όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt"

Transcript

1 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές, υνάλλαγμα, δείκτες μετοχών κ.α.) αλλά μπορεί ε οριμένες περιπτώεις να χρηιμοποιηθεί και για τη μελέτη της εξέλιξης των τιμών φυικών προϊόντων (π.χ. εμπορευμάτων). Συγκεκριμένα, θα θεωρήουμε ότι η εξέλιξη το χρόνο των υπό μελέτη τιμών περιγράφεται προεγγιτικά από την γνωτή ως γεωμετρική κίνηη Brow (Gomtrc Browa Moto). Στη υνέχεια θα δούμε πως μπορούμε να χρηιμοποιήουμε ε πρακτικά προβλήματα την προομοίωη της παραπάνω διαδικαίας. Τέλος, αφού γίνει μία ύντομη ειαγωγή την αγορά παραγώγων χρηματιτηριακών προϊόντων, θα εξετάουμε προβλήματα που χετίζονται με δικαιώματα προαίρεης ε μία χρηματιτηριακή αγορά (opto tradg) Το μοντέλο της γεωμετρικής κίνηης Brow Έτω η τιμή της μετοχής που μας ενδιαφέρει τον χρόνο t. Θεωρούμε ότι η αρχική τιμή 0) είναι γνωτή (π.χ. είναι η τιμή της μετοχής το παρόν). Προφανώς, η είναι τυχαία μεταβλητή και η οικογένεια {, t 0} είναι μία τοχατική ανέλιξη. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρατηρήαμε ότι, ένα χετικά απλό μοντέλο που μπορεί να περιγράψει την εξέλιξη τιμών το χρόνο είναι η γεωμετρική κίνηη Brow (GBM). Είδαμε ότι αν {, t 0} ~ GBM τότε η ποοτιαία μείωη ή αύξηη της τιμής ε κάθε απειροτό διάτημα χρόνου είναι ταθερή και ανεξάρτητη από το παρελθόν, κάτι που (ε ένα απλοποιημένο μοντέλο) υμφωνεί με την «υμπεριφορά» μιας τιμής την πράξη. Ας δούμε όμως λίγο πιο αναλυτικά γιατί η GBM εμφανίζεται κατά την μελέτη του υγκεκριμένου προβλήματος κάνοντας μια πολύ επιφανειακή ειαγωγή την τοχατική ανάλυη. Ξεκινώντας την μελέτη της τιμής μιας μετοχής, το πρώτο και απλούτερο που μπορεί κανείς να κάνει είναι να περιγράψει την υμπεριφορά της διαδικαίας {, t 0} ε ένα πολύ μικρό διάτημα του χρόνου. Χωρίζουμε λοιπόν το χρονικό διάτημα (0,τ] ε υποδιατήματα πλάτους Δt = τ/ το καθένα (με Δt «μικρό»). Στο -οτό διάτημα χρόνου (t, t Δt] = (( 1)Δt, Δt] θεωρούμε ότι η ποοτιαία αυξομείωη της S είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέη τιμή και διαπορά ανάλογη του Δt, και ανεξάρτητη από το παρελθόν της διαδικαίας. Δηλαδή, t Δ t ) = μ Δt Δt Z t ) όπου Z 1,Z,,Z ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt Δt Z ~ Ν(μΔt, Δ για κάποιες ταθερές μ,. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt Z,... Δt Z τώρα μπορούν να θεωρηθούν ως οι προαυξήεις μιας BM (γνωρίζουμε ότι οι προαυξήεις μιας κίνηης Brow είναι ανεξάρτητες κανονικές τ.μ.) και επομένως μπορούμε να γράψουμε ότι, t Δ t ) = μ Δt ( B( t Δ B( t )) (*) t ) όπου {Β(, t 0} ~ ΒΜ(0,1) (και άρα B(t Δ Β( ~ N(0,Δ). Απλούτερα, η παραπάνω χέη μπορεί να γραφεί ως εξής: Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 84

2 Δ ΔS = μ Δt ΔB( (ή = μ Δt Z Δt ). S Εάν θεωρήουμε το Δt 0, τότε η παραπάνω εξίωη θα μπορούε να γραφεί τη μορφή: d = μ dt db( ή ιοδύναμα, d = μ dt db( Η παραπάνω εξίωη είναι μια τοχατική διαφορική εξίωη (SDE) για την διαδικαία S. Η εξίωη αυτή δεν έχει αυτηρό νόημα (όπως τις υνήθεις διαφορικές εξιώεις) διότι, όπως έχουμε παρατηρήει το προηγούμενο κεφάλαιο, δεν υπάρχει η παράγωγος db(/dt. Παρόλα αυτά η παραπάνω εξίωη χρηιμοποιείται για να δείξει την «δυναμική» της τοχατικής διαδικαίας S. Εάν θέλουμε να εκφραθούμε αυτηρότερα, παρατηρούμε από την (*) παραπάνω ότι S t Δ t ) = μ t ) Δt t )( B( t Δ B( t )) και αθροίζοντας κατά μέλη, 1 = 1 ( 1 ( t Δ t )) = t ) Δt t )( B( t Δ B( t )) = 1 1 μ. Τώρα μπορούμε να πάρουμε Δt 0 λαμβάνοντας την χέη τ = 1 S ( τ ) 0) = μ dt db( 0 όπου τώρα τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται μπορούν φυιολογικά να οριθούν ως τα όρια των παραπάνω αθροιμάτων. Αποδεικνύεται ότι τα ολοκληρώματα αυτά είναι καλά οριμένα (το πρώτο είναι ένα κλαικό ολοκλήρωμα Rma επάνω ε μια διαδρομή (path) της S, ενώ το δεύτερο είναι ένα τοχατικό ολοκλήρωμα που α- ποτελεί μια ειδική περίπτωη ενός ολοκληρώματος Ito). Συνήθως γράφουμε την τοχατική διαφορική εξίωη που είδαμε παραπάνω d = μ dt db( (**) όπου Β ~ ΒΜ(0,1) (η οποία από μόνη της είπαμε ότι δεν έχει αυτηρό νόημα) για να εκφράουμε την παραπάνω τοχατική ολοκληρωτική εξίωη. Η S που ικανοποιεί την παραπάνω SDE αποτελεί μια ειδική περίπτωη μιας διαδικαίας Ito η οποία γενικότερα μπορεί να ικανοποιεί μια SDE της μορφής dx ( = f ( X (, dt g( X (, db( Η αυτηρή μελέτη των παραπάνω τοχατικών ολοκληρωμάτων και των SDE γίνεται μέω της λεγόμενης τοχατικής ανάλυης. τ 0 Επομένως, ύμφωνα με τα παραπάνω, η τοχατική διαδικαία S = {, t 0} που περιγράφει την εξέλιξη της τιμής μιας μετοχής θα πρέπει να ικανοποιεί την SDE (**) (δηλ. την ιοδύναμη τοχατική ολοκληρωτική εξίωη). Αποδεικνύεται (χρηιμοποιώντας το γνωτό ως λήμμα του Ito) ότι ο λογάριθμος της διαδικαίας S θα ικανοποιεί την SDE d l = ( μ ) dt db( Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 85

3 όπου B ~ BM (0,1). Από την παραπάνω προκύπτει (χρηιμοποιώντας την αντίτοιχη ολοκληρωτική εξίωη, δηλαδή ολοκληρώνοντας κατά μέλη από 0 έως ότι, l l 0) = ( μ ) t B( και άρα l ~ N(l 0) ( μ ) t, Δηλαδή η διαδικαία l ~ ΒΜ(μ /, ) και επομένως η S που ικανοποιεί την παραπάνω SDE (**) θα είναι μια γεωμετρική κίνηη Brow. Κάτι τέτοιο μπορεί εύκολα να φανεί και από την αρχική υπόθεη (*) ότι η ποοτιαία αυξομείωη της S ε ένα χρονικό διάτημα μήκους Δt είναι μια κανονική τυχαία μεταβλητή με μέη τιμή και διαπορά ανάλογη του Δt, και ανεξάρτητη από το παρελθόν της διαδικαίας (το προηγ. κεφάλαιο ορίαμε ως GBM μια διαδικαία με τα παραπάνω χαρακτηριτικά) Το χρηματιτήριο παραγώγων (drvatvs) Παράλληλα με την λειτουργία των χρηματιτηρίων αξιών όπου πραγματοποιούνται υναλλαγές μετοχών, ε αρκετές περιπτώεις λειτουργούν και τα λεγόμενα χρηματιτήρια παραγώγων. Στα χρηματιτήρια αυτά δεν υναλλάονται μετοχές αλλά χρηματιτηριακά παράγωγα προϊόντα. Ως παράγωγο προϊόν θεωρείται μια διμερής ύμβαη η οποία μπορεί να αναφέρεται ε μετοχές, δείκτες μετοχών (π.χ. FTSE 0, FTSE 40), ομολογίες, υνάλλαγμα ή και εμπορεύματα. Τα πιο γνωτά παράγωγα προϊόντα είναι: Τα δικαιώματα προαίρεης (optos). Δικαίωμα προαίρεης καλείται μία υμφωνία η οποία δίνει τον αγορατή το δικαίωμα (αλλά όχι την υποχρέωη) να αγοράει ή να πουλήει ένα υγκεκριμένο αγαθό (π.χ. μετοχή) ε μία προκαθοριμένη τιμή, κατά τη διάρκεια μίας χρονικής περιόδου ή ε μία υγκεκριμένη ημερομηνία το μέλλον. Τα προθεμιακά υμβόλαια (forwards και futurs). Προθεμιακό υμβόλαιο καλείται μία υμφωνία μεταξύ δύο υμβαλλομένων, ο ένας εκ των οποίων υπόχεται να πουλήει και ο άλλος να αγοράει, μία υγκεκριμένη ποότητα ενός αγαθού, ε μία καθοριμένη ημερομηνία το μέλλον, ε μία προκαθοριμένη τιμή υναλλαγής. Χωρίζονται ε δύο κατηγορίες: Τα Συμβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωης (Futurs) τα οποία είναι τυποποιημένα προϊόντα και υναλλάονται το χώρο του Χρηματιτηρίου παραγώγων, και τα Προθεμιακά Συμβόλαια (Forwards) τα οποία διαμορφώνονται ανάλογα με τις ανάγκες του επενδυτή και διαπραγματεύονται κυρίως την εξωχρηματιτηριακή αγορά (ε ένα οργανωμένο δίκτυο μεταξύ θεμικών επενδυτών). Η αγορά των παραγώγων αναπτύχθηκε για δύο κυρίως λόγους: για την αντιτάθμιη των κινδύνων (hdgg) ε χαρτοφυλάκια διαχειριτών (π.χ. ώτε ο κάτοχος ενός χαρτοφυλακίου μετοχών να αντιμετωπίει μια επικείμενη κρίη) και φυικά για κερδοκοπία λόγω της αβεβαιότητας της αγοράς (π.χ. ώτε ένας επενδυτής να εκμεταλλευτεί μία επικείμενη άνοδο της αγοράς). Παράγωγα προϊόντα μπορούν να χρηιμοποιηθούν από τον ιδιώτη επενδυτή αλλά κυρίως χρηιμοποιούνται από τράπεζες, αμοιβαία κεφάλαια, διαχειριτές μεγάλων ιδιωτικών κεφαλαίων, αφαλιτικά ταμεία και εταιρίες, δημόιες εταιρίες, επενδυτικές εταιρίες, ιδιωτικές επιχειρήεις, κ.α. (οι οποίες αποκοπούν περιότερο την αντιτάθμιη των κινδύνων τα χαρ- Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 86

4 τοφυλάκια τους και λιγότερο την κερδοκοπία) 1. Στη υνέχεια θα επικεντρωθούμε μόνο τα δικαιώματα προαίρεης. Τα δικαιώματα προαίρεης (optos) Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, το δικαίωμα προαίρεης δίνει τον αγορατή το δικαίωμα (αλλά όχι την υποχρέωη) να αγοράει ή να πωλήει ένα αγαθό (π.χ. μετοχή) κάτω από υγκεκριμένες υνθήκες. Διακρίνεται ε δύo είδη: Δικαίωμα αγοράς (call opto) και Δικαίωμα πώληης (put opto). Συγκεκριμένα, ο αγορατής αγοράζει από τον πωλητή το δικαίωμα αγοράς (αντίτοιχα, πώληης) το οποίο του δίνει το δικαίωμα (αλλά όχι την υποχρέωη) να αγοράει από τον (αντίτοιχα, να πωλήει τον) πωλητή υγκεκριμένη ποότητα (το μέγεθος του υμβολαίου) της υποκείμενης αξίας (π.χ. της μετοχής) ε προκαθοριμένη τιμή (η τιμή εξάκηης - xrcs prc) ε προκαθοριμένη μελλοντική ημερομηνία (χρόνος εξάκηης t - xrcs tm. Επομένως, ένα δικαίωμα προαίρεης χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω: 1. Το είδος του δικαιώματος (δικαίωμα αγοράς ή δικαίωμα πώληης). Ο υποκείμενος τίτλος (π.χ. δείκτης FTSE/ASE-0, μετοχή Α κ.λπ.) 3. Το μέγεθος του υμβολαίου (π.χ. το κάθε υμβόλαιο με υποκείμενο τίτλο τη μετοχή Α, υνήθως αντιτοιχεί ε 100 μετοχές Α) 4. Η ημερομηνία λήξης. Aνάλογα με το χρόνο εξάκηης ( υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες δικαιωμάτων προαίρεης: (α) Αμερικανικού τύπου (Amrca opto) όταν το δικαίωμα προαίρεης μπορεί να εξακηθεί οποιαδήποτε τιγμή μέχρι την ημερομηνία λήξης. (β) Ευρωπαϊκού τύπου (Europa opto) όταν το δικαίωμα προαίρεης μπορεί να εξακηθεί μόνο κατά την ημερομηνία λήξης. 5. Η τιμή εξάκηης Κ (strk prc ή xrcs prc) η προκαθοριμένη τιμή την οποία ο αγορατής του δικαιώματος αγοράς/πώληης θα αγοράει/πωλήει (εάν επιλέξει να εξακήει το δικαίωμα) το υγκεκριμένο αγαθό (π.χ. μετοχή) το οποίο α- ναφέρεται το δικαίωμα. Προφανώς, ο αγορατής ενός δικαιώματος προαίρεης θα πρέπει να καταβάλει ένα αντίτιμο C (αφάλιτρο ή τιμή δικαιώματος - Opto prz, opto prmum) τον πωλητή του δικαιώματος διότι ο πωλητής αναλαμβάνει ρίκο για το οποίο πρέπει να αποζημιωθεί (ο πωλητής είναι υποχρεωμένος να εκτελέει την εντολή του α- γορατή εάν και όποτε ο δεύτερος το θελήει, ενώ ο αγορατής δεν είναι υποχρεωμένος να εξακήει το δικαίωμά του, εάν δεν τον υμφέρει). Συνοψίζοντας, ένας επενδυτής ή ένας διαχειριτής χαρτοφυλακίου μπορεί να λάβει τις εξής βαικές θέεις: 1. Αγορά Δικαιώματος Αγοράς (Log Call): υνήθως όταν προβλέπει ανοδική τάη την μετοχή. Παρότι προδοκά άνοδο, ο επενδυτής δεν επιθυμεί να ρικάρει την αγορά μετοχών και εναλλακτικά αποφαίζει να αγοράει ένα δικαίωμα αγοράς (π.χ Παρεμπιπτόντως, αναφέρουμε ότι την Ελληνική αγορά, το Χρηματιτήριο Παραγώγων Αθηνών δημιουργήθηκε το 1997 και από 31 Αυγούτου 00 υγχωνεύτηκε με το χρηματιτήριο Αξιών Αθηνών. Στην παρούα φάη (003), βρίκονται υπό διαπραγμάτευη: - Συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωης τους δείκτες FTSE/0, FTSE/40, - Μετοχικά υμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωης τις μετοχές του ΟΤΕ, Εθνικής Τράπεζας Ελλάδος, Coca-Cola 3Ε, Vodafo, Alpha Bak και Itracom. - Δικαιώματα προαίρεης τους δείκτες FTSE/0, FTSE/40. Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 87

5 μετοχών) έναντι ποού C. Έτι, αν η μετοχή όντως κινηθεί ανοδικά, εξακώντας το δικαίωμα, θα αγοράει τις μετοχές την προκαθοριμένη τιμή εξάκηης Κ η οποία θα είναι χαμηλότερη από την τιμή της μετοχής το χρόνο εξάκηης (: κέρδος Κ C διότι θεωρητικά, μπορεί αυτόματα να πωλήει τις μετοχές την τιμή ) Κ Κ η τιμή της μετοχής είναι μεγαλύτερη από την τιμή εξάκηης Κ το χρόνο εξάκηης: το δικαίωμα αγοράς εξακείται η τιμή της μετοχής είναι μικρότερη από την τιμή εξάκηης Κ το χρόνο εξάκηης: το δικαίωμα αγοράς δεν εξακείται. Αγορά Δικαιώματος Πώληης (Log Pu: υνήθως όταν προβλέπει καθοδική τάη την μετοχή. Παρότι προδοκά πτώη, ο διαχειριτής ενός χαρτοφυλακίου δεν επιθυμεί να ρικάρει την πώληη μετοχών και εναλλακτικά αποφαίζει να αγοράει ένα δικαίωμα πώληης (π.χ. 100 μετοχών). Έτι αν η μετοχή όντως κινηθεί καθοδικά, εξακώντας το δικαίωμα, θα πωλήει τις μετοχές την προκαθοριμένη τιμή ε- ξάκηης Κ η οποία θα είναι υψηλότερη από την τιμή της μετοχής το χρόνο ε- ξάκηης. 3. Πώληη Δικαιώματος Αγοράς (Short Call): υνήθως όταν προβλέπει τάιμη ή ελαφρά καθοδική τάη την μετοχή. Ο διαχειριτής του χαρτοφυλακίου προκειμένου να αυξήει την απόδοη του χαρτοφυλακίου του ε περίοδο ταιμότητας πωλεί ένα δικαίωμα αγοράς (π.χ. 100 μετοχών). Έτι αν η μετοχή όντως μείνει τάιμη ή κινηθεί ελαφρά καθοδικά, ο αγορατής του δικαιώματος δεν θα εξακήει το δικαίωμα, και έτι ο πωλητής θα έχει κέρδος από το αφάλιτρο του δικαιώματος (opto prmum) που θα έχει καταβάλει ο αγορατής (το οποίο θα αντιταθμίζει και ενδεχόμενη περιοριμένη πτώη της τιμής της μετοχής). 4. Πώληη Δικαιώματος Πώληης (Short Pu: υνήθως όταν προβλέπει τάιμη ή ελαφρά ανοδική τάη την μετοχή. Ο επενδυτής πωλεί ένα δικαίωμα πώληης (π.χ. 100 μετοχών). Έτι αν η μετοχή όντως μείνει τάιμη ή κινηθεί ελαφρά ανοδικά, ο αγορατής του δικαιώματος δεν θα εξακήει το δικαίωμα, και έτι ο πωλητής θα έχει κέρδος από το αφάλιτρο του δικαιώματος (opto prmum) που θα έχει καταβάλει ο αγορατής Αποτίμηη της αξίας παραγώγων (rsk-utral valuato) Ένα από τα πιο ημαντικά κεφάλαια την χρηματοοικονομική θεωρία είναι η θεωρία του arbtrag (εξιορροπητική κερδοκοπία). Θα αναφέρουμε τη υνέχεια εν υντομία οριμένα βαικά αποτελέματα της θεωρίας αυτής. Ένα ερώτημα που εμφανίζεται την προηγούμενη παράγραφο είναι: ποια θα πρέπει να είναι η τιμή C πώληης/αγοράς ενός δικαιώματος προαίρεης όταν είναι γνωτά όλα τα υπόλοιπα μεγέθη (μ,, 0), t, K); Πιο υγκεκριμένα, μας ενδιαφέρει να βρούμε την τιμή C ενός παραγώγου το οποίο αποδίδει κέρδος h(s) από τη χρήη Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 88

6 του το χρόνο εξάκηης t, όπου S είναι η διαδικαία που εκφράζει την εξέλιξη της τιμής του χρηματιτηριακού προϊόντος. Αρχικά υποθέτουμε ότι την αγορά υπάρχει μια επένδυη χωρίς ρίκο που προφέρει επιτόκιο r (με υνεχή ανατοκιμό), π.χ. ομόλογο με επιτόκιο r. Επομένως, επενδύοντας ποό Α, μετά από χρόνο t θα λάβουμε Α rt. Επίης, αν υπάρχει μια τρατηγική αγοραπωληιών μετοχών, δικαιωμάτων και ομολόγων που επιτρέπει ε έναν εξιδανικευμένο παίκτη χρηματιτηρίου να έχει ίγουρο κέρδος (ο οποίος μπορεί να κάνει τιγμιαία υναλλαγές μετοχών χωρίς κότος υναλλαγών), τότε λέγεται ότι η αγορά προφέρει ευκαιρία για arbtrag (κερδοκοπία). Σύμφωνα με την θεωρία του arbtrag prcg, αποδεικνύεται το εξής: Πρόταη (arbtrag prcg ή rsk-utral valuato). Για να μην υπάρχει δυνατότητα για arbtrag την αγορά θα πρέπει η παρούα αξία του παραγώγου (που αποδίδει κέρδος h(s) το χρόνο, να είναι ίη με E[ rt h( S) l S ~ BM ( r, )]. Με άλλα λόγια, η παρούα αξία του παραγώγου θα πρέπει να είναι ίη με την παρούα αξία του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη του παραγώγου όταν η υποκείμενη μετοχή ακολουθεί μια γεωμετρική κίνηη Brow και υγκεκριμένα όταν ( r ) t B( l = l 0) ( r ) t B( =. 0) Παρατηρούμε ότι ε αυτή την περίπτωη, E( ) = 0) t( r ) E( tz ) = 0) t( r ) 1 t E( ) = 0) tr, u / ) δηλαδή η αναμενόμενη τιμή της μετοχής το (αν Ζ ~ Ν(0,1) τότε E ( uz ) = χρόνο t είναι ίη με το κέρδος που θα είχαμε αν επενδύαμε τα χρήματα που δώαμε για την αγορά της μετοχής (0)) ε μια επένδυη χωρίς ρίκο (π.χ. ε ομόλογο με επιτόκιο r). Σε αυτή την περίπτωη μπορούμε να πούμε ότι η μετοχή προφέρει «ουδέτερη απόδοη» ή «απόδοη ουδέτερου ρίκου» (rsk-utral). Συνοψίζοντας λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι: «Η παρούα αξία του παραγώγου θα πρέπει να είναι ίη με την παρούα αξία του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη του παραγώγου όταν η υποκείμενη μετοχή προφέρει απόδοη ουδέτερου ρίκου» Είναι ημαντική ε αυτό το ημείο η παρατήρηη ότι η πρόταη δεν υπονοεί ότι η τιμή της μετοχής ακολουθεί την πραγματικότητα την GBM με τις παραπάνω παραμέτρους, αλλά ότι προκειμένου να αποτιμηθεί η αξία του παραγώγου θα πρέπει να «προποιηθούμε» ότι η τιμή της μετοχής ακολουθεί την υγκεκριμένη GBM και να υπολογίουμε την παραπάνω αναμενόμενη τιμή. Αν το επιτόκιο μιας περιόδου (π.χ. έτους) είναι r και ο ανατοκιμός ενός κεφαλαίου Α γίνεται ε k υποπεριόδους ανά έτος (ε κάθε μία από τις οποίες θεωρείται επιτόκιο r/k), τότε η αξία του Α το τέλος του έτους θα είναι A(1r/k) k η οποία υγκλίνει το Α r όταν k, δηλαδή όταν θεωρήουμε υνεχή ανατοκιμό. Επομένως η μέλλουα αξία του Α μετά από t περιόδους (π.χ. έτη) θα είναι Α rt, ενώ αντίτοφα η παρούα αξία ενός κεφαλαίου που μετά από χρόνο t θα έχει αξία Β είναι B. Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 89

7 Αποτίμηη της αξίας δικαιωμάτων προαίρεης (o-arbtrag opto prcg) Μια πρώτη εφαρμογή της παραπάνω πρόταης (arbtrag prcg) είναι να βρούμε την παρούα αξία των δικαιωμάτων προαίρεης. Συγκεκριμένα, για ένα δικαίωμα προαίρεης θεωρούμε γνωτά τα παρακάτω: 0): Η ημερινή τιμή του υποκείμενου τίτλου (scurty s tal prc) K: Η τιμή εξάκηης του δικαιώματος προαίρεης (strk prc ή xrcs prc) t: Ο υπολειπόμενος χρόνος μέχρι τη λήξη του δικαιώματος (xrcs tm) : Η διακύμανη της τιμής του υποκείμενου τίτλου (scurty s volatlty paramtr) r: Το επιτόκιο της αγοράς δίχως κίνδυνο (rsk-utral trst rat) Με βάη αυτά, θα πρέπει να υπολογίουμε την παρούα τιμή ή το αφάλιτρο C του δικαιώματος (opto cost ή opto prmum). Αυτό θα πρέπει να γίνει τις 4 κυριότερες περιπτώεις: () δικαίωμα αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου, () δικαίωμα αγοράς Αμερικανικού τύπου, () δικαίωμα πώληης Ευρωπαϊκού τύπου και () δικαίωμα πώληης Αμερικανικού τύπου. Υπενθυμίζεται ότι το δικαίωμα προαίρεης Αμερικανικού τύπου μπορεί να ε- ξακηθεί οποιαδήποτε τιγμή μέχρι την ημερομηνία λήξης t ενώ το δικαίωμα προαίρεης Ευρωπαϊκού τύπου μπορεί να εξακηθεί μόνο κατά την ημερομηνία λήξης t. (Στο χρηματιτήριο Αθηνών τα δικαιώματα είναι Ευρωπαϊκού τύπου). Ας εξετάουμε λοιπόν την περίπτωη των δικαιωμάτων αγοράς (call optos, Europa or Amrca styl). Από την πρόταη του arbtrag prcg θα πρέπει C( 0), K, t,, r) = E[ rt h( S) l S ~ BM ( r /, )]. Το κέρδος από τη χρήη του δικαιώματος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου θα είναι h ( S) = max{ K,0} ( K) διότι αν η τιμή του υποκείμενου τίτλου (π.χ. μετοχής) κατά το χρόνο εξάκηης είναι μεγαλύτερη της προυμφωνημένης τιμής εξάκηης Κ, τότε θα εξακηθεί το δικαίωμα με κέρδος K (αγορά την χαμηλή τιμή Κ ενώ η τρέχουα είναι ). Διαφορετικά, αν < Κ δεν υπάρχει λόγος να εξακηθεί το δικαίωμα και τότε το κέρδος θα είναι 0. Επειδή τώρα ls ~ BM(r /, ) μπορούμε να θεωρήουμε ότι = 0) ( r ) t B( όπου Z ~ N (0,1) διότι B( ~ N(0,. Συνεπώς, = 0) ( r ) t C( 0), K, t,, r) E[ ( K) l S ~ BM ( r /, )] = ( r ) t = E[ ( 0) K) Είναι χετικά εύκολο τώρα να δούμε ότι αν θέουμε s = 0), I(α > β) = 1 αν α > β και 0 αν β α, θα είναι Ζ t t( r / ) C( 0), K, t,, r) = E[( s K) t Z ] ]. t Z = E[( s Ζ t t( r / ) K) I( s Ζ t t( r / ) > K)] Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 90

8 = E[( s Ζ t t( r / ) l( K / s) t( r / ) K) I( Ζ > )] t rt t / l( K / 0)) και αν για υντομία θέουμε ω = θα είναι t C( 0), K, t,, r) = E[( s Ζ t t( r / ) K) I( Ζ > t ω)] = E[ s Ζ t t( r / ) I( Ζ > t ω)] Ε[ K I( Ζ > t ω)] = s t / E[ Ζ t Παρατηρώντας τώρα ότι γενικά, I( Ζ > t ω)] Κ Pr( Ζ > t ω) a a ( z a) y az az E( I( Z > x)) = f Z ( z) dz = dz = x x y= z a x a = a π ( 1 Φ( x a)) = a Φ( a x) προκύπτει τελικά ότι η παρούα (o-arbtrag) τιμή του δικαιώματος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου δίνεται από τον τύπο όπου π C = C( 0), K, t,, r) = 0) Φ( ω) Κ Φ( ω t ), rt t / l( K / 0)) ω =, t και Φ(x) είναι η.κ. της τυπικής κανονικής κατανομής. Ο παραπάνω τύπος είναι γνωτός ως ο τύπος των Black ad Schols και δόθηκε το 1973 από τους Fshr Black και Myro Schols 3. Το παραπάνω μοντέλο που αναπτύχθηκε από τους υγκεκριμένους ερευνητές αποτελεί την κλαική μέθοδο αποτίμηης δικαιωμάτων προαίρεης. dy Παρατηρήεις. 1) Μετά από παρέλευη χρόνου τ : 0 < τ < t η τιμή του δικαιώματος προφανώς θα είναι C( τ ), K, t τ,, r). ) Χρηιμοποιώντας μία χέη που υνδέει την τιμή του δικαιώματος αγοράς με την τιμή του δικαιώματος πώληης (Ευρωπαϊκού τύπου) ώτε να αποκλείεται εξεύρεη τρατηγικής που οδηγεί ε ίγουρο κέρδος (o-arbtrag), αποδεικνύεται ότι η oarbtrag τιμή του δικαιώματος πώληης Ευρωπαϊκού τύπου θα είναι P( 0), K, t,, r) = C( 0), K, t,, r) K rt 0). 3) Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η o-arbtrag τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου είναι ίη με την o-arbtrag τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Αμερι- 3 Black, F ad M. Schols (1973), «Th prcg of optos ad corporat lablts», Joural of Poltcal Ecoomy 81: , και Mrto R. (1973), «Thory of ratoal opto prcg», Bll Joural of Ecoomcs ad Maagmt Scc 4: To 1997, o Myro Schols και ο Robrt Mrto (ο οποίος υμπλήρωε και επέκτεινε τη θεωρία) τιμήθηκαν με το Βραβείο Nobl Οικονομίας για το έργο τους αυτό (δυτυχώς, ο Fshr Black απεβίωε το 1995 και έτι δεν μπορεε να μοιρατεί και αυτός το βραβείο). Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 91

9 κανικού τύπου. Αυτό υμβαίνει διότι δεν είναι ποτέ (θεωρητικά) βέλτιτη η τρατηγική να ακήει κανείς το δικαίωμα αγοράς Αμερικανικού τύπου πριν την ημερομηνία λήξης του (αν π.χ. αποφαίζει κανείς να ακήει το δικαίωμα ε χρόνο t 0 < t, τότε θα έχει κέρδος t 0 ) K. Εάν όμως αντί αυτού, το χρόνο t 0 πωλήει τις μετοχές (με την υπόχεη ότι θα τις παραδώει το χρόνο t - short sllg) την παρούα τιμή t 0 ) και τις αγοράει την ημερομηνία λήξης του δικαιώματος t, πληρώνοντας m{k, } (είτε ακεί το δικαίωμα, είτε τις αγοράζει από την αγορά ότι από τα δύο υμφέρει) τότε θα έχει κέρδος t 0 ) m{k, } > t 0 ) K). Συνεπώς και η o-arbtrag τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Αμερικανικού τύπου δίνεται από τον τύπο Black- Schols. 4) Αντίθετα με το δικαίωμα αγοράς Αμερικανικού τύπου, ή εξάκηη ενός δικαιώματος πώληης Αμερικανικού τύπου πριν την ημερομηνία λήξης του μπορεί να αποβεί ε όφελος. Συνεπώς το δικαίωμα πώληης Αμερικανικού τύπου θα κοτίζει περιότερο από το αντίτοιχο Ευρωπαϊκού τύπου. Το κότος του αυτό δεν είναι εύκολο να δοθεί από έναν κλειτό τύπο διότι εξαρτάται από τον χρόνο εξάκηης του (για τον προδιοριμό του υνήθως χρηιμοποιούνται κάποιοι προεγγιτικοί αλγόριθμοι). 5) Στην πράξη, η τιμή των δικαιωμάτων είναι ίη με την τιμή που προκύπτει από τον τύπο των Black-Schols; Έτω ότι έχει εκτιμηθεί η διακύμανη (volatlty) που α- φορά έναν τίτλο (π.χ. από την διακύμανη της τιμής του το παρελθόν hstorcal data volatlty stmato) και επίης είναι γνωτή η τιμή εξάκηης K, ο χρόνος ε- ξάκηης t, το επιτόκιο αγοράς r και η παρούα τιμή 0). Σε αυτή την περίπτωη αν και υπάρχει μοναδική τιμή C (από τον τύπο των Black-Schols) του δικαιώματος η οποία δεν οδηγεί ε ίγουρο κέρδος (o-arbtrag opto prc), ενδέχεται η πραγματική τιμή του δικαιώματος την αγορά να είναι διαφορετική. Αυτό μπορεί να υμβαίνει για τους κάτωθι λόγους: α) Για μικρές διακυμάνεις της πραγματικής από την θεωρητική τιμή του δικαιώματος, αν και θεωρητικά μπορεί να εφαρμοτεί τρατηγική που οδηγεί ε ίγουρο κέρδος (arbtrag), πρακτικά κάτι τέτοιο δεν εφικτό (η εφαρμογή μιας τέτοιας τρατηγικής την πράξη είναι ανέφικτη διότι, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, αφορά έναν εξιδανικευμένο παίκτη ο οποίος μπορεί να κάνει τιγμιαία υναλλαγές χωρίς κότος). β) Πολλοί επενδυτές μπορεί να μην υμφωνούν με την εκτίμηη του ή να προδοκούν αλλαγή της τιμής του το άμεο μέλλον. Μάλιτα πολλοί προτείνουν κάτι αντίτροφο: η εκτίμηη του να γίνεται μέω της τιμής του δικαιώματος την αγορά (mpld volatlty) και όχι από την εξέλιξη της τιμής του τίτλου το παρελθόν (hstorcal data volatlty stmato). γ) Η θεωρητική τιμή του C εξάγεται υπό την υπόθεη ότι η διαδικαία {, t > 0} είναι μία γεωμετρική κίνηη Brow, κάτι που τις περιότερες περιπτώεις αποτελεί προέγγιη αλλά όχι ακριβή περιγραφή της πραγματικότητας. Γενικά, η τιμή ενός δικαιώματος την αγορά εξαρτάται και από ποιοτικούς παράγοντες (π.χ. υγχωνεύεις, εξαγορές και νέα τρατηγικά χέδια εταιριών, ρευτότητα της αγοράς τους υγκεκριμένους τίτλους, ψυχολογία της αγοράς, απόδοη της αγοράς το ύνολό της κ.α.). Παρόλα αυτά, η τιμή που δίνεται από τον τύπο του Black-Schols αποτελεί ένα πολύ χρήιμο εργαλείο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί π.χ. από έναν επενδυτή ή έναν διαχειριτή χαρτοφυλακίου για κερδοκοπία ή αντιτάθμιη κινδύνου (Hdgg). Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 9

10 Παραδείγματα Εφαρμογές Παράδειγμα 1. Σε αυτό το ημείο μπορούμε να δούμε πως μπορούμε εναλλακτικά να εκτιμήουμε την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς μέω προομοίωης. Προφανώς, τη υγκεκριμένη περίπτωη κάτι τέτοιο είναι περιττό διότι όπως είδαμε υπάρχει ο τύπος των Black-Schols. Αξίζει όμως να δούμε αυτή την προέγγιη διότι αφενός μπορούμε άμεα να υγκρίνουμε τα αποτελέματα από την προομοίωη με τα θεωρητικά, αλλά και γιατί μπορούμε ξεκινώντας από την περίπτωη αυτή να αντιμετωπίουμε (τροποποιώντας κατάλληλα τον αλγόριθμο) πιο πολύπλοκα μοντέλα. Ο αντίτοιχος αλγόριθμος θα είναι: ΒΗΜΑ 1. Θέτουμε = 1, sum = 0 και μ = r /, ΒΗΜΑ. Παράγουμε Z ~ N (0, 1), tμ tz ΒΗΜΑ 3. Θέτουμε = 0), sum = sum max{ K,0}. ΒΗΜΑ 4. Θέτουμε = 1 και αν επιτρέφουμε το BHMA. sum ΒΗΜΑ 5. Θέτουμε C_stmatd = Και η υλοποίηή του μέω του Mathmatca (για υγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων) θα είναι: << Statstcs`CotuousDstrbutos` = 10000; r = 0.1; sgma = 0.; K = 10; S0 = 100; t = 3; sum = 0; m = r - sgma^/; Do[Z = Radom[NormalDstrbuto[0, 1]]; S = S0*Exp[t*m sgma*t^0.5*z]; sum = sum Max[S-K,0];,{, 1, }]; Prt[Exp[-r*t]sum/] Μπορούμε εύκολα να βρούμε και την ακριβή τιμή μέω του τύπου Black Schols: omga = (r*t sgma^*t/ - Log[K/S0])/(sgma*t^0.5); C0 = S0*CDF[NormalDstrbuto[0, 1], omga] - K*Exp[-r*t]*CDF[NormalDstrbuto[0, 1],omga-sgma*t^0.5] Παράδειγμα. Διάφορες παραλλαγές δικαιωμάτων προαίρεης (xotc optos) Εκτός από τα υνήθη δικαιώματα προαίρεης που περιγράφηκαν παραπάνω (τα οποία μερικές φορές καλούνται και «valla optos»), τα τελευταία χρόνια έχουν αρχίει να προελκύουν το ενδιαφέρον των επενδυτών αλλά και των ερευνητών και δικαιώματα προαίρεης με διαφορετικούς όρους τα οποία είναι γνωτά ως «xotc optos». Κυριότερα xotc optos είναι: 1. Barrr optos. Αυτά τα δικαιώματα θεωρούνται ιχύοντα ή μη ιχύοντα («alv» ή «klld») ανάλογα με το αν η τιμή του υποκείμενου τίτλου (π.χ. μετοχή) από τον χρόνο αγοράς 0 μέχρι τον χρόνο t εξάκηης του δικαιώματος περάει ή όχι ένα φράγμα (barrr). Υπάρχουν 4 υποκατηγορίες: dow-ad-: θεωρούνται alv και μπορούν να εξακηθούν μόνο όταν η τιμή της μετοχής περάει κάτω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u (u < 0)) μέχρι το χρόνο εξάκηης t. Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 93

11 dow-ad-out: θεωρούνται dad και δεν μπορούν να εξακηθούν όταν η τιμή της μετοχής περάει κάτω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u (u < 0)) μέχρι το χρόνο εξάκηης t. up-ad-: θεωρούνται alv και μπορούν να εξακηθούν μόνο όταν η τιμή της μετοχής περάει πάνω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u (u > K) μέχρι το χρόνο εξάκηης t. up-ad-out: θεωρούνται dad και δεν μπορούν να εξακηθούν όταν η τιμή της μετοχής περάει πάνω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u (u > K) μέχρι το χρόνο εξάκηης t. Συνήθως, η τιμή της μετοχής υγκρίνεται με το u μόνο κατά το τέλος της υνεδρίαης κάθε ημέρα.. Asa optos. Η αξία αυτών των δικαιωμάτων εξαρτάται από την πορεία της τιμής της μετοχής μέχρι τον χρόνο εξάκηής τους. Μία περίπτωη είναι η εξής: η τιμή εξάκηης του δικαιώματος K (strk prz) δεν είναι προκαθοριμένη, αλλά είναι ίη με τη μέη τιμή που είχε η μετοχή από το χρόνο αγοράς του δικαιώματος μέχρι τον χρόνο εξάκηης t (π.χ. μετρούμενη κατά το τέλος των υνεδριάεων κάθε ημέρα). 3. Lookback optos. Η αξία και αυτών των δικαιωμάτων εξαρτάται από την πορεία της τιμής της μετοχής μέχρι τον χρόνο εξάκηής τους. Συγκεκριμένα, η τιμή εξάκηης του δικαιώματος K (strk prz) δεν είναι προκαθοριμένη, αλλά είναι ίη με την μικρότερη τιμή που είχε η μετοχή από το χρόνο αγοράς του δικαιώματος μέχρι τον χρόνο εξάκηης t (π.χ. μετρούμενη κατά το τέλος των υνεδριάεων κάθε ημέρα). Όπως έχουμε ήδη παρατηρήει και παραπάνω, ένας τρόπος να αποτιμηθεί η παρούα αξία των δικαιωμάτων προαίρεης είναι να υπολογιτεί η παρούα αξία του αναμενόμενου κέρδους από τη χρήη τους (όταν ls ~ BM(r, )), δηλαδή, C = E[ rt h( S) l S ~ BM ( r /, )] όπου r είναι το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο της αγοράς. Δυτυχώς όμως, τις περιότερες περιπτώεις δεν είναι καθόλου εύκολο να υπολογιτεί αναλυτικά η παραπάνω μέη τιμή. Μπορούμε όμως να την εκτιμήουμε μέω Mot Carlo προομοίωης. Για παράδειγμα ας δούμε πως μπορούμε να εκτιμήουμε την τιμή ενός Asa call opto. Ας θεωρήουμε την περίπτωη όπου η τιμή εξάκηης του δικαιώματος K (strk prz) δεν είναι προκαθοριμένη, αλλά είναι ίη με τη μέη τιμή κλειίματος της μετοχής μέχρι το χρόνο εξάκηης t = ημέρες. Έτω λοιπόν t/), t/),, οι τιμές κλειίματος της μετοχής τις αυτές διαδοχικές ημέρες. Το κέρδος από τη χρήη αυτού του δικαιώματος αγοράς θα είναι 1 t h ( S) = ( )). Συνεπώς η παρούα αξία του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη του δικαιώματος θα είναι 1 t E[ ( )) l S ~ BM ( r /, )]. = 1 Ο χετικός αλγόριθμος Mot-Carlo εκτίμηης της παραπάνω ποότητας θα είναι: = 1 Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 94

12 ΒΗΜΑ 1. Θέτουμε j = 1, sum = 0 και μ = r /, ( t / ) μ t / Z ΒΗΜΑ. Θέτουμε S 0 = s 0, S = S, =1,,, όπου Ζ ~ N (0, 1),ανεξ. τ.μ. 1 1 sum S. και θέτουμε = sum max{ S,0} ΒΗΜΑ 3. Θέτουμε j = j 1 και αν m επιτρέφουμε το BHMA. sum ΒΗΜΑ 5. Θέτουμε C_stmatd = rt. m Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εκτιμήουμε και τις τιμές των άλλων xotc optos. Π.χ. ένα Lookback call opto θα έχει (o-arbtrag) τιμή t C = E[ ( m )) l S ~ BM ( r /, )] (K = μικρότερη τιμή κλειίματος της μετοχής μέχρι τον χρόνο εξάκηης) και εκτιμάται μέω προομοίωης όμοια με το παράδειγμα του Asa call opto. = 1 Παράδειγμα 3. Εκτίμηη του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη ενός δικαιώματος αγοράς Αμερικανικού τύπου. Έτω ότι ένας επενδυτής κατέχει ένα δικαίωμα αγοράς μιας μετοχής Α με τιμή εξάκηης K και ημερομηνία λήξης μετά από m ημέρες. Ό- ταν α = μ / 0 τότε at E( ) = 0) xp( tμ t / ) = 0) > 0), t > 0, και αποδεικνύεται ότι η βέλτιτη πολιτική είναι να περιμένει μέχρι την ημερομηνία λήξης του δικαιώματος για να εξακήει τότε (αν τον υμφέρει) το δικαίωμα. Σε αυτή την περίπτωη το αναμενόμενο κέρδος υπολογίζεται χετικά εύκολα (όπως είδαμε και παραπάνω). Αν όμως α = μ / < 0 τότε δεν είναι εύκολο να βρεθεί η βέλτιτη πολιτική από την οποία εξαρτάται το αναμενόμενο κέρδος. Ας θεωρήουμε ότι, την περίπτωη που a < 0, ένας επενδυτής ακολουθεί την εξής πολιτική (η οποία αν και ίως να μην είναι η βέλτιτη, αναμένεται να έχει «καλή» απόδοη): Ο επενδυτής εξακεί το δικαίωμα αγοράς (αγοράζει την μετοχή την τιμή Κ) την k ημέρα (k=1,,...,m), αν η τιμή της μετοχής k) είναι μεγαλύτερη της τιμής εξάκηης του δικαιώματος Κ (προφανώς), και το κέρδος από αυτή την χρήη είναι μεγαλύτερo του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη του δικαιώματος τις επόμενες ημέρες. Δηλαδή ο επενδυτής εξετάζει διαδοχικά κάθε μία από τα τις m ημέρες και αν ιχύουν τα παραπάνω κριτήρια τότε εξακεί το δικαίωμα (την πρώτη φορά που ιχύουν). Αλλά ας δούμε πιο υγκεκριμένα ποια είναι τα κριτήρια για την εξάκηη του δικαιώματος την k - ημέρα: Θα πρέπει: (1) k) > K, (η τιμή της μετοχής k) να είναι μεγαλύτερη της τιμής εξάκηης του δικαιώματος Κ () ( k) K > E[( ) K) k)], = k1, k,..., m S (το κέρδος από αυτή την χρήη να είναι μεγαλύτερo του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη του δικαιώματος την -ημέρα για = k1, k,..., m) Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 95

13 ή ιοδύναμα (εργαζόματε όπως και κατά τον υπολογιμό του τύπου Black-Schols), ( k ) a ( k) μ l( K / k)) () k) > K k) Φ( k b ) Κ Φ( b ), με b = k για = k1, k,..., m. Επειδή είναι αρκετά δύκολο να υπολογίουμε αναλυτικά το αναμενόμενο κέρδος από την παραπάνω πολιτική (θα την καλούμε πολιτική Ι), μπορούμε να προομοιώουμε την παραπάνω πολιτική φορές και να εκτιμήουμε το αναμενόμενο κέρδος από το μέο κέρδος τις αυτές πραγματοποιήεις. Π.χ. για m = 10, Κ = 1, μ = 0.005, = 0.04, δέκα πραγματοποιήεις της παραπάνω πολιτικής προομοιώνονται με το παρακάτω πρόγραμμα: (Στην μεταβλητή sum αθροίζουμε το κέρδος από κάθε πραγματοποίηη) << Statstcs`CotuousDstrbutos` = 10; m = 10; μ = ; = 0.04; K = 1; a = μ ^/; sum = 0; Do[ cotu = Tru; k = 1; S = Tabl[1, {m}]; Whl[cotu && (k < m), X = Radom[NormalDstrbuto[μ, ]]; k = k 1; S[[k]] = S[[k-1]]*Exp[X]; Buy = Tru; If[S[[k]] < K, Buy = Fals]; Do[b = (( - k)*μ - Log[K/S[[k]]])/(*( - k)^0.5); s1 = K S[[k]]*Exp[( - k)*a]* CDF[NormalDstrbuto[0, 1], ( - k)^0.5 b] -K*CDF[NormalDstrbuto[0, 1], b]; If[S[[k]] < s1, Buy = Fals];,{, k1, m}]; If[Buy,sum=sumS[[k]]-K;Prt[{k,S[[k]]}];cotu=Fals]; ];,{}] Prt[sum/] {6, } {4, } {, } {6, 1.110} {9, } Παρατηρούμε ότι από τις 10 πραγματοποιήεις, το δικαίωμα αγοράς εξακήθηκε τις 5 (μία φορά εξακήθηκε την 6 η ημέρα όταν η τιμή της μετοχής ήταν , μία φορά την τέταρτη ημέρα όταν η τιμή ήταν κ.ο.κ.). Τις υπόλοιπες 5 φορές δεν εξακήθηκε το δικαίωμα. Επίης, το μέο κέρδος από αυτές τις 10 πραγματοποιήεις ήταν Εάν ο επενδυτής επιλέξει την απλούτερη πολιτική να εξακεί το δικαίωμα αγοράς μόλις η τιμή της μετοχής γίνει μεγαλύτερη από το δικαίωμα αγοράς (πολιτική ΙΙ), τότε 10 προομοιώεις της υγκεκριμένης πολιτικής θα είναι: Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 96

14 << Statstcs`CotuousDstrbutos` = 10; m = 10; μ = ; = 0.04; K = 1; a = μ ^/; sum = 0; Do[ cotu = Tru; k = 1; S = Tabl[1, {m}]; Whl[cotu && (k < m), X = Radom[NormalDstrbuto[μ, ]]; k = k 1; S[[k]] = S[[k - 1]]*Exp[X]; If[S[[k]] > K, sum=sums[[k]]-k;prt[{k,s[[k]]}]; cotu = Fals]; ];,{}] Prt[sum/] {8, } {, } {, } {, } {3, } {6, } {, 1.011} {, } Παρατηρούμε ότι από τις 10 πραγματοποιήεις, το δικαίωμα αγοράς εξακήθηκε τις 8 (μία φορά εξακήθηκε την 8 η ημέρα όταν η τιμή της μετοχής ήταν , μία φορά την η ημέρα όταν η τιμή ήταν κ.ο.κ.). Τις υπόλοιπες φορές δεν εξακήθηκε το δικαίωμα. Επίης, το μέο κέρδος από αυτές τις 10 πραγματοποιήεις ήταν Για να υγκρίνουμε τις δύο παραπάνω πολιτικές, εκτελούμε πραγματοποιήεις αυτών για διάφορες τιμές του Κ. Ως αποτέλεμα λαμβάνουμε τον πίνακα (για m = 10, μ = 0.005, = 0.04): Κ Εκτιμημένο Αναμενόμενο Κέρδος Πολιτικής Ι Εκτιμημένο Αναμενόμενο Κέρδος Πολιτικής ΙΙ Αναμενόμενο Κέρδος Πολιτικής ΙΙΙ Στην τρίτη τήλη περιλαμβάνουμε και το αναμενόμενο κέρδος αν ο επενδυτής επιλέγει να εξακήει το δικαίωμα την τελευταία ημέρα (πολιτική ΙΙΙ). Είναι εύκολο να υπολογιτεί ότι αυτή η πολιτική θα έχει αναμενόμενο κέρδος: ( m b ) Κ Φ( b ) ( m 1) a ( m 1) μ l( K) E[ m) K) 1) = 1] = Φ 1 m m, b m =. m 1 Ο παραπάνω τύπος μπορεί πολύ απλά να υπολογιτεί με τις εντολές: << Statstcs`CotuousDstrbutos b = ((m - 1)*μ - Log[K])/(*(m - 1)^0.5); Prt[Exp[(m - 1)*a]* CDF[NormalDstrbuto[0, 1], *(m - 1)^0.5 b] - K*CDF[NormalDstrbuto[0, 1], b]] Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 97

15 Παρατηρούμε ότι η πολιτική Ι έχει πάντα μεγαλύτερο αναμενόμενο κέρδος από τις άλλες δύο πολιτικές. Για μικρές τιμές του Κ, έχει χεδόν την ίδια απόδοη με την πολιτική ΙΙ, ενώ για μεγάλες τιμές του Κ έχει χεδόν την ίδια απόδοη με την πολιτική ΙΙΙ. Επομένως, η τιμή του δικαιώματος αγοράς θα πρέπει να βρίκεται κοντά και ίως πάνω από το αναμενόμενο κέρδος από τη χρήη του δικαιώματος ύμφωνα με την πολιτική Ι. Αυτό υμβαίνει διότι τις περιότερες περιπτώεις η τιμή ιορροπεί κοντά το βέλτιτο αναμενόμενο κέρδος (π.χ. αν είναι μικρότερη του βέλτιτου αναμενόμενου κέρδους, τότε θα έχει μεγάλη ζήτηη και γρήγορα θα αυξηθεί η τιμή της κ.ο.κ.). Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εκτιμήουμε το αναμενόμενο κέρδος ε ο- ποιαδήποτε περίπτωη μπορούμε να φαντατούμε. Αν η πολιτική μας είναι βέλτιτη, τότε το αναμενόμενο κέρδος που εκτιμούμε δίνει μία εικόνα και για την τιμή που πρέπει να έχει το δικαίωμα προαίρεης την χρηματιτηριακή αγορά (o arbtrag opto prz). Παράδειγμα 4. Προομοίωη τοχατικών διαφορικών εξιώεων. Σε προηγούμενη παράγραφο είδαμε ότι η κίνηη της τιμής μιας μετοχής περιγράφεται από (δηλ. ικανοποιεί) την τοχατική διαφορική εξίωη d = μ dt db( (Β ~ ΒΜ(0,1)) που όπως τονίτηκε υποδηλώνει ότι η S ικανοποιεί την αυτηρά οριμένη ολοκληρωτική εξίωη τ S ( τ ) 0) = μ dt db( 0 όπου μπορούμε να θεωρήουμε γενικά ότι ένα τοχατικό ολοκλήρωμα (ολοκλήρωμα Ito) είναι το όριο τ X ( t, B( ) db( = lm 0 h 0 = 1 X ( t, B( t Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 98 1 τ 0 1 )) ( B( t ) B( t (0 = t 0 < t 1 < < t = τ, h = max t t -1 ). Το παραπάνω τοχατικό ολοκλήρωμα είναι προφανώς μια τ.μ. (την οποία παρεμπιπτόντως θα μπορούαμε προεγγιτικά να παράγουμε διακριτοποιώντας το χρονικό διάτημα [0,τ]). Επανερχόμενοι την παραπάνω τοχατική διαφορική εξίωη, αναφέραμε ότι η λύη της είναι μια GΒΜ. Υπάρχουν όμως τοχατικές διαφορικές εξιώεις για τις οποίες δεν είναι καθόλου εύκολο να βρούμε την διαδικαία που τις ικανοποιεί. Για παράδειγμα, θα μπορούαμε να υποθέουμε ότι το volatlty δεν είναι ταθερό αλλά τοχατικό, και πιο υγκεκριμένα η τιμή της μετοχής S ικανοποιεί την d = μ dt ( ) db(. Σε αυτή την περίπτωη θα μπορούαμε να παράγουμε πραγματοποιήεις (paths) της S που ικανοποιούν την παραπάνω. Αυτό προφανώς μπορεί να γίνει με διακριτοποίηη του χρόνου. Το διακριτό ανάλογο της παραπάνω SDE θα έχει τη μορφή: Δ = μ Δt ( ) ΔtZ, Z ~ N(0,1) και υνεπώς μπορούμε να παράγουμε τα ημεία της S (Eulr dscrtzato schm) ( k 1) h) = kh) μ kh) h ( kh)) kh) hz, k = 0,1,,... k 1 ))

16 ή απλούτερα, S 1 = Sk μ Skh ( Sk ) Sk hz k, = 0,1,,... k k όπου οι Z 1,Ζ,... είναι d N(0,1) τ.μ. Εάν τώρα θέλουμε να υπολογίουμε μία μέη τιμή Ε( f(s)) όπου η f εξαρτάται από την S ή όλη την διαδρομή (path) της S τότε μπορούμε να παράγουμε τα ημεία S της S και να προεγγίουμε την τιμή της f. Κάνοντας το ίδιο πολλές φορές και λαμβάνοντας το μέο όρο των f, μπορούμε να εκτιμήουμε την Ε( f(s)). Προφανώς είναι ανεξάντλητα τα μοντέλα που μπορούμε να μελετήουμε με τον παραπάνω τρόπο χωρίς να ανηυχούμε για την πολυπλοκότητά τους. Μάλιτα μπορούμε να εξετάουμε και μοντέλα με πολυδιάτατες SDE, δηλαδή ένα ύτημα από SDE που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. π.χ. το παρακάτω μοντέλο το volatlty «οδηγείται» από μια άλλη κίνηη Brow Β, ds ( t ) = μ S ( t ) dt ( t ) S ( t ) db 1( t ), d ( = a ( dt b ( db ( ή π.χ. μπορούμε να θεωρήουμε ένα χαρτοφυλάκιο με k μετοχές με τιμές που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Διακριτοποιώντας το χρόνο μπορούμε να παράγουμε (πολυδιάτατες) διαδρομές διαδικαιών που ικανοποιούν το ύτημα των SDE και να ε- κτιμήουμε τις ποότητες που μας ενδιαφέρουν. Όο λεπτότερη διαμέριη επιλέξουμε, τόο μειώνεται το φάλμα της αριθμητικής προέγγιης, ενώ όο περιότερες διαδρομές παραχθούν τόο μειώνεται το τατιτικό φάλμα Επαλήθευη της ορθότητας της προομοίωης Σε οριμένες περιπτώεις, τα μοντέλα που επιθυμούμε να προομοιώουμε μπορεί να είναι αρκετά ύνθετα. Επομένως και τα αντίτοιχα προγράμματα προομοίωης καταλήγουν να είναι και αυτά ύνθετα με υνέπεια να είναι πολύ πιθανό να περιέχουν λογικά λάθη. Για το λόγο αυτό, είναι χρήιμο κάθε φορά να επαληθεύουμε ότι το πρόγραμμα που κατακευάαμε λειτουργεί ωτά. Ένας απλός τρόπος είναι να τρέξουμε το πρόγραμμα και να πάρουμε (π.χ. με Pr ε διάφορα κρίιμα ημεία του προγράμματος τις τιμές οριμένων μεταβλητών. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να παρακολουθήουμε αναλυτικά την λειτουργία του προγράμματος και να δούμε αν ανταποκρίνεται τις υποθέεις του μοντέλου. Για παράδειγμα, ε ένα πρόγραμμα προομοίωης ενός υτήματος εξυπηρέτηης μπορούμε να πάρουμε τους χρόνους αφίξεων και εξυπηρέτηης (π.χ. των 0 πρώτων πελατών) και να επαληθεύουμε (εργαζόμενοι με ανεξάρτητο τρόπο, π.χ. με χαρτί και μολύβι) ότι τα αποτελέματα που δίνει το πρόγραμμα για την εξέλιξη του μεγέθους της ουράς είναι αυτά που προβλέπονται από την φύη του υτήματος. Εάν κάτι δεν υμφωνεί τότε ψάχνουμε να βρούμε το λάθος υνήθως ελέγχοντας ένα - ένα τα τμήματα του προγράμματος που μπορεί να ευθύνονται. Ακήεις 1. Έτω ότι μία αφαλιτική εταιρία καλείται να καλύψει τυχαίες απαιτήεις ζημιάς από αφαλιμένους κινδύνους οι οποίες εμφανίζονται το χρόνο ύμφωνα με την διαδικαία Posso με ένταη λ ( = 100( t t ), t [0,1]. Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 99

17 Οι απαιτήεις αυτές θεωρούνται μεταξύ τους ανεξάρτητες και η απαίτηη προέρχεται από την λογαριθμοκανονική κατανομή με παραμέτρους μ = t, = 1 όπου t είναι ο ενδιάμεος χρόνος μεταξύ της 1 και της απαίτηης. Προομοιώτε το μοντέλο 1 φορά (δώτε χρόνο, ύψος αποζημιώεων). Χρηιμοποιώντας επαναλήψεις, δώτε ένα ιτόγραμμα της κατανομής της υνολικής απαίτηης ζημιάς και της κατανομής της μεγαλύτερης απαίτηης.. Μία μέθοδος προομοίωης της ομογενούς διαδικαίας Posso βαιζόταν την παρατήρηη ότι, δεδομένου ότι Ν(t 0 ) =, οι (μη-διατεταγμένοι) χρόνοι των υμβάντων το [0,t 0 ] είναι ανεξάρτητοι και ακολουθούν την ομοιόμορφη το (0,t 0 ) κατανομή. Ιχύει κάτι ανάλογο για την μη ομογενή διαδικαία; 3. Με ποιόν τρόπο μπορούμε να εκτιμήουμε τον χρόνο που ο υπηρέτης ενός GI/G/1 υτήματος εξυπηρέτηης παραμένει αδρανής (dl); Να κάνετε κατάλληλες τροποποιήεις το αντίτοιχο πρόγραμμα της παραγράφου Έτω και πάλι το ύτημα εξυπηρέτηης με έναν υπηρέτη, FCFS πειθαρχεία ουράς και απεριόριτο χώρο αναμονής. Να προομοιώετε το ύτημα αυτό όταν η διαδικαία αφίξεων πελατών είναι μία μη ομογενής διαδικαία Posso με λ( = λ(cos(1) και οι χρόνοι εξυπηρέτηης είναι εκθετικοί με παράμετρο μ. Να κάνετε κατάλληλες τροποποιήεις το αντίτοιχο πρόγραμμα της παραγράφου 5.1. Παρακολουθήτε το εικονικό ύτημα κατά την άφιξη των 1000 πρώτων πελατών και δώτε ένα ιτόγραμμα των χρόνων παραμονής τους το ύτημα και ένα ραβδόγραμμα με τα ποοτά του χρόνου που το ύτημα είχε πελάτες, =1,,...,. 5. Έτω το ύτημα εξυπηρέτηης M/M/1 με αποθαρρυνόμενους πελάτες. Στην υγκεκριμένη περίπτωη, οι πελάτες που καταφθάνουν το ύτημα αποχωρούν αμέως (χωρίς καν να μπουν την ουρά) με πιθανότητα p = Q/(1Q) όπου Q είναι το μέγεθος της ουράς την τιγμή άφιξής τους. Να προομοιώετε το υγκεκριμένο ύτημα τροποποιώντας κατάλληλα το αντίτοιχο πρόγραμμα της παραγράφου 5.1. Παρακολουθήτε το εικονικό ύτημα κατά την άφιξη των 1000 πρώτων πελατών και δώτε ένα ιτόγραμμα των χρόνων παραμονής τους το ύτημα και ένα ραβδόγραμμα με τα ποοτά του χρόνου που το ύτημα είχε πελάτες, =1,,...,. Πόοι κατά μέο όρο πελάτες αποχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν την μονάδα του χρόνου; 6. Στο ύτημα αποθεμάτων της παραγράφου 5.. θεωρείτε ότι οι ενδιάμεοι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων πελατών είναι τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή Wbull (α, β). Επίης, η ποότητα προϊόντος που απαιτεί ο - πελάτης είναι τ.μ. που ακολουθεί την κατανομή Gamma με παραμέτρους (v, λ ) όπου το 1/λ είναι ίο με το χρόνο μεταξύ της άφιξης του και του 1 πελάτη. Κάτω από αυτές της υνθήκες, να εκτιμήετε την βέλτιτη πολιτική αποθεμάτων (S, s) (υποθέτε ότι α =, β =, ν =, L =, h = 0.3, r =.5, c(y) = 0.5 yr / 3). 7. Ένα ύτημα αποτελείται από = 30 μονάδες υνδεδεμένες ειριακά μεταξύ τους: Ο χρόνος ζωής κάθε μίας από τις μονάδες είναι τ.μ. που ακολουθεί κατανομή Wbull με παραμέτρους (α =, β =1.5) (και οι αυτοί χρόνοι ζωής είναι μεταξύ τους ανεξάρτητοι). Θεωρούμε ότι το ύτημα αυτό «χαλάει» μόνο όταν χαλάουν τουλάχιτον 3 διαδοχικές μονάδες (π.χ. οι μονάδες 1,,3 ή οι μονάδες,3,4 κ.ο.κ). Αρχικά, το ύτημα ξεκινά να λειτουργεί με καινούριες μονάδες. Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 100

18 Να εκτιμήετε (χρηιμοποιώντας προομοίωη) τον μέο χρόνο ζωής του υτήματος και να προεγγίετε την μορφή της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου αυτού (χρηιμοποιήτε κατάλληλο ιτόγραμμα υχνοτήτων). 8. Εκτιμήτε (χρηιμοποιώντας προομοίωη) την παρούα τιμή ενός xotc opto (rsk-utral valuato): α) Στην περίπτωη που έχουμε dow ad out barrr call opto με φράγμα u, χρόνο εξάκηης ημέρες, επιτόκιο αγοράς r, τιμή εξάκηης K, αρχική τιμή μετοχής 0), volatlty. ( = 100 ημέρες, r = 0.1 (ετήιο), 0) = 100, = 0. (ετήιο), Κ = 90, 100, 110, u = 80). β) Στην περίπτωη που έχουμε Asa call opto ( = 100 ημέρες, r = 0.1 (ετήιο), 0) = 100, = 0. (ετήιο)). γ) Στην περίπτωη που έχουμε Lookback call opto ( = 100 ημέρες, r = 0.1 (ετήιο), 0) = 100, = 0. (ετήιο)). 9. Ένα εργοτάιο κατακευάζει οθόνες TFT οι οποίες αποτελούνται από 1 pxls τοποθετημένα ε ορθογώνια διάταξη όπως παρακάτω. 1,1 1, 1,3 1,4 1,,1,,3,4, 3,1 3, 3,3 3,4 3, 4,1 4, 4,3 4,4 4, 5,1 5, 5,3 5,4 5, 1,1 1, 1,3 1,4 1, Το εργοτάιο προφέρει εγγύηη T χρόνια για κάθε αγορά τέτοιας οθόνης με τον εξής όρο: Η οθόνη αντικαθίταται (πριν λήξει η εγγύηη) όταν χαλάουν τουλάχιτον pxls τα οποία απέχουν το πολύ k pxls (ορθογώνια ή κάθετα) ή έχουν χαλάει υνολικά r pxls. Να βρεθεί προεγγιτικά (χρηιμοποιώντας προομοίωη) ο χρόνος Τ εγγύηης αν θέλουμε να επιτρέφονται για αντικατάταη το πολύ το α% των οθονών (Οι χρόνοι ζωής των pxls είναι ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέο χρόνο ζωής 5000 χρόνια, 1 = = 100, r = 4, k = 10, α% = 5%). 10. (Κίνηη Brow με άλματα Browa moto wth jumps). Έτω {, t 0} η διαδικαία που περιγράφει την τιμή μιας μετοχής. Θεωρούμε ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου εμφανίζονται κάποια «γεγονότα» (π.χ. ανακοίνωη κάποιου ημαντικού οικονομικού μεγέθους, πολιτική αλλαγή, κάποια φυική κατατροφή, κ.τ.λ.) τα οποία επηρεάζουν τιγμιαία και δραματικά την τιμή της μετοχής. Τα γεγονότα αυτά εμφανίζονται ύμφωνα με μια διαδικαία Posso με παράμετρο λ. Έτω τ 1, τ,... οι διαδοχικοί χρόνοι εμφάνιης των γεγονότων αυτών. Θεωρούμε ότι το χρονικό διάτημα [τ, τ 1 ) η {, t 0} είναι μια GBM, δηλαδή ικανοποιεί την.δ.ε. d = μ dt db(, B ~ BM (0,1) ενώ κατά την χρονική τιγμή τ η παρουιάζει ένα «άλμα» τυχαίου μεγέθους, και υγκεκριμένα, ΔS ( τ ) = τ ) τ ) = τ ) U, U ~ F U Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 101

19 (οι τ.μ. U θεωρούνται ανεξάρτητες τ.μ.). α) Να προομοιώετε μια πραγματοποίηη μιας τέτοιας διαδικαίας με άλματα β) Να βρείτε την παρούα τιμή ενός (valla) call opto όταν η τιμή της μετοχής α- κολουθεί το παραπάνω μοντέλο υπολογίζοντας την παρούα αξία του αναμενόμενου κέρδους από τη χρήη του call opto όταν μ = r λε(u). (χρόνος εξάκηης t = 0., r = 0.1, 0) = 100, = 0., Κ = 90, 100, 110, λ=10, U ~ U( 0.,0.)). ( μ ) t B( (υπόδειξη: είναι εύκολο να δειχθεί ότι εδώ, = 0) (1 U ) ) : τ < t Boutskas M.V. (004) Σημειώεις μαθήματος «Μέθοδοι Προομοίωης και Στατιτικές Υπολογιτικές Τεχνικές» 10

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΣΠΑΤΑΛΟΥ ΕΛΕΑΝΑ ΑΜ: /4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Ειαγωγή Η µεταβλητότητα (vibiliy) είναι η ποιότητα της µη οµοιοµορφίας ε µια κλάη οντοτήτων. Σε υτήµατα παραγωγής υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΟΜΟΛΟΓΩΝ Σταύρος Κων. Αργυριάδης ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε το Τµήµα Στατιτικής του Οικονοµικού Πανεπιτηµίου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 13/7/2016 Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Χρηματοοικονομικά Πρότυπα, Κωδ. Αε 1. Στις χρονικές στιγμές 1 και 2 θα πληρωθεί από 1 αντίστοιχα. Ποιο επιτόκιο εξασφαλίζει ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας Σχεδιαµός, Μεθοδολογία και Λογιµικό Παρακολούθηης Συγκλίεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαιίας Κ. ΛΑΚΑΚΗΣ Λέκτορας Α.Π.Θ Σ. Π. ΧΑΛΙΜΟΥΡ ΑΣ Υπ. ιδάκτωρ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪ ΗΣ Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ειαγωγή Υπάρχουν προβήµατα πιθανοτήτων τα οποία θα πρέπει να µεετηθούν δύο ή περιότερες τυχαίες µεταβητές από κοινού για να µπορεί να περιγραφεί επαρκώς και πήρως το αντίτοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙΡΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΙΑΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ Σπύρος Ανδρονόπουλος Εργατήριο Περιβαλλοντικών Ερευνών Ιντιτούτο Πυρηνικής Τεχνολογίας και Ακτινοπροταίας ΕΚΕΦΕ «ηµόκριτος» sandron@ipta.demokritos.gr

Διαβάστε περισσότερα

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι:

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι: Για τις ιχυρές αλληλεπιδράεις ιχύει: s gs 00 s = π Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρηιμοποιείται υνηθέτερα είναι: s V s = - kr r e - e Πειραματική μαρτυρία και για τους δύο όρους. Εγκλωβιμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ ΚΥΡΙΑΚΗ Σ. ΓΕΩΡΓΙΑΔΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Μεταπτυχιακη Διατριβη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαηματικα

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006 ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 006 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΣΠΥΡΑΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΗΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΕΚΑΝΗΣ ΒΕΓΟΡΙΤΙ ΑΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΕΚΑΝΗΣ ΒΕΓΟΡΙΤΙ ΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΟΙΝΟΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ Ε ΑΦΟΫ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Τµήµα Γ' (Προταίας

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.1 Μέθοδοι Κατακευής 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Κυριαζόπουλος Γεώργιος ΤΜΗΜΑ: Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 3 η 4 η. Ανάλυη Θεωρίας Χαρτοφυλακίου 1. Αναµενόµενη Χρηιµότητα και Καµπύλες Αδιαφορίας. Κινδύνος και Απόδοη Χαρτοφυλακίου

Διαβάστε περισσότερα

Αδιαστατοποιημένο Κριτήριο Αστοχίας Τοιχοποιίας υπό Διαξονική ένταση Non-Dimensional Masonry Failure Criterion under Biaxial Stress

Αδιαστατοποιημένο Κριτήριο Αστοχίας Τοιχοποιίας υπό Διαξονική ένταση Non-Dimensional Masonry Failure Criterion under Biaxial Stress 1 Αδιατατοποιημένο Κριτήριο Ατοχίας Τοιχοποιίας υπό ιαξονική ένταη Non-Dimensional Masonr Failure Criterion under Biaial Stress Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Π

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ 2011

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ 2011 ΕΠΙΧΕΙΡΗΙΑΚΕ ΥΜΒΑΕΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΗ ΥΝΑΨΗ ΠΑΠΑΤΡΑΤΟ 17/01/ ΤΡΙΕΤΗ -2013 ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΟΧΗ ΑΕΡΙΟΥ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΕ ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΙ ΛΕΥΚΟΛΙΘΟΙ 17/01/ ΔΙΕΤΗ 01/08/2010 31/07/2010 20/01/ ΑΟΡΙΤΟΥ ΑΠΟ 01/01/

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 π.μ. π.μ. .......

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010 ΚΛΑΔΙΚΕ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕ 2010 ΚΛΑΔΟ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ ΟΔΗΓΟΙ ΤΟΥΡΙΤΙΚΩΝ ΛΕΩΦΟΡΕΙΩΝ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΩΝ ΜΕΛΩΝ ΕΚΑ ΤΕΧΝΙΤΩΝ ΚΑΙ ΒΟΗΘΩΝ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΙΩΝ ΝΖΩΝΗ ΟΞΟΠΟΙΙΑ, ΠΟΤΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΝΕΥΜΑΤΟΠΟΙΙΑ,

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Τα υπόγεια τεχνικά έργα έχουν γενικά μεγάλη διάρκεια ζωής. Τέτοια είναι οι ήραγγες, οι άλαμοι, οι αποήκες καυίμων, τα

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΘΕΜΑ 4 Υποθέστε ότι είστε ο διαχειριστής του αµοιβαίου κεφαλαίου ΑΠΟΛΛΩΝ το οποίο εξειδικεύεται σε µετοχές µεγάλης κεφαλαιοποίησης εσωτερικού. Έπειτα από την πρόσφατη ανοδική πορεία του Χρηματιστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εκπαίδευη Νευρο-ααφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήη Τεχνικών Επιβλεπόµενης

Διαβάστε περισσότερα