k c (1) F ελ f ( t) F απ 1

Transcript

1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών και Μηχανολογίας Στην παράγραφο -6 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ του βιβλίου Φυσικής Θετικής Κατεύθυνσης, εντοπίζονται ασάφειες και αντικρουόµενες διατυπώσεις. Για το λόγο αυτό και µε σκοπό να διευκρινιστεί κατά το δυνατόν το πρόβληµα της εξαναγκασµένης ταλάντωσης στο Μέρος Α αναφέρεται η σχετική βασική θεωρία. Ακολούθως στο Μέρος Β διατυπώνονται παρατηρήσεις σε ορισµένα αναγραφόµενα του σχολικού βιβλίου καθώς και οι αντίστοιχες υποδείξεις για µια πληρέστερη ανάπτυξη του θέµατος. ΜΕΡΟΣ Α ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κίνησης Όταν σ ένα σύστηµα που εκτελεί ταλάντωση ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις τότε η ταλάντωση λέγεται εξαναγκασµένη. Το σύστηµα του σχήµατος που αποτελείται από ένα σώµα µάζας m στην οποία επιδρά µια εξωτερική δύναµη f(t) (διέγερση), ένα ελατήριο στιβαρότητας k και ένα αποσβεστήρα µε συντελεστή απόσβεσης c είναι το πιο απλό σύστηµα που εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση. k c x F ελ f(t) F απ Σχήµα Ισχύει ma F mx && F F + f ( t) mx && kx cv+ f ( t) ολ ελ απ mx && + cx& + kx f ( t) ()

2 H () είναι η διαφορική εξίσωση κίνησης του συστήµατος. Η γενική λύση της () είναι όπου x h (t) είναι η οµογενής και (t) x p. Απόκριση σε αρµονική διέγερση Ορίζουµε το µέτρο απόσβεσης ζ και διακρίνουµε τις περιπτώσεις: α) Το σύστηµα να έχει αποσβέσεις (ζ>0) η µερική λύση της. x( t) x ( t) x ( t) () h + p c ζ (3) mk Έστω ότι η εξωτερική δύναµη που επιδρά σε ένα γραµµικό ταλαντωτή (σχήµα ) είναι αρµονική, δηλαδή Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση κίνησης () του ταλαντωτή είναι Η γενική λύση της (4) είναι όπου x h (t) είναι η οµογενής και (t) Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση x p f ( t) fˆ cosωt (4) mx && + cx& + kx f ( t) mx && + cx& + kx f ˆ cosωt (5) η µερική λύση της. x( t) x ( t) x ( t) (6) h + p ( ) x ˆ p ( t) x cos Ωt φ (7) είναι µερική λύση της (5). Το πλάτος xˆ, και η διαφορά φάσης φ µεταξύ της διέγερσης f(t) και της µερικής λύσης, προσδιορίζονται µε αντικατάσταση της (7) στην εξίσωση (5) και είναι. xˆ fˆ ( k mω ) + ( cω) (8) ή µε 0 φ<π. cω tanφ (9) k mω φ tan cω k mω (0)

3 Η µορφή της συνάρτησης xh ( t ) είναι όπου δt x ( t) Ae cos( ω t θ) αν 0< ζ< () h ω d δ ζω 0 () k ω 0 (3) m d ω 0 ζ (4) ( ω ) ω0t xh ( t) e x0+ v0+ 0x0 t αν ζ (5) όπου x ( t) a e + a e αν ζ> (6) h λt λt λ ζω0 + ω0 ζ, λ ζω0 ω0 ζ (7α) v0 λ x0 v0 λx0 a, a λ λ λ λ (7β) Σε κάθε περίπτωση η xh ( t ) τείνει στο µηδέν όταν ο χρόνος απειρίζεται. Πρακτικά αυτό συµβαίνει σε µικρότερο χρόνο οπότε λέµε ότι το σύστηµα είναι στη µόνιµη κατάσταση. ηλαδή στη µόνιµη κατάσταση (Steady state) η λύση της εξίσωσης είναι η xp ( t ) όπως δείχνεται στο σχήµα () Steady State x t Σχήµα 3

4 Το φαινόµενο του συντονισµού Ένα σύστηµα που ταλαντώνεται υπό την επίδραση αρµονικής διέγερσης βρίσκεται σε κατάσταση συντονισµού όταν το πλάτος ˆx (σχέση 8) της ταλάντωσης στη µόνιµη κατάσταση είναι µέγιστο. Η τιµή της συχνότητας Ω για την οποία το πλάτος ˆx γίνεται µέγιστο λέγεται συχνότητα συντονισµού και συµβολίζεται µε Ω συν. Η µέγιστη τιµή ˆx καθώς και η αντίστοιχη Ω συν, βρίσκεται παραγωγίζοντας τη σχέση ως προς Ω. xˆ fˆ ( k mω ) + ( cω) (8) Στο σηµείο αυτό απαιτείται προσοχή. Συγκεκριµένα θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η µορφή του πλάτους ˆf της εξωτερικής διέγερσης. Αναφέρονται ενδεικτικές περιπτώσεις: α) Η ˆf να µην εξαρτάται από την Ω, δηλαδή ˆf σταθερή Τότε η Ω συν δίνεται από τη σχέση Ω συν ω 0 ζ για ζ (9) Στο σχήµα (3) δείχνεται η µεταβολή του πλάτους ˆx σε σχέση µε το λόγο n Ω/ω 0 για διάφορες τιµές του ζ. Για ζ ο λόγος Ω συν /ω 0 είναι µικρότερος της µονάδας, ενώ για ζ το πλάτος δεν εµφανίζει τοπικό µέγιστο, (δεν παρατηρείται συντονισµός). Το πλάτος της ταλάντωσης στην κατάσταση συντονισµού στην περίπτωση αυτή δίνεται από τη σχέση fˆ xˆ max (0) ζ ζ k z0.0 X.5 z0. z z n Σχήµα 3 4

5 β) Η ˆf να είναι ανάλογη του Ω, δηλαδή ˆf α Ω Τότε η Ω συν δίνεται από τη σχέση Ω συν ω 0 () γ) Η ˆf να είναι ανάλογη του Ω, δηλαδή ˆf Τότε η Ω συν δίνεται από τη σχέση Ω συν α Ω ω 0 ζ για ζ () Από τις παραπάνω περιπτώσεις η (β) συναντάται στα ηλεκτρικά κυκλώµατα RLC ενώ η (γ) σε φαινόµενα αζυγοσταθµίας µηχανικών συστηµάτων. Σύµφωνα µε τις παραπάνω σχέσεις (3, 4, 5) δείχνεται ότι η συχνότητα συντονισµού Ω συν γενικά δεν ισούται µε την ιδιοσυχνότητα ω 0 του συστήµατος. Για παράδειγµα αν ζ 0.5 τότε στην (α) περίπτωση Ω συν 0.7ω 0 και στην (γ) Ω συν.4ω 0, τιµές που απέχουν κατά πολύ από την ιδιοσυχνότητα ω 0. β) Το σύστηµα να µην έχει αποσβέσεις (ζ0) Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση κίνησης () του ταλαντωτή είναι mx && + kx f ( t) mx && + kx f ˆ cosωt (3) ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: i) Ω ω 0 Η λύση της εξίσωσης είναι της µορφής x( t) Acosω t+ B cosω t+ C sin Ωt+ φ (4) 0 0 ( ) ηλαδή είναι µη αρµονική περιοδική µε συχνότητες, τις Ω και ω 0, (το σύστηµα δεν ταλαντώνεται µε τη συχνότητα της δύναµης). ii) Ω ω 0 Η λύση της εξίσωσης είναι της µορφής x( t) Acosω t+ B sinω t+ Ct sin ω t+ φ (5) ( ) Η λύση της εξίσωσης είναι ανάλογη του χρόνου και οι τιµές τείνουν στο άπειρο. 5

6 ΜΕΡΟΣ Β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΑΓΡΑΦΟΜΕΝΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Με βάση τα προαναφερθέντα ακολουθούν οι παρακάτω παρατηρήσεις -υποδείξεις:. Σελίδα Αναφέρεται: «Στη διάταξη του σχήµατος.5 το ελατήριο είναι δεµένο µε σχοινί, το άλλο άκρο του οποίου προσδένεται στον τροχό Τ ο οποίος, µε κατάλληλη διάταξη µπορεί να περιστρέφεται. Η περιστροφή του τροχού αναγκάζει το σφαιρίδιο να εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση. Η συχνότητα της ταλάντωσης συµπίπτει µε τη συχνότητα περιστροφής του τροχού». Παρατηρήσεις α) Η διάταξη όπως παρουσιάζεται δεν φαίνεται αλλά ούτε και αναφέρεται ότι υπάρχουν αποσβέσεις. Στην περίπτωση αυτή η κίνηση του συστήµατος περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση (3) η λύση της οποίας δίνεται: i) από τη σχέση (4) αν Ω ω 0 (έχει δύο συχνότητες, την Ω και την ω 0 και όχι µία όπως αναφέρεται στο βιβλίο), ii) από την σχέση (5) αν Ω ω 0 (είναι ανάλογη του χρόνου και άρα έχει άπειρες συχνότητες σύµφωνα µε την κατά Fourier ανάλυση και όχι µία όπως αναφέρεται στο βιβλίο). β) Το νήµα µπορεί υπό ορισµένες συνθήκες να διπλωθεί στη φάση ανόδου της σφαίρας. Υποδείξεις α) Να αντικατασταθεί το σχήµα.5 του σχολικού βιβλίου µε το σχήµα.7 στο οποίο υπάρχουν αποσβέσεις λόγω πεπιεσµένου αέρα. β) Να αντικατασταθεί το νήµα µε άλλο µέσο. Σχόλιο Για την αναλυτική µελέτη της κίνησης της διάταξης του σχήµατος.5 σχολικού βιβλίου δες αναφορά () σελ. 40 καθώς και αναφορά () σελ. 64, 65.. Σελίδα - Αναφέρεται: «Οι τιµές του πλάτους της είναι γενικά µικρές, εκτός αν η συχνότητα f πλησιάζει στην ιδιοσυχότητα f 0, οπότε το πλάτος παίρνει µεγάλες τιµές και γίνεται µέγιστο όταν η συχνότητα f γίνει ίση µε την ιδιοσυχνότητα f 0. Τότε λέµε ότι έχουµε το φαινόµενο του συντονισµού» Παρατηρήσεις Όπως αναφέρθηκε (σχέσεις 9, ) υπάρχουν συστήµατα για τα οποία το πλάτος της ταλάντωσης (σχ. 8) γίνεται µέγιστο όταν η συχνότητα της δύναµης είναι διαφορετική της ιδιοσυχνότητας όπως και συστήµατα (σχέση, σχήµα.9 σχολικού βιβλίου) για τα οποία το πλάτος γίνεται µέγιστο όταν η συχνότητα της δύναµης ισούται µε την ιδιοσυχνότητα. Άρα ο ορισµός του συντονισµού στο σχολικό βιβλίο είναι εν µέρει λάθος και ασαφής καθόσον συνήθως δεν συµβαίνει πάντοτε όταν f f 0 όπως αναφέρεται. Υποδείξεις Η σωστή διατύπωση είναι: Ένα σύστηµα που ταλαντώνεται υπό την επίδραση αρµονικής διέγερσης βρίσκεται σε κατάσταση συντονισµού όταν το πλάτος ˆx (σχέση 8) της ταλάντωσης στη µόνιµη κατάσταση είναι µέγιστο. Στην κατάσταση συντονισµού η συχνότητα f της διέγερσης µπορεί να είναι ίση ή και διαφορετική (µικρότερη) της ιδιοσυχνότητας του συστήµατος. 6

7 3. Σελίδα Αναφέρεται: «Το πλάτος της ταλάντωσης κατά τον συντονισµό εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης» Παρατηρήσεις Η πρόταση είναι ασαφής και εν µέρει σωστή. Όπως προκύπτει και από τη σχέση (0), το πλάτος της ταλάντωσης κατά τον συντονισµό εξαρτάται από το µέτρο απόσβεσης ζ (σχέση 3) και άρα από τη σταθερά απόσβεσης, που συµβολίζεται µε b στο σχολικό βιβλίο, (στη διεθνή βιβλιογραφία η σταθερά απόσβεσης αναφέρεται ως συντελεστής απόσβεσης, damping coefficient και συµβολίζεται συνήθως µε το γράµµα c) αλλά και από τη σταθερά k του ελατηρίου όπως και από τη µάζα m του συστήµατος. Θα πρέπει να τονιστεί ότι στη διεθνή βιβλιογραφία στα διαγράµµατα του πλάτους σε σχέση µε την συχνότητα της δύναµης (σχήµα.8 σχολικού βιβλίου) η παράµετρος είναι το ζ και όχι το b. Η χρήση του b αντί του ζ στη µελέτη µεταβολής του πλάτους δεν καλύπτει την περιγραφή του φαινόµενου στη περίπτωση µεταβολής της µάζας m του συστήµατος ή της σταθεράς k του ελατηρίου. Υποδείξεις Να ορισθεί το µέτρο απόσβεσης (σχέση 3) και στο σχήµα.8 να αντικατασταθεί η σταθερά απόσβεσης b µε το σύµβολο της απόσβεσης ζ. 4. Σελίδα Αναφέρεται: «Το σηµείο από το οποίο ξεκινούν όλες οι καµπύλες στο διάγραµµα απέχει από την αρχή των αξόνων όσο απέχει το σηµείο πρόσδεσης του σχοινιού από το κέντρο του τροχού Τ» Παρατηρήσεις Η πρόταση είναι ασαφής και λάθος. Αν θεωρηθεί ότι η συχνότητα f της δύναµης παίρνει και την µηδενική τιµή τότε ο τροχός Τ δεν περιστρέφεται και άρα το σώµα Σ δεν ταλαντώνεται, δηλαδή το πλάτος της ταλάντωσης είναι µηδέν και άρα το σηµείο από το οποίο ξεκινούν όλες οι καµπύλες στο διάγραµµα του σχήµατος.8 είναι η αρχή των αξόνων. Το σωστό είναι ότι για τιµές της f που τείνουν στο µηδέν το σώµα Σ ταλαντώνεται πολύ αργά και το πλάτος της ταλάντωσης Α ισούται όσο απέχει το σηµείο πρόσδεσης του σχοινιού από το κέντρο του τροχού Τ Υποδείξεις Να διατυπωθεί η πρόταση ως εξής: Για πάρα πολύ µικρές τιµές της συχνότητας περιστροφής του τροχού Τ το πλάτος της ταλάντωσης ισούται όσο απέχει το σηµείο πρόσδεσης του σχοινιού από το κέντρο του τροχού Τ Αναφορές. Νατσιάβας Σ. Ταλαντώσεις Μηχανικών Συστηµάτων, Εκδόσεις Ζήση, Θεσσαλονίκη, 00.. Graham Kelly S. Mechanical vibrations, Sshaum s Outlines Series, McGraw-Hill, Alonso Finn, Θεµελιώδης Πανεπιστηµιακή Φυσική, ΙΙ Πεδία και Κύµατα, σε µετάφραση Λ. Ρεσβάνη, Τ. Φίλιππα, 979. Στείλτε µας τα σχόλια σας στο mathanas@ee.duth.gr 7

8 8