ρυθμίσεων των επί μέρους λειτουργιών. Ο, δε, ανελκυστήρας (ασανσέρ) αποτελεί ένα ακόμα μηχανολογικό συγκρότημα, το οποίο διαθέτει διάφορα υποσυστήματα, όπως σύστημα ανύψωσης, σύστημα πέδης και σύστημα ηλεκτροκίνησης. Δύο άλλα χαρακτηριστικά τεχνολογικά παραδείγματα μηχανολογικών συστημάτων, πολύ μεγαλύτερης κλίμακας από τα προηγούμενα, αποτελούν τα αεροσκάφη και τα πλοία. Ένα αεροσκάφος, εκτός από την αμιγώς μεταλλική μηχανολογική κατασκευή (άτρακτος και πτέρυγες), διαθέτει στροβιλοκινητήρες, ειδικές ηλεκτρογεννήτριες και πλήθος υδραυλικών συστημάτων. Αντίστοιχο παράδειγμα αποτελούν τα πλοία. - -

3 Συνεπώς, στη σύγχρονη εποχή με τον όρο Μηχανή περιγράφουμε σύνθετα μηχανολογικά συγκροτήματα. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, θα παρουσιασθούν διάφορα τέτοια μηχανολογικά συγκροτήματα / τεχνολογικά παραδείγματα. Ο σκοπός, λοιπόν, του μαθήματος Δυναμική Μηχανών Ι είναι η σύνδεση και εφαρμογή γνώσεων μαθηματικών, φυσικής και μηχανικής με τεχνολογικά παραδείγματα. Ο όρος Δυναμική (πρώτο συνθετικό της ονομασίας του μαθήματος) αναφέρεται σε εκείνο το σύστημα, στο οποίο η διέγερση και η απόκριση είναι χρονικά μεταβαλλόμενες. Ο λόγος ενασχόλησης του Μηχανικού με τη Δυναμική οφείλεται στο γεγονός ότι η δυναμική συμπεριφορά μηχανών, συγκριτικά με την κλασσική στατική περίπτωση, παίζει καθοριστικό ρόλο στον τρόπο σχεδίασης μίας μηχανής. Ιστορική Αναδρομή Η ανάπτυξη της επιστήμης της «Δυναμικής Μηχανών», όπως συνήθως συμβαίνει και στην ανάπτυξη άλλων τεχνολογικών κλάδων, οφείλεται στις ανάγκες που παρουσιάστηκαν στην επίλυση προβλημάτων της καθημερινότητας. Πιο συγκεκριμένα, στις αρχές του 1900, όταν άρχισε η εφαρμογή του ηλεκτρισμού (εξηλεκτρισμός της κοινωνίας), παρουσιάσθηκε η ανάγκη κατασκευής μεγάλων ενεργειακών μηχανών: αρχικά υδροστροβίλων και ηλεκτρογεννητριών, ενώ στη συνέχεια ατμοστροβίλων. Αυτές οι μηχανές έπρεπε να είναι ταχύστροφες και για να έχουν υψηλή απόδοση και ισχύ. Ωστόσο, εξ αιτίας της συνεχούς αύξησης της ταχύτητας περιστροφής, εμφανίστηκαν φυγόκεντρες δυνάμεις που μπορεί να προκαλέσουν πολύ σοβαρά προβλήματα στην ομαλή λειτουργία της μηχανής. Φυγόκεντρες δυνάμεις περιγράφονται από την εξίσωση: F m r (1) Από την Εξ.(1), είναι φανερό ότι η φυγόκεντρος δύναμη F είναι ανάλογη της μάζας m, ανάλογη της ακτίνας r και ανάλογη του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας. Συνεπώς, όσο ταχύτερα περιστρέφεται μία μηχανή τόσο ισχυρότερες είναι οι φυγόκεντρες δυνάμεις. Όταν, λοιπόν, μεταξύ άλλων, στις αρχές του 1900 κατασκευάζονταν μεγάλες ενεργειακές μηχανές με υψηλές γωνιακές ταχύτητες, σημειώθηκαν αστοχίες, ακριβώς εξ αιτίας των πολύ υψηλών εμφανιζομένων φυγόκεντρων δυνάμεων. Παρουσιάστηκε λοιπόν, η επιτακτική ανάγκη ανάλυσης της δυναμικής συμπεριφοράς των στρεφόμενων μηχανών. Αυτό έδωσε ώθηση στην ανάπτυξη της «Δυναμικής Μηχανών» και πιό συγκεκριμένα στον απόκλαδο της που σήμερα ονομάζεται «Δυναμική στροφέων» (Rotor Dynamics). Μετά το ο Παγκόσμιο Πόλεμο, άρχισε να αναπτύσσεται ένας άλλος τεχνολογικός κλάδος στον οποίο η δυναμική έπαιξε καθοριστικό ρόλο: η Αεροναυπηγική και η Διαστημική Τεχνολογία. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η ταλάντωση της πτέρυγας ενός αεροπλάνου που παραλαμβάνει μεγάλα φορτία και παράλληλα αποτελεί μία ελαφρά κατασκευή. Ωστόσο μια στατική ανάλυση των φορτίων των πτερυγίων θα κατέληγε σε βαριές κατασκευές με - 3 -

4 σχετικά μικρές παραμορφώσεις. Από την άλλη πλευρά, παρατηρώντας τα δέντρα όταν φυσά δυνατός άνεμος, διαπιστώνουμε ότι μία εύκαμπτη κατασκευή είναι δυνατόν να παραμορφώνεται σημαντικά και να ταλαντώνεται, χωρίς, ωστόσο, να σπάει. Η συμβολή, λοιπόν, της Δυναμικής Μηχανών στην Αεροναυπηγική, αναφορικά με τη συγκεκριμένη περίπτωση, είναι η σχεδίαση μίας κατασκευής με τέτοιο τρόπο, ώστε σημαντική ταλάντωση να μην προκαλεί αστοχία της κατασκευής. Οι παρατηρούμενες ταλαντώσεις στην πτέρυγα του αεροπλάνου, συγκριτικά με την αίσθηση που έχουμε σχηματίσει από την καθημερινή μας εμπειρία, φαντάζουν ως αφύσικες. Ωστόσο, από την οπτική γωνία της Δυναμικής Μηχανών, αυτές οι ταλαντώσεις είναι άκρως φυσιολογικές και ασφαλείς. Αυτό έδωσε ώθηση στην ανάπτυξη ενός απόκλαδου της Δυναμικής των Μηχανών, που σήμερα ονομάζεται «Δυναμική Δομών» (Structural Dynamics) και που οδήγησε σε αποτελεσματικές αριθμητικές μεθόδους υπολογισμού ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων για ασύνθετες κατασκευές. Στη σημερινή εποχή, η Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών έχει προχωρήσει σε όλες τις τεχνολογικές εφαρμογές του Μηχανολόγου Μηχανικού. Γενικά στοιχεία για το Μάθημα Όπως φαίνεται και από τη διεθνή βιβλιογραφία, η Δυναμική Μηχανών αποτελεί τομή τριών θεματικών πεδίων: της Δυναμικής Στερεού Σώματος (Rigid Body Dynamics), των Ταλαντώσεων (Vibrations), και της Δυναμικής Συστημάτων (System Dynamics), η οποία, με έναν πολύ απλό τρόπο, θα εξετασθεί χρησιμοποιώντας την ενεργειακή αρχή Lagrange. Πιο συγκεκριμένα, το μάθημα Δυναμική Μηχανών Ι διακρίνεται σε τρία βασικά μέρη. Στο πρώτο μέρος του μαθήματος, μέσα από την επανεξέταση ενός, ήδη γνωστού, μονοβάθμιου δυναμικού συστήματος (ισοδύναμα: σύστημα ενός Βαθμού Ελευθερίας / 1D.O.F. system, όπου DOF: Degree Of Freedom, δηλαδή Βαθμός Ελευθερίας), θα αξιοποιηθούν γνώσεις, οι οποίες έχουν ήδη αποκτηθεί από άλλα μαθήματα, προκειμένου να παρουσιασθεί ένα πρώτο επίπεδο βασικών εννοιών και τεχνολογικών εφαρμογών της Δυναμικής. Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος θα αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της Δυναμικής σύνθετων φορέων. Πιο συγκεκριμένα, θα παρουσιασθούν οι όροι πολυβάθμιο δυναμικό σύστημα ή σύστημα πολλών βαθμών ελευθερίας, ιδιοσυχνότητα ιδιοάνυσμα και συναρτήσεις μεταφοράς. Οι, δε, όροι ιδιοσυχνότητα και ιδιοάνυσμα, θα παρουσιασθούν ως μαθηματικές έννοιες και θα εξηγηθεί η φυσική τους υπόσταση (φυσική ερμηνεία). Με άλλα λόγια, θα δειχθεί σε πραγματικές κατασκευές τι είναι αυτό που καλείται - 4 -

5 ιδιοσυχνότητα και ιδιοάνυσμα. Πρόκειται για δύο βασικές έννοιες της Δυναμικής αλλά με πολύ μεγάλη τεχνολογική χρησιμότητα. Στο τρίτο μέρος του μαθήματος θα εξετασθεί ο τρόπος με τον οποίον είναι δυνατόν να «μοντελοποιηθούν» σύνθετες κατασκευές με τη χρήση ενεργειακών αρχών (Ενεργειακή αρχή Lagrange), δηλαδή του πως μπορούν να χρησιμοποιηθούν απλά στοιχεία Δυναμικής, όπως μάζες και ελατήρια, προκειμένου να προσδιορισθεί η δυναμική συμπεριφορά ενός σύνθετου φορέα, όπως είναι το αεροσκάφος. Διευκρινίζεται ότι το μάθημα προϋποθέτει ένα κατάλληλο θεωρητικό υπόβαθρο. Ωστόσο, η ύλη, η οποία θα παρουσιασθεί, έχει επιλεχθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε αφ ενός μεν να επιτευχθεί η ομαλή εισαγωγή των νέων εννοιών, αφ ετέρου δε, να παρουσιασθούν έννοιες και μέθοδοι, οι οποίες εφαρμόζονται στην πράξη του μηχανολόγου. Η σχέση του μαθήματος Δυναμική Μηχανών Ι με άλλα μαθήματα της Σχολής Μηχανολόγων Μηχανικών του ΕΜΠ απεικονίζεται στο Σχήμα 1 (σελ.6)

6 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Γραμμική Άλγεβρα Μηχανική Ελαστικών Φορέων Ενεργειακή Αρχή Lagrange Μονοδιάστατοι Φορείς Δοκός σε Εφελκυσμό, Θλίψη, Κάμψη, Στρέψη Στοιχεία Μηχανών ΙΙ (γρανάζι, άτρακτος, σχέση μετάδοσης) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών ΙΙ (κύκλος Κατασκευαστικός ) Ευθύ πρόβλημα: για δεδομένη μηχανή, αναγραφή εξισώσεων και εύρεση απόκρισης με χρήση Η/Υ (Δυναμική Μηχανών Ι) Αντίστροφο πρόβλημα: για δεδομένη μηχανή, μέτρηση ταλαντώσεων & απόκρισης μηχανής, και εύρεση εάν η μηχανή αυτή παρουσιάζει βλάβες (διαγνωστική) (Δυναμική Μηχανών ΙΙ) Δυναμική Πτήσης (κύκλος Αεροναυπηγού ): Δυναμική αεροσκάφους Δυναμική Οχημάτων (κύκλος Κατασκευαστικός ): - Βασικές αρχές δυναμικής τροχών/οχημάτων Ανάλυση Μηχανολογικών Κατασκευών Ι & ΙΙ Συστηματικός υπολογισμός ιδιοτιμών & ιδιοανυσμάτων χρησιμοποιώντας μητρώα πεπερασμένων στοιχείων Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) Μεγάλη επικάλυψη Δυναμικής και Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ηλεκτρικές Μηχανές / Ηλεκτρικά Κυκλώματα Τεχνολογικά Μαθήματα Σχήμα 1: Συσχέτιση μαθήματος Δυναμική Μηχανών Ι με άλλα μαθήματα - 6 -

7 Μάθημα 1 ο : Εισαγωγή (10 Οκτ 010 / 09:45 10:30) Σύστημα Ενός Βαθμού Ελευθερίας Ακολουθεί σύντομη επανάληψη του Δυναμικού Συστήματος ενός Βαθμού Ελευθερίας. Έστω το Δυναμικό Σύστημα του Σχήματος, όπου μία μάζα στηρίζεται σε ένα ελατήριο και έναν αποσβεστήρα. x(t) F(t) m k c Σχήμα : Δυναμικό Σύστημα ενός Βαθμού Ελευθερίας Στο Σχήμα έχει χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος συμβολισμός: m : μάζα (στοιχείο αδρανείας) k : ελατήριο (στοιχείο ελαστικότητας) c : αποσβεστήρας (στοιχείο καταστροφής ενέργειας) x t : απόκριση συστήματος (μετατόπιση), χρονικά μεταβαλλόμενη F t : εξωτερική διέγερση συστήματος (δύναμη), χρονικά μεταβαλλόμενη. Θεωρείται ότι το κάτω άκρο των στοιχείων ελαστικότητας και απόσβεσης (k και c, αντίστοιχα) είναι προσδεδεμένο σε ακλόνητη (ακίνητη και απαραμόρφωτη) οριζόντια επιφάνεια, ενώ το άνω άκρο τους είναι άκαμπτα συνδεδεμένο με τη μάζα m. Συνεπώς, το άνω άκρο των στοιχείων k και c εμφανίζει την ίδια μετατόπιση με την μάζα m. Το συγκεκριμένο δυναμικό σύστημα χαρακτηρίζεται ως σύστημα ενός Βαθμού Ελευθερίας (1 ΒΕ) διότι το εμφανιζόμενο κινηματικό μέγεθος του συστήματος είναι ένα και μοναδικό: η κοινή μετατόπιση του κέντρου της μάζας m και των άνω άκρων των στοιχείων k και c. Διευκρινίζεται ότι η βαρύτητα αποτελεί μία μόνιμη, στατική φόρτιση, την οποία δεν λαμβάνουμε υπόψη γιατί θέτουμε ως αρχή της μετατόπισης την παραμορφωμένη από το βάρος κατάσταση ισορροπίας του συστήματος. Το δυναμικό σύστημα του Σχήματος εμπλέκει τρία διαφορετικά μεταξύ τους φυσικά στοιχεία, τα οποία χαρακτηρίζουν τις τρεις διαφορετικές φυσικές ιδιότητες ενός δυναμικού - 7 -

8 συστήματος. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχει ένα στοιχείο μάζας, ένα στοιχείο απόσβεσης και ένα στοιχείο ελατηρίου. Η μάζα m χαρακτηρίζει την αδράνεια του συστήματος. Ως αποτέλεσμα της αδράνειας, αναπτύσσονται αδρανειακές δυνάμεις σύμφωνα με την εξίσωση: Fm mx () Η Εξ.() δηλώνει ότι η αδρανειακή δύναμη μίας μάζας m είναι ανάλογη της επιτάχυνσης της μάζας, με σταθερά αναλογίας την ίδια τη μάζα m. Διαισθητικά, η απόσβεση σχετίζεται με την τριβή, άρα με καταστροφή ενέργειας. Στη φύση υπάρχουν πολλά παραδείγματα στοιχείων απόσβεσης. Το απλούστερο τεχνολογικό στοιχείο απόσβεσης είναι εκείνο το οποίο χρησιμοποιείται στις αναρτήσεις του αυτοκινήτου. Στο Σχήμα 3 απεικονίζεται μία απλοποιημένη μορφή αποσβεστήρα (στην πραγματικότητα, η ανάρτηση ενός αυτοκινήτου αποτελεί μία πολύ πιο σύνθετη τεχνολογική διάταξη). έμβολο υγρό επιφάνεια εμβόλου κύλινδρος Σχήμα 3: Μονογραμμική απεικόνιση αποσβεστήρα Πιο συγκεκριμένα, μέσα στον κύλινδρο υπάρχει υδραυλικό υγρό κατάλληλου ιξώδους. Όταν το έμβολο κινηθεί σχετικά ως προς το τοίχωμα του κυλίνδρου (στην πράξη, όταν ο τροχός ανεβοκατεβαίνει σε σχέση με το σασί του αυτοκινήτου), τότε το υγρό διέρχεται μέσα από κατάλληλες εγκοπές του εμβόλου, αναπτύσσοντας υδραυλική τριβή (ιξώδη τριβή) μεταξύ υγρού και εμβόλου. Ως αποτέλεσμα, ασκείται στην επιφάνεια του εμβόλου μία δύναμη, η οποία περιγράφεται από την εξίσωση: Fc cx (3) Στην Εξ.(3), η σταθερά c είναι δυνατόν να προσδιορισθεί από τις ιδιότητες του υγρού και τη γεωμετρία της διάταξης και ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Η Εξ.(3) δηλώνει ότι η δύναμη απόσβεσης είναι ανάλογη της σχετικής ταχύτητας x του εμβόλου ως προς το τοίχωμα του κυλίνδρου, με σταθερά αναλογίας την ποσότητα c. Διευκρινίζεται ότι και από το φυσικό πρότυπο (ροή Quette), προκύπτει ότι η δύναμη F c είναι ανάλογη της ταχύτητας

9 Το ελατήριο σταθεράς k αποτελεί στοιχείο ελαστικότητας (παραμορφωσιμότητας) του συστήματος. Μεταβολή του μήκους του ελατηρίου κατά x προκαλεί την εμφάνιση ελαστικής δύναμης, η οποία περιγράφεται από την εξίσωση: Fk k x (4) Η Εξ.(4) δηλώνει ότι η ελαστική δύναμη F k είναι ανάλογη της μετατόπισης x του ελευθέρου άκρου του ελατηρίου, με σταθερά αναλογίας την ποσότητα k. Στον Πίνακα 1 συνοψίζονται οι τρεις βασικοί τύποι δυναμικών στοιχείων (συμβολισμός στοιχείου, φυσική σημασία, είδος αναπτυσσομένων δυνάμεων, εξίσωση υπολογισμού). Πίνακας 1: Βασικά στοιχεία δυναμικής Στοιχείο Φυσική σημασία Αναπτυσσόμενες δυνάμεις Εξίσωση m Αδράνεια συστήματος Αδρανειακές Fm c Καταστροφή ενέργειας Απόσβεσης Fc mx cx k Παραμορφωσιμότητα Ελαστικές Fk k x Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι σε κάθε ένα από τα στοιχεία του δυναμικού συστήματος του Σχήματος αναπτύσσεται διαφορετική μορφή δύναμης, η οποία είναι εσωτερική δύναμη του συστήματος. Επειδή, δε, τα τρία στοιχεία του συστήματος είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους, από την δυναμική ισορροπία του συστήματος προκύπτει ότι το σύνολο των εσωτερικών δυνάμεων θα πρέπει να είναι αλγεβρικά ίσο προς την εξωτερικά ασκούμενη δύναμη (εξωτερική διέγερση), σύμφωνα με την ακόλουθη εξίσωση (εξίσωση δυναμικής ισορροπίας): F F F f t (5) m c k Σχηματικά, η δυναμική ισορροπία απεικονίζεται στο Σχήμα 4. f t F k Fc Fm Σχήμα 4: Ισορροπία δυνάμεων για το σύστημα ενός Βαθμού Ελευθερίας Αντικαθιστώντας στην Εξ.(5) τις εσωτερικές δυνάμεις με τις Εξ.(,3,4), οι οποίες, κατά κάποιο τρόπο, αποτελούν τις καταστατικές εξισώσεις των δυνάμεων, προκύπτει: - 9 -

10 mx cx kx F t (6) Η Εξ.(6) είναι μία Γραμμική Διαφορική Εξίσωση δευτέρας τάξεως. Η Εξ.(6) αποτελεί αυτό που καλείται μοντέλο του συστήματος, ενώ η διαδικασία μέσω της οποίας από το Σχήμα καταλήγουμε στην Εξ.(6) καλείται μοντελοποίηση. Για το δυναμικό σύστημα του Σχήματος, η μοντελοποίηση είναι εξαιρετικά απλή και οδηγεί στην Εξ.(6) άμεσα. Ωστόσο, για πιο σύνθετες κατασκευές όπως είναι ένα αεροσκάφος, τόσο η μετάβαση από τα τεχνολογικά σχέδια στις εξισώσεις που περιγράφουν το δυναμικό σύστημα, όσο και η επίλυση του αντίστοιχου συστήματος εξισώσεων, είναι αρκετά πιο σύνθετες διαδικασίες (αποτελούν, δε, μέρος του μαθήματος Δυναμική Μηχανών Ι ). Εισαγωγή στην ενεργειακή αρχή Lagrange Εναλλακτικά, για τον σχηματισμό των εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η ενεργειακή αρχή Lagrange (θα παρουσιασθεί αναλυτικά σε επόμενο κύκλο μαθημάτων). Για το απλό μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα του Σχήματος, η ενεργειακή αρχή Lagrange εφαρμόζεται ως εξής: - Καταγραφή της κινητικής ενέργειας T, η οποία συσσωρεύεται στη μάζα m : T 1 mx (7) - Καταγραφή της δυναμικής ενέργειας U, η οποία συσσωρεύεται στο ελατήριο σταθεράς k : U 1 k x (8) - Καταγραφή της ενέργειας P C, η οποία διαχέεται στον αποσβεστήρα σταθεράς c : PC 1 cx (9) - Καταγραφή της ισχύος P t που προσφέρεται στο σύστημα από την εξωτερική δύναμη F(t): Pt F x (10) Σύμφωνα με την ενεργειακή αρχή Lagrange, ορίζεται η ποσότητα L, η οποία καλείται ενεργειακή μεταβλητή Lagrange, ως εξής:

11 L T U (11) Στην Εξ.(11), οι ποσότητες T και U είναι εκείνες που ορίσθηκαν στην Εξ.(7) και στην Εξ.(8), αντίστοιχα. Επίσης, σύμφωνα με την ενεργειακή αρχή Lagrange, ισχύει: L L PC Pt t x x x x (1) Εκτελώντας πράξεις, καταλήγουμε στην Εξ.(6) δηλαδή το μοντέλο του δυναμικού συστήματος μπορεί να επιτευχτεί χρησιμοποιώντας είτε εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων είτε την ενεργειακή αρχή Lagrange. Το όφελος από αυτήν την η προσέγγιση καθίσταται φανερό όταν το δυναμικό σύστημα εμπλέκει πολλούς βαθμούς ελευθερίας και η εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων είναι αδύνατη. Έτσι, όπως θα δούμε στην συνέχεια του μαθήματος, ο υπολογισμός της καταστατικής εξίσωσης για πολλούς βαθμούς ελευθερίας, θα προκύπτει με εφαρμογή της ενεργειακής αρχής Lagrange. Δυναμική συμπεριφορά συστήματος 1 ος Β.Ε. Συνεχίζοντας στη διερεύνηση του μονοβάθμιου δυναμικού συστήματος του Σχήματος, ανακύπτει το ερώτημα: εάν ξέρω το μοντέλο του συστήματος, δηλαδή ξέρω την Εξ.(6), πώς είναι δυνατόν να βρω την απόκριση x(t) του συστήματος; Η απάντηση είναι προφανής: λύνοντας την Εξ.(6), δηλαδή επιλύοντας μία Γραμμική Δ.Ε ας τάξεως (υπολογισμός χαρακτηριστικού πολυωνύμου, υπολογισμός ομογενούς λύσεως, υπολογισμός μερικής λύσεως). Διαιρώντας την Εξ.(6) δια της μάζας m, είναι δυνατόν να καταλήξουμε στην ακόλουθη έκφραση: F t xx x (13) m Η Εξ.(13) καλείται αδιαστατοποιημένη μορφή της Εξ.(6) και για την διατύπωσή της έχουν ορισθεί οι ακόλουθες ποσότητες αδιάστατες ποσότητες, οι οποίες είναι εξαιρετικά σημαντικές έννοιες για τον προσδιορισμό της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος: m k και c m (14)

12 Η ποσότητα καλείται κυκλική ιδιοσυχνότητα ή κυκλική φυσική συχνότητα του δυναμικού συστήματος και σύμφωνα με την Εξ.(14), το τετράγωνο της ιδιοσυχνότητας ισούται με τον λόγο της σταθεράς του ελατηρίου προς τη μάζα. Η ιδιοσυχνότητα παριστάνει το σημείο της μέγιστης απορρόφησης ενέργειας (συντονισμός) του συστήματος. Καλείται, δε, φυσική συχνότητα (ή ιδιοσυχνότητα) διότι χαρακτηρίζει την συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος, όταν δεν ασκούνται σε αυτό εξωτερικές διεγέρσεις (συχνότητα με την οποία το σύστημα «ταλαντώνεται από μόνο του», «ταλαντώνεται από τη φύση του»). Συνεπώς, η ιδιοσυχνότητα αποτελεί την πρώτη σημαντική ιδιότητα ενός δυναμικού συστήματος. Όπως θα δειχθεί σε επόμενο μάθημα, ένα σύστημα έχει τόσες ιδιοσυχνότητες όσους και Βαθμούς Ελευθερίας. Η κυκλική ιδιοσυχνότητα εκφράζεται σε rad sec. Ισχύει επίσης: f (15) όπου η ιδιοσυχνότητα f εκφράζεται σε Hz. Επίσης, ορίζεται: T 1 f (16) Η ποσότητα T καλείται ιδιοπερίοδος του συστήματος. Όπως θα δειχθεί σε επόμενο μάθημα, οι χρονικές κλίμακες των εξωτερικών διεγέρσεων σε σχέση με τις εσωτερικές περιόδους (ιδιοπεριόδους) του συστήματος καθορίζουν σημαντικά την δυναμική απόκριση ενός συστήματος. Η δε, ποσότητα καλείται λόγος απόσβεσης και εκφράζει την ικανότητα καταστροφής των εξωτερικών διεγέρσεων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιας ικανότητας αποτελούν τα «αμορτισέρ» στα οχήματα. Εαν ένα όχημα χωρίς «αμορτισέρ» (στα γαλλικά αμορτισέρ σημαίνει απόσβεση ) πέσει σε μία λακκούβα, τότε θα συνεχίσει να ταλαντώνεται μετά τη διάβαση της λακκούβας. Αντιθέτως, τα «αμορτισέρ» καταστρέφουν την ενέργεια η οποία συσσωρεύεται στο σύστημα και με τον τρόπο αυτό μειώνονται οι ταλαντώσεις. Το επόμενο βήμα στην πορεία του μαθήματος είναι ο υπολογισμός της απόκρισης του μονοβάθμιου συστήματος του Σχήματος, όταν σε αυτό ασκούνται διάφορα είδη διεγέρσεων. Επίσης, για τις διεγέρσεις που θα εξετασθούν, θα εξηγηθεί με ποιόν τρόπο τα χαρακτηριστικά του συστήματος επηρεάζουν την απόκρισή του