ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων"

Transcript

1 y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων Τρίκλ 2007

2 2

3 Περιεχόμεν Πρόλογος Τ δύο Θεμελιώδη Θεωρήμτ του Απειροστικού Λογισμού Μί διδκτική πρότση Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδικσί επινόησης της πόδειξης μις μθημτικής πρότσης Η περίπτωση του θεωρήμτος Μέσης του Διφορικού Λογισμού Οι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί μετξύ γεωμετρικής κι συνρτησικής θεώρησης Διδκτικές προσεγγίσεις του προλήμτος π e της σύγκρισης των ριθμών e κι π στο πλίσιο της Ανάλυσης Ολοκλήρωμ συνάρτησης με μι ειδική συμμετρί Η γεωμετρική εποπτεί στην προυσίση της πόλυτης τιμής Μι πρότση γι την επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων με πόλυτες τιμές στην Α Λυκείου

4 4

5 Προλεγόμεν Συγκέντρωσ εδώ ορισμέν άρθρ μθημτικών, που έγρψ τ τελευτί χρόνι, με σκοπό ν νδείξω μι ξιοσημείωτη πιδευτική διάστση του ρόλου κι της συμολής των γεωμετρικών νπρστάσεων (εποπτείς), κυρίως στη διδσκλί της Ανάλυσης. Ο διδκτικός ρόλος της εποπτείς, όπως ξέρουμε, συνήθως επικεντρώνετι: Πρώτον, στη γεωμετρική ερμηνεί κάποιων προτάσεων, φού όμως πρώτ υτές έχουν διτυπωθεί υστηρά κι έχει ολοκληρωθεί κι η τυπική τους πόδειξη. Δεύτερον, στη γεωμετρική ισθητοποίηση ορισμένων εννοιών (όπως γι πράδειγμ, της πργώγου κι του ολοκληρώμτος) κι Τρίτον, στη δισφήνιση ορισμών που κι υτοί πρώτ έχουν ήδη διτυπωθεί στην τελική τους μορφή. Στ άρθρ που επέλεξ ν προυσιάσω εδώ (5 πό την Ανάλυση κι 1 πό την Άλγερ της Α Λυκείου), επεκτείνοντι τ προηγούμεν πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων κι νδεικνύετι μι κόμη εξιρετικά ενδιφέρουσ διάστσή τους: Η συμολή τους στη διδικσί επινόησης υτής κθευτής της πόδειξης μθημτικών προτάσεων. Ο ρόλος τους υτός εστιάζετι πό την ρχή στην επινόηση κάποιου γεωμετρικού επιχειρήμτος, το οποίο ιτιολογεί τη «σύλληψη» της πρότσης κι μς δίνει κάποι ιδέ γι την πόδειξή της. Όσοι διδάσκουμε Ανάλυση στη Γ Λυκείου, θ έχουμε προσέξει ότι, μερικές φορές, η πόδειξη κάποιων προτάσεων κι η λύση ορισμένων προλημάτων, σίζετι στη θεώρηση, πό την ρχή, κάποις κτάλληλης συνάρτησης. Κι είως, το "σημείο κλειδί" στις περιπτώσεις υτές ξέρουμε ότι είνι η επιλογή υτής της συνάρτησης. Όμως, δεν ιτιολογείτι συνήθως η νγκιότητ της συγκεκριμένης επιλογής κι επιπλέον, δεν εξετάζετι το ερώτημ της τυχόν ύπρξης κι άλλων συνρτήσεων εξίσου κτάλληλων γι την περίπτωση. Στ άρθρ που θ δούμε εξετάζετι το συγκεκριμένο πρόλημ κι νζητούντι πειστικές πντήσεις σε νάλογ ερωτήμτ που προκύπτουν. Τέλος, είνι πρίτητο ν τονιστεί ότι, τ άρθρ της εργσίς υτής δεν είνι δομημέν με τη μορφή σχεδίων μθημάτων γι διδσκλί μπορεί όμως ν ντλήσει κνείς ειδικές λλά κι γενικές ιδέες, χρήσιμες στη διδικσί διμόρφωσης διδκτικού υλικού. Δημήτρης Α. Ντρίζος, Τρίκλ

6 6

7 Τ δύο Θεμελιώδη Θεωρήμτ του Απειροστικού Λογισμού Μί διδκτική πρότση Περίληψη Σκοπός της εργσίς είνι ν νδείξει, στο πλίσιο μις διδκτικής πρότσης, τις δισυνδέσεις μετξύ των διδικσιών της πργώγισης κι της ολοκλήρωσης. Η εργσί διρθρώνετι ουσιστικά σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος προυσιάζετι η ιστορικομθημτική συνιστώσ του θέμτός μς: Η εξελικτική πορεί πό τη σύλληψη, γι πρώτη φορά, των ιδεών που ενιιοποιούν την πργώγιση κι την ολοκλήρωση, μέχρις ότου υτές διτυπώνοντι υστηρά με τη μορφή του 1ου θεμελιώδους θεωρήμτος του Απειροστικού Λογισμού. Στο δεύτερο μέρος περιγράφετι μι διδσκλί των δύο θεμελιωδών θεωρημάτων. Στο μέρος υτό επεκτείνοντι τ πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων πέρ πό την ισθητοποίηση κάποιων εννοιών κι τη γεωμετρική ερμηνεί ορισμένων προτάσεων, που δίνετι, συνήθως, μετά την πόδειξή τους. Ανδεικνύετι, έτσι, ένς κόμη σημντικός ρόλος που μπορούν ν πίξουν οι γεωμετρικές νπρστάσεις στη διδικσί επινόησης, υτής κθ' υτής, της πόδειξης μθημτικών προτάσεων. 1. Εισγωγή Ιστορική νδρομή Το πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού (1 ο Θ.Θ.Α.Λ.) είνι κεντρικής σημσίς (δηλώνετι άλλωστε υτό κι πό την ονομσί που του ποδόθηκε) κι είνι το μέσο με το οποίο δισυνδέοντι οι διδικσίες της Διφόρισης (Πργώγισης) κι της Ολοκλήρωσης συνρτήσεων. Ενιιοποιεί με ένν εξιρετικό τρόπο τις δύο διδικσίες, στο πλίσιο του Απειροστικού Λογισμού. Κι ο υπολογισμός των εμδών επιφνειών κάτω πό το γράφημ μις συνάρτησης γίνετι πλέον χωρίς τις γνωστές προσθέσεις εγγεγρμμένων ορθογωνίων κι χωρίς τη θεώρηση του ολοκληρώμτος ως μις ορικής διδικσίς. Η σύλληψη κι η πόδειξη του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. τοποθετείτι χρονικά στο δεύτερο μισό του 17ου ιών, ότν συμπληρώνετι το έργο των Βρετνών μθημτικών James Gregory ( ) κι Isaac Barrow ( ) κι προυσιάζοντι οι σχετικές με το θέμ έρευνες, περί το 1675, πό τους Isaac Newton ( ) κι Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). Κλείνει τότε μι χρονική περίοδος νάπτυξης του Απειροστικού Λογισμού που ως τότε θεωρείτι περίπου τυτόσημος με τον Ολοκληρω- 7

8 τικό Λογισμό, όπου κυριρχούν οι κτευθυντήριες ιδέες του Αρχιμήδη (287 π.χ.-212 π.χ.). Κτά τη μεγάλη υτή χρονική περίοδο, μέχρι την επινόηση του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. πό τους τέσσερις μθημτικούς που προνφέρμε, η όποι εξέλιξη του Απειροστικού Λογισμού χρκτηρίζετι πό τη σττική ντίληψη γι τις έννοιες του ολοκληρώμτος κι της εφπτομένης ευθείς σε σημείο μις κμπύλης με ομλή συμπεριφορά (όπως ο κύκλος κι οι κωνικές τομές). Ορίζουν ως εφπτομένη την ευθεί που "εγγίζει" την κμπύλη σ' έν σημείο, χωρίς ν διπερνά την κμπύλη. Εξίρεση ποτελεί το πράδειγμ της εφπτομένης της έλικς: Η εφπτομένη της έλικς έχει υπολογιστεί πό τον Αρχιμήδη (στην εργσί του: "Περί Ελίκων") με μεθοδολογί Διφορικού Λογισμού. Επίσης, ο κινητικός ορισμός της έλικς που δόθηκε πό τον Αρχιμήδη οδηγεί στη φυσική ερμηνεί της εφπτομένης ως τχύτητς. Γενικά όμως η Διφόριση, σε ντίθεση με την Ολοκλήρωση, δεν νπτύχθηκε ιδιίτερ πό τους ρχίους Έλληνες μθημτικούς. Αξίζει εν προκειμένω ν σημειώσουμε ότι η μέθοδος της εξάντλησης (λ. [3], σ.σ ), που επινοήθηκε πό τον Εύδοξο ( π.χ.) γι τον υπολογισμό εμδών κι όγκων ρίσκετι πολύ κοντά στη σύγχρονη προσέγγιση του ολοκληρώμτος μέσω των "θροισμάτων" Riemann. Η μέθοδος της εξάντλησης, όπως υτή νπτύχθηκε κι πό τον Αρχιμήδη, κτέστη μι υστηρή ποδεικτική μέθοδος με υψηλή γι την εποχή (κι όχι μόνο) τελειότητ. Θεωρείτι ο πρόδρομος του σημερινού Ολοκληρωτικού Λογισμού. Έχει, πιστεύουμε, ενδιφέρον μί πρένθεση εδώ. Μπορεί ν νρωτιέτι ίσως κνείς: Προς τι μι ιστορική νδρομή; Δεν είνι ρκετό ν' σχοληθούμε άμεσ με το Θεώρημ, στη μορφή με την οποί το γνωρίζουμε σήμερ; Θέλουμε ν νδείξουμε: πρώτον, την κοπιστική προσπάθει μέσ στο χρόνο πολλών πό τους μεγλύτερους μθημτικούς-ερευνητές γι έν ήμ της γνώσης προς τ μπρος γι νέες θεωρήσεις οι οποίες οδηγούν σε υπέρση της ήδη υπάρχουσς, ως τότε, γνώσης. Κι δεύτερον, μπορεί ν εκτιμήσουμε το τι κριώς σημίνει δημιουργί πργμτικά νές γνώσης σε ντίθεση με την τετριμμένη διτύπωση κι "επνδιτύπωση" έτοιμων θεμάτων, γι τις νάγκες μάλιστ της κθημερινής μς διδσκλίς. Στο σημείο τούτο επνερχόμστε στο επίκεντρο του θέμτός μς, δηλδή στο 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. Ν δούμε τη στδική εξελικτική του πορεί: Από την πρώτη διισθητική πρτήρηση-διτύπωσή του, το διδοχικό πέρσμ, μέσω φιρετικών διδικσιών, σε άλλες ολοέν κι πιο τυπικές διτυπώσεις, μέχρι ν φτάσουμε σ' υτήν με την οποί διτυπώνετι κι σήμερ. Οι προσπάθειες των μθημτικών μέχρι τ μέσ περίπου του 17ου ιών κτλήγουν στην εξής, σχετική με το θέμ μς, πρτήρησηδιπίστωση: Το εμδόν που ρίσκετι κάτω πό το γράφημ της συνάρτησης ƒ() = n n+1, ισούτι με F()= γι n = 0, 1, 2,... n+1 κι η κλίση της εφπτομένης ευθείς στο γράφημ της 8

9 n+1 F()= n+1 στο σημείο με τετμημένη, ισούτι με ƒ() = n, γι n = 0, 1, 2,... Η πρτήρηση υτή είνι η πρώτη (πλούστερη) μορφή του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. κι επισημάνθηκε κι πό τον James Gregory περί το Αυτό κι άλλ ποτελέσμτ του Απειροστικού Λογισμού, στ οποί κτέληξε ο J. Gregory, ποδόθηκν στη συνέχει στον I. Newton. Ο πρώτος δεν πρόλε ν δημοσιεύσει τ ποτελέσμτ υτά, λόγω του πρόωρου θνάτου του, κι έτσι δεν νγνωρίσθηκε η προσφορά του στο θμό που θ έπρεπε. Ο Isaac Barrow διτυπώνει κι ποδεικνύει την ίδι περίπου χρονική περίοδο το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ., στην περίπτωση που η ƒ (της προηγούμενης διτύπωσης) είνι ύξουσ κι με θετικές τιμές. Είνι ξιοσημείωτο το εξής: Αν κι ο I. Barrow γνώριζε τη δυνμική-κινητική διδικσί με την οποί προκύπτει η εφπτομένη ευθεί σε σημείο μις κμπύλης η διδικσί υτή νπτύσσετι πό τον ίδιο στο πράρτημ του Lectiones Geometricae, όμως στην πόδειξη του Θεωρήμτος χρησιμοποιεί την κλσσικήσττική άποψη περί της εφπτομένης ευθείς. Την ίδι χρονική περίοδο προυσιάζετι κι ποδεικνύετι κι πό τον I. Newton το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. με τη διτύπωση: Αν η ƒ είνι μι συνάρτηση κι Ε το εμδόν του χωρίου κάτω πό το γράφημ της ƒ, τότε: de d = ƒ. Με τη διτύπωση υτή: πρώτον, φίνετι με κθρό τρόπο η διισθητική προσέγγιση του ολοκληρώμτος ως εμδού, κι δεύτερον, προτείνετι πό τον I. Newton γι πρώτη φορά μι συστημτική μέθοδος γι ν υ- πολογίζουμε εμδά, εφρμόζοντς ντιδιφόριση στην πράγωγο του εμδού που ζητάμε. Στην πόδειξή του ο I. Newton ντιμετωπίζει την πράγωγο με τη φυσική-διισθητική της ερμηνεί. Είνι πρίτητο ν σημειώσουμε εδώ ότι, τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο οι έννοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος ορίζοντι σφώς κι γίνοντι ντιληπτές μόνον διισθητικά. Δεν είχε διμορφωθεί κόμη ορισμός της συνάρτησης σε μι τελική μορφή κι είως, δεν γίνετι λόγος γι ορισμούς της συνέχεις κι του ορίου συνάρτησης, χωρίς την εμπλοκή της εποπτείς που εδράζετι στη Γεωμετρί κι τη Φυσική. Όμως, πρά τις όποιες τέλειες των ποδεικτικών τους μεθόδων, κτέληγν σε εντυπωσικά ποτελέσμτ σχετικά με την εξερεύνηση των νόμων της Μηχνικής κι της Φύσης γενικότερ. Θεωρούσν τ μθημτικά τους ποτελέσμτ εντελώς εύλογ κι πολύτως φυσιολογικά. Έτσι τ θεωρούσε κι ο I. Newton. Τέλος τον Ιούλιο του 1677 ο G.W. Leibniz νκλύπτει κι υτός το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. Στον Λογισμό του, το πρόλημ της ολοκλήρωσης νάγετι σε πρόλημ ντιστροφής εφπτομένης υτό φίνετι (κι) πό τη διτύπωση που προτείνει γι το Θεώρημ: Αν δοθεί μι συνάρτηση Ζ, το εμδόν (της περιοχής) που ρίσκετι κάτω πό το γράφημά της είνι δυντόν ν υ- 9

10 πολογιστεί, ν ρούμε μι συνάρτηση ψ, την ύπρξη της ο- ποίς υποθέτουμε, ώστε dψ = Z, όπου γ μι στθερά. d γ Τότε Ζ d = γdψ, κι ολοκληρώνοντς πίρνουμε: Ζd = γdψ = γψ. Γι λόγους πλοποίησης, θεωρούμε ότι το γράφημ της ψ διέρχετι πό το σημείο (0, 0), οπότε, ψ(0) = 0. Από την πρπάνω διτύπωση του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. του G.W. Leibniz, έπετι κι έν σπουδίο Πόρισμ, που σήμερ πό πολλούς ποκλείτι κι ως 2 ο Θ.Θ.Α.Λ. Μετά κι πό τις διτυπώσεις των Θ.Θ.Α.Λ. πό τον G.W. Leibniz, σε πολύ σύντομο χρόνο (περί τ τέλη του 17ου ιών) προκλείτι έν ρήγμ στην ομλή ως τότε νάπτυξη του Ολοκληρωτικού Λογισμού: Η Διφόριση (Πργώγιση) γίνετι η κυρίρχη έννοι του Απειροστικού Λογισμού, ένντι της (ως τότε) Ολοκλήρωσης. Κι η ολοκλήρωση είνι πλά, πλέον, το ντίστροφο της πργώγισης. Η νέ υτή προσέγγιση κθιστά το ολοκλήρωμ έν πολύ χρήσιμο υπολογιστικό εργλείο με εξιρετική ποτελεσμτικότητ σε εφρμογές (κι) του χώρου των Φυσικών Επιστημών. Βείως τ Μθημτικά κι, κυρίως, η έρευν γύρω πό υτά, σε κμιά πολύτως περίπτωση δεν θ μπορούσν ν ρκεστούν μόνο στην πργωγή ποτελεσμτικών υπολογιστικών εργλείων. Σύντομ ποκθίσττι ο ορθός (μθημτικά) ρόλος του Ολοκληρωτικού Λογισμού, κτλμάνοντς πάλι την κυρίρχη θέση που είχε ιστορικά ένντι του Διφορικού Λογισμού. Η ήμ προς ήμ ποκτάστση επιτελείτι κτρχήν με τις εργσίες των Augustin-Louis Cauchy ( ) κι G. Bernhand Riemann ( ). Ο δεύτερος δίνει τον δικό του ορισμόκριτήριο ολοκληρωσιμότητς συνρτήσεων γι κλάσεις ευρύτερες πό εκείνη των συνεχών συνρτήσεων. Τέλος, η διδικσί της ποκτάστσης του κυρίρχου ρόλου του Ολοκληρωτικού Λογισμού συμπληρώνετι με την νάπτυξη της σύγχρονης Θεωρίς Μέτρου κι Ολοκλήρωσης πό τον Γάλλο μθημτικό Henri Lebesque ( ). Σημντική είνι, εν προκειμένω, η συμολή κι του Έλλην μθημτικού Κ. Kρθεωδορή ( ), κυρίως με το έργο του Vorlesungen über reelle Functionen, το Ας έλθουμε τώρ στις σημερινές διτυπώσεις των Θεωρημάτων κι στην νλυτική, ήμ προς ήμ, προυσίση της διδκτικής μς πρότσης. 10

11 Σχόλι: 2. Διδκτική πρότση κι σχόλι 2.1. Το πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού (1 ο Θ.Θ.Α.Λ.) Έστω ƒ μι (Riemann) ολοκληρώσιμη συνάρτηση σ' έν κλειστό διάστημ [, ] κι γ ένς πργμτικός ριθμός, με γ. Ορίζουμε μι νέ συνάρτηση F ως εξής: F()= ƒ(t)dt,, γ [ ] Τότε γι τ σημεί του διστήμτος [, ], στ οποί η ƒ είνι συνεχής, η νέ συνάρτηση F είνι πργωγίσιμη κι ισχύει: F ()= ƒ(t)dt = ƒ() ( γ ) 1) Στο πρόγρμμ σπουδών της Γ Λυκείου, η υπόθεση ότι η ƒ είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη ντικθίσττι πό την υπόθεση: η ƒ είνι συνεχής στο [, ]. Σημειώνουμε εδώ ότι η υπόθεση ότι η ƒ είνι συνεχής, ντί εκείνης που θεωρεί την ƒ (Riemann) ολοκληρώσιμη, τίθετι κι σε άλλ συγγράμμτ, πέρν των σχολικών μς εγχειριδίων (λ. [6], σ. 365). 2) Γι διδκτικούς λόγους που σχετίζοντι με την εποπτεί σε όλ τ πρκάτω θ πίρνουμε: F()= ƒ (t)dt ντί F()= ƒ (t)dt γ, όπου γ. Άλλωστε υτή η στθεροποίηση του γ στο ριστερό άκρο του διστήμτος [, ], σε κμιά περίπτωση δεν λάπτει τη γενικότητ, φού οι πρπάνω συνρτήσεις διφέρουν κτά στθερή ποσότητ, κθόσον: γ ƒ(t)dt = ƒ(t)dt + ƒ(t)dt γ 2.2. Πρτηρήσεις κι διτυπώσεις ερωτημάτων γι μι ποτελεσμτική διδσκλί του Θεωρήμτος Το πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού μάς δείχνει τον τρόπο λληλεξάρτησης της ολοκλήρωσης με την πργώγιση. Πρτηρώντς τις σχέσεις F()= ƒ(t)dt κι F()= ƒ(), θ μπορούσε ν πει κνείς ότι η συσχέτιση της ολοκλήρωσης με την πργώγιση είνι κάπως νάλογη με εκείνη που υπάρχει νάμεσ στις έννοιες "ύψωση στο τετράγωνο" κι "τετργωνική ρίζ" θετικών ριθμών. 11

12 ( ) διδικσί ƒ() ολοκλήρωσης ƒ(t)dt διδικσί ƒ () = ƒ(t)dt ƒ(t)dt ( ) πργώγισης 2 τετργωνική ρίζ = ύψωση στο τετράγωνο ƒ συνεχής θετικός Η διδσκλί μς πό το σημείο τούτο κι μετά, σε έν διρκή διάλογο με τους μθητές, κινείτι πάνω σε τρεις άξονες-στόχους: 1) Ν νδείξουμε τις γεωμετρικές συσχετίσεις μετξύ των εννοιών κι των σχέσεων που εμπεριέχοντι στη διτύπωση του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. 2) Ν προυσιάσουμε ορισμένες γεωμετρικές προσεγγίσεις οι οποίες: πρώτον, ερμηνεύουν κι ιτιολογούν εποπτικά το Θεώρημ, κι δεύτερον, δημιουργούν το επιχείρημ που θ μς επιτρέψει ν συνθέσουμε μι τυπική πόδειξη στο πλίσιο της Ανάλυσης. 3) Ν διτυπώσουμε την πόδειξη. Γι την πργμτοποίηση των δύο πρώτων στόχων, η διδκτική πράξη κινείτι στη άση των γενικών ερωτημάτων: ) Τι εκφράζει γεωμετρικά το ολοκλήρωμ F()= ƒ(t)dt ; Δηλδή, πώς δισυνδέοντι γεωμετρικά οι συνρτήσεις ƒ κι F; ) Πώς θ μπορούσμε ν ερμηνεύσουμε την ισότητ F = ƒ; Εν προκειμένω, πό διδκτική άποψη, η διερεύνηση υτή διευκολύνετι, ν υποθέσουμε επιπλέον ότι η ƒ είνι μη ρνητική. Κτά την άποψή μς, η επιτυχί του στόχου της γεωμετρικής δισύνδεσης μετξύ ƒ κι F θ μπορούσε ν επιτευχθεί με την πράλληλη χάρξη των γρφικών πρστάσεων ορισμένων ζευγών συνρτήσεων ƒ κι F. 12

13 F() = Γ B ƒ() = 1 F() Ε F() O (0, 0) A O Δ Εμ. (ΟΑΒΓ) = κι () = 1 F() = 1dt = 0 μήκος τμ. ΔΕ = F() B ƒ() = F() Δ F() = F() A O (0, 0) 1 Εμ. (ΟΑΒ) = F() = tdt = κι = 2 2 Γ O μήκος τμ. ΓΔ = F() B ƒ() = 2 F() F() = Δ F() A O (0, 0) 1 Εμ. (ΟΑΒ) = F() = t dt = = 2 κι Γ O μήκος τμ. ΓΔ = F() Μερικά πό τ ποτελέσμτ του προλημτισμού που νπτύχθηκε στη άση της εποπτείς των πρπάνω σχημάτων κτγράφοντι συμολικά κάτω πό τ σχήμτ. Μετξύ των ποτελεσμάτων υτών είνι κι η ισθητοποίηση πό τους μθητές ότι η F εκφράζει γεωμετρικά το εμδόν της περιοχής που ρίσκετι μετξύ της γρφικής πράστσης της ƒ, του άξον των τετμημένων κι των κτκόρυφων ευθειών t = κι t =. ƒ (t)dt = F() ( ) 13

14 Έν άλλο ποτέλεσμ που ερμηνεύει γεωμετρικά τη σχέση: F () = ƒ(), είνι το εξής: Η κλίση της εφπτομένης ευθείς του γρφήμτος της F στο σημείο με τετμημένη, ισούτι με την τιμή της ƒ σ' υτό το. Ο ρόλος τώρ του στθερού κάτω άκρου ολοκλήρωσης στη συνάρτηση F() = ƒ(t)dt νδεικνύετι μέσ πό το επόμενο ερώτημ: Δίνοντι οι συνρτήσεις: F()= ƒ(t)dt, G()= ƒ(t)dt, όπου [, ] κι γ έν οποιοδήποτε υθίρετο, λλά στθερό σημείο πό το [, ]. Ποι είνι η σχέση μετξύ των συνρτήσεων F, G κι ποι μετξύ των F, G ; Τ ολοκληρώμτ ƒ(t)dt κι ƒ(t)dt είνι διφορετικά. Κι υτό γίνετι άμεσ φνερό, ν σκεφτούμε ότι το κθέν πό υτά εκφράζει γ έν άλλο εμδόν στο κρτεσινό επίπεδο. Επομένως F G κι συγκεκριμέν F = G + c με c πργμτική στθερά, όπως εξηγήσμε στο τέλος της πργράφου 2.1. Επίσης, F ( ) = G ( ), (=ƒ ). Ας δούμε τώρ κάποιες γεωμετρικές προσεγγίσεις, οι οποίες ερμηνεύουν κι ιτιολογούν εποπτικά το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ., όπως υτό διτυπώνετι (κι) στη Λυκεική ιλιογρφί: Αν η ƒ είνι συνεχής στο [, ], τότε η συνάρτηση F()= ƒ(t)dt είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο του [, ] κι γ ( ) F ()= ƒ(t)dt = ƒ() 14

15 2.3. Σκέψεις γι την επινόηση της πόδειξης Ζ Ε Δ y = ƒ( t) O A B Γ +h t Σχήμ 1 Στο σχήμ 1 πήρμε έν τυχόν λλά στθερό, όμως, σημείο μετξύ των κι. Επίσης, έστω h = Δ 0 μι οποιδήποτε μετολή του, η οποί δεν εξρτάτι πό το. Ερώτημ: Τι θ έπρεπε ν συμίνει ώστε η συνάρτηση F()= πργωγίσιμη στο ; ƒ(t)dt ν είνι Σύμφων με τον ορισμό της πργώγου, πρέπει ν υπάρχει το F( + h) F() lim h 0 h κι το όριο υτό ν είνι πργμτικός ριθμός. Ήδη η F, με όσ προηγήθηκν στην νάλυση του πρώτου στόχου της διδσκλίς, έχει ισθητοποιηθεί ως έν συγκεκριμένο εμδόν. Έτσι, πρτηρώντς κι το σχήμ 1, έχουμε τις επόμενες, φνερές εποπτικά, ισότητες: + h F( + h) F() ƒ(t)dt ƒ(t)dt = = h h Εμ.(ΑΓΔΖ) Εμ.(ΑΒΕΖ) = = h Εμ.(BΓΔE) = = h + h ƒ(t)dt = h F( + h) F() Μένει λοιπόν ν ρούμε το lim, h 0 h + h ƒ(t)dt δηλδή το lim κι ν διπιστώσουμε στη συνέχει ότι υτό h 0 h ισούτι με ƒ(). 15

16 2.4. Μι γεωμετρική προσέγγιση της ισότητς lim h 0 +h ƒ(t)dt = ƒ() h Η Ζ Ε Δ y = ƒ( t) ƒ() O A B Γ +h t κι Στο σχήμ 2 είνι: + h Σχήμ 2 ƒ(t)dt = Εμ.(ΒΓΕΖ) Εμ.(ΒΓΔΖ) = = (ΒΓ) (ΒΖ) = h ƒ() + h ƒ(t)dt Εμ.(ΒΓΕΖ) Εμ.(ΒΓΔΖ) h ƒ(). = = = ƒ() h h h h Αν τώρ πάρουμε το h ν είνι πολύ μικρό, οσοδήποτε μικρό θέλουμε, τότε η πρπάνω κτά προσέγγιση ισότητ ελτιώνετι κι περιμένουμε ν ισχύει ως ισότητ: lim = ƒ(). + h ƒ(t)dt h 0 h 2.5. Μι (δυνμική) γεωμετρική ερμηνεί της ισότητς F()= ƒ(t)dt = ƒ() Στο σχήμ 3, ς φντστούμε ότι η μετλητή t κινείτι κτά μήκος του άξον των t πό το t = κι προς τ δεξιά. Κτά την κίνηση υτή το τμήμ ΑΒ "σρώνει" μι περιοχή, της οποίς το εμδόν διρκώς υξάνετι. 16

17 y = ƒ( t) B Β F() ƒ() O A Α t Σχήμ 3 Κθώς τώρ η μετλητή t περνά πό τη θέση t =, ισοδύνμ κθώς το ΑΒ περνά πό τη θέση Α Β, έχουμε ότι ο (στιγμιίος) ρυθμός με τον οποίο νέ επιφάνει προστίθετι στη σκισμένη του σχήμτος 3 ισούτι με ƒ(), (λ. [6], σ. 366). Το τελευτίο υτό εκφράζετι πό την ισότητ F () = ƒ(), που με άλλ λόγι, πιο τυπικά, μς λέει ότι ο ρυθμός μετολής (εν προκειμένω ύξησης) του εμδού F(t) στη θέση t =, ισούτι με ƒ(), ισούτι δηλδή με το μήκος του τμήμτος Α Β Απόδειξη του 1ου Θ.Θ.Α.Λ. - Συζήτηση Σύμφων με όσ προηγήθηκν, η πόδειξη του 1ου Θ.Θ.Α.Λ. νάγετι στην πόδειξη της ισότητς lim = ƒ(), όπου είνι έν + h ƒ(t)dt h 0 h τυχόν, λλά όμως στθερό σημείο μετξύ των, κι h = Δ 0 μι οποιδήποτε μετολή του, η οποί δεν εξρτάτι πό το. Ε Ζ O ƒ() Δ A ƒ( μ ) ƒ( ε ) ε h μ Γ Β +h y = ƒ( t) t Σχήμ 4 Θ σχοληθούμε πρώτ με τον προσδιορισμό του πρπάνω ορίου κθώς h 0 +, με τιμές του h τόσο μικρές, ώστε το + h ν ρίσκετι με- 17

18 τξύ των κι. Στο σχήμ 4 πρτηρούμε ότι: το εμδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ ισούτι με το h ƒ( ε ) το εμδόν του ορθογωνίου ΑΒΖΕ ισούτι με το h ƒ( μ ), κι το εμδόν της περιοχής που ρίσκετι κάτω πό το γράφημ της ƒ + h κι μετξύ των κι + h, ισούτι με ƒ(t)dt, όπου τ ƒ( ε ), ƒ( μ ) είνι ντίστοιχ η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή της συνεχούς συνάρτησης ƒ στο [, +h] Εποπτικά είνι φνερό ότι ισχύει: + h h ƒ( ε) ƒ(t)dt h ƒ( μ) (1) Η σχέση (1) θεωρητικά προκύπτει πό τη διδικσί της (Riemann) ολοκλήρωσης της ƒ στο διάστημ [, +h]. Η σχέση όμως υτή μπορεί ν προκύψει εύκολ πό την νισότητ ƒ( ε ) ƒ(t) ƒ( μ ), γι κάθε t [, +h]. Πράγμτι, ολοκληρώνοντς στο διάστημ [, +h], όπου h>0, τ μέλη της πρπάνω νισότητς, έχουμε + h + h + h ƒ( ε)dt ƒ(t)dt ƒ( μ)dt, οπότε προκύπτει η νισότητ + h h ƒ( ε) ƒ(t)dt h ƒ( μ), που είνι η (1). Από υτή, επειδή h > 0, έχουμε + h ( ) ƒ(t)dt ƒ ε ƒ( μ) (2) h + h ƒ(t)dt Η σχέση lim+ h 0 h = ƒ(), που θέλουμε ν ποδείξουμε, σε συνδυσμό με τη (2), στην οποί κτλήξμε, φέρνει στο επίκεντρο το Κριτήριο της Πρεμολής. Στο πλίσιο της διδκτικής μς πρότσης σκοπεύουμε, το πέρσμ ƒ(t)dt πό τη σχέση (2) στην ισότητ lim+ h 0 h = ƒ(), ν στηριχτεί στη γεωμετρική εποπτεί που μς δίνει το σχήμ 4. Γι την επιτυχί του στόχου υτού θέτουμε τ ερωτήμτ: (i) H όποι μετολή του h επηρεάζει, κι πώς, τις ποστάσεις των ε κι μ πό το στθερό σημείο του διστήμτος [, +h]; (ii) Θ μπορούσμε ν φέρουμε τ ƒ( ε ) κι ƒ( μ ) οσοδήποτε κοντά θέλουμε στο μήκος ƒ(); (iii) Η πόστση των ƒ( ε ) κι ƒ( μ ) πό το ƒ() με ποιον τρόπο (διισθητικά) εξρτάτι πό το h; Η συζήτηση πάνω σ' υτά τ ερωτήμτ πρώτον, νδεικνύει την εξάρτηση των ε κι μ πό το h, με ποτέλεσμ ν μπορούμε ν γράφουμε κάπως δόκιμ έι ότι ε = ε (h), μ = μ (h) κι δεύτερον, κθώς το h + h 18

19 τείνει στο 0 πό θετικές τιμές, το πλάτος του διστήμτος [, +h] μικρίνει διρκώς κι τ ε (h), μ (h) πλησιάζουν στο. Κι επειδή η ƒ είνι συνεχής στο, τ ντίστοιχ ƒ( ε ), ƒ( μ ) πλησιάζουν στο ƒ(). Οι συλλογισμοί υτοί, σε συνδυσμό με τη σχέση: + h ( ) ƒ(t)dt ε ƒ( μ) ƒ h + h ƒ(t)dt. + h 0 h Με νάλογους, γι την περίπτωση, συλλογισμούς διπιστώνουμε κι + h ƒ(t)dt lim = ƒ. h 0 h Βρήκμε μέχρι εδώ ότι η συνάρτηση F() = ƒ(t)dt, [, ] είνι κι το Κριτήριο της Πρεμολής, μς δίνουν lim = ƒ ( ) ότι: ( ) F () = ƒ(t)dt = ƒ() (3) πργωγίσιμη στο (, ) με ( ) Αν τώρ =, το F () μπορούμε ν το ερμηνεύσουμε ως την πράγωγο της F πό τ δεξιά, δηλδή: F( + h) F() = = F() lim lim h + + h 0 h 0 + h ƒ(t)dt Ενώ, ν =, το F () μπορούμε ν το ερμηνεύσουμε ως την πράγωγο της F πό τ ριστερά, δηλδή: ( ) F + h F() F() = lim = lim h h 0 h 0 + h h ƒ(t)dt h Πρτήρηση: Γι άλλες τυπικές ποδείξεις του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ., λ. [1] σ.σ , [5] σ.σ κι [3] σ Το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. έχει έν άμεσο Πόρισμ, που συχνά πλοποιεί τελείως τους υπολογισμούς ολοκληρωμάτων. Πόρισμ: Αν η ƒ είνι συνεχής στο [, ] κι γι κάποι συνάρτηση G ισχύει: G = ƒ στο [, ], τότε: ƒ(t)dt = G()-G(). Απόδειξη: Από το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. γνωρίζουμε ήδη ότι υπάρχει μι συνάρτηση, η 19

20 F() = ƒ(t)dt, γι την οποί ισχύει F () = ƒ() (1). Έχουμε όμως πό υπόθεση κι G () = ƒ() (2). Από τις (1), (2) σύμφων με το Πόρισμ του Θεωρήμτος Μέσης τιμής του Διφορικού Λογισμού, θ ισχύει G() = F() + c, γι κάθε [, ] κι c κάποι πργμτική στθερά. Επομένως: G() G() = [F() + c] [F() + c] = F() F(), F() = ƒ(t)dt = ƒ(t)dt ƒ(t)dt = ƒ(t)dt 0 = ƒ(t)dt Το δεύτερο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού (2 ο Θ.Θ.Α.Λ.) Αν η ƒ είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο [, ] κι γι κάποι συνάρτηση G ισχύει G = ƒ στο [, ], τότε: ƒ(t)dt = G()-G() Σχόλι: 1) Γι τους λόγους που εξηγήσμε πρπάνω, σε ιλί Ανάλυσης γι το Λύκειο, λλά κι σε άλλ συγγράμμτ Απειροστικού Λογισμού, η υπόθεση ότι η ƒ είνι ολοκληρώσιμη έχει ντικτστθεί πό την υπόθεση ότι η ƒ είνι συνεχής. Η θεώρηση υτή έχει ως άμεσο ποτέλεσμ, το Πόρισμ του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ., που διτυπώσμε κι ποδείξμε πρπάνω, ν ποκλείτι στ συγγράμμτ υτά ως 2 ο Θ.Θ.Α.Λ. Αυτό έχει ως συνέπει τον περιορισμό του συνόλου των ολοκληρώσιμων συνρτήσεων στο σύνολο μόνο των συνεχών συνρτήσεων. Βείως, ν η ƒ δεν είνι συνεχής τότε το 2 o Θ.Θ.Α.Λ. δεν είνι πόρισμ του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. Γι μι τυπική πόδειξη του 2 ου Θ.Θ.Α.Λ., λ. [5] σ ) Επισημίνουμε τέλος ότι, η ισότητ ƒ(t)dt = G() G(), όπως υτή οριοθετήθηκε, δεν πρέπει ν εκλμάνετι ως ορισμός του ολοκληρώ- μτος ƒ(t)dt. 20

21 2.8. Ασκήσεις - Προλήμτ 1. Ο πληθυσμός Π των κτοίκων μις πόλης υξάνετι ως προς το χρόνο με ρυθμό t Π ln , όπου Π 0 είνι ο πληθυσμός κτά τη χρονική στιγμή t = 0. Ν ρείτε:. Τον πληθυσμό Π () t μι οποιδήποτε χρονική στιγμή t.. Σε πόσ χρόνι ο πληθυσμός των κτοίκων της πόλης θ γίνει eπ Έν κινητό κινείτι πάνω σε ένν άξον συντετγμένων έτσι, ώστε η τχύτητά του κάθε χρονική στιγμή t ν είνι v() t = t 2 t σε cm /sec Ν προσδιορίσετε τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή t = 5sec, ν κτά τη χρονική στιγμή t = 0 η θέση του στον άξον έχει συντετγμένη 2cm.. Ν υπολογίσετε το διάστημ που δινύει πό τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5sec. 3. Έν κινητό κινείτι πάνω σε ένν άξον συντετγμένων έτσι, ώστε η τχύτητά του σε m/sec ν δίνετι κάθε χρονική στιγμή t πό τον τύπο () 2 v t = t ln t, t > 0. Ν υπολογίσετε:. Το διάστημ που δινύει πό τη χρονική στιγμή t = 1sec μέχρι τη χρονική 2 στιγμή t = e.. Το dt 4 2 πt lim ημ Αν ƒ, g είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις με ƒ() 0 κι g() 0 γι κάθε [, ], ν ποδείξετε ότι, υπάρχει ξ (, ) ώστε: ξ ƒ(t)dt = g(t)dt ξ 5. Αν ƒ, g είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις με ƒ() g() γι κάθε [, ], ν ποδείξετε ότι, υπάρχει ξ (, ) ώστε: 21

22 ƒ(t)dt = ξ g(t)dt = ln + 9, ό Ν ρείτε την πράγωγο της συνάρτησης f ( ) ( ) που > 3.. Το εμδόν E μις περιοχής μετάλλετι ως προς το χρόνο t με ρυθμό 2 t 9 όπου 5 t (σε m 2 /sec) κι τη χρονική στιγμή t = 5sec το εμδόν είνι 10 9ln 3 m 2. Ν υπολογίσετε το εμδόν E() t μι οποιδήποτε χρονική στιγμή t 5 Σημειώσεις: ) Οι λύσεις στ προλήμτ 1.,2.,3. κι 6. δίνοντι πό τον συντάκτη της εργσίς υτής σε άρθρο του δημοσιευμένο στο περιοδικό Ευκλείδης Β (1994), τχ. 12, σσ ) Γι την επίλυση των σκήσεων 4. κι 5., προτείνουμε ν δείτε, κτρχήν, το γεωμετρικό νόημ που εμπεριέχετι στις διτυπώσεις τους κι έπειτ ν κινηθείτε νάλογ προς το πλίσιο επίλυσης του προλήμτος 7. που κολουθεί. sec. 7. Μι εροφωτογρφί πεικονίζει την κάτοψη μις περιοχής, στην οποί φίνοντι δύο δικλδώσεις π 1 κι π 2 ενός ποτμού π, τέσσερις δρόμοι δ 1, δ 2, δ 3, δ 4 κι οι θέσεις δύο οικισμών Α κι Β. δ 2 δ 3 δ 4 Ρ π Σ π 1 Μ Λ Τ π 2 Α Κ Β δ 1 22

23 Ν διερευνήσετε τη δυντότητ ύπρξης μις θέσης Κ πάνω στο δρόμο δ 1 κι μετξύ των οικισμών Α κι Β έτσι, ώστε η χάρξη ενός νέου δρόμου κάθετου προς τον δ 1 στο Κ, ν έχει ως ποτέλεσμ οι περιοχές ΑΚΛΜ κι ΛΤΣΡ ν έχουν την ίδι έκτση. Ν υποστηρίξετε το ποτέλεσμ της διερεύνησης με μθημτικά επιχειρήμτ. Απάντηση Συζήτηση: Γι την νγωγή του φυσικού προλήμτος σε μθημτικό πρόλημ, είνι πρίτητο ν κάνουμε κάποιες πλοποιητικές πρδοχές, όπως: 1. Οι ποτμοί κι οι δρόμοι που εμφνίζοντι στην εροφωτογρφί θεωρούμε ότι είνι γρμμές, άρ οι ίδιοι δεν κτλμάνουν έκτση. 2. Οι δρόμοι είνι ευθύγρμμοι κι επειδή η εροφωτογρφί πεικονίζει την κάτοψη της περιοχής, οι δρόμοι δ 1, δ 2 τέμνοντι κάθετ κι οι δρόμοι δ 3 κι δ 4 τέμνουν κάθετ τον δ Οι δικλδώσεις π 1 κι π 2 είνι γρφικές πρστάσεις δύο συνρτήσεων, που δεν γνωρίζουμε τους τύπους τους. 4. Θεωρούμε τον δρόμο δ 1 ως άξον των τετμημένων με θετική φορά υτήν που ορίζετι πό τον οικισμό Α προς τον Β, κι τον δρόμο δ 2 ως άξον των τετγμένων με θετική φορά υτήν που ορίζετι πό το σημείο τομής των δ 1 κι δ 2 προς τον ποτμό π. δ 2 δ 3 δ 4 Ρ π Σ π 1 Μ Λ Τ π 2 Α Κ Β δ 1 Ας φντστούμε τώρ την κτκόρυφη ευθεί ΑΜ ν "σρώνει", γι πρώτη φορά, την εροφωτογρφί πό τ ριστερά προς τ δεξιά, κινούμενη πάντ πράλληλ προς την ρχική της θέση πό τον οικισμό Α μέχρι τον οικισμό Β. Έστω επίσης, η στθερή τετμημένη του Α, η στθερή τετμημένη του Β κι η τετμημένη μις τυχούσς θέσης Κ του δ 1, πό την οποί διέρχετι το Α κτά τη διδικσί της κίνησης που περιγράψμε πρπάνω. Είνι: Εμ.(ΑΚΛΜ) = π (t)dt 2 23

24 κι Εμ.(ΛΤΣΡ) = [ π (t) 1 2 ] π (t) dt Το Εμ.(ΑΚΛΜ) ξεκινάει πό την τιμή 0 κι φτάνει στην τιμή π (t)dt, ενώ το Εμ.(ΛΤΣΡ) ξεκινάει πό την τιμή 2 [ π (t) 1 2 ] π (t) dt κι φτάνει στην τιμή 0. Επειδή δε η κίνηση της ευθείς ΑΜ είνι "συνεχής", είνι λογικό ν εικάσουμε ότι θ υπάρξει κάποι συγκεκριμένη θέση της, η ΚΛ με εξίσωση t = ξ, όπου ξ (, ), ώστε: Εμ.(ΑΚΛΜ) = Εμ.(ΛΤΣΡ) δηλδή: Εμ.(ΑΚΛΜ) Εμ.(ΛΤΣΡ) = 0 Αν θεωρήσουμε τώρ τη συνάρτηση της διφοράς : δ() = Εμ.(ΑΚΛΜ) Εμ.(ΛΤΣΡ) = = π (t)dt 2 [ π (t) π (t) 1 2 ] dt με [, ], τότε η συνάρτηση δ(), σύμφων με τους πρπάνω συλλογισμούς, θ περνάει πό ρνητικές σε θετικές τιμές. Αυτό επιειώνετι κι πό τις ισότητες: π (t) dt < δ() = [ π (t) ] δ() = π (t)dt > 0 Οι τελευτίες νισότητες, σε συνδυσμό με το γεγονός ότι η συνάρτηση δ() είνι συνεχής, μς ωθούν ν συμπεράνουμε σύμφων με το Θεώρημ του Bolzano ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε δ(ξ) = 0. Αυτό σημίνει ότι, υπάρχει μι θέση Κ με τετμημένη ξ, πάνω στο δρόμο δ 1 κι μετξύ των οικισμών Α κι Β έτσι, ώστε οι περιοχές ΑΚΛΜ κι ΛΤΣΡ ν έχουν την ίδι έκτση. Ας δούμε τώρ με τυπικό τρόπο, πού μς οδηγεί η σχέση δ(ξ) = 0. δ(ξ) = 0 ξ π (t)dt 2 [ π (t) π (t) 1 2 ] dt = 0 ξ ξ π (t)dt 2 π (t)dt + π (t)dt ξ 1 ξ 2 = 0 π (t)dt = 2 ξ 1 π (t)dt Ερωτήμτ: 1. Πώς ερμηνεύετι γεωμετρικά η τελευτί τυπική μθημτική ισότητ στην οποί κτλήξμε; 2. Εκφράζει υτή, το ζητούμενο συμπέρσμ, στην ερώτηση του φυσικού προλήμτος; π (t)dt = 2 ξ 1 π (t)dt Εμ.(ΜΑΒΤΛΜ) = Εμ.(ΡΚΒΣΡ) 24

25 Εμ.(ΑΚΛΜ) + Εμ.(ΚΒΤΛ) = Εμ.(ΚΒΤΛ) + Εμ.(ΛΤΣΡ) Εμ.(ΑΚΛΜ) = Εμ.(ΛΤΣΡ) Σχόλιο: Με σκοπό την πληρέστερη κτνόηση της γεωμετρικής ερμηνείς του Θεωρήμτος του Bolzano, ζητάμε πό τους μθητές ν σχεδιάσουν πρόχειρ το γράφημ συνάρτησης, που ν ικνοποιεί τις προϋποθέσεις της: δ() = Εμ.(ΑΚΛΜ) Εμ.(ΛΤΣΡ), [, ]. y δ() C δ 0 ξ t δ() Ερώτημ: Πίρνοντς υπόψη: ) τη διτύπωση του προλήμτος ) τις πλοποιητικές πρδοχές που κάνμε γι την νγωγή του φυσικού προλήμτος σε μθημτικό πρόλημ, κι γ) το τυπικό μθημτικό συμπέρσμ, στο οποίο κτλήξμε, θ μπορούστε ν διτυπώσετε τώρ το πρόλημ με όρους της τυπικήςσυμολικής μθημτικής γλώσσς; Απάντηση στο 2.γ) Αν π 1 κι π 2 είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις με π 1 () > π 2 () γι κάθε [, ], τότε υπάρχει ξ (, ) ώστε 3. Επίλογος 2 ξ 1 π (t)dt = π (t)dt Ανλύσμε πρπάνω την πρότσή μς που φορούσε τη διδκτική προσέγγιση των Θ.Θ.Α.Λ., πό τη θεωρητική σκοπιά, με τη συμολή κι της δυνμικής γεωμετρικής εποπτείς. Υπό το πνεύμ υτής της επιλογής, προσπθήσμε ν προυσιάσουμε το θέμ μς, στοχεύοντς στην κτνό- 25

26 ηση των εμπλεκομένων εννοιών, υτών κθ' υτών, κι των δομικών τους δισυνδέσεων. Βείως, σε επόμενες διδσκλίες, ο διδάσκων σχολείτι με μεθοδολογικές πρτηρήσεις κι προεκτάσεις που νδεικνύουν τη χρηστική κι πιδευτική λληλεπίδρση θεωρίς κι πράξης. Γι το σκοπό υτό, επιλέγοντι κι νλύοντι σκήσεις κι προλήμτ με μη τετριμμένο περιεχόμενο που, στο πλίσιο της κτευθυνόμενης διερευνητικής διδσκλίς, συμάλλουν στην νάπτυξη δημιουργικού προλημτισμού με στόχο την εμάθυνση κι την ουσιστική κτνόηση. Επίσης, η διδσκλί εφρμογών των Θ.Θ.Α.Λ. πό εξωμθημτικές επιστημονικές περιοχές, νδεικνύει τη χρησιμότητ των Μθημτικών στο σύγχρονο άνθρωπο κι ενισχύει το ρόλο τους, στο πλίσιο της δικλδικότητς των Επιστημών. Τη διδκτική πρότση που περιγράψμε, την υλοποιήσμε σε ολιγομελή τμήμτ Θετικής κτεύθυνσης της Γ Λυκείου, πό το 2003 ως το 2007, στο 6 ο Γενικό Λύκειο Τρικάλων. Η ποτελεσμτικότητ της πρότσης κθόσον φορά την ουσιστική κτνόηση, πό μέρους των μθητών, των Θ.Θ.Α.Λ. ξιολογήθηκε πό το διδάσκοντ, μέσω διγωνισμάτων κι προφορικών πντήσεων των μθητών σε κτάλληλες ερωτήσεις, ως ικνοποιητική σε υψηλό θμό. Απομένει ν ελεγχθούν κι συστημτικά, με σττιστικές μεθόδους, η ξί κι η ποτελεσμτικότητ της πρότσης, με τμήμτ ελέγχου κι πειρμτισμού σε περισσότερ σχολεί. Τέλος, με σκοπό ν υποστηρίξουμε τη θέση μς επί του γενικότερου προλημτισμού: "Κθρές ποδείξεις στο υστηρό πλίσιο της ξιωμτικής θεμελίωσης της Ανάλυσης, ή ποδείξεις στη άση της δισύνδεσης της Ανάλυσης με τη Γεωμετρί;" πρθέτουμε την άποψη του μεγάλου μθημτικού René Baire, που συγκτλέγετι μάλιστ μετξύ εκείνων που είνι υπέρ των υστηρών διτυπώσεων. Στο "Leçοns sur les Théories Générales de l' Analyse", Gauthier-Villars, T.I. Paris, 1907, γράφει: "Λέγετι συχνά ότι η Ανάλυση μπορεί ν χτισθεί ξεκινώντς πό την έννοι του κερίου ριθμού κι μόνο. Αυτό είνι κριές, λλά, ν θελήσουμε ν κολουθήσουμε συστημτικά υτήν την άποψη ν συγκεκριμέν θελήσουμε ν γνοήσουμε τη Γεωμετρί, θ στερηθούμε με τη θέλησή μς πό μι πολύτιμη οήθει κι, σε πολλές περιπτώσεις, θ κτδικστούμε σε μκροσκελείς πρεκάσεις. Πιστεύω λοιπόν ότι είνι προτιμότερο ν προσπθήσουμε ν νομιμοποιήσουμε τ μοιί δάνει, που ντλλάσουν στην πργμτικότητ η Ανάλυση κι η Γεωμετρί." 26

27 4. Πράρτημ Στην εργσί μς κι γι τους λόγους που εξηγήσμε νφερθήκμε μόνο σε ολοκληρώσιμες συνρτήσεις συνεχείς σε κλειστό διάστημ. Τ πρδείγμτ που κολουθούν, πιστεύουμε ότι, δίνουν το ένυσμ κι ενισχύουν τη διάθεση γι περιτέρω μελέτη του θέμτός μς στο ευρύτερο πλίσιο των (Riemann) ολοκληρώσιμων συνρτήσεων (φργμένες συνρτήσεις όχι κτ νάγκη κι συνεχείς). Προηγουμένως, όμως, θυμίζουμε κάποιους πρίτητους ορισμούς κι διτυπώνουμε διευκρινιστικά σχόλι. Ορισμοί Σχόλι:. Μι συνάρτηση f : A R είνι φργμένη, ν, κι μόνο ν, υπάρχει θετικός ριθμός θ τέτοιος, ώστε ν ισχύει f( ) θ.. Έν υποσύνολο A του συνόλου των πργμτικών ριθμών είνι ριθμήσιμο, ν μπορούμε ν ντιστοιχίσουμε τ στοιχεί του συνόλου των φυσικών ριθμών, έν προς έν, στ στοιχεί του A. Σημειώνουμε ότι τ σύνολ, των φυσικών, των κερίων κι των ρητών ριθμών είνι ριθμήσιμ ενώ το σύνολο των πργμτικών ριθμών δεν είνι ριθμήσιμο. Επίσης, κάθε διάστημ του είνι σύνολο μη ριθμήσιμο. γ. Σχετικά με τις (Riemann) ολοκληρώσιμες συνρτήσεις, προτείνουμε ν δείτε το [5] σ.σ , ή όποιο άλλο νάλογο σύγγρμμ. δ. Αν μι πργμτική συνάρτηση είνι φργμένη κι προυσιάζει συνέχει σε μεμονωμέν σημεί πεπερσμένου ή το πολύ ριθμησίμου πλήθους, τότε η συνάρτηση υτή είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη. ε. Ως συνέπει του δ. έχουμε ότι, οι κλιμκωτές (θμωτές) συνρτήσεις είνι (Riemann) ολοκληρώσιμες (Σχετικά με τις κλιμκωτές συνρτήσεις, προτείνουμε ν δείτε το [1] σ.σ , ή όποιο άλλο νάλογο σύγγρμμ). στ. Αν μι συνάρτηση f :[, ] είνι συνεχής, τότε η f είνι φργμένη στο διάστημ [, ]. ζ. Αν μι συνάρτηση f :[, ] είνι μονότονη, τότε η f είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο διάστημ [., ] η. Αν μι συνάρτηση f ορίζετι σε έν διάστημ Δ της ευθείς των πργμτικών ριθμών, τότε η F είνι πράγουσ της f, ν η F ορίζετι στο Δ, είνι συνεχής σ υτό κι έχει πράγωγο ίση με f σε όλ τ ση- 27

28 μεί του Δ, εκτός, ίσως, πό έν σύνολο σημείων το πολύ ριθμησίμου πλήθους. Πρδείγμτ: 4.1. Έστω η συνάρτηση y 0, 0 1 ƒ() = 1, 1 < 2 1 Cƒ O 1 2 Η ƒ είνι κλιμκωτή συνάρτηση, η οποί δεν είνι συνεχής στο σημείο 0 = 1 (λέπε κι σχήμ). Όμως, η ƒ είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο διάστημ [0, 2], φού είνι φργμένη κι έχει έν μόνο σημείο συνέχεις στο διάστημ υτό. Επίσης, δεν υπάρχει συνάρτηση F ώστε F = ƒ στο διάστημ [0, 2] Έστω η συνάρτηση F:[0,1] R με F() = 0, = 0. Διπιστώστε ότι η F είνι πργωγίσιμη με: ημ συν, 2 2 ( 0,1] F() = 0, = 0 ( ] 2 ημ, 0,1 2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F δεν είνι φργμένη, οπότε, η F, δεν είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο διάστημ [0, 1]. Αυτό σημίνει ότι η συνάρτηση F δεν μπορεί ν πίξει το ρόλο της ƒ στην ισότητ F() = ƒ(t)dt. Συμπέρσμ: Υπάρχουν συνρτήσεις, οι οποίες, ενώ έχουν πράγουσ, δεν είνι (Riemann) ολοκληρώσιμες Έστω η συνάρτηση f: [ 0,1] με. Διπιστώστε ότι η συνάρτηση F: [0, 1] R ημ συν, 0,1 f() = 0, = 0 ( ] 28

29 1 ημ, ( 0,1] με F() =, είνι πργωγίσιμη στο (0,1] κι 0, = 0 0,1 ισχύει F ()=f(). Δηλδή η f έχει, εκτός πό το γι κάθε ( ] σημείο 0, πράγουσ την F.. Αποδείξτε ότι η F είνι συνεχής στο διάστημ [0,1]. γ. Εξετάστε ν η f είνι συνάρτηση (Riemann) ολοκληρώσιμη. 5. Βιλιογρφικές νφορές [1] Apostol T.M. (1962). " Διφορικός κι Ολοκληρωτικός Λογισμός", τόμος Ι, μτφρ. Γκιόκς Δ., Αθήν: Εκδόσεις Ατλντίς. [2] Edwards C. H. (1979). "The Historical Development of the Calculus", Springer Study Edition. [3] Νεγρεπόντης Σ. Γιωτόπουλος Σ. Γιννκούλις Ε. (1999). "Απειροστικός Λογισμός", τόμος Ι, Αθήν: Εκδόσεις Συμμετρί. [4] Ντρίζος Δ. (2002). "Ο ρόλος των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδσκλί της Ανάλυσης"- Διπλωμτική Εργσί, Τμ. Μθημτικών του Εθνικού κι Κποδιστρικού Πν/μίου Αθηνών. [5] Spivak M. (1991). "Διφορικός κι Ολοκληρωτικός Λογισμός", μτφρ. Γιννόπουλος Α., Ηράκλειο: Πνεπιστημικές Εκδόσεις Κρήτης. [6] Thomas G.B. Finney R.L. (1993). "Απειροστικός Λογισμός", Τόμος Α, μτφρ. Κνάρης Τσίγκνος, Ηράκλειο: Πνεπιστημικές Εκδόσεις Κρήτης. 29

30 Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδικσί επινόησης της πόδειξης μις μθημτικής πρότσης Η περίπτωση του θεωρήμτος Μέσης του Διφορικού Λογισμού Περίληψη Με την εργσί υτή επεκτείνουμε τ πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων πέρ πό την ισθητοποίηση κάποιων εννοιών κι τη γεωμετρική ερμηνεί ορισμένων προτάσεων, που δίνετι συνήθως στο τέλος τους (μετά την ολοκλήρωση κι της τυπικής- υστηρής τους πόδειξης). Θ νδείξουμε ένν κόμη σημντικό ρόλο που μπορούν ν πίξουν στη διδικσί της επινόησης υτής κθευτής της πόδειξης μθημτικών προτάσεων κι, στ πλίσι της εξειδίκευσης του θέμτος, νλύουμε το νέο υτό ρόλο των γεωμετρικών νπρστάσεων διμέσου της πόδειξης του θεωρήμτος Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού γι πργμτικές συνρτήσεις μις ή περισσοτέρων μετλητών. Εισγωγή Σε διάφορ ιλί μθημτικών που προορίζοντι γι τη λυκεική εκπίδευση κι όχι μόνο, ο διδκτικός ρόλος της εποπτείς διμέσου γεωμετρικών νπρστάσεων κι μοντέλων, κυρίως επικεντρώνετι: Πρώτον, στη γεωμετρική ερμηνεί κάποιων προτάσεων φού πρώτ υτές έχουν διτυπωθεί υστηρά κι έχει ολοκληρωθεί η τυπική τους πόδειξη. Δεύτερον, στη γεωμετρική ισθητοποίηση ορισμένων εννοιών (γι πράδειγμ, της πργώγου κι του ολοκληρώμτος). Τρίτον, στη δισφήνιση ορισμών που κι υτοί πρώτ έχουν ήδη διτυπωθεί με τον συνήθη φορμλιστικό τρόπο. Υπάρχουν έι κι κάποιες εξιρέσεις γι ν επιειώνουν πάλι τον κνόν. Με την εργσί υτή στοχεύουμε ν επεκτείνουμε τ προηγούμεν πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων, νδεικνύοντς ένν κόμη σημντικό ρόλο που μπορούν ν πίξουν στη διδικσί της επινόησης υτής κθευτής της πόδειξης μθημτικών προτάσεων. Ο ρόλος τους υτός εστιάζετι πό την ρχή, κι όχι νκόλουθ μετά την πόδειξη, στη θύτερη κτνόηση κι ερμηνεί μις πρότσης κι στον εντοπισμό των δισυνδέσεών της με άλλες προηγούμενες γνώσεις. Η μφίδρομη 30

31 δισύνδεση των τυπικών μθημτικών διτυπώσεων με τις νάλογες γεωμετρικές τους νπρστάσεις, συμάλλει με μι σειρά προσεκτικών πρτηρήσεων κι συλλογισμών στη σύλληψη των κρίσιμων ιδεών (γι πράδειγμ του τύπου κάποις συνάρτησης) οι οποίες ποτελούν το κλειδί γι την επινόηση της πόδειξης μις πρότσης. Θ προσπθήσουμε ν δώσουμε πειστικές πντήσεις στον εξής προλημτισμό που σχετίζετι με το ντικείμενο της Ανάλυσης: όλοι μς θ έχουμε προσέξει ότι μερικές φορές η πόδειξη κάποιων προτάσεων κι η λύση ορισμένων προλημάτων γενικότερ, σίζετι στη θεώρηση κάποις κτάλληλης συνάρτησης πό την ρχή. Η θεώρηση υτή ποτελεί το σημείο εκκίνησης γι τη λύση του προλήμτος. Όμως, δεν ιτιολογείτι συνήθως η νγκιότητ της συγκεκριμένης επιλογής κι επιπλέον, δεν εξετάζετι το ερώτημ της τυχόν ύπρξης κι άλλων συνρτήσεων εξίσου κτάλληλων γι την περίπτωση. Εξάλλου γνωρίζουμε ότι, πριν πό την τελική οργάνωση κι υστηρή διτύπωση της πόδειξης μις πρότσης, προηγείτι η διδικσί της νκάλυψης. Κι υτή συνήθως δεν επιτυγχάνετι με προκθορισμένες γρμμικές νοητικές διδικσίες. Εδώ κυριρχούν οι προσεκτικές πρτηρήσεις στην προσπάθει δισύνδεσης των εμπλεκόμενων εννοιών, οι δοκιμές, οι εικσίες κι ο έλεγχός τους κι έι η διίσθηση (κτά τον Richard Courant, η έλλειψη της εξάρτησης των ποδείξεων πό τη διίσθηση οδηγεί σε «μθημτική τροφί»). Σ υτή τη φάση της νκάλυψης εντάσσουμε κι τον διδκτικό ρόλο των γεωμετρικών νπρστάσεων κι μοντέλων. Όσον φορά τώρ στην εξειδίκευση της εργσίς στ πλίσι της πόδειξης του Θεωρήμτος της Μέσης Τιμής, υτή έγινε γιτί πρώτον, το θέμ υτό ποτελεί έν πό τ πλέον σημντικά θεωρήμτ της Ανάλυσης κι δεύτερον, η πόδειξή του με τη συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων, έχει πσχολήσει ως τώρ διάφορους μθημτικούς. Σκοπεύουμε λοιπόν ν προσθέσουμε με την εργσί υτή κι κάποιες άλλες προσεγγίσεις του. Το γενικό πλίσιο της διδικσίς που προτείνουμε: Διτύπωση Προλήμτος πό την Ανάλυση. Ανάπτυξη προλημτισμού στη άση μις ή περισσοτέρων γεωμετρικών νπρστάσεων (εποπτεί). Ανδιτύπωση του Προλήμτος σε γεωμετρική γλώσσ. Επινόηση του γεωμετρικού "επιχειρήμτος" (συνήθως μις κτάλληλης συνάρτησης), που ποτελεί το κομικό σημείο γι την πόδειξη. Θεωρητική τεκμηρίωση στη άση του προλημτισμού που νπτύχθηκε. Ανάπτυξη προλημτισμού με σκοπό την (πιθνή) διτύπωση γενικεύσεων. 31

32 Το Θεώρημ Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ. του Lagrange) Το θεώρημ που κολουθεί ποτελεί γενίκευση του Θεωρήμτος του Rolle κι, λόγω των πολλών κι σημντικών εφρμογών του, θεωρείτι έν πό τ πλέον θεμελιώδη θεωρήμτ της Ανάλυσης. Διτύπωση του Θ.Μ.Τ. Αν μι συνάρτηση ƒ είνι: i) συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι ii) πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ), τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: f()- f() f (ξ)= ή ƒ() ƒ() = ƒ (ξ) ( ). - Σε πολλά ιλί, σχολικά κι όχι μόνον, η πόδειξη του Θ.Μ.Τ. επιτυχγάνετι με τη θεώρηση εξ ρχής είτε της συνάρτησης: g() = ƒ() ƒ( ) ƒ( ) ( ) είτε της: ƒ() 1 φ () = ƒ( ) 1, [, ], ƒ( ) 1 κι μέσως μετά με την εφρμογή του Θεωρήμτος του Rolle σ υτές. Κι είως, η άμεση κι εντελώς λογική πορί των μθητών: Γιτί ν θεωρήσουμε υτές τις συνρτήσεις; Ποι σειρά συλλογισμών μς οδηγεί στην επιλογή υτών των συνρτήσεων; Ελπίζουμε ότι οι συλλογισμοί που θ προτείνουμε δίνουν πειστικές - πντήσεις στ ερωτήμτ υτά. Θ επινοήσουμε κάποιο γεωμετρικό επιχείρημ, το οποίο θ ιτιολογεί τη «σύλληψη» του θεωρήμτος κι θ μς δίνει κάποι ιδέ γι την πόδειξή του. y ƒ() y ε C ƒ ω Λ Μ(, y) ω 0 Σχήμ 1 Ας φντστούμε ότι μετκινούμε τη «χορδή» ΑB προς τ πάνω, ενώ την κρτάμε διρκώς πράλληλη προς την ρχική της θέση. Αν τη μετκινήσουμε ρκετά προφνώς θ χάσει την επφή της με την κμπύλη πριν όμως χάσει την επφή της με την κμπύλη, θ φτάσει σ έν σημείο όπου θ εφάπτετι της κμπύλης. (ε: εφπτομένη της C f με ε//αβ). 32

33 Στη θέση υτή η πόστση του σημείου υτού πό τη χορδή ΑΒ γίνετι μέγιστη (Σχήμ 1). Γενικά, εφπτόμενη προς την ΑΒ έχουμε στ σημεί της κμπύλης όπου το (ΚΛ) πίρνει μι τοπικά κρόττη τιμή. Ο συλλογισμός υτός μς οδηγεί ν ορίσουμε μί συνάρτηση που θ μετράει την πόστση των σημείων της κμπύλης πό τη χορδή ΑΒ. Σε τυχόν του [, ] η πόστση υτή εκφράζετι πό το μήκος του τμήμτος ΚΛ (Σχήμ 1). Είνι ΚΛ = (ΚΜ) συνω ƒ( ) ƒ( ) Η εξίσωση της χορδής ΑΒ είνι: ψ ƒ() = ( ). Άρ το τυχόν σημείο Μ της ΑΒ με συντετγμένες (, ψ) θ επληθεύει την εξίσωση: ψ = ƒ() + ( ). ƒ( ) ƒ( ) ƒ( ) ƒ( ) Επομένως (ΚΜ) = ƒ() ψ = ƒ() [ƒ() + ( )]. ƒ( ) ƒ( ) Κι άρ (ΚΛ) = συνω [ƒ() ƒ() ( )]. Αν φντστούμε ότι το ΚΛ, όπως υτό ορίστηκε, κινείτι, τότε το μήκος του γίνετι μηδέν ότν το Κ συμπέσει με τ Α ή Β, δηλδή ότν το γίνει ή ντιστοίχως. Έτσι, ν θέσουμε (ΚΛ) = g(), έχουμε g() = 0, g() = 0. Κι επειδή η g είνι προφνώς συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ), σύμφων με το Θεώρημ Rolle, θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: g'(ξ) = 0. ƒ( ) ƒ( ) Είνι g () = συνω [ƒ() ƒ() ( )] ƒ( ) ƒ( ) = συνω [ƒ () ]. ƒ( ) ƒ( ) Οπότε g (ξ) = 0 ƒ (ξ) = Η τελευτί ισότητ ρίσκετι σε πλήρη ρμονί με τις ρχικές γεωμετρικές μς προσεγγίσεις, που ήθελν την εφπτομένη της κμπύλης ƒ πράλληλη προς τη χορδή ΑΒ. Έτσι η γεωμετρική ερμηνεί του Θ.Μ.Τ. δόθηκε πό την ρχή κι όχι, νκόλουθ, μετά πό την πόδειξη. 33

34 Δεύτερη γεωμετρική προσέγγιση του Θ.Μ.Τ.: y ƒ() ƒ() C ƒ Λ ƒ() 0 Σχήμ 2 Σε κάθε του [, ] ντιστοιχεί έν τρίγωνο ΚΑΒ. Η διίσθηση, που στηρίζετι στη γεωμετρική εποπτεί, μς λέει ότι εφπτομένη της κμπύλης, πράλληλη προς τη χορδή ΑΒ, θ έχουμε σ εκείνο το σημείο, όπου το εμδόν Ε του τριγώνου ΑΚΒ προυσιάζει τοπικά κρόττη τιμή. Είνι φνερό ότι το εμδόν Ε μηδενίζετι ότν η κορυφή Κ τυτιστεί με το Α ή με το Β, δηλδή ότν το το γίνει ή ντιστοίχως. ƒ( ) ƒ( ) ( ) 1 1 E() = det KA,KB =, [, ] 2 2 ƒ ƒ ( ) ( ) Η προηγούμενη πρτήρηση επιειώνετι κι τυπικά, κθώς Ε() = 0 κι Ε() = 0. Είνι, πλέον, φνερό ότι γι τη συνάρτηση Ε(), κι συνεπώς κι γι ƒ( ) ƒ( ) τη συνάρτηση g( ) = ικνοποιούντι οι προϋποθέσεις ƒ( ) ƒ( ) εφρμογής του Θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ]. Επομένως, θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: g (ξ) = 0 g() = ( ) [ ƒ( ) ƒ() ] ( ) [ ƒ( ) ƒ() ] ισοδ. g() = ƒ( ) ƒ( ) + ( ) ƒ() [ ƒ( ) ƒ( ) ] Άρ, g () = ( ) ƒ () [ ƒ( ) ƒ( )] Οπότε το συμπέρσμ g (ξ) = 0, λόγω της τελευτίς ισότητς, γράφετι: ƒ( ) ƒ( ) ƒ ( ξ ) =. 34

35 Τρίτη γεωμετρική προσέγγιση του Θ.Μ.Τ. y C ƒ ƒ() ƒ() y = ƒ() ƒ() Λ, 0 Σχήμ 3 Ας φντστούμε ότι έν σημείο Κ κινείτι επί της γρφικής πράστσης της ƒ πό το Α προς το Β. Σε κάθε τυχούσ θέση του Κ(, ƒ()), [, ], ντιστοιχεί έν ευθύγρμμο τμήμ ΚΛ κάθετο στον άξον των κι Λ σημείο της ευθείς ƒ( ) ƒ( ) y=. Η διίσθηση που στηρίζετι στη γεωμετρική εποπτεί μς λέει ότι: ε- φπτομένη της C ƒ πράλληλη προς τη χορδή ΑΒ θ έχουμε σε εκείνη τη θέση του σημείου Κ, όπου το μήκος του ΚΛ προυσιάζει τοπικά κρόττη τιμή. Ο συλλογισμός υτός μς οδηγεί ν ορίσουμε τη συνάρτηση δ(), που εκφράζει τη διφορά των τετγμένων των σημείων Κ κι Λ που έχουν την ίδι τετμημένη. ƒ( ) ƒ( ) δ () = ƒ(), [, ]. Στο σχήμ 3 η δ() εκφράζει το μήκος του τμήμτος ΚΛ. Κρίσιμες πρτηρήσεις: Ότν το Κ ρίσκετι στο Α, τότε (ΚΛ) = (ΑΑ ), ενώ ότν το Κ ρίσκετι στο Β, τότε (ΚΛ) = (ΒΒ ). Όμως το τετράπλευρο ΑΑ Β Β είνι φνερά πρλληλόγρμμο, οπότε (ΑΑ ) = (ΒΒ ) δηλδή δ() = δ(). Το τελευτίο υτό συμπέρσμ, δ() = δ(), κθώς επιπλέον η συνάρτηση δ είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ), μς λέει ότι γι τη δ ικνοποιούντι οι τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ]. Οπότε θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε δ (ξ) = 0. 35

36 Είνι ƒ( ) ƒ( ) δ () = ƒ (), οπότε η δ (ξ) = 0 γίνετι: ƒ( ) ƒ( ) ƒ (ξ) =, που είνι το ζητούμενο. Το κρίσιμο συμπέρσμ δ() = δ(), που προέκυψε πό τη γεωμετρική εποπτεί, επιειώνετι κι με τον υπολογισμό των δ() κι δ() πό τον τύπο της συνάρτησης: ƒ( ) ƒ( ) δ () = ƒ(), [, ]. Μί κόμ (τέτρτη) ιδέ γι την πόδειξη του Θ.Μ.Τ. Η ευθεί ΑΒ προκύπτει πό μι πράλληλη μεττόπιση της ευθείς ƒ( ) ƒ( ) Α Β : y=, κτά μί πργμτική στθερά c, ίση με το μήκος του τμήμτος ΑΑ. ƒ( ) ƒ( ) Έτσι έχουμε ΑΒ: y = + c κι επειδή το Λ νήκει στην ƒ( ) ƒ( ) ΑΒ, άρ Λ, + c. y C ƒ c c ƒ() ƒ() Λ, + c c ƒ() ƒ() y = ƒ() ƒ() Λ, 0 Σχήμ 4 Στη συνέχει σχολούμστε με το τμήμ ΚΛ κι τη συνάρτηση ƒ( ) ƒ( ) Φ () = ƒ() + c, [, ], με συλλογισμούς εντελώς νάλογους προς εκείνους της προηγούμενης πόδειξης, όπου είχμε το τμήμ ΚΛ ντί του ΚΛ κι τη συνάρτηση δ() ντί της Φ(). 36

37 Γενίκευση του Θ.Μ.Τ. γι πργμτικές συνρτήσεις πολλών μετλητών Έστω ƒ: U IR n IR μι διφορίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το n νοικτό κι κυρτό υποσύνολο U του IR. Τότε, γι οποιδήποτε, y U με y υπάρχει σημείο z 0 του ευθυγράμμου τμήμτος y με z 0 κι z 0 y, τέτοιο ώστε : ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ (z 0 ). Γεωμετρική προσέγγιση πόδειξη Η πόδειξη που ρίσκουμε σε συγγράμμτ Ανάλυσης συνρτήσεων πολλών μετλητών επιτυγχάνετι με εφρμογή του γνωστού Θ.Μ.Τ. γι πργμτικές συνρτήσεις μις πργμτικής μετλητής στη συνάρτηση: ( ) g: [0, 1] ΙR, g(t) = ƒ ( 1 t) + ty. Σκοπεύουμε, διμέσου της γεωμετρικής εποπτείς, ν ιτιολογήσουμε την νγκιότητ της επιλογής της g κι ν δούμε προσεκτικά τη δισύνδεσή της με την ƒ. Μετά τη συζήτηση του Θ.Μ.Τ. γι πργμτικές συνρτήσεις μις πργμτικής μετλητής, σκεπτόμενοι επγωγικά, θεωρούμε κτρχήν εντελώς φυσικό ν προσεγγίσουμε το θέμ μς (πρόλημ γενίκευσης) διμέσου συνάρτησης ƒ: U IR 2 IR γι την οποί μπορούμε ν έχουμε κι εποπτεί (πρόλημ ειδίκευσης με n = 2). z N S M Γ ƒ( ) ƒ( z) ƒ( y) O y z Ε y U 37

38 Πίρνουμε δύο σημεί κι y του U με y (στθεροποιημέν). Το U στη συγκεκριμένη περίπτωση είνι έν νοικτό κι κυρτό σημειοσύνολο του επιπέδου Οy. Ενώ, το γράφημ της ƒ: U IR 2 IR είνι μι επιφάνει S του IR, η οποί ποτελείτι πό τ σημεί (, y, ƒ(, y )) γι όλ 3 τ (, y) του U. Θέλουμε, τώρ, τις τιμές των κι y, δηλδή τ ƒ(), ƒ(y) ντίστοιχ, τ οποί εμφνίζοντι στη διτύπωση του θεωρήμτος. Γι το λόγο υτό, στ πλίσι της γεωμετρικής προσέγγισης, θεωρούμε το επίπεδο Ε το κάθετο προς το επίπεδο Οy με ευθεί τομής υτήν που διέρχετι πό τ σημεί κι y. Η τομή του Ε με την S είνι μι κμπύλη Γ κι οι τιμές των κι y μέσω της ƒ υλοποιούντι πό τ σημεί Μ κι Ν της S ντίστοιχ. Τ ƒ() κι ƒ(y) είνι πργμτικοί ριθμοί κι εκφράζουν τις ποστάσεις των κι y πό τ σημεί Μ κι Ν. Σημντική πρτήρηση Με τη διδικσί που περιγράψμε, γίνετι φνερό ότι η υλοποίηση του θεωρήμτος μετφέρετι στο επίπεδο Ε κι επομένως η πόδειξή του θ μπορούσε πλέον ν επιτευχθεί διμέσου κάποις πργμτικής συνάρτησης με μι πργμτική μετλητή. Στόχος μς είνι τώρ η επινόηση μις τέτοις συνάρτησης g μετλητής t, η οποί κθέν t πό το πεδίο ορισμού της θ το ντιστοίχιζε σε έν κριώς σημείο z του y κι κολούθως υτό το z θ το πεικόνιζε γρφικά σε έν κριώς σημείο της κμπύλης Γ. A T B z y Αν στ στθεροποιημέν σημεί Α κι Β ενός άξον τετμημένων - πεικονίζοντι τ κι y ντίστοιχ, τότε γι οποιοδήποτε σημείο Τ με τετμημένη z, που διτρέχει το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ, ισχύει: AT = t, t [0, 1] γι κάθε θέση του Τ πάνω στο τμήμ ΑΒ. AB Άρ z =(y ) t κι ισοδύνμ: z = ( 1 t) + t y : (1), όπου z=z(t). Η εξίσωση (1) περιγράφει το ευθύγρμμο τμήμ y. Ανδεικνύετι έτσι μι συνάρτηση r : [0, 1] y μετλητής t, η ο- ποί ντιστοιχίζει κθέν t του κλειστού διστήμτος [0, 1] σε έν κριώς σημείο z του y. Έχουμε: z = ( 1 t) + t y : = r( t) Άρ, (2) : ƒ( z) = ƒ( ( 1 t) + t y) : = g( t ), g: [ 0,1] IR rt () Η εξίσωση (2) περιγράφει το τμήμ ΜΝ της κμπύλης Γ. Η προηγούμενη πορεί μς οδήγησε, διμέσου μις σειράς πλών συλλογισμών, στην επινόηση της συνάρτησης: ( ) [ ] g() t = ƒ ( 1 t) + t y, t 0,1 38

39 t [0, 1] ΙR r r(t) = z(t) : σημείο του y g ƒ ƒ(z(t)) : = g(t) IR Τ δύο επόμεν σχήμτ έχουν ως στόχο την πληρέστερη κτνόηση της δισύνδεσης των συνρτήσεων ƒ κι g διμέσου (κι) της γεωμετρικής εποπτείς. (t, g( )) 0 t 0 ε//μν N N M Γ M Γ ΜΝ = Cg ƒ( ) ƒ( y) g(0) = ƒ( ) g(1) = ƒ( y) z 0 Ε y 0 t 0 Ε 1 t U Είνι πλέον φνερό ότι η πόδειξη νάγετι στην εφρμογή του γνωστού Θ.Μ.Τ. (γι πργμτικές συνρτήσεις μις πργμτικής μετλητής) στην g() t = ƒ ( 1 t) + t y, t 0,1, ( ) [ ] γιτί η g είνι συνεχής στο [0, 1] κι πργωγίσιμη στο (0, 1). Άρ, θ υπάρχει t 0 (0, 1) τέτοιο ώστε: g1 () g0 ( ) = ( 1 0) g ( t 0 ) : (3) Βρίσκουμε g(1) = ƒ(y), g(0) = ƒ() κι g (t) = (y ) ƒ ((1 t) +t y). Η (3) γράφετι: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ ((1 t 0 ) + t 0 y) : (4) Όμως στο t 0 (0, 1) ντιστοιχίζετι, μέσω της r, έν σημείο z 0 του ευθύγρμμου τμήμτος y, διφορετικό των κι y, ώστε: z 0 =(1 t 0 ) +t 0 y. Έτσι η (4) γράφετι: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ (z 0 ). Σχόλι: Το ƒ (z 0 ) εκφράζει το ρυθμό μετολής της συνάρτησης ƒ στο z 0 νά μονάδ μήκους, ως προς την κτεύθυνση που ορίζει το y. Γι την επινόηση της συνάρτησης g(t) = ƒ((1 t) + t y) εργστήκμε 39

40 διμέσου της ειδίκευσης ƒ : U IR n IR με n = 2. Αφότου όμως επινοήθηκε η g, πό εκεί κι ύστερ, η πόδειξη στο τυπικό της υστηρό μέρος ισχύει γι όλες τις συνρτήσεις ƒ : U IR n IR με n 2. Κι υτό γιτί, με στθεροποιημέν τ κι y η g είνι πργμτική συνάρτηση μις πργμτικής μετλητής, της t, νεξάρτητ πό το n. Μι άλλη προσέγγιση γι την πόδειξη της γενίκευσης του Θ.Μ.Τ. C g K N(1, g(1)) Λ M(0, g(0)) 0 t 1 Ας φντστούμε ότι το Κ διτρέχει τη γρφική πράστση της g πό το Μ ως το Ν. Έτσι γι κάθε t [0, 1] πίρνουμε κριώς μι θέση του Κ(t, g(t)) πάνω στη C g. Κθώς το Κ διτρέχει τη C g, ισοδύνμ κθώς το t διτρέχει το διάστημ [0, 1], το μήκος του τμήμτος ΚΛ γίνετι 0 ότν το Κ συμπέσει με τ Μ ή Ν, δηλδή ότν το t γίνετι 0 ή 1 ντίστοιχ. Γι οποιδήποτε θέση του Κ πάνω στη C g έχουμε: (ΚΛ) = τετγμένη του Κ τετγμένη του Λ ( ) [ ] Επομένως, ( ΚΛ ): = h() t = g() t g( 0) + g() 1 g( 0) t,t 0,1 όπου g(t) = ƒ((1 t) + t y). Οι προηγούμενες πρτηρήσεις μς γι το μήκος του ΚΛ, ότν το Κ συμπέσει με τ Μ ή Ν επιειώνοντι πλέον κι τυπικά πό τον τύπο της h, φού h(0) = 0, h(1) = 0. Κι επειδή η h είνι συνεχής στο [0, 1] κι πργωγίσιμη στο (0, 1), σύμφων με το θεώρημ του Rolle θ υπάρχει t 0 (0, 1) ώστε h (t 0 ) = 0. Είνι: h (t) = g (t) g(1) + g(0) g (t) = (y ) ƒ ((1 t) + t y) g(0) = ƒ(), g(1) = ƒ(y) 40

41 Οπότε, h (t) = (y ) ƒ ((1 t) + t y) ƒ(y) + ƒ() Έτσι το συμπέρσμ h (t 0 ) = 0, του θεωρήμτος του Rolle, γράφετι: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ ((1 t 0 ) + t 0 y) Όμως, σε κθέν t 0 (0, 1) είδμε ότι ντιστοιχίζετι κριώς έν z 0 του ευθύγρμμου τμήμτος y, διφορετικό των κι y, ώστε: z 0 = (1 t 0 ) + t 0 y. Επομένως: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ (z 0 ). Βιλιογρφί [1] Κδινάκης, Ν. Κρνάσιος, Σ. Φελλούρης, Α. (2000). "Ανάλυση ΙΙ, Συνρτήσεις πολλών μετλητών", Αθήν: σύγγρμμ του Ε.Μ.Π. [2] Ντρίζος, Δ. (2002). "Ο ρόλος των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδσκλί της Ανάλυσης" Διπλωμτική Εργσί, Tμ. Μθημτικών του Ε.Κ.Π.Α. [3] Τσίτσς, Λ. (2002). "Εφρμοσμένος Δινυσμτικός Απειροστικός Λογισμός", Αθήν: σύγγρμμ του Ε.Κ.Π.Α., Εκδόσεις Συμμετρί. 41

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες.

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες. I Βσικά συμπεράσμτ Στις σκσεις που κολουθούν θ χρησιμοποισουμε τ επόμεν βσικά συμπεράσμτ Α, Β κι Γ: Α Έστω R κι :[,+)R συνάρτηση τέτοι, ώστε συνεχς στο [,+), πργωγίσιμη στο (,+) κι () = Ν ποδειχθεί ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για συναρτήσεις μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών στο πλαίσιο της γεωμετρικής εποπτείας

Το θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για συναρτήσεις μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών στο πλαίσιο της γεωμετρικής εποπτείας Το θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για συναρτήσεις μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών στο πλαίσιο της γεωμετρικής εποπτείας Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ROLLE, ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ FERMAT ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ROLLE, ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ FERMAT ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ROLLE, ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ FERMAT ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Του Δημητρίου Α Ντρίζου Σχολικού Συμούλου Μθημτικών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

Α.4 α β γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος. Άρα υπάρχουν δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το σημείο A(1,4). M 0, 5 με εξίσωση y 9x 5

Α.4 α β γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος. Άρα υπάρχουν δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το σημείο A(1,4). M 0, 5 με εξίσωση y 9x 5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Απόδειξη, σχοικό ιίο σε 7 Α Ορισμός, σχοικό ιίο σε Α3 Διτύπωση θεωρήμτος, σχοικό ιίο σε 6 Α γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Είνι g = + 9 Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργλείο κτνόησης σικών εννοιών στο Γυµνάσιο ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΟΣ Μθηµτικός-Υπεύθυνος του Μθηµτικού Εργστηρίου του Λυκείου Ελληνικού kontod@yahoo.gr ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΑΓΚΟΣ Μθηµτικός -Κθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Οι κυρτές συναρτήσεις Μια πορεία µεταξύ γεωµετρικής και συναρτησιακής θεώρησης

Οι κυρτές συναρτήσεις Μια πορεία µεταξύ γεωµετρικής και συναρτησιακής θεώρησης ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ γ, Τεύχος 65, 26 ι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί µετξύ γεωµετρικής κι συνρτησικής θεώρησης ηµήτρης Ντρίζος Μθηµτικός M.Ed., 6ο Λύκειο Τρικάλων Περίληψη Με την εργσί υτή, διµέσου µις σειράς προληµτισµών,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR Σερίφης Κωννος Α. Βσικές γνώσεις Τυτότητες ± ) ± + ± ) 3 3 ± 3 +3 ± 3 + ± ) ++γ) + +γ ++γ+γ - -)+) 3-3 -) ++ ) ν - ν -) ν- + ν- + + ν- + ν- ) 3 + 3 +) -+ ) ν + ν +) ν- - ν- + - ν- + ν- ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ν ΠΕΡΙΤΤΟ.

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα