ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Εισαγωγή Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών Ασκήσεις Ομογενείς Διαφορικές εξισώσεις 1 ης τάξης Ασκήσεις Γραμμικές ΔΕ πρώτης τάξης Ασκήσεις Διαφορικές εξισώσεις Bernoulli Ασκήσεις Διαφορικές εξισώσεις Ricatti Ασκήσεις Το πρόβλημα των ορθογωνίων τροχιών Ασκήσεις Γραμμικές ΔΕ 2 ης τάξης με σταθερούς συντελεστές και μηδενικό το 2 ο μέλος Ασκήσεις Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης του Euler Ασκήσεις _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xiii 4/3/2014 3:34:23 μμ

2 xiv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γραμμικές ΔΕ ν-στής τάξης με σταθερούς συντελεστές και μηδενικό το 2 ο μέλος (γενίκευση των αντίστοιχων ΔΕ 2 ης τάξης) Ασκήσεις Γραμμικές ΔΕ 2 ης τάξης με σταθερούς συντελεστές και μη μηδενικό το 2 ο μέλος Α) Η συνάρτηση F(x) είναι πολυώνυμο n βαθμού Ασκήσεις Β) Η συνάρτηση F(x) είναι της μορφής F( x) p( x) e x, όπου p(x) είναι πολυώνυμο n βαθμού Ασκήσεις Γ) Η συνάρτηση F(x) είναι της μορφής F( x) A ( x) B ( x) Ασκήσεις Δ) Η συνάρτηση F(x) = F 1 (x) + F 2 (x) + + F n (x) είναι άθροισμα n συναρτήσεων, nν, n 2 της μορφής Α, Β ή Γ Ασκήσεις Γραμμικές ΔΕ ν-στής τάξης με σταθερούς συντελεστές και μη μηδενικό το 2 ο μέλος (γενίκευση των αντίστοιχων ΔΕ 2 ης τάξης) Ασκήσεις ΔΕ της μορφής P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Τεχνολογικές εφαρμογές Διαφορικών Εξισώσεων Ταχύτητα ψύξης υγρών Ραδιενεργός διάσπαση Κρεμασμένο σχοινί Η ταλάντωση ελατηρίου Ηλεκτρικά κυκλώματα Ασκήσεις Συστήματα Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές Επίλυση γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων με τη μέθοδο της απαλοιφής _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xiv 4/3/2014 1:30:32 μμ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xv Επίλυση συστήματος ΔΕ με τη μέθοδο της απαλοιφής χρησιμοποιώντας διαφορικούς τελεστές Ασκήσεις KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Εισαγωγή, βασικές έννοιες Συνέχεια της συνάρτησης z f( x, y) Βασικές τοπολογικές έννοιες Φραγμένα σύνολα, φραγμένες συναρτήσεις Περιοχή σημείου, ανοικτά και κλειστά σύνολα Μερικές παράγωγοι Γραφική παράσταση της συνάρτησης z = f (x, y) και ερμηνεία των μερικών παραγώγων Ασκήσεις Ολικό διαφορικό συνάρτησης Διαφόριση σύνθετων συναρτήσεων Ολοκλήρωση ολικών διαφορικών Ολοκληρωτικοί παράγοντες Ασκήσεις Πεπλεγμένες συναρτήσεις Παράγωγοι πεπλεγμένων συναρτήσεων Παράγωγοι μιας ανεξάρτητης μεταβλητής Παράγωγοι περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών Παράγωγοι που ορίζονται με σύστημα εξισώσεων Ορισμός συναρτησιακής εξάρτησης Αλλαγές μεταβλητών στις παραγώγους Αλλαγή ανεξάρτητης μεταβλητής Αλλαγή εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xv

4 xvi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αλλαγή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών Εφαρμογές - Παραδείγματα Ασκήσεις Εξισώσεις επιπέδων και επιφανειών 2 ου βαθμού Εξίσωση επιπέδου Εξίσωση ευθείας στο χώρο Εξίσωση σφαίρας Εξίσωση ελλειψοειδούς Εξίσωση υπερβολοειδούς Εξίσωση κώνου Εξισώσεις παραβολοειδών Εξισώσεις κυλινδρικών επιφανειών KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών Ασκήσεις Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Ασκήσεις Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης (1 η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με μια μεταβλητή (2 η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με δύο μεταβλητές Ασκήσεις Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες (1 η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = 2 συνθήκες) (2 η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = 1 συνθήκη) Ασκήσεις _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xvi

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xvii KΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΠΛΑ, ΤΡΙΠΛΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 189 Α. ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.1 Ορισμοί Ιδιότητες διπλού ολοκληρώματος Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος Παραδείγματα Εφαρμογές Ασκήσεις Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος σε πολικές συντεταγμένες Αλλαγή μεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωμα Ασκήσεις Εφαρμογές των διπλών ολοκληρωμάτων στη Μηχανική Ασκήσεις Β. ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.8 Ορισμός, ιδιότητες και υπολογισμός αυτών Ιδιότητες του τριπλού ολοκληρώματος Υπολογισμός του τριπλού ολοκληρώματος Παραδείγματα Εφαρμογές Ασκήσεις Αλλαγή μεταβλητών στο τριπλό ολοκλήρωμα Ασκήσεις Εφαρμογές του τριπλού ολοκληρώματος στη Μηχανική Ασκήσεις Γ. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.12 Ορισμοί Επίλυση γενικευμένων ολοκληρωμάτων Ασκήσεις _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xvii

6 xviii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ, ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 265 Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 5.1 Γενικά Ορισμοί Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης Ασκήσεις Συνθήκες σταθερού μέτρου ή διεύθυνσης της διανυσματικής συνάρτησης rt () Ολοκλήρωση διανυσματικών συναρτήσεων Ασκήσεις Παραγώγιση αριθμητικής συνάρτησης κατά μια διεύθυνση Ασκήσεις Εφαπτομένη καμπύλης Άσκηση Διαφορικοί τελεστές Βαθμωτά Πεδία Κλίση (grad) σημειακής συνάρτησης Απόκλιση (div) διανυσματικής συνάρτησης Στροφή (rot) διανυσματικής συνάρτησης Άλλοι διαφορικοί τελεστές Ασκήσεις Β. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ι. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Συνοδεύον τρίεδρο. Τύποι των Serret-Frenet Υπολογισμός της καμπυλότητας k και της στρέψης σ Ασκήσεις II. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xviii 10/3/ :15:05 μμ

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xix 5.11 Εφαπτόμενο επίπεδο επιφάνειας. Θεμελιώδη ποσά 1 ης τάξης Ασκήσεις KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 361 Α. ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6.1 Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος Υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος Ιδιότητες επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων Άλλες ιδιότητες επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων Υπολογισμός έργου με επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Υπολογισμός εμβαδού με επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Ασκήσεις Θεώρημα του Green στο επίπεδο Ιδιότητες του τύπου του Green στο επίπεδο Εφαρμογές του επικαμπύλιου ολοκληρώματος στη Μηχανική Ασκήσεις Β. ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6.7 Εμβαδό επιφάνειας Ορισμός επιεπιφάνειου ολοκληρώματος Ιδιότητες επιεπιφάνειου ολοκληρώματος Θεώρημα Gauß Ostrogradsky (ή Green στο χώρο) και Θεώρημα Stokes Θεώρημα Gauß Ostrogradsky, ή Θεώρημα Green στο χώρο, ή Θεώρημα Απόκλισης Ιδιότητες του Θεωρήματος Απόκλισης Θεώρημα του Stokes Ιδιότητες Θεωρήματος Stokes _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xix

8 xx ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6.10 Εφαρμογές επιεπιφάνειου ολοκληρώματος στη Γεωμετρία, Φυσική και Μηχανική Ασκήσεις KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Εισαγωγή Σειρές Fourier Συνθήκες σύγκλισης του Dirichlet Σειρές ημιτόνων και σειρές συνημιτόνων Παραδείγματα και εφαρμογές ανάλυσης συναρτήσεων κατά Fourier Άρτιες και περιττές επεκτάσεις συναρτήσεων Ολοκλήρωση σειράς Fourier Μιγαδική παράσταση της σειράς Fourier Ασκήσεις KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 519 Α. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 8.1 Ορισμοί Ιδιότητες αόριστου ολοκληρώματος Κανόνες ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση κατά μέρη Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Ασκήσεις Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Ασκήσεις _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xx

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xxi 8.5 Ολοκληρώματα που ανάγονται με αντικατάσταση σε ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης η Μορφή: Re x x x ( ) dxόπου Re ( ) ρητή συνάρτηση του e Ασκήσεις η Μορφή: R( x, x) dx όπου R( x, x) είναι ρητή συνάρτηση των x, x Ασκήσεις η Μορφή: Rx, n x dx ή x R x, n dx x Ασκήσεις η 1 2 Μορφή: Rx (,,,..., x ) dx, όπου x Ασκήσεις η Μορφή: i) 2 2 Rx (, x ) dx, ii) 2 2 Rx (, x ) dx Ασκήσεις η Μορφή: 2 2 Rx (, x ) dx Ασκήσεις η Μορφή: 2 Rx (, x x ) dx Ασκήσεις η Μορφή: Rx (, x, x) dx Ασκήσεις Αναγωγικοί τύποι Ασκήσεις Β. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 8.7 Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος Γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος Ασκήσεις _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xxi

10 xxii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 8.9 Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος Εμβαδό χωρίου σε πολικές συντεταγμένες Ασκήσεις Μήκος τόξου καμπύλης Ασκήσεις Όγκος στερεού εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα Ox Όγκος στερεού εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα Oy Ασκήσεις Εμβαδό επιφάνειας εκ περιστροφής Ασκήσεις ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 599 Α. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Γ. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΕΙΡΕΣ Δ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 619 Α. Ξένη Β. Ελληνική _CONT_MATHEMATIKA II_.indd xxii