Κατάργηση του σταθερού άξονα περιστροφής

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατάργηση του σταθερού άξονα περιστροφής"

Ξένα Μαυρογένης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κατάργηση του σταθερού άξονα περιστροφής Πρόβλημα Ο ομογενής κυλινδρικού σχήματος δίσκος μάζας m και ακτίνας R t = βρίσκεται πάνω σε αεροτράπεζα και από ένα σημείο της φ περιφέρειας του διέρχεται κατακόρυφος άξονας ο οποίος δεν εμφανίζει τριβές και μπορεί να μετακινείται κατακόρυφα πάνω κάτω t < t 1 χωρίς αυτό να επηρεάζει την όποια στροφική κίνηση του δίσκου γύρω από αυτόν τον άξονα. Δίνουμε κατάλληλα μια μικρή ώθηση στον δίσκο και αυτός τίθεται σε στροφική κίνηση αντιωρολογιακά περί τον άξονα που προαναφέραμε. Επειδή η συνισταμένη ροπή που ασκείται στο δίσκο ως προς τον άξονα είναι μηδέν ο δίσκος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. 1. Θεωρώντας ως χρονική στιγμή μηδέν μια χρονική στιγμή που το κέντρο του δίσκου θα βρεθεί πάνω στον - άξονα προς τα αρνητικά (βλέπε σχήμα) προσδιορίστε τη δύναμη που ο άξονας ασκεί στο δίσκο σε συνάρτηση με το χρόνο. 2. Τη χρονική στιγμή t 1 που ο δίσκος έχει εκτελέσει 1,25 στροφές με μια ακαριαία κίνηση τραβάμε τον άξονα προς τα κάτω ελευθερώνοντας τον δίσκο Περιγράψτε την κίνηση του δίσκου μετά τη χρονική στιγμή t 1 γράφοντας και τις σχετικές συναρτήσεις ως προς το χρόνο για ταχύτητες και θέσεις Για κάθε χρονική στιγμή της παραπάνω κίνησης προσδιορίστε τα σημεία εκείνα της περιφέρειας του δίσκου που η ταχύτητα τους είναι μηδέν. Τι ταχύτητα έχουν τα αντιδιαμετρικά των παραπάνω σημείων; 2.3. Τι ταχύτητα θα έχει ένα σημείο μηδενικής ταχύτητας του δίσκου μια χρονική στιγμή μετά πάροδο χρόνου π 2ω ; 2.4. Θα μπορούσε με διαφορετικό τρόπο ο δίσκος να εκτελέσει την ίδια κίνηση ακριβώς; Εξηγείστε. 3. Θα μπορούσε η κίνηση του δίσκου ή κάποιο από τα κομμάτια της κίνησης του να χαρακτηριστεί ως κατάσταση ισορροπίας; Δικαιολογείστε την απάντηση σας. Θεωρήστε γνωστά τα μεγέθη m, R και ω. 1

2 Λύση 1. Το κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση γωνιακής ταχύτητας μέτρουω. t < t 1 t = Αν θεωρήσουμε όλη τη μάζα του δίσκου συγκεντρωμένη στο κέντρο του και μεταφέρουμε τη δύναμη του άξονα παράλληλα ώστε το σημείο εφαρμογής της να συμπέσει με το κέντρο του δίσκου τότε η δύναμη αυτή θα παίζει ρόλο κεντρομόλου. F φ Συνεπώς t < t 1 Οπότε Σε πολικές συντεταγμένες Σε καρτεσιανές F = F κ F = mω 2 R φ = ω t F = mω 2 R F = Fσυνω t = mω 2 Rσυνω t F = Fσυνω t = mω 2 Rημω t t 1 t Τώρα το άθροισμα των δυνάμεων (βάρος και αντίδραση του επιπέδου της αεροτράπεζας) που δρουν στο δίσκο είναι μηδέν και επίσης μηδέν είναι και το άθροισμα των ροπών ως προς το κέντρο μάζας του δίσκου. Συνεπώς το κέντρο μάζας του δίσκου θα κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα ίδια με αυτήν που είχε τη στιγμή t 1 και ταυτόχρονα ο δίσκος θα συνεχίσει να στρέφεται αντιωρολογιακά με την ίδια σταθερή γωνιακή ταχύτητα που είχε και πριν τη χρονικά στιγμή t 1. Έχουμε 2

3 φ 1 = 1,25 2π = 2π + π 2 = 5π 2 t 1 = φ 1 ω = 5π 2ω Για τη μεταφορική κίνηση (κίνηση του κέντρου μάζας) θα έχουμε t = t 1 t 1 < t = ω R CM = ω RΔt = ω R(t t 1 ) CM = ω R (t 5π 2ω ) Δφ CM = R Για τη στροφική κίνηση ω = ω Δφ = ω Δt φ φ 1 = ω (t t 1 ) φ = 5π 2 + ω (t 5π 2ω ) φ = ω t 2.2. Η ταχύτητα ενός οποιουδήποτε σημείου του δίσκου θα είναι η συνισταμένη της σταθερής ταχύτητας v CM της μεταφορικής κίνησης και της γραμμικής ταχύτητας ένεκα περιστροφής του σημείου γύρω από τον υποθετικό κατακόρυφα άξονα τον διερχόμενο από το κέντρο μάζας. Συνεπώς, όπως φαίνεται στο σχήμα, επειδή = ω R τα εκάστοτε σημεία του δίσκου με τεταγμένη = θα έχουν ταχύτητα μηδέν και τα αντιδιαμετρικά τους θα έχουν t 1 < t ω R A ω R 2ω R 3

4 ταχύτητα μέτρου 2ω R και κατεύθυνσης ίδιας με αυτήν της v CM Μετά πάροδο χρόνου π 2ω ο δίσκος θα έχει στραφεί αντιωρολογιακά κατά γωνία Δφ = (ω π 2ω ) = π 2 rad και το σημείο A που είχε μηδενική ταχύτητα (προηγούμενο σχήμα) θα βρεθεί στη θέση που φαίνεται στο παραπλεύρως σχήμα. Στη θέση αυτή η συνιστώσα ταχύτητα ένεκα μεταφορικής κίνησης θα είναι κάθετη με τη συνιστώσα ταχύτητα λόγω στροφικής κίνησης. ω R A θ v Α Συνεπώς v Α = 2 + (ωr) 2 = (ω R) 2 + (ω R) 2 = 2(ω R) 2 v Α = 2ω R θ = π 4 rad 2.4. Ναι κυλιόμενος χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω και ως εκ τούτου με ταχύτητα μεταφορικής κίνησης μέτρου ω R. 3. Κατά τη στροφική κίνηση του δίσκου περί τον σταθερό άξονα ίσως κάποιος ισχυριζόταν ότι αφού η συνισταμένη ροπή που ασκείται στο δίσκο ως προς τον άξονα είναι μηδέν έχουμε να κάνουμε με κατάσταση ισορροπίας ο δίσκος εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση ως προς τον σταθερό άξονα. Όμως, θα αντιλέγαμε: Για να έχουμε να κάνουμε με κατάσταση ισορροπίας θα πρέπει για κάθε σημείο του δίσκου (κάθε κατακόρυφο υποθετικό άξονα) να έχουμε μηδενική συνισταμένη ροπή κάτι που εδώ δε συμβαίνει αφού το άθροισμα των δυνάμεων θα ισούται με τη δύναμη του άξονα που είναι διάφορη του μηδενός για παράδειγμα η συνισταμένη ροπή ως προς το κέντρο μάζας δεν είναι μηδέν. Για να αντιληφθούμε καλύτερα αυτή την κατάσταση ανισορροπίας θα πρέπει να δούμε την κίνηση ως σύνθετη που απαρτίζεται από την ομαλή κυκλική κίνηση του κέντρου μάζας και την ομαλή στροφική κίνηση του δίσκου περί κατακόρυφο υποθετικό άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του δίσκου. Έτσι γίνεται προφανές ότι η ανισορροπία οφείλεται στη 4

5 μεταφορική συνιστώσα της κίνησης της οποίας η επιτάχυνση που ισούται με την κεντρομόλο είναι μη μηδενική. Για να είχαμε κατάσταση ισορροπίας θα έπρεπε ο σταθερός κατακόρυφος άξονας να διερχόταν από το κέντρο μάζας - τότε σύμφωνα με την απάντηση μας στο ερώτημα 1. η δύναμη από τον άξονα θα ήταν διαρκώς μηδέν. Ε. Λαμπράκης 5

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4