Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Transcript

1 Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών Διεργασιών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Βόλος Δεκέμβριος 0 84

2 5. Εξίσωση θερμότητας ή διάχυσης Η πλέον αντιπροσωπευτική εξίσωση μεταξύ των παραβολικών εξισώσεων είναι η εξίσωση θερμότητας ή διάχυσης u u u D u D D t x x y y (5..) z z όπου u ut, x, y, z είναι η άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή, είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή του χρόνου, μεταβλητές στο χώρο και D D x, y, z x, y και z είναι οι τρεις ανεξάρτητες είναι ο συντελεστής θερμικής διάχυσης ή απλώς διάχυσης. Όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι ut, x, yz, τότε η (5..) είναι συνάρτηση της εξαρτημένης μεταβλητής μη γραμμική. Αντίθετα, όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι σταθερός τότε η (5..) είναι γραμμική και γράφεται στη μορφή u D u t όπου t (5..) είναι ο Λαπλασιανός τελεστής. Παραβολικές εξισώσεις όπως οι (5..) και (5..) προσομοιώνουν μεταβατικά (μη μόνιμα) φυσικά φαινόμενα και οι λύσεις τους περιγράφουν τη διαδικασία μετάβασης από μία αρχική κατάσταση για κατάσταση ισορροπίας για t 0 t, μέσω των μηχανισμών διάχυσης, σε μία. Το πεδίο ορισμού των παραβολικών εξισώσεων είναι ανοικτό σε μία διάσταση. Συνήθως, η διάσταση αυτή είναι η διάσταση του χρόνου αν και αρκετές φορές μπορεί να είναι μία από τις τρεις διαστάσεις στο χώρο, όπως στη περίπτωση των προβλημάτων οριακής στοιβάδας. Τα παραβολικά προβλήματα ορίζονται (ή τοποθετούνται) σωστά όταν εκτός από την διαφορική εξίσωση προσδιορίζονται μία αρχική συνθήκη που περιγράφει την κατάσταση του συστήματος την αρχική χρονική στιγμή και ικανός αριθμός οριακών συνθηκών ανάλογα με τη διάσταση του προβλήματος στο χώρο. Συγκεκριμένα, στην εξίσωση θερμότητας σε μία, δύο και τρεις χωρικές διαστάσεις πρέπει να προσδιορίζονται δύο, τέσσερις και έξι οριακές συνθήκες αντίστοιχα. Επειδή οι παραβολικές εξισώσεις συνοδεύονται από 85

3 αρχικές και οριακές συνθήκες, τα αντίστοιχα παραβολικά προβλήματα είναι γνωστά σαν προβλήματα αρχικών και οριακών τιμών. Υπενθυμίζεται ότι τα ελλειπτικά προβλήματα είναι προβλήματα οριακών τιμών. Στο παρόν κεφάλαιο επιλύουμε με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών γραμμικές παραβολικές εξισώσεις όπως η (5..). Η διατύπωση της μεθόδου ακολουθεί τα τρία βασικά βήματα όπως τα παρουσιάσαμε στο 4 ο Κεφάλαιο. Όμως, η λεπτομερής διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου είναι περισσότερο σύνθετη από ότι στην περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων και απαιτεί παραπάνω προσοχή. Αυτό οφείλεται, όπως θα μπορούσε κάποιος να φανταστεί, στον όρο της παραγώγου ης τάξης ως προς το χρόνο, που θα πρέπει να προσεγγισθεί με κατάλληλες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών. Γενικά, η μαθηματική διατύπωση αριθμητικών σχημάτων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων δεν είναι δυνατόν να αγνοεί το φυσικό φαινόμενο που περιγράφει η διαφορική εξίσωση. Η παραβίαση αυτής της αρχής μπορεί να οδηγήσει σε τελείως λανθασμένα αριθμητικά αποτελέσματα. Στη προσπάθεια λοιπόν πιστής προσομοίωσης της χρονικής εξάρτισης του φαινομένου με λογικό υπολογιστικό κόστος, η προσέγγιση της χρονικής παραγώγου αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον και επιτυγχάνεται, όπως θα δούμε, με διάφορα εναλλακτικά σενάρια. Αντίθετα, η προσέγγιση των παραγώγων ης τάξης ως προς το χώρο γίνεται με βάση τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών αξιοποιώντας την εμπειρία από τις ελλειπτικές εξισώσεις. Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να αναφερθούμε εν συντομία στην αδιαστατοποίηση των διαφορικών εξισώσεων και γενικότερα του προβλήματος. Έστω ότι ζητείται η λύση της μονοδιάστατης εξίσωσης θερμότητας u t u D x,, με αρχική συνθήκη 0, 0 t 0 0 x L (5..3) u x u (5..4) και οριακές συνθήκες 86

4 ut,0 utl, u u t 0. (5..5) Τις περισσότερες φορές πριν υλοποιήσουμε την αναλυτική ή αριθμητική επίλυση του προβλήματος αδιαστατοποιούμε το πρόβλημα. Αυτό σημαίνει ότι διατυπώνουμε το ισοδύναμο πρόβλημα, όπου όλες οι μεταβλητές ανεξάρτητες και εξαρτημένες είναι σε αδιάστατη μορφή. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα ορίζουμε τις νέες αδιάστατες μεταβλητές u u u u u 0 0, t Dt L και x x (5..6) L και το αρχικό πρόβλημα γράφεται στην αδιάστατη μορφή: u t u x, 0, t 0 x (5..7) u 0, x 0 (5..8) ut,0 ut u u u u 0, 0 t 0 (5..9) Μετά την επίλυση του αδιάστατου προβλήματος η προκύπτουσα αδιάστατη λύση μπορεί να διαστατοποιηθεί με την βοήθεια των εκφράσεων (5..6) και να αποτελέσει την λύση ενός συγκεκριμένου διαστατικού προβλήματος. Είναι προφανές ότι η διαδικασία της αδιαστατοποίησης που παρουσιάζεται εδώ εν συντομία, δεν περιορίζεται στα παραβολικά προβλήματα και εξισώσεις αλλά περιλαμβάνει τα ελλειπτικά και υπερβολικά προβλήματα και γενικότερα όλες τις κατηγορίες προβλημάτων που περιγράφονται από μαθηματικές εκφράσεις. Πρόκειται για πολύ σημαντική μαθηματική διαδικασία που απαιτεί άριστη αντίληψη του φυσικού φαινομένου σε συνδυασμό με εφευρετικότητα και φαντασία, ώστε οι προκύπτουσες αδιάστατες εξισώσεις αφενός να είναι απλούστερες των αρχικών και αφετέρου μέσα από την αδιαστατοποίηση να αναδεικνύονται οι σημαντικές αδιάστατες παράμετροι του προβλήματος και του φυσικού φαινομένου. 87

5 Η αδιάστατη εξίσωση (5..7) με τις συνθήκες (5..8) και (5..9) θα αποτελέσουν το πρότυπο πρόβλημα με βάση το οποίο θα παρουσιάσουμε και θα αναπτύξουμε στις αμέσως επόμενες παραγράφους τα βασικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών σε παραβολικές εξισώσεις. Στη συνέχεια οι προτεινόμενες μεθοδολογίες θα γενικευθούν σε πολυδιάστατα παραβολικά προβλήματα. Ιδιαίτερη προσοχή θα δοθεί στις έννοιες της ευστάθειας, της συνοχής και της σύγκλισης των αριθμητικών σχημάτων. Επίσης θα σχολιασθούν οι τυχόν αντιστοιχίες ανάμεσα στα αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών για παραβολικά και ελλειπτικά προβλήματα. Σημειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας με συνέπεια τους κανόνες και τις διαδικασίες που θα θεσπίσαμε στην επίλυση της εξίσωσης θερμότητας ή διάχυσης, μπορούμε να επιλύσουμε με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών έναν μεγάλο αριθμό γραμμικών και μη γραμμικών παραβολικών εξισώσεων. Βέβαια στην περίπτωση των μη γραμμικών εξισώσεων οι μη γραμμικοί όροι απαιτούν εξειδικευμένη επεξεργασία που θα αναπτυχθεί σε άλλα υπολογιστικά μαθήματα του προγράμματος σπουδών. 5. Διακριτοποίηση του πεδίου ορισμού Έστω ότι ζητείται η επίλυση του προβλήματος που περιγράφεται από την εξίσωση (5..7) και τις συνθήκες (5..8) και (5..9) στο συνεχές πεδίο : t 0 0 x ορισμού, (βλέπε Σχήμα 5.). Παρατηρούμε ότι το πεδίο ορισμού είναι κλειστό στην διάσταση x και ανοικτό από την μία πλευρά στην διάσταση t. Η διακριτοποίηση στην χωρική διάσταση x γίνεται σύμφωνα με τα γνωστά, δηλαδή διαιρούμε την απόσταση 0 x σε I ίσα τμήματα, μήκους x I. Τα σημεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε διαστήματος προσδιορίζονται από τις σχέσεις x x x 0,,, I. 0, (5..) 88

6 Η διακριτοποίηση στη διάσταση του χρόνου επιτυγχάνεται επιλέγοντας το χρονικό βήμα βημάτων N t και τον συνολικό αριθμό χρονικών. Επομένως, στον άξονα του χρόνου ξεκινώντας από τον t αρχικό χρόνο t 0 ορίζονται οι χρόνοι t t t 0,,, N. 0 Από τα σημεία, (5..) t και x φέρνουμε παραλλήλους προς τους άξονες x και t αντίστοιχα, με αποτέλεσμα το συνεχές πεδίο ορισμού να αντικατασταθεί από το υπολογιστικό πλέγμα που απαρτίζεται από I N ίσα ορθογώνια, οι κορυφές των οποίων είναι οι κόμβοι του πλέγματος (βλέπε Σχήμα 5.). Ο κάθε κόμβος, του πλέγματος προσδιορίζεται από το ζεύγος σημείων x, t, για 0,,, I και 0,,, N. Συνολικά έχουμε I N κόμβους. t t 0 R t t N t (, ) t (, ) (, ) (, ) t 0 t o =0 x 0 x x xo 0 x x x xi x Σχήμα 5.: Συνεχές πεδίο ορισμού (αριστερά) και υπολογιστικό πλέγμα (δεξιά) Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις,, ut x uttx x u, 0,,, I, 0,,, N. (5..3)

7 Ο δείκτης που συμβολίζει την διακριτοποίηση στο χρόνο γράφεται σαν άνω δείκτης, ενώ ο δείκτης, ή οι δείκτες, που συμβολίζουν την διακριτοποίηση στο χώρο γράφονται σαν κάτω δείκτες. Με τον τρόπο αυτό ο διαχωρισμός ανάμεσα στους δείκτες που συμβολίζουν την χρονική και χωρική διακριτοποίηση είναι άμεσα αναγνωρίσιμος. Οι άγνωστες τιμές u θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος. Η συνολική χρονική περίοδος για την οποία θα έχουμε την αριθμητική λύση του προβλήματος είναι tn. Τονίζεται ότι ενώ το συνεχές πεδίο ορισμού είναι ανοικτό στη διάσταση του χρόνου ( ), εμείς επιλέγουμε το διακριτοποιημένο πεδίο ορισμού να είναι κλειστό στη διάσταση του χρόνου (0 Nt t t N t 0 ). Αυτό γίνεται για πρακτικούς λόγους, αφού οι υπολογισμοί δεν είναι δυνατόν να συνεχίζονται πέρα από έναν πεπερασμένο αριθμό χρονικών βημάτων. Η επιλογή του συνολικού χρόνου t N βασίζεται σε πολλά κριτήρια ανάλογα με το πρόβλημα. Όταν επιθυμούμε να έχουμε μία πιστή και λεπτομερή περιγραφή του μη μόνιμου (μεταβατικού) φαινομένου από την αρχική κατάσταση μέχρι την κατάσταση ισορροπίας θα πρέπει ο συνολικός χρόνος t N να είναι ιδιαίτερα μεγάλος. Αντίθετα, σε άλλες περιπτώσεις, όταν μας ενδιαφέρει η περιγραφή του φαινομένου για μικρό χρονικό διάστημα ο συνολικός χρόνος t N μπορεί να είναι μικρός. Θα πρέπει να τονισθεί ότι τις περισσότερες φορές η χρονική εξέλιξη ενός φαινομένου είναι ταχύτατη αρχικά και στη συνέχεια επιβραδύνεται και τείνει ασυμπτωτικά στην κατάσταση ισορροπίας. Τα αριθμητικά σχήματα που διατυπώνονται λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη φυσική συμπεριφορά αποδεικνύεται να είναι τα πλέον επιτυχημένα, δηλαδή οδηγούν σε ακριβή αποτελέσματα με μικρό αριθμό κόμβων. 90

8 5.3 Ρητό σχήμα Έχοντας ολοκληρώσει την διακριτοποίηση του πεδίου ορισμού, προχωρούμε με την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών σε κάθε εσωτερικό κόμβο του πλέγματος. Εξετάζουμε πρώτα το ονομαζόμενο ρητό σχήμα. Πρόκειται για την απλούστερη προσέγγιση αφού δεν απαιτείται η επίλυση αλγεβρικού συστήματος. Προσεγγίζουμε την (5..7) στον τυχαίο κόμβο, του πλέγματος (βλέπε Σχήμα 5.) και γράφουμε u t u x 0,,, I 0,,, N. (5.3.),, Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται με πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά ης τάξης u u u t t O t, (5.3.) ενώ η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο προσεγγίζεται με κεντρώα πεπερασμένη διαφορά ης τάξης u u u u x x O x. (5.3.3) Σχήμα 5.: Ρητό σχήμα 9

9 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.3.) και (5.3.3) στην εξίσωση (5.3.) προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών: u u u u u Ot, x t x 0,,, I, 0,,, N. Η εξίσωση (5.3.4) ξαναγράφεται στην πιο βολική μορφή (5.3.4) u u u u 0,,, I, 0,,, N (5.3.5) όπου t x ποσότητας,. Όπως φαίνεται από την εξίσωση (5.3.5) ο υπολογισμός της u, δηλαδή της εξαρτημένης μεταβλητής γίνεται απ ευθείας από τις τιμές της στους κόμβους, και, u στον κόμβο u,,. Σχήματα όπως αυτό που διατυπώνεται με την εξίσωση (5.3.5) ονομάζονται ρητά, επειδή η μετακίνηση από το ένα χρονικό βήμα στο επόμενο γίνεται άμεσα, με απλές αλγεβρικές εκφράσεις, χωρίς να απαιτείται η επίλυση αλγεβρικού συστήματος. Το αριθμητικό σφάλμα του συγκεκριμένου αριθμητικού σχήματος είναι τάξης στο χρόνο και ης τάξης στο χώρο, O t, x. ης Παράδειγμα: Έστω ότι ζητείται η επίλυση της εξίσωσης πεδίο ορισμού 0, συνθήκες,0 t 0 x με αρχική συνθήκη 0, ut 0 και, παραμέτρους N 5, t 0.0, I 5 με x 0. t 0.05 και 0.5 N u x 0 u, στο t u xx και οριακές ut. Επιλέγουμε αυθαίρετα τις, που αντιστοιχούν σε. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές των παραμέτρων στην (5.3.5) για 0,,, 5 και 0,,,5 προκύπτει ο πίνακας αποτελεσμάτων 5.. Βλέπουμε ότι σταδιακά η θερμότητα διαχέεται από το αριστερό προς το δεξιό άκρο της ράβδου. Είναι προφανές ότι για άλλη επιλογή των παραμέτρων t και x θα παίρναμε διαφορετικά αποτελέσματα. Επίσης 9

10 στον Πίνακα 5. φαίνονται να αναλυτικά αποτελέσματα καθώς t στα οποία θα τείνουν τα αριθμητικά μετά από πολλά χρονικά βήματα. Η ρητή μέθοδος προγραμματίζεται πολύ εύκολα. και Πίνακας 5.: Αριθμητικά αποτελέσματα ρητού σχήματος Χρονικά βήματα x 0 0 x 0. x 0.4 x x x t Όπως αποδεικνύεται στην παράγραφο 5.6 η παρούσα ρητή αριθμητική μέθοδος δίδει λογικά αποτελέσματα μόνο όταν ο λόγος για δεδομένο x το χρονικό βήμα συνθήκες για το χρονικό βήμα. Άρα. Παρόμοιες περιοριστικές t x t ισχύουν και σε άλλα ρητά σχήματα που βασίζονται σε διαφορετικές εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών και εφαρμόζονται στην επίλυση της εξίσωσης θερμότητας ή άλλων πιο σύνθετων παραβολικών διαφορικών εξισώσεων. Οι περιοριστικές αυτές συνθήκες δημιουργούν προβλήματα στην αποτελεσματική αριθμητική επίλυση των παραβολικών εξισώσεων, αφού το χρονικό βήμα t δεν μπορεί να υπερβαίνει μία συγκεκριμένη τιμή. Όμως, όταν το χρονικό βήμα είναι μικρό το υπολογιστικό κόστος είναι μεγάλο. Το μειονέκτημα αυτό βελτιώνεται σημαντικά με την εφαρμογή των πεπλεγμένων σχημάτων που εξετάζονται στις επόμενες δύο παραγράφους. 93

11 5.4 Πεπλεγμένο σχήμα Συνεχίζουμε με τη διατύπωση του απλούστερου πεπλεγμένου σχήματος πεπερασμένων διαφορών. Προσεγγίζουμε την (5..7), αντί του του πλέγματος (βλέπε κόμβου, στον τυχαίο κόμβο Σχήμα 5.3) και γράφουμε u t u x,,, 0,,, I 0,,, N. (5.4.) Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται με ανάδρομη πεπερασμένη διαφορά ης τάξης u u u t t O t (5.4.) ενώ η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο προσεγγίζεται με κεντρώα πεπερασμένη διαφορά ης τάξης u u u u x x O x. (5.4.3) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.4.) και (5.4.3) στην εξίσωση (5.4.) προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών: u u u u u Ot, x t x 0,,, I, 0,,, N. (5.4.4) Σχήμα 5.3: Πεπλεγμένο σχήμα 94

12 Τώρα, η λύση της u τη χρονική στιγμή δε γίνεται με ρητό τρόπο αλλά με τη λύση του τριδιαγώνιου συστήματος u u u u, 0,,, I, 0,,, N (5.4.5) όπου και πάλι t/ x. Σε κάθε χρονικό βήμα απαιτείται η επίλυση ενός αλγεβρικού συστήματος, και για αυτό το λόγο το σχήμα ονομάζεται πεπλεγμένο. Είναι προφανές ότι το υπολογιστικό κόστος (μνήμη και χρόνος) αυξάνονται σημαντικά. Όμως, όπως θα δούμε στην παράγραφο 5.6 το πεπλεγμένο σχήμα (5.4.5) δίδει λογικά αποτελέσματα πάντα, ανεξάρτητα από τις τιμές του. Άρα δεν τίθεται πάνω όριο στο μέγεθος το χρονικού βήματος t και η χρήση μεγάλων χρονικών βημάτων είναι εφικτή. Το σύστημα (5.4.5) επιλύεται σε κάθε χρονικό βήμα με τον αλγόριθμος Thomas. Όταν η διαφορική εξίσωση είναι δύο ή τριών διαστάσεων στο χώρο τότε τα προκύπτοντα αλγεβρικά συστήματα επιλύονται, σε κάθε χρονικό βήμα, με επαναληπτικές τεχνικές. Το σφάλμα του πεπλεγμένου αριθμητικού σχήματος (5.4.5) είναι αντίστοιχο με αυτό του ρητού σχήματος (5.3.5), δηλαδή ης τάξης στο χρόνο και ης τάξης στο O t, x χώρο,. Αν και ο προγραμματισμός των πεπλεγμένων σχημάτων είναι πιο σύνθετος από τον προγραμματισμό των ρητών σχημάτων η χρήση τους είναι ευρέως διαδεδομένη και ουσιαστικά αποτελεί πάγια αριθμητική τακτική. 5.5 Πεπλεγμένο σχήμα Crak-Ncolso Όπως έχουμε αναφέρει, το σφάλμα διακριτοποίησης που οφείλεται στην αποκοπή όρων από τη σειρά Taylor στο ρητό και στο πεπλεγμένο σχήμα των παραγράφων 5.3 και 5.4 αντίστοιχα, είναι O t, x. Άρα τα σχήματα αυτά είναι ης τάξης στο χρόνο και ης τάξης στο χώρο. Αυτό οδηγεί σε ανακολουθία αφού συνήθως είναι επιθυμητό η ακρίβεια του σχήματος σε όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές να είναι συμβατή. Επίσης 95

13 αριθμητικά σχήματα ης τάξης θα πρέπει να αποφεύγονται ως μη επαρκή. Οι αδυναμίες αυτές αντιμετωπίζονται με το πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα Crak-Ncolso που εξετάζεται στη παρούσα παράγραφο. Η (5..) προσεγγίζεται, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.4 στο σημείο, τους κόμβους που βρίσκεται στο μέσο της απόστασης που ορίζεται από, και,. Επομένως τώρα γράφουμε u t u x 0,,, I 0,,, N. (5.5.),, Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται με κεντρώα πεπερασμένη διαφορά ης τάξης u u u O t t t. (5.5.) (, ) Σχήμα 5.4: Πεπλεγμένο σχήμα Crak-Ncolso Η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο πρώτα γράφεται στη μορφή u u u x x x, (5.5.3) 96

14 όπου ο συντελεστής βαρύτητας 0 και στη συνέχεια οι δεύτερες παράγωγοι προσεγγίζονται με κεντρώες πεπερασμένες διαφορές ης τάξης k k k k u u u u x x O k k x (5.5.4) όπου και. Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.5.), (5.5.3) και (5.5.4) στην εξίσωση (5.5.) προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών: u u u u u u u u t x x O t, x, 0,,, I, 0,,, N. (5.5.5) Πολλές φορές η (5.5.5) γράφεται στη πιο συνεκτική μορφή u όπου u t u u O t, x u u u xu x x x, (5.5.6) (5.5.7) ο κεντρώος τελεστής δεύτερης τάξης. Είναι προφανές ότι η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (5.5.5) είναι πεπλεγμένη, δηλαδή επιλύεται σαν σύστημα εξισώσεων. Οι εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών του ρητού και του απλού πεπλεγμένου σχήματος περιέχουν τέσσερεις κόμβους του πλέγματος, ενώ η (5.5.5) περιέχει έξι κόμβους. Στην ειδική περίπτωση, όπου ο συντελεστής βαρύτητας πεπερασμένων διαφορών (5.5.5) γράφεται στη μορφή η εξίσωση u u u u u u (5.5.8) t/ x. Το αριθμητικό σχήμα (5.5.8) ονομάζεται σχήμα με Crak-Ncolso. Όπως και στη περίπτωση του απλού πεπλεγμένου σχήματος απαιτείται η επίλυση ενός τριδιαγώνιου αλγεβρικού συστήματος σε κάθε χρονικό βήμα, όμως τώρα το αριθμητικό σχήμα είναι ης τάξης στο χώρο και στο χρόνο, O t, x. Επίσης όπως θα δούμε η 97

15 μέθοδος Crak Ncolso δίδει πάντα λογικά αποτελέσματα ανεξάρτητα από τις τιμές της παραμέτρου. Τέλος παρατηρούμε ότι θέτοντας στην (5.5.5) 0 προκύπτει η ρητή εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (5.3.4), ενώ ότι θέτοντας προκύπτει η απλή πεπλεγμένη εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (5.4.4). και ανάλογα με τη τιμή της Αντίθετα η (5.5.5) ισχύει για 0 παραμέτρου συνδυάζει αριθμητικά χαρακτηριστικά των ρητών και πεπλεγμένων σχημάτων. Τα αριθμητικά σχήματα (5.5.5) με 0 / έχουν πιο έντονα τα χαρακτηριστικά των ρητών σχημάτων, ενώ τα έχουν πιο έντονα τα χαρακτηριστικά των αντίστοιχα με / πεπλεγμένων σχημάτων. 5.6 Ευστάθεια Η έννοια της ευστάθειας μας έχει απασχολήσει εκτενώς στο μάθημα της Αριθμητικής Ανάλυσης και στην αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (βλέπε Κεφάλαιο ). Συνήθως λέμε ότι μία υπολογιστική διαδικασία είναι ευσταθής όταν το μέγεθος μιας διαταραχής που εισάγεται από τις αρχικές ή/και τις οριακές συνθήκες ή εμφανίζεται λόγω υπολογιστικού σφάλματος (σφάλματα Η/Υ, αποκοπή, στρογγυλοποίηση, αριθμητικές πράξεις, κ.τ.λ.) παραμένει πεπερασμένο και δεν μεγεθύνεται πέρα από ένα μέγιστο επιτρεπτό όριο. Δηλαδή μία μικρή (εκούσια ή συνήθως ακούσια) μεταβολή στα δεδομένα έχει σαν αποτέλεσμα μία εξίσου μικρή μεταβολή στα αποτελέσματα. Θεωρώντας ότι το υπολογιστικό σχήμα περιγράφεται από τη συναρτησιακή σχέση F x, y 0, όπου x τα δεδομένα και τα αποτελέσματα, η ευστάθεια ενός υπολογιστικού σχήματος ποσοτικοποιείται με τον υπολογισμό του δείκτη (ή αριθμού) κατάστασης y 98

16 K y y y max x, (5.6.) x x όπου x και y συμβολίζουν τις μεταβολές στα δεδομένα και τα αποτελέσματα αντίστοιχα. Όπως φαίνεται από την (5.6.) το σχήμα είναι ευσταθές όταν ο δείκτης κατάστασης K y, αφού στη περίπτωση αυτή μικρές μεταβολές στο αποτελέσματα y. x συνεπάγεται ακόμα μικρότερες μεταβολές στα Η έννοια της ευστάθειας είναι ζωτικής σημασίας στην αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Στην περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων που περιγράφουν μόνιμα φαινόμενα η ευστάθεια σχετίζεται με την αριθμητική επίλυση του αλγεβρικού συστήματος. Στη περίπτωση των παραβολικών εξισώσεων που περιγράφουν μη μόνιμα (μεταβατικά) φαινόμενα η ευστάθεια σχετίζεται με την χρονική εξέλιξη και συμπεριφορά της αριθμητικής λύσης. Είναι προφανές ότι αυτό που επιζητούμε είναι αριθμητικά σχήματα που παραμένουν ευσταθή στο χρόνο, δηλαδή αριθμητικά σχήματα που οδηγούν σε λογικά αποτελέσματα καθώς η αριθμητική λύση εξελίσσεται στο χρόνο παρά την παρουσία και συνεχή συσσώρευση υπολογιστικών προσεγγίσεων, σφαλμάτων και ατελειών. Αυτό συνεπάγεται ότι το σφάλμα που ορίζεται σαν η διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική και στην ακριβή λύση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών u και u αντίστοιχα παραμένει, για δεδομένο. Η πρόταση αυτή μαθηματικά γράφεται ως εξής: lm t, περιορισμένο καθώς M για δεδομένο t με M ανεξάρτητο του (5.6.) Τονίζεται ότι η ευστάθεια ενός αριθμητικού σχήματος δεν πρέπει να εμπλέκεται και να ταυτίζεται με την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος. Η ακρίβεια εξαρτάται αποκλειστικά από τα σφάλματα αποκοπής στις εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών που προσεγγίζουν τις παραγώγους της διαφορικής εξίσωσης. Ένα αριθμητικό σχήμα 99

17 πεπερασμένων διαφορών μπορεί να είναι ευσταθές αλλά να μην έχει καλή ακρίβεια, όπως επίσης να έχει καλή ακρίβεια αλλά να είναι οριακά ευσταθές ή ασταθές, χωρίς βέβαια να αποκλείονται περιπτώσεις όπου το αριθμητικό σχήμα είναι και ευσταθές και έχει ικανοποιητική ακρίβεια. Το συγκεκριμένο ζήτημα θα μας απασχολήσει στη συνέχεια και θα γίνει περισσότερο κατανοητό. Η ευστάθεια αριθμητικών σχημάτων πεπερασμένων διαφορών μελετάται με διάφορες μαθηματικές ή φαινομενολογικές τεχνικές μεταξύ των οποίων η πλέον διαδεδομένη είναι η ανάλυση ευστάθειας Vo-Neuma ή όπως επίσης ονομάζεται ανάλυση ευστάθειας Fourer. Υποθέτουμε περιοδικές οριακές συνθήκες και τότε η αριθμητική λύση γράφεται σαν διακριτό ανάπτυγμα Fourer στο χώρο για κάθε χρονικό βήμα: I m k x, 0,,, I, mi m u e 0,,, N. (5.6.3) Ο κάθε όρος του αθροίσματος (5.6.3) αντιστοιχεί σε μία αρμονική. Οι ποσότητες m και km m I x είναι το εύρος και ο κυματαριθμός της αρμονικής m, και x L/ I, όπου 0 x L. Οι αρμονικές της σειράς Fourer (5.6.3) είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και επομένως είναι αρκετό να εξετάσουμε την συμπεριφορά μίας τυχαίας αρμονικής. Θεωρούμε ότι η αριθμητική λύση στον κόμβο, είναι της μορφής k x e που εκφράζει μία οποιαδήποτε από τις αρμονικές. Ο δείκτης που συμβολίζει την τυχαία αρμονική δεν συμπεριλαμβάνεται για λόγους απλούστευσης των συμβολισμών. Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών εκφράσεις όπως u e k x 0,,, I 0,,, N. (5.6.4),, είναι δυνατόν να διατυπώσουμε κριτήρια για το αν ή όχι η ποσότητα παραμένει πεπερασμένη καθώς αυξάνει ο χρόνος t m t. Είναι προφανές ότι το κριτήριο ευστάθειας (5.6.) θα ισχύει και ότι η ποσότητα θα 00

18 παραμένει πεπερασμένη, εάν σε κάθε χρονικό βήμα ικανοποιείται η ανισότητα. (5.6.5) Ο λόγος μπορεί να είναι πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός και το μέτρο του,, ονομάζεται συντελεστής ενίσχυσης και αντιπροσωπεύει τον τρόπο που οι αρχικές διαταραχές και τα υπολογιστικά σφάλματα διαδίδονται από το ένα χρονικό βήμα στο επόμενο. Η σημασία του είναι αντίστοιχη με αυτή του δείκτη κατάστασης (5.6.). Όταν το μέτρο του συντελεστή ενίσχυσης είναι μικρότερο της μονάδας οι διαταραχές και τα σφάλματα αποσβένουν ενώ όταν είναι μεγαλύτερο της μονάδας τότε μεγεθύνονται απεριόριστα καθώς αυξάνει ο αριθμός των χρονικών βημάτων. Ο συντελεστής ενίσχυσης είναι συνάρτηση του χρονικού βήματος t, του χωρικού βήματος κυματαριθμού (ή συχνότητας) k. x και του Ας εφαρμόσουμε την ανάλυση ευστάθειας Vo-Neuma στο ρητό αριθμητικό σχήμα της παραγράφου 5.3. Η σχέση (5.6.4) αντικαθίσταται στην εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (5.3.4) και προκύπτει η εξίσωση t x kx k x kx k x e e e e. (5.6.6) Μετά από απλή αλγεβρική επεξεργασία χρησιμοποιώντας τις σχέσεις k x s k x e cos kx (5.6.7) οδηγούμεθα στο αποτέλεσμα όπου 4s t/ x kx, (5.6.8). Επομένως, με βάση αυτά που αναφέραμε παραπάνω η λύση είναι ευσταθής εάν kx 4s. (5.6.9) 0

19 Γενικά όλοι οι κυματαριθμοί (ή συχνότητες) είναι παρόντες. Ακόμη και όταν δεν ευρίσκονται στις αρχικές και οριακές συνθήκες εισέρχονται στους υπολογισμούς από τα σφάλματα στις αριθμητικές πράξεις. Για το λόγο αυτό το κριτήριο ευστάθειας (5.6.9) θα πρέπει να ισχύει για όλα τα προκύπτει ότι η ανισότητα (5.6.9) θα ισχύει μόνο εάν t x k k. Εύκολα. (5.6.0) Η συνθήκη (5.6.0) είναι η απαραίτητη και ικανή συνθήκη για την ευστάθεια του ρητού αριθμητικού σχήματος (5.3.4). Το αποτέλεσμα αυτό δεν πρέπει να μας εκπλήσσει αφού για / ο συντελεστής του όρου u στην (5.3.5) παίρνει αρνητικές τιμές με αποτέλεσμα η συνεισφορά του όρου αυτού στην ποσότητα u να είναι στην αντίθετη από την αναμενόμενη κατεύθυνση. Η θετικότητα των συντελεστών σχετίζεται με τις φαινομενολογικές μεθοδολογίες ευστάθειας και θα μας απασχολήσει στο επόμενο κεφάλαιο της εισαγωγής στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων. Συνεχίζουμε εφαρμόζοντας την μεθοδολογία Vo-Neuma ή ανάλυση Fourer στο πεπλεγμένο σχήμα πεπερασμένων διαφορών της παραγράφου 5.4. Η σχέση (5.6.4) αντικαθίσταται στην εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (5.4.5) και προκύπτει η εξίσωση kx k x kx k x. (5.6.) t e e e e x Ακολουθώντας την αντίστοιχη μαθηματική επεξεργασία βρίσκουμε ότι 4 s kx. (5.6.) Είναι προφανές ότι στο απλό πεπλεγμένο σχήμα (5.4.5) ο συντελεστής ενίσχυσης είναι πάντα μικρότερος της μονάδας ανεξάρτητα από την τιμή της παραμέτρου. Το αποτέλεσμα αυτό, είναι χαρακτηριστικό των πεπλεγμένων σχημάτων. Τα πεπλεγμένα λοιπόν σχήματα είναι ευσταθή ανεξάρτητα από την επιλογή του χρονικού βήματος t και του χωρικού βήματος x. 0

20 Με βάση τα παραπάνω είναι προφανές ότι η ανάλυση ευστάθειας δεν πρέπει να συσχετίζεται με την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος. Έχοντας παρουσιάσει την μελέτη ευστάθειας του ρητού και του πεπλεγμένου σχήματος αφήνουμε σαν άσκηση στον αναγνώστη την μελέτη ευστάθειας του σχήματος Crak Ncolso. Επίσης για λόγους εξοικείωσης προτείνεται να γίνει η ανάλυση ευστάθειας στα σχήματα πεπερασμένων διαφορών u u u u u t x και u u u u u u t x (5.6.3). (5.6.4) Τα σχήματα (5.6.3) και (5.6.4) είναι ρητά σχήματα τριών χρονικών O t, x βημάτων, ακρίβειας και προσεγγίζουν την εξίσωση θερμότητας (5..7). Αποδεικνύεται ότι το σχήμα (5.6.3) είναι πάντα ασταθές, ενώ το σχήμα (5.6.4) είναι πάντα ευσταθές. 5.7 Συνοχή Η έννοια της συνοχής του αριθμητικού σχήματος αναφέρεται στο κατά πόσο η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών προσεγγίζει την υπό μελέτη διαφορική εξίσωση και όχι κάποια άλλη εξίσωση. Ένα αριθμητικό σχήμα έχει συνοχή όταν η διαφορική εξίσωση που προσεγγίζεται από την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ανάγεται στη διαφορική εξίσωση που επιλύεται καθώς η διακριτοποίηση πυκνώνει και τείνουν στο μηδέν ( x 0, t 0 ). x και t 03

21 Σαν παράδειγμα ας εξετάσουμε την συνοχή του ρητού αριθμητικού σχήματος (5.3.4) που προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (5..7). Αναπτύσσουμε σε σειρά Taylor τους όρους t 3 u u tut utt Ot!, (5.7.) και 3 4 x x x 5 u u xux uxx uxxx uxxxx Ox! 3! 4!. (5.7.) Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τα αναπτύγματα (5.7.) και (5.7.) στην εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (5.3.4) και βρίσκουμε 4 t 3 x x 6 tut utt O t u xx uxxxx O x t! x! 4! ή t x ut utt Ot uxx uxxxx Ox 4! (5.7.3). (5.7.4) Παίρνοντας τη παράγωγο της (5.7.4) ως προς το χρόνο βρίσκουμε ότι tt xxxx u u O t (5.7.5) και αντικαθιστώντας την (5.7.5) στην (5.7.4) βρίσκουμε την διαφορική εξίσωση x 4 ut uxx tuxxxx Ot Ox 6. (5.7.6) Επομένως, το ρητό αριθμητικό σχήμα (5.3.4) προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (5.7.6) και όχι την εξίσωση θερμότητας (5..7). Όμως, το σχήμα έχει συνοχή αφού, όπως είναι προφανές, η (5.7.6) ανάγεται στην (5..7) καθώς x 0 και t 0. Η μελέτη της συνοχής του ρητού αριθμητικού σχήματος μας δίδει και μία επιπλέον πληροφορία που αφορά την ακρίβεια των αποτελεσμάτων σε σχέση με την επιλογή του υπολογιστικού πλέγματος. Αποδεικνύεται από την (5.7.6) ότι εάν t x 6 τότε ο συντελεστής της τετάρτης παραγώγου μηδενίζεται και η ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος από O t, x αναβαθμίζεται 04

22 O t, x 4 σε. Η αναβάθμιση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική λαμβάνοντας υπόψη ότι το υπολογιστικό κόστος παραμένει το ίδιο. Επίσης βλέπουμε ότι βελτιώνεται και η συνοχή του σχήματος αφού η (5.7.6) πλησιάζει ακόμα περισσότερο στην (5..7). Η (5.7.6) ονομάζεται τροποποιημένη διαφορική εξίσωση αφού για μικρά αλλά πεπερασμένα x και t το αριθμητικό σχήμα (5.3.4) επιλύει την διαφορική εξίσωση (5.7.6) και όχι την υπό μελέτη διαφορική εξίσωση (5..7). Παρατηρούμε ότι, η ευστάθεια και η συνοχή ενός αριθμητικού σχήματος εξετάζονται με κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία μόνο της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών. Όμως σε κάθε περίπτωση διαφέρουν και η επεξεργασία και ο στόχος. Στην ευστάθεια εξετάζεται ο μηχανισμός διάδοσης των σφαλμάτων, ενώ στην συνοχή εξετάζεται η συνάφεια της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών με την διαφορική εξίσωση. Τις περισσότερες φορές η συνοχή ενός αριθμητικού σχήματος θεωρείται δεδομένη αλλά αυτό δεν είναι σωστό. Η συνοχή ενός αριθμητικού σχήματος θα πρέπει να εξετάζεται συστηματικά και με λεπτομέρεια. Το παρακάτω παράδειγμα αποδεικνύει ότι πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Ας εξετάσουμε την συνοχή του αριθμητικού σχήματος (5.6.4) που έχει ελκυστικά χαρακτηριστικά αφού είναι ρητό, ης τάξης και πάντα ευσταθές. Αναπτύσσουμε σε σειρά Taylor τους όρους 3 t t 4 u u tut utt uttt Ot, (5.7.7)! 3! και x x (5.7.8)! 3! 3 4 u u xux uxx uxxx Ox και αντικαθιστούμε τα αναπτύγματα (5.7.7) και (5.7.8) στη εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (5.6.4). Μετά από κατάλληλη επεξεργασία βρίσκουμε την τροποποιημένη διαφορική εξίσωση 05

23 4 t t t xx tt u u u O x O t O x x. (5.7.9) Παρατηρώντας προσεκτικά την (5.7.9) φαίνεται ότι η συνοχή του σχήματος (5.6.4) εξαρτάται από τον τρόπο που οι όροι τείνουν στο μηδέν. Εάν, καθώς x και x 0 και t 0, ο λόγος παραμένει σταθερός τότε η τροποποιημένη διαφορική εξίσωση ανάγεται στην μερική διαφορική εξίσωση (5..7) και το αριθμητικό σχήμα έχει συνοχή. Εάν όμως, καθώς x 0 και t 0, ο λόγος t x t t x παραμένει σταθερός τότε η τροποποιημένη διαφορική εξίσωση ανάγεται στην εξίσωση ut c utt u xx που όχι μόνο έχει διαφορετική μορφή από την ut xx (5.7.0) u αλλά και χαρακτήρα αφού πρόκειται για υπερβολική εξίσωση, σε αντίθεση με την εξίσωση θερμότητας που είναι παραβολική. Άρα στην περίπτωση αυτή το σχήμα (5.6.4) δεν έχει συνοχή. Τα αριθμητικά αποτελέσματα αν και είναι ακρίβειας ης τάξης και ευσταθή, είναι τελείως λανθασμένα και παραπλανητικά αφού αποτελούν λύση μίας άλλης διαφορικής εξίσωσης. 5.8 Σύγκλιση Μετά την ευστάθεια και την συνοχή θα μας απασχολήσει η έννοια της σύγκλισης ενός αριθμητικού σχήματος πεπερασμένων διαφορών. Λέμε ότι μία μέθοδος πεπερασμένων διαφορών συγκλίνει όταν η ακριβής λύση u της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών τείνει στην συνεχή λύση ˆ, ut x της μερικής διαφορικής εξίσωσης, καθώς οι αποστάσεις ανάμεσα στους κόμβους του πλέγματος τείνουν στο μηδέν. Η λύση u είναι διαφορετική από την αριθμητική λύση αναφέρεται στη λύση που θα είχαμε χωρίς υπολογιστικά σφάλματα. Εάν ορίσουμε το σφάλμα u και 06

24 w u uˆ t, x, 0,,, I, 0,,, N (5.8.) τότε με βάση τον παραπάνω ορισμό το αριθμητικό σχήμα συγκλίνει εάν το σφάλμα w 0, καθώς x 0 και t 0. Δηλαδή, η ακριβής αριθμητική λύση ανάγεται στην συνεχή λύση καθώς το διακριτοποιημένο πρόβλημα ανάγεται στο συνεχές πρόβλημα. Σημειώνεται, για αποφυγή σύγχυσης, ότι το σφάλμα w που προσδιορίζει εάν συγκλίνει ή όχι ένα αριθμητικό σχήμα ορίζεται διαφορετικά από το σφάλμα που χρησιμοποιούμε στον ορισμό της ευστάθειας του σχήματος (βλέπε παράγραφο 5.6). Επίσης τονίζεται ότι η ευστάθεια και η συνοχή ενός αριθμητικού σχήματος εξετάζεται σε επίπεδο εξισώσεων, ενώ η σύγκλιση σε επίπεδο αποτελεσμάτων. Τέλος, σύμφωνα με το πολύ σημαντικό θεώρημα του Lax, όταν ένα αριθμητικό σχήμα έχει συνοχή και είναι ευσταθές τότε οπωσδήποτε συγκλίνει. Άρα εξετάζοντας την ευστάθεια και την συνοχή ενός αριθμητικού σχήματος γνωρίζουμε εάν το σχήμα συγκλίνει ή αποκλίνει. Συνήθως αποφεύγουμε την απευθείας μελέτη της σύγκλισης ενός αριθμητικού σχήματος και αρκούμεθα στη ενδελεχή μελέτη της ευστάθειας και της συνοχής του σχήματος. Στην πράξη εφαρμόζουμε σχήματα πεπερασμένων διαφορών που είναι ευσταθή, έχουν συνοχή και επομένως συγκλίνουν. 5.9 Εξίσωση θερμότητας ή διάχυσης σε δύο διαστάσεις Οι τρεις βασικές μεθοδολογίες πεπερασμένων διαφορών των παραγράφων 5.3, 5.4 και 5.5 που αναπτύχθηκαν για την αριθμητική επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης θερμότητας (5..7) επεκτείνονται με απλό τρόπο σε περισσότερες χωρικές διαστάσεις. Όπως έχουμε επισημάνει η ιδιαιτερότητα των παραβολικών εξισώσεων ως προς τις ελλειπτικές έγκειται στην συστηματική αριθμητική επεξεργασία του όρου της παραγώγου ως προς το χρόνο. Όταν εξετάζονται παραβολικές εξισώσεις σε δύο ή τρεις 07

25 χωρικές διαστάσεις ο όρος της παραγώγου ως προς το χρόνο παραμένει αναλλοίωτος και απλώς τροποποιείται ο Λαπλασιανός τελεστής. Η αριθμητική προσομοίωση του Λαπλασιανού τελεστή σε δύο ή τρεις διαστάσεις αλλά και σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες και σε κάθε περίπτωση αντιμετωπίζεται με μεθόδους και πρακτικές που έχουμε ήδη παρουσιάσει στο Κεφάλαιο 4 που αναφέρεται σε ελλειπτικές εξισώσεις. Σαν παράδειγμα αναπτύσσεται η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης θερμότητας σε δύο διαστάσεις και καρτεσιανή γεωμετρία: u u u t x y, t 0, 0 x, y (5.9.) Επεκτείνοντας την μεθοδολογία διακριτοποίησης της παραγράφου 5. ορίζουμε τα σημεία x x x 0,,, I 0, (5.9.) y x j y, j 0,,, J (5.9.) j και 0 0 t t t 0,,, N, (5.9.3) y t,, κατά μήκος των αξόνων x, και. Ο κάθε κόμβος τρισδιάστατου πλέγματος προσδιορίζεται από τη τριάδα σημείων για, j του x, y, t, j 0,,, I j 0,,, J και 0,,, N. Συνολικά έχουμε I J N κόμβους. Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις,, 0, 0, 0 ut x y uttx xy jy u,j, j 0,,, I, j 0,,, J, 0,,, N. (5.9.4) Οι άγνωστες τιμές u, j θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος. Η συνολική χρονική περίοδος για την οποία θα έχουμε την αριθμητική λύση του προβλήματος είναι tn N t. 08

26 Για να εφαρμόσουμε το ρητό αριθμητικό σχήμα της παραγράφου 5.3, η (5.9.) προσεγγίζεται στον κόμβο, j,. Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται με πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά ης τάξης, ενώ οι δύο δεύτερες παράγωγοι ως προς x και πεπερασμένες διαφορές διαφορών είναι u u u u u u u u ης y προσεγγίζονται με κεντρώες τάξης. Επομένως, η εξίσωση πεπερασμένων, j, j, j, j, j, j, j, j Ot, x, y t x y 0,,, I, j 0,,, J, 0,,, N. (5.9.5) Υποθέτοντας ότι x y h η εξίσωση (5.9.5) γράφεται στη ρητή μορφή u u u u u, j, j, j, j, j 4 u όπου t/ h 0,,, I, j 0,,, J, 0,,, N. (5.9.6). Με ρητό λοιπόν τρόπο, χωρίς δηλαδή να απαιτείται η επίλυση αλγεβρικών συστημάτων, ξεκινώντας από τη γνωστή αρχική συνθήκη υπολογίζονται οι τιμές της άγνωστης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος για κάθε χρονικό βήμα με βάση τις εξισώσεις (5.9.5) ή (5.9.6) και τις γνωστές οριακές συνθήκες. Για να εφαρμόσουμε το πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα της παραγράφου 5.4, η (5.9.) προσεγγίζεται στον κόμβο, j,. Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται με πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά ης τάξης, ενώ οι δύο δεύτερες παράγωγοι ως προς x και κεντρώες πεπερασμένες διαφορές πεπερασμένων διαφορών είναι u u u u u u u u t x y ης y προσεγγίζονται με τάξης. Επομένως, η εξίσωση, j, j, j, j, j, j, j, j Ot, x, y 0,,, I, j 0,,, J, 0,,, N. (5.9.7) Υποθέτοντας ότι x y h η εξίσωση (5.9.7) γράφεται στη μορφή u u u u 4 u, j, j, j, j, j, j u, 0,,, I, j 0,,, J, 0,,, N. (5.9.8) 09

27 όπου και πάλι t/ h. Είναι προφανές ότι η επίλυση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών (5.9.7) και (5.9.8) προϋποθέτει την επίλυση ενός αλγεβρικού συστήματος σε κάθε χρονικό βήμα. Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος έχει πέντε μη μηδενικά στοιχεία ανά γραμμή. Επομένως όπως και στις ελλειπτικές εξισώσεις πρόκειται για αραιούς πίνακες και συνήθως η επίλυση των συστημάτων γίνεται με επαναληπτικές τεχνικές για τους λόγους που έχουμε αναπτύξει εκτενώς στη παράγραφο 4.3. Τέλος για να εφαρμόσουμε το πεπλεγμένο σχήμα Crak-Ncolso της παραγράφου 5.5 η (5.9.) προσεγγίζεται στον κόμβο, j, /. Εφαρμόζοντας κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών στο χρόνο και στο χώρο προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών u u u u u u u u t x x, j, j, j, j, j, j, j, j x x u u u u u u y y y, j, j, j, j, j, j y O t, x, y ή στην πιο συνεκτική μορφή u u t 0,,, I, j 0,,, J, 0,,, N. (5.9.8), j, j xxu xxu yyu xyu όπου 0, x y και x,, (5.9.0) y οι κεντρώοι τελεστές δεύτερης τάξης. Στην ειδική περίπτωση όπου x yh και / προκύπτει το σχήμα Crak-Ncolso u u u u u, j, j, j, j, j u u u u, j, j, j, j, j x y u, (5.9.). όπου t/ h. Το αριθμητικό σφάλμα, όπως και όλα τα άλλα αριθμητικά χαρακτηριστικά, των δισδιάστατων αριθμητικών σχημάτων (5.9.6), (5.9.8) και (5.9.) είναι ακριβώς τα ίδια με τα αντίστοιχα των μονοδιάστατων σχημάτων. Η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών σε τρισδιάστατα 0

28 προβλήματα αλλά και σε άλλα συστήματα συντεταγμένων πλην του καρτεσιανού μπορεί να γίνει εύκολα ακολουθώντας τους βασικούς κανόνες και τεχνικές που έχουμε παρουσιάσει στα Κεφάλαια 4 και Αντιστοιχία παραβολικών και ελλειπτικών σχημάτων Στο σημείο αυτό έχοντας ολοκληρώσει την αριθμητική επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών εξισώσεων με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών είναι ενδιαφέρον και χρήσιμο να σχολιάσουμε τυχόν αντιστοιχίες ανάμεσα σε ελλειπτικά και παραβολικά αριθμητικά σχήματα. Η σύγκριση θα περιοριστεί στις εξισώσεις Laplace και θερμότητας σε μία και δύο διαστάσεις που η αριθμητική τους επίλυση έχει μελετηθεί σε βάθος. Για λόγους πληρότητας της παραγράφου οι εξισώσεις αυτές δίδονται στον Πίνακα 5.. Πίνακας 5.: Εξισώσεις Laplace και θερμότητας σε μία και δύο διαστάσεις Εξίσωση Δ Δ Laplace 0 xx u (5..) u u 0 (5..) xx yy Θερμότητας ut (5..3) t xx u xx u u u yy (5..4) Καταρχήν σημειώνεται ότι οι λύσεις των ελλειπτικών προβλημάτων που περιγράφονται από τις (5..) και (5..) είναι αντίστοιχες με τις λύσεις των παραβολικών προβλημάτων που περιγράφεται από τις (5..3) και t (5..4) για. Στην πραγματικότητα, εάν οι εξισώσεις συνοδεύονται από τις ίδιες οριακές συνθήκες τότε οι λύσεις των ελλειπτικών εξισώσεων, όχι μόνο αντιστοιχούν αλλά ταυτίζονται με τις ασυμπτωτικές χρονικά λύσεις των αντίστοιχων παραβολικών εξισώσεων. Υπενθυμίζουμε ότι η αριθμητική επίλυση των ελλειπτικών εξισώσεων επιτυγχάνεται με την επίλυση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών μέσω μίας επαναληπτικής διαδικασίας που ολοκληρώνεται μετά από συγκεκριμένο αριθμό επαναλήψεων ανάλογα με το κριτήριο τερματισμού. Η αριθμητική

29 επίλυση των παραβολικών εξισώσεων επιτυγχάνεται με την επίλυση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών σε κάθε χρονικό βήμα και ολοκληρώνεται μετά από συγκεκριμένο αριθμό χρονικό βημάτων. Λαμβάνοντας υπόψη από τη μία πλευρά τα φυσικά φαινόμενα που περιγράφουν οι ελλειπτικές και οι παραβολικές εξισώσεις και από την άλλη πλευρά τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των ελλειπτικών και των παραβολικών σχημάτων πεπερασμένων διαφορών βλέπουμε ότι υπάρχει μία αντιστοιχία ή και ισοδυναμία θα μπορούσε να λεχθεί, ανάμεσα στο στοιχείο της επανάληψης του ελλειπτικού σχήματος και στο στοιχείο του χρονικού βήματος του παραβολικού σχήματος. Η αντιστοιχία αυτή δεν είναι μόνο ποιοτική αλλά και ποσοτική όπως θα δούμε στη συνέχεια. Η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων (5..) και (5..) επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό των μόνιμων εξαρτημένων μεταβλητών u x, y αλγορίθμων u x και στους κόμβους του πλέγματος μέσω των επαναληπτικών u u u,, j, j j και u, j u, ju, ju, j u, j 4 utx, και,, (5..5) (5..6) αντίστοιχα, όπου οι δείκτες στις παρενθέσεις συμβολίζουν τον αριθμό επανάληψης. Η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων (5..3) και (5..4) επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό των μη μόνιμων εξαρτημένων μεταβλητών utxy στους κόμβους του πλέγματος μέσω των χρονικά εξελισσομένων ρητών αλγορίθμων u uu u και u u u u u 4u, j, j, j, j, j (5..7) (5..8)

30 αντίστοιχα, όπου τώρα οι άνω δείκτες συμβολίζουν τον αριθμό του χρονικού βήματος. Στη συνέχεια συγκρίνουμε τις μονοδιάστατες εξισώσεις (5..5) και (5..7) και τις δισδιάστατες εξισώσεις (5..6) και (5..87). Επιπλέον της ποιοτικής ομοιότητας που είναι προφανής υπάρχει και ποσοτική ταύτιση. Συγκεκριμένα, θέτοντας / στην (5..7), αυτή ταυτίζεται με την (5..5) και επίσης θέτοντας /4 στην (5..8), αυτή ταυτίζεται με την (5..6). Το γεγονός ότι στις εξισώσεις (5..5) και (5..6) ο δείκτης δηλώνει αριθμό επανάληψης, ενώ στις (5..7) και (5..8) δηλώνει αριθμό χρονικού βήματος δεν συνεπάγεται καμία διαφορά στους υπολογισμούς και τα αριθμητικά αποτελέσματα σε κάθε επανάληψη θα ταυτίζονται με τα αριθμητικά αποτελέσματα σε κάθε χρονικό βήμα. Βέβαια, είναι αναγκαίο να υπενθυμίσουμε ότι τα ρητά αριθμητικά σχήματα (5..7) και (5..8) είναι ευσταθή μόνο για / και /4 αντίστοιχα. Αυτό εξηγείται σχετικά εύκολα επισημαίνοντας ότι τα επαναληπτικά σχήματα (5..5) και (5..6) είναι οριακά ευσταθή κάτι που θα μπορούσε κάποιος να ισχυρισθεί και για τα σχήματα (5..7) και (5..8) με / και /4 αντίστοιχα. Η αντιστοιχία ανάμεσα σε παραβολικά και ελλειπτικά σχήματα ισχύει και στην περίπτωση των πεπλεγμένων παραβολικών σχημάτων. Χωρίς να θεωρούμε σκόπιμο να επεκταθούμε περισσότερο κρίνουμε αναγκαίο απλώς να επισημάνουμε την ομοιότητα των αλγορίθμων ( ) και ( ), όπου εφαρμόζεται η μέθοδος ADI στην επίλυση των εξισώσεων θερμότητας και Laplace αντίστοιχα σε δύο διαστάσεις. Είναι προφανές ότι η ανάλυση που παρουσιάσαμε σε μία και δύο διαστάσεις ισχύει και στην περίπτωση των τριών διαστάσεων. Συμπερασματικά, αναφέρεται ότι η ποιοτική ισοδυναμία και μερικές φορές η ποσοτική ταύτιση παραβολικών και ελλειπτικών σχημάτων είναι γενική, ισχύει, εκτός των πεπερασμένων διαφορών και σε άλλες υπολογιστικές μεθόδους και αποτελεί χρήσιμο εργαλείο στην αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. 3