3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.
|
|
- Θαδδαῖος Ρόκας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + 5 d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) d Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( ηµ + συν ) (Θέμ Β) Άσκηση 4 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d e (Θέμ Β)
2 Άσκηση 5 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) 5 d Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) (Θέμ Β) Άσκηση 6 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d + (Θέμ Β) Άσκηση 7 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d + 8 (Θέμ Β) Άσκηση 8 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν + d 6 (Θέμ Β)
3 Άσκηση 9 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + e d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ηµ συν d (Θέμ Β) Άσκηση (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e d (Θέμ Β) Άσκηση (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν d (Θέμ Β)
4 Άσκηση 4 (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν e d (Θέμ Β) Άσκηση 5 (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e d (Θέμ Β) Άσκηση 6 (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e ln d (Θέμ Β) Άσκηση 7 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 + d (Θέμ Β) Άσκηση 8 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) + d (Θέμ Β)
5 Άσκηση 9 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d (Θέμ Γ) Άσκηση (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + e d (Θέμ Γ) Άσκηση (Υολογισμός Ολοκληρώμτος Συνάρτησης Διλού Τύου) Δίνετι η συνάρτηση + < f() = +,, i Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής ii Ν υολογίσετε το 6 f ()d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός Ολοκληρώμτος Συνάρτησης Διλού Τύου) Δίνετι η συνάρτηση, < f() = ln(+ ), i Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής ii Ν υολογίσετε το f ()d (Θέμ Β)
6 Άσκηση (Υολογισμός Ολοκληρώμτος Συνάρτησης Διλού Τύου) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ γεωμετρικά το οτέλεσμ 4 f ()d, όου f() = + κι ν εξηγήσετε (Θέμ Β) Άσκηση 4 (Υολογισμός του f ()d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d (Θέμ Β) Άσκηση 5 (Συνδυστική) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d + + (Θέμ Β) Άσκηση 6 (Συνδυστική) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 d (Θέμ Β) Άσκηση 7 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e ln d (Θέμ Γ)
7 Άσκηση 8 (Συνδυστική) A Ν υολογίσετε την ράγωγο της f () ln ( ) = + + B Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = + d (Θέμ Δ) Άσκηση 9 (Συνδυστική) e Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = ηµ ln d (Θέμ Δ) Άσκηση (Συνδυστική) Α Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση στο, ν δείξετε ότι f ()d = f ( )d ηµ Β Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = d ηµ + συν (Θέμ Γ) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, 5 ] κι ισχύει f() + f(6 ) = c γι κάθε [, 5], όου c στθερός ργμτικός ριθμός 5 i Ν δείξετε ότι f()d = ( f() + f(5) ) ii Ν δείξετε ότι 5 f ()d = 4f () (Θέμ Δ)
8 Άσκηση (Συνδυστική) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι ισχύει f( + ) = f(),, ν + οδείξετε ότι f () d = f () d (Θέμ Γ) Άσκηση (Συνδυστική) Α Μι συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο κι γνησίως ύξουσ στο Ειλέον η f κι f είνι συνεχής στο Ν οδείξετε ότι: f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f Β Δίνετι η συνάρτηση f() = Ν οδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν 5 υολογίσετε το ολοκλήρωμ f ()d 7 (Θέμ Δ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) Α Αν f κι g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι γι κάθε [, ] f() g(), ν δείξετε ότι: f ()d g()d ισχύει Β Υοθέτουμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] Ν δείξετε ότι υάρχει ξ [,], τέτοιο ώστε f()d= f( ξ) (Θέμ Δ)
9 Άσκηση 5 (Συνδυστική) Υοθέτουμε ότι μι συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο με f (4) = κι f () = + 9 Ν υολογίσετε το 4 f ()d (Θέμ Γ) Άσκηση 6 (Συνδυστική) Μι συνάρτηση f είνι δυο φορές ργωγίσιμη στο κι έχει συνεχή κι θετική δεύτερη ράγωγο στο διάστημ [, ] Ν οδείξετε ότι f () συν d > (Θέμ Δ) Άσκηση 7 (Συνδυστική) κ Έστω το ολοκλήρωμ I( κ ) = d, κ> + i Ν ρείτε το ολοκλήρωμ συνρτήσει του κ ii Ν ρείτε το lim I( κ ) κ + (Θέμ Γ) Άσκηση 8 (Συνδυστική) Έστω f : μι συνεχής συνάρτηση με συνεχή ράγωγο κι τέτοι ώστε f() f ()d = κι 4 f() f ()d f () f ()d = 8 Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ (Θέμ Γ)
10 Άσκηση 9 (Συνδυστική) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι εριοδική με ερίοδο Τ>, ν οδείξετε ότι γι κάθε ριθμό ισχύει: +Τ f ()d = Τ f ()d (Θέμ Γ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,8] κι τέτοι ώστε κάθε [,8] Αν 8 f ()d =, ν υολογίσετε το 8 I = f ()d f 6 = f(), γι (Θέμ Γ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι τέτοι ώστε f() + f( ) = γ, γι κάθε κι + Ν οδείξετε ότι λ λγ f ()d = λ + (Θέμ Γ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) f() + f( + ) d = f()d Έστω f συνεχής συνάρτηση στο Ν οδείξετε ότι (Θέμ Γ)
11 Άσκηση 4 (Συνδυστική) Η συνάρτηση f είνι δυο φορές ργωγίσιμη κι με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο = κι f () ηµ d = Ν υολογίσετε το [, ] Ειλέον ισχύουν f () =, f ολοκλήρωμ f () ηµ d (Θέμ Γ) Άσκηση 44 (Συνδυστική) ( ) Δίνετι η συνάρτηση f () =, (, + ) 4 i Ν ρείτε δυο ργμτικούς ριθμούς κ κι λ ώστε ν ισχύει κ λ f () = +,, + 4 ( ) ( ) ii Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ f ()d (Θέμ Γ) Άσκηση 45 (Συνδυστική) e Έστω το ολοκλήρωμ = ν * ν ν Ν I ln d, i Ν οδείξετε ότι Iν = e ν Iν, ν e ii Ν υολογίσετε το I = ln d (Θέμ Β)
12 Άσκηση 46 (Συνδυστική) ν ν ηµ συν Αν A = d κι B = d ν ν ηµ + συν, ν ν ηµ + συν * ν Ν, τότε: i Ν οδείξετε ότι Α=Β ii Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ Α+Β, Α, Β (Θέμ Δ) Άσκηση 47 (Συνδυστική) Ν οδείξετε ότι e d + εϕ d e εϕ d (Θέμ Γ) Άσκηση 48 (Συνδυστική) i Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι άρτι στο, ν οδείξετε ότι f ()d = f ()d ii Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι εριττή στο, ν οδείξετε ότι f ()d = (Θέμ Γ)
13 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Λύση άσκησης Εειδή ( ) ( + ) = ( + ) + = +, έχουμε d d = + ( ) ( ) = + + = 6 = 5 Λύση άσκησης Εειδή + = + =, έχουμε d = d = = = 5 5 Λύση άσκησης Έχουμε ( ηµ + συν ) d = ( ) ηµ + ( ηµ ) d = ( ) ηµ d = ηµ =
14 Λύση άσκησης 4 Έχουμε e e e d = d = d e e e d ( e ) e e = = d e = = e e Λύση άσκησης 5 Έχουμε d d ( + ) = ( + ) 6 = ( ) d ( ) = + = = Λύση άσκησης 6 Έχουμε ( + ) = = ( ln + ) + + Εομένως 7 d = ln ( ln7 ln) ln + = = +
15 Λύση άσκησης 7 Εειδή ( 8) + = 8 +, έχουμε = ( + 8) + 8 d 8 d 8 = + = = ( 4 ) = Εομένως Λύση άσκησης 8 Έχουμε συν + d = ηµ + d 6 6 = ηµ + = 6 = ηµ + ηµ 6 6 = = Λύση άσκησης 9 Έχουμε e d = e d + + = = + e e e
16 Λύση άσκησης Εειδή ( 4 ) = 4 ln4, έχουμε d = 4 d ln4 = Εομένως ln4 = 4 = 4 ln4 ln4 = ln4 = ln Λύση άσκησης Εειδή ηµ = ηµ συν, έχουμε ηµ συν d = ( ηµ ) d = ( ) ηµ = = Λύση άσκησης Έχουμε e d = e d = e e d e e d = e e = = ( e ) ( e ) =
17 Λύση άσκησης Έχουμε συν d = ηµ d ( ) d = ηµ ηµ d = ηµ ηµ = ηµ + συν = + ( ) = Λύση άσκησης 4 Έστω I = συν e d Έχουμε: I = συν e d = συν e d = συν e συν e d = συν e + ηµ e d = + ηµ e d = + ηµ e ηµ e d = + e συν e d = e I Εομένως I= e I I= e Άρ I= e
18 Λύση άσκησης 5 Έχουμε e d = e d = e + e d ( e ) d = e e e d = + e = e e e 5 = = e e e Λύση άσκησης 6 Έχουμε e e ln d = ln ( ) d e e = ln ( ln) d = lne e ln d e e = e d + e = = = e e e e 4 4 4
19 Λύση άσκησης 7 Θέτουμε u = +, οότε u u u = + = κι d = du = u du Είσης γι = είνι u = κι γι = 4 είνι u = Εομένως το ολοκλήρωμ γίνετι: 4 u + d = u u du 4 5 ( u u ) du u u 5 = = = = Λύση άσκησης 8 Θέτουμε u = +, οότε = είνι u 5 ( + ) u = κι d = du Είσης γι = είνι u = κι γι = Εομένως το ολοκλήρωμ γίνετι: 5 5 = = u + + u u + 5 d du du u 8 u du u lnu 8 u u 8 u = + = 5 4 = ( 5 ln5 ) ln ( 4 ln5) ln 8 = 8 8 = ln5 + ln = + ln
20 Λύση άσκησης 9 Έχουμε Εομένως το μορεί ν είνι το ημίτονο μις μόνο γωνίς θ με θ Έτσι μορούμε ν θέσουμε = ηµθ Τότε d = ( ηµθ) dθ = συνθdθ κι γι = είνι θ=, ενώ γι = είνι θ= Εομένως d = ηµ θ συνθdθ= συνθ συνθdθ + συνθ = συν θdθ = d θ = d d θ + συν θ θ= + ηµ θ = 4 4 Λύση άσκησης Θέτουμε u = τότε u e du du = e d d = du e = u Είσης, ότν = τότε u =, ότν = κι το ολοκλήρωμ γίνετι: = e Τότε d du = = du + e + u u u + u e e = u = + + u [ ] [ ] e e e e du du lnu ln( u) = [ lne ln] [ ln( + e) ln] = + ln ln( + e)
21 Λύση άσκησης i Γι < έχουμε f() = + ου είνι συνεχής ως ολυωνυμική συνάρτηση Είσης, γι > έχουμε f() = + ου είνι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g() = + με την είσης συνεχή συνάρτηση h() = Θ εξετάσουμε τη συνέχει της f στο σημείο = Έχουμε f () = + = κι lim f () = lim + = lim f () = lim + = + + Οότε η f είνι συνεχής στο = Άρ η f είνι συνεχής στο ii Έχουμε 6 6 f ()d = f ()d + f ()d f ()d d Είνι 4 = + = + = 6 6 κι f ()d = + d = ( + ) 8 = ( 7 8) = Άρ f ()d = + = = 4
22 Λύση άσκησης i Γι < έχουμε f() = ου είνι συνεχής ως ολυωνυμική συνάρτηση Είσης, γι > έχουμε f() = ln(+ ) ου είνι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g() = + με την είσης συνεχή συνάρτηση h() = ln Θ εξετάσουμε τη συνέχει της f στο σημείο = Έχουμε f () = ln = κι lim f () = lim f () = Άρ η f είνι συνεχής στο + ii Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Είνι f ()d = d = = κι f()d = ln(+ )d = ln(+ ) + d = + ln(+ ) d = ln Άρ f () d = + ln = ln 4 Λύση άσκησης Η f είνι συνεχής κι γράφετι ως εξής: + 4, < f () =, < 4, Εομένως 4 4 f ()d = ( + 4)d + d + ( 4)d [ ] 4 = =
23 Εειδή f() = + γι κάθε, το f ()d ριστάνει το εμδόν του ρκάτω σκισμένου χωρίου, ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της 4 συνάρτησης + 4, < f () =, <, τον άξον κι τις ευθείες = κι = 4 4, Το εμδόν υτό, ν το υολογίσουμε γεωμετρικά κτά τ γνωστά είνι ίσο με = 6 6 = (οτέλεσμ ου συμφωνεί φυσικά με υτό ου ρήκμε με τη οήθει του ολοκληρώμτος) Λύση άσκησης 4 Έχουμε: + d = + d ( ) = ln 8 d + + = ln = ( ln ln8) = ln
24 Λύση άσκησης 5 Ο ρονομστής της ράστσης + + γράφετι + + = ( + )( + ) Εομένως = + + ( + )( + ) A B,, ( + )( + ) + + Ανζητούμε ριθμούς Α κι Β ώστε ν ισχύει = + { } Ισοδύνμ κι γι {, }, έχουμε = A( + ) + B( + ) ( A+ B) + ( A+ B) = A+ B= A= A + B = B = Εομένως d = d + d [ ] [ ] = ln( + ) + ln( + ) = ln + ln ln = ln 5ln Λύση άσκησης 6 Αό τη διίρεση του με το ολυώνυμο + + = + + = Εομένως d = + + d ( + )( ) = + d + d ( + )( ) έχουμε
25 4 Είνι d = = + + = Γι τον υολογισμό του ολοκληρώμτος ριθμούς Α κι Β τέτοιους ώστε 4 + d νζητούμε στην ρχή δυο ( + )( ) + A B = +, {, } + + Έχουμε + A B = = A( ) + B( + ) (A + B) + ( A + B) = + A = A+ B= A + B = 8 B = Εομένως + 8 d = d + d = + + [ ln( ) ] [ ln( ) ] = + ( ln5 ln4) ( ln ln) = ln5 + ln 4 9 Άρ d = + ln5 + ln
26 Λύση άσκησης 7 Θέτουμε u = ln Τότε du = d κι τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι ντίστοιχ κι Εομένως: ln d = u du = u = e Λύση άσκησης 8 Α Έχουμε ( ) f () = ln + + = = + = = + Β Έχουμε Ι= + d + d = + d= + + d + = d = d = d + d + + ( ) = + d + ln + + d (A)
27 = ln d = + ln ( + ) Ι Εομένως Ι= + ln ( + ) Άρ + ln + + d = Λύση άσκησης 9 Θέτουμε u u = ln = e, οότε du = (ln) d = d = d κι εομένως u e d u = e du Είσης ότν = είνι u = κι ότν = e είνι u = Έτσι έχουμε: e u = ηµ = ηµ = ηµ u I ln d u e du u (e ) du u u e = ηµ συν u u e du u e u (e ) du = ηµ συν u u e e u u e du = ηµ συν ηµ = ηµ e ( e συν ) I Άρ + ηµ e e συν I = + ηµ e e συν Ι =
28 Λύση άσκησης Α Θ δείξουμε ότι το δεύτερο μέλος της ζητούμενης ισότητς είνι ίσο με το ρώτο Θέτουμε u = Εομένως du = d κι ότν = τότε u =, ενώ ότν = τότε u = Έτσι έχουμε: f( )d = f(u) ( du) = f (u) du = f (u)du = f ()d Β Αν ηµ f() =, τότε ηµ + συν ηµ f = ηµ + συν Εφρμόζοντς το (Α) ερώτημ, έχουμε: ηµ ηµ συν ηµ + συν συν + ηµ ηµ + συν I = d = d d = Εομένως ηµ συν ηµ + συν ηµ + συν συν + ηµ ηµ + συν I = d + d d = = d = = ηµ Άρ I = d = ηµ + συν 4
29 Λύση άσκησης i Αν στην ισότητ f() + f(6 ) = c θέσουμε = ίρνουμε: f() + f(6 ) = c f() + f(5) = c Εομένως f() + f(6 ) = f() + f(5) Έτσι έχουμε 5 5 (f() + f(6 ))d= f() + f(5) d ή + = ( + ) f()d f(6 )d f() f(5) d 5 5 ή f()d+ f(6 )d= 4( f() + f(5) ) () 5 Όμως, ν στο f (6 )d θέσουμε u = 6, τότε du = d κι γι = είνι u = 5, ενώ γι = 5 είνι u = Έτσι έχουμε: f (6 )d = f (u) du = f (u)du = f ()d 5 Έτσι η () γίνετι: 5 5 f()d= f() + f(5) d 5 5 f()d= f() + f(5) d 5 f()d= 4 f() + f(5) 5 f()d = f() + f(5)
30 ii Αν στην ισότητ f() + f(6 ) = c θέσουμε f () + f () = c f () = c Εομένως f() + f(6 ) = f() Έτσι έχουμε 5 5 [ ] f () + f (6 ) d = f ()d + 5 = = ίρνουμε: f ()d + f (6 )d = f ()d κι εργζόμενοι όως ροηγουμένως έχουμε: f ()d = f ()d f ()d = f () d 5 Άρ 5 f ()d = 4f () Λύση άσκησης Θ δείξουμε ότι το ρώτο μέλος της ζητούμενης ισότητς είνι ίσο με το δεύτερο Θέτουμε u =+ Εομένως du = d κι ότν = τότε u =, ενώ ότν = τότε u = Έτσι έχουμε: I = f()d = ( + u) f(u)( du) = ( + u) f(u)du = = ( + ) f (u)du u f (u)du = ( + ) f (u)du u f (u)du = ( + ) f ()d f ()d + Εομένως I = ( +) f () d, άρ I f ()d =
31 Λύση άσκησης Α Μι γεωμετρική ερμηνεί του ρολήμτος κι της λύσης του στην ερίτωση ου έχουμε f(), (ν f(), τότε το σχήμ είνι συμμετρικό ως ρος τον άξον ) είνι η εξής: Το ολοκλήρωμ f( ) f( ) = f f f ()d ριστάνει το εμδόν Ε, το ολοκλήρωμ f () d f (y) dy ριστάνει το εμδόν Ε, ενώ το εμδόν των δυο σχημτιζόμενων ορθογωνίων είνι ντιστοίχως f( ) του μεγλύτερου κι f( ) του μικρότερου Προφνώς η διφορά των εμδών των δυο ορθογωνίων είνι ίση με το άθροισμ Ε +Ε Δηλδή ισχύει: f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f Γενικότερ έχουμε: f ()d = [ f() ] f()d, δηλδή f ()d = f( ) f f()d () Εειδή η f είνι συνεχής (φού είνι ργωγίσιμη) κι μονότονη, έετι ότι υάρχει η f f() f ()d = f f() f ()d f, οότε ό τη σχέση =, έχουμε Θέτουμε u = f(), οότε du = f ()d κι ότν =, τότε u= f( ), ενώ ότν =, τότε u= f( )
32 Εομένως f ()d = f f() f ()d f( ) f = f u du = f d f f f( ) Δηλδή = f () d f d () f f( ) Αό τις () κι () ροκύτει ότι f d= f( ) f f()d, άρ f f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f Β Η συνάρτηση f() = έχει f () = + >, εομένως είνι γνησίως ύξουσ, άρ είνι κι κι ντιστρέφετι Έχουμε = Είσης έχουμε f () = = 5 + = Η μονδική λύση της εξίσωσης υτής είνι η f() = + + 5= 7 + = Η μονδική λύση της εξίσωσης υτής είνι η = Εομένως με άση την ισότητ έχουμε f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f 5 f ()d + f ()d = f () f () 7 = 5 7 = Άρ 5 = 7 f ()d f ()d = d 4 = = 6 = 4 4
33 Λύση άσκησης 4 Α Έχουμε f() g() g() f(), [, ] Εομένως: g() f() d g()d f()d g()d f ()d f ()d g()d Β Εειδή η f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ], ίρνει στο διάστημ υτό ελάχιστη τιμή έστω ε κι μέγιστη τιμή έστω M Εομένως γι κάθε [,] έχουμε: ε f() M ε f() M ε d f () d M d ε M f ()d f ()d M ε Πρτηρούμε ότι ο ριθμός f ()d συνάρτησης f Άρ υάρχει [ ] f()d= f( ξ) f()d= f( ξ) νήκει στο σύνολο τιμών της συνεχούς ξ,, τέτοιο ώστε
34 Λύση άσκησης 5 Έχουμε 4 [ ] f()d = f() () d = f() f () d 4 4 = 4 f (4) + 9 d = d d Γι τον υολογισμό του θέτουμε du = d = d + 9 u είνι u = 5 Εομένως: u = + 9 Τότε, δηλδή d = u du Είσης ότν = είνι u = κι ότν = d = u u du = u du u = = = Άρ 4 98 f ()d = 4 = Λύση άσκησης 6 Έχουμε f () συν d = f () ηµ d [ ] = f() ηµ f () ηµ d = f () συν d [ ] = f () συν f () συν d = f f () f () συν d = f ()d f () συν d = f () συν d
35 > στο [, ] κι συν, φού στ άκρ του διστήμτος [, ] Εομένως γι κάθε [, ] Όμως f () χωρίς ν είνι ντού f ()( συν ) = Άρ συν κι με το ίσον ν ισχύει μόνο είνι f ()( συν), f () συν d > Λύση άσκησης 7 i Έχουμε κ κ κ I( κ ) = d = d = d + ( + ) ( + ) = d d = ln ln( + ) + [ ] [ ] κ κ κ κ = κ κ+ ( ln ln) ( ln ln4) κ = ln + ln κ+ ii Έχουμε κ lim I( κ ) = lim ln + ln κ + κ + κ+ κ = ln + lim ln κ + κ+ = ln + ln = ln
36 Λύση άσκησης 8 Έχουμε f() f ()d ( f () = ) d Κι εειδή f() f ()d ( f () = ) d = Άρ f () f () = f () = f () () Είσης: ( f ()) f () d 8 ( f () = ) d = 8 Άρ f () f () = 54 () Η ισότητ () συνεάγετι ότι f() = f() ή f() = f() Αν όμως ήτν f() = f(), τότε ό τη () θ είχμε = 54, άτοο Άρ f() = f() κι η () γίνετι: Ακόμ Έχουμε f () = 54 f () = 7 f () =, οότε f () = f() f ()d f () d = f 5 () f 5 () = = ( + ) = 5 5
37 Λύση άσκησης 9 Είνι +Τ Τ +Τ f ()d = f ()d + f ()d + f ()d () T +Τ Είσης ν στο ολοκλήρωμ f () d θέσουμε = u+ T τότε u = T κι du = d ενώ Τ γι = T έχουμε u = κι γι =+ T έχουμε u = οότε +Τ f ()d = f (u)du = f ()d κι η σχέση () γίνετι Τ +Τ Τ f ()d = f ()d + f ()d + f ()d = f ()d + Τ f ()d Τ = f ()d Λύση άσκησης 4 8 Στο ολοκλήρωμ I = f ()d, θέτουμε u = 6 Τότε du = d κι γι = είνι u = 8, ενώ γι = 8 είνι u = 8 I = f()d = (6 u) f(6 u)( du) 8 8 = (6 u) f (u)du 8 8 = 6 f (u)du u f (u)du 8 8 = 6 f ()d f ()d = 6 I Εομένως I = 6 I, άρ I =
38 Λύση άσκησης 4 Έχουμε f() + f( ) = γ λ λ λ f ()d + f ( )d = γd λ λ λ λ f ()d + f ( )d = λγ λ λ () λ λ Αν στο ολοκλήρωμ f ( )d θέσουμε = u, τότε d = du κι γι = λ, τότε λ u = λ κι γι = λ, τότε u = λ, έχουμε: λ λ f( )d = f(u)( du) = f (u)du = f ()d λ Εομένως η () γίνετι: λ λ f ()d + f ()d = λγ λ λ λ λ ( + ) f ()d λ λ λ λγ f ()d = + = λγ λ λ λ λ Λύση άσκησης 4 Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Αν στο ολοκλήρωμ f ()d θέσουμε u =, έχουμε du = d κι γι = είνι u =, ενώ γι = είνι u = Εομένως f ()d = f (u + )du = f ( + )d Άρ f ()d = f ()d + f ( + )d ή = ( + + ) f()d f() f( ) d
39 Λύση άσκησης 4 Έχουμε f () ηµ d = f () συν d [ ] = f() συν + f () συνd = f () συν f ( ) συν + f () συν d = f () + f ( ) + f () συν d = 4 + f () ( ηµ ) d [ ] = 4+ f () ηµ f () ηµ d = 4 Λύση άσκησης 44 i Έχουμε κ λ = + ( ) ( ) ( ) 4 4 =κ( ) +λ =κ + ( λ κ ) κ= κι λ κ= Άρ κ=, λ= ( ) ( ) ii Έχουμε f () = +, (, + ) Εομένως 4 f ()d = + ( ) ( ) = d + ( ) ( ) 4 4 d d
40 = ( ) ( ) = = 4 8 Λύση άσκησης 45 i Έχουμε ν e e ν ν = = I ln d ln () d ν e e ν = ( ln) ν ( ln) d e ν = e ν ln d Άρ Iν = e ν Iν ii Έχουμε I = e I I = e I I = e e I = e + 6I Όμως εομένως e e I = ln d = ln d = [ ] e e = ln d = e (e ) = Άρ I = e + 6 = 6 e
41 Λύση άσκησης 46 ν ηµ i Στο ολοκλήρωμ A = d θέτουμε u =, οότε d = du, ενώ τ ν ν ηµ + συν άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ Εομένως ηµ u ν ν ηµ A = d = du ν ν ηµ + συν ν ν ν συν u = du = Β ν ν συν u+ ηµ u ηµ u + συν u ii Έχουμε ν ν ηµ συν Α+Β= d + d ν ν ν ν ηµ + συν ηµ + συν ν ν ηµ + συν d = = d = ν ν ηµ + συν Εειδή Α=Β κι Α+Β=, έχουμε Α=Β= 4 Λύση άσκησης 47 Έχουμε e d + εϕ d e εϕ d e d + εϕ d e εϕ d e d + εϕ d e εϕ d 4 4 e + εϕ e εϕ d ( εϕ ) e d Η τελευτί νισότητ ισχύει, φού e εϕ, γι κάθε
42 Λύση άσκησης 48 i Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Στο f ()d, θέτουμε u =, οότε du = d, ενώ τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ Εομένως f ()d = f ( u)du = f (u)du = f ()d Άρ f ()d = f ()d + f ()d = f ()d ii Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Στο f ()d, θέτουμε u =, οότε du = d, ενώ τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ Εομένως f ()d = f ( u)du = f ( u)du = f (u)du = f ()d Άρ f ()d = f ()d + f ()d = f ()d + f ()d =
43 Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Merger! To remove this page, please register your program! Go to Purchase Now>> AnyBizSoft PDF Merger Merge multiple PDF files into one Select page range of PDF to merge Select specific page(s) to merge Etract page(s) from different PDF files and merge into one
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ]
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )
9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν
Διαβάστε περισσότεραΘέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα
Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΓενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου
Γενικές σκήσεις σχ. Βιβλίου ου κεφλίου. Ν χρησιµοοιήσετε την ντικτάστση u γι ν οδείξετε ότι f ( ηµ )d f ( ηµ )d ηµ i Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ d +ηµ u du d κι u u Έστω Ι ( ) f ( ηµ )d Ι ( ) ( u) f ηµ u
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. ) Δικρίνουμε τις εριτώσεις >e, e η g δεν έχει κρόττ, οότε ρέει
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές
Διαβάστε περισσότεραΑπάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την
_ Θέμ Γ Θεωρούμε τις συνρτσεις,:rr, με την ργωγίσιμη κι τέτοιες, ώστε: () = κι, γι κάθε R, Γ Ν οδείξετε ότι, R Γ Ν βρείτε το λθος των ργμτικών ριζών της εξίσωσης Γ Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένς,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΑΘΗΜΑ 9. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις νισοτήτων ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Αν f συνεχής στο [, ], τότε ν f ()d lim f ( ξκ ) ν + κ. Εισήµνση Το ολοκλήρωµ δεν εξρτάτι ό τη µετλητή, δηλδή f
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3
- 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ. - 5 - d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + )
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων ( ) = ( +) ( -) log ( -) γ ( ) = ( +) ( - ) +, > ln( -) ln( -) ( ) = + 5, > δ ( ) = 5 +, > Ν ρείτε
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Κεφάλιο ο: ΟΟΚΗΡΩΤΙΚΟΟΓΙΜΟ Ερωτήσεις του τύου «ωστό - άθος». * Η συνάρτηση F () = ln - είνι µι ράγουσ της συνάρτησης f () = ln.. * Κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ, έχει µόνο µι ράγουσ στο.. * Αν F,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνί Αοστολής στον Φοιτητή: 7 Μρτίου 8 Ηµεροµηνί ράδοσης της Εργσίς: Μϊου 8 Πριν ό την λύση κάθε
Διαβάστε περισσότερα) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt
ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. log x2
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ1ο Α. Αν > 0 µε 1, θ > 0 κι k R, ν δείξετε ότι ισχύει: log θ k klog θ. Μονάδες 9 Β. Ν χρκτηρίσετε τις ροτάσεις ου κολουθούν γράφοντς στο τετράδιό σς
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.
νάλυση Γ ΛYKEIOY Μθημτικά Προσντολισμού 9 - Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά 65 Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 13 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1
Διαβάστε περισσότερα, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία
f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις ολλλής ειλογής. * Αν η συνάρτηση f έχει γρφική ράστση ου φίνετι στο διλνό σχήµ, τότε µί ράγουσά της µορεί ν έχει γρφική ράστση την B.. 34 . * Αν f () = e, τότε µί ράγουσ της f µορεί ν έχει γρφική
Διαβάστε περισσότερα[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.
99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης
o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ 56 Α) Ν υολογίσετε τ:
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην ράγρφο είδμε ότι, ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι f ( γι κάθε [, ], τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα
. Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών
Διαβάστε περισσότεραE f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.
ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3
Διαβάστε περισσότεραολοκληρωτικος λογισμος
γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 19 19 1. Ν λύσετε την η εξίσωση ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν (ηµ + συν ) ηµ ηµσυν συν + ηµ + συν 0 (1 + )ηµ ηµσυν + ( 1)συν 0 Αν συν
Διαβάστε περισσότερα1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι
Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΓ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.
Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 6-7 Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά νάλυση Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς κι
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Διαβάστε περισσότερα( 1) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A A 1. Σχολικό σελ. 260 Α 2. Σχολικό σελ. 169 Α 3 Α 4 ΘΕΜΑ Β Β1. Άρα. Β2. Άρα από την δεύτερη σχέση έχω: = 1
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 7//- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ KAI ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΚΑ () ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A
Διαβάστε περισσότερα1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.
995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)
Διαβάστε περισσότεραqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
qwertyuiopasdfghjklzcvbnmq wertyuiopasdfghjklzcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzcvbnmqwertyui ΟΛΟΚΛΗΡΩΤ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν
Διαβάστε περισσότεραΑπόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0.
Αόδειξη Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () 0. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f( ) f( ). 1 1 1 Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. δηλαδή 1 είναι συνεχής στο 1,.
Διαβάστε περισσότερα3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικές εξετάσεις 2016
Πανελλαδικές εξετάσεις 6 Ενδεικτικές ααντήσεις στο µάθηµα Μαθηµατικά Οµάδας Προσανατολισµού Θετικών Σουδών Οικονοµίας και Πληροφορικής Θέµα Α A. Σχολικό βιβλίο σελ.(6-6) A. Σχολικό βιβλίο σελ.(4) A. Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ
ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΒασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης
ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η
ΜΑΘΗΜΑ.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του τοικού κρόττου Προσδιορισµός τω τοικώ κρόττω Θεώρηµ Frmat Θεωρί Σχόλι Μέθοδοι Ασκήσεις Frmat Αισώσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μι συάρτηση µε εδίο ορισµού Α, θ λέµε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()
Διαβάστε περισσότεραjust ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον
just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ
Διαβάστε περισσότεραμε x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,
Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου
Σελίδα αό ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότερα1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 Μάθημ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνί κι ώρ εξέτσης: Δευτέρ, 6/6/16 8: 11: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότερα4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002
ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 00 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυρική 8--00 Η
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον:
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}
1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ A. Έστω f μια συνάρτηση αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη Γι το όριο κι τη διάτξη οδεικύετι ότι ισχύου τ ρκάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α >, τότε > κοτά στο Σχ 8 Α
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ανισότητες στα ολοκληρώµατα. Η συνάρτηση x a. Εισήγηση Νικ. Ιωσηφίδη. 3 ο Σεµινάριο Ο.Ε.Φ.Ε Σάββατο 19 εκεµβρίου 2015
ΑΝΑΛΥΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Η συνάρτηση a f(t)dt Εισήγηση Νικ. Ιωσηφίδη ο Σεµινάριο Ο.Ε.Φ.Ε Σάτο 9 εκεµρίου 5 Θεσσλονίκη, Ξενοδοχείο The Met Νικ. Ιωσηφίδης: Ανισότητες στ ολοκληρώµτ. Συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΓ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού
Γ Λυκείου ο ΓΛΧ 5-6 M. Ι. Πγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Προσντολισμού Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 5.9 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή
Διαβάστε περισσότερα( 0) = lim. g x - 1 -
ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΧαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων
Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡ/ΚΗΣ: τηλ -8856 ΕΠΑ.Λ.: τηλ -694 Κ.Ε.Κ. ERGOWAY: τηλ -647 Αό το 975 στο Μαρούσι ERGOWAY ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: τηλ -647 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΛΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές
Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3
Διαβάστε περισσότεραµε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x
998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού x 0 x 0. , 0,, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, και
ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 11 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 6-7 Α. α. Λάθος Θέμα Β β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό Μαθηματικά Προσανατολισμού 18-5-16 Β1. Η f είναι αραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως
Διαβάστε περισσότεραείναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότερα