Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Transcript

1 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y = x που διχοτομεί τις γωνίες xoy κι x Oy. Μονάδες 6 Α2. Πότε μί συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Α3. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A προυσιάζει στο x 0 A (ολικό) μέγιστο, το f(x 0 ); Μονάδες 3 Α4. Πότε μί συνάρτηση f : A R λέγετι 1 1; Μονάδες 3 Α5. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Οι γρφικές πρστάσεις οποιωνδήποτε συνρτήσεων f, f είνι συμμετρικές ως προς τον άξον y y. β) Το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης f είνι η τομή A B των πεδίων ορισμού g A κι B των συνρτήσεων f κι g ντίστοιχ. γ) Μί συνάρτηση f είνι 1 1, ν κι μόνο ν, γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση f(x) = y έχει κριβώς μί λύση ως προς x. δ) Κάθε συνάρτηση f είνι 1 1, ν κι μόνο ν, κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της f κριβώς σε έν σημείο. ε) Κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι 1 1 κι η γρφική της πράστση έχει κοινό σημείο A με την ευθεί y = x, έχει ντίστροφη συνάρτηση f 1 που η γρφική της πράστση διέρχετι επίσης πό το σημείο A. Μονάδες 10 Σελίδ 1 πό 2

2 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 2 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Ιδιότητες Ορίων Θέμ Α Α1. Έστω το πολυώνυμο P (x) = ν x ν + ν 1 x ν x + 0 κι x 0 R. Ν ποδείξετε ότι lim x x0 P (x) = P (x 0 ). Μονάδες 5 Α2. Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με πεδί ορισμού τ σύνολ A, B ντίστοιχ, τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g κι ποιο είνι το πεδίο ορισμού της; Μονάδες 3 Α3. Ν διτυπώσετε το Κριτήριο Πρεμβολής. Μονάδες 3 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Ισχύει η ισοδυνμί lim x x0 f(x) = l lim h 0 f(x 0 + h) = l. β) Αν lim x x0 f(x) 0, τότε f(x) 0 κοντά στο x 0. γ) Γι οποιεσδήποτε συνρτήσεις f, g που έχουν όριο στο x 0 κι είνι τέτοιες, ώστε f(x) < g(x) κοντά στο x 0, ισχύει lim x x0 f(x) < lim x x0 g(x). δ) Ισχύει η ισοδυνμί lim x x0 f(x) = 0 lim x x0 f(x) = 0. ε) Αν γι τις συνρτήσεις f, g, h ισχύει h(x) f(x) g(x) κοντά στο x 0 κι lim h(x) lim g(x), τότε κτ νάγκη δεν υπάρχει το lim f(x). x x 0 x x0 x x0 στ) Ισχύει η σχέση ημ x x, γι κάθε x R. ζ) Αν u = g(x), u 0 = lim g(x), l = lim f(u) κι g(x) u 0 κοντά στο x 0, τότε x x0 u u0 lim f ( g(x) ) = lim f(u) = l. x x 0 u u0 Μονάδες 14 Σελίδ 1 πό 2

5 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 3 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Όρι Θέμ Α Α1. Ν δώσετε τον ορισμό της κολουθίς. Μονάδες 3 Α2. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Ισχύει η ισοδυνμί lim x x0 f(x) = l lim x x0 ( f(x) l ) = 0. ( ) β) Αν γι οποιεσδήποτε συνρτήσεις f, g υπάρχει το lim f(x) + g(x), τότε x x0 υπάρχουν κι τ lim f(x), lim g(x). x x0 x x0 γ) Αν γι τις συνρτήσεις f, g, h ισχύει h(x) < f(x) < g(x) κοντά στο x 0 κι lim x x 0 h(x) = lim x x0 g(x) = l, τότε lim x x0 f(x) = l. 1 δ) Αν lim f(x) = +, τότε lim x x0 x x0 f(x) = 0. 1 ε) Αν lim f(x) = 0 κι f(x) > 0 κοντά στο x 0, τότε lim x x0 x x0 f(x) =. στ) Αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0 κι lim x x0 f(x) = +, τότε lim x x0 g(x) = +. ζ) Ισχύει lim x =, ν 2ν+1 N. η) Γι κάθε ν N, ισχύει lim x xν =. x 0 1 θ) Αν > 1, τότε lim x x = 0. ι) Ισχύει lim ln x = 1. x 0 ( ι) Ισχύει lim x ημ 1 ) x x = 1. Μονάδες 22 Σελίδ 1 πό 2

7 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 4 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνέχει Θέμ Α Α1. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το Θεώρημ Ενδιμέσων Τιμών. Μονάδες 7 Α2. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β] του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α3. Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Bolzano κι ν το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 4 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Γι οποιεσδήποτε συνρτήσεις f, g που είνι συνεχείς σε κάποιο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού τους, η σύνθεσή τους f g είνι κι υτή συνεχής στο x 0. β) Γι κάθε συνάρτηση f που είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β] κι ισχύει f()f(β) 0, η εξίσωση f(x) = 0 δεν έχει λύση στο διάστημ (, β). γ) Η γρφική πράστση μις συνάρτησης f, η οποί είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β] με f()f(β) < 0, τέμνει τον άξον x x σε έν τουλάχιστον σημείο. δ) Κάθε συνάρτηση f, η οποί δεν είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β] του πεδίου ορισμού της, δεν πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f() κι f(β). ε) Η εικόν f( ) ενός διστήμτος μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ. Μονάδες 10 Σελίδ 1 πό 2

9 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 5 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνέχει Θέμ Α Α1. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Α2. Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης κι Ελάχιστης Τιμής. Μονάδες 4 Α3. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Κάθε συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε κάποιο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, ν κι μόνο ν, υπάρχει το όριό της στο x 0 λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της f(x 0 ). β) Κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της κι δεν μηδενίζετι σε υτό, διτηρεί στθερό πρόσημο στο πεδίο ορισμού της. γ) Κάθε συνεχής συνάρτηση διτηρεί στθερό πρόσημο μετξύ δύο διδοχικών ριζών της. δ) Κάθε συνάρτηση f, η οποί δεν είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β], δεν έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή σε υτό. ε) Η εικόν f( ) ενός νοιχτού διστήμτος = (, β) μέσω κάθε συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι νοιχτό διάστημ. στ) Η εικόν f( ) ενός νοιχτού διστήμτος = (, β) μέσω κάθε συνεχούς κι γνησίως μονότονης συνάρτησης f είνι νοιχτό διάστημ. ζ) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ σε έν νοιχτό διάστημ (, β), τότε το σύνολο τιμών της σε υτό είνι το νοιχτό διάστημ (B, A), όπου B = lim f(x) κι A = lim f(x). x β x + η) Υπάρχει συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β], δεν είνι γνησίως ύξουσ κι έχει σύνολο τιμών σε υτό, το κλειστό διάστημ [ f(), f(β) ]. Σελίδ 1 πό 2

10 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου θ) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ (, β], τότε το σύνολο τιμών της σε υτό είνι το διάστημ (A, B], όπου A = lim f(x) κι B = lim f(x). x + x β Μονάδες 18 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

11 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 6 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Η Έννοι της Πργώγου Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x 0, τότε είνι κι συνεχής σε υτό. Μονάδες 7 Α2. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α3. Ποι είνι η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο της A ( x 0, f(x 0 ) ) ; Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). Μονάδες 4 ) Κάθε συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού f(x) f(x 0 ) της, ν κι μόνο ν, υπάρχει το lim. x x0 x x 0 β) Αν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε f 0 + h) f(x 0 ) f(x (x 0 ) = lim. h 0 h γ) Κάθε συνάρτηση f, η οποί δεν είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, δεν είνι κι συνεχής σε υτό. δ) Αν μί συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είνι κι πργωγίσιμη σε υτό. ε) Κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, είνι κι πργωγίσιμη σε υτό. Μονάδες 10 Σελίδ 1 πό 2

13 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 7 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Πράγωγος Συνάρτηση Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ( x ν) = νx ν 1, ν N {0, 1}. Μονάδες 4 Α2. Ν ποδείξετε ότι ( x ) = 1 2 x, x > 0. Μονάδες 4 Α3. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, β] του πεδίου ορισμού της; Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). Μονάδες 3 ) Μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της A, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο x 0 A. β) Η συνάρτηση f(x) = x είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. γ) Ισχύει (συν x) = ημ x, x R. δ) Ισχύει (εφ x) = 1, x R {x ημ x = 0}. ημ 2 x ε) Γι κάθε ν N με ν 3, ισχύει f (ν) = [ f (ν 1)]. Μονάδες 10 Α5. Αν ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις πργώγισης, ν συμπληρώσετε τους πρκάτω κνόνες. ) ( f g ) (x) = ( ) f β) (x) = g ( ) 1 γ) (x) = g δ) ( f g ) (x) = Μονάδες 4 Σελίδ 1 πό 2

15 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 8 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Πράγωγος Συνάρτηση Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο x 0, τότε κι η συνάρτηση f + g είνι πργωγίσιμη σε υτό κι ισχύει ( f + g ) (x0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Μονάδες 5 Α2. Ν ποδείξετε ότι ( x ) = x 1, x > 0, R Z. Α3. Ν ποδείξετε ότι ( ln x ) = 1 x, x R. Μονάδες 5 Μονάδες 5 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Αν > 0, τότε ( x) = x x 1, x R. β) Ισχύει ( ln x ) = 1 x, x < 0. γ) Αν η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο x 0 κι η f πργωγίσιμη στο g(x 0 ), τότε η συνάρτηση f g είνι πργωγίσιμη στο x 0 κι ισχύει ( f g ) (x0 ) = f ( g(x 0 ) ) g (x 0 ). δ) Αν δύο μετβλητά μεγέθη x, y συνδέοντι με τη σχέση y = f(x), ότν f είνι μί συνάρτηση πργωγίσιμη στο x 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μετβολής του y ως προς το x στο σημείο x 0 την πράγωγο f (x 0 ). ε) Αν s είνι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού κι η συνάρτηση της επιτάχυνσής του, τότε (t) = s (t) γι κάθε χρονική στιγμή t. Μονάδες 10 Σελίδ 1 πό 2

17 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 9 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Θεωρήμτ Μονοτονί Θέμ Α Α1. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ. Αν η f είνι συνεχής στο κι f (x) = 0 γι κάθε εσωτερικό σημείο x του, ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ. Μονάδες 6 Α2. Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle κι ν το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 5 Α3. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β], πργωγίσιμη στο νοιχτό διάστημ (, β) κι τέτοι, ώστε f() f(β), ισχύει f (x) 0 γι κάθε x (, β). β) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β], πργωγίσιμη στο νοιχτό διάστημ (, β) κι τέτοι, ώστε f (x) 0 γι κάθε x (, β), ισχύει f() f(β). γ) Αν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R κι δεν ντιστρέφετι, τότε υπάρχει σημείο της C f, στο οποίο η εφπτομένη είνι πράλληλη στον άξον x x. δ) Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β] κι πργωγίσιμη στο νοιχτό διάστημ (, β). Αν A (, f() ) κι B ( β, f(β) ), τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, β) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της C f στο σημείο M ( ξ, f(ξ) ) ν είνι πράλληλη προς την ευθεί AB. ε) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη κι μη στθερή σε έν διάστημ, ισχύει f (x) 0 γι κάθε x. Σελίδ 1 πό 2

18 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου στ) Γι οποιεσδήποτε συνρτήσεις f, g, οι οποίες είνι πργωγίσιμες σε έν σύνολο A κι ισχύει f (x) = g (x) γι κάθε x A, υπάρχει στθερά c R τέτοι, ώστε f(x) = g(x) + c γι κάθε x A. ζ) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη κι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ, ισχύει f (x) > 0 γι κάθε x. Μονάδες 14 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

19 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 10 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Θεωρήμτ Μονοτονί Θέμ Α Α1. Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ. Αν f (x) > 0 γι κάθε εσωτερικό σημείο x του, ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το διάστημ. Μονάδες 6 Α2. Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής κι ν το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 5 Α3. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη στο R. Αν f (x) 0 γι κάθε x R, τότε η f έχει το πολύ μί ρίζ. β) Γι κάθε συνάρτηση f που είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β] κι πργωγίσιμη στο νοιχτό διάστημ (, β), υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, β) τέτοιο, ώστε ( β)f (ξ) + f() = f(β). γ) Κάθε συνάρτηση f, γι την οποί ισχύει f (x) = 0 γι κάθε x R, είνι στθερή στο R. δ) Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες σε έν διάστημ, τότε ισχύει η ισοδυνμί f (x) = g (x) f(x) = g(x) + c γι κάθε x, όπου c R. ε) Κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν διάστημ κι τέτοι, ώστε f (x) < 0 γι κάθε εσωτερικό σημείο x του, είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το διάστημ. στ) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ κι ισχύει f (x) > 0 γι κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το διάστημ. ζ) Αν η πράγωγος συνάρτηση f της f είνι συνεχής σε έν νοιχτό διάστημ (, β) κι ισχύει f (x) 0 γι κάθε x (, β), τότε η f είνι γνησίως μονότονη στο (, β). Μονάδες 14 Σελίδ 1 πό 2

21 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 11 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Τοπικά Ακρόττ Θέμ Α Α1. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το Θεώρημ Fermat. Μονάδες 7 Α2. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A προυσιάζει στο x 0 A τοπικό ελάχιστο, το f(x 0 ); Μονάδες 4 Α3. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων μις συνάρτησης f σε έν διάστημ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Γι κάθε συνάρτηση f που προυσιάζει ολικό μέγιστο, υτό είνι το μεγλύτερο πό όλ τ τοπικά της μέγιστ. β) Κάθε συνάρτηση f, η οποί προυσιάζει τοπικά ελάχιστ, προυσιάζει κι ολικό ελάχιστο που είνι το μικρότερο πό όλ τ τοπικά της ελάχιστ. γ) Τ εσωτερικά σημεί ενός διστήμτος, στ οποί μί συνάρτηση f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ. δ) Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε έν εσωτερικό σημείο x 0 του κι ισχύει f (x 0 ) = 0, τότε κτ νάγκη η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο x 0. ε) Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, β), με εξίρεση ίσως έν σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής. Αν f (x) < 0 στο (, x 0 ) κι f (x) > 0 στο (x 0, β), τότε το f(x 0 ) είνι τοπικό μέγιστο της f. Μονάδες 10 Σελίδ 1 πό 2

23 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 12 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Τοπικά Ακρόττ Θέμ Α Α1. Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, β), με εξίρεση ίσως έν σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής. Αν η f (x) διτηρεί στθερό πρόσημο στο (, x 0 ) (x 0, β), ν ποδείξετε ότι το f(x 0 ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (, β). Μονάδες 7 Α2. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A προυσιάζει στο x 0 A τοπικό μέγιστο, το f(x 0 ); Μονάδες 4 Α3. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ. Τι ονομάζουμε κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ ; Μονάδες 4 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ, οι πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων της είνι τ εσωτερικά σημεί του στ οποί η f μηδενίζετι κι τ άκρ του που νήκουν στο πεδίο ορισμού της. β) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, β], η μικρότερη πό τις τιμές της στ κρίσιμ σημεί της κι στ άκρ, β είνι το ελάχιστο της σε υτό το διάστημ. γ) Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, β). Αν οποιδήποτε εφπτομένη της C f δεν είνι πράλληλη στον άξον x x, τότε η f δεν έχει κρόττ στο διάστημ υτό. δ) Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, β). Αν η f δεν έχει κρίσιμ σημεί στο διάστημ υτό, τότε είνι 1 1. Σελίδ 1 πό 2

24 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου ε) Έστω μί συνάρτηση f δύο φορές πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, β). Αν η f είνι γνησίως μονότονη σε υτό, τότε η f έχει το πολύ δύο κρόττ. Μονάδες 10 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

25 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 13 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Κυρτότητ, Σημεί Κμπής Θέμ Α Α1. Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο ; Ν δώσετε την ντίστοιχη γεωμετρική ερμηνεί. Μονάδες 3 Α2. Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, β), με εξίρεση ίσως έν σημείο του x 0. Πότε το σημείο A ( x 0, f(x 0 ) ) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f; Μονάδες 3 Α3. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των σημείων κμπής μις συνάρτησης f σε έν διάστημ ; Μονάδες 3 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του. Θ λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ άνω ή είνι κυρτή στο, ν η f είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του. β) Αν μί συνάρτηση f είνι κυρτή στο πεδίο ορισμού της, τότε οποιδήποτε εφπτομένη της C f δε βρίσκετι πάνω πό τη γρφική της πράστση. γ) Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν f (x) < 0 γι κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε η f στρέφει τ κοίλ κάτω στο. δ) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι κυρτή σε έν διάστημ, ισχύει f (x) > 0 γι κάθε x. ε) Έστω μί συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, β) κι x 0 (, β). Αν η f είνι κυρτή στο (, x 0 ) κι κοίλη στο (x 0, β) ή ντιστρόφως, το σημείο A ( x 0, f(x 0 ) ) είνι σημείο κμπής της C f. Σελίδ 1 πό 2

26 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου στ) Αν μί συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη σε έν διάστημ κι προυσιάζει στο x 0 κμπή, τότε f (x 0 ) = 0. ζ) Αν μί συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη σε έν διάστημ κι ισχύει f (x) 0 γι κάθε x, τότε η f δεν προυσιάζει κμπή στο διάστημ υτό. η) Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σε έν διάστημ. Αν η ευθεί ε : y = λx + β είνι η εφπτομένη της C f στο x 0 κι η f είνι γνησίως μονότονη στο, τότε f(x) λx + β γι κάθε x κι x x 0. Μονάδες 16 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

27 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 14 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Ασύμπτωτες, Κνόνες DLH Θέμ Α Α1. Πότε η ευθεί x = x 0 λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f; Μονάδες 3 Α2. Πότε η ευθεί y = λx + β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f στο + ; Μονάδες 3 Α3. Ν διτυπώσετε τον Κνόν De L Hospital γι όρι της μορφής 0 0. Μονάδες 3 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Γι κάθε συνάρτηση f, η ευθεί x = x 0 είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής της πράστσης, ν κι μόνο ν, κι τ δύο όρι lim x x 0 lim f(x) είνι ίσ με + ή. x x + 0 f(x), β) Η ευθεί y = β είνι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f στο, ν κι μόνο ν, ισχύει lim f(x) = β R. x γ) Η ευθεί y = λx + β είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f στο +, ν κι μόνο ν, ισχύουν f(x) lim x + x ( ) = λ R κι lim f(x) λx = β R. x + δ) Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις βθμού μεγλύτερου ή ίσου του δύο δεν έχουν σύμπτωτες. ε) Κάθε γρφική πράστση μις συνάρτησης έχει το πολύ δύο κτκόρυφες σύμπτωτες. στ) Κάθε γρφική πράστση μις συνάρτησης έχει το πολύ δύο οριζόντιες ή πλάγιες σύμπτωτες. Σελίδ 1 πό 2

28 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου ζ) Γι κάθε συνάρτηση f, η γρφική της πράστση δεν έχει κοινά σημεί με τις σύμπτωτές της. f (x) η) Αν lim f(x) = +, lim g(x) = κι δεν υπάρχει το lim, τότε κτ x x0 x x0 x x0 g (x) f(x) νάγκη δεν υπάρχει κι το lim x x0 g(x). Μονάδες 16 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

29 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 15 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Ολοκληρώμτ Θέμ Α Α1. Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ [, β]. Αν G είνι μί πράγουσ της f στο [, β], ν ποδείξετε ότι f(t) dt = G(β) G(). Μονάδες 7 Α2. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ. Τι ονομάζουμε ρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο ; Α3. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). Μονάδες 4 ) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ έχει πράγουσ σε υτό. β) Κάθε συνάρτηση έχει το πολύ μί πράγουσ σε οποιοδήποτε διάστημ του πεδίου ορισμού της. γ) i. Ισχύει ii. Ισχύει f(x) dx = f(x) dx = 0. β f(x) dx. δ) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ κι γι οποιδήποτε, β, γ, ισχύει f(x) dx = γ f(x) dx + γ β f(x) dx. ε) Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ κι, τότε ( x f(t) dt) = f(x), γι κάθε x. στ) Γι οποιεσδήποτε συνρτήσεις f, g, οι οποίες είνι πργωγίσιμες με f, g συνεχείς σε έν διάστημ [, β], ισχύει f(x)g (x) dx = [ f(x)g(x) ] β + Σελίδ 1 πό 2 f (x)g(x) dx.

30 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου ζ) Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς σε έν διάστημ [, β], τότε f ( g(x) ) g (x) dx = g(β) g() f(u) du, όπου u = g(x), du = g (x) dx κι u 1 = g(), u 2 = g(β). Μονάδες 14 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

31 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 16 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Ολοκληρώμτ Θέμ Α Α1. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ. Αν F είνι μί πράγουσ της f στο, ν ποδείξετε ότι όλες οι συνρτήσεις της μορφής G(x) = F (x) + c, c R είνι πράγουσες της f στο κι κάθε άλλη πράγουσ G της f στο πίρνει τη μορφή G(x) = F (x) + c, c R. Μονάδες 7 Α2. Έστω δύο συνρτήσεις f, g συνεχείς σε έν διάστημ [, β] με f(x) g(x) 0 γι κάθε x [, β]. Ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες x =, x = β είνι E(Ω) = ( ) f(x) g(x) dx. Μονάδες 6 Α3. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Υπάρχει συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ κι δεν έχει πράγουσ σε υτό. β) Όλες οι ρχικές της συνάρτησης f στο διάστημ έχουν πράλληλες εφπτομένες στο x 0. ( γ) i. Ισχύει f(x) dx) = 0. ii. Γι οποιδήποτε, β, c R, ισχύει c dx = c( β). δ) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο σε έν διάστημ [, β], ισχύει f (x) dx = f(β) f(). Σελίδ 1 πό 2

32 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου ε) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ [, β] κι τέτοι, ώστε f(x) dx 0, ισχύει f(x) 0 γι κάθε x [, β]. στ) Γι οποιεσδήποτε συνρτήσεις f, g, οι οποίες είνι συνεχείς σε έν διάστημ [, β] κι τέτοιες, ώστε f(x) g(x) γι κάθε x [, β] με f g στο [, β], ισχύει f(x) dx > g(x) dx. Μονάδες 12 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

33 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 17 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Ολοκληρώμτ Θέμ Α Α1. Έστω δύο συνρτήσεις f, g συνεχείς σε έν διάστημ [, β] με f(x) g(x) γι κάθε x [, β]. Ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες x =, x = β είνι E(Ω) = ( ) f(x) g(x) dx. Μονάδες 7 Α2. Έστω μί συνάρτηση g συνεχής σε έν διάστημ [, β] με g(x) 0 γι κάθε x [, β]. Ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g κι τις ευθείες x =, x = β είνι E(Ω) = g(x) dx. Μονάδες 6 Α3. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Γι οποιεσδήποτε συνρτήσεις f, g, οι οποίες είνι συνεχείς σε έν διάστημ [, β] κι τέτοιες, ώστε f(x) g(x) γι κάθε x [, β], ισχύει f(x) dx β β g(x) dx. β) Έστω μί συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ [, β]. Αν f(x) 0 γι κάθε x [, β] κι υπάρχει x 0 [, β] τέτοιο, ώστε f(x 0 ) 0, τότε f(x) dx < 0. γ) i. Γι κάθε συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει η ισοδυνμί f(x) dx = 0 = β. ii. Γι κάθε συνεχή συνάρτηση f σε έν διάστημ [, β], ισχύει η ισοδυνμί f 2 (x) dx = 0 f(x) = 0 γι κάθε x [, β]. Σελίδ 1 πό 2

34 Τεστ Μθημτικών Ιορδάνης Χτζηνικολάου δ) Γι κάθε συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ [, β] κι δεν μηδενίζετι πντού σε υτό, ισχύει f(x) dx 0. ε) Γι οποιεσδήποτε συνεχείς συνρτήσεις f, g σε έν διάστημ [, β], το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες x =, x = β είνι E(Ω) = f(x) g(x) dx. στ) Γι κάθε συνεχή συνάρτηση f σε έν διάστημ [, β], το β f(x) dx είνι ίσο με το άθροισμ των εμβδών των χωρίων που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον x x μείον το άθροισμ των εμβδών των χωρίων που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον x x, στο διάστημ υτό. Μονάδες 12 Απντήσεις Σελίδ 2 πό 2

35 Απντήσεις Τεστ Θεωρίς Ιορδάνης Χτζηνικολάου Κεφάλιο 1 Όριο Συνέχει Συνάρτησης β γ δ ε στ ζ η θ ι ι Τεστ 1 Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Τεστ 2 Σωστό Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Σωστό Τεστ 3 Σωστό Λάθος Σωστό Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Τεστ 4 Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Τεστ 5 Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος Λάθος Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Κεφάλιο 2 Διφορικός Λογισμός β γ δ ε στ ζ η Τεστ 6 Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Τεστ 7 Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Τεστ 8 Λάθος Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Τεστ 9 Λάθος Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Τεστ 10 Σωστό Λάθος Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Σωστό Τεστ 11 Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Λάθος Τεστ 12 Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Τεστ 13 Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Τεστ 14 Λάθος Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Λάθος Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός β γ δ ε στ ζ i ii Τεστ 15 Σωστό Λάθος Σωστό Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Τεστ 16 Λάθος Σωστό Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Τεστ 17 Σωστό Σωστό Λάθος Σωστό Λάθος Σωστό Σωστό