y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2)"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Ι ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΙΑΤΗΡΟΥΝ ΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΑΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΚΡΙΒΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ «ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ» ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Περιεχοµενα Α. Η γενική γραµµική και οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως: Ο µετασχηµατισµός y = gy και οι χρήσεις του B. Η γενική γραµµική και οµογενής µερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης: Ο µετασχηµατισµός u = gu και οι χρήσεις του C. Η εξίσωση Ricatti D. Και µια εύκολη άσκηση: Βρείτε µόνοι σας όλα τα χρονεξαρτηµένα δυναµικά V (x, t που µπορούν να επιλυθούν ακριβώς µε τη µέθοδο των πολικών µεταβλητών

2 2 Εισαγωγη Σκοπός τούτου του συµπληρώµατος είναι να παρουσιάσουµε µε κάπως µεγαλύτερη άνεση και σχετική αυτονοµία, ως προς το βιβλίο, τη βασική µεθοδολογία χειρισµού και επίλυσης των βασικών «παράπλευρων» εξισώσεων που συναντούµε εκεί ώστε να δοθεί η δυνατότητα στον αναγνώστη να εξοικειωθεί µε έναν τρόπο σκέψης που πιστεύουµε ότι είναι πιο σηµαντικός και από τα επιµέρους ευρήµατα που αναφέρονται σε αυτό. Οι εξισώσεις για τις οποίες θα µιλήσουµε θα είναι, κατά σειράν, οι εξής: A. y + P (xy + Q(xy = 0 : Η γενική, γραµµική και οµογενής εξίσωση δευτέρας τάξεως B. u t + β(x, tu x + γ(x, tu = 0 : Η γενική, γραµµική και οµογενής, µερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. C. y = a(xy 2 + b(xy + c(x : Η γενική εξίσωση Ricatti Το ενοποιητικό πλαίσιο της παρουσίασης θα είναι αυτό που αναφέρεται στον τίτλο του συµπληρώµατος µε µοναδική εξαίρεση τον µετασχηµατισµό που θα δείτε στην αρχή της «παραγράφου» C και ο οποίος όχι µόνο δεν διατηρεί τη µορφή της εξίσωσης Ricatti αλλά κάνει ακριβώς το αντίθετο! Την µετατρέπει σε κάτι τελείως διαφορετικό. Την µετατρέπει σε µια γραµµική εξίσωση δευτέρας τάξεως. Με την εξαίρεση αυτού του µετασχηµατισµού το µοναδικό εργαλείο που θα χρησιµοποιήσουµε θα είναι πράγµατι οι αλλαγές εξαρτηµένης (κυρίως µεταβλητής, που διατηρούν το βασικό µορφολογικό χαρακτηριστικό της θεωρούµενης εξίσωσης και που εξειδικεύονται µετά έτσι ώστε να επιτευχθεί η µέγιστη δυνατή απλοποίηση και ενδεχοµένως η επίλυσή της. Σε κατοπινές «συνέχειες» τούτου του συµπληρώµατος θα συζητήσουµε επίσης τις δυνατότητες που µας παρέχει η χρήση των αλλαγών ανεξάρτητης µεταβλητής και οι οποίες µόνο «παρεµπιπτόντως» αναφέρονται εδώ. Και αρχίζουµε µε τις εξισώσεις του τύπου A.

3 3 Α. Η γενική γραµµική και οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως: Ο µετασχηµατισµός y=gy και οι χρήσεις του Σύµφωνα µε το γενικό πλαίσιο που περιγράψαµε πριν, αφετηρία µας εδώ θα είναι η παρατήρηση ότι, αν θέλουµε να διατηρήσουµε το γραµµικό και οµογενή χαρακτήρα µιας εξίσωσης, τότε οι αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής που µπορούµε να κάνουµε πρέπει να είναι και αυτές γραµµικές και οµογενείς. Αυτή η απαίτηση ικανοποιείται, προφανώς, από έναν µετασχηµατισµό της µορφής y(x = g(x Y (x, (1 όπου y, Y η παλιά και η νέα εξαρτηµένη µεταβλητή αντίστοιχα, και g(x µια αυθαίρετη συνάρτηση. Ας κάνουµε τώρα τον µετασχηµατισµό (1 στην εξίσωση για να δούµε ποιες µπορεί να είναι οι πιθανές χρήσεις του. Θα έχουµε και, εισάγοντας τις (1 και (3 στη (2, παίρνουµε y + P y + Qy = 0 (2 y = gy + g Y, y = gy + 2g Y + g Y (3 gy + (P g + 2g Y + (g + P g + QgY = 0, (4 απ όπου αναφαίνονται αµέσως οι εξής δύο δυνατότητες: α Να διαλέξουµε το g έτσι ώστε να µηδενίζεται ο συντελεστής του όρου της πρώτης παραγώγου της νέας εξίσωσης. ηλαδή να απαιτήσουµε όπως οπότε θα είναι P g + 2g = 0 g = e 1 2 R P dx (5 και η µετασχηµατισµένη εξίσωση θα έχει έρθει τότε στη λεγόµενη κανονική µορφή Y + I(xY = 0 µε I(x = Q(x 1 2 P 1 4 p2. β Να διαλέξουµε το g(x έτσι ώστε να µηδενίζεται ο συντελεστής τού Y της νέας εξίσωσης, οπότε αυτή θα παίρνει τη µορφή Y + P Y = 0, P = P + 2 g g, η οποία γίνεται αµέσως πρωτοτάξια µε την προφανή αντικατάσταση Y = u. Αυτή η ελάττωση τάξης πραγµατοποιείται όταν το g ικανοποιεί την εξίσωση g + P g + Qg = 0, όταν δηλαδή συµπίπτει µε µία από τις λύσεις της αρχικής. Έχοντας τώρα σκιαγραφήσει τις δύο δυνατές χρήσεις του µετασχηµατισµού y = gy, ας εξετάσουµε καθεµιά από αυτές χωριστά.

4 4 1. ΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΣΕ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Ορισµός: Κανονική µορφή µιας δευτεροτάξιας εξίσωσης y + P y + Qy = 0 ονοµάζεται εκείνη που προκύπτει από αυτήν µε απαλοιφή του όρου της πρώτης παραγώγου της µέσω ενός γραµµικού και οµογενούς µετασχηµατισµού της εξαρτηµένης µεταβλητής της. Όπως είδαµε, ο κατάλληλος παράγοντας µετασχηµατισµού g(x είναι ο g(x = e 1 2 για τον οποίο η νέα εξίσωση παίρνει τη µορφή ή, ισοδύναµα, την gy + (g + P g + QgY = 0 Y + (Q + P g g + g Y = 0 g η οποία, για g = exp( P (xdx/2, γράφεται τελικά ως R P (xdx, (6 Y + I(xY = 0, (7 όπου I(x = Q 1 2 P 1 4 P 2. (8 Η θεµελιώδης σηµασία της κανονικής µορφής φαίνεται τώρα από την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση: Όλες οι δευτεροτάξιες γραµµικές διαφορικές εξισώσεις που συνδέονται µε γραµµικούς και οµογενείς µετασχηµατισµούς εξαρτηµένης µεταβλητής έχουν την ίδια κανονική µορφή. Απόδειξη: Όπως είδαµε νωρίτερα, η µετασχηµατισµένη µορφή της εξίσωσης κάτω από έναν τυχόντα µετασχηµατισµό y = gy, είναι όπου y + P y + Qy = 0 (9 Y + P Y + QY = 0, (10 P = P + 2 g g, Q = Q + P g g + g g. Για να δείξουµε ότι οι (9 και (10 έχουν την ίδια κανονική µορφή πρέπει να δείξουµε ότι Ĩ(x = I(x, δηλαδή ότι Q 1 2 P 1 4 P 2 = Q 1 2 P 1 4 P 2

5 5 πράγµατι είναι Ĩ = Q 1 2 P 1 4 P 2 = (Q + P g g + g 1 g 2 (P + 2 g 1 g 4 2 (P + 2 g g και παίρνοντας υπ όψιν ότι (g /g = (g /g (g /g 2 θα έχουµε τελικά ( g ( g Ĩ = Q + P g g + g g 1 2 P g g 2 14 P 2 P g g ( g 2, g απ όπου φαίνεται αµέσως πως όλοι οι όροι που περιέχουν το g απαλείφονται, και ό,τι αποµένει δεν είναι παρά το I = Q P /2 P 2 /4 της αρχικής εξίσωσης. είξαµε λοιπόν ότι η παράσταση I = Q 1 2 P 1 4 P 2, που κατασκευάζεται από τους συντελεστές P και Q µιας δευτεροτάξιας γραµµικής εξίσωσης, παρα- µένει αναλλοίωτη στους µετασχηµατισµούς y = gy. Είναι δηλαδή η ίδια για όλη την οικογένεια των εξισώσεων που συνδέονται µεταξύ τους µε γραµµικές και οµογενείς αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής. Η πρακτική και θεωρητική σηµασία αυτού του αποτελέσµατος είναι σχεδόν προφανής. Αν κάποιος έχει πάρει µια γνωστή επιλύσιµη εξίσωση π.χ., την y + y = 0 και της έχει κάνει µια αυθαίρετη αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής π.χ., την y = exp(x 2 /2Y τότε η κρυµµένη επιλυσιµότητα της νέας εξίσωσης µπορεί να αποκαλυφθεί αµέσως, πηγαίνοντάς την στην κανονική µορφή. Με άλλα λόγια, η µετάβαση στην κανονική µορφή αναιρεί τους αυθαίρετους µετασχηµατισµούς εξαρτηµένης µεταβλητής και αποκαλύπτει την τυχόν επιλυσιµότητα της εξίσωσης. Αυτή η σύντοµη συζήτηση ας είναι και µια πρώτη εισαγωγή του αναγνώστη στα «µυστήρια» της κρυπτοεπιλυσιµότητας περί των οποίων θα γίνει µια αναφορά σε ένα άλλο µέρος αυτού του Μαθηµατικού Συµπληρώµατος. 2. ΕΛΑΤΤΩΣΗ ΤΑΞΗΣ Ας επιστρέψουµε τώρα στη δεύτερη δυνατή χρήση του γραµµικού και οµογενούς µετασχηµατισµού y = gy. Όπως είπαµε νωρίτερα, από τη γενική µορφή της µετασχηµατισµένης εξίσωσης gy + (P g + 2g Y + (g + P g + QgY = 0 φαίνεται αµέσως ότι µπορούµε να µηδενίσουµε τον συντελεστή του Y αρκεί να διαλέξουµε το g έτσι ώστε να ικανοποιεί την εξίσωση g + P g + Qg = 0, δηλαδή να ταυτίζεται µε µία από τις λύσεις y 1, y 2 της αρχικής. Με αυτή την εκλογή η νέα εξίσωση περιέχει µόνο τους όρους δευτέρας και πρώτης παραγώγου και, εποµένως, µε την αντικατάσταση Y = u, µετατρέπεται αµέσως σε πρωτοτάξια. Ποιοτικά, αυτή η ελάττωση τάξης είναι κάτι που θα έπρεπε να αναµένεται. Πρόκειται για τον ίδιο ακριβώς µηχανισµό που µας επιτρέπει να ελαττώσουµε το βαθµό µιας αλγεβρικής εξίσωσης όταν συµβαίνει να γνωρίζουµε µία από τις ρίζες της. Εν πάση περιπτώσει, εδώ η ελαττωµένης τάξης εξίσωση έχει τη µορφή u + (P + 2 g g u = 0, (11

6 6 όπου g = y 1 ή y 2, u = Y, y = gy. Υπενθυµίζουµε τώρα στον αναγνώστη ότι µια γραµµική και οµογενής πρωτοτάξια εξίσωση της γενικής µορφής y + P y = 0 ολοκληρώνεται αµέσως γράφοντάς την ως Έτσι, για την (11, θα έχουµε y y = P d ln y = P ln y = dx y = e R P (xdx. u = e R (P +2 g g dx = e R P dx 2 ln g e όπου W = W (x η βρονσκιανή της αρχικής εξίσωσης P dx u = 1 g 2 e R P dx = W g 2, (12 W = W (y 2, y 2 = y 1 y 2 y 1y 2 = e R P (xdx (τύπος του Abel και g(x µία από τις λύσεις της. Συγκεκριµένα, αν g = y 1 τότε η (12 γράφεται ως u = Y = W y 2 1 W Y = y 2 1 dx και, δεδοµένου ότι y = gy = y 1 Y, θα έχουµε τελικά y = y 1 W y 2 1 dx (13 που είναι, βέβαια, ο πολύ γνωστός τύπος y 2 = y 1 W y 2 1 dx, (14 βάσει του οποίου υπολογίζουµε µια δεύτερη λύση όταν η µία είναι ήδη γνωστή. Βασικά λόγω του αόριστου χαρακτήρα του ολοκληρώµατος και του γεγονότος ότι η βρονσκιανή ορίζεται µε απροσδιοριστία µιας πολλαπλασιαστικής σταθεράς τόσο ο (13 όσο και ο (14 µας δίνουν τη γενική λύση ως γραµµικό συνδυασµό της y 1 και µιας γραµµικά ανεξάρτητης δεύτερης λύσης y 2. είξαµε λοιπόν ότι η γνώση µιας λύσης µας επιτρέπει να µειώσουµε κατά µονάδα την τάξη µιας δευτεροτάξιας εξίσωσης, και ολοκληρώνοντας την πρωτοτάξια εξίσωση που προκύπτει, να υπολογίσουµε και µια δεύτερη λύση.

7 1 B. Η γενική γραµµική και οµογενής µερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης: Ο µετασχηµατισµός u=gu και οι χρήσεις του Πρόκειται για την εξίσωση u t + β(x, tu x + γ(x, tu = 0, (1 που είναι προφανώς η πιο γενική πρωτοτάξια µερική διαφορική εξίσωση που έχει και την επιπλέον ιδιότητα της γραµµικότητας και της οµογένειας. Όπως και στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις έτσι και εδώ τα µόνα συστηµατικά εργαλεία που έχουµε στη διάθεσή µας για τη λύση αυτής της εξίσωσης είναι οι αλλαγές εξαρτηµένης ή/και ανεξάρτητης µεταβλητής(-ών και εδώ θα περιοριστούµε κυρίως στο πρώτο από αυτά τα οποίο επαρκεί πλήρως για το σκοπό µας. Η βασική παρατήρηση τώρα όπως και προηγουµένως είναι ότι αφού η (1 είναι γραµµική και οµογενής, και θέλουµε να παρα- µείνει τέτοια, η µόνη αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής που έχει νόηµα να χρησιµοποιήσουµε είναι η γραµµική και οµογενής σχέση u = gu, (2 όπου u, U η παλιά και η νέα εξαρτηµένη µεταβλητή και g(x, t µια αυθαίρετη συνάρτηση που θα πρέπει να επιλεγεί κατάλληλα. Για να δούµε ποια µπορεί να είναι µια τέτοια «κατάλληλη επιλογή» αντικαθιστούµε τη (2 στην (1 και παίρνουµε απ όπου είναι φανερό ότι αν η g ικανοποιεί την εξίσωση gu t + gβu x + (g t + βg x + γgu = 0, (3 g t + βg x + γg = 0 (4 είναι δηλαδή µια λύση της αρχικής εξίσωσης (1 τότε η (3 θα καταλήγει στην U t + βu x = 0, (5 δηλαδή στην ίδια την αρχική εξίσωση αλλά χωρίς τον τελευταίο όρο της. Φτάσαµε έτσι σε ένα αποτέλεσµα τελείως ανάλογο µε εκείνο της προηγούµενης «παραγράφου», όπου και εκεί η ταύτιση του g µε µία από τις λύσεις (y 1 ή y 2 της αρχικής εξίσωσης οδήγησε στην απαλοιφή του όρου χωρίς παράγωγο και, λόγω αυτού, σε µείωση της τάξης της εξίσωσης. Και η µόνη διαφορά µε την τωρινή περίπτωση είναι ότι εδώ δεν προκύπτει µείωση τάξης, για τον πολύ απλό λόγο ότι η εξίσωση είναι ήδη πρωτοτάξια και επιπλέον όχι συνήθης αλλά µερική διαφορική εξίσωση. Όσον αφορά τώρα την εξίσωση (5, θα δείξουµε αµέσως στην πραγµατικότητα είναι σχεδόν προφανές ότι η γενική της λύση θα µπορεί πάντα να γραφεί υπό τη µορφή U = f(ξ, (6 όπου ξ = ξ(x, t µια οποιαδήποτε ειδική λύση της (5 και f(ξ µια αυθαίρετη συνάρτηση του ξ. Πράγµατι, δεδοµένου ότι U t = f t = f (ξξ t, η αντικατάσταση της (6 στην (5 θα δώσει το οποίο αποδεικνύει το ζητούµενο. U x = f x = f (ξξ x f (ξ(ξ t + βξ x = 0 ξ t + βξ x = 0, (7

8 2 Αποµένει να δούµε αν υπάρχουν κάποιες σηµαντικές ειδικές περιπτώσεις για τις οποίες είναι δυνατή η εύρεση µιας ειδικής λύσης g της (1, οπότε θα είναι σίγουρα δυνατή και η αναγωγή της στην απλούστερη µορφή (5. Ύστερα από λίγη σκέψη βλέπει κανείς ότι µια σηµαντική τέτοια περίπτωση που εµφανίζεται συχνότατα στις εφαρµογές είναι η γ(x, t = γ(t (8 για την οποία είναι αµέσως φανερό ότι η (1 θα διαθέτει µια ειδική λύση επίσης της µορφής g(x, t = g(t, βάσει της οποίας η (1 καταλήγει στη συνήθη διαφορική εξίσωση ġ + γ(tg = 0, που λύνεται αµέσως µε αποτέλεσµα g(t = e R γ(tdt. (9 Θα είναι λοιπόν σε αυτή την περίπτωση u(x, t = e R γ(tdt f(ξ, (10 όπου ξ µια οποιαδήποτε ειδική λύση της (5 και f(ξ µια αυθαίρετη συνάρτηση του ξ. Σηµειώστε επ ευκαιρία ότι η εµφάνιση αυθαίρετων συναρτήσεων είναι ένα αναµενόµενο χαρακτηριστικό της γενικής λύσης των µερικών διαφορικών εξισώσεων, ακριβώς όπως η εµφάνιση αυθαίρετων σταθερών είναι επίσης ένα τυπικό χαρακτηριστικό της γενικής λύσης των συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Και όπως στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις το πλήθος των εµφανιζόµενων αυθαίρετων σταθερών είναι ίσο µε την τάξη της εξίσωσης, το ίδιο ισχύει και για τις µερικές διαφορικές εξισώσεις: Το πλήθος των αυθαίρετων συναρτήσεων που εµφανίζονται στη γενική λύση είναι ίσο µε την τάξη της εξίσωσης. Είναι λογικό λοιπόν ότι στην περίπτωσή µας όπου η επιλυόµενη εξίσωση είναι πρωτοτάξια το πλήθος των εµφανιζόµενων αυθαίρετων συναρτήσεων θα είναι ίσο µε ένα, όπως και συµβαίνει. Αντίθετα, στην περίπτωση µιας δευτεροτάξιας εξίσωσης όπως, π.χ., η γνωστή κυµατική εξίσωση στη µία διάσταση u xx 1 c 2 u tt = 0, η γενική λύση όπως µπορείτε εύκολα να επαληθεύσετε γράφεται ως u(x, t = f(x ct + g(x + ct και όντως περιέχει δύο αυθαίρετες συναρτήσεις τις f και g, όσες δηλαδή και η τάξη της εξίσωσης. Για να πάµε ένα βήµα πιο πέρα θα χρειαστεί τώρα να «σκύψουµε» λίγο πάνω στην εξίσωση (5 για να δούµε αν υπάρχουν και εδώ κάποιες ειδικές αλλά µη τετριµµένες µορφές του συντελεστή β = β(x, t για τις οποίες µπορεί επίσης να βρεθεί µια ειδική λύση ξ = ξ(x, t που θα εισαχθεί µετά στον τύπο (10 για να µας δώσει τη ζητούµενη γενική λύση της αρχικής εξίσωσης (1. Η απλούστερη τέτοια περίπτωση που µπορούµε να εξετάσουµε είναι όταν το β(x, t έχει την κλειστή µορφή ενός πολυωνύµου ως προς x µε συντελεστές που είναι συναρτήσεις του t οπότε είναι εύλογο να περιµένουµε ότι και η λύση θα έχει µια ανάλογη πολυωνυµική µορφή. Ύστερα από λίγο βλέπει όµως κανείς αποδείξτε το παρ όλα αυτά ότι αυτό είναι δυνατό µόνο όταν το β είναι ένα πολυώνυµο πρώτου βαθµού. ηλαδή όταν β(x, t = α(tx + β(t (11

9 3 όπου, βέβαια, η συνάρτηση β(t του δεύτερου µέλους δεν έχει καµιά σχέση µε τη β(x, t του πρώτου. Με β(x, t όπως στην (11 η (5 γράφεται ως U t + (αx + βu x = 0, (12 απ όπου γίνεται γρήγορα αντιληπτό ότι η ζητούµενη ειδική λύση ξ(x, t θα µπορεί να αναζητηθεί στη µορφή ξ = A(tx + B(t, (13 της οποίας η αντικατάσταση στη (12 δίνει αµέσως Ax + Ḃ + (αx + βa = 0 A + αa = 0, Ḃ + βa = 0, απ όπου οι συναρτήσεις A και B προσδιορίζονται πολύ εύκολα συναρτήσει των α και β που θεωρούνται γνωστές. Θα είναι συγκεκριµένα A(t = e R α(tdt, B(t = βe R α(tdt dt. Σε ένα άλλο µέρος τούτου του Μαθηµατικού Συµπληρώµατος θα εξετάσουµε και κάποιες ακόµα ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, όπου η εξίσωση (1 είναι ακριβώς επιλύσιµη και θα µελετήσουµε επίσης τις δυνατότητες που µας παρέχει το άλλο βασικό εργαλείο που έχουµε στη διάθεσή µας: Οι αλλαγές των ανεξάρτητων µεταβλητών t και x, που η γενική τους µορφή είναι s = s(t, x, z = z(t, x, (14 όπου s και z ο νέος «χρόνος» και η νέα «θέση» αντίστοιχα. Όπου βέβαια η κατάλληλη «κίνηση» και εδώ όπως και στην αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής που εξετάσαµε πριν είναι να αντικαταστήσουµε τις (14 στην (1 ώστε να διερευνήσουµε τι δυνατότητες παρεµβάσεων στη µορφή της εξίσωσης προκύπτουν λόγω αυτών των αλλαγών. εν θα προχωρήσουµε αυτή τη διερεύνηση εδώ γιατί δεν είναι αναγκαία για τους περιορισµένους σκοπούς τούτου του πρώτου µέρους του Μαθη- µατικού Συµπληρώµατος. Αναφερθήκαµε όµως και σε αυτή τη δυνατότητα ώστε να αναδειχθεί µε απόλυτη σαφήνεια η βασική «φιλοσοφία» µας σχετικά µε τη λύση διαφορικών εξισώσεων όπως αυτές που συζητάµε εδώ. Το ουσιώδες είναι να γνωρίζουµε τα «εργαλεία» που έχουµε στη διάθεσή µας και να γνωρίζουµε επίσης, σε γενικές γραµµές, τι µπορεί να κάνει το καθένα από αυτά. Ώστε να εί- µαστε σε θέση τουλάχιστον να αντιµετωπίσουµε µεθοδικά την κάθε συγκεκριµένη περίπτωση, και ό,τι καταφέρουµε. Στη λύση διαφορικών εξισώσεων το γνωρίζουµε όλοι αυτό η επιτυχία δεν είναι ποτέ εξασφαλισµένη. Η αποτυχία όµως είναι σίγουρη αν αρχίσουµε να δοκιµάζουµε στα τυφλά κάθε πιθανό ή απίθανο τέχνασµα ελπίζοντας στην... καλή µας τύχη.

10 C. Η εξίσωση Ricatti Πρόκειται για τη «διασηµότερη» από όλες τις µη γραµµικές εξισώσεις πρώτης τάξεως που περιγράφονται από το γενικό τύπο y = f(x, y, όπου f(x, y µια τυχούσα συνάρτηση των x και y. Η εξίσωση Ricatti είναι εκείνη η πρωτοτάξια εξίσωση της οποίας το δεύτερο µέλος έχει την ηπιότερη δυνατή µη γραµµική εξάρτηση από την εξαρτηµένη µεταβλητή y. Είναι ένα δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς y µε συντελεστές που είναι τυχούσες συναρτήσεις του x. Θα είναι δηλαδή y = a(xy 2 + b(xy + c(x [εξίσωση Ricatti] (1 Εκείνο που κάνει την εξίσωση Ricatti σηµαντική από µαθηµατικής πλευράς αλλά και από πλευράς εφαρµογών είναι το γεγονός ότι µπορεί να αναχθεί σε γραµµική µε έναν κατάλληλο (αν και ανορθόδοξο µετασχηµατισµό. Για να φτάσουµε γρήγορα στο στόχο µας ας πούµε αµέσως ότι ο µετασχηµατισµός αυτός έχει τη µορφή y = 1 u (2 a u και ας τον... επαληθεύσουµε (δάσκαλε που εδίδασκες! στην ειδική περίπτωση a(x = 1, (1 οπότε η (1 γράφεται ως y = y 2 + by + c. (3 Θα έχουµε τότε ( u y = = u u u 2 u u 2 = u u + ( u u 2 = u u + y2. (4 οπότε είναι φανερό ότι η αντικατάσταση της (4 στην (3 θα οδηγήσει στην απαλοιφή του όρου y 2 και η προκύπτουσα εξίσωση θα είναι η u u + ( u 2 ( u = u u 2 + b ( u + c u u bu + cu = 0, (5 ενώ µε τον ίδιο τρόπο µπορεί να δείξει µόνος του ο αναγνώστης ότι και η γενικότερη αντικατάσταση (2 στην αρχική εξίσωση (1 θα δώσει την επίσης γραµµική εξίσωση δευτέρας τάξεως u (b + a u + acu = 0. (6 a Η µετατροπή µιας µη γραµµικής εξίσωσης σε γραµική είναι σίγουρα ένα πολύ θετικό αποτέλεσµα αν ληφθεί υπ όψιν ότι για τις γραµµικές εξισώσεις διαθέτουµε µια συστηµατική µεθοδολογία επίλυσης (βλ. και Κεφ. 2 του βιβλίου που έχει ως ακρογωνιαίο λίθο της την αρχή της υπέρθεσης των λύσεων: Το οποίο σηµαίνει πρακτικά ότι µας αρκεί να βρούµε δύο (γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις y 1 και y 2 της δεδοµένης εξίσωσης y + P (xy + Q(xy = 0 για να κατασκευάσουµε µετά και τη γενική της λύση ως τον τυχόντα γραµµικό τους συνδυασµό y = c 1 y 1 + c 2 y 2. Κάτι που ασφαλώς δεν ισχύει στις µη γραµµικές εξισώσεις για τις οποίες η γνώση οσωνδήποτε ειδικών λύσεων δεν αρκεί (1 που δεν είναι στην πραγµατικότητα πολύ ειδική αφού το a(x µπορεί πάντοτε να γίνει µονάδα µε κατάλληλη αλλαγή εξαρτηµένης ή ανεξάρτητης µεταβλητής. ( είτε πιο κάτω.

11 2 για τον προσδιορισµό της γενικής τους λύσης. Όµως η αναγωγή µιας πρωτοτάξιας εξίσωσης σε µια εξίσωση δευτέρας τάξεως, όπως στην περίπτωσή µας, θέτει ένα βασικό ερώτηµα. Πώς είναι δυνατή µια τέτοια αναγωγή όταν γνωρίζουµε ότι η γενική λύση των πρωτοτάξιων εξισώσεων περιέχει µία µόνο αυθαίρετη σταθερά c ενώ για τις δευτεροτάξιες εξισώσεις το πλήθος αυτών των σταθερών είναι ίσο µε δύο; Η απάντηση είναι πολύ απλή. Αν u = c 1 u 1 + c 2 u 2 είναι η γενική λύση της γραµµικής δευτεροβάθµιας εξίσωσης (6, τότε η αντικατάστασή της στον τύπο (2 θα δώσει y = 1 a c 1 u 1 + c 2u 2 = 1 u 1 + cu 2 (c = c 2 /c 1 c 1 u 1 + c 2 u 2 a u 1 + cu 2 δηλαδή µια έκφραση που περιέχει µία µόνο αυθαίρετη σταθερά c. Και η έκβαση αυτή είναι βεβαίως προφανής εκ των υστέρων, αφού στο πηλίκον u /u µόνο ο λόγος των δύο σταθερών c 1 και c 2 θα έχει σηµασία. Όσο για τη δικαιολόγηση έστω «εκ των υστέρων» του µετασχηµατισµού (2 η µόνη που µπορώ να προσφέρω πέραν της εµπειρικής διαπίστωσης ότι η παραγώγιση της έκφρασης (u /u εµφανίζει και το τετράγωνό της (u /u 2 αφορά την αντίστροφη διαδικασία, που είναι η (ανεπιθύµητη όµως! µετατροπή µιας δευτεροτάξιας γραµµικής και οµογενούς εξίσωσης σε µια πρωτοτάξια εξίσωση που προκύπτει να έχει τη µορφή Ricatti. Τέτοιο υποβιβασµοί τάξεως είναι πάντα δυνατοί όταν η δεδοµένη εξίσωση έχει κάποια συµµετρία π.χ., µετατόπισης ή ανακλιµάκωσης του x ή του y η οποία και υπαγορεύει µονοσήµαντα τον κατάλληλο µετασχηµατισµό που θα επιτύχει αυτό τον υποβιβασµό. Η περίπτωση των δευτεροτάξιων, γραµµικών και οµογενών εξισώσεων ανήκει σε αυτή την κατηγορία, αφού οι εξισώσεις αυτές παραµένουν αναλλοίωτες στην αλλαγή y λy: έχουν δηλαδή συµµετρία κλίµακας ως προς y. Πώς εκµεταλλευόµαστε αυτό το γεγονός θα το δει ο αναγνώστης ως ειδική περίπτωση µιας γενικότερης συζήτησης υπό τον τίτλο «Συµµετρία και ελάττωση τάξης», στο Σ. Τραχανάς, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, σελ και ειδικότερα στη σελ. 104, όπου δείχνεται ότι πράγµατι η ελάττωση τάξης που γίνεται δυνατή χάρις στην παραπάνω συµµετρία, µετατρέπει µια δευτεροτάξια γραµµική (και οµογενή εξίσωση σε µια πρωτοτάξια εξίσωση Ricatti. Επειδή όµως το επιθυµητό στην πράξη είναι ακριβώς το αντίθετο, ο τρόπος να το επιτύχει κανείς είναι να εκτελέσει τον αντίστροφο µετασχηµατισµό που είναι τελικά ο (2. Για όσους έχουν αφεθεί να πιστεύουν στη «µεταφυσική των τεχνασµάτων» δηλαδή στην άποψη ότι η ακριβής επίλυση των διαφορικών εξισώσεων είναι ζήτηµα «έµπνευσης» και όχι οργανωµένης σκέψης ούτε η εξίσωση Ricatti προσφέρεται ως καλό παράδειγµα. Όµως η ιδιαίτερη σηµασία που έχει αυτή η εξίσωση στο πλαίσιο τούτου του βιβλίου µας επιβάλλει να αναφέρουµε και έναν διαφορετικό τρόπο µελέτης και επίλυσής της, που βασίζεται όµως στην προηγούµενη γνώση µιας ειδικής λύσης y = y 0. Αν αφηνόµαστε κι εµείς στη µεταφυσική των τεχνασµάτων θα µπορούσαµε να αναφέρουµε «απλώς» ότι τότε η λύση θα δίνεται από τον µετασχηµατισµό y = y u, (7 ο οποίος για ανερώτητους άρα και ανεξήγητους λόγους µετατρέπει την (1 σε µια πρωτοτάξια γραµµική εξίσωση που όντως λύνεται αµέσως, κ.λπ., κ.λπ.... Πιστεύοντας όµως περισσότερο στον ορθό λόγο παρά στη µεταφυσική ή την καλή τύχη επιλέγουµε να εφαρµόσουµε µια πολύ γενική µεθοδολογία που βασίζεται στην ίδια βασική ιδέα που χρησιµοποιήσαµε και πριν. Ας την επαναλάβουµε: Για κάθε κατηγορία εξισώσεων που µας ενδιαφέρει, να σκεφτόµαστε πρώτα ποιοι είναι οι µετασχηµατισµοί που διατηρούν τη µορφή της και, αφού εκτελέσου- µε έναν τέτοιο γενικό µετασχηµατισµό, να δούµε αν οι αυθαίρετες συναρτήσεις που περιέχει µπορούν

12 3 να επιλεγούν κατάλληλα ώστε αυτή η γενική µορφή να απλοποιηθεί σηµαντικά και ενδεχοµένως να γίνει επιλύσιµη. Παραδείγµατος χάριν, για τη γραµµική και οµογενή εξίσωση δευτέρας τάξεως y + P (xy + Q(xy = 0 (8 είδαµε λίγο πριν ότι η µόνη αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής που διατηρεί τη µορφή της είναι η επίσης γραµµική και οµογενής σχέση y = gy, (9 όπου y η παλιά και Y η νέα εξαρτηµένη µεταβλητή και g(x η συνάρτηση µετασχηµατισµού για την οποία είδαµε επίσης πώς µπορεί να εκλεγεί ώστε η (8 να απλοποιηθεί σηµαντικά ή, ενδεχοµένως, και να λυθεί. Όσον αφορά τώρα την εξίσωση Ricatti, γρήγορα επίσης αντιλαµβάνεται κανείς ότι θα διατηρεί τη µορφή της κάτω από το µετασχηµατισµό y = gy + h, (10 που είναι η πιο γενική γραµµική (αλλά µη οµογενής σχέση µεταξύ της παλιάς (y και της νέας (Y εξαρτηµένης µεταβλητής και µε g(x και h(x αυθαίρετες συναρτήσεις που αποµένει να εκλεγούν κατάλληλα. Το ότι ο (10 πράγµατι διατηρεί τη µορφή της εξίσωσης Ricatti είναι µάλλον φανερό, αφού η παραγώγιση στο πρώτο µέλος θα δώσει έναν γραµµικό συνδυασµό των Y και Y, ενώ το δεύτερο µέλος θα διατηρήσει τη µορφή ενός δευτεροβάθµιου τριωνύµου ως προς Y. Ας περιοριστούµε τώρα, για λόγους απλότητας, στην ειδικότερη περίπτωση που είναι g = 1, δηλαδή y = Y + h, (11 οπότε η (1 θα µετατραπεί στην Y = ay 2 + (b + 2ahY + (ah 2 + bh + c h, (12 που είναι πάλι µια εξίσωση Ricatti, όπως το περιµέναµε, η οποία όµως µπορεί να απλοποιηθεί δραστικά αν θέσουµε h = ah 2 + bh + c, (13 αν δηλαδή η συνάρτηση h ισούται µε κάποια ειδική λύση h = y 0 της αρχικής εξίσωσης. Αν αυτό συµβαίνει, τότε η (12 παίρνει τη µορφή Y = AY 2 + BY (A = a, B = b + 2ah (14 που είναι µια ειδική περίπτωση της λεγόµενης εξίσωσης Bernoulli y = a(xy + b(xy ν, (15 η οποία επιλύεται ακριβώς, αν σκεφτούµε και εδώ ότι η (15 διατηρεί τη µορφή της κάτω από το µετασχηµατισµό y = u µ (16 του οποίου η αντικατάσταση στην (15 δίνει u = a µ u + b µ uµν µ+1 (17

13 4 που είναι πάλι µια εξίσωση Bernoulli αλλά µε ένα νέο εκθέτη ν = µν µ + 1. Έχοντας όµως το µ στη διάθεσή µας ως ελεύθερη παράµετρο µπορούµε να το διαλέξουµε ώστε να είναι ν = 0 µ = 1/1 ν, (18 οπότε η (17 καταλήγει σε µια γραµµική εξίσωση που λύνεται ακριβώς όπως γνωρίζουµε. Για την εξίσωση (14 είναι προφανώς ν = 2 µ = 1, οπότε ξαναγυρνώντας στην (11 µε h = y 0 όπως δείξαµε φτάνουµε στο αποτέλεσµα (7 χωρίς ίχνος... µεταφυσικής. Επιπλέον µάθαµε καθ οδόν και για µια άλλη µη γραµµική εξίσωση πρώτης τάξεως την εξίσωση Bernoulli η οποία επίσης ανάγεται σε γραµµική (της ίδιας τάξεως µε έναν ορθολογικό τρόπο. ηλαδή πάλι µε µελέτη των µετασχηµατισµών εξ. (16 που διατηρούν τη µορφή της και επιλογή κατόπιν εκείνου του ειδικού µετασχηµατισµού που επιτυγχάνει τη µέγιστη απλοποίηση αυτής της µορφής και ενδεχοµένως την καθιστά επιλύσιµη. Ως άλλα σχετικά παραδείγµατα αυτής της γενικής µεθοδολογίας ας δούµε τι απλοποιήσεις µπορούν να γίνουν στην εξίσωση Ricatti µε τον ένα ή τον άλλο από τους µετασχηµατισµούς (1 y = gy (α, t = t(x (β, (19 εκ των οποίων ο πρώτος είναι µια ειδική περίπτωση του (10 για h = 0. Εισαγάγοντας τον (19α στην (1 παίρνουµε gy + g Y = ag 2 Y 2 + bgy + c Y = agy 2 + (b g Y + c (20 g g και είναι τώρα δική µας επιλογή να επιλέξουµε το g έτσι ώστε η (20 να έλθει σε µια «πρότυπη µορφή» που εµείς θα αποφασίσουµε ποια είναι. Αν, παραδείγµατος χάριν, θεωρήσουµε ως πρότυπη µορφή εκείνη στην οποία ο συντελεστής του Y 2 έχει γίνει µονάδα, τότε θα πρέπει να θέσουµε g = 1/a, ενώ αν η επιθυµητή πρότυπη µορφή είναι εκείνη χωρίς γραµµικό όρο ως προς Y το g θα πρέπει να επιλεγεί βάσει της b (g /g = 0 g = er bdx. (21 Σηµειώστε επίσης ότι η απαλοιφή του γραµµικού όρου µπορεί να επιτευχθεί και µέσω του µετασχη- µατισµού (11 και συγκεκριµένα δείτε εξ. (12 µε την εκλογή h = b/2a. Όσον αφορά τώρα την αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής (19β, η εκτέλεσή της στην (1 θα δώσει ẏt = ay 2 + by 2 + c, (22 απ όπου φαίνεται αµέσως ότι το µόνο που µπορούµε να επιτύχουµε µε αυτήν είναι να κάνουµε µονάδα τον συντελεστή τού y 2, θέτοντας t = a t(x = a(x dx, οπότε η (22 θα γράφεται ως ẏ(t = y 2 + By + C, όπου B(t = (b(x/a(x x=x(t και C(t = (c(x/a(x x=x(t. (1 Σηµειώστε ότι ο όρος «µετασχηµατισµοί» είναι απολύτως ισοδύναµος µε τον όρο «αλλαγές µεταβλητής» και θα χρησιµοποιείται κατά καιρούς για λόγους συντοµίας.

14 D. Και µια εύκολη άσκηση: Βρείτε µόνοι σας όλα τα χρονεξαρτηµένα δυναµικά V (x,t που µπορούν να επιλυθούν ακριβώς µε τη µέθοδο των πολικών µεταβλητών Λύση: Κάνοντας στην χρονεξαρτηµένη εξίσωση Schrödinger την αντικατάσταση παίρνουµε αµέσως το σύστηµα των δύο εξισώσεων και iψ t Ψ xx V Ψ = 0 ( = m = 1 (1 Ψ = Re iφ, (2 R t + φ x R x φ xxr = 0 (3 R xx ( φ 2 x + 2φ t + 2V R = 0, (4 εκ των οποίων η πρώτη αν η συνάρτηση φ θεωρηθεί γνωστή έχει τη µορφή της γενικής γραµµικής και οµογενούς πρωτοτάξιας µερικής διαφορικής εξίσωσης της προηγούµενης «παραγράφου» µε το R στο ρόλο της άγνωστης συνάρτησης και µε συντελεστές β(x, t = φ x, γ(x, t = 1 2 φ xx. Σύµφωνα λοιπόν µε τα προηγούµενα, η (3 θα είναι σίγουρα επιλύσιµη αν το οποίο συνεπάγεται ότι και έτσι η (3 θα παίρνει τη µορφή γ = φ xx /2 = συνάρτηση µόνο του t, φ(x, t = α(tx 2 + β(tx + γ(t (5 R t + (2αx + βr x + α(tr = 0 µε γενική λύση σύµφωνα µε όσα είπαµε πριν την όπου ξ = ξ(x, t µια οποιαδήποτε ειδική λύση της και η απλούστερη τέτοια λύση θα είναι της µορφής που η αντικατάστασή της στην (7 δίνει R(x, t = e R α(tdt f(ξ, (6 ξ t + (2αx + βξ x = 0 (7 ξ = Ax + B (8 A + 2αA = 0 (9 Ḃ + βa = 0 (10

15 2 ενώ η εισαγωγή της (6 στην (4 µετά και τη διαίρεση µε A 2 θα δώσει ( f 2 α + 4α 2 A 2 x 2 4αβ + 2 β + A 2 x + β2 + 2 γ + 2V A 2 f = 0. (11 Σε αυτό το σηµείο και χωρίς απώλεια γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι V (x, t = 1 2 k(tx2 F (tx + v(x, t, (12 ότι δηλαδή το δυναµικό µας αποτελείται από έναν εξαναγκασµένο παραµετρικό ταλαντωτή (οι δύο πρώτοι όροι συν ένα πρόσθετο δυναµικό v(x, t που αποµένει να προσδιοριστεί. Βάσει της (12 η (11 γράφεται τώρα ως ( f 2 α + 4α 2 + k A 2 x 2 + 4αβ + 2 β 2F A 2 x + β2 + 2 γ + 2v A 2 f = 0, (13 όπου η εντός παρενθέσεως ποσότητα (πλην του όρου 2v/A 2 όντας ένα δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς x θα µπορεί πάντα να γραφτεί ως cξ 2 µ ενώ, για να είναι και ο όρος 2v(x, t/a 2 συνάρτηση µόνο του ξ, θα πρέπει το δυναµικό v(x, t να επιλεγεί έτσι ώστε να είναι Έτσι η (13 θα παίρνει τελικά τη µορφή δηλαδή την της οποίας η αντιπαραβολή µε τη (13 θα δώσει 2v(x, t A 2 = U(ξ v(x, t = 1 2 A2 U(ξ. (14 f ( cξ 2 µ + U(ξ f = 0, (15 f ( ca 2 x 2 + 2cABx + cb 2 µ + U(ξ f = 0 (16 2 α + 4α 2 + k A 2 = ca 2 2 α + 4α 2 + k = ca 2 (17 4αβ + 2 β 2F A 2 = 2cAB β + 2αβ ca 3 B = F (18 β γ A 2 = cb 2 µ γ = 1 { A 2 (cb 2 µ β 2}. (19 2 Συνδυάζοντας τώρα τις (17, (18 µε τις (9, (10 παίρνουµε τα δύο διαφορικά συστήµατα { } A + 2αA = 0 (α (20 2 α + 4α 2 + k = ca 2 (β { Ḃ + βa = 0 } (α β + 2αβ ca 3 B = F (β (21

16 3 εκ των οποίων το πρώτο αφορά το ζεύγος των συναρτήσεων α και A ενώ το δεύτερο τις β και B υπό τον όρο ότι οι α και A έχουν υπολογιστεί από το πρώτο. Λόγω της «µορφής Ricatti» του πρώτου µέλους της η δεύτερη από τις (20 µας υποβάλει αµέσως την αντικατάσταση α = l/2l λόγω της οποίας η (20α δίνει A = 1/l, οπότε η (20β θα καταλήγει στην εξίσωση Νεύτωνα για το l l = kl + c l 3. (22 Πηγαίνοντας τώρα στο σύστηµα (21 θα έχουµε από την πρώτη του εξίσωση β = Ḃ/A = lḃ, οπότε η δεύτερη από τις (21 θα παίρνει τη µορφή (lḃ + l l ( lḃ c l 3 B = F B + 2 l lḃ + c B = F/l, (23 l4 που είναι µια γραµµική αλλά µη οµογενής τώρα εξίσωση δευτέρας τάξεως που ανάγεται σε κανονική (µη οµογενή µορφή µε το γνωστό µετασχηµατισµό B = e 1 2 R P (tdt B = e R ( l/ldt b = σ b l, όπου η σταθερά σ είναι σκόπιµο να τεθεί ίση µε µείον ένα (αντί του «προφανούς» +1 διότι τότε στην έκφραση για το ξ ξ = Ax + B = 1 l x b l = x b (24 l αυτό το b θα παίζει το ρόλο µιας «µετατόπισης» του κέντρου των κυµατοσυναρτήσεων δίπλα στην «αλλαγή κλίµακας» που αντιπροσωπεύεται από τον «παράγοντα κλίµακας», όπως είναι εύλογο να αποκληθεί το l. Στο πνεύµα µιας τέτοιας ερµηνείας του b είναι επίσης σκόπιµο να µετονοµαστεί σε u, οπότε θα έχουµε B = u/l και η εκτέλεση αυτής της αντικατάστασης στην (23 που διευκολύνεται πολύ αν την πολλαπλασιάσουµε µε l 2 οπότε γράφεται ως (l 2 Ḃ (c/l 2 B = lf δίνει ü + k(tu = F, (25 όπου χρησιµοποιήθηκε βέβαια και η εξίσωση κίνησης (22 που ικανοποιεί το l. Βάζοντας τα «κοµµατάκια» µαζί µπορούµε να συνοψίσουµε τα αποτελέσµατά µας ως εξής. Τα επιλύσιµα χρονεξαρτηµένα δυναµικά θα περιγράφονται κατ αρχάς από τη γενική έκφραση (12 µε v(x, t που θα δίνεται από τη (14, όπου A = 1/l(t και U(ξ τέτοιο ώστε η εξίσωση Schrödinger (15 γραµµένη πιο «ορθόδοξα» ως ψ + ( µ cξ 2 U(ξ ψ = 0 (ψ f (26 να είναι ακριβώς επιλύσιµη. Με γνωστή την ψ(ξ και µε α = l/2l η (6 θα δώσει R(x, t = ψ(ξ/ l(t, ενώ για τη φάση (5 που χρειαζόµαστε στη (2 θα είναι φ(x, t = 1 2 ( l l x2 + u l l u x + γ(t, (27

17 4 όπου το β προσδιορίστηκε από τη σχέση β = lḃ = l(u/l. Όσο για το γ θα έχουµε, σύµφωνα µε τη (19, γ = 1 ( 1 (c u2 2 l 2 l 2 µ u l 2 l u (28 ενώ, βέβαια, η νέα µεταβλητή ξ ως προς την οποία η νέα εξίσωση Schrödinger (26 γίνεται τυπικά χρονανεξάρτητη θα ισούται µε ξ = x u(t (29 l(t όπου u(t και l(t οι λύσεις των νευτώνειων εξισώσεων (22 και (25. Σηµειώστε ακόµα ότι οι τιµές της παραµέτρου c µπορούν να περιοριστούν πρακτικά στο µηδέν ή το ένα (c = 0 ή 1 αφού κάθε µη µηδενική τιµή µπορεί πάντα να γίνει µονάδα µε κατάλληλη ανακλιµάκωση του ξ. Τα αποτελέσµατα της «άσκησής» µας µπορούν λοιπόν να δοθούν συγκεντρωµένα στον πίνακα που ακολουθεί. Τα χρονεξαρτηµένα επιλύσιµα δυναµικά Γενική έκφραση : V (x, t = 1 2 k(tx2 F (tx + 1 l 2 U(ξ (Α Λύση : Ψ(x, t = 1 l(t ψ(ξe iφ(x,t ( (B όπου ψ(ξ λύση της «χρονανεξάρτητης» εξίσωσης Schrödinger ψ + ( µ cξ 2 U(ξ ψ = 0 ( (C και φ(x, t = 1 2 ξ = x u(t l(t ( l l x2 + u l l u x + γ(t (D (E όπου u(t και l(t λύσεις των νευτώνειων εξισώσεων και γ(t = 1 2 l = kl + c, ü + k(tu = F (t (F l3 1 ( (c u2 l 2 l 2 µ u l 2 l u dt (G

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)

( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1) ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός, Βέροια Ορισµός Ένα σηµείο Κ λέγεται κέντρο συµµετρίας (συντοµογρ ΚΣ) ενός σχήµατος (Σ), αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς το Κ ταυτίζεται µε το (Σ)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Συναρτησιακές Εξισώσεις Συναρτησιακές Εξισώσεις Για τους µαθητές ϑετικού προσανατολισµού Γ Λυκείου c 2015 Λυγάτσικας Ζ. Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 17 Νοεµβρίου 2015 Π. Γ.Ε.Λ. Β.Σ. Ζ. Λυγάτσικας - 17 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

x k Ax k Bu k y k Cx k Du k «άνυσµα καταστάσεων» «άνυσµα εισόδων»

x k Ax k Bu k y k Cx k Du k «άνυσµα καταστάσεων» «άνυσµα εισόδων» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Μία άλλη περιγραφή συστηµάτων διακριτού χρόνου είναι η περιγραφή µέσω των εξισώσεων του «χώρου των καταστάσεων» (state space represetatios)

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ.

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ. Παραγοντοποίηση του τριωνύµου αx + βx + γ (α ) ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύµου είναι µία από τις πιο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα