ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «Εφαρμογές Πληροφορικής & Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «Εφαρμογές Πληροφορικής & Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «Εφαρμογές Πληροφορικής & Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η χρήση της τεχνολογίας στη διδασκαλία εννοιών του Απειροστικού Λογισμού Βλάχος Αριστοτέλης Α.Μ. 303 Επιβλέπουσα Καθηγήτρια Ιωάννα Μαμωνά-Downs Πάτρα Φεβρουάριος 2010

2 Δςσαπιζηίερ Ζ παξνχζα εξγαζία εθπνλήζεθε ζηα πιαίζηα ησλ ζπνπδψλ γηα ηελ απφθηεζε Μεηαπηπρηαθνχ δηπιψκαηνο Δηδίθεπζεο πνπ απνλέκεη ην Μεηαπηπρηαθφ πξφγξακκα ζπνπδψλ «Δθαπμογέρ Πληποθοπικήρ & Δπικοινυνιών ζηην Δκπαίδεςζη» ηνπ Παλεπηζηεκίνπ Παηξψλ. Θα ήζεια λα επραξηζηήζσ ζεξκά ηελ επηβιέπνπζα ηεο δηπισκαηηθήο κνπ Αλ. Καζεγήηξηα θ. Ιυάννα Μαμυνά-Downs γηα ηελ επθαηξία πνπ κνπ έδσζε λα εθπνλήζσ ηελ ζπγθεθξηκέλε εξγαζία θαζψο θαη γηα ηηο ρξήζηκεο θαη θαίξηεο επηζεκάλζεηο ηεο ζηελ ηειηθή δηακφξθσζε ηεο δηπισκαηηθήο εξγαζίαο. Θα ήζεια επίζεο λα επραξηζηήζσ ηα άιια δχν κέιε ηεο Δπηηξνπήο Καζεγεηή θ. Παναγιώηη Πινηέλα θαη Δπίθνπξν Καζεγεηή θ. Σάζο Παηπώνη γηα ηηο παξαηεξήζεηο ηνπο θαη ηε ζπκβνιή ηνπο ζηελ νινθιήξσζε ηεο δηπισκαηηθήο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 1

3 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΠΕΡΙΛΗΦΗ 4 ΕΙΑΓΧΓΗ 4 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΔΙΔΑΚΑΛΙΑ ΣΧΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΧΝ Γιδαζκαλία ηυν μαθημαηικών ζηην Μέζη Δκπαίδεςζη Πώρ ζκέθηονηαι οι επιζηήμονερ Ο πόλορ ηυν εικαζιών Γιαίζθηζη Δνόπαζη (intuition) Σα όπια ηηρ διαιζθηηικήρ ζκέτηρ Από ηη διαίζθηζη ζηην ηςπική απόδειξη Η απόδειξη ζηο πεπιβάλλον ηηρ ηεσνολογίαρ Ππόζθεηη παιδαγυγική αξία Σα διεπεςνηηικά λογιζμικά «Μικπόκοζμοι» Γιεπεςνηηικό λογιζμικό και ππόζθεηη παιδαγυγική αξία Γιδακηική και Σεσνολογία Γηδαζθαιία νξηζκψλ Γηδαζθαιία ζεσξεκάησλ 16 2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Λογιζμικά Γςναμικήρ Γευμεηπίαρ (Dynamic Geometry Software ή DGS) Τπολογιζηικά ςζηήμαηα Άλγεβπαρ (Computer Algebra Systems ή CAS) Υαπακηηπιζηικά οπιζμένυν μαθημαηικών λογιζμικών Cabri Geometry II Function Probe Geometer s Sketchpad Euclidraw Derive TI-Nspire CAS Σο λογιζμικό GeoGebra Γιεςκολύνζειρ πος παπέσει ηο Geogebra Ζ νζφλε δηεπαθήο Οξγάλσζε εξγαιεηνζήθεο Ζ γξακκή εηζαγσγήο δεδνκέλσλ Δπαλαπξνζδηνξηζκφο αληηθεηκέλνπ Πξνζαξκνγή ηεο εξγαιεηνζήθεο Γπλακηθά θχιια εξγαζίαο (dynamic worksheet) 26 Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 2

4 2.6 Tο Geogebra ζηη διδαζκαλία ηος Λογιζμού Βιώμαηα απ ηη σπήζη ηος GeoGebra -Σπόποι διδαζκαλίαρ 31 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΔΙΔΑΚΑΛΙΑ ΕΝΝΟΙΧΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΕ ΥΡΗΗ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΑ Η έννοια ηηρ παπαγώγος Δξκελείεο ηεο έλλνηαο ηεο παξαγψγνπ Ζ ηδέα ηεο ηνπηθήο επζχηεηαο ησλ ζπλαξηήζεσλ Κιίζε δξφκνπ Κιίζε ελφο γξαθήκαηνο Αλαθαιχπηνληαο ηε ζπλάξηεζε θιίζεο ηεο f(x) = x Αλαθαιχπηνληαο ηε ζπλάξηεζε θιίζεο ηεο f(x) = x Μεκνλσκέλα γσληαθά ζεκεία-με παξαγσγίζηκεο ζπλαξηήζεηο Άπεηξα γσληαθά ζεκεία πλαξηήζεηο πνπ είλαη παληνχ ζπλερείο θαη πνπζελά παξαγσγίζηκεο Νοηηικέρ εικόνερ ηηρ εθαπηομένηρ και η εμπλοκή ηοςρ ζηην επμηνεία ηηρ παπαγώγος Γπζθνιίεο ζχιιεςεο ηεο νξηαθήο δηαδηθαζίαο Σνπηθή επζχηεηα θαη καζεκαηηθή ηνπηθή γξακκηθφηεηα Γηδαθηηθέο πξνζεγγίζεηο ηεο παξαγψγνπ κέζσ ηεο εθαπηνκέλεο Ζ εθαπηνκέλε σο ηνπηθή πξνζέγγηζε ηεο θακπχιεο Γχν εηδηθέο πεξηπηψζεηο Η έννοια ηος οπιζμένος ολοκληπώμαηορ Σν πξφβιεκα ηεο θάιπςεο κηαο πεξηνρήο Σν πξφζεκν ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο Σο Θεμελιώδερ Θεώπημα ηος Απειποζηικού Λογιζμού Ζ ζπλάξηεζε «αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ» ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ 56 x Ζ ζπλάξηεζε F(x)= f(t)dt γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ α (α = αθεηεξία κέηξεζεο) 59 α Σν Θεκειηψδεο Θεψξεκα ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ Μία αξρηθή δηαηχπσζε ηεο εηθαζίαο Γεσκεηξηθή απφδεημε ηεο εηθαζίαο φηαλ ε f είλαη ζπλερήο Ζ αλαγθαηφηεηα ηεο ζπλέρεηαο γηα ηελ f ζηε γεσκεηξηθή απφδεημε Απφδεημε ηεο εηθαζίαο Αζξνηζηηθφ εκβαδφ κε ζπλερνχο ζπλάξηεζεο 64 Δπίλογορ 67 Σελεςηαία ζσόλια 69 Βιβλιογπαθία 70 Παπάπηημα Α 75 Έλα πηζαλφ ζελάξην δηδαζθαιίαο γηα ην Θεψξεκα Μέζεο Σηκήο 75 Παπάπηημα Β 84 πλάξηεζε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ γηα ηελ f(x) = x λ φπνπ λ = αξλεηηθφο αθέξαηνο 84 πλάξηεζε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ γηα ηελ f(x) = x λ φπνπ λ = αξλεηηθφο ξεηφο (φρη αθέξαηνο) 86 Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 3

5 ΠΔΡΗΛΖΦΖ ηελ παξνχζα εξγαζία, ζηα πιαίζηα ηεο ζπδήηεζεο γηα ηελ έληαμε ησλ λέσλ ηερλνινγηψλ ζηελ εθπαίδεπζε, αλαδεηθλχνπκε ηα νθέιε απφ ηε ρξήζε εθπαηδεπηηθψλ ινγηζκηθψλ παθέησλ ζηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ ζηα ζρνιεία. Γίλεηαη αλαθνξά ζηα Λνγηζκηθά Γπλακηθήο Γεσκεηξίαο (Dynamic Geometry Software) θαη ζηα Τπνινγηζηηθά πζηήκαηα Άιγεβξαο (Computer Algebra Systems) θαη ηνλίδεηαη ε ρξεζηηθφηεηα ηνπ ειεχζεξνπ ινγηζκηθνχ Geogebra ζηε δηδαζθαιία ηνπ Απεηξνζηηθνχ Λνγηζκνχ. Δπηρεηξνχκε, ηέινο, λα πεξηγξάςνπκε ηελ πξφζζεηε παηδαγσγηθή αμία πνπ κπνξεί λα πξνθχςεη θαηά ηε δηδαζθαιία ησλ ελλνηψλ ηεο παξαγψγνπ, ηεο εθαπηνκέλεο, ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο θαη ηνπ Θεκειηψδνπο Θεσξήκαηνο ηνπ Λνγηζκνχ κε ηε ρξήζε θαηάιιεισλ εθπαηδεπηηθψλ ινγηζκηθψλ. Abstract This paper is refered at the incorporation of digital technology in education of mathematics and emphasized at the capability that digital technology provides for investigated learning. At this level there is a reference at Dynamic Geometry Software and at Computer Algebra Systems and emphasized the facility of the free software Geoebra in teaching of Calculus. In particular it s investigated the additional pedagogic value that could arise during the teaching procedure of the derivative, the tangent, the definite integral and the Fundamental theorem of calculus by the use of suitable educational software. ΔΗΑΓΧΓΖ Δίλαη γλσζηφ φηη ε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο έρεη επεξεάζεη ηα παηδαγσγηθά δεδνκέλα ζε νιφθιεξν ηνλ θφζκν. Ήδε απ ηε δεθαεηία ηνπ 1980, πνιινί εξεπλεηέο ζεψξεζαλ φηη ε ηερλνινγία κπνξεί λα εηζαρζεί ζην ρψξν ηεο εθπαίδεπζεο σο βνεζεηηθφ εξγαιείν. Αλαθέξνπκε γηα παξάδεηγκα θάπνηεο ελδεηθηηθέο απφςεηο πνπ αλαθηήζακε απφ δηάθνξεο πεγέο: «Η βαζηθόηεξε ζπκβνιή ησλ ππνινγηζηηθώλ κέζσλ ζηε κάζεζε ησλ καζεκαηηθώλ είλαη ε ηθαλόηεηά ηνπο λα βνεζνύλ ηνπο καζεηέο λα βιέπνπλ ηε ζρέζε αλάκεζα ζηηο δηαθνξεηηθέο αλαπαξαζηάζεηο ηεο ίδηαο καζεκαηηθήο έλλνηαο» (Kaput 1986). «Με ηα ινγηζκηθά κπνξνύκε λα παξαζηήζνπκε θαη λα δηαρεηξηζηνύκε αξηζκεηηθά δεδνκέλα θαη έηζη λα ζθεθζνύκε γηα ηε γεληθεπκέλε ζρέζε ηνπο όπσο ε ζπλάξηεζε» (Confrey & Smith, 1991). «Ο ππνινγηζηήο είλαη κηα πνηνηηθά δηαθνξεηηθή νληόηεηα, θέξλεη δηαθνξεηηθή θνπιηνύξα» (Schaffer & Kaput, 1999). «Η δπλακηθή θαη ζπκβνιηθή δπλαηόηεηα ηνπ πεξηβάιινληνο πιεξνθνξηθήο πξνθαιεί ηνπο καζεηέο λα ζπλδέζνπλ ηηο δηαηζζεηηθέο έλλνηεο κε ηηο πην ηππηθέο πηπρέο ηεο καζεκαηηθήο γλώζεο» (Godwin and Sutherland, 2004). ε πνιιέο ρψξεο, φπσο θαη ζηελ Διιάδα, γίλνληαη πξνζπάζεηεο λα ελζσκαησζεί ε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία. Σν Τπνπξγείν Παηδείαο έρεη μεθηλήζεη απφ ην 2001 λα νξγαλψλεη, ζε πξψηε θάζε, πξνγξάκκαηα επηκφξθσζεο γηα φινπο ηνπο εθπαηδεπηηθνχο Β/ζκηαο θαη Α/ζκηαο εθπαίδεπζεο πάλσ ζηε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο, θαη ζε δεχηεξε θάζε πάλσ ζε εθπαηδεπηηθά ινγηζκηθά, αληίζηνηρα ηεο θάζε εθπαηδεπηηθήο εηδηθφηεηαο. Σν εγρείξεκα εμαξηάηαη απφ πνιινχο παξάγνληεο φπσο ηερληθή ππνδνκή ησλ ζρνιείσλ, αλαιπηηθά πξνγξάκκαηα ζπνπδψλ, θαηάιιειν εθπαηδεπηηθφ ινγηζκηθφ, επηκφξθσζε ησλ θαζεγεηψλ, αιιαγή δηδαθηηθήο Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 4

6 θνπιηνχξαο θιπ., νη νπνίνη ην θαζηζηνχλ δχζθνιν ζηελ πξαγκαηνπνίεζή ηνπ. Αιιά αθφκα θαη φηαλ εηζαρζεί ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία, αλαδχνληαη άιινη, καζεζηαθνί, παξάγνληεο απφ ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη αλ ζα έρεη ηα αλακελφκελα απνηειέζκαηα, φπσο, πψο θαη ζε πνην βαζκφ πξέπεη λα ελζσκαησζεί ζηε δηδαζθαιία γηα λα ππάξρεη πξφζζεηε παηδαγσγηθή αμία θαη άξα ζεηηθά καζεζηαθά απνηειέζκαηα, θαη πψο ζα γίλεη ε πξνζαξκνγή ζ έλα λέν ηξφπν εξγαζίαο κέζα ζηελ ηάμε. ηελ παξνχζα εξγαζία ζπδεηνχκε ηελ άπνςε λα ελζσκαησζεί ε ρξήζε ηεο ςεθηαθήο ηερλνινγίαο ζηε δηδαθηηθή ησλ καζεκαηηθψλ. Πξνζπαζνχκε λ απαληήζνπκε ζην εξψηεκα γηαηί λα εληάμνπκε ηηο ςεθηαθέο ηερλνινγίεο ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία θαη ζηελ πξνζπάζεηα απηή ηνλίδνπκε θαη αλαδεηθλχνπκε ηελ δηεξεπλεηηθή καζεζηαθή ζπληζηψζα ηεο ςεθηαθήο ηερλνινγίαο. Τπνζηεξίδνπκε φηη ε δηδαζθαιία κηαο έλλνηαο μεθηλά απφ πξσηνγελείο εηθφλεο ησλ καζεηψλ γη απηή ηελ έλλνηα θαη κε ηελ βνήζεηα θαηάιιεισλ δξαζηεξηνηήησλ ζην πεξηβάιινλ ηεο ςεθηαθήο ηερλνινγίαο νη καζεηέο πεηξακαηίδνληαη αιιειεπηδξψληαο κε ην ινγηζκηθφ, παξαηεξνχλ ηα θαηλφκελα πνπ εμειίζζνληαη, δηαπηζηψλνπλ ηδηφηεηεο, εηθάδνπλ, εκπινπηίδνπλ ηηο εηθαζίεο ηνπο, ηηο αλαζθεπάδνπλ αλ ρξεηαζηεί θαη ηηο δηθαηνινγνχλ. ια ηα παξαπάλσ ζπκβάιινπλ ζηελ θαιιηέξγεηα ηεο καζεκαηηθήο ηνπο εκπεηξίαο θαη ηεο δηαίζζεζήο ηνπο. Ο αξρηθφο ινηπφλ ζθνπφο ηεο εξγαζίαο είλαη λα ζπλεηζθέξεη ζεηηθά ζηελ ζπδήηεζε γηα ηελ ρξεζηκνπνίεζε ησλ ςεθηαθψλ ηερλνινγηψλ ζηε δηδαθηηθή ησλ καζεκαηηθψλ ηεο Μέζεο Δθπαίδεπζεο. Δηδηθφηεξνο ζηφρνο είλαη λα πεξηγξάςεη ηηο δηεξεπλεηηθέο δπλαηφηεηεο πνπ παξέρεη ε ηερλνινγία θαη θπξίσο ην ινγηζκηθφ Geogebra ζηελ εηζαγσγή ελλνηψλ ηνπ Απεηξνζηηθνχ Λνγηζκνχ. Ζ εξγαζία είλαη δηαξζξσκέλε ζε ηξία θεθάιαηα: ην ππώηο κεθάλαιο ςειαθείηαη ν ξφινο ηεο ηερλνινγίαο ζηελ αλάπηπμε ηεο δηαίζζεζεο ζηα καζεκαηηθά. Δπίζεο, ηνλίδεηαη ε ζπλεηζθνξά ηεο ηερλνινγίαο ζηελ θαιιηέξγεηα ηεο καζεκαηηθήο εκπεηξίαο δηακέζνπ θαηάιιεισλ δξαζηεξηνηήησλ πνπ πινπνηνχληαη ζ έλα δηεξεπλεηηθφ καζεκαηηθφ ινγηζκηθφ. Γίλεηαη αλαθνξά ζηελ πξφζζεηε παηδαγσγηθή αμία πνπ κπνξεί λα πξνθχςεη απφ ηε ρξεζηκνπνίεζε ελφο ηέηνηνπ ινγηζκηθνχ. ην δεύηεπο κεθάλαιο πεξηγξάθνληαη νη δχν θχξηεο θαηεγνξίεο καζεκαηηθψλ ινγηζκηθψλ: ηα Λνγηζκηθά Γπλακηθήο Γεσκεηξίαο (Dynamic Geometry Software ή DGS) θαη ηα Τπνινγηζηηθά πζηήκαηα Άιγεβξαο (Computer Algebra Systems ή CAS). Γίλεηαη κία ζχληνκε πεξηήγεζε ζε νξηζκέλα απφ απηά ηα ινγηζκηθά θαη ζρνιηάδνληαη ζπλνπηηθά νξηζκέλα ραξαθηεξηζηηθά ηνπο κε βαζηθά θξηηήξηα ηε ρξεζηκφηεηα θαη ηε ρξεζηηθφηεηά ηνπο ζηελ δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ (κε εζηίαζε ζηνλ Λνγηζκφ) ζηε Μέζε Δθπαίδεπζε. Αλαδεηθλχεηαη ε ρξεζηηθφηεηα ηνπ Geogebra. ην ηπίηο κεθάλαιο πεξηγξάθνπκε ηελ πξφζζεηε παηδαγσγηθή αμία πνπ κπνξεί λα πξνθχςεη απφ ηε ρξήζε ηεο Σερλνινγίαο ζηε δηδαζθαιία ελλνηψλ ηνπ Λνγηζκνχ φπσο ε έλλνηα ηεο παξαγψγνπ ή έλλνηα ηεο εθαπηνκέλεο, ε έλλνηα ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο θαη ηνπ Θεκειηψδνπο Θεσξήκαηνο ηνπ Λνγηζκνχ. ην παπάπηημα Α, παξαζέηνπκε έλα πηζαλφ ζελάξην δηδαζθαιίαο ηνπ ζεσξήκαηνο Μέζεο Σηκήο ηνπ Γηαθνξηθνχ Λνγηζκνχ ζην νπνίν πξνζπαζνχκε λα ζπγθεξάζνπκε ηηο πξάμεηο θαηαλόεζεο (ζχιιεςεο ηνπ λνήκαηνο) κηαο έλλνηαο (Sierpinska, 1990) κε ηε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο. ην παπάπηημα Β, ηέινο, παξαζέηνπκε δξαζηεξηφηεηεο ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ πνπ βνεζνχλ αλαθάιπςε ηεο ζπλάξηεζεο αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ γηα ηελ ζπλάξηεζε f(x) = x λ ζηηο πεξηπηψζεηο πνπ ν εθζέηεο λ είλαη α) αξλεηηθφο αθέξαηνο (π.ρ. λ = -2) θαη β) αξλεηηθφο ξεηφο (π.ρ. λ = -1/2). Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 5

7 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΗΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΖ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΣΖ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΣΧΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ 1.1 Γιδαζκαλία ηυν μαθημαηικών ζηην Μέζη Δκπαίδεςζη Ζ δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ απνηπγράλεη ζπλήζσο λα αλαδείμεη ην πψο δεκηνπξγήζεθαλ ηα καζεκαηηθά, ηε γνεηεία ηεο καζεκαηηθήο δεκηνπξγίαο. Σα καζεκαηηθά θαηαιήγνπλ ζηελ κνξθή πνπ δηδάζθνληαη, κέζα απφ πξνζπάζεηεο αηψλσλ ζηηο νπνίεο δεκηνπξγήζεθαλ ιάζε θαη παξαλνήζεηο, κέζα απφ κεξηθψο ζσζηέο θαη κεξηθψο ιαλζαζκέλεο πξνηάζεηο, κέζα απφ ζρέδηα πνπ πξνζπαζνχλ λα παξαζηήζνπλ επνπηηθά έλλνηεο ησλ καζεκαηηθψλ πνπ είλαη πξνο ζθέςε, κέζα απφ δπλακηθέο αιιαγέο πνπ γίλνληαη ζε απηά ηα ζρέδηα θ.ι.π. Μηα δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ πνπ έρεη κνλαδηθφ ζηφρν ηελ παξνπζίαζε ησλ απνηειεζκάησλ, δειαδή, πινπνηείηαη κε ην ζρήκα Οπιζμόρ, Θεώπημα, Απόδειξη, Δθαπμογή, δελ ιακβάλεη ππφςε ηηο δηαδξνκέο ηεο ζθέςεο πνπ νδήγεζαλ ζε απηά ηα απνηειέζκαηα. Έηζη δελ κπνξεί λα πξνθαιέζεη ην ελδηαθέξνλ ηνπ καζεηή θαη λα ηνπ θεληξίζεη ηελ πεξηέξγεηα αιιά έρεη θαζαξά ραξαθηήξα δηεθπεξαίσζεο. ην βηβιίν Evolution of Mathematical Concepts (Δθδφζεηο ηνπ Αλνηθηνχ Παλεπηζηεκίνπ ηεο Αγγιίαο, 1986), αλαθέξεηαη φηη ν άλζξσπνο ραξαθηεξίδεηαη απφ ηελ ηάζε ζπκβνιηζκνύ (symbolic initiative), δειαδή ηελ ηάζε λα ρξεζηκνπνηεί ζχκβνια γηα λα παξηζηάλεη αληηθείκελα ή ηδέεο. Παξφιν πνπ ε ζπκβνιηθή πξσηνβνπιία είλαη έλα ραξαθηεξηζηηθφ πνπ ην δηαζέηεη ν άλζξσπνο, κε ηνλ ηξφπν πνπ γίλεηαη ε εθπαίδεπζε ζήκεξα θαηαιήγεη λα κεηαηξέπεηαη ζε ζπκβνιηθό αλαθιαζηηθό (symbolic reflex behaviour) ην νπνίν κπνξνχλ λα δηαζέηνπλ θαη ηα κε ινγηθά φληα (π.ρ. έλα δψν αληηδξά ζ έλα νπηηθφ εξέζηζκα γηα λα πξνκεζεπηεί ηξνθή). Με ηνλ ίδην ηξφπν θαη νη καζεηέο σζνχληαη ζην λα απνζηεζίδνπλ ζπλερψο ζχκβνια θαη ηερληθέο (π.ρ. επίιπζε εμηζψζεσλ, ηερληθέο ππνινγηζκνχ νξίσλ, παξαγψγσλ, νινθιεξσκάησλ θιπ.). Απ ηε κηα, απηφ βνιεχεη ζηελ νκαιή ξνή, ρσξίο εθπιήμεηο, ηνπ αλαιπηηθνχ πξνγξάκκαηνο ζπνπδψλ θαη ζηελ εμνηθνλφκεζε ρξφλνπ αιιά απ ηελ άιιε δελ μεθαζαξίδνληαη νη παξαλνήζεηο ησλ καζεηψλ γηα βαζηθέο καζεκαηηθέο έλλνηεο. Σν ρεηξφηεξν φκσο είλαη φηη ράλεηαη βαζκηαία ην ελδηαθέξνλ ησλ καζεηψλ γηα ηα καζεκαηηθά. Απηφ πνπ απνθηνχλ είλαη κηα ηθαλφηεηα λα ιεηηνπξγνχλ, φπσο έλαο ππνινγηζηήο εθνδηαζκέλνο κε έλα θαηάιιειν πξφγξακκα. Γελ δίλεηαη βάξνο ζηελ ελλνηνινγηθή δηδαζθαιία θαη ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ κε ζπλέπεηα νη καζεηέο λα κελ κπνξνχλ λα ιχζνπλ κε ζηεξεφηππα πξνβιήκαηα. 1.2 Πώρ ζκέθηονηαι οι επιζηήμονερ Ο Hadamard, ζην βηβιίν ηνπ The Psychology of Invention in the Mathematical Field, φπσο νη Davis & Hersh αλαθέξνπλ ζην βηβιίν ηνπο The Mathematical Experience, πξνζπάζεζε λα βξεη πσο ζθέθηνληαλ πξαγκαηηθά νη κεγάινη επηζηήκνλεο θαη καζεκαηηθνί φηαλ εξγάδνληαλ. Γη απηνχο κε ηνπο νπνίνπο ήξζε ζε επαθή, έγξαςε: «ηελ πξάμε όινη ηνπο όρη κόλν απνθεύγνπλ λα ρξεζηκνπνηήζνπλ λνεηηθέο ιέμεηο, αιιά απνθεύγνπλ επίζεο θαη ηε λνεηηθή ρξήζε αιγεβξηθώλ ζπκβόισλ ρξεζηκνπνηνύλ αζαθείο εηθόλεο». Αθφκε, «νη λνεηηθέο εηθόλεο ησλ καζεκαηηθώλ απφ ηνπο νπνίνπο πήξα απαληήζεηο είλαη πην ζπρλά νπηηθέο, αιιά κπνξεί επίζεο λα είλαη θαη θάπνηνπ άιινπ είδνπο, γηα παξάδεηγκα θηλεηηθέο». Ο Albert Einstein έγξαςε ζηνλ Hadamard φηη: Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 6

8 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ «νη ιέμεηο ή ε γιώζζα όπσο γξάθνληαη θαη ιέγνληαη δελ παίδνπλ θάπνην ξόιν ζηνλ κεραληζκό ηεο ζθέςεο κνπ Οη θπζηθέο νληόηεηεο πνπ θαίλεηαη λα ρξεζηκεύνπλ σο ζηνηρεία ηεο ζθέςεο κνπ είλαη θάπνηα ζεκεία θαη θάπνηεο πεξηζζόηεξν ή ιηγόηεξν θαζαξέο εηθόλεο Σα ζηνηρεία πνπ αλαθέξνληαη πην πάλσ είλαη, ζηελ πεξίπησζή κνπ, νπηηθά θαη θάπσο κπτθά. Οη ζπκβαηηθέο ιέμεηο ή άιια ζεκεία πξέπεη λα αλαδεηεζνύλ κε πξνζπάζεηα κόλν ζε έλα δεύηεξν ζηάδην». 1.3 Ο πόλορ ηυν εικαζιών Ζ κάζεζε ησλ καζεκαηηθψλ έρεη ηελ ίδηα θχζε κε ηε δηαδηθαζία ζηελ νπνία εκπιέθνληαη νη καζεκαηηθνί επηζηήκνλεο. πλίζηαηαη δειαδή ζηελ εκπεηξηθή παξαγσγηθή δηαδηθαζία, φπνπ ην δεηνχκελν είλαη ε δεκηνπξγία θαη ε αλάπηπμε πξνζσπηθψλ λνεκάησλ απφ ηνπο καζεηέο κέζα απφ ππνζέζεηο, εηθαζίεο, απνδείμεηο, αλαζθεπέο, αληηπαξαδείγκαηα, ζπλερείο ηξνπνπνηήζεηο θαη ειέγρνπο. Με άιια ιφγηα, ην δεηνχκελν ζηε δηδαθηηθή ησλ καζεκαηηθψλ είλαη ν θάζε καζεηήο λα βηψζεη ηελ εκπεηξία λα «θάλεη καζεκαηηθά» ν ίδηνο (Papert, 1972). Ο ξφινο ησλ εηθαζηψλ ζηελ αλάπηπμε ηεο καζεκαηηθήο ζθέςεο είλαη πνιχ ζεκαληηθφο. Γηα λα θηάζνπκε λα απνδείμνπκε κηα καζεκαηηθή πξφηαζε είλαη ινγηθφ λα ζέινπκε λα δνχκε πξψηα πσο πξνέθπςε απηή ε πξφηαζε αξρηθά σο εηθαζία. Γειαδή, μεθηλψληαο απφ θάπνηα θαηάζηαζε πξνβιήκαηνο θαη κεηά απφ θαηάιιειεο δξάζεηο θαη ζθέςεηο λα νδεγεζνχκε ζην ζπκπέξαζκα φηη είλαη πνιχ πηζαλφλ λα ηζρχεη ε ζπγθεθξηκέλε πξφηαζε. Ζ δεκηνπξγία εηθαζηψλ απνπζηάδεη απφ ηε δηδαζθαιία ησλ Μαζεκαηηθψλ ζηε Μέζε Δθπαίδεπζε κε ζπλέπεηα λα κε θαίλεηαη ε δηαδηθαζία κέζα απφ ηελ νπνία πξνέθπςε ε δηαηχπσζε ησλ ζεσξεκάησλ θαη ε επίιπζε πξνβιήκαηνο γεληθφηεξα. Με πνην ηξφπν κπνξεί λα αλαπηπρζεί κέζα ζηε ηάμε έλαο πξνβιεκαηηζκφο πνπ ζα νδεγήζεη ζηε δηαηχπσζε ηεο εηθαζίαο; απηφ ην ζεκείν, ε ρξήζε ησλ λέσλ ηερλνινγηψλ, κε ηε δπλαηφηεηα ησλ πνιιαπιψλ αλαπαξαζηάζεσλ (νπηηθψλ, ζπκβνιηθψλ, αξηζκεηηθψλ) θαη ησλ δπλακηθψλ κεηαβνιψλ ησλ αληηθεηκέλσλ κπνξεί λα παίμνπλ ξφιν ψζηε ε δεκηνπξγία ησλ εηθαζηψλ λα κπνξεί λα γίλεη κε θαιχηεξνπο φξνπο απ φηη κε ηα πξν-ηερλνινγηθά κέζα ηνπ ραξηηνχ, ηνπ κνιπβηνχ ηνπ δηαβήηε θαη ηνπ κνηξνγλσκνλίνπ. 1.4 Γιαίζθηζη Δνόπαζη (intuition) Γηαίζζεζε είλαη ε νιηζηηθή ζχιιεςε ελφο ζέκαηνο, ελφο πξνβιήκαηνο, ελφο ζρεδίνπ δξάζεο, κηαο απάληεζεο ζ έλα εξψηεκα, κε βαζηθφ απνηέιεζκα ηε δηαηχπσζε εηθαζηψλ. ηνλ Tall (1991a) αλαθέξεηαη: «Η δηαίζζεζε είλαη ιηγόηεξν απζηεξή όζνλ αθνξά ζηελ απόδεημε, πξνζαλαηνιηζκέλε πεξηζζόηεξν ζ νιόθιεξν ην πξόβιεκα παξά ζε ζπγθεθξηκέλα κέξε, ιηγόηεξν ιεθηηθή όζνλ αθνξά ζηελ αηηηνιόγεζε θαη βαζηζκέλε ζε κηα απηνπεπνίζεζε γηα δξάζε κε αλεπαξθή δεδνκέλα». Ο Glennon (1980) κεηά απφ ηελ εμέηαζε πνιιψλ εξεπλεηηθψλ κειεηψλ θαηαιήγεη φηη ν δηαηζζεηηθφο νιηζηηθφο θαη κε πνιιαπιή θαη παξάιιειε επεμεξγαζία ηξφπνο ζθέςεο εδξάδεηαη ζην δεμί εκηζθαίξην ελψ ν ινγηθφο-αλαιπηηθφο γξακκηθφο ηξφπνο ζθέςεο εδξάδεηαη ζην αξηζηεξφ εκηζθαίξην ηνπ εγθεθάινπ. Αθφκε, νη Bogen (1969) θαη Gazzaniga (1974) ιέλε φηη κηα δηαίζζεζε θζάλεη πιήξεο ζην λνπ θαη κπνξεί λα είλαη δχζθνιν λα δηαρσξηζηνχλ ηα ζπζηαηηθά ηεο ζε κηα ινγηθή παξαγσγηθή ζεηξά. Οη νπηηθέο πιεξνθνξίεο ππνβάιινληαη ζε ηαπηφρξνλε επεμεξγαζία. Μφλν ην απνηέιεζκα απηήο ηεο επεμεξγαζίαο ηίζεηαη ζηε δηάζεζε ηνπ ζπλεηδεηνχ θαη φρη ε Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 7

9 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ δηαδηθαζία κε ηελ νπνία ζρεκαηίδεηαη ε κνξθή. Απηφ, κε κία αθξαία εξκελεία κπνξεί λα ζεκαίλεη φηη ε δηαηζζεηηθή πξνζέγγηζε κπνξεί λα κε βνεζάεη ζηε ινγηθή ησλ καζεκαηηθψλ. Απφ ηελ άιιε φκσο ε Hart (1983) ππνζηεξίδεη φηη κία θαζαξά ινγηθή επεμεξγαζία κηαο έλλνηαο είλαη γλσζηηθά αθαηάιιειε γηα ηνπο καζεηέο: «.νη ζρεδηαζηέο πξνγξακκάησλ ζπνπδώλ θαη νη θαζεγεηέο πξνζπαζνύλ λα επηλνήζνπλ ζρεδόλ απηόκαηα ινγηθέο κεζόδνπο δηδαζθαιίαο, κε ινγηθό ζρεδηαζκό, ηαμηλόκεζε θαη παξνπζίαζε ηνπ πεξηερνκέλνπ ηεο ύιεο. Μπνξεί λα δεισζεί θαηεγνξεκαηηθά, σζηόζν, όηη ν αλζξώπηλνο εγθέθαινο δελ είλαη νξγαλσκέλνο ή ζρεδηαζκέλνο γηα γξακκηθή, κνλόδξνκε ζθέςε..ν εγθέθαινο είλαη, όπσο έρεη ζρεδηαζζεί από ηε θύζε, κηα εθπιεθηηθά έμππλε θαη επαίζζεηε ζπζθεπή αλίρλεπζεο ζρεκάησλ.. ν εγθέθαινο ζρεδηάζηεθε από ηελ εμέιημε γηα λα εμεηάζεη ηε θπζηθή πνιππινθόηεηα, θαη όρη θνκςέο «ινγηθέο απιόηεηεο»...» Ο εγθέθαινο ελζσκαηψλεη κε ηνλ θαιχηεξν ηξφπν θαη ηηο δχν κεζφδνπο επεμεξγαζίαο κε: i. έθθιεζε ζην δεμί εκηζθαίξην γηα λα δεη ζθαηξηθά θαη νιηζηηθά κία έλλνηα θαη λα ηε ζπλδέζεη δνκηθά κε πξνεγνχκελεο έλλνηεο θαη ii. έθθιεζε ζην αξηζηεξφ εκηζθαίξην γηα ηελ αλάιπζε ησλ ζρέζεσλ, ηε δεκηνπξγία ινγηθψλ ζπκπεξαζκάησλ γηα κία έλλνηα θαη ηελ ελλνηνινγηθή ζχλδεζή ηεο κε άιιεο πξνεγνχκελεο. Ζ δεκηνπξγία λέαο καζεκαηηθήο γλψζεο απαηηεί λα δνζεί ε πξέπνπζα βαξχηεηα θαη ζηηο δχν πξνζεγγίζεηο. Υξεηάδεηαη δειαδή κία πξνζέγγηζε πνπ λα απεπζχλεηαη ζηε δηαίζζεζε θαη πνπ παξάιιεια λα κπνξεί λα ηεο δνζεί κηα απζηεξή δηαηχπσζε. Ο Tall (1991α) πξνηείλεη έλα λέν είδνο δηαίζζεζεο γηα ηνλ απεηξνζηηθφ ινγηζκφ. «Γηα ηελ θαηαλόεζε ησλ ελλνηώλ από ηνπο καζεηέο πξέπεη λα βξεζεί έλαο ηξόπνο δηδαζθαιίαο, γλσζηηθά ειθπζηηθόο από ηελ αξρή, πνπ ζα θέξεη ηαπηόρξνλα ηνπο ζπόξνπο γηα ηελ θαηαλόεζε ησλ ηππηθώλ νξηζκώλ ησλ ελλνηώλ πνπ εκθαλίδνληαη αξγόηεξα. Ο ηξόπνο πνπ ζα επηηεπρζεί απηό είλαη όρη ε απινπνίεζε απινύζηεπζε ησλ ελλνηώλ αιιά ε παξνπζίαζε ζηνπο καζεηέο όισλ ησλ πηπρώλ ηεο πνιππινθόηεηάο ηνπο θαη ησλ αληηπαξαδεηγκάησλ». Μπνξνχκε λα πνχκε φηη ε θαηαλφεζε κέζσ ηεο δηαίζζεζεο έρεη ζρέζε κε ηηο πξνεγνχκελεο εκπεηξίεο καο γηα θάπνηα έλλνηα (εηθφλα ηεο έλλνηαο) θαη γεληθφηεξα κε ηε ζηάζε καο απέλαληη ζε άγλσζηα πξνβιήκαηα. Γεδνκέλνπ φηη νη εκπεηξίεο γηα ην άηνκν μεθηλνχλ απφ ηηο πνιχ κηθξέο ειηθίεο, θαη ζεσξψληαο φηη κπνξεί λα αλαπηπρζεί σο έλα βαζκφ θάπνηα δηαδηθαζία αλαθάιπςεο καζεκαηηθψλ απνδείμεσλ κε ηε κέζνδν ησλ αλαζθεπψλ (Lacatos) θαη επίιπζεο πξνβιεκάησλ (επξεηηθή Polya) κπνξνχκε λα πνχκε φηη ε δηαίζζεζε, σο έλα βαζκφ, δηαπιάζεηαη. Δλφξαζε είλαη ε φξαζε ζε βάζνο, ε άκεζε γλψζε κε ην ππνζπλείδεην. Απηή ε μαθληθή θψηηζε πνπ έξρεηαη κεηά απφ κία πξνεγνχκελε, ίζσο θαη καθξνρξφληα, δηαλνεηηθή αλαδήηεζε. Δίλαη παξφκνηα κε ηελ δηαίζζεζε αιιά πην ζηηγκηαία. Γελ μέξνπκε πνπ νθείιεηαη επαθξηβψο ε ελφξαζε αιιά αλακθίβνια ε εκπεηξία θαη ε νηθεηφηεηα κε θάπνην ζέκα βνεζνχλ πνιχ. Οη Davis & Hersh ζην βηβιίν ηνπο The Mathematical Experience αλαθέξνπλ φηη πήξαλ κηα ζπλέληεπμε απ ην δηαθεθξηκέλν θπζηθφ, δάζθαιν θαη εξεπλεηή, William F. Taylor, ν νπνίνο ζε θάπνην ζεκείν ππνζηεξίδεη φηη: «Η ελόξαζε είλαη ε έθθξαζε ηεο εκπεηξίαο. Απνζεθεπκέλε εκπεηξία. Μεξηθνί άλζξσπνη έρνπλ κηα πην γξήγνξε ελνξαηηθή αληίιεςε από άιινπο». Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 8

10 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Μπνξεί λα δηδαρζεί ε ελφξαζε; Πσο ζα βνεζήζνπκε λα αλαπηπρζεί ε δηαηζζεηηθή ζθέςε ησλ καζεηψλ; Έλα είδνο δεκηνπξγηθήο ζθέςεο (απηή πνπ ίζσο νδεγεί ζε ελφξαζε) κπνξνχκε λα πνχκε φηη, κέζα ζε θάπνηα φξηα, κπνξεί λα δηδαρζεί. Ίζσο ζα πξέπεη λα ελζαξξχλνπκε ηνλ καζεηή λα καληεχεη ή λα εηθάδεη ψζηε λα ζπκκεηέρεη ελεξγά ζ έλα παηρλίδη απαληήζεσλ θαη ππνζέζεσλ. Ζ επηδίσμε λα «καληεχνπλ» νη καζεηέο ίζσο κπνξεί λα δηεπθνιχλεη ηελ αλάπηπμε ηεο ελνξαηηθήο ζθέςεο. Απ ηελ άιιε, ε απαγφξεπζε ησλ εηθαζηψλ πεξηνξίδεη ηελ ζθέςε, εκπνδίδνληαο θάζε είδνο άικαηα. 1.5 Τα όπια ηηρ διαιζθηηικήρ ζκέτηρ Οη δηαηζζεηηθέο γλψζεηο πάληα επεξεάδνπλ ηελ ηθαλφηεηα ηνπ καζεηή άιινηε πξνο ηε ζσζηή θαηεχζπλζε θαη άιινηε πξνο ιάζνο θαηεχζπλζε. Ο θαζεγεηήο W. F. Taylor (Davis & Hersh, 1980) ππνζηεξίδεη φηη ε ελφξαζε εμαπαηά φρη ζπάληα. Οη αξρηθέο εηθφλεο πνπ έρνπκε γηα θάπνηεο έλλνηεο έρνπλ θαηαιπηηθή επίδξαζε ζηε κειέηε θαηλνχξησλ ελλνηψλ αιιά θαη ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ. Οξηζκέλεο δηαηζζήζεηο κπνξεί λα καο παξαπιαλήζνπλ θαη λα καο νδεγήζνπλ ζε βηαζηηθά θαη εζθαικέλα ζπκπεξάζκαηα. Αλαθέξνπκε ελδεηθηηθά έλα παξάδεηγκα απφ ηα πνιιά πνπ έρνπλ θαηαγξαθεί. ην παξαθάησ ζρήκα νη άμνλεο x x θαη y y είλαη παξάιιεινη κεηαμχ ηνπο. Θέινπκε λα ζπγθξίλνπκε ηα εκβαδά ηνπ νξζνγσλίνπ ΑΒΓΓ θαη ηνπ θακππιφγξακκνπ ζρήκαηνο ΔΕΖΘ ζην νπνίν ε κία θακππιφγξακκε «βάζε» είλαη παξάιιειε κεηαηφπηζε ηεο άιιεο. ρήκα 1: Πνην απφ ηα ΑΒΓΓ, ΔΘΖΕ έρεη κεγαιχηεξν εκβαδφλ; Ζ ηζρπξή επίδξαζε φηη ε επζεία ζχλδεζε δχν ζεκείσλ είλαη ε ζπληνκφηεξε απφ νπνηαδήπνηε άιιε, ζπκπαξαζχξεη ηνπο καζεηέο ζην ζπκπέξαζκα φηη ην ζρήκα ΔΕΖΘ έρεη κεγαιχηεξν «κήθνο» απ ην νξζνγψλην ΑΒΓΓ θαη δεδνκέλνπ φηη έρεη ην ίδην «πιάηνο» α κε ην ΑΒΓΓ, ζα έρεη κεγαιχηεξν εκβαδφλ. Σα δχν εκβαδά φκσο είλαη ίζα θαη κπνξνχλ λα ην δηαπηζηψζνπλ πξαθηηθά κε ηε κέζνδν «απνθνπήο-επηθφιιεζεο» ζην ζρήκα ΔΕΖΘ ψζηε λα γίλεη ίζν κε ην ΑΒΓΓ, ή λα ζθεθζνχλ (αλεπίζεκα) φηη ηα δχν ζρήκαηα έρνπλ ίζεο βάζεηο (ίζεο κε α) θαη ίζα χςε (ηελ απφζηαζε ησλ δχν παξάιιεισλ αμφλσλ). 1.6 Από ηη διαίζθηζη ζηην ηςπική απόδειξη Γελ αξθεί κφλν ε εηθαζία ζηε καζεκαηηθή δηδαζθαιία. Ζ εηθαζία πξέπεη λα αθνινπζείηαη απφ έιεγρν θαη χζηεξα απφ ηελ ηππηθή απφδεημε. Ζ κεηάβαζε ζηελ ηππηθή επηρεηξεκαηνινγία, είλαη κηα δχζθνιε θαη θαζφινπ πξνθαλήο πλεπκαηηθή δηαδηθαζία. Οη καζεηέο πξέπεη λα κπνξνχλ λα επεμεξγαζζνχλ ηηο δηαηζζεηηθέο ηνπο γλψζεηο λα ηηο ζπκπιεξψζνπλ αλ ρξεηαζηεί κε ζθνπφ λα νδεγεζνχλ ζηελ ηππηθή Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 9

11 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ καζεκαηηθή απφδεημε. Οη δηαηζζεηηθέο γλψζεηο πάληα επεξεάδνπλ ηελ ζθέςε ηνπ καζεηή είηε κε ζσζηφ ηξφπν είηε (φπσο γξάςακε παξαπάλσ) κε ιάζνο ηξφπν. ε πεξηπηψζεηο κάιηζηα πνπ θάπνην δηαηζζεηηθφ ζπκπέξαζκα είλαη ζρεδφλ πξνθαλέο (φπσο γηα παξάδεηγκα ζην ζεψξεκα Bolzano) νη καζεηέο ππνβαζκίδνπλ ηελ αλαγθαηφηεηα αμησκαηηθήο δηθαηνιφγεζεο. Ο δάζθαινο πξέπεη λα πξνζπαζεί πάληα λα δηαηεξεί ηελ αιιειεπίδξαζε κεηαμχ δηαίζζεζεο θαη ηππηθήο ζθέςεο ψζηε λα εμαλαγθάδεηαη, κε θάπνηα έλλνηα, ν καζεηήο λα έρεη ζην κπαιφ ηνπ θαη ηελ ηππηθή επηρεηξεκαηνινγία. Σα εξσηήκαηα πνπ πξέπεη λα θάλεη ν δάζθαινο ζε ηέηνηεο πεξηπηψζεηο είλαη: «Πψο κπνξψ λα απνδείμσ θάηη πνπ θαίλεηαη ζρεδφλ απηαπφδεηθηε αιήζεηα;» (Δηζήγεζε Η. Μακσλά (2009): «Ζ απφδεημε ηνπ πξνθαλνχο») Ζ ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο επηθνπξεί ζην λα μεπεξαζζνχλ θάπνηα πξαθηηθά εκπφδηα πνπ πθίζηαληαη ζηα παξαδνζηαθά πεξηβάιινληα κάζεζεο. Ο ππνινγηζηήο επηηξέπεη ζην παηδί λα θαηαγξάςεη θαη λα εμσηεξηθεχζεη ηηο δηαηζζήζεηο ηνπ ζ έλα δπλακηθφ πεξηβάιινλ ελφο θαηάιιεινπ εθπαηδεπηηθνχ ινγηζκηθνχ. ηαλ νη δηαηζζεηηθέο ηνπ ηδέεο θαηαγξάθνληαη ζε έλα ηέηνην πεξηβάιινλ γίλεηαη πεξηζζφηεξν πξνζηηέο ζε ζπιινγηζκφ. Ο Tall (1991a, ζει.20) ζεκεηψλεη: «Δηζάγνληαο θαηάιιεια πνιύπινθεο λνεξέο αλαπαξαζηάζεηο µαζεµαηηθώλ ηδεώλ είλαη δπλαηόλ λα δώζνπκε µηα πνιύ επξύηεξε εηθόλα ησλ δπλαηώλ ηξόπσλ µε ηνπο νπνίνπο κπνξνύλ λα γίλνπλ αληηιεπηέο νη έλλνηεο, δίλνληαο έηζη πνιύ ηζρπξόηεξεο δηαηζζήζεηο απ όηη µε µηα παξαδνζηαθή πξνζέγγηζε. Δίλαη δπλαηό λα ζρεδηαζηεί δηαδξαζηηθό (enactive) ινγηζκηθό πνπ επηηξέπεη ζηνπο ζπνπδαζηέο λα δηεξεπλήζνπλ µαζεµαηηθέο ηδέεο µε ηνλ δηπιό ξόιν ηνπ λα είλαη θαη άκεζα ειθπζηηθό ζηνπο καζεηέο θαη λα πξνεηνηκάδεη ηηο ζεκειηώδεηο έλλνηεο πάλσ ζηηο νπνίεο κπνξνύλ λα ρηηζηνύλ νη ηδέεο. Γηεξεπλώληαο παξαδείγκαηα πνπ δνπιεύνπλ θαη παξαδείγκαηα πνπ απνηπγράλνπλ (αληηπαξαδείγκαηα), νη ζπνπδαζηέο κπνξνύλ λα απνθηήζνπλ ηηο νπηηθέο δηαηζζήζεηο πνπ είλαη απαξαίηεηεο γηα λα δηαζθαιίζνπλ ηζρπξέο ελνξάζεηο. Έηζη ε δηαίζζεζε θαη ε απζηεξόηεηα δελ είλαη αλαγθαίν λα είλαη ζε ζύγθξνπζε ε κία κε ηελ άιιε. Παξέρνληαο έλα θαηάιιεια ηζρπξό πιαίζην, ε δηαίζζεζε νδεγεί θπζηνινγηθά ζηελ απζηεξόηεηα ηεο µαζεµαηηθήο απόδεημεο». Ζ ελίζρπζε ηεο δηδαζθαιίαο κε ηηο δπλαηφηεηεο ελφο θαηάιιεινπ καζεκαηηθνχ ινγηζκηθνχ κπνξεί λα βνεζήζεη ψζηε λα ζρεκαηηζζνχλ νξζφηεξα νη εηθφλεο ησλ ελλνηψλ δειαδή λα θαηαλνεζνχλ θαιχηεξα νη έλλνηεο. Μάιηζηα, γηα ηηο έλλνηεο νη νπνίεο πεξηιακβάλνπλ ηηο άπεηξεο δηαδηθαζίεο ζηελ ζεκειίσζή ηνπο, φπσο ζπκβαίλεη κε φιεο ζρεδφλ ηηο έλλνηεο ηνπ Απεηξνζηηθνχ Λνγηζκνχ, είλαη πεξηζζφηεξν αλαγθαία ε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο ιφγσ ησλ ηεξάζηησλ δπλαηνηήησλ κεγέζπλζεο πνπ δηαζέηεη. 1.7 Η απόδειξη ζηο πεπιβάλλον ηηρ ηεσνολογίαρ Έρνπλ δηαηππσζεί απφςεηο φηη ε «εγθπξφηεηα» ησλ απαληήζεσλ ηνπ ππνινγηζηή φρη κφλν απνκαθξχλεη ηνπο καζεηέο απφ ηελ εκπινθή ηνπο κε ηελ παξαγσγηθή ζθέςε θαη ηελ απφδεημε, αιιά ηνπο δίλεη βάζηκα επηρεηξήκαηα φηη ε απφδεημε δελ είλαη αλαγθαία. Γηα παξάδεηγκα ην γεγνλφο φηη δχν γσλίεο κεηξνχληαη κε ην εξγαιείν ηνπ ινγηζκηθνχ θαη ε ζρέζε ηνπο πξνθχπηεη αλαιινίσηε γηα νπνηαδήπνηε παξακφξθσζε ελφο ζρήκαηνο ελδέρεηαη λα έρεη επηδήκηα επίδξαζε γηα ηελ πξνψζεζε ηεο καζεκαηηθήο ζθέςεο. Ο καζεηήο κπνξεί λα ηζρπξηζζεί φηη, επηηέινπο δελ ρξεηάδεηαη λα εκπιαθνχκε ζηε δχζθνιε θαη επίπνλε δηαδηθαζία ηεο παξαγσγηθήο ζθέςεο θαη ηεο ηππηθήο απφδεημεο. Ζ έξεπλα έρεη δείμεη φηη κε θαηάιιειε δηδαθηηθή κέζνδν φρη κφλν δελ ππνβαζκίδεηαη ε ζεκαζία ηεο εθκάζεζεο ηεο απφδεημεο αιιά αληίζεηα κε ηα εξγαιεία ηνπ Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 10

12 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ινγηζκηθνχ κπνξεί λα ππνζηεξηρζεί ε καζεζηαθή δηαδηθαζία θαη λα γίλεη θνηλσληθά πην ελεξγή γηα ην καζεηή. Γηα παξάδεηγκα ν καζεηήο θαηαζθεπάδεη έλα ζρήκα κε ζπγθεθξηκέλεο ηδηφηεηεο θαη κε ηελ αιινίσζε ηνπ ζρήκαηνο (δειαδή κε ην ζχξζηκν κηαο θνξπθήο) παξαηεξεί ηα θαηλφκελα θαη εκπιέθεηαη ζε εξκελείεο θαη επεμεγήζεηο ηεο ζπκπεξηθνξάο ηνπο. Δλψ ζηα παξαδνζηαθά καζεκαηηθά ε απφδεημε αληηκεησπίδεηαη σο κέζν δηαπίζησζεο ηεο αιήζεηαο κηαο ππφζεζεο, ζην ππνινγηζηηθφ πεξηβάιινλ αιιάδεη θάπσο ε ρξεζηηθφηεηα θαη ν ξφινο ηεο απφδεημεο. Ο καζεηήο ρξεηάδεηαη λ απνδείμεη θάηη γηα λα αηηηνινγήζεη ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ αιινησκέλνπ ζρήκαηνο. Ζ απφδεημε κεηαηξέπεηαη ζε επεμήγεζε ζπκπεξηθνξάο θαη φρη ζε δηαπίζησζε ηεο αιήζεηαο ππνζέζεσλ. Ο Κπλεγφο (2007) αλαθέξεη φηη νη έξεπλεο κε καζεηέο (Jones, 2000) πνπ δνπιεχνπλ κ απηφλ ηνλ ηξφπν έρνπλ δείμεη φηη πξάγκαηη νδεγνχληαη ζηελ αλάγθε καζεκαηηθήο απφδεημεο γηα λα εμεγήζνπλ γηα παξάδεηγκα γηαηί έλα ζρήκα φηαλ θαηαζθεπάδεηαη κε ζπγθεθξηκέλν ηξφπν, δηαηεξεί ζηαζεξέο θάπνηεο ηδηφηεηεο θαζψο απηφ αιινηψλεηαη. ε κηα άιιε πεξίπησζε ε αλάγθε απφδεημεο πξνέθπςε, φηαλ νη καζεηέο μαθληάζηεθαλ απ ηνλ ηξφπν πνπ αιινηψζεθε έλα ζρήκα αληηκεησπίδνληαο γλσζηηθή ζχγθξνπζε ζε ζρέζε κε απηφ πνπ πεξίκελαλ (Hadas et al., 2000). Γηα λα ππνζηεξηρζεί ε εκπινθή ησλ καζεηψλ ζε παξαγσγηθνχο ζπιινγηζκνχο θαη απνδείμεηο έρεη θπξίαξρε ζεκαζία θαη ε θχζε ηεο δξαζηεξηφηεηαο πνπ ζα δνζεί αιιά θαη ν ξφινο ηνπ εθπαηδεπηηθνχ θαηά ηε δηάξθεηα ηεο δξαζηεξηφηεηαο. Με ηε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο κπνξνχκε λα εκπιαθνχκε ζε δπζθνιφηεξα πξνβιήκαηα αλ ζπλερίζνπκε ην «παηρλίδη» ησλ αιινηψζεσλ ηνπ ζρήκαηνο, ζέηνληαο πάληα ην εξψηεκα «ηη ζα γηλφηαλ αλ;» (Brown & Walter, 1983). Γηα παξάδεηγκα αλ ην αξρηθφ πξφβιεκα είρε σο βαζηθφ ζρήκα έλα ηζφπιεπξν ηξίγσλν κπνξνχκε λα ξσηήζνπκε ηη ζα γηλφηαλ ζην πξφβιεκα αλ ην ηξίγσλν ήηαλ ηζνζθειέο ή ηη ζα γηλφηαλ αλ ην ηξίγσλν ήηαλ ηπραίν. πλερίδνληαο, κπνξνχκε λα πνχκε ηη ζα γηλφηαλ αλ ην ηξίγσλν ήηαλ ηεηξάπιεπξν ή ελ ηέιεη λ-γσλν. Σέηνηεο άκεζεο δηεξεπλήζεηο ζην παξαδνζηαθφ πεξηβάιινλ ηνπ ραξηηνχ θαη ηνπ κνιπβηνχ είλαη δχζθνιν λα γίλνπλ ζηα πεξηνξηζκέλα ρξνληθά πιαίζηα ηεο ζρνιηθήο δηδαθηηθήο ψξαο. Οη ζηξαηεγηθέο θαηαζθεπήο λέσλ πξνβιεκάησλ θαηά ηε δηάξθεηα ηεο επίιπζεο ελφο πξνβιήκαηνο κειεηήζεθαλ απφ δηάθνξνπο εξεπλεηέο (Brown & Walter, 1990, Silver, 1994, Silver & Mamona, 1989, Silver et al., 1996). Ζ δεκηνπξγία λένπ πξνβιήκαηνο είλαη ζηελά ζπλδεδεκέλε κε ην ζηάδην «θνηηάδνληαο πξνο ηα πίζσ» απφ ηα ηέζζεξα ζηάδηα Δπίιπζεο Πξνβιήκαηνο ηνπ Polya. Απηφ ην ζηάδην ζεσξήζεθε απ ηνλ Polya ην ζπνπδαηφηεξν βήκα θαηά ηελ επίιπζε ελφο πξνβιήκαηνο. (Silver et al., 1996). 1.8 Ππόζθεηη παιδαγυγική αξία Έλα απφ ηα θαίξηα εξσηήκαηα ηεο εθπαηδεπηηθήο θνηλφηεηαο είλαη πνηνο ν ιφγνο λα αμηνπνηήζνπκε ηηο λέεο ηερλνινγίεο ζηελ εθπαίδεπζε; Ζ αμηνπνίεζε ηεο ςεθηαθήο ηερλνινγίαο ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία ζεκειηψζεθε απ ηνλ Papert πξνο ην ηέινο ηεο δεθαεηίαο ηνπ `60. Πίζηεπε φηη ηα εηδηθά ζρεδηαζκέλα ςεθηαθά εξγαιεία κπνξνχλ λα γίλνπλ εξγαιεία έθθξαζεο ηδεψλ θαη ελλνηψλ ζηα ρέξηα ησλ καζεηψλ. Δπηπιένλ, ν δπλακηθφο ραξαθηήξαο ηεο ηερλνινγίαο ελζαξξχλεη ηνπο καζεηέο λα ζθέθηνληαη «καδί κε ην εξγαιείν» επεκβαίλνληαο θαη αιιάδνληαο μαλά ηηο θαηαζθεπέο ηνπο ζα λα καζηνξεχνπλ πάλσ ζηα λνεηηθά ηνπο δεκηνπξγήκαηα. Έηζη ε ηερλνινγία βνεζάεη ζηελ δεκηνπξγία εθπαηδεπηηθψλ πεξηβαιιφλησλ φπνπ ν καζεηήο ζα έρεη ξφιν ζηελ δεκηνπξγία ησλ λνεκάησλ ηνπ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 11

13 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Καηά ηνλ Κπλεγφ (2007) ε απάληεζε ζην εξψηεκα είλαη ε «πξόζζεηε παηδαγσγηθή αμία ζηελ εθπαηδεπηηθή πξάμε δειαδή ζηε καζεζηαθή θαη δηδαθηηθή δηαδηθαζία». Λέγνληαο πξόζζεηε παηδαγσγηθή αμία ελλννχκε ηη κπνξεί λα θάλεη ν καζεηήο θαη ν εθπαηδεπηηθφο κε ηελ ηερλνινγία ην νπνίν είλαη πνιχ δχζθνιν ή πξαθηηθά αδχλαην λα θάλεη φηαλ δελ ηε δηαζέηεη. Αλαθέξακε παξαπάλσ φηη ε κάζεζε ησλ καζεκαηηθψλ είλαη κηα δηαδηθαζία, φπνπ ην δεηνχκελν είλαη ε δεκηνπξγία θαη ε αλάπηπμε πξνζσπηθψλ λνεκάησλ απφ ηνπο καζεηέο κέζα απφ ππνζέζεηο, εηθαζίεο, απνδείμεηο αλαζθεπέο, αληηπαξαδείγκαηα, ζπλερείο ηξνπνπνηήζεηο θαη ειέγρνπο. Με άιια ιφγηα, ην δεηνχκελν ζηε δηδαθηηθή ησλ καζεκαηηθψλ είλαη ν θάζε καζεηήο λα βηψζεη ηελ εκπεηξία ηνπ λα «θάλεη καζεκαηηθά». Με ηελ ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο ν καζεηήο κπνξεί λα θάλεη καζεκαηηθά κε ηξφπνπο πνπ είλαη δχζθνιν έσο αδχλαην ζην πεξηβάιινλ ηνπ ραξηηνχ θαη ηνπ κνιπβηνχ. Γελ απνθιείνπκε φηη ππάξρνπλ πνιινί εθπαηδεπηηθνί πνπ έρνπλ ηελ εκπεηξία θαη ηε δηάζεζε λα βξίζθνπλ ηξφπνπο πνπ λα εκπιέθνπλ ην καζεηή ζε δηαδηθαζίεο απφθηεζεο εκπεηξηψλ θαη βησκάησλ ψζηε λα θαηαλνήζεη θαιχηεξα ηηο καζεκαηηθέο έλλνηεο. κσο κε ηε ρξήζε ηεο ηερλνινγίαο απηφ κπνξεί λα γίλεη κε θαιχηεξνπο φξνπο. Ζ ςεθηαθή ηερλνινγία δηαζέηεη πνηθίιεο αλαπαξαζηάζεηο ησλ ελλνηψλ (ζπκβνιηθέο, γξαθηθέο, αξηζκεηηθέο) θαζψο θαη δπλακηθή ζχλδεζε κεηαμχ ηνπο ψζηε ν καζεηήο λα απνθηάεη εκπεηξίεο ζπκβνιηθήο έθθξαζεο ελλνηψλ, εκπεηξίεο δξάζεο, εμάζθεζεο ηεο θξίζεο ηνπ θαη δεκηνπξγηθήο ακθηζβήηεζεο. 1.9 Τα διεπεςνηηικά λογιζμικά «Μικπόκοζμοι» Ζ δεκηνπξγία θαη ε δηεξεχλεζε εηθαζηψλ είλαη ν ππξήλαο ησλ καζεκαηηθψλ. Ζ εμεξεπλεηηθή-δηεξεπλεηηθή κάζεζε πξνηξέπεη ην καζεηή λα κελ ιεηηνπξγεί σο παζεηηθφο δέθηεο ηεο γλψζεο πνπ ηνπ πξνζθέξεηαη, αιιά λα ζπκκεηέρεη ν ίδηνο ζηελ νηθνδφκεζή ηεο. Γηα ην ζθνπφ απηφ ην δηεξεπλεηηθφ εθπαηδεπηηθφ ινγηζκηθφ πξνζθέξεη ηε δπλαηφηεηα δεκηνπξγίαο ππνζέζεσλ, ιήςεο απνθάζεσλ, εμαγσγήο ζπκπεξαζκάησλ, κάζεζεο κέζα απφ ηα ιάζε θιπ. (Παλαγησηαθφπνπινο θ.ά., 2003). ην πεξηβάιινλ ελφο δηεξεπλεηηθνχ ινγηζκηθνχ ν καζεηήο κπνξεί λα θαηαζθεπάδεη ν ίδηνο θαη λα πεηξακαηίδεηαη ζηηο θαηαζθεπέο, λα ππνςηάδεηαη θαηλφκελα, λα εθθξάδεη ηδέεο, λα δηαηππψλεη εηθαζίεο, λα ειέγρεη ηηο εηθαζίεο θαη λα ηηο δηθαηνινγεί. Ζ δηαδξαζηηθφηεηα είλαη έλα βαζηθφ ραξαθηεξηζηηθφ ησλ δηεξεπλεηηθψλ ινγηζκηθψλ. Σν αιιειεπηδξαζηηθφ ινγηζκηθφ δελ ζπληίζεηαη απφ κηα απιή δηαδνρή εηθφλσλ ζηελ νζφλε, αιιά εκπεξηέρεη ηελ έλλνηα ηεο επίδξαζεο ηνπ ρξήζηε πξνο ην ζχζηεκα θαη αληηζηξφθσο. Έηζη, αλνίγεηαη νπζηαζηηθά έλαο δηάινγνο επηθνηλσλίαο κεηαμχ ηνπ ρξήζηε θαη ηνπ ινγηζκηθνχ (Παλαγησηαθφπνπινο θ.ά., 2003). Δπηπιένλ νη ελέξγεηεο πάλσ ζηα αληηθείκελα πξέπεη λα εθαξκφδνληαη άκεζα, κε απιή θαη φρη ζχλζεηε ελέξγεηα, λα είλαη γξήγνξεο, αλαζηξέςηκεο θαη κε νξαηή έθζεζε ησλ απνηειεζκάησλ. Απηά ηα ραξαθηεξηζηηθά βνεζνχλ ηνπο καζεηέο λα έρνπλ επθνιφηεξε πξφζβαζε ζηα αληηθείκελα θαη ζηηο ιεηηνπξγίεο ηνπο ζην πεδίν ηεο δηεξεχλεζεο. Ζ γιψζζα Logo Ζ Logo θαηαζθεπάζηεθε ζην εξεπλεηηθφ εξγαζηήξην ΜΗΣ ηεο Βνζηφλεο ην 1967 απφ ηνλ θαζεγεηή καζεκαηηθψλ S. Papert. Ο Papert, καζεηήο ηνπ J.Piaget γηα πέληε ρξφληα, αλαδεηνχζε κηα θαηάιιειε γιψζζα πξνγξακκαηηζκνχ γηα παηδηά πξνζρνιηθήο ή ζρνιηθήο ειηθίαο, κε έκθαζε ζηε δηαδηθαζία ηεο κάζεζεο. «Με ηε ρξήζε ηεο γιψζζαο Logo δεκηνπξγείηαη έλα πξνγξακκαηηζηηθφ πεξηβάιινλ κάζεζεο, κέζα ζην νπνίν ε γλψζε θαηαθηάηαη ζηελ πξάμε κε ζηαδηαθέο ελέξγεηεο (βήκα βήκα), κέζα απφ ηε ινγηθή Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 12

14 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ηεο δνθηκήο θαη ηεο απφξξηςεο. Έηζη ε γλψζε θαηαθηάηαη σο απνηέιεζκα πξάμεο, ελψ παξάιιεια θαιιηεξγείηαη θαη αλαπηχζζεηαη εξεπλεηηθφ πλεχκα κε επξηζηηθέο ηερληθέο επίιπζεο πξνβιεκάησλ. Ζ Logo είλαη έλα εθπαηδεπηηθφ εξγαιείν κέζα ζην νπνίν ην παηδί πξνζπαζεί λα πξνγξακκαηίζεη, λα απνθηήζεη εκπεηξία θαη λα θαηαθηήζεη καζεκαηηθέο έλλνηεο. Σν πεξηβάιινλ ησλ αξρηθψλ εθδφζεσλ ηεο γιψζζαο είλαη απιφ. Ο ρξήζηεο κπνξεί λα δεκηνπξγήζεη γξαθηθά κεηαθηλψληαο ηε ρειψλα-δξνκέα ε νπνία θηλνχκελε αθήλεη ίρλε ζηελ νζφλε. Οπζηαζηηθά, ην παηδί καζαίλεη λα δίλεη εληνιέο ζηε ρειψλα-δξνκέα ψζηε λα κεηαθηλείηαη κέζα ζε έλα θαξηεζηαλφ ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ, πξνο ηηο ηέζζεξηο θαηεπζχλζεηο. Έλα γεσκεηξηθφ αληηθείκελν πνπ δεκηνπξγήζεθε απφ ην ίρλνο ηεο ρειψλαοδξνκέα κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί (ην ζχλνιν ησλ εληνιψλ) γηα ηελ θαηαζθεπή ελφο πην πνιχπινθνπ ζρήκαηνο». (Παλαγησηαθφπνπινο θ.ά., 2003). Σν ινγηζκηθφ MicroWorlds Pro Σν Πεξηβάιινλ ηνπ MicroWorlds Pro, είλαη κηα απφ ηηο ζεκαληηθφηεξεο εθαξκνγέο πνπ βαζίδνληαη ζηε Logo. Δίλαη έλα πινχζην πνιπκεζηθφ πεξηβάιινλ, κε ζχγρξνλν, άξηην θαη ηδηαίηεξα κειεηεκέλν ζρεδηαζκφ, πνπ επλνεί κε πνιινχο ηξφπνπο, ηελ αλάπηπμε ζπλζεηηθψλ εξγαζηψλ νπνηαζδήπνηε βαξχηεηαο ζην πιαίζην πνιιψλ καζεκάησλ (Μαζεκαηηθά, Φπζηθή, Βηνινγία, θ.ά). Oη καζεηέο εθπαηδεχνληαη κέζα απφ έξεπλα θαη δεκηνπξγία, κε απνηέιεζκα λα αλαπηχζζεηαη ε δεκηνπξγηθφηεηα θαη ε θξηηηθή ηνπο ζθέςε. Μπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί, ζαλ βνήζεηα ζε θάζε ζρνιηθφ κάζεκα, αιιά θαη γηα ηελ εθκάζεζε πξνγξακκαηηζκνχ κε πνιχ επράξηζην ηξφπν απφ ηα παηδηά. «Μηθξφθνζκνη» Οη κηθξφθνζκνη είλαη πξνζνκνηψζεηο θαηαζηάζεσλ (κε ρξήζε ειεθηξνληθνχ ππνινγηζηή θαη θαηάιιεινπ ινγηζκηθνχ, π.ρ. MicroWorlds Pro) πνπ εθηπιίζζνληαη ζε πεξηνξηζκέλεο έθηαζεο εθπαηδεπηηθφ πεξηβάιινλ. Σν πεξηβάιινλ απηφ είλαη δνκεκέλν θαηάιιεια ψζηε λα πξνσζεί ηε δηεξεπλεηηθή κάζεζε (Παλαγησηαθφπνπινο θ.ά., 2003). Ο φξνο κηθξφθνζκνο ρξεζηκνπνηήζεθε αξρηθά απφ ηνλ Papert (1980) γηα λα πεξηγξάςεη έλαλ απηνηειή θφζκν φπνπ νη καζεηέο κπνξνχλ λα κάζνπλ «λα κεηαθέξνπλ ζπλήζεηεο δηεξεύλεζεο από ηελ πξνζσπηθή ηνπο εκπεηξία ζηνλ ηππηθό ρώξν ηεο επηζηεκνληθήο δεκηνπξγίαο». Πην ζπγθεθξηκέλα είλαη έλα δηαδξαζηηθφ ππνινγηζηηθφ πεξηβάιινλ κάζεζεο πνπ ελζσκαηψλεη ζπγθεθξηκέλεο έλλνηεο ελφο γλσζηηθνχ αληηθεηκέλνπ ππφ ηε κνξθή δπλακηθψλ αλαπαξαζηάζεσλ. Δλζαξξχλεηαη ε δεκηνπξγηθφηεηα ησλ παηδηψλ θαη καζαίλνπλ καζεκαηηθά ζ έλα πεξηβάιινλ φπνπ ην αιεζέο ή ην ςεπδέο, ην ζσζηφ ή ην ιάζνο δελ είλαη απνθαζηζηηθά θξηηήξηα. Οη καζεηέο αιιειεπηδξψληαο κε ηνλ κηθξφθνζκν εμεξεπλνχλ ηελ έλλνηα ή ηε γλψζε πνπ ζέινπκε λα πξνζεγγίζνπλ ε νπνία είλαη δηάρπηε κέζα ζ απηφλ. Έηζη εκπιέθνληαη ζε κία δηεξεπλεηηθή θαη δεκηνπξγηθή δξαζηεξηφηεηα παξαγσγήο καζεκαηηθψλ λνεκάησλ, εθφζνλ ζπλνδεχεηαη θαη απφ έλα ζχλνιν θαηάιιεισλ αζθήζεσλ θαη δηδαθηηθήο θαζνδήγεζεο Γιεπεςνηηικό λογιζμικό και ππόζθεηη παιδαγυγική αξία Ζ ρξήζε δηεξεπλεηηθνχ ινγηζκηθνχ κπνξεί λα θαιιηεξγήζεη δηάθνξεο πηπρέο ηεο καζεζηαθήο δηαδηθαζίαο νη νπνίεο ζπλήζσο είλαη ππνβαζκηζκέλεο ζηελ εθπαηδεπηηθή πξαθηηθή. Αλαθέξνπκε θάπνηεο εμεγψληαο πεξηιεπηηθά: Γξάζε. Ο καζεηήο κπνξεί λα εκπιαθεί ζε έλα πξφβιεκα θαη λα θηλεηνπνηεζεί ζην πεξηβάιινλ ηνπ δηεξεπλεηηθνχ ινγηζκηθνχ κε κεγαιχηεξν ελδηαθέξνλ απ φηη ζην πεξηβάιινλ ραξηί- κνιχβη. Απηφ ην ελδηαθέξνλ έρεη παξαηεξεζεί ζε δνθηκαζηηθέο δξαζηεξηφηεηεο πνπ έρνπλ γίλεη ζε εηδηθά εξγαζηήξηα (ΚΔΜΑΣ: Κέληξν Μαζεκαηηθψλ θαη Σερλνινγίαο Ννκνχ Αηησιναθαξλαλίαο, Ηδξπηήο Κνξδάθε Μαξία). Σν ελζαξξπληηθφ ζε ηέηνηεο δνθηκαζηηθέο Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 13

15 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ δξαζηεξηφηεηεο ήηαλ φηη ζπκκεηείραλ πξφζπκα ζηε καζεζηαθή δηαδηθαζία θαη νη πην αδχλακνη καζεηέο. Πεηξακαηηζκφο. Σν δηεξεπλεηηθφ ινγηζκηθφ πξνζθέξεη ζηνπο καζεηέο ηε δπλαηφηεηα ηεο εθηέιεζεο κηαο ελέξγεηαο θαη ηε δπλαηφηεηα ηεο επαλάιεςεο ηεο ελέξγεηαο θάησ απφ άιιεο ζπλζήθεο φπνηε ρξεηαζηεί. ηε γεσκεηξία κπνξεί λα κεηαθηλήζεη ζεκεία (π.ρ. θνξπθέο ζρεκάησλ) θαη λα αλαθαιχςεη αλαιινίσηεο ζρέζεηο (π.ρ. ηζφηεηα ηκεκάησλ, γσληψλ θιπ.) γηα νπνηεζδήπνηε ζέζεηο ησλ κεηαθηλνχκελσλ ζεκείσλ. ηελ άιγεβξα θαη ην ινγηζκφ κπνξεί λα κεηαθηλήζεη ζεκεία ζε γξαθηθέο παξαζηάζεηο θαη λα κειεηήζεη ηηο θακπχιεο πνπ ραξάζζνληαη απφ εηδηθά νξηζκέλα ζεκεία (π.ρ. ηελ παξάγσγν ζπλάξηεζε). Μπνξεί λα επαλαιάβεη ηελ ελέξγεηά ηνπ κε δηαθνξεηηθή ζπλάξηεζε ρσξίο λα δεκηνπξγήζεη εμαξρήο ηελ θαηαζθεπή, αιιάδνληαο ηνλ ηχπν ηεο ζπλάξηεζεο. Μέζα απφ ηνλ πεηξακαηηζκφ ν καζεηήο βιέπεη λέεο ηδηφηεηεο θαη νδεγείηαη ζηελ αλάπηπμε εηθαζηψλ. Απηή ε δηαδηθαζία ζε πεξηβάιινλ ραξηί-κνιχβη είλαη ρξνλνβφξα (ζην δηαζέζηκν ζρνιηθφ ρξφλν νη καζεηέο κπνξνχλ λα παξάγνπλ κφλν έλαλ πνιχ κηθξφ αξηζκφ παξαδεηγκάησλ (ζηαηηθψλ εηθφλσλ) ηα νπνία ζα κειεηήζνπλ κε ζθνπφ λα αλαθαιχςνπλ ηδηφηεηεο θαη λα αλαπηχμνπλ εηθαζίεο) αιιά θαη επηζθαιήο (θάπνηα απφ ηα παξαδείγκαηα απηά κπνξεί λα είλαη ιαλζαζκέλα ιφγσ ππνινγηζηηθψλ ιαζψλ). Έλα γλψξηζκα ηεο εξγαζίαο κε ην ινγηζκηθφ είλαη φηη νη καζεηέο κπνξεί λα νδεγεζνχλ ζε απνηειέζκαηα κε αλακελφκελα θαη δηαθνξεηηθά απ ηε δηαηζζεηηθή ηεο αληίιεςε. Απηφ κπνξεί λα απνηειέζεη ην έλαπζκα λα επαλειέγμνπλ ηηο γλψζεηο θαη ηηο ππνζέζεηο ηνπο θαη λα εθκεηαιιεπηνχλ ηηο επθαηξίεο πνπ ηνπο πξνζθέξεη ν πεηξακαηηζκφο θαη ην ππνινγηζηηθφ πεξηβάιινλ γηα λνεκαηηθή κάζεζε. Ίζσο ν καζεηήο αλαπηχμεη ηελ πεπνίζεζε φηη δελ είλαη φια γχξσ ηνπ δεδνκέλα. Θα πξέπεη ν ίδηνο λα δξάζεη γηα λα αλαθαιχςεη θαη λα νηθνδνκήζεη ηε γλψζε ηνπ. Αλαδεηά πιένλ κφλνο ηνπ ηελ θαηαλφεζε θαη ηελ πιεξνθνξία αληί λα πεξηνξίδεηαη ζε απηή πνπ ζα ηνπ δνζεί (Κπλεγφο, 2007). Έηζη ν καζεηήο νδεγείηαη ζηελ πηνζέηεζε κηαο ζηάζεο ακθηζβήηεζεο απέλαληη ζηε γλψζε. Ζ γλψζε δελ είλαη πηα δεδνκέλε αιιά πξνθχπηεη κέζα απφ ηελ ακθηζβήηεζε φζσλ παξαηεξεί ζην πεξηβάιινλ ηνπ. Σα δπλακηθά ππνινγηζηηθά πεξηβάιινληα κπνξνχλ λα ζπκβάινπλ ζε κηα ηέηνηα ζηάζε αθνχ παξαθηλνχλ ηνπο καζεηέο λα θάλνπλ πνιιά παξαδείγκαηα, αιιά θαη λα ςάρλνπλ γηα αθξαίεο θαηαζηάζεηο κεηαβάιινληαο ή αθφκα θαη παξαπνηψληαο ηα ζρήκαηα. Γηάινγνο, επηρεηξεκαηνινγία, ζπλεξγαζία. Ο δάζθαινο κπνξεί λα εθκεηαιιεπζεί ηε ζπκκεηνρή ησλ καζεηψλ ζηνλ πεηξακαηηζκφ ψζηε λα ηνπο κπήζεη ζε ζπδεηήζεηο γχξσ απφ αληηθείκελα ηα νπνία θξίλεη φηη έρνπλ ζεκαληηθφ καζεκαηηθφ πεξηερφκελν. Έηζη ν καζεηήο αηζζάλεηαη ππνρξεσκέλνο κέζα ζε έλα πιαίζην ζπλεξγαηηθήο επηζηεκνληθήο δξάζεο λα επηρεηξεκαηνινγήζεη πξνθεηκέλνπ λα αηηηνινγήζεη ηηο επηινγέο ηνπ, λα δηαηππψζεη εηθαζίεο, λα επηβεβαηψζεη ή λα δηαςεχζεη ηηο εηθαζίεο απηέο (Κπλεγφο, 2007). ην ζεκείν απηφ κπνξνχκε λα θάλνπκε έλα βήκα παξαπέξα θαη λα αλαθεξζνχκε ζηελ αλαγθαηφηεηα απφδεημεο θαη φρη απιά ζε αλάπηπμε δηαιφγνπ θαη επηρεηξεκαηνινγία. Σα δηεξεπλεηηθά ινγηζκηθά κπνξνχλ ινηπφλ λα αμηνπνηεζνχλ σο παξάγνληεο ζπλεξγαηηθήο κάζεζεο κέζα απφ θαηάιιεια ζρεδηαζκέλεο δξαζηεξηφηεηεο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 14

16 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Αλαπαξάζηαζε. Σα εθπαηδεπηηθά ινγηζκηθά δηαζέηνπλ δηάθνξεο αλαπαξαζηάζεηο ελλνηψλ θαη πιεξνθνξηψλ. Σα δπλακηθά δηαγξάκκαηα κπνξνχλ λα νπηηθνπνηήζνπλ (εηθνλνγξαθήζνπλ) έλα καζεκαηηθφ αληηθείκελν αιιά θαη κηα δηαδηθαζία (π.ρ. κία νξηαθή δηαδηθαζία). Μέζα απφ ηελ νπηηθνπνίεζε ηελ νπνία επηηπγράλεη, έλα δπλακηθφ ππνινγηζηηθφ πεξηβάιινλ επηηξέπεη ζην καζεηή λα θαηαζθεπάζεη ζρήκαηα ή λα ηα κεηαζρεκαηίζεη άκεζα. Οη εηθφλεο πνπ δεκηνπξγνχληαη απφ ηνπο καζεηέο ζε πεξηβάιινληα εθπαηδεπηηθνχ ινγηζκηθνχ δελ είλαη θησρέο αλαπαξαζηάζεηο αηζζεηεξηαθνχ επηπέδνπ δηφηη έρνπλ κηα δηθηά ηνπο εζσηεξηθή ινγηθή πνπ εμαξηάηαη απφ ηε δηαδηθαζία ε νπνία ηα παξάγεη θαη ηα εκθαλίδεη ζηελ νζφλε ηνπ ειεθηξνληθνχ ππνινγηζηή (Dorfler, 1993) (Πεγή Κνξδάθε Μ., 2005). Απηνχ ηνπ είδνπο ε εηθνληθή αλαηξνθνδφηεζε δελ έρεη κφλν αηζζεηεξηαθά ραξαθηεξηζηηθά αιιά πεξηέρεη θαη πιεξνθνξία βνεζψληαο έηζη ην καζεηή λα αλαζηνραζηεί, λα δηαηππψζεη ή λα δηνξζψζεη ηηο ππνζέζεηο ηνπ. Ζ δηαδηθαζία απηή είλαη δπλαηφ λα ζπλερηζηεί κέρξη λα θαηαιήμεη ζε βηψζηκν απνηέιεζκα θαη είλαη ε ίδηα κε απηήλ πνπ αθνινπζνχλ νη καζεκαηηθνί ζηελ παξαγσγή ηεο καζεκαηηθήο γλψζεο (Lakatos, 1976) Γιδακηική και Τεσνολογία Ο Polya πίζηεπε φηη «ε ηθαλόηεηα λα αλαθαιύπηεηο θαη ε ηθαλόηεηα λα επηλνείο κπνξνύλ λα εληζρπζνύλ κε κία επηδέμηα δηδαζθαιία ε νπνία θηλεηνπνηεί ην ζπνπδαζηή ζηηο αξρέο ηεο αλαθάιπςεο θαη ηνπ δίλεη κηα επθαηξία λα αζθήζεη απηέο ηηο αξρέο» (Davis-Hersh, ζει.276). Ο Imre Lacatos ζην βηβιίν ηνπ «Proofs and Refutatons» πεξηγξάθεη ηελ επηθνηλσλία ελφο δαζθάινπ κε ηελ ηάμε ηνπ φπνπ εμεηάδνπλ ηελ ηζρχ ηεο ζρέζεο: Κ(νξπθέο)+ Δ(δξεο) = Α(θκέο) + 2 (ησλ Euler-Descartes) γηα ηα πνιχεδξα. Μειεηνχλ πνιιά παξαδείγκαηα πνιχεδξσλ θαη εηθάδνπλ φηη ν παξαπάλσ ηχπνο ηζρχεη γηα φια ηα πνιχεδξα. ηελ πξνζπάζεηα λ απνδεηρζεί ν ηχπνο, αθνινπζνχλ νη αληηξξήζεηο κέζσ αληηπαξαδεηγκάησλ απφ ηνπο ζπνπδαζηέο. Μειεηψληαο εηδηθφηεξα θαη γεληθφηεξα αληηπαξαδείγκαηα ε δηαηχπσζε ηεο εηθαζίαο ηξνπνπνηείηαη, ε απφδεημε πθίζηαηαη επεμεξγαζία, πξνζαξκφδεηαη θαη βειηηψλεηαη. Ο Lacatos παξνπζηάδεη απηφ ην κνληέιν, ζαλ έλα κνληέιν αλάπηπμεο ηεο καζεκαηηθήο γλψζεο γεληθά. Μία παξφκνηα, ζηελ νπζία ηεο, κέζνδν κπνξνχκε λα αθνινπζήζνπκε ζηελ ηάμε γηα έλαλ πηζαλφ ηξφπν δηδαζθαιίαο καζεκαηηθψλ ελλνηψλ θαη ζεσξεκάησλ ελζσκαηψλνληαο ζε ζπγθεθξηκέλα ζεκεία ηεο πνξείαο δηδαζθαιίαο, ηελ ηερλνινγία Διδαζκαλία οπιζμών ια ηα καζεκαηηθά απνηειέζκαηα, έρνπλ αθεηεξία ηε ιχζε πξνβιεκάησλ. πλεπψο ε δηδαζθαιία γηα ηελ εηζαγσγή κηαο θαηλνχξηαο έλλνηαο θαιφ είλαη λα αξρίδεη κε έλα πξφβιεκα πνπ δελ αληηκεησπίδεηαη κε ηηο ππάξρνπζεο γλψζεηο θαη πνπ ε πξνζπάζεηα γηα ηε ιχζε ηνπ ζα νδεγήζεη ζηελ αλάγθε εηζαγσγήο ηεο έλλνηαο. ην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ αλαπαξηζηνχκε ηεο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο ζε έλα δπλακηθφ πεξηβάιινλ ζην νπνίν ν καζεηήο κπνξεί λα επέκβεη, λα κεηαθηλήζεη, λα πεηξακαηηζζεί λα πινπνηήζεη θαη λα ειέγμεη ηηο δηαηζζήζεηο ηνπ. Καηφπηλ, ή ζα αλαγλσξίζεη κφλνο ηνπ ηελ λέα έλλνηα ή κεηά απφ ζπδήηεζε (ή έλα βνεζεηηθφ πιάλν εξσηήζεσλ απ ηνλ δάζθαιν) ζα πξνθχςεη ε αλάγθε εηζαγσγήο ηεο έλλνηαο. Σέινο, γίλεηαη ζπδήηεζε γηα ηελ καζεκαηηθή δηαηχπσζε ηεο έλλνηαο θαη ε πεξηγξαθή ηεο Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 15

17 1 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: Ο ΡΟΛΟ ΣΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΓΙΓΑΚΑΛΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ζπκβνιηθά, γξαθηθά, ιεθηηθά. Απηφ ζα βνεζήζεη ηνλ καζεηή ζηελ νπζηαζηηθή θαηαλφεζε ηεο έλλνηαο κέζα απφ ην ζρεκαηηζκφ ζσζηψλ εηθφλσλ Διδαζκαλία θευπημάηυν Αξρηθά, κπνξνχκε λα μεθηλήζνπκε κε έλα πξφβιεκα ηεο πξαγκαηηθήο δσήο κέζα ζην νπνίν ζα ελππάξρεη ην θαηλνχξην ζεψξεκα. Μέζα απφ δηαινγηθή επηθνηλσλία πξνζπαζνχκε λα ζέζνπκε ην πξφβιεκα ζε έλα καζεκαηηθφ πιαίζην αθνχ ην κεηαθξάζνπκε ζε καζεκαηηθή γιψζζα. Αλαπαξηζηνχκε ηηο ζπλζήθεο ηνπ ζην πεξηβάιινλ ελφο θαηάιιεινπ καζεκαηηθνχ εθπαηδεπηηθνχ ινγηζκηθνχ. Με ηελ βνήζεηα θαηάιιεια δηακνξθσκέλσλ εξσηήζεσλ ππνθηλνχκε ηνπο καζεηέο ψζηε δηακέζνπ ησλ εξγαιείσλ ηνπ ινγηζκηθνχ λα αλαπηχμνπλ ηελ εξεπλεηηθή ηνπο δξαζηεξηφηεηα. ηφρνο είλαη λα ειέγρνπλ ηηο δηαηζζήζεηο ηνπο θαη λα θαηαγξάθνπλ ηεο ζθέςεηο ηνπο. Με απηήλ ηε δηαδηθαζία, αξγά ε γξήγνξα, ζα παξαηεξεζεί θάηη απφ ηνπο καζεηέο θαη ζα νδεγεζνχλ θπζηνινγηθά ζηε δηακφξθσζε θάπνηαο αξρηθήο, αλεπεμέξγαζηεο, εηθαζίαο. απηφ ην ζεκείν ίζσο είλαη θαηάιιειν λα ππνθηλεζεί κηα ζπδήηεζε πνπ αθνξά ηηο πξνυπνζέζεηο ηζρχνο ηεο εηθαζίαο. Δμεηάδνπκε κήπσο ρξεηάδεηαη λα πξνζηεζνχλ επηπιένλ ππνζέζεηο (ή λ αλαηξεζνχλ πεξηηηέο ππνζέζεηο) ζην ζεψξεκα. Γηα παξάδεηγκα ζε θάπνηα ζεσξήκαηα πξνθχπηνπλ ηειηθά νη παξαθάησ πξνυπνζέζεηο γηα κηα ζπλάξηεζε: ζπλερήο ζε θιεηζηφ δηάζηεκα [α,β] θαη παξαγσγίζηκε ζην αλνηθηφ δηάζηεκα (α,β). Δχινγεο εξσηήζεηο (πξηλ θαηαιήμνπκε ζηηο παξαπάλσ πξνυπνζέζεηο), είλαη γηα παξάδεηγκα, ηη ζα γηλφηαλ αλ ην πεδίν νξηζκνχ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη έλα δηάζηεκα, φρη ππνρξεσηηθά θιεηζηφ; Δμαθνινπζεί λα ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα; Αλ ην πεδίν νξηζκνχ είλαη έλσζε δηαζηεκάησλ ηφηε ηη ζπκβαίλεη; Σέηνηνη πξνβιεκαηηζκνί κπνξνχλ λα βνεζήζνπλ ην καζεηή λα αλαπηχμεη κηα δηεξεπλεηηθή ζθέςε. Μεηά ηνλ έιεγρν ηεο αλαγθαηφηεηαο ησλ ππνζέζεσλ ειέγρνπκε ηελ ηζρχ ή φρη ηνπ αληηζηξφθνπ. Καη απηφ είλαη έλα ζεκαληηθφ ζηνηρείν ηεο καζεκαηηθήο ζθέςεο ην νπνίν νξηζκέλεο θνξέο απνηειεί ηελ αξρή κηαο πνξείαο πνπ νδεγεί ζε άιια ζεκαληηθά ζεσξήκαηα. εκείσζε ην παξάξηεκα Α παξαζέηνπκε έλα πηζαλφ ζελάξην δηδαζθαιίαο ηνπ ζεσξήκαηνο Μέζεο Σηκήο ηνπ Γηαθνξηθνύ Λνγηζκνύ κε ηε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή θαη ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνχ Geogebra. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 16

18 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ 2 ν ΚΔΦΑΛΑΗΟ: ΔΚΠΑΗΓΔΤΣΗΚΑ ΛΟΓΗΜΗΚΑ ΓΗΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ Ζ θχξηα εθαξκνγή ηεο ηερλνινγίαο ζηελ δηδαζθαιία ησλ Μαζεκαηηθψλ είλαη ε ελζσκάησζε εηδηθνχ εθπαηδεπηηθνχ ινγηζκηθνχ ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία. Ζ Άιγεβξα θαη ε Γεσκεηξία ζεσξνχληαη νη δχν ππιψλεο ησλ επίζεκσλ καζεκαηηθψλ. Θα πεξηγξάςνπκε ηηο δχν θχξηεο θαηεγνξίεο καζεκαηηθψλ ινγηζκηθψλ, ηα Λνγηζκηθά Γπλακηθήο Γεσκεηξίαο (DGS) θαη ηα Τπνινγηζηηθά πζηήκαηα Άιγεβξαο (CAS) θαη ζα ζρνιηάζνπκε νξηζκέλα απ απηά. 2.1 Λογιζμικά Γςναμικήρ Γευμεηπίαρ (Dynamic Geometry Software ή DGS) Δίλαη εξγαιεία πνπ έρνπλ ζρεδηαζζεί γηα ηε δηδαθηηθή ηεο Γεσκεηξίαο θαη επηηξέπνπλ ηνλ δπλακηθφ ρεηξηζκφ γεσκεηξηθψλ αληηθεηκέλσλ θαη γεληθά γξαθηθψλ αλαπαξαζηάζεσλ. Γηαζέηνπλ πξσηνγελείο εληνιέο θαηαζθεπήο φπσο ηνπ ζεκείνπ θαη ηεο επζείαο αιιά θαη άιιεο εληνιέο φπσο ζεκείν ζε αληηθείκελν, ζεκείν ζην κέζν ηκήκαηνο, κεζνθάζεην, παξάιιειε, θύθινπο θιπ. Σν ηδηαίηεξν ραξαθηεξηζηηθφ ηνπο είλαη φηη ν καζεηήο κπνξεί λα επηιέμεη θάπνην ζεκείν ηεο θαηαζθεπήο θαη λα ην ζχξεη κε ην πνληίθη πξνθαιψληαο αιινίσζε ηνπ ζρήκαηνο. Ζ αιινίσζε απηή δηαηεξεί ηηο ηδηφηεηεο ηεο θαηαζθεπήο. Ζ δηαδηθαζία ηνπ ζπξζίκαηνο, φηαλ θαζνδεγείηαη δηδαθηηθά κε θαηάιιειν ηξφπν κπνξεί λα απνηειέζεη βαζηθφ ζηνηρείν ηεο καζεζηαθήο δηαδηθαζίαο γηα ηε γεσκεηξία ζην πιαίζην ηεο καζεκαηηθήο δξάζεο. Ο Κπλεγφο (2007, ζει. 62) αλαθέξεη φηη ε έξεπλα ησλ Arzarello et al. (2002) έρεη δείμεη φηη νη καζεηέο ζχξνπλ γεσκεηξηθά αληηθείκελα κε ηξεηο δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο Γηα λα δνπλ πσο θηλνχληαη ηα αληηθείκελα κε ζηφρν ηελ αλαδήηεζε εηθαζίαο. Γηα λα δηαπηζηψζνπλ ην απνηέιεζκα κηαο εηθαζίαο. Γηα λα παξαηεξήζνπλ ηελ ηξνρηά ελφο γεσκεηξηθνχ ηφπνπ. Γλσζηά Λνγηζκηθά Γπλακηθήο Γεσκεηξίαο είλαη ηα Gabri Geometry θαη Geometer s Sketchpad ηα νπνία έρνπλ κεηεθξαζζεί θαη ζηα Διιεληθά. 2.2 Υπολογιζηικά Σςζηήμαηα Άλγεβπαρ (Computer Algebra Systems ή CAS) Δίλαη εξγαιεία πνπ έρνπλ ζρεδηαζζεί θπξίσο γηα ηε δηδαθηηθή ηεο Άιγεβξαο θαη ηεο Αλάιπζεο. Δίλαη κία εμέιημε ησλ γισζζψλ πξνγξακκαηηζκνχ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαλ αξρηθά γηα ηε ζχληαμε αιγεβξηθψλ εθθξάζεσλ. Οη γιψζζεο πξνγξακκαηηζκνχ δπζθφιεπαλ ηνπο ζπνπδαζηέο. Σψξα ν καζεηήο ζπληάζζεη εχθνια αιγεβξηθέο εθθξάζεηο ηηο επεμεξγάδεηαη, παξαηεξεί ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ζπλαξηήζεσλ, ηνλ ηξφπν πνπ απηέο κεηαζρεκαηίδνληαη φηαλ αιιάδνπκε ηνπο ζπληειεζηέο ηνπο. Απηέο νη δπλαηφηεηεο δίλνπλ θάπνην λφεκα ζηε κεηαβιεηή, θαη ηε ζπλάξηεζε. Ο καζεηήο κπνξεί λα δεη ηελ γξαθηθή επίιπζε εμηζψζεσλ αιιά θαη λα δεη δηαθνξεηηθέο αλαπαξαζηάζεηο κηαο ζπλάξηεζεο. Απηφ πηζαλφ λα ηνλ βνεζήζεη λα θαηαλνήζεη θαιχηεξα ηηο έλλνηεο απηέο. Αθφκε κπνξεί λα ππνινγίζεη θιίζεηο, εκβαδά, φγθνπο, άπεηξεο ζεηξέο. Σα CAS ινγηζκηθά επεμεξγάδνληαη κεηαβιεηέο, εμηζψζεηο θαη ζπλαξηήζεηο θαη παξέρνπλ άκεζνπο ππνινγηζκνχο (Lavicza 2007). Παξέρνπλ δπλαηφηεηεο γηα δηεξεχλεζε θαη έιεγρν ηα νπνία επηθνπξνχλ ηε κάζεζε ζε αιγεβξηθά δεηήκαηα. Οη πην επξέσο ρξεζηκνπνηεκέλεο εθαξκνγέο είλαη πξνγξάκκαηα φπσο ην Mathematica, Maple, Derive, MuPaD θιπ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 17

19 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ρήκα 2: Σα CAS απφ παξνπζίαζε ηνπ Lavicza (2007) Πνιιέο έξεπλεο (Lavicza 2006, Kreis 2004) (πεγή Hohenwarter et.al., 2008) δείρλνπλ φηη απηά ηα παθέηα ινγηζκηθνχ κπνξνχλ λα ελζαξξχλνπλ ηελ αλαθάιπςε θαη ηνλ πεηξακαηηζκφ ζηηο αίζνπζεο ησλ ζρνιείσλ θαη ε νπηηθνπνίεζε ε νπνία παξέρνπλ κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί απνηειεζκαηηθά γηα ηελ παξαγσγή εηθαζηψλ. Δλψ ηα CAS είλαη δχζθνια ζηε ρξήζε ηνπο θαη απαηηνχλ αξθεηφ ρξφλν γηα ηελ εθκάζεζή ηνπο (θαη επνκέλσο κπνξνχλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ ζηελ αλψηαηε εθπαίδεπζε), ηα DGS κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζνχλ αθφκε θαη ζηα δεκνηηθά ζρνιεία, ιφγσ ηνπ ηξφπνπ αιιειεπίδξαζεο κε ην ρξήζηε πνπ βαζίδεηαη ζηελ θίλεζε ηνπ πνληηθηνχ (mousedriven user interface). Χζηφζν, ηα CAS θαη ηα DGS είλαη δηαθνξεηηθέο καζεκαηηθέο θαηαζθεπέο κε ζπλέπεηα λα κελ ππάξρεη (ζηα ηξέρνληα καζεκαηηθά ινγηζκηθά) ε νπζηαζηηθή ζχλδεζε κεηαμχ άιγεβξαο θαη γεσκεηξίαο. Απνπζηάδεη δειαδή «ε δνθφο» πνπ ζπλδέεη ηνπο δχν ππιψλεο ησλ καζεκαηηθψλ, θαη έλαο απφ ηνπο ιφγνπο πνπ ζπκβαίλεη απηφ, πηζαλφ λα είλαη φηη, ζε πνιιέο ρψξεο ε γεσκεηξία θαη ε άιγεβξα είλαη μερσξηζηά καζήκαηα ζηα αλαιπηηθά πξνγξάκκαηα ζπνπδψλ ηνπο. Σα ηειεπηαία ρξφληα φκσο, φπσο επηζεκαίλνπλ νη Hohenwarter θαη Jones (2007), γίλεηαη πξνζπάζεηα ηα κελ λα πεξηέρνπλ θάπνηα γλσξίζκαηα απφ ηα δε θαη αληίζηξνθα. Αλαγλσξίδεηαη δειαδή ε αλάγθε λα ελζσκαησζνχλ ηα CAS θαη DGS ζε έλα εληαίν ινγηζκηθφ. 2.3 Φαπακηηπιζηικά οπιζμένυν μαθημαηικών λογιζμικών Παξαθάησ ζα αλαθέξνπκε θάπνηα ραξαθηεξηζηηθά θαη ζχληνκα ζρφιηα γηα νξηζκέλα ινγηζκηθά καζεκαηηθψλ φπσο ην Geometer s Sketchpad, Cabri Geometry, θαη Function Probe ηα νπνία δηδάρζεθαλ ζηα πιαίζηα ηνπ παξφληνο κεηαπηπρηαθνχ πξνγξάκκαηνο ζπνπδψλ θαζψο θαη ησλ Euclidraw, Derive 6 θαη TI-Nspire CAS φπσο ηα πεξηεγεζήθακε θαηεβάδνληαο ηε δνθηκαζηηθή ηνπο έθδνζε απφ ην Γηαδίθηπν. ηα ινγηζκηθά απηά ειέγμακε ηε ρξεζηηθφηεηά ηνπο ζηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ (θαη ηδηαίηεξα ηνπ Λνγηζκνχ). Δθείλν ζην νπνίν δίλνπκε ζεκαζία είλαη αλ ην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ κπνξεί λα ελζαξξχλεη ηε δηεξεχλεζε κε ζθνπφ ηε δεκηνπξγία εηθαζηψλ θαη ηελ «αλαθάιπςε» ησλ καζεκαηηθψλ ελλνηψλ. Θα Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 18

20 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ εζηηάζνπκε θπξίσο ζηνπο παξάγνληεο: επθνιία εθκάζεζεο, ηξφπνο αιιειεπίδξαζεο ηνπ ινγηζκηθνχ κε ην ρξήζηε (άκεζνο ή κε ζχλζεηε ελέξγεηα), θαη ηξφπνο δηαζχλδεζεο ησλ αιγεβξηθψλ θαη γεσκεηξηθψλ αλαπαξαζηάζεσλ ησλ καζεκαηηθψλ αληηθεηκέλσλ (ζηαηηθφο ή δπλακηθφο). Λέγνληαο δπλακηθή δηαζύλδεζε ησλ δηαθνξεηηθψλ αλαπαξαζηάζεσλ ελφο αληηθεηκέλνπ ελλννχκε φηη ζε θάζε κεηαβνιή ηεο κηαο αλαπαξάζηαζεο άκεζα θαη κε αλάινγν ηξφπν ελεκεξψλεηαη ή άιιε. Οη παξάγνληεο απηνί πηζηεχνπκε φηη ζπκβάιινπλ ζηελ απνδνρή ηνπ ινγηζκηθνχ απφ κε κπεκέλνπο ρξήζηεο θαη ηειηθά ζηελ παξνρή πιεξέζηεξσλ, απφ δηδαθηηθήο πιεπξάο, εκπεηξηψλ. Σέινο εμεηάδνπκε θαη ηνλ παξάγνληα αλ ην ινγηζκηθφ κπνξεί λα αλαθηεζεί ειεχζεξα απφ ην Γηαδίθηπν ην νπνίν απνθηά νπζηαζηηθή ζεκαζία φζνλ αθνξά ηελ επθνιφηεξε εμάπισζε ηεο κάζεζεο θαη ηεο δηδαζθαιίαο ησλ καζεκαηηθψλ ζηνλ επξχηεξν πιεζπζκφ δηακέζνπ ηεο αιιεινυπνζηήξημεο νιφθιεξσλ θνηλνηήησλ ρξεζηψλ ζε παγθφζκην επίπεδν Cabri Geometry II Σν Cabri Geometry II είλαη έλα ινγηζκηθφ θαζαξά δπλακηθήο γεσκεηξίαο. Χο πξνο ηηο αιγεβξηθέο ηνπ δπλαηφηεηεο ε θαηαζθεπή θαη κφλν κηαο γξαθηθήο παξάζηαζεο είλαη πνιχπινθε δηαδηθαζία θαη γίλεηαη κφλν κέζα απφ ρξήζε γεσκεηξηθψλ εξγαιείσλ φπσο ηνπ γεσκεηξηθνύ ηόπνπ ζεκείνπ φηαλ έλα άιιν ζεκείν κεηαθηλείηαη ζηνλ νξηδφληην άμνλα. Θα ην ραξαθηεξίδακε κέηξηαο δπζθνιίαο ζηε ρξήζε ηνπ γηα ηνλ αξράξην. Γελ είλαη ειεχζεξν ινγηζκηθφ. ρήκα 3: Ζ νζφλε αιιειεπίδξαζεο ηνπ Cabri Geometry II Function Probe Αλαπηχζζεηαη ζε ηξία μερσξηζηά παξάζπξα (Γξάθεκα, Πίλαθαο, Αξηζκνκεραλή) ηα νπνία πξέπεη θάζε θνξά λα ηα ηαθηνπνηήζεηο ζηελ νζφλε αλ ηα ρξεηάδεζαη θαη ηα ηξία ηαπηφρξνλα. ρεδηάδεη άκεζα γξαθηθέο παξαζηάζεηο απιά κε ηελ εηζαγσγή ηνπ ηχπνπ ηεο ζπλάξηεζεο ζηε ζέζε y =. πνπ αλνίγεη κεηά ηελ ελεξγνπνίεζε ηνπ αληίζηνηρνπ εξγαιείνπ ηεο εξγαιεηνζήθεο. Έρεη πνιχ θαιέο δπλαηφηεηεο κεγέζπλζεο ζην γξαθηθφ πεξηβάιινλ ηνπ. Σν παξάζπξν ηνπ πίλαθα επηθνηλσλεί κε ην γξάθεκα κε ηελ έλλνηα φηη κπνξνχκε λα ζηείινπκε αξηζκεηηθά δεδνκέλα απ ηνλ πίλαθα ζην γξάθεκα θαη θαηφπηλ λα ηα ζπλδέζνπκε ψζηε λα πξνθχςεη πεξίπνπ ε κνξθή ηεο θακπχιεο πνπ ηα ζπλδέεη. Θα ην ραξαθηεξίδακε ζρεηηθά απιφ ζηε ρξήζε ηνπ αιιά απ ηελ άιιε δελ είλαη θαζφινπ ινγηζκηθφ δπλακηθήο γεσκεηξίαο θαη ζα ην ραξαθηεξίδακε ζηαηηθφ. Γελ είλαη ειεχζεξν ινγηζκηθφ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 19

21 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ρήκα 4: Ζ νζφλε αιιειεπίδξαζεο ηνπ Function Probe Geometer s Sketchpad Σν Geometer s Sketchpad είλαη έλα ινγηζκηθφ δπλακηθήο γεσκεηξίαο ην νπνίν επηπιένλ κπνξεί λα ζρεδηάδεη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ζπλαξηήζεσλ. Δπηπιένλ βξίζθεη θαη ζρεδηάδεη ζρεηηθά εχθνια ηελ παξάγσγν κηαο ζπλάξηεζεο. Ζ εθαπηνκέλε κηαο θακπχιεο ρξεηάδεηαη κία φρη απιή δηαδηθαζία γηα λα ζρεδηαζζεί. Γελ ππνινγίδεη. νινθιεξψκαηα. Έλα ραξαθηεξηζηηθφ πνπ ζα δπζθνιέςεη έλαλ κε κπεκέλν ρξήζηε είλαη φηη ζρεδφλ φιεο νη θαηαζθεπαζηηθέο εληνιέο ηεο γξακκήο κελνχ είλαη απελεξγνπνηεκέλεο. Δλεξγνπνηνχληαη κφλν αλ δεκηνπξγήζνπκε θαη επηιέμνπκε ηα αληηθείκελα πάλσ ζηα νπνία ζα εθαξκφζνπκε ηελ εληνιή. Γειαδή γηα λα θέξνπκε κία θάζεηε ζε κηα επζεία απφ έλα ζεκείν πξέπεη πξψηα λα επηιέμνπκε ηα αλαγθαία αληηθείκελα πνπ «ζπκκεηέρνπλ» ζηελ θαηαζθεπή δειαδή έλα ζεκείν θαη κηα επζεία θαη κεηά ελεξγνπνηείηαη ή αληίζηνηρε εληνιή θαηαζθεπήο. Γελ είλαη ειεχζεξν ινγηζκηθφ. ρήκα 5: Ζ νζφλε αιιειεπίδξαζεο ηνπ Geometer s Sketchpad Euclidraw Σν EucliDraw μεθίλεζε ζην Παλεπηζηήκην Κξήηεο θαη ε βειηίσζή ηνπ ζπλερίδεηαη Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 20

22 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ κέρξη ζήκεξα. Σν θίλεηξν γηα ηελ αλάπηπμε ηνπ πξνγξάκκαηνο ήηαλ ε επηζπκία θαηαζθεπήο ελφο εξγαιείνπ, ην νπνίν ζα κπνξνχζε λα παξάγεη «δσληαλά» ζρήκαηα. «Η Γεσκεηξία απνηειεί έλα επίηεπγκα ηνπ Διιεληθνύ πλεύκαηνο πνπ πεξηθξνλήζεθε θαη παξαγθσλίζηεθε από ηα Διιεληθά ζρνιεία, ράξηλ άιισλ πην κνληέξλσλ θιάδσλ ησλ Μαζεκαηηθώλ. Ωζηόζν ε ειιεληθή γιώζζα, κε ηελ ιέμε ά-ζρεκν, εύζηνρα δειώλεη ηη ζεκαίλεη ε έιιεηςε ζρήκαηνο» ( Σν ινγηζκηθφ Euclidraw είλαη έλα ινγηζκηθφ κε ην νπνίν κπνξείο λα θάλεηο θαη γεσκεηξία θαη άιγεβξα. Γελ ζπλδέεη φκσο κε δπλακηθφ ηξφπν ηηο γεσκεηξηθέο θαη ηηο αιγεβξηθέο αλαπαξαζηάζεηο ησλ καζεκαηηθψλ αληηθεηκέλσλ. Γελ ζα ην ραξαθηεξίδακε δχζθνιν γηα ηνλ αξράξην. Παξέρεη ζην ρξήζηε ην ρξήζηκν εξγαιείν λα ζρεδηάδεη ηελ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο θαη ηε κεγέζπλζε ελφο ηκήκαηφο ηεο ζηελ ίδηα νζφλε θαη έηζη κπνξνχκε παξαηεξνχκε ηελ θακπχιε φπσο ήηαλ αξρηθά θαη ηαπηφρξνλα θαη ην κεγεζπζκέλν ηκήκα ηεο. Γελ είλαη ειεχζεξν ινγηζκηθφ. ρήκα 6: Ζ νζφλε αιιειεπίδξαζεο ηνπ Euclidraw Derive 6 Μία εηθφλα ηεο νζφλεο ηνπ Derive 6 είλαη ε παξαθάησ φπνπ δεκηνπξγήζακε ηε ζπλάξηεζε f(x) = x 2 ζην ρψξν ησλ γξαθεκάησλ (δχν δηαζηάζεσλ) θαη ηνπνζεηήζακε ζε θαηαθφξπθε παξάζεζε ην παξάζπξν ηεο άιγεβξαο. Μεηαμχ ησλ δχν αλαπαξαζηάζεσλ δελ ππάξρεη δπλακηθή δηαζχλδεζε. Σν ινγηζκηθφ έρεη κεγάιε ππνινγηζηηθή ηθαλφηεηα (ππνινγίδεη αφξηζηα θαη νξηζκέλα νινθιεξψκαηα, ζεηξέο, δηαρεηξίδεηαη πίλαθεο, ζρεδηάδεη ηξηζδηάζηαηα γξαθήκαηα θιπ) αιιά δελ είλαη θαηαζθεπαζκέλν ψζηε λα επηηξέπεη δηεξεπλεηηθέο δηεξγαζίεο δηακέζνπ π.ρ. κεηαθίλεζεο ζεκείσλ πάλσ ζε θακπχιεο ηξνρηέο ψζηε λα παξαηεξνχκε ηηο επηπηψζεηο πνπ έρεη απηή ε κεηαθίλεζε ζην δπλακηθφ δηάγξακκα. Με δχν ιφγηα ε θηινζνθία ηνπ είλαη: Δηζάγσ «αληηθείκελν» (π.ρ. κία ζπλάξηεζε) επηιέγνπκε «πξάμε» π.ρ. νξηζκέλν νινθιήξσκα θαη παίξλσ «ηειηθφ απνηέιεζκα» δειαδή ηνλ αξηζκφ πνπ εθπξνζσπεί ην νξηζκέλν νινθιήξσκα. Γελ είλαη ειεχζεξν ινγηζκηθφ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 21

23 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ρήκα 7: Ζ νζφλε αιιειεπίδξαζεο ηνπ Derive TI-Nspire CAS To TI-Nspire CAS είλαη έλα ινγηζκηθφ κε κεγάιεο ππνινγηζηηθέο δπλαηφηεηεο θαη κεγάιεο δπλαηφηεηεο δπλακηθήο γεσκεηξίαο. Τπάξρεη δηαζχλδεζε κεηαμχ άιγεβξαο θαη γεσκεηξίαο αιιά φρη ζε κεγάιν βαζκφ. Ζ κφλε δηαζχλδεζε πνπ παξαηεξήζακε κεηαμχ ησλ αιγεβξηθψλ θαη γξαθηθψλ αλαπαξαζηάζεσλ είλαη γηα ηα ζεκεία, γηα ηηο επζείεο θαη ηηο ζπλαξηήζεηο. Πην ζπγθεθξηκέλα, δηαζέηεη εξγαιεία κε ηα νπνία κπνξνχκε (βάδνληαο ην πνληίθη ζε έλα ζεκείν ή ζε κηα επζεία, ή ζε κηα γξαθηθή παξάζηαζε ζην ρψξν ησλ γξαθεκάησλ) λα δνχκε ηηο αξηζκεηηθέο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ, ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο θαη ηνλ ηχπν ηεο ζπλάξηεζεο. Σν κεηνλέθηεκα ζε ζρέζε κε ην GeoGebra, φπσο ζα θαηαδεηρζεί ζε επφκελε παξάγξαθν, είλαη φηη ζην πεδίν εηζαγσγήο δεδνκέλσλ κπνξνχκε λα εηζάγνπκε κφλν ηχπνπο ζπλαξηήζεσλ. Απηφ ζπλεπάγεηαη φηη δελ κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε κία ηηκή (π.ρ. κία θιίζε εθαπηνκέλεο ή έλα νξηζκέλν νινθιήξσκα) σο απηφλνκν αληηθείκελν (αξηζκφ) θαη λα ην εηζάγνπκε ζην πεδίν εηζαγσγήο (π.ρ. σο ηεηαγκέλε ελφο ζεκείνπ) ηνπ νπνίνπ ε ηεηκεκέλε x κεηαβάιιεηαη ζ έλα πεδίν νξηζκνχ ζπλάξηεζεο, ψζηε κεηαβάιινληαο ην x λα δνχκε λα ραξάζζεηαη ε παξάγσγνο ή ε παξάγνπζα ηεο ζπγθεθξηκέλεο ζπλάξηεζεο. Γελ είλαη ειεχζεξν ινγηζκηθφ. ρήκα 8: Ζ νζφλε αιιειεπίδξαζεο ηνπ TI-Nspire CAS Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 22

24 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ 2.4 Το λογιζμικό GeoGebra Σν Geogebra είλαη έλα πξφζθαηα δεκνζηεπκέλν ινγηζκηθφ πνπ ζπλδέεη ηελ γεσκεηξία ηελ άιγεβξα θαη ην ινγηζκφ. Αλαπηχρζεθε γηα ηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ ζηα ζρνιεία απ ηνλ Markus Hohenwarter θαη απφ κηα δηεζλή νκάδα πξνγξακκαηηζηψλ. Έρεη κεηαθξαζηεί ζε 36 γιψζζεο θαη είλαη ειεχζεξν ινγηζκηθφ. Σν Geogebra ζπλδέεη κε άκεζν θαη απηφκαην ηξφπν ηνπο δχν ηχπνπο ινγηζκηθψλ (φπσο δείρλεη θαη ην φλνκα ηνπ: Geometry θαη algebra). Πξνζπαζεί λα ζπλδπάζεη ηελ επθνιία ρξήζεο ησλ DGS κε ηηο κεγάιεο ππνινγηζηηθέο δπλαηφηεηεο ησλ CAS. Ζ βαζηθή ηδέα ηνπ ινγηζκηθνχ είλαη λα εληαρζνχλ ε γεσκεηξία, ε άιγεβξα, θαη ν ινγηζκφο, πνπ ζε άιια ινγηζκηθά αληηκεησπίδνληαη μερσξηζηά, ζε έλα εληαίν, εχθνιν ζηε ρξήζε, παθέην γηα ηε κάζεζε θαη ηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ πνπ μεθηλάεη απφ ην Γεκνηηθφ θαη θηάλεη κέρξη ην Παλεπηζηήκην. Ζ ακθίδξνκε επηθνηλσλία κεηαμχ ηεο γεσκεηξίαο θαη ηεο άιγεβξαο ζηελ ίδηα αιιειεπηδξαζηηθή νζφλε παξέρεη κεγάιεο δπλαηφηεηεο ζηε καζεκαηηθή εθπαίδεπζε. Ακθίδξνκε επηθνηλσλία ζεκαίλεη φηη κε ηελ πιεθηξνιφγεζε κηαο εμίζσζεο ζην παξάζπξν ηεο άιγεβξαο εκθαλίδεηαη ην γξάθεκα ηεο εμίζσζεο ζην (δπλακηθφ) παξάζπξν ησλ γξαθεκάησλ. Οκνίσο, ζχξνληαο κε ην πνληίθη ην γξάθεκα ζην νξζνγψλην ζχζηεκα αμφλσλ, ε εμίζσζε ηνπ γξαθήκαηνο αιιάδεη αλαιφγσο. Δπνκέλσο ην Geogebra πξνζθέξεη κηα ζηελή δηαζχλδεζε αλάκεζα ζηηο δπλαηφηεηεο απεηθφληζεο ησλ CAS θαη ζηε δπλακηθή κεηαβνιή ησλ DGS. ρήκα 9: Ζ νζφλε αιιειεπίδξαζεο ηνπ Geogebra H Lu (2008) αλαθέξεη φηη νη Edwards and Jones (2006) ζεσξνχλ φηη ην Geogebra έρεη έλα ζεκαληηθφ γλψξηζκα: Οη δξαζηεξηφηεηέο ηνπ απαηηνχλ πςειφ επίπεδν ζθέςεο θαη επηηξέπνπλ ζηνπο καζεηέο λα εκπιαθνχλ κε ηηο δπλαηφηεηεο πνπ πξνζθέξεη ην ινγηζκηθφ, φπσο κάζεζε δηακέζνπ αλαηξνθνδφηεζεο, κεηαβάιινληαο παξακέηξνπο, βιέπνληαο ηα απνηειέζκαηα ησλ κεηαβνιψλ, βιέπνληαο κνληέια, θάλνληαο δηαζπλδέζεηο, δνπιεχνληαο κε δπλακηθέο εηθφλεο θιπ. Τπάξρεη κηα απμαλφκελε πεπνίζεζε κεηαμχ ησλ εθπαηδεπηηθψλ ζηα καζεκαηηθά φηη ην GeoGebra έρεη ηε δπλαηφηεηα λα κεηακνξθψζεη ηελ εθπαίδεπζε ζηα καζεκαηηθά (Sangwin, 2007, Jones θαη Edwards, 2006). Γελ πξέπεη λα μερλάκε, σζηφζν, φηη νη εθπαηδεπηηθνί δηαδξακαηίδνπλ δσηηθφ ξφιν ζηελ ελίζρπζε ηεο κάζεζεο, θαη ε ηερλνινγία δελ κπνξεί λα αληηθαηαζηήζεη ηνπο εθπαηδεπηηθνχο (Sutherland et al., 2004). Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 23

25 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ εκείσζε Ζ έξεπλα ηεο Lu (2008) έρεη σο ζηφρν λα παξέρεη ηελ πξψηε απζηεξή αμηνιφγεζε απηνχ ηνπ ειεχζεξνπ ινγηζκηθνχ Geogebra θαη πψο κπνξεί λα ζηεξίμεη ή λα εληζρχζεη ηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ. Ζ ζεκαζία απηήο ηεο έξεπλαο δελ είλαη κφλν ε έξεπλα γηα ηνλ ηξφπν ρξήζεο ηνπ GeoGebra θαη πψο κπνξεί λα ελζσκαησζεί ζηε δηδαζθαιία είηε ηεο γεσκεηξίαο, είηε ηεο άιγεβξαο ρσξηζηά, αιιά ην πην ζεκαληηθφ, πψο ε δηδαζθαιία ηεο γεσκεηξίαο θαη ηεο άιγεβξαο κπνξεί λα ζπλδπαζζεί κε ηε βνήζεηα ηνπ GeoGebra, ζπκβάιινληαο έηζη ζηελ θαιχηεξε θαηαλφεζε ησλ κεηαμχ ηνπο ζρέζεσλ απφ ηνπο καζεηέο. Σα απνηειέζκαηα ηεο έξεπλαο πεξηγξάθνληαη αλαιπηηθά ζηελ εξγαζία "Linking Geometry and Algebra: A multiplecase study of Upper-Secondary mathematics teachers conceptions and practices of GeoGebra in England and Taiwan". 2.5 Γιεςκολύνζειρ πος παπέσει ηο Geogebra Θα πεξηγξάςνπκε θάπνηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ Geogebra ηα νπνία ζπλζέηνπλ έλα εχρξεζην ινγηζκηθφ παθέην γηα ηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ ζηε Μέζε Δθπαίδεπζε Η οθόνη διεπαθήρ Ζ δηεπζέηεζε ζρεδφλ φισλ ησλ δπλαηνηήησλ ελφο ινγηζκηθνχ ζηελ ζηάληαξ (αξρηθή) νζφλε ηαθηνπνηεκέλσλ κε έλα ιεηηνπξγηθφ θαη εχρξεζην ηξφπν είλαη έλα απφ ηα βαζηθά πιενλεθηήκαηα ελφο εθπαηδεπηηθνχ ινγηζκηθνχ. ηελ αξρηθή νζφλε ηνπ Geogebra βξίζθνληαη ην παξάζπξν ηεο άιγεβξαο, ην παξάζπξν ησλ γξαθηθψλ (ηα δχν πεξηζζφηεξν ρξεζηκνπνηνχκελα) θαη ην παξάζπξν ηνπ Λνγηζηηθνχ θχιινπ 1. Ζ γξακκή εηζαγσγήο δεδνκέλσλ θαη ν θαηάινγνο ησλ εληνιψλ ηνπ ινγηζκηθνχ βξίζθνληαη επίζεο ζηελ ζηάληαξ πξνβνιή ηεο νζφλεο. Ζ πξνβνιή ηεο νζφλεο κπνξεί λα εκπινπηηζζεί πεξαηηέξσ απφ ην κελνχ Πξνβνιή αλάινγα κε ην ηη ζέινπκε λα θάζε θνξά λα θαίλεηαη. 1 Γελ θξίζεθε απαξαίηεην ζηε δηδαζθαιία ησλ ελλνηψλ ηνπ ινγηζκνχ. ηα θειηά ηνπ ινγηζηηθνχ θχιινπ θαηαρσξνχληαη αληηθείκελα (φπσο ζπληεηαγκέλεο ζεκείσλ, ζπλαξηήζεηο, εληνιέο θιπ) θαη άκεζα απνθηνχλ ηε δηεχζπλζε ηνπ αληίζηνηρνπ θειηνχ πνπ είλαη κνλαδηθή (π.ρ. θειί A 1, θειί Β 3 ). Απηή ε δηεχζπλζε κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ζε εθθξάζεηο θαη εληνιέο ψζηε απηφκαηα λα ηαπηνπνηεζεί ην αληίζηνηρν πεξηερφκελν ηνπ θειηνχ. ρήκα 10: Ζ ρσξνζέηεζε ηεο νζφλεο ηνπ Geogebra Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 24

26 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Δλεξγνπνηψληαο ην εξγαιείν κε ην πνληίθη κπνξνχκε λα κεηαθηλήζνπκε αληηθείκελα ζην παξάζπξν γξαθηθψλ ζχξνληάο ηα κε ην πνληίθη. Σαπηφρξνλα ελεκεξψλεηαη δπλακηθά (απηφκαηα) θαη ε αιγεβξηθή αλαπαξάζηαζε ζην παξάζπξν ηεο άιγεβξαο Οπγάνυζη επγαλειοθήκηρ Κάζε εηθνλίδην ζηε γξακκή εξγαιείσλ πεξηέρεη έλαλ θαηάινγν απφ παξφκνηα εξγαιεία. Γηα λα ηα δνχκε θαη λα επηιέμνπκε θάπνην θάλνπκε θιηθ ζην κηθξφ βέινο θάησ δεμηά ηνπ εηθνληδίνπ. ρήκα 11: Οη νκάδεο εξγαιείσλ ηνπ Geogebra Η γπαμμή ειζαγυγήρ δεδομένυν Υξεζηκνπνηψληαο ηε γξακκή εηζαγσγήο δεδνκέλσλ κπνξνχκε λα εηζάγνπκε αιγεβξηθέο εθθξάζεηο φπσο αξηζκνχο, γσλίεο, δηαλχζκαηα, θσληθέο ηνκέο, ζπλαξηήζεηο, παξακεηξηθέο θακπχιεο. Σηο εηζαγσγέο ηηο πινπνηνχκε κε ηε βνήζεηα ζπληεηαγκέλσλ ή εμηζψζεσλ. Με ην πάηεκα ηνπ Enter εκθαλίδεηαη ηαπηφρξνλα ε γξαθηθή ηνπο αλαπαξάζηαζε ζην παξάζπξν ησλ γξαθηθψλ. Γηα παξάδεηγκα ε εηζαγσγή f(x) = x^2 καο δίλεη ηνλ ηχπν ηεο ζπλάξηεζεο f ζην παξάζπξν ηεο άιγεβξαο θαη ηε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε ζην παξάζπξν γξαθηθψλ. εκείσζε Αλ ζέινπκε λα απνθξχςνπκε ηελ αιγεβξηθή αλαπαξάζηαζε ελφο αληηθεηκέλνπ κπνξνχκε λα ην πξνζδηνξίζνπκε σο βνεζεηηθό αληηθείκελν θάλνληαο δεμί θιηθ ζην αληηθείκελν θαη επηιέγνληαο ηδηόηεηεο ζην παξάζπξν δηαιφγνπ. Καηφπηλ επηιέγνπκε βνεζεηηθό αληηθείκελν. Μπνξνχκε λα απνθξχςνπκε ηελ πξνβνιή ησλ βνεζεηηθψλ αληηθεηκέλσλ απ ην κελνχ Πξνβνιή ζηε γξακκή Μελνχ Επαναπποζδιοπιζμόρ ανηικειμένος Κάλνληαο δηπιφ θιηθ ζε νπνηαδήπνηε αλαπαξάζηαζε ελφο καζεκαηηθνχ αληηθεηκέλνπ, ζην παξάζπξν δηαιφγνπ πνπ αλαδχεηαη κπνξνχκε λα επαλαπξνζδηνξίζνπκε ηνλ αιγεβξηθφ ηχπν ηνπ αληηθεηκέλνπ. Δίλαη έλα πνιχ ρξήζηκν εξγαιείν δηφηη: Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 25

27 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ δίλεη ηε δπλαηφηεηα λα επαλαθέξνπκε έλα αληηθείκελν ζηελ αξρηθή ηνπ ζέζε ζηελ νζφλε, ζηελ πεξίπησζε πνπ ην κεηαθηλήζακε γηα ηελ αλάγθε θάπνηαο δηεξεχλεζεο. ηαλ έρνπκε πινπνηήζεη θάπνηα πνιχπινθε θαηαζθεπή κε αθεηεξία θάπνην ζπγθεθξηκέλν καζεκαηηθφ αληηθείκελν, π.ρ. κηα ζπλάξηεζε f, (γηα λα δηεξεπλήζνπκε θάπνην απνηέιεζκα πνπ καο ελδηαθέξεη), ηφηε κε ηνλ επαλαπξνζδηνξηζκό ηνπ αληηθεηκέλνπ κπνξνχκε λα αιιάμνπκε θαη λα εηζαγάγνπκε νπνηνδήπνηε ηχπν ζηελ f ψζηε λα δνχκε ην απνηέιεζκα ηεο θαηαζθεπήο γηα ηε λέα ζπλάξηεζε ρσξίο λα ρξεηαζηεί λα θάλνπκε ηελ ίδηα θαηαζθεπή εμαξρήο Πποζαπμογή ηηρ επγαλειοθήκηρ Ζ εξγαιεηνζήθε κπνξεί λα πξνζαξκνζζεί επηιέγνληαο πξνζαξκνγή εξγαιεηνζήθεο απ ην κελνχ Δξγαιεία ηεο γξακκήο ησλ κελνχ. Απηφ ρξεζηκεχεη φηαλ ζέισ λα απνθξχςσ θάπνηα εξγαιεία φηαλ εμάγσ δξαζηεξηφηεηεο Geogebra ζην Γηαδίθηπν σο δπλακηθά θχιια εξγαζίαο κε ηελ έλλνηα φηη θαζνξίδνπκε κφλνη καο πφζα εξγαιεία ζεσξνχκε φηη πξέπεη λα έρεη ζηε δηάζεζή ηνπ ν ρξήζηεο γηα λα ηθαλνπνηεζνχλ νη εθπαηδεπηηθνί ζηφρνη ηεο ζπγθεθξηκέλεο δξαζηεξηφηεηαο Δςναμικά θύλλα επγαζίαρ (dynamic worksheet) Σν Geogebra δίλεη ηε δπλαηφηεηα ζηνπο θαζεγεηέο λα αλαπηχμνπλ δπλακηθά θχιια εξγαζίαο (dynamic worksheet). Απηά ηα θχιια εξγαζίαο κπνξνχλ λα εμαρζνχλ εχθνια σο δπλακηθή ηζηνζειίδα, ε νπνία πεξηέρεη έλα δηαδξαζηηθφ applet καδί κε αζθήζεηο δηεξεχλεζεο γηα ηνπο καζεηέο. Μεηά απ ην αλέβαζκα ησλ θχιισλ εξγαζίαο ζην Γηαδίθηπν, νη καζεηέο έρνπλ ηε δπλαηφηεηα λα έρνπλ πξφζβαζε ζε απηά απ ην ζρνιείν φζν θαη απφ ην ζπίηη θαη επνκέλσο δελ ρξεηάδεηαη λα είλαη θαλ εγθαηεζηεκέλν ην Geogebra ζηνπο ππνινγηζηέο ηνπο. Απηά ηα θχιια εξγαζίαο είλαη πιήξσο δπλακηθά, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη φηη ηα ζεκεία κπνξνχλ λα κεηαθηλεζνχλ θαηά κήθνο ησλ γξαθηθψλ παξαζηάζεσλ, νη παξάκεηξνη λα αιιάμνπλ κε ηελ βνήζεηα εηδηθψλ δξνκέσλ (sliders), θαη ην θείκελν λα θαηαγξάθεη απηφκαηα ηηο αιιαγέο. ηα εμαγφκελα δπλακηθά θχιια εξγαζίαο κπνξνχκε λα εηζάγνπκε : ηίηιν, ζπγγξαθέα, εκεξνκελία θαη θάπνην θείκελν πάλσ θαη θάησ απ ην java-applet. Γηα παξάδεηγκα κηα πεξηγξαθή ηεο θαηαζθεπήο θαη θάπνηεο δξαζηεξηφηεηεο - αζθήζεηο γηα ην ρξήζηε. Δπίζεο κπνξνχκε λα πξνζζέζνπκε θάπνηεο ιεπηνκέξεηεο αιιά θαη λα ηξνπνπνηήζνπκε ηηο δηεπθνιχλζεηο γηα ην ρξήζηε φπσο ηελ εκθάληζε ή φρη ηεο εξγαιεηνζήθεο ή ηεο γξακκήο εηζαγσγήο δεδνκέλσλ. 2.6 Tο Geogebra ζηη διδαζκαλία ηος Λογιζμού Ζ δηδαζθαιία ησλ ελλνηψλ ηνπ ινγηζκνχ κε GeoGebra είλαη κηα πεξηνρή πνπ βξίζθεηαη ζε επξεία αλάπηπμε. Μηα πεξηγξαθή ησλ πηζαλψλ εθαξκνγψλ ηνπ Geogebra ζηε δηδαζθαιία ηνπ Λνγηζκνχ δφζεθε ζην 11 th International Congress on Mathematical Education in Mexico απφ ηνπο Hohenwarter et.al. (2008), θαη ηα αλαθέξνπκε ακέζσο παξαθάησ. Οη εηθφλεο είλαη απφ ηελ αληίζηνηρε παξνπζίαζε ησλ Hohenwarter et.al. ε θάπνηεο πεξηπηψζεηο δίλνπκε θάπνηεο επηπιένλ εηθφλεο θαη θάπνηεο πξφζζεηεο παξαηεξήζεηο. Παξάδεηγκα 1: Σέκλνπζα θαη εθαπηνκέλε κηαο ζπλάξηεζεο Σν ινγηζκηθφ κπνξεί λα βνεζήζεη, κε ηελ νπηηθνπνίεζε, ζηελ ππνζηήξημε ηεο Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 26

28 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ θαηαλφεζεο ηνπ πειίθνπ δηαθνξάο, ηεο ζρέζεο κεηαμχ ηεο ηέκλνπζαο θαη ηεο εθαπηνκέλεο, θαη ησλ νξηαθψλ δηαδηθαζηψλ. Σν ζρήκα δείρλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f(x), θαζψο θαη δχν θηλεηά ζεκεία Α = (a, f(a)) θαη Β = (b, f(b)) πνπ βξίζθνληαη ζην γξάθεκα ηεο f. Οη ηηκέο ηνπ πειίθνπ δηαθνξάο f ( b) f ( a) b a εκθαλίδνληαη σο δπλακηθφ θείκελν, ην νπνίν πξνζαξκφδεηαη φηαλ ηα Α ή Β κεηαθηλνχληαη κε ην πνληίθη. Δπηπιένλ, εκθαλίδνληαη ε ηέκλνπζα ΑΒ θαζψο θαη θιίζε ηεο m. Απηή ε δπλακηθή εηθφλα κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί απφ ηνπο καζεηέο γηα λα δηεξεπλήζνπλ ην πειίθν δηαθνξάο σο αξηζκεηηθή πξνζέγγηζε ηεο θιίζεο ηεο εθαπηνκέλεο ζχξνληαο ην ζεκείν Β θαηά κήθνο ηεο θακπχιεο ηεο f(x) πξνο ην ζεκείν Α. Οη καζεηέο βηψλνπλ φηη φηαλ ηαπηίδνληαη ηα δχν ζεκεία ζε έλα, ε ηέκλνπζαο εμαθαλίδεηαη θαη ην πειίθν δηαθνξάο δελ νξίδεηαη. Απηφ ην «πξφβιεκα» είλαη έλα θαιφ ζεκείν εθθίλεζεο γηα ελδηαθέξνπζεο ζπδεηήζεηο ζηελ ηάμε: Γηαηί ε ηέκλνπζα εμαθαλίδεηαη; Πψο κπνξνχκε λα ιχζνπκε ην πξφβιεκα γηα λα πάξνπκε κηα ηηκή γηα ηελ θιίζε; Γηα λα απεηθνλίζνπκε ηελ εηδηθή πεξίπησζε ηεο ηέκλνπζαο πνπ «γίλεηαη» εθαπηνκέλε, ε εθαπηνκέλε κπνξεί λα εκθαληζηεί ρξεζηκνπνηψληαο ην checkbox: Tangent πάλσ δεμηά (ην νπνίν εκθαλίδεη ή απνθξχπηεη ηελ εθαπηνκέλε) ρήκα 12: Σέκλνπζα θαη εθαπηνκέλε κηαο ζπλάξηεζεο f Σέηνηεο εμεξεπλήζεηο επηηξέπνπλ κηα πην νπζηαζηηθή εηζαγσγή ηεο αθεξεκέλεο έλλνηαο ηνπ νξίνπ ηνπ πειίθνπ δηαθνξψλ. ε επφκελε παξάγξαθν ζα πεξηγξάςνπκε θαη πσο κπνξεί λα πινπνηεζεί ζην Geogebra ε δηαηζζεηηθή εξκελεία ηεο εθαπηνκέλεο κηαο ζπλάξηεζεο ζην x σο ηεο θαιχηεξεο γξακκηθήο πξνζέγγηζεο ηεο ζπλάξηεζεο ζηε γεηηνληά ηνπ x, (θνίηα ηo ζρήκα) πνπ πξνηείλνπλ νη Downs & Mamona-Downs (2000). Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 27

29 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ρήκα 13: Ζ εθαπηνκέλε σο ε θαιχηεξε «ηνπηθή» πξνζέγγηζε κηαο ζπλάξηεζεο f Παξάδεηγκα 2: Υάξαμε ηεο ζπλάξηεζεο θιίζεο κηαο ζπλάξηεζεο Σν GeoGebra επηηξέπεη ζηνπο καζεηέο λα νπηηθνπνηήζνπλ ηελ έλλνηα ηεο θιίζεο κηαο ζπλάξηεζεο f σο ζπλάξηεζε ηνπ x. Παξαθάησ ζα πεξηγξάςνπκε κία ηέηνηα δηαδηθαζία. Ζ δπλαηφηεηα πνπ παξέρεη ην Geogebra ηνπ επαλαπξνζδηνξηζκνύ ηνπ αληηθεηκέλνπ θάζε θνξά, επηηξέπεη λα ρξεζηκνπνηεζεί απηή ε δπλακηθή εηθφλα γηα λα δηεξεπλήζεη ν καζεηήο εχθνια θαη γξήγνξα φιεο ηηο βαζηθέο ζπλαξηήζεηο θαη ηηο παξαγψγνπο ηνπο (Tall, 1985d, Little, 2009). Δπηπιένλ, κπνξεί λα βνεζήζεη ηνπο καζεηέο λα εμεξεπλήζνπλ θάπνηνπο θαλφλεο γηα ηελ παξάγσγν ζπλάξηεζε, φπσο γηα παξάδεηγκα γηαηί νη ζηαζεξνί φξνη ζηνλ ηχπν κηαο ζπλάξηεζεο δελ έρνπλ θακία επίπησζε ζηελ παξάγσγν. Με θαηεπζπληήξηεο εξσηήζεηο νη καζεηέο κπνξνχλ λα αλαιχζνπλ ζπζηεκαηηθά ηηο παξαγψγνπο δηαθφξσλ πνιπσλπκηθψλ ζπλαξηήζεσλ φπσο f(x) = x + 2, f(x) = x 2, f(x) = x 3, f(x) = 4x 2. Μεηά ηελ θαηαγξαθή ησλ επξεκάησλ ηνπο ζε κνξθή πίλαθα ζα κπνξνχζαλ λα είλαη ζε ζέζε λα εληνπίδνπλ έλα ππφδεηγκα θαη λα αλαθαιχπηνπλ κφλνη ηνπο νξηζκέλνπο βαζηθνχο θαλφλεο παξαγψγηζεο. ρήκα 14: Υαξάζζνληαο ηε ζπλάξηεζε θιίζεο ηεο sinx Παξαηήξεζε Ζ ηνπνζέηεζε πιέγκαηνο θαη ε ξχζκηζε ηεο ππθλφηεηάο ηνπ κπνξεί λα βνεζήζεη ηηο δηεξεπλήζεηο γηα ηελ εχξεζε ελφο αιγεβξηθνχ ηχπνπ γηα ηελ παξάγσγν ζπλάξηεζε θαη ηε δεκηνπξγία εηθαζηψλ γηα νξηζκέλνπο απινχο θαλφλεο παξαγψγηζεο θπξίσο κνλσλχκσλ αx λ αιιά φρη κφλν. Ο Tall, φπσο ζα πεξηγξάςνπκε ζε επφκελε παξάγξαθν, πξνηείλεη αξρηθά ηνλ ππνινγηζκφ κηαο «πξαθηηθήο» θιίζεο ηεο θακπχιεο κε ηε βνήζεηα κηαο ηέκλνπζαο ΑB γηα κία πνιχ θνληηλή απφζηαζε h ησλ ζεκείσλ Α, Β. Ζ «πξαθηηθή» απηή θιίζε είλαη κία πνιχ ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε ηεο Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 28

30 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ζεσξεηηθήο θιίζεο ζε έλα ζεκείν κηαο θακπχιεο, φπσο δηαπηζηψλεηαη κε ηε βνήζεηα ηεο κεγέζπλζεο ηνπ ινγηζκηθνχ. Έηζη απνθεχγεη αξρηθά ηελ εηζαγσγή ηεο δπζλφεηεο νξηαθήο δηαδηθαζίαο θαη ηελ εηζάγεη αξγφηεξα κε ην εηδηθφ παξάδεηγκα ηεο ζπλάξηεζεο f(x) = 1/x. Παξάδεηγκα 3: Παξάγσγνη, ξίδεο, αθξφηαηα Δδψ νη καζεηέο κπνξνχλ λα δεκηνπξγήζνπλ έλα πνιπψλπκν π.ρ. f(x) = αx 3 +βx 2 +γx+δ κε ηνπο ζπληειεζηέο λα κεηαβάιινληαη απφ sliders. Οη καζεηέο κπνξνχλ λα δνπλ πσο επεξεάδνπλ ην γξάθεκα νη κεηαβνιέο ησλ ζπληειεζηψλ. Δπίζεο αλ ζρεδηάζνπλ θαη ηηο δχν πξψηεο παξαγψγνπο κπνξνχλ λα δνπλ πψο ζπλδένληαη ηα γξαθήκαηά ηνπο. Γηα παξάδεηγκα ε κεηαβνιή ηνπ ζπληειεζηή δ δελ επεξεάδεη θαζφινπ ηηο παξαγψγνπο. Δπίζεο φπνπ κία θακπχιε έρεη αθξφηαην ε παξάγσγφο ηεο έρεη κία ξίδα. Μηα ζπζηεκαηηθή αλάιπζε ηέηνησλ ραξαθηεξηζηηθψλ ησλ πνιπσλχκσλ θαη ησλ παξαγψγσλ ηνπο ζα κπνξνχζε ελδερνκέλσο λα βνεζήζεη ηνπο καζεηέο λα θαηαλνήζνπλ θαιχηεξα ηνπο αιγεβξηθνχο ρεηξηζκνχο ησλ ζπλαξηήζεσλ, λα νπηηθνπνηήζνπλ ηα ραξαθηεξηζηηθά νξηζκέλσλ ζπλαξηήζεσλ, θαη λα βειηηψζνπλ ηηο δεμηφηεηέο ηνπο ζηνλ ζρεδηαζκφ γξαθεκάησλ ζπλαξηήζεσλ θαη ησλ παξαγψγσλ ηνπο. ρήκα 15: Παξάγσγνη, ξίδεο, αθξφηαηα Παξάδεηγκα 4: Γπλακηθφ πνιπψλπκν Taylor Οη θνηηεηέο κπνξνχλ λα νπηηθνπνηήζνπλ ην πξνζεγγηζηηθφ πνιπψλπκν Taylor βαζκνχ n γηα κηα ζπλάξηεζε γχξσ απφ έλα ζεκείν πξνζέγγηζεο Α πνπ θηλείηαη ζηνλ άμνλα ησλ x. Υξεζηκνπνηψληαο έλα slider γηα ην λ νη θνηηεηέο κπνξνχλ λα αιιάμνπλ ηνλ βαζκφ (θαη άξα ην πιήζνο ησλ φξσλ) ηνπ πξνζεγγηζηηθνχ πνιπσλχκνπ Taylor θαη επνκέλσο λα αιιάμνπλ ηελ αθξίβεηα ηεο πξνζέγγηζεο γχξσ απ ην Α. Αθνχ ην ζεκείν Α κπνξεί λα ζπξζεί θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ε αξρηθή ζπλάξηεζε κπνξεί λα πξνζεγγηζζεί ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία. Σαπηφρξνλα ην δπλακηθφ θείκελν πνπ εκθαλίδεη ηελ εμίζσζε ηνπ αληίζηνηρνπ πνιπσλχκνπ Taylor, πξνζαξκφδεηαη απηφκαηα ζ φιεο ηηο ηξνπνπνηήζεηο ηνπ δπλακηθνχ δηαγξάκκαηνο. Δπηπιένλ ην φηη κηα ζπλάξηεζε κπνξεί λα επαλαπξνζδηνξηζζεί (λα αιιάμεη ν ηχπνο ηεο) αλά πάζα ζηηγκή, επηηξέπεη ηελ γξήγνξε δηεξεχλεζε ησλ πνιπσλχκσλ Taylor γηα δηαθνξεηηθέο ζπλαξηήζεηο πνπ καο ελδηαθέξνπλ. Ζ ελζσκάησζε ησλ πνιιαπιψλ αλαπαξαζηάζεσλ (δπλακηθή απεηθφληζε-γξάθεκα, αιγεβξηθή αλαπαξάζηαζε- εμίζσζε) ζηα καζήκαηα ηνπ ινγηζκνχ βνεζνχλ ηνπο θνηηεηέο λα θαηαιάβνπλ θαιχηεξα ηελ έλλνηα ησλ Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 29

31 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ πξνζεγγίζεσλ Taylor θαη ζπγθεθξηκέλα ηνπ ζεκείνπ πξνζέγγηζεο θαη ηνπ βαζκνύ αθξίβεηαο ηεο πξνζέγγηζεο. ρήκα 16: Γπλακηθφ πνιπψλπκν Taylor Παξάδεηγκα 5: Άλσ θαη Κάησ αζξνίζκαηα Σν παξαθάησ ζρήκα νπηηθνπνηεί δπλακηθά ηελ ηδέα ηνπ νινθιεξψκαηνο Riemann ρξεζηκνπνηψληαο θαηψηεξα θαη αλψηεξα αζξνίζκαηα. Δθηφο απφ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζε f, δχν ζεκεία a θαη b κπνξεί λα κεηαθηλεζνχλ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ x, πξνθεηκέλνπ λα ηξνπνπνηήζεη ην δηάζηεκα πνπ κειεηάκε. Υξεζηκνπνηψληαο έλα slider γηα ην n = πιήζνο νξζνγσλίσλ, νη καζεηέο κπνξνχλ λα αιιάμνπλ ηνλ αξηζκφ ησλ νξζνγσλίσλ (κε ίζεο βάζεηο) πνπ ρξεζηκνπνηνχλ γηα λα ππνινγίζνπλ ην άλσ θαη θάησ άζξνηζκα γηα ηε ζπλάξηεζε ζην ζπγθεθξηκέλν δηάζηεκα. Οη ηηκέο ηνπ άλσ θαη θάησ αζξνίζκαηνο, θαζψο θαη ε δηαθνξά ηνπο εκθαλίδνληαη σο δπλακηθφ θείκελν πνπ πξνζαξκφδεηαη απηφκαηα ζε ηξνπνπνηήζεηο. Οη καζεηέο κπνξνχλ λα εκθαλίζνπλ ή λα θξχςνπλ δηάθνξεο ζπληζηψζεο ηεο θαηαζθεπήο, πξνθεηκέλνπ λα εζηηάζνπλ ζε έλα ζπγθεθξηκέλν έξγν. Υξεζηκνπνηψληαο απηφ ην δπλακηθφ ζρήκα, νη καζεηέο κπνξνχλ λα εμεξεπλήζνπλ δηάθνξεο πηπρέο ηνπ νινθιεξψκαηνο Riemann θαη θαζνδεγνχκελνη απφ εξσηήζεηο θαη δξαζηεξηφηεηεο φπσο γηα παξάδεηγκα νη αθφινπζεο: 1. Υξεζηκνπνηήζηε ην slider n γηα λα δείηε πψο θαηαζθεπάδνληαη ηα νξζνγψληα γηα ην θάησ θαη άλσ άζξνηζκα. a) Δθθξάζηε ην πιάηνο ελφο νξζνγσλίνπ ζε ζρέζε κε ην δηάζηεκα κήθνπο b-a θαη ην πιήζνο n ησλ νξζνγσλίσλ. b) Πεξηγξάςηε πψο βξίζθεηαη ην χςνο ελφο νξηζκέλνπ νξζνγσλίνπ γηα ην θάησ ή άλσ άζξνηζκα. 2. Πεξηγξάςηε ηη ζπκβαίλεη κε ηηο ηηκέο ησλ θάησ θαη άλσ αζξνηζκάησλ φηαλ απμεζεί ν αξηζκφο ησλ νξζνγσλίσλ. 3. Φαληαζηείηε φηη ην slider n γίλεηαη απείξσο κεγάιν, πνπ ζαο επηηξέπεη λα δεκηνπξγήζεηε έλαλ άπεηξν αξηζκφ νξζνγσλίσλ γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ θάησ θαη άλσ αζξνίζκαηνο. a) Ση ζπκβαίλεη κε ην πιάηνο ελφο νξζνγσλίνπ φηαλ ην n πεγαίλεη ζην άπεηξν; b) Ση ζα ζπκβεί κε ηηο ηηκέο ηνπ θάησ θαη πάλσ αζξνίζκαηνο φηαλ n ηείλεη ζην άπεηξν; Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 30

32 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ρήκα 17: Άλσ θαη θάησ αζξνίζκαηα (εκβαδψλ νξζνγσλίσλ) Παξάδεηγκα 6: Υάξαμε ηεο ζπλάξηεζεο εκβαδνχ Σν παξάδεηγκα πνπ παξνπζηάδεηαη εδψ είλαη παξφκνην κε ηε ράξαμε ηεο ζπλάξηεζεο θιίζεο ζην παξάδεηγκα 2. Δξεπλνχκε ηε ζπλάξηεζε εκβαδνχ σο έλαλ ηξφπν γηα λα ζπλδέζνπκε ηελ ηδέα ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο κε ηελ αληηπαξάγσγν. Γχν κεηαθηλνχκελα ζεκεία Α θαη Β ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κηαο ζπλάξηεζεο f θαζνξίδνπλ έλα δηάζηεκα πνπ νξηνζεηεί ηελ πεξηνρή κεηαμχ ηεο θακπχιεο ηεο ζπλάξηεζεο θαη ζηνλ άμνλα ησλ x (θνίηα ην ζρήκα). Ζ ηηκή απηή ηνπ εκβαδνχ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηε δεκηνπξγία ελφο επηπιένλ ζεκείνπ κε ηεηκεκέλε, ίδηα κε ηνπ ζεκείνπ Β θαη ηεηαγκέλε ηελ ηηκή ηνπ εκβαδνχ. Απηφ ην ζεκείν δεκηνπξγεί ην ίρλνο ηεο ζπλάξηεζεο εκβαδνύ γηα ηελ f. Καη πάιη, ε αξρηθή ζπλάξηεζε f κπνξεί λα ηξνπνπνηεζεί αλά πάζα ζηηγκή, ην νπνίν επηηξέπεη ζηνπο καζεηέο λα βξνπλ πεηξακαηηθά ηε ζπλάξηεζε εκβαδνχ γηα κηα πνηθηιία γξαθεκάησλ ζπλαξηήζεσλ πξηλ απφ ηε ζπδήηεζε γηα ηελ αληηπαξάγσγν. Παξφκνηα κε ην παξάδεηγκα 2, νη καζεηέο ζα κπνξνχζαλ λα ρξεζηκνπνηήζνπλ θαη πάιη απηή ηε δπλακηθή εηθφλα γηα λα βξνπλ ηελ εμίζσζε ηεο ζπλάξηεζεο εκβαδνχ γηα δηάθνξα πνιπψλπκα θαη λα ειέγρνπλ ηηο εηθαζίεο ηνπο ρξεζηκνπνηψληαο ην GeoGebra. Καζνδεγνχκελνη απφ κία ζπζηεκαηηθή αλάιπζε πνιιψλ παξαδεηγκάησλ δηαθφξσλ ηχπσλ ζπλαξηήζεσλ νη καζεηέο πηζαλφ λα νδεγεζνχλ ζηελ αλαθάιπςε θάπνησλ βαζηθψλ θαλφλσλ νινθιήξσζεο. ρήκα 18: Υαξάζζνληαο ηε ζπλάξηεζε εκβαδνχ 2.7 Βιώμαηα απ ηη σπήζη ηος GeoGebra -Τπόποι διδαζκαλίαρ Σν 2006, ζηελ Απζηξία (Embacher 2006) δνθηκάζζεθε ζε ζρνιεία Β/ζκηαο εθπαίδεπζεο έλα πεξηβάιινλ κάζεζεο πνπ πεξηιάκβαλε δηαθφξσλ εηδψλ κνξθσηηθά εθπαηδεπηηθά κέζα (π.ρ.«παξαδνζηαθά» θχιια εξγαζίαο ζε ραξηί, δηαδξαζηηθά applets θαηαζθεπαζκέλα ζην Geogebra, θνπίδ). Με ηελ ππνζηήξημε ησλ θαζεγεηψλ νη ζπνπδαζηέο θαζνδεγνχληαη πξνο ηελ αλαθάιπςε ησλ ελλνηψλ ηεο παξαγψγνπ ή Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 31

33 2ν ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΑ ΛΟΓΙΜΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ηνπ νινθιεξψκαηνο. πλνιηθά, νη ζπκκεηέρνληεο καζεηέο βξήθαλ ην δπλακηθφ θαη δηαδξαζηηθφ πιηθφ ρξήζηκν γηα λα θαηαλνήζνπλ θαη λα νπηηθνπνηήζνπλ (visualize) δχζθνιεο καζεκαηηθέο έλλνηεο. Οη αθφινπζεο δειψζεηο ησλ καζεηψλ κεηά απφ ηελ αζρνιία ηνπο κε ην δηαδξαζηηθφ πιηθφ ηνπ GeoGebra γηα ην ινγηζκφ γηα κία εβδνκάδα ήηαλ ραξαθηεξηζηηθέο: 1. «Δίλαη ρξήζηκν λα βιέπεηο ηη αιιάδεη όηαλ εζύ αιιάμεηο θάηη άιιν». 2. «Αλ κεηαθηλήζεηο ην Β ζεκείν πξνο ην ζεκείν Α, ζπλεηδεηνπνηείο όηη ε ηέκλνπζα γίλεηαη ε εθαπηνκέλε γξακκή. Με έλα ζρέδην ζε ραξηί πνηέ δελ ήκνπλ ζε ζέζε λα δηαηζζαλζώ (απεηθνλίζσ λνεξά) κε ηη ζα κνηάδνπλ απηέο (what this would look like)». 3. «Μπνξείο λα πεηξακαηηζηείο πνιύ θαη λα δνθηκάζεηο πνιιά πξάγκαηα γηα λα βξεηο ιύζε ζηα πξνβιήκαηα». Δλψ ην Geogebra ρξεζηκνπνηείηαη επξέσο ζηε κέζε εθπαίδεπζε, ηδίσο ζηελ Δπξψπε, αλαδχεηαη θαη ε ρξήζε ηνπ ζην Παλεπηζηήκην. Αξθεηνί εθπαηδεπηηθνί ζηηο ΖΠΑ έρνπλ δεκνζηεχζεη δηαδξαζηηθφ πιηθφ γηα ηνλ ινγηζκφ παλεπηζηεκηαθνχ επηπέδνπ ζην Γηαδίθηπν. Έρνπλ αλαθεξζεί φηη ε δεκηνπξγία απηνχ ηνπ πιηθνχ ζην GeoGebra ήηαλ επθνιφηεξε θαη ιηγφηεξν ρξνλνβφξα απφ φηη κε άιια ινγηζκηθά (Hohenwarter, Preiner & Taeil, 2007), γηα παξάδεηγκα: «Γελ μέξσ πώο λα θάλνπκε (θάπνηα ζπγθεθξηκέλε εξγαζία) ζην Maple, αιιά (κε ην Geogebra) απιά αλέβαζα έλα applet πνπ ηελ θάλεη. Σε Γεπηέξα, είδα κηα παξνπζίαζε [...] ηνπ GeoGebra, θαη κνπ πήξε πεξίπνπ 20 ιεπηά γηα λα θαηαιάβσ (ηε ζπγθεθξηκέλε εξγαζία) ζε απηό ην πξόγξακκα θαη δεκηνύξγεζα ηε ζειίδα: (Ben Ford, Sonoma State University, California) πκπεξαζκαηηθά, ην δπλακηθφ ινγηζκηθφ καζεκαηηθψλ φπσο ην GeoGebra κπνξεί λα πξνζθέξεη πνιιέο δηεπθνιχλζεηο ζηε δηδαζθαιία ηνπ ινγηζκνχ θαη λα δηεξεπλήζεη βαζηθέο έλλνηεο ηνπ ινγηζκνχ. ε κειινληηθέο επεθηάζεηο ην ινγηζκηθφ Geogebra ζα πεξηιακβάλεη πεξηζζφηεξα ραξαθηεξηζηηθά ησλ CAS πνπ ζα απμήζεη πεξηζζφηεξν πηζαλέο εθαξκνγέο ηνπ ζηελ κάζεζε θαη ηε δηδαζθαιία ηνπ ινγηζκνχ. Καηαιήγνληαο νη Hohenworter et.al. (2008) ηνλίδνπλ ηνλ νινέλα θαη πην ζεκαληηθφ ξφιν ησλ ειεχζεξσλ (αλνηθηνχ θψδηθα) ινγηζκηθψλ ζηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ ζε παγθφζκηα θιίκαθα. Σα «αλνηρηνχ θψδηθα» ινγηζκηθά παθέηα δίλνπλ ηε δπλαηφηεηα ζηνπο θαζεγεηέο θαη καζεηέο λα έρνπλ πξφζβαζε ζην ζρνιείν, ζην ζπίηη ή νπνπδήπνηε αιινχ ρσξίο θαλέλαλ πεξηνξηζκφ, αιιά θπξίσο, παξέρνπλ έλα κέζν γηα ηελ αλάπηπμε θαη ηελ αιιεινυπνζηήξημε νιφθιεξσλ θνηλνηήησλ ρξεζηψλ ζε παγθφζκην επίπεδν. Ζ ζπλεξγαζία απηή ζπκβάιιεη ζηελ ίζε πξφζβαζε ζηνπο ηερλνινγηθνχο πφξνπο θαη ζηνλ εθδεκνθξαηηζκφ ηεο κάζεζεο θαη ηεο δηδαζθαιίαο ησλ καζεκαηηθψλ. Παξέρνληαο απηέο ηηο δπλαηφηεηεο ησλ δπλακηθψλ θαη δηαδξαζηηθψλ εηθφλσλ, ην GeoGebra κπνξεί λα ελζσκαησζεί ζηηο αίζνπζεο δηδαζθαιίαο ησλ καζεκαηηθψλ κε δηάθνξνπο ηξφπνπο φπσο ππνζηεξίδεη ν Little (2008): Δίηε ζηελ αίζνπζα κε έλαλ ππνινγηζηή θαη πξνβνιέα, φπνπ ν θαζεγεηήο εκθαλίδεη πξνθαηαζθεπαζκέλα εκηηειή ζρήκαηα παξαθηλψληαο έηζη ηελ δηαινγηθή επηθνηλσλία κε ηνπο καζεηέο είηε ζην εξγαζηήξην ππνινγηζηψλ φπνπ νη καζεηέο κπνξνχλ αηνκηθά λα πεηξακαηίδνληαη θαη λα εμεξεπλνχλ γηα λα αλαθαιχςνπλ εθ λένπ καζεκαηηθέο έλλνηεο κε δηάθνξνπο ηξφπνπο ρξεζηκνπνηψληαο ηε δπλαηφηεηα ησλ δπλακηθψλ κεηαβνιψλ ηνπ ινγηζκηθνχ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 32

34 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ 3 ν ΚΔΦΑΛΑΗΟ: ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΔΝΝΟΗΧΝ ΣΟΤ ΛΟΓΗΜΟΤ ΜΔ ΥΡΖΖ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ηηο παξαθάησ παξαγξάθνπο αλαιχνπκε ηηο έλλνηεο ηεο παξαγψγνπ κηαο ζπλάξηεζεο ηεο εθαπηνκέλεο κηαο θακπχιεο, ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο θαη ην Θεκειηψδεο Θεψξεκα ηνπ Λνγηζκνχ. Παξνπζηάδνπκε ηξφπνπο κε ηνπο νπνίνπο κπνξνχλ λα εξκελεπζνχλ δηαηζζεηηθά απηέο νη έλλνηεο θαη πνηα ε πξφζζεηε παηδαγσγηθή αμία πνπ επηηπγράλεηαη απφ ηελ ζπλεηζθνξά ηεο ηερλνινγίαο ζηελ θαιχηεξε παξνπζίαζε απηψλ ησλ δηαηζζεηηθψλ εξκελεηψλ. 3.1 Η έννοια ηηρ παπαγώγος Σν βαζηθφ θίλεηξν γηα ηελ θαζηέξσζε ηεο έλλνηαο ηεο παξαγψγηζεο είλαη λα επεθηείλεη ηελ ηδέα ηνπ (ζηαζεξνχ) ξπζκνχ κεηαβνιήο ησλ γξακκηθψλ ζπλαξηήζεσλ ζε κηα ηδέα ηνπ (ζηηγκηαίνπ) ξπζκνχ κεηαβνιήο ησλ κε γξακκηθψλ ζπλαξηήζεσλ θαη λα κπνξνχκε λα ιχλνπκε πξνβιήκαηα φπσο γηα παξάδεηγκα ην παξαθάησ. ε θάπνην πείξακα κεηξήζεθε φηη ν πιεζπζκφο ελφο εληφκνπ ζ έλα ζπγθεθξηκέλν x ρξνληθφ δηάζηεκα αθνινπζεί ηελ θακπχιε f ( x) a 1. Θέινπκε λα βξνχκε πφζν απμήζεθε ν πιεζπζκφο ζε έλα ζπγθεθξηκέλν δηάζηεκα απφ t 1 έσο t 2 αιιά θαη πφζν γξήγνξα απμαλφηαλ αθξηβψο ηε ζηηγκή t 1. Πσο ζα βξνχκε ηνλ ζηηγκηαίν ξπζκφ κεηαβνιήο ηε ζηηγκή t 1 ; Επμηνείερ ηηρ έννοιαρ ηηρ παπαγώγος Παξάγσγνο κηαο ζπλάξηεζεο f ζ έλα ζεκείν x ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο νλνκάδεηαη ην φξην ( ) ( ) h h 0 f x lim h f x (αλ ππάξρεη ζην R). Γηα ηελ γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο παξαγψγνπ νη ζπνπδαζηέο ζηεξίδνληαη ζε κεγάιν πνζνζηφ ζε κηα εηθφλα ηεο «γεσκεηξηθήο» εθαπηνκέλεο δει. κηαο επζείαο πνπ αγγίδεη αιιά δελ ηέκλεη ηελ θακπχιε ησλ γξαθηθψλ παξαζηάζεσλ ηνπηθά. Οη φξνη φπσο «κέζνο ξπζκφο κεηαβνιήο θαη «ζηηγκηαίνο ξπζκφο κεηαβνιήο» κπνξνχλ λα βνεζήζνπλ ζηελ θαηαλφεζε ηεο παξαγψγνπ, αιιά δελ αξθνχλ γηα λα δεκηνπξγήζεη ν καζεηήο κηα ιεηηνπξγηθή λνεξή εηθφλα (Downs & Mamona-Downs, 2000). Οη καζεηέο πξνζειθχνληαη ακέζσο απφ κηα γεσκεηξηθή αλαπαξάζηαζε πνπ πξνέξρεηαη απφ ηελ εκπεηξία ηνπο ζηελ Δπθιείδεηα γεσκεηξία, ηε γεσκεηξηθή εθαπηνκέλε. ηα βηβιία ν επίζεκνο νξηζκφο ηεο εθαπηνκέλεο (ηελ νπνία ζα ιέκε «αλαιπηηθή» εθαπηνκέλε) αλαθέξεη φηη είλαη ε επζεία πνπ δηέξρεηαη απ ην ζεκείν P(x,f(x)) θαη έρεη θιίζε ίζε κε ηελ παξάγσγν ζην x. Οη Dawns & Mamona-Downs (2000) ππνζηεξίδνπλ φηη νη έλλνηεο ηνπ κέζνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο θαη ηνπ ζηηγκηαίνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο είλαη κελ αλαγθαίεο γηα ηελ δηαηζζεηηθή εξκελεία ηνπ νξηζκνχ ηεο παξαγψγνπ ε νπνία είλαη αλεμάξηεηε απφ γξαθηθέο εηθφλεο αιιά σζηφζν θαη νη δχν έλλνηεο παξνπζηάδνπλ δπζθνιίεο. Γηα ην κέζν ξπζκφ κεηαβνιήο ε ζρέζε πνπ εθθξάδεη ε ζπλάξηεζε αληηθαζίζηαηαη απφ κία γξακκηθή ζρέζε ηεο ζε δνζκέλν δηάζηεκα. Μία ηέηνηα ηδέα βαζηζκέλε ζε κία ππνζεηηθή θαηάζηαζε κπνξεί λα πξνθαιέζεη πξνβιήκαηα ζηνπο καζεηέο. Απ ηελ άιιε, ν ζηηγκηαίνο ξπζκφο κεηαβνιήο δελ έρεη λφεκα γηα πνιινχο. Πνην είλαη ην λφεκα ηνπ ζηηγκηαίνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο αλ δελ ππάξρεη δηάζηεκα πάλσ ζην νπνίν κπνξεί λα ζεσξεζεί γηα ηελ αληίζηνηρε ζπλάξηεζε; Λφγσ (ελ κέξεη) απηψλ ησλ Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 33

35 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ εκπνδίσλ νη ζπνπδαζηέο έρνπλ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο θαη ηε γεσκεηξηθή εθαπηνκέλε σο πην ηζρπξέο εηθφλεο γηα ηελ παξαγψγηζε. απηέο ηηο εηθφλεο έλα φξην κηαο πξαγκαηηθήο ζπλάξηεζεο πνπ κπνξεί λα είλαη δχζθνιν λα ην θαηαλνήζνπλ αληηθαζίζηαηαη απφ κηα νξηαθή δηαδηθαζία ηεκλνπζψλ. Οη ηέκλνπζεο είλαη απηά γεσκεηξηθά αληηθείκελα θαη ε εθ ησλ πξνηέξσλ γλσζηή έλλνηα ηεο εθαπηνκέλεο εξκελεχεηαη θπζηνινγηθά σο ην νξηαθφ αληηθείκελν ησλ ηεκλνπζψλ. Ο ζπνπδαζηήο θαίλεηαη πεξηζζφηεξν δεθηηθφο ζε κηα νξηαθή δηαδηθαζία αληηθεηκέλσλ παξά αξηζκψλ. Καηφπηλ θαηαλνεί ηελ παξάγσγν ζε έλα ζεκείν απ ηελ θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ζ απηφ ην ζεκείν. Παξά κεξηθέο πηζαλέο αδπλακίεο (π.ρ. ε γεσκεηξηθή εθαπηνκέλε πνπ έρνπλ ζην κπαιφ ηνπο κπνξεί λα δηαθέξεη απ ηελ αλαιπηηθή εθαπηνκέλε ηνπ ηππηθνχ νξηζκνχ φπσο ε εθαπηνκέλε ζε ζεκείν θακπήο) ην φιν ζρήκα θαίλεηαη αξθεηά αμηφπηζην. Χζηφζν ππάξρνπλ πεξηπηψζεηο φπνπ απηφο ν ηξφπνο ζθέςεο επεξεάδεη αξλεηηθά. Πξψηνλ ε εηθφλα είλαη πιήξσο γξαθηθά εμαξηψκελε κε ζπλέπεηα λα πεξηνξίδεη ζεκαληηθά ηελ ηθαλφηεηα ησλ ζπνπδαζηψλ λα δνπιεχνπλ κε ηελ παξαγψγηζε φηαλ ε ζρέζε ησλ κεηαβιεηψλ πνπ εκπιέθνληαη είλαη δχζθνιν λα εθθξαζηνχλ κε γξάθεκα ή θάπνηα αιγεβξηθή ζρέζε ζηελ νπνία κπνξνχλ λα εθαξκνζζνχλ νη ηππηθνί θαλφλεο παξαγψγηζεο. Γεχηεξνλ, ε εθαπηνκέλε εηζάγεη έλα λέν γεσκεηξηθφ αληηθείκελν πνπ κπνξεί λα ζεσξεζεί σο κηα λέα ζπλάξηεζε φπνπ νη ζπνπδαζηέο κπνξεί λα θάλνπλ εζθαικέλε δηαζχλδεζε απηψλ ησλ δχν ζπλαξηήζεσλ φπσο φηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο εθθξάδεη ηελ παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο ζην x. Απηή ε «ζνισκέλε» εηθφλα ησλ ζπνπδαζηψλ κπνξεί λα κελ θαίλεηαη αξρηθά θαη λα απνθαιχπηεηαη κάιινλ ηπραία (Amit & Vinner, 1990) (πεγή Downs & Mamona-Downs, 2000). Σξίηνλ, ε κνξθή ηεο εηθφλαο ίζσο δε ζπκβάιιεη ζε πεξαηηέξσ επξεηηθή επηρεηξεκαηνινγία. Σν δεχηεξν θαη ην ηξίην δήηεκα κπνξνχλ λα αληηκεησπηζηνχλ εηζάγνληαο κηα άιιε εηθφλα γηα ηελ εθαπηνκέλε απηή ηεο θαιχηεξεο γξακκηθήο πξνζέγγηζεο ηεο δνζκέλεο ζπλάξηεζεο. Με ηε βνήζεηα ελφο δπλακηθνχ δηαγξάκκαηνο κπνξνχκε λα ρηίζνπκε κηα δηαθνξεηηθή δηαηζζεηηθή εηθφλα γηα ηελ εθαπηνκέλε αθνινπζψληαο πηζηά ηα αξρηθά αμηψκαηα. ε πην πεηξακαηηθφ πιαίζην, ε εηθφλα ηεο θαιχηεξε γξακκηθήο πξνζέγγηζεο γηα ηελ εθαπηνκέλε ρξεζηκεχεη γηα λα μεθχγνπκε απ ηελ εηθφλα ηνπ ζηηγκηαίνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο γηα ζπλαξηήζεηο πνπ δελ παξηζηάλνληαη απφ κηα γξαθηθή παξάζηαζε, αληηκεησπίδνληαο επίζεο ην πξψην δήηεκα Η ιδέα ηηρ ηοπικήρ εςθύηηηαρ ηυν ζςναπηήζευν Οη έλλνηεο ηνπ απεηξνζηηθνχ ινγηζκνχ εηζάγνληαη κε ηε βνήζεηα ηεο έλλνηαο ηνπ νξίνπ ε νπνία είλαη δχζθνιν γηα ηνπο καζεηέο λα γίλεη αληηιεπηή δηαηζζεηηθά. Δπίζεο ν νξηζκφο ηεο γεσκεηξηθήο εθαπηνκέλεο απαιιαγκέλνο απφ νξηαθέο δηαδηθαζίεο θαζψο θαη ν νξηζκφο ηε αλαιπηηθήο εθαπηνκέλεο κε βάζε ηηο νξηαθέο δηαδηθαζίεο πξνθαιεί ζχγρπζε ζηνπο καζεηέο (Downs & Mamona-Downs, 2000). Μία δηαθνξεηηθή πξνζέγγηζε επηλνήζεθε κέζσ κηαο εθπιεθηηθά απιήο νπηηθήο ηδέαο. Γλσξίδνπκε φηη ε θιίζε κηαο επζείαο y=αx+β είλαη ην πειίθν Γy/Γx ηεο κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο y πξνο ηελ αληίζηνηρε κεηαβνιή ηεο ηεηκεκέλεο x. Απηφ δελ ηζρχεη γηα θακπχιε γξαθηθή παξάζηαζε αιιά φηαλ κεγεζχλνπκε ηελ εηθφλα θαη δνχκε έλα κηθξφ θνκκάηη ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ζα ζπκπεξάλνπκε φηη νη πεξηζζφηεξεο απφ ηηο γλσζηέο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ζπλαξηήζεσλ κνηάδνπλ ηνπηθά επζχγξακκεο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 34

36 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 19: Ζ κεγέζπλζε ζην ζεκείν Α δείρλεη φηη ε θακπχιε ηνπηθά κνηάδεη κε ηελ επζεία. Ζ ηδέα ηεο ηνπηθήο επζχηεηαο γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηεο ζηηγκηαίαο κεηαβνιήο dy/dx κηαο θακπχιεο είλαη απαιιαγκέλε απφ θάπνηα γεσκεηξηθή θαηαζθεπή (φπσο ε εθαπηνκέλε) ε νπνία είλαη αλνηρηή ζε δηάθνξεο παξαλνήζεηο. Έηζη, νη καζεηέο πεηξακαηηδφκελνη ζε θαηάιιειν ινγηζκηθφ κεγεζχλνληαο θακπχιεο ζε δηάθνξα ζεκεία ηνπο, πξάγκαηη αηζζάλνληαη φηη κία νπνηαδήπνηε θακπχιε έρεη θιίζε (παξάγσγν) ζηα ζεκεία πνπ, φηαλ κεγεζχλνληαη κνηάδνπλ κε επζεία. Αθφκε θαη απηή ε ραιαξή εξκελεία έρεη παηδαγσγηθή αμία φηαλ πξνζπαζήζνπκε πην θάησ λα πνχκε ζηνλ ζπνπδαζηή πψο λα ζπλδέζεη ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο κε ηελ ζπλάξηεζε f Κλίζη δπόμος Οη γξακκηθέο ζπλαξηήζεηο είλαη ε πξψηε επαθή ησλ καζεηψλ κε ηελ έλλνηα ηεο ζπλάξηεζεο θαη ε πξψηε εκπεηξία έρεη πάληα επηπηψζεηο ζηελ κεηέπεηηα πνξεία κάζεζεο. πγθεθξηκέλα ε θιίζε ηεο γξακκηθήο ζπλάξηεζεο κπνξεί λα εθθξάδεη είηε κία ζηαζεξά ζε κηα εμίζσζε είηε έλα κέηξν ηνπ steepness κηαο επζείαο, είηε κία γσλία, είηε έλαλ αξηζκφ πνπ εθθξάδεη ξπζκφ κεηαβνιήο. Απηέο νη εξκελείεο ιακβάλνπλ ηε ζπλάξηεζε σο αληηθείκελν θαη ηελ θιίζε, σο κέηξεζε κηαο ηδηφηεηαο ηνπ αληηθεηκέλνπ. Γλσζηηθά απηφ είλαη δηαθνξεηηθφ απ ηελ θαηαλφεζε ηεο ζπλαξηεζηαθήο δηαδηθαζίαο πνπ ππνλνείηαη ζηνπο ξπζκνχο κεηαβνιήο πνπ ζηηο γξακκηθέο ζπλαξηήζεηο είλαη ζηαζεξνί (Downs & Mamona-Downs, 2000). Ο Tall (1985b) ρξεζηκνπνηεί ηελ πξνεγνχκελε εκπεηξία ησλ καζεηψλ ζηελ θιίζε ησλ γξακκηθψλ ζπλαξηήζεσλ πξνζπαζψληαο λα ππνινγίζεη ηελ κεηαβαιιφκελε θιίζε ελφο δξφκνπ. ρήκα 20: Ζ λνεηή επζεία ηνπ απηνθηλήηνπ Οη καζεηέο γλσξίδνπλ φηη, φηαλ έλα απηνθίλεην θηλείηαη ζε έλαλ δξφκν κε θιίζε, ε λνεηή επζεία πνπ ζρεκαηίδεη ην απηνθίλεην δεκηνπξγεί κηα κεηξήζηκε γσλία κε ηελ νξηδφληηα δηεχζπλζε. Ζ θιίζε ηφηε ζε θάζε ζεκείν κπνξεί λα αλαπαξαζηαζεί σο ην θαηαθφξπθν βήκα δηά ην νξηδφληην βήκα πνπ εδψ κπνξεί λα είλαη π.ρ. ην κήθνο κεηαμχ ησλ αμφλσλ ησλ ηξνρψλ ηνπ απηνθηλήηνπ. Παξαηεξνχκε φηη ζε έλαλ δξφκν κε κεηαβαιιφκελε θιίζε παίδεη ξφιν ην κήθνο ηνπ απηνθηλήηνπ. Ζ ίδηα ηδέα κπνξεί λα εθαξκνζζεί θαη ζε νπνηνδήπνηε γξάθεκα αξθεί λα θαζνξηζζεί ε νξηδφληηα απφζηαζε κεηαμχ δχν ζεκείσλ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 35

37 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Κλίζη ενόρ γπαθήμαηορ Σα βηβιία ηεο αλάιπζεο εηζάγνπλ ηελ έλλνηα ηνπ νξίνπ πξηλ ηελ παξάγσγν θαη θαηφπηλ νξίδνπλ ηελ παξάγσγν σο φξην. Δπίζεο νξίδνπλ ηελ θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο σο φξην ησλ θιίζεσλ ησλ ρνξδψλ. Ο Tall (1985b), αλαθέξεη φηη ν Richard Skemb επηθξίλεη απηή ηελ πξνζέγγηζε ιέγνληαο φηη πξνζθέξεη ην ηειηθφ πξντφλ ηεο αλαθάιπςεο θαη απνηπγράλεη λα θέξεη ζηελ επηθάλεηα ηηο δηαδηθαζίεο κε ηηο νπνίεο γίλνληαη νη αλαθαιχςεηο. Γηδάζθεη καζεκαηηθή ζθέςε πνπ «έγηλε» θαη φρη πνπ «γίλεηαη». Μία γλσζηηθή πξνζέγγηζε ηνπ ζέκαηνο ζα κπνξνχζε λα ήηαλ ή εμήο: Ξεθηλάκε ηηο δηεξεπλήζεηο εζηηάδνληαο ζηελ ηνπηθή ζπκπεξηθνξά ησλ γξαθηθψλ παξαζηάζεσλ δηαθφξσλ ζπλαξηήζεσλ ηηο νπνίεο κεγεζχλνπκε ζην πεξηβάιινλ ελφο θαηάιιεινπ ινγηζκηθνχ. Πξηλ ηνπο ππνινγηζηέο απηφ ήηαλ ηερληθά δχζθνιν λα γίλεη θαη κάιηζηα ζε ηφζν ζχληνκν ρξφλν. Σψξα ειεπζεξψλεηαη ρξφλνο ψζηε ην κπαιφ λα αζρνιεζεί κε ηα νπζηψδε ραξαθηεξηζηηθά ησλ ζπλαξηήζεσλ. Ζ δηδαζθαιία κπνξεί λα γίλεη δνπιεχνληαο νη καζεηέο είηε αηνκηθά είηε ζε κηθξέο νκάδεο είηε κε έλαλ ππνινγηζηή ηνπ δαζθάινπ θαη βηληενπξνβνιέα φπνπ γίλεηαη δηαινγηθή ζπδήηεζε ζηελ ηάμε. Σν ινγηζκηθφ Euclidraw παξέρεη ζην ρξήζηε ηε δπλαηφηεηα λα ζρεδηάζεη ηελ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο θαζψο θαη ηε κεγέζπλζε ελφο ηκήκαηφο ηεο ζε έλα μερσξηζηφ παξάζπξν ζηελ ίδηα νζφλε γηα λα παξαηεξεί ηελ θακπχιε φπσο ήηαλ αξρηθά θαη ηαπηφρξνλα ην κεγεζπζκέλν ηκήκα ηεο. Γηα παξάδεηγκα ζην πξψην ζρήκα ζην μερσξηζηφ νξζνγψλην έρεη γίλεη κεγέζπλζε 5 θνξέο γχξσ απφ ην ζεκείν Α ηεο θακπχιεο ηνπ εκηηφλνπ ελψ ζην δεχηεξν ζρήκα απμήζακε ηνλ ζπληειεζηή κεγέζπλζεο γχξσ απφ ην ζεκείν Α ζε 30 θνξέο, θαη παίξλνπκε ην δηπιαλφ ζρήκα φπνπ ζην αληίζηνηρν νξζνγψλην ε ζπλάξηεζε απφ θακππιφγξακκε κνηάδεη ηνπηθά επζχγξακκε. ρήκα 21: Δπαξθήο κεγέζπλζε ηεο γεηηνληάο ελφο ζεκείνπ Α κηαο γξαθηθήο παξάζηαζεο απνθαιχπηεη ηελ ηνπηθή επζχηεηα ηεο θακπχιεο απηφ ην ζεκείν ην Euclidraw παξέρεη κία θαιή δπλακηθή απεηθφληζε ηεο ηνπηθήο ζπκπεξηθνξάο (επζχηεηαο) ησλ θακππιψλ. Παίξλνληαο έλα ζεκείν Α ζηελ θακπχιε θαη κεγεζχλνληαο γχξσ απ απηφ, ζην μερσξηζηφ παξάζπξν ηεο κεγέζπλζεο κπνξνχκε λα δνχκε ηελ θιίζε ηεο θακπχιεο ζε θάζε ζεκείν ηεο. Απνηππψλνπκε ελδεηθηηθά ηα παξαθάησ ζηηγκηφηππα ηεο δηαδηθαζίαο ζπξζίκαηνο ηνπ ζεκείνπ Α. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 36

38 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 22: Ζ κεηαθίλεζε κε ην πνληίθη ηνπ ζεκείνπ Α εμεηθνλίδεη ηελ θιίζε ηεο θακπχιεο σο κία λέα ζπλάξηεζε: ηε ζπλάξηεζε θιίζεο ηεο θακπχιεο Οη καζεηέο ηψξα έρνπλ κία δηαθνξεηηθή αληίιεςε γηα ηελ θιίζε κηαο ζπλάξηεζεο ζ έλα ζεκείν ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο. Μπνξνχλ λα δηαηξέμνπλ ηελ θακπχιε (ζχξνληαο κε ην πνληίθη ην ζεκείν Α) θαη λα παξαηεξήζνπλ ηελ αιιαγή ηεο θιίζεο ηεο θακπχιεο. Έηζη νπηηθνπνηνχλ (εκπεδψλνπλ) ηηο θιίζεηο πνπ αιιάδνπλ, σο κηα λέα ζπλάξηεζε ηνπ x. Με ηηο δηεξεπλήζεηο ζε αξθεηά γξαθήκαηα ζπλαξηήζεσλ νη καζεηέο ζα δηαπηζηψζνπλ φηη είλαη δχζθνιν λα αλαθαιχςνπλ θάπνηα θακπχιε ρσξίο ηελ ηδηφηεηα ηεο «ηνπηθήο επζχηεηαο». Ζ ηδηφηεηα ηεο ηνπηθήο επζχηεηαο είλαη κία πνηνηηθή ηδηφηεηα ησλ ζπλαξηήζεσλ θαη ζπγθεθξηκέλα εθθξάδεη ηελ «ιεηφηεηα» ησλ γξαθηθψλ ηνπο παξαζηάζεσλ. Απηέο ηηο ζπλαξηήζεηο πνπ είλαη ηνπηθά επζχγξακκεο ζε θάπνην ζεκείν ηνπο ηηο νλνκάδνπκε παξαγσγίζηκεο ζην ζεκείν απηφ. Ο Tall πξνηείλεη, αξρηθά λα βξνχκε ηηο «πξαθηηθέο θιίζεηο» δηαθφξσλ ζπλαξηήζεσλ θαηά κήθνο ηεο θακπχιεο ηνπο (νη νπνίεο νπζηαζηηθά είλαη νη κέζνη ξπζκνί κεηαβνιήο ηεο ζπλάξηεζεο ζε δχν πνιχ θνληηλά ζεκεία) θαη λα θαηαιήμνπκε θπζηνινγηθά ζηελ έλλνηα ηεο παξαγψγνπ σο ηε «ζεσξεηηθή θιίζε» ηεο θακπχιεο ζε ζπγθεθξηκέλα ζεκεία ηεο. Απηή ηελ πξνζέγγηζε αθνινπζνχκε ζηελ επφκελε παξάγξαθν Ανακαλύπηονηαρ ηη ζςνάπηηζη κλίζηρ ηηρ f(x) = x 2 Μεηαθεξφκαζηε ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ θαη ζεσξνχκε έζησ ηε ζπλάξηεζε f(x) = x 2. Παίξλνπκε δχν θνληηλά ζεκεία ηεο Α, Μ ζηα x θαη x+h αληίζηνηρα θαη κεηξάκε ηελ θιίζε m ηεο επζείαο ΑΜ θαζψο κεηαβάιιεηαη ην x. ρεδηάδνπκε ην ζεκείν Γ(x,m) γηα φια ηα x. Γηα δηάθνξα h παίξλνπκε πξαθηηθνχο ππνινγηζκνχο ηεο θιίζεο ηεο θακπχιεο ζε θάζε ζεκείν ηεο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 37

39 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 23: Οη «πξαθηηθέο» θιίζεηο γηα h=1 (αξηζηεξά) θαη νη αληίζηνηρεο γηα h=0.02 (δεμηά). Πξάγκαηη, γηα κηθξφ h(έζησ h=0.02), κεγεζχλνληαο ζηα θνληηλά ζεκεία Α, Μ παξαηεξνχκε φηη ε ηέκλνπζα ΑΜ θαίλεηαη λα ηαπηίδεηαη κε ηελ θακπχιε (θνίηα ην παξαθάησ ζρήκα) θαη επνκέλσο ε θιίζε ηεο απνηειεί κία θαιή εθηίκεζε ηεο θιίζεο ηεο θακπχιεο (ηζρπξφηεξε βέβαηα κεγέζπλζε κεηαμχ ησλ ζεκείσλ Α θαη Μ, ζα δείμεη φηη ε θακπχιε θαη ε ηέκλνπζα απνθιίλνπλ θαη ηφηε ζα ρξεηαζηεί κηθξφηεξν h γηα λα έρνπκε θαιχηεξε εθηίκεζε ηεο θιίζεο ηεο θακπχιεο). ρήκα 24:Ζ κεγέζπλζε θνληά ζην Α δείρλεη φηη γηα h=0.02 ε ηέκλνπζα θαίλεηαη λα ηαπηίδεηαη κε ηελ θακπχιε ζηε γεηηνληά ηνπ Α. Παξαηεξψληαο ηα ζεκεία Γ(x,m) γηα φια ηα x, βιέπνπκε φηη γηα κηθξφ h βξίζθνληαη ζε επζεία γξακκή πνπ είλαη θαηά πξνζέγγηζε ε επζεία y = 2x. Δδψ κπνξνχκε λα θάλνπκε ηελ εηθαζία φηη ε «ζεσξεηηθή» θιίζε ηνπ γξαθήκαηνο ηεο ζπλάξηεζεο f(x) = x 2 είλαη ε y = 2x. Απηφ επηβεβαηψλεηαη θαη αιγεβξηθά σο εμήο 2 2 f ( x h) f ( x) ( x h) x 2x h ( h 0 ). h h Γηα πνιχ κηθξά h ε πξαθηηθή θιίζε ζρεδφλ ηαπηίδεηαη κε ηελ 2x. Δδψ κπνξεί λα εηζαρζεί ε παξάγσγνο f (x) σο ηε ζπλάξηεζε πνπ εθθξάδεη ηελ ζεσξεηηθή θιίζε ηνπ γξαθήκαηνο f(x) = x 2. Έλα γξάθεκα έρεη ζεσξεηηθή θιίζε ζ Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 38

40 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ εθείλα ηα ζεκεία φπνπ έλα κηθξφ κεγεζπζκέλν ηκήκα ηνπ κνηάδεη ζρεδφλ κε επζεία. Ζ ζεσξεηηθή θιίζε ηνπ είλαη ηφηε ε θιίζε ηνπ κηθξνχ κεγεζπζκέλνπ κέξνπο Ανακαλύπηονηαρ ηη ζςνάπηηζη κλίζηρ ηηρ f(x) = x 3 Με παξφκνηα δηαδηθαζία ζρεδηάδνπκε ηε ζπλάξηεζε θιίζεο γηα κηθξφ έζησ h = Οη καζεηέο δηαπηζηψλνπλ αξρηθά (κε ηε βνήζεηα ηνπ πιέγκαηνο) φηη ε ζπλάξηεζε θιίζεο ηεο f(x) = x 3 δελ κπνξεί λα είλαη νχηε ε y = x 2 νχηε ε y = x 4. Ζ πξψηε ηνπο απάληεζε είλαη ζπλήζσο ε y = 2x 2 (Tall, 1985b). Γνθηκάδνληαο αξρηθά αθέξαηεο ηηκέο ηνπ x ηειηθά δηαπηζηψλνπλ θαη νδεγνχληαη ζηελ εηθαζία φηη f (x) = 3x 2 ρήκα 25: Σν πιέγκα είλαη κία πξψηε βνήζεηα ζηνπο καζεηέο λα βξνπλ πεξηζζφηεξα ζεκεία ηεο δηαγξαθφκελεο θακπχιεο ψζηε λα δηεπθνιπλζνχλ ζηελ αλαθάιπςε ηνπ λφκνπ πνπ ηα ζπλδέεη. Με βάζε ηηο παξαπάλσ δηαπηζηψζεηο, νη καζεηέο κπνξεί λα ππνςηαζηνχλ θαη λα νδεγεζνχλ ζηελ εηθαζία φηη πηζαλφλ ηφηε λα ηζρχεη φηη αλ f(x) = x λ ηφηε f (x) = λx λ-1. Με ηνλ ίδην ηξφπν κπνξνχλ λα πεηξακαηηζηνχλ γηα ηε ζπλάξηεζε f(x) = 2x 2 ή f(x) = 2x 3. Πεξαηηέξσ δηεξεπλήζεηο ησλ καζεηψλ ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ, κε ηηο δπλαηφηεηεο ησλ άκεζσλ γξαθηθψλ αλαπαξαζηάζεσλ πνπ δηαζέηεη, κπνξεί λα ηνπο νδεγήζνπλ ζε δηάθνξεο αλαθαιχςεηο. Μπνξνχλ λα δνπλ ηη γίλεηαη αλ λ είλαη αξλεηηθφο ή θιάζκα. Με ηελ εκπεηξία πνπ ζα έρνπλ απνθηήζεη γηα ηε ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο κπνξνχλ λα δνπλ ηη γίλεηαη ζηα πνιπψλπκα, ηηο ηξηγσλνκεηξηθέο θαη ηηο εθζεηηθέο ζπλαξηήζεηο Μεμονυμένα γυνιακά ζημεία-μη παπαγυγίζιμερ ζςναπηήζειρ Αλ δνζνχλ ζηνπο καζεηέο παξαδείγκαηα κφλν ηνπηθά επζχγξακκσλ γξαθηθψλ παξαζηάζεσλ κπνξεί εζθαικέλα λα πηζηέςνπλ φηη φιεο νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο είλαη ηνπηθά επζχγξακκεο ζην πεδίν νξηζκνχ ηνπο. Δδψ πξέπεη λα επέκβνπκε άκεζα, θαη λα δψζνπκε επηπιένλ εηδηθφηεξα παξαδείγκαηα πξηλ εδξαησζεί ε παξαπάλσ ιαλζαζκέλε πεπνίζεζε. Να θαζνδεγήζνπκε δειαδή ηνπο καζεηέο λα βξνπλ έλα παξάδεηγκα φπνπ κηα ζπλάξηεζε δελ είλαη ηνπηθά επζχγξακκε ζε θάπνην ζεκείν ηνπ Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 39

41 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο. απηφ ην ζεκείν κπνξνχκε λα ζρεδηάζνπκε κε νπνηνδήπνηε θαηάιιειν ινγηζκηθφ (Euclidraw ή Geogebra ή Sketchpad) ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο 2 2 ησλ ζπλαξηήζεσλ f ( x) x x ή f ( x) x x 1 ή f ( x) sin x ψζηε λα δνπλ νη καζεηέο φηη νη ελ ιφγσ γξαθηθέο παξαζηάζεηο έρνπλ γσλίεο (θνξπθέο) νη νπνίεο φηαλ κεγεζχλνληαη θαίλνληαη ζαλ δχν «εκηεπζείεο» κε θνηλή αξρή θαη δηαθνξεηηθέο θιίζεηο. ηα πην θάησ ζρήκαηα κεγεζχλακε γχξσ απ ην ζεκείν Β. f 2 ( x) x x f ( x) sin x Με ηα παξαπάλσ αληηπαξαδείγκαηα ν καζεηήο απνθηά εκπεηξία γηα ην ηη ζεκαίλεη κηα ζπλάξηεζε λα κελ είλαη ηνπηθά επζχγξακκε ζε θάπνην ζεκείν ηεο (κε παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν απηφ) Άπειπα γυνιακά ζημεία ηακαηψληαο εδψ κπνξεί νη καζεηέο λα δεκηνπξγήζνπλ ηε πεπνίζεζε φηη φιεο νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο πνπ ζε κία ζπλεζηζκέλε θιίκαθα θαίλνληαη ιείεο, είλαη θαη ηνπηθά επζχγξακκεο (παξαγσγίζηκεο) ζηα δηαζηήκαηα απηά. Απηφ δελ είλαη πάληα αιεζέο. Τπάξρνπλ παξαδείγκαηα ζπλαξηήζεσλ κε κηθξνζθνπηθέο ηαιαληψζεηο πνπ πξνθχπηνπλ πξνζζέηνληαο ζε κηα «ιεία» ζπλάξηεζε π.ρ. ηελ f ( x) cosx ηελ cos( 100x) cos( 100x) κηθξνζθνπηθή ζπλάξηεζε γηα λα πάξνπκε ηελ g ( x) cosx (Tall, 1991a, p.9) Σα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ f (x) θαη g (x) είλαη θαη ηα δχν «ιεία» ζε κηα θαλνληθή θιίκαθα αιιά ε g (x) έρεη γσλίεο αλ κεγεζπλζεί. f ( x) cosx g ( x) cosx cos( 100x) 100 ρήκα 26: Ζ κεγέζπλζε ζην, θαηλνκεληθά ιείν, γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο g(x) έδεημε φηη ελππάξρνπλ θνξπθέο. εκείσζε Ζ ηαπηφρξνλε εκθάληζε κηαο ζπλάξηεζεο θαη ελφο κεγεζπζκέλνπ ηκήκαηφο ηεο ζηελ ίδηα νζφλε είλαη έλα πιενλέθηεκα ηνπ Euclidraw έλαληη ηνπ Geogebra (ζην Geogebra ην κεγεζπζκέλν ηκήκα δελ εκθαλίδεηαη ζε μερσξηζηφ νξζνγψλην πιαίζην αιιά πξνθχπηεη απφ ηελ ηξνπνπνίεζε ηεο δεδνκέλεο ζπλάξηεζεο). Απ ηελ άιιε φκσο, ην Geogebra επηηξέπεη κηα πην θπζηθή αιιειεπίδξαζε κε ην ρξήζηε πξάγκα πνπ δηεπθνιχλεη πνιχ ηνπο πεηξακαηηζκνχο ηνπ καζεηή. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 40

42 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ςναπηήζειρ πος είναι πανηού ζςνεσείρ και ποςθενά παπαγυγίζιμερ πλερίδνληαο ηνλ εκπινπηηζκφ ηεο δηαίζζεζεο ησλ καζεηψλ κπνξνχκε λα ηνπο δψζνπκε παξαδείγκαηα ζπλαξηήζεσλ πνπ είλαη παληνχ ζπλερείο αιιά πνπζελά παξαγσγίζηκεο Μία ηέηνηα ζπλάξηεζε κπνξνχκε λα δεκηνπξγήζνπκε κε ηε βνήζεηα ηεο ζπλάξηεζεο ( ) = «απφζηαζε ηνπ ρ απφ ηνλ πιεζηέζηεξν αθέξαην». Ζ ζπλάξηεζε απηή νξίδεηαη κε ηε βνήζεηα ησλ ζπλαξηήζεσλ «απφιπηε ηηκή», «δεθαδηθφ κέξνο» θαη «αθέξαην κέξνο» σο εμήο: θ(ρ)= 1/ 2 {ρ 1/ 2} φπνπ {ρ}=ρ-[ρ] ε ζπλάξηεζε «δεθαδηθφ κέξνο ηνπ ρ» θαη [ρ] ε ζπλάξηεζε «αθέξαην κέξνο ηνπ ρ», γηα ηελ νπνία ηζρχεη 0 (ρ) 1/ 2 (Πιαηάξνο, 2004, ζει. 79) θαη έρεη ηελ παξαθάησ γξαθηθή παξάζηαζε: ρήκα 27: Σν γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο θ(ρ)= 1/ 2 {ρ 1/ 2} φπνπ {ρ}= ρ-[ρ] ε ζπλάξηεζε «δεθαδηθφ κέξνο ηνπ ρ» θαη [ρ] ε ζπλάξηεζε «αθέξαην κέξνο ηνπ ρ». Ζ ζπλάξηεζε θ παξνπζηάδεη γσληαθά ζεκεία ζηα ζεκεία θ/2, θ ζηα νπνία δελ ππάξρεη εθαπηνκέλε ζην γξάθεκα. Γεκηνπξγνχκε ηελ αθνινπζία ζπλαξηήζεσλ t n (ρ) = 1/n θ(nρ). Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο t 2 (ρ) =1/2 θ(2ρ) είλαη ε παξαθάησ: ρήκα 28: Σα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ θ(ρ) θαη t 2 (ρ) =1/2 θ(2ρ). Ζ ζπλάξηεζε t 2 (ρ) παξνπζηάδεη γσληαθά ζεκεία ζηα ζεκεία θ/4, θ. ζν απμάλεηαη ην n απμάλνληαη νη ζέζεηο ησλ γσληαθψλ ζεκείσλ ηνπ αληίζηνηρνπ γξαθήκαηνο, νη νπνίεο ηζνθαηαλέκνληαη ζην. ηαλ ην n ηείλεη ζην άπεηξν ηα γσληαθά ζεκεία γίλνληαη ηφζν πνιχ ππθλά ψζηε ζε θάζε ζεκείν ρ 0 λα κελ ππάξρεη ηειηθά εθαπηφκελε ζην γξάθεκα ηεο t n (ρ). ην GeoGebra κπνξνχκε λα παξαηεξήζνπκε ηα «δνληάθηα» πνπ δεκηνπξγνχληαη ζην αληίζηνηρν γξάθεκα γηα n αξθεηά κεγάιν, κε ηε βνήζεηα ηεο κεγέζπλζεο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 41

43 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 29: To γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο t 236 (x) γηα n=236 ρσξίο κεγέζπλζε ρήκα 30: To γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο t 236 (x) γηα n=236 κεηά απφ κεγέζπλζε Έλα παξάδεηγκα ηέηνηαο ζπλάξηεζεο είλαη ε θαηαζθεπαζκέλε αλαδξνκηθά ζπλάξηεζε πνπ έρεη νλνκαζηεί ζπλάξηεζε blancmange. Ζ ζπλάξηεζε είλαη ηφζν «ξπηηδσκέλε» ψζηε νπνπδήπνηε θαη αλ κεγεζπλζεί εμαθνινπζεί λα θαίλεηαη ξπηηδσκέλε. Έρεη δειαδή κνξθνθιαζκαηηθή κνξθή (θξάθηαι). Ζ ζπλάξηεζε απηή 1 n είλαη ε f ( x) (2 x). n 2 n 0 ρήκα 31: Ζ ζπλάξηεζε blancmange ηελ εξγαζία What do we see in geometric pictures (Tall & Silvia di Giacomo, 2000) ππάξρεη κία ιεπηνκεξήο αλαθνξά ζηελ παξαπάλσ ζπλάξηεζε. 3.2 Νοηηικέρ εικόνερ ηηρ εθαπηομένηρ και η εμπλοκή ηοςρ ζηην επμηνεία ηηρ παπαγώγος Έρεη θαηαγξαθεί απφ δηάθνξνπο εξεπλεηέο φηη ε παξνπζίαζε ηεο έλλνηαο ηεο γεσκεηξηθήο εθαπηνκέλεο πνπ βαζίδεηαη ζηε δηαηζζεηηθή ηδέα φηη είλαη κηα επζεία Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 42

44 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ πνπ «αγγίδεη» ηελ θακπχιε ζε έλα ζεκείν, έρεη κεγάιε επίδξαζε ζην ζρεκαηηζκφ ηεο ελλνηαθήο εηθφλαο ηεο εθαπηνκέλεο κε ζπλέπεηα νη καζεηέο λα πηζηεχνπλ φηη, φηαλ κία γξαθηθή παξάζηαζε έρεη γσληαθφ ζεκείν ηφηε εθεί ππάξρνπλ πεξηζζφηεξεο εθαπηφκελεο (ίζσο θαη άπεηξεο) φπσο γηα παξάδεηγκα ζηε ζπλάξηεζε f(x) = x ζην ζεκείν κεδέλ. Θα πξνζπαζήζνπκε λα δψζνπκε κία δηαθνξεηηθή εξκελεία ηεο εθαπηνκέλεο ε νπνία ζα αληηκεησπίδεη απηέο ηηο παξαλνήζεηο Δςζκολίερ ζύλλητηρ ηηρ οπιακήρ διαδικαζίαρ Ο νξηζκφο ηεο εθαπηνκέλεο κηαο θακπχιεο είλαη κηα πεγή δπζθνιίαο γηα ηνπο ζπνπδαζηέο. Ο Vinner (1984) ππνζηήξημε φηη νη δηαηζζεηηθέο ηδέεο ησλ καζεηψλ έξρνληαη ζε ζχγθξνπζε κε ηνλ ηππηθφ νξηζκφ. Μεξηθέο θνξέο νη καζεηέο δίλνπλ εμεγήζεηο πνπ είλαη πεξίεξγεο γηα ηνπο καζεκαηηθνχο αιιά απνηεινχλ ηέιεηα ινγηθά ζπκπεξάζκαηα γηα ηνπο ίδηνπο. Έλλνηεο πνπ έκπεηξνη καζεκαηηθνί ζεσξνχλ απιά δηαηζζεηηθέο δελ είλαη «δηαηζζεηηθέο» γηα ηνπο καζεηέο. Ζ δηαίζζεζε απνηειεί κηα θαζνιηθή αληήρεζε (global resonance) ζηνλ εγθέθαιν θαη εμαξηάηαη απ ηε γλσζηηθή δνκή ηνπ αηφκνπ ε νπνία κε ηε ζεηξά ηεο εμαξηάηαη απ ηελ πξνεγνχκελε εκπεηξία ηνπ. Γελ ππάξρεη θαλέλαο ιφγνο λα ππνζέζνπκε φηη έλαο αξράξηνο ζα δηαζέηεη ηηο ίδηεο δηαηζζήζεηο κε έλαλ έκπεηξν αθφκα θαη ζε θαηλνκεληθά απιέο νπηηθέο ελνξάζεηο. Ζ έξεπλα ζηε καζεκαηηθή εθπαίδεπζε δείρλεη φηη νη ηδέεο ησλ καζεηψλ γηα πνιιέο έλλνηεο είλαη κε αλακελφκελεο. ηελ πεξίπησζε ηεο εθαπηνκέλεο θακπχιεο ππάξρνπλ επηπιένλ νη δπζθνιίεο θαηαλφεζεο ησλ νξηαθψλ δηαδηθαζηψλ. Γηα παξάδεηγκα ν Orton (1977) (φπσο αλαθέξνπλ νη Downs & Mamona-Downs (2000, ζει. 185) αιιά θαη ν Tall (1986a) δηαηχπσζαλ εξσηήκαηα ζηνπο καζεηέο ζρεηηθά κε ην πνπ ηείλνπλ νη ηέκλνπζεο κηαο θακπχιεο, νη νπνίεο δηέξρνληαη απφ δχν ζεκεία ηεο θακπχιεο, θαζψο ην έλα ζεκείν πιεζηάδεη ζην άιιν. Ο Orton ξψηεζε 110 καζεηέο ηη ζπκβαίλεη ζηηο ηέκλνπζεο PQ κηαο ζρεδηαζκέλεο θακπχιεο θαζψο ην ζεκείν Q n ηείλεη πξνο ην P θηλνχκελν πάλσ ζηελ θακπχιε (θνίηα ην ζρήκα). Οη 43 καζεηέο απ ηνπο 110, παξφιν πνπ βνεζήζεθαλ αξθεηά, θάλεθαλ κε ηθαλνί λα αληηιεθζνχλ φηη ε δηαδηθαζία νδεγεί ζηελ εθαπηνκέλε θακπχιεο. Ζ ηέκλνπζα αγλνήζεθε θαη θάλεθε λα εζηηάδνπλ ηελ πξνζνρή ηνπο κφλν ζηε ρνξδή PQ, παξφηη νη εμεγήζεηο πνπ ηνπο δφζεθαλ απέβιεπαλ ζην λα κε ζπκβεί απηφ. Οη απαληήζεηο ηνπο πεξηιάκβαλαλ: «ε γξακκή κηθξαίλεη ζε κήθνο», «γίλεηαη ζεκείν», «ην εκβαδφλ κηθξαίλεη». ρήκα 32: Οη ηέκλνπζεο θαη ε νξηαθή εθαπηνκέλε Ο Tall ξψηεζε έλα δείγκα απφ ελλέα 16-ρξνλνπο καζεηέο αλ ε παξαθάησ πξφηαζε είλαη αιεζήο ή φρη: «Καζψο B A ε γξακκή πνπ δηέξρεηαη απφ ην ΑΒ ηείλεη ζηελ εθαπηνκέλε ΑΣ» (θνίηα ην ζρήκα). Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 43

45 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 33: Μηα ηέκλνπζα πνπ «ηείλεη» ζε κηα εθαπηνκέλε Οη ηέζζεξηο απάληεζαλ κελ φηη είλαη «αιεζήο» αιιά φκσο ζπλέδεζαλ ην ζχκβνιν «B A» κε δηαλπζκαηηθφ ζπκβνιηζκφ θαη απεηθφληζαλ λνεξά ην Β λα θηλείηαη πξνο ην Α θαηά κήθνο ηεο επζείαο ΒΑ. Γειαδή γη απηνχο ην επζχγξακκν ηκήκα ΒΑ ηείλεη κελ ζηελ εθαπηνκέλε αιιά θαηά κία εληειψο απξνζδφθεηε έλλνηα. Έλαο καζεηήο ζεψξεζε ηελ πξφηαζε «ςεπδή» επεηδή «θάπνπ καθξηά ζην άπεηξν ε επζεία ΑΒ θαη ε εθαπηνκέλε ΑΣ ζα απείραλ πάληνηε πνιχ ε κία απ ηελ άιιε αλεμάξηεηα απ ην πφζν θνληά έξρεηαη ην Α ζην Β». Γειαδή κπνξεί λα ιάβνπκε κηα «ιαλζαζκέλε» απάληεζε γηα έλαλ πνιχ ινγηθφ ιφγν. ε άιιε έξεπλα (1986) ν Tall κε ηε βνήζεηα ηεο εθαπηνκέλεο κειέηεζε ηε δηαηζζεηηθή θχζε ηεο νξηαθήο δηαδηθαζίαο. Έδσζε ζε 160 καζεηέο (πνπ επξφθεηην λα μεθηλήζνπλ κηα ζεηξά καζεκάησλ απεηξνζηηθνχ ινγηζκνχ) ην παξαθάησ ζρήκα θαη ηα εξσηήκαηα: ρήκα 34: Ζ νξηαθή δηαδηθαζία k 1 δελ γίλεηαη αληηιεπηή ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο y=x 2 ην ζεκείν Α είλαη ην (1,1), ην ζεκείν Β είλαη ην (k,k 2 ) θαη ην Σ είλαη έλα ζεκείν πάλσ ζηελ εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ζην Α. (i) Γξάςηε ηελ θιίζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη απφ ηα Α θαη Β. (ii) Γξάςηε ηελ θιίζε ηεο ΑΣ.. Δμεγήζηε πψο ζα κπνξνχζαηε λα βξείηε ηελ θιίζε ηεο ΑΣ απφ βαζηθέο αξρέο. Σα απνηειέζκαηα ηνπ πεηξάκαηνο παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηε ζειίδα 7 ηεο εξγαζίαο (1991a). Πεξηιεπηηθά αλαθέξνπκε φηη ζηελ πιεηνςεθία ησλ καζεηψλ δελ ήξζε ζην λνπ θακία ηδέα νξίνπ. Διάρηζηνη επέηξεςαλ ζην k λα ηείλεη ζην 1 γηα λα βξνπλ φηη ην k+1 (ε θιίζε ηεο επζείαο ΑΒ) ηείλεη ζην 2. πκπεξαζκαηηθά, ζε θαλέλα καζεηή απφ απηνχο πνπ πήξαλ κέξνο ζηε ζπγθεθξηκέλε έξεπλα πεδίνπ πνπ δελ είρε εκπεηξία ζηνλ απεηξνζηηθφ ινγηζκφ δελ εκθαλίζηεθε κηα απζφξκεηε έλλνηα ηνπ νξίνπ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 44

46 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Σοπική εςθύηηηα και μαθημαηική ηοπική γπαμμικόηηηα. Τπάξρνπλ γλσζηηθέο θαη καζεκαηηθέο δηαθνξέο κεηαμχ ηεο ηνπηθήο επζύηεηαο πνπ αλαθέξακε ζε πξνεγνχκελε παξάγξαθν θαη ηνπηθήο γξακκηθόηεηαο (Tall, 2003a, p.14). Ζ ηνπηθή επζύηεηα (local straightness) είλαη κία πξσηφγνλε αλζξψπηλε αληίιεςε γηα ηελ εηθφλα κηαο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Σν άηνκν θνηηάδεη θαηά κήθνο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο (αθνινπζψληαο γηα παξάδεηγκα κε ηελ παιάκε ηνπ ηελ θακπχιε) θαη βιέπεη ηηο αιιαγέο ζηελ θιίζε. ρήκα 35: Μία πξσηνγελήο αληίιεςε γηα ηελ θιίζε θακπχιεο Ζ ηνπηθή γξακκηθόηεηα (local linearity) είλαη κηα γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο ζπλάξηεζεο ζε έλα ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Δίλαη κηα καζεκαηηθή δηαηχπσζε ηεο θιίζεο ηεο εθαπηνκέλεο, πνπ ιακβάλεηαη απφ ηελ θιίζε ηεο ηέκλνπζαο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ζηα ζεκεία A ( x0, f ( x0 )) θαη B( x, f ( x)) φηαλ ην x ηείλεη ζην x 0. Ζ ηνπηθή επζχηεηα παξακέλεη ζην επίπεδν ηεο εμεηθφληζεο ηεο καζεκαηηθήο ζθέςεο. Ζ ηνπηθή γξακκηθόηεηα εθθξάδεηαη ζπκβνιηθά, δειαδή θηλείηαη ζην επίπεδν ησλ δηεξγαζηώλ-ελλνηώλ. Οη δχν έλλνηεο είλαη πνιχ θαιά ζπλδεδεκέλεο έηζη ψζηε ε πξψηε λα νδεγεί κε θπζηνινγηθφ ηξφπν ζηε δεχηεξε. ην επίπεδν ηεο δηδαζθαιίαο ησλ ελλνηψλ επηδηψθεηαη νη καζεηέο λα πεξάζνπλ απφ ηελ ηνπηθή επζύηεηα ζηελ ηνπηθή γξακκηθόηεηα. Γειαδή λα γίλεη νκαιά ην πέξαζκα απφ ην πεξηβάιινλ ηεο εμεηθόληζεο ζηνλ θφζκν ησλ δηεξγαζηώλ-ελλνηώλ. Γηα λα αληηιεθζνχλ νπηηθά νη ζπνπδαζηέο ζην πεξηβάιινλ ηεο ηερλνινγίαο απηήλ ηελ ηνπηθή ζρέζε ηεο παξαγψγνπ θαη ηεο εθαπηνκέλεο, κπνξνχλ λα ζρεδηάζνπλ ηελ (γεσκεηξηθή) εθαπηνκέλε ζ έλα ζεκείν κηαο ιείαο θακπχιεο θαη λα δηαπηζηψζνπλ φηη θάησ απφ πςειή κεγέζπλζε ην θνκκάηη ηηο θακπχιεο θαη ηεο εθαπηνκέλεο είλαη δχζθνιν λα δηαθξηζνχλ κεηαμχ ηνπο. Ο ζπκβνιηθφο θφζκνο ησλ δηεξγαζηψλ-ελλνηψλ (symbolic-proceptual) αμηνπνηεί ην ξφιν ησλ ζπκβφισλ ζηελ αξηζκεηηθή θαη ηελ άιγεβξα ζπλδπάδνληαο ηελ δπηθή ηνπο ππφζηαζε σο δηεξγαζία θαη σο έλλνηα-αληηθείκελν. Αλαπηχζζεηαη κε έλαλ αξθεηά δηαθνξεηηθφ ηξφπν απ ηνλ «θφζκν ηεο εμεηθφληζεο», φπνπ εκπεδψλεη ην κέηξεκα σο αξηζκφ, ηελ πξφζζεζε σο πνζφ, ηελ επαλαιακβαλφκελε πξφζζεζε σο γηλφκελν, ηε δηαίξεζε σο θιάζκα, γεληθέο αξηζκεηηθέο δηαδηθαζίεο σο αιγεβξηθέο εθθξάζεηο, άπεηξεο πξνζεγγηζηηθέο αθνινπζίεο σο φξην (Tall 2009x, ζει.2) Διδακηικέρ πποζεγγίζειρ ηηρ παπαγώγος μέζυ ηηρ εθαπηομένηρ Οη Downs & Mamona-Downs (2000) αλαθέξνπλ φηη ε εθαπηνκέλε είλαη ρξήζηκε ζηελ αηηηνιφγεζε ηεο παξαγψγνπ δηφηη έρεη ήδε ηζρπξή γεσκεηξηθή ηαπηφηεηα πνπ ζα κπνξνχζε λα ζεσξεζεί αλεμάξηεηε απφ νπνηαδήπνηε νξηαθή δηαδηθαζία. Σν «άγγηγκα» ηεο εθαπηνκέλεο ζε κηα θακπχιε είλαη κηα ηζρπξή δηαίζζεζε πνπ δελ νδεγεί ηνπο καζεηέο ζε πεξαηηέξσ απνξίεο θαη αλαδεηήζεηο γηα ην πψο νξίδεηαη απηφ ην άγγηγκα. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 45

47 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Σα πεξηζζφηεξα βηβιία πξνζπαζνχλ λα γεθπξψζνπλ ην ράζκα πνπ ππάξρεη αλάκεζα ζηηο έλλνηεο ηεο γεσκεηξηθήο (πνπ αγγίδεη ζ έλα ζεκείν ηελ θακπχιε) θαη ηεο αλαιπηηθήο εθαπηνκέλεο (πνπ ε θιίζε ηεο είλαη ε παξάγσγνο ζην ζεκείν). Κάζε x x 0 ην ζπλδένπλ κε ηελ ηέκλνπζα πνπ δηέξρεηαη απ ηα ζεκεία (x 0,f(x 0 )) θαη (x,f(x)). Καηφπηλ ε ηέκλνπζα ζπλδέεηαη κε έλαλ πξαγκαηηθφ αξηζκφ πνπ είλαη ν κέζνο ξπζκφο f ( x) f ( x0 ) κεηαβνιήο ηεο f απ ην x 0 ζην x. Λακβάλεηαη ηφηε κηα ζπλάξηεζε ησλ x x0 ιφγσλ κεηαβνιήο απ ην R-{ x 0 } R. Γίλεηαη κηα εξψηεζε γηα ηε ζπλέρεηα ηεο παξαπάλσ ζπλάξηεζεο ζην κεκνλσκέλν ζεκείν x 0 φπνπ δελ νξίδεηαη. Αλ ππάξρεη ην φξην γη απηήλ ηε ζπλάξηεζε ζην x 0, ηφηε ην φξην θαιείηαη παξάγσγνο ηεο f ζην x 0. Καηφπηλ, κηιψληαο δηαηζζεηηθά, ζπκπηχζζνπκε ηνπο κέζνπο ξπζκνχο κεηαβνιήο πνπ πξνέξρνληαη απ ην x 0 γηα λα ιάβνπκε ηελ εηθφλα καο γηα ην ζηηγκηαίν ξπζκφ ζην x 0. Σν πξφβιεκα πνπ έρεη εληνπηζζεί εδψ είλαη φηη νη καζεηέο εζηηάδνπλ ζηηο ηέκλνπζεο θαη εηδηθφηεξα ζηε ρνξδή ησλ ηεκλνπζψλ ε νπνία εμαθαλίδεηαη φηαλ x = x 0 θαη αγλννχλ ηελ θιίζε ησλ ηεκλνπζψλ ε νπνία ηείλεη λα δψζεη θαιχηεξε έλδεημε ηεο θιίζεο ηεο θακπχιεο ζην ζεκείν (x 0, f(x 0 )). Έηζη δελ αληηιακβάλνληαη φηη ε νξηαθή ηέκλνπζα (ε γεσκεηξηθή εθαπηνκέλε) ζα δψζεη κία αθξηβή έλδεημε ηεο θιίζεο ηεο θακπχιεο αιιά εζηηάδνπλ ηελ πξνζνρή ηνπο ζην φηη ε ηέκλνπζα εμαθαλίδεηαη. Απηφ νδεγεί ζην εξψηεκα ηη είλαη θαιχηεξν γηα ηελ δηδαζθαιία ηεο παξαγψγνπ ζηα ζρνιηθά βηβιία: Να εηζαρζεί ε γεσκεηξηθή εθαπηνκέλε θαη λα ζπζρεηίδεηαη κε ηηο νξηαθέο δηαδηθαζίεο πνπ είλαη παξνχζεο ζηελ παξαγψγηζε ε λα αλαθεξζεί κφλν ε αλαιπηηθή εθαπηνκέλε αθήλνληαο ηε γεσκεηξηθή εθαπηνκέλε κηα ζησπεξή επηξξνή ζην κπαιφ ησλ ζπνπδαζηψλ; Οη Downs & Mamona-Downs (2000 ζει 186) αλαθέξνπλ φηη ν Hirst (1972) χζηεξα απφ κειέηε θιαζζηθψλ εγρεηξηδίσλ Λνγηζκνχ/Αλάιπζεο θαηέιεμε φηη νη δχν πξνζεγγίζεηο είλαη αξθεηά πξφρεηξα δηαρσξηζκέλεο. Δπίζεο ζέηεη ην εξψηεκα φηη αθνχ ε γεσκεηξηθή εθαπηνκέλε είλαη ηθαλή λα δείμεη ηελ θιίζε κηαο θακπχιεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ζ έλα ζεκείν ηεο, αλεμάξηεηα ησλ νξηαθψλ δηαδηθαζηψλ, γηαηί ε ζεσξία ησλ γεσκεηξηθψλ εθαπηφκελσλ αληηθαηαζηάζεθε απ ηε ζεσξία ηεο παξαγψγηζεο; Δπηπιένλ, έλα παξάδεηγκα ππνινγηζκνχ ηεο θιίζεο κηαο δεπηεξνβάζκηαο θακπχιεο ζ έλα ζεκείν ηεο κε ηε ζεσξία ησλ γεσκεηξηθψλ εθαπηφκελσλ απνδεηθλχεη φηη νη γεσκεηξηθέο εθαπηφκελεο κπνξνχλ λα εθαξκνζζνχλ αιιά ε κέζνδνο απηή δελ κπνξεί λα πξνρσξήζεη καθξηά, ηδηαίηεξα φηαλ ππεηζέξρεηαη επίιπζε εμηζψζεσλ κεγαιχηεξνπ ηνπ 2 νπ βαζκνχ. Παξφιεο ηηο πξνζπάζεηεο λα δηεπθξηληζηνχλ νη δηαθνξέο ησλ γεσκεηξηθψλ θαη ησλ αλαιπηηθψλ εθαπηνκέλσλ γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηειηθά ηελ κνλαδηθή εθαπηνκέλε ζ έλα ζεκείν κηαο θακπχιεο, είλαη δχζθνιν γηα ηνπο καζεηέο λα δηαρσξίζνπλ ζην κπαιφ ηνπο ηηο έλλνηεο φηαλ βξίζθνληαη κπξνζηά ζε αζπλήζηζηεο πεξηπηψζεηο φπσο γηα παξάδεηγκα ζηελ πεξίπησζε ηεο ζπλάξηεζεο f ( x) x. Ζ έξεπλεο ησλ Mamona-Downs 1987, θαη Tall 1986 γηα ην αλ έρεη εθαπηνκέλε ζην κεδέλ ε ζπλάξηεζε f ( x) x ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα, θαη αλ έρεη πνηα είλαη απηή, απνθάιπςε πνηθηιία ιαλζαζκέλσλ απαληήζεσλ αιιά θαη ζσζηψλ απαληήζεσλ κε ιαλζαζκέλε αηηηνιφγεζε. Απηφ απνδεηθλχεη έλα εχξνο δηαθνξεηηθψλ ηξφπσλ ζθέςεο γηα ηηο εθαπηφκελεο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 46

48 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 36: Ζ ζπλάξηεζε f ( x) x Η εθαπηομένη υρ ηοπική πποζέγγιζη ηηρ καμπύληρ Οη Downs & Mamona-Downs, (2000) αλαθέξνπλ φηη ε ζεψξεζε ηεο εθαπηνκέλεο ζε έλα ζεκείν x σο ηνπηθή πξνζέγγηζε ηεο f γχξσ απ ην x είλαη δηαηζζεηηθά αξθεηά ηζρπξή θαη κπνξεί λα βνεζήζεη λα μεπεξαζηνχλ δηάθνξεο παξαλνήζεηο ζρεηηθά κε ηελ εθαπηνκέλε θαη ηελ παξάγσγν. Έρνπκε πεη φηη νη πεξηζζφηεξεο θακπχιεο κνηάδνπλ ηνπηθά επζχγξακκεο αλ κεγεζπλζνχλ ζε θάπνην ζεκείν ηνπο. Σφηε θαίλεηαη ινγηθφ ε θιίζε ηνπο λα κεηξηέηαη απφ θάπνηα επζεία πνπ δηέξρεηαη απφ εθείλν ην ζεκείν θαη πξνζεγγίδεη θαιχηεξα, (ζρεδφλ ηαπηίδεηαη) κε ηελ θακπχιε. Τπνζηεξίδνπλ φηη, ε εθαπηνκέλε ι ηνπ γξαθήκαηνο ηεο f ζην ζεκείν Ρ(x,f(x)) είλαη ε θαιχηεξε γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο f ζηε γεηηνληά ηνπ x. Αξρηθά απνδεηθλχνπλ φηη αλ ε θακπχιε κηαο ζπλάξηεζεο f «παγηδεχεηαη» πάληα «θνληά» ζε κηα επζεία κε θιίζε s, ηφηε ε θιίζε s ηεο επζείαο είλαη ε παξάγσγνο ηεο f ζην x. Πην ζπγθεθξηκέλα: «Έζησ ι κηα επζεία κε θιίζε s πνπ δηέξρεηαη απ ην ζεκείν Ρ(x,f(x) γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη: αλ ζεσξήζνπκε δύν άιιεο επζείεο πνπ δηέξρνληαη απ ην P κε ιίγν κεγαιύηεξε θαη ιίγν κηθξόηεξε θιίζε s+ε θαη s-ε (ε>0), αληίζηνηρα, ηόηε γηα νπνηνδήπνηε ε κπνξνύκε λα βξνύκε δηάζηεκα (x-δ, x+δ) (όπνπ ην δ εμαξηάηαη απ ην ε) ζην νπνίν πάληα ε θακπύιε ηεο f παγηδεύεηαη εληόο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο πνπ νξίδεηαη απ ηηο δύν επζείεο πνπ δηέξρνληαη απ ην Ρ θαη ην δηάζηεκα (x-δ, x+δ). Σόηε ε s είλαη ε παξάγσγνο ηεο f ζην x». Μεηαθεξφκαζηε ζην παξαθάησ δπλακηθφ ζρήκα ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ, φπνπ έρνπκε ζρεδηάζεη ηε ζπλάξηεζε f(x) = α x (a=1.4) θαη ηηο επζείεο PT, PC, PT κε θιίζεηο s-ε, s, s+ε αληίζηνηρα. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 47

49 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 37: Ζ επζεία PC σο ε θαιχηεξε γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο ζπλάξηεζεο f(x)=α x (α=1.4), ζην ζεκείν P. Οη επζείεο PS θαη PT είλαη δχν επζείεο πνπ δηέξρνληαη απ ην Ρ θαη νη θιίζεηο ηνπο πιεζηάδνπλ απεξηφξηζηα ηελ θιίζε ηεο επζείαο PC Γηα έλα ζπγθεθξηκέλν ε βξίζθνπκε ηα θαηάιιεια ηκήκαηα TV θαη SU γηα λα παγηδεχζνπκε ηνπηθά ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ζηελ ζθηαζκέλε πεξηνρή. Πξνζπαζνχκε λα ζηγνπξεπηνχκε φηη, ηνπηθά, κπνξνχκε λα πεξηνξίζνπκε ην γξάθεκα ηεο f αθφκα πην θνληά ζηε ι κε ηε κείσζε ηνπ ε. Γηα λα ην θάλνπκε απηφ πξέπεη λα θέξνπκε ηα TV θαη SU αθφκα πην θνληά ζην ζεκείν επαθήο Ρ. ρήκα 38: Πιεζηάδνπκε ηηο θιίζεηο s+ε θαη s-ε ησλ επζεηψλ PS θαη PT αθφκε πην θνληά πξνο ηελ θιίζε s ηεο επζείαο PC (κε ηελ κεηαθίλεζε ησλ ζεκείσλ S θαη T πξνο ην ζεκείν Ρ). Με ζπλερή κείσζε ηνπ ε ζηηο θιίζεηο s+ε θαη s-ε (κεηαθηλψληαο θαηάιιεια ηα ζεκεία Σ θαη S) θαη κε ηελ βνήζεηα ηεο κεγέζπλζεο παξαηεξνχκε φηη ε (κπιε) θακπχιε ηεο f παξακέλεη πάληα εληφο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο. ρήκα 39: ζν θη αλ πιεζηάζνπλ νη επζείεο PS θαη PT ηελ επζεία PC πάληα κπνξνχκε λα βξνχκε κία γεηηνληά ηνπ x (ηελ νξηδφληηα απφζηαζε ησλ Σ, S) ψζηε ε θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο f λα βξίζθεηαη εληφο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο πνπ νξηνζεηνχλ νη επζείεο PS θαη PT. Σφηε, κε δεδνκέλν φηη ην ζεκείν B ηεο f κεηαθηλείηαη εληφο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο, δειαδή ην Γx πνηθίιεη ζην δηάζηεκα (x-δ, x+δ), πξνθαλψο φια ηα πειίθα δηαθνξψλ f ( x x) f ( x) βξίζθνληαη αλάκεζα ζηνπο αξηζκνχο s+ε θαη s-ε. Απηφ x επηβεβαηψλεηαη θαη απφ ηηο αξηζκεηηθέο ηηκέο πνπ βξίζθνληαη ζηελ νζφλε ηνπ ινγηζκηθνχ. Σφηε έρνπκε Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 48

50 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) s s ή s x x θαη επεηδή ππνζέζακε ην ε απζαίξεηα κηθξφ πξνθχπηεη f ( x x) f ( x) lim x s 0 x Έηζη ε θιίζε s ηεο επζείαο ι πνπ ηθαλνπνηεί ηηο παξαπάλσ ζπλζήθεο είλαη ε παξάγσγνο ηεο f ζην x. Απεηθνλίζακε δειαδή ηελ επζεία ι σο ηελ αλαιπηηθή εθαπηνκέλε ζην Ρ. Οη Downs and Mamona-Downs κε βάζε ηνλ νξηζκφ 1 ηεο θαιχηεξεο γξακκηθήο πξνζέγγηζεο πνπ δίλνπλ, απνδεηθλχνπλ (p.194) φηη ε παξαπάλσ αλαιπηηθή εθαπηνκέλε ζην x είλαη ε θαιχηεξε γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο f ζηε γεηηνληά ηνπ x. (Ηζρχεη θαη ην αληίζηξνθν φηη δειαδή ε θαιχηεξε γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο f είλαη πάληα κία αλαιπηηθή εθαπηνκέλε). Γειαδή ηειηθά ε εηθφλα πνπ κπνξνχκε λα δψζνπκε γηα ηελ έλλνηα ηεο (αλαιπηηθήο) εθαπηνκέλεο κηαο θακπχιεο ζ έλα ζεκείν Ρ(x,f(x)) είλαη φηη: ζε απζαίξεηα κηθξή γσλία γύξσ απ ηελ επζεία ηεο εθαπηνκέλεο, κπνξνύκε λα παγηδεύζνπκε ηελ θακπύιε ηνπηθά ζε κία γεηηνληά ηνπ x «απνκνλώλνληάο» ηελ από νπνηαδήπνηε άιιε επζεία. 1 Μηα επζεία ι πνπ δηέξρεηαη από έλα ζεκείν P(x,f(x)) κηαο θακπύιεο είλαη ε θαιύηεξε γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο f ζηε γεηηνληά ηνπ x, όηαλ γηα θάζε u ζηε γεηηνληά x (εμαηξνπκέλνπ ηνπ x) ε θαηαθόξπθε απόζηαζε ηεο επζείαο ι απ ηελ θακπύιε είλαη κηθξόηεξε από ηελ θαηαθόξπθε απόζηαζε νπνηαζδήπνηε άιιεο επζείαο (πνπ δηέξρεηαη απ ην Ρ) απ ηελ θακπύιε ηεο f. πκβνιηθά ( u) f ( u) ( u) f ( u ). Ζ απφδεημε φηη ε αλαιπηηθή εθαπηνκέλε δίλεη ηελ θαιχηεξε γξακκηθή πξνζέγγηζε ηεο f ηνπηθά, πξνηείλνπλ φηη γίλεηαη ηδαληθά ρξεζηκνπνηψληαο δπλακηθά δηαγξάκκαηα ζηα νπνία ηνλίδεηαη πεξηζζφηεξν ν κεραληζκφο ηεο πξνζέγγηζεο (π.ρ. νξίνπ αθνινπζίαο ή νξίνπ ζπλάξηεζεο) παξά ην ίδην ην αληηθείκελν (αθνινπζία ή ζπλάξηεζε). Απηή ε κεηαζηξνθή ηεο πξνζνρήο απ ην αληηθείκελν ζηνλ κεραληζκφ ηεο πξνζέγγηζεο είλαη νπζηαζηηθή γηα λα εμαζθαιίζεη ν καζεηήο κηα πιήξε εθηίκεζε ηεο έλλνηαο ηνπ νξίνπ. Παξαηήξεζε Σν παξαπάλσ δπλακηθά δηαγξάκκαηα κπνξνχλ λα θαηαζθεπαζηνχλ εχθνια ζην πεξηβάιινλ ηνπ GeoGebra. Με ην εξγαιείν ηνπ επαλαπξνζδηνξηζκνύ αληηθεηκέλνπ κπνξνχκε άκεζα λ αιιάμνπκε ηνλ ηχπν ηεο ζπλάξηεζεο f νπηηθνπνηψληαο έηζη γξήγνξα θαη εχθνια ηελ ηδηφηεηα ηεο θαιχηεξεο ηνπηθήο γξακκηθήο πξνζέγγηζεο ηεο εθαπηνκέλεο γηα δηάθνξεο θακπχιεο ζπλαξηήζεσλ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 49

51 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 40: ζν θαη λα ειαηηψζνπκε ην ε πάληα ππάξρεη γεηηνληά ηνπ Α ψζηε ε θακπχιε ηεο f(x) = x 3 λα βξίζθεηαη εληφο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο Δύο ειδικέρ πεπιπηώζειρ ην πεξηβάιινλ ηνπ GeoGebra ζρεδηάδνπκε ηηο ζπλαξηήζεηο xsin, αλ x 0 x sin, αλ x 0 x x f(x) = θαη g(x) = 0, αλ x = 0 0, αλ x = 0 Ο ζθνπφο πνπ παξνπζηάδνπκε απηέο ηηο δχν ζπλαξηήζεηο είλαη δηφηη, ελψ εθ πξψηεο φςεσο νη αιγεβξηθέο ηνπο εθθξάζεηο είλαη παξφκνηεο έρνπλ δηαθνξεηηθή ζπκπεξηθνξά ζηε γεηηνληά ηνπ κεδελφο. Παξφιν πνπ θαη νη δχν ηαιαληψλνληαη φιν θαη πην γξήγνξα απφ ζεηηθέο ζε αξλεηηθέο ηηκέο ζηε γεηηνληά ηνπ κεδελφο, ε g έρεη εθαπηνκέλε ζην κεδέλ αιιά ε f δελ έρεη. Απνηππψλνπκε ηα παξαθάησ ζηηγκηφηππα ηεο f ηα νπνία έρνπλ ππνζηεί δηαδνρηθή κεγέζπλζε: ρήκα 41: Ζ κεγέζπλζε ζην γξάθεκα ηεο f ζην κεδέλ «δείρλεη» ζαλ λα δηέξρνληαη άπεηξεο επζείεο απ ην Ο(0,0) ζε έλα εχξνο θιίζεσλ απφ -1 κέρξη +1, θαη φρη κνλαδηθή επζεία. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 50

52 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Απφ ηα παξαπάλσ κεγεζπζκέλα ζηηγκηφηππα γχξσ απ ην κεδέλ κπνξνχκε λα δνχκε φηη ε θακπχιε ζε θάζε γεηηνληά ηνπ κεδελφο, νζνδήπνηε κηθξή, δελ κπνξεί λα παγηδεπηεί γχξσ απφ κνλαδηθή επζεία κε ζπγθεθξηκέλε θιίζε δηφηη θαιχπηεη πάληα φιε ηελ πεξηνρή αλάκεζα απ ηηο επζείεο κε θιίζεηο -1 έσο +1. Δπνκέλσο ε θακπχιε δελ πξνζεγγίδεηαη ζην κεδέλ απφ κνλαδηθή επζεία θαη άξα δελ ππάξρεη εθαπηνκέλε εθεί. Απνηππψλνπκε ηψξα ηα παξαθάησ ζηηγκηφηππα ηεο ζπλάξηεζεο g ζηα νπνία πξνζπαζνχκε λα παγηδεχζνπκε ηελ (κπιε) θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο κεηαμχ ησλ (πξάζηλσλ) επζεηψλ κε αληίζεηεο θιίζεηο, ζε απζαίξεηα κηθξή γεηηνληά ηνπ κεδελφο. ρήκα 42: Παγίδεπζε ηεο θακπχιεο ζηελ ζθηαζκέλε πεξηνρή Με ηε κεηαθίλεζε ηνπ ζεκείνπ C κεηψλνπκε ηελ γσλία ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο ζην Α, (κεηψλνληαο έηζη θαη ηε γεηηνληά ηνπ κεδελφο) θαη θαηφπηλ κεγεζχλνπκε. ρήκα 43: Παγίδεπζε ηεο θακπχιεο ζε κηθξφηεξε ζθηαζκέλε πεξηνρή πλερίδνπκε ηελ ίδηα δηαδηθαζία κείσζεο ηεο γσλίαο θαη ηνπ εχξνπο ηεο γεηηνληάο ηνπ κεδελφο θαη ηαπηφρξνλεο κεγέζπλζεο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 51

53 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 44: Παγίδεπζε ηεο θακπχιεο ζε αθφκε κηθξφηεξε ζθηαζκέλε πεξηνρή ην παξαθάησ ζρήκα βιέπνπκε φηη φηαλ ηνπνζεηήζσ ην C (πνπ θαζνξίδεη ην κέγεζνο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο) ψζηε λα έρεη ηεηκεκέλε ρσξίο κεγέζπλζε δελ θαίλεηαη αλ παγηδεχεηαη ε θακπχιε εληφο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο. ρήκα 45: Παγίδεπζε ηεο θακπχιεο ζε αθφκε κηθξφηεξε ζθηαζκέλε πεξηνρή; Πξαγκαηνπνηψληαο φκσο ηζρπξή κεγέζπλζε γχξσ απ ην ζεκείν x = βιέπνπκε θαζαξά ζην παξαθάησ ζρήκα φηη ε θακπχιε βξίζθεηαη εληφο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο. Δληζρχνληαο ζπλερψο ηε κεγέζπλζε θαζψο θέξλνπκε ην ζεκείν C (πνπ θαζνξίδεη ην κέγεζνο ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο) αθφκε πην θνληά πξνο ην κεδέλ, ζα δηαπηζηψζνπκε νπηηθά φηη ε θακπχιε παγηδεχεηαη ζπλερψο γχξσ απ ηνλ νξηδφληην άμνλα. Απηφ δειψλεη (κε βάζε παξαπάλσ αλάιπζε) φηη ε εθαπηνκέλε ηεο ζπλάξηεζεο ζην κεδέλ είλαη ν νξηδφληηνο άμνλαο. Σν θέξδνο ηειηθά απφ απηή ηελ εξκελεία ηεο εθαπηνκέλεο είλαη φηη μεπεξληέηαη ε γλσζηηθή ζχγθξνπζε φηη ε εθαπηνκέλε αγγίδεη ηελ θακπχιε ζε κνλαδηθφ ζεκείν ηεο, αθνχ ζηελ πεξίπησζε ηεο g ε εθαπηνκέλε ηεο ζην κεδέλ (ν νξηδφληηνο άμνλαο) έρεη «άπεηξα θνηλά ζεκεία» * κε ηε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε ηεο g ζε νπνηαδήπνηε γεηηνληά ηνπ κεδελφο. * Απνδεηθλχεηαη αλ ιχζνπκε ηελ εμίζσζε 2 x sin 1 0 x 3.3 Η έννοια ηος οπιζμένος ολοκληπώμαηορ ηνλ πξαθηηθφ θφζκν ηεο θπζηθήο κέηξεζεο, κπνξεί λα βξεζεί κηα αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ εκβαδνχ κηαο πεξηνρήο κε ηε ρξεζηκνπνίεζε αξθεηά κηθξψλ ηεηξαγψλσλ κε έλα επίπεδν αθξίβεηαο πνπ πεξηνξίδεηαη κφλν απφ ηελ αθξίβεηα ηνπ ζρεδηαζκνχ θαη ηεο κέηξεζεο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 52

54 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Λίγε θαληαζία, θαη θαινζρεδηαζκέλν ινγηζκηθφ πνπ ζρεδηάδεη ινπξίδεο θάησ απφ ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο, κπνξνχλ λα δψζνπλ βαζηά γλψζε ζε πξάγκαηα φπσο ε θάιπςε κηαο πεξηνρήο, θαη ην «πξφζεκν ηνπ εκβαδνχ». Ζ πξνζέγγηζε ηνπ ζρνιηθνχ βηβιίνπ γηα ην νξηζκέλν νινθιήξσκα είλαη φηη αξρηθά πξνζπαζεί λα ππνινγίζεη ην εκβαδφλ Δ ηνπ παξαβνιηθνχ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηε 2 ζπλάξηεζε f ( x) x, ηνλ άμνλα x' x θαη ηηο επζείεο x 0 θαη x 1. κσο εμεηάδεη έλαλ πνιχ κηθξφ αξηζκφ λ ππνδηαζηεκάησλ θαη ζεκεηψλεηαη φηη ην λ ηείλεη ζην άπεηξν. Δπηπιένλ ην ζρνιηθφ βηβιίν εμεηάδεη κφλν ηελ πεξίπησζε πνπ ηα ππνδηαζηήκαηα είλαη ηζνκήθε. Ζ ζηαηηθή εηθφλα δελ ηνπο βνεζά λα ζρεκαηίζνπλ ηελ εηθφλα ηεο δηακέξηζεο πνπ γίλεηαη φιν θαη ιεπηφηεξε. Σν ινγηζκηθφ πξνζθέξεη ηε δπλαηφηεηα δπλακηθήο αλαπαξάζηαζεο ηεο δηακέξηζεο ηνπ δηαζηήκαηνο θαη ηε δπλαηφηεηα δπλακηθήο αξηζκεηηθήο αλαπαξάζηαζεο πνπ πξνζαξκφδεηαη απηφκαηα ζηηο κεηαβνιέο Σο ππόβλημα ηηρ κάλςτηρ μιαρ πεπιοσήρ. Σν ινγηζκηθφ παξέρεη ηε δπλαηφηεηα θάιπςεο ηεο πεξηνρήο κεηαμχ κηαο θακπχιεο, ηνπ άμνλα ησλ x θαη ησλ επζεηψλ x = α θαη x = β, κε ρξήζε νξζνγσλίσλ (ή ηξαπεδίσλ). Υξεζηκνπνηψληαο έλα slider n κπνξνχκε λα απμήζνπκε ην πιήζνο ησλ νξζνγσλίσλ (κε ίζεο βάζεηο), θαη νη καζεηέο κπνξνχλ λα παξαηεξήζνπλ ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ άλσ θαη θάησ αζξνίζκαηνο (ησλ εκβαδψλ ησλ αληίζηνηρσλ πξνζεγγηζηηθψλ νξζνγσλίσλ) γηα ηε ζπλάξηεζε ζην ζπγθεθξηκέλν δηάζηεκα, θαζψο θαη ηελ ηηκή ηεο δηαθνξάο ηνπο. Παίξλνληαο πνιχ κεγάιεο ηηκέο ηνπ n νη καζεηέο κπνξνχλ λα παξαηεξήζνπλ φηη ε δηαθνξά ηείλεη ζην κεδέλ θαη λα ζπλεηδεηνπνηήζνπλ θαιχηεξα φηη φηαλ παίξλνπκε ζηελφηεξα νξζνγψληα ε πεξηνρή πνπ απηά θαιχπηνπλ πιεζηάδεη ηελ πξαγκαηηθή πεξηνρή κεηαμχ ηεο θακπχιεο θαη ηνπ νξηδφληηνπ άμνλα. ρήκα 46: Ζ θάιπςε ηεο πεξηνρήο γηα λ=18 θαη λ=50. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 53

55 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 47: Ζ θάιπςε ηεο πεξηνρήο γηα λ =1501 θαη λ = Σο ππόζημο ηος οπιζμένος ολοκληπώμαηορ Οη πεξηζζφηεξνη καζεηέο θαη φρη ιίγνη θαζεγεηέο ηεο Μέζεο Δθπαίδεπζεο πηζηεχνπλ φηη ην «εκβαδφλ» ηνπ θιηκαθνεηδνχο πξνζεγγηζηηθνχ πνιπγψλνπ είλαη «ζεηηθφ απφ πάλσ θαη αξλεηηθφ απφ θάησ» (Tall 1991a). κσο αλ ην πξφζεκν ηνπ βήκαηνο είλαη αξλεηηθφ (δειαδή κε «αθεηεξία» έλαλ νπνηνδήπνηε αξηζκφ θαη κε «ηέινο» έλαλ άιιν κηθξφηεξν αξηζκφ), ηφηε αιεζεχεη ην αληίζηξνθν. Απηφ έξρεηαη ζε ζχγθξνπζε κε ηελ έλλνηα ηνπ εκβαδνχ γεληθφηεξα αιιά θαη κε ηελ έλλνηα ηνπ εκβαδνχ ηνπ ρσξίνπ Χ φπσο νξίζηεθε γηα f (x) 0. Ζ ζχγθξνπζε απηή νδεγεί ζε πεξαηηέξσ δηεξεπλήζεηο γηα ην ηη εθθξάδεη ην εκβαδφλ ρσξίνπ «θάησ» απφ νπνηαδήπνηε ζπλερή ζπλάξηεζε (πνπ παίξλεη δειαδή θαη αξλεηηθέο ηηκέο ζε θάπνηα δηαζηήκαηα) θαη πσο ζπλδέεηαη απηφ κε ην άζξνηζκα ησλ εκβαδψλ ησλ νξζνγσλίσλ. ηα παξαθάησ ζρήκαηα δίλνπκε έλα παξάδεηγκα κε ηε ζπλάξηεζε f ( x) sin x. Έρνπκε ππνινγίζεη ην «Πάλσ Άζξνηζκα» ησλ εκβαδψλ ησλ νξζνγσλίσλ ηεο ζπλάξηεζεο f κε ζεηηθφ βήκα (απφ ην α = π κέρξη ην β = 2π) θαη αξλεηηθέο ηεηαγκέλεο θαη κεηά ην ίδην «Πάλσ Άζξνηζκα» κε αξλεηηθφ βήκα (δειαδή απ ην α = 2π κέρξη ην β = π). Σν άζξνηζκα ησλ εκβαδψλ ησλ νξζνγσλίσλ ζηελ πξψηε πεξίπησζε είλαη αξλεηηθφ, ελψ ζηε δεχηεξε πεξίπησζε ην εκβαδφλ είλαη ζεηηθφ παξφιν πνπ έρνπκε αξλεηηθέο ηεηαγκέλεο γηα ηελ θακπχιε. (ζεηηθφ βήκα αξλεηηθή ηεηαγκέλε) (αξλεηηθφ βήκα αξλεηηθή ηεηαγκέλε) Αλ θαη ε ηδηφηεηα απηή κπνξεί λα δνζεί απφ έλαλ απιφ ιεηηνπξγηθφ θαλφλα επέθηαζεο ηνπ νξηζκνχ (αλ α > β ηφηε f ( x) dx f ( x) dx), ην ινγηζκηθφ κε ηελ δπλακηθή θαη άκεζε θίλεζε ησλ νξίσλ ηεο νινθιήξσζεο, παξέρεη κία εηθφλα ησλ ηεζζάξσλ δπλαηψλ πεξηπηψζεσλ βήκαηνο-ηεηαγκέλσλ, εκπινπηίδνληαο ηε δηαηζζεηηθή αληίιεςε ησλ καζεηψλ. Οη δπλακηθέο εηθφλεο πνπ παξέρεη ην ινγηζκηθφ είλαη θαιχηεξεο απφ κία ζηαηηθή εηθφλα. Οη καζεηέο δηεξεπλψληαο κφλνη ηνπο ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ φιεο ηηο πεξηπηψζεηο βήκαηνο-ηεηαγκέλεο, ρηίδνπλ κία πην λνεκαηηθή εηθφλα γηα ην πξφζεκν ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο θαη θαηαλννχλ Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 54

56 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ φηη ν ππνινγηζκφο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο εμαξηάηαη απ ηελ ηεηαγκέλε αιιά θαη απ ην πξφζεκν ηνπ βήκαηνο. (ζεηηθφ βήκα - ζεηηθή ηεηαγκέλε) (αξλεηηθφ βήκα ζεηηθή ηεηαγκέλε) Σα παξαπάλσ απνηειέζκαηα πξνθχπηνπλ απ ηνλ ηχπν lim 1 f ( ) x, φπνπ ζε ζεηηθφ βήκα έρνπκε x 0 ελψ ζε αξλεηηθφ βήκα έρνπκε x Το Θεμελιώδερ Θεώπημα ηος Απειποζηικού Λογιζμού Σα ζεκειηψδε ζεσξήκαηα είλαη ηα ζεκαληηθφηεξα απνηειέζκαηα ηνπ Λνγηζκνχ δηφηη παξνπζηάδνπλ ηε ζηελή ζρέζε αλάκεζα ζηελ παξάγσγν θαη ην νινθιήξσκα, σζηφζν νη ζπνπδαζηέο εκθαλίδνπλ δπζθνιίεο σο πξνο ηελ ελλνηνινγηθή ηνπο θαηαλφεζε. Δξεπλεηέο ηεο δηδαθηηθήο ησλ Μαζεκαηηθψλ έρνπλ θαηαγξάςεη απηέο ηηο δπζθνιίεο φπσο ε J. Mamona - Downs ζηηο εξγαζίεο ηεο Area and the Fundamental Theorem of Calculus (1994). Σν βαζηθφ ζπκπέξαζκα ηεο έξεπλαο απηήο είλαη φηη νη ζπνπδαζηέο δελ απνθηνχλ βαζηά γλψζε ηεο «αληίζηξνθεο» ζρέζεο κεηαμχ ηνπ εκβαδνχ θαη ηεο εθαπηνκέλεο θαη απνηπγράλνπλ λα ζπλδέζνπλ ην «αζξνηζηηθφ εκβαδφλ» θάησ απφ κηα ζπλάξηεζε κε ηελ παξάγνπζα ηεο ζπλάξηεζεο. Οη ζπνπδαζηέο ζεσξνχλ απιά φηη ηα νινθιεξψκαηα αθνξνχλ πάληα ζηα εκβαδά θαη φρη ζηε δηαθνξά δχν ηηκψλ κηαο x παξάγνπζαο ζπλάξηεζεο. Ζ ζπλάξηεζε F( x) f ( t) dt πνπ δίλεη ην εκβαδφλ απ ην α κέρξη ην x είλαη δχζθνιν λα θαηαλνεζεί σο ζπλάξηεζε κε δηθφ ηεο πεδίν νξηζκνχ, ζχλνιν ηηκψλ θιπ. Διινρεχεη ε επηζπκία λα αληηθαηαζηήζνπλ ην κεηαβιεηφ άλσ φξην x κε θάπνηα ζπγθεθξηκέλε ζηαζεξή ηηκή γηα λα ππνινγίζνπλ έλα εκβαδφλ. πκπεξαζκαηηθά, ε ζπλαξηεζηαθή κνξθή ηνπ ζεκειηψδνπο ζεσξήκαηνο x F( x) f ( t) dt φπνπ F κία αληηπαξάγσγνο, θαηαλνείηαη κνλφπιεπξα απφ ηνπο a ζπνπδαζηέο. Γελ ληψζνπλ φηη ην ζεκειηψδεο ζεψξεκα πεξηιακβάλεη κηα ηζνηηκία κεηαμχ ηνπ εκβαδνχ (πνπ δίλεηαη απ ην νινθιήξσκα Riemann) θαη ηεο x αληηπαξαγψγνπ. Θεσξνχλ ην f () t dt σο εκβαδφ θαη φρη σο αληηπαξάγσγν ηεο f. Ο a ιφγνο είλαη, ίζσο, φηη νη ζπλεζηζκέλεο αζθήζεηο ηείλνπλ λα ηνλίζνπλ ηελ εχξεζε ηνπ εκβαδνχ απφ κηα αληηπαξάγσγν θαη φρη ην αλάπνδν. Σα παξαπάλσ ζπκπεξάζκαηα πξνέθπςαλ απφ έξεπλα ηεο Mamona-Downs J. ε νπνία έδσζε ζε 66 πξσηνεηείο θνηηεηέο (πνπ πξνεγνπκέλσο δηδάρζεθαλ ην Θεκειηψδεο ζεψξεκα κε ηελ ηππηθή παξνπζίαζε: Θεψξεκα-Απφδεημε) ηελ παξαθάησ εξγαζία: «Σν παξαθάησ ζρήκα δείρλεη έλα εκηθύθιην C κε θέληξν Ο θαη αθηίλα r, όπνπ ε θακπύιε C ηέκλεη ηνλ x-άμνλα ζηα ζεκεία (-r,0) θαη (r,0). a Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 55

57 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ 1. Αλ C είλαη γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f πνηα είλαη ε f; 2. Έζησ ηα ζεκεία Α(0,r), Β(x,0) όπνπ x [-r,r] θαη Γ ζεκείν ηεο C ώζηε ην ΒΓ είλαη παξάιιειν ζηνλ y-άμνλα. Με επθιείδεηα γεσκεηξία βξείηε (ζε ζπλάξηεζε κε ηα r, x) i. Σν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΓΒ ii. Σν εκβαδόλ ηνπ ηνκέα ΟΑΓ 3. Υξεζηκνπνηήζηε ην (2) γηα λα βξείηε ην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο f ηνπ εξσηήκαηνο (1) 4. Βξίζθεηε ηε κέζνδν απηή αζπλήζηζηε γηα ηελ εύξεζε ελόο νινθιεξώκαηνο; Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε πνιιά νινθιεξώκαηα κε αλάινγν ηξόπν;» Ζ εξγαζία, έηζη φπσο ήηαλ δηαξζξσκέλα ηα εξσηήκαηα, είρε ζθνπφ λα ειέγμεη θαηά πφζν νη ζπνπδαζηέο έρνπλ θαηαλνήζεη βαζηά ην Θεκειηψδεο Θεψξεκα φηη δειαδή εθηφο απ ην λα βξνπλ έλα εκβαδφλ απφ κηα αληηπαξάγσγν, κπνξνχλ λα βξνπλ κηα αληηπαξάγσγν απφ έλα εκβαδφλ. Παξφια απηά αθφκα θαη φηαλ βξεζεί θάπνηα αιγεβξηθή κνξθή γηα ηε ζπλάξηεζε ηνπ αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ ππάξρεη κία πξνζήισζε ζ απηήλ θαη ην «αξρηθφ λφεκά ηεο» σο αζξνηζηηθφ εκβαδφ θαη σο αληηπαξάγσγνο κέλεη ζηελ αθάλεηα. Ζ Mamona-Downs πξνηείλεη λα πηνζεηήζνπκε εμαξρήο έλαλ φξν φπσο «ζπλάξηεζε αζξνηζηηθνχ (ζπζζσξεπκέλνπ) εκβαδνχ» θαη λα ηνλ ρξεζηκνπνηνχκε θαη κεηά ηελ θαηαζθεπή ηεο ζπλάξηεζεο ψζηε λα δηαηεξεί ην λφεκά ηεο. Δπηπιένλ ζεσξεί απαξαίηεην λα δνπιέςνπκε θαηεπζείαλ ζηελ ηάμε παξαδείγκαηα ζπλαξηήζεσλ «αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ» ψζηε λα απνθηήζνπλ νη ζπνπδαζηέο άλεζε κε ζπλαξηήζεηο νη νπνίεο δελ δίλνληαη κε θάπνην αλαιπηηθφ ηχπν αιιά πεξηγξαθηθά Η ζςνάπηηζη «αθποιζηικού εμβαδού» ζηο πεπιβάλλον ηος λογιζμικού Σν νξηζκέλν νινθιήξσκα κηαο ζπλερνχο ζπλάξηεζεο f ζην [α, β] νξίδεηαη σο ( ) lim v f x dx f ( ) x a v Ο ππνινγηζκφο ελφο νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο κε ρξήζε ηνπ άπεηξνπ αζξνίζκαηνο είλαη γεληθά δχζθνιν λα ππνινγηζηεί εθηφο αλ δηαζέηνπκε εηδηθφ πξφγξακκα ζε ππνινγηζηή. Σν ζεκειηψδεο ζεψξεκα ηνπ Λνγηζκνχ απινπνηεί εθπιεθηηθά ηε δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ε νπνία γίλεηαη βξίζθνληαο απιά κία παξάγνπζα F ηεο f. Ση ζρέζε έρεη ε παξάγνπζα κε ην νξηζκέλν νινθιήξσκα; Παξαθάησ ζα παξνπζηάζνπκε δηάθνξα παξαδείγκαηα ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ ηα νπνία έρεη ζηφρν ηελ απεηθφληζε (θαη επνκέλσο ηελ θαιχηεξε εκπέδσζε) ηεο ζπλάξηεζεο αζξνηζηηθνχ 1 Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 56

58 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ x εκβαδνχ f () t dt. Δπηπιένλ ζα πξνζπαζήζνπκε λα βξνχκε φπνπ είλαη δπλαηφλ a αλαιπηηθνχο αιγεβξηθνχο ηχπνπο ηεο ζπλάξηεζεο «αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ» δειαδή ηηο αλαιπηηθέο ζρέζεηο πνπ δίλνπλ ηελ ηηκή ηνπ εκβαδνχ γηα θάζε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο x. Οη παξαπάλσ εκπεηξίεο πνπ πεξηγξάςακε θαη πνπ αθνξνχλ ζην πξφζεκν ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξψκαηνο κπνξνχλ λα εθαξκνζζνχλ ζην πξφβιεκα εχξεζεο ηνπ εκβαδνχ αλάκεζα ζ έλα γξάθεκα θαη ζηνλ νξηδφληην άμνλα απφ έλα ζηαζεξφ ζεκείν α κέρξη έλα κεηαβιεηφ ζεκείν x ζεσξψληαο απηφ σο ζπλάξηεζε ηνπ x. Θέινπκε x δειαδή λα κειεηήζνπκε ηε ζπλάξηεζε F( x) f ( t) dt. Γηα παξάδεηγκα κπνξνχκε αξρηθά λα πξνηείλνπκε ζηνπο καζεηέο λα ζρεδηάζνπλ ηελ ζπλάξηεζε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ γηα ηελ f(x) = x μεθηλψληαο ηε κέηξεζε απ ην α = 0. Μεηαθηλψληαο ην x δεμηά ηεο αξρήο ησλ αμφλσλ έρνπκε ζεηηθφ βήκα θαη ζεηηθή ηεηαγκέλε θαη άξα ην «εκβαδφλ» παίξλεη ζεηηθέο ηηκέο. Μεηαθηλψληαο ην x αξηζηεξά ηεο αξρήο έρνπκε αξλεηηθφ βήκα θαη αξλεηηθή ηεηαγκέλε θαη άξα ην «εκβαδφλ» παίξλεη πάιη ζεηηθέο ηηκέο. Σν ινγηζκηθφ απνηππψλεη απηή ηελ θίλεζε θαη δίλεη ζηε ζπλάξηεζε εκβαδνχ (κε αθεηεξία ην α =0) κία αλαγλσξίζηκε κνξθή (θνίηα ην ζρήκα). ρήκα 48: Ζ θακπχιε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ (κε αθεηεξία ην κεδέλ) γηα ηε ζπλάξηεζε f(x) = x Οη καζεηέο κπνξνχλ λα δηαθξίλνπλ φηη θακπχιε πνπ ζρεδηάδεηαη απ ην ζεκείν Α (σο ηεηαγκέλε ηνπ ζεκείνπ Α ζέζακε ηελ ηηκή ηνπ εκβαδνχ πνπ ππνινγίδεηαη κε αθεηεξία ην α = 0) πηζαλφλ λα παξηζηάλεη κία ζπλάξηεζε 2 νπ βαζκνχ y = αx 2 γηα θάπνην ζπληειεζηή α. Δπεηδή ε θακπχιε ηνπ εκβαδνχ πεξλάεη απ ην ζεκείν κε ζπληεηαγκέλεο (2,2), θαη κεηά απφ ρξήζε πνιιψλ άιισλ αληηθαηαζηάζεσλ, νη καζεηέο κπνξνχλ λα εηθάζνπλ φηη ε ζπλάξηεζε ηνπ εκβαδνχ είλαη ε g(x) = x 2 /2. Σν ινγηζκηθφ επηηξέπεη λα εηζάγνπλ ηε ζπλάξηεζε g(x) = x 2 /2 θαη λα ηελ ζπγθξίλνπλ κε απηή πνπ πξνέθπςε γηα λα δνπλ φηη πξάγκαηη ηαηξηάδεη αθξηβψο (θνίηα ην ζρήκα). Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 57

59 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ρήκα 49: Ζ ζπλάξηεζε g(x)=x 2 /2 ζπκπίπηεη κε ηε ζπλάξηεζε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ (κε αθεηεξία ην κεδέλ) ηεο ζπλάξηεζεο f(x) = x Ζ ίδηα δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ηεο ζπλάξηεζεο αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ (κε αθεηεξία ην α = 0), κπνξεί λα εθαξκνζζεί θαη γηα ηε ζπλάξηεζε f(x) = x 2. ρήκα 50: Ζ θακπχιε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ (κε αθεηεξία ην κεδέλ) γηα ηε ζπλάξηεζε f(x) = x 2 Οη καζεηέο ππνζέηνπλ φηη ε θακπχιε πνπ πξνθχπηεη αξρηθά έρεη ηε κνξθή κηαο θπβηθήο θακπχιεο y = αx 3 γηα θάπνην ζπληειεζηή α. Αληηθαζηζηψληαο ηηο ζπληεηαγκέλεο ζεκείσλ απφ ηα νπνία δηέξρεηαη π.ρ. ην (3,9), κπνξνχλ λα δηαπηζηψζνπλ φηη ε ζπλάξηεζε ηνπ εκβαδνχ είλαη ε g(x) = x 3 /3. Γηα ελίζρπζε ηεο εηθαζίαο κπνξνχλ λα δνθηκάζνπλ θαη άιια ζεκεία. Σα παξαπάλσ επξήκαηα ησλ δηεξεπλήζεσλ επηηξέπνπλ κία γεληθφηεξε εηθαζία: Ζ ζπλάξηεζε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ κε αθεηεξία ην κεδέλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f(x) = x λ (λ ζεηηθφο αθέξαηνο) είλαη ε g(x) = x λ+1 /λ+1. Μπνξνχλ λα ειέγμνπλ πεξαηηέξσ ηελ εηθαζία γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ εθζέηε λ θαη λα δηαπηζηψζνπλ φηη ε εηθαζία ηνπο ηζρχεη. φιεο ηηο πεξηπηψζεηο θαινχκε ηνπο καζεηέο λα πξνζέμνπλ φηη g (x) = f(x) δειαδή ε g είλαη κία (ζπγθεθξηκέλε) παξάγνπζα ηεο f. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 58

60 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Η ζςνάπηηζη x F(x)= f(t)dt για διάθοπερ ηιμέρ ηος α (α = α αθεηηπία μέηπηζηρ) Τπνινγίζακε πην πάλσ ην αζξνηζηηθφ εκβαδφλ ηεο ζπλάξηεζεο f(x) = x μεθηλψληαο ηε κέηξεζε ηνπ εκβαδνχ απ ην α = 0 θαη αλαγλσξίζακε ηε ζπλάξηεζε x 2 /2. Αλ ηελ ζπκβνιίζνπκε κε Ζ(x) ηφηε ε ζπλάξηεζε Ζ(x) = x 2 /2 εθθξάδεη κία παξάγνπζα ηεο f. Μεηαθηλνχκε ηε ζέζε ηνπ α ζηνλ νξηδφληην άμνλα γηα λα δηεξεπλήζνπκε πψο δηακνξθψλεηαη ε θακπχιε ηνπ αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο αθεηεξίαο κέηξεζεο ηνπ εκβαδνχ. Καινχκε ηνπο καζεηέο λα πξνζέμνπλ φηη γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ α ε θακπχιε H(x)= x 2 /2 (ηνπ εκβαδνχ πνπ βξήθακε γηα α=0) κεηαηνπίδεηαη θαηαθφξπθα κε ζπγθεθξηκέλν ηξφπν θαη πξνθχπηνπλ νη παξαθάησ θακπχιεο: Γηα α = -1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) ½ = Ζ(x) H(α). Γηα α = -2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) 2= Ζ(x) H(α). Γηα α = 1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) ½ = Ζ(x) H(α). Γηα α = 2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) 2 = Ζ(x) H(α) θιπ. ρήκα 51: Γηα α = -1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ ηεο f(x)=x είλαη F(x)=x 2 /2 ½ = Ζ(x) H(α). ρήκα 52: Γηα α = -2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ ηεο f(x)=x είλαη F(x) = x 2 /2 2= Ζ(x) H(α). ρήκα 53: Γηα α = 1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ ηεο f(x)=x είλαη F(x)=x 2 /2 ½ = Ζ(x) H(α). ρήκα 54: Γηα α = 2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ ηεο f(x)=x είλαη F(x) = x 2 /2 2= Ζ(x) H(α). Αιιάδνπκε ηνλ ηχπν ηεο f, κε ηε δπλαηφηεηα επαλαπξνζδηνξηζκνχ αληηθεηκέλνπ πνπ παξέρεη ην ινγηζκηθφ (δηπιφ θιηθ ζηνλ ηχπν ηεο ή πάλσ ζηελ θακπχιε ηεο ζην παξάζπξν γξαθηθψλ) θαη ζπλερίδνπκε παξφκνηεο δηεξεπλήζεηο γηα ηε ζπλάξηεζε f(x)= x 2. Μειεηάκε πσο κεηαβάιιεηαη ε θακπχιε Ζ(x) (ηνπ εκβαδνχ πνπ βξίζθνπκε Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 59

61 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ κε αθεηεξία κέηξεζεο ην α = 0), γηα δηάθνξεο ζέζεηο ηνπ α. Με παξφκνην ηξφπν φπσο κε ηελ ζπλάξηεζε f(x) = x, αλαγλσξίδνπκε φηη ε ζπλάξηεζε πνπ δίλεη ην εκβαδφλ θάησ απ ηελ f(x) = x 2 κε αθεηεξία ην κεδέλ είλαη ε H(x) = x 3 /3. Παξαηεξνχκε φηη γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ α ε θακπχιε H(x)= x 3 /3 κεηαηνπίδεηαη θαηαθφξπθα θαη πξνθχπηνπλ νη παξαθάησ θακπχιεο: Γηα α=-2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) + 8/3 = Ζ(x) H(α). Γηα α=-1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) + 1/3 = Ζ(x) H(α). Γηα α=1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) 1/3 = Ζ(x) H(α). Γηα α=2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = H(x) 8/3 = Ζ(x) H(α) θιπ. ρήκα 55: Γηα α=-2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ ηεο f(x)=x 2 είλαη F(x) = x 3 /3+ 8/3 = Ζ(x) H(α). Γηα α=-1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ f(x)=x 2 είλαη F(x) = x 3 /3 + 1/3 = Ζ(x) H(α). ρήκα 56: Γηα α=1 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ ηεο f(x)=x 2 είλαη F(x) = x 3 /3 1/3 = Ζ(x) H(α). Γηα α=2 ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ ηεο f(x)=x 2 είλαη F(x) = x 3 /3 8/3 = Ζ(x) H(α) απηφ ην ζεκείν κπνξνχκε λα παξαηεξήζνπκε ζηελ ηάμε θάπνηα ραξαθηεξηζηηθά x ηεο ζπλάξηεζεο αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ F( x) f ( t) dt ηεο f(x) = x 2 φπσο γηα παξάδεηγκα: x Ζ H( x) f ( t) dt είλαη κία ζπγθεθξηκέλε παξάγνπζα ηεο f. 0 Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 60

62 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ x Ζ F( x) f ( t) dt είλαη κία παξάγνπζα ηεο f δειαδή F (x) = f(x). a F(α) = 0 θαη F(β) f ( t) dt f ( t) dt H(β) H(α) (φπνπ H( x) f ( t) dt είλαη κία ζπγθεθξηκέλε παξάγνπζα ηεο f). Ζ ηειεπηαία ηζφηεηα καο επηηξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην εκβαδφλ πνπ πεξηθιείεηαη απφ κηα γξαθηθή παξάζηαζε, ηνλ νξηδφληην άμνλα θαη ηηο επζείεο x=α θαη x=β απιά βξίζθνληαο ηελ παξάγνπζα Ζ ηεο f θαη βξίζθνληαο ηε δηαθνξά Ζ(β)-Ζ(α) Σο Θεμελιώδερ Θεώπημα ζηο πεπιβάλλον ηος λογιζμικού Σν εξψηεκα πνπ κπνξνχκε λα ζέζνπκε εδψ είλαη αλ ηζρχεη ην ηειεπηαίν ρξήζηκν ζπκπέξαζκα γηα νπνηαδήπνηε παξάγνπζα ηεο f. Απηφ κπνξνχκε λα ην ειέγμνπκε θαη λα δηαπηζηψζνπκε φηη ηζρχεη κε ηε βνήζεηα ηνπ ινγηζκηθνχ, ζρεδηάδνληαο ηελ ζπλάξηεζε G(x) = H(x) + c κε c λα κεηαβάιιεηαη (κε ηε βνήζεηα ελφο slider) εληφο ηνπ ζπλφινπ ησλ πξαγκαηηθψλ. Ζ ζπλάξηεζε G εθθξάδεη ηφηε κηα ηπραία θαηαθφξπθε κεηαηφπηζε ηεο H θαη άξα είλαη κία ηπραία παξάγνπζα ηεο F. Σν ινγηζκηθφ ππνινγίδεη ηελ αξηζκεηηθή ηηκή G(β) - G(α) θαη παξαηεξνχκε φηη ηζνχηαη κε ην εκβαδφλ f () t dt γηα θάζε ηηκή ηνπ c (θνίηα ην ζρήκα). Απηφ κπνξνχκε άκεζα λα ην δηθαηνινγήζνπκε αθνχ ε άγλσζηε ζηαζεξά δελ δεκηνπξγεί πξφβιεκα ζηνλ ππνινγηζκφ ηνπ εκβαδνχ δηφηη ζηε δηαθνξά G(β) - G(α) = (Ζ(β)+c) - (Ζ(α)+c) = Ζ(β) Ζ(α), ε άγλσζηε ζηαζεξά απαιείθεηαη. Έηζη έρνπκε απνθηήζεη κία πξψηε θαιή εκπεηξία ηεο αξηζκεηηθήο κνξθήο ηνπ ζεκειηψδνπο ζεσξήκαηνο ηνπ Λνγηζκνχ. 0 x ρήκα 57: Ζ G(x)= H(x)+c εθθξάδεη κία ηπραία θαηαθφξπθε κεηαηφπηζε ηεο Ζ(x) θαη άξα είλαη κία ηπραία παξάγνπζα ηεο f. Ζ δηαθνξά G(β)-G(α) ηζνχηαη ηε δηαθνξά Ζ(β)-Ζ(α) θαη άξα κε ην εκβαδφλ f () t dt a ην παξάξηεκα Β παξαζέηνπκε ηε ζπλάξηεζε αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ γηα ηε ζπλάξηεζε f(x) = x λ ζηηο πεξηπηψζεηο πνπ ν εθζέηεο λ είλαη αξλεηηθφο αθέξαηνο ε αξλεηηθφο ξεηφο. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 61

63 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Μία απσική διαηύπυζη ηηρ εικαζίαρ Με βάζε ηα παξαπάλσ παξαδείγκαηα, κπνξνχκε λα δηαθξίλνπκε θάπνηα ζρέζε x κεηαμχ ηνπ αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ f () t dt κηαο ζπλάξηεζεο f θαη ηεο ίδηαο ηεο a ζπλάξηεζεο. Μπνξνχκε λα δηαηππψζνπκε ηελ εηθαζία φηη: x Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζ έλα δηάζηεκα Γ ηόηε ε ζπλάξηεζε F(x)= f () t dt a κε α, x Γ, (α ζηαζεξά θαη x κεηαβιεηή) (όηαλ ππάξρεη) είλαη κηα παξάγνπζα ηεο f, δειαδή ηζρύεη F ( x) f ( x ) Γευμεηπική απόδειξη ηηρ εικαζίαρ όηαν η f είναι ζςνεσήρ Με ηε βνήζεηα ηεο παξαθάησ δξαζηεξηφηεηαο κπνξνχκε λα ζπλζέζνπκε κηα γεσκεηξηθή εμήγεζε ηεο εηθαζίαο φηη F ( x) f ( x ) (αλ ππνζέζνπκε φηη ε f πιεξεί ηηο πξνυπνζέζεηο ψζηε λα ππάξρεη ε F). ρεδηάδνπκε έζησ ηε ζπλάξηεζε f(x) = sinx ζην πεξηβάιινλ ηνπ Geogebra θαη F( x h) F( x) εκθαλίδνπκε ζην ζρεδηαζηηθφ θχιιν ηηο αξηζκεηηθέο ηηκέο θαη f(x). h Μεηαθηλψληαο ην ζεκείν x+h (h > 0) ψζηε λα πιεζηάδεη απεξηφξηζηα ην ζεκείν x (δειαδή κεηψλνληαο ην h) θαη ηαπηφρξνλα ηεληψλνληαο νξηδφληηα, παξαηεξνχκε ηηο κεηαβνιέο ηνπ ζρήκαηνο θαη ησλ αξηζκεηηθψλ ηηκψλ. Απνηππψλνπκε ηα ζηηγκηφηππα: Παξαηεξψληαο ηα ζρήκαηα πνπ έρνπλ ππνζηεί κεγέζπλζε θαη νξηδφληηα επηκήθπλζε, ε ισξίδα απφ ην x κέρξη ην x+h είλαη θαηά πξνζέγγηζε νξζνγψληα κε πιάηνο h θαη χςνο f(x). Γειαδή: Ω = F(x+h) F(x) f ( x) h, (γηα κηθξά h > 0), ην νπνίν δίλεη F( x h) F( x) f ( x) h Δδψ κπνξνχκε λα παξαηεξήζνπκε φηη, θαζψο ην h κεηψλεηαη ζπλερψο πξνο ην κεδέλ, ε πξνζέγγηζε βειηηψλεηαη φζν ζέινπκε θαη επνκέλσο ππνζέηνπκε φηη ηζρχεη F( x h) F( x) F ( x) lim f ( x). h 0 h Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 62

64 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Η αναγκαιόηηηα ηηρ ζςνέσειαρ για ηην f ζηη γευμεηπική απόδειξη ηελ παξαπάλσ γεσκεηξηθή παξνπζίαζε, ρξεζηκνπνηήζακε ην γεγνλφο φηη, φηαλ ην ζρήκα ππνζηεί νξηδόληηα επηκήθπλζε ε θακπχιε νξηδνληηψλεηαη θαη επζπγξακκίδεηαη ψζηε ε ισξίδα απφ ην x κέρξη ην x+h, λα είλαη θαηά πξνζέγγηζε νξζνγψληα κε κήθνο h θαη χςνο f(x) (θνίηα ην ζρήκα). Απηφ ζεκαίλεη φηη ε θακπχιε κπνξεί λα εγθιεηζηεί κέζα ζε µία νξηδφληηα ηαηλία ηεο νπνίαο ε κηθξφηεξε θαη ε κεγαιχηεξε ηηκή είλαη f( x0 ) θαη f( x 0) αληίζηνηρα. Γηα λα επηηεπρζεί απηφ απαηηείηαη, αλ ζεσξήζνπκε έλα ε >0, λα κπνξνχκε λα βξνχκε έλα επαξθψο κηθξφ δηάζηεκα ( x 0, x 0 ) ψζηε ην f(x) λα βξίζθεηαη κεηαμχ ηνπ f( x 0) θαη f( x 0) (θνίηα ην ζρήκα). Απηφο είλαη ν ηππηθφο νξηζκφο ηεο ζπλέρεηαο : «Μία ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην x 0 αλ, µε δεδνκέλν νπνηνδήπνηε ε>0, κπνξεί λα βξεζεί µηα (κηθξή) απόζηαζε δ ηέηνηα ώζηε όηαλ ην x βξίζθεηαη κεηαμύ x 0 -δ θαη x 0 +δ, ην f(x) βξίζθεηαη κεηαμύ f(x 0 ) - ε θαη f(x 0 ) + ε». Δπνκέλσο απαξαίηεηε πξνυπφζεζε γηα κία ζπλάξηεζε λα ηθαλνπνηήζεη ην ζεκειηψδεο ζεψξεκα είλαη ε ζπλάξηεζε λα είλαη ζπλερήο Απόδειξη ηηρ εικαζίαρ Με ηε βνήζεηα ηεο ζπλέρεηαο κπνξνχκε λα δψζνπκε κία απφδεημε ηεο εηθαζίαο (Tall 1986a). Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f, αλ ην h ιεθζεί ζεηηθφ θαη κηθξφηεξν απφ δ ηφηε νη ηηκέο ηεο ζπλάξηεζεο ζα βξεζνχλ κεηαμχ f() x θαη f() x ζε φιε ηε ινπξίδα. Δπνκέλσο ην εκβαδφλ F(x+h) F(x) ηεο ινπξίδαο ζα βξίζθεηαη κεηαμχ ηνπ ςειφηεξνπ θαη θνληχηεξνπ νξζνγσλίνπ, δειαδή: Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 63

65 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ δειαδή: ( f ( x) ) h F( x h) F( x) ( f ( x) ) h F( x h) F( x) ή f ( x) f ( x) h (παξνκνίσο αλ ιάβνπκε h < 0) Δπεηδή ην ε είλαη απζαίξεηα κηθξφ ε παξαπάλσ ζρέζε είλαη ν ηππηθφο νξηζκφο φηη ην F( x h) F( x) lim f( x) δειαδή F ( x) f ( x ). h 0 h Έηζη παξέρεηαη κία γεσκεηξηθή απφδεημε ζηνπο καζεηέο ψζηε λα πεηζζνχλ φηη ε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο «αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ» κηαο ζπλερνχο ζπλάξηεζεο, απφ έλα ζηαζεξφ ζεκείν α κέρξη έλα κεηαβιεηφ ζεκείν x είλαη ε ίδηα ε ζπλάξηεζε Αθποιζηικό εμβαδό μη ζςνεσούρ ζςνάπηηζηρ Δπηιέγνπκε κία ζπλάξηεζε πνιιαπινχ ηχπνπ πνπ δελ είλαη ζπλερήο γηα λα παξαηεξήζνπκε ηελ επίδξαζε ηεο αζπλέρεηαο ζηε ζπλάξηεζε ηνπ αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ. ην πεξηβάιινλ ηνπ GeoGebra ζρεδηάδνπκε ηελ παξαθάησ ζπλάξηεζε: 0 αλ 0 x 1 f(x) = 2 αλ 1 x 2-2 αλ 2 x 3 Με ην εξγαιείν ηνπ ινγηζκηθνχ ζθηάδνπκε ηελ πεξηνρή πνπ νξίδεηαη απφ ην νξηζκέλν x νινθιήξσκα f () t dt (κε α ζηαζεξφ θαη x κεηαβιεηφ). Απνηππψλνπκε ην ζεκείν a x (x, f () t dt ) θαη ζρεδηάδνπκε ην γεσκεηξηθφ ηφπν ηνπ θαζψο κεηαβάιιεηαη ην x. a Καηφπηλ αξρίδνπκε ηηο δηεξεπλήζεηο κεηαθηλψληαο δηαδνρηθά: ην x πξνζπαζψληαο λα παξαηεξήζνπκε ηε ζρέζε ηνπ «εκβαδνχ» ηεο ζθηαζκέλεο πεξηνρήο θαη ηνπ x, θαη θαηφπηλ ην α παξαηεξψληαο ηελ επίδξαζή ηνπ ζηελ ζπλάξηεζε ηνπ «εκβαδνχ». Καηφπηλ ησλ δηεξεπλήζεσλ ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ απνηππψλνπκε ηα παξαθάησ επηιεγκέλα ζηηγκηφηππα φπνπ ε θφθθηλε έληνλε γξακκή παξηζηάλεη ην x γεσκεηξηθφ ηφπν ηνπ ζεκείνπ (x, f () t dt ) πνπ ζρεδηάδεηαη θαζψο κεηαβάιιεηαη ην x. a Με ηε βνήζεηα ησλ ζπληεηαγκέλσλ επηιεγκέλσλ ζεκείσλ (x, F(x)) κπνξνχκε λα αλαγλσξίζνπκε ηε ζπλάξηεζε F(x) ηνπ αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ ζε θάζε πεξίπησζε: Γηα α = 0 πξνθχπηεη: 1. ην δηάζηεκα [0,1] είλαη F(x) = ην δηάζηεκα [1,2] είλαη F(x) = 2x 2 3. ην δηάζηεκα [2,3] είλαη F(x) = -2x + 6 Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 64

66 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Γηα α = 1 πξνθχπηεη: 1. ην δηάζηεκα [0,1] είλαη F(x) = ην δηάζηεκα [1,2] είλαη F(x) = 2x 2 3. ην δηάζηεκα [2,3] είλαη F(x) = -2x + 6 Παξαηεξνχκε φηη γηα α = 1 πξνθχπηνπλ νη ίδηνη ηχπνη γηα ηε ζπλάξηεζε F(x). Γηα α = 1.5 πξνθχπηεη: 1. ην δηάζηεκα [0,1] είλαη F(x) = ην δηάζηεκα [1,2] είλαη F(x) = 2x 3 3. ην δηάζηεκα [2,3] είλαη F(x) = -2x + 5 Γηα α=2 πξνθχπηεη: 1. ην δηάζηεκα [0,1] είλαη F(x) = ην δηάζηεκα [1,2] είλαη F(x) = 2x 4 3. ην δηάζηεκα [2,3] είλαη F(x) = -2x + 4 Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 65

67 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Γηα α=2.5 πξνθχπηεη: Γηα α=3 πξνθχπηεη: 1. ην δηάζηεκα [0,1] είλαη F(x) = ην δηάζηεκα [1,2] είλαη F(x) = 2x 3 3. ην δηάζηεκα [2,3] είλαη F(x) = -2x ην δηάζηεκα [0,1] είλαη F(x) = ην δηάζηεκα [1,2] είλαη F(x) = 2x 2 3. ην δηάζηεκα [2,3] είλαη F(x) = -2x + 6 Αλ θαιέζνπκε ηνπο καζεηέο λα εζηηαζηνχλ ζε θαζέλα ππνδηάζηεκα νξηζκνχ ηεο f απφ ηα [0,1], [1,2], [2,3], μερσξηζηά, κπνξνχκε λα δηαθξίλνπκε θάπνηα θαλνληθφηεηα ζην ηχπν γηα ηελ F: x ην δηάζηεκα [0,1] ε ζπλάξηεζε εκβαδνχ είλαη F(x) = f () t dt = 0 γηα θάζε α, x [0,1], (κε α ζηαζεξά θαη x κεηαβιεηή) a ην δηάζηεκα [1,2] a) Γηα α = 1 F(x) = 2x 2 b) Γηα α = 1.5 F(x) = 2x 3 c) Γηα α = 2 F(x) = 2x 4 x Γεληθά F(x) = f () t dt = 2x 2α κε α, x a [1,2], (κε α ζηαζεξά θαη x κεηαβιεηή) ην δηάζηεκα [2,3] a) Γηα α = 2 F(x) = -2x + 4 b) Γηα α = 2.5 F(x) = -2x + 5 c) Γηα α = 3 F(x) = -2x + 6 x Γεληθά F(x) = f () t dt = -2x + 2α = (-2x) - (-2α) κε α, x κεηαβιεηή). a [2,3], (κε α ζηαζεξά θαη x Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 66

68 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Κη εδψ κπνξνχκε λα θαιέζνπκε ηνπο καζεηέο λα πξνζέμνπλ θάπνηα ραξαθηεξηζηηθά x ηεο ζπλάξηεζεο αζξνηζηηθνχ εκβαδνχ F( x) f ( t) dt φπσο: F(α) = 0 θαη F(β) f ( t) dt Ζ ζπλάξηεζε F(x) είλαη παξαγσγίζηκε ζε θάζε δηάζηεκα πνπ ε f είλαη ζπλερήο κε F ( x ) = f(x) θαη κε παξαγσγίζηκε ζηα ζεκεία αζπλέρεηαο ηεο f. f ( t) dt H(β) H(α) φπνπ H(x) είλαη κία ζπγθεθξηκέλε παξάγνπζα ηεο f. Δπίλογορ ηελ παξνχζα εξγαζία ππνζηεξίμακε ηελ αλάγθε αμηνπνίεζεο ηεο ηερλνινγίαο ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία θαη εηδηθφηεξα ζηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ. Πην ζπγθεθξηκέλα κηιήζακε γηα ηελ πξφζζεηε παηδαγσγηθή αμία πνπ κπνξεί λα πξνθχςεη ζηε δηδαζθαιία, απφ ηε ρξήζε δηαδξαζηηθψλ δηεξεπλεηηθψλ εθπαηδεπηηθψλ ινγηζκηθψλ ηα νπνία δίλνπλ ηε δπλαηφηεηα ζην ρξήζηε λα αιιειεπηδξάζεη κε ην ινγηζκηθφ, δειαδή λα επέκβεη ζηηο θαηαζθεπέο, λα κεηαβάιιεη ηα ζρήκαηα, λα κεηαθηλήζεη ζεκεία, γεληθά λα πεηξακαηηζζεί ψζηε λα αλαθαιχςεη ηδηφηεηεο, λα νδεγεζεί ζε εηθαζίεο, λα ειέγμεη ηηο εηθαζίεο θαη ίζσο αθφκε θαη λα ηηο απνδείμεη. Χζηφζν, ζηελ εθπαηδεπηηθή θνηλφηεηα ηίζεηαη πάληα ην εξψηεκα: πνηα εγγχεζε παξέρεη έλα εθπαηδεπηηθφ ινγηζκηθφ φηη ζα πεηχρεη ηνλ ζηφρν ηνπ πνπ είλαη ε νπζηαζηηθή ελλνηνινγηθή θαηαλφεζε ησλ ζεκάησλ πνπ δηαπξαγκαηεχεηαη θαη πνχ ελ ηέιεη ππεξέρεη ζε ζρέζε κε ηα παξαδνζηαθά κέζα δηδαζθαιίαο; Μηα αξρηθή απάληεζε ζα κπνξνχζε λα ήηαλ φηη ε αλάπηπμε θαη ε παξαγσγή ελφο εθπαηδεπηηθνχ ινγηζκηθνχ είλαη κηα καθξφρξνλε θαη επίπνλε ζπιινγηθή δηαδηθαζία, ζηελ νπνία ζπκκεηέρνπλ πνιιέο νκάδεο εξγαζίαο δηαθφξσλ εηδηθνηήησλ θαη θαηά ηε δηάξθεηα ηεο νπνίαο ε αμηνιφγεζε είλαη ζπλερήο (Παλαγησηαθφπνπινο θ.ά., 2003). κσο, παξφιν ηελ ελδειερή αμηνιφγεζε ζ φια ηα ζηάδηα ηεο παξαγσγήο ηνπ θαη ηελ ζπκκεηνρή αμηφινγσλ νκάδσλ εξγαζίαο (φπσο γηα παξάδεηγκα ηεο νκάδαο ηεο δηδαθηηθήο ηνπ αληηθεηκέλνπ θαη ησλ καζεζηαθψλ πξνβιεκάησλ), ε θπξηφηεξε θαη ζεκαληηθφηεξε αμηνιφγεζε ελφο εθπαηδεπηηθνχ ινγηζκηθνχ πξνέξρεηαη απφ ηε κεηέπεηηα εθαξκνγή ηνπ. Τπάξρνπλ καζεκαηηθέο έλλνηεο θαη καζεκαηηθέο δηαδηθαζίεο νη νπνίεο ρξήδνπλ κηαο θαιχηεξεο θαη θαηαιιειφηεξεο νπηηθνπνίεζεο, απ απηή πνπ επηηπγράλεηαη ζην πεξηβάιινλ ραξηηνχ- κνιπβηνχ, γηα λα γίλνπλ πεξηζζφηεξν θαηαλνεηέο. Γηα παξάδεηγκα ε χπαξμε ζρέζεσλ κεηαμχ ζηνηρείσλ γεσκεηξηθψλ ζρεκάησλ θαζψο απηά αιινηψλνληαη, ε ζπκπεξηθνξά ησλ θακπχισλ ησλ ζπλαξηήζεσλ ζε κηα κηθξνζθνπηθή γεηηνληά ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηνπο, νη νξηαθέο δηαδηθαζίεο θιπ., είλαη δχζθνιν λα παξαηεξεζνχλ ζε ζρήκαηα ζρεδηαζκέλα ζηνλ πίλαθα ή ζην ηεηξάδην. Υξεηάδεηαη κεγάιε σξηκφηεηα καζεκαηηθήο ζθέςεο θαη εκπεηξία εθ κέξνπο ησλ καζεηψλ γηα λα αλαζηνραζηνχλ πάλσ ζε καζεκαηηθά ζχκβνια ή ζε ζηαηηθά ζρήκαηα ζρεδηαζκέλα ζηνλ πίλαθα ή ζην ραξηί. Οη πεξηζζφηεξνη καζεηέο ζηε Β/ζκηα Δθπαίδεπζε δελ δηαζέηνπλ ηέηνηα σξηκφηεηα θη εκπεηξία. Σα εθπαηδεπηηθά δηεξεπλεηηθά ινγηζκηθά ησλ καζεκαηηθψλ παξέρνπλ κία θαιή αλαπαξάζηαζε βαζηθψλ καζεκαηηθψλ αληηθεηκέλσλ φπσο γεσκεηξηθψλ ζρεκάησλ, γξαθηθψλ παξαζηάζεσλ ζπλαξηήζεσλ, γεσκεηξηθψλ ηφπσλ θιπ. θαη επηπιένλ δίλνπλ ηε δπλαηφηεηα ζηνπο καζεηέο λα ηα δηαρεηξηζηνχλ, φπσο λα ηα κεηαθηλήζνπλ θαη νξηζκέλα απ απηά λα ηα αιινηψζνπλ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 67

69 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ηνλ πίλαθα ή ζην ραξηί είλαη δχζθνιν έσο αδχλαην λα επηηεπρζνχλ ηφζν έγθπξεο αλαπαξαζηάζεηο θαη ηέηνηνπ είδνπο πεηξακαηηζκνί. Απ ηελ άιιε, κπνξεί λα δηαηππσζεί ε άπνςε φηη αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ζηε δηδαζθαιία άξηηα, απφ θάζε άπνςε, εθπαηδεπηηθά εγρεηξίδηα, πινχζηα ζε ζρεκαηηθέο αλαπαξαζηάζεηο ησλ αληίζηνηρσλ ελλνηψλ θαη κε ηδαληθή δηδαθηηθή παξνπζίαζε ησλ ζεκάησλ πνπ δηαπξαγκαηεχνληαη, ηφηε γηαηί λα ρξεηάδνληαη φιεο απηέο νη εθπαηδεπηηθέο αιιαγέο πνπ πξνσζνχληαη ηα ηειεπηαία ρξφληα γηα ηελ ρξήζε ησλ Σ.Π.Δ. ζηελ Δθπαίδεπζε; Έλα αληεπηρείξεκα πνπ κπνξεί λα δηαηππσζεί εδψ είλαη φηη έλα άξηην απφ θάζε πιεπξά εθπαηδεπηηθφ εγρεηξίδην, απφ κφλν ηνπ, δελ είλαη ζίγνπξν φηη ζα έρεη ηα αλακελφκελα καζεζηαθά απνηειέζκαηα. Απηφ δελ εμαξηάηαη απ ηελ πνηφηεηα θαη ηελ αξηηφηεηα ηνπ εγρεηξηδίνπ, πνπ φλησο κπνξεί λα είλαη πνιχ πςειή, αιιά έρεη λα θάλεη κάιινλ κε ηελ πξαγκαηηθφηεηα ησλ καζεηψλ ζήκεξα πνπ δπζηπρψο είλαη απνκαθξπζκέλνη απφ ην βηβιίν. Γηα ηνπο κηθξνχο καζεηέο ν ρψξνο ηεο νζφλεο ηνπ ππνινγηζηή είλαη πνιχ νηθείνο. ην γεληθφηεξν απηφ θιίκα έρεη ζεκαζία λα δεκηνπξγήζεη ν ίδηνο ν καζεηήο βήκα-βήκα κηα θαηαζθεπή, ηελ νπνία κπνξεί, είηε λα ηε κεηαθηλήζεη είηε λα ηελ αιινηψζεη, γεληθά λα ηελ «καζηνξέςεη» φπσο απηφο επηζπκεί. Ζ δξάζε θαη ην βίσκα, είλαη απ ηηο βαζηθφηεξεο πξφζζεηεο παηδαγσγηθέο αμίεο πνπ επηηπγράλνληαη κε ηελ θηλεηνπνίεζε ηνπ καζεηή ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ. Μάιηζηα, ε παξάιιειε εκθάληζε ζηελ νζφλε θαη ε ηαπηφρξνλε ζπκκεηαβνιή, θαη ηεο αιγεβξηθήο θαη ηεο γξαθηθήο αλαπαξάζηαζεο ελφο καζεκαηηθνχ αληηθεηκέλνπ, είλαη έλα πιενλέθηεκα πνπ παξέρνπλ θάπνηα ινγηζκηθά, ην νπνίν εληζρχεη ηελ θαιχηεξε θαηαλφεζε θαη εκπέδσζε ηνπ καζεκαηηθνχ αληηθεηκέλνπ. Έλα άιιν ζεκείν, ην νπνίν έρεη επηζεκαλζεί απφ ηνπο πνιινχο καζεκαηηθνχο ηεο Γεπηεξνβάζκηαο Δθπαίδεπζεο, είλαη φηη απφ ηνπο πεξηζζφηεξνπο καζεηέο, ε άιγεβξα αληηκεησπίδεηαη σο έλα ζπλνλζχιεπκα ζπκβφισλ θαη ε γεσκεηξία σο έλα πεδίν πνιχπινθσλ θαη αθαηαλφεησλ ζρεκάησλ θαη ζρέζεσλ. Σψξα, κε ηε ρξήζε ηνπ ινγηζκηθνχ ίζσο λα πεηζζνχλ φηη ηα αιγεβξηθά ζχκβνια, ηα νπνία είλαη αλαγθαία γηα ηελ θαιχηεξε επηθνηλσλία ησλ καζεκαηηθψλ, δελ είλαη απιά έλα ζχκθπξκα (αλαθαηεκέλνο ζσξφο) ζπκβφισλ, αιιά ην θαζέλα έρεη ην ξφιν ηνπ ζην αληίζηνηρν γεσκεηξηθφ αληηθείκελν ην νπνίν εθθξάδνπλ. Ίζσο, επίζεο, λα πεηζηνχλ φηη ηα πνιχπινθα ζρήκαηα ηεο γεσκεηξίαο δηέπνληαη απφ θάπνηεο ζρέζεηο πνπ, δελ ηζρχνπλ επεηδή ηηο δίλεη ε εθθψλεζε ηεο άζθεζεο αιιά πνπ κπνξνχλ λα αλαθαιπθζνχλ, δηακέζνπ ησλ πεηξακαηηζκψλ ζηηο θαηαζθεπέο ηνπο, απφ ηνπο ίδηνπο ηνπο καζεηέο. Οη καζεηέο κπνξνχλ, γηα παξάδεηγκα, λα δεκηνπξγήζνπλ κφλνη ηνπο ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ κηα ζπλάξηεζε π.ρ. ηελ f(x) = αx 3 + βx 2 + γx + δ (κε ηνπο ζπληειεζηέο α, β, γ, δ λα κεηαβάιινληαη απφ sliders) θαη λα δνπλ ην ξφιν πνπ παίδεη ν θαζέλαο ζπληειεζηήο ζηε κνξθή ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Δπίζεο, κπνξνχλ λα ζρεκαηίζνπλ x ην νινθιήξσκα F(x) = f () t dt, φπνπ ηα φξηα α, x αλήθνπλ ζην ίδην δηάζηεκα, (κε ην x λα κεηαβάιιεηαη), θαη λα ην θαηαλνήζνπλ θαη σο ζπλάξηεζε ηνπ x πνπ έρεη ηε δηθή ηεο γξαθηθή παξάζηαζε θαη ηνλ δηθφ ηεο αλαιπηηθφ ηχπν (φπνπ ππνινγίδεηαη) θαη φρη κφλν σο έλα εκβαδφ θάησ απ ηελ θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο f απ ην α σο ην x. Δπηπιένλ, ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ, κπνξνχλ λα κεηαβάιινπλ ηα φξηα α, x ηνπ νινθιεξψκαηνο ψζηε λα δνπλ ηελ επίδξαζε ηνπ θαζελφο ζηε ζπλάξηεζε F(x). Με ηέηνηνπ είδνπο πεηξακαηηζκνχο θαη νπηηθνπνηήζεηο πηζαλφλ λα απμάλεηαη ε απηνπεπνίζεζή ησλ καζεηψλ φηαλ δνπιεχνπλ ζηα καζεκαηηθά. Οηθνδνκείηαη ίζσο, κ απηφλ ηνλ ηξφπν, κία θαιχηεξε ζρέζε κε ηα καζεκαηηθά. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 68

70 3 Ο ΚΔΦΑΛΑΙΟ: ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ ΜΔ ΥΡΗΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ Μία ηειεπηαία παξαηήξεζε πνπ κπνξεί λα γίλεη ζ απηφ ην ζεκείν είλαη φηη ειάρηζηνη, ίζσο, εθπαηδεπηηθνί ηεο Α/ζκηαο θαη Β/ζκηαο Δθπαίδεπζεο κπνξνχλ λα ζέζνπλ ηα καζεκαηηθά ζ έλα ηέηνην παηδαγσγηθφ πιαίζην ψζηε νη καζεηέο λα ληψζνπλ άλεηα θαη ελ ηέιεη, γηαηί φρη, λ αγαπήζνπλ ηα καζεκαηηθά. Ζ εχθνιε δηέμνδνο γηα ηνπο πεξηζζφηεξνπο είλαη λα δηαιέγνληαη κφλν κε ηνπο «πξνηθηζκέλνπο» θαη ηνπο θαινχο καζεηέο, θαη ηνπο άιινπο, ηνπο αδχλακνπο, λα ηνπο παξακεινχλ. Τπάξρεη ε αλάγθε λα θεληξίζνπκε ην ελδηαθέξνλ θαη ησλ πην αδχλακσλ, ζεσξεηηθά, καζεηψλ κε ηξφπνπο πνπ ηαηξηάδεη ζηελ ζεκεξηλή θνηλσλία ηεο ηερλνινγίαο. Αλ παξαηεξήζνπκε γχξσ καο ζα δνχκε παηδηά, αθφκε θαη ηνπ Γεκνηηθνχ ζρνιείνπ, λα ρεηξίδνληαη ηα ηερλνινγηθά εξγαιεία (θηλεηά ηειέθσλα, ειεθηξνληθνχο ππνινγηζηέο) κε κεγάιε άλεζε. Πεξηεγνχληαη ζην Γηαδίθηπν, βξίζθνπλ θαη «θαηεβάδνπλ» κε ζρεηηθή επθνιία δηάθνξεο εθαξκνγέο (ινγηζκηθά) κε ηηο νπνίεο εμππεξεηνχλ δηάθνξεο αλάγθεο ηνπο. Έρνπλ απνθηήζεη αξθεηή εκπεηξία ζηε ρξήζε ησλ ηερλνινγηθψλ εξγαιείσλ θαη άξα ληψζνπλ απηνπεπνίζεζε επξηζθφκελνη ζε ηέηνηα ηερλνινγηθά πεξηβάιινληα. Απηή ηελ εκπεηξία ησλ παηδηψλ κπνξνχκε λα ηελ εθκεηαιιεπηνχκε ψζηε λα αλαινγηζηνχκε θαη λα πεηζηνχκε λα δνθηκάζνπκε έλαλ λέν ηξφπν δηδαζθαιίαο, ν νπνίνο λα ρξεζηκνπνηεί απηά ζηα νπνία ηα παηδηά έρνπλ απνθηήζεη κεγάιε νηθεηφηεηα: ηνλ ειεθηξνληθφ ππνινγηζηή θαη ηα δηαθφξσλ ηχπσλ ινγηζκηθά. Αλ ηα παηδηά είλαη ζεηηθά πξνζθείκελα απέλαληη ζην ηερλνινγηθφ εξγαιείν, είλαη πεξηζζφηεξν πηζαλφ λα ζπκκεηέρνπλ ζ έλα κάζεκα δηεξεχλεζεο ην νπνίν πξαγκαηνπνηείηαη δηακέζνπ απηνχ ηνπ εξγαιείνπ. Θα είλαη ίζσο κία πξφθιεζε γη απηά, λα ζπκκεηάζρνπλ ζε έλαλ λέν ηχπν ηερλνινγηθψλ δξαζηεξηνηήησλ κε εθπαηδεπηηθφ φκσο, ηψξα, πεξηερφκελν. Τελεςηαία ζσόλια Σειεπηαία ππάξρεη κία απμαλφκελε θηλεηηθφηεηα ζρεηηθά κε έξεπλεο νη νπνίεο εζηηάδνπλ ζηηο λέεο επθαηξίεο πνπ πξνζθέξεη ε ηερλνινγία ζηελ εθπαίδεπζε ησλ καζεκαηηθψλ θαη ζηηο ζπλέπεηεο (ζεηηθέο ή αξλεηηθέο) πνπ πηζαλφ λα πξνθχςνπλ ζηελ εθπαίδεπζε ησλ καζεκαηηθψλ θαη πψο πνηθίινπλ ζε δηαθνξεηηθέο ρψξεο θαη πιαίζηα κάζεζεο. Γηα παξάδεηγκα κία εξεπλεηηθή νκάδα απνηεινχκελε απφ ηνπο Jarvis, Lavicza, & Buteau, (Lavicza et.al., 2008) εξεπλνχλ ηελ ρξήζε ησλ CAS ζηελ εθπαίδεπζε ησλ καζεκαηηθψλ ζε παλεπηζηεκηαθφ επίπεδν φπνπ αληρλεχνπλ ηηο αληηιήςεηο θαη πεπνηζήζεηο ησλ θαζεγεηψλ θαζψο επίζεο θαη ηηο ζπλέπεηεο ηεο ρξήζεο ησλ CAS απφ κεκνλσκέλνπο θαζεγεηέο ή απφ ηκήκαηα καζεκαηηθψλ πνπ ρξεζηκνπνηνχλ ηα CAS θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ. Ζ έξεπλα ζα βαζηζηεί ζηελ επηζθφπεζε ηεο βηβιηνγξαθηθήο έξεπλαο πνπ αλαπηχρζεθε απφ ηνπο Lagrange, Artigue, Laborde θαη Trouche (2003), θαη ζε online έξεπλα ηνπ Lavicza ζε 1100 παλεπηζηεκηαθνχο θαζεγεηέο καζεκαηηθψλ απφ ηξεηο ρψξεο (UK, ΖΠΑ, θαη Οπγγαξία). ηεξηγκέλνη ζε απηήλ ηελ δηεζλή κειέηε, ε ίδηα νκάδα έρεη πξνγξακκαηίζεη κηα κειέηε ηεηξαεηνχο δηάξθεηαο γηα λα εμεηάζεη ηε κεκνλσκέλε θαη ζπζηεκαηηθή ρξήζε ησλ CAS. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 69

71 Βιβλιογπαθία Anzarello, F., Olivero, F., Paola, D., & Robutti, O., (2002), A Cognitive Analysis of Dragging Practices in Cabri Environments, Zentralblatt fur Didactic der Mathematik, 34 (3), Bogen J.E., (1969), "The Other Side of the Brain: 2. An Appositional Mind", Bulletin of the Los Angeles Neurological Society 34, 1969, pp Brown, S. I. & Walter, I. (1990) The art of problem posing (2nd ED), Hillsdale, NJ:Lawrence Erlbaum Associates, Publisher. Brown, S. I., & Walter, M. I. (1983), The art of problem posing, Hillsdale, NJ: L. Erlbaum Associates. Confrey, J., & Smith, E. (1991), A framework for functions: Prototypes, multiple representations and transformations". In R. G. Underhill (Ed.), Proceedings of the thirteenth annual meeting of the North American Chapter of The International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Blacksburg: Virginia Polytechnic Institute and State University. Davis, P.J. and Hersh, R.,(1980), The Mathematical Experience ( Ζ καζεκαηηθή εκπεηξία), κεηάθξαζε Αλαζηαζηάδεο Γ., Δθδφζεηο Σξνραιία. Dorfler, W. (1993), Computer use and views of the mind, In C. Keitel & K. Ruthven (Eds), Learning from computers: Mathematics Education and Technology (pp ). Berlin: Springer - Verlag. Downs, M., Mamona-Downs, J., (2000), On Grafic Representation of Differentiation of Real Functions, Themes in Education Vol. 1 (2), (p.p ). Edwards, J. A., and Jones, K., (2006), Linking geometry and algebra with GeoGebra, Mathematics Teaching, incorporating MicroMath, 194, Embacher, F., et al. (2006), Medienvielfalt im Mathematikunterricht (Media diversity in mathematics teaching), Project report for the Austrian Ministry of Education, Vienna, Austria. Evolution of Mathematical Concepts, (1986) «Δμέιημε ησλ Μαζεκαηηθψλ Δλλνηψλ», Σν Αλνηθηφ Παλεπηζηήκην ηεο Αγγιίαο (The Open University) (1986), κεηάθξαζε Φπρνγπηφο Γ. Gazzaniga M.S. (1974), Cerebral Dominance Viewed as a Decision System, Hemisphere Function in the Human Brain (ed. Dimond S. & Beaumont J.) Elek, London, pp Glennon V.J. (1980), "Neuropsychology and the Instructional Psychology of Mathematics", The Seventh Annual Conference of the Research Council for Diagnostic and Prescriptive Mathematics, Vancouver B.C., Canada. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 70

72 Godwin, S. & Sutherland, R. (2004), "Whole Class Technology for Learning Mathematics: the case of functions and graphs". Education, Communication & Information (ECi), Vol 4, No. 1 March 2004, pp Hadamard, J., (1945), "The Psychology of Invention in the mathematical Field", Princeton: Princeton University Press Hadas, N., Hershkowitz, R., & Schwarz, B., (2000), "The Role of Contadiction and Uncertainty in Promoting the Need to Prove in Dynamic Geometry Environments", Educational Studies in Mathematics, 44 (1-3), Hart L.A., (1983), Human Brain and Human Learning, New York: Longman. Hohenwarter, M. and Jones, K., (2007), BSRLM Geometry Working Group: "Ways of linking geometry and algebra: the case of GeoGebra", in D. Küchemann (Ed.) Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 27 (3), Hohenwarter, M. Hohenwarter, J., Kreis, Y., and Lavicza, Z. (2008), "Teaching and learning calculus with free dynamic mathematics software GeoGebra", 11th internasional Congress 0n Mathematikal Education, Mexico. Hohenwarter, M., Preiner, J, & Yi, Taeil., (2007), "Incorporating GeoGebra into teaching mathematics at the college level", Proceedings of the International Conference for Technology in Collegiate Mathematics 2007, Boston, USA: ICTCM Jarvis, D., Lavicza, Z., and Buteau, C. (2008), Computer Algebra System (CAS) Usage and Sustainability in University Mathematics Instruction: New Opportunities and Consequences, Proceedings of the 11th International Congress on Mathematics Education. University of Nuevo Leon, Monterrey, Mexico. Jones, K., (2000), "Providing a Foundation for Deductive Reasoning: Students' Interpretations when Using Dynamic Geometry Software and their Evolving Mathematical Explanations", Educational Studies in Mathematics, 44 (1-3), Kaput, James J, (1986), "Information Technology and Mathematic: Opening New Representational Windows", Educational Technology Center, Cambringe, MA. Kreis, Y., (2004), "Mathé mat TIC. Intégration de l outil informatique dans le cours de mathématiques de la classe de 4e", Luxembourg, Luxembourg: MEN. Lacatos, Ι., (1976), "Proofs and Refucations, The logic of mathematical discovery" (Απνδείμεηο θαη Αλαζθεπέο, Ζ ινγηθή ηεο καζεκαηηθήο αλαθάιπςεο), Δθδφζεηο Σξνραιία (1996) Lavicza, Z., (2006), "Factors influencing the integration of Computer Algebra Systems into university-level mathematics education", International Journal for Technology in Mathematics Education, 14(3) Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 71

73 Lavicza, Z., (2007), "Exploring the current and future roles of Computer Algebra Systems in teaching mathematics at the university level" A work in progress, MSOR Connections, 7 (1), Little, C., (2008), "Interactive geometry in the classroom: old barriers and new opportunities", In Joubert, M. (Ed.) Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics 28(2) June Little, C., (2009), "Differentiation in three easy, GeoGebra-style, lessons", MSOR Connections Vol 9 No 2 May July 2009 Lu, Y-W. A., (2008), "English and Taiwaneses upper secondary teachers approaches to the use of GeoGebra" Lu, Y-W. A., (2008), "Linking Geometry and Algebra: A multiple-case study of Upper-Secondary mathematics teachers conceptions and practices of GeoGebra in England and Taiwan" Mamona-Downs, J. and Downs, M., (2000;), "Common Sense, Area and the Fundamental Theorem of Calculus", In Christine Keitel (Chief Editor) Mathematics (Education) and Common Sense. Proceedings of the CIEAEM 47 Conference (p.p ), Freie Universat Berlin, Germany. Mamona-Downs, J., (1994), "Area and the Fundamental Theorem of Calculus" Papert, S., (1972), "Mindstorms. Children, Computers and Powerful Ideas", Boston, Massachusets: Harvester Press. Papert, S., (1972). "Teaching Children to be Mathnaticians Versus Teaching About Mathemtics", Journal of Mathematics in Science and Tchnology, 31, Polya, G., (1957), "Πψο λα ην ιχζσ;" (How to Solve it?), Δπηκέιεηα Διιεληθήο έθδνζεο Σάζνο Παηξψλεο, Μεηάθξαζε Ξαλζή Φπαθθή, Δθδφζεηο Καξδακίηζα, Sangwin, C., (2007), "A brief review of GeoGebra: dynamic mathematics", MSOR Connections, 7(2), Shaffer, D. W., & Kaput, J. J. (1999), "Mathematics and virtual culture: an evolutionary perspective on technology and mathematics", Educational Studies in Mathematics, 37, Sierpinska, A., (1990), "Some remarks on understanding in mathematics", For the Learning of Mathematics 10 (3), Silver, E. A. & Mamona, J. (1989). Problem posing by middle school teachers. In C. Maher, G. Goldin & R. Davis (Eds.), Proceedings of the eleventh annual meeting of the North American chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). New Brunswick, NJ. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 72

74 Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics, 14 (1), Silver, E.A., Mamona-Downs, J., Leung, S.S. & Kenney, A.P. (1996). Posing Mathematical Problems: An exploratory study. Journal for Research in Mathematics Education, 27 (3), Tall, D. & Mejia-Ramos, J. P., (2009), "The Long-Term Cognitive Development of Different Types of Reasoning and Proof", Hanna, G., Jahnke, H. N., & Pulte, H. (Eds.), Explanation and proof in mathematics: Philosophical and educational perspectives. New York: Springer. Tall, D. & Silvia Di Giacomo (2000), Cosa vediamo nei disegni geometrici? (il caso della funzione blancmange), Progetto Alice 1 (2), ). [English version: What do we "see" in geometric pictures? (the case of the blancmange function). Tall, D., (1981), "Concept Image and Concept Definition in Mathematics, with Special Reference to Limits and Continuity", Educational Studies in Mathematics 12, pp Tall, D., (1985b), The gradient of a graph, Mathematics Teaching 111, Tall, D., (1991a), "Intuition and rigour: the role of visualization in the calculus", Visualization in Mathematics (ed. Zimmermann & Cunningham), M.A.A., Notes No. 19, Tall, D., (2003), "Using Technology to Support an Embodied Approach to Learning Concepts in Mathematics", In L.M. Carvalho and L.C. Guimarães História e Tecnologia no Ensino da Matemática, vol. 1, pp. 1-28, Rio de Janeiro, Brasil. Tall, D., (2004), "Introducing Three Worlds of Mathematics", For the Learning of Mathematics, 23 (3) Tall, D., Smith, D., & Piez, C., (2008), "Technology and Calculus, Research on Technology and the Teaching and Learning of Mathematics, Volume I: Research Syntheses, Κοπδάκη, Μ., Καλογεπάρ, Γ., (2005), Κέληξν Μαζεκαηηθψλ θαη Σερλνινγίαο λνκνχ Αηησιναθαξλαλίαο (ΚΔΜΑΣ): ρεδίαζε καζεζηαθνχ πιηθνχ κε ρξήζε ησλ ΣΠΔ, Πξαθηηθά 3νπ πλεδξίνπ ζηε ύξν-σπδ ζηελ Δθπαίδεπζε, Κςνηγόρ, Υ., (2007), "Σν κάζεκα ηεο Γηεξεχλεζεο", Διιεληθά γξάκκαηα. Κςνηγόρ, Υ., Γημαπάκη, Δ., (2002), "Ννεηηθά Δξγαιεία θαη πιεξνθνξηαθά κέζα", Δθδφζεηο Καζηαληψηε. Μαμυνά-Downs Ι., Δηζήγεζε ζην Παλεπηζηήκην Παηξψλ "Ζ απφδεημε ηνπ πξνθαλνχο" Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 73

75 Παναγιυηακόποςλορ, Υ., Πιεππακέαρ, Υ., Πινηέλαρ, Π., (2003) "Σν εθπαηδεπηηθφ ινγηζκηθφ θαη ε αμηνιφγεζή ηνπ", Μεηαίρκην επηζηήκεο, Δθδφζεηο Μεηαίρκην. Πλαηάπορ, Π. Ιυάννηρ, (2004), Γηπισκαηηθή εξγαζία κε ζέκα «Ζ Γηδαζθαιία ηνπ Απεηξνζηηθνχ Λνγηζκνχ κέζσ Αληηπαξαδεηγκάησλ». Αλαθηήζεθε απφ ) Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 74

76 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Παπάπηημα Α Ένα πιθανό ζενάπιο διδαζκαλίαρ για ηο Θεώπημα Μέζηρ Σιμήρ Γηα ηελ δηδαζθαιία ηεο έλλνηαο απηήο ζα αθνινπζήζνπκε ηηο δξάζεηο θαηαλφεζεο (ζχιιεςεο ηνπ λνήκαηνο) ηεο Sierpinska (1990): 1. Αλαγλψξηζε αληηθεηκέλσλ ή φξσλ πνπ ζρεηίδνληαη κε κία έλλνηα, απφζπαζή ηνπο απφ ην ρψξν ηεο θαζεκεξηλήο εκπεηξίαο θαη απφδνζεο κηαο επηζηεκνληθήο ππφζηαζεο. 2. Γηάθξηζε αλάκεζα ζε δχν αληηθείκελα, ηδηφηεηεο ή ηδέεο πνπ πξηλ ζπγρένληαλ, πξνζδηνξηζκφο δηαθνξψλ θαη νκνηνηήησλ αλάκεζά ηνπο. 3. Γελίθεπζε, δειαδή ζπλεηδεηνπνίεζε ηεο δπλαηφηεηαο επέθηαζεο ηνπ πεδίνπ εθαξκνγψλ ή ηνπ επνπζηψδνπο ραξαθηήξα θάπνηαο πξνυπφζεζεο. 4. χλζεζε, δειαδή αληίιεςε ησλ ζρέζεσλ αλάκεζα ζε δχν ή πεξηζζφηεξεο ηδηφηεηεο, γεγνλφηα, αληηθείκελα, θαη νξγάλσζή ηνπο ζ έλα ζπλεπέο φιν. Πξφβιεκα εηζαγσγήο Τπνζέηνπκε φηη θάπνηε ηαμηδέςακε ζε κία ψξα θάπνηα δηαδξνκή 70 ρηιηνκέηξσλ πνπ ζεκαίλεη φηη ε κέζε ηαρχηεηά καο ήηαλ 70 ρηι/ψξα. Τπάξρεη ππνρξεσηηθά θάπνην ελδηάκεζν ρξνληθφ ζεκείν πνπ ην ηαρχκεηξν έδεημε αθξηβψο 70; απηφ ην ζεκείν κπνξνχκε λα ζπδεηήζνπκε πάλσ ζην εξψηεκα θαη λα πξνζπαζήζνπκε λα θζάζνπκε ζε κία δηαηζζεηηθή απάληεζε: Aλ ην ηαρχκεηξν έδεηρλε πάληα πάλσ απφ 70 ηφηε ζα δηαλχακε ζε κία ψξα πάλσ απφ 70 ρηιηφκεηξα ελψ αλ ην ηαρχκεηξν έδεηρλε πάληα θάησ απφ 70, ηφηε ζε κία ψξα ζα δηαλχακε θάησ απφ 70 ρηιηφκεηξα. Άξα νδεγνχκαζηε ζην ζπκπέξαζκα φηη ζίγνπξα θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή ην ηαρχκεηξν ζα είρε δείμεη 70. Παξαθάησ ζα πξνζπαζήζνπκε λα γεληθεχζνπκε απηφ ην δηαηζζεηηθφ ζπκπέξαζκα γηα κία νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε f θαζψο θαη λα ειέγμνπκε ηηο πξνυπνζέζεηο θάησ απφ ηηο νπνίεο ηζρχεη. Γξαζηεξηφηεηα γηα κία αξρηθή δηαηχπσζε ηεο εηθαζίαο ηνπ Θ. Μέζεο Σηκήο Γίλεηαη ζηνπο καζεηέο ην παξαθάησ πξφβιεκα ζην πεξηβάιινλ ηνπ Geogebra. Ζ θίλεζε ελφο νρήκαηνο πεξηγξάθεηαη απφ ηε ζπλάξηεζε y = S(t) κε ηελ παξαθάησ γξαθηθή παξάζηαζε. Ζ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή t εθθξάδεη ην ρξφλν ηεο θίλεζεο θαη ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή S(t) ηε ζέζε ηνπ θηλεηνχ ζε ζρέζε κε ηελ αξρηθή ηνπ ζέζε. Πεηξακαηηζζείηε, αιιάδνληαο ζέζε ζηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t 0, t 1, t 2. Παξαηήξεζε Σν ζρήκα κπνξνχκε λα ην θαηαζθεπάζνπκε καδί κε ηνπο καζεηέο εθφζνλ δελ απαηηεί πςειέο ηερληθέο γλψζεηο. Καηφπηλ κπνξνχκε λα ζέζνπκε θαηεπζπληήξηεο εξσηήζεηο Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 75

77 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ζηνπο καζεηέο είηε πξνθνξηθά είηε ζε έλα δνκεκέλν θχιιν εξγαζίαο (ζε ραξηί) φπνπ ζα πξνβιέπεηαη θαη ρψξνο γηα ηηο γξαπηέο απαληήζεηο ησλ καζεηψλ. Δξψηεζε 1 (Αλαγλψξηζε) Μπνξείηε λα ππνινγίζεηε ηε κέζε ηαρχηεηα ηνπ νρήκαηνο κεηαμχ ησλ ρξνληθψλ ζηηγκψλ t 1 =2 θαη t 2 =9; Ση εθθξάδεη γεσκεηξηθά απηή ε κέζε ηαρχηεηα; ηφρνο ηεο εξψηεζεο είλαη λα πεηξακαηηζζνχλ νη καζεηέο, κεηαθηλψληαο ηα θηλεηά S( t2 ) S( t1) ζεκεία t 1 θαη t 2 ηνπ νξηδφληηνπ άμνλα θαη λα ζπζρεηίζνπλ ηνλ ιφγν t2 t1 (ηεο κέζεο ηαρχηεηαο) κε ηελ θιίζε ηεο ηέκλνπζαο. Δξψηεζε 2 (Αλαγλψξηζε) Πψο εθθξάδεηαη γεσκεηξηθά ε ζηηγκηαία ηαρχηεηα ηνπ νρήκαηνο θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t=4; Ο ζηφρνο ηεο εξψηεζεο είλαη λα ζπζρεηίζνπλ ηε ζηηγκηαία ηαρχηεηα θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t 0 =4 κε ηελ θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν (4,S(4)). Δξψηεζε 3 (Γηάθξηζε) Τπάξρεη ρξνληθή ζηηγκή t 0 κεηαμχ ησλ ρξνληθψλ ζηηγκψλ t 1 θαη t 2 φπνπ ην κέηξν ηεο ζηηγκηαίαο ηαρχηεηαο ηζνχηαη κε ηε κέζε ηαρχηεηα πνπ βξήθαηε πξνεγνπκέλσο ζην δηάζηεκα [t 1,t 2 ]; Πεηξακαηηδφκελνη νη καζεηέο ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ θαη κεηαθηλψληαο ην ζεκείν t 0 ζε θαηάιιειε ζέζε εληφο ηνπ (t 1,t 2 ), κπνξνχλ λα δηαθξίλνπλ φηη ππάξρεη ζέζε φπνπ ε θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο (ζηηγκηαία ηαρχηεηα) γίλεηαη ίζε κε ηελ θιίζε ηεο ηέκλνπζαο (κέζε ηαρχηεηα). (Κνίηα ην ζρήκα). Δξψηεζε 4 (επηκέξνπο γελίθεπζε) Ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα ζηελ εξψηεζε 3 (γηα ηελ χπαξμε ηνπ t 0 κεηαμχ ησλ t 1 θαη t 2 ) γηα νπνηεζδήπνηε ρξνληθέο ζηηγκέο t 1 θαη t 2 ; Με ηελ κεηαθίλεζε ησλ ρξνληθψλ ζεκείσλ t 1 θαη t 2 ζε δηάθνξεο ζέζεηο ζηνλ άμνλα ησλ ρξφλσλ ζηφρνο είλαη λα δηαπηζηψζνπλ νη καζεηέο φηη ην παξαπάλσ απνηέιεζκα ηζρχεη γηα νπνηεζδήπνηε ρξνληθέο ζηηγκέο t 1 θαη t 2. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 76

78 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Δξψηεζε 5 (αλαγλψξηζε) Ση ζεκαίλεη γεσκεηξηθά φηη ε ζηηγκηαία ηαρχηεηα ηζνχηαη κε ηε κέζε ηαρχηεηα; Ο ζηφρνο ηεο εξψηεζεο είλαη λα αλαγλσξίζνπλ φηη ε εθαπηνκέλε ζην ( t0, S( t0)) είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία πνπ πεξλάεη απ ηα ζεκεία t, S( )) θαη t, S( )). ( 1 t1 ( 2 t2 Δξψηεζε 6 («Σνπηθή» 1 ζχλζεζε (αθνκνίσζε)) Μπνξείηε λα εθθξάζεηε ζπκβνιηθά ηηο παξαπάλσ απαληήζεηο ζαο; Ο ζηφρνο είλαη λα εθθξάζνπλ ζπκβνιηθά φηη: ζε νπνηνδήπνηε δηάζηεκα [t 1,t 2 ] ππάξρεη S( t2 ) S( t1) ρξνληθή ζηηγκή t 0 ψζηε S ( t0 ). t2 t1 1 Ζ ιέμε «ηνπηθή» αλαθέξεηαη κε ηελ έλλνηα φηη ε παξαπάλσ ζπκβνιηθή έθθξαζε δελ απνηειεί ην «ζπλεπέο φιν» δειαδή ηελ ηειηθή δηαηχπσζε ηνπ ζεσξήκαηνο κέζεο ηηκήο ζηελ νπνία ζέινπκε λα θαηαιήμνπκε αιιά έλα θνκκάηη ηεο. Δξψηεζε 7 (Δπηκέξνπο γελίθεπζε) Ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα γηα κηα νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην [α,β]; Πνηα κπνξεί λα είλαη ε αληίζηνηρε δηαηχπσζε; Ο ζηφρνο είλαη λα γίλεη ε παξαθάησ γελίθεπζε: Αλ f είλαη κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην [α,β] ηόηε ππάξρεη μ ζην [α,β] ηέηνην ώζηε f ( ) f ( ) f ( ) =. Γξαζηεξηφηεηα γηα πην αθξηβή δηαηχπσζε ηεο εηθαζίαο ηνπ Θ. Μέζεο Σηκήο ρεδηάδνπκε ζην πεξηβάιινλ ηνπ Geogebra ηε ζπλάξηεζε f(x) = 0.05(x-2)(x+1)(x- 6)(x-8) νξηζκέλε ζην [α,β] (κε κεηαβιεηά ηα άθξα α, β) θαζψο θαη ηελ εθαπηνκέλε ηεο ζην ζεκείν ηεο (μ,f(μ)). Μεηαθηλνχκε ην ζεκείν μ εληφο ηνπ [α,β] κεηαβάιινληαο ηελ θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο. Απνηππψλνπκε ηα παξαθάησ ζηηγκηφηππα. Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 77

79 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Δξψηεζε 8 (Γηάθξηζε ) Ση παξαηεξείηε ζρεηηθά κε ηελ παξαιιειία ηεο εθαπηνκέλεο θαη ηεο ηέκλνπζαο; Σν ζεκείν (μ,f(μ)) είλαη ην κνλαδηθφ εληφο ηνπ δηαζηήκαηνο [α,β] κε ηε ζπγθεθξηκέλε ηδηφηεηα. Πψο δηαηππψλεηαη ην ζπκπέξαζκα ηεο εξψηεζεο 7; Ο ζηφρνο είλαη, κεηαθηλψληαο ην ζεκείν μ λα δηαθξίλνπλ νη καζεηέο φηη ην ζεκείν μ δελ είλαη ην κνλαδηθφ ζεκείν κε ηελ ζπγθεθξηκέλε ηδηφηεηα. Δπνκέλσο ε θαηλνχξηα δηαηχπσζε είλαη: Αλ f είλαη κηα ζπλάξηεζε ζην [α, β] ηόηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, μ ηέηνην ώζηε f ( ) f ( ) f ( ) =, δειαδή ε εθαπηνκέλε ζην (μ,f(μ)) είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία ΑΒ. Δξψηεζε 9 (Γηάθξηζε) ηεξηδφκελνη ζηε δηαίζζεζε πνηεο ηδηφηεηεο λνκίδεηε φηη πξέπεη λα έρεη ε ζπλάξηεζε f ψζηε λα ηζρχεη ην παξαπάλσ ζπκπέξαζκα; Ο ζηφρνο ηεο εξψηεζεο είλαη, λα δηαθξίλνπλ φηη ε ζπλάξηεζε πξέπεη λα είλαη παξαγσγίζηκε (θαη άξα ζπλερήο) ψζηε λα ππάξρεη ε εθαπηνκέλε ζε θάζε ζεκείν. Γξαζηεξηφηεηα γηα ηελ πξνυπφζεζε ζπλέρεηαο ζε θιεηζηφ δηάζηεκα Γίλνπκε ζηνπο καζεηέο ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ, κία ζπλάξηεζε πνπ νξίδεηαη ζην [α, β] θαη είλαη αζπλερήο ζε εζσηεξηθφ ζεκείν x 0 ή ζε άθξν δηαζηήκαηνο. Σα άθξα α, β ηνπ δηαζηήκαηνο θαη ην εζσηεξηθφ ζεκείν αζπλέρεηαο x 0 κεηαβάιινληαη δπλακηθά. Δξψηεζε 10 (Γηάθξηζε) Τπάξρεη πεξίπησζε λα κελ ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα φηαλ ε ζπλάξηεζε είλαη αζπλερήο ζε εζσηεξηθφ ζεκείν ή ζε άθξν ηνπ δηαζηήκαηνο; Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 78

80 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οη καζεηέο πεηξακαηίδνληαη κε ηα άθξα ηνπ δηαζηήκαηνο ην εζσηεξηθφ ζεκείν αζπλέρεηαο αιιά θαη ην ζεκείν αζπλέρεηαο ζην άθξν. Ο ζηφρνο είλαη λα δηαθξίλνπλ φηη, φηαλ ε ζπλάξηεζε είλαη αζπλερήο ζε εζσηεξηθφ ζεκείν ή ζε άθξν δηαζηήκαηνο κπνξεί λα κελ ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα. εκείσζε: Μπνξνχκε σο αηνκηθή δξαζηεξηφηεηα λα δεηήζνπκε λα ζρεδηάζνπλ κφλνη ηνπο νη καζεηέο έλα αληηπαξάδεηγκα ζην ραξηί θαη θαηφπηλ λα κεηαθεξζνχλ ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ γηα λα ζρεδηάζνπλ θαη λα ειέγμνπλ ην εξψηεκα ζην αληηπαξάδεηγκά ηνπο. Βιέπνπκε φηη δελ ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα γηα ηελ θακπχιε ζην εζσηεξηθφ ζεκείν ηνπ [α,β]. Βιέπνπκε φηη δελ ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα γηα ηελ θακπχιε ζε άθξν ηνπ [α,β]. Γξαζηεξηφηεηα (πξνυπφζεζε παξαγσγηζηκφηεηαο ζηα εζσηεξηθά ζεκεία) Γίλνπκε ζηνπο καζεηέο ζην πεξηβάιινλ ηνπ ινγηζκηθνχ, ηε ζπλάξηεζε f ( x) x 2 2 πνπ νξίδεηαη ζην [α, β] κε κεηαβαιιφκελα ηα άθξα α, β ηνπ δηαζηήκαηνο ψζηε λα πεξηέρεη ην x=2. Ζ ζπλάξηεζε απηή είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη κε παξαγσγίζηκε ζην x=2. Δξψηεζε 11 (Γηάθξηζε ) Ση γίλεηαη κε ηελ εθαπηνκέλε θαη ηελ ηέκλνπζα φηαλ ε ζπλάξηεζε έρεη γσληαθφ ζεκείν ζε εζσηεξηθφ ζεκείν ηνπ δηαζηήκαηνο; Ο ζηφρνο είλαη νη καζεηέο, πεηξακαηηδφκελνη κε ηα άθξα ηνπ δηαζηήκαηνο, λα δηαθξίλνπλ φηη, φηαλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηφ αιιά δελ είλαη παξαγσγίζηκε ζε θάπνην εζσηεξηθφ ζεκείν κπνξεί πάιη λα κελ ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα (θνίηα ην ζρήκα) Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 79

81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Δξψηεζε 12 (Γηάθξηζε) Ση γίλεηαη κε ηελ εθαπηνκέλε θαη ηελ ηέκλνπζα φηαλ ε ζπλάξηεζε δελ είλαη παξαγσγίζηκε ζε άθξν δηαζηήκαηνο; Ο ζηφρνο είλαη νη καζεηέο, πεηξακαηηδφκελνη κε ηα άθξα ηνπ δηαζηήκαηνο, (κεηαθέξνληαο π.ρ. ην άθξν β ζην 2) λα δηαθξίλνπλ φηη, φηαλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηφ αιιά δελ είλαη παξαγσγίζηκε ζε άθξν ηνπ δηαζηήκαηνο, ηζρχεη ην ζπκπέξαζκα (θνίηα ηα ζρήκαηα) Δξψηεζε 13 (ζχλζεζε) Μπνξείηε λα δψζεηε κία ηειηθή δηαηχπσζε (θαζψο θαη γεσκεηξηθή εξκελεία) ζηελ εηθαζία ζαο; Δδψ, ν ζηφρνο είλαη λα ζηνηρεηνζεηεζεί ε δηαηχπσζε ηνπ ζεσξήκαηνο Μέζεο Σηκήο: Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θιεηζηό δηάζηεκα [α, β] θαη παξαγσγίζηκε ζην αλνηθηό δηάζηεκα (α, β) ηόηε ππάξρεη έλα, ηνπιάρηζηνλ, ζεκείν (, ) ηέηνην ώζηε ν ζηηγκηαίνο ξπζκόο κεηαβνιήο ζην μ ηζνύηαη κε ηε κέζε κεηαβνιή ζ απηό ην δηάζηεκα, δειαδή f ( f ( ) = ) f ( ) Γεσκεηξηθά απηό ζεκαίλεη όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κία εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ζην δηάζηεκα (α, β) πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία πνπ πεξλάεη απ ηα ζεκεία (α, f(α)), θαη (β, f(β)). Αξηζηνηέιεο Βιάρνο 80

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών Ι. Εηζαγσγή

Διδακτική των Μαθηματικών Ι. Εηζαγσγή Διδακτική των Μαθηματικών Ι Εηζαγσγή Σύντομα ζα θιεζείηε λα δηδάμεηε καζεκαηηθά ζηελ ηάμε ηνπ λεπηαγσγείνπ Ο ηξόπνο πνπ ζρεδηάδνπκε ηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθώλ, νη εξσηήζεηο πνπ ζέηνπκε, νη απαληήζεηο

Διαβάστε περισσότερα

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1 ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10 ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger Κεθάλαιο 1 Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΛΑΝΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Κεθάιαην 1: Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Σπγγξαθείο: Δξ. Andrea Grimm, Δξ.

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...

Διαβάστε περισσότερα

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x) ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΩΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΧΩΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Δημήτρης Χασάπης ΧΩΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΗΝ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗΕΚΠΑΙΔΕΤΗ Οη γεσκεηξηθέο ζρέζεηο κεηξηθή ζεώξεζε ηνπ ρώξνπ - Απόζηαζε αλάκεζα ζε δύν ζεκεία / κήθνο - Επηθάλεηα / επίπεδα ζρήκαηα /

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Οδηγίες για ηη διδαζκαλία ηων θιλολογικών μαθημάηων ζηο Ενιαίο Λύκειο (απόζπαζμα) Αθήνα 2001 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Α. Τν πεξηερόκελν ηεο πεξίιεςεο (0-12

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε Κβαντικοί Υπολογισμοί Πέκπηε Γηάιεμε Kπθισκαηηθό Mνληέιν Έλαο θιαζηθόο ππνινγηζηήο απνηειείηαη από αγσγνύο θαη ινγηθέο πύιεο πνπ απνηεινύλ ηνπο επεμεξγαζηέο. Σηνπο θβαληηθνύο ε πιεξνθνξία βξίζθεηαη κέζα

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12 ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017 α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,

Διαβάστε περισσότερα

Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη

Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη Μάθημα 11 Τμήμα Μάπκεηινγκ και Διοίκηζηρ Λειηοςπγιών Τα δηαγξάκκαηα θαηάζηαζεο (state diagrams) ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα βνεζήζνπλ ηνλ πξνγξακκαηηζηή λα θαηαιάβεη

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

Η αξρή ζύλδεζεο Client-Server

Η αξρή ζύλδεζεο Client-Server Η αξρή ζύλδεζεο Client-Server Δηαθνκηζηήο (Server) Πξνζθέξεη ππεξεζίεο ζηνπο Πειάηεο (Client) Μεγάινη ππνινγηζηέο γηα ηηο ππεξεζίεο Internet (π.ρ. WWW, FTP) Λακβάλεη εξσηήζεηο θαη δίδεη απαληήζεηο Πειάηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 1 Βαζηθέο Έλλνηεο & Καηεγνξίεο Γηθηύσλ Τπνινγηζηώλ

ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 1 Βαζηθέο Έλλνηεο & Καηεγνξίεο Γηθηύσλ Τπνινγηζηώλ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 1 Βαζηθέο Έλλνηεο & Καηεγνξίεο Γηθηύσλ Τπνινγηζηώλ Γξαζηεξηόηεηα 1ε αο δίλεηαη ν ελλνηνινγηθφο ράξηεο "Γίθηπα Τπνινγηζηψλ - Βαζηθέο Έλλνηεο" πνπ αθνξά ζηελ θεληξηθή έλλνηα "Γίθηπα Τπνινγηζηψλ".

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό.

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό. ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΛΔΤΚΩΙΑ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε ηωλ παξαγόληωλ από ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε. Τιηθά - πζθεπέο: Ηιεθηξνληθή δπγαξηά, ηξνθνδνηηθό ηάζεο, ξννζηάηεο, ακπεξόκεηξν,

Διαβάστε περισσότερα

Case Study. Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report.

Case Study. Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report. Case Study Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report. Βήκα 1 ο : Login ζηο Turnitin. Κάλεηε είζνδν ζην Turnitin κε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1 ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ Πνιινί άλζξσπνη πηζηεύνπλ όηη ν άλεκνο ζα έπξεπε λα αληηθαηαζηήζεη ην πεηξέιαην θαη ην θάξβνπλν σο πεγή ελέξγεηαο γηα ηελ παξαγσγή ειεθηξηζκνύ. Οη θαηαζθεπέο πνπ θαίλνληαη ζηελ εηθόλα είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code)

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Page 1 Υποπλοίαρτος Ν. Πεηράκος ΠΝ Αηδένηα Γνύξεηνη Ίππνη (Trojan Horses) Ινί (Viruses) Worms Root-kit Page 2 Γνύξεηνο Ίππνο (Trojan Horse) Οξηζκόο: Πξόγξακκα

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα. Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο

Διαβάστε περισσότερα

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Ναηαιία Σπαλνύ, spanou@igme.gr & natspanou@gmail.com Τερληθόο Γεσιόγνο (M.Sc.) Πεξηγξαθή Χάξηεο ρσξηθήο θαηαλνκήο

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ.

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΓΑΘΡΙΑ Π. 1,2, ΓΑΘΡΙΑΠ Θ. 1, ΚΖΡΠΗΝ- ΓΑΘΡΙΑ Γ. 1,3,4, ΘΑΡΠΗΑΟΓΑΛΖΠ Ι. 1,5, Α ΛΑΠΡΑΠΗΝ Α. 1,4,6, ΛΗΘΝΙΑΝΠ ΠΘΔΛΡΔΟΖΠ 6. 1. Δ Ρ Α Η Ο Δ Η Α Φ Ο

Διαβάστε περισσότερα

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ»

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη Ανθρώπινου Δυναμικοφ «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» Εταιρεία Ένταςησ Γνώςησ Αριςτοτελείου Πανεπιςτημίου Θεςςαλονίκησ Δια Βίου Μάθηςη Νόκνο:

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Γηα ηε δηεπθόιπλζή ζαο θαηά ην switch-off ηεο πεξηνρήο ηεο Πεινπνλλήζνπ έρνπκε πξνζζέζεη ζηνπο ςεθηαθνύο καο δέθηεο κία λέα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ

ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ 1 Σ. Δ. Ι. ΓΤ Σ Ι Κ Η Μ Α Κ Δ Γ Ο Ν Ι Α ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ Σ Μ Η Μ Α Μ Η Υ Α Ν ΟΛΟ Γ Ι Α Δξγαζηήξην Μεραλνπξγηθώλ Καηεξγαζηώλ & CAD ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 2: Πνηόηεηα Δπηθάλεηαο Γξ. Βαξύηεο

Διαβάστε περισσότερα

Η. Απζίλνο Αλ. Καζεγεηήο Αζιεηηθή δηνίθεζε. ΟΓΗΓΟ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ζηελ Αζιεηηθή δηοίθεζε. Θέκα πηστηαθής (κε ηε κνξθή εξωηήκαηνο):...

Η. Απζίλνο Αλ. Καζεγεηήο Αζιεηηθή δηνίθεζε. ΟΓΗΓΟ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ζηελ Αζιεηηθή δηοίθεζε. Θέκα πηστηαθής (κε ηε κνξθή εξωηήκαηνο):... ΟΓΗΓΟ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ζηελ Αζιεηηθή δηοίθεζε Δπώλσκο :.. Όλοκα :.. ΑΜ:. Ηκεροκελία θαηάζεζες ζηε δηαδηθαζία: Γλωζηηθό αληηθείκελο:.../../ 201.. Θέκα πηστηαθής (κε ηε κνξθή εξωηήκαηνο):..... Έγθρηζε Σοκέα:..

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ MENU ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ Σε απηό ην ζεκείν ηεο εθαξκνγήο δεκηνπξγνύκε ηα δηάθνξα Ηιεθηξνληθά Αξρεία έηζη ώζηε λα ηα ππνβάινπκε ζηνπο δηάθνξνπο θνξείο. Γηα λα επηιέμνπκε έλα είδνο αξρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ Α. Αεπόβια ικανόηηηα: ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ 1. Φόλλοος ζηα δύο καλάθια: νη αζιεηέο είλαη απέλαληη από ηα ηακπιώ ζε δπν γξακκέο. Οη πξώηνη έρνπλ από κηα κπάια. Με ην ζύλζεκα θάλνπλ θόιιννπ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Σηηο παξαθάησ γξακκέο εθαξκόζηε ηε κνξθνπνίεζε πνπ πεξηγξάθνπλ Γξακκή κε έληνλε γξαθή Γξακκή κε πιάγηα γξαθή Γξακκή κε ππνγξακκηζκέλε γξαθή Γξακκή κε Arial Font κεγέζνπο

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό

Διαβάστε περισσότερα

Μεηαπηπρηαθή δηαηξηβή

Μεηαπηπρηαθή δηαηξηβή ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΟ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΚΤΠΡΟΤ ΥΟΛΖ ΚΑΛΧΝ ΚΑΗ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΧΝ ΣΔΥΝΧΝ Μεηαπηπρηαθή δηαηξηβή ΣΑ TABLETS Χ ΔΚΠΑΗΓΔΤΣΗΚΟ ΔΡΓΑΛΔΗΟ ΣΟ ΝΖΠΗΑΓΧΓΔΗΟ ΓΗΑ ΣΖΝ ΔΝΗΥΤΖ ΤΝΔΡΓΑΣΗΚΧΝ ΓΡΑΣΖΡΗΟΣΖΣΧΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ Έιελα Κσλζηαληίλνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οη παξνπζηάζεηο κε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή γίλνληαη κε πξνγξάκκαηα παξνπζηάζεσλ, όπσο ην OpenOffice.org Impress [1] θαη ην Microsoft Office PowerPoint [2]. Απηά ηα πξνγξάκκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΔΘΝΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΗ

ΓΙΔΘΝΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΗ ΓΙΔΘΝΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΗ 1 Ο πίλαθαο ηεο πξνεγνύκελεο ζειίδαο είλαη ηκήκα ηεο έθζεζεο πνπ δεκνζηεύηεθε από ηελ PLAN Ιnternational, κηα δηεζλή αλζξσπηζηηθή νξγάλσζε. Γίλνληαη πιεξνθνξίεο γηα ηηο παξεκβάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ

ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ 24 ο ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΤΝΔΓΡΙΟ ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΚΟΙΝΧΝΙΚΗ ΠΑΙΓΙΑΣΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΑΓΧΓΗ ΣΗ ΤΓΔΙΑ ΠΙΝΟΤΛΑ ΔΤΡΤΓΙΚΗ ΒΑΡΚΑΡΗ ΠΟΛΤΚΡΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.

Διαβάστε περισσότερα