13. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Transcript

1 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 67 3 Σνήθεις διαφορικές εξισώσεις 3 Ορισµοί Μια εξίσση πο περιέχει παραγώγος κάποιας σνάρησης, ονοµάζεαι διαφορική εξίσση ( Ε) Αν η σνάρηση ης οποίας οι παράγγοι εµφανίζοναι σην εξίσση είναι σνάρηση µιας ανεξάρηης µεαβληής, η εξίσση ονοµάζεαι σνήθης διαφορική εξίσση (Σ Ε) Γενικά, οποιαδήποε σνάρηση ν και y και ν παραγώγν ής y ς προς ορίζει µια σνήθη διαφορική εξίσση για ο dy d y,,,, y (3) d d y σναρήσει ο Μερικά παραδείγµαα: d d d y dy d y dy 3 m, a, a by c,, y f ( ) d d d d d d Οποιαδήποε σνάρηση ικανοποιεί µια Ε, ονοµάζεαι λύση ης Ε Μια σνάρηση η οποία εµπεριέχει όλες ις δναές λύσεις µιας Ε ονοµάζεαι γενική λύση ης Ε Ση διαύπση ν διαφορικών εξισώσεν χρησιµοποιούναι διάφορα σύµβολα, όπς: οι ελεσές d d και α σύµβολα y () και y () και d y d 3 d D για ην πράξη ης παραγώγισης (ς προς εδώ), d dy d για ην πρώη παράγγο ο για η δεύερη παράγγο, κοκ y() ς προς ο, ο σµβολισµός ο Νεύνα, σύµφνα µε ον οποίο µια ελεία πάν από ένα σύµβολο d d σηµαίνει παραγώγιση ς προς ο χρόνο :, d d Η άξη ης παραγώγο µεγαλύερης άξης πο εµφανίζεαι ση διαφορική εξίσση, ονοµάζεαι άξη ης διαφορικής εξίσσης Όαν η διαφορική εξίσση εκφρασεί ση µορφή πολνύµο, η δύναµη σην οποία εµφανίζεαι η µεγαλύερης άξης παράγγος ονοµάζεαι βαθµός ης διαφορικής εξίσσης Μια Σ Ε για ην y() ονοµάζεαι γραµµική, αν είναι γραµµική ς προς ην y() και ις παραγώγος ης Για παράδειγµα: d Η m είναι µια γραµµική Σ Ε πρώης άξης και πρώο βαθµού d d d y dy d y Οι a, a by c και είναι δεύερης άξης d d d d και πρώο βαθµού Και οι ρεις είναι γραµµικές 3 dy 3 Η y f ( ) είναι µια Σ Ε εξίσση πρώης άξης Είναι ρίο βαθµού, αφού d 3 dy 3 µπορεί να γραφεί ς ( f ( ) y ) Η µη γραµµικόηά ης οφείλεαι σον όρο d dy d 3, και σις δνάµεις ο y

2 68 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 3 Η παραγγή σνήθν διαφορικών εξισώσεν Έσ όι η σνάρηση y() περιέχει n παραµέρος Με n διαδοχικές παραγγίσεις ης αποκούµε n εξισώσεις Αν χρησιµοποιήσοµε αές ις εξισώσεις για να απαλείψοµε ις ( ) παραµέρος, βρίσκοµε µια σχέση πο περιέχει ις y (), y (),, y n ( ) και η µεαβληή Αποκούµε δηλαδή µια σνήθη διαφορική εξίσση n -οσής άξης για ην y() Παραδείγµαα: dy Αν y 4a( a) ( a σαθερά), παραγγίζονας βρίσκοµε όι y 4a d Απαλείφονας ην a από ις δύο αές εξισώσεις, βρίσκοµε η µη γραµµική διαφορική εξίσση πρώης άξης, Με ον ίδιο ρόπο, αν dy dy y y d d y, θα είναι dy d y και d d Η πρώη και η ρίη εξίσση δίνον η γραµµική διαφορική εξίσση δεύερης άξης: d y y, γνσή ς η εξίσση ο µονοδιάσαο απλού αρµονικού αλανή χρίς d απόσβεση ή εξερική διέγερση Η y λέγεαι όι είναι η γενική λύση ης Σ Ε d y y d Αποδεικνύεαι όι Για να είναι µια λύση η γενική λύση µιας Σ Ε n -οσής άξης, πρέπει να περιέχει n ανεξάρηες αθαίρεες σαθερές Οι λύσεις διαφορικών εξισώσεν πο περιγράφον φσικά προβλήµαα πρέπει να ικανοποιούν ορισµένες σνθήκες Αν οι σνθήκες αφορούν ις ιµές ης άγνσης σνάρησης και ν παραγώγν ης σε ένα µόνο σηµείο (µία ιµή ης ανεξάρηης µεαβληής), οι σνθήκες είναι γνσές ς αρχικές σνθήκες και ο πρόβληµα ονοµάζεαι πρόβληµα αρχικών ιµών Αν οι σνθήκες αφορούν ις ιµές ης άγνσης σνάρησης και ν παραγώγν ης σε περισσόερα ο ενός σηµεία, οι σνθήκες είναι γνσές ς σνοριακές σνθήκες και ο πρόβληµα ονοµάζεαι πρόβληµα σνοριακών ιµών Η ικανοποίηση αών ν σνθηκών, καθορίζει ις ιµές ν αθαίρεν σαθερών, και ξεχρίζει από ις άπειρες λύσεις πο περιγράφει η γενική λύση η µία λύση η οποία ισχύει για ο σγκεκριµένο πρόβληµα Θα εξεάσοµε παρακά µερικές σνήθεις διαφορικές εξισώσεις οι οποίες είναι σηµανικές σην περιγραφή φσικών σσηµάν Λόγ ο δεύερο νόµο ο Νεύνα, πολλές από ις διαφορικές εξισώσεις πο σνανά κανείς ση Μηχανική είναι πρώης ή δεύερης άξης Το ίδιο ισχύει και για προβλήµαα πο αναφέροναι σε αλανώσεις µηχανικών και ηλεκρικών σσηµάν Σε πολύπλοκα σσήµαα (µε πολλούς βαθµούς ελεθερίας) εµφανίζοναι σσήµαα διαφορικών εξισώσεν Για µια πληρέσερη µελέη ο θέµαος ν διαφορικών εξισώσεν ο αναγνώσης µπορεί να σµβολεθεί, µεαξύ πολλών άλλν, και ένα από α σγγράµµαα πο δίνοναι ση βιβλιογραφία 33 ιαφορικές εξισώσεις χριζόµενν µεαβληών Μια Ε η οποία µπορεί να αναχθεί ση διαφορική µορφή g ( y) dy f ( ) d, ονοµάζεαι διαφορική εξίσση χριζόµενν µεαβληών και µπορεί να λθεί µε απλή ολοκλήρση ν δύο µελών:

3 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 69 g ( y) dy f ( ) d c (3) όπο η c είναι µια κοινή σαθερά ολοκλήρσης για α δύο ολοκληρώµαα Οι εξισώσεις αές εξεάσηκαν σο Κεφάλαιο 9 34 Η γραµµική διαφορική εξίσση δεύερης άξης, µε σαθερούς σνελεσές Σις ενόηες πο ακολοθούν, θα θερήσοµε ο χρόνο ς ανεξάρηη µεαβληή, και ην y σνάρηση ο Η γραµµική διαφορική εξίσση δεύερης άξης µε σαθερούς σνελεσές έχει η γενική µορφή y p y p y f ( ) (33) όπο οι p, p είναι σαθεροί σνελεσές Αν f ( ), η εξίσση ονοµάζεαι οµογενής Ο γενικός ρόπος λύσης ης εξίσσης s y p y p y (34) είναι να ποεθεί η µορφή y για ις λύσεις και να ανικαασαθεί ση διαφορική εξίσση Αποκάαι έσι µια αλγεβρική εξίσση, η χαρακηρισική εξίσση, οι λύσεις ης οποίας δίνον si ις ιµές si ο s για ις οποίες οι σναρήσεις y i είναι λύσεις ης διαφορικής εξίσσης Η λύση ης µη οµογενούς εξίσσης βασίζεαι ση σµπλήρση ης γενικής λύσης ης οµογενούς εξίσσης Θα εξεάσοµε ις λύσεις ης γραµµικής διαφορικής εξίσσης δεύερης άξης µε σαθερούς σνελεσές, αρχίζονας από ην πιο απλή µορφή ης οµογενούς εξίσσης και σνεχίζονας µε πιο πολύπλοκες µορφές 34 Η εξίσση y p y s s s Αν ποθέσοµε λύσεις ης µορφής y έχοµε y s και y s Ανικαθισώνας ση διαφορική εξίσση έχοµε κοινό παράγονα s, βρίσκοµε η χαρακηρισική εξίσση s s p s και απλοποιώνας ον s p, ης οποίας λύσεις είναι οι s p και s p p Έχοµε λοιπόν δύο λύσεις ης διαφορικής εξίσσης, ις y και y Η γενική λύση ης διαφορικής εξίσσης είναι ο γραµµικός σνδασµός ν δύο λύσεν, p p y( ) c c (35) Η λύση έχει δύο ανεξάρηες αθαίρεες σαθερές και είναι η γενική λύση ης δοθείσας διαφορικής εξίσσης Ιδιαίερο ενδιαφέρον έχει η περίπση θεικού p Η εξίσση αή σνανάαι σχνά ς η διαφορική εξίσση ο απλού αρµονικού αλανή χρίς απόσβεση ή εξερική διέγερση (σύσηµα µάζας-ελαηρίο, αλανώσεις µικρού πλάος ο απλού ή φσικού εκκρεµούς, αλανώσεις ηλεκρικού κκλώµαος LC, κλπ) Η εξίσση γράφεαι ς y y, σαθ (36) p Υποθέονας λύσεις ης µορφής s y, βρίσκοµε η χαρακηρισική εξίσση s ης οποίας λύσεις είναι οι s i και s i (37) Οι αποδεκές λύσεις ης διαφορικής εξίσσης, πο ανισοιχούν σις δύο αές ιµές ης s, είναι οι

4 7 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής y i i και y (38) Η γενική λύση ης διαφορικής εξίσσης είναι ο γραµµικός σνδασµός ν δύο λύσεν, i y( ) c c i (39) Η λύση µπορεί να γραφεί σε πραγµαική µορφή κάνονας χρήση ο ύπο ο Όιλερ, οπόε έχοµε i i i και i y ) ( c ic ) ( c ic ), ή ( y ( ),, σαθ (3) Μια άλλη µορφή αής ης εξίσσης µπορεί να βρεθεί ς εξής: γράφονας, y( ) και ορίζονας ο πλάος φ a και η σαθερά φάσης φ έσι ώσε, φ έχοµε y( ) a (φ φ ), και ελικά, anφ (3) (3) y ( ) a ( φ) (33) για η λύση ης διαφορικής εξίσσης Οι σαθερές,, ή οι a, φ, µπορούν να προσδιορισούν για ένα σγκεκριµένο πρόβληµα από ις αρχικές ή άλλες σνθήκες ο προβλήµαος Σο Παράδειγµα πο ακολοθεί αό γίνεαι σαφές Παράδειγµα 3 Μια µάζα, σνδεδεµένη σο άκρο ενός ελαηρίο σαθεράς, εκελεί αλανώσεις χρίς απώλειες Να βρεθεί η κίνηση ης µάζας, αν αρχικά ( ) η µεαόπιση ης µάζας ήαν ( ) και η αχύηά ης ( ) Η εξίσση κίνησης ης µάζας είναι,, και η γενική ης λύση (µεαόπιση): ( ) d Η αχύηα ης µάζας είναι: ( ) d Θέονας Εποµένς, η, και χρησιµοποιώνας ις αρχικές σνθήκες, βρίσκοµε: ( ) και ( ) ( ) είναι η λύση πο ικανοποιεί ις δεδοµένες αρχικές σνθήκες

5 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 7 34 Η εξίσση y p y p y Η διαφορική εξίσση y p y p y έχει η χαρακηρισική εξίσση s p s p Η εξίσση αή έχει δύο ρίζες, ις και s, και γενική λύση ην s s s y( ) c c (34) (35) αν οι δύο ρίζες είναι διαφορεικές Αν οι σνελεσές p και p είναι έοιοι ώσε οι δύο ρίζες να είναι ίσες, s s s, η γενική λύση είναι s y ) ( c c ) (36) ( όπς µπορούµε να επιβεβαιώσοµε µε ανικαάσαση ση διαφορική εξίσση Θα µελεήσοµε η διαφορική αή εξίσση σο παράδειγµα πο ακολοθεί, µε αναφορά σον αρµονικό αλανή µε απόσβεση Παράδειγµα 4 Μια µάζα, σνδεδεµένη σο άκρο ενός ελαηρίο σαθεράς, κινείαι καά µήκος ο άξονα ν Ση µάζα ασκείαι επίσης µια δύναµη ριβής ανάλογη ης αχύηάς ης, b Να βρεθεί η λύση για η µεαόπιση ης µάζας () Σύµφνα µε ον δεύερο νόµο ο Νεύνα, η εξίσση κίνησης ης µάζας είναι: b Υποθέονας λύσεις ης µορφής, ή s y, (37) b, βρίσκοµε η χαρακηρισική εξίσση: s s, η οποία έχει ς ρίζες ις s, ± Ορίζοµε α µεγέθη: β και β, (38) οπόε οι δύο ρίζες γράφοναι ς: Αν s β i και β i, η γενική λύση είναι η i i ( ) c c (39) Χρησιµοποιώνας ον ύπο ο Όιλερ, γράφοµε η γενική λύση ση µορφή ή σην ισοδύναµη µορφή Οι σαθερές προβλήµαος s ( ) ( ) ( ) a, (3) ( φ) (3),, ή a, φ, προσδιορίζοναι από ις αρχικές ή άλλες σνθήκες ο Αναγνρίζοµε ις εξής ειδικές περιπώσεις: Μηδενική απόσβεση ( ) Η λύση ανάγεαι σην ( ) a ( φ), ης αµείης αλάνσης

6 7 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής Υποαπόσβεση ( > ) Οι ρίζες ης χαρακηρισικής εξίσσης είναι µιγαδικές και η λύση έχει η µορφή ( ) a ( φ) (3) a Η µάζα εκελεί αλανώσεις µε γνιακή σχνόηα, και πλάος πο φθίνει εκθεικά µε ο χρόνο Σην περίπση ης ασθενούς απόσβεσης, >>, η γνιακή σχνόηα είναι, και ) a ( φ) (33) 3 Κρίσιµη απόσβεση ( ) ( Σην περίπση αή η χαρακηρισική εξίσση γίνεαι s s, και έχει η διπλή ρίζα s Η λύση ης διαφορικής εξίσσης πο ανισοιχεί ση ρίζα αή είναι η ( ) C Αή όµς δεν µπορεί να είναι η γενική λύση ης διαφορικής εξίσσης, η οποία είναι δεύερης άξης και εποµένς έχει γενική λύση µε δύο ανεξάρηες σαθερές Αποδεικνύεαι, και ελέγχεαι µε ανικαάσαση ση διαφορική εξίσση, όι η ( ) D είναι επίσης λύση σην ειδική αή περίπση Εποµένς, η γενική λύση είναι: ( ) ( C D) (34) Αή είναι µια µη αλανική κίνηση Αν η αρχική µεαόπιση είναι αχύηα, η λύση εκφράζεαι ς [ ( ) ] και η αρχική ( ) (35) Η απόσαση ης µάζας από ο σηµείο γίνεαι µέγιση η χρονική σιγµή m Μεά, η µεαόπιση είνει ασµπικά σο µηδέν 4 Υπεραπόσβεση ( < ) Οι λύσεις ης χαρακηρισικής εξίσσης είναι πραγµαικές: Ορίζοµε α και γράφοµε η γενική λύση ς Η κίνηση είναι µη αλανική α α ( ) s, ± ( ) (36) 343 Η εξίσση y p y p y Πριν προχρήσοµε ση µελέη αής ης διαφορικής εξίσσης, θα αποδείξοµε µια πολύ σηµανική αρχή, πο ισχύει για όλες ις γραµµικές διαφορικές εξισώσεις µε σαθερούς σνελεσές, ην Αρχή ης πέρθεσης ή ης επαλληλίας: Αν η y είναι µια λύση ης εξίσσης y p y p y f( ) και η y είναι µια λύση ης εξίσσης y p y p y f( ), όε η y y y είναι µια λύση ης εξίσσης y p y p y f( ) f ( )

7 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 73 Απόδειξη: Επειδή y p y p y f( ) και y p y p y f( ), προσθέονας έχοµε ( y y ) p( y y) p( y y) f( ) f ( ) και εποµένς η y y y είναι λύση ης εξίσσης y p y p y f( ) f ( ) Η εξίσση y p y p y f ( ) είναι γνσή ση θερία ν αλανώσεν, και περιγράφει ην κίνηση ενός αρµονικού αλανή µε απόσβεση, ο οποίος φίσααι εξερική διέγερση ανάλογη ο f () Αν η y () είναι η γραµµική µεαόπιση µιας µάζας και ο χρόνος, όε η f () ισούαι µε ην εξερικά ασκούµενη δύναµη ανά µονάδα µάζας ο αλανή Η περίπση ης σαθερής διέγερσης δεν παροσιάζει ενδιαφέρον, αφού µια αλλαγή ης f µ εαβληής σε z y f p ανάγει ην εξίσση σην οµογενή εξίσση πο ήδη εξεάσαµε Η χρονικά µ εαβαλλόµενη διέγερση έχει εποµένς ενδιαφέρον, και ιδιαίερα η αρµονικά µ εαβαλλόµενη, δηλαδή ης µορφής ή Οι κύριοι λόγοι για η σηµασία ν αρµονικά µεαβαλλόµενν διεγέρσεν είναι οι εξής: Σα γραµµικά σσήµαα, αν η διέγερση είναι αρµονική και η απόκριση θα είναι αρµονική Ένα αθαίρεο περιοδικό σήµα διέγερσης, µε περίοδο T π, µπορεί να αναπχθεί σε σειρά Φοριέ, δηλαδή σε σειρά άπειρν όρν ης µορφής a a a a3 3 b b b3 3, αρµονικά µεαβαλλόµενν, µε σχνόηες πο είναι ακέραια πολλαπλάσια ης σχνόηας ο διεγείρονος σήµαος Αν βρεθεί η απόκριση ο σσήµαος σην κάθε µια σνισώσα ο σήµαος ξεχρισά, όε, σύµφνα µε ην αρχή ης επαλληλίας, η ολική απόκριση ο σσήµαος θα ισούαι µε ο άθροισµα ν επιµέρος αποκρίσεν Αν λοιπόν γνρίζοµε ην απόκριση ενός γραµµικού σσήµαος σε ηµιονικά ή σνηµ ιονικά σ ήµαα, γνρίζοµ ε και ην απόκρισή ο σε κάθε περιοδικό σήµα, και σο όριο πο η περίοδος αού ο σήµαος είνει σο άπειρο, σε κάθε σήµα, περιοδικό ή µη Θα προχρήσοµε ώρα ση λύση ης µη οµογενούς διαφορικής εξίσσης δεύερης άξης µ ε σαθερούς σνελεσές y p y p y, µε αναφορά σον µηχανικό αρµονικό αλανή µε απόσβεση ο οποίος φίσααι µια εξερικά ασκούµενη δύναµη ίση µε Για ο σύσηµα ης µάζας και ο ελαηρίο, η εξίσση κίνησης είναι: ή b, (37), (38) b Ας ποθέσο µε όι, µε οποιοδήποε ρόπο, έχοµε βρει µια λύση ης εξίσσης, ΕΟ, η οποία δεν περιέχει αθαίρεες σαθερές Η λύση αή ονοµάζεαι ειδικό ολοκλήρµα ης διαφορικής εξίσσης Εποµένς, Ε Ο Ε Ο Ε Ο (39) Έσ ώρα όι γράφοµε η γενική λύση ης εξίσσης ς Η ΣΣ ( ) Ε Ο Σ Σ ονοµάζεαι σµπληρµαική σνάρηση Ανικαθισώνας ση διαφορική εξίσση, βρίσκοµε (33) Ε Ο Σ Σ Ε Ο Σ Σ Ε Ο Σ Σ, (33) ( ) ( ) ( )

8 74 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής η οποία, σε σνδασµό µε ην Ε Ο Ε Ο Ε Ο, δίνει: Σ Σ Σ Σ Σ Σ (33) Η ΣΣ είναι η λύση ης οµογενούς εξίσσης, η οποία βρέθηκε σην Ενόηα 34 Η γενική λύση είναι εποµένς ( ) β ( ) (333) Ε Ο Σ Σ Ε Ο Η λύση αή ικανοποιεί η διαφορική εξίσση, και έχει δύο αθαίρεες σαθερές Είναι εποµένς η γενική λύση Σνοψίζονας, η µέθοδος λύσης ης Ε y p y p y f( ) είναι η εξής: Η γενική λύση ης Ε είναι ίση µε ο άθροισ µα ενός ειδικού ολοκληρώ µαος ης εξίσσης και η ς σµπληρµαικής σνάρησης, δηλαδή ης γενικής λύσης ης οµογενούς εξίσσης 343 Η εύρεση ο ειδικού ολοκληρώµαος Υπάρχον διάφοροι ρόποι εύρεσης ειδικών ολοκληρµάν Θα εξεάσοµε εδώ µόνο ην περίπση σην οποία είναι οκιµάζοµε η µορφή f ( ) Ε Ο E E, E, E σαθερές (334) Ανικαθισώνας ση διαφορική εξίσση Ε Ο Ε Ο Ε Ο, βρίσκοµε η σνθήκη ή ( E E ) ( E E ) ( E E ) E E E E E E (335) Η σνθήκη αή πρέπει να ισχύει για κάθε ιµή ο Εποµένς οι σνελεσ ές ν και πρέπει να είναι ίσοι µε µηδέν Έσι παίρνοµε E E E και E E E (336) Λύνονας για α και E, έχοµε για ο ειδικό ολοκλήρµα, E ( ) Ε Ο (337) ( ) ( ) Η λύση αή γράφεαι και ς Ε Ο ( φ) όπο anφ, (338) ( )

9 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 75 και η γενική λύση ης διαφορικής εξίσσης είναι: ( ) ( ) ( ) ( φ) (339) Ο πρώος όρος, ο οποίος φθίνει εκθεικά µε ο χρόνο και ελικά γίνεαι αµεληέος, περιγράφει η µεαβαική καάσαση ο σσήµαος Εξαράαι από ις αρχικές σνθήκες ο σσήµαος Ο δεύερος, ο οποίος αποµένει όαν µια δναµική ισορροπία έχει αποκαασαθεί, περιγράφει η µόνιµη καάσαση Η µόνιµη καάσαση δεν εξαράαι από ις αρχικές σνθήκες Η µεαβαική καάσαση περιγράφεαι από η σµπληρµαική σνάρηση και η µόνιµη καάσαση από ο ειδικό ολοκλήρµα 343 Η χρήση µιγαδικών σναρήσεν σην εύρεση ο ειδικού ολοκληρώµαος Η εύρεση ειδικού ολοκληρώµαος (ΕΟ) ης Ε µπορεί να γίνει ε κολόερη, και να σνδασεί µε ην εύρεση ΕΟ ης Ε, µε η χρήση µιγαδικών σναρήσεν Έσι, γράφοµε R R R και I I I (34) και ορίζοµε η µιγαδική σνάρηση R i I Πολλαπλασιάζονας επί i η διαφορική εξίσση για ην και προσθέονάς ην σε αήν για ο, βρίσκοµε I R i (34) Έσι, αν βρούµε ο ΕΟ αής ης διαφορικής εξίσσης, ο πραγµαικό ο µέρος θα είναι ο ΕΟ για η Ε µ ε ο και ο φανασικό ο µέρος θ α είναι ο ΕΟ για η Ε µε ο Το πλεονέκηµα είναι όι οι πράξεις µε εκθεικά είναι εκολόερες από αές µε ις ριγνοµερικές σναρήσεις i οκιµάζοµε η σνάρηση για ΕΟ ης ελεαίας αής Ε, όπο ο ενδεχοµένς να είναι µιγαδικό Ανικαθισώνας ση Ε (34), βρίσκοµε, µεά ην i απλοποίηση ο κοινού παράγονα, i ή Γράφονας, i iφ, i ( ) Έχοµε και anφ (34) ( ) Εποµένς είναι i iφ i i( φ ), (343) ο φανασικό µέρος ο οποίο µας δίνει ο ίδιο αποέλεσµα µε ην ενόηα 343

10 Κ Χρισοδολίδης: Μαθηµαικό Σµπλήρµα για α Εισαγγικά Μαθήµαα Φσικής 76 Μερικές κοινές εξισώσεις κίνησης και οι γενικές λύσεις ος Εξίσση Λύση ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( C C C ) ( αρχική µεαόπιση, αρχική αχύηα b σαθερές,,, b ) ( ) ( ( ) C