5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

Transcript

1 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/

2 Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων όταν: α δεν υπάρχουν αναλυτικές λύσεις κλειστής µορφής, β υπάρχουν, αλλά είναι τόσο πολύπλοκες, λ που η εκτίµηση της λύσης µε αριθμητικές μεθόδους να είναι πρακτικά πιο εύχρηστες γ δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση που ολοκληρώνεται, αλλά τιµές της σε συγκεκριμένα σηµεία σαν αποτέλεσμα ενός πειράματος Το γενικό πρόβλημα προς επίλυση είναι της μορφής: συνεχής συνάρτηση στο [,]. Υπολογίστε το: d

3 Βασική μεθοδολογία. Θεωρούμε µια διαµέριση του διαστήματος [,] και n+ σημεία. = < < < n = Διακρίνουμε δυο συνήθως κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων, που συσχετίζονται µε τον τρόπο διαμέρισης του διαστήματος [,]. α Αν τα σημεία είναι ισαπέχοντα j+ j =, τότε οι μέθοδοι που συνήθως χρησιμοποιούνται λέγονται ewton Cotes. β Αν τα σημεία δεν είναι ισαπέχοντα μεταξύ τους, τότε οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι συνήθως οι μέθοδοι Guss. [Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης κατά Guss χρησιμοποιούνται και στις περιπτώσεις που τα άκρα ολοκλήρωσης είναι µη πεπερασμένοι αριθμοί].. Προσεγγίζουμε την συνάρτηση με παρεμβολή πολυωνύμου n βαθμού στα n+ σημεία.. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα του προσεγγιστικού πολυωνύμου.

4 ewton Cotes για n= [κανόνας τραπεζίου] σημεία i. = ; =, =+ = Παρεμβολή με ου βαθμού πολυώνυμο ευθεία P = + [P i = i ] P P P d d Σφάλμα ολοκλήρωσης R : [, ] : E P d P d!! '' '' '' R E d d O!

5 ewton Cotes για n= [κανόνας Simpson /] σημεία i. = /; =, = +, = += Παρεμβολή με ου βαθμού πολυώνυμο P = + + P P i i d P d Σφάλμα ολοκλήρωσης λή R : - R E d O 9 Γενικά σφάλμα ολοκλήρωσης με ewton Cotes μεθόδους, R n = On n+, n= n=,,, O n+, n=,,6,

6 ewton Cotes για n= [κανόνας Simpson /8] σημεία i. = /; =, = +, = +, = += Παρεμβολή με ου βαθμού πολυώνυμο P = d P d Σφάλμα ολοκλήρωσης R : - R O 68 Γενικά σφάλμα ολοκλήρωσης με ewton Cotes μεθόδους, R n = On n+, n= n=,,, O n+, n=,,6,

7 Σύνθετος κανόνας τραπεζίου Δ ό Ν ή Διαμερισμός σε Ν τμήματα. = /Ν; =, j = +j Εφαρμογή κανόνα τραπεζίου σε κάθε ένα από τα Ν τμήματα j.. n... Σφάλμα ολοκλήρωσης R: ' ' '' R

8 Σύνθετος κανόνας Simpson / Δ ό Ν ή Ν ζ ό Διαμερισμός σε Ν τμήματα Ν ζυγός. = /Ν; =, j = +j Εφαρμογή κανόνα Simpson σε Ν/ τμήματα.. /... Σφάλμα ολοκλήρωσης R: R

9 Ολοκλήρωση Guss Tα n+ σημεία i βρίσκονται από ρίζες ορθογώνιων πολυωνύμων π.χ. πολυώνυμα Legendre Guss Legendre Για ολοκλήρωση συνάρτησης από στο + τα i βρίσκονται από ρίζες του n+ πολυωνύμου Legendre. Για άλλα όρια χρειαζόμαστε ή ρίζες άλλων ορθογώνιων πολυωνύμων ή μετατροπή: d ' ' d' n i w ' i i '

10 Συντελεστές και σημεία για ολοκλήρωση Guss Legendre ttp://en.wikipedi.org/wiki/gussin_qudrture Σφάλμα ολοκλήρωση Guss Legendre n+ points R n n [ n!] n n [ n!] n ttp://en.wikipedi.org/wiki/legendre_polynomils Αλγεβρική ακρίβεια ολοκλήρωσης Guss Legendre με n+ σημεία n+: Οι κανόνες ολοκλήρωσης Guss υπολογίζουν ακριβώς το ολοκλήρωμα πολυωνύμων με βαθμό <= n+. Οι ewton Cotes κανόνες έχουν αλγεβρική ακρίβεια n για n=,,, και n+ για n=,,6,..

11 Σύγκριση ewton Cotes και Guss Legendre ewton Cotes Guss Legendre Σημεία n+ n+ Σφάλμα R n ~ n+ ξ n+, n=,,, R n ~ n+ ξ n+, n=,,6, R n ~ n+ ξ n+ Algeric* precision n, n=,,, n+, n=,,6, n+ * μέγιστος βαθμός πολυωνύμου που το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ακριβώς

12 παράδειγμα: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα με την μέθοδο Simpson / και Guss Legendre για n= d Αναλυτική λύση: d Simpson /: = = = = = = Guss =/9 /9+ +8/9 +/9 /9+ ]= / ο κανόνας Guss Legendre n= υπολογίζει το ολοκλήρωμα πολυωνύμου έως ου βαθμού ακριβώς. ο Simpson / έως ου.